第一篇：2014年高中數(shù)學(xué) 1.1.2余弦定理教案 新人教A版必修5

1.1.2余弦定理 教材分析

三維目標(biāo)

知識(shí)與技能：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類(lèi)基本的解三角形問(wèn)題。

過(guò)程與方法：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過(guò)實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類(lèi)基本的解三角形問(wèn)題

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；通過(guò)三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來(lái)理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

教學(xué)重點(diǎn)

余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程及其基本應(yīng)用；

教學(xué)難點(diǎn)

勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程中的作用。

教學(xué)建議

課本在引入余弦定理內(nèi)容時(shí)，首先提出探究性問(wèn)題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋?lái)研究這個(gè)問(wèn)題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問(wèn)題”．這樣，用聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過(guò)去的問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)過(guò)去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，使學(xué)生能夠形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)．設(shè)置這樣的問(wèn)題，是為了更好地加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)．比如對(duì)于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對(duì)三角形進(jìn)行討論，方法不夠簡(jiǎn)潔，通過(guò)向量知識(shí)給予證明,引起學(xué)生對(duì)向量知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣,同時(shí)感受向量法證明余弦定理的簡(jiǎn)便之處.教科書(shū)就是用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問(wèn)題中的威力．

在證明了余弦定理及其推論以后，教科書(shū)從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個(gè)思考問(wèn)題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？”并進(jìn)而指出，“從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是銳角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推廣”．還要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生注意余弦定理的各種變形式,并總結(jié)余弦定理的適用題型的特點(diǎn),在解題時(shí)正確選用余弦定理達(dá)到求解、求證目的 啟發(fā)學(xué)生在證明余弦定理時(shí)能與向量數(shù)量積的知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系,在應(yīng)用向量知識(shí)的同時(shí),注意使學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)、正弦定理、向量數(shù)量積等多處知識(shí)之間的聯(lián)系.導(dǎo)入一

提問(wèn)1：上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了正弦定理，解決了有關(guān)三角形的兩類(lèi)問(wèn)題：已知兩角和任意一邊；②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角.三角形中還有怎樣的問(wèn)題沒(méi)有解決？

已知兩邊和夾角；已知三邊.首先分析最特殊的三角形——直角.如圖1.已知兩邊a,b及夾角?C?90，能否求第三邊？

勾股定理c2?a2?b

2提問(wèn)2：在斜三角形中邊和角有怎樣的關(guān)系？

在△ABC中，當(dāng)?C?90時(shí)，有c2?a2?b2．

實(shí)驗(yàn)：若a,b邊的長(zhǎng)短不變，?C的大小變化,c2與a2?b2有怎樣的大小關(guān)系呢？

如圖2，若?C?90時(shí)，由于b邊與a邊的長(zhǎng)度不變，所以c邊的長(zhǎng)度變短，即c2?a2?b2.如圖3，若?C?90時(shí)，由于b邊與a邊的長(zhǎng)度不變，所以c邊的長(zhǎng)度變長(zhǎng)，即c2?a2?b2.當(dāng)?C?90時(shí)，c2?a2?b2，那么c2與a2?b2到底相差多少呢？與怎樣的角有關(guān)呢？顯然應(yīng)與∠C的大小有關(guān).圖1 圖2 圖

3導(dǎo)入新課二

師 上一節(jié),我們一起研究了正弦定理及其應(yīng)用,在體會(huì)向量應(yīng)用的同時(shí),解決了在三角形已知兩角、一邊和已知兩邊與其中一邊對(duì)角這兩類(lèi)解三角形問(wèn)題.當(dāng)時(shí)對(duì)于已知兩邊夾角求第三邊問(wèn)題未能解決,下面我們來(lái)看如圖(1)，在直角三角形中,根據(jù)兩直角邊及直角可表示斜邊,即勾股定理,那么對(duì)于任意三角形,能否根據(jù)已知兩邊及夾角來(lái)表示第三邊呢?下面我們根據(jù)初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識(shí)來(lái)研究這一問(wèn)題

在△ABC中,設(shè)BC=A,AC=B,AB=C,試根據(jù)B、C、A來(lái)表示

A

師 由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問(wèn)題，所以應(yīng)添加輔助線(xiàn)構(gòu)成直角三角形，在直角三角形內(nèi)通過(guò)邊角關(guān)系作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，邊A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用邊角關(guān)系表示,DB可利用AB-AD轉(zhuǎn)化為AD,進(jìn)而在Rt△ADC內(nèi)求解

解：過(guò)C作CD⊥AB,垂足為D,則在Rt△CDB中,根據(jù)勾股定理可得

A2=CD2+BD

∵在Rt△ADC中,CD2=B2-AD

又∵BD2=(C-AD)2=C2-2C·AD+AD

∴A2=B2-AD2+C2-2C·AD+AD2=B2+C2-2C·AD.又∵在Rt△ADC中,AD=B·COs

A

∴a2=b2+c2-2abcosA

.類(lèi)似地可以證明b2=c2+a2-2cacosB

c2=a2+b2-2abcos

C

另外,當(dāng)A為鈍角時(shí)也可證得上述結(jié)論,當(dāng)A為直角時(shí)，a2+b2=c2也符合上述結(jié)論,這也正是我們這一節(jié)將要研究的余弦定理,下面我們給出余弦定理的具體內(nèi)容.

第二篇：2014年高中數(shù)學(xué) 1.1.2余弦定理教案(二)新人教A版必修5

1.1.2余弦定理

教學(xué)過(guò)程

推進(jìn)新課

1.余弦定理:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍

在幻燈片1.1.2B中我們可以看到它的兩種表示形式 形式一

a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+

b2-2abcosC形式二b2?c2?a2

cosA?2bcc2?a2?b2cosB?2caa2?

b2?c2cosC?2ab

師 在余弦定理中,令C =90°時(shí),這時(shí)cosC=0,所以c2=a2+b2,由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.另外,對(duì)于余弦定理的證明,我們也可以仿照正弦定理的證明方法二采用向量法證明,以進(jìn)一步體會(huì)向量知識(shí)的工具性作用

.[合作

探究

2.向量法證明余弦定理

(1)

證明思路分析

師

聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法，可用什么途徑來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題？

用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊C．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出現(xiàn),從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題．由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，那么可以與哪些向量知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系呢

生 向量數(shù)量積的定義式a·b=|a||b|cosθ,其中θ為A、B的夾角

師 在這一點(diǎn)聯(lián)系上與向量法證明正弦定理有相似之處,但又有所區(qū)別.首先因?yàn)闊o(wú)須進(jìn)行正、余弦形式的轉(zhuǎn)換,也就少去添加輔助向量的麻煩.當(dāng)然,在各邊所在向量的聯(lián)系上仍然通過(guò)向量加法的三角形法則,而在數(shù)量積的構(gòu)造上則以?xún)上蛄繆A角為引導(dǎo),比如證明形式中含有角C,則構(gòu)造CBCA這一數(shù)量積以使出現(xiàn)cosC.同樣在證明過(guò)程中應(yīng)注意兩向量夾角是以同起點(diǎn)為前提

(2)

向量法證明余弦定理過(guò)程

如圖，在△ABC中,設(shè)AB、BC、CA的長(zhǎng)分別是c、a、b

由向量加法的三角形法則，可得??

∴ACAC=(AB+BC)(AB+BC)=AB2+2ABBC+BC2 =AB+2ABBCcos(180?B)+BC

=

c2-2accosB+a2，即b

2=a2+c2-2ac

cosB

由向量減法的三角形法則，可得BC=AC-AB

1∴BC

BC=(AC-AB)(AC-AB)=AC2-2ACAB+AB

2=AC-2ACABcosA+AB=b2-2bccosA+c2，即a=b+c-

2bccosA

由向量加法的三角形法則,可得AB=AC+CB=AC-BC

∴ABAB=(AC-BC)(AC-BC)=AC2-2ACBC+BC2

=AC2-

2ACBCcosC+BC=b2-2bacosC+a2，即c=a+b-2abcosC

[方法引導(dǎo)

(1)上述證明過(guò)程中應(yīng)注意正確運(yùn)用向量加法(減法)的三角形法則

(2)在證明過(guò)程中應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意的是兩向量夾角的確定,AC與AB屬于同起點(diǎn)向量,則夾角為A；AB與BC是首尾相接,則夾角為角B的補(bǔ)角180

?

B；AC與

BC是

同終點(diǎn),則夾角

仍是角C[合作探究

師 思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？

生（留點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生自己動(dòng)手推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

b2?c2?a2a2?c2?b2

b2?a2?c2

cosA?,cosB?,cosC?

2bc2ac2ba

師 思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角

形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？ 生（學(xué)生思考片刻后會(huì)總結(jié)出）若△ABC

中，C =90°，則cosC=0，這時(shí)c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例．

師 從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，在一個(gè)三角形中，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是直角；如果兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角，如果兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是銳角．從上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣．現(xiàn)在，三角函數(shù)把幾何中關(guān)于三角形的定性結(jié)果都變

成可定量計(jì)算的公式了．

師 在證明了余弦定理之后,我們來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)余弦定理的應(yīng)用(給出幻燈片1.1.2B

通過(guò)幻燈片中余弦定理的兩種表示形式我們可以得到,利用余弦定理,可以解決以下兩類(lèi)有

關(guān)三角形的問(wèn)題

(1)已知三邊,求三個(gè)角

這類(lèi)問(wèn)題由于三邊確定,故三角也確定,解唯一,課本P8例4屬這類(lèi)情況(2)已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個(gè)角

這類(lèi)問(wèn)題第三邊確定,因而其他兩個(gè)角唯一,故解唯一,不會(huì)產(chǎn)生類(lèi)似利用正弦定理解三角形

所產(chǎn)生的判斷取舍等問(wèn)題

接下來(lái),我們通過(guò)例題來(lái)進(jìn)一步體會(huì)一下 ［例題剖析］

【例1】在△ABC中，已知B=60 cm，C=34 cm，A=41°，解三角形（角度精確到1°，邊長(zhǎng)精確到1 cm）

解：

根據(jù)余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=602+342-2·60·34cos41°≈3 600+1 156-所以A≈41 c 由正弦定理得sinC=

csinA34?sin41?3

4?0.656

?≈a4141

因?yàn)镃不是三角形中最大的邊，所以C是銳角.利用計(jì)數(shù)器可得

C

B=180°-A-C=180°-41°-

【例2】在△ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形解：由余弦定理的推論,得

b2?c2?a287.82?161.72?134.62

?cosA=≈0.554 3,A

2bc2?87.8?161.7c2?a2?b2134.62?161.72?87.82

?cosB=≈0.839 8,B

2ca2?134.6?161.7

C =180°-(A+B)=180°-

[

知識(shí)拓展 補(bǔ)充例題：

【例1】在△ABC中,已知a=7,b=10,c=6,求A、B和C.（精確到

分析:此題屬于已知三角形三邊求角的問(wèn)題,可以利用余弦定理,意在使學(xué)生熟悉余弦定理的形式二

b

2?c2?a2102?62?7

2??0.725 解：∵cosA?

2bc2?10?6

∴

A

a2?b

2?c272?102?62113??∵cosC=

2ab2?7?10140

∴

C

∴B=180°-(A+C)=180°-(44°+36°)=100°.[

教師精講

(1)為保證求解結(jié)果符合三角形內(nèi)角和定理,即三角形內(nèi)角和為180°,可用余弦定理求出兩角,第三角用三角形內(nèi)角和定理求出

(2)對(duì)于較復(fù)雜運(yùn)算,可以利用計(jì)算器運(yùn)算

【例2】在△ABC中,已知a=2.730,b=3.696,c=82°28′,解這個(gè)三角形(邊長(zhǎng)保留四個(gè)有效數(shù)字,角度精確到

1′)

分析:此題屬于已知兩邊及其夾角解三角形的類(lèi)型,可通過(guò)余弦定理形式一先求出第三邊,在第三邊求出后其余角求解有兩種思路:一是利用余弦定理的形式二根據(jù)三邊求其余角,二是利用兩邊和一邊對(duì)角利用正弦定理求解,但根據(jù)1.1.1斜三角形求解經(jīng)驗(yàn),若用正弦定理需對(duì)兩

種結(jié)果進(jìn)行判斷取舍,而在0°～180°之間,余弦有唯一解,故用余弦定理較好解：由c2=a2+b2-2abcosC=2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×cos82°28′, 得c

b2?c

2?a23.6962?4.2972?2.7302

?∵cosA=

2bc2?3.696?4.297

∴

A

∴B=180°-(A+C)=180°-[教師

精講

通過(guò)例2,我們可以體會(huì)在解斜三角形時(shí),如果正弦定理與余弦定理都可選用,那么求邊用兩個(gè)定理均可,求角則用余弦定理可免去判斷取舍的麻煩 【例3】在△ABC中,已知A=8,B=7,B=60°,求C及S△

ABC

分析:根據(jù)已知條件可以先由正弦定理求出角A,再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出角C,再利用正弦定理求出邊C,而三角形面積由公式S△ABC=

acsinB

可以求出 2

若用余弦定理求C,表面上缺少C,但可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosB建立關(guān)于C的方程,亦能達(dá)到求C的目的下面給出兩種解法 解法一:由正弦定理得∴A1=81.8°,A

2∴C1=38.2°,C

2由

87?

sinAsin60?

7c

?,得c1=3,c2

sin60?sinC

1∴S△ABC=ac1sinB?6或S△ABC=ac2sinB

?1022

解法二:由余弦定理得b2=c+a2-2cacos

B

∴72=c+82-2×8×

cco 整理得c2-8c 解之,得c1=3,c2=5.∴S△ABC=

ac1sinB?6或S△ABC= ac2sinB

?10322

[教師精講]

在解法一的思路里,應(yīng)注意由正弦定理應(yīng)有兩種結(jié)果,避免遺漏;而解法二更有耐人尋味之處,體現(xiàn)出余弦定理作為公式而直接應(yīng)用的另外用處,即可以用之建立方程,從而運(yùn)用方程的觀點(diǎn)去解決,故解法二應(yīng)引起學(xué)生的注意

綜合上述例題,要求學(xué)生總結(jié)余弦定理在求解三角形時(shí)的適用范圍;已知三邊求角或已知兩邊及其夾角解三角形,同時(shí)注意余弦定理在求角時(shí)的優(yōu)勢(shì)以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知兩邊、一角解三角形可用余弦定理解之 課堂練習(xí)1.在△ABC

中

(1)已知c=8,b=3,b=60°,求A(2)已知a=20,bB=29,c=21，求

B(3)已知a=33,c=2,b=150°,求

B(4)已知a=2,b=2，c=3+1,求A

解：(1)由a2=b2+c2-2bccosA，得a2=82+32-2×8×3cos60°=49.∴A

c2?a2?b2202?212?29

2?0.∴

(2)由cosB?,得cosB?B

2ca2?20?2

1(3)由b2=c2+a2-2cacosB,得b2=(33)2+22-2×33×2cos150°=49.∴b

b2?c2?a2(2)2?(3?1)2?222

(4)由cosA?,得cosA?.∴

A?

2bc222(?1)

評(píng)述:此練習(xí)目的在于讓學(xué)生熟悉余弦定理的基本形式,要求學(xué)生注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性及解題

效率

2.根據(jù)下列條件解三角形（角度精確到(1)a=31,b=42,c(2)a=9,b=10,c

b2?c2?a2422?272?312解：(1)由cosA?,得cosA?≈0.675 5,∴

A

2bc2?42?27c2?a2?b2312?272?422?由cosB?≈-0.044 2,∴

B

2ca2?31?27

∴C=180°-(A+B)=180°-

b2?c2?a2102?152?92,得cosA?

(2)由

2bc2?10?1

5∴

A

c2?a2?b2152?92?102

?由cosB?≈0.763 0,2ca2?9?15

∴

B

∴C=180°-(A+B)=180°-

評(píng)述:此練習(xí)的目的除了讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉余弦定理之外,還要求學(xué)生能夠利用計(jì)算器進(jìn)行較復(fù)雜的運(yùn)算.同時(shí),增強(qiáng)解斜三角形的能力 課堂小結(jié)

通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí),我們一起研究了余弦定理的證明方法,同時(shí)又進(jìn)一步了解了向量的工具性作用,并且明確了利用余弦定理所能解決的兩類(lèi)有關(guān)三角形問(wèn)題

（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三邊求三角；②已知兩邊、一角解三角形． 布置作業(yè)

課本第8頁(yè)練習(xí)第1（1）、2（1）題

教學(xué)反思

１．注重過(guò)程與方法，提升探究能力

數(shù)學(xué)教學(xué)是一個(gè)過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中要注意對(duì)學(xué)生邏輯思維、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題等能力的培養(yǎng)，而不能把結(jié)論直接拋給學(xué)生，學(xué)習(xí)只有通過(guò)自身的體驗(yàn)，才能得到“同化”和“順應(yīng)”，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，是師生之間、學(xué)生之間相互交往、積極互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程，是“溝通”與“合作”的過(guò)程．本節(jié)課從具體的實(shí)例出發(fā)，從特殊到一般，讓學(xué)生經(jīng)歷提出問(wèn)題，解決問(wèn)題，初步應(yīng)用等過(guò)程，采用問(wèn)題串的形式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究活動(dòng)．余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明，先從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)入手，根據(jù)初中的平面幾何知識(shí)，這是符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)余弦定理，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，積極發(fā)表自己的見(jiàn)解。從平面幾何法—解析法—向量法，層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，讓學(xué)生從不同角度去認(rèn)識(shí)余弦定理，對(duì)求邊長(zhǎng)的方法也有個(gè)深入的了解，有利于學(xué)生思維的擴(kuò)展，充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程以及探究問(wèn)題的方法．整節(jié)課氣氛活潑，教學(xué)目標(biāo)得到較好的落實(shí)．

2．關(guān)注師生間互動(dòng)，提高課堂效益

大部分學(xué)生對(duì)于定理教學(xué)通常都是依賴(lài)?yán)蠋煹闹v解,被動(dòng)接受教材中的證明思路,覺(jué)得理所當(dāng)然,缺乏主動(dòng)性,積極性.教師如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題就非常重要.教學(xué)實(shí)驗(yàn)表明，學(xué)生能否提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，不僅受其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、生活經(jīng)歷、學(xué)習(xí)方式等自身因素的影響，還受其所處的環(huán)境、教師對(duì)提問(wèn)的態(tài)度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創(chuàng)設(shè)適宜的數(shù)學(xué)情境，而且要真正轉(zhuǎn)變對(duì)學(xué)生提問(wèn)的態(tài)度，提高引導(dǎo)水平，一方面要鼓勵(lì)學(xué)生大膽地提出問(wèn)題，另一方面要妥善處理學(xué)生提出的問(wèn)題。把“質(zhì)疑提問(wèn)”，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題意識(shí)，提高學(xué)生提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力作為教與學(xué)活動(dòng)的起點(diǎn)與歸宿。

3．創(chuàng)造性使用教材，優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)

本節(jié)課緊緊圍繞余弦定理課題，對(duì)教學(xué)內(nèi)容做了一些整合和補(bǔ)充．教材例題中的角都非特殊角，需要用到計(jì)算器，過(guò)于繁雜．而本節(jié)課的核心是發(fā)現(xiàn)定理、定理的證明方法探究和定理的應(yīng)用，所以把例題作了一些改變，從而也減少學(xué)生對(duì)計(jì)算器的依賴(lài)，提高學(xué)生的計(jì)算能力．

第三篇：高中數(shù)學(xué) 1.1.2 《余弦定理》導(dǎo)學(xué)案 新人教A版必修5

1.1.2《余弦定理》導(dǎo)學(xué)案

1.掌握余弦定理的兩種表示形式； 2.證明余弦定理的向量方法；

本的解三角形問(wèn)題．

【重點(diǎn)難點(diǎn)】 1.重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程及其基本應(yīng)用.2.難點(diǎn)：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程中的作用.【知識(shí)鏈接】

復(fù)習(xí)1：在一個(gè)三角形中，各和它所對(duì)角的的相等，即==．

復(fù)習(xí)2：在△ABC中，已知c?10，A=45?，C=30?，解此三角形．

思考：已知兩邊及夾角，如何解此三角形呢？

【學(xué)習(xí)過(guò)程】 ※ 探究新知

問(wèn)題：在?ABC中，AB、BC、CA的長(zhǎng)分別為c、a、b.???? ∵AC?，????∴AC?AC?

同理可得：a2?b2?c2?2bccosA，c2?a2?b2?2abcosC．

新知：余弦定理：三角形中任何一邊的等于其他兩邊的的和減去這兩邊與它們的夾角的的積的兩倍．

思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？

從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？

從余弦定理，又可得到以下推論：

b2?c2?a

2，． cosA?2bc

[理解定理]

（1）若C=90?，則cosC?，這時(shí)c2?

a2?b2

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例．

（2）余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角．

試試：

（1）△ABC

中，a?，c?2，B?150?，求b．

（2）△ABC中，a?

2，b?，c?1，求A．

※ 典型例題

例1.在△ABC

中，已知a

bB?45?，求A,C和c．

變式：在△ABC中，若AB，AC＝5，且cosC＝9

10，則BC＝________．

例2.在△ABC中，已知三邊長(zhǎng)a?3，b?

4，c?，求三角形的最大內(nèi)角．

變式：在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A．

【學(xué)習(xí)反思】

※ 學(xué)習(xí)小結(jié)

1.余弦定理是任何三角形中邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

2.余弦定理的應(yīng)用范圍：

① 已知三邊，求三角；

② 已知兩邊及它們的夾角，求第三邊．

※ 知識(shí)拓展

在△ABC中，若a2?b2?c2，則角C是直角；

若a2?b2?c2，則角C是鈍角；

222）.A.很好B.較好C.一般D.較差

※ 當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘 滿(mǎn)分：10分）計(jì)分：

1.已知a

c＝2，B＝150°，則邊b的長(zhǎng)為（）.2.已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、5、7，則最大角為（）.A．60?B．75?C．120?D．150?

3.已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為2、3、x，則x的取值范圍是（）.A

x?

＜x＜

5C． 2＜x

D

＜x＜5 ????????????????????????4.在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB與AC的夾角為60°，則|AB－AC|＝________． 5.在△ABC中，已知三邊a、b、c滿(mǎn)足

b2?a2?c2?ab，則∠C等于．

1.在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝13

14，求最大角的余弦值．

2.在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求???AB?????BC?的值.

第四篇：高中數(shù)學(xué)必修五1.1.2余弦定理

1．1．2余弦定理蘄春三中劉芳

1.1.2余弦定理

蘄春三中劉芳

（一）教學(xué)目標(biāo)

1．知識(shí)與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類(lèi)基本的解三角形問(wèn)題。

2.過(guò)程與方法:利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過(guò)實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類(lèi)基本的解三角形問(wèn)題，3．情態(tài)與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；通過(guò)三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來(lái)理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

（二）教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程及其基本應(yīng)用；

難點(diǎn)：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程中的作用。

（三）學(xué)法與教學(xué)用具

學(xué)法：首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進(jìn)行量化，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問(wèn)題，利用向量的數(shù)量積比較容易地證明了余弦定理。從而利用余弦定理的第二種形式由已知三角形的三邊確定三角形的角 教學(xué)用具：投影儀、計(jì)算器

（四）教學(xué)設(shè)想

[復(fù)習(xí)回顧]

1、正弦定理；abc???2RsinAsinBsinC2、可以解決兩類(lèi)有關(guān)三角形的問(wèn)題：

（1）已知兩角和任一邊。

（2）已知兩邊和一邊的對(duì)角。

[提出問(wèn)題]

聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法，可用什么途徑來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題？

用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。

由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。A ?????????????????如圖1．1-5，設(shè)CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，則bc

???????c?c?a?ba?b???????ab?b??2a??bCa??2a??2?a?b?2a?b?2????

從而c2?a2?b2?2abcosC(圖1．1-5)

同理可證a2?b2?c2?2bccosA

b2?a2?c2?2accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角

7的余弦的積的兩倍。即a2?b2?c2?2bccosA

b2?a2?c2?2accosB

c2?a2?b2?2abcosC

思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？

（由學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

b2?c2?a

2cosA?2bca2?c2?b2

cosB?b2?a2?c2

cosC?[理解定理]

從而知余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？

（由學(xué)生總結(jié)）若?ABC中，C=900，則cosC?0，這時(shí)c2?a2?b2

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

[例題分析]

題型一 已知兩邊及夾角解三角形

例1．在?ABC

中，已知a

?cB?600，求b及A

⑴解：∵b2?a2?c2?2accosB

=2?2?2?cos450

=12?2?1)

=8

∴b?

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

b2?c2?a22221⑵解法一：∵

cosA?,∴A?600.asin450,解法二：∵

sinA?sinB2.4?1.4?

3.8,2?1.8?3.6,∴a＜c，即00＜A＜900,∴A?600.評(píng)述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。

題型二 已知三邊解三角形

例2．在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形

（見(jiàn)課本第8頁(yè)例4，可由學(xué)生通過(guò)閱讀進(jìn)行理解）

解：由余弦定理的推論得： b2?c2?a2

cosA?

87.82?161.72?134.62 ??0.5543,A?56020?； c2?a2?b2

cosB?

134.62?161.72?87.82 ?2?134.6?161.7?0.8398,B?32053?；

? C?1800?(A?B)?1800?(56020??32053)

??90047.題型三 正、余弦定理的應(yīng)用比較

例3.在△ABC中，已知 b=3，3。B=300，求角A，角C和邊a。

思考：求某角時(shí)，可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理，兩種方法 有什么利弊呢？

[補(bǔ)充練習(xí)]

1、在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A（答案：A=1200）

2、在△ABC中，已知(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,求△ABC的最大內(nèi)角。（答案：A=1200）

[課堂小結(jié)]

（1）利用余弦定理解三角形

①．已知三邊求三角；

②．已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

（2）余弦定理與三角形的形狀

（五）作業(yè)設(shè)計(jì)

①課后閱讀：課本第9頁(yè)[探究與發(fā)現(xiàn)]

②課時(shí)作業(yè)：第10頁(yè)[習(xí)題1.1]A組第3，4題。

③《名師一號(hào)》相關(guān)題目。

第五篇：高中數(shù)學(xué)必修5新教學(xué)案：1.1.2余弦定理(第1課時(shí))

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.三角形的邊角關(guān)系；2.余弦定理；3.余弦定理與勾股定理之間的關(guān)系.2.余弦定理；3.余弦定理與勾股定理之間的關(guān)系.3.余弦定理與勾股定理之間的關(guān)系.【學(xué)習(xí)要求】

1.通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握余弦定理；

2.會(huì)運(yùn)用余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題.【預(yù)習(xí)提綱】

（根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材第 5 頁(yè)～第6 頁(yè)）

1．如果已知一個(gè)三角形的兩邊及其所夾的角,那么這個(gè)三角形的大小、形狀是否完全確定?

2.如何用已知的兩條邊及其所夾的角來(lái)表示第三條邊.3.教材中給出了用向量法證明余弦定理的方法,體現(xiàn)了向量在解決三角形度量問(wèn)題中的作用.另外思考用坐標(biāo)法和三角法如何證明余弦定理.4.討論余弦定理和勾股定理之間的聯(lián)系.5.應(yīng)用余弦定理解三角形(閱讀例3).【基礎(chǔ)練習(xí)】

1．在?ABC中,已知下列條件,解三角形(角度精確到0.10,邊長(zhǎng)精確到0.1cm):

0（1）a=2.7cm, b=3.6cm, C=82.2;

（2）b=12.9cm, c=15.4cm, A=42.30.【典型例題】

例1 在?ABC中, a=2, b=4, C=1200,求c邊的長(zhǎng).例2 在?ABC中,已知b=5, c

A=300求a、B、C及面積S.變式: 在?ABC中，已知a=8，c=

41），面積s，解此三角形.必修51.1.2余弦定理（學(xué)案）（第1課時(shí)）

11.在?ABC中，若C為鈍角,下列結(jié)論成立的是().(A)a2+b2> c2(B)a2+b2

2-2根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的度數(shù);(2)求AB的長(zhǎng).x+2=0的兩

1.已知a,b, c是?ABC中∠A, ∠B,∠C的對(duì)邊, S是?ABC的面積,若a=4,b=5,S

=5,求c的長(zhǎng)度.必修51.1.2 余弦定理（教案）

【教學(xué)目標(biāo)】

1．通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系的探索, 能證明余弦定理, 了解可以從向量、解析法和三角法等多種途徑證明余弦定理.2．了解余弦定理與勾股定理之間的聯(lián)系.3.能夠應(yīng)用余弦定理解三角形.【重點(diǎn)】: 通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系的探索, 證明余弦定理, 并能應(yīng)用它解三角形.【難點(diǎn)】: 余弦定理的證明.【預(yù)習(xí)提綱】

（根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材第 5頁(yè)～第6頁(yè)）

1．如果已知一個(gè)三角形的兩邊及其所夾的角,那么這個(gè)三角形的大小、形狀是否完全確定?(完全確定)

2.如何用已知的兩條邊及其所夾的角來(lái)表示第三條邊(a2=b2+c2-2bccosA,22222

2b=a+c-2accosB,c=a+b-2abcosC．)

3.教材中給出了用向量法證明余弦定理的方法,體現(xiàn)了向量在解決三角形度量問(wèn)題中的作用.另外思考用坐標(biāo)法和三角法如何證明余弦定理.證法１（向量法）：見(jiàn)教材.證法２（解析法）：如圖,以A點(diǎn)為原點(diǎn)，以?ABC的邊AB,所在直線(xiàn)為x軸，以過(guò)A與AB垂直的直線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0),C(bcosA,bsinA)，B(c,0)，由連點(diǎn)間的距離公式得：BC2?(bcosA?c)2?(bsinA?0)2，即

a?bcosA?2bccosA?c?bsinA

所以 a?b?c?2bccosA,同理可證b2?a2?c2?2accosB ,c2?a2?b2?2abcosC

證法３（三角法）：提示：先分銳角，鈍角兩種情況。過(guò)C作CD?AB(或其延長(zhǎng)線(xiàn))于D，則CD=bsinA，然后求出BD,在Rt?ABC中，用勾股定理得

222

BC?CD?BD,化簡(jiǎn)即可.4.討論余弦定理和勾股定理之間的聯(lián)系.余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例． 5.應(yīng)用余弦定理解三角形(閱讀例3).【基礎(chǔ)練習(xí)】

1．在?ABC中,已知下列條件,解三角形(角度精確到0.10,邊長(zhǎng)精確到0.1cm):（1）a=2.7cm, b=3.6cm, C=82.20;

（2）b=12.9cm, c=15.4cm, A=42.3.解：（１）A≈43.50, B≈58.20，c≈4.2cm;(2)a≈10.5cm, B≈55.80, C≈0

81.9.【典型例題】

例1 在?ABC中, a=2, b=4, C=1200,求c邊的長(zhǎng).【審題要津】 由條件知可直接用余弦定理求解.解：由余弦定理,得

22222)=28, c=a+b-2abcosC=2+4-2ⅹ2ⅹ4ⅹ(-12

∴c

=2【方法總結(jié)】已知三角形的兩邊及其夾角可直接用余弦定理求解

例2在?ABC中,已知b=5, c，A=30求a、B、C及面積s.【審題要津】根據(jù)已知條件,可用余弦定理求a,然后可用正弦定理求角B和C,面積用

S=

cbsinA求解.解：由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=25, ∴a=5.由正弦定理,得sinB?

bsinAa

?12,∴B=300, C=1800-A-B=1200

.S?abc?

absinC?【方法總結(jié)】(1)解三角形時(shí)往往同時(shí)用到正弦定理與余弦定理.(2)一般地,使用正弦定理求角時(shí),有時(shí)要討論解的個(gè)數(shù)問(wèn)題.變式: 在?ABC中，已知a=8，c=4

1），面積S

.解:由正弦定理,得S?

acsinB,即B=60,或B?120(舍),由余弦定理,得

00

b=a+c-2accosB

=8??4

?

?1??2?8?4

?

?

?1?

?

?96,∴b?,cosA?

b?c?a

2bc

222

?,?A?45.?C?180?A?B?180?45?60?75.0000

1.在?ABC中，若C為鈍角,下列結(jié)論成立的是(B).222222

(A)a+b> c(B)a+b

解: 由余弦定理,得c=a+b-2abcosC=1+1-2ⅹ1ⅹ1ⅹ(-1)=3, 2

∴c

=3.在?ABC中, a=3, b=4, c,求最大角.解: 顯然C最大,由c?a?b?2abcosC,得cosC

?

a?b?c

2ab

222

?

3?4?372?3?4

??1

2,∴C=1200.4.在?ABC中, BC=a,AC=b,且a,b是方程x-2

x+2=0的兩

根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的度數(shù);(2)求AB的長(zhǎng).由根與系數(shù)關(guān)系知a?b?ab?2, ,?C?120, 又2cos?a?b??1,?cosC??12

222

c=a+b-2abcosC=?a?b??2ab?2abcosC=12-4-4×??

?=10,?C

?

1.已知a,b, c是?ABC中∠A, ∠B,∠C的對(duì)邊, S是?ABC的面積,若a=4,b=5,S

=5求c的長(zhǎng)度.12

解:由S?absinC,得

=

?4?5?sinC,所以sinC

?,∵C為三角形的內(nèi)

角，∴C?60或C?120，當(dāng)C?60時(shí)，c?a?b?2abcosC?4?5?2?4?5?cos60?

21，∴C?

00

當(dāng)C?120時(shí)，222220

c?a?b?2abcosC?4?5?2?4?5?cos120?

61，∴C?