第一篇：四年級(jí)定義新運(yùn)算測(cè)試題
四年級(jí)定義新運(yùn)算測(cè)試題
姓名:
分?jǐn)?shù):
1、找規(guī)律，求得數(shù) 2★10=6 4★6=5 1★17=9 2★4=？
2、、對(duì)于兩個(gè)數(shù)A與B，規(guī)定：A☆B=A×B×2。試算5☆8。
3、設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定： a⊙b = a×3+b×2。試計(jì)算：5△6，6△7
4、設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：a*b=3×a＋2×b。試計(jì)算：4*（5*6）
5、有一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)“□”，使下列算式成立：6□2=6×7，4□3=4×5×6，計(jì)算：4□3。
第1講
第二篇：定義新運(yùn)算教案
四年級(jí)奧數(shù)教案
第一講
第一課時(shí) 教學(xué)時(shí)間：
教學(xué)內(nèi)容：認(rèn)識(shí)定義新運(yùn)算。定義新運(yùn)算的基本題型。教學(xué)目標(biāo)：
1、讓學(xué)生了解定義新運(yùn)算的基本模式。
2、讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決簡(jiǎn)單定義新運(yùn)算的基本題型。教學(xué)重點(diǎn)：使學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用定義新運(yùn)算解決基本題型。教學(xué)難點(diǎn)：掌握定義新運(yùn)算的解題方法。教學(xué)過(guò)程：
一、導(dǎo)入
我們學(xué)過(guò)的常用運(yùn)算有：+、－、×、÷等，在這一講中，我們將定義一些新的運(yùn)算。對(duì)這些新的運(yùn)算符號(hào)同學(xué)們可能會(huì)感到陌生，但是解題時(shí)只在抓住新運(yùn)算的運(yùn)算法則，問(wèn)題就迎刃而解了。
二、新授
1、教學(xué)例1。
【例1】定義一種運(yùn)算△： a△b=3×a－2×b,(1)求3△2，2△3；
（2）這個(gè)運(yùn)算“△”有交換律嗎？
（3）求（17△6）△2，17△（6△2）；
（4）這個(gè)運(yùn)算“△”有結(jié)合律嗎？
【分析】解這類(lèi)題的關(guān)鍵是抓住新運(yùn)算的本質(zhì)，本題的本質(zhì)是：用運(yùn)算符前面的3倍減去運(yùn)算符號(hào)后面數(shù)的2倍?！窘狻浚?）3△2＝3×3－2×2＝9－4＝5 2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0（2）由（1）的運(yùn)算結(jié)果可知“△”沒(méi)有交換律。
（3）要計(jì)算（17△6）△2，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，有：
17△6＝3×17－2×6＝39 再計(jì)算第二步：39△2＝3×39－2×2＝113 所以（17△6）△2＝113 對(duì)于17△（6△2）可同樣計(jì)算: 6△2=3×6－2×2=14 17△14=3×17－2×14=23 所以17△（6△2）=23(4)由(3)的運(yùn)算結(jié)果可知“△”也沒(méi)有結(jié)合律。
2、學(xué)習(xí)例2。
【例2】定義新的運(yùn)算a◎b=a×b＋a＋b（1）求6◎2，2◎6；
（2）求（1◎2）◎3，1◎（2◎3）；（3）這個(gè)運(yùn)算有交換律和結(jié)合律嗎？
1、同桌之間互相交流，找出運(yùn)算法則。
2、學(xué)生在練習(xí)本上嘗試練習(xí)。
3、集體訂正?！痉治雠c解】
（1）6◎2＝6×2＋6＋2＝20 2◎6＝2×6＋2＋6＝20（2）（1◎2）◎3＝（1×2＋1＋2）◎3 ＝5◎3 ＝5×3＋5＋3
＝23 1◎（2◎3）＝1◎（1×2＋1＋2）
＝1◎11 ＝1×11＋1＋11 ＝23（3）由（1）的運(yùn)算結(jié)果6◎2＝2◎6＝20，可知◎滿足交換律。
由（2）的運(yùn)算結(jié)果（1◎2）◎3＝1◎（2◎3）＝23，可知◎滿足結(jié)合律。
三、鞏固練習(xí)。
1、對(duì)于數(shù)a、b定義運(yùn)算“※”為a※b＝（a＋3）×(b－5)，求5※（6※7）的值。
2、對(duì)于數(shù)x、y定義兩種運(yùn)算“?！奔啊啊酢比缦拢? x＃y＝6×x＋5×y，x□y=3×x×y，求（2＃3）□4的值。
四、課堂小結(jié)：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么新的收獲，和你的同學(xué)交流一下。
五、作業(yè)《思維訓(xùn)練》第10頁(yè)的1—3題。教學(xué)后記： 第二課時(shí) 教學(xué)時(shí)間：
教學(xué)內(nèi)容：定義新運(yùn)算
（二）教學(xué)目標(biāo)：在上一節(jié)課的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)了解有關(guān)定義新運(yùn)算，使學(xué)生明白一種運(yùn)算實(shí)際就是兩個(gè)數(shù)與一個(gè)數(shù)的一種對(duì)應(yīng)方法。
重、難點(diǎn)：
重 點(diǎn)：使學(xué)生明白對(duì)應(yīng)法則不同就是不同的運(yùn)算。
難點(diǎn)：通過(guò)法則讓學(xué)生理解每個(gè)法則都有一個(gè)惟一確定的數(shù)與它們對(duì)應(yīng) 教學(xué)過(guò)程：
一、復(fù)習(xí)
設(shè)a,b都表示數(shù)，規(guī)定a△b=3×a-2×b。（1）求4△3，3△4。這個(gè)運(yùn)算“△”有交換律嗎？
（2）求（17△6）△2，17△（6△2）。這個(gè)運(yùn)算“△”有結(jié)合律嗎？
二、新授
1、學(xué)習(xí)例3 【例3】對(duì)于任意的兩個(gè)整數(shù)a、b，定義兩種運(yùn)算“※”，“◎”： a※b=a＋b－1,a◎b=a×b－1，計(jì)算4◎［（6※8）※（3※5）］的值。（1）引導(dǎo)學(xué)生審題。分析題意。
（2）同桌之間互相交流，在練習(xí)本上嘗試練習(xí)。（3）師詳細(xì)講解。
【解】4◎［（6※8）※（3※5）］
＝4◎［（6＋8－1）※（3+5－1）］
＝4◎[13※7] ＝4◎[13+7-1] ＝4◎19 ＝4×19－1 ＝75 【例4】定義x*y=a×x＋2×y,并且已知5*6＝6*5，求a是幾？
1、讓學(xué)生讀題，理解題意。
2、讓學(xué)生根據(jù)定義新運(yùn)算的基本模式和解題方法試著解答。
3、詳細(xì)講解
【解】根據(jù)題意，5*6＝5×a＋2×6=5a＋12 6*5=6×a＋2×5=6a＋10 且5a＋12=6a＋10 可以解出a=2
四、鞏固練習(xí)。
定義運(yùn)算“*”為a*b=a×b－(a＋b)求：（1）5*7，7*5（2）12*（3*），（12*3）*4（3）這個(gè)運(yùn)算“*”有交換律、結(jié)合律嗎？
五、課堂小結(jié)：這節(jié)課你有什么收獲？
六、作業(yè)：《思維訓(xùn)練》的第10頁(yè)5～7題。教學(xué)后記：
第三、四課時(shí)
教學(xué)時(shí)間： 教學(xué)內(nèi)容：鞏固練習(xí)
教學(xué)目的：使學(xué)生正確熟練地解決新運(yùn)算定義問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生理解能力的多樣化和解題的靈活性。
教學(xué)過(guò)程：
一、專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)。
一、專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)。
1、對(duì)于數(shù)a、b定義運(yùn)算“※”為a※b＝6×a－2×b，求4※（5※6）的值。
2、對(duì)于數(shù)x、y定義兩種運(yùn)算“?！奔啊啊酢比缦拢? x＃y＝8×x－4×y，x□y=6×x×y，求（5＃7）□8的值。
3、定義運(yùn)算“*”為a*b=a×b－(a＋b)求：（1）5*7，7*5
（2）12*（3*），（12*3）*4
（3）這個(gè)運(yùn)算“*”有交換律、結(jié)合律嗎？
4、設(shè)a,b都表示數(shù)，規(guī)定a△b=3×a-2×b。
（1）求4△3，3△4。這個(gè)運(yùn)算“△”有交換律嗎？
（2）求（17△6）△2，17△（6△2）。這個(gè)運(yùn)算“△”有結(jié)合律嗎？
（3）如果已知5△b=5，求b。
5、設(shè)a▽b=a×b+a-b,求5▽8。
第三篇：定義新運(yùn)算教案
定義新運(yùn)算
知識(shí)要點(diǎn)
基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)（“﹡”“＃”“△”等），新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基
本（混合）運(yùn)算。
基本思路：嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按
照基本運(yùn)算過(guò)程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。關(guān)鍵問(wèn)題：正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。
注意事項(xiàng)：①新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。②每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。算式中有括號(hào)的，要先算括號(hào)里面的。但它在沒(méi)有轉(zhuǎn)化前，是不適合各種運(yùn)算定律的。
典題解析
例1：設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：a△b表示a的3倍減去b的2倍，即：a△b = a×3－b×2。試計(jì)算：（1）5△6；（2）6△5；（3）5△（5△6）
練習(xí)：
1，設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：a○b=6×a－2×b。試計(jì)算3○4。
2，設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：a*b=3×a＋2×b。試計(jì)算：（1）（5*6）*7（2）5*（6*7）
3，如果a※b=6×a+7×b，那么7※8=？ 10※5=？
例2：對(duì)于兩個(gè)數(shù)a與b，規(guī)定a⊕b=a×b＋a＋b，試計(jì)算6⊕2。
練習(xí)：1，對(duì)于兩個(gè)數(shù)a與b，規(guī)定：a⊕b=a×b－（a＋b）。計(jì)算3⊕5。
2，對(duì)于兩個(gè)數(shù)A與B，規(guī)定：A☆B=A×B÷2。試算6☆4。
3，規(guī)定：a＃b=2×a＋a×b，那么1＃2＃3=？
例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此規(guī)律計(jì)算3△5。
練習(xí)：1，如果5▽2=5×6，2▽3=2×3×4，計(jì)算：3▽4。
2，如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），計(jì)算8▽4。
3、規(guī)定：1 △ 5=1×2×3×4×5 ； 6 △ 4=6×7×8×9 ；求4 △ 6=？
例
4、如果 1※2＝1＋11；2※3＝2＋22＋222；3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 計(jì)算（3※2）×5。
練習(xí)：1，如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此規(guī)律計(jì)算5！。
2，規(guī)定:6※2=6+66=72；2※3=2+22+222=246；1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=
例5： 2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。按此規(guī)律計(jì)算：7▽3。
練習(xí)：1，有一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)“▽”，使下列算式成立：6▽2=12，4▽3=13，3▽4=15，5▽1=8。按此規(guī)律計(jì)算：8▽4。
2、有一種數(shù)學(xué)符號(hào)◎，使下列算式成立：,8◎4=28 ； 7◎6=27 ；10◎8=38 ；求：12◎8=？
3，如果：4※5=18，9※10=38，11※22=66，20※20=80，那么199※200=？
綜合練習(xí)
1、設(shè)m、n是兩個(gè)數(shù)，規(guī)定m※n=4×n－（m+n）÷2，這里加減乘除是通常的四則運(yùn)算符號(hào)，括號(hào)的作用也是通常的含義。※是新的運(yùn)算符號(hào)。計(jì)算：3※（4※6）＝（）
2、有一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)◎，是下列算式成立：2◎4=8 5◎3=13 9◎7=25，那么6◎4=（育苗杯小學(xué)數(shù)學(xué)通訊賽預(yù)賽）
3、□表示一種新的數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，已知2□3=2+3+4，7□2=7+8 3□5=3+4+5+6+7，按此規(guī)則n□8=68，那么n的值是多少？（第九屆“祖沖之杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）
4、如果：4＃5=13, 5＃5=15，12＃10=34那么2007＃2008＝（）。
5、x、y表示兩個(gè)數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算·※及◎如下：x※y=4×x+3×y x◎y=2×x×y。求（3※4）◎5的值。
6、※是一種新運(yùn)算符號(hào)，規(guī)定a※b=a×c+b×d，（其中c、d為常數(shù)），如5※7=5×c+7×d，如果1※2=5，1※3=7；那么：6※1000的計(jì)算結(jié)果是多少？（第四屆小學(xué)“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題）
第四篇：小學(xué)奧數(shù)1-3-1 定義新運(yùn)算．教師版
定義新運(yùn)算
教學(xué)目標(biāo)
定義新運(yùn)算這類(lèi)題目是在考驗(yàn)我們的適應(yīng)能力，我們大家都習(xí)慣四則運(yùn)算，定義新運(yùn)算就打破了運(yùn)算規(guī)則，要求我們要嚴(yán)格按照題目的規(guī)定做題．新定義的運(yùn)算符號(hào)，常見(jiàn)的如△、◎、※等等，這些特殊的運(yùn)算符號(hào)，表示特定的意義，是人為設(shè)定的．解答這類(lèi)題目的關(guān)鍵是理解新定義，嚴(yán)格按照新定義的式子代入數(shù)值，把定義的新運(yùn)算轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的四則運(yùn)算。
知識(shí)點(diǎn)撥
一
定義新運(yùn)算
基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本（混合）運(yùn)算。
基本思路：嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過(guò)程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。
關(guān)鍵問(wèn)題：正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。
注意事項(xiàng)：①新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。
②每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。
我們學(xué)過(guò)的常用運(yùn)算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5
2×3＝6
都是2和3，為什么運(yùn)算結(jié)果不同呢？主要是運(yùn)算方式不同，實(shí)際是對(duì)應(yīng)法則不同.可見(jiàn)一種運(yùn)算實(shí)際就是兩個(gè)數(shù)與一個(gè)數(shù)的一種對(duì)應(yīng)方法，對(duì)應(yīng)法則不同就是不同的運(yùn)算.當(dāng)然，這個(gè)對(duì)應(yīng)法則應(yīng)該是對(duì)任意兩個(gè)數(shù)，通過(guò)這個(gè)法則都有一個(gè)唯一確定的數(shù)與它們對(duì)應(yīng).只要符合這個(gè)要求，不同的法則就是不同的運(yùn)算.在這一講中，我們定義了一些新的運(yùn)算形式，它們與我們常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”運(yùn)算不相同.二
定義新運(yùn)算分類(lèi)
1.直接運(yùn)算型
2.反解未知數(shù)型
3.觀察規(guī)律型
4.其他類(lèi)型綜合例題精講
模塊一、直接運(yùn)算型
【例
1】
若表示，求的值。
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】2星
【題型】計(jì)算
【解析】
A*B是這樣結(jié)果這樣計(jì)算出來(lái)：先計(jì)算A＋3B的結(jié)果，再計(jì)算A＋B的結(jié)果，最后兩個(gè)結(jié)果求乘積。
由
A*B＝（A＋3B）×（A＋B）
可知：
5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）
＝（5＋21）×12
＝
26×12
＝
312
【答案】
【鞏固】
定義新運(yùn)算為a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】2星
【題型】計(jì)算
【解析】
所求算式是兩重運(yùn)算，先計(jì)算括號(hào)，所得結(jié)果再計(jì)算。由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7
【答案】
【鞏固】
設(shè)△，那么，5△______，(5△2)
△_____.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】2星
【題型】計(jì)算
【解析】,【答案】
【鞏固】、表示數(shù)，表示，求3(68)
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】2星
【題型】計(jì)算
【解析】
【答案】
【鞏固】
已知a,b是任意自然數(shù),我們規(guī)定:
a⊕b=
a+b-1，那么
.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
表示
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】2星
【題型】計(jì)算
【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級(jí)，初賽
【解析】
原式
【答案】
【鞏固】
規(guī)定運(yùn)算“☆”為：若a>b，則a☆b=a＋b；若a=b，則a☆b=a－b＋1；若a
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】2星
【題型】計(jì)算
【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試
【解析】
【答案】
【例
2】
“△”是一種新運(yùn)算，規(guī)定：a△b＝a×c＋b×d(其中c，d為常數(shù))，如5△7＝5×c＋7×d。如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO的計(jì)算結(jié)果是________。
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】2星
【題型】計(jì)算
【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，二試
【解析】
1△2＝1×c＋2×d=5，2△3＝2×c＋3×d=8，可得c=1,d=2
6△1000＝6×c＋1000×d=2006
【答案】
【鞏固】
對(duì)于非零自然數(shù)a和b，規(guī)定符號(hào)的含義是：ab＝（m是一個(gè)確定的整數(shù)）。如果14＝23，那么34等于________。
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】2星
【題型】計(jì)算
【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，二試
【解析】
根據(jù)14=23，得到，解出m=6。所以。
【答案】
【例
3】
對(duì)于任意的整數(shù)x與y定義新運(yùn)算“△”：,求2△9。
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】2星
【題型】計(jì)算
【關(guān)鍵詞】北京市，迎春杯
【解析】
根據(jù)定義
于是有
【答案】
【鞏固】
“*”表示一種運(yùn)算符號(hào)，它的含義是：，已知，求。
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】2星
【題型】計(jì)算
【解析】
根據(jù)題意得，所以
【答案】
【例
4】
[A]表示自然數(shù)A的約數(shù)的個(gè)數(shù).例如4有1,2,4三個(gè)約數(shù),可以表示成[4]=3.計(jì)算:
=
.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【解析】
因?yàn)橛袀€(gè)約數(shù),所以[18]=6,同樣可知[22]=4,[7]=2.原式.【答案】
【鞏固】
x為正數(shù),
.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【解析】
<19>為不超過(guò)19的質(zhì)數(shù),有2,3,5,7,11,13,17,19共8個(gè).<93>為不超過(guò)的質(zhì)數(shù),共24個(gè),易知<1>=0,所以，原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.【答案】
【鞏固】
定義運(yùn)算“△”如下:對(duì)于兩個(gè)自然數(shù)a和b,它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和記為a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根據(jù)上面定義的運(yùn)算,18△12=
.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【解析】
18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.【答案】
【例
5】
我們規(guī)定：符號(hào)表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運(yùn)算，例如：53=35=5，符號(hào)△表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運(yùn)算，例如：5△3=3△5=3，計(jì)算：的結(jié)果是多少？
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【解析】
【答案】
【鞏固】
規(guī)定：符號(hào)“&”為選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運(yùn)算，“◎”為選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運(yùn)算。計(jì)算下式：[（7◎3）&
5]×[
5◎（3
&
7）]
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【解析】
新定義運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算時(shí)如果遇到有括號(hào)的，要先計(jì)算小括號(hào)里的，再計(jì)算中括號(hào)里的。
[（7◎6）&
5]×[
5◎（3
&
9）]＝[
&
5]
×[
5◎9
]＝6×5＝30
【答案】
【鞏固】
我們規(guī)定：AB表示A、B中較大的數(shù)，A△B表示A、B中較小的數(shù)。則
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級(jí)，決賽
【解析】
根據(jù)題目要求計(jì)算如下：
【答案】
【例
6】
如果規(guī)定a※b
=13×a-b
÷8，那么17※24的最后結(jié)果是______。
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】2星
【題型】計(jì)算
【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試
【解析】
17※24=13×17-24÷8=221-3=218
【答案】
【鞏固】
若用G（a）表示自然數(shù)a的約數(shù)的個(gè)數(shù)，如：自然數(shù)6的約數(shù)有1、2、3、6，共4個(gè)，記作G（6）=4，則G(36)+G(42)=。
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】2星
【題型】計(jì)算
【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試
【解析】
36的約數(shù)有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。42的約數(shù)有：1、2、3、6、7、14、21、42。所以有。
【答案】
【鞏固】
如果,那么。
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】2星
【題型】計(jì)算
【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試
【解析】
2&5=2+5÷10=2.5
【答案】
【例
7】
“華”、“杯”、“賽”三個(gè)字的四角號(hào)碼分別是“2440”、“4199”和“3088”，將“華杯賽”的編碼取為244041993088，如果這個(gè)編碼從左起的奇數(shù)位的數(shù)碼不變，偶數(shù)位的數(shù)碼改變?yōu)殛P(guān)于9的補(bǔ)碼，例如：0變9，1變8等，那么“華杯賽”新的編碼是________.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】2星
【題型】計(jì)算
【關(guān)鍵詞】華杯賽，六年級(jí)，決賽
【解析】
偶數(shù)位自左至右依次為4、0、1、9、0、8，它們關(guān)于9的補(bǔ)碼自左至右依次為5、9、8、0、9、1，所以“華杯賽”新的編碼是：254948903981
【答案】
【例
8】
羊和狼在一起時(shí)，狼要吃掉羊.所以關(guān)于羊及狼，我們規(guī)定一種運(yùn)算，用符號(hào)△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上運(yùn)算的意思是：羊與羊在一起還是羊，狼與狼在一起還是狼，但是狼與羊在一起便只剩下狼了。小朋友總是希望羊能戰(zhàn)勝狼.所以我們規(guī)定另一種運(yùn)算，用符號(hào)☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，這個(gè)運(yùn)算的意思是：羊與羊在一起還是羊，狼與狼在一起還是狼，但由于羊能戰(zhàn)勝狼，當(dāng)狼與羊在一起時(shí)，它便被羊趕走而只剩下羊了。對(duì)羊或狼，可以用上面規(guī)定的運(yùn)算作混合運(yùn)算，混合運(yùn)算的法規(guī)是從左到右，括號(hào)內(nèi)先算.運(yùn)算的結(jié)果或是羊，或是狼．求下式的結(jié)果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【關(guān)鍵詞】華杯賽，復(fù)賽
【解析】
因?yàn)槔恰骼?狼，所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼無(wú)論前面結(jié)果如何，最后一步羊△狼或者狼△狼總等于狼，所以
原式=狼
【答案】狼
【例
9】
一般我們都認(rèn)為手槍指向誰(shuí)，誰(shuí)好像是有危險(xiǎn)的，下面的規(guī)則同學(xué)們能看懂嗎
規(guī)定：警察小偷警察，警察小偷小偷．
那么：（獵人小兔）（山羊白菜）
．
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之直接運(yùn)算
【難度】2星
【題型】計(jì)算
【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級(jí)
【解析】
誰(shuí)握著槍就留下誰(shuí)，結(jié)果應(yīng)該是
白菜
【答案】白菜
模塊二、反解未知數(shù)型
【例
10】
如果a△b表示,例如3△4,那么,當(dāng)a△5=30時(shí),a=
.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【解析】
依題意,得,解得.【答案】
【鞏固】
規(guī)定新運(yùn)算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,則x=
.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【解析】
因?yàn)?※1=,所以x※(4※1)=
x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.【答案】
【鞏固】
如果a⊙b表示,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,當(dāng)x⊙5比5⊙x大5時(shí),x=
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【解析】
根據(jù)題意x⊙5-5⊙x=(3x-2×5)-(3×5-2x)=5x-25,由5x-25=5,解得x=6.【答案】
【鞏固】
對(duì)于數(shù)a、b、c、d，規(guī)定，<
a、b、c、d
>＝2ab－c＋d，已知<1、3、5、x
>＝7，求x的值。
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【解析】
根據(jù)新定義的算式，列出關(guān)于x的等式，解出x即可。
將1、3、5、x代入新定義的運(yùn)算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根據(jù)已知<1、3、5、x
>＝7，故1＋x＝7，x＝6。
【答案】
【例
11】
定義新運(yùn)算為，⑴求的值；⑵若則x的值為多少？
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【解析】
⑴因?yàn)?，所?/p>
⑵，所以x的值為4.4.【答案】⑴
⑵
【鞏固】
對(duì)于任意的兩個(gè)自然數(shù)和，規(guī)定新運(yùn)算：，其中、表示自然數(shù).如果，那么等于幾？
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)
【難度】4星
【題型】計(jì)算
【解析】
方法一：由題中所給定義可知，為多少，則就有多少個(gè)乘數(shù)．，即：602，則；，即33,所以．
方法二：可以先將（x3）看作一個(gè)整體，那么就是2，2,所以，那么也就有x3，即33，所以．
【答案】
【例
12】
定義為與之間（包含、）所有與奇偶性相同的自然數(shù)的平均數(shù)，例如：，．在算術(shù)的方格中填入恰當(dāng)?shù)淖匀粩?shù)后可使等式成立，那么所填的數(shù)是多少？
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)
【難度】4星
【題型】計(jì)算
【解析】，所以方格中填的數(shù)一定大于80．如果填的是個(gè)奇數(shù)，那么只能是；如果填的是個(gè)偶數(shù)，那么這個(gè)數(shù)與60的平均數(shù)應(yīng)該是80，所以只能是．因此所填的數(shù)可能是100和101．
【答案】和
【鞏固】
如有#新運(yùn)算，#表示、中較大的數(shù)除以較小數(shù)后的余數(shù).例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.如（21#（21#））=5，則可以是________（小于50）
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)
【難度】4星
【題型】計(jì)算
【關(guān)鍵詞】101中學(xué)，入學(xué)測(cè)試
【解析】
這是一道把數(shù)論、定義新運(yùn)算、倒推法、解方程等知識(shí)結(jié)合在一起的綜合題.可采用枚舉與篩選的方法.第一步先把（21#）看成一個(gè)整體.對(duì)于21#5，這個(gè)式子，一方面可把21作被除數(shù)，則等
于（21-5）16的大于5的約數(shù)，有兩個(gè)解8與16；另一方面可把21作除數(shù)，這樣滿足要求的數(shù)為26，47…，即形如21N+5這樣的數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè).但必須得考慮，這些解都是由所
代表的式子（21#）運(yùn)算得來(lái)，而這個(gè)運(yùn)算的結(jié)果是必須小于其中的每一個(gè)數(shù)的，也就是余數(shù)必須
比被除數(shù)與除數(shù)都要小才行，因此大于21的那些的值都得舍去.現(xiàn)在只剩下8，與16.第二步求：（21#）8與（21#）16.對(duì)于（21#）8可分別解得，把21作被除數(shù)時(shí)：13，把21作除數(shù)時(shí)為：29，50，…形如21N+8的整數(shù)（N是正整數(shù)）.對(duì)于（21#）16，把21作被除數(shù)無(wú)解，21作除數(shù)時(shí)同理可得：37，58……所有形如21N+16
這樣的整數(shù).（N是正整數(shù)）.所以符合條件的答案是13,29,37．
【答案】13,29,37．
【例
13】
已知、滿足，；其中表示不大于的最大整數(shù)，表示的小數(shù)部分，即，那么。
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級(jí)，第3題
【解析】
根據(jù)題意，是整數(shù)，所以也是整數(shù)，那么，由此可得，所以。
【答案】
【例
14】
規(guī)定：A○B(yǎng)表示A、B中較大的數(shù)，A△B表示A、B中較小的數(shù)．若（A○5＋B△3）×（B○5+
A△3）＝96，且A、B均為大于0的自然數(shù)，A×B的所有取值為
．（8級(jí)）
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之反解未知數(shù)
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【關(guān)鍵詞】走美杯，6年級(jí)，決賽
【解析】
分類(lèi)討論，由于題目中所要求的定義新運(yùn)算的符號(hào)是較大的數(shù)與較大的數(shù)，則對(duì)于A或者B有3類(lèi)不同的范圍，A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5。對(duì)于B也有類(lèi)似，兩者合起來(lái)共有3×3=9種不同的組合，我們分別討論。
1)
當(dāng)A＜3，B＜3，則（5+B）×（5+A）=96=6×16=8×12，無(wú)解；
2)
當(dāng)3≤A＜5，B＜3時(shí)，則有（5+B）×（5+3）=96，顯然無(wú)解；
3)
當(dāng)A≥5，B＜3時(shí)，則有（A+B）×（5+3）=96，則A+B=12.所以有A=10，B=2，此時(shí)乘積為20或者A=11,B=1,此時(shí)乘積為11。
4)
當(dāng)A＜3，3≤B＜5，有（5+3）×（5+A）=96，無(wú)解；
5)
當(dāng)3≤A＜5，3≤B＜5，有（5+3）×（5+3）=96，無(wú)解；
6)
當(dāng)A≥5，3≤B＜5，有（A+3）×（5+3）=27，則A=9.此時(shí)B=3后者B=4。則他們乘積有27與36兩種；
7)
當(dāng)A＜3，B≥5時(shí)，有（5+3）×（B+A）=96。此時(shí)A+B=12。A與B的乘積有11與20兩種；
8)
當(dāng)3≤A＜5，B≥5，有（5+3）×（B+3）=96。此時(shí)有B=9.不符；
9)
當(dāng)A≥5，B≥5，有（A+3）×（B+3）=96=8×12。則A=5,B=9，乘積為45。
所以A與B的乘積有11,20,27，36,45共五種
【答案】11,20,27,36,45
模塊三、觀察規(guī)律型
【例
15】
如果
1※2＝1＋11
2※3＝2＋22＋222
3※4＝3＋33＋333＋333＋3333
計(jì)算
（3※2）×5。
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之找規(guī)律
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【解析】
通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：a※b中的b表示加數(shù)的個(gè)數(shù)，每個(gè)加數(shù)數(shù)位上的數(shù)字都由a組成，都由一個(gè)數(shù)位，依次增加到b個(gè)數(shù)位。（5※3）×5
＝（5＋55＋555）×5＝3075
【答案】
【鞏固】
規(guī)定:6※2=6+66=72
2※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之找規(guī)律
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【解析】
7※5=7+77+777+7777+77777=86415.【答案】
【例
16】
有一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，使下列算式成立：，，求
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之找規(guī)律
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【解析】
通過(guò)對(duì)，，這幾個(gè)算式的觀察，找到規(guī)律：，因此
【答案】
【鞏固】
規(guī)定△,計(jì)算：（2△1）（11△10）______.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之找規(guī)律
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【解析】
這個(gè)題目直接套用定義給的公式非常麻煩，需要套用10次，然后再求和．但是我們注意到要求的10項(xiàng)值有一個(gè)共同的特點(diǎn)就是在要我們求得這個(gè)式子中b＝a－1，所以，我們不妨把b＝a－1代入原定義．
a△b就變成了a△b．所以2△1，3△2，……，3△2，則原式＋＋＋…＋．
這里需要補(bǔ)充一個(gè)公式：．
【答案】
【例
17】
一個(gè)數(shù)n的數(shù)字中為奇數(shù)的那些數(shù)字的和記為，為偶數(shù)的那些數(shù)字的和記為，例如，．
；＝
．
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之找規(guī)律
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【關(guān)鍵詞】走美杯，5年級(jí)，決賽
【解析】
可以換個(gè)方向考慮。數(shù)字1在個(gè)位出現(xiàn)10次，在十位出現(xiàn)10次，在百位出現(xiàn)1次，共21次。數(shù)字2到9中的每一個(gè)在個(gè)位出現(xiàn)10次，在十位也出現(xiàn)10次，共20次。
所以，1到100中所有奇數(shù)數(shù)字的和等于(1+3+5+7+9)×20+1=501；
所有偶數(shù)數(shù)字的和等于(2+4+6+8)×20=400。
【答案】
模塊四、綜合型題目
【例
18】
已知：10△3=14，8△7=2，△，根據(jù)這幾個(gè)算式找規(guī)律，如果
△=1，那么=
.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【關(guān)鍵詞】華杯賽，五年級(jí)，決賽
【解析】
規(guī)律是
a△b=(a－b)×2,所以
△x=，即
【答案】
【例
19】
如果、、是3個(gè)整數(shù)，則它們滿足加法交換律和結(jié)合律，即
⑴；⑵。
現(xiàn)在規(guī)定一種運(yùn)算“*“，它對(duì)于整數(shù)
a、b、c、d
滿足：。
例：
請(qǐng)你舉例說(shuō)明，“*“運(yùn)算是否滿足交換律、結(jié)合律。
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試
【解析】
(2,1)*(4,3)=(2×4+1×3,2×4－1×3)=(11,5)
(4,3)*(2,1)=(4×3+2×1,4×3－2×1)=(11,5)
所以“*”滿足交換律
[(2,1)*
(6,5)]*(4,3)=(17,7)=(11,5)*
(4,3)=
(89,47)
(2,1)*[
(6,5)*(4,3)]=(2,1)
*
(39,9)=
(87,69)
所以“*”不滿足結(jié)合律
【答案】
“*”滿足交換律
“*”不滿足結(jié)合律
【例
20】
用表示的小數(shù)部分，表示不超過(guò)的最大整數(shù)。例如：記，請(qǐng)計(jì)算的值。
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試
【解析】
代入計(jì)算結(jié)果分別為：0.4，1，0，1
【答案】0.4，1，0，1
【例
21】
在計(jì)算機(jī)中，對(duì)于圖中的數(shù)據(jù)(或運(yùn)算)的讀法規(guī)則是：先讀第一分支圓圈中的，再讀與它相連的第二分支左邊的圓圈中的，最后讀與它相連的第二分支右邊的圓圈中的，也就是說(shuō)，對(duì)于每一個(gè)圓圈中的數(shù)據(jù)(或運(yùn)算)都是按“中→左→右“的順序。如：圖A表示：2+3，B表示2+3×2－1。圖C中表示的式子的運(yùn)算結(jié)果是________。
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試
【解析】
“教研龍”認(rèn)為第2個(gè)圖最上面的圓圈應(yīng)該有個(gè)2，原題卻沒(méi)有。第3個(gè)圖從上到下第3行第3個(gè)圈為2，第四個(gè)圈為42+[(3+5)÷2]-4=2
【答案】
【例
22】
表示成;表示成.試求下列的值:
(1)
(2)
(3);
(4)如果x,y分別表示若干個(gè)2的數(shù)的乘積,試證明:.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【解析】
(1);
(2);
(3)因?yàn)?所以;
(4)略
【答案】(1)
(2)81
(3)
(4)
令則..【例
23】
對(duì)于任意有理數(shù)x,y,定義一種運(yùn)算“※”，規(guī)定:x※y=,其中的表示已知數(shù),等式右邊是通常的加、減、乘運(yùn)算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),則m的數(shù)值是
_________。
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題
【難度】4星
【題型】計(jì)算
【解析】
由題設(shè)的等式x※y=及x※m=x(m≠0),得,所以bm=0,又m≠0,故b=0.因此x※y=ax-cxy.由1※2=3,2※3=4,得
解得a=5,c=1.所以x※y=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.【答案】
【鞏固】
x、y表示兩個(gè)數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中
m、n、k均為自然數(shù)，已知
1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題
【難度】4星
【題型】計(jì)算
【解析】
x、y表示兩個(gè)數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中
m、n、k均為自然數(shù)，已知
1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析
我們采用分析法，從要求的問(wèn)題入手，題目要求（1△2）*3的值，首先我們要計(jì)算1△2，根
據(jù)“△”的定義：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要計(jì)算出k的值.k值求出后，l△2的值也就計(jì)算出來(lái)了，我們?cè)O(shè)1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”的定義：
a*3=ma+3n，在只有求出m、n時(shí)，我們才能計(jì)算a*3的值.因此
要計(jì)算（1△2）*
3的值，我們就要先求出
k、m、n的值.通過(guò)1*2
=5可以求出m、n的值，通過(guò)（2*3）△4=64求出
k的值.因?yàn)?**2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因?yàn)閙、n均為自然數(shù)，所以解出：，（舍去）
①當(dāng)m=1，n=2時(shí)：
（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k
有32k=64，解出k=2.②當(dāng)m=3，n=1時(shí)：
（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k
有36k=64，解出，這與k
是自然數(shù)矛盾，因此m=3，n=1，這組值應(yīng)舍去。
所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3 =1×4+2×3=10.【答案】
【例
24】
對(duì)于任意的兩個(gè)自然數(shù)和，規(guī)定新運(yùn)算：，其中、表示自然數(shù).⑴求1100的值；⑵已知1075，求為多少？⑶如果（3）2121，那么等于幾？
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【解析】
⑴1100
⑵x1075,解得x3
⑶方法一：由題中所給定義可知，b為多少，則就有多少個(gè)加數(shù)．，即：602121，則x360；，即19360,所以x19．
方法二：可以先將（x3）看作一個(gè)整體y，那么就是y2121，y2,所以y60，那么也就有x360，即19360，所以x19．
【答案】
【鞏固】
兩個(gè)不等的自然數(shù)a和b,較大的數(shù)除以較小的數(shù),余數(shù)記為a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.（8級(jí)）
(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;
(2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;
(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【解析】
(1)1991☉2000=9;
由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;
由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.(2)我們不知道11和x哪個(gè)大(注意,x≠11),即哪個(gè)作除數(shù),哪個(gè)作被除數(shù),這樣就要分兩種情況討論.1)
x<11,這時(shí)x除11余2,x整除11-2=9.又x≥3(因?yàn)閤應(yīng)大于余數(shù)2),所以x=3或9.2)
x>11,這時(shí)11除x余2,這說(shuō)明x是11的倍數(shù)加2,但x<20,所以x=11+2=13.因此(2)的解為x=3,9,13.(3)這個(gè)方程比(2)又要復(fù)雜一些,但我們可以用同樣的方法來(lái)解.用y表示19☉x,不管19作除數(shù)還是被除數(shù),19☉x都比19小,所以y應(yīng)小于19.方程y☉19=5,說(shuō)明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.當(dāng)y=7時(shí),分兩種情況解19☉x=7.1)
x<19,此時(shí)x除19余7,x整除19-7=12.由于x≥8,所以x=12.2)
x>19,此時(shí)19除x余7,x是19的倍數(shù)加7,由于x<50,所以x=19+7=26=45.當(dāng)y=14時(shí),分兩種情況解19☉x=14.1)
x<19,這時(shí)x除19余14,x整除19-14=5,但x大于14,這是不可能的.2)x>19,此時(shí)19除x余14,這就表明x是19的倍數(shù)加14,因?yàn)閤<50,所以x=19+14=33.總之,方程(19☉x)☉19=5有四個(gè)解,x=12,26,33,45.【答案】(1)；；
(2)
x=3,9,13.(3)
x=12,26,33,45.【例
25】
設(shè)a,b是兩個(gè)非零的數(shù),定義a※b.(1)計(jì)算(2※3)※4與2※(3※4).(2)如果已知a是一個(gè)自然數(shù),且a※3=2,試求出a的值.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【解析】
(1)按照定義有2※3,3※4.于是(2※3)※4※4=.2※(3※4)=2※.(2)由已知得①
若a≥6,則≥2,從而與①矛盾.因此a≤5,對(duì)a=1,2,3,4,5這5個(gè)可能的值,一一代入①式中檢查知,只有a=3符合要求.【答案】(1)
(2※3)※4；2※(3※4).(2)
a=3
【鞏固】
定義運(yùn)算“⊙”如下:
對(duì)于兩個(gè)自然數(shù)a和b,它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的差記為a⊙b.比如:10和14,最小公倍數(shù)為70,最大公約數(shù)為2,則10⊙14=70-2=68.(1)求12⊙21,5⊙15;
(2)說(shuō)明,如果c整除a和b,則c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,則c也整除b;
(3)已知6⊙x=27,求x的值.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【解析】
(1)為求12⊙21,先求出12與21的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別為84,3,因此12⊙21=84-3=81,同樣道理5⊙15=15-5=10.(2)略
(3)由于運(yùn)算“⊙”沒(méi)有直接的表達(dá)式,解這個(gè)方程有一些困難,我們?cè)O(shè)法逐步縮小探索范圍.因?yàn)?/p>
6與x的最小公倍數(shù)不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之間,只有30是6的倍數(shù),可見(jiàn)
6和x的最小公倍數(shù)是30,因此它們的最大公約數(shù)是30-27=3.由“兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的積=這兩個(gè)數(shù)的積”,得到.所以.【答案】(1)；
(2)
如果c整除a和b,那么c是a和b的公約數(shù),則c整除a,b的最大公約數(shù),顯然c也整除a,b最小
公倍數(shù),所以c整除最小公倍數(shù)與最大公約的差,即c整除a⊙b.如果c整除a和a⊙b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍數(shù),再由c整除a⊙b推知,整除a,b的最大公約數(shù),而這個(gè)最大公約數(shù)整除b,所以
c整除b.(3)
【鞏固】
“⊙”表示一種新的運(yùn)算符號(hào)，已知：2⊙3；7⊙2：3⊙5，……按此規(guī)則，如果n⊙868，那么，n
____.【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【解析】
因?yàn)閺囊阎獥l件可歸納出的運(yùn)算規(guī)則：⊙表示幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和，⊙前面的數(shù)表示第一個(gè)加數(shù)，⊙后面的數(shù)表示加數(shù)的個(gè)數(shù)，于是，即
.【答案】
【例
26】
喜羊羊喜歡研究數(shù)學(xué)，它用計(jì)算器求個(gè)正整數(shù)的值。當(dāng)它依次按了得到數(shù)字。而當(dāng)它依次按時(shí)，驚訝地發(fā)現(xiàn)得到的數(shù)值卻是。這時(shí)喜羊羊才明白計(jì)算器先做除法再做加法。于是，她依次按，得到了正確的結(jié)果為
。（填出所有可能情況）
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級(jí)，初賽，第14題
【解析】，則，則，則，或，或
【答案】或
【例
27】
國(guó)際統(tǒng)一書(shū)號(hào)ISBN由10個(gè)數(shù)字組成，前面9個(gè)數(shù)字分成3組，分別用來(lái)表示區(qū)域、出版社和書(shū)名，最后一個(gè)數(shù)字則作為核檢之用。核檢碼可以根據(jù)前9個(gè)數(shù)字按照一定的順序算得。如：某書(shū)的書(shū)號(hào)是ISBN
7-107-17543-2，它的核檢碼的計(jì)算順序是：
①7×10＋1×9＋0×8＋7×7＋1×6＋7×5＋5×4＋4×3＋3×2＝207；
②207÷11＝18……9；
③11－9＝2。這里的2就是該書(shū)號(hào)的核檢碼。
依照上面的順序，求書(shū)號(hào)ISBN-7-303-07618-□的核檢碼。
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，二試
【解析】
7×10＋3×9＋0×
8＋3×7＋0×6＋7×5＋6×4＋1×3＋8×2＝196；
。
所以該書(shū)號(hào)的核檢碼是2.【答案】
【例
28】
如圖2一只甲蟲(chóng)從畫(huà)有方格的木板上的A點(diǎn)出發(fā)，沿著一段一段的橫線、豎線爬行到B，圖1中的路線對(duì)應(yīng)下面的算式：.請(qǐng)?jiān)趫D2中用粗線畫(huà)出對(duì)應(yīng)于算式：的路線．
【考點(diǎn)】定義新運(yùn)算之綜合題
【難度】3星
【題型】計(jì)算
【關(guān)鍵詞】2003年，希望杯
【解析】
如圖3所示，通過(guò)圖1分析知道向上前進(jìn)一格要加上1，向下前進(jìn)一格要減1，向左前進(jìn)一格要減去2，向右前進(jìn)一格要加上2.【答案】
第五篇：北京華羅庚學(xué)校四年級(jí)奧數(shù)補(bǔ)習(xí)教案 第三講 定義新運(yùn)算
第三講 定義新運(yùn)算
我們學(xué)過(guò)的常用運(yùn)算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5
2×3＝6
都是2和3，為什么運(yùn)算結(jié)果不同呢？主要是運(yùn)算方式不同，實(shí)際是對(duì)應(yīng)法則不同.可見(jiàn)一種運(yùn)算實(shí)際就是兩個(gè)數(shù)與一個(gè)數(shù)的一種對(duì)應(yīng)方法，對(duì)應(yīng)法則不同就是不同的運(yùn)算.當(dāng)然，這個(gè)對(duì)應(yīng)法則應(yīng)該是對(duì)任意兩個(gè)數(shù)，通過(guò)這個(gè)法則都有一個(gè)唯一確定的數(shù)與它們對(duì)應(yīng).只要符合這個(gè)要求，不同的法則就是不同的運(yùn)算.在這一講中，我們定義了一些新的運(yùn)算形式，它們與我們常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”運(yùn)算不相同.我們先通過(guò)具體的運(yùn)算來(lái)了解和熟悉“定義新運(yùn)算”.例1 設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定a△b＝3×a—2×b，①求 3△2，2△3；
②這個(gè)運(yùn)算“△”有交換律嗎？
③求（17△6）△2，17△（6△2）；
④這個(gè)運(yùn)算“△”有結(jié)合律嗎？
⑤如果已知4△b＝2，求b.分析解定義新運(yùn)算這類(lèi)題的關(guān)鍵是抓住定義的本質(zhì)，本題規(guī)定的運(yùn)算的本質(zhì)是：用運(yùn)算符號(hào)前面的數(shù)的3倍減去符號(hào)后面的數(shù)的2倍.解：① 3△2＝ 3×3-2×2＝9-4＝ 5
2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”沒(méi)有交換律.③要計(jì)算（17△6）△2，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再計(jì)算第二步
39△2＝3 × 39-2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.對(duì)于17△（6△2），同樣先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，6△2＝3×6-2×2＝14，其次
17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也沒(méi)有結(jié)合律.⑤因?yàn)?△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝5.例2 定義運(yùn)算※為a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；
②求12※（3※4），（12※3）※4；
③這個(gè)運(yùn)算“※”有交換律、結(jié)合律嗎？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.②要計(jì)算12※（3※4），先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再計(jì)算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.對(duì)于（12※3）※4，同樣先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次
21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；
b※a＝b×a－（b＋a）
＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交換律）
所以有a※b＝b※a，因此“※”有交換律.由②的例子可知，運(yùn)算“※”沒(méi)有結(jié)合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；
3※（5※x）＝3※（4x－5）
＝3（4x－5）－（3＋4x－5）
＝12x－15－（4x－2）
＝ 8x－ 13
那么 8x－13＝3
解出x＝2.③這個(gè)運(yùn)算有交換律和結(jié)合律嗎？
到
例5 x、y表示兩個(gè)數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均為自然數(shù)，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析 我們采用分析法，從要求的問(wèn)題入手，題目要求1△2）*3的值，首先我們要計(jì)算1△2，根據(jù)“△”的定義：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要計(jì)算出k的值.k值求出后，l△2的值也就計(jì)算出來(lái)了，我們?cè)O(shè)1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”的定義： a*3=ma+3n，在只有求出m、n時(shí)，我們才能計(jì)算a*3的值.因此要計(jì)算（1△2）* 3的值，我們就要先求出 k、m、n的值.通過(guò)1*2 =5可以求出m、n的值，通過(guò)（2*3）△4=64求出 k的值.解：因?yàn)?*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n
=5.又因?yàn)閙、n均為自然數(shù)，所以解出： 的觀察，找 規(guī)律：
①當(dāng)m=1，n=2時(shí)：
（2*3）△4=（1×2+2×3）△4
=8△4=k×8×4=32k
有32k=64，解出k=2.②當(dāng)m=3，n=1時(shí)：
（2*3）△4=（3×2+1×3）△4 =9△4=k×9×4=36k
所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3
=4*3
=1×4+2×3
=10.在上面這一類(lèi)定義新運(yùn)算的問(wèn)題中，關(guān)鍵的一條是：抓住定義這一點(diǎn)不放，在計(jì)算時(shí)，嚴(yán)格遵照規(guī)定的法則代入數(shù)值.還有一個(gè)值得注意的問(wèn)題是：定義一個(gè)新運(yùn)算，這個(gè)新運(yùn)算常常不滿足加法、乘法所滿足的運(yùn)算定律，因此在沒(méi)有確定新運(yùn)算是否具有這些性質(zhì)之前，不能運(yùn)用這些運(yùn)算律來(lái)解題.習(xí)題三
計(jì)算：① 10*6 ② 7*（2*1）.7.“*”表示一種運(yùn)算符號(hào)，它的含義是：
9.規(guī)定a△b=a+（a+1）+（a+2）+?+（a+b-1），（a、b均為自然數(shù)，b＞a）如果x△10=65，那么x=？
習(xí)題三解答
所以有5x-2=3O，解出x=6.4.8.解：由于
9.解：按照規(guī)定的運(yùn)算：
x△10=x+（x+1）+（x+2）+?+（x+10-1）
=10x+（1+2+3+?+9）=10x+45 因此有10x+45=65，解出x=2.
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