第一篇：幾類遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解策略

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幾類遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解策略

已知遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式，是數(shù)列中一類非常重要的題型，也是高考的熱點(diǎn)之一．?dāng)?shù)列的遞推公式千變?nèi)f化，由遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式的方法靈活多樣，下面談?wù)勊鼈兊那蠼獠呗裕?/p>

一、an?1?an?f(n)方法：利用疊加法

a2?a1?f(1)，a3?a2?f(2),?，an?an?1?f(n?1)，an?a1??f(k)．

k?1n?1例1．?dāng)?shù)列{an}滿足a1?1，an?an?1?解：由 an?1?an?1(n?2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 2n?n1 得 2(n?1)?(n?1)n?1n?1111111?1?2?=== an?a1??1?(?)?2nnk?1k?1kk?1(k?1)?(k?1)例2．?dāng)?shù)列{an}滿足nan?1?(n?1)an?1，且a1?1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

分析：注意到左右兩邊系數(shù)與下標(biāo)乘積均為n(n?1)，將原式兩邊同時(shí)除以n(n?1)，aaa11變形為n?1?n?．令bn?n，有bn?1?bn?，即化為類型1，以

nn(n?1)n?1nn(n?1)下略．

n

二、n?1

方法：利用疊代法 a?af(n)a2?a1f(1)，a3?a2f(2),?，an?an?1f(n?1)，an?a1?f(k)．

k?1n?1例3．?dāng)?shù)列{an}中a1?2，且an?(1? 解：因?yàn)閍n?1?[1?1)an?1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)． n21]an，所以 2(n?1)n?1n?1n?1kk?2n?11an?a1?f(k)=2?[1?2?[?]== ]2k?1k?1k?1k?1k?1n(k?1)

三、an?1?pan?q，其中p,q為常數(shù)，且p?1,q?0

當(dāng)出現(xiàn)an?1?pan?q(n?N?)型時(shí)可利用疊代法求通項(xiàng)公式，即由an?1?pan?q得an?pan?1?q?p(pan?2?q)?q???pn?1a1?(pn?2?pn?3???p2?p?1)q=q(pn?1?1)a1p?(p?1)或者利用待定系數(shù)法，構(gòu)造一個(gè)公比為p的等比數(shù)列，令p?1qq)??,q即??}是一個(gè)公比為p的則(p?1，從而{an?an?1???p(an??)，p?1p?132??1，可將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．待等比數(shù)列．如下題可用待定系數(shù)法得??1??12n?1http://jsbpzx.net.cn/

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定系數(shù)法有時(shí)比疊代法來地簡(jiǎn)便．

例4．設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1?式．

3?an?11，an?，n?2,3,4,?，求數(shù)列{an}通項(xiàng)公223?an?1113??an?1?，n?2,3,4,?，∴?an?1?k?，又∵an?22221111k??1，∴an?1??(an?1?1)，又a1?，∴{an?1}是首項(xiàng)為?，公比為?的等22221n?11n比數(shù)列，即an?1?(a1?1)(?)，即an?(?)?1．

2四、an?1?pan?qan?1(n?2)，p,q為常數(shù) 解：令an?k??方法：可用下面的定理求解：令?,?為相應(yīng)的二次方程x2?px?q?0的兩根(此方程又稱為特征方程)，則當(dāng)???時(shí)，an?A?n?B?n；當(dāng)???時(shí)，an?(A?Bn)?n?1，其中A,B分別由初始條件a1,a2所得的方程組?確定．

?A??B??a1,22?A??B??a2和??A?B?a1, 唯一

?(A?2B)??a2?an?1??an?2bn(1)例5．?dāng)?shù)列{an}，{bn}滿足：?，且a1?2，b1?4，求an，bn．

b?6a?6b(2)nn?n?111解：由(2)得an?bn?1?bn，an?1?bn?2?bn?1，代入到(1)式中，有

6628bn?2?5bn?1?6bn，由特征方程可得bn??12?2n??3n，代入到(2)式中，可得

314an?8?2n??3n．

3說明：像這樣由兩個(gè)數(shù)列{an}，{bn}構(gòu)成的混合數(shù)列組求通項(xiàng)問題，一般是先消去an

(或bn)，得到bn?2?pbn?1?qbn?1(或an?2?pan?1?qan?1)，然后再由特征方程方法求解．

五、an?1?pan?f(n)型，這里p為常數(shù)，且p?1

例6．在數(shù)列{an}中，a1?2, an?1??an??n?1?(2??)2n(n?N?)，其中

??0，求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式．

解：由a1?2, an?1??an??n?1?(2??)2n(n?N?)，??0，可得an?1?n?1故aan22n2n?()n?1?n?()?1{?()}為等差數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為0．，所以nn?????an?n2?()n?n?1，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an?(n?1)?n?2n．

? 評(píng)析：對(duì)an?1?pan?f(n)的形式，可兩邊同時(shí)除以p令

n?1，得

an?1anf(n)，??n?1nn?1pppanf(n)b?b?有，從而可以轉(zhuǎn)化為累加法求解． ?b,n?1nnpn?1pn

六、an?1?man(m?0,k?Q,k?0,k?1)

k一般地，若正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1?a,an?1?man(m?0,k?Q,k?0,k?1)，則有 khttp://jsbpzx.net.cn/

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lgan?1?klgan?lgm，令lgan?1?A?k(lgan?A)(A為常數(shù))，則有A?1lgm． k?1?數(shù)列{lgan?111lgm}為等比數(shù)列，于是lgan?lgm?(lga?lgm)kn?1，k?1k?1k?1n?1從而可得an?ak?mkn?1?1k?1．

例7．已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1?31，an?1?an(4?an)，求數(shù)列{an}22的通項(xiàng)公式．

分析：數(shù)列{an}是一個(gè)二次遞推數(shù)列，雖然不是基本冪型，但由它可以構(gòu)造一個(gè)新的冪型數(shù)列{bn}，通過求{bn}的通項(xiàng)公式而達(dá)到求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式的目的．

解：由已知得an?1???an?0,?0?an?1取對(duì)數(shù)得lgbn?1?2lgbn?lg2，即lgbn?1?lg2?2(lgbn?lg2)． ?{lgbn?lg2}是首項(xiàng)為?2lg2，公比為2的等比數(shù)列，1112(an?2)2?2,令2?an?bn，則有b1?,bn?1?bn． 222?2,又0?a1?2，?0?an?2，從而bn?0．

?lgbn?lg2??2lg2,?bn?2

n1?2n,?an?2?21?2n．

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第二篇：關(guān)于遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的測(cè)試題

關(guān)于遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的測(cè)試題

2Sn2例2．?dāng)?shù)列{an}中a1?1，an?（n≥2），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an。2Sn?1

例3．⑴ 數(shù)列{an}滿足a1?1且an?1?an?3n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；

⑵ 數(shù)列{an}滿足a1?1且an?1?an?(3n?1)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an。

例4．?dāng)?shù)列{an}中a1?1，an?1?2an?3n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an。

例5．?dāng)?shù)列{an}中a1?1，Sn?

例6．?dāng)?shù)列{an}中a1?1，a2?(n?1)an，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an。2552，an?2?an?1?an,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an。333

第三篇：根據(jù)數(shù)列遞推公式求其通項(xiàng)公式方法總結(jié)

根據(jù)數(shù)列遞推公式求其通項(xiàng)公式方法總結(jié)

已知數(shù)列的遞推公式，求取其通項(xiàng)公式是數(shù)列中一類常見的題型，這類題型如果單純的看某一個(gè)具體的題目，它的求解方法靈活是靈活多變的，構(gòu)造的技巧性也很強(qiáng)，但是此類題目也有很強(qiáng)的規(guī)律性，存在著解決問題的通法，本文就高中數(shù)學(xué)中常見的幾類題型從解決通法上做一總結(jié)，方便于學(xué)生學(xué)習(xí)和老師的教學(xué)，不涉及具體某一題目的獨(dú)特解法與技巧。

一、an?1?an?f(n)型數(shù)列，（其中f(n)不是常值函數(shù))此類數(shù)列解決的辦法是累加法，具體做法是將通項(xiàng)變形為an?1?an?f(n)，從而就有

a2?a1?f(1),a3?a2?f(2),?,an?an?1?f(n?1).將上述n?1個(gè)式子累加，變成an?a1?f(1)?f(2)???f(n?1)，進(jìn)而求解。例1.在數(shù)列{an}中,a1?2,an?1?an?2n?1,求an.解：依題意有

a2?a1?1,a3?a2?3,?,an?an?1?2n?3

逐項(xiàng)累加有an?a1?1?3???2n?3?而an?n2?2n?3。

注：在運(yùn)用累加法時(shí),要特別注意項(xiàng)數(shù),計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò).(1?2n?3)(n?1)?(n?1)2?n2?2n?1，從

2類似題型練習(xí)：已知

{an}滿足a1?1，an?1?an?1n(n?1)求{an}的通項(xiàng)公式。

二、an?1?an?f(n)型數(shù)列，（其中f(n)不是常值函數(shù))此類數(shù)列解決的辦法是累積法，具體做法是將通項(xiàng)變形為

an?1?f(n)，從而就有 anaaa2?f(1),3?f(2),??,n?f(n?1)a1a2an?1將上述n?1個(gè)式子累乘，變成an?f(1)?f(2)???f(n?1)，進(jìn)而求解。a1例2.已知數(shù)列{an}中a1?12n?3,an??an?1(n?2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。32n?1 1

aa21a33a452n?3?,?,?,?,n?,將這n?1個(gè)式子累乘，a15a27a39an?12n?1a1?3111?3得到n?，從而an?，當(dāng)n?1時(shí)，??2(2n?1)(2n?1)34n?1a1(2n?1)(2n?1)111??aa?，所以。1n224n?134n?1解：當(dāng)n?2時(shí)，注：在運(yùn)用累乘法時(shí),還是要特別注意項(xiàng)數(shù),計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò).類似題型練習(xí)：在數(shù)列{an}中, an>0,a1?2,nan2?(n?1)an?12?an?1an,求an.提示：依題意分解因式可得[(n?1)an?1?nan](an?1?an)?0，而an>0,所以，即(n?1)an?1?nan?0an?1n。?ann?

1三、an?1?pan?q型數(shù)列

此類數(shù)列解決的辦法是將其構(gòu)造成一個(gè)新的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解，構(gòu)造的辦法有兩種，一是待定系數(shù)法構(gòu)造，設(shè)

an?1?m?p(an?m)，展開整理an?1?pan?pm?m，比較系數(shù)有pm?m?b，所以m?b，所以a?b是等比

np?1p?1數(shù)列，公比為p，首項(xiàng)為a1?b。二是用做差法直接構(gòu)造，an?1?pan?q，p?1an?pan?1?q，兩式相減有an?1?an?p(an?an?1)，所以an?1?an是公比為p的等比數(shù)列。

例3.在數(shù)列{an}中，a1?1，當(dāng)n?2時(shí)，有an?3an?1?2，求{an}的通項(xiàng)公式。解法1：設(shè)an?m?3即有an?3an?1?2m，對(duì)比an?3an?1?2，得m?1，(an?1?m)，于是得an?1?3(an?1?1)，數(shù)列{an?1}是以a1?1?2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，所以有an?2?3n?1?1。

解法2：由已知遞推式，得an?1?3an?2,an?3an?1?2,(n?2)，上述兩式相減，得an?1?an?3(an?an?1)，因此，數(shù)列{an?1?an}是以a2?a1?4為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列。所以an?1?an?4?3n?1，即3an?2?an?4?3n?1，所以an?2?3n?1?1。

類似題型練習(xí)：已知數(shù)列?an?滿足a1?1,an?1?2an?1(n?N*).求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式.注：根據(jù)題設(shè)特征恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助數(shù)列,利用基本數(shù)列可簡(jiǎn)捷地求出通項(xiàng)公式.四．a(chǎn)n?1?pan?f?n?型數(shù)列（p為常數(shù)）此類數(shù)列可變形為

?an?an?1anf?n?，則???n?可用累加法求出，由此求得an.n?1nn?1ppp?p? 2

例4已知數(shù)列?an?滿足a1?1,an?1?3an?2n?1,求an.解:將已知遞推式兩邊同除以2n?1得

an?13anan???1b?,設(shè),故有nn?1nn222235?3n?1n?1n?1bn?1?2??(bn?2，)bn??2,從而.a?5?3?2nn22注：通過變形,構(gòu)造輔助數(shù)列,轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列的問題,是我們求解陌生的遞推關(guān)系式的常用方法.若f(n)為n的一次函數(shù),則an加上關(guān)于n的一次函數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列;若f(n)為n的二次函數(shù), 則an加上關(guān)于n的二次函數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列.這時(shí)我們用待定系數(shù)法來求解.例5．已知數(shù)列?an?滿足a1?1,當(dāng)n?2時(shí),an?1an?1?2n?1,求an.2解:作bn?an?An?B,則an?bn?An?B,an?1?bn?1?A(n?1)?B代入已知遞推式中得:bn?1111bn?1?(A?2)n?(A?B?1).2222?1A?2?0??A??4?2令? ???B?6?1A?1B?1?0??221bn?1且bn?an?4n?6 233顯然,bn?n?1,所以an?n?1?4n?6.22這時(shí)bn?注：通過引入一些待定系數(shù)來轉(zhuǎn)化命題結(jié)構(gòu),經(jīng)過變形和比較,把問題轉(zhuǎn)化成基本數(shù)列,從而使問題得以解決.類似題型練習(xí)：

（1）已知?an?滿足a1?2,an?1?2an?2n?1，求an。

（2）已知數(shù)列{an}，Sn表示其前n項(xiàng)和，若滿足Sn?an?n2?3n?1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

?S1n?1提示：（2）中利用an??，把已知條件轉(zhuǎn)化成遞推式。

S?S,n?2n?1?nan?

五、AanBan?C型數(shù)列（A,B,C為非零常數(shù)）

這種類型的解法是將式子兩邊同時(shí)取倒數(shù),把數(shù)列的倒數(shù)看成是一個(gè)新數(shù)列,便可順利 3

地轉(zhuǎn)化為an?1?pan?q型數(shù)列。

例6．已知數(shù)列?an?滿足a1?2,an?1?2an,求an.an?2解:兩邊取倒數(shù)得:

2111n111??,所以??(n?1)??，故有an?。

nana122an?1an22n?1?an類似題型練習(xí)：數(shù)列{an}中，an?1?n?1,a1?2，求{an}的通項(xiàng)。

2?an六.an?2?pan?1?qan型數(shù)列（p,q為常數(shù)）

這種類型的做法是用待定糸數(shù)法設(shè)an?2??an?1???an?1??an?構(gòu)造等比數(shù)列。例5．?dāng)?shù)列?an?中，a1?2,a2?3,且2an?an?1?an?1?n?N?,n?2?，求an.解法略。

第四篇：數(shù)列的遞推公式教案

數(shù)列的遞推公式教案

普蘭店市第六中學(xué)

陳娜

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)與技能：了解數(shù)列遞推公式定義，能根據(jù)數(shù)列遞推公式求項(xiàng)，通過數(shù)列遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

2、過程與方法：通過實(shí)例“觀察、分析、類比、試驗(yàn)、歸納”得出遞推公式概念，體會(huì)數(shù)列遞推公式與通項(xiàng)公式的不同，探索研究過程中培養(yǎng)學(xué)生的觀察歸納、猜想等能力。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生積極參與，大膽探索精神，體驗(yàn)探究樂趣，感受成功快樂，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生一切從實(shí)際出發(fā)，認(rèn)識(shí)并感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)

重點(diǎn)：數(shù)列的遞推定義以及應(yīng)用數(shù)列的遞推公式求出通項(xiàng)公式。難點(diǎn)：數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式。關(guān)鍵：同本節(jié)難點(diǎn)。

三、教學(xué)方法

通過創(chuàng)設(shè)問題的情境，在熟悉與未知的認(rèn)知沖突中激發(fā)學(xué)生的探索欲望；引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究和合作交流相結(jié)合的方式進(jìn)行研究；引導(dǎo)學(xué)生積極思考，運(yùn)用觀察、試驗(yàn)、聯(lián)想、類比、歸納、猜想等方法不斷地提出問題、解決問題，再提出問題，解決問題…… 經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過程，并注意總結(jié)規(guī)律和知識(shí)的鞏固與深化。

四、教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1：新課引入

一老漢為感激梁山好漢除暴安良，帶了些千里馬要送給梁山好漢，見過宋江以后，宋江吧老漢帶來的馬匹的一半和另外一匹馬作為回禮送給了他，老漢又去見盧俊義，把 1

現(xiàn)有的馬匹全送給了他，盧俊義也把老漢送來的馬匹的一半和另外一匹馬作為回禮送給了老漢……… 一直送到108名好漢的最后一名段景住都是這樣的，老漢下山回家時(shí)還剩下兩匹馬，問老漢上山時(shí)一共帶了多少匹千里馬？

通過這個(gè)小故事讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活同時(shí)又為生活所服務(wù)。同時(shí)也能引起學(xué)生的興趣和好奇心。環(huán)節(jié)2：引例探究

(1）1 2

16………

(2)1

cos?1?

cos?cos1?

cos[c?ocsos1?]

…….(3)0 1 7 10 13 …….通過設(shè)置問題的情境，讓學(xué)生分析找出這些數(shù)列從第二項(xiàng)（或后幾項(xiàng)）后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的關(guān)系，從而引出數(shù)列的遞推公式的定義，便于學(xué)生對(duì)于數(shù)列遞推公式的理解、記憶和應(yīng)用。遞推公式定義：

如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開始的任意一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。遞推公式是數(shù)列一種的表示法，它包含兩個(gè)部分，一是遞推關(guān)系，一是初始條件，二者缺一不可． 環(huán)節(jié)3：應(yīng)用舉例及練習(xí)

例1：已知數(shù)列｛an｝的第1項(xiàng)是1，以后的各項(xiàng)由公式

a n

(n≥2)給出，寫出這個(gè)給出，寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng).= 1+an-11解：據(jù)題意可知：a1=1, a3=1+

a2=1+1a1=1+1a311=2,23531a21=1+=1+12=35=32,.a4=1+=1+=,a5=1+85a42

?an?的前五項(xiàng)是3581，2，，235

練習(xí)：已知一個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)a1=1, a3=2, an= an-1+ an-2(n≥3)求這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)。這個(gè)例題和習(xí)題是為了讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)通過數(shù)列的的遞推公式來求數(shù)列中的項(xiàng)，同時(shí)也能讓學(xué)生感受到如果要是中間有一個(gè)環(huán)節(jié)做錯(cuò)了就會(huì)關(guān)聯(lián)到其他的結(jié)果也是錯(cuò)誤的，因此要培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真的品質(zhì)。

例2：已知數(shù)列{ an}滿足a1 =1，an+1 =an +（2n-1）

(1)(2)寫出其數(shù)列的前五項(xiàng)，歸納出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。利用數(shù)列的遞推公式求其通項(xiàng)公式。

a2?a1?(2*1?1)?1?1?2a3?a2?(2*2?1)?2?3?5解（1）a1?1，a4?a3?(2*3?1)?5?5?10，a5?a4?(2*4?1)?10?7?17 猜想：an=（n-1）2+1（2）a2?a1?2*1?1

a3?a2?2*2?1

a4?a3?2*3?1

…………………

an =an-1 +（2n-3）

an =a1 +2[1+2+3+…+(n-1)]—（n-1）an=1+2*（n?1)[1?(n?1)]2_(n-1), 即an=（n-1）2+1 當(dāng)n=1時(shí)也滿足上式。

所設(shè)問題中的（1）是起著承上啟下的作用，同時(shí)也引出了（2）的結(jié)論引起學(xué)生的興趣，讓學(xué)生感受到如何能在數(shù)列的遞推公式得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，體會(huì)到事物之間的互相轉(zhuǎn)化的思想。

跟蹤練習(xí)：已知數(shù)列{ an }中，a1 =1，an+1= an +

1n(n?1)，求數(shù)列的{ an }的通項(xiàng)公式。

在例2解題過程中從等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的累和法進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生體會(huì)到同類問題的知識(shí)的遷移過程。同時(shí)也引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到an+1—an=f(n)這樣形式的都可以用累和法來求解。

環(huán)節(jié)4：歸納總結(jié) ① 定義

② 累加法：an+1—an= f(n)環(huán)節(jié)5：作業(yè)：必做與選作

五、板書設(shè)計(jì)

第五篇：高中數(shù)學(xué)求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的九種方法

求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的九種方法

利用遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式，在理論上和實(shí)踐中均有較高的價(jià)值.自從二十世紀(jì)八十年代以來，這一直是全國高考和高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的熱點(diǎn)之一.一、作差求和法

例1在數(shù)列{a

1n}中，a1?3,an?1?an?

n(n?1)，求通項(xiàng)公式an.解：原遞推式可化為：a111111

n?1?an?n?n?1則a2?a1?1?2,a3?a2?2?

3a111111

4?a3?3?4，……，an?an?1?n?1?n逐項(xiàng)相加得：an?a1?1?n.故an?4?n

.二、作商求和法

例2設(shè)數(shù)列{a

22n}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n?1)an?1?nan?an?1an?0（n=1,2,3…），則它的通項(xiàng)公式是an=▁▁▁（2000年高考15題）

解：原遞推式可化為：

[(n?1)aan?1n

n?1?nan](an?1?an)=0∵ an?1?an＞0，a?

n?

1n則

a21a32a43an?1aa?,?,?,……，n?

逐項(xiàng)相乘得：n?1，即a1n=.12a23a34an?1na1n

n

三、換元法

例3已知數(shù)列{a4n}，其中a1?

3,a1

312?9，且當(dāng)n≥3時(shí)，an?an?1?3

(an?1?an?2)，求通項(xiàng)公式an（1986年高考文科第八題改編）.解：設(shè)bn?1?an?an?1，原遞推式可化為：b1n?3b,{b是一個(gè)等比數(shù)列，b134111?

n?2n}1?a2?a1?9?3?9，公比為3.故bn?1

?b?(1)n?2?19(13)n?2?(13)n.故a?a1311

1nn?1?(3)n.由逐差法可得：an?2?2(3)n3.例4已知數(shù)列{an}，其中a1?1,a2?2，且當(dāng)n≥3時(shí)，an?2an?1?an?2?1，求通項(xiàng)公式an。解 由an?2an?1?an?2?1得：(an?an?1)?(an?1?an?2)?1，令bn?1?an?an?1，則上式為bn?1?bn?2?1，因此{(lán)bn}是一個(gè)等差數(shù)列，b1?a2?a1?1，公差為1.故bn?n.。

由于b1?b2???bn?1?a2?a1?a3?a2???an?an?1?an?1

又bn(n?1)

1?b2???bn?1?

2所以a1n?1?

2n(n?1)，即a1

n?2

(n2?n?2)

四、積差相消法

例5（1993年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽題一試第五題）設(shè)正數(shù)列a0，a1，an…，an，…滿足

anan?2?an?1an?2=2an?1(n?2)且a0?a1?1，求{an}的通項(xiàng)公式.解將遞推式兩邊同除以aann?1an?2整理得：

?2a

n?1aa?1 n?1n?

2設(shè)ban

a

1n=

a，則b1?na=1，bn?2bn?1?1，故有 ?10

b2?2b1?1⑴b3?2b2?1⑵

…………

bn?2bn?1?1(n?1)

由⑴?2

n?2

+ ⑵?2

n?

3+…+(n?1)20得b?22???2n?1=2n

n?1?2?1，即

ana=2n

?1.n?1

逐項(xiàng)相乘得：an=(2?1)2?(22?1)2???(2n?1)2，考慮到a0?1，故 a?

n??

1(2?1)???(2?1)

(n?0).?(2?1)222n2

(n?1)

五、取倒數(shù)法

例6已知數(shù)列{aan?

1n}中，其中a1?1,，且當(dāng)n≥2時(shí)，an?

2a，求通項(xiàng)公式an。

n?1?1

解將aan?1n?

2a兩邊取倒數(shù)得：1n?1?1

a?1?2，這說明{1

}是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)

nan?1an是

a?1，公差為2，所以1?1?(n?1)?2?2n?1，即a1n?.1

an2n?1

六、取對(duì)數(shù)法

例7若數(shù)列{aa

2n}中，1=3且an?1?an（n是正整數(shù)），則它的通項(xiàng)公式是an=▁▁▁（2002

年上海高考題）.解由題意知an＞0，將an?1?a2

?2lgalgan?

1n兩邊取對(duì)數(shù)得lgan?1

n，即

lga?2，所以數(shù)n

列{lga?lga?1n?1

n}是以lga1=lg3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，lgan1?2n?lg32，即

a2n?1

n?3.七、平方（開方）法

例8若數(shù)列{an}中，a1=2且an?3?a

2n?1（n?2），求它的通項(xiàng)公式是an.解將an?

?a22?a22

2n?1兩邊平方整理得ann?1?3。數(shù)列{an}是以a1=4為首項(xiàng)，3為公

差的等差數(shù)列。a2

n?a21?(n?1)?3?3n?1。因?yàn)閍n＞0，所以an?n?1。

八、待定系數(shù)法

待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是從策略上規(guī)范一個(gè)遞推式可變成為何種等比數(shù)列，可以少走彎路.其變換的基本形式如下：

1、an?1?Aan?B（A、B為常數(shù)）型，可化為an?1??=A（an??）的形式.例9若數(shù)列{an}中，a1=1，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和，且SSn

n?1?3?4S（n?1），n

求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an.解 遞推式SSnn?1?

3?4S可變形為1n

S?3?

1?4（1）

n?1Sn設(shè)（1）式可化為

1S???3（n?1

S??)（2）n

比較（1）式與（2）式的系數(shù)可得??2，則有

1S?2?3(1S?2)。故數(shù)列{1

?2}是

n?1

nSn

以

11S?2?3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。1

S?2=3?3n?1?3n。所以Sn?n3n

?1。當(dāng)n?2，an?Sn?S?13?2?1?2?3n

n?1

n3n?1?2?32n?8?3n

?1

2。?數(shù)列{a?

1?2?3n(n?1)n}的通項(xiàng)公式是an????32n?8?3n?12

(n?2)。

2、an

n?1?Aan?B?C（A、B、C為常數(shù)，下同）型，可化為an?1???Cn?1=A(an???Cn）的形式.例10在數(shù)列{an}中，a1??1,an?1?2an?4?3n?1,求通項(xiàng)公式an。解：原遞推式可化為：

an?1???3n?2(an???3n?1)①

比較系數(shù)得?=-4，①式即是：an?1?4?3n?2(an?4?3n?1).則數(shù)列{a?1n?4?3n}是一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)a1?4?31?1??5，公比是2.∴an?4?3n?1??5?2n?1 即a1n?4?3n??5?2n?1.3、an?2?A?an?1?B?an型，可化為an?2??an?1?(A??)?(an?1??an)的形式。例11在數(shù)列{an}中，a1??1,a2?2，當(dāng)n?N，an?2?5an?1?6an ①求通項(xiàng)公式

an.解：①式可化為：

an?2??an?1?(5??)(an?1??an)

比較系數(shù)得?=-3或?=-2，不妨取?=-2.①式可化為：

an?2?2an?1?3(an?1?2an)

則{an?1?2an}是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)a2?2a1=2-2（-1）=4，公比為3.∴an?1?2a1n?4?3n?.利用上題結(jié)果有：

an?4?3n?1?5?2n?1.4、an?1?Aan?Bn?C型，可化為an?1??1n??2?A[an??1(n?1)??2]的形式。例12 在數(shù)列{a

3n}中，a1?

2，2an?an?1=6n?3① 求通項(xiàng)公式an.解①式可化為：

2(an??1n??2)?an?1??1(n?1)??2②比較系數(shù)可

得：

=-6，?2?9，②式為2bn?bn?1 ?

1{bn} 是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)b1?a1?6n?9?

∴bn?

91，公比為.22

91n?1

()22

n

即 an?6n?9?9?()故an?9?()?6n?9.九、猜想法

運(yùn)用猜想法解題的一般步驟是：首先利用所給的遞推式求出a1,a2,a3,……，然后猜想出滿足遞推式的一個(gè)通項(xiàng)公式an，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想是正確的。

例13 在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn=通項(xiàng)公式。

n

(an+)，求其2an