第一篇：人教A版數(shù)學(xué)必修二教案：§1.1.2簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征

§1.1.2 簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征

一、教材分析

立體幾何是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的學(xué)科，只有把我們周?chē)奈矬w形狀正確迅速分解開(kāi)，才能清醒地認(rèn)識(shí)幾何學(xué)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).簡(jiǎn)單幾何體（柱體、錐體、臺(tái)體和球）是構(gòu)成簡(jiǎn)單組合體的基本元素.本節(jié)教材主要是為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)了柱、錐、臺(tái)、球的基礎(chǔ)上，運(yùn)用它們的結(jié)構(gòu)特征來(lái)描述簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征.二、教學(xué)目標(biāo)

1．知識(shí)與技能

（1）理解由柱、錐、臺(tái)、球組成的簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征.（2）能運(yùn)用簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際模型.2．過(guò)程與方法

讓學(xué)生通過(guò)下觀感覺(jué)空間物體，認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單的組合體的結(jié)構(gòu)特征，歸納簡(jiǎn)單組合體的基本構(gòu)成形式.3．情感態(tài)度與價(jià)值觀

培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，培養(yǎng)學(xué)習(xí)教學(xué)應(yīng)用意識(shí).三、重點(diǎn)難點(diǎn)

描述簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征.四、課時(shí)安排

1課時(shí)

五、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）導(dǎo)入新課

思路1.在我們的生活中，酒瓶的形狀是圓柱嗎？我們的教學(xué)樓的形狀是柱體嗎？鋼筆、圓珠筆呢？這些物體都不是簡(jiǎn)單幾何體，那么如何描述它們的結(jié)構(gòu)特征呢？教師指出課題：簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征.思路2.現(xiàn)實(shí)世界中的物體表示的幾何體，除柱體、錐體、臺(tái)體和球體等簡(jiǎn)單幾何體外，還有大量的幾何體是由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的，這些幾何體叫做簡(jiǎn)單組合體，這節(jié)課學(xué)習(xí)的課題是：簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征.（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問(wèn)題

①請(qǐng)指出下列幾何體是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組合而成的.圖1 ②觀察圖1，結(jié)合生活實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，簡(jiǎn)單組合體有幾種組合形式？

③請(qǐng)你總結(jié)長(zhǎng)方體與球體能組合成幾種不同的組合體.它們之間具有怎樣的關(guān)系？ 活動(dòng)：讓學(xué)生仔細(xì)觀察圖1，教師適當(dāng)時(shí)候再提示.①略.②圖1中的三個(gè)組合體分別代表了不同形式.③學(xué)生可以分組討論，教師可以制作有關(guān)模型展示.討論結(jié)果：①由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的幾何體叫做簡(jiǎn)單組合體.現(xiàn)實(shí)世界中，我們看到的物體大多由具有柱、錐、臺(tái)、球等幾何結(jié)構(gòu)特征的物體組合而成.圖1（1）是一個(gè)四棱錐和一個(gè)長(zhǎng)方體拼接成的，這是多面體與多面體的組合體；圖1（2）是一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐構(gòu)成的，這是旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體；圖1（3）是一個(gè)球和一個(gè)長(zhǎng)方體拼接成的，這是旋轉(zhuǎn)體與多面體的組合體.②常見(jiàn)的組合體有三種：多面體與多面體的組合；多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合；旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合.其基本形式實(shí)質(zhì)上有兩種：一種是由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成的簡(jiǎn)單組合體，如圖1（1）和（3）所示的組合體；另一種是由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成的簡(jiǎn)單組合體，如圖1（2）所示的組合體.③常見(jiàn)的球與長(zhǎng)方體構(gòu)成的簡(jiǎn)單組合體及其結(jié)構(gòu)特征：1°長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，此時(shí)長(zhǎng)方體稱(chēng)為球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，球是長(zhǎng)方體的外接球，并且長(zhǎng)方體的對(duì)角線是球的直徑；2°一球與正方體的所有棱相切，則正方體每個(gè)面上的對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑；3°一球與正方體的所有面相切，則正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑.（二）應(yīng)用示例

思路1

例1 請(qǐng)描述如圖2所示的組合體的結(jié)構(gòu)特征.圖2

活動(dòng)：回顧簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再將各個(gè)組合體分解為簡(jiǎn)單幾何體.依據(jù)柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征依次作出判斷.解：圖2（1）是由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)拼接而成的組合體；

圖2（2）是由一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)三棱錐后剩下的部分得到的組合體； 圖2（3）是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)三棱錐剩下的部分得到的組合體.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征和空間想象能力.變式訓(xùn)練

如圖3所示，一個(gè)圓環(huán)繞著同一個(gè)平面內(nèi)過(guò)圓心的直線l旋轉(zhuǎn)180°，想象并說(shuō)出它形成的幾何體的結(jié)構(gòu)特征.圖3 答案：一個(gè)大球內(nèi)部挖去一個(gè)同球心且半徑較小的球.例2 連接正方體的相鄰各面的中心（所謂中心是指各面所在正方形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)），所得的一個(gè)幾何體是幾面體？并畫(huà)圖表示該幾何體.活動(dòng)：先畫(huà)出正方體，然后取各個(gè)面的中心，并依次連成線觀察即可.連接相應(yīng)點(diǎn)后,得出圖形如圖4(1)，再作出判斷.(1)

(2)

圖4 解：如圖4(1)，正方體ABCD—A1B1C1D1，O1、O2、O3、O4、O5、O6分別是各表面的中心.由點(diǎn)O1、O2、O3、O4、O5、O6組成了一個(gè)八面體，而且該八面體共有6個(gè)頂點(diǎn)，12條棱.該多面體的圖形如圖4（2）所示.點(diǎn)評(píng)：本題中的八面體，事實(shí)上是正八面體——八個(gè)面都是全等的正三角形，并且以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端，都有相同數(shù)目的棱.由圖還可見(jiàn)，該八面體可看成是由兩個(gè)全等的四棱錐經(jīng)重合底面后而得到的，而且中間一個(gè)四邊形O2O3O4O5還是正方形，當(dāng)然其他的如O1O2O6O4等也是正方形.為了增強(qiáng)立體效果，正方體應(yīng)畫(huà)得“正”些，而八面體的放置應(yīng)稍許“傾斜”些，并且“后面的”線，即被前面平面所遮住的線，如圖中的O1O5、O6O5、O5O2、O5O4應(yīng)畫(huà)成虛線.變式訓(xùn)練

連接上述所得的幾何體的相鄰各面的中心，試問(wèn)所得的幾何體又是幾面體？

答案：六面體（正方體）.思路2

例1 已知如圖5所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，當(dāng)梯形ABCD繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其他各邊旋轉(zhuǎn)圍成的一個(gè)幾何體，試描述該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.圖5

圖6

活動(dòng)：讓學(xué)生思考AB、AD、DC與旋轉(zhuǎn)軸BC是否垂直，以此確定所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征.解：如圖6所示，旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是兩個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱拼接成的組合體.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間想象能力以及旋轉(zhuǎn)體、簡(jiǎn)單組合體.變式訓(xùn)練

如圖7所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，當(dāng)梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其他各邊旋轉(zhuǎn)圍成的一個(gè)幾何體，試描述該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.圖7

圖8 答案：如圖8所示，旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)圓錐后剩余部分而成的組合體.例2 如圖9（1）、（2）所示的兩個(gè)組合體有什么區(qū)別？

圖9

活動(dòng)：讓學(xué)生分組討論和思考，教師及時(shí)點(diǎn)撥和評(píng)價(jià)學(xué)生.解：圖9（1）所示的組合體是一個(gè)長(zhǎng)方體上面又放置了一個(gè)圓柱，也就是一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)圓柱拼接成的組合體；而圖9（2）所示的組合體是一個(gè)長(zhǎng)方體中挖去了一個(gè)圓柱剩余部分構(gòu)成的組合體.點(diǎn)評(píng)：考查空間想象能力和組合體的概念.變式訓(xùn)練

如圖10，說(shuō)出下列物體可以近似地看作由哪幾種幾何體組成？

圖10 答案：圖10（1）中的幾何體可以看作是由一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐拼接而成；圖10（2）中的螺帽可以近似看作是一個(gè)正六棱柱中挖掉一個(gè)圓柱構(gòu)成的組合體.（三）知能訓(xùn)練

1.（2005湖南數(shù)學(xué)競(jìng)賽，9）若干個(gè)棱長(zhǎng)為2、3、5的長(zhǎng)方體，依相同方向拼成棱長(zhǎng)為90的正方體，則正方體的一條對(duì)角線貫穿的小長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)是（）

A.64

B.66

C.68

D.70 分析：由2、3、5的最小公倍數(shù)為30，由2、3、5組成的棱長(zhǎng)為30的正方體的一條對(duì)角線穿過(guò)的長(zhǎng)方體為整數(shù)個(gè)，所以由2、3、5組成棱長(zhǎng)為90的正方體的一條對(duì)角線穿過(guò)的小長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)應(yīng)為3的倍數(shù).答案：B

2.圖11是一個(gè)獎(jiǎng)杯，可以近似地看作由哪幾種幾何體組成？

圖11 答案：獎(jiǎng)杯的底座是一個(gè)正棱臺(tái)，底座的上面是一個(gè)正四棱柱，獎(jiǎng)杯的最上部，在正棱柱上底面的中心放著一個(gè)球.（四）拓展提升

1.請(qǐng)想一想正方體的截面可能是什么形狀的圖形？

活動(dòng)：靜止是相對(duì)的，運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面.用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看幾何問(wèn)題的形成，容易建立空間想象力，這樣對(duì)于分割和組合圖形是有好處的.明確棱柱、棱錐、棱臺(tái)等多面體的定義及圓柱、圓錐、圓臺(tái)的生成過(guò)程，以及柱、錐、臺(tái)的相互關(guān)系，對(duì)于我們正確的割補(bǔ)圖形也是有好處的.對(duì)于正方體的分割，可通過(guò)實(shí)物模型，實(shí)際切割實(shí)驗(yàn)，還可借助于多媒體手段進(jìn)行切割實(shí)驗(yàn).對(duì)于切割所得的平面圖形可根據(jù)它的定義進(jìn)行證明，從而判斷出各個(gè)截面的形狀.探究：本題考查立體幾何的空間想象能力，通過(guò)嘗試、歸納，可以有如下各種肯定或否定性的答案：（1）截面可以是三角形：等邊三角形、等腰三角形、一般三角形.（2）截面三角形是銳角三角形，截面三角形不能是直角三角形、鈍角三角形.（3）截面可以是四邊形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面為四邊形時(shí)，這個(gè)四邊形至少有一組對(duì)邊平行.（4）截面不能是直角梯形.（5）截面可以是五邊形：截面五邊形必須有兩組分別平行的邊，同時(shí)有兩個(gè)角相等；截面五邊形不

可能是正五邊形.（6）截面可以是六邊形：截面六邊形必須有分別平行的邊，同時(shí)有兩個(gè)角相等.（7）截面六邊形可以是等角（均為120°）的六邊形，即正六邊形.截面圖形如圖12中各圖所示：

圖12

（五）課堂小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單組合體的概念和結(jié)構(gòu)特征.（六）作業(yè)

習(xí)題1.1 A組

第3題；B組

第2題.

第二篇：2.示范教案(1.1.2 簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征)

1.1.2 簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

立體幾何是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的學(xué)科，只有把我們周?chē)奈矬w形狀正確迅速分解開(kāi)，才能清醒地認(rèn)識(shí)幾何學(xué)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).簡(jiǎn)單幾何體（柱體、錐體、臺(tái)體和球）是構(gòu)成簡(jiǎn)單組合體的基本元素.本節(jié)教材主要是為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)了柱、錐、臺(tái)、球的基礎(chǔ)上，運(yùn)用它們的結(jié)構(gòu)特征來(lái)描述簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征.三維目標(biāo)

1.掌握簡(jiǎn)單組合體的概念，學(xué)會(huì)觀察、分析圖形，提高空間想象能力和幾何直觀能力.2.能夠描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)通過(guò)建立幾何模型來(lái)研究空間圖形，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想.重點(diǎn)難點(diǎn)

描述簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征.課時(shí)安排 1課時(shí)

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

思路1.在我們的生活中，酒瓶的形狀是圓柱嗎？我們的教學(xué)樓的形狀是柱體嗎？鋼筆、圓珠筆呢？這些物體都不是簡(jiǎn)單幾何體，那么如何描述它們的結(jié)構(gòu)特征呢？教師指出課題：簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征.思路2.現(xiàn)實(shí)世界中的物體表示的幾何體，除柱體、錐體、臺(tái)體和球體等簡(jiǎn)單幾何體外，還有大量的幾何體是由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的，這些幾何體叫做簡(jiǎn)單組合體，這節(jié)課學(xué)習(xí)的課題是：簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征.推進(jìn)新課 新知探究

提出問(wèn)題

①請(qǐng)指出下列幾何體是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組合而成的.圖1 ②觀察圖1，結(jié)合生活實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，簡(jiǎn)單組合體有幾種組合形式？

③請(qǐng)你總結(jié)長(zhǎng)方體與球體能組合成幾種不同的組合體.它們之間具有怎樣的關(guān)系？ 活動(dòng)：讓學(xué)生仔細(xì)觀察圖1，教師適當(dāng)時(shí)候再提示.①略.②圖1中的三個(gè)組合體分別代表了不同形式.③學(xué)生可以分組討論，教師可以制作有關(guān)模型展示.討論結(jié)果：①由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的幾何體叫做簡(jiǎn)單組合體.現(xiàn)實(shí)世界中，我們看到的物體大多由具有柱、錐、臺(tái)、球等幾何結(jié)構(gòu)特征的物體組合而成.圖1（1）是一個(gè)四棱錐和一個(gè)長(zhǎng)方體拼接成的，這是多面體與多面體的組合體；圖1（2）是一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐構(gòu)成的，這是旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體；圖1（3）是一個(gè)球和一個(gè)長(zhǎng)方體拼接成的，這是旋轉(zhuǎn)體與多面體的組合體.②常見(jiàn)的組合體有三種：多面體與多面體的組合；多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合；旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合.其基本形式實(shí)質(zhì)上有兩種：一種是由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成的簡(jiǎn)單組合體，如圖1（1）和（3）所示的組合體；另一種是由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成的簡(jiǎn)單組合體，如圖1（2）所示的組合體.③常見(jiàn)的球與長(zhǎng)方體構(gòu)成的簡(jiǎn)單組合體及其結(jié)構(gòu)特征：1°長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，此時(shí)長(zhǎng)方體稱(chēng)為球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，球是長(zhǎng)方體的外接球，并且長(zhǎng)方體的對(duì)角線是球的直徑；2°一球與正方體的所有棱相切，則正方體每個(gè)面上的對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑；3°一球與正方體的所有面相切，則正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑.應(yīng)用示例

思路1

例1 請(qǐng)描述如圖2所示的組合體的結(jié)構(gòu)特征.圖2

活動(dòng)：回顧簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再將各個(gè)組合體分解為簡(jiǎn)單幾何體.依據(jù)柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征依次作出判斷.解：圖2（1）是由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)拼接而成的組合體；

圖2（2）是由一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)三棱錐后剩下的部分得到的組合體； 圖2（3）是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)三棱錐剩下的部分得到的組合體.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征和空間想象能力.變式訓(xùn)練

如圖3所示，一個(gè)圓環(huán)繞著同一個(gè)平面內(nèi)過(guò)圓心的直線l旋轉(zhuǎn)180°，想象并說(shuō)出它形成的幾何體的結(jié)構(gòu)特征.圖3 答案：一個(gè)大球內(nèi)部挖去一個(gè)同球心且半徑較小的球.例2 連接正方體的相鄰各面的中心（所謂中心是指各面所在正方形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)），所得的一個(gè)幾何體是幾面體？并畫(huà)圖表示該幾何體.活動(dòng)：先畫(huà)出正方體，然后取各個(gè)面的中心，并依次連成線觀察即可.連接相應(yīng)點(diǎn)后,得出圖形如圖4(1)，再作出判斷.(1)

(2)

圖4 解：如圖4(1)，正方體ABCD—A1B1C1D1，O1、O2、O3、O4、O5、O6分別是各表面的中心.由點(diǎn)O1、O2、O3、O4、O5、O6組成了一個(gè)八面體，而且該八面體共有6個(gè)頂點(diǎn)，12條棱.該多面體的圖形如圖4（2）所示.點(diǎn)評(píng)：本題中的八面體，事實(shí)上是正八面體——八個(gè)面都是全等的正三角形，并且以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端，都有相同數(shù)目的棱.由圖還可見(jiàn)，該八面體可看成是由兩個(gè)全等的四棱錐經(jīng)重合底面后而得到的，而且中間一個(gè)四邊形O2O3O4O5還是正方形，當(dāng)然其他的如O1O2O6O4等也是正方形.為了增強(qiáng)立體效果，正方體應(yīng)畫(huà)得“正”些，而八面體的放置應(yīng)稍許“傾斜”些，并且“后面的”線，即被前面平面所遮住的線，如圖中的O1O5、O6O5、O5O2、O5O4應(yīng)畫(huà)成虛線.變式訓(xùn)練

連接上述所得的幾何體的相鄰各面的中心，試問(wèn)所得的幾何體又是幾面體？ 答案：六面體（正方體）.思路2

例1 已知如圖5所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，當(dāng)梯形ABCD繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其他各邊旋轉(zhuǎn)圍成的一個(gè)幾何體，試描述該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.圖5

圖6

活動(dòng)：讓學(xué)生思考AB、AD、DC與旋轉(zhuǎn)軸BC是否垂直，以此確定所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征.解：如圖6所示，旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是兩個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱拼接成的組合體.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間想象能力以及旋轉(zhuǎn)體、簡(jiǎn)單組合體.變式訓(xùn)練

如圖7所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，當(dāng)梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其他各邊旋轉(zhuǎn)圍成的一個(gè)幾何體，試描述該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.圖7

圖8 答案：如圖8所示，旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)圓錐后剩余部分而成的組合體.例2 如圖9（1）、（2）所示的兩個(gè)組合體有什么區(qū)別？

圖9 活動(dòng)：讓學(xué)生分組討論和思考，教師及時(shí)點(diǎn)撥和評(píng)價(jià)學(xué)生.解：圖9（1）所示的組合體是一個(gè)長(zhǎng)方體上面又放置了一個(gè)圓柱，也就是一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)圓柱拼接成的組合體；而圖9（2）所示的組合體是一個(gè)長(zhǎng)方體中挖去了一個(gè)圓柱剩余部分構(gòu)成的組合體.點(diǎn)評(píng)：考查空間想象能力和組合體的概念.變式訓(xùn)練

如圖10，說(shuō)出下列物體可以近似地看作由哪幾種幾何體組成？

圖10 答案：圖10（1）中的幾何體可以看作是由一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐拼接而成；圖10（2）中的螺帽可以近似看作是一個(gè)正六棱柱中挖掉一個(gè)圓柱構(gòu)成的組合體.知能訓(xùn)練

1.（2005湖南數(shù)學(xué)競(jìng)賽，9）若干個(gè)棱長(zhǎng)為2、3、5的長(zhǎng)方體，依相同方向拼成棱長(zhǎng)為90的正方體，則正方體的一條對(duì)角線貫穿的小長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)是（）

A.64

B.66

C.68

D.70 分析：由2、3、5的最小公倍數(shù)為30，由2、3、5組成的棱長(zhǎng)為30的正方體的一條對(duì)角線穿過(guò)的長(zhǎng)方體為整數(shù)個(gè)，所以由2、3、5組成棱長(zhǎng)為90的正方體的一條對(duì)角線穿過(guò)的小長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)應(yīng)為3的倍數(shù).答案：B 2.圖11是一個(gè)獎(jiǎng)杯，可以近似地看作由哪幾種幾何體組成？

圖11 答案：獎(jiǎng)杯的底座是一個(gè)正棱臺(tái)，底座的上面是一個(gè)正四棱柱，獎(jiǎng)杯的最上部，在正棱柱上底面的中心放著一個(gè)球.拓展提升

1.請(qǐng)想一想正方體的截面可能是什么形狀的圖形？

活動(dòng)：靜止是相對(duì)的，運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面.用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看幾何問(wèn)題的形成，容易建立空間想象力，這樣對(duì)于分割和組合圖形是有好處的.明確棱柱、棱錐、棱臺(tái)等多面體的定義及圓柱、圓錐、圓臺(tái)的生成過(guò)程，以及柱、錐、臺(tái)的相互關(guān)系，對(duì)于我們正確的割補(bǔ)圖形也是有好處的.對(duì)于正方體的分割，可通過(guò)實(shí)物模型，實(shí)際切割實(shí)驗(yàn)，還可借助于多媒體手段進(jìn)行切割實(shí)驗(yàn).對(duì)于切割所得的平面圖形可根據(jù)它的定義進(jìn)行證明，從而判斷出各個(gè)截面的形狀.探究：本題考查立體幾何的空間想象能力，通過(guò)嘗試、歸納，可以有如下各種肯定或否定性的答案：

（1）截面可以是三角形：等邊三角形、等腰三角形、一般三角形.（2）截面三角形是銳角三角形，截面三角形不能是直角三角形、鈍角三角形.（3）截面可以是四邊形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面為四邊形時(shí)，這個(gè)四邊形至少有一組對(duì)邊平行.（4）截面不能是直角梯形.（5）截面可以是五邊形：截面五邊形必須有兩組分別平行的邊，同時(shí)有兩個(gè)角相等；截面五邊形不可能是正五邊形.（6）截面可以是六邊形：截面六邊形必須有分別平行的邊，同時(shí)有兩個(gè)角相等.（7）截面六邊形可以是等角（均為120°）的六邊形，即正六邊形.截面圖形如圖12中各圖所示：

圖12 課堂小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單組合體的概念和結(jié)構(gòu)特征.作業(yè)

習(xí)題1.1 A組

第3題；B組

第2題.設(shè)計(jì)感想

本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求：利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件觀察大量立體圖形，認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描繪現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).在教學(xué)時(shí)，盡量多給學(xué)生一些圖片，以便學(xué)生形成直觀感知，初步獲得感性認(rèn)識(shí).

第三篇：簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征教案

1、1、2 簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征

一、【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、掌握簡(jiǎn)單組合體的概念，學(xué)會(huì)觀察、分析圖形，提高空間想象

能力和幾何直觀能力；

2、能夠描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)通過(guò)建立幾何模型

來(lái)研究空間圖形，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想.【教學(xué)效果】：教學(xué)目標(biāo)的給出有利于學(xué)生把握課堂的學(xué)習(xí)時(shí)間.二、【自學(xué)內(nèi)容和要求及自學(xué)過(guò)程】

閱讀材料，學(xué)習(xí)新知

材料一： 立體幾何是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的學(xué)科，只有把我們周?chē)奈矬w形狀正確迅速分解開(kāi)，才能清醒地認(rèn)識(shí)幾何學(xué)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).簡(jiǎn)單幾何體（柱體、錐體、臺(tái)體和球）是構(gòu)成簡(jiǎn)單組合體的基本元素.本節(jié)教材主要是在學(xué)習(xí)了柱、錐、臺(tái)、球的基礎(chǔ)上，運(yùn)用它們的結(jié)構(gòu)特征來(lái)描述簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征.材料二：觀察下面幾個(gè)圖形，談?wù)勀銓?duì)這些圖形的認(rèn)識(shí)，你能找出這些圖形都是由哪些簡(jiǎn)單集合體組成的嗎？

常見(jiàn)的組合體有三種：多面體與多面體的組合；多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合；旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合.其基本形式實(shí)質(zhì)上有兩種：一種是由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成的簡(jiǎn)單組合體；另一種是由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成的簡(jiǎn)單組合體.【教學(xué)效果】：由于學(xué)生初中已經(jīng)有了一定的基礎(chǔ)，所以基本上都能達(dá)到學(xué)習(xí)目標(biāo)要求.三、【練習(xí)與鞏固】

結(jié)合今天所學(xué)的知識(shí)，完成該下列練習(xí)

練習(xí)一:教材第7頁(yè)練習(xí)1、2題；

思考：<1>已知如圖1所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，當(dāng)梯形ABCD繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其他各邊旋轉(zhuǎn)圍 成的一個(gè)幾何體，試描述該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.（圖2）<2>如圖3所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，當(dāng)梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，其他各邊旋轉(zhuǎn)圍成的一個(gè)幾何體，試描述該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.（圖4）

【教學(xué)效果】：學(xué)生基本上都能達(dá)到學(xué)習(xí)要求.四、【作業(yè)】

1、必做題：教材第9頁(yè)習(xí)題1.1A組第3、4題；

2、選做題：一直角梯形ABCD如圖所示，分別以邊AB、BC、CD、DA為旋轉(zhuǎn)軸，畫(huà)出所得幾何體的大致形狀.五、【小結(jié)】

這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，由于這節(jié)課比較簡(jiǎn)單，所以學(xué)生接受也很快，很好的完成了教學(xué)任務(wù).六、【教學(xué)反思】

學(xué)校的復(fù)印機(jī)壞了，給我的教學(xué)帶來(lái)了不小的難度.我一貫是堅(jiān)持學(xué)案教學(xué)法的，但是現(xiàn)在學(xué)案沒(méi)有了，教學(xué)效果也有一定的打折.心里面很著急，但是沒(méi)辦法.只有寄希望于學(xué)校的打印機(jī)趕快修好.這節(jié)課我是這樣處理的，把課講完以后，處理了資料上的題目.由于這節(jié)課比較簡(jiǎn)單，所以教學(xué)效果自認(rèn)為還是很不錯(cuò)的.

第四篇：高一數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單組合體的三視圖教案

高一數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單組合體的三視圖教案

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空間幾何體的三視

一、教學(xué)目標(biāo)

．知識(shí)與技能

（1）掌握畫(huà)三視圖的基本技能

（2）豐富學(xué)生的空間想象力

2．過(guò)程與方法

主要通過(guò)學(xué)生自己的親身實(shí)踐，動(dòng)手作圖，體會(huì)三視圖的作用。

3．情感態(tài)度與價(jià)值觀

（1）提高學(xué)生空間想象力

（2）體會(huì)三視圖的作用

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：畫(huà)出簡(jiǎn)單組合體的三視圖

難點(diǎn)：識(shí)別三視圖所表示的空間幾何體

三、學(xué)法與教學(xué)用具

．學(xué)法：觀察、動(dòng)手實(shí)踐、討論、類(lèi)比

2．教學(xué)用具：多媒體、實(shí)物模型

四、教學(xué)基本流程

（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭開(kāi)課題

“橫看成嶺側(cè)看成峰”，這說(shuō)明從不同的角度看同一物體視覺(jué)的效果可能不同，要比較真實(shí)反映出物體，我們可從多角度觀看物體，這堂課我們主要學(xué)習(xí)空間幾何體的三視圖。

在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐、球的三視圖（正視圖、側(cè)視圖、俯視圖）。

（二）給出三視圖的定義、從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖稱(chēng)為幾何體的正視圖（主視圖）。

2、從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖稱(chēng)為幾何體的側(cè)視圖（左視圖）。

3、從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖稱(chēng)為幾何體的俯視圖。

（三）通過(guò)多媒體展示長(zhǎng)方體的三視圖，并給出三視圖之間的投影規(guī)律。

雖然在畫(huà)三視圖時(shí)取消了投影軸和投影間的連線，但三視圖間的投影規(guī)律和相對(duì)位置關(guān)系仍應(yīng)保持。三視圖的位置關(guān)系為：俯視圖在主視圖的下方、左視圖在主視圖的右方。按照這種位置配置視圖時(shí)，國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定一律不標(biāo)注視圖的名稱(chēng)。對(duì)應(yīng)上圖還可以看出：

主視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度；

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；

左視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。

由此可得出三視圖之間的投影規(guī)律為：主、俯視圖——長(zhǎng)對(duì)正；主、左視圖——高平齊；俯、左視圖——寬相等

（四）基本幾何體的三視圖

、球的三視圖

2、圓柱的三視圖

3、圓錐的三視圖

作三視圖之前應(yīng)當(dāng)細(xì)心觀察，認(rèn)識(shí)了它的基本結(jié)構(gòu)特征后，再動(dòng)手作圖。

（五）簡(jiǎn)單組合體的三視圖

桌面上擺放幾個(gè)簡(jiǎn)單組合體，請(qǐng)學(xué)生畫(huà)出它們的三視圖

畫(huà)組合體的三視圖的步驟：應(yīng)認(rèn)清組合體的結(jié)構(gòu)，把組合體分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的基本幾何體，再按簡(jiǎn)單幾何體畫(huà)三視圖。

（六）三視圖與幾何體之間的相互轉(zhuǎn)化。

．投影出示圖片（課本P15，圖1.2-6）

請(qǐng)同學(xué)們思考圖中的三視圖表示的幾何體是什么？

圓臺(tái)

2．請(qǐng)同學(xué)們思考圖中的三視圖表示的幾何體是什么？

四棱柱

3．三視圖對(duì)于認(rèn)識(shí)空間幾何體有何作用？你有何體會(huì)？

教師巡視指導(dǎo)，解答學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到的困難，然后讓學(xué)生發(fā)表對(duì)上述問(wèn)題的看法。

4．思考：若只給出一組正，側(cè)視圖，那么它還可能是什么幾何體？

正四棱臺(tái)

三棱臺(tái)

（七）歸納整理

請(qǐng)學(xué)生回顧發(fā)表如何作好空間幾何體的三視圖：

三視圖之間的投影規(guī)律：

正視圖與俯視圖------長(zhǎng)對(duì)正

正視圖與側(cè)視圖------高平齊

俯視圖與側(cè)視圖------寬相等

畫(huà)幾何體的三視圖時(shí)，能看得見(jiàn)的輪廓線或棱用實(shí)線表示，不能看得見(jiàn)的輪廓線或棱用虛線表示。

（八）課后作業(yè)

課本P22習(xí)題1.2A組1、2

第五篇：2014年高中數(shù)學(xué) 1.1.2余弦定理教案(二)新人教A版必修5

1.1.2余弦定理

教學(xué)過(guò)程

推進(jìn)新課

1.余弦定理:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍

在幻燈片1.1.2B中我們可以看到它的兩種表示形式 形式一

a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+

b2-2abcosC形式二b2?c2?a2

cosA?2bcc2?a2?b2cosB?2caa2?

b2?c2cosC?2ab

師 在余弦定理中,令C =90°時(shí),這時(shí)cosC=0,所以c2=a2+b2,由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.另外,對(duì)于余弦定理的證明,我們也可以仿照正弦定理的證明方法二采用向量法證明,以進(jìn)一步體會(huì)向量知識(shí)的工具性作用

.[合作

探究

2.向量法證明余弦定理

(1)

證明思路分析

師

聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法，可用什么途徑來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題？

用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊C．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出現(xiàn),從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題．由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，那么可以與哪些向量知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系呢

生 向量數(shù)量積的定義式a·b=|a||b|cosθ,其中θ為A、B的夾角

師 在這一點(diǎn)聯(lián)系上與向量法證明正弦定理有相似之處,但又有所區(qū)別.首先因?yàn)闊o(wú)須進(jìn)行正、余弦形式的轉(zhuǎn)換,也就少去添加輔助向量的麻煩.當(dāng)然,在各邊所在向量的聯(lián)系上仍然通過(guò)向量加法的三角形法則,而在數(shù)量積的構(gòu)造上則以兩向量夾角為引導(dǎo),比如證明形式中含有角C,則構(gòu)造CBCA這一數(shù)量積以使出現(xiàn)cosC.同樣在證明過(guò)程中應(yīng)注意兩向量夾角是以同起點(diǎn)為前提

(2)

向量法證明余弦定理過(guò)程

如圖，在△ABC中,設(shè)AB、BC、CA的長(zhǎng)分別是c、a、b

由向量加法的三角形法則，可得??

∴ACAC=(AB+BC)(AB+BC)=AB2+2ABBC+BC2 =AB+2ABBCcos(180?B)+BC

=

c2-2accosB+a2，即b

2=a2+c2-2ac

cosB

由向量減法的三角形法則，可得BC=AC-AB

1∴BC

BC=(AC-AB)(AC-AB)=AC2-2ACAB+AB

2=AC-2ACABcosA+AB=b2-2bccosA+c2，即a=b+c-

2bccosA

由向量加法的三角形法則,可得AB=AC+CB=AC-BC

∴ABAB=(AC-BC)(AC-BC)=AC2-2ACBC+BC2

=AC2-

2ACBCcosC+BC=b2-2bacosC+a2，即c=a+b-2abcosC

[方法引導(dǎo)

(1)上述證明過(guò)程中應(yīng)注意正確運(yùn)用向量加法(減法)的三角形法則

(2)在證明過(guò)程中應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意的是兩向量夾角的確定,AC與AB屬于同起點(diǎn)向量,則夾角為A；AB與BC是首尾相接,則夾角為角B的補(bǔ)角180

?

B；AC與

BC是

同終點(diǎn),則夾角

仍是角C[合作探究

師 思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？

生（留點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生自己動(dòng)手推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

b2?c2?a2a2?c2?b2

b2?a2?c2

cosA?,cosB?,cosC?

2bc2ac2ba

師 思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角

形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？ 生（學(xué)生思考片刻后會(huì)總結(jié)出）若△ABC

中，C =90°，則cosC=0，這時(shí)c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例．

師 從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，在一個(gè)三角形中，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是直角；如果兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角，如果兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是銳角．從上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣．現(xiàn)在，三角函數(shù)把幾何中關(guān)于三角形的定性結(jié)果都變

成可定量計(jì)算的公式了．

師 在證明了余弦定理之后,我們來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)余弦定理的應(yīng)用(給出幻燈片1.1.2B

通過(guò)幻燈片中余弦定理的兩種表示形式我們可以得到,利用余弦定理,可以解決以下兩類(lèi)有

關(guān)三角形的問(wèn)題

(1)已知三邊,求三個(gè)角

這類(lèi)問(wèn)題由于三邊確定,故三角也確定,解唯一,課本P8例4屬這類(lèi)情況(2)已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個(gè)角

這類(lèi)問(wèn)題第三邊確定,因而其他兩個(gè)角唯一,故解唯一,不會(huì)產(chǎn)生類(lèi)似利用正弦定理解三角形

所產(chǎn)生的判斷取舍等問(wèn)題

接下來(lái),我們通過(guò)例題來(lái)進(jìn)一步體會(huì)一下 ［例題剖析］

【例1】在△ABC中，已知B=60 cm，C=34 cm，A=41°，解三角形（角度精確到1°，邊長(zhǎng)精確到1 cm）

解：

根據(jù)余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=602+342-2·60·34cos41°≈3 600+1 156-所以A≈41 c 由正弦定理得sinC=

csinA34?sin41?3

4?0.656

?≈a4141

因?yàn)镃不是三角形中最大的邊，所以C是銳角.利用計(jì)數(shù)器可得

C

B=180°-A-C=180°-41°-

【例2】在△ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形解：由余弦定理的推論,得

b2?c2?a287.82?161.72?134.62

?cosA=≈0.554 3,A

2bc2?87.8?161.7c2?a2?b2134.62?161.72?87.82

?cosB=≈0.839 8,B

2ca2?134.6?161.7

C =180°-(A+B)=180°-

[

知識(shí)拓展 補(bǔ)充例題：

【例1】在△ABC中,已知a=7,b=10,c=6,求A、B和C.（精確到

分析:此題屬于已知三角形三邊求角的問(wèn)題,可以利用余弦定理,意在使學(xué)生熟悉余弦定理的形式二

b

2?c2?a2102?62?7

2??0.725 解：∵cosA?

2bc2?10?6

∴

A

a2?b

2?c272?102?62113??∵cosC=

2ab2?7?10140

∴

C

∴B=180°-(A+C)=180°-(44°+36°)=100°.[

教師精講

(1)為保證求解結(jié)果符合三角形內(nèi)角和定理,即三角形內(nèi)角和為180°,可用余弦定理求出兩角,第三角用三角形內(nèi)角和定理求出

(2)對(duì)于較復(fù)雜運(yùn)算,可以利用計(jì)算器運(yùn)算

【例2】在△ABC中,已知a=2.730,b=3.696,c=82°28′,解這個(gè)三角形(邊長(zhǎng)保留四個(gè)有效數(shù)字,角度精確到

1′)

分析:此題屬于已知兩邊及其夾角解三角形的類(lèi)型,可通過(guò)余弦定理形式一先求出第三邊,在第三邊求出后其余角求解有兩種思路:一是利用余弦定理的形式二根據(jù)三邊求其余角,二是利用兩邊和一邊對(duì)角利用正弦定理求解,但根據(jù)1.1.1斜三角形求解經(jīng)驗(yàn),若用正弦定理需對(duì)兩

種結(jié)果進(jìn)行判斷取舍,而在0°～180°之間,余弦有唯一解,故用余弦定理較好解：由c2=a2+b2-2abcosC=2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×cos82°28′, 得c

b2?c

2?a23.6962?4.2972?2.7302

?∵cosA=

2bc2?3.696?4.297

∴

A

∴B=180°-(A+C)=180°-[教師

精講

通過(guò)例2,我們可以體會(huì)在解斜三角形時(shí),如果正弦定理與余弦定理都可選用,那么求邊用兩個(gè)定理均可,求角則用余弦定理可免去判斷取舍的麻煩 【例3】在△ABC中,已知A=8,B=7,B=60°,求C及S△

ABC

分析:根據(jù)已知條件可以先由正弦定理求出角A,再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出角C,再利用正弦定理求出邊C,而三角形面積由公式S△ABC=

acsinB

可以求出 2

若用余弦定理求C,表面上缺少C,但可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosB建立關(guān)于C的方程,亦能達(dá)到求C的目的下面給出兩種解法 解法一:由正弦定理得∴A1=81.8°,A

2∴C1=38.2°,C

2由

87?

sinAsin60?

7c

?,得c1=3,c2

sin60?sinC

1∴S△ABC=ac1sinB?6或S△ABC=ac2sinB

?1022

解法二:由余弦定理得b2=c+a2-2cacos

B

∴72=c+82-2×8×

cco 整理得c2-8c 解之,得c1=3,c2=5.∴S△ABC=

ac1sinB?6或S△ABC= ac2sinB

?10322

[教師精講]

在解法一的思路里,應(yīng)注意由正弦定理應(yīng)有兩種結(jié)果,避免遺漏;而解法二更有耐人尋味之處,體現(xiàn)出余弦定理作為公式而直接應(yīng)用的另外用處,即可以用之建立方程,從而運(yùn)用方程的觀點(diǎn)去解決,故解法二應(yīng)引起學(xué)生的注意

綜合上述例題,要求學(xué)生總結(jié)余弦定理在求解三角形時(shí)的適用范圍;已知三邊求角或已知兩邊及其夾角解三角形,同時(shí)注意余弦定理在求角時(shí)的優(yōu)勢(shì)以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知兩邊、一角解三角形可用余弦定理解之 課堂練習(xí)1.在△ABC

中

(1)已知c=8,b=3,b=60°,求A(2)已知a=20,bB=29,c=21，求

B(3)已知a=33,c=2,b=150°,求

B(4)已知a=2,b=2，c=3+1,求A

解：(1)由a2=b2+c2-2bccosA，得a2=82+32-2×8×3cos60°=49.∴A

c2?a2?b2202?212?29

2?0.∴

(2)由cosB?,得cosB?B

2ca2?20?2

1(3)由b2=c2+a2-2cacosB,得b2=(33)2+22-2×33×2cos150°=49.∴b

b2?c2?a2(2)2?(3?1)2?222

(4)由cosA?,得cosA?.∴

A?

2bc222(?1)

評(píng)述:此練習(xí)目的在于讓學(xué)生熟悉余弦定理的基本形式,要求學(xué)生注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性及解題

效率

2.根據(jù)下列條件解三角形（角度精確到(1)a=31,b=42,c(2)a=9,b=10,c

b2?c2?a2422?272?312解：(1)由cosA?,得cosA?≈0.675 5,∴

A

2bc2?42?27c2?a2?b2312?272?422?由cosB?≈-0.044 2,∴

B

2ca2?31?27

∴C=180°-(A+B)=180°-

b2?c2?a2102?152?92,得cosA?

(2)由

2bc2?10?1

5∴

A

c2?a2?b2152?92?102

?由cosB?≈0.763 0,2ca2?9?15

∴

B

∴C=180°-(A+B)=180°-

評(píng)述:此練習(xí)的目的除了讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉余弦定理之外,還要求學(xué)生能夠利用計(jì)算器進(jìn)行較復(fù)雜的運(yùn)算.同時(shí),增強(qiáng)解斜三角形的能力 課堂小結(jié)

通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí),我們一起研究了余弦定理的證明方法,同時(shí)又進(jìn)一步了解了向量的工具性作用,并且明確了利用余弦定理所能解決的兩類(lèi)有關(guān)三角形問(wèn)題

（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三邊求三角；②已知兩邊、一角解三角形． 布置作業(yè)

課本第8頁(yè)練習(xí)第1（1）、2（1）題

教學(xué)反思

１．注重過(guò)程與方法，提升探究能力

數(shù)學(xué)教學(xué)是一個(gè)過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中要注意對(duì)學(xué)生邏輯思維、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題等能力的培養(yǎng)，而不能把結(jié)論直接拋給學(xué)生，學(xué)習(xí)只有通過(guò)自身的體驗(yàn)，才能得到“同化”和“順應(yīng)”，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，是師生之間、學(xué)生之間相互交往、積極互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程，是“溝通”與“合作”的過(guò)程．本節(jié)課從具體的實(shí)例出發(fā)，從特殊到一般，讓學(xué)生經(jīng)歷提出問(wèn)題，解決問(wèn)題，初步應(yīng)用等過(guò)程，采用問(wèn)題串的形式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究活動(dòng)．余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明，先從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)入手，根據(jù)初中的平面幾何知識(shí)，這是符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)余弦定理，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，積極發(fā)表自己的見(jiàn)解。從平面幾何法—解析法—向量法，層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，讓學(xué)生從不同角度去認(rèn)識(shí)余弦定理，對(duì)求邊長(zhǎng)的方法也有個(gè)深入的了解，有利于學(xué)生思維的擴(kuò)展，充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程以及探究問(wèn)題的方法．整節(jié)課氣氛活潑，教學(xué)目標(biāo)得到較好的落實(shí)．

2．關(guān)注師生間互動(dòng)，提高課堂效益

大部分學(xué)生對(duì)于定理教學(xué)通常都是依賴?yán)蠋煹闹v解,被動(dòng)接受教材中的證明思路,覺(jué)得理所當(dāng)然,缺乏主動(dòng)性,積極性.教師如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題就非常重要.教學(xué)實(shí)驗(yàn)表明，學(xué)生能否提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，不僅受其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、生活經(jīng)歷、學(xué)習(xí)方式等自身因素的影響，還受其所處的環(huán)境、教師對(duì)提問(wèn)的態(tài)度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創(chuàng)設(shè)適宜的數(shù)學(xué)情境，而且要真正轉(zhuǎn)變對(duì)學(xué)生提問(wèn)的態(tài)度，提高引導(dǎo)水平，一方面要鼓勵(lì)學(xué)生大膽地提出問(wèn)題，另一方面要妥善處理學(xué)生提出的問(wèn)題。把“質(zhì)疑提問(wèn)”，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題意識(shí)，提高學(xué)生提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力作為教與學(xué)活動(dòng)的起點(diǎn)與歸宿。

3．創(chuàng)造性使用教材，優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)

本節(jié)課緊緊圍繞余弦定理課題，對(duì)教學(xué)內(nèi)容做了一些整合和補(bǔ)充．教材例題中的角都非特殊角，需要用到計(jì)算器，過(guò)于繁雜．而本節(jié)課的核心是發(fā)現(xiàn)定理、定理的證明方法探究和定理的應(yīng)用，所以把例題作了一些改變，從而也減少學(xué)生對(duì)計(jì)算器的依賴，提高學(xué)生的計(jì)算能力．