第一篇：高等數(shù)學第九章重積分教案

第九章 重積分

第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì)

9.1.1 二重積分的概念

為引出二重積分的概念，我們先來討論兩個實際問題。

設(shè)有一平面薄片占有xOy>面上的閉區(qū)域D>，它在點（x>，y>）處的面密度為ρ（x>，y>），這里ρ（x>，y>）> 0>且在D>上連續(xù)?，F(xiàn)在要計算該薄片的質(zhì)量M>。

>由于面密度ρ（x>，y>）是變量，薄片的質(zhì)量不能直接用密度公式（M =>ρS>）來計算。但ρ（x>，y>）是連續(xù)的，利用積分的思想，把薄片分成許多小塊后，只要小塊所占的小閉區(qū)域D s i>的直徑很小，這些小塊就可以近似地看作均勻薄片。在D s i>（這小閉區(qū)域的面積也記作D s i

>）上任取一點（x i>，h i>），則ρ（x i>，h i>）D s i>（i = 1>，2>，?，n）可看作第i>個小塊的質(zhì)量的近似值。通過求和，再令n個小區(qū)域的直徑中的最大值（記作λ）趨于零，取和的極限，便自然地得出薄片的質(zhì)量M>，即 >。

>再設(shè)有一立體，它的底是xOy>面上的閉區(qū)域D>，它的側(cè)面是以D>的邊界曲線為準線而母線平行于z>軸的柱面，它的頂是曲面z = f>（x>，y>），這里f>（x>，y>）≥ 0>且在D>上連續(xù)。這種立體叫做曲頂柱體?，F(xiàn)在要計算上述曲頂柱體的體積V>。

>由于曲頂柱體的高f>（x>，y>）是變量，它的體積不能直接用體積公式來計算。但仍可采用上面的思想方法，用一組曲線網(wǎng)把D>分成n個小閉區(qū)域D s 1，D s 2>，?，D s n>，在每個D s i>上任取一點（x i>，h i>），則f>（x i>，h i>）D s i>（i = 1>，2>，?，n）可看作以f>（x i>，h i>）為高而底為D s i>的平頂柱體的體積>。通過求和，取極限，便得出 >。

上面兩個問題所要求的，都歸結(jié)為同一形式的和的極限。在其他學科中，由許多物理量和幾何量也可歸結(jié)為這一形式的和的極限。因此我們要一般地研究這種和的極限，并抽象出下述二重積分的定義。> 定義 >設(shè)f>（x>，y>）是有界閉區(qū)域D>上的有界函數(shù)。將閉區(qū)域D>任意分成n>個小閉區(qū)域

>D s 1，D s 2>，?，D s n>，>其中D s 也表示它的面積。在每個D s（x h，i>表示第i>個小閉區(qū)域，i>上任取一點i>，i>）作乘積 f>（x i>，h i>）D s i>（i = 1, 2, >?, n,>），并作和。如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值l 趨于零時，這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)f>（x>，y>）在閉區(qū)域D>上的二重積分，記作，即

>。（*>）

>其中f>（x>，y>）叫做被積函數(shù)，f>（x>，y>）ds >叫做被積表達式，ds >叫做面積元素，x>與y>叫做積分變量，D>叫做積分區(qū)域，叫做積分和。

>在二重積分的定義中對閉區(qū)域D>的劃分是任意的，如果在直角坐標系中用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分D>，那末除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外，其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域。設(shè)矩形閉區(qū)域D s i>的邊長為D xj>和D yk>，則D s = D xj>·D yk>。因此在直角坐標系中，有時也把面積元素ds >記作dxdy>，而把二重積分記作 >

>其中dxdy>叫做直角坐標系中的面積元素。

>這里我們要指出，當f>（x>，y>）在閉區(qū)域D>上連續(xù)時，（*>）式右端的和的極限必定存在，也就是說，函數(shù)f>（x>，y>）在D>上的二重積分必定存在。> 9.1.2 二重積分的性質(zhì)

二重積分與定積分有類似的性質(zhì)：

>性質(zhì)1 >被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到二重積分號的外面，即 > >（k>為常數(shù)）。

>性質(zhì)2 >函數(shù)的和（或差）的二重積分等于各個函數(shù)的二重積分的和（或差）。例如 >。

>性質(zhì)3 >如果閉區(qū)域D>被有限條曲線分為有限個部分閉區(qū)域，則在D>上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和。例如D>分為兩個閉區(qū)域D1>與 D2>，則 >。

此性質(zhì)表示二重積分對于積分區(qū)域具有可加性。

>性質(zhì)4 >如果在D>上，f>（x>，y>）= 1>，s 為D>的面積，則 >。

>此性質(zhì)的幾何意義很明顯，因為高為1>的平頂柱體的體積在數(shù)值上就等于柱體的底面積。>性質(zhì)5 >如果在D>上，f>（x>，y>）≤ j >（x>，y>），則有不等式 >。

特殊地，由于

>-| f>（x>，y>）| >≤ f>（x>，y>）≤ | f>（x>，y>）|>，> 又有不等式。

>性質(zhì)6 >設(shè)M>，m>分別是f>（x>，y>）在閉區(qū)域D>上的最大值和最小值，s 是D>的面積，則有 >。

上述不等式是對二重積分估值的不等式。

>性質(zhì)7>（二重積分的中值定理）>設(shè)函數(shù)f>（x>，y>）在閉區(qū)域D>上連續(xù)，s 是D>的面積，則在D>上至少存在一點（x，h）使得下式成立： >。

第二節(jié) 二重積分的計算法（直角坐標，極坐標）

按照二重積分的定義來計算二重積分，對少數(shù)特別簡單的被積函數(shù)和積分區(qū)域來說是可行的，但對一般的函數(shù)和積分區(qū)域來說，這不是一種切實可行的方法。這里介紹一種方法，把二重積分化為兩次單積分（即兩次定積分）來計算。9.2.1 利用直角坐標計算二重積分

下面用幾何的觀點來討論二重積分的計算問題。

在討論中我們假定f（x，y）≥ 0。并設(shè)積分區(qū)域D可以用不等式 j 1（x）≤ y ≤ j 2（x），a≤x≤b

來表示，其中函數(shù)j 1（x）、j 2（x）在區(qū)間 [a，b] 上連續(xù)。

我們應(yīng)用“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法，來計算這個曲頂柱體的體積。為計算截面面積，在區(qū)間 [a，b] 上任意取定一點x0，作平行于yOz面的平面x=x0。這平面截曲頂柱體所得截面是一個以區(qū)間 [j 1（x0），j 2（x0）] 為底、曲線z = f（x0，y）為曲邊的曲邊梯形，所以這截面的面積為。

一般的，過區(qū)間 [a，b] 上任一點x且平行于yOz面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為，于是，得曲頂柱體的體積為。

這個體積也就是所求二重積分的值，從而有等式

。（1）

上式右端的積分叫做先對y、后對x的二次積分。就是說，先把x看作常數(shù)，把f（x，y）只看作y的函數(shù)，并對y計算從j 1（x）到j(luò) 2（x）的定積分；然后把算得的結(jié)果（是x的函數(shù)）再對x計算在區(qū)間 [a，b] 上的定積分。這個先對y、后對x的二次積分也常記作。

因此，等式（1）也寫成，（1’）

在上述討論中，我們假定f（x，y）≥ 0，但實際上公式（1）的成立并不受此條件限制。類似地，如果積分區(qū)域D可以用不等式 ψ1（y）≤ x ≤ ψ2（y），c≤y≤d

來表示，其中函數(shù)ψ1（y）、ψ2（y）在區(qū)間 [c，d] 上連續(xù)，那末就有。

上式右端的積分叫做先對x、后對y的二次積分，這個積分也常記作。

因此，等式（2）也寫成，（2’）

這就是把二重積分化為先對x、后對y的二次積分的公式。

我們稱圖9-2-1所示的積分區(qū)域為X-型區(qū)域，圖9-2-3所示的積分區(qū)域為Y-型區(qū)域。對不同的區(qū)域，可以應(yīng)用不同的公式。如果積分區(qū)域D既不是X-型的，也不是Y-型的，我們可以把D分成幾個部分，使每個部分是X-型區(qū)域或是Y-型區(qū)域。如果積分區(qū)域D既是X-型的，又是Y-型的，則由公式（1’）及（2’）就得。

上式表明，這兩個不同次序的二次積分相等，因為它們都等于同一個二重積分。

二重積分化為二次積分時，確定積分限是一個關(guān)鍵。而積分限是根據(jù)積分區(qū)域D的類型來確定的。

例1 計算，其中D是由直線y =

1、x = 2及y = x所圍成的閉區(qū)域。

解法1 首先畫出積分區(qū)域D。D是X-型的，D上的點的橫坐標的變動范圍是區(qū)間[1，2]。在區(qū)間[1，2]上任意取定一個x值，則D上以這個x值為橫坐標的點在一段直線上，這段直線平行于y軸，該線段上點的縱坐標從y = 1變到y(tǒng) = x。利用公式（1）得。

解法2 把積分區(qū)域D看成是Y-型的。同學們可作為練習，驗證解出的答案是否與解法1的相一致。

對于較復(fù)雜的積分區(qū)域，在化二重積分為二次積分時，為了計算簡便，需要選擇恰當?shù)亩畏e分的次序。這時，既要考慮積分區(qū)域D的形狀，又要考慮被積函數(shù)f（x，y）的特性。例2 求量各底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體的體積。解 設(shè)這兩個圓柱面的方程分別為 x + y = R及x + z = R

利用立體關(guān)于坐標平面的對稱性，只要算出它在第一卦限部分的體積V1，然后再乘以9就行了。

所求立體在第一卦限部分可以看成是一個曲頂柱體，它的底為 2222

22，如圖9-2-5（b）所示。它的頂是柱面。于是。

利用公式（1）得

從而所求立體體積為。

9.2.2 利用極坐標計算二重積分

有些二重積分，積分區(qū)域D的邊界曲線用極坐標方程來表示比較方便，且被積函數(shù)用極坐標變量r，θ比較簡單。這時，我們就可以考慮利用極坐標來計算二重積分按二重積分的定義有

。，下面將推導出這個和的極限在極坐標系中的形式。

假定從極點O出發(fā)且穿過閉區(qū)域D內(nèi)部的射線與D的邊界曲線相交不多于兩點。我們用以極點為中心的一族同心圓：r=常數(shù)，以及從極點出發(fā)的一族射線：θ=常數(shù)，把D分成n個小閉區(qū)域。除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外，小閉區(qū)域的面積D s i可計算如下：

其中表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值。在這小閉區(qū)域內(nèi)取圓周點的直角坐標設(shè)為x i，h i，則由直角坐標與極坐標之間的關(guān)系有

。于是

上的一點，該，即。

由于在直角坐標系中也常記作，所以上式又可寫成

。（4）

這就是二重積分的變量從直角坐標變換為極坐標的變換公式，其中rdrdθ就是極坐標系中的面積元素。公式（4）表明，要把二重積分中的變量從直角坐標變換為極坐標，只要把被積函數(shù)中的x、y分別換成rcosθ、rsinθ，并把直角坐標系中的面積元素dxdy換成極坐標系中的面積元素rdrdθ。

極坐標系中的二重積分，同樣可以化為二次積分來計算。，二重積分化為二次積分的公式為

。（5）

上式也寫成

。（5'）

特別地，如果積分區(qū)域D是所示的曲邊扇形，那末相當于圖9-2-7（a）中φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。這時閉區(qū)域D可以用不等式 0≤r≤φ（θ），α≤θ≤β 來表示，而公式（5'）成為。

如果積分區(qū)域D如圖）所示，極點在D的內(nèi)部，那末相當于圖9-2-9中α= 0、β= 2π。這時閉區(qū)域D可以用不等式 0≤r≤φ（θ），0≤θ≤2π 來表示，而公式（5'）成為。

由二重積分的性質(zhì)4，閉區(qū)域D的面積s 可以表示為。

在極坐標系中，面積元素ds = rdrdθ，上式成為。

如果閉區(qū)域D如圖9-2-7（a）所示，這由公式（5'）有。

特別地，如果閉區(qū)域D如圖9-2-9所示，則φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。于是。

例3 計算，其中D是由中心在原點、半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域。

解 在極坐標系中，閉區(qū)域D可表示為 0≤r≤a，0≤θ≤2π。由公式（4）及（5）有

例4 求球體x+y+z≤4a圓柱面x+y=2ax（a>0）所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積。解 由對稱性，22

222

2，其中D為半圓周式

及x軸所圍成的閉區(qū)域。在極坐標系中，閉區(qū)域D可用不等0≤r≤2acos（θ），0≤θ≤π/2 來表示。于是。

第三節(jié) 二重積分的應(yīng)用實例

在二重積分的應(yīng)用中，由許多求總量的問題可以用定積分的元素法來處理。如果所要計算的某個量對于閉區(qū)域D具有可加性（就是說，當閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和），并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域dσ時，相應(yīng)的部分量可近似地表示為f（x，y）dσ的形式，其中（x，y）在dσ內(nèi)。這個f（x，y）dσ稱為所求量U的元素而記作dU，以它為被積表達式，在閉區(qū)域D上積分：，這就是所求量的積分表達式。9.3.1 曲面的面積 設(shè)曲面S由方程 z = f（x，y）

給出，D為曲面S在xOy面上的投影區(qū)域，函數(shù)f（x，y）在D上具有連續(xù)偏導數(shù)fx（x，y）和fy（x，y）。我們要計算曲面S的面積A。

在閉區(qū)域D上任取一直徑很小的閉區(qū)域dσ（這小閉區(qū)域的面積也記作dσ）。在dσ上取一點P（x，y），對應(yīng)地曲面S上有一點M（x，y，f（x，y）），點M在xOy面上的投影即點P。點M處曲面S的切平面設(shè)為T。以小閉區(qū)域dσ的邊界為準線作母線平行于z軸的柱面，這柱面在曲面S上截下一小片曲面，在切平面T上截下一小片平面。由于dσ的直徑很小，切平面T上的那一小片平面的面積dA可以近似代替相應(yīng)的那一小片面積的面積。設(shè)點M處曲面S上的法線（指向朝上）于z軸所成的角為γ，則

。因為，所以。

這就是曲面S的面積元素，以它為被積表達式在閉區(qū)域D上積分，得。

上式也可寫為這就是計算曲面面積的公式。

設(shè)曲面的方程為x=g（x，y）或y=h（z，x），可分別把曲面投影到xOy面上（投影區(qū)域記作Dyz）或zOx面上（投影區(qū)域記作Dzx），類似地可得，或例1 求半徑為a的球的表面積。

解：取上半球面的方程為x+y≤a。222，則它在xOy面上的投影區(qū)域D可表示為由，得。因為這函數(shù)在閉區(qū)域D上無界，我們不能直接應(yīng)用曲面面積公式。所以先取區(qū)域D1：x+y≤b（0

222，利用極坐標，得

于是。

這就是半個球面的面積，因此整個球面的面積為

A = 4πa2。

9.3.2平面薄片的重心

設(shè)有一平面薄片，占有xOy面上的閉區(qū)域D，在點（x，y）處的面密度ρ（x，y），假定ρ（x，y）在D上連續(xù)。現(xiàn)在要找該薄片的重心的坐標。

在閉區(qū)域D上任取一直徑很小的閉區(qū)域dσ（這小閉區(qū)域的面積也記作dσ），（x，y）是這小閉區(qū)域上的一個點。由于dσ的直徑很小，且ρ（x，y）在D上連續(xù)，所以薄片中相應(yīng)于dσ的部分的質(zhì)量近似等于ρ（x，y）dσ，這部分質(zhì)量可近似看作集中在點（x，y）上，于是可寫出靜矩元素dMy及dMx：

dMy = xρ（x，y）dσ，dMx =yρ（x，y）dσ。以這些元素為被積表達式，在閉區(qū)域D上積分，便得。

又由第一節(jié)知道，薄片的質(zhì)量為。

所以，薄片的重心的坐標為。

如果薄片是均勻的，即面密度為常量，則上式中可把ρ提到積分記號外面并從分子、分母中約去，這樣便得均勻薄片重心的坐標為

（1）

其中為閉區(qū)域D的面積。這時薄片的重心完全由閉區(qū)域D的形狀所決定。我們把均勻平面薄片的重心叫做這平面薄片所占的平面圖形的形心。因此，平面圖形D的形心，就可用公式（1）計算。

例2 求位于兩圓r = 2sinθ和r = 4sinθ之間的均勻薄片的重心

解 因為閉區(qū)域D對稱于y軸，所以重心再按公式

必位于y軸上，于是。

計算。由于閉區(qū)域D位于半徑為1與半徑為2的兩圓之間，所以它的面積等于這兩個圓的面積之差，即A = 3π。再利用極坐標計算積分：。

因此，所求重心是C（0，7/3）。

三、平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量

設(shè)有一薄片，占有xOy面上的閉區(qū)域D，在點（x，y）處的面密度ρ（x，y），假定ρ（x，y）在D上連續(xù)。現(xiàn)在要求該薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量Ix以及對于y軸的轉(zhuǎn)動慣量Iy。應(yīng)用元素法，在閉區(qū)域D上任取一直徑很小的閉區(qū)域dσ（這小閉區(qū)域的面積也記作dσ），（x，y）是這小閉區(qū)域上的一個點。由于dσ的直徑很小，且ρ（x，y）在D上連續(xù)，所以薄片中相應(yīng)于dσ的部分的質(zhì)量近似等于ρ（x，y）dσ，這部分質(zhì)量可近似看作集中在點（x，y）上，于是可寫出薄片對于x軸以及對于y軸的轉(zhuǎn)動慣量元素： dIx = yρ（x，y）dσ,dIy = xρ（x，y）dσ。以這些元素為被積表達式，在閉區(qū)域D上積分，便得

22。

例3 求半徑為a的均勻半圓薄片（面密度為常量ρ）對于其直徑邊的轉(zhuǎn)動慣量。解：取坐標系如圖所示，則薄片所占閉區(qū)域D可表示為 x+y≤a，y≥0；

而所求轉(zhuǎn)動慣量即半圓薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量Ix。222

其中 為半圓薄片的質(zhì)量。

第四節(jié) 利用柱面坐標和球面坐標計算三重積分

與二重積分的計算類似，三重積分有時也要利用柱面坐標或球面坐標來進行計算。9.4.1 利用柱面坐標計算三重積分

設(shè)M（x，y，z）為空間內(nèi)一點，并設(shè)點M在xOy面上的投影P的極坐標為r，θ，則這樣的三個數(shù)r，θ，z就叫做點M的柱面坐標，這里規(guī)定r、θ、z的變化范圍為： 0 ≤ r < +∞, 0 ≤θ≤ 2π,-∞ < z < +∞。三組坐標面分別為

r = 常數(shù)，即以z軸為軸的圓柱面； θ=常數(shù)，即過z軸的半平面； z = 常數(shù)，即與xOy面平行的平面。顯然，點M的直角坐標與柱面坐標的關(guān)系為

（1）

現(xiàn)在要把三重積分中的變量變換為柱面坐標。為此，用三組坐標面r = 常數(shù)，θ=常數(shù)，z = 常數(shù)把Ω分成許多小閉區(qū)域，除了含Ω的邊界的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外，這種小閉區(qū)域都是柱體?？紤]由r，θ，z各取得微小增量dr，dθ，dz所成的柱體的體積。柱體的高為dz、底面積在不計高階無窮小時為r dr dθ（即極坐標系中的面積元素），于是得

dv = r dr dθdz，這就是柱面坐標中的體積元素。再注意到關(guān)系式（1），就有

（2）

其中F（r，θ，z）= f（r cosθ，r sinθ，z）。（2）式就是把三重積分的變量從直角坐標變換為柱面坐標的公式。至于變量變換為柱面坐標后的三重積分的計算，則可化為三次積分來進行?；癁槿畏e分時，積分限是根據(jù)r，θ，z在積分區(qū)域Ω中的變化范圍來確定的，下面通過例子來說明。例1 利用柱面坐標計算三重積分圍成的閉區(qū)域。，其中Ω是由曲面z = x+y與平面z = 4所

22解 把閉區(qū)域Ω投影到xOy面上，得半徑為2的圓形閉區(qū)域D：0≤r≤2，0≤θ≤2π。在D22內(nèi)任取一點（r，θ），過此點作平行于z軸的直線，此直線通過曲面z = x+y穿入Ω內(nèi)，然后通過平面z = 4穿出Ω外。因此閉區(qū)域Ω可用不等式 r2≤z≤4，0≤r≤2，0≤θ≤2π 來表示。于是

9.4.2 利用球面坐標計算三重積分

設(shè)M（x，y，z）為空間內(nèi)一點，則點M也可用這樣三個有次序的數(shù)r，φ，θ來確定，其中r為原點O與點M間的距離，φ為有向線段看自x軸按逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線段

與z軸正向所夾的角，θ為從正z軸來的角，這里P為點M在xOy面上的投影。這樣的三個數(shù)r，φ，θ叫做點M的球面坐標，這里r，φ，θ的變化范圍為 0 ≤ r < +∞, 0 ≤φ≤ π, 0 ≤θ≤ 2π.r = 常數(shù)，即以原點為心的球面；

φ= 常數(shù)，即以原點為頂點、z軸為軸的圓錐面； θ = 常數(shù)，即過z軸的半平面。點M的直角坐標與球面坐標的關(guān)系為

（3）

為了把三重積分中的變量從直角坐標變換為球面坐標，用三組坐標面r = 常數(shù)，φ=常數(shù)，θ= 常數(shù)把積分區(qū)域Ω分成許多小閉區(qū)域。考慮由r，φ，θ各取得微小增量dr，dφ，dθ所成的六面體的體積。不計高階無窮小，可把這個六面體看作長方體，其經(jīng)線方向的長為rdφ，緯線方向的寬為r sinφdθ，向徑方向的高為dr，于是得 dv = r sinφdrdφdθ，這就是球面坐標系中的體積元素。再注意到關(guān)系式（3），就有 2,（4）

其中F（r，φ，θ）= f（r sinφcosθ，r sinφsinθ，r cosφ）。（4）式就是把三重積分的變量從直角坐標變換為球面坐標的公式。

要計算變量變換為球面坐標后的三重積分，可把它化為對r對φ及對θ的三次積分。若積分區(qū)域Ω的邊界曲面是一個包圍原點在內(nèi)的閉曲面，其球面坐標方程為r = r（φ，θ），則。

當積分區(qū)域Ω為球面r = a所圍成時，則。

特別地，當F（r，φ，θ）= 1時，由上式即得球的體積，這是我們所熟知的。

例2 求半徑為a的球面與半頂角為α的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積。解 設(shè)球面通過原點O，球心在z軸上，又內(nèi)接錐面的頂點在原點O，其軸與z軸重合，則球面方程為r = 2acosφ，錐面方程為φ=α。因為立體所占有的空間閉區(qū)域Ω可用不等式 0≤r≤2acosφ, 0≤φ≤α, 0≤θ≤2π 來表示，所以

在三重積分的應(yīng)用中也可采用元素法。

設(shè)物體占有空間閉區(qū)域Ω，在點（x，y，z）處的密度為ρ（x，y，z），假定這函數(shù)在Ω上連續(xù)，求該物體的重心的坐標和轉(zhuǎn)動慣量。與第三節(jié)中關(guān)于平面薄片的這類問題一樣，應(yīng)用元素法可寫出

等，其中為物體的質(zhì)量。

例3 求均勻半球體的重心。

解 取半球體的對稱軸為z軸，原點取在球心上，又設(shè)球半徑為a，則半球體所占空間閉區(qū)域Ω可用不等式 x+y+z≤a，z≥0 來表示。2222顯然，重心在z軸上，故。，其中為半球體的體積。

因此，重心為。

第二篇：高等數(shù)學積分總結(jié)[推薦]

?問題引例：曲邊梯形的面積、變速直線運動的路程?n?積分定義：bf?x?dx?lim?f????xii?a??0?i?1?b?計算方法:?f?x?dx?F?b??F?a?a??一元定積分?幾何意義:連續(xù)曲線與x軸所圍曲邊梯形面積的代數(shù)和?物理意義：變力沿直線做功??應(yīng)用?幾何?：平面圖形的面積?直角坐標、極坐標?、體積?已知平行截面、旋轉(zhuǎn)體體積??平面曲線的弧長?直角坐標、極坐標、參數(shù)方程?、旋轉(zhuǎn)曲面的面積????應(yīng)用?物理?：水壓力、質(zhì)量與引力、邊際成本

一元不定積分：解決定積分的計算問題，將積分問題與求導問題聯(lián)系起來

?問題引例：曲頂柱體的體積、平面薄片的質(zhì)量?n?積分定義：f?x,y?d??lim?f??,????iii????0?i?1D??計算方法:關(guān)鍵問題是定限，在直角坐標下d?=dxdy，在極坐標下d?=rdrd??二重積分?幾何意義:以D為底，f?x,y?為曲頂柱體的體積的代數(shù)和??物理意義：?應(yīng)用?幾何?：求平面圖形的面積d????D??應(yīng)用?物理???問題引例：四維空間中曲頂柱體的體積問題?n?積分定義：f?x,y,z?dv?lim?f??,?,???viiii?????0?i?1???計算方法:直角坐標 dv=dxdydz?柱面坐標x?rcos?,y?rsin?,z?z,dv=rdrd?dz??三重積分?球面坐標x?rsin?cos?,y?rsin?sin?,z?rcos?,dv=r2sin?drd?d??定限的方法參考二重積分 ??幾何意義、物理意義??應(yīng)用?幾何???應(yīng)用?物理???

?問題引例：曲線形構(gòu)件的質(zhì)量?nn?積分定義：f?x,y?ds?lim?f??,???s,f?x,y,z?ds?lim?f??,?,???siii?iiii???0??0?i?1i?1LL??計算方法:用路徑函數(shù)L化簡f?x,y?,化為一元定積分?弧長元素ds=dx2?dy2??2?ds=1+??y'?x???dx?對弧長的曲線積分?2ds=1+?x'y??????dy?第一型曲線積分??22?ds=??t+?'t???????????dt?22?ds=r?+r'??????????????d???幾何意義、物理意義?應(yīng)用?幾何???應(yīng)用?物理???n?問題引例:曲面不均勻薄片的質(zhì)量?n?積分定義：f?x,y,z?dS?lim?f??,?,???Siiii????0?i?1??對面積的曲面積分?計算方法:

1、投影，2、代入，3、轉(zhuǎn)換22?第一型曲面積分??f?x,y,z?dS???f???x,y,z?x,y???1?zx?zydxdy????Dxy??應(yīng)用?幾何?：計算曲面面積?應(yīng)用物理???

????P??i,?i??xi?Q??i,?i??yi???問題引例：變力沿曲線作功W?lim??0i?1?nn??

1、定義：如果一階微分方程P?x,y?dx?Q?x,y?dy?0的左端恰好是某一個二元積分定義：Px,ydx?limP?,??x,Qx,ydy?limQ??i,?i??yi?ii?i?L?????L????0???0?i?1i?1??函數(shù)u的全微分，此時方程的通解為u=C,因此全微分方程的關(guān)鍵就是求u?積分的定義可推廣到空間的情況，并可簡寫成?P?x,y?dx?Q?x,y?dy?

2、求解方法：L對坐標的曲線積分????計算方法：本質(zhì)是將其化為一元定積分?用參數(shù)方程、將y化為x?'全微分方程?u?u???第二型曲線積分???①不定積分法：?P,u?Pdx??y,?Pdx??y??????Q???x?y???兩種曲線積分的關(guān)系：???②湊微分法???Pdx?Qdy????Pcos??Qcos??ds??③積分因子法：見筆記?Pdx?Qdy?Rdz???Pcos??Qcos??Rcos??ds???? ?其中cos?，cos?，cos?是曲線在一點的與有向曲線同向的切向量的方向余弦?? ?問題引例：曲面的側(cè)的定義?指明了曲面是有方向的??????曲面的投影，流體力學中流量問題?=??v?dS???n?積分定義：lim?P??i,?i,?i??Szy?Q??i,?i,?i??Sxz?R??i,?i,?i??Sxy????Pcos??Qcos??Rcos??dS??0?i?1?對坐標的曲面積分??n?limP??i,?i,?i??Szy?Q??i,?i,?i??Sxz?R??i,?i,?i??Sxy???Pdydz?Qdxdz?Rdxdy??第二型曲面積分????0i?1??第一式將定義以第一型曲面積分的形式給出；第二式是我們普遍用的第二型曲面積分??兩個式子反應(yīng)的是一個東西，也就闡明了兩類曲面積分的聯(lián)系??計算方法：投影、代入、轉(zhuǎn)換???應(yīng)用：流量的計算

???Q?P? ??格林定理：①曲線正向的定義；②???dxdy,L為D的取正向的邊界曲線?LPdx?Qdy????x?y?D? ???Q?P應(yīng)用格林公式應(yīng)注意：1?曲線L必須封閉；2?、在D內(nèi)每點具有一階連續(xù)偏導；3?L為正向曲線 ??x?y?

A?格林公式?曲線積分的路徑無關(guān)性：概念，積分值只與初始點的坐標有關(guān)?Pdx?Qdy B? ?四個等價命題：在一個單連通區(qū)域內(nèi)，函數(shù)P?x,y?、Q?x,y?在G內(nèi)有一階連續(xù)偏導? 則下面四個命題等價：???Q?P ①=；②Pdx?Qdy?0；③Pdx?Qdy與路徑無關(guān)；④存在函數(shù)ux,y,使du?Pdx?Qdy?????L??L ??x?y ?高斯公式：?是閉曲面?圍成的區(qū)域，函數(shù)P、Q、R在?上具有一階連續(xù)偏導，則???P?Q?R??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?++?dV?????????x?y?z????????P?Q?R?Pcos??Qcos??Rcos?dS?++?dV????????高斯公式?通量散度????x?y?z?????其中?是?的外側(cè)，cos?、cos?、cos?是點出法向量的方向余弦?????????P?Q?R?通量與散度：?=?A?dS,divA?++????x?y?z??

?斯托克斯公式：設(shè)?是以?為邊界的有向曲面，?的正向與?的側(cè)符合右手規(guī)則,P,Q,R具有一階連續(xù)偏導 ? ??R?Q???Q?P???P?R??Pdx?Qdy?Rdz??dydz??dzdx??dxdy????????L??? ?y?z?z?x?x?y???????????????斯托克斯公式?環(huán)流量與旋度?

?環(huán)流量與旋度：向量場A沿有向閉曲線?的曲線積分???A?ds稱為A沿?的環(huán)流量 ?????R?Q????P?R????Q?P???旋度：rotA= ?????i???k?j????y?z?z?x?x?y???????

積分應(yīng)用歸納幾何應(yīng)用：

1、求曲邊梯形的面積：用一元定積分可做

2、求曲頂柱體的體積：用二重積分可做，用三重積分可做

3、曲面的面積:??1dS???dS ?????柱面面積=f?x,y?ds——?牟合方蓋的表面積???Lfy,zds,fx,zds???????LL?該柱面以L為準線，母線平行于z軸，介于z?0與曲面z?f?x,y?之間的部分?

4、平面的面積：其實就是曲面面積的特殊情況，用一元定積分可做，用二重積分可做

物理應(yīng)用：

1、質(zhì)量??平面直線桿?一元定積分?????線狀質(zhì)量?線密度?長度??平面曲線桿?對弧長的曲線積分??這也就解釋了為什么對弧長的積分化為定積分??空間曲線桿被積函數(shù)為三元函數(shù)的對弧長的曲線積分????????平面面片?二重積分?面狀質(zhì)量?面密度?面積????空間面片?對曲面的面積積分?立體快質(zhì)量?體密度?體積??三重積分????解釋了為什么對曲面的面積積分化為二重積分???=f?P?;M??f?P?d??

2、質(zhì)心?物理重心——質(zhì)心——幾何中心——形心?概念解釋:物理重心——是在重力場中，物體處于任何方位時所有各組成質(zhì)點的重力的合力都通過的那一點。規(guī)則而密度均勻物體的重心就是它的幾何中心。質(zhì)心——質(zhì)量中心簡稱質(zhì)心，指物質(zhì)系統(tǒng)上被認為質(zhì)量集中于此的一個假想點。與重心不同的是，質(zhì)心不一定要在有重力場的系統(tǒng)中。值得注意的是，除非重力場是均勻的，否則同一物質(zhì)系統(tǒng)的質(zhì)心與重心不通常在同一假想點上。形心——面的形心就是截面圖形的幾何中心，質(zhì)心是針對實物體而言的,而形心是針對抽象幾何體而言的，對于密度均勻的實物體，質(zhì)心和形心重合。質(zhì)心的計算：?引入了靜力矩的概念?????x??x,y?d?y??x,y??薄片:x?D???x,y?d?,y???d?D??x,y?d?平面????D??D?x??x,y??dsy??x,曲線桿:x??L?y?ds??????x,y?ds,y?L??x,y?dsL?L3、轉(zhuǎn)動慣量：定義：I?Mr2Ix???y2??x,y?d?DIy???x2??x,y?d?DI0????x2?y2???x,y?d? D

??

?塊：x??x?dv,y??y?dv???dv??dv空間??面片:x??x?d?,y??y??d????d???d????曲桿:x??x?ds,y??y?ds????ds??ds

第三篇：重積分證明題

證明題（共 46 小題）

1、設(shè)函數(shù)f(x,y)和g(x,y)在有界閉域D上連續(xù)，證明

2、設(shè)函數(shù)f(x,y)和g(x,y)在D上連續(xù)，且f(x,y)≤g(x,y),(x,y)?D，利用二重積分定義證明：

3、設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉域D上連續(xù)，且M，m分別是f(x,y)在D上的最大值與最小值，證明：

其中σ是D的面積。

4、設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉域D上連續(xù)，證明：

5、設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉域D上連續(xù)，證明在D上必有點(ξ,η)使得

成立，其中σ是D的面積。

6、設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉域D上連續(xù)，且D可以分為兩個閉域D1和D2，證明

7、設(shè)D={(x,y)}｜a≤x≤b,－φ(x)≤y≤φ(x)},試證

其中φ(x)在[a,b]上連續(xù)，f(x),g(y)均在D上連續(xù)，且g(－y)=－g(y).8、設(shè)D={(x,y)｜a≤x≤b,－φ(x)≤y≤φ(x)},試證

[a,b]上連續(xù)，f(x,y)在D上連續(xù)且f(x,－y)=－f(x,y).9、設(shè)f(x,y)是連續(xù)函數(shù)，證明其中a,m為常數(shù)，且a>0.10、設(shè)f(u)為連續(xù)函數(shù)，試證

其中φ(x)在11、設(shè)f(x,y),g(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且g(x,y)≥0,證明：在D上必有點(ξ,η),使

成立。

12、設(shè)f(x,y)為區(qū)域D：上的連續(xù)函數(shù)，試證

13、利用二重積分的估值性質(zhì)，證明 線－x+y=1,x+y=1及ox軸所圍成的區(qū)域。

其中D是由直

14、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，證明 其中n>0.15、證明：

大于1的自然數(shù)。

16、設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，試用二重積分證明不等式：

17、設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，證明

18、設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，證明不等式

19、設(shè)p(x)是[a,b]上的非負連續(xù)函數(shù)，f(x),g(x)是[a,b]上的連續(xù)單增函數(shù)，證明

20、設(shè)f(x)是[0,1]上的連續(xù)正值函數(shù)，且f(x)單調(diào)減少，證明不等式：

其中n為

21、設(shè)f(x)是[0,1]上的連續(xù)單增函數(shù)，求證：

22、設(shè)f(u)是連續(xù)函數(shù)，證明

及x=－1所圍成的區(qū)域。

23、設(shè)f(t)為連續(xù)函數(shù)，證明

其中D是由y=x3,y=

124、設(shè)f(t)是連續(xù)函數(shù)，證明

其中A為正常數(shù)，其中a2+b2≠0.25、設(shè)f(t)是連續(xù)函數(shù)，證明

26、設(shè)f(x)在[0,a]上連續(xù)，證明

27、設(shè)f(x)是[a,b]上的連續(xù)正值函數(shù)，試證不等式：

其中D：a≤x≤b,a≤y≤b.28、設(shè)f(u)為可微函數(shù)，且f(0)=0,證明

29、設(shè)Ω為空間有界閉區(qū)域，f(x,y,z)在Ω上連續(xù)，若?(ξ,η,ζ)∈Ω使得任意閉區(qū)域D，D?Ω，都有f(x,y,z)dv=f(ξ,η,ζ)VD,VD為D的體積，試證f(x,y,z)在Ω上是常數(shù)。

30、錐面x2+y2－z2=0將閉區(qū)域x2+y2+z2≤2az(a>0)分割成兩部分，試證其兩部分體積的大小之比為3：1.31、設(shè)D1與D2分別是第一象限由

以及x2+y2≤a2(a>0)所確定的閉區(qū)域，試證：面積關(guān)系式

32、設(shè)Ω是由曲面(a1x+b1y+c1z)2+(a2x+b2y+c2z)2+(a3x+b3y+c3z)2=1所圍的有界閉區(qū)域，,f(x,y,z)在Ω上連續(xù)，試證：?(ξ，η，ζ)∈Ω滿足

.33、設(shè)Ω為單位球體x2+y2+z2≤1,試證可選擇適當?shù)淖鴺俗儞Q，使得

(a2+b2+c2=1)

34、設(shè)Ω是上半單位球體x2+y2=z2≤1,z≥0,f(x,y,z)在Ω上連續(xù)，試利用球面坐標積分方法證明?(ξ，η，ζ)∈Ω使得

222222???f(x,y,z)dv?f(?,?,?)(???)(?????)??.?

35、試證：對形狀為z=的增速與液面高度成正比。

36、設(shè)Ω為一半橢球體x2+y2+試證：

.(a;b>0)的容器，當其液面高度增速為常數(shù)時，其容積,z≥0.g(u)為一單調(diào)增函數(shù)。

37、試證：在平面薄片關(guān)于所有平行于oy軸的軸的轉(zhuǎn)動慣量中，對于穿過重心的軸所得的轉(zhuǎn)動慣量最小。

38、設(shè)Ω為由

≤1所確定的立體(0＜a≤b≤c)，其密度函數(shù)ρ=ρ(z)為關(guān)

[(x于z的偶函數(shù)。試證：對任意的(x0,y0,z0)∈Ω，關(guān)于(x0,y0,z0)的轉(zhuǎn)動慣量滿足I(x0,y0,z0)=－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2]ρ(z)dv≤I(0,0,c).39、體密度為ρ(x,y,z)的空間立體Ω關(guān)于(x0,y0,z0)的轉(zhuǎn)動慣量定義為：I(x0,y0,z0)=－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2]ρ(x,y,z)dv.試證：I(x0,y0,z0)≥,其中

[(x

是Ω的重心坐標。

40、設(shè)Ω為一有界閉區(qū)域，f(x,y,z)在Ω上連續(xù)。若對任意Ω1,Ω2

?Ω,其對應(yīng)體積為V1，V2，只要V1

。試證：f為正常數(shù)。

41、設(shè)f(z)在[－1,1]上有連續(xù)的導函數(shù)，試證：

42、設(shè)f(t)為一單調(diào)增函數(shù)，試證：

43、設(shè)f(u)為一單調(diào)增函數(shù)，試證：，其中

a2+b2+c3=1.44、設(shè)f(x,y,z)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，若對任意閉區(qū)域D1，D1

?

D都有，試證在 D上f(x,y,z)≤0.45、設(shè)Ω為區(qū)域x+y+z≤1,P0(x0,y0,z0)為Ω外的一點，試證：

22。

46、設(shè)f(x,y,z)在有界閉區(qū)域Ω上連續(xù)，若

f(x,y,z)dv=f(x0,y0,z0)·V,V為Ω的體積，試證：當f(x0,y0,z0)取到f(x,y,z)的最大值或最小值時f(x,y,z)在Ω必是一個常數(shù)。

第四篇：重積分總結(jié)

多重積分的方法總結(jié)

計算根據(jù)被積區(qū)域和被積函數(shù)的形式要選擇適當?shù)姆椒ㄌ幚?，這里主要是看被積區(qū)域的形式來選擇合適的坐標形式，并給區(qū)域一個相應(yīng)的表達，從而可以轉(zhuǎn)化多重積分為多次的積分形式．具體的一些作法在下面給出．

一．二重積分的計算

重積分的計算主要是化為多次的積分．這里首先要看被積區(qū)域的形式, 選擇合適的坐標系來進行處理．二重積分主要給出了直角坐標系和極坐標系的計算方法．我們都可以從以下幾個方面把握相應(yīng)的具體處理過程：1.被積區(qū)域在幾何直觀上的表現(xiàn)（直觀描述，易于把握）；2.被積分區(qū)域的集合表示（用于下一步確定多次積分的積分次序和相應(yīng)的積分限）；3.化重積分為多次積分．

1.在直角坐標下：(a)X-型區(qū)域

幾何直觀表現(xiàn)：用平行于y軸的直線穿過區(qū)域內(nèi)部，與邊界的交點最多兩個．從而可以由下面和上面交點位于的曲線確定兩個函數(shù)y?y1(x)和y?y2(x)；

被積區(qū)域的集合表示：D?{(x,y)a?x?b,y1(x)?y?y2(x)}； 二重積分化為二次積分：

??Df(x,y)dxdy??dx?aby2(x)y1(x)f(x,y)dy．

(b)Y-型區(qū)域

幾何直觀表現(xiàn)：用平行于x軸的直線穿過區(qū)域內(nèi)部，與邊界的交點最多兩個．從而可以由左右交點位于的曲線確定兩個函數(shù)x?x1(x)和x?x2(x)；

被積區(qū)域的集合表示：D?{(x,y)c?y?d,x1(x)?x?x2(x)}； 二重積分化為二次積分：

??f(x,y)dxdy??Ddcdx?x2(y)x1(y)f(x,y)dx．

2.在極坐標下：

幾何直觀表現(xiàn)：從極點出發(fā)引射線線穿過區(qū)域內(nèi)部，與邊界的交點最多兩個．從而可以由下面和上面交點位于的曲線確定兩個函數(shù)r?r1(?)和r?r2(?)（具體如圓域，扇形域和環(huán)域等）；

被積區(qū)域的集合表示：D?{(r,?)?1????2,r1(?)?r?r2(?)}，注意，如果極點在被積區(qū)域的內(nèi)部，則有特殊形式D?{(r,?)0???2?,0?r?r2(?)}； 直角坐標下的二重積分化為極坐標下的二重積分，并表示成相應(yīng)的二次積分：

??Df(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rdrd???d??D?2r2(?)?1r1(?)f(rcos?,rsin?)rdr．

注：具體處理題目時，首要要能夠選擇適當?shù)奶幚矸椒?，并能夠?qū)崿F(xiàn)不同積分次序及直角坐標和極坐標的轉(zhuǎn)化．

3.二重積分的換元法：

z?f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，設(shè)有變換

?x?x(u,v)T?,(u,v)?D? y?y(u,v)?將D?一一映射到D上，又x(u,v),y(u,v)關(guān)于u, v有一階連續(xù)的偏導數(shù)，且

J??(x,y)?0,(u,v)?D? ?(u,v)則有

??f(x,y)dxdy???f(x(u,v),y(u,v))Jdudv．

DD?

二．三重積分的計算

三重積分具體的處理過程類似于二重積分，也分為三個步驟來進行處理． 1.在直角坐標下：

空間區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)：用平行于z軸的直線穿過區(qū)域內(nèi)部，與邊界曲面的交點最多兩個．從而可以由下面和上面交點位于的曲面確定兩個函數(shù)z?z1(x,y)和z?z1(x,y)，并把區(qū)域投影到xoy面上從而確定(x,y)的范圍，記為Dxy；

被積區(qū)域的集合表示：V?{(x,y,z)(x,y)?Dxy,z1(x,y)?z?z2(x,y)}, 進一步地, Dxy可以表示成X－型區(qū)域或Y－型區(qū)域;三重積分化為三次積分：

???f(x,y,z)dV???dxdy?VDxybaz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（所謂“二套一”的形式）dy?z2(x,y)??dx?dy2(x)y1(x)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（Dxy為X－型）

??dy?cx2(y)x1(y)dx?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

（Dxy為Y－型）

注：類似于以上的處理方法，把空間區(qū)域投影到 yoz面或zox面又可把三重積分轉(zhuǎn)化成不同次序的三次積分．這時區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)，區(qū)域的集合表示，以及新的三次積分次序如何？可見，三重積分最多可以對應(yīng)六種積分次序．這里還有所謂一套二的處理方法，區(qū)域的直觀表現(xiàn)為：平行于xoy面的截面面積容易求得．作為被積函數(shù)最好與x，y無關(guān)，即可表示為為f(z)．則區(qū)域表示為：

V?{(x,y,z)c?z?d,(x,y)?Dz}, 其中Dz表示垂直于z軸的截面．此時，三重積分化為：

???f(x,y,z)dV??Vdcdz??f(z)dxdy

（所謂“一套二”的形式）

Dz

??f(z)SDzdz

cd其中SDz表示截面Dz的面積，它是關(guān)于z的函數(shù)．

2.在柱坐標下：

柱坐標與直角坐標的關(guān)系：

?x?rcos???y?rsin?,(0?r??,0???2?,???z???)?z?z?空間區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)：用平行于z軸的直線穿過區(qū)域內(nèi)部，與邊界曲面的交點最多兩個，從而可以由下面和上面交點位于的曲面確定兩個函數(shù)z?z1(x,y)和z?z1(x,y)．空間區(qū)域在xoy面上的投影區(qū)域易于用參數(shù)r和?表示范圍（具體如圓域，扇形域和環(huán)域等），并且z?z1(x,y)和z?z1(x,y)也易于進一步表示z成關(guān)于r,?較簡單的函數(shù)形式，比如x2?y2可以看成一個整體（具體如上、下表面為旋轉(zhuǎn)面的情形）；

被積區(qū)域的集合表示：

V?{(r,?)?1????2,r1(?)?r?r2(?),z1(r,?)?z?z2(r,?)}；

直角坐標下的三重積分化為極坐標下的三重積分，并表示成相應(yīng)的三次積分：

???f(x,y,z)dV????f(rcos?,rsin?,z)rdrd?dzVV??d???1?2r2(?)r1(?)rdr?z2(r,?)z1(r,?)f(rcos?,rsin?,z)dz．

3.在球坐標下：

球坐標與直角坐標的關(guān)系： ?x?rsin?cos???y?rsin?sin?,(0?r??,0???2?,0????)?z?cos??空間區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)：從原點出發(fā)引射線穿過區(qū)域內(nèi)部，與邊界曲面的交點最多兩個，從而可以由下面和上面交點位于的曲面確定兩個球坐標函數(shù)r?r1(r,?)和r?r2(r,?);（具體如球心在原點或z軸上的球形域）

被積區(qū)域的集合表示：

V?{(r,?,?)?1????2,?1????2,r1(?,?)?r?r2(?,?)}；

直角坐標下的三重積分化為極坐標下的三重積分，并表示成相應(yīng)的三次積分：

???Vf(x,y,z)dV????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?drd?d?

V=?2?0d??d??02??r2(?,?)r1(?,?)f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?dr．如球心在原點半徑為a的球形域下：

???Vf(x,y,z)dV??d??d??f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?dr．

000?a4.三重積分的換元法：

u?f(x,y,z)在閉區(qū)域V上連續(xù)，設(shè)有變換

?x?x(u,v,w)?T:?y?y(u,v,w),(u,v,w)?V? ?z?z(u,v,w)?將V?一一映射到V上，又x(u,v,w),y(u,v,w)和z(u,v,w)關(guān)于u, v和w有一階連續(xù)的偏導數(shù)，且

J??(x,y,z)?0,(u,v)?V?

?(u,v,w)則有

???f(x,y,z)dV????f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))Jdudvdw．

VV

三．重積分的幾何和物理應(yīng)用 1.幾何應(yīng)用

a)二重積分求平面區(qū)域面積；b)二重積分求曲頂柱體體積；c)三重積分求空間區(qū)域的體積；d)二重積分求空間曲面的面積．

求曲面的面積A，對應(yīng)著曲面方程為直角坐標系下的二元函數(shù)形式和參數(shù)方程形式分別有以下公式：

i)曲面方程 S:z?f(x,y),(x,y)?D

A???1?fx2?fy2dxdy

D?x?x(u,v)?ii)曲面參數(shù)方程S:?y?y(u,v),(u,v)?Duv

?z?z(u,v)?iA???(xui?yuj?zuk)?(xvi?yvj?zvk)dudv???xuDuvDuvjyuyvkzududv zvxv注：這里的公式都對函數(shù)有相應(yīng)的微分條件． 2.物理應(yīng)用

包括求質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量和引力等應(yīng)用，積分是研究物理問題的重要工具．建立物理量對應(yīng)的積分公式的一般方法是從基本的物理原理出發(fā)，找到所求量對應(yīng)的微元，也就是對應(yīng)積分的被積表達式了．

以上對多重積分的計算方法做了個小結(jié)，關(guān)鍵要在具體的情況下要找到對應(yīng)的適宜的處理方法．處理重積分計算時從幾何形式出發(fā)，則易于直觀把握．注意選擇適當?shù)淖鴺讼?，注意被積區(qū)域的表達，還要注意函數(shù)關(guān)于區(qū)域的對稱性．這種對稱性包括奇對稱和偶對稱，從而可以簡化計算過程．

第五篇：數(shù)學分析 重積分

《數(shù)學分析》教案

第二十一章 重積分

教學目的：1.理解并掌握二重積分的有關(guān)概念及可積條件，進而會計算二重積分；2.理解三重積分的概念，掌握三重積分的計算方法，并能應(yīng)用其解決有關(guān) 的數(shù)學、物理方面的計算問題；

教學重點難點：本章的重點是重積分的計算和格林公式；難點是化重積分為累次積分。

教學時數(shù)：22學時

§ 1 二重積分概念

一.矩形域上的二重積分 : 從曲頂柱體的體積引入.用直線網(wǎng)分割.定義 二重積分.例1 用定義計算二重積分

.用直線網(wǎng)

分割該正方形 , 在每個正方形上取其右上頂點為介點.解

.二.可積條件 : D

.大和與小和.Th 1 ，.《數(shù)學分析》教案

性質(zhì)6

.性質(zhì)7 中值定理.Th 若區(qū)域D 的邊界是由有限條連續(xù)曲線()組成 , 例3 去掉積分

在D上連續(xù) , 則

在D上可積.或

中的絕對值.§ 2 二重積分的計算

二.化二重積分為累次積分:

1.矩形域

上的二重積分:

用“ 體積為冪在勢上的積分”推導公式.2.簡單域上的二重積分: 簡推公式, 一般結(jié)果]P219Th9.例1 ，.解法一 P221例3 解法二 為三角形, 三個頂點為 ,.例2 ,.P221例2.例3 求底半徑為 的兩直交圓柱所圍立體的體積.P222例4.《數(shù)學分析》教案

解法一(直接計算積分)曲線AB的方程為

.方向為自然方向的反向.因此

.解法二(用Green公式)補上線段BO和OA(O為坐標原點), 成閉路.設(shè)所圍

區(qū)域為D, 注意到 D為反向, 以及, 有

.例2 計算積分 I =, 其中L為任一不包含原點的閉區(qū)域D的邊界(方向任意)P227例2 解 導數(shù))..（和

在D上有連續(xù)的偏,.于是, I =.二.曲線積分與路線無關(guān)性:

《數(shù)學分析》教案

;.例6 驗證式 P231例4

是恰當微分, 并求其原函數(shù).§ 4 二重積分的變量變換:（4時）

1.二重積分的變量變換公式: 設(shè)變換 的Jacobi , 則

, 其中 是在該變換的逆變換

下平面上的區(qū)域 在

平面上的象.由條件

一般先引出變換

.而 , 這里的逆變換是存在的., 由此求出變換

.例1 ,.P235 例1.註

當被積函數(shù)形如 區(qū)域為直線型時, 可試用線性變換 , 積分.《數(shù)學分析》教案

極坐標變換: ,.廣義極坐標變換: ,.例4.P240例3.例5(Viviani問題)求球體 被圓柱面

所割下立體的體積.P240例4.例6 應(yīng)用二重積分求廣義積分

.P241例5.例7 求橢球體

四.積分換序: 例8 連續(xù).對積分的體積.P241例6.換序..例9 連續(xù).對積分

換序..例10 計算積分

..§ 5 三重積分簡介

《數(shù)學分析》教案

例2 , :.解.法一(內(nèi)二外一), 其中 為橢圓域 , 即橢圓域, 其面積為.因此

.同理得 ,.因此.法二(內(nèi)一外二)上下對稱，為 的偶函數(shù)，1

《數(shù)學分析》教案

Th 21.13 P247.1.柱坐標: P248.例4 ，:

.P248例3 2.球坐標: P249.P 250例4.§ 6 重積分的應(yīng)用

一、曲面的面積

設(shè)曲面方程為

.有連續(xù)的一階偏導數(shù).推導曲面面積公式 , 或.例1 P253例1`.3-