第一篇：第六章 定積分的應(yīng)用(三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)教案)[范文模版]

高等數(shù)學(xué)教案

定積分的應(yīng)用

教學(xué)目的 第六章

定積分的應(yīng)用

1、理解元素法的基本思想；

2、掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積）。

3、掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些物理量（變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等）。教學(xué)重點(diǎn)：

1、計(jì)算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積。

2、計(jì)算變力所做的功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等。教學(xué)難點(diǎn)：

1、截面面積為已知的立體體積。

2、引力。

§6? 1 定積分的元素法

回憶曲邊梯形的面積?

設(shè)y?f(x)?0(x?[a? b])? 如果說積分?

A??af(x)dx

b是以[a? b]為底的曲邊梯形的面積? 則積分上限函數(shù)

A(x)??af(t)dt

x就是以[a? x]為底的曲邊梯形的面積? 而微分dA(x)?f(x)dx 表示點(diǎn)x處以dx為寬的小曲邊梯形面積的近似值?A?f(x)dx??f(x)dx稱為曲邊梯形的面積元素?

以[a? b]為底的曲邊梯形的面積A就是以面積元素f(x)dx為被積表達(dá)式? 以 [a? b]為積分區(qū)間的定積分?

A??af(x)dx ?

b

一般情況下? 為求某一量U? 先將此量分布在某一區(qū)間[a? b]上? 分布在[a? x]上的量用函數(shù)U(x)表示? 再求這一量的元素dU(x)? 設(shè)dU(x)?u(x)dx? 然后以u(píng)(x)dx為被積表達(dá)式? 以[a? b]為積分區(qū)間求定積分即得

U??af(x)dx?

b

用這一方法求一量的值的方法稱為微元法(或元素法)?

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定積分的應(yīng)用

§6? 2 定積分在幾何上的應(yīng)用

一、平面圖形的面積

1．直角坐標(biāo)情形

設(shè)平面圖形由上下兩條曲線y?f上(x)與y?f下(x)及左右兩條直線x?a與x?b所圍成? 則面積元素為[f上(x)? f下(x)]dx? 于是平面圖形的面積為

S??a[f上(x)?f下(x)]dx? ?

類似地??由左右兩條曲線x??左(y)與x??右(y)及上下兩條直線y?d與y?c所圍成設(shè)平面圖形的面積為?

S??c[?右(y)??左(y)]dy?

例1 計(jì)算拋物線y2?x、y?x2所圍成的圖形的面積??

解(1)畫圖??

(2)確定在x軸上的投影區(qū)間: [0? 1]??(3)確定上下曲線???f上(x)?x, f下(x)?x2?

(4)計(jì)算積分 db1??

S??(x?x)dx?[2x2?1x3]1?0033321

3例2 計(jì)算拋物線y2?2x與直線y?x?4所圍成的圖形的面積??

解(1)畫圖??

(2)確定在y軸上的投影區(qū)間: [?2? 4]??(3)確定左右曲線???左(y)?1y2, ?右(y)?y?4?

2(4)計(jì)算積分?4?18?

S???2(y?4?1y2)dy?[1y2?4y?1y3]426?222y 例3 求橢圓x2?2?1所圍成的圖形的面積?

ab 解 設(shè)整個(gè)橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍? 橢圓在第一象限部分在x 軸上的投影區(qū)間為[0? a]? 因?yàn)槊娣e元素為ydx?

所以 2S?4?0ydx? a橢圓的參數(shù)方程為: x?a cos t ? y?b sin t ?

于是

S?4?0ydx?4??bsintd(acost)

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定積分的應(yīng)用

??4ab??sintdt?2ab?02(1?cos2t)dt?2ab???ab??

2202?

2．極坐標(biāo)情形

曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素?

由曲線???(?)及射線? ??? ? ??圍成的圖形稱為曲邊扇形? 曲邊扇形的面積元素為 dS?1[?(?)]2d?? 2曲邊扇形的面積為

?S???1[?(?)]2d?? 2

例4.計(jì)算阿基米德螺線??a?(a >0)上相應(yīng)于?從0變到2? 的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積?

2?2??4a2?3?

解: S??01(a?)2d??1a2[1?3]02332

例5.計(jì)算心形線??a(1?cos?)(a>0)所圍成的圖形的面積?

?? 解: S?2?01[a(1?cos?]2d??a2?0(1?2cos??1cos2?)d?

22232

?a2[3??2sin??1sin2?]?0?a??

242

二、體 積

1．旋轉(zhuǎn)體的體積

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體? 這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸?

常見的旋轉(zhuǎn)體? 圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球體?

旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線y?f(x)、直線x?a、a?b 及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體?

設(shè)過區(qū)間[a? b]內(nèi)點(diǎn)x 且垂直于x軸的平面左側(cè)的旋轉(zhuǎn)體的體積為V(x)? 當(dāng)平面左右平移dx后? 體積的增量近似為?V??[f(x)]2dx ?

于是體積元素為

dV ? ?[f(x)]2dx ?

旋轉(zhuǎn)體的體積為

V??a?[f(x)]2dx?

例

1連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)P(h? r)的直線、直線x?h 及x 軸圍成一個(gè)直角三角形? 將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為h的圓錐體? 計(jì)算這圓錐體的體積?

解: 直角三角形斜邊的直線方程為y?rx?

h

所求圓錐體的體積為

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定積分的應(yīng)用

22hr?r?1?hr2?

V??0?(x)dx?2[1x3]0h3h32y2x 例2? 計(jì)算由橢圓2?2?1所成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積?

ab

解: 這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作是由半個(gè)橢圓 h

y?ba2?x2

a及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體? 體積元素為dV? ? y 2dx ?

于是所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為

22a2 V???b2(a2?x2)dx??b2[a2x?1x3]a?a??ab?

?a33aa

例3 計(jì)算由擺線x?a(t?sin t)? y?a(1?cos t)的一拱? 直線y?0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積?

解

所給圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為

Vx??0?y2dx???0a2(1?cost)2?a(1?cost)dt

??a3?0(1?3cost?3cos2t?cos3t)dt

?5? 2a 3?

所給圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積是兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體體積的差? 設(shè)曲線左半邊為x=x1(y)、右半邊為x=x2(y)? 則

22(y)dy??0?x1(y)dy

Vy??0?x22a2a2?2?a2?

???2?a2(t?sint)2?asintdt???0a2(t?sint)2?asintdt

???a3?0(t?sint)2sintdt?6? 3a 3 ?

2．平行截面面積為已知的立體的體積

設(shè)立體在x軸的投影區(qū)間為[a? b]? 過點(diǎn)x 且垂直于x軸的平面與立體相截? 截面面積為A(x)? 則體積元素為A(x)dx ? 立體的體積為

V??aA(x)dx?

例4 一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心? 并與底面交成角?? 計(jì)算這平面截圓柱所得立體的體積?

解? 取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸? 底面上過圓中心、且垂直于x軸的直線為y軸? 那么底圓的方程為x 2 ?y 2?R 2? 立體中過點(diǎn)x且垂直于x軸的截面是一個(gè)直角三角形? 兩個(gè)直角邊分別為R2?x2及R2?x2tan?? 因而截面積為

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定積分的應(yīng)用

A(x)?1(R2?x2)tan?? 于是所求的立體體積為

2RR2R3tan??

V???R1(R2?x2)tan?dx?1tan?[R2x?1x3]?R?223

3例5? 求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積?

解: 取底圓所在的平面為x O y平面? 圓心為原點(diǎn)? 并使x軸與正劈錐的頂平行? 底圓的方程為x 2 ?y 2?R 2? 過x軸上的點(diǎn)x(?R

A(x)?h?y?hR2?x2?

于是所求正劈錐體的體積為

V???RhR2?x2dx?2R2h?2co2s?d??1?R2h??

02R?

三、平面曲線的弧長

設(shè)A? B 是曲線弧上的兩個(gè)端點(diǎn)? 在弧AB上任取分點(diǎn)A?M0? M1? M2? ? ? ? ? Mi?1? Mi? ? ? ?? Mn?1? Mn?B ? 并依次連接相鄰的分點(diǎn)得一內(nèi)接折線? 當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無限增加且每個(gè)小段Mi?1Mi都縮向一點(diǎn)時(shí)? 如果此折線的長?|Mi?1Mi|的極限存在? 則稱此極限為曲線弧AB的弧長? 并稱此曲線i?1n弧AB是可求長的?

定理

光滑曲線弧是可求長的?

1．直角坐標(biāo)情形

設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程

y?f(x)(a?x?b)給出? 其中f(x)在區(qū)間[a? b]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 現(xiàn)在來計(jì)算這曲線弧的長度?

取橫坐標(biāo)x為積分變量? 它的變化區(qū)間為[a? b]? 曲線y?f(x)上相應(yīng)于[a? b]上任一小區(qū)間[x? x?dx]的一段弧的長度? 可以用該曲線在點(diǎn)(x? f(x))處的切線上相應(yīng)的一小段的長度來近似代替? 而切線上這相應(yīng)的小段的長度為

(dx)2?(dy)2?1?y?2dx?

從而得弧長元素(即弧微分)

ds?1?y?2dx?

以1?y?2dx為被積表達(dá)式? 在閉區(qū)間[a? b]上作定積分? 便得所求的弧長為

s??a1?y?2dx?

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在曲率一節(jié)中? 我們已經(jīng)知道弧微分的表達(dá)式為ds?1?y?2dx??這也就是弧長元素??因此

例1? 計(jì)算曲線y?2x2上相應(yīng)于x從a到b的一段弧的長度?

3解? y??x2? 從而弧長元素 13ds?1?y?2dx?1?xdx?

因此? 所求弧長為

s??ab2221?xdx?[2(1?x)2]ba?[(1?b)?(1?a)]?

3333

3例2? 計(jì)算懸鏈線y?cchx上介于x??b與x?b之間一段弧的長度?

c

解? y??shx? 從而弧長元素為

cds?1?sh2xdx?chxdx?

cc因此? 所求弧長為

bbb?

s???bchxdx?2?0chxdx?2c[shxdx]b0?2cshcccc

2．參數(shù)方程情形

設(shè)曲線弧由參數(shù)方程x??(t)、y??(t)(??t??)給出? 其中?(t)、?(t)在[?? ?]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)?

dy??(t)因?yàn)? dx???(t)d t ? 所以弧長元素為 ?dx??(t)??2(t)ds?1?2??(t)dt???2(t)???2(t)dt?

??(t)所求弧長為

s?????2(t)???2(t)dt?

?

例3? 計(jì)算擺線x?a(??sin?)? y?a(1?cos?)的一拱(0 ?? ?2?)的長度??

解? 弧長元素為

?ds?a2(1?cos?)2?a2sin2?d??a2(1?cos?)d??2asind??

2所求弧長為

2?s??02asin?d??2a[?2cos?]0?8a?

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3．極坐標(biāo)情形

設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程

???(?)(? ? ? ? ?)給出? 其中r(?)在[?? ?]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可得

x??(?)cos???

y??(?)sin?(? ?? ? ?)? 于是得弧長元素為

ds?x?2(?)?y?2(?)d???2(?)???2(?)d??

從而所求弧長為

s?????2(?)???2(?)d??

例4?

求阿基米德螺線??a?(a>0)相應(yīng)于? 從0到2? 一段的弧長?

解?

弧長元素為

ds?a2?2?a2d??a1??2d??

于是所求弧長為

2?s??0a1??2d??a[2?1?4?2?ln(2??1?4?2)]?

作業(yè)：P284：2（2）（4），3，4，5（1），10，12，15（2），18，22，23，29，30

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§6? 3 功

水壓力和引力

一、變力沿直線所作的功

例

1把一個(gè)帶?q電量的點(diǎn)電荷放在r軸上坐標(biāo)原點(diǎn)O處? 它產(chǎn)生一個(gè)電場? 這個(gè)電場對(duì)周圍的電荷有作用力? 由物理學(xué)知道? 如果有一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電場中距離原點(diǎn)O為r的地方? 那么電場對(duì)它的作用力的大小為

F?kq(k是常數(shù))?

r2當(dāng)這個(gè)單位正電荷在電場中從r?a處沿r軸移動(dòng)到r?b(a

解: 在r軸上? 當(dāng)單位正電荷從r移動(dòng)到r+dr時(shí)?

電場力對(duì)它所作的功近似為k即功元素為dW?k于是所求的功為 qdr?

r2qdr?

r2bkq2W??a11dr?kq[?1]ba?kq(?)?

rabr

例2?

在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體? 在等溫條件下? 由于氣體的膨脹?

把容器中的一個(gè)活塞(面積為S)從點(diǎn)a處推移到點(diǎn)b處? 計(jì)算在移動(dòng)過程中? 氣體壓力所作的功?

解? 取坐標(biāo)系如圖? 活塞的位置可以用坐標(biāo)x來表示? 由物理學(xué)知道? 一定量的氣體在等溫條件下? 壓強(qiáng)p與體積V的乘積是常數(shù)k ? 即

pV?k 或p?k?

V

在點(diǎn)x處? 因?yàn)閂?xS? 所以作在活塞上的力為

F?p?S?k?S?k?

xSx當(dāng)活塞從x移動(dòng)到x?dx時(shí)? 變力所作的功近似為kdx? x即功元素為dW?kdx?

x于是所求的功為

bbW??akdx?k[lnx]ba?kln?

xa

例3? 一圓柱形的貯水桶高為5m? 底圓半徑為3m? 桶內(nèi)盛滿了水? 試問要把桶內(nèi)的水全部吸出需作多少功？

解? 作x軸如圖? 取深度x 為積分變量? 它的變化區(qū)間為[0? 5]? 相應(yīng)于[0? 5]上任小區(qū)間[x? x?dx]的一薄層水的高度為dx? 水的比重為9?8kN/m3? 因此如x的單位為m? 這薄層水的重力為9?8??32dx? 這薄層水吸出桶外需作的功近似地為

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dW?88?2??x?dx?

此即功元素? 于是所求的功為

225(kj)?

xW??088.2?xdx?88.2?[]50?88.2??22

5二、水壓力

從物理學(xué)知道? 在水深為h處的壓強(qiáng)為p??h ? 這里 ? 是水的比重? 如果有一面積為A 的平板水平地放置在水深為h處? 那么?平板一側(cè)所受的水壓力為

P?p?A?

如果這個(gè)平板鉛直放置在水中? 那么? 由于水深不同的點(diǎn)處壓強(qiáng)p不相等? 所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計(jì)算?

例4? 一個(gè)橫放著的圓柱形水桶? 桶內(nèi)盛有半桶水? 設(shè)桶的底半徑為R? 水的比重為 ? ?

計(jì)算桶的一個(gè)端面上所受的壓力?

解? 桶的一個(gè)端面是圓片? 與水接觸的是下半圓? 取坐標(biāo)系如圖?

在水深x處于圓片上取一窄條? 其寬為dx ? 得壓力元素為

dP?2?xR2?x2dx?

所求壓力為

P??02 ? xR?xdx????(R03R?2rR3?

???[2(R2?x2)2]033R22R2122?x)d(R2?x2)

三、引力

從物理學(xué)知道? 質(zhì)量分別為m

1、m 2? 相距為r的兩質(zhì)點(diǎn)間的引力的大小為

F?Gm1m2?

r2其中G為引力系數(shù)? 引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)連線方向?

如果要計(jì)算一根細(xì)棒對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力? 那么? 由于細(xì)棒上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的? 且各點(diǎn)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力的方向也是變化的? 就不能用上述公式來計(jì)算?

例5? 設(shè)有一長度為l、線密度為?的均勻細(xì)直棒? 在其中垂線上距棒a單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M? 試計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力?

解? 取坐標(biāo)系如圖? 使棒位于y軸上? 質(zhì)點(diǎn)M位于x軸上? 棒的中點(diǎn)為原點(diǎn)O? 由對(duì)稱性知? 引力在垂直方向上的分量為零? 所以只需求引力在水平方向的分量? 取y為積分變量? 它的變化區(qū)間為[?l, l]? 在[?l, l]上y點(diǎn)取長為dy 的一小段? 其質(zhì)量為?dy? 與M相距r?a2?y2? 于2222是在水平方向上? 引力元素為

dFx?Gm?dyam?dy?a??

??Ga2?y2a2?y2(a2?y2)3/2三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

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引力在水平方向的分量為

Fx???2lG?2l2Gm?lam?dy1????

223/222a(a?y)4a?l

作業(yè)：P292：3（2），6

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第二篇：同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分

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第五章 定積分

第五章

定積分

教學(xué)目的：

1、理解定積分的概念。

2、掌握定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

3、理解變上限定積分定義的函數(shù)，及其求導(dǎo)數(shù)定理，掌握牛頓—萊布尼茨公式。

4、了解廣義積分的概念并會(huì)計(jì)算廣義積分。

教學(xué)重點(diǎn)：

1、定積分的性質(zhì)及定積分中值定理

2、定積分的換元積分法與分部積分法。

3、牛頓—萊布尼茨公式。

教學(xué)難點(diǎn)：

1、定積分的概念

2、積分中值定理

3、定積分的換元積分法分部積分法。

4、變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?！?? 1 定積分概念與性質(zhì)

一、定積分問題舉例

1? 曲邊梯形的面積

曲邊梯形? 設(shè)函數(shù)y?f(x)在區(qū)間[a? b]上非負(fù)、連續(xù)? 由直線x?a、x?b、y?0及曲線y?f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形? 其中曲線弧稱為曲邊?

求曲邊梯形的面積的近似值?

將曲邊梯形分割成一些小的曲邊梯形? 每個(gè)小曲邊梯形都用一個(gè)等寬的小矩形代替? 每個(gè)小曲邊梯形的面積都近似地等于小矩形的面積? 則所有小矩形面積的和就是曲邊梯形面積的近似值? 具體方法是? 在區(qū)間[a? b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)

a?x0? x1? x2? ? ? ?? xn?1? xn ?b?

把[a? b]分成n個(gè)小區(qū)間

[x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]?

它們的長度依次為?x1? x1?x0 ? ??x2? x2?x1 ? ? ? ? ? ?xn ? xn ?xn?1 ?

經(jīng)過每一個(gè)分點(diǎn)作平行于y 軸的直線段? 把曲邊梯形分成n個(gè)窄曲邊梯形? 在每個(gè)小區(qū)間 [xi?1? xi ]上任取一點(diǎn)??i ? 以[xi?1? xi ]為底、f(??i)為高的窄矩形近似替代第i個(gè)窄曲邊梯形(i?1? 2? ? ? ? ? n)? 把這樣得到的n個(gè)窄矩陣形面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值? 即

A?f(??1)?x1? f(??2)?x2?? ? ?? f(??n)?xn??f(?i)?xi?

i?1n

求曲邊梯形的面積的精確值?

顯然? 分點(diǎn)越多、每個(gè)小曲邊梯形越窄? 所求得的曲邊梯形面積A的近似值就越接近曲邊梯天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

形面積A的精確值? 因此? 要求曲邊梯形面積A的精確值? 只需無限地增加分點(diǎn)? 使每個(gè)小曲邊梯形的寬度趨于零? 記

??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 于是? 上述增加分點(diǎn)? 使每個(gè)小曲邊梯形的寬度趨于零? 相當(dāng)于令??0? 所以曲邊梯形的面積為

A?lim?f(?i)?xi?

??0i?1n

2? 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)? 已知速度v?v(t)是時(shí)間間隔[T 1? T 2]上t的連續(xù)函數(shù)? 且v(t)?0? 計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S ?

求近似路程?

我們把時(shí)間間隔[T 1? T 2]分成n 個(gè)小的時(shí)間間隔?ti ? 在每個(gè)小的時(shí)間間隔?ti內(nèi)? 物體運(yùn)動(dòng)看成是均速的? 其速度近似為物體在時(shí)間間隔?ti內(nèi)某點(diǎn)??i的速度v(??i)? 物體在時(shí)間間隔?ti內(nèi) 運(yùn)動(dòng)的距離近似為?Si? v(??i)??ti ? 把物體在每一小的時(shí)間間隔?ti內(nèi) 運(yùn)動(dòng)的距離加起來作為物體在時(shí)間間隔[T 1 ? T 2]內(nèi)所經(jīng)過的路程S 的近似值? 具體做法是?

在時(shí)間間隔[T 1 ? T 2]內(nèi)任意插入若干個(gè)分點(diǎn)

T 1?t 0? t 1? t 2?? ? ?? t n?1? t n?T 2?

把[T 1 ? T 2]分成n個(gè)小段

[t 0? t 1]? [t 1? t 2]? ? ? ?? [t n?1? t n] ?

各小段時(shí)間的長依次為

?t 1?t 1?t 0? ?t 2?t 2?t 1?? ? ?? ?t n ?t n ?t n?1?

相應(yīng)地? 在各段時(shí)間內(nèi)物體經(jīng)過的路程依次為

?S 1? ?S 2? ? ? ?? ?S n?

在時(shí)間間隔[t i?1? t i]上任取一個(gè)時(shí)刻? i(t i?1?? i? t i)? 以? i時(shí)刻的速度v(? i)來代替[t i?1? t i]上各個(gè)時(shí)刻的速度? 得到部分路程?S i的近似值? 即

?S i? v(? i)??t i

(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

于是這n段部分路程的近似值之和就是所求變速直線運(yùn)動(dòng)路程S 的近似值? 即

S??v(?i)?ti?

i?1n

求精確值?

記? ? max{?t 1? ?t 2?? ? ?? ?t n}? 當(dāng)??0時(shí)? 取上述和式的極限? 即得變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

S?lim?v(?i)?ti?

??0i?1n

設(shè)函數(shù)y?f(x)在區(qū)間[a? b]上非負(fù)、連續(xù)? 求直線x?a、x?b、y?0 及曲線y?f(x)所圍成的曲邊梯形的面積?

(1)用分點(diǎn)a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn ?b把區(qū)間[a? b]分成n個(gè)小區(qū)間?

[x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]? 記?xi?xi?xi?1(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

(2)任取??i?[xi?1? xi]? 以[xi?1? xi]為底的小曲邊梯形的面積可近似為

天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

f(?i)?xi(i?1? 2? ? ? ? ? n)? 所求曲邊梯形面積A的近似值為

A??f(?)?x? iii?1nn

(3)記??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 所以曲邊梯形面積的精確值為

A?lim??0?f(?)?x? iii?1

設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)? 已知速度v?v(t)是時(shí)間間隔[T 1? T 2]上t的連續(xù)函數(shù)?

且v(t)?0? 計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S ?

(1)用分點(diǎn)T1?t0?t1?t2?? ? ??t n?1?tn?T2把時(shí)間間隔[T 1 ? T 2]分成n個(gè)小時(shí)間 段? [t0? t1]? [t1? t2]? ? ? ?? [tn?1? tn] ? 記?ti ?ti?ti?1(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

(2)任取?i?[ti?1? ti]? 在時(shí)間段[ti?1? ti]內(nèi)物體所經(jīng)過的路程可近似為v(?i)?ti

(i?1? 2? ? ? ? ? n)? 所求路程S 的近似值為

S??v(?)?tii?1nni?

(3)記??max{?t1? ?t2?? ? ?? ?tn}? 所求路程的精確值為

S?lim??0?v(?)?t? iii?

1二、定積分定義

拋開上述問題的具體意義? 抓住它們在數(shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)與特性加以概括? 就抽象出下述定積分的定義?

定義

設(shè)函數(shù)f(x)在[a? b]上有界? 在[a? b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)

a ?x0? x1? x2? ? ? ?? xn?1? xn?b?

把區(qū)間[a? b]分成n個(gè)小區(qū)間

[x0? x1]? [x1? x2]? ? ? ?? [xn?1? xn] ?

各小段區(qū)間的長依次為

?x1?x1?x0? ?x2?x2?x1?? ? ?? ?xn ?xn ?xn?1?

在每個(gè)小區(qū)間[xi?1? xi]上任取一個(gè)點(diǎn)? i(xi?1? ? i ? xi)? 作函數(shù)值f(? i)與小區(qū)間長度?xi的乘積

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第五章 定積分

f(? i)??xi(i?1? 2?? ? ?? n)? 并作出和

S??f(?i)?xi?

i?1n記? ? max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn}? 如果不論對(duì)[a? b]怎樣分法? 也不論在小區(qū)間[xi?1? xi]上點(diǎn)? i 怎樣取法? 只要當(dāng)??0時(shí)? 和S 總趨于確定的極限I? 這時(shí)我們稱這個(gè)極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上的定積分? 記作?af(x)dx?

即

lim?f(?i)?xi? ?af(x)dx???0i?1bnb其中f(x)叫做被積函數(shù)? f(x)dx叫做被積表達(dá)式? x叫做積分變量? a 叫做積分下限? b 叫做積分上限? [a? b]叫做積分區(qū)間?

定義

設(shè)函數(shù)f(x)在[a? b]上有界? 用分點(diǎn)a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn?b把[a? b]分成n個(gè)小區(qū)間? [x0? x1]? [x1? x2]? ? ? ?? [xn?1? xn] ? 記?xi?xi?xi?1(i?1? 2?? ? ?? n)?

任? i?[xi?1? xi](i?1? 2?? ? ?? n)? 作和

S??f(?)?xii?1ni?

記??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn}? 如果當(dāng)??0時(shí)? 上述和式的極限存在? 且極限值與區(qū)間[a? b]的分法和? i的取法無關(guān)? 則稱這個(gè)極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上的定積分? 記作即

根據(jù)定積分的定義? 曲邊梯形的面積為A??af(x)dx?

變速直線運(yùn)動(dòng)的路程為S??T2v(t)dt?

1?baf(x)dx?

?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi?

??0i?1nbT

說明?

(1)定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)? 而與積分變量的記法無關(guān)? 即

?af(x)dx??af(t)dt??af(u)du?

(2)和?f(?i)?xi通常稱為f(x)的積分和?

i?1nbbb

(3)如果函數(shù)f(x)在[a? b]上的定積分存在? 我們就說f(x)在區(qū)間[a? b]上可積?

函數(shù)f(x)在[a? b]上滿足什么條件時(shí)? f(x)在[a? b]上可積呢？

定理

1設(shè)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 則f(x)在[a? b]上可積?

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第五章 定積分

定理2 設(shè)f(x)在區(qū)間[a? b]上有界? 且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)? 則f(x)在[a? b]上可積?

定積分的幾何意義?

在區(qū)間[a? b]上? 當(dāng)f(x)?0時(shí)? 積分?af(x)dx在幾何上表示由曲線y?f(x)、兩條直線x?a、x?b 與x軸所圍成的曲邊梯形的面積? 當(dāng)f(x)?0時(shí)? 由曲線y ?f(x)、兩條直線x?a、x?b 與x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方? 定義分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負(fù)值?

b?abf(x)dx?lim?f(?i)?xi??lim?[?f(?i)]?xi???a[?f(x)]dx?

??0i?1??0i?1nnb

當(dāng)f(x)既取得正值又取得負(fù)值時(shí)? 函數(shù)f(x)的圖形某些部分在x軸的上方? 而其它部分在x軸的下方? 如果我們對(duì)面積賦以正負(fù)號(hào)? 在x軸上方的圖形面積賦以正號(hào)? 在x軸下方的圖形面積賦以負(fù)號(hào)? 則在一般情形下? 定積分?af(x)dx的幾何意義為? 它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條直線x?a、x?b之間的各部分面積的代數(shù)和?

b用定積分的定義計(jì)算定積分?

例1.利用定義計(jì)算定積分?0x2dx?

解

把區(qū)間[0? 1]分成n等份??分點(diǎn)為和小區(qū)間長度為

xi?i(i?1? 2?? ? ?? n?1)? ?xi?1(i?1? 2?? ? ?? n)?

nn

取?i?i(i?1? 2?? ? ?? n)??作積分和 n

1?f(?i)?xi??i?1i?1nn?i2?xi??(i)2?1

ni?1nnn1?i2?13?1n(n?1)(2n?1)?1(1?1)(2?1)?

3?ni?1n66nn

因?yàn)??1? 當(dāng)??0時(shí)? n??? 所以?n

?n12xdx?lim0??0i?11(1?1)(2?1)?1???f(?i)?xi?nlim??6nn

3利定積分的幾何意義求積分:

例2??用定積分的幾何意義求?0(1?x)dx?? 解: 函數(shù)y?1?x在區(qū)間[0? 1]上的定積分是以y?1?x為曲邊??以區(qū)間[0? 1]為底的曲邊梯形的面積? 因?yàn)橐詙?1?x為曲邊??以區(qū)間[0? 1]為底的曲邊梯形是一直角三角形? 其底邊長及高均為1? 所以 1天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

??0(1?x)dx?2?1?1?2??11

1三、定積分的性質(zhì)

兩點(diǎn)規(guī)定?

(1)當(dāng)a?b時(shí)?

(2)當(dāng)a?b時(shí)? ?af(x)dx?0?

?af(x)dx???bf(x)dx?

bbbab

性質(zhì)

1函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差)即

?a[f(x)?g(x)]dx??af(x)dx??ag(x)dx?

bb 證明:?a[f(x)?g(x)]dx?lim?[f(?i)?g(?i)]?xi

??0i?1nnn

?lim?f(?i)?xi?lim?g(?i)?xi

??0i?1b??0i?1

??af(x)dx??ag(x)dx?

性質(zhì)2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面 即

b?akf(x)dx?k?af(x)dx??bnnbbb

這是因?yàn)?akf(x)dx?lim?kf(?i)?xi?klim?f(?i)?xi?k?af(x)dx?

??0i?1??0i?1????????性質(zhì)???如果將積分區(qū)間分成兩部分?則在整個(gè)區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和?即??

?af(x)dx??af(x)dx??cbcbf(x)dx?

這個(gè)性質(zhì)表明定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性?

值得注意的是不論a ?b ?c的相對(duì)位置如何總有等式

?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx ?af(x)dx??af(x)dx??bf(x)dx?

天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 cbcbcb成立? 例如? 當(dāng)a

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第五章 定積分

于是有

?af(x)dx??af(x)dx??bf(x)dx??af(x)dx??c?a1dx??adx?b?a?

?af(x)dx?0(a?b)?

?af(x)dx??ag(x)dx(a?b)?

?ag(x)dx??af(x)dx??a[g(x)?f(x)]dx?0?

?af(x)dx??ag(x)dx?

bbbbbbbbbbbbbcccbf(x)dx?

性質(zhì)

4如果在區(qū)間[a b]上f(x)?1 則

性質(zhì)

5如果在區(qū)間[a??b]上 f(x)?0? 則

推論

1如果在區(qū)間[a??b]上 f(x)? g(x)則

這是因?yàn)間(x)?f(x)?0? 從而

所以

推論2 |?af(x)dx|??a|f(x)|dx(a?b)?

這是因?yàn)?|f(x)| ? f(x)? |f(x)|???所以

??a|f(x)|dx??af(x)dx??a|f(x)|dx?

即 |?af(x)dx|??a|f(x)|dx|??

性質(zhì)6 設(shè)M 及m 分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a??b]上的最大值及最小值? 則

m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)(a?b)?

證明

因?yàn)?m? f(x)? M ? 所以

從而

m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)?

性質(zhì)7(定積分中值定理)

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a??b]上連續(xù)? 則在積分區(qū)間[a??b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)??? 使下式成立? bbbbbbb?

?amdx??af(x)dx??aMdxbbb天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

?af(x)dx?f(?)(b?a)? b這個(gè)公式叫做積分中值公式?

證明

由性質(zhì)6

m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)? 各項(xiàng)除以b?a

得

b

m?1?af(x)dx?M?

b?ab再由連續(xù)函數(shù)的介值定理? 在[a??b]上至少存在一點(diǎn)? ? 使

b

f(?)?1?af(x)dx?

b?a于是兩端乘以b?a得中值公式

?af(x)dx?f(?)(b?a)? b

積分中值公式的幾何解釋?

應(yīng)注意? 不論ab? 積分中值公式都成立?

天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

§5? 2 微積分基本公式

一、變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系

設(shè)物體從某定點(diǎn)開始作直線運(yùn)動(dòng)? 在t時(shí)刻所經(jīng)過的路程為S(t)? 速度為v?v(t)?S?(t)(v(t)?0)? 則在時(shí)間間隔[T1? T2]內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S可表示為

S(T2)?S(T1)及?T2v(t)dt?

1T即 ?T2v(t)dt?S(T2)?S(T1)?

1T

上式表明? 速度函數(shù)v(t)在區(qū)間[T1? T2]上的定積分等于v(t)的原函數(shù)S(t)在區(qū)間[T1? T2]上的增量?

這個(gè)特殊問題中得出的關(guān)系是否具有普遍意義呢？

二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 并且設(shè)x為[a? b]上的一點(diǎn)??我們把函數(shù)f(x)在部分區(qū)間[a? x]上的定積分

?af(x)dx

xx稱為積分上限的函數(shù)? 它是區(qū)間[a? b]上的函數(shù)? 記為 ?(x)??af(x)dx? 或?(x)??af(t)dt?

定理1 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 則函數(shù)

?(x)??af(x)dx

在[a? b]上具有導(dǎo)數(shù)? 并且它的導(dǎo)數(shù)為

x

??(x)?d?af(t)dt?f(x)(a?x

dxxx

簡要證明

若x?(a? b)? 取?x使x??x?(a? b)?

????(x??x)??(x)??a

??af(t)dt??xxx??xx??xf(t)dt??af(t)dt

xf(t)dt??af(t)dt x天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

??xx??xf(t)dt?f(?)?x?

應(yīng)用積分中值定理? 有???f(?)?x?

其中?在x 與x??x之間? ?x?0時(shí)? ??x ? 于是

??(x)?lim???limf(?)?limf(?)?f(x)?

?x?0?x?x?0??x

若x?a ? 取?x>0? 則同理可證???(x)? f(a)? 若x?b ? 取?x<0? 則同理可證???(x)? f(b)?

定理

2如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 則函數(shù)

?(x)??af(x)dx

就是f(x)在[a? b]上的一個(gè)原函數(shù)?

定理的重要意義? 一方面肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的? 另一方面初步地揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系?

三、牛頓??萊布尼茨公式

定理

3如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上的一個(gè)原函數(shù)? 則

x?af(x)dx?F(b)?F(a)?

xb此公式稱為牛頓??萊布尼茨公式? 也稱為微積分基本公式?

這是因?yàn)镕(x)和?(x)??af(t)dt都是f(x)的原函數(shù)? ?所以存在常數(shù)C? 使

F(x)??(x)?C(C為某一常數(shù))?

由F(a)??(a)?C及?(a)?0? 得C?F(a)? F(x)??(x)?F(a)? 由F(b)??(b)?F(a)? 得?(b)?F(b)?F(a)? 即

?af(x)dx?F(b)?F(a)?

xb

證明? 已知函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)? 又根據(jù)定理2? 積分上限函數(shù)

?(x)??af(t)dt

也是f(x)的一個(gè)原函數(shù)? 于是有一常數(shù)C? 使

F(x)??(x)?C(a?x?b)?

當(dāng)x?a時(shí)? 有F(a)??(a)?C? 而?(a)?0? 所以C?F(a)? 當(dāng)x?b 時(shí)? F(b)??(b)?F(a)?

所以?(b)?F(b)?F(a)? 即

?af(x)dx?F(b)?F(a)? b 為了方便起見? 可把F(b)?F(a)記成[F(x)]ba? 于是天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

a?F(b)?F(a)?

?af(x)dx?[F(x)]bb

進(jìn)一步揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系?

例1.計(jì)算?0x2dx?

解? 由于1x3是x2的一個(gè)原函數(shù)? 所以 1?1213131xdx?[1x3]10??1??0?? 03333

3例2 計(jì)算??1dx2?

1?x

解 由于arctan x是12的一個(gè)原函數(shù)? 所以

1?x

??13 ??(? ?)?7??

dx?[arctanx]3??arctan3?arctan(?1)?134121?x2?

1例3.計(jì)算??21dx?

x

解? 1?2?ln 1?ln 2??ln 2????2xdx?[ln|x|]??11

例4.計(jì)算正弦曲線y?sin x在[0? ?]上與x軸所圍成的平面圖形的面積?

解? 這圖形是曲邊梯形的一個(gè)特例? 它的面積

A??0sinxdx?[?cosx]?0??(?1)?(?1)?2??

例5.汽車以每小時(shí)36km速度行駛? 到某處需要減速停車?設(shè)汽車以等加速度a??5m/s2剎車? 問從開始剎車到停車? 汽車走了多少距離？

解

從開始剎車到停車所需的時(shí)間?

當(dāng)t?0時(shí)? 汽車速度

v0?36km/h?36?1000m/s?10m/s?

3600剎車后t時(shí)刻汽車的速度為

v(t)?v0?at ?10?5t ?

當(dāng)汽車停止時(shí)? 速度v(t)?0? 從

v(t)?10?5t ?0 得? t?2(s)?

于是從開始剎車到停車汽車所走過的距離為

2?10(m)?

s??0v(t)dt??0(10?5t)dt?[10t?5?1t2]0222?天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

即在剎車后? 汽車需走過10m才能停住?

例6.設(shè)f(x)在[0, ??)內(nèi)連續(xù)且f(x)>0? 證明函數(shù)F(x)?在(0? ??)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)?

xx 證明? d?0 tf(t)dt?xf(x)? d?0f(t)dt?f(x)? 故

dxdx?0tf(t)dt

x?0f(t)dtxF?(x)?xf(x)?0f(t)dt?f(x)?0tf(t)dt(?0f(t)dt)xx2xx?f(x)?0(x?t)f(t)dt(?0f(t)dt)x2x?

按假設(shè)? 當(dāng)0?t?x時(shí)f(t)>0?(x?t)f(t)? 0 ? 所以

?0f(t)dt?0? x?0(x?t)f(t)dt?0?

?cosxe?tdtx212從而F ?(x)>0(x>0)? 這就證明了F(x)在(0? ??)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)?

例7.求limx?0?

解? 這是一個(gè)零比零型未定式? 由羅必達(dá)法則?

limx?0?cosxe?tdtx2x212limx?0??1cosx?t2edtx2?cosx?limsinxe?1?

x?02x2e2提示? 設(shè)?(x)??1e?tdt? 則?(cosx)??1cosx?t2edt?

dcosxe?t2dt?d?(cosx)?d?(u)?du?e?u2?(?sinx)??sinx?e?cos2x?

dx?1dxdudx

天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

§5? 3 定積分的換元法和分部積分法

一、換元積分法

定理

假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 函數(shù)x??(t)滿足條件?

(1)?(??)?a ? ?(?)?b?

(2)?(t)在[?? ?](或[?? ?])上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 且其值域不越出[a? b]? 則有

?af(x)dx???f[?(t)]??(t)dt?

這個(gè)公式叫做定積分的換元公式?

證明

由假設(shè)知? f(x)在區(qū)間[a? b]上是連續(xù)? 因而是可積的? f [?(t)]??(t)在區(qū)間[?? ?](或[?? ?])上也是連續(xù)的? 因而是可積的?

假設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)? 則

b??af(x)dx?F(b)?F(a)?

另一方面? 因?yàn)閧F[?(t)]}??F ?[?(t)]??(t)? f [?(t)]??(t)? 所以F[?(t)]是f [?(t)]??(t)的一個(gè)原函數(shù)? 從而

b??f[?(t)]??(t)dt?F[?(?)]?F[?(?)]?F(b)?F(a)?

因此 ?af(x)dx???f[?(t)]??(t)dt?

例1 計(jì)算?0a2?x2dx(a>0)?

解 ab???0aa2?x2dx 令x?asint ?02acost?acostdt ?

?2?a2222(?a0costdt?1?cos2t)dt

20??天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

22?1?a2?

?a[t?1sin2t]0224?提示? a2?x2?a2?a2sin2t?acost? dx?a cos t ? 當(dāng)x?0時(shí)t?0? 當(dāng)x?a時(shí)t???? 例2 計(jì)算?02cos5xsinxdx?

解 令t?cos x? 則

???20cosxsinxdx???02cos5xdcosx

011 ??1t5dt??0t5dt?[1t6]0?1?

令cosx?t提示? 當(dāng)x?0時(shí)t?1? 當(dāng)x??時(shí)t?0?

2或

?20?cosxsinxdx???02cos5xdcosx 5??2??1cos6??1cos60?1?

??[1cos6x]066266

例3 計(jì)算?0sin3x?sin5xdx?

解 ??0?sin3x?sin5xdx??0sin2x|cosx|dx

?3? ??2sin2xcosxdx???sin2xcosxdx

02?3

??32sin20?xdsinx??3?2?sin2xdsinx

?55?222 ?[sinx]0?[sin2x]??2?(?2)?4?

555525提示? sinx?sinx?sinx(1?sin35323x)?sin2x|cosx|?

在[0, ?]上|cos x|?cos x? 在[?, ?]上|cos x|??cos x?

4例4 計(jì)算?x?2dx?

02x?

1解 ?04x?2dx 令2x?1t2?1?232x?1?t32 ?1?tdt?1?1(t2?3)dt

t2312711122?

?[t3?3t]1?[(?9)?(?3)]?232333天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

2t提示? x??1? dx?tdt? 當(dāng)x?0時(shí)t?1? 當(dāng)x?4時(shí)t?3?

2例5 證明? 若f(x)在[?a? a]上連續(xù)且為偶函數(shù)? 則

??af(x)dx?2?0aaaf(x)dx?

0a

證明 因?yàn)??af(x)dx???af(x)dx??0f(x)dx? 而

所以

??af(x)dx a0令x??t ??af(?t)dt??0f(?t)dt??0f(?x)dx?

a0aa??af(x)dx??0aaf(?x)dx??0f(x)dx

aa

??0[f(?x)?f(x)]dx???a2f(x)dx?2?0f(x)dx?

討論?

若f(x)在[?a? a]上連續(xù)且為奇函數(shù)? 問??af(x)dx?？

提示?

若f(x)為奇函數(shù)? 則f(?x)?f(x)?0? 從而

a??af(x)dx??0[f(?x)?f(x)]dx?0?

??aa

例6 若f(x)在[0? 1]上連續(xù)? 證明

(1)?02f(sinx)dx??02f(cosx)dx?(2)?0xf(sinx)dx? ?2??0?f(sinx)dx?

證明(1)令x???t? 則 ?02f(sinx)dx????2??0f[sin(??t)]dt

2?

??2f[sin(??t)]dt??2f(cosx)dx?

002(2)令x???t? 則

?0?0xf(sinx)dx????(??t)f[sin(??t)]dt

????t)]dt??0(??t)f(sint)dt

??0(??t)f[sin（???0f(sint)dt??0tf(sint)dt

天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 ??高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

???0f(sinx)dx??0xf(sinx)dx?

所以

???0xf(sinx)dx?2?0? ??f(sinx)dx?

?x2?4?xe x?0

例7 設(shè)函數(shù)f(x)??1? 計(jì)算?1f(x?2)dx?? ?1?x?0??1?cosx

解 設(shè)x?2?t? 則

?14f(x?2)dx???1f(t)dt???1201dt?2te?t2dt

?01?cost220

?[tant]?1?[1e?t]0?tan1?1e?4?1?

22222提示? 設(shè)x?2?t? 則dx?dt? 當(dāng)x?1時(shí)t??1? 當(dāng)x?4時(shí)t?2?

二、分部積分法

設(shè)函數(shù)u(x)、v(x)在區(qū)間[a? b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u?(x)、v?(x)? 由

(uv)??u?v ?u v?得u v??u v?u?v ? 式兩端在區(qū)間[a? b]上積分得

ba??au?vdx? 或?audv?[uv]a??avdu? ?auv?dx?[uv]bbbbb這就是定積分的分部積分公式?

分部積分過程?

ba??avdu?[uv]a??au?vdx? ? ? ? ?

?auv?dx??audv?[uv]bbbbb 例1 計(jì)算? 解 12arcsinxdx? 0

?12arcsinxdx0112?[xarcsinx]0??12xdarcsinx0

?1????02xdx

261?x21? ???021221d(1?x2)

1?x21?22???3?1?

??[1?x]012122 例2 計(jì)算?0exdx?

解 令x?t? 則

1?0e1xdx?2?0ettdt

天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 1高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

?2?0tdet

?2[tet] 0 ?2?0etdt

?2e?2[et] 0 ?2?

例3 設(shè)In??02sinnxdx? 證明

(1)當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)? In?n?1?n?3???3?1???

nn?242

2(2)當(dāng)n為大于1的正奇數(shù)時(shí)? In?n?1?n?3???4?2?

nn?2

53證明 In??2sinnxdx01111?????02sinn?1xdcosx

n?1 ?2x] 0?

??[cosxsin???02cosxdsinn?1x

??

?(n?1)?02cos2xsinn?2xdx?(n?1)?02(sinn?2x?sinnx)dx

?(n?1)?02sinn?2xdx?(n?1)?02sinnxdx

?(n?1)I n? 2?(n?1)I n ?

由此得

In?n?1In?2?

n

I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1I0?

2m2m?22m?442

I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2I1?

2m?12m?12m?353而I0??02dx??? I1??02sinxdx?1?

2因此

I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1???

2m2m?22m?4422

I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2??2m?12m?12m?353? 例3 設(shè)In??02sinnxdx(n為正整數(shù))? 證明

天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 ?????高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1??? 2m2m?22m?442 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2? 2m?12m?12m?353 證明 In??02sinnxdx???02sinn?1xdcosx

??[cosxsin?n?1 ?2x] 0???(n?1)?02cos2xsinn?2xdx

?

?(n?1)?02(sinn?2x?sinnx)dx

?(n?1)?02sinn?2xdx?(n?1)?02sinnxdx

?(n?1)I n? 2?(n?1)I n ?

由此得 In?n?1In?2? n

I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1?I0? 2m2m?22m?442

I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2?I1? 2m?12m?12m?353特別地 I0??2dx??02???? I1??02sinxdx?1? ?因此

I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1??? 2m2m?22m?4422

I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2? 2m?12m?12m?3

53天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

§5? 4 反常積分

一、無窮限的反常積分

定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? ??)上連續(xù)? 取b>a ? 如果極限

b???lim?af(x)dx

??b存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a? ??)上的反常積分? 記作?af(x)dx? 即

?a這時(shí)也稱反常積分?af(x)dx收斂???????f(x)dx?lim?af(x)dx?

b???b

如果上述極限不存在? 函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a? ??)上的反常積分?af(x)dx就沒有意義? 此時(shí)稱反常積分?af(x)dx發(fā)散?

類似地? 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(??? b ]上連續(xù)? 如果極限

a???????lim?af(x)dx(a

bb存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(??? b ]上的反常積分? 記作???f(x)dx? 即

天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

???f(x)dx?alim?f(x)dx?

???a這時(shí)也稱反常積分???f(x)dx收斂??如果上述極限不存在? 則稱反常積分???f(x)dx發(fā)散?

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(??? ??)上連續(xù)? 如果反常積分 bbbb???f(x)dx和?0f(x)dx

都收斂? 則稱上述兩個(gè)反常積分的和為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(??? ??)上的反常積分? 記作

0?????f(x)dx? 即

???f(x)dx????f(x)dx??00a???????0??f(x)dx

b

?lim?af(x)dx?lim?0f(x)dx?

b???這時(shí)也稱反常積分???f(x)dx收斂?

如果上式右端有一個(gè)反常積分發(fā)散? 則稱反常積分???f(x)dx發(fā)散?

定義1?

連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? ??)上的反常積分定義為

?????a??f(x)dx?lim?af(x)dx?

b???b

在反常積分的定義式中? 如果極限存在? 則稱此反常積分收斂???否則稱此反常積分發(fā)散?

類似地? 連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(??? b]上和在區(qū)間(??? ??)上的反常積分定義為

???f(x)dx?lim?af(x)dx?

a???bb???f(x)dx?lim?af(x)dx?lim?0f(x)dx?

a???b?????0b

反常積分的計(jì)算? 如果F(x)是f(x)的原函數(shù)? 則

?a??f(x)dx?lim?af(x)dx?lim[F(x)]ba

b???b???b

?limF(b)?F(a)?limF(x)?F(a)?

b???x???可采用如下簡記形式?

類似地 ?a???f(x)dx?[F(x)]?a?limF(x)?F(a)?

x??????F(b)?limF(x)?

???f(x)dx?[F(x)]bx???b天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

????limF(x)?limF(x)?

???f(x)dx?[F(x)]?x???x??????? 例1 計(jì)算反常積分???12dx?

1?x

解 ???

???1?1x2dx?[arctanx]???

?limarctanx?limarctanx

x???x???

? ??(? ?)??? 例2 計(jì)算反常積分?0te?ptdt(p是常數(shù)? 且p>0)?

解 ???0??????te?ptdt?[?te?ptdt]0?[?1?tde?pt]0

p??

?[?1te?pt?1?e?ptdt]0pp??

?[?1te?pt?12e?pt]0pp

?lim[?1te?pt?12e?pt]?12?12?

t???pppp提示? limte?pt?limtpt?lim1pt?0?

t???t???et???pe 例3 討論反常積分?a 解 當(dāng)p?1時(shí)?

當(dāng)p<1時(shí)?

當(dāng)p>1時(shí)? ??1dx(a>0)的斂散性?

xp?a??1dx???1dx?[lnx] ??????

a?axxp?a??1dx?[1x1?p] ??????

a1?pxp?a??1dx?[1x1?p] ???a1?p?

a1?pp?1xp1?p 因此? 當(dāng)p>1時(shí)? 此反常積分收斂? 其值為a? 當(dāng)p?1時(shí)? 此反常積分發(fā)散?

p?

1二、無界函數(shù)的反常積分

定義

2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a? b]上連續(xù)? 而在點(diǎn)a的右鄰域內(nèi)無界? 取?>0? 如果極限

t?alimf(x)dx ??tbb存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x)在(a? b]上的反常積分? 仍然記作?af(x)dx? 即

天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

?af(x)dx?tlim??at?bbf(x)dx?

這時(shí)也稱反常積分?af(x)dx收斂?

如果上述極限不存在? 就稱反常積分?af(x)dx發(fā)散?

類似地? 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b)上連續(xù)? 而在點(diǎn)b 的左鄰域內(nèi)無界? 取?>0? 如果極限

t?bbblimf(x)dx ??abt存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x)在[a? b)上的反常積分? 仍然記作?af(x)dx? 即

f(x)dx?

?af(x)dx?lim??at?bbt這時(shí)也稱反常積分?af(x)dx收斂? 如果上述極限不存在? 就稱反常積分?af(x)dx發(fā)散?

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上除點(diǎn)c(a

都收斂? 則定義

cb?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx?

否則? 就稱反常積分?af(x)dx發(fā)散?

瑕點(diǎn)? 如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)a的任一鄰域內(nèi)都無界? 那么點(diǎn)a稱為函數(shù)f(x)的瑕點(diǎn)? 也稱為無界

定義2?

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a? b]上連續(xù)? 點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn)? 函數(shù)f(x)在(a? b]上的反常積分定義為 bbcb?af(x)dx?tlim??at?bbf(x)dx?

在反常積分的定義式中? 如果極限存在? 則稱此反常積分收斂???否則稱此反常積分發(fā)散?

類似地?函數(shù)f(x)在[a? b)(b為瑕點(diǎn))上的反常積分定義為

f(x)dx?

?af(x)dx?lim??at?bbt

函數(shù)f(x)在[a? c)?(c? b](c為瑕點(diǎn))上的反常積分定義為

?af(x)dx?tlim??ca?btf(x)dx?limf(x)dx?

??tt?cb反常積分的計(jì)算?

如果F(x)為f(x)的原函數(shù)? 則有

天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

?af(x)dx?tlim??at?bbf(x)dx?lim[F(x)]bt

?t?a

?F(b)?limF(t)?F(b)?limF(x)? ??t?ax?a可采用如下簡記形式?

a?F(b)?limF(x)?

?af(x)dx?[F(x)]bx?a?b類似地? 有

a?limF(x)?F(a)?

?af(x)dx?[F(x)]bx?b?b當(dāng)a為瑕點(diǎn)時(shí)??af(x)dx?[F(x)]bF(x)?

a?F(b)?lim?x?ab當(dāng)b為瑕點(diǎn)時(shí)??af(x)dx?[F(x)]bF(x)?F(a)?

a?lim?x?bb當(dāng)c(a?c?b)為瑕點(diǎn)時(shí)?

F(x)?F(a)]?[F(b)?limF(x)]?

?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx?[xlim?cx?c??bcb 例4 計(jì)算反常積分? 解 因?yàn)閘im?x?aa01dx?

2a?x21???? 所以點(diǎn)a為被積函數(shù)的瑕點(diǎn)?

a2?x ?0a1a?limarcsinx?0??? dx?[arcsinx] 0a2x?a?aa2?x2

1例5 討論反常積分??112dx的收斂性?

x

解 函數(shù)12在區(qū)間[?1? 1]上除x?0外連續(xù)? 且lim12???

x?0xx0 0 由于??112dx?[?1]??lim(?1)?1????

1?xxx?0x01即反常積分??112dx發(fā)散? 所以反常積分??112dx發(fā)散?

xx

例6 討論反常積分?a

解 當(dāng)q?1時(shí)?

當(dāng)q?1時(shí)? bbbdx的斂散性?

(x?a)qdx?bdx?[ln(x?a)] b????

a?a(x?a)q?ax?adx?[1(x?a)1?q] b????

a?a(x?a)q1?q天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

第五章 定積分

當(dāng)q?1時(shí)? dx?[1(x?a)1?q] b?1(b?a)1?q?

a?a(x?1?qa)q1?qb 因此? 當(dāng)q<1時(shí)? 此反常積分收斂? 其值為1(b?a)1?q? 當(dāng)q?1時(shí)? 此反常積分發(fā)散?

1?q

天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案

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第三篇：第七章 微分方程(三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)教案)

高等數(shù)學(xué)教案

微分方程

第七章

微分方程

教學(xué)目的：

1．了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。2．熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。

3．會(huì)解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡單的變量代換解某些微分方程。4． 會(huì)用降階法解下列微分方程：y(n)?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)

5． 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。

6．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。

7.求自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解。

8.會(huì)解歐拉方程，會(huì)解包含兩個(gè)未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性微分方程組。9．會(huì)解微分方程組（或方程組）解決一些簡單的應(yīng)用問題。教學(xué)重點(diǎn)：

1、可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法

(n)

2、可降階的高階微分方程y?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)

3、二階常系數(shù)齊次線性微分方程；

4、自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；

教學(xué)難點(diǎn)：

1、齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程；

2、線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；

3、自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。

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微分方程

§7? 1 微分方程的基本概念

函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映? 利用函數(shù)關(guān)系又可以對(duì)客觀事物的規(guī)律性進(jìn)行研究? 因此如何尋找出所需要的函數(shù)關(guān)系? 在實(shí)踐中具有重要意義? 在許多問題中? 往往不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系? 但是根據(jù)問題所提供的情況? 有時(shí)可以列出含有要找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式? 這樣的關(guān)系就是所謂微分方程? 微分方程建立以后? 對(duì)它進(jìn)行研究? 找出未知函數(shù)來? 這就是解微分方程?

例1 一曲線通過點(diǎn)(1? 2)? 且在該曲線上任一點(diǎn)M(x? y)處的切線的斜率為2x? 求這曲線的方程?

解 設(shè)所求曲線的方程為y?y(x)? 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義? 可知未知函數(shù)y?y(x)應(yīng)滿足關(guān)系式(稱為微分方程)

dy?2x?

(1)

dx此外? 未知函數(shù)y?y(x)還應(yīng)滿足下列條件?

x?1時(shí)? y?2? 簡記為y|x?1?2?

(2)把(1)式兩端積分? 得(稱為微分方程的通解)

y?2xdx? 即y?x2?C?

(3)其中C是任意常數(shù)?

把條件“x?1時(shí)? y?2”代入(3)式? 得

2?12?C?

由此定出C?1? 把C?1代入(3)式? 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x?1?2的解)?

y?x2?1?

例2 列車在平直線路上以20m/s(相當(dāng)于72km/h)的速度行駛? 當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度?0?4m/s2? 問開始制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住? 以及列車在這段時(shí)間里行駛了多少路程?

解 設(shè)列車在開始制動(dòng)后t秒時(shí)行駛了s米? 根據(jù)題意? 反映制動(dòng)階段列車運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)s?s(t)應(yīng)滿足關(guān)系式 ?d2s??0.?

(4)dt2此外? 未知函數(shù)s?s(t)還應(yīng)滿足下列條件?

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微分方程

t?0時(shí)? s?0? v?ds?20? 簡記為s|=0? s?|=20?

(5)

t?0t?0dt

把(4)式兩端積分一次? 得

v?ds??0.4t?C?

(6)1dt再積分一次? 得

s??0?2t2 ?C1t ?C2?

(7)這里C1? C2都是任意常數(shù)?

把條件v|t?0?20代入(6)得

20?C1?

把條件s|t?0?0代入(7)得0?C2?

把C1? C2的值代入(6)及(7)式得

v??0?4t ?20?

(8)

s??0?2t2?20t?

(9)在(8)式中令v?0? 得到列車從開始制動(dòng)到完全停住所需的時(shí)間

t?20?50(s)?

0.4再把t?50代入(9)? 得到列車在制動(dòng)階段行駛的路程

s??0?2?502?20?50?500(m)?

幾個(gè)概念?

微分方程? 表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程? 叫微分方程?

常微分方程? 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程? 叫常微分方程?

偏微分方程? 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程? 叫偏微分方程?

微分方程的階? 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)? 叫微分方程的階?

x3 y????x2 y???4xy??3x2 ?

y(4)?4y????10y???12y??5y?sin2x?

y(n)?1?0?

一般n階微分方程?

F(x? y? y??

? ? ? ? y(n))?0?

y(n)?f(x? y? y??

? ? ? ? y(n?1))?

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微分方程

微分方程的解? 滿足微分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解? 確切地說? 設(shè)函數(shù)y??(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 如果在區(qū)間I上?

F[x? ?(x)? ??(x)? ? ? ?? ?(n)(x)]?0?

那么函數(shù)y??(x)就叫做微分方程F(x? y? y?? ? ? ?? y(n))?0在區(qū)間I上的解?

通解? 如果微分方程的解中含有任意常數(shù)? 且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同? 這樣的解叫做微分方程的通解?

初始條件? 用于確定通解中任意常數(shù)的條件? 稱為初始條件? 如

x?x0 時(shí)? y?y0 ? y?? y?0 ?

一般寫成

??

yx?x0?y0? y?x?x0?y0

特解? 確定了通解中的任意常數(shù)以后? 就得到微分方程的特解? 即不含任意常數(shù)的解?

初值問題? 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題?

如求微分方程y??f(x?

y)滿足初始條件yx?x0?y0的解的問題? 記為

?y??f(x,y)

?? yx?x0?y0?

積分曲線? 微分方程的解的圖形是一條曲線? 叫做微分方程的積分曲線?

d2x?k2x?0

例3 驗(yàn)證? 函數(shù) x?C1cos kt?C2 sin kt是微分方程

的解?

dt

2解 求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?

dx??kCsinkt?kCcoskt? 12dtd2x??k2Ccoskt?k2Csinkt??k2(Ccoskt?Csinkt)

?

1212dt2d2x將2及x的表達(dá)式代入所給方程? 得 dt

?k2(C1cos kt?C2sin kt)? k2(C1cos kt?C2sin kt)?0?

d2x?k2x?0

這表明函數(shù)x?C1coskt?C2sinkt 滿足方程2? 因此所給函數(shù)是所給方程的解?

dt三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

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微分方程

例4 已知函數(shù)x?C1coskt?C2sinkt(k?0)是微分方程

x| t?0 ?A? x?| t?0 ?0 的特解?

解

由條件x| t?0 ?A及x?C1 cos kt?C2 sin kt? 得

C1?A?

再由條件x?| t?0 ?0? 及x?(t)??kC1sin kt?kC2cos kt? 得

C2?0?

把C1、C2的值代入x?C1cos kt?C2sin kt中? 得

x?Acos kt?

作業(yè)：P298：4

d2x?k2x?0的通解? 求滿足初始條件 2dt

§7? 2 可分離變量的微分方程

觀察與分析?

1? 求微分方程y??2x的通解? 為此把方程兩邊積分? 得 y?x2?C?

一般地? 方程y??f(x)的通解為y?f(x)dx?C(此處積分后不再加任意常數(shù))?

2? 求微分方程y??2xy2 的通解?

因?yàn)閥是未知的? 所以積分2xy2dx無法進(jìn)行? 方程兩邊直

??接積分不能求出通解?

為求通解可將方程變?yōu)?/p>

? 1dy?2xdx? 兩邊積分? 得

y21?x2?C1? ? 或y??2yx?C三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案

微分方程

可以驗(yàn)證函數(shù)y??1是原方程的通解?

x2?C

一般地? 如果一階微分方程y???(x, y)能寫成 g(y)dy?f(x)dx

形式? 則兩邊積分可得一個(gè)不含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程

G(y)?F(x)?C?

由方程G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)就是原方程的通解

對(duì)稱形式的一階微分方程?

一階微分方程有時(shí)也寫成如下對(duì)稱形式?

P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0 在這種方程中? 變量x與y 是對(duì)稱的?

若把x看作自變量、y看作未知函數(shù)? 則當(dāng)Q(x,y)?0時(shí)? 有

dyP(x,y)???

dxQ(x,y)dx??Q(x,y)?

dyP(x,y)若把y看作自變量、x看作未知函數(shù)? 則當(dāng)P(x,y)?0時(shí)? 有

可分離變量的微分方程?

如果一個(gè)一階微分方程能寫成

g(y)dy?f(x)dx(或?qū)懗蓎???(x)?(y))的形式? 就是說? 能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和dy? 另一端只含x的函數(shù)和dx? 那么原方程就稱為可分離變量的微分方程?

討論? 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1)y??2xy?

是? ?y?1dy?2xdx ?(2)3x2?5x?y??0?

是? ?dy?(3x2?5x)dx?(3)(x2?y2)dx?xydy=0?

不是?

(4)y??1?x?y2?xy2? 是? ?y??(1?x)(1?y2)?(5)y??10x?y?

是? ?10?ydy?10xdx?(6)y??x?y?

不是? yx三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

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微分方程

可分離變量的微分方程的解法?

第一步

分離變量? 將方程寫成g(y)dy ?f(x)dx的形式?

第二步

兩端積分?g(y)dy?f(x)dx? 設(shè)積分后得G(y)?F(x)?C?

第三步

求出由G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)y??(x)或x??(y)G(y)?F(x)?C ? y??(x)或x??(y)都是方程的通解? 其中G(y)?F(x)?C稱為隱式(通)解?

例1 求微分方程??dy?2xy的通解?

dx

解

此方程為可分離變量方程? 分離變量后得

1dy?2xdx?

y1dy?2xdx?

?y?兩邊積分得

即

ln|y|?x2?C1?

從而

y??ex2?C1??eC1ex? 2因?yàn)?eC1仍是任意常數(shù)? 把它記作C? 便得所給方程的通解

y?Cex?

例2 鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量M成正比? 已知t?0時(shí)鈾的含量為M0? 求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律?

解 鈾的衰變速度就是M(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)2dM?

dtdM???M?

dtdM?0?

dt

由于鈾的衰變速度與其含量成正比? 故得微分方程其中?(?>0)是常數(shù)? ?前的曲面號(hào)表示當(dāng)t增加時(shí)M單調(diào)減少? 即由題意? 初始條件為 M|t?0?M0?

將方程分離變量得

dM???dt?

M三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

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微分方程

兩邊積分? 得dM?(??)dt?

?M?即

lnM???t?lnC? 也即M?Ce??t?

由初始條件? 得M0?Ce0?C?

所以鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律M?M0e??t ?

例3 設(shè)降落傘從跳傘塔下落后? 所受空氣阻力與速度成正比? 并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)速度為零? 求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系?

解

設(shè)降落傘下落速度為v(t)? 降落傘所受外力為F?mg?kv(k為比例系數(shù))? 根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律F?ma? 得函數(shù)v(t)應(yīng)滿足的方程為

mdv?mg?kv?

dt初始條件為

v|t?0?0?

方程分離變量? 得

dv?dt?

mg?kvm兩邊積分? 得?mg?kv??m?

t?C?

m1dvdt

?ln(mg?kv)?1k?kC1?ktmg?Cem(C??e即

v?)?

kkmg將初始條件v|t?0?0代入通解得C???

k?ktmg(1?em)?

于是降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為v?kdy?1?x?y2?xy2的通解?

例4 求微分方程dx

解 方程可化為

dy?(1?x)(1?y2)?

dx分離變量得

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微分方程

1dy?(1?x)dx?

1?y21dy?(1?x)dx? 即1x2?x?C?

arctany??1?y2?2兩邊積分得

于是原方程的通解為y?tan(x2?x?C)?

作業(yè)：P304：1（1）（2）（3）（7）（9）（10），2（2）（4），3

§7? 3 齊次方程

齊次方程?

如果一階微分方程12dy?f(x,y)中的函數(shù)f(x, y)可寫成 dxyy的函數(shù)? 即f(x,y)??()? 則稱這方程為齊次方程?

xx

下列方程哪些是齊次方程？

dyy?y2?x2dyyy

(1)xy??y?y?x?0是齊次方程??????()2?1?

dxxdxxx22dy1?y

2(2)1?xy??1?y不是齊次方程???

?dx1?x222dyx2?y2dyxy?????

(3)(x?y)dx?xydy?0是齊次方程? ?dxxydxyx22

(4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齊次方程??

(5)(2xshdy2x?y?4???

dxx?y?1yyy?3ych)dx?3xchdy?0是齊次方程?

xxx三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

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微分方程

yy2xsh?3ychdyxx?dy?2thy?y ?

?ydxdx3xx3xchx

齊次方程的解法?

在齊次方程

u?x分離變量? 得

ydyy??()中? 令u?? 即y?ux? 有 dxxxdu??(u)?

dxdu?dx? ?(u)?uxdu?dx??(u)?u?x? 兩端積分? 得

求出積分后? 再用y代替u? 便得所給齊次方程的通解?

xdydy?xy?

dxdx

例1 解方程y2?x2

解

原方程可寫成

y2()dyyx??

?

2ydxxy?x?1x2因此原方程是齊次方程? 令

y?ux? 于是原方程變?yōu)?/p>

u?x即

xy?u? 則 xdy?u?xdu?

dxdxdu?u2?

dxu?1du?u?

dxu?1分離變量? 得

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微分方程

(1?)du?1udx?

x兩邊積分? 得u?ln|u|?C?ln|x|?

或?qū)懗蒷n|xu|?u?C?

以y代上式中的u? 便得所給方程的通解 x

ln|y|?y?C?

x

例2 有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡? 假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行? 求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程?

解 設(shè)此凹鏡是由xOy面上曲線L? y?y(x)(y>0)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成? 光源在原點(diǎn)? 在L上任取一點(diǎn)M(x, y)? 作L的切線交x軸于A? 點(diǎn)O發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)M反射后是一條平行于x軸射線? 由光學(xué)及幾何原理可以證明OA?OM?

因?yàn)?/p>

OA?AP?OP?PMcot??OP?而

OM?x2?y2?

于是得微分方程

y?x?

y?y?x?x2?y2? y?整理得dx?x?(x)2?1? 這是齊次方程?

dyyydx?x?(x)2?1?

dyyy

問題歸結(jié)為解齊次方程

令即

yx?vdv?v?v2?1? 即x?yv? 得v?y?

dyydv?v2?1? dy分離變量? 得dv?dy?

v2?1yyy, ?(?v)2?v2?1, CC兩邊積分? 得 ln(v?v2?1)?lny?lnC, ?v?v2?1?三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

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微分方程

y22yv??1?

C2C以yv?x代入上式? 得y2?2C(x?C)?

2這是以x軸為軸、焦點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線? 它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為

y2?z2?2C(x?C)? 2這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程?

例3 設(shè)一條河的兩岸為平行直線? 水流速度為a? 有一鴨子從岸邊點(diǎn)A游向正對(duì)岸點(diǎn)O? 設(shè)鴨子的游速為b(b>a)? 且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)O? 已知OA?h? 求鴨子游過的跡線的方程?

解 取O為坐標(biāo)原點(diǎn)? 河岸朝順?biāo)较驗(yàn)閤軸? y 軸指向?qū)Π? 設(shè)在時(shí)刻t鴨子位于點(diǎn)P(x, y)? 則鴨子運(yùn)動(dòng)速度

v?(vx, vy)?(dx, dy)? 故有dx?vx?

dyvydtdt?x, ?y)? v?(a?bx, ?by)?

x2?y2x2?y2x2?y2x2?y2另一方面? v?a?b?(a, 0)?b(因此dx?vx??a(x)2?1?x? 即dx??a(x)2?1?x?

dybyydyvybyydx??a(x)2?1?x?

dybyy

問題歸結(jié)為解齊次方程

令

yx?u? 即x?yu? 得 ydu??au2?1? dyb分離變量? 得du??ady?

u2?1by兩邊積分? 得 arshu??(lny?lnC)? bax1[(Cy)1?b?(Cy)1?b]?

將u?代入上式并整理? 得x?y2C三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

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微分方程

以x|y?h?0代入上式? 得C?1? 故鴨子游過的軌跡方程為 haay1?by1?bh?()]? 0?y?h?

x?[()2hhb將u?x代入arshu??(lny?lnC)后的整理過程?

yaarshx??b(lny?lnC)

ya???x?shln(Cy)a?x?1[(Cy)a?(Cy)a] yy2b?by1?b1?b1aa?x?[(Cy)?(Cy)]?x?[(Cy)a?(Cy)a]?

2C2bbb作業(yè)：P309：1（1）（3）（5），2

§7.4 線性微分方程

一、線性方程

線性方程?

方程dy?P(x)y?Q(x)叫做一階線性微分方程? ?dxdydy?P(x)y?0叫做對(duì)應(yīng)于非齊次線性方程?P(x)y?Q(x)的齊次線性方程?

dxdxdydy?y??1y?0是齊次線性方程? dxdxx?2如果Q(x)?0 ? 則方程稱為齊次線性方程? 否則方程稱為非齊次線性方程?

方程

下列方程各是什么類型方程？

(1)(x?2)

(2)3x2?5x?5y??0?y??3x2?5x ? 是非齊次線性方程?

(3)y??y cos x?e?sin x ? 是非齊次線性方程?

(4)dy?10x?y? 不是線性方程? dx三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

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微分方程

3dy3(y?1)2dydxx?x?0???0或?

(5)(y?1)? 不是線性方程?

dxdydx(y?1)2x

32齊次線性方程的解法?

齊次線性方程

dy?P(x)y?0是變量可分離方程? 分離變量后得 dxdy??P(x)dx?

y兩邊積分? 得

ln|y|??P(x)dx?C1?

?P(x)dx(C??eC1)?

或

y?Ce??這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數(shù)）?

例

1求方程(x?2)dy?y的通解?

dx

解

這是齊次線性方程? 分離變量得

dydx??

yx?2兩邊積分得

ln|y|?ln|x?2|?lnC?

方程的通解為

y?C(x?2)?

非齊次線性方程的解法?

將齊次線性方程通解中的常數(shù)換成x的未知函數(shù)u(x)? 把

?P(x)dx

y?u(x)e?

設(shè)想成非齊次線性方程的通解? 代入非齊次線性方程求得

?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx?u(x)e?P(x)?P(x)u(x)e??Q(x)?

u?(x)e?化簡得

u?(x)?Q(x)e?P(x)dx?

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微分方程

u(x)?Q(x)e??P(x)dxdx?C?

于是非齊次線性方程的通解為

?P(x)dxP(x)dx

y?e?[Q(x)e?dx?C]? ??P(x)dx?P(x)dxP(x)dx或

y?Ce??e?Q(x)e?dx? ?非齊次線性方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個(gè)特解之和?

5dy2y??(x?1)2的通解?

例2 求方程dxx?1

解

這是一個(gè)非齊次線性方程?

先求對(duì)應(yīng)的齊次線性方程分離變量得

dy2y??0的通解?

dxx?1dy2dx??

yx?1兩邊積分得

ln y?2ln(x?1)?ln C?

齊次線性方程的通解為

y?C(x?1)2?

用常數(shù)變易法? 把C換成u? 即令y?u?(x?1)2? 代入所給非齊次線性方程? 得

52u?(x?1)2?(x?1)2

u??(x?1)?2u?(x?1)?x?12

1u??(x?1)2?

兩邊積分? 得 u?(x?1)2?C?

3再把上式代入y?u(x?1)2中? 即得所求方程的通解為 32

y?(x?1)[(x?1)2?C]?

323

例3 有一個(gè)電路如圖所示? 其中電源電動(dòng)勢為E?Emsin?t(Em、?都是常數(shù))? 電阻R和電感L都是常量? 求電流i(t)?

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微分方程

解

由電學(xué)知道? 當(dāng)電流變化時(shí)? L上有感應(yīng)電動(dòng)勢?L

E?L即

di? 由回路電壓定律得出 dtdi?iR?0?

dtdi?Ri?E?

dtLLdi?Ri?Emsin? t?

dtLL

把E?Emsin? t代入上式? 得

初始條件為

i|t?0?0?

di?Ri?Emsin? t為非齊次線性方程? 其中

dtLLER? t?

P(t)?? Q(t)?msinLL

方程由通解公式? 得

i(t)?e??P(t)dt?dtdtEP(t)dt[?Q(t)e?dt?C]?e?L(?msin? te?Ldt?C)

LRRRttEm?ReL(?sin?teLdt?C)

?L?RtEm(Rsin? t?? Lcos? t)?CeL?

?222R??L其中C為任意常數(shù)?

將初始條件i|t?0?0代入通解? 得C?因此? 所求函數(shù)i(t)為

t? LEm?REmL?e(Rsin? t?? Lcos? t)?

i(t)?2R??2L2R2??2L2? LEm?

R2??2L

2二、伯努利方程

伯努利方程? 方程

dy?P(x)y?Q(x)yn(n?0? 1)dx叫做伯努利方程?

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微分方程

下列方程是什么類型方程？

(1)

(2)dy1?y?1(1?2x)y4? 是伯努利方程? dx33dydy?y?xy5? ??y?xy5? 是伯努利方程? dxdxxy

1(3)y???? ?y??y?xy?1? 是伯努利方程? yxx

(4)dy?2xy?4x? 是線性方程? 不是伯努利方程? dxdy?P(x)y1?n?Q(x)dx

伯努利方程的解法? 以yn除方程的兩邊? 得

y?n令z ?y1?n ? 得線性方程

dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)?

dxdyy??a(lnx)y2的通解?

例4 求方程dxx

解 以y2除方程的兩端? 得

y?2dy1?1?y?alnx?

dxxd(y?1)1?1?y?alnx?

即

?dxx令z?y?1? 則上述方程成為

dz?1z??alnx?

dxxa2這是一個(gè)線性方程? 它的通解為

z?x[C?(lnx)2]?

以y?1代z ? 得所求方程的通解為

yx[C?(lnx)2]?1?

經(jīng)過變量代換? 某些方程可以化為變量可分離的方程? 或化為已知其求解方法的方程?

例

5解方程 a2dy?1?

dxx?y三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案

微分方程

解

若把所給方程變形為

dx?x?y?

dy即為一階線性方程? 則按一階線性方程的解法可求得通解? 但這里用變量代換來解所給方程?

令x?y?u? 則原方程化為

du?1?1? 即du?u?1?

dxudxu分離變量? 得

udu?dx?

u?1兩端積分得

u?ln|u?1|?x?ln|C|?

以u(píng)?x?y代入上式? 得

y?ln|x?y?1|??ln|C|? 或x?Cey?y?1?

作業(yè)：P315：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5），7（1）（2）

§7? 5可降階的高階微分方程

一、y(n)?f(x)型的微分方程

解法? 積分n 次

y(n?1)?f(x)dx?C1? ?

y(n?2)?[f(x)dx?C1]dx?C2? ??

? ? ??

例1 求微分方程y????e2x?cos x 的通解?

解 對(duì)所給方程接連積分三次? 得

y???e2x?sinx?C1?

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12高等數(shù)學(xué)教案

微分方程

y??e2x?cosx?C1x?C2?

y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?

這就是所給方程的通解?

或

y???e2x?sinx?2C1?

y??e2x?cosx?2C1x?C2?

y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?

這就是所給方程的通解?

例2 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受力F的作用沿Ox軸作直線運(yùn)動(dòng)? 設(shè)力F僅是時(shí)間t的函數(shù)?F?F(t)? 在開始時(shí)刻t?0時(shí)F(0)?F0? 隨著時(shí)間t的增大? 此力F均勻地減小? 直到t?T時(shí)? F(T)?0? 如果開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)? 且初速度為零? 求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律?

解 設(shè)x?x(t)表示在時(shí)刻t時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置? 根據(jù)牛頓第二定律? 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程為

2dx

m2?F(t)?

dt141812121418由題設(shè)? 力F(t)隨t增大而均勻地減小? 且t?0時(shí)? F(0)?F0? 所以F(t)?F0?kt? 又當(dāng)t?T時(shí)? F(T)?0? 從而

F(t)?F0(1?)?

于是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程又寫為 tTd2x?F0(1?t)

?

Tdt2mdx|?0? 其初始條件為x|t?0?0?

dtt?0

把微分方程兩邊積分? 得

dx?F0(t?t2)?C

1?

dtm2T再積分一次? 得

F012t x?(t?)?C1t?C2?

m26T由初始條件x|t?0?0? 得C1?C2?0?

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dx|?0?

dtt?0高等數(shù)學(xué)教案

微分方程

于是所求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

x?

二、y??? f(x? y?)型的微分方程

解法? 設(shè)y??p則方程化為

p??f(x? p)?

設(shè)p??f(x? p)的通解為p??(x?C1)? 則

F012t3(t?)? 0?t?T?

m26Tdy??(x,C1)?

dx原方程的通解為

y??(x,C1)dx?C2?

例3 求微分方程

(1?x2)y???2xy? 滿足初始條件

y|x?0?1? y?|x?0?3 的特解?

解 所給方程是y???f(x? y?)型的? 設(shè)y??p? 代入方程并分離變量后? 有

?dp2x?dx?

p1?x2兩邊積分? 得

ln|p|?ln(1?x2)?C?

即

p?y??C1(1?x2)(C1??eC)?

由條件y?|x?0?3? 得C1?3?

所以

y??3(1?x2)?

兩邊再積分? 得 y?x3?3x?C2?

又由條件y|x?0?1? 得C2?1?

于是所求的特解為

y?x3?3x?1?

例4 設(shè)有一均勻、柔軟的繩索? 兩端固定? 繩索僅受重力的作用而下垂? 試問該繩索在平衡狀態(tài)時(shí)是怎樣的曲線?

三、y???f(y? y?)型的微分方程

解法? 設(shè)y??p?有

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微分方程

y???原方程化為 dpdpdydp???p?

dxdydxdydp?f(y,p)?

dydp?f(y,p)的通解為y??p??(y? C1)? 則原方程的通解為 設(shè)方程pdy

p

dy??(y,C1)?x?C2?

dp?

dy

例5 求微分yy???y?2?0的通解?

解 設(shè)y??p? 則y???p代入方程? 得

ypdp2?p?0?

dy

在y?0、p?0時(shí)? 約去p并分離變量? 得

dpdy??

py兩邊積分得

ln|p|?ln|y|?lnc?

即

p?Cy或y??Cy(C??c)?

再分離變量并兩邊積分? 便得原方程的通解為

ln|y|?Cx?lnc1?

或

y?C1eCx(C1??c1)?

作業(yè)：P323：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5）

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微分方程

§7? 6 高階線性微分方程 一、二階線性微分方程舉例

例1 設(shè)有一個(gè)彈簧? 上端固定? 下端掛一個(gè)質(zhì)量為m 的物體? 取x 軸鉛直向下? 并取物體的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)?

給物體一個(gè)初始速度v0?0后? 物體在平衡位置附近作上下振動(dòng)? 在振動(dòng)過程中? 物體的位置x是t的函數(shù)? x?x(t)?

設(shè)彈簧的彈性系數(shù)為c? 則恢復(fù)力f??cx?

又設(shè)物體在運(yùn)動(dòng)過程中受到的阻力的大小與速度成正比? 比例系數(shù)為?? 則

R??dx?

dt

由牛頓第二定律得

md2x??cx??dx?

2dtdt

移項(xiàng)? 并記2n??c? k2??

mmd2x?2ndx?k2x?0則上式化為

?

dtdt2這就是在有阻尼的情況下? 物體自由振動(dòng)的微分方程?

如果振動(dòng)物體還受到鉛直擾力

F?Hsin pt 的作用? 則有

d2x?2ndx?k2x?hsinpt

?

dtdt2H其中h?? 這就是強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程?

m

例2 設(shè)有一個(gè)由電阻R、自感L、電容C和電源E串聯(lián)組成的電路? 其中R、L、及C為常數(shù)? 電源電動(dòng)勢是時(shí)間t的函數(shù)? E?Emsin?t? 這里Em及?也是常數(shù)?

設(shè)電路中的電流為i(t)? 電容器極板上的電量為q(t)? 兩極板間的電壓為uc? 自感電動(dòng)勢為EL ? 由電學(xué)知道

i?qdqdi? uc?? EL??L?

Cdtdt三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

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微分方程

根據(jù)回路電壓定律? 得

E?Ldi?q?Ri?0?

dtCd2ucduc?RC?uc?Emsin?t?

即

LC2dtdt或?qū)懗?/p>

d2ucducEm2?2???u?sin?t?

0c2dtLCdtR? ??1? 這就是串聯(lián)電路的振蕩方程? 其中??02LLC

如果電容器經(jīng)充電后撤去外電源(E?0)? 則上述成為

d2ucduc2?2???0uc?0?

2dtdt

二階線性微分方程? 二階線性微分方程的一般形式為

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)?

若方程右端f(x)?0時(shí)? 方程稱為齊次的? 否則稱為非齊次的?

二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)

先討論二階齊次線性方程

d2ydy?Q(x)y?0?

y???P(x)y??Q(x)y?0? 即2?P(x)dxdx

定理

1如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程

y???P(x)y??Q(x)y?0?的兩個(gè)解? 那么

y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解? 其中C1、C2是任意常數(shù)?

齊次線性方程的這個(gè)性質(zhì)表明它的解符合疊加原理?

證明 [C1y1?C2y2]??C1 y1??C2 y2??

[C1y1?C2y2]???C1 y1???C2 y2???

因?yàn)閥1與y2是方程y???P(x)y??Q(x)y?0? 所以有

y1???P(x)y1??Q(x)y1?0及y2???P(x)y2??Q(x)y2?0?

從而

[C1y1?C2y2]???P(x)[ C1y1?C2y2]??Q(x)[ C1y1?C2y2]

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微分方程

?C1[y1???P(x)y1??Q(x)y1]?C2[y2???P(x)y2??Q(x)y2]?0?0?0?

這就證明了y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程y???P(x)y??Q(x)y?0的解

函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)?

設(shè)y1(x)? y2(x)? ? ? ? ? yn(x)為定義在區(qū)間I上的n個(gè)函數(shù)? 如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù)k1? k2? ? ? ? ? kn? 使得當(dāng)x?I 時(shí)有恒等式

k1y1(x)?k2y2(x)?

? ? ? ? knyn(x)?0 成立? 那么稱這n個(gè)函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)? 否則稱為線性無關(guān)?

判別兩個(gè)函數(shù)線性相關(guān)性的方法?

對(duì)于兩個(gè)函數(shù)? 它們線性相關(guān)與否? 只要看它們的比是否為常數(shù)? 如果比為常數(shù)? 那么它們就線性相關(guān)? 否則就線性無關(guān)?

例如? 1? cos2x ? sin2x 在整個(gè)數(shù)軸上是線性相關(guān)的? 函數(shù)1? x? x2在任何區(qū)間(a, b)內(nèi)是線性無關(guān)的?

定理2 如果如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程

y???P(x)y??Q(x)y?0 的兩個(gè)線性無關(guān)的解? 那么

y?C1y1(x)?C2y2(x)(C1、C2是任意常數(shù))是方程的通解?

例3 驗(yàn)證y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關(guān)解? 并寫出其通解?

解 因?yàn)?/p>

y1???y1??cos x?cos x?0?

y2???y2??sin x?sin x?0?

所以y1?cos x與y2?sin x都是方程的解?

因?yàn)閷?duì)于任意兩個(gè)常數(shù)k1、k2? 要使

k1cos x?k2sin x?0?

只有k1?k2?0? 所以cos x與sin x在(??, ??)內(nèi)是線性無關(guān)的?

因此y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關(guān)解?

方程的通解為y?C1cos x?C2sin x?

例4 驗(yàn)證y1?x與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關(guān)解? 并寫出其通解?

解 因?yàn)?/p>

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微分方程

(x?1)y1???xy1??y1?0?x?x?0?

(x?1)y2???xy2??y2?(x?1)ex?xex?ex?0?

所以y1?x與y2?ex都是方程的解?

因?yàn)楸戎礶 x/x 不恒為常數(shù)? 所以y1?x與y2?ex在(??, ??)內(nèi)是線性無關(guān)的?

因此y1?x 與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關(guān)解?

方程的通解為y?C1x?C2e x?

推論 如果y1(x)? y2(x)? ? ? ?? yn(x)是方程

y(n)?a1(x)y(n?1)? ? ? ? ?an?1(x)y?? an(x)y?0 的n個(gè)線性無關(guān)的解? 那么? 此方程的通解為

y?C1y1(x)?C2y2(x)? ? ? ? ? Cnyn(x)?

其中C1? C2? ? ? ?? Cn為任意常數(shù)?

二階非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)?

我們把方程

y???P(x)y??Q(x)y?0 叫做與非齊次方程

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)對(duì)應(yīng)的齊次方程?

定理3 設(shè)y*(x)是二階非齊次線性方程

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一個(gè)特解? Y(x)是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解? 那么

y?Y(x)?y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解?

證明提示? [Y(x)?y*(x)]???P(x)[ Y(x)?y*(x)]??Q(x)[ Y(x)?y*(x)]

? [Y ???P(x)Y ??Q(x)Y ]?[ y* ???P(x)y* ??Q(x)y*]

?0? f(x)? f(x)?

例如? Y?C1cos x?C2sin x 是齊次方程y???y?0的通解? y*?x2?2是y???y?x2 的一個(gè)特解? 因此

y?C1cos x?C2sin x?x2?2 是方程y???y?x2的通解?

定理4 設(shè)非齊次線性微分方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的右端f(x)幾個(gè)函數(shù)之和? 如

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微分方程

y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)? f2(x)?

而y1*(x)與y2*(x)分別是方程

y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)與y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)的特解? 那么y1*(x)?y2*(x)就是原方程的特解?

證明提示?

[y1?y2*]???P(x)[ y1*?y2*]??Q(x)[ y1*?y2*]

?[ y1*???P(x)y1*??Q(x)y1*]?[ y2*???P(x)y2*??Q(x)y2*]

?f1(x)?f2(x)?

作業(yè)：P331：1（1）（3）（5）（7），4（1）（3）（5）

§7? 7 二階常系數(shù)齊次線性微分方程

二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 方程 y???py??qy?0 稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 其中p、q均為常數(shù)?

如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)解? 那么y?C1y1?C2y2就是它的通解?

我們看看?

能否適當(dāng)選取r? 使y?erx

滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 為此將y?erx代入方程

y???py??qy?0 得

(r 2?pr?q)erx ?0?

由此可見? 只要r滿足代數(shù)方程r2?pr?q?0? 函數(shù)y?erx就是微分方程的解?

特征方程? 方程r2?pr?q?0叫做微分方程y???py??qy?0的特征方程? 特征方程的兩個(gè)根r1、r2可用公式

?p??p2?4q

r 1,2?2求出?

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微分方程

特征方程的根與通解的關(guān)系?

(1)特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1、r2時(shí)? 函數(shù)y1?er1x、y2?er2x是方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解?

這是因?yàn)?

函數(shù)y1?er1x、y2?er2x是方程的解? 又因此方程的通解為

y?C1er1x?C2er2x?

(2)特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根r1?r2時(shí)? 函數(shù)y1?er1x、y2?xer1x是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解?

這是因?yàn)? y1?er1x是方程的解? 又

r1xr1x2r1x

(xer1x)???p(xer1x)??q(xer1x)?(2r1?xr1?xr1)e?p(1)e?qxe r1x

2?er1x(2r1?p)?xe(r1?pr1?q)?0?

y1er1x(r1?r2)x不是常數(shù)?

??ey2er2xy2xer1x??x不是常數(shù)?

所以y2?xe也是方程的解? 且y1er1xr1x

因此方程的通解為

y?C1er1x?C2xer1x?

(3)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根r1, 2???i?時(shí)? 函數(shù)y?e(??i?)x、y?e(??i?)x是微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的復(fù)數(shù)形式的解? 函數(shù)y?e?xcos?x、y?e?xsin?x是微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的實(shí)數(shù)形式的解?

函數(shù)y1?e(??i?)x和y2?e(??i?)x都是方程的解? 而由歐拉公式? 得

y1?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?

y2?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?

1y1?y2?2e?xcos?x? e?xcos?x?(y1?y2)?

2三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

高等數(shù)學(xué)教案

微分方程

1y1?y2?2ie?xsin?x? e?xsin?x?(y1?y2)?

2i故e?xcos?x、y2?e?xsin?x也是方程解?

可以驗(yàn)證? y1?e?xcos?x、y2?e?xsin?x是方程的線性無關(guān)解?

因此方程的通解為

y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)?

求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y???py??qy?0的通解的步驟為?

第一步

寫出微分方程的特征方程

r2?pr?q?0 第二步

求出特征方程的兩個(gè)根r1、r2?

第三步

根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情況? 寫出微分方程的通解?

例1 求微分方程y???2y??3y?0的通解?

解 所給微分方程的特征方程為

r2?2r?3?0? 即(r?1)(r?3)?0?

其根r1??1? r2?3是兩個(gè)不相等的實(shí)根? 因此所求通解為

y?C1e?x?C2e3x?

例2 求方程y???2y??y?0滿足初始條件y|x?0?

4、y?| x?0??2的特解?

解 所給方程的特征方程為

r2?2r?1?0? 即(r?1)2?0?

其根r1?r2??1是兩個(gè)相等的實(shí)根? 因此所給微分方程的通解為

y?(C1?C2x)e?x?

將條件y|x?0?4代入通解? 得C1?4? 從而

y?(4?C2x)e?x?

將上式對(duì)x求導(dǎo)? 得

y??(C2?4?C2x)e?x?

再把條件y?|x?0??2代入上式? 得C2?2? 于是所求特解為

x?(4?2x)e?x?

例 3 求微分方程y???2y??5y? 0的通解?

解 所給方程的特征方程為

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微分方程

r2?2r?5?0?

特征方程的根為r1?1?2i? r2?1?2i? 是一對(duì)共軛復(fù)根?

因此所求通解為

y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?

n 階常系數(shù)齊次線性微分方程? 方程

y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)? ? ? ? ? pn?1y??pny?0?

稱為n 階常系數(shù)齊次線性微分方程? 其中 p1?

p2 ? ? ? ? ? pn?1? pn都是常數(shù)?

二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式? 可推廣到n 階常系數(shù)齊次線性微分方程上去?

引入微分算子D? 及微分算子的n次多項(xiàng)式?

L(D)=Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn? 則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作

(Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn)y?0或L(D)y?0? 注? D叫做微分算子D0y?y? Dy?y?? D2y?y??? D3y?y???? ? ? ??Dny?y(n)?

分析? 令y?erx? 則

L(D)y?L(D)erx?(rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn)erx?L(r)erx?

因此如果r是多項(xiàng)式L(r)的根? 則y?erx是微分方程L(D)y?0的解?

n 階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程?

L(r)?rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn?0 稱為微分方程L(D)y?0的特征方程?

特征方程的根與通解中項(xiàng)的對(duì)應(yīng)?

單實(shí)根r 對(duì)應(yīng)于一項(xiàng)? Cerx ?

一對(duì)單復(fù)根r1? 2?? ?i? 對(duì)應(yīng)于兩項(xiàng)? e?x(C1cos?x?C2sin?x)?

k重實(shí)根r對(duì)應(yīng)于k項(xiàng)? erx(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)?

一對(duì)k 重復(fù)根r1? 2?? ?i? 對(duì)應(yīng)于2k項(xiàng)?

e?x[(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)cos?x?(D1?D2x? ? ? ? ?Dk xk?1)sin?x]?

例4 求方程y(4)?2y????5y???0 的通解?

解

這里的特征方程為

r4?2r3?5r2?0? 即r2(r2?2r?5)?0?

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微分方程

它的根是r1?r2?0和r3? 4?1?2i?

因此所給微分方程的通解為

y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x)?

例5 求方程y(4)?? 4y?0的通解? 其中??0?

解

這里的特征方程為

r4?? 4?0?

它的根為r1,2??2?(1?i)? r3,4???2(1?i)?

因此所給微分方程的通解為

y?e2x(C1cos?2x?C2sin?2x)?e? ?2x(C3cos?2x?C4sin?2x)?

作業(yè)：P340：1（1）（3）（2）（4）（5）（6）（8），2（2）（4）（6）

§7? 8 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 方程

y???py??qy?f(x)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 其中p、q是常數(shù)?

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對(duì)應(yīng)的齊次方程 的通解y?Y(x)與非齊次方程本身的一個(gè)特解y?y*(x)之和?

y?Y(x)? y*(x)?

當(dāng)f(x)為兩種特殊形式時(shí)? 方程的特解的求法?

一、f(x)?Pm(x)e?x 型

當(dāng)f(x)?Pm(x)e?x時(shí)? 可以猜想? 方程的特解也應(yīng)具有這種形式? 因此? 設(shè)特解形式為y*?Q(x)e?x? 將其代入方程? 得等式

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微分方程

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

(1)如果?不是特征方程r2?pr?q?0 的根? 則?2?p??q?0? 要使上式成立? Q(x)應(yīng)設(shè)為m 次多項(xiàng)式?

Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?

通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm? 并得所求特解

y*?Qm(x)e?x?

(2)如果?是特征方程 r2?pr?q?0 的單根? 則?2?p??q?0? 但2??p?0? 要使等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

成立? Q(x)應(yīng)設(shè)為m?1 次多項(xiàng)式?

Q(x)?xQm(x)?

Qm(x)?b0xm ?b1xm?1? ? ? ?

?bm?1x?bm ?

通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ?

? bm? 并得所求特解

y*?xQm(x)e?x?

(3)如果?是特征方程 r2?pr?q?0的二重根? 則?2?p??q?0? 2??p?0? 要使等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

成立? Q(x)應(yīng)設(shè)為m?2次多項(xiàng)式?

Q(x)?x2Qm(x)?

Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?

通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm ? 并得所求特解

y*?x2Qm(x)e?x?

綜上所述? 我們有如下結(jié)論? 如果f(x)?Pm(x)e?x? 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y???py??qy ?f(x)有形如

y*?xk Qm(x)e?x 的特解? 其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項(xiàng)式? 而k 按?不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2?

例1 求微分方程y???2y??3y?3x?1的一個(gè)特解?

解 這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 且函數(shù)f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?3x?1? ??0)?

與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為

y???2y??3y?0?

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微分方程

它的特征方程為

r2?2r?3?0?

由于這里??0不是特征方程的根? 所以應(yīng)設(shè)特解為

y*?b0x?b1?

把它代入所給方程? 得

?3b0x?2b0?3b1?3x?1?

比較兩端x同次冪的系數(shù)? 得

???3b0?3? ?3b0?3? ?2b0?3b1?1? ?2b?3b?101?由此求得b0??1? b1?? 于是求得所給方程的一個(gè)特解為

y*??x??

例2 求微分方程y???5y??6y?xe2x的通解?

解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 且f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?x? ??2)?

與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為

y???5y??6y?0?

它的特征方程為

r2?5r ?6?0?

特征方程有兩個(gè)實(shí)根r1?2? r2?3? 于是所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為

Y?C1e2x?C2e3x ?

由于??2是特征方程的單根? 所以應(yīng)設(shè)方程的特解為

y*?x(b0x?b1)e2x?

把它代入所給方程? 得

?2b0x?2b0?b1?x?

比較兩端x同次冪的系數(shù)? 得

?1313??2b0?1? ?2b0?1? 2b0?b1?0? 2b?b?0?01三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

高等數(shù)學(xué)教案

微分方程

由此求得b0??1? b??1? 于是求得所給方程的一個(gè)特解為 121 y*?x(?x?1)e2x?

從而所給方程的通解為

y?C1e2x?C2e3x?(x2?2x)e2x?

提示?

y*?x(b0x?b1)e2x?(b0x2?b1x)e2x?

[(b0x2?b1x)e2x]??[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?

[(b0x2?b1x)e2x]???[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?

y*???5y*??6y*?[(b0x2?b1x)e2x]???5[(b0x2?b1x)e2x]??6[(b0x2?b1x)e2x] ?[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?5[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?6(b0x2?b1x)e2x ?[2b0?4(2b0x?b1)?5(2b0x?b1)]e2x?[?2b0x?2b0?b1]e2x?

方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解形式

應(yīng)用歐拉公式可得

e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]

?e?x[Pl(x)12ei? x?e?i? x?P(x)ei? x?e?i? x] n22i

?[Pe(??i?)x?[Pe(??i?)x

l(x)?iPn(x)]l(x)?iPn(x)]

?P(x)e(??i?)x?P(x)e(??i?)x?

其中P(x)?(Pl?Pni)? P(x)?(Pl?Pni)? 而m?max{l? n}?

設(shè)方程y???py??qy?P(x)e(??i?)x的特解為y1*?xkQm(x)e(??i?)x?

則y1*?xkQm(x)e(??i?)必是方程y???py??qy?P(x)e(??i?)的特解?

其中k按??i?不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1?

于是方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解為

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12121212高等數(shù)學(xué)教案

微分方程

y*?xkQm(x)e(??i?)x?xkQm(x)e(??i?)x

?xke?x[Qm(x)(cos?x?isin?x)?Qm(x)(cos?x?isin?x)

?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?

綜上所述? 我們有如下結(jié)論?

如果f(x)?e?x [Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]? 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

y???py??qy?f(x)的特解可設(shè)為

y*?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?

其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項(xiàng)式? m?max{l? n}? 而k 按??i?(或??i?)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1?

例3 求微分方程y???y?xcos2x的一個(gè)特解?

解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程?

且f(x)屬于e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型(其中??0? ??2? Pl(x)?x? Pn(x)?0）?

與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為

y???y?0?

它的特征方程為

r2?1?0?

由于這里??i??2i 不是特征方程的根? 所以應(yīng)設(shè)特解為

y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?

把它代入所給方程? 得

(?3ax?3b?4c)cos2x?(3cx?3d?4a)sin2x?xcos2x?

比較兩端同類項(xiàng)的系數(shù)? 得 a??? b?0? c?0? d?于是求得一個(gè)特解為 y*??xcos2x?sin2x?

提示?

y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?

y*??acos2x?2(ax?b)sin2x?csin2x?2(cx?d)cos2x?

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134?

91349高等數(shù)學(xué)教案

微分方程

?(2cx?a?2d)cos2x?(?2ax?2b?c)sin2x?

y*???2ccos2x?2(2cx?a?2d)sin2x?2asin2x?2(?2ax?2b?c)cos2x

?(?4ax?4b?4c)cos2x?(?4cx?4a?4d)sin2x?

y*??? y*?(?3ax?3b?4c)cos2x?(?3cx?4a?3d)sin2x?

??3a?1??3b?4c?014由?? 得a??? b?0? c?0? d?? ?3c?039???4a?3d?0作業(yè)：P347：1（1）（2）（5）（9）2（2）（3）（4）

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第四篇：第十章____重積分(高等數(shù)學(xué)教案)

高等數(shù)學(xué)教案

重積分

重積分

【教學(xué)目標(biāo)與要求】

1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，知道二重積分的中值定理。2.掌握二重積分的（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）計(jì)算方法。

3.掌握計(jì)算三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算方法。

4.會(huì)用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等）。

【教學(xué)重點(diǎn)】

1.二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）；

2.三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算。3.二、三重積分的幾何應(yīng)用及物理應(yīng)用。

【教學(xué)難點(diǎn)】

1.利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分； 2.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分； 3.物理應(yīng)用中的引力問題。

【教學(xué)課時(shí)分配】(10學(xué)時(shí))第1 次課

§１

第2 次課

§2

第3 次課

§3 第4 次課

§4

第5次課

習(xí)題課

【參考書】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

高等數(shù)學(xué)教案

重積分

§10? 1 二重積分的概念與性質(zhì)

【回顧】定積分

設(shè)函數(shù)y?f(x)在區(qū)間[a? b]上非負(fù)、連續(xù)? 求直線x?a、x?b、y?0 及曲線y?f(x)所圍成的曲邊梯形的面積?

(1)分割：用分點(diǎn)a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn ?b把區(qū)間[a? b]分成n個(gè)小區(qū)間?

[x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]? 記?xi?xi?xi?1(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

(2)代替：任取??i?[xi?1? xi]? 以[xi?1? xi]為底的小曲邊梯形的面積可近似為

f(?i)?xi(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

（3）作和：曲邊梯形面積A的近似值為

A??f(?)?x? iii?1nn(4)取極限：記??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 所以曲邊梯形面積的精確值為

A?lim??0?f(?)?x?

iii?1則

?baf(x)dx?A?lim?f(?i)?xi??0i?1n§10? 1 二重積分的概念與性質(zhì)

一、引例

1? 曲頂柱體的體積V 設(shè)有一立體? 它的底面是xOy面上的閉區(qū)域D? 其側(cè)面為母線平行于z軸的柱面? 其頂是曲面z?f(x? y)非負(fù)連續(xù)? 稱為曲頂柱體?

若立體的頂是平行于xoy面的平面。

體積=底面積?高

現(xiàn)在我們來討論如何計(jì)算曲頂柱體的體積?

（i）分割：用任意曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小區(qū)域 ：

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線? 作母線平行于z軸的柱面? 這些柱面把原來的曲頂柱體分為n個(gè)細(xì)曲頂柱體? 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

（ii）代替：在每個(gè)?? i中任取一點(diǎn)(? i ? ? i)? 以f(? i ? ? i)為高而底為?? i的平頂柱體的體積為

f(? i ? ? i)??i

(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

（iii）近似和： 整個(gè)曲頂柱體體積V

V??f(?i,?i)??i?

i?1n分割得越細(xì), 則右端的近似值越接近于精確值V, 若分割得“無限細(xì)”, 則右端近似值會(huì)無限接近于精確值V.（iv）取極限： 記 ??max{?i的直徑},1?i?n

其中??i的直徑是指??i中相距最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)的距離。則

V?lim?f(?i,?i)??i? 其中(?i,?i)???i

??0i?1n2?平面薄片的質(zhì)量?

當(dāng)平面薄板的質(zhì)量是均勻分布時(shí)，質(zhì)量 = 面密度×面積.若平面薄板的質(zhì)量不是均勻分布的.這時(shí), 薄板的質(zhì)量不能用上述公式算, 應(yīng)如何算該薄板的質(zhì)量M? 設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D? 它在點(diǎn)(x? y)處的面密度為?(x,y)? 這里?(x,y)非負(fù)連續(xù)? 現(xiàn)在要計(jì)算該薄片的質(zhì)量M?

（i）分割：用任意一組曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小區(qū)域：

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

（ii）代替：把各小塊的質(zhì)量近似地看作均勻薄片的質(zhì)量?

mi??(? i ? ? i)?? i ?

（iii）近似和： 各小塊質(zhì)量的和作為平面薄片的質(zhì)量的近似值?

M???(?i,?i)??i?

i?1n高等數(shù)學(xué)教案

重積分

將分割加細(xì)? 取極限? 得到平面薄片的質(zhì)量（iv）取極限：

記 ??max{?的直徑},i1?i?n

則

M?lim??(?i,?i)??i?

??0i?1n兩個(gè)問題的共性：(1)解決問題的步驟相同：

“分割, 代替,近似和,取極限”

(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同

曲頂柱體體積:

V?lim?f(?i,?i)??i

??0i?1n平面薄片的質(zhì)量:

M?lim??(?i,?i)??i

??0i?1n二、二重積分的定義及可積性

定義： 設(shè)f(x? y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)? 將閉區(qū)域D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

其中?? i表示第i個(gè)小區(qū)域? 也表示它的面積? 在每個(gè)?? i上任取一點(diǎn)(? i? ?i)? 作和

?f(?i,?i)??i?

i?1n如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值?趨于零時(shí)? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上的二重積分? 記作

??f(x,y)d?? 即

D

lim?f(?i,?i)??i? ??f(x,y)d????0i?1Dnf(x? y)被積函數(shù)? f(x? y)d?被積表達(dá)式? d?面積元素? x? y積分變量? D積分區(qū)域? 積分和?

直角坐標(biāo)系中的面積元素?

如果在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分D? 那么除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外? 其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域? 設(shè)矩形閉區(qū)域??i的邊長為?xi和?yi? 則??i??xi?yi? 因此在直角坐標(biāo)系中? 有時(shí)也把面積元素d? 記作dxdy? 而把二重積分記作 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

??f(x,y)dxdy

D其中dxdy叫做直角坐標(biāo)系中的面積元素?

二重積分的幾何意義? 如果f(x? y)?0? 被積函數(shù)f(x? y)可解釋為曲頂柱體的在點(diǎn)(x? y)處的豎坐標(biāo)? 所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積? 如果f(x? y)是負(fù)的? 柱體就在xOy 面的下方? 二重積分的絕對(duì)值仍等于柱體的體積? 但二重積分的值是負(fù)的?

說明：當(dāng)函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時(shí)? 則f(x? y)在D上的二重積分必存在。于是我們總假定函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，所以f(x? y)在D上的二重積分都是存在的。例1.利用二重積分定義計(jì)算：三.二重積分的性質(zhì)

設(shè)D為有界閉區(qū)域，以下涉及的積分均存在。性質(zhì)1 ??xydxdy，其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}。

D??[f(x,y)?g(x,y)]d????f(x,y)d????g(x,y)d??

DDD性質(zhì)2 設(shè)k為常數(shù)，則性質(zhì)3 ??kf(x,y)d??k??f(x,y)d?

DD??1?d????d??|D|，其中(|D|為D的面積)?

DD性質(zhì)4 設(shè)D?D1?D2，且D1,D2無公共內(nèi)點(diǎn)，則

??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d??

DD1D2性質(zhì)5.若在D上? f(x? y)?g(x? y)? 則

??f(x,y)d????g(x,y)d??

DD特殊：（1）若在D上f(x,y)?0，則

??f(x,y)d??0

D

（2）|??f(x,y)d?|???|f(x,y)|d??

DD

這是因?yàn)?|f(x,y)|?f(x,y)?|f(x,y)|

性質(zhì)6 設(shè)M、m分別是f(x? y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值? |D|為D的面積? 則

高等數(shù)學(xué)教案

重積分

m|D|???f(x,y)d??M|D|?

D

性質(zhì)7(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)? ? 為D的面積? 則在D上至少存在一點(diǎn)(?,?)?D，使

例2.比較下列積分的大?。??f(x,y)d??f(?,?)??

D??(x?y)d?，??(x?y)d?，DD23其中D?{(x,y)|(x?2)2?(y?1)2?2}

小結(jié)

1.二重積分的定義：

n?f(?,?)????f(x,y)d??lim?D?0iii?1i)，(d??dxdy2.二重積分的性質(zhì)（與定積分性質(zhì)相似）

教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題

在教學(xué)過程中要注意二重積分的定義，性質(zhì)以及應(yīng)用，并且要與定積分的定義、性質(zhì)進(jìn)行比較，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。

師生活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.比較下列積分值的大小關(guān)系：I1?2x?y?1??|xy|dxdy，I22?|x|?|y|?1??|xy|dxdy，I3??1?1?1?1|xy|dxdy

22(sinx?cosy)d??2，其中D為0?x?1,0?y?1。??D2.證明：1?講課提綱、板書設(shè)計(jì)

作業(yè) P137: 4（1）（3），5（1）（4）

§10? 2 二重積分的計(jì)算法 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分

X??型區(qū)域?

D ?

?1(x)?y??2(x)? a?x?b ?

Y ??型區(qū)域? D ?

?1(x)?y??2(x)? c?y?d ?

混合型區(qū)域?

設(shè)f(x? y)?0?

D?{(x? y)| ?1(x)?y??2(x)? a?x?b}?

此時(shí)二重積分柱體的體積?

對(duì)于x0?[a? b]?

曲頂柱體在x?x0的截面面積為以區(qū)間[?1(x0)? ?2(x0)]為底、以曲線z?f(x0? y)為曲邊的曲邊梯形? 所以這截面的面積為

A(x0)??2(x0)10??f(x,y)d?在幾何上表示以曲面z?f(x? y)為頂? 以區(qū)域D為底的曲頂D??(x)1f(x0,y)dy?

根據(jù)平行截面面積為已知的立體體積的方法? 得曲頂柱體體積為

V?即

V?可記為

?aA(x)dx??a[??(x)b?2(x)a?1(x)bb?2(x)f(x,y)dy]dx?

??f(x,y)d???[?Dbf(x,y)dy]dx?

??f(x,y)d???adx??(x)D1?2(x)f(x,y)dy?

類似地? 如果區(qū)域D為Y ??型區(qū)域?

D ? ?1(x)?y??2(x)? c?y?d ?

則有

??f(x,y)d???dy?Dcd?2(y)?1(y)f(x,y)dx?

例1? 計(jì)算??xyd?? 其中D是由直線y?

1、x?2及y?x所圍成的閉區(qū)域?

D

解? 畫出區(qū)域D?

方法一?

可把D看成是X??型區(qū)域? 1?x?2? 1?y?x ? 于是

422y2x1xx1293?[?]??

?[x?]dx?(x?x)dxxyd??[xydy]dx11?12???1?124282?12x2D注? 積分還可以寫成??xyd???dx?xydy??xdx?ydy?

D11112x2x高等數(shù)學(xué)教案

重積分

解法2? 也可把D看成是Y??型區(qū)域? 1?y?2? y?x?2 ? 于是

422y3x22y29??xyd???1[?yxydx]dy??1[y?2]ydy??1(2y?2)dy?[y?8]1?8? 222D

例2? 計(jì)算??yD1?x2?y2d?? 其中D是由直線y?

1、x??1及y?x所圍成的閉區(qū)域?

解

畫出區(qū)域D? 可把D看成是X??型區(qū)域? ?1?x?1? x?y?1? 于是

11[(1?x2?y2)2]1dx??11(|x|3?1)dx ??y1?x?yd??dxy1?x?ydyx????1?x3??13??1221122D31???(x3?1)dx??

302

也可D看成是Y??型區(qū)域：?1?y?1? ?1?x

??y1?x2?y2d???ydy?D?1D1y?11?x2?y2dx?

例3 計(jì)算

2xyd?? 其中D是由直線y?x?2及拋物線y?x所圍成的閉區(qū)域?

??

解 積分區(qū)域可以表示為D?D1+D2?

其中D, ?x?y?x? D2: 1?x?4, 2?y?x? 于是 1: 0?x?1

??xyd???dx?D021x?xxydy??dx?14xx?2xydy?

積分區(qū)域也可以表示為D? ?1?y?2? y2?x?y?2? 于是

??xyd????1dy?yDy?222x12[y(y?2)2?y5]dy

?2xydx??[y]y2dy?y?122??126y443152y2

?[?y?2y?]?1?5?

24368討論積分次序的選擇?

例

4求兩個(gè)底圓半徑都等于?的直交圓柱面所圍成的立體的體積?

解

設(shè)這兩個(gè)圓柱面的方程分別為

x2?y2?? 2及x2?z2?? 2? 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

利用立體關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱性? 只要算出它在第一卦限部分的體積V1? 然后再乘以8就行了?

第一卦限部分是以D?{(x? y)| 0?y?R2?x2, 0?x??}為底? 以z?R2?x2頂?shù)那斨w?

于是

V?8??DR?xd??8?dx?022RR2?x20R2?x2dy?8?[R2?x2y]0R0R2?x2dx

16R3?

22(R?x)dx??03 二?

利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分

?8R

有些二重積分? 積分區(qū)域D 的邊界曲線用極坐標(biāo)方程來表示比較方便? 且被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量?、? 表達(dá)比較簡單?

這時(shí)我們就可以考慮利用極坐標(biāo)來計(jì)算二重積分

lim?f(?i,?i)??i?

??f(x,y)d?? 按二重積分的定義??f(x,y)d????0DnDi?

1下面我們來研究這個(gè)和的極限在極坐標(biāo)系中的形式?

以從極點(diǎn)O出發(fā)的一族射線及以極點(diǎn)為中心的一族同心圓構(gòu)成的網(wǎng)將區(qū)域D分為n個(gè)小閉區(qū)域? 小閉區(qū)域的面積為?

111222??(?i???i)???i???i??i??i??i?

?i2其中?i表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值?

在??i內(nèi)取點(diǎn)(?i , ?i)? 設(shè)其直角坐標(biāo)為(? i? ? i)?

則有

??i?(?i???i)2???i???i2???i?(2?i???i)??i???i

?i??i cos?i? ?i??i sin?i?

lim?f(?i cos?i,?i sin?i)?i ??i??i?

?f(?i,?i)??i???0i?1i?1nn于是 lim??0即

??f(x,y)d????f(?cos?,?sin?)?d?d??

DD若積分區(qū)域D可表示為? 1(?)???? 2(?)?

?????? 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

則

??f(?cos?,?sin?)?d?d???d??D??2(?)??1(?)f(?cos?,?sin?)?d??

討論?如何確定積分限?

??f(?cos?,?sin?)?d?d????d??0D2?D0??(?)f(?cos?,?sin?)?d??

??f(?cos?,?sin?)?d?d???d???xe??D2?(?)0f(?cos?,?sin?)?d??

例5? 計(jì)算域? ?y2dxdy? 其中D是由中心在原點(diǎn)、半徑為a 的圓周所圍成的閉區(qū)

解

在極坐標(biāo)系中? 閉區(qū)域D可表示為

0???a ? 0?? ?2? ?

于是 ??e?xD2?y2adxdy???e???d?d???[?e???d?]d? ??[?1e??]0d?

0002D22?a22??(1?e?a)

注? 此處積分

122?022?d???(1?e?a)?

dxdy?

2??e?xD22?y2dxdy也常寫成x2?y2?a2??e?x?y2

利用x2?y2?a2?xe???y2dxdy??(1?e?a)計(jì)算廣義積分?e?xdx?

02??2

設(shè)D1?{(x? y)|x2?y2?R2? x?0? y?0}? D2?{(x? y)|x2?y2?2R2? x?0? y?0}?S?{(x? y)|0?x?R? 0?y?R}?

顯然D1?S?D2? 由于e?x

2?y2?0? 從則在這些閉區(qū)域上的二重積分之間有不等式

2??e?xD12?y2dxdy???e?xS?y2dxdy???e?xD22?y2dxdy?

因?yàn)?/p>

??e?xS2?y2dxdy??e?xdx??e?ydy?(?e?xdx)2?

000R2R2R2又應(yīng)用上面已得的結(jié)果有 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

??e?xD12?y2dxdy??(1?e?R)?

42??e?xD22?y2dxdy??(1?e?2R)?

42于是上面的不等式可寫成?(1?e?R2)?(Re?x2dx)2??(1?e?2R2)?

?404令R???? 上式兩端趨于同一極限

?? 從而??e?x2dx???

?4 02

例6 求球體x2?y2?z2?4a2被圓柱面x2?y2?2ax所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積?

解

由對(duì)稱性? 立體體積為第一卦限部分的四倍?

V?4??D4a2?x2?y2dxdy?

其中D為半圓周y?2ax?x2及x軸所圍成的閉區(qū)域?

在極坐標(biāo)系中D可表示為

0???2a cos? ? 0???于是

V?4 ??

22acos?2d?00??D4a???d?d??4??22??4a2??2?d?

3232?2

?a2?2(1?sin3?)d??a2(?)?

03323

小結(jié)

1.二重積分化為累次積分的方法；

2.積分計(jì)算要注意的事項(xiàng)。

教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題

在教學(xué)過程中要注意二重積分化為累次積分的方法：分直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)，以及在計(jì)算時(shí)要注意事項(xiàng)，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。

師生活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.設(shè)f(x)?C[0,1]，且?f(x)dx?A，求I??dx?f(x)f(y)dy。

00x111?2.交換積分順序I??2??2d??acos?0f(r,?)dr，(a?0)

講課提綱、板書設(shè)計(jì) 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

作業(yè) P154: 1(2),(4);2(1),(3);6(2),(4);12(1),(3);13(3),(4);14(1),(2)；15（1）（2）

§10?3

三重積分 一、三重積分的概念

定義 設(shè)f(x? y? z)是空間有界閉區(qū)域?上的有界函數(shù)? 將?任意分成n個(gè)小閉區(qū)域：

?v1? ?v2? ? ? ? ? ?vn

其中?vi表示第i個(gè)小閉區(qū)域? 也表示它的體積? 在每個(gè)?vi上任取一點(diǎn)(?i? ?i? ?i)? 作乘積f(?

i? ? i? ? i)?vi(i?1? 2? ? ? ?? n)并作和

?f(?i,?i,?i)?vi? 如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值?i?1n趨于零時(shí)?

這和的極限總存在?

則稱此極限為函數(shù)f(x? y? z)在閉區(qū)域?上的三重積分? 記作???f(x,y,z)dv?

即

?高等數(shù)學(xué)教案

重積分

lim?f(?i,?i,?i)?vi?

???f(x,y,z)dv???0i?1?n

三重積分中的有關(guān)術(shù)語? ???——積分號(hào)?

f(x? y? z)——被積函數(shù)?

f(x? y? z)dv——被?積表達(dá)式?

dv體積元素?

x? y? z——積分變量?

?——積分區(qū)域?

在直角坐標(biāo)系中? 如果用平行于坐標(biāo)面的平面來劃分?? 則?vi??xi ?yi?zi ? 因此也把體積元素記為dv ?dxdydz? 三重積分記作

???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dxdydz?

??

當(dāng)函數(shù)f(x? y? z)在閉區(qū)域?上連續(xù)時(shí)? 極限lim?f(?i,?i,?i)?vi是存在的?

??0i?1n因此f(x? y? z)在?上的三重積分是存在的? 以后也總假定f(x? y? z)在閉區(qū)域?上是連續(xù)的?

三重積分的性質(zhì)? 與二重積分類似?

比如

???[c1f(x,y,z)?c2g(x,y,z)]dv?c1???f(x,y,z)dv?c2???g(x,y,z)dv?

???

?1??2???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv?

?1?2?

???dv?V? 其中V為區(qū)域?的體積? 二、三重積分的計(jì)算

1? 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分

三重積分的計(jì)算? 三重積分也可化為三次積分來計(jì)算? 設(shè)空間閉區(qū)域?可表為

z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b?

則

???f(x,y,z)dv???[?z(x,y)?D1z2(x,y)f(x,y,z)dz]d?

?dxb?a?y(x)[?z(x,y)11by2(x)z2(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz?

?dx?a?y(x)1y2(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)高等數(shù)學(xué)教案

重積分

即 ???f(x,y,z)dv??dx??aby2(x)y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz?

其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區(qū)域?在xOy面上的投影區(qū)域?

提示? 設(shè)空間閉區(qū)域?可表為

z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b?

計(jì)算???f(x,y,z)dv?

?基本思想?

對(duì)于平面區(qū)域D?

y1(x)?y?y2(x)? a?x?b內(nèi)任意一點(diǎn)(x? y)? 將f(x? y? z)只看作z的函數(shù)? 在區(qū)間[z1(x? y)?

z2(x? y)]上對(duì)z積分? 得到一個(gè)二元函數(shù)F(x? y)?

F(x,y)?z2(x,y)1?z(x,y)f(x,y,z)dz?

然后計(jì)算F(x? y)在閉區(qū)域D上的二重積分? 這就完成了f(x? y? z)在空間閉區(qū)域?上的三重積分?

??F(x,y)d????[?DD1z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d???dx?aby2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy?

則 ???f(x,y,z)dv???[?z(x,y)?Dz2(x,y)f(x,y,z)dz]d?

z2(x,y)

1?dxb?a?y(x)[?z(x,y)1by2(x)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz?

f(x,y,z)dz?

?dx即

?a?y(x)1y2(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)???f(x,y,z)dv??adx?y(x)dy?z(x,y)?11by2(x)z2(x,y)其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區(qū)域?在xOy面上的投影區(qū)域?

例1 計(jì)算三重積分域?

解 作圖? 區(qū)域?可表示為:

0?z?1?x?2y? 0?y?(1?x)? 0?x?1? ???xdxdydz? 其中?為三個(gè)坐標(biāo)面及平面x?2y?z?1所圍成的閉區(qū)?12高等數(shù)學(xué)教案

重積分

于是

???xdxdydz ??0dx??11?x1?x?2y2dyxdz 00?

??0xdx?11?x2(1?x?2y)dy0

111?

??(x?2x2?x3)dx?4048

討論? 其它類型區(qū)域呢?

有時(shí)? 我們計(jì)算一個(gè)三重積分也可以化為先計(jì)算一個(gè)二重積分、再計(jì)算一個(gè)定積分? 設(shè)空間閉區(qū)域??{(x? y? z)|(x? y)?Dz? c1? z?c2}? 其中Dz是豎坐標(biāo)為z 的平面截空間閉區(qū)域?所得到的一個(gè)平面閉區(qū)域? 則有

???f(x,y,z)dv??cdz??f(x,y,z)dxdy?

?1c2Dz2y2z2x

例2 計(jì)算三重積分???zdxdydz? 其中?是由橢球面2?2?2?1所圍成的空間閉

abc?2區(qū)域?

解 空間區(qū)域?可表為: x2?y2?1?z 2? ?c? z?c?

ab2c2于是

????2zzdxdydz ?zdzdxdy??ab?(1?2)z2dz?4?abc3?

?c?c15cD2?c2??zc

練習(xí)：

例3? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz?化為三次積分? 其中

(1)?是由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區(qū)域?

(2)?是雙曲拋物面xy?z及平面x?y?1?0? z?0所圍成的閉區(qū)域?

(3)其中?是由曲面z?x2?2y2及z?2?x2所圍成的閉區(qū)域?

例4? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz?化為先進(jìn)行二重積分再進(jìn)行定積分的形式?

其中?由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區(qū)域?

2? 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

設(shè)M(x? y? z)為空間內(nèi)一點(diǎn)? 并設(shè)點(diǎn)M在xOy面上的投影P 的極坐標(biāo)為P(?? ?)? 則這樣的三個(gè)數(shù)?、?、z就叫做點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)? 這里規(guī)定?、?、z的變化范圍為? 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

0??

坐標(biāo)面???0? ? ?? 0? z?z0的意義?

點(diǎn)M 的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系?

?x??cos??

x??cos?? y??sin?? z?z ? ?y??sin?

??z?z

柱面坐標(biāo)系中的體積元素? dv??d?d?dz?

簡單來說? dxdy??d?d? ? dxdydz?dxdy?dz??d?d? dz?

柱面坐標(biāo)系中的三重積分?

???f(x,y,z)dxdydz????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz?

??

例5利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分圍成的閉區(qū)域?

解 閉區(qū)域?可表示為?

?2?z?4? 0???2? 0???2??

于是

???zdxdydz? 其中?是由曲面z?x?y與平面z?4所

2????zdxdydz????z?d?d?dz

??1d??(16??4)d? d??d?zdz??0?0??2?02?01164??

??2?[8?2??6]2?026

3?2422?2?

3? 利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

設(shè)M(x? y? z)為空間內(nèi)一點(diǎn)? 則點(diǎn)M也可用這樣三個(gè)有次序的數(shù)r、?、? 來確定? 其中 r為原點(diǎn)O與點(diǎn)M間的距離? ?為OM與z軸正向所夾的角? ?為從正z軸來看自x軸按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到有向線段OP的角? 這里P為點(diǎn)M在xOy面上的投影? 這樣的三個(gè)數(shù)r、?、??? 叫做點(diǎn)M的球面坐標(biāo)? 這里r、?、? 的變化范圍為

0?r

坐標(biāo)面r?r0? ???0? ???0的意義，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系?

?x?rsin?cos??

x?rsin?cos?? y?rsin?sin?? z?rcos? ? ?y?rsin?sin?

??z?rcos?高等數(shù)學(xué)教案

重積分

球面坐標(biāo)系中的體積元素?

dv?r2sin?drd?d? ?

球面坐標(biāo)系中的三重積分?

???f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?drd?d??

??

例6 求半徑為a的球面與半頂角?為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積?

解 該立體所占區(qū)域?可表示為?

0?r?2acos?? 0????? 0???2??

于是所求立體的體積為

V????dxdydz????r2sin?drd?d???d??d????2??2acos?000r2sin?dr

?2??0?sin?d??2acos?0r2dr

316?a

?33??034cos?sin?d??4?a(1?cosa)?

3提示? 球面的方程為x2?y2?(z?a)2?a2? 即x2?y2?z2?2az? 在球面坐標(biāo)下此球面的方程為r2?2arcos?? 即r?2acos??

小結(jié)

1.三重積分的定義和計(jì)算； 2.換元積分公式。

教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題

在教學(xué)過程中要注意三重積分的定義和計(jì)算以及換元積分公式的應(yīng)用，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。

師生活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.將I????f(x,y,z)dv?用三次積分表示，其中?由六個(gè)平面x?0,x?2,y?1,x?2y?4,z?x,z?2所圍成，f(x,y,z)?C(?)。

2.設(shè)?由錐面z?2I???(x?y?z)dv ??x2?y2和球面x2?y2?z2?4所圍成，計(jì)算講課提綱、板書設(shè)計(jì)

作業(yè) P164: 4，5，7，9（1）高等數(shù)學(xué)教案

重積分

§10? 4 重積分的應(yīng)用

一、曲面的面積

設(shè)曲面S由方程 z?f(x? y)給出? D為曲面S在xOy面上的投影區(qū)域? 函數(shù)f(x? y)在D上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)fx(x? y)和fy(x? y)? 現(xiàn)求曲面的面積A ?

在區(qū)域D內(nèi)任取一點(diǎn)P(x? y)? 并在區(qū)域D內(nèi)取一包含點(diǎn)P(x? y)的小閉區(qū)域d?? 其面積也記為d?? 在曲面S上點(diǎn)M(x? y? f(x? y))處做曲面S的切平面T? 再做以小區(qū)域d?的邊界曲線為準(zhǔn)線、母線平行于z軸的柱面? 將含于柱面內(nèi)的小塊切平面的面積作為含于柱面內(nèi)的小塊曲面面積的近似值? 記為dA? 又設(shè)切平面T的法向量與z軸所成的角為? ? 則

dA?d??1?f2(x,y)?f2(x,y)d??

xycos?這就是曲面S的面積元素?

于是曲面S 的面積為 A???D1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d?? 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

或

A???D1?(?z)2?(?z)2dxdy?

?x?y

設(shè)dA為曲面S上點(diǎn)M處的面積元素? dA在xOy面上的投影為小閉區(qū)域d?? M在xOy面上的投影為點(diǎn)P(x? y)? 因?yàn)榍嫔宵c(diǎn)M處的法向量為n?(?fx? ?fy? 1)? 所以

dA?|n|d??1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d??

提示? dA與xOy面的夾角為(n?^ k)? dAcos(n?^ k)?d??

n?k?|n|cos(n?^ k)?1? cos(n?^ k)?|n|?1?

討論? 若曲面方程為x?g(y? z)或y?h(z? x)? 則曲面的面積如何求？

A?Dyz??1?(?x)2?(?x)2dydz?

?y?z1?(?y2?y2)?()dzdx?

?z?x或

A?Dzx??其中Dyz是曲面在yOz面上的投影區(qū)域?

Dzx是曲面在zOx面上的投影區(qū)域?

例1 求半徑為R的球的表面積?

提示?

?y?z??x?z??z?zR? ? 1?()2?()2??

222222222?x?y?x?yR?x?yR?x?yR?x?y

解 球面的面積A為上半球面面積的兩倍?

上半球面的方程為z?R2?x2?y2? 而

?y?z??x?z?? ?

222222?x?yR?x?yR?x?y所以

A?22x?y2?R2??1?(?z)2?(?z)2

?x?y2?R?d?R dxdy?2R?d??2222200R??R?x?yR0

?22x?y2?R2??

??4?RR2??2 ?4?R2?

例2設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星? 距地面的高度為h?36000km? 運(yùn)行的角速度與高等數(shù)學(xué)教案

重積分

地球自轉(zhuǎn)的角速度相同? 試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑R?6400km)?

二、質(zhì)心

設(shè)有一平面薄片? 占有xOy 面上的閉區(qū)域D? 在點(diǎn)P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要求該薄片的質(zhì)心坐標(biāo)?

在閉區(qū)域D上任取一點(diǎn)P(x? y)? 及包含點(diǎn)P(x? y)的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為

dMx?y?(x? y)d?? dMy?x?(x? y)d??

平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩分別為

Mx???y?(x,y)d?? My???x?(x,y)d??

DD

設(shè)平面薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為(x, y)?平面薄片的質(zhì)量為M? 則有

x?M?My? y?M?Mx ?

于是

x?My?M??x?(x,y)d?D???(x,y)d?D? y?Mx?M??y?(x,y)d?D???(x,y)d?D?

提示? 將P(x? y)點(diǎn)處的面積元素d?看成是包含點(diǎn)P的直徑得小的閉區(qū)域? D上任取一點(diǎn)P(x? y)? 及包含的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為

討論? 如果平面薄片是均勻的? 即面密度是常數(shù)? 則平面薄片的質(zhì)心(稱為形心)如何求？

求平面圖形的形心公式為

??xd?

x?D??yd??

y?D??d?D??d?D?

例3 求位于兩圓??2sin? 和??4sin? 之間的均勻薄片的質(zhì)心?

解 因?yàn)殚]區(qū)域D對(duì)稱于y軸? 所以質(zhì)心C(x, y)必位于y軸上? 于是x?0? 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

因?yàn)?/p>

2yd???????sin?d?d???sin?d??DD?4sin?02sin??2d??7??

??d????22???12?3??

D??yd?所以y?DD?7??7? 所求形心是C(0, 7)?

3??d?3?

3類似地? 占有空間閉區(qū)域?、在點(diǎn)(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)(假寬?(x? y? z)在?上連續(xù))的物體的質(zhì)心坐標(biāo)是

x?1M1? x?(x,y,z)dvy????M?1? y?(x,y,z)dvz????M????z?(x,y,z)dv?

?

其中M?????(x,y,z)dv?

?

例4 求均勻半球體的質(zhì)心?

提示?

?? 0?r?a? 0????? 0???2??

2?2?a???dv???2?2d?00??d??rsin?dr??2sin?d??d??r2dr?2?a?

00003a2???zdv??02d??0??2?42?a1a132d??rcos??rsin?dr??sin2?d??d??rdr??2???

0002420a2?

三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)有一平面薄片? 占有xOy面上的閉區(qū)域D? 在點(diǎn)P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要求該薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?

在閉區(qū)域D上任取一點(diǎn)P(x? y)? 及包含點(diǎn)P(x? y)的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的元素分別為

dIx?y2?(x? y)d? ? dI y?x2?(x? y)d? ?

整片平面薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為

Ix???y2?(x,y)d?? Iy???x2?(x,y)d??

DD高等數(shù)學(xué)教案

重積分

例5 求半徑為a 的均勻半圓薄片(面密度為常量?)對(duì)于其直徑邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?

解 取坐標(biāo)系如圖? 則薄片所占閉區(qū)域D可表示為

D?{(x? y)| x2?y2?a2? y?0} 而所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即半圓薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix ?

Ix????y2d??????2sin2???d?d?

DD

??

?其中M??0sin? d??0?2a4?a2?d?????sin? d?

4031?a4???1Ma2?

4241?a2?為半圓薄片的質(zhì)量?

2類似地? 占有空間有界閉區(qū)域?、在點(diǎn)(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)的物體對(duì)于x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

Ix?

Iy?

Iz????(y2?z2)?(x,y,z)dv?

??22(z?x)?(x,y,z)dv? ??????(x2?y2)?(x,y,z)dv?

?

例6 求密度為?的均勻球體對(duì)于過球心的一條軸l的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?

解 取球心為坐標(biāo)原點(diǎn)? z軸與軸l重合? 又設(shè)球的半徑為a? 則球體所占空間閉區(qū)域

??{(x? y? z)| x2?y2?z2?a2}?

所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即球體對(duì)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iz ?

Iz????(x2?y2)? dv

?

?????(r2sin2? cos2??r2sin2? sin2?)r2sin?drd?d?

?

??8?a5??2a2M?

4rsin?drd?d???d?sin? d?rdr?????0?0?0515?432??3a其中M?4?a3?為球體的質(zhì)量?

3提示?

x2?y2?r2sin2?cos2??r2sin2? sin2??r2sin2??

四、引力

我們討論空間一物體對(duì)于物體外一點(diǎn)P0(x0? y0? z0)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力問題? 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

設(shè)物體占有空間有界閉區(qū)域?? 它在點(diǎn)(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)? 并假定?(x? y? z)在?上連續(xù)?

在物體內(nèi)任取一點(diǎn)(x? y? z)及包含該點(diǎn)的一直徑很小的閉區(qū)域dv(其體積也記為dv)? 把這一小塊物體的質(zhì)量?dv近似地看作集中在點(diǎn)(x? y? z)處? 這一小塊物體對(duì)位于P0(x0? y0? z0)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力近似地為

dF?(dFx,dFy,dFz)

?(G其中?(x,y,z)(x?x0)r3dv,G?(x,y,z)(y?y0)r3dF

dv,G?(x,y,z)(z?z0)r3dv)?

dFx、dFy、dFz為引力元素

在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量?

r?(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2? G為引力常數(shù)? 將dFx、dFy、dFz在?上分別積分? 即可得Fx、Fy、Fz? 從而得F?(Fx、Fy、Fz)?

例7設(shè)半徑為R的勻質(zhì)球占有空間閉區(qū)域??{(x? y? z)|x2?y2?z2?R2)? 求它對(duì)于位于點(diǎn)M0(0? 0? a)(a>R)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力?

解 設(shè)球的密度為?0? 由球體的對(duì)稱性及質(zhì)量分布的均勻性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z軸的分量為

Fz????G?0?z?adv

[x2?y2?(z?a)2]3/ ?G?0??R??RRR(z?a)dzdxdy ??2223/2[x?y?(z?a)]x2?y2?R2?z22?R2?z22

?G?0(z?a)dz?d??0R?d?[??(z?a)]23/20

?2?G?01?1(z?a)()dz ??R22a?zR?2az?a1R(z?a)dR2?2az?a2]

a??R32R

?2G??0(?2R?2R?2)

3a4?R3??1??GM

??G?? 023aa2

?2?G?0[?2R?高等數(shù)學(xué)教案

重積分

其中M?4?R3?0為球的質(zhì)量?

3上述結(jié)果表明? 勻質(zhì)球?qū)η蛲庖毁|(zhì)點(diǎn)的引力如同球的質(zhì)量集中于球心時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)間的引力?

小結(jié)

1.曲面面積的計(jì)算；

2.質(zhì)心的計(jì)算；

3.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義和求解。

教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題

在教學(xué)過程中要注意曲面面積的計(jì)算，質(zhì)心的計(jì)算，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義和求解，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。

師生活動(dòng)設(shè)計(jì) 1.設(shè)有一高度為h(t)(t為時(shí)間)的雪堆在融化過程中,其側(cè)面滿足方程2(x2?y2)，設(shè)長度單位為厘米, 時(shí)間單位為小時(shí), 已知體積減少的速率與側(cè)z?h(t)?h(t)面積成正比(比例系數(shù) 0.9), 問高度為130 cm 的雪堆全部融化需要多少小時(shí)?(2001考研)講課提綱、板書設(shè)計(jì) 作業(yè) P175: 1，2，4（1），7（1）

高等數(shù)學(xué)教案

重積分

習(xí)題課

一、重積分計(jì)算的基本方法

—— 累次積分法

1.選擇合適的坐標(biāo)系

使積分域多為坐標(biāo)面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡潔或變量分離.2.選擇易計(jì)算的積分序

積分域分塊要少, 累次積分易算為妙.3.掌握確定積分限的方法

圖示法；列不等式法(從內(nèi)到外: 面、線、點(diǎn))

二、重積分計(jì)算的基本技巧 1.交換積分順序的方法

2.利用對(duì)稱性或重心公式簡化計(jì)算 3.消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào) 4.利用重積分換元公式

三、重積分的應(yīng)用 1.幾何方面

面積(平面域或曲面域), 體積 , 形心 2.物理方面

質(zhì)量, 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 質(zhì)心, 引力

3.其它方面

四、例題分析

1.在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上 , 要接上一個(gè)一邊與直徑等長的同樣材料的均勻矩形薄片,使整個(gè)薄片的重心恰好落在圓心上 ,問接上去的均勻矩形薄片的另一邊長 高等數(shù)學(xué)教案

重積分

度應(yīng)為多少? 2.計(jì)算積分3.??(x?y)d?，其中D由yD2x2?y22?2x，x?y?4，x?y?12所圍成。

計(jì)算二重積分

DI???(x?xye)dxdy, 其中

（1）D為圓域 x2?y2?1;（2）D由直線y?x,y??1,x?1圍成 P182;6;(1),(3)

第五篇：高等數(shù)學(xué)教案ch 9 重積分

第九章

重積分

教學(xué)目的：

1、理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，知道二重積分的中值定理。

2、掌握二重積分的（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）計(jì)算方法。

3、掌握計(jì)算三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算方法。

4、會(huì)用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等）。教學(xué)重點(diǎn)：

1、二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）；

2、三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算。

3、二、三重積分的幾何應(yīng)用及物理應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：

1、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分；

2、利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分；

3、物理應(yīng)用中的引力問題。

§9? 1 二重積分的概念與性質(zhì) 一、二重積分的概念

1? 曲頂柱體的體積

設(shè)有一立體? 它的底是xOy面上的閉區(qū)域D? 它的側(cè)面是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面? 它的頂是曲面z?f(x? y)? 這里f(x? y)?0且在D上連續(xù)? 這種立體叫做曲頂柱體? 現(xiàn)在我們來討論如何計(jì)算曲頂柱體的體積?

首先? 用一組曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小區(qū)域：

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線? 作母線平行于z軸的柱面? 這些柱面把原來的曲頂柱體分為n個(gè)細(xì)曲頂柱體? 在每個(gè)?? i中任取一點(diǎn)(? i ? ? i)? 以f(? i ? ? i)為 高而底為?? i的平頂柱體的體積為 ： f(? i ? ? i)??i(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

這個(gè)平頂柱體體積之和：V??f(?i,?i)??i?

i?1n可以認(rèn)為是整個(gè)曲頂柱體體積的近似值? 為求得曲頂柱體體積的精確值? 將分割加密? 只需取極限? 即 V?lim?f(?i,?i)??i?

??0i?1n其中?是個(gè)小區(qū)域的直徑中的最大值?

2?平面薄片的質(zhì)量?

設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D? 它在點(diǎn)(x? y)處的面密度為?(x? y)? 這里?(x? y)?0且在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要計(jì)算該薄片的質(zhì)量M?

用一組曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小區(qū)域

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

把各小塊的質(zhì)量近似地看作均勻薄片的質(zhì)量?

?(? i ? ? i)?? i ?

各小塊質(zhì)量的和作為平面薄片的質(zhì)量的近似值? M???(?i,?i)??i?

i?1nn

將分割加細(xì)? 取極限? 得到平面薄片的質(zhì)量M?lim??(?i,?i)??i?

??0i?1其中?是個(gè)小區(qū)域的直徑中的最大值?

定義 設(shè)f(x? y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)? 將閉區(qū)域D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

其中?? i表示第i個(gè)小區(qū)域? 也表示它的面積? 在每個(gè)?? i上任取一點(diǎn)(? i? ?i)? 作和

n?i?1f(?i,?i)??i?

如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值?趨于零時(shí)? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上的二重積分? 記作??f(x,y)d?? 即

D??Df(x,y)d??lim??0i?1?f(?i,?i)??i?

nf(x? y)被積函數(shù)? f(x? y)d?被積表達(dá)式? d?面積元素? x? y積分變量? D積分區(qū)域? 積分和?

直角坐標(biāo)系中的面積元素?

如果在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分D? 那么除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外? 其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域? 設(shè)矩形閉區(qū)域??i的邊長為?xi和?yi? 則??i??xi?yi? 因此在直角坐標(biāo)系中? 有時(shí)也把面積元素d? 記作dxdy? 而把二重積分記作

??Df(x,y)dxdy

其中dxdy叫做直角坐標(biāo)系中的面積元素?

二重積分的存在性? 當(dāng)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時(shí)? 積分和的極限是存在的?

也就是說函數(shù)f(x? y)在D上的二重積分必定存在? 我們總假定函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)? 所以f(x? y)在D上的二重積分都是存在的?

二重積分的幾何意義? 如果f(x? y)?0? 被積函數(shù)f(x? y)可解釋為曲頂柱體的在點(diǎn)(x? y)處的豎坐標(biāo)? 所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積? 如果f(x? y)是負(fù)的? 柱體就在xOy 面的下方? 二重積分的絕對(duì)值仍等于柱體的體積? 但二重積分的值是負(fù)的?

二?

二重積分的性質(zhì)

性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù)? 則

??[c1f(x,y)?c2g(x,y)]d?D?c1??f(x,y)d??c2??g(x,y)d?DD?

性質(zhì)2如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個(gè)部分閉區(qū)域? 則在D上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和? 例如D分為兩個(gè)閉區(qū)域D1與D2? 則

??Df(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d??

D1D

2性質(zhì)3 ??1?d????d???(?為D的面積)?

DD

性質(zhì)4 如果在D上? f(x? y)?g(x? y)? 則有不等式

??Df(x,y)d????g(x,y)d?D?

特殊地

|??f(x,y)d?|???|f(x,y)|d??

DD

性質(zhì)5 設(shè)M、m分別是f(x? y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值? ?為D的面積? 則有

m????Df(x,y)d??M??

性質(zhì)6(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)? ? 為D的面積? 則在D上至少存在一點(diǎn)(?? ?)使得

??Df(x,y)d??f(?,?)??

§9? 2 二重積分的計(jì)算法

一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分

X??型區(qū)域?

D ?

?1(x)?y??2(x)? a?x?b ?

Y ??型區(qū)域?

D ?

?1(x)?y??2(x)? c?y?d ?

混合型區(qū)域?

設(shè)f(x? y)?0?

D?{(x? y)| ?1(x)?y??2(x)? a?x?b}?

此時(shí)二重積分??f(x,y)d?在幾何上表示以曲面z?f(x? y)為頂? 以區(qū)域D為底的D曲頂柱體的體積?

對(duì)于x0?[a? b]?

曲頂柱體在x?x0的截面面積為以區(qū)間[?1(x0)? ?2(x0)]為底、以曲線z?f(x0? y)為曲邊的曲邊梯形? 所以這截面的面積為

A(x0)???2(x0)?1(x0)f(x0,y)dy?

根據(jù)平行截面面積為已知的立體體積的方法? 得曲頂柱體體積為

V??A(x)dx??[?aabb?2(x)?1(x)f(x,y)dy]dx?

即

V???f(x,y)d???[?Dab?2(x)?1(x)f(x,y)dy]dx?

可記為

??Df(x,y)d???dx?ab?2(x)?1(x)f(x,y)dy?

類似地? 如果區(qū)域D為Y ??型區(qū)域?

D ? ?1(x)?y??2(x)? c?y?d ?

則有

??Df(x,y)d???dy?cd?2(y)?1(y)f(x,y)dx?

例1? 計(jì)算??xyd?? 其中D是由直線y?

1、x?2及y?x所圍成的閉區(qū)域?

D

解? 畫出區(qū)域D?

解法1?

可把D看成是X??型區(qū)域? 1?x?2? 1?y?x ? 于是

??xyd??D21[?xydy]dx??1x21y2x1x4x22912?]1?[x?]1dx??(x3?x)dx?[2212428x2x?

注? 積分還可以寫成??xyd???dx?xydy??xdx?ydy?

D1111

2解法2? 也可把D看成是Y??型區(qū)域? 1?y?2? y?x?2 ? 于是

??xyd??D21[?xydx]dy??y2212y3y429x222[y?]ydy??(2y?)dy?[y?]1?12288?

例2? 計(jì)算??y1?x2?y2d?? 其中D是由直線y?

1、x??1及y?x所圍成的閉區(qū)D域?

解

畫出區(qū)域D? 可把D看成是X??型區(qū)域? ?1?x?1? x?y?1? 于是

??D1111y1?x?yd???dx?y1?x?ydy???[(1?x2?y2)2]1dx??(|x|3?1)dx x??1x3?13?1222211 ??2?(x3?1)dx?1?

301

2也可D看成是Y??型區(qū)域：?1?y?1? ?1?x

??yD1?x?yd???ydy?1221??1y1?x2?y2dx?

例3 計(jì)算??xyd?? 其中D是由直線y?x?2及拋物線y2?x所圍成的閉區(qū)域?

D

解 積分區(qū)域可以表示為D?D1+D2?

其中D1: 0?x?1, ?x?y?x? D2: 1?x?4, 2?y?x? 于是 ??Dxyd???dx?01xx?xydy??dx?14xx?2xydy?

積分區(qū)域也可以表示為D? ?1?y?2? y2?x?y?2? 于是

??Dxyd???dy??12y?2y2xydx??[?121x2y?2y]y2dy?22??1[y(y?2)22?y5]dy

4y621y4352?[?y?2y?]?1?524368?

討論積分次序的選擇?

例

4求兩個(gè)底圓半徑都等于?的直交圓柱面所圍成的立體的體積?

解

設(shè)這兩個(gè)圓柱面的方程分別為

x2?y2?? 2及x2?z2?? 2?

利用立體關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱性? 只要算出它在第一卦限部分的體積V1? 然后再乘以8就行了?

第一卦限部分是以D?{(x? y)| 0?y?R2?x2, 0?x??}為底? 以z?R2?x2頂?shù)那斨w? 于是

V?8??R?xd??8?dx?220RR2?x20R2?x2dy?8?[R2?x2y]0R0R2?x2dx

D

?8?(R2?x2)dx?16R3?

0R3

二?

利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分

有些二重積分? 積分區(qū)域D 的邊界曲線用極坐標(biāo)方程來表示比較方便? 且被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量?、? 表達(dá)比較簡單?

這時(shí)我們就可以考慮利用極坐標(biāo)來計(jì)算二重積分??f(x,y)d??

Dn按二重積分的定義??f(x,y)d??limD??0?i?1f(?i,?i)??i?

下面我們來研究這個(gè)和的極限在極坐標(biāo)系中的形式?

以從極點(diǎn)O出發(fā)的一族射線及以極點(diǎn)為中心的一族同心圓構(gòu)成的網(wǎng)將區(qū)域D分為n個(gè)小閉區(qū)域? 小閉區(qū)域的面積為?

??i?1(?i???i)2???i?1??i2???i?1(2?i???i)??i???i ??i?(?i???i)2???i???i??i??i??i?

其中?i表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值?

在??i內(nèi)取點(diǎn)(?i , ?i)? 設(shè)其直角坐標(biāo)為(? i? ? i)?

則有 ?i??i cos?i? ?i??i sin?i?

nn于是 lim即

??0?i?1f(?i,?i)??i?lim??0?i?1f(?i cos?i,?i sin?i)?i ??i??i?

??Df(x,y)d??s,?sin?)?d?d??

??f(?co?D若積分區(qū)域D可表示為

? 1(?)???? 2(?)?

??????

則

??Df(?cos?,?sin?)?d?d???d?????2(?)?1(?)f(?cos?,?sin?)?d??

討論?如何確定積分限?

??Df(?cos?,?sin?)?d?d???d?????(?)0f(?cos?,?sin?)?d??

??Df(?cos?,?sin?)?d?d???22?0d???(?)0f(?cos?,?sin?)?d??

例5? 計(jì)算??e?xD?y2dxdy? 其中D是由中心在原點(diǎn)、半徑為a 的圓周所圍成的閉區(qū)域?

解

在極坐標(biāo)系中? 閉區(qū)域D可表示為

0???a ? 0?? ?2? ? 于是 ?x??eD2?y2dxdy?????e?d?d???D22?0[?e???d?]d? ??0a22?0[?1??2ae]0d? 22?21?a?(1?e)?d???(1?e?a)?

02

注? 此處積分??e?xD2?y2dxdy也常寫成x2?y2?a2?x??e2?y2dxdy?

利用x2?y2?a2??e?x2?y2dxdy??(1?e?a2)計(jì)算廣義積分??? 0e?xdx?

2設(shè)D1?{(x? y)|x2?y2?R2? x?0? y?0}?

D2?{(x? y)|x2?y2?2R2? x?0? y?0}?

S?{(x? y)|0?x?R? 0?y?R}?

顯然D1?S?D2? 由于e?x

?x??eD122?y2?0? 從則在這些閉區(qū)域上的二重積分之間有不等式

2?y2dxdy???e?xS?y2dxdy???e?xD22?y2dxdy?

因?yàn)?/p>

?xe??S2?y2dxdy??e?xdx??e?ydy?(?e?xdx)2?

000R2R2R2又應(yīng)用上面已得的結(jié)果有

?x??eD12?y2dxdy??4(1?e?R)2?

?x??eD22?y2dxdy??4(1?e?2R)?

2于是上面的不等式可寫成?(1?e?R)?(?e?xdx)2??(1?e?2R)?

2R22404令R???? 上式兩端趨于同一極限

?4? 從而?e?xdx???

??2 02

例6 求球體x2?y2?z2?4a2被圓柱面x2?y2?2ax所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積?

解

由對(duì)稱性? 立體體積為第一卦限部分的四倍?

V?4??4a2?x2?y2dxdy?

D其中D為半圓周y?2ax?x2及x軸所圍成的閉區(qū)域?

在極坐標(biāo)系中D可表示為

0???2a cos? ? 0??? ??

2?于是

V?4??4a2??2?d?d??4?2d??D02acos?04a2??2?d?

?32a2?2(1?sin3?)d??32a2(??2)?

0332?§9?3

三重積分 一、三重積分的概念

定義 設(shè)f(x? y? z)是空間有界閉區(qū)域?上的有界函數(shù)? 將?任意分成n個(gè)小閉區(qū)域

?v1? ?v2? ? ? ? ? ?vn

其中?vi表示第i個(gè)小閉區(qū)域? 也表示它的體積? 在每個(gè)?vi上任取一點(diǎn)(?i? ?i? ?i)? 作乘積f(? i? ? i? ? i)?vi(i?1? 2? ? ? ?? n)并作和?f(?i,?i,?i)?vi? 如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑

i?1n中的最大值?趨于零時(shí)?

這和的極限總存在?

則稱此極限為函數(shù)f(x? y? z)在閉區(qū)域?上的三重積分? 記作???f(x,y,z)dv?

即

?

????f(x,y,z)dv?lim??0i?1?f(?i,?i,?i)?vi?

n

三重積分中的有關(guān)術(shù)語?

???——積分號(hào)?

f(x? y? z)——被積函數(shù)?

f(x? y? z)dv

?——被積表達(dá)式?

dv體積元素?

x? y? z——積分變量?

?——積分區(qū)域?

在直角坐標(biāo)系中? 如果用平行于坐標(biāo)面的平面來劃分?? 則?vi??xi ?yi?zi ? 因此也把體積元素記為dv ?dxdydz? 三重積分記作

???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dxdyd?z??

當(dāng)函數(shù)f(x? y? z)在閉區(qū)域?上連續(xù)時(shí)? 極限lim?f(?i,?i,?i)?vi是存在的?

??0i?1n因此f(x? y? z)在?上的三重積分是存在的? 以后也總假定f(x? y? z)在閉區(qū)域?上是連續(xù)的?

三重積分的性質(zhì)? 與二重積分類似?

比如

???[c1f(x,y,z)?c2g(x,y,z)]dv?c1?????f(x,y,z)dv?c2???g(x,y,z)dv??

???????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv?

?1?2?1??2dv?V? 其中V為區(qū)域?的體積? 二、三重積分的計(jì)算

1? 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分

三重積分的計(jì)算? 三重積分也可化為三次積分來計(jì)算? 設(shè)空間閉區(qū)域?可表為

z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b?

則

????f(x,y,z)dv???[?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d?

??dx?aby2(x)y1(x)y2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz?

f(x,y,z)dz?

??dx?abdy?z2(x,y)z1(x,y)即 ???f(x,y,z)dv??adx?y(x)?1by2(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區(qū)域?在xOy面上的投影區(qū)域?

提示?

設(shè)空間閉區(qū)域?可表為

z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b?

計(jì)算????f(x,y,z)dv?

基本思想?

對(duì)于平面區(qū)域D?

y1(x)?y?y2(x)? a?x?b內(nèi)任意一點(diǎn)(x? y)? 將f(x? y? z)只看作z的函數(shù)? 在區(qū)間[z1(x? y)?

z2(x? y)]上對(duì)z積分? 得到一個(gè)二元函數(shù)F(x? y)?

F(x,y)??三重積分?

z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz?

然后計(jì)算F(x? y)在閉區(qū)域D上的二重積分? 這就完成了f(x? y? z)在空間閉區(qū)域?上的 ??DF(x,y)d????[?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d???dx?aby2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy?

則 ????f(x,y,z)dv???[?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d?

??dx?aby2(x)y1(x)y2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz?

??dx?abdy?z2(x,y)z1(x,y)即

???f(x,y,z)dv??dx??aby2(x)y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz?

其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區(qū)域?在xOy面上的投影區(qū)域?

例1 計(jì)算三重積分???xdxdydz? 其中?為三個(gè)坐標(biāo)面及平面x?2y?z?1所圍成的?閉區(qū)域?

解 作圖? 區(qū)域?可表示為:

0?z?1?x?2y? 0?y?1(1?x)? 0?x?1?

2于是

???xdxdydz? ??dx?0111?x20dy?1?x?2y0xdz

??xdx?01?x20(1?x?2y)dy2

?14?0(x?2x1?x3)dx?1?

討論? 其它類型區(qū)域呢?

有時(shí)? 我們計(jì)算一個(gè)三重積分也可以化為先計(jì)算一個(gè)二重積分、再計(jì)算一個(gè)定積分? 設(shè)空間閉區(qū)域??{(x? y? z)|(x? y)?Dz? c1? z?c2}? 其中Dz是豎坐標(biāo)為z 的平面截空間閉區(qū)域?所得到的一個(gè)平面閉區(qū)域? 則有

????f(x,y,z)dv??dz??f(x,y,z)dxdy?

c1Dzc

2例2 計(jì)算三重積分???zdxdydz?

2?22x2y其中?是由橢球面2?2?z2?1所圍成的空

abc間閉區(qū)域?

解 空間區(qū)域?可表為: 22y2

x2?2?1?z2? ?c? z?c?

abc于是

????c2cz2dxdydz ??z2dz??dxdy??ab(1?z)z2dz?4?abc3?

?2?cDz?cc1

5練習(xí)

1? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz化為三次積分? 其中

?

(1)?是由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區(qū)域?

(2)?是雙曲拋物面xy?z及平面x?y?1?0? z?0所圍成的閉區(qū)域?

(3)其中?是由曲面z?x2?2y2及z?2?x2所圍成的閉區(qū)域?

2? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz化為先進(jìn)行二重積分再進(jìn)行定積分的形式?

?其中?由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區(qū)域?

2? 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

設(shè)M(x? y? z)為空間內(nèi)一點(diǎn)? 并設(shè)點(diǎn)M在xOy面上的投影P 的極坐標(biāo)為P(?? ?)? 則這樣的三個(gè)數(shù)?、?、z就叫做點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)? 這里規(guī)定?、?、z的變化范圍為?

0??

坐標(biāo)面???0? ? ?? 0? z?z0的意義?

點(diǎn)M 的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系?

x??cos?? y??sin?? z?z ?

?x??cos???y??sin???z?z

柱面坐標(biāo)系中的體積元素? dv??d?d?dz?

簡單來說? dxdy??d?d? ? dxdydz?dxdy?dz??d?d? dz?

柱面坐標(biāo)系中的三重積分?

???f(x,y,z)dxdydz?????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz?

??

例3 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分???zdxdydz? 其中?是由曲面z?x2?y2與平面z?4所圍成的閉區(qū)域?

解 閉區(qū)域?可表示為?

?2?z?4? 0???2? 0???2??

于是

????zdxdydz?????z?d?d?dz2

42?

2??d???d??zdz?1?d???(16??4)d?

002??22006 ?1?2?[8?2?1?6]2???

026

33? 利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

設(shè)M(x? y? z)為空間內(nèi)一點(diǎn)? 則點(diǎn)M也可用這樣三個(gè)有次序的數(shù)r、?、? 來確定? 其中

r為原點(diǎn)O與點(diǎn)M間的距離? ?為OM與z軸正向所夾的角? ?為從正z軸來看自x軸按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到有向線段OP的角? 這里P為點(diǎn)M在xOy面上的投影? 這樣的三個(gè)數(shù)r、?、? 叫做點(diǎn)M的球面坐標(biāo)? 這里r、?、? 的變化范圍為

0?r

坐標(biāo)面r?r0? ???0? ???0的意義?

點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系?

x?rsin?cos?? y?rsin?sin?? z?rcos? ?

?x?rsin?cos???y?rsin?sin???z?rcos???

球面坐標(biāo)系中的體積元素?

dv?r2sin?drd?d? ?

球面坐標(biāo)系中的三重積分?

????f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?drd?d???

例4 求半徑為a的球面與半頂角?為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積?

解 該立體所占區(qū)域?可表示為?

0?r?2acos?? 0????? 0???2??

于是所求立體的體積為

V????dxdyd?z???rsin?drd?d???d??d??2??2??2aco?s000r2sin?dr

?2??sin?d??0?2aco?s0r2dr

16?a3?3?0?4?a34cos?sin?d??(1?cosa)?

提示? 球面的方程為x2?y2?(z?a)2?a2? 即x2?y2?z2?2az? 在球面坐標(biāo)下此球面的方程為r2?2arcos?? 即r?2acos??

§9? 4 重積分的應(yīng)用

元素法的推廣?

有許多求總量的問題可以用定積分的元素法來處理? 這種元素法也可推廣到二重積分的應(yīng)用中? 如果所要計(jì)算的某個(gè)量U對(duì)于閉區(qū)域D具有可加性(就是說? 當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時(shí)? 所求量U相應(yīng)地分成許多部分量? 且U等于部分量之和)? 并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個(gè)直徑很小的閉區(qū)域d?時(shí)? 相應(yīng)的部分量可近似地表示為f(x? y)d? 的形式? 其中(x? y)在d?內(nèi)? 則稱f(x? y)d? 為所求量U的元素? 記為dU? 以它為被積表達(dá)式? 在閉區(qū)域D上積分?

U???f(x,y)d??

D這就是所求量的積分表達(dá)式?

一、曲面的面積

設(shè)曲面S由方程 z?f(x? y)給出? D為曲面S在xOy面上的投影區(qū)域? 函數(shù)f(x? y)在D上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)fx(x? y)和fy(x? y)? 現(xiàn)求曲面的面積A ?

在區(qū)域D內(nèi)任取一點(diǎn)P(x? y)? 并在區(qū)域D內(nèi)取一包含點(diǎn)P(x? y)的小閉區(qū)域d?? 其面積也記為d?? 在曲面S上點(diǎn)M(x? y? f(x? y))處做曲面S的切平面T? 再做以小區(qū)域d?的邊界曲線為準(zhǔn)線、母線平行于z軸的柱面? 將含于柱面內(nèi)的小塊切平面的面積作為含于柱面內(nèi)的小塊曲面面積的近似值? 記為dA? 又設(shè)切平面T的法向量與z軸所成的角為? ? 則

d??1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d??

dA?cos?這就是曲面S的面積元素?

于是曲面S 的面積為

A???1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d??

D或

A???1?(?z)2?(?z)2dxdy?

D?x?y

設(shè)dA為曲面S上點(diǎn)M處的面積元素? dA在xOy面上的投影為小閉區(qū)域d?? M在xOy面上的投影為點(diǎn)P(x? y)? 因?yàn)榍嫔宵c(diǎn)M處的法向量為n?(?fx? ?fy? 1)? 所以

dA?|n|d??1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d??

提示? dA與xOy面的夾角為(n?^ k)? dAcos(n?^ k)?d??

n?k?|n|cos(n?^ k)?1? cos(n?^ k)?|n|?1?

討論? 若曲面方程為x?g(y? z)或y?h(z? x)? 則曲面的面積如何求？

A???Dyz1?(?x2?x?)?()2dydz?y?z?y?x

或

A???1?(Dzx?y?z)2?()2dzdx?

其中Dyz是曲面在yOz面上的投影區(qū)域?

Dzx是曲面在zOx面上的投影區(qū)域?

例1 求半徑為R的球的表面積?

解 上半球面方程為z?R2?x2?y2? x2?y2?R2?

因?yàn)閦對(duì)x和對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)在D? x2?y2?R2上無界? 所以上半球面面積不能直接求出? 因此先求在區(qū)域D1? x2?y2?a2(a?R)上的部分球面面積? 然后取極限?

x2?y2?a2??RR?x?y222dxdy?R?02?d??ardrR?r220

?2?R(R?R2?a2)?

于是上半球面面積為lim2?R(R?R2?a2)?2?R2?

a?R整個(gè)球面面積為

A?2A1?4?R2?

提示?

?z??x?xR?x?y222? ?z??y?yR?x?y222? 1?(?z)2?(?z)2??x?yRR?x?y222?

解 球面的面積A為上半球面面積的兩倍?

上半球面的方程為z?R2?x2?y2? 而

?z??x?xR?x?y222? ?z??y?yR?x?y222?

所以

A?2x2?y2?R2??1?(?z2?z2)?()?x?yR2?R

?2x2?y2?R2??R2?x2?y2R0dxdy?2R?0d???d?R??220

??4?RR2??2 ?4?R2?

例2設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星? 距地面的高度為h?36000km? 運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同? 試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑R?6400km)?

解 取地心為坐標(biāo)原點(diǎn)? 地心到通訊衛(wèi)星中心的連線為z軸? 建立坐標(biāo)系?

通訊衛(wèi)星覆蓋的曲面?是上半球面被半頂角為?的圓錐面所截得的部分? ?的方程為

z?R2?x2?y2? x2?y2?R2sin2??

于是通訊衛(wèi)星的覆蓋面積為

A???Dxy1?(?z2?z2)?()dxdy??x?y??DxyRR?x?y222dxdy?

其中Dxy?{(x? y)| x2?y2?R2sin2?}是曲面?在xOy面上的投影區(qū)域?

利用極坐標(biāo)? 得

A??d??02?Rsi?nRR2??20?d??2?R?Rsi?n?R2??20d??2?R2(1?co?s)?

由于cos??R? 代入上式得

R?h

A?2?R2(1?R)?2?R2hR?hR?h?

由此得這顆通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積之比為 Ah36?106

???42.5%?

4?R22(R?h)2(36?6.4)?106

由以上結(jié)果可知? 衛(wèi)星覆蓋了全球三分之一以上的面積? 故使用三顆相隔2?3角度的通訊衛(wèi)星就可以覆蓋幾乎地球全部表面?

二、質(zhì)心

設(shè)有一平面薄片? 占有xOy 面上的閉區(qū)域D? 在點(diǎn)P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要求該薄片的質(zhì)心坐標(biāo)?

在閉區(qū)域D上任取一點(diǎn)P(x? y)? 及包含點(diǎn)P(x? y)的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為

dMx?y?(x? y)d?? dMy?x?(x? y)d??

平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩分別為

Mx???y?(x,y)d?? My???x?(x,y)d??

DD

設(shè)平面薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為(x, y)?平面薄片的質(zhì)量為M? 則有

x?M?My? y?M?Mx ?

于是

x?MMy??x?(x,y)d??D???(x,y)d?D? y?MxM??y?(x,y)d??D???(x,y)d?D?

在閉區(qū)域D上任取包含點(diǎn)P(x? y)小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則

平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩元素分別為

dMx?y?(x? y)d?? dMy?x?(x? y)d??

平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩分別為

Mx???y?(x,y)d?? My???x?(x,y)d??

DD

設(shè)平面薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為(x, y)?平面薄片的質(zhì)量為M? 則有

x?M?My? y?M?Mx ?

于是

x?MMy??x?(x,y)d??D???(x,y)d?D? y?MxM??y?(x,y)d??D???(x,y)d?D?

提示? 將P(x? y)點(diǎn)處的面積元素d?看成是包含點(diǎn)P的直徑得小的閉區(qū)域? D上任取一點(diǎn)P(x? y)? 及包含的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為

討論? 如果平面薄片是均勻的? 即面密度是常數(shù)? 則平面薄片的質(zhì)心(稱為形心)如何求？

求平面圖形的形心公式為

??xd?

x?D??yd?? y?D??d?D??d?D?

例3 求位于兩圓??2sin? 和??4sin? 之間的均勻薄片的質(zhì)心?

解 因?yàn)殚]區(qū)域D對(duì)稱于y軸? 所以質(zhì)心C(x, y)必位于y軸上? 于是x?0?

因?yàn)?/p>

??yd?????DD2sin?d?d???sin?d??0?4sin?2sin??2d??7??

22d????2???1?3???D?

??yd?所以y?D??d?D?7?77?? 所求形心是C(0,)?

3?3

3類似地? 占有空間閉區(qū)域?、在點(diǎn)(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)(假寬?(x? y? z)在?上連續(xù))的物體的質(zhì)心坐標(biāo)是

x?1M???x?(x,y,z)dv?? y?1M????y?(x,y,z)dv? z?1M???z?(x,y,z)dv?

?

其中M?????(x,y,z)dv?

?

例4 求均勻半球體的質(zhì)心?

解 取半球體的對(duì)稱軸為z軸? 原點(diǎn)取在球心上? 又設(shè)球半徑為a? 則半球體所占空間閉區(qū)可表示為

??{(x? y? z)| x2?y2?z2?a2? z?0}

顯然? 質(zhì)心在z軸上? 故x?y?0?

???z?dv???zdv

z??????dv??????dv??3a8?

故質(zhì)心為(0, 0, 3a)?

8提示? ?? 0?r?a? 0????? 0???2??

2?

????dv??d??202?0d??rsin?dr??sin?d??020a?22?0d??a02?a3rdr?32?

????zdv??02d??0?2?d??a02?a1a4123?

rcos??rsin?dr??sin2?d??d??rdr??2??0024202?

三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)有一平面薄片? 占有xOy面上的閉區(qū)域D? 在點(diǎn)P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要求該薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?

在閉區(qū)域D上任取一點(diǎn)P(x? y)? 及包含點(diǎn)P(x? y)的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的元素分別為

dIx?y2?(x? y)d? ? dI y?x2?(x? y)d? ?

整片平面薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為

Ix???y2?(x,y)d?? Iy???x2?(x,y)d??

DD

例5 求半徑為a 的均勻半圓薄片(面密度為常量?)對(duì)于其直徑邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?

解 取坐標(biāo)系如圖? 則薄片所占閉區(qū)域D可表示為

D?{(x? y)| x2?y2?a2? y?0} 而所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即半圓薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix ?

Ix????y2d??????2sin2???d?d?

DD

???sin? d??20?a0a4?d????43?0sin? d?

2?

?1?a4???1Ma2?

424其中M?1?a2?為半圓薄片的質(zhì)量?

2類似地? 占有空間有界閉區(qū)域?、在點(diǎn)(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)的物體對(duì)于x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

Ix????(y2?z2)?(x,y,z)dv?

?

Iy????(z2?x2)?(x,y,z)dv?

?

Iz????(x2?y2)?(x,y,z)dv?

?

例6 求密度為?的均勻球體對(duì)于過球心的一條軸l的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?

解 取球心為坐標(biāo)原點(diǎn)? z軸與軸l重合? 又設(shè)球的半徑為a? 則球體所占空間閉區(qū)域

??{(x? y? z)| x2?y2?z2?a2}?

所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即球體對(duì)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iz ?

Iz????(x2?y2)? dv

?2222? cos??r2sin? sin?)r2sin?drd?d?

?????(r2sin?2??a82

3?????r4sin?drd?d????d??sin3? d??r4dr??a5??a2M?

?000155其中M?4?a3?為球體的質(zhì)量?

3提示?

x2?y2?r2sin2?cos2??r2sin2? sin2??r2sin2??

四、引力

我們討論空間一物體對(duì)于物體外一點(diǎn)P0(x0? y0? z0)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力問題?

設(shè)物體占有空間有界閉區(qū)域?? 它在點(diǎn)(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)? 并假定?(x? y? z)在?上連續(xù)?

在物體內(nèi)任取一點(diǎn)(x? y? z)及包含該點(diǎn)的一直徑很小的閉區(qū)域dv(其體積也記為dv)? 把這一小塊物體的質(zhì)量?dv近似地看作集中在點(diǎn)(x? y? z)處? 這一小塊物體對(duì)位于P0(x0? y0? z0)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力近似地為

dF?(dFx,dFy,dFz)

?(G?(x,y,z)(x?x0)r3dv,G?(x,y,z)(y?y0)r3dv,G?(x,y,z)(z?z0)r3dv)?

其中dFx、dFy、dFz為引力元素dF在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量?

r?(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2? G為引力常數(shù)? 將dFx、dFy、dFz在?上分別積分? 即可得Fx、Fy、Fz? 從而得F?(Fx、Fy、Fz)?

例7設(shè)半徑為R的勻質(zhì)球占有空間閉區(qū)域??{(x? y? z)|x2?y2?z2?R2)? 求它對(duì)于位于點(diǎn)M0(0? 0? a)(a>R)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力?

解 設(shè)球的密度為?0? 由球體的對(duì)稱性及質(zhì)量分布的均勻性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z軸的分量為

Fz????G?0?z?adv[x2?y2?(z?a)2]3/2

?G?0?(z?a)dz?RRx2?y2?R2?z??dxdy[x2?y2?(z?a)2]3/22

?G?0?(z?a)dz?d???R0R2?R2?z22?d?[??(z?a)]23/20

R

?2?G?0?(z?a)(1??R1R?2az?a22a?z)dz

?2?G?0[?2R?1?(z?a)dR2?2az?a2]

a?RR

2R3?2G??0(?2R?2R?)

3a24?R31M??G??0?2??G23aa

?

4?R3其中M??03為球的質(zhì)量?

上述結(jié)果表明? 勻質(zhì)球?qū)η蛲庖毁|(zhì)點(diǎn)的引力如同球的質(zhì)量集中于球心時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)間的引力?