第一篇：數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式關(guān)系教案

數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式關(guān)系教案

教學(xué)目標(biāo)

1．了解數(shù)列的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和公式Sn的關(guān)系．

2．能通過(guò)前n項(xiàng)和公式Sn求出數(shù)列的通項(xiàng)公式an．

3．培養(yǎng)學(xué)生辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)．

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：認(rèn)清兩者之間的關(guān)系．

難點(diǎn)：通過(guò)Sn求出an的基本方法．

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

(一)課題引入

師：回憶一下什么是數(shù)列的通項(xiàng)公式？什么是數(shù)列的前n項(xiàng)和？

生：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an 與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．即an=f(n)，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=a1＋a2＋?＋an．

師：那么Sn是否也可以表示成關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)式？

(由前兩個(gè)概念，學(xué)生不難得出正確答案，教師進(jìn)一步指出這個(gè)函數(shù)式稱為數(shù)列的前n項(xiàng)和公式)

生：Sn可以表示成關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)式．

師：現(xiàn)在研究一下an與Sn兩者之間的關(guān)系，(板書)．需要考慮哪幾種關(guān)系？

(培養(yǎng)學(xué)生的辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，對(duì)今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有益的，掌握此觀點(diǎn)，學(xué)生就可以主動(dòng)地探討其他數(shù)學(xué)問(wèn)題)

生：應(yīng)考慮已知an是否可以求出Sn；反之，已知Sn是否可以求出an．

師：回答正確．兩者之間的關(guān)系，應(yīng)該是辯證統(tǒng)一的．這節(jié)課我們主要研究后一種，即已知Sn是否可以求出an．

(二)提示Sn與an的關(guān)系

師：(板書)

例1 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=n＋n．求：(1)a1，a2，a3，a4；(2)通項(xiàng)公式an ．

(由形象思維到抽象思維，由特殊到一般，是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般規(guī)律，在教學(xué)中可以起到突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)的作用．給學(xué)生一個(gè)臺(tái)階，使學(xué)生在自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論的過(guò)程中體現(xiàn)知識(shí)形成過(guò)程的教學(xué))

師：(板書)

因?yàn)镾n=a1＋a2＋?＋an，則a1=S1=2，a2＝S2－a1＝4，a3＝S3－a1－a2＝6

a4＝S4－a1－a2－a3＝8，??

所以通項(xiàng)公式an=2n．

師：請(qǐng)問(wèn)an=2n是依據(jù)什么得出的？

生：由前4項(xiàng)猜想得出的．

師：這樣猜想得出的結(jié)果是否可靠？因?yàn)檫@是一種不完全歸納法，因此需要論證才能嚴(yán)謹(jǐn)，現(xiàn)階段我們有沒(méi)有什么數(shù)學(xué)方法可以驗(yàn)證結(jié)論的正確性？

生：沒(méi)有．

師：那么我們不妨換一個(gè)角度來(lái)考慮問(wèn)題．如果結(jié)果不是通過(guò)“歸納、猜想”得到的，而是通過(guò)演繹推理獲得，那么無(wú)需證明．即是否能通過(guò)Sn推導(dǎo)出an？

(“歸納—猜想—證明”與演繹推理是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的兩大類方法，也是學(xué)生應(yīng)熟練掌握的．而學(xué)生在運(yùn)用“歸納—猜想—證明”時(shí)，往往容易忽視“證明”這個(gè)環(huán)節(jié)，而此環(huán)節(jié)恰恰是“歸納—猜想—證明”中最重要的部分，若缺少“證明”，此法即為不完全歸納法．)

師：引導(dǎo)學(xué)生觀察板書，可發(fā)現(xiàn)：

a2=S2－a1中a1寫成S1，即a2=S2－S1；

a3=S3－a1－a2中，a1＋a2可寫成S2，即a3=S3－S2；

a4=S4－a1－a2－a3中，a1＋a2＋a3可寫成S3，即a4=S4－S3，那么an是否與Sn也有以上關(guān)系？

生：因Sn=a1＋a2＋a3＋?＋an，則an=Sn－(a1＋a2＋?＋an-1)．又Sn-1=a1＋a2＋?＋an-1，則an=Sn－Sn-1．

師：現(xiàn)在大家一起來(lái)考慮這個(gè)關(guān)系式對(duì)于任意數(shù)列，任意自然數(shù)n都能立？

(設(shè)疑可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，也為下一步教學(xué)作鋪墊)

師：帶著這個(gè)問(wèn)題，我們來(lái)討論一道題．

(板書)例2 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=n2＋n＋2，求數(shù)列的通項(xiàng)公式an．

生：(板書)an=Sn－Sn-1=n2＋n＋2－[(n－1)2＋(n－1)＋2]=2n．

(做完之后，部分學(xué)生就會(huì)提出疑問(wèn)，這時(shí)教師應(yīng)及時(shí)因勢(shì)利導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生討論，順理成章地引出本節(jié)課的難點(diǎn)；若沒(méi)有學(xué)生提出質(zhì)疑，教師也可設(shè)問(wèn)引出)

生：這個(gè)結(jié)果有問(wèn)題．此題與例1得出的通項(xiàng)公式an是一致的，說(shuō)明兩個(gè)數(shù)列應(yīng)是同一個(gè)數(shù)列，而它們的前n項(xiàng)和Sn又不相等，這不是矛盾嗎？

師：?jiǎn)栴}提的很好，大家想一想，開(kāi)動(dòng)腦筋，討論一下，這其中的道理究竟是什么？

(分組討論，此時(shí)學(xué)生思維是非常活躍的，方法也很多，教師在巡視過(guò)程中，應(yīng)注意發(fā)現(xiàn)積極有意義的成份)

生：我用前面歸納a1，a2，a3，?的方法計(jì)算了一下，得出：a1=S1=4，a2=S2－S1=4，a3=S3－S2=6，a4=S4－a1－a2－a3=8，那么所謂通項(xiàng)公式an=2n，是從第二項(xiàng)開(kāi)始的，而不包括a1．

師：那么問(wèn)題出在哪兒？

生：如果應(yīng)用上述關(guān)系式an=Sn－Sn-1，求a1，應(yīng)為a1=S1－S0，但是S0又表示什么含義呢？

師：這個(gè)問(wèn)題提的在理，S0表示什么意義？

(教師在教學(xué)過(guò)程中，一定要抓住學(xué)生在回答問(wèn)題時(shí)積極有意義的因素，這樣可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì))

師：我們?cè)冢_(kāi)始已經(jīng)指出前n項(xiàng)和公式Sn是關(guān)于n的函數(shù)解析式，自變量n的范圍是大于0的自然數(shù)，因此S0是沒(méi)有意義的，即a1=S1－S0此關(guān)系式是無(wú)任何意義的．

生：可見(jiàn)，an=Sn－Sn-1這個(gè)關(guān)系式的缺憾就是不能表示首項(xiàng)a1，它成立的條件應(yīng)該是n≥2．

師：那么a1如何確定？

生：a1可以由a1=S1確定．

師：這樣我們把a(bǔ)n=Sn－Sn-1這個(gè)關(guān)系式就找完備了．即(板書)

那么例2的正確解法為：

(板書)解：n=1時(shí)，a1=S1=4．

n≥2時(shí)，an=Sn－Sn-1=n＋n＋2－[(n－1)＋(n－1)＋2]=2n．

生：我有一個(gè)想法，可以避免關(guān)系式中出現(xiàn)S0．

師：說(shuō)出來(lái)大家一起研究．

(教師一定要保護(hù)學(xué)生思考的積極性，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維)

生：(板書)an+1=Sn+1－Sn=(n＋1)2＋(n＋1)＋2－n2－n－2=2n＋2．

由于通項(xiàng)公式是關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)解析式，所以an+1=f(n＋1)=2n＋2．

應(yīng)用換元法求函數(shù)解析式：f(n)=2n．這樣得到通項(xiàng)公式：an =2n．

這種做法避免了S0，但為什么還是錯(cuò)誤的．

師：這種想法有一定道理，但只要我們進(jìn)一步探討，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的問(wèn)題．

an+1=Sn+1－Sn=2n＋2，此式也只揭示了數(shù)列從第2項(xiàng)起，項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，因此f(n＋1)與f(n)的定義域不同，這種做法，雖然表面上避免了S0的出現(xiàn)，但它與前一種方法本質(zhì)上是同出一轍的．

師：由上述兩例中不難看出，由前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)公式an時(shí)，n=1的情況有時(shí)可以統(tǒng)一，如例1，有時(shí)只能分類得到，如例2，那么如何區(qū)別呢？這里只要驗(yàn)證n=1時(shí)，an(n≥2)的表達(dá)式是否可以表示a1即可．

(三)舉例鞏固

師：我們已經(jīng)得到了前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系，現(xiàn)在運(yùn)用這一關(guān)系解決如下幾個(gè)問(wèn)題．

例3 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，滿足：log2(Sn ＋1)=n＋1．求此數(shù)列的通項(xiàng)公式

an．

(例3的目的是鞏固已學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)，并且規(guī)范做題格式．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)其中一個(gè)很重要的目的是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?，而這恰恰體現(xiàn)在學(xué)生做題的格式是否規(guī)范化上)

師：由例1，例2可知，要求出通項(xiàng)公式an，須求出Sn，即應(yīng)由log2(Sn ＋1)=n＋1，求出Sn，再利用數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an之間的關(guān)系，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式an．

生：(板書)

解：由log2(Sn＋1)=n＋1，得Sn=2n＋1－1

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=22－1=3；

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn-1=2n+1－1－(2n－1)=2n．

例4 在數(shù)列{an}中，a1=0，an+1＋Sn=n2＋2n(n∈N+)．求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

師：現(xiàn)在我們的任務(wù)是如何求出數(shù)列前n項(xiàng)和Sn．

生：由已知an+1＋Sn=n＋2n，得Sn=n＋2n－an＋1．

師：這樣求出的Sn，是否能利用數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系，求出通項(xiàng)公式呢？顯然是不行的，因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn是關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式，而Sn

=n2＋2n－an+1并不是關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式．

生：不妨也利用數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系，將an+1表示為an+1=Sn+1－Sn，那么an+1＋Sn=n2＋2n就轉(zhuǎn)化為關(guān)于Sn+1，Sn的關(guān)系式，再求Sn．

師：(板書)由于an+1=Sn+1－Sn，則an+1＋Sn=Sn+1－Sn＋Sn=Sn+1，即Sn+1=n2＋2n．

師：再如何通過(guò)Sn+1求Sn？

生：可以利用函數(shù)知識(shí)，因?yàn)榍皀項(xiàng)和Sn是關(guān)于項(xiàng)數(shù)n項(xiàng)的函數(shù)解析式，即已知

Sn+1=f(n＋1)=n2＋2n，可以求出Sn=f(n)=Sn．

師：(板書)Sn+1=n＋2n=(n＋1)－1，則Sn=n－1．

(以下省略，得出結(jié)果)

(四)課堂練習(xí)

已知數(shù)列前n項(xiàng)和Sn，求數(shù)列的通項(xiàng)公式an．

1．Sn=n－2n＋2；

2．Sn=n＋222

－1；

答案：

(五)課堂小結(jié)

通過(guò)本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了已知數(shù)列前n項(xiàng)和Sn，如何求出數(shù)列通項(xiàng)公式an的方法．

在運(yùn)用上述關(guān)系時(shí)，一定要注意an=Sn－Sn-1成立的條件：n≥2，a1應(yīng)由S1確定．

(六)布置作業(yè)

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求它的通項(xiàng)公式：

(1)Sn=an2＋bn(a，b為已知常數(shù))；(2)Sn=an2＋bn＋c(a，b，c為已知常數(shù))；

(3)Sn=n3＋n－1．

作業(yè)答案：

(1)an=2an－a＋b(n∈N+)．

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

1．本節(jié)課的內(nèi)容教材中基本未涉及，但這類問(wèn)題在各級(jí)各類考試中均有所涉及，因此在日常教學(xué)中，應(yīng)適時(shí)補(bǔ)充，究其授課深度應(yīng)視學(xué)生程度而定，因材施教．

2．?dāng)?shù)列中，有三個(gè)基本問(wèn)題．即關(guān)于數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題；關(guān)于數(shù)列的前n項(xiàng)和問(wèn)題；關(guān)于數(shù)列的極限問(wèn)題．一般說(shuō)來(lái)，數(shù)列中的其他問(wèn)題都是圍繞這三個(gè)問(wèn)題展開(kāi)的．可見(jiàn)，研究這三個(gè)問(wèn)題是十分有意義，也是十分必要的．

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式，實(shí)際上就是數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式，因此，Sn與an之間有著密切的聯(lián)系．

{Sn}：S1，S2，S3，S4，?，Sn-1，Sn，?

{an}：a1，a2，a3，a4，?，an，?

不難看出：Sk＋ak+1=Sk+1(k∈N+)，3．從辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)看問(wèn)題，Sn與an之間的關(guān)系，應(yīng)包含兩層關(guān)系．一類為知

Sn求an；另一類為知an求Sn，本節(jié)課所授內(nèi)容只是其中一類．至于另一類問(wèn)題將是以后教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)內(nèi)容，即“數(shù)列求和”，辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)在中學(xué)數(shù)學(xué)中處處可見(jiàn)，教師應(yīng)注意對(duì)學(xué)生進(jìn)行這方面的教育，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．

4．對(duì)于概念課的教學(xué)，切忌直接給出概念或公式，這樣無(wú)助于學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，無(wú)助于學(xué)生能力的訓(xùn)練．常此以往下去，學(xué)生解決問(wèn)題能力無(wú)從談起．在教學(xué)中應(yīng)盡可能地再現(xiàn)公式推導(dǎo)的過(guò)程，探討問(wèn)題解決的過(guò)程比結(jié)論本身更具意義．在課堂教學(xué)中，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行想象的創(chuàng)造性思維．如果學(xué)生對(duì)問(wèn)題有自己獨(dú)特見(jiàn)解時(shí)，這可能是我們從數(shù)學(xué)活動(dòng)中得到額外的有價(jià)值信息的機(jī)會(huì)，教師切莫認(rèn)為學(xué)生是離譜的想象，要從中挖掘出有積極意義的部分，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性智能，這才是我們數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)．正如愛(ài)因斯坦指出的：“發(fā)展獨(dú)立思考和獨(dú)立判斷的一般能力，應(yīng)當(dāng)始終放在首位，而不應(yīng)當(dāng)把獲得專業(yè)知識(shí)放在首位．”

第二篇：關(guān)于自然數(shù)數(shù)列前n項(xiàng)和公式證明

自然數(shù)平方與立方數(shù)列前n項(xiàng)和公式證明

huangjianwxyx

以下公式，尤其是二、三公式的推導(dǎo)體現(xiàn)了遞推消項(xiàng)數(shù)學(xué)思想。

一、證明：Sn=?k=1＋2＋3＋…＋n＝(1+n)n/2證：(略)

二、證明：Sn=?k2=12＋22＋32＋…＋n2＝ [n(n＋1)(2n＋1)]/6

k?1k?1nn

證：?(n＋1)3－n3=(n3＋3n2＋3n＋1)－n3=3n2＋3n＋1，則：

23－13=3×12＋3×1＋1（n從1開(kāi)始）

33－23=3×22＋3×2＋1

43－33=3×32＋3×3＋1

53－43=3×42＋3×4＋1

63－53=3×52＋3×5＋1

…

(n＋1)3－n3=3×n2＋3×n＋1（至n結(jié)束）

上面左右所有的式子分別相加，得：

(n＋1)3－13=3×[12＋22＋32＋…＋n2]＋3×[1＋2＋3＋…＋n]＋n ?(n＋1)3－1=3Sn＋3×[n(n＋1)/2]＋n

?Sn=12＋22＋32＋…＋n2＝ [n(n＋1)(2n＋1)]/6

三、證明：Sn=?k3=13+23+.....+n3=n2(n+1)2/4=[n(n+1)/2] 2

k?1n

證：?(n+1)4-n4=[(n+1)2+n2][(n+1)2-n2]=(2n2+2n+1)(2n+1)=4n3+6n2+4n+1則：

24-14=4*13+6*12+4*1+1（n從1開(kāi)始）

34-24=4*23+6*22+4*2+1

44-34=4*33+6*32+4*3+1

...(n+1)4-n4=4*n3+6*n2+4*n+1（至n結(jié)束）

上面左右所有的式子分別相加，得：

(n+1)4-1=4*(13+23+.....+n3)+6*(12＋22＋32＋…＋n2)+4*(1+2+3+...+n)+n?4*(13+23+.....+n3)=(n+1)4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n=[n(n+1)]2

?Sn=13+23+.....+n3=[n(n+1)/2] 2

第三篇：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式教案

課題: §2.5等比數(shù)列的前Ⅱ.講授新課

n項(xiàng)和

[分析問(wèn)題]如果把各格所放的麥粒數(shù)看成是一個(gè)數(shù)列，我們可以得到一個(gè)等比數(shù)列，它的首項(xiàng)是1，公比是2，求第一個(gè)格子到第64個(gè)格子各格所放的麥粒數(shù)總合就是求這個(gè)等比數(shù)列的前64項(xiàng)的和。下面我們先來(lái)推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。

1、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：

當(dāng)q?1時(shí)，Sn?a1(1?q)1?qn ①

或Sn?a1?anq1?q

②

當(dāng)q=1時(shí)，Sn?na1

當(dāng)已知a1, q, n 時(shí)用公式①；當(dāng)已知a1, q, an時(shí)，用公式②.公式的推導(dǎo)方法一：

一般地，設(shè)等比數(shù)列a1,a2?a3,?an?它的前n項(xiàng)和是

Sn?a1?a2?a3??an

?Sn?a1?a2?a3??an由? n?1a?aq1?n2n?2n?1??a1q?Sn?a1?a1q?a1q??a1q得?

23n?1n??a1q?qSn?a1q?a1q?a1q??a1qn?(1?q)Sn?a1?a1q

∴當(dāng)q?1時(shí)，Sn?a1(1?q)1?qn ①

或Sn?a1?anq1?q

②

當(dāng)q=1時(shí)，Sn?na1

公式的推導(dǎo)方法二：

有等比數(shù)列的定義，a2a1?a3a2???anan?1??q

根據(jù)等比的性質(zhì)，有a2?a3???ana1?a2???an?1Sn?a1Sn?an?q

即 Sn?a1Sn?an?q?(1?q)Sn?a1?anq（結(jié)論同上）

圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運(yùn)用等比定理，導(dǎo)出了公式． 公式的推導(dǎo)方法三：

Sn?a1?a2?a3??an＝a1?q(a1?a2?a3??an?1)

＝a1?qSn?1＝a1?q(Sn?an)

?(1?q)Sn?a1?anq（結(jié)論同上）

課題: §2.5等比數(shù)列的前●教學(xué)過(guò)程 Ⅰ.課題導(dǎo)入

首先回憶一下前一節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容： 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： 當(dāng)q?1時(shí)，Sn?a1(1?q)1?qnn項(xiàng)和

①

或Sn?a1?anq1?q

②

當(dāng)q=1時(shí)，Sn?na1

當(dāng)已知a1, q, n 時(shí)用公式①；當(dāng)已知a1, q, an時(shí)，用公式②

課 題：數(shù)列復(fù)習(xí)小結(jié)

教學(xué)過(guò)程：

一、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)

二、知識(shí)綱要

(1)數(shù)列的概念，通項(xiàng)公式，數(shù)列的分類，從函數(shù)的觀點(diǎn)看數(shù)列．(2)等差、等比數(shù)列的定義．(3)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．(4)等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)．

(5)等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)方法．

三、方法總結(jié)

1．?dāng)?shù)列是特殊的函數(shù)，有些題目可結(jié)合函數(shù)知識(shí)去解決，體現(xiàn)了函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合的思想．

2．等差、等比數(shù)列中，a1、an、n、d(q)、Sn “知三求二”，體現(xiàn)了方程(組)的思想、整體思想，有時(shí)用到換元法．

3．求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)要考慮公比是否等于1，公比是字母時(shí)要進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類討論的思想． 4．?dāng)?shù)列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，錯(cuò)位相減法，拆項(xiàng)法，裂項(xiàng)法，累加法，等價(jià)轉(zhuǎn)化等．

四、知識(shí)精要：

1、數(shù)列

[數(shù)列的通項(xiàng)公式] an2、等差數(shù)列 [等差數(shù)列的概念] [定義]如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。[等差數(shù)列的判定方法]

1． 定義法：對(duì)于數(shù)列?an?，若an?1?an?d(常數(shù))，則數(shù)列?an?是等差數(shù)列。2．等差中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列?an?，若2an?1?an?an?2，則數(shù)列?an?是等差數(shù)列。[等差數(shù)列的通項(xiàng)公式]

如果等差數(shù)列?an?的首項(xiàng)是a1，公差是d，則等差數(shù)列的通項(xiàng)為an?a1?(n?1)d。[說(shuō)明]該公式整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)。[等差數(shù)列的前n項(xiàng)和] 1．Sn?n(a1?an)2?a1?S1(n?1)???Sn?Sn?1(n?2)[數(shù)列的前n項(xiàng)和] Sn?a1?a2?a3???an

2.Sn?na1?n(n?1)2d

[說(shuō)明]對(duì)于公式2整理后是關(guān)于n的沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)。[等差中項(xiàng)] 如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)。即：A?a?b2或2A?a?b

[說(shuō)明]：在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)；事實(shí)上等差數(shù)列中某一項(xiàng)是與其等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)。[等差數(shù)列的性質(zhì)]

1．等差數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果an是等差數(shù)列的第n項(xiàng)，am是等差數(shù)列的第m項(xiàng)，且m?n，公差為d，則有an?am?(n?m)d

2.對(duì)于等差數(shù)列?an?，若n?m?p?q，則an?am?ap?aq。

3．若數(shù)列?an?是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等差數(shù)列。

3、等比數(shù)列 [等比數(shù)列的概念] [定義]如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q?0）。[等比中項(xiàng)] 如果在a與b之間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。即G2?ab。[等比數(shù)列的判定方法] 1． 定義法：對(duì)于數(shù)列?an?，若an?1an?q(q?0)，則數(shù)列?an?是等比數(shù)列。

22．等比中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列?an?，若anan?2?an，則數(shù)列?an?是等比數(shù)列。?1[等比數(shù)列的通項(xiàng)公式]

n?1如果等比數(shù)列?an?的首項(xiàng)是a1，公比是q，則等比數(shù)列的通項(xiàng)為an?a1q。

[等比數(shù)列的前n項(xiàng)和] Sn?a1(1?q)1?qn(q?1)Sn?a1?anq1?q(q?1)當(dāng)q?1時(shí)，Sn?na1

[等比數(shù)列的性質(zhì)] 1．等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：an?amqn?m

2． 對(duì)于等比數(shù)列?an?，若n?m?u?v，則an?am?au?av

4．若數(shù)列?an?是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，k?N*，那么Sk，S2k?Sk，S3k?S2k成等比數(shù)列。如下圖所示：

4、數(shù)列前n項(xiàng)和（1）重要公式：

1?2?3??n?1?2?3??n222n(n?1)22；

； ?n(n?1)(2n?1)61?2??n333?[121n(n?1)] 2（2）裂項(xiàng)求和：

n(n?1)?1n?1n?1；

第四篇：《數(shù)列通項(xiàng)公式》教學(xué)設(shè)計(jì)

《數(shù)列通項(xiàng)公式》教學(xué)設(shè)計(jì)

【授課內(nèi)容】數(shù)列通項(xiàng)公式 【授課教師】陳鵬 【授課班級(jí)】高三6班

【授課時(shí)間】2009年10月20日晚自習(xí)【教學(xué)目標(biāo)】

一、知識(shí)目標(biāo)：

1.解決形如an+1=pan +f(n)通項(xiàng)公式的確定。

2．通過(guò)學(xué)習(xí)讓學(xué)生掌握和理解an+1=pan +f(n)此類型的通項(xiàng)公式的求法。

二、能力目標(biāo)：

在實(shí)踐中通過(guò)觀察、嘗試、分析、類比的方法導(dǎo)出數(shù)列通項(xiàng)公式，培養(yǎng)學(xué)生類比思維能力。通過(guò)對(duì)公式的應(yīng)用，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。利用學(xué)案導(dǎo)學(xué)，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。

三、情感目標(biāo)：

通過(guò)公式的推導(dǎo)使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)從特殊到一般，再?gòu)囊话愕教厥獾乃枷敕椒??！窘虒W(xué)重點(diǎn)】

通過(guò)學(xué)習(xí)讓學(xué)生能夠熟練準(zhǔn)確的確定掌an+1=pan +f(n)此類型的通項(xiàng)公式，并 能解決實(shí)際問(wèn)題?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】

1.如何將an+1=pan +f(n)轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過(guò)的兩個(gè)基礎(chǔ)數(shù)列（等差和等比）。2.理解和掌握an+1=pan +f(n)此類型數(shù)列通項(xiàng)公式確定的數(shù)學(xué)思想方法。【教學(xué)方法】探索式 啟發(fā)式 【教學(xué)過(guò)程】 一．引入：

1、等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式？

2、如何解決an+1–an =f(n)型的通項(xiàng)公式？

3、如何解決an+1∕an =f(n)型的通項(xiàng)公式？

二．新授內(nèi)容：

例1：設(shè)數(shù)列{an}中，a1=1, an+1=3an , 求an的通項(xiàng)公式。

解：略

例2：設(shè)數(shù)列{an}中，a1=1, an+1=3an+1, 求an的通項(xiàng)公式。分析：設(shè)an+1=3an+1為an+1+A=3(an+A)

例3：設(shè)數(shù)列{an}中，a1=1, an+1=3an+2n, 求an的通項(xiàng)公式。

分析：設(shè)an+1=3an+2n為an+1+A(n+1)+B=3(an+An+B)

思考：設(shè)數(shù)列{an}中，a1=1, an+1-3an=2n, 求an的通項(xiàng)公式。

分析：法一：設(shè)an+1=3an+2n 為an+1+A2n+1 =3（an+A2n）

法二：an+1=3an+2n的等式兩邊同時(shí)除以2n方可解決

三．總結(jié)：

形如an+1=pan +f(n)此類數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，可以通過(guò)適當(dāng)?shù)牟呗詫?wèn)題化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題加以解決。四．練習(xí)：

1、設(shè)數(shù)列{an}中，a1=1, an+1=2an+3, 求an的通項(xiàng)公式。

2、設(shè)數(shù)列{an}中，a1=1, an+1=3an+2n+1, 求an的通項(xiàng)公式。

3（2009全國(guó)卷Ⅱ理）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為sn ,已知a1=1, sn+1=4an +2（I）設(shè)bn=an+1 –2an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

【課后反思】

遞推數(shù)列的題型多樣，求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法也非常靈活，往往可以通過(guò)適當(dāng)?shù)牟呗詫?wèn)題化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題加以解決。等差、等比數(shù)列是兩類最基本的數(shù)列，是數(shù)列部分的重點(diǎn)，自然也是高考考查的熱點(diǎn)，而考查的目的在于測(cè)試靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，這個(gè)“靈活”往往集中在“轉(zhuǎn)化”的水平上。轉(zhuǎn)化的目的是化陌生為熟悉，當(dāng)然首先是等差、等比數(shù)列，根據(jù)不同的遞推公式，采用相應(yīng)的變形手段，達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的。

因而求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題成為了高考命題中頗受青睞的考查內(nèi)容。求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的方法策略是：公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、換元法等等。只要仔細(xì)辨析遞推關(guān)系式的特征，準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，是迅速求出通?xiàng)公式的關(guān)鍵。

一、學(xué)情分析和教法設(shè)計(jì)：

1、學(xué)情分析：

學(xué)生在前一階段的學(xué)習(xí)中已經(jīng)基本掌握了等差、等比數(shù)列這兩類最基本的數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式，同時(shí)也掌握了與等差、等比數(shù)列相關(guān)的綜合問(wèn)題的一般解決方法。本節(jié)課作為一節(jié)專題探究課，將會(huì)根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的項(xiàng)，并能運(yùn)用累加、累乘、化歸等方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想的能力、邏輯思維能力以及演繹推理的能力。

2、教法設(shè)計(jì)：

本節(jié)課設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想是：講究效率，加強(qiáng)變式訓(xùn)練、合作學(xué)習(xí)。采用以問(wèn)題情景為切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索、討論，注重分析、啟發(fā)、反饋。先引出相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)，然后剖析需要解決的問(wèn)題，在例題及變式中鞏固相應(yīng)方法，再?gòu)挠懻?、反饋中深化?duì)問(wèn)題和方法的理解，從而較好地完成知識(shí)的建構(gòu)，更好地鍛煉學(xué)生探索和解決問(wèn)題的能力。

在教學(xué)過(guò)程中采取如下方法：

①誘導(dǎo)思維法：使學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性； ②分組討論法：有利于學(xué)生進(jìn)行交流，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性； ③講練結(jié)合法：可以及時(shí)鞏固所學(xué)內(nèi)容，抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)：

1、教材的地位與作用：

遞推公式是認(rèn)識(shí)數(shù)列的一種重要形式，是給出數(shù)列的基本方式之一。對(duì)數(shù)列的遞推公式的考查是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，屬于高考命題中?？汲Ｐ碌膬?nèi)容；另一個(gè)面，數(shù)學(xué)思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量?；瘹w思想是本課時(shí)的重點(diǎn)數(shù)學(xué)思想方法，化歸思想就是把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想，即把數(shù)學(xué)中待解決或未解決的問(wèn)題，通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過(guò)程，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換、轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到某個(gè)或某些已經(jīng)解決或比較容易解決的問(wèn)題上，最終解決原問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法；化歸思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思想，解題的過(guò)程實(shí)際上就是轉(zhuǎn)化的過(guò)程。因此，研究由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式中的數(shù)學(xué)思想方法是很有必要的。

2、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式。教學(xué)難點(diǎn)：解題過(guò)程中方法的正確選擇。

3、教學(xué)目標(biāo)：(1)知識(shí)與技能：

會(huì)根據(jù)遞推公式求出數(shù)列中的項(xiàng)，并能運(yùn)用累加、累乘、化歸等方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。(2)過(guò)程與方法：

①培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想的能力、邏輯思維能力以及演繹推理的能力；

②通過(guò)階梯性練習(xí)和分層能力培養(yǎng)練習(xí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，使不同層次的學(xué)生的能力都能得到提高。(3)情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

①通過(guò)對(duì)數(shù)列的遞推公式的分析和探究，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；

②通過(guò)對(duì)數(shù)列遞推公式和數(shù)列求和問(wèn)題的分析和探究，使學(xué)生養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣；

③通過(guò)互助合作、自主探究等課堂教學(xué)方式培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真參與、積極交流的主體意識(shí)。

三、教學(xué)過(guò)程：

（1）復(fù)習(xí)數(shù)列的遞推公式、等差和等比數(shù)列的遞推公式，并解決問(wèn)題。（2）課堂小結(jié)（3）作業(yè)布置

已知:a1?a?0,an?1?kan?b,(k?0)(1)k,b在何種條件下,數(shù)列?an?分別成等差數(shù)列,等比數(shù)列.(2)若數(shù)列?a,又非等比數(shù)列且a?b n?既非等差數(shù)列,k?1?0, 如何求?an?的通項(xiàng)公式.(3)利用(2)的方法分別求出以下數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式, ①若a1?1,2an?1?3an?2.②若a1?1,an?2an?1?3anan?1.三、課后反思：

遞推數(shù)列的題型多樣，求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法也非常靈活，往往可以通過(guò)適當(dāng)?shù)牟呗詫?wèn)題化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題加以解決。等差、等比數(shù)列是兩類最基本的數(shù)列，是數(shù)列部分的重點(diǎn)，自然也是高考考查的熱點(diǎn)，而考查的目的在于測(cè)試靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，這個(gè)“靈活”往往集中在“轉(zhuǎn)化”的水平上。轉(zhuǎn)化的目的是化陌生為熟悉，當(dāng)然首先是等差、等比數(shù)列，根據(jù)不同的遞推公式，采用相應(yīng)的變形手段，達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的。

因而求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題成為了高考命題中頗受青睞的考查內(nèi)容。求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的方法策略是：公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、換元法等等。只要仔細(xì)辨析遞推關(guān)系式的特征，準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ茄杆偾蟪鐾?xiàng)公式的關(guān)鍵。

第五篇：《數(shù)列通項(xiàng)公式》教學(xué)反思

《數(shù)列通項(xiàng)公式》教學(xué)反思

數(shù)列是高考中必考的內(nèi)容之一，而研究數(shù)列，要通項(xiàng)先行。本節(jié)課只是復(fù)習(xí)歸納了幾種常見(jiàn)的求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，可以看到，求數(shù)列（特別是以遞推關(guān)系式給出的數(shù)列）通項(xiàng)公式的確具有很強(qiáng)的技巧性，與我們所學(xué)的基本知識(shí)與技能、基本思想與方法有很大關(guān)系，因而在平日教與學(xué)的過(guò)程中，既要加強(qiáng)基本知識(shí)、基本方法、基本技能和基本思想的學(xué)習(xí)，又要注意培養(yǎng)和提高數(shù)學(xué)素質(zhì)與能力和創(chuàng)新精神。這就要求無(wú)論教師還是學(xué)生都必須提高課堂的教與學(xué)的效率，注意多加總結(jié)和反思，注意聯(lián)想和對(duì)比分析，做到觸類旁通，將一些看起來(lái)毫不起眼的基礎(chǔ)性命題進(jìn)行橫向的拓寬與縱向的深入，通過(guò)弱化或強(qiáng)化條件與結(jié)論，揭示出它與某類問(wèn)題的聯(lián)系與區(qū)別并變更為出新的命題。這樣無(wú)論從內(nèi)容的發(fā)散，還是解題思維的深入，都能收到固本拓新之用，從而有利于形成和發(fā)展創(chuàng)新的思維。從本節(jié)的教學(xué)效果看，基本的預(yù)設(shè)目標(biāo)均已達(dá)成，教學(xué)效果明顯。上完這節(jié)課我認(rèn)真的做了教學(xué)反思，內(nèi)容如下： 教學(xué)成功之處：

1、讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人，保護(hù)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，讓學(xué)生自己主動(dòng)上臺(tái)板書，暴露問(wèn)題，動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)眼、動(dòng)耳、動(dòng)嘴，用自己的身體去親自經(jīng)歷，用自己的心靈去親自感悟，讓學(xué)生做中學(xué)。

2、面向全體，照顧學(xué)生差異。給予學(xué)生充分展示機(jī)會(huì)，表?yè)P(yáng)學(xué)生點(diǎn)滴成功，分享學(xué)生成功快樂(lè)。一方面鼓勵(lì)學(xué)生自己主動(dòng)上臺(tái)展示；