第一篇：數(shù)理方程-分離變量法

第八章

分離變量法

2??2u2?u?a0?x?l,t?0?22?t?x? u(0,t)?0,u(l,t)?0t?0???u(x,0)u(x,0)??(x),??(x)0?x?l??t?對于這樣的定解問題，我們將介紹分離變量法求解，首先回憶高數(shù)中我們?nèi)绾翁幚淼那蠼獾模邤?shù)中處理微分或重積分是把函數(shù)分成單元函數(shù)

分離變量法的思路：對于二階線性微分方程變換成單元函數(shù)來求解，也就是通過分離變量法把x、t兩個變量分開來，即把常微分方程變化為兩個偏微分方程來求解。

分離變量法的思想：先求出具有分離形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理做出這些解的線性組合，最后由其余的定解條件確定疊加系數(shù)（疊加后這些特解滿足邊界條件不滿足初始條件，再由初始條件確定通解中的未知的數(shù)）。

疊加原理：線性偏微分方程的解的線性組合仍是這個方程的解。特點(diǎn)：（1）數(shù)學(xué)上 解的唯一性來做作保證。（2）物理上 由疊加原理作保證。例：有界弦的自由振動

1.求兩端固定的弦的自由振動的規(guī)律

2??2u2?u?a0?x?l,t?0?22?t?x? u(0,t)?0,u(l,t)?0t?0???u(x,0)u(x,0)??(x),??(x)0?x?l??t?第一步：分離變量（建立常微分方程定解問題）令u(x,t)?X(x)T(t)

這個思想可從實(shí)際的物理現(xiàn)象可抽象出來，比如我現(xiàn)在說話的聲音，它的振幅肯定隨時間變化，但到達(dá)每個同學(xué)的位置不同，振幅又是隨位置變化，可把聲音分成兩部分，一部分認(rèn)為它隨時間變化，一部分隨位置變化。

第二步：代入方程

（偏微分就可寫成微分的形式，對于u有兩個變量，但對于X、T都只有一個變量）

X(x)T??(t)?a2X(x)??T(t)

變形得X??(x)T??(t)?= ?? X(x)a2T(t)左邊與t無關(guān)，右邊與x無關(guān)，左右兩邊相互獨(dú)立，要想相等，必定等于一個常數(shù)。由于x, t 是相互

獨(dú)立的變量，上式必然等于同一常數(shù)。

方程左邊為關(guān)于x的函數(shù)，方程右邊為關(guān)于t的函數(shù)，只有當(dāng)左右兩邊都等于常數(shù)的時候才成立 令其為??（得到的兩個常微分方程形式比較標(biāo)準(zhǔn)）

X(x)????X(x)?0

T??(t)?a2?T(t)?0

得到兩個常微分方程 第三步：代入邊界條件

得到：X(0)T(t)?0

X(l)T(t)?0，由于是t>0得值，T(t)是一個范圍內(nèi)不固定的值，所以X(0)?0

X(l)?0

常微分方程含?，?未知，需要對?進(jìn)行討論

X(x)????X(x)?0，X(0)?0

X(l)?0

特征（固有）值問題：含有待定常數(shù)常微分方程子一定條件下的求解問題。特征（固有）函數(shù)：和特征值相對應(yīng)的非零解 第四步：確定特征值并得到它的特征函數(shù) 分情況討論：

1）?<0時, 特征方程為R???0,特征根為：R??-? 得通解為X(x)?Ae??x2?Be???x（A、B為待定系數(shù)）

??x把定解條件X(0)?0

X(l)?0代入通解X(x)?Ae得到A+B=0

?Be???x

Ae??l?Be???l?0

??x于是A=B=0?X(x)?Ae?Be???x即X(x)=0 則u(x,t)?X(x)T(t)=0，零解無意義 即?<0時，定解問題無解。2）?=0時, X(x)????X(x)?0 有X(x)?Ax?B A=B=0?X(x)?Ae??x?Be???x即X(x)=0 則u(x,t)?X(x)T(t)=0，零解無意義 3）?>0時, X(x)????X(x)?0

令???2（?為非零實(shí)數(shù)）

特征方程為R???0,特征根為虛數(shù)：R??-?i 通解為X(x)?Acos?x?Bsin?x（A、B為待定系數(shù)）

把定解條件X(0)?0，X(l)?0代入通解X(x)?Acos?x?Bsin?x 2X(0)?0得到A =0，即X(x)?Bsin?x X(a)?0得到Bsin?l?0

在B≠0的情況下，有sin?l=0，即?n?為非零實(shí)數(shù)）

現(xiàn)在就完成了用分離變量法求解X（x）的部分，得到特征值為?n??n?(數(shù)為：X(x)?Bnsin2n?（n=1,2,3，…注意n≠0，若n=0，則?=0，??0而?ln?2)，所對應(yīng)的特征函ln?x ln?2)代入 l下面求解關(guān)于t的常微分方程

T??(t)??T(t)?0，將?n?(2n2?2Tn??(t)?aTn(t)?0，這種情況的通解與X(x)????X(x)?0的?>0的情況相同。

l2?cos即Tn(t)?Cnn?atn?at?sin?Dn

（n=1,2,3，…）

ll至此Xn(x)與Tn(t)都求出來了，所以定解問題的n個特解（這n個特解均滿足邊界條件）為：

un(x,t)?Xn(x)Tn(t)=(Cncosn?atn?atn??Dnsin)sinx

（n=1,2,3，…）lll根據(jù)疊加原理，特解的疊加仍是方程的解，所以得到通解

u(x,t)??un(x,t))

i?1n=?(Cncosi?1nn?atn?atn??Dnsin)sinx（n=1,2,3，…）lll?u(x,0)??(x)求解）?t其中Cn、Dn為待定系數(shù)（利用初始條件u(x,0)??(x),第五步: 利用本征函數(shù)的正交歸一性確定待定系數(shù)

u(x,t)??(Cncosi?1nn?atn?atn??Dnsin)sinx lll

u(x,t)t?0?u(x,0)

??Cnsini?1nn?x??(x)l??(?i?1n?u(x,t)?t??i?1nt?0n?atn?atn?an?atn?Cnsin?ccos)sinxt?0 llllln?an?Dnsinx??(x)ll?(x)與?(x)正是傅里葉正弦級數(shù)，Cn、Dn是傅里葉系數(shù)。

利用三角函數(shù)的正交性

l1?cos(2n?/l)n?lxdx?dx? ?0?0l22ln?m?1ln?mn?msinxxdx??[cos??cosx?x]dx?0（m≠n）?0ll2?0lllsin2l?m?n?m?l得到：??(x)sinxdx???Cnsinxxdx?Cn

00lll2n?0l2lm??(x)sinxdx ?0lll2lm?2lm????(x)sinxdx??(x)sinxdx 同理，Dn?n?al0ln?a?0l于是得到：Cn?回顧整個求解過程，可作出分離變量法流程圖

u|t?0??(x)u?|t?0??(x)ut?a2uxxu|x?0?u|x?l?0X(0)?X(L)?0分離變量流程圖u?T(t)X(x)T'/(a2T)?X“/X???T'?a2?T?0T?Aexp(?a2?t)X”??X?0X?sin?x,??nl?un?Tn(t)Xn(x)u?u(x,t)2.解的性質(zhì)

u??TnXn

un(x,t)=(Cncos于x的函數(shù)）n?atn?atn??Dnsin)sinx---------方程的特解（前面是關(guān)于t的函數(shù)，后面是關(guān)lllun(x,t)=(Cncosn?n?atn?atn??Dnsin)sinx=Ancos(?nt??n)sinx lllln?aD，?n?arctann lCn22其中：An?Cn?Dn，?n?當(dāng)x?x0時，un(x,t)=Ansin點(diǎn)的振動方程）。

n?x0cos(?nt??n)---------弦上確定的一點(diǎn)以頻率?n做振動（弦上某ln?x----------某一時刻，特解為正弦函數(shù)的形式，所有點(diǎn)l當(dāng)t?t0時，un(x,t)=Ancos(?nt0??n)sin的位置，波動方程（駐波的方程），每個特解代表一個駐波，因此分離變量法又稱為駐波法。

標(biāo)準(zhǔn)的駐波方程：y?2Acos2?x??cos?t

sinn?2x的（駐波）波長為?n?l（n=1,2,3，…）

nl

頻率：fn??nna? 2?2lna2T ?l?a?2ln?波速：vn?fn?n?3.分離變量法概要：

（1）作分離變量假設(shè)，代入方程和邊界條件中得到固有值問題（2）確定固有函數(shù)和固有值（3）寫出定解問題的特解（4）將特解疊加無，給出通解

（5）用初始條件確定通解系數(shù)（傅立葉展開）4.回顧整體思路：

2?u(x,0)?2u2?u??(x)

定解問題2?a初始條件u(x,0)??(x), 邊界條件u(0,t)?0,u(l,t)?0 2?t?t?x2?2u2?u?a將假設(shè)u(x,t)?X(x)T(t)代入方程，此偏微分方程得到兩個常微分方程?t2?x2X(x)????X(x)?0

T??(t)?a2?T(t)?0。

將邊界條件u(0,t)?0,u(l,t)?0代入u(x,t)?X(x)T(t)，得到X(0)?0、X(l)?0，求解已知定解條件的常微分方程X(x)????X(x)?0的特征值為?n??n?(n?2n?)，特征方程Xn(x)?Bnsinx，lln?atn?at?cos?sin?Dn求解T??(t)?a2?T(t)?0的特征函數(shù)Tn(t)?Cn，所以

lln?atn?atn????Dnsin)Bnsinx。un(x,t)?Xn(x)Tn(t)=(Cncoslll2根據(jù)疊加原理，特解的疊加是方程的通解，所以得到：

u(x,t)??un(x,t))i?1n=

?(Cncosi?1nn?atn?atn??Dnsin)sinxlll，將初始條件u(x,0)??(x),?u(x,0)??(x)代入，求解待定系數(shù)Cn、Dn（傅立葉展開）。?tx(10?x)，求弦做

1000分離變量法的適用條件：任何二階線性（齊次）偏微分方程

例一：設(shè)有一根長為10個單位的弦，兩端固定，初速度為零，初位移為?(x)?微小橫振動時的位移。

2??2u4?u?100?x?10,t?0?22?t?x? u(0,t)?0,u(10,t)?0t?0??x(10?x)?u(x,0)u(x,0)?,?0?1000?t?解：設(shè)u(x,t)?X(x)T(t)，代入

X??1T???4??? X10T4得到：X(x)????X(x)?0

T??(t)?10?T(t)?0

u(0,t)?X(0)T(t)?0,u(10,t)?X(10)T(t)?0

?X(x)????X(x)?0,0?x?10得到本征值問題：，?

X(0)?0,X(10)?0?經(jīng)討論???2?0時，有非零解，X(x)?Acos?x?Bsin?x

X(0)?A?0,X(10)?Bsin10??0，?n?2n?，n=1,2,3，… 10n?n2?2x 得到特征值：????

得到特征方程：Xn(x)?Bnsin10100于是：T??(t)?100n2?cos10n?t?Dn?sin10n?t ?2T(t)?0，其解為Tn(t)?Cnun(x,t)?Xn(x)Tn(t)

n??cos10n?t?Dn?sin10n?t)x(Cn10n?x =(Cncos10n?t?Dnsin10n?t)sin10?Bnsinu(x,t)??un(x,t))=?(Cncos10n?t?Dnsin10n?t)sini?1n?1n?n?x 10將初始條件u(x,0)? ?Cnsin10n?t ?n?1?x(10?x)

1000210x(10?x)n?sinxdx運(yùn)用分部積分法求解 ?010100010110n?x(10?x)sinxdx

=5000?010n為偶數(shù)?2?0=44(1?cosn?)??4

n為奇數(shù)5n???5n4?4Cn??u(x,0)?n?an???Dnsinx?0，故Dn=0.?tlln?1所以u??un(x,t))=?i?1n?1n?(2n?1)?4sinx cos10(2n?1)?t105(2n?1)4?42??2u2?u?a0?x?l,t?0?22?t?x??u(l,t)?例二：? u(0,t)?0,?0t?0?x??u(x,0)?x2?2lx,?u(x,0)?00?x?l??t?解：設(shè)u(x,t)?X(x)T(t)，代入

X??1T???2??? XaT得到：X(x)????X(x)?0

T??(t)?a2?T(t)?0

u(0,t)?X(0)T(t)?0?u(l,t)?0?x?

X(0)?0

? ?u(l,t)?X?(l)T(t)?0?x?X?(l)?0

?X(x)????X(x)?0,0?x?l得到本征值問題：，?

?X(0)?0,X(l)?0?經(jīng)討論??0，X(x)?Ae??x?Be???x（A、B為待定系數(shù)）

??x把定解條件X(0)?0

X?(l)?0代入通解X(x)?Ae得到A+B=0

?Be???x

A?e??l?B?e???l?0

于是A=B=0即X(x)=0 ?=0時, X(x)????X(x)?0，有X(x)?Ax?B，A=B=0即X(x)=0 ???2?0時，X(x)????X(x)?0，X(x)?Acos?x?Bsin?x

X(0)?0X?(l)?0所以?n?? A?0

?X?(x)?B?cos?l?0

(2n?1)? n=1,2,3，… 2l2(2n?1)?(2n?1)2?2X(x)?Bsinx 寫出特征值和特征函數(shù)????，nn22l4l(2n?1)2?2Tn(t)?0 T??(t)?a?T(t)?0變?yōu)門n??(t)?a4l222(2n?1)?a(2n?1)?a?sint?Dnt，2l2l(2n?1)?a(2n?1)?a(2n?1)??cos?sint?Dnt)sinx 所以un(x,t)?Xn(x)Tn(t)=(Cn2l2l2l?cosTn(t)?Cn所以u??un(x,t))=?(Cncosi?1i?12nn(2n?1)?a(2n?1)?a(2n?1)?at?Dnsint)sinx 2l2l2l由初始條件u(x,0)?x?2lx,?u(x,0)?0確定Cn、Dn。?tu(x,0)??Cnsinl(2n?1)?x?x2?2lx 2l2(2n?1)?32l22 Cn??(x?2lx)sinxdx??33l02l(2n?1)??u(x,0)(2n?1)?a(2n?1)???Dnsinx?0，Dn=0 ?t2l2lu??un(x,t))=?i?1n32l2?31(2n?1)?a(2n?1)?costsinx ?32l2li?1(2n?1)n附錄1：二階常系數(shù)微分方程：y???py??qy?0 特征方程：r?pr?q?0 根的三種情況

2?r1?r2??r1?r2?r?r???i??

得到常系數(shù)微分方程的通解： ?y?C1er1x?C2er2x

附錄2：線性方程滿足疊加原理。

線性齊次方程（只含未知量的一次項，無零次項）通解為所有線性無關(guān)特解的疊加；而線性非齊次方程通解為其特解與相應(yīng)齊次方程（去掉零次項后的線性方程）通解的疊加。

?rxrx?y?C1e?C2xe?y?e?x(Ccos?x?Csin?x)12?附錄3：和差化積公式

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

第二篇：分離變量法習(xí)題

第十章習(xí)題解答 求解混合問題

?utt?a2uxx?0(0?x?l,t?0)?0??

?u(0,t)?0,u(l,t)?0，其中?(x)??v0?0?u(x,0)?0,u(x,0)??(x)?t?0?x?c??c???x?c?? c???x?l解：用分離變量法：設(shè)混合問題的非零解函數(shù)為u(x,t)?X(x)T(t)，則，utt(x,t)?X(x)T??(t),uxx(x,t)?X??(x)T(t)

代入混合問題中的微分方程可得：

X(x)T??(t)?aX??(x)T(t)?0?2X??(x)X(x)?aT??(t)T(t)2???

由初始條件可得：u(0,t)?X(0)T(t)?u(l,t)?X(l)T(t)?0?X(0)?X(l)?0由此可得，X(x)為如下常微分方程邊值問題的非零解：

?X??(x)??X(x)?0?X(0)?0,X(l)?0(0?x?l)

?

若λ<0，則此定解問題的微分方程的通解為 X(x)?c1exp(?x)?c2exp(??x)，代入邊值條件后可得c1?c2?0?X(x)?0，不符合要求。若λ=0，則此定解問題的微分方程的通解為

X(x)?c1?c2x，代入邊值條件后仍可得c1?c2?0?X(x)?0，不符合要求。若λ>0，則此定解問題的微分方程的通解為 X(x)?c1cos代入邊界條件后可得： X(0)?c1cos?0?c2sin?0?c1?0?X(x)?c2sin?x，2?x?c2sin?x，X(l)?c2sin?l?0,X(x)?0?sinn?xl?n???l?0,???n???，?l?所以可取 X(x)?Xn(x)?sin

(n?1,2,?)由T(t)所滿足的方程可得：

T??(t)?a2?2T(t)?0?T(t)?Tn(t)?ancosn?atln?atl?bnsinn?atl，所以，原混合問題的微分方程的滿足邊界條件的分離變量形式解為 u(x,t)?un(x,t)?Xn(x)Tn(t)?(ancos???bnsinn?atl)sinn?xl，設(shè)原混合問題的解函數(shù)為 u(x,t)??n?1(ancosn?atl?bnsinn?atl)sinn?xl，??則由初始條件可得：0?u(x,0)??n?1ansinn?xl?an?0(n?1,2,?)

?? ut(x,t)??n?1n?albncosn?atlsinn?xln?xl，?? ?(x)?ut(x,0)??n?1n?atlbnsin?bn??n?a2l0?(x)sinn?xldx，bn??n?a2c??c??v0sinn?xldx?2v0ln?a??22(cosn?(c??)ln?xl?cosn?(c??)l)（*）所以，原混合問題的解為 u(x,t)?2 求解混合問題

?bn?1nsinn?atlsin，其中的bn由（*）給出。

?utt?a2uxx?0(0?x?l,t?0)?

?u(0,t)?E,u(l,t)?0

?u(x,0)?0,u(x,0)?0(E為常數(shù)）t?解：由于邊界條件非齊次，需作函數(shù)變換如下：設(shè)

v(x,t)?u(x,t)?El(l?x)?u(x,t)?v(x,t)?El(l?x)，則

vxx(x,t)?uxx(x,t),vt(x,t)?ut(x,t),vtt(x,t)?utt(x,t)，2vtt(x,t)?avxx(x,t)?utt(x,t)?auxx(x,t)?0，v(0,t)?u(0,t)?

v(x,0)?u(x,0)?ElEl(l?0)?u(0,t)?E?0,v(l,t)?u(l,t)?0?0，(l?x)??El(l?x),vt(x,0)?ut(x,0)?0，所以，u(x,t)是原混合問題的解的充要條件是：v(x,t)是如下混合問題的解：

?2?vtt(x,t)?avxx(x,t)?0(0?x?l,?

?v(0,t)?0,v(l,t)?0?Ev(x,0)??(l?x),vt(x,t)?0?l?t?0)

（*）

用分離變量法求解此定解問題，由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)步驟可得：

??

v(x,t)??n?1(Ancosn?atl?Bnsinn?atl)sinn?xl，代入初始條件可得：，Bn?0，An???2l?lEl0(l?x)sinn?xldx?2En?(n?1,2,?)

所以，v(x,t)???n?12En?cosn?atlElsinn?xl，??原混合問題的解函數(shù)為u(x,t)?3 求解下列阻尼波動問題的解：

(l?x)??n?12En?cosn?atlsinn?xl

?utt?2hut?a2uxx?0(0?x?l,t?0)?

?u(0,t)?0,ux(l,t)?0

?u(x,0)??(x),u(x,0)??(x)t?其中，h為正常數(shù)，且h?a?2l。

解：使用分離變量法，設(shè)原定解問題的微分方程有如下分離變量形式非零解函數(shù)滿足邊界條件：

u(x,t)?X(x)T(t)

則容易算得：uxx(x,t)?X??(x)T(t),ut(x,t)?X(x)T?(t),utt(x,t)?X(x)T??(t)，代入方程后化簡可得：

T??(t)?2hT?(t)aT(t)2?X??(x)X(x)???

0?u(0,t)?X(0)T(t)?X(0)?0，0?ux(l,t)?X?(l)T(t)?X?(l)?0，T??(t)?2hT?(t)??aT(t)?0

?X??(x)??X(x)?0

?，?X(0)?0,X(l)?0?2由X(x)的非零性可得??0，此時，X(x)?c1cos?x?c2sin?x，X(0)?c1cos0?c2sin0?c1?0?X(x)?c2sin?x，取c2?1得：X(x)?sin?2n?1??l?0????n????

?2l?22?x,X?(l)??cos?2n?1?將?代入T(t)所滿足的方程可得：T??(t)?2hT?(t)???a?T(t)?0

?l?

?2?2n?1??2h????a??0????n??h??2l?2?(2n?1)?a?h???

2l??222

h??a2l?(2n?1)?a2l??n??h??(2n?1)?a?2???hi2l??(n?1,2,?)

從而有：

T(t)?Tn(t)?e?ht(Ancos?nt?Bnsin?nt)，??2n?1??a???2l22其中

?n???h?(n?1,2,?)，（1）

設(shè)原混合問題的解函數(shù)為：

??

u(x,t)??n?1e?ht(Ancos?nt?Bnsin?nt)sin(2n?1)?2lx，??

?(x)?u(x,0)?l?n?1Ansinl(2n?1)?2lx，(2n?1)?xl(1?cosdx?，?0?022l2l22l(2n?1)?xdx(n?1,2,?)

（2）所以

An???(x)sin0l2l而

sin2(2n?1)?xdx?1??ut(x,t)??n?1e?ht((?hAn??nBn)cos?nt?(hBn??nAn)sin?nt))sin(2n?1)?x2l

??

?(x)?ut(x,0)?1?n?1(?hAn??nBn)sin(2n?1)?x2l，Bn??n(hAn?2l?l0?(x)sin(2n?1)?x2ldx)。

（3）

??所以，原混合問題的解是u(x,t)??n?1e?ht(Ancos?nt?Bnsin?nt)sin(2n?1)?2lx，其中的 ?n,An,Bn分別由（1）式、（2）式、（3）式給出。

4 求解混合問題

??uxx?LCutt?(LG?RC)ut?GRu?

?u(0,t)?0,ux(l,t)?0?GEu(x,0)?E,u(x,0)??t?C?(0?x?l,t?0)

其中L、C、G、R為常數(shù)，且LG=RC。（提示：作函數(shù)變換u(x,t)?exp(?Rt/L)v(x,t)）

解：記a2?1LC,b?GC?RL，混合問題的微分方程兩邊同除LC，方程可化為

a2uxx(x,t)?utt(x,t)?2but(x,t)?b2u(x,t)，a?22?x(u(x,t)exp(bt))???t22(u(x,t)exp(bt))，設(shè)v(x,t)?u(x,t)exp(bt)，則有

a2vxx(x,t)?vtt(x,t)，而且，vx(x,t)?ux(x,t)exp(bt),()?0,所以

v(0,t)?u(0,t)expbtvt(x,t)?ut(x,t)exp(bt)?bu(x,t)exp(bt)，vx(l,t)?ux(l,t)expbt()?0，vt(x,0)?ut(x,0)?bu(x,0)?0，(?0)?u(x,0)?E, v(x,0)?u(x,0)expb所以，若u(x,t)是原混合問題的解函數(shù)，則v(x,t)是如下混合問題的解函數(shù)：

?vtt(x,t)?a2vxx(x,t)?0?

?v(0,t)?0,vx(x,t)?0?v(x,0)?E,v(x,t)?0t?(0?x?l,t?0)

用分離變量法求解此混合問題，設(shè)方程的分離變量解形式的滿足邊界條件的非零解為 v(x,t)?X(x)T(t)，則

vx(x,t)?X?(x)T(t)，vxx(x,t)?X??(x)T(t),vxx(x,t)?X??(x)T(t), X??(x)X(x)?T??(t)aT(t)2???

由齊次邊界條件可得，X(x)為如下定解問題的解：

?X??(x)??X(x)?0?X(x)?c1cos?x?c2sin?x，??X(0)?0,X(l)?0?

X(0)?0?c1?0，取c2?1得X(x)?sin?x，X?(l)?T??(t)aT(t)2?(2n?1)???cos?l?0????n???2l????n?T(t)?Tn(t)?Ancos(2n?1)?x2l2(n?1,2,?)，(2n?1)?at2l

(2n?1)?at2l?Bnsin，X(x)?Xn(x)?sin??(n?1,2,?)，設(shè)

v(x,t)??n?1(Ancos(2n?1)?at2ll?Bnsin(2n?1)?at2l)sin(2n?1)?x2l

代入初始條件可得：An???2l?0v(x,0)sin(2n?1)?x2ldx?4E(2n?1)?,Bn?0，所以

v(x,t)??(2n?1)?n?1??4Ecos(2n?1)?at2lsin(2n?1)?x2l

所以，原題目所給的混合問題的解函數(shù)為：

u(x,t)?exp(?bt)?n?14E(2n?1)?cos(2n?1)?at2lsin(2n?1)?x2l。用固有函數(shù)法求解

?utt?a2uxx?g(const),?

?u(0,t)?0,ux(l,t)?0?u(x,0)?0,u(x,0)?0t?(0?x?l,t?0)

解：用分離變量法：設(shè)原混合問題的微分方程對應(yīng)的齊次方程有如下分離變量形式的非零解函數(shù)：u(x,t)?X(x)T(t)，利用分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)步驟可求得： ?(2n?1)??

???n???,2l??2X(x)?Xn(x)?sin(2n?1)?x2l(n?1,2,?)

將f(x,t)?g展開成Xn(x)的廣義Fourier級數(shù)如下：

fn(t)?2l?l0f(x,t)Xn(x)dx?2l?l0gsin(2n?1)?x2ldx?4g(2n?1)?，?T??(t)?a2?nT(t)?fn(t)16gl(2n?1)?at?T(t)?T(t)?(1?cos)?n3322l(2n?1)?a?T(0)?0,T?(0)?02[注：方程T??(t)?a?T(t)?fn(t)的通解為

Tn(t)?Ancos

(2n?1)?at2l?Bnsin(2n?1)?at2l?16gl(2n?1)?a332，代入初始條件即可得此處的結(jié)果。] 所以，題目所給的混合問題的解函數(shù)為

??u(x,t)??Tn(t)Xn(x)?n?1?(2n?1)16gl3?a32(1?cos(2n?1)?at2lt?0))sin(2n?1)?x2l。

?ut(x,t)?a2uxx(x,t)?0?6．求解混合問題?u(0,t)?0,ux(l,t)?0?u(x,0)?u(const)0?(0?x?l,。

解：用分離變量法：設(shè)混合問題中的微分方程有如下滿足邊界條件的分離變量形式的非零解函數(shù)：u(x,t)?X(x)T(t)，則

ut(x,t)?X(x)T?(t),ux(x,t)?X?(x)T(t),uxx(x,t)?X??(x)T(t)，代入方程后化簡再由邊界條件可得：

T?(t)aT(t)2?X??(x)X(x)????T?(t)?a?T(t)?0,22X??(x)?aX(x)?0

u(0,t)?X(0)T(t)?0?X(0)?0,ux(l,t)?X?(l)T(t)?0?X?(l)?0，所以，X(x)為如下常微分方程邊值問題的非零解函數(shù)：

?X??(x)??X(x)?0?X(0)?0,X?(l)?0

2?(0?x?l)

?(2n?1)??解之得 ???n???,2l??X(x)?Xn(x)?sin(2n?1)?x2l(n?1,2,?)，2?(2n?1)?a?

T?(t)??na2T(t)?0?T(t)?Tn(t)?Anexp?(??t)。

2l????設(shè)原問題的解函數(shù)為

u(x,t)??n?1(2n?1)?x?(2n?1)?a?，Anexp?(??t)sin2l2l????2由初始條件可得：

u0?u(x,0)??An?1nsin(2n?1)?x2l4u0，由此可得：

An?2l?l0u0sin(2n?1)?x2ldx?(2n?1)?2(n?1,2,?)，??所以，u(x,t)??n?1(2n?1)?x?(2n?1)?a? exp?(?t)sin?(2n?1)?2l2l??4u0 7 ?ut(x,t)?a2uxx(x,t)?0(0?x?l,?7．求解混合問題?u(0,t)?0,ux(l,t)??u(l,t)?0?u(x,0)??(x)?t?0)

解：用分離變量法：設(shè)混合問題中的微分方程有如下滿足邊界條件的分離變量形式的非零解函數(shù)：u(x,t)?X(x)T(t)，則

ux(x,t)?X?(x)T(t),uxx(x,t)?X??(x)T(t),ut(x,t)?X(x)T?(t)，代入方程后化簡，并由邊界條件可得：

T?(t)??a2T(t)?0,X??(x)??X(x)?0，u(0,t)?X(0)T(t)?0?X(0)?0，ux(l,t)??u(l,t)?(X?(l)??X(l))T(t)?0?X?(l)??X(l)?0，所以，X(x)為如下常微分方程邊值問題的解函數(shù)：

?X??(x)??X(x)?0(0?x?l)

?

?X(0)?0,X(l)??X(l)?0?由u(x,t)是非零解可得：??0?X(x)?c1cos

X(0)?0?c1?0?X(x)?sin?x?x?c2sin?x

(letc2?1)，X?(l)??X(l)?設(shè)

tan?l?????cos?l??sin?l?0?tan?l??(n?1,2,?)，則???n??n

2??

????n?0所以，X(x)?Xn(x)?sin?nx，22((a?n)t)

T?(t)?(a?n)T(t)?0?T(t)?Tn(t)?Anexp?(n?1,2,?)，??設(shè)原混合問題的解函數(shù)為

u(x,t)??An?1nexp(?(a?n)t)sin?nx，2利用?Xn(x)?的正交性可求得 An???(x)sin?0lnxdx(n?1,2,?)。

?[注]：可以證明：?Xn(x)?具有正交性。

l0sin?nxdx2 8 ?ut(x,t)?a2uxx(x,t)?0?8．求解混合問題?u(0,t)??,u(l,t)???u(x,0)?u0?(0?x?l,t?0)，其中，?,?,u0為常數(shù)。

解：作函數(shù)變換 v(x,t)?u(x,t)?(??則

ut(x,t)?vt(x,t),???lx)?u(x,t)?v(x,t)?(?????l x)，uxx(x,t)?vxx(x,t)，u(0,t)??,u(l,t)???v(0,t)?0,v(l,t)?0，u(x,0)?u0?v(x,0)?u0?(?????lx)

所以，u(x,t)是原混合問題的解的充要條件是v(x,t)是如下混合問題的解： ?2?vt(x,t)?avxx(x,t)?0(0?x?l,?（*）

?v(0,t)?0,v(l,t)?0????v(x,0)?u?(??x)0?l?t?0)

用分離變量法求解（*），由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)步驟可得：

X(x)?Xn(x)?sin??n?xl,?n?a?T(t)?Tn(t)?Anexp?(??t)，?l???2

v(x,t)??Tn?1n(t)Xn(x)??n?1n?x?n?a?，Anexp?(??t)sinl?l???2代入初始條件可得：u0?(?????l2lx)?v(x,0)?l?n?1Ansinn?xln?xl

由?Xn(x)?的正交性可得：An?

An????0(u0?(??n???lx))sindx，2n?((u0??)?(?1)(??u0))(n?1,2,?)，2所以，v(x,t)??n?1n?x?n?a?n((u0??)?(?1)(??u0))exp(???t)sinn?l?l?2

u(x,t)?v(x,t)?(?????lx)。

?uxx(x,y)?uyy(x,y)?0(0?x?a,?9．求解 ?u(x,0)?x(x?a),limu(x,y)?0y?????u(0,y)?0,u(a,y)?0y?0)。

解：用分離變量法：設(shè)給定的定解問題中的微分方程有如下滿足齊次邊界條件的分離變量形式非零解：

u(x,y)?X(x)Y(y)，則

uxx(x,y)?X??(x)Y(y),uyy(x,y)?X(x)Y??(y)，uxx(x,y)?uyy(x,y)?X??(x)Y(y)?X(x)Y??(y)?0，X??(x)X(x)Y??(y)Y(y)????X??(x)??X(x)?0,Y??(y)??Y(y)?0，??

u(0,y)?X(0)Y(y)?0?X(0)?0，u(a,y)?X(a)Y(y)?0?X(a)?0，所以，X(x)為如下常微分方程邊值問題的解函數(shù)：

2??X??(x)??X(x)?0?n??????n??

??,X(0)?0,X(a)?0??a??X(x)?Xn(x)?sinn?yan?xa，從而有：Y(y)?Yn(y)?Anexp(又由另一個邊界條件可得：

n?ya)?Bnexp(?)(n?1,2,?)

（limun(x,y)?limXn(x)Yn(y)?0?An?0?Yn(y)?Bnexp?y???y???n?ya)，????設(shè)原定解問題的解函數(shù)是u(x,y)??n?1un(x,y)??n?1Bnexp(?n?ya)sinn?xa，??則

u(x,0)?x(x?a)?x(x?a)??n?1Bnsinn?xa?

Bn??a2a0x(x?a)sinn?xandx?22aan?n?ya333((?1)?1)n(n?1,2,?)，所以，u(x,y)?10．求解邊值問題：

4a2???3?n?1(?1)?1n3exp(?)sinn?xa。

??uxx(x,y)?uyy(x,y)?0(0?x?a,?

?u(0,y)?0,u(a,y)?0?x?xu(x,0)?0,u(x,b)?sin?aa?0?y?b)。

解： 用分離變量法：設(shè)給定的定解問題中的微分方程有如下分離變量形式的滿足齊次邊界條件的非零解：

u(x,y)?X(x)Y(y)，則有：

uxx(x,y)?X??(x)Y(y), X??(x)X(x)Y??(y)Y(y)uyy(x,y)?X(x)Y??(y)，??0?X??(x)??X(x)?0,Y??(y)??Y(y)?0，u(0,y)?X(0)Y(y)?0?X(0)?0，同理 X(a)?0，所以，X(x)是如下二階常微分方程邊值問題的解函數(shù)：

2??X??(x)??X(x)?0?n??????n??

??,X(0)?0,X(a)?0??a??Xn(x)?sinn?yan?xa，Y??(y)??nY(y)?0?Y(y)?Yn(y)?Ancosh??n?y，?Bnsinha設(shè)原定解問題的解為：u(x,y)??n?1(Ancoshn?ya?Bnsinhn?ya)sinn?xa，??則

0?u(x,0)??n?1Ansinn?xa?An?0(n?1,2,?)，xasin?xa2a???u(x,b)?n?ba?n?1aBnsinhn?basinsinn?xadx，所以，Bn?(sinh)?1?xa0sin?xan?xan?b??2

???sinh?a???1?1?(?1)n1?(?1)n??(n?1)2?(n?1)2?????(n?2,3,?)

axb??x?x?b??

B1?(sinh)?1?sinsindx??2sinh?0aaaaaa??2?1。

??所以，原定解問題的解函數(shù)為u(x,y)??n?1Bnsinhn?yasinn?xa，其中的Bn由以上式子給出。11．求解邊值問題

?uxx(x,y)?uyy(x,y)?k(0?x?a,?

?u(0,y)?0,u(a,y)?0?u(x,0)?0,u(x,b)?0?0?y?b)，提示：令u(x,y)?v(x,y)?w(x),而w(x)滿足條件w??(x)?k,w(0)?w(a)?0。解：令w(x,y)?k2x(x?a),v(x,y)?u(x,y)?w(x,y)，則

vxx(x,y)?uxx(x,y)?wxx(x,y)?uxx(x,y)?k，vyy(x,y)?uyy(x,y)?wyy(x,y)?uyy(x,y)

所以，uxx(x,y)?uyy(x,y)?k?vxx(x,y)?vyy(x,y)?0，u(0,y)?0,u(a,y)?0?v(0,y)?0,v(a,y)?0，u(x,0)?0,u(x,b)?0?v(x,0)?k2x(x?a),v(x,b)?k2x(x?a)

所以，u(x,y)是原定解問題的解的充要條件是v(x,y)是如下定解問題的解： ??vxx(x,y)?vyy(x,y)?0?（*）?v(0,y)?0,v(a,y)?0，?kkv(x,0)?x(x?a),v(x,b)?x(x?a)?22?用分離變量法求解（*），由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)步驟可得：

v(x,y)?X(x)Y(y)?X??(x)??X(x)?0,?n??

?n???,?a?2Y??(y)??Y(y)?0，Xn(x)?sinn?xa,n?yn?yYn(y)?Anexp()?Bnexp?()

aa(n?1,2,?)，v(x,y)?vn(x,y)?Xn(x)Yn(y)??設(shè)（*）的解函數(shù)為v(x,y)??n?1(Anexp(n?yak2)?Bnexp(?n?ya))sinn?xa

??則

v(x,0)??n?1??(An?Bn)sinn?xa?1?x(x?a)，v(x,b)??n?1(AnDn?BnDn)sinn?xa，（其中 Dn?exp(n?ba)）

若記

Cn??a2ak20x(x?a)sinn?xadx?2k2aa2n?333((?1)?1)，3?1??n?b??)?1?Cn??An??exp(A?B?C??annn???則有： ?，??1?1AD?BD?Cn?bn?b??nnn?nn?B?exp()?exp()?1?Cnn??a?a??? 12 其中，An,Bn,Cn,Dn由以上各式給出。而題目所給的定解問題的解函數(shù)為

u(x,y)?v(x,y)?w(x,y)?v(x,y)?12．求解邊值問題

?uxx(x,y)?uyy(x,y)?0(0?x?a,?

?u(x,0)?0,u(x,b)?0?u(0,y)?y(y?b),u(a,y)?0?0?y?b)k2x(x?a)。

解：用分離變量法求解此定解問題：設(shè)u(x,y)?X(x)Y(y)，由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)過程

n?y?n??可得

????????n???,Yn(y)?sinX(x)Y(y)b?b?X??(x)??nX(x)?0?X(x)?Xn(x)?Anexp(n?xb)?Bnexp(?n?xb)(n?1,2,?)X??(x)Y??(y)2設(shè)原定解問題的解函數(shù)為

????

u(x,y)??n?1Xn(x)Yn(y)??n?1(Anexp(n?xb??)?Bnexp(?n?xb))sinn?yb，則由關(guān)于x的邊界條件可得：y(y?b)?u(0,y)?2b?n?1(An?Bn)sinn?yb，An?Bn??b0y(y?b)sinn?ybdy

??

0?u(a,y)?n?ab?n?1(Anexp(n?abn?ab?1b)?Bnexp(?n?ab))sinn?yb，Anexp(所以

An??

Bn?2b)?Bnexp?(2n?abb)?0，y(y?b)sin)?1)?12b(exp()?1)?n?yb0dy，n?ybdy，exp(??2n?a)(exp(2n?ab?b0y(y?b)sin所以，u(x,y)?所以，……。

13.求解混合問題

?(An?1nexp(n?xb)?Bnexp(?n?xb))sinn?yb

3?x3?at?2u(x,t)?au(x,t)?sinsinxx?tt2l2l?

?u(0,t)?0,ux(l,t)?0?u(x,0)?0,u(x,0)?0t??(0?x?l,t?0)。

解：用分離變量法求解此混合問題：設(shè)原給定的混合問題中的微分方程對應(yīng)的齊次方程有如下分離變量形式的滿足邊界條件的非零解：

u(x,t)?X(x)T(t)?ux(x,t)?X?(x)T(t),uxx(x,t)?X??(x)T(t)，ut(x,t)?X(x)T?(t),utt(x,t)?X(x)T??(t)，utt(x,t)?a2uxx(x,t)?0?

X??(x)??X(x)?0, 由邊界條件可得：u(0,t)?X(0)T(t)?0?X(0)?0，ux(l,t)?X?(l)T(t)?0?X?(l)?0，所以，X(x)是如下邊值問題的非零解函數(shù)：

?X??(x)??X(x)?0

?

?X(0)?0,X(l)?0?X??(x)X(x)?T??(t)aT(t)2???

?(2n?1)??求解此問題，可當(dāng)???n???時，問題有非零解，其解函數(shù)集構(gòu)成一個

2l??2一維線性空間，它的一個基向量函數(shù)為X(x)?Xn(x)?sin令

fn(t)?2l(2n?1)?x2l2lsin，dx，?l0f(x,t)Xn(x)dx?,fn(t)?0,?l0sin3?x2lsin3?at(2n?1)?x2l則

f2(t)?sin3?at2l(n?1,3,4,5,?)

令{Tn(t)}為如下初值問題的解函數(shù)： ?T??(t)??na2T(t)?fn(t)

??T(0)?0,T?(0)?0(t?0)，（1）

則Tn(t)?0(n?1,3,4,5,?)，對于n=2,可用常數(shù)變易法來求：

T??(t)??2aT(t)?0?T(t)?Acos設(shè)（1）的解函數(shù)為 T(t)?A(t)cos則 T?(t)?A?(t)cos令

A?(t)cos3?at2l?B?(t)sin3?at2l3?at2l3?at?B(t)sin?3?a2l2l3?at2l?Bsin3?at2l，3?at2l?B(t)cos3?at2l)

(?A(t)sin3?at2l?B?(t)sin3?at2l?0，14 則

T?(t)?3?a2l3?a2l(?A(t)sin3?at2l3?at?B(t)cos)，2lT??(t)?(?A?(t)sin3?at2l?B?(t)cos3?a2l3?at3?at3?at?3?a?)???B(t)sin)?(A(t)cos2l2l2l?2l?3?at2l3?at ?B?(t)cos)?f2(t)，2l2

T??(t)??2a2T(t)?f2(t)?(?A?(t)sin3?at3?at??(t)cos?(t)sinA?B?0?2l2l也就是：

?，3?a3?at3?at3?at?(?A?(t)sin?B?(t)cos)?sin2l2l2l?2l求解此線性方程組得：A?(t)??22l3?asin23?at2l,B?(t)?2l3?asin23?at2lcos3?at2l，3?atl?l?

A(t)??sin?t?c1,?l3?a?3?a?3?at?l? B(t)???cos?c2，?l?3?a?所以，（1）的解為：

3?atl3?at3?at3?at?l?

T(t)?T2(t)?? ?tcos?c1cos?c2sin?sin3?a2l3?a2l2l2l??2由初始條件T(0)?0,T?(0)?0可得：c1?0,2l22?l?c2???，?3?a?3?at2l2所以，T2(t)??3?a?sin3?at2l?l3?atcos，所以，題目所給的定解問題的解函數(shù)為：

??

u(x,t)?14．求解混合問題

?n?1?2l23?atl3?atXn(x)Tn(t)??sin?tcos?(3?a)22l3?a2l??3?x?sin。?2l?2?x?2u(x,t)?au(x,t)?sin(0?x?l,xx?ttl?

?u(0,t)?0,u(l,t)?0?3?x2?xu(x,0)?2sin,u(x,0)?sint?ll?t?0)。

解：作函數(shù)變換v(x,t)?u(x,t)?w(x)，其中w(x)為待定函數(shù)，則

vtt(x,t)?utt(x,t),vt(x,t)?ut(x,t),vxx(x,t)?uxx(x,t)?w??(x)，22

vtt(x,t)?avxx(x,t)?utt(x,t)?a(uxx(x,t)?w??(x))

?utt(x,t)?auxx(x,t)?aw??(x)，15 設(shè)u(x,t)是原定解問題的解函數(shù)，2?xl取aw??(x)?sin222?x?l?，則有： ?0，即w(x)???sinl?2?a?222vtt(x,t)?avxx(x,t)?utt(x,t)?auxx(x,t)?aw??(x)?sin2?xl ?aw??(x)?0，2而

v(0,t)?u(0,t)?w(0)?0?0?0,3?xlv(l,t)?u(l,t)?w(l)?0

v(x,0)?u(x,0)?w(x)?2sin2?xl2?x?l?，???sin2?al??2

vt(x,0)?ut(x,0)?sin，所以，v(x,t)為如下定解問題的解函數(shù)： ??v(x,t)?a2v(x,t)?0ttxx??（*）

?v(0,t)?0,v(l,t)?0?3?x?l???v(x,0)?2sin?l?2?a?(0?x?l,2?x?sin,?l?2t?0)，vt(x,0)?sin2?xl用分離變量法求解此定解問題：由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)過程可得： ?n??

???n???,l??2X(x)?Xn(x)?sinn?atl?Bnsinn?atln?xl,，T(t)?Tn(t)?Ancos設(shè)（*）的解函數(shù)為

??(n?1,2,?)

??

v(x,t)??n?1un(x,t)??n?1(Ancosn?atl?Bnsinn?atl??)sinn?xl，由初始條件可得：2sin3?xl2?x?l????v(x,0)??sin2?al??22?n?1Ansinn?xl

?l?可得： A1?0,A2????,A3?2,?2?a???An?0(n?4,5,?)

n?atlln?a

vt(x,t)??n?1n?al??(?Ansinn?atln?xl?Bncos)sinn?xl，sin2?xl?vt(x,0)??n?1n?alBnsin?B2?,Bn?0(n?1,3,4,5,?)

2?atl2?at2?x3?at3?x?l?所以，v(x,t)?(??，cos?sin)sin?2cossin?l2?allll?2?a?2所以，題目所給的定解問題的解函數(shù)為u(x,t)?v(x,t)?w(x)。15． 求解混合問題

2??x2sin?x(0?x?l,?utt(x,t)?auxx(x,t)??l?

?u(0,t)??t,u(l,t)?sin?t?u(x,0)?0,u(x,0)??(?為常數(shù))t??t?0)。

[注]：此定解問題中的微分方程非齊次項中的sin?x應(yīng)為sin?t，才能得到書中答案。

解：先將邊界條件齊次化：令v(x,t)?u(x,t)?((sin?t??t)??t)，lx則

vtt(x,t)?utt(x,t)?xl?sin?t,2vxx(x,t)?uxx(x,t)，若u(x,t)是原定解問題的解函數(shù)，則

vtt(x,t)?avxx(x,t)?utt(x,t)?2xl2?sin?t?auxx(x,t)

xl22

?utt(x,t)?auxx(x,t)?0l?sin?t?0，2?t??t)??t)??t??t?0，v(0,t)?u(0,t)?((sin?t??t)??t)??t??t?0，v(l,t)?u(l,t)?((sinll

v(x,0)?u(x,0)?0?0,vt(x,0)?ut(x,0)?(xl(?cos?*0??)??)?0，所以，v(x,t)是如下定解問題的解函數(shù)：

?vtt(x,t)?a2vxx(x,t)?0?

?v(0,t)?0,v(l,t)?0?v(x,0)?0,v(x,0)?0t?(0?x?l,t?0)?v(x,t)?0，所以，原定解問題的解函數(shù)為 u(x,t)?xl(sin?t??t)??t

?utt(x,t)?a2uxx(x,t)?3?x2?te?x?16． 求解 ?ux(0,t)?t,ux(l,t)?u(l,t)?t?u(x,0)?0,u(x,0)?1?e?xt?(0?x?l,t?0)。

解：作如下函數(shù)變換：v(x,t)?u(x,t)?t(1?e?x)?u(x,t)?t?te?x，若u(x,t)是原定解問題的解函數(shù)，則經(jīng)驗(yàn)證可得：v(x,t)是如下定解問題的解函數(shù)： ?vtt(x,t)?a2vxx(x,t)?3?x2?(1?a2)te?x?

?vx(0,t)?0,vx(1,t)?v(1,t)?0?v(x,0)?0,v(x,0)?0t?(0?x?1,t?0)

用分離變量法求解此定解問題：設(shè)v(x,t)?X(x)T(t)，T??(t)aT(t)2由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)過程可得：

?X??(x)X(x)????X??(x)??X(x)?0，vx(0,t)?0,vx(1,t)?v(1,t)?0?X?(0)?0,X?(1)?X(1)?0 由X(x)所滿足的方程可得：X(x)?c1cos?x?c2sin?x，由邊界條件可得：c2?0,??0，取c1?1，則得X(x)?cos

X?(1)?X(1)?0???sin??cos??0?2所以，???n??n,X(x)?Xn(x)?cos?nx?x，??ctg?，(n?1,2,?)，其中，?n是方程??ctg?的所有正解。因?yàn)?/p>

?10cos?nxdx?22?100.5(1?cos2?nx)dx?0.5(1?sin?n)，2令

fn(t)?1?sin?n21?sin22??10f(x,t)cos?nxdx

?1?n0((3?x)?(1?a)te22?x)cos?nxdx

?4sin?n?(1?sin?n)??3n2?2(1?a)sin?n1?sin?n222t?bn?cnt

則

f(x,t)??n?1fn(t)cos?nx，??設(shè)原定解問題的解函數(shù)為v(x,t)??Tn?12n(t)cos?nx，??則

vtt?avxx?2?(Tn?1?n??(t)?a?T(t))cos?nx?2n?n?1fn(t)cos?nx，?22從而有：

Tn(t)?a?nTn(t)?fn(t)(n?1,2,?)，?由初始條件可得：v(x,0)?vt(x,0)?0?Tn(0)?Tn(t)?0，所以，Tn(t)為如下初值問題的解函數(shù)： ?22??Tn(t)?a?nTn(t)?fn(t)

????Tn(0)?0,Tn(0)?0(t?0)

?22用常數(shù)變易法：Tn(t)?a?nTn(t)?0?Tn(t)?Ancosa?nt?Bnsina?nt，設(shè)此邊值問題的解為： Tn(t)?An(t)cosa?nt?Bn(t)sina?nt，?A?(t)cosa?t?B?(t)sina?t?0nnnn?經(jīng)簡單推導(dǎo)得： ?，1???A(t)sina?t?B(t)cosa?t?f(t)nnnnn?a?n?1??A(t)??fn(t)sina?ntn?a?n?解此線性方程級：?

1??Bn(t)?fn(t)cosa?nt?a?n?積分并利用初始條件可得：

cn1?A(t)?((b?ct)cosa?t?b)?sina?ntnnnn23?n?a?n??a?n??

?，cn1?Bn(t)?(bn?cnt)sina?nt?(cosa?nt?1)23??a?n??a?n??

Tn(t)?An(t)cosa?nt?Bn(t)sina?nt

?1?a?n?bn2?bn?cnt??1?a?n?2(bncosa?nt?cna?nsina?nt)

??a?n?2???1?cosa?nt??cn?a?n?2??1?t??sina?tn? ?a?n??所以，u(x,t)??Tn?1n(t)cos?nx，其中的Tn(t)、bn、cn和?n均由以上各式給定。[注]課本上的答案為此處的a=1。

?ut(x,t)?a2uxx(x,t)?0(0?x?l,?17． 求解 ?ux(0,t)??,ux(l,t)???u(x,0)?A(A,?為常數(shù))?t?0)。

解：設(shè)u(x,t)是原定解問題的解函數(shù)，作函數(shù)變換v(x,t)?u(x,t)??x，19 則

vt(x,t)?ut(x,t),vx(x,t)?ux(x,t)??,vxx(x,t)?uxx(x,t)

vx(0,t)?ux(0,t)?0,vx(l,t)?ux(l,t)?0,v(x,0)?u(x,0)??x?A??x，所以，v(x,t)是如下定解問題的解函數(shù)：

?vt(x,t)?a2vxx(x,t)?0(0?x?l,t?0)?

?vx(0,t)?0,vx(l,t)?0

?v(x,0)?A??x?用分離變量法求解此定解問題：設(shè)v(x,t)?X(x)T(t)為微分方程的滿足齊次邊界條件的非零解函數(shù)，則將v(x,t)代入方程后化簡可得：

T?(t)aT(t)?X??(x)X(x)????T?(t)?a?T(t)?0,2X??(x)??X(x)?0，vx(0,t)?0,vx(l,t)?0?X?(0)?0,X?(l)?0，所以，X(x)為如下邊值問題的非零解函數(shù)：

2???n?????n???X??(x)??X(x)?0(0?x?l)????l????????X(0)?0,X(l)?l?X(x)?X(x)?cosn?xn??l??(n?0,1,2,?)

將???n代入T(t)的方程可得：

?n?a?

T?(t)?a2?nT(t)?0?T(t)?Tn(t)?Bnexp?(??t)l??n?x?n?a?所以，vn(x,t)?Tn(t)Xn(x)?Bnexp(??。?t)cosll????22(n?0,1,2,?)，設(shè)

v(x,t)??n?0n?x?n?a?，Bnexp?(??t)cosl?l???2則由初始條件可得：A??x?v(x,0)?1l2l?n?0Bncosn?xl

可得：

B0?

Bn??)0l(A??x)dx?A?12?l，(n?1,2,?)，n?x2?ln(A??x)cosdx?(1?(?1))22?0lln? 20 所以，v(x,t)?A?

12???l??n?12?ln?22n?x?n?a?。(1?(?1))exp(??t)cos?l?l?n2?ut(x,t)?a2uxx(x,t)?f(x)(0?x?l,?18． 求解 ?u(0,t)?A,u(l,t)?B(A,B為常數(shù))?u(x,0)?g(x)?t?0)。

解：設(shè)F(x)??(?0xx0f(x)dx)dx，w(x)?1a2F(x)?(A?B)a?F(l)al22x?A，1a2

v(x,t)?u(x,t)?w(x)?vt(x,t)?ut(x,t),vxx(x,t)?uxx(x,t)?

vt(x,t)?a2vxx(x,t)?ut(x,t)?a2uxx(x,t)?f(x)?0，1a1a22f(x)，v(0,t)?u(0,t)?w(0)?A?F(0)?(A?B)a?F(l)al2220?A?0，v(l,t)?u(l,t)?w(l)?B?F(l)?(A?B)a?F(l)al2l?A?0，v(x,0)?u(x,0)?w(x)?g(x)?w(x)，所以，v(x,t)是如下定解問題的解函數(shù)：

?vt(x,t)?a2vxx(x,t)?0?

?v(0,t)?0,v(l,t)?0?v(x,0)?g(x)?w(x)?(0?x?l,t?0)，用分離變量法可求得：

??

v(x,t)?其中，An??n?1n?x?n?a?，Anexp?(??t)sinll??(g(x)?w(x))sin??22l?ln?xl20dx(n?1,2,?)。

所以，u(x,t)??n?1n?x?n?a?Anexp(???w(x)。?t)sinl?l?21．在扇形區(qū)域內(nèi)求解邊值問題

??u?0(r?a,0????)?

?u(r,0)?0,u(r,?)?0。

?u(a,?)?f(?)?解：由極坐標(biāo)下的Laplace算子表達(dá)式可知：

1???u?1?u2

?u??0?rurr?rur?u???0。?r??22r?r??r?r??2用分離變量法求解此定解問題：設(shè)u(r,?)?R(r)?(?)，代入以上微分方程化簡后可rR??(r)?rR?(r)R(r)2得

?????(?)?(?)2：

??????(?)???(?)?0,rR??(r)?rR?(r)??R(r)?0

u(r,0)?R(r)?(0)?0??(0)?0, u(r,?)?R(r)?(?)?0??(?)?0，所以，?(?)是如下邊值問題的非零解函數(shù)：

2???n?????n??????(?)???(?)?0???????

?????(0)?0,?(?)?0????(?)?sinn?xn?????(n?1,2,?)，2n?/??n?/??Bnr

rR??(r)?rR?(r)??nR(r)?0?R(r)?Rn(r)?Anr，n?/?又顯然有：R(0)????Bn?0，也就是：Rn(r)?Anr，所以，un(r,?)?Rn(r)?n(?)?Anr??n?/?sinn???sin，n??設(shè)原定解問題的解函數(shù)是 u(r,?)??n?1Anrn?/??n?/?，??由關(guān)于r的邊界條件可得：f(?)?u(a,?)?其

?n?1Anasinn???，中

An?a?n?/?2???0f(?)sinn???2d?(n?1,2,?)，n?/?n??????r?所以，u(r,?)????f(?)sind?????n?1?0???a???sinn???。

??u?0(1?r?2,0????)?22 求解邊值問題

?u(1,?)?sin?,u(2,?)?0。

?u(r,0)?0,u(r,?)?0?解：由極坐標(biāo)下的Laplace算子表達(dá)式可知：

1???u?1?u2?0?rurr?rur?u???0

?u??r??22r?r??r?r??

2用分離變量法求解：設(shè)u(r,?)?R(r)?(?)代入方程中并化簡得：

rR??(r)?rR?(r)R(r)2

?r2R??(r)?rR?(r)??R(r)?0，???????(?)????(?)???(?)?0???(?)

u(r,0)?0,u(r,?)?0??(0)?0,?(?)?0，?????(?)???(?)?0

???(0)?0,?(?)?0?2??n??2????n???n????????(?)??(?)?sinn?n?(n?1,2,?)，將???n?n2代入R(r)所滿足的方程可得：

r2R??(r)?rR?(r)?n2R(r)?0?R(r)?Rn(r)?Anrn?Bnr?n，????n設(shè)原定解問題的解函數(shù)為 u(r,?)??Rn?1(r)?n(?)??(An?1nr?Bnrn?n)sinn?，???n?n0?u(2,?)??(An2?Bn2)sinn???n?1由r的邊界條件可得：

?，???sin??u(1,?)??(An?Bn)sinn??n?1?容易得到：

An?Bn?0(n?2,3,?)，?1??1A????1?2A?2B1?0

3，?1??4B1?1?A1??B1??3??所以，u(r,?)?????13r?43r?1??sin?。?2?(r?a)?uxx?uyy?y23． 求解邊值問題 ? 222??ur?a?xy,r?x?y解：作函數(shù)變換 v(x,y)?u(x,y)?112y，24則有：

vxx(x,y)?uxx(x,y),vyy(x,y)?uyy(x,y)?y 此時，有：

vxx?vyy?uxx?uyy?y?y?y?0，所以，v(x,y)是如下邊值問題的解函數(shù)：

222 23 ?vxx?vyy?0(r?a)?

? 14222v?xy?y,r?x?y?12?r?a將此定解問題由直角坐標(biāo)改為極坐標(biāo)：

?r2vrr?rvr?v???0(r?a)?

?1424v(a,?)?acos?sin??asin??12?(x?rcos?,y?rsin?)，用分離變量法求解此定解問題：設(shè)v(r,?)?R(r)F(?)，由分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)步驟rR??(r)?rR?(r)R(r)2容易得到：

?F??(?)??F(?)?0??????2，???rR(r)?rR(r)??R(r)?0F(?)?F??(?)由v(r,?)的實(shí)際意義可知：F(?)是以2?為周期的周期函數(shù)，R(0)??? 所以

???n?n2,F(?)?Fn(?)?Ancosn??Bnsinn?(n?0,1,2?)

22n?nn

rR??(r)?rR?(r)?nR(r)?0?R(r)?c1r?c2r,letRn(r)?r，????n設(shè)

v(r,?)??Rn?0(r)Fn(?)??(An?0??nncosn??Bnsinn?)r

由關(guān)于r的邊界條件可得：v(a,?)?112?(An?04ncosn??Bnsinn?)a，n而

v(a,?)?acos?sin??

??所以，A0??13213242asin?

12412acos2??19644a?412asin2??1a,B2?22196acos4?，4a,A2?24,A4??，其余的An、Bn的值均為零。所以，v(r,?)?? u(r,?)??1324132a?r(242124acos2??12212sin2?)?1964196rcos4?，112rsin?。

444a?r(124acos2??2sin2?)?rcos4?????u?0(r?a,0???)?2?24.求解邊值問題 ?ur(a,?)?f(?)。

??u(r,0)?0,u(r,)?0?2?解：因?yàn)槠渥宰兞康娜≈祬^(qū)域是扇形區(qū)域，所以可在極坐標(biāo)系下用分離變量法求解此定 24 解問題，因?yàn)椋?u?1?r?rr?u?r?1?ur22??2?0，設(shè) u(r,?)?R(r)?(?)，求出其各階偏導(dǎo)數(shù)并代入方程后化簡可得：

rR??(r)?rR?(r)R(r)2

?r2R??(r)?rR?(r)??R(r)?0 ?????????(?)??(?)???(?)?0???(?)?(由u(r,?)關(guān)于?的邊界條件可得

?(0)?0,?2)?0

????(?)???(?)?0????n?4n2?所以

?????(0)?0,?()?0??n(?)?sin2n??2?(n?1,2?)

r2R?(r)?rR?(r)?4n2R(r)?0?R?Rn(r)?Anr2n?Bnr?2n

u(0,?)????Rn(0)????Rn(r)?Anr??2n

設(shè)原定解問題的解函數(shù)為

u(r,?)??An?1nr2nsin2n?，??則

ur(r,?)??2nAn?1nr2n?1sin2n?，??由邊界條件得

f(?)?ur(a,?)?從而有：

An?2n?a2n?1?2nAn?1na2n?1sin2n?

??/20f(?)sin2n?d?

（1）

??所以，原定解問題的解函數(shù)為u(r,?)?其中的系數(shù)由（1）式給出。

?An?1nr2nsin2n?，???u?xy(r?a,0???)?2?25．求解邊值問題

?ur(a,?)?f(?)

??222u(r,0)?0,u(r,)?0,r?x?y?2?解：設(shè)w(x,y)?112xy(x?y)，作函數(shù)變換v(x,y)?u(x,y)?w(x,y)，22則

?v?vxx?vyy?uxx?uyy?(wxx?wyy)?0 在極坐標(biāo)下：

v(r,?)?u(r,?)?w(r,?)?u(r,?)?124rsin2?，25

vr(r,?)?ur(r,?)?

vr(a,?)?ur(a,?)?經(jīng)驗(yàn)算得知：

v(r,0)?0,v(r,1616rsin2?，asin2?，33?2)?0，所以，v(r,?)為如下邊值問題的解函數(shù)：

2?1??v1?v(r)?2?0??v?2r?r?rr???13?v(a,?)?f(?)?asin2??r6??v(r,0)?0,v(r,?)?0?2?(r?a,0????2)

用分離變量法求解，設(shè)v(r,?)?R(r)?(?)代入方程并化簡得：

rR??(r)?rR?(r)R(r)2

?r2R??(r)?rR?(r)??R(r)?0??????，?(?)????(?)???(?)?0???(?)由關(guān)于?的邊界條件可得：?(0)?0,?(?2)?0，(n?1,2,?)，2由此可得： ???n?4n,???n(?)?sin2n?222n?2n

rR??(r)?rR?(r)?4nR(r)?0?R?Rn(r)?Anr?Bnr，v(0,?)????R(0)????Rn(r)?Anr????n2n。

設(shè)

v(r,?)??Rn?13(r)?n(?)??An?1nr2nsin2n?，則

f(?)?16??asin2??vr(a,?)?2?2nAn?1na2n?1sin2n?，??由可求得： v(r,?)??An?1nr2nsin2n??a12rsin2?，2其中，An?2n?a2n?1??/20f(?)sin2n?d?，124rsin2?。

u(r,?)?v(r,?)?

第三篇：積分變換與數(shù)理方程報告

積分變換與數(shù)理方程

班級：電信09103班 學(xué)號：200911020309 姓名：何雙來

《積分變換與數(shù)理方程》學(xué)習(xí)總結(jié)報告

這個學(xué)期我們開了《積分變換與數(shù)理方程》這門課。這個課是為大三學(xué)習(xí)《信號與線性系統(tǒng)分析》做準(zhǔn)備而開的。

現(xiàn)在，信號與系統(tǒng)的概念已經(jīng)深入到人們的生活和社會的各個方面。手機(jī)、電視機(jī)、通信網(wǎng)、計算機(jī)網(wǎng)等已經(jīng)成為人們常用的工具和設(shè)備，這些工具和設(shè)備都可以看成系統(tǒng)，而各種設(shè)備傳送的語音、音樂、圖像、文字等都可以看成信號。所以《信號與線性系統(tǒng)分析》這門課非常重要，已經(jīng)成為電子信息類專業(yè)的基礎(chǔ)必修課。然而，這門課程并不是那么好學(xué)，它里面涉及到很多高等數(shù)學(xué)的知識。要學(xué)習(xí)這門課程必須有較好的高等數(shù)學(xué)知識，并且能夠運(yùn)用這些數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題。除此之外，還要求學(xué)生有較強(qiáng)的閱讀理解能力，因?yàn)楸菊n程的教材里面有很多抽象的概念、定義和公式?？偟膩碚f，是運(yùn)算量大，內(nèi)容多閱讀量大，理解能力要求高。要在一個學(xué)期內(nèi)學(xué)好這門課程并不是一件容易的事情。因此，為了減輕大三的時候?qū)W習(xí)這門課程的負(fù)擔(dān)，我們開設(shè)了《積分變換與數(shù)理方程》這門課，主要講授的是《信號與線性系統(tǒng)分析》中三數(shù)學(xué)變換和其它一些與數(shù)學(xué)運(yùn)算有關(guān)的知識，目的是在上《信號與線性系統(tǒng)分析》課之前，讓學(xué)生提前接觸這門課程，以減少大三學(xué)習(xí)這門課程時難度。

經(jīng)過這個學(xué)期對《積分變換與數(shù)理方程》這門課程的學(xué)習(xí)，我學(xué)到了很多東西，下面就對我所學(xué)到的東西做一個匯總。

一、首先，是信號的概念。信號是信息的一種表示方式，通過信號傳遞信息。信號有一維信號，也有n維信號，而本課程只討論一維信號。信號根據(jù)不同的分類方式可以分為連續(xù)信號和離散信號，也可分為周期信號與非周期信號，又可分為實(shí)信號和復(fù)信號，還可分為能量信號和功率信號。此外，信號還可以進(jìn)行某些基本運(yùn)算，包括加法和乘法運(yùn)算、反轉(zhuǎn)和平移和尺度變換。

二、在這門課程中我還學(xué)習(xí)到了一些和信號分析與處理有關(guān)的基本的常見的函數(shù)。

（1）階躍函數(shù)以及其圖像（2）沖擊函數(shù)及其圖像

?0,t?0def?1?(t)?lim?n(t)??2,t?0 ?(t)?limpn(t)

n??n???1,t?0?def?(t)t o o ?(t)t 階躍函數(shù)與沖擊函數(shù)的關(guān)系如下：

?(t)?d?(t)dtt

?(x)dx ?(t)????

三、此外，我還學(xué)到了一些對函數(shù)的運(yùn)算和函數(shù)的三大變換。

1、卷積積分。卷積方法在信號與系統(tǒng)理論中占有重要地位。卷積積分的定義如下：

一般而言，如有兩個函數(shù)f1(t)和f2(t)，積分

f(t)=

????f1(?)f2(t??)d?

（2.3 —

7）

稱為f1(t)與f2(t)的卷積積分，簡稱卷積。式（2.3 — 7）常記作

f(t)=f1(t)*f2(t)=????f1(?)f2(t??)d?

下面是一些常用函數(shù)的卷積積分：

（1）函數(shù)與沖擊函數(shù)的卷積：

f(t)??(t)??(t)?f(t)??????(?)f(t??)d??f(t)

f(t)??(t?t1)??(t?t1)?f(t)?f(t?t1)

f(t?t1)??(t?t2)??(t?t1)?f(t?t2)?f(t?t1?t2)

?(t?t1)??(t?t2)??(t?t2)??(t?t1)??(t?t1?t2)（2）常用卷積積分：

①f(t)??'(t)?f'(t)②f(t)??(t)?f(t)

③f(t)??(t)?

2、傅立葉變換（1）、正交函數(shù)集

如有定義在(t1,t2)區(qū)間兩個函數(shù)?1(t)和?2(t)，若滿足

??1(t)?2(t)dt?0

t1t2?t??f(?)d? ④?(t)??(t)?t?(t)

則稱?1(t)和?2(t)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)正交。

若有n個函數(shù)?1(t)，?2(t)，…，?n(t)構(gòu)成一個函數(shù)集，當(dāng)這些函 在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)滿足

?t2t1?i(t)?j(t)dt???0,i?j?ki?0,i?j 式中ki為常數(shù)，則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1,t2)的正交函數(shù)集。

（2）、周期信號的頻譜。如前所述，周期信號可以分解成一系列正弦信號或指數(shù)信號之和，即

f(t)?A02??n?12?An?1cos(n?t??n)j?n 或 f(t)??Fenn???jn?t

其中Fn?Anej?n?|Fn|e。

（3）、非周期信號的頻譜。為了描述非周期信號的頻譜特性，引入了頻譜密度的概念。令

F(j?)?limFn1T?limFnTT??T?? 稱F(j?)為頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)。

對于任意一個非周期信號的時間函數(shù)f(t)有

defF(j?)?limFnT?T??def????f(t)ed??j?tdt（4.4 — 4）

f(t)?12?????F(j?)ej?t（4.4 — 5）式（4.4 — 4）稱為函數(shù)f(t)的傅里葉變換，式（4.4 — 5）稱為函數(shù)F(j?)的傅里葉逆變換。F(j?)稱為f(t)的頻譜密度函數(shù)或頻譜函數(shù)，而f(t)稱為F(j?)的原函數(shù)。f(t)和F(j?)的關(guān)系可以簡記為f(t)?F(j?)。

（4）、奇異函數(shù)的傅里葉變換。

①沖激函數(shù)的頻譜 F ???t)]??(t)t ?????(t)e?j?tdt?1

F(j?)(1)1 ?

②沖激函數(shù)導(dǎo)數(shù)的頻譜 F [?'(t)]?j?

F [?(n)(t)]?(j?)n ③符號函數(shù)的頻譜 F [sgn(t)]?2j?1

④階躍函數(shù)的頻譜 F [?(t)]???(?)?（5）、傅立葉變換的性質(zhì)。

?1????(?)?j??? j????①線性，若 f1(t)?F1(j?)，f2(t)?F2(j?)

則對任意常數(shù)a1和a2，有a1f1(t)?a2f2(t)?a1F1(j?)?a2F2(j?)②對稱性，若 f(t)?F(j?)，則 F(jt)?2?f(??)③尺度變換，若 f(t)?F(j?)，則對實(shí)常數(shù)a(a?0)，有

f(at)????F?j?|a|?a?1

④時移特性，若 f(t)?F(j?)，且t0為常數(shù)，則有

f(t?t0)?e?j?t0F(j?)

⑤頻移特性，若，f(t)?F(j?)，且?0為常數(shù)，則有

f(t)e?j?0t?F[j(???0)]（6）一般周期函數(shù)的傅立葉變換。

??? F [fT(t)]?F ??Fnejn?t???n??????FF [enn???jn?t]?2??F?(??n?)

nn????

3、拉普拉斯變換

（1）、Fb(s)?????f(t)e1?stdt（5.1 — 4）

stFb(s)eds（5.1 — 5）f(t)?2?j????j??j? 式（5.1 — 4）和式（5.1 — 5）稱為雙邊拉普拉斯變換對或復(fù)傅立葉變換對。式中復(fù)變函數(shù)Fb(s)稱為f(t)的雙邊拉普拉斯變換（或象函數(shù)），時間函數(shù)f(t)稱為Fb(s)的雙邊拉普拉斯逆變換（或原函數(shù)）。（2）、單邊拉普拉斯變換

F(s)?L [f(t)]?defdef??0?f(t)e0,?stdt

t?0stf(t)=L ?1??[F(s)]??1??2?j????j??j?F(s)eds,t?0

其變換與逆變換的關(guān)系也簡記作f(t)?F(s)。（3）、拉普拉斯變換的性質(zhì)

①線性，若 f1(t)?F1(s),Re[s]??1

f2(t)?F2(s),Re[s]??2

且有常數(shù)a1，a2，則 a1f1(t)?a2f2(t)?a1F1(s)?a2F2(s),Re[s]?max(?1,?2)

②尺度變換，若 f(t)?F(s)，Re[s]??0 則 L [f(at)]???0?f(x)e?(sa)xdxa?1?s?F??a?a?

③時移特性，若 f(t)?F(s)，Re[s]??0 且有正實(shí)常數(shù)t0，則

f(t?t0)?(t?t0)?e?stF(s),Re[s]??0

0 ④復(fù)頻移特性，若 f(t)?F(s)，Re[s]??0 且有復(fù)常數(shù)sa??a?j?a，則

f(t)est?F(s?sa),Re[s]??0??a

a（4）、幾種常用函數(shù)的拉普拉斯變換

①L [?'(t)]?s ② L [?(t)]?1 ③L [?(t)]? ⑤L [sin(?t)]?

3、z變換

（1）如果有離散序列f(k)(k?0,?1,?2,?)，z為復(fù)變量，則函數(shù)

?1s ④L [b0e??t]?b0s??

??s??22 ⑥L [cos(?t)]?ss??22 ⑦L [sinh(?t)]?s??22

F(z)??k????f(k)z?k（6.1 — 7）

F(z)??k?0f(k)z?k（6.1 — 8）

式（6.1 — 7）稱為序列f(k)的雙邊z變換，式（6.1 — 8）稱為序列f(k)的單邊z變換。

（1）幾種常用函數(shù)的z變換

①Z [?(k)]?1 ②Z [?(k?m)]?z?m ③Z [?(k)]?④Z [?(k?m)]?zz?1?z?mzz?1zz?a

⑤Z [ak]? 以上就是我這個學(xué)期所學(xué)到的內(nèi)容。通過這個學(xué)期的學(xué)習(xí)，我對《信號與線性系統(tǒng)分析》這門課程中涉及到的數(shù)學(xué)運(yùn)算進(jìn)行了初步的學(xué)習(xí)。這將為我大三的時候進(jìn)一步學(xué)習(xí)《信號與線性系統(tǒng)分析》打下堅實(shí)的基礎(chǔ)。到時候，我一定能把《信號與線性系統(tǒng)分析》這門課學(xué)好。

第四篇：關(guān)于歐拉方程變量代換后系數(shù)遞推關(guān)系的一點(diǎn)總結(jié)

關(guān)于歐拉方程變量代換后系數(shù)遞推關(guān)系的一點(diǎn)總結(jié)

光信1104 李號

我們知道，對于歐拉方程anxyn(n)?an?1xn?1y(n?1)???a1xy?a0y?f(x)'(a2,a3,?,an不全為0可以通過變量代換x?et或t?lnx化簡。本文主要介紹如何用低階導(dǎo)數(shù)來表示高階導(dǎo)數(shù)以及線性表示時的系數(shù)遞推關(guān)系。

先用一個例子來說明我們要探討的問題。

dydydy'2'''''

已知：x?e,。，,求xy,xy,xy（此處均為對x的導(dǎo)數(shù)）23dtdtdtt23

顯然，由x?et可知t?lnx,則

?y?'dtdx?1xdydt

dydx2?dydt?dtdx?1x?dydt?xy?'y?''dydxddx1x321dy1dy1dydt1dydydydy2''?()?(?)??2?????(?)?xy??2222dxdxdxxdtdtxdtdxdtdtxxdtdtdydx322ddyd222y'''?()?ddxxdydt(4)22[12(dydtdydt22?dydt)]??2x3(dydt22dy1dy1?)?2(3???)2dtxxxdtdtdydt22dy132

?(dydt3?3?2)?xy3'''?dydt233?3?2dydt

同理可求出xy4?dydt44?6dydt33?11dydt2?6dydt

我們把系數(shù)提出，如下排列： n=1 1 n=2 1-1 n=3 1-3 2 n=4 1-6 11-6 為了方便討論，我們作出以下兩點(diǎn)規(guī)定： i)m用“Bn”表示第n排第m列的數(shù)（顯然n?m）；

ii)(?1)n?1(n?1)!?(1?n)!即（-1）n!?（-n）!

n由上文中的迭代求導(dǎo)不難得出下面三點(diǎn)規(guī)律：

1i)

Bn?1；

nn?1ii)

Bn?(1?n)Bn?1;mmm?1iii)Bn?Bn?1?(1?n)Bn?1?n?m?1? 該規(guī)律可用數(shù)學(xué)歸納法歸納得出，限于篇幅，此處省去不證。顯然，只要找出了Bnm的通式，就可以表達(dá)出xny(n)。

n(n)1nxy?Bdydtnn?B2ndn?1ydtn?1???Bnndydt。

1n為求Bnm，我們有兩條路出發(fā)。一是由“Bn?1”著手，另一個是由Bn著手。

1注意到Bnm既與Bnm?1有關(guān)，也與Bnm??有關(guān)，我們選擇從Bnn著手。后面我們會看到，帶入數(shù)1字“1”計算會因?yàn)橛懻搉的取值而使得表達(dá)式無法統(tǒng)一。

?1

由Bnn?(1?n)Bnn?可知： 1Bn?(1?n)Bn?1?(1?n)(2?n)Bn?1???(1?n)(2?n)?(?1)B1?(1?n)!nn?1n?11

?Bnn?(1?n)!

顯然我們可以把平行于主對角線的數(shù)看成一組數(shù)列。取m=n-1，則：

Bnn?1?Bn?1?(1?n)Bn?1n?2n?1n?2?Bn?1?(1?n)Bn?2?(1?n)(2?n)Bn?3???(1?n)(2?n)?(?3)B2?(1?n)(2?n)?(?3)(?2)B?(1?n)!1?n?nn?1n?3212

(1?n)!2?n?(1?n)!3?n???(1?n)!?2?(1?n)!?1

?(1?n)!(?i?211?i)

取m=n-2，則

Bnn?2?Bn?1?(1?n)Bn?1

n?3n?421n?2n?3?Bn?1?(1?n)Bn?2?(1?n)(2?n)Bn?3???(1?n)(2?n)?(?4)B3?(1?n)(2?n)?(?3)B3n?2?(1?n)!1?nn?1?1?i?i?21(1?n)!n?212?nj?1i?2?1?i???(1?n)!?33?1?i?i?21(1?n)!?22?1?i

i?21n?(1?n)![?(j?311?j?1?i)]

i?21n故由數(shù)學(xué)歸納法可求出Bmn?(1?n)!?a1?n?m?1{?[1?a1a2?n?m1?a21a1?11a2?1?(?)]}

a3?n?m?11現(xiàn)在我們再從“Bn?1”入手，看看會有什么情況。Bn?1

Bn?Bn?1?(1?n)Bn?1?Bn?1?1?n

12???(1?n)?(2?n)???(?2)B2?B2 22121??(1?2?3??n?1)?Bn?Bn?1?(1?n)Bn?1 332n(1?n)2

?(1?n)Bn?1?(2?n)Bn?2???(?3)B3?B3 2223?n(1?n)22?(n?1)(2?n)22???4(1?4)22?B3

3可以看出求Bn2是需要B22的值，求Bn3時需要B33的值而且還要用立方和與平方和公式。當(dāng)m較大時，需要Bm的值以及m次方和與m-1次方和的公式。更重要的是，具體化m后，表達(dá)式無法統(tǒng)一！因此可以看出，成列分布并不是該數(shù)組的真正特性，而平行于主對角線的分布才能使該數(shù)組統(tǒng)一。

原式可化為D(D-1)(D-2)(D-3)…(D-i+1)

D^n=d^ny/dx^n m

第五篇：“訴訪分離”終結(jié)信訪不信法

“訴訪分離”終結(jié)信訪不信法

2014-03-20 02:30:50 新京報

近年來，隨著越來越多的社會矛盾以案件形式進(jìn)入司法領(lǐng)域，出現(xiàn)了訴訟與信訪交織、法內(nèi)處理與法外解決并存的現(xiàn)狀，導(dǎo)致少數(shù)群眾“信訪不信法”。

近日，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)了《關(guān)于依法處理涉法涉訴信訪問題的意見》，提出實(shí)行訴訟與信訪分離制度；強(qiáng)調(diào)建立涉法涉訴信訪依法終結(jié)制度；堅決杜絕一切“攔卡堵截”正常上訪人員的錯誤做法。

新京報訊 今后，涉訴涉法信訪事項的上訪群眾不需要到信訪部門上訪了，直接到相關(guān)的政法部門反映問題即可。

中辦國辦近日印發(fā)的《關(guān)于依法處理涉法涉訴信訪問題的意見》提出：實(shí)行訴訟與信訪分離制度；建立涉法涉訴信訪依法終結(jié)制度；對于涉法涉訴信訪中的錯案、瑕疵案應(yīng)依法糾正。

解決涉法涉訴信訪問題入法治軌道

去年11月，黨的十八屆三中全會通過的《全面深化改革若干重大問題的決定》首次提出改革信訪工作制度，把涉法涉訴信訪納入法治軌道解決?！兑庖姟氛歉鶕?jù)《決定》的精神細(xì)化了規(guī)定。

此次改革涉法涉訴信訪工作機(jī)制、依法處理涉法涉訴信訪問題的總體思路是：改變經(jīng)常性集中交辦、過分依靠行政推動、通過信訪啟動法律程序的工作方式，把解決涉法涉訴信訪問題納入法治軌道，由政法機(jī)關(guān)依法按程序處理，依法糾正執(zhí)法差錯，保護(hù)合法信訪、制止違法鬧訪，努力實(shí)現(xiàn)案結(jié)事了、息訴息訪。

在實(shí)行訴訟與信訪分離制度方面，《意見》提及，把涉及民商事、行政、刑事等訴訟權(quán)利救濟(jì)的信訪事項從普通信訪體制中分離出來，由政法機(jī)關(guān)依法處理。

值得關(guān)注的是，在處理涉訴涉法信訪案件的程序上，《意見》強(qiáng)調(diào)：對于已經(jīng)進(jìn)入法律程序處理的案件，各級政法機(jī)關(guān)應(yīng)當(dāng)依法按程序在法定時限內(nèi)公正辦結(jié)。對于經(jīng)復(fù)議、審理、復(fù)核，確屬錯案、瑕疵案的，各級政法機(jī)關(guān)應(yīng)依法糾正錯誤、補(bǔ)正瑕疵。

杜絕違法限制上訪人員人身自由行為

本輪改革的一大核心是建立涉法涉訴信訪依法終結(jié)制度。

《意見》稱，對涉法涉訴信訪事項，已經(jīng)窮盡法律程序的，依法做出的判決、裁定為終結(jié)決定。對在申訴時限內(nèi)反復(fù)纏訪纏訴，經(jīng)過案件審查、評查等方式，并經(jīng)中央或省級政法機(jī)關(guān)審核，認(rèn)定其反映問題已經(jīng)得到公正處理的，除有法律規(guī)定的情形外，依法不再啟動復(fù)查程序。

此外，對于“攔卡堵截”正常上訪人員的做法，《意見》再次強(qiáng)調(diào)，堅決杜絕一切“攔卡堵截”正常上訪人員的錯誤做法，堅決杜絕違法限制或變相限制上訪人員人身自由的行為。

亮點(diǎn)1

實(shí)行訴訟與信訪分離制度

意見：實(shí)行訴訟與信訪分離制度。各級信訪部門對到本部門上訪的涉訴信訪群眾，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)其到政法機(jī)關(guān)反映問題；對按規(guī)定受理的涉及公安機(jī)關(guān)、司法行政機(jī)關(guān)的涉法涉訴信訪事項，收到的群眾涉法涉訴信件，應(yīng)當(dāng)轉(zhuǎn)同級政法機(jī)關(guān)依法處理。

【解讀】

訴訪分離倒逼司法公正

中央政法委有關(guān)負(fù)責(zé)人：訴訟與信訪分離的好處是信訪群眾直接到政法機(jī)關(guān)反映訴求，可以少走彎路，便于政法機(jī)關(guān)及時處理。

北京大學(xué)法學(xué)院教授傅郁林：司法是社會公正的最后一道防線。以往以信訪這個行政方式來處理涉法涉訴這類司法問題，容易形成民眾“信訪不信法”的思維，對民眾的法律意識、整個國家的司法權(quán)威會帶來負(fù)面影響。

意見提出將訴訟與信訪分離，實(shí)際上就是要解決這一問題。在以往涉訴涉法信訪事項中，包括刑事、民商事、行政案件等多種類型，此次信訪制度改革意在讓民眾意識到法治的重要性，讓涉法信訪回歸司法程序，這一方面有助于更為專業(yè)的處理信訪案件，同時對司法部門提升辦案質(zhì)量也起到推動作用。

亮點(diǎn)2

錯案瑕疵案應(yīng)依法糾正

意見：嚴(yán)格落實(shí)依法按程序辦理制度。各級政法機(jī)關(guān)對于已經(jīng)進(jìn)入法律程序處理的案件，應(yīng)當(dāng)依法按程序在法定時限內(nèi)公正辦結(jié)。對經(jīng)復(fù)議、審理、復(fù)核，確屬錯案、瑕疵案的，依法糾正錯誤、補(bǔ)正瑕疵。

【解讀】

“糾錯”能堵住程序漏洞

最高法立案一庭副庭長高莎薇：目前涉法涉訴信訪事項有三種情形，第一種是確實(shí)出現(xiàn)法官枉法裁判需要再審改判的案件，第二種是有審判瑕疵的案件，第三種是當(dāng)事人無理纏訪的案件。

第一種和第三種是少數(shù)，第二種情形較多。對于第一種和第二種情形，意見明確了在法律程序內(nèi)的案件法官要在法定時限內(nèi)公正辦結(jié)時，這對法官在審判此類案件時如何運(yùn)用自由裁量權(quán)起到了監(jiān)督作用。對于需要司法救濟(jì)再審的案件，經(jīng)過多部門審核后，確實(shí)發(fā)現(xiàn)錯案和瑕疵案的，意見明確要糾正錯誤、補(bǔ)正瑕疵。這對涉法涉訴信訪事項在程序上如何保證司法公正起到了非常好的作用，堵住了可能出現(xiàn)的程序漏洞。

亮點(diǎn)3

窮盡程序的判決為終結(jié)決定

意見：建立涉法涉訴信訪依法終結(jié)制度。對涉法涉訴信訪事項，已經(jīng)窮盡法律程序的，依法做出的判決、裁定為終結(jié)決定。對在申訴時限內(nèi)反復(fù)纏訪纏訴，經(jīng)過案件審查、評查等方式，并經(jīng)中央或省級政法機(jī)關(guān)審核，認(rèn)定其反映問題已經(jīng)得到公正處理的，除有法律規(guī)定的情形外，依法不再啟動復(fù)查程序。

【解讀】

節(jié)約訪民成本減少資源浪費(fèi)

中央政法委有關(guān)負(fù)責(zé)人：以往一些涉訴涉法信訪事項終而不結(jié)、無限申訴，反復(fù)啟動法律處理程序。建立涉法涉訴信訪依法終結(jié)制度，一方面減少了上訪群眾的負(fù)擔(dān)，另一方面也可減少行政資源和司法資源的浪費(fèi)。

吉林市保民律師事務(wù)所律師修保：以往很多涉訴涉法上訪群眾直接到信訪部門上訪，有的直接到北京的國家信訪局上訪，上訪后信訪部門一般會將信訪事項轉(zhuǎn)交給政法機(jī)關(guān)處理，這期間無論是時間成本、上訪生活成本都是比較大的。建立涉法涉訴信訪依法終結(jié)制度后，省去了一個環(huán)節(jié)，對于訪民來說可以有效節(jié)約成本。

亮點(diǎn)4

辦案質(zhì)量將終身負(fù)責(zé)

意見：要完善執(zhí)法司法責(zé)任制，嚴(yán)格落實(shí)辦案質(zhì)量終身負(fù)責(zé)制，健全執(zhí)法過錯發(fā)現(xiàn)、調(diào)查、問責(zé)機(jī)制，嚴(yán)格倒查執(zhí)法辦案中存在問題的原因和責(zé)任，嚴(yán)肅查處錯案背后的執(zhí)法不公、不廉等問題；要把加強(qiáng)執(zhí)法公開、擴(kuò)大群眾參與、接受群眾監(jiān)督作為依法處理涉法涉訴信訪問題的重要內(nèi)容，以公開確保公正、促進(jìn)息訴。

【解讀】

信訪問題突出倒查領(lǐng)導(dǎo)責(zé)任

中央政法委有關(guān)負(fù)責(zé)人：此次涉法涉訴信訪改革一個重要內(nèi)容是對于涉訴涉法信訪事項，負(fù)責(zé)處理的政法機(jī)關(guān)要公正辦案。如何在制度上予以強(qiáng)化？就是要嚴(yán)格落實(shí)辦案質(zhì)量終身負(fù)責(zé)制。

中央政法委要求各級政法機(jī)關(guān)在對信訪事項辦案時嚴(yán)查案件中存在的司法不公問題，對于群眾訴求不及時受理、不按期辦結(jié)、有錯不糾的，要依紀(jì)依法追究辦案人員和相關(guān)領(lǐng)導(dǎo)責(zé)任。對于信訪問題突出的地方，還要倒查政法單位領(lǐng)導(dǎo)班子責(zé)任。同時，中央和省級政法機(jī)關(guān)將設(shè)立審核程序，對反映問題已經(jīng)得到公正處理的，不再啟動復(fù)查程序，對未得到公正處理的，要倒查追責(zé)。

■ 專家說法

“信訪制度改革提升民眾法律意識”

北京大學(xué)法學(xué)院教授傅郁林認(rèn)為，此次涉訴涉法信訪制度改革，實(shí)質(zhì)上是涉訴涉法信訪程序和強(qiáng)化糾錯方式上的重大變革。

以往，涉訴涉法信訪上訪群眾有冤錯案件、瑕疵案件不知道去哪里上訪，出現(xiàn)了信訪部門、政法部門多頭上訪的現(xiàn)象。上訪群眾和辦理信訪事項的政法機(jī)關(guān)都浪費(fèi)了很大的成本。上訪群眾會浪費(fèi)時間、精力、金錢等成本，政法機(jī)關(guān)會在處理時增加時間、政務(wù)成本，信訪事項的辦理也會因此出現(xiàn)效率不高的問題。訴訟與信訪分離后，無論對上訪群眾還是政法機(jī)關(guān)，都會減少程序，節(jié)約成本，辦理的效率也會提升。

群眾之所以上訪，是因?yàn)樗?jīng)歷的案件大多數(shù)存在司法不公的問題，因此如何在改革過程中強(qiáng)化糾錯方式尤為重要。此輪改革通過辦案質(zhì)量終身負(fù)責(zé)、上級政法部門審查監(jiān)督、倒查追責(zé)機(jī)制強(qiáng)化了糾錯方式，這對于維護(hù)司法公正將起到重要作用。

此外，涉訴涉法信訪制度改革實(shí)際上是行政信訪方式逐步退出司法領(lǐng)域，有利于維護(hù)司法權(quán)威，提升民眾的法律意識。

涉法涉訴信訪終結(jié)

涉法涉訴信訪反映

向政法機(jī)關(guān)而不是向黨政信訪部門反映問題。

向有管轄權(quán)的政法單位反映問題，而不是多頭訪、越級訪。

提醒：屬于哪一級管的，到哪一級申訴；屬于哪一個部門辦的，到哪一個部門申訴。

審查、甄別

符合法律規(guī)定的信訪事項進(jìn)入復(fù)議、復(fù)核、再審程序處理。

不符合法律規(guī)定的信訪事項，或是正在法律程序辦理中，當(dāng)事人直接上訪的，政法機(jī)關(guān)依法不予受理。

提醒：反復(fù)纏訪甚至違法鬧訪的，將受到依法處理。

依法按程序辦理

對已經(jīng)進(jìn)入法律程序處理的涉法涉訴信訪問題，政法機(jī)關(guān)依法按程序在法定時限內(nèi)公正辦結(jié)。

依法終結(jié)

已經(jīng)窮盡法律程序的，依法做出的判決、裁定為終結(jié)決定。對于反復(fù)纏訪纏訴的，經(jīng)過案件審查、評查，由中央或省級政法機(jī)關(guān)審核，認(rèn)定其反映問題已得公正處理的，除有法律規(guī)定情形外，依法不再啟動復(fù)查程序。有關(guān)部門重點(diǎn)做好對信訪人解釋、疏導(dǎo)工作。

涉法涉訴信訪三情形

第一種是確實(shí)出現(xiàn)法官枉法裁判需要再審改判的案件，占比少

第二種是有審判瑕疵的案件，占比較多

第三種是當(dāng)事人無理纏訪的案件，占比少

涉法涉訴信訪占比下降

去年，中央政法委在涉法涉訴信訪改革方面分批部署各省市試點(diǎn)，并于去年10月全面推開。經(jīng)過1年時間的改革試點(diǎn)，涉法涉訴信訪占到整個信訪的比例下降明顯。

要求一

暢通信訪渠道。堅決杜絕一切“攔卡堵截”正常上訪人員的錯誤做法；堅決杜絕違法限制或變相限制上訪人員人身自由的行為。

要求二

提高基層化解能力。堅持分級分類處理，加大分流疏導(dǎo)力度，勸導(dǎo)當(dāng)事人依法按程序反映問題，減少越級上訪。

要求三

防止案件積壓。政法機(jī)關(guān)要規(guī)范案件流程，加快案件流轉(zhuǎn)，確保依法處理涉法涉訴信訪問題有序高效進(jìn)行。

要求四

嚴(yán)肅處理違法上訪行為。堅持教育與處罰并重。對采取極端方式鬧訪、借上訪之名煽動鬧事的，依法嚴(yán)肅處理。

各地公安機(jī)關(guān)不得限制正常信訪活動。同時對少數(shù)人在信訪活動中以信訪活動為名實(shí)施的違法犯罪行為，要區(qū)分情形，依法予以處置。處罰只是一種手段，不是最終目的，從根本上還是為了保護(hù)信訪群眾的合法權(quán)益，維護(hù)正常的信訪秩序和社會秩序?！膊啃旁L辦副主任周新 據(jù)新華社