第一篇：8.4雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)例題(一)

高二圓錐曲線(xiàn)方程同步練習(xí)4（雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)）

例1 已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，焦距為213，另一雙曲線(xiàn)與橢圓有公共焦點(diǎn)，且橢圓的長(zhǎng)半軸比雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸大4，兩曲線(xiàn)的離心率之比為3:7，求兩曲線(xiàn)方程.例2 直線(xiàn)y－ax－1=0和雙曲線(xiàn)3x2－y2=1相交于A、B兩點(diǎn)，a為何值時(shí)，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn).x2y22例3 在雙曲線(xiàn)2?2?1(a>0,b>0)的兩條漸近線(xiàn)上分別取A、B兩點(diǎn)，使OA?OB?c，其中cab是半焦距，O是中心，求AB中點(diǎn)P的軌跡方程.—1— 例4 已知雙曲線(xiàn)c的實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)的乘積等于3，c的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，直線(xiàn)l過(guò)F2點(diǎn)，且與直線(xiàn)F1F2的夾角為φ,tanφ=

21,l與F1F2線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)是P，線(xiàn)段PF2與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)2為Q，且PQ:QF2?2，求此雙曲線(xiàn)的方程.說(shuō)明：此題意在增強(qiáng)學(xué)生建立坐標(biāo)系的意識(shí)，并進(jìn)一步熟悉雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)及待定系數(shù)法.—2—

第二篇：§8.4雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)例題(四)

［例1］過(guò)點(diǎn)P(8，1)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)x2?4y2?4相交于A、B兩點(diǎn)，且P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求直線(xiàn)AB的方程.選題意圖：考查直線(xiàn)與曲線(xiàn)位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí).解：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）、（x2,y2）

則x12?4y12=4 ①

x2?4y2?4 ② 22①-②得(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0 ∵P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，∴x1?x2?16,y1?y2?2 ∴y1?y2x1?x2?x1?x24(y1?y2)?2

∴直線(xiàn)AB的斜率為2，∴直線(xiàn)AB的方程為y-1=2(x-8).即2x-y-15=0.說(shuō)明：此題也可設(shè)直線(xiàn)的斜率為k，然后待定k的值.［例2］過(guò)雙曲線(xiàn)xa22?yb22?1的焦點(diǎn)F(c,0)作漸近線(xiàn)

y?bax的垂線(xiàn)，求證：垂足H在與此焦點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)x證明：過(guò)F與y?ba?a2c上.??ab(x?c)x垂直的直線(xiàn)的方程是y2?a?x??c得??y?ab?c?.a?y??(x?c)??b由方程組??y?bx?a?

即H點(diǎn)的坐標(biāo)是(∴H在直線(xiàn)上x(chóng)?a2c2,abc)，ac.y?2?0［例3］已知雙曲線(xiàn)的一條準(zhǔn)線(xiàn)方程為x?是(-2，與這條準(zhǔn)線(xiàn)相對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)的坐標(biāo),2),且雙曲線(xiàn)的離心率為

2，求雙曲線(xiàn)的方程.選題意圖：靈活運(yùn)用雙曲線(xiàn)的定義解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.解：設(shè)P(x,y)是雙曲線(xiàn)上的任一點(diǎn)，P到直線(xiàn)x?x?y?22y?2?0的距離為

.P到焦點(diǎn)的距離為

(x?2)?(y?22)2，∴(x?2)2?(y?22)2?2

x?y?2∴(x?2)2?(y?2)2?x?y?2.兩邊平方，得：

x2?22x?2?y2?22y?2?x2?y2?2?2xy?22x?22y

∴xy=-1.即所求雙曲線(xiàn)的方程為xy=-1.［例4］如圖，已知梯形ABCD中，｜ＡＢ｜＝２｜ＣＤ｜，點(diǎn)E分有向線(xiàn)段AC所成的比為λ，雙曲線(xiàn)過(guò)C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)，當(dāng)23???34時(shí)，求雙曲線(xiàn)離心率e的取值范圍.選題意圖：考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，雙曲線(xiàn)的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.分析：關(guān)鍵找e與λ的關(guān)系.解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線(xiàn)方程為

xa22?yb22?1.∵雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知C、D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).依題意，記Ａ（－ｃ，０），ｃ（,h），Ｅ（ｘ０，ｙ０）

2c其中c?12AB,h是梯形的高.?(??2)c2(1??),y0?由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得x0?h1??

ca∵點(diǎn)C、E在雙曲線(xiàn)上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e= e2代入雙曲線(xiàn)方程得：

4e?2hb(22?1 ①

??2??1hb4)222?(e???12)?2hb22?1 ②

由①得： ?又?ee22?4?1代入②并整理得：

?1?2

34,，得：

23?ee2223????1?2?34

解得7≤ｅ≤10

∴雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為［7，10］.說(shuō)明：?e2?ee22?1?2也可整理成

?31???2?1?2?1????2?2??31??

觀察之7≤ｅ≤10

第三篇：§8.4雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)例題(三)

［例1］已知雙曲線(xiàn)

xa22?yb22b＞0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1(-c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）?1(a＞0，是雙曲線(xiàn)上的任一點(diǎn)，求證：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜，其中e是雙曲線(xiàn)的離心率.選題意圖：鞏固雙曲線(xiàn)的第二定義，給出雙曲線(xiàn)焦半徑的推導(dǎo)方法.證明：雙曲線(xiàn)x??a2xa22?yb22?1的兩焦點(diǎn)F1(-c,0)、F2(c,0)相應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)方程分別是

c和x?a2c.∵雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離的比等于這個(gè)雙曲線(xiàn)的離心率.∴PF1x0?a2?e,PF2x0?a2?e.cc化簡(jiǎn)得：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜.說(shuō)明：｜PF1｜、｜PF2｜都是雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離，習(xí)慣稱(chēng)作焦半徑.｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜稱(chēng)作焦半徑公式.

［例2］雙曲線(xiàn)的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為4，一條準(zhǔn)線(xiàn)方程是x程.選題意圖：研究離心率、準(zhǔn)線(xiàn)與a、b、c的關(guān)系，考查準(zhǔn)線(xiàn)的幾何意義.解：∵ca?4,a2?12,求雙曲線(xiàn)的方c?12

∴a=2,c=8,∴b2?82?22?60.∴雙曲線(xiàn)的方程是x24?y260?1.說(shuō)明：雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)總與實(shí)軸垂直.［例3］在雙曲線(xiàn)倍.選題意圖：考查雙曲線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)方程、第二定義等基本內(nèi)容.

解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)，F(xiàn)1、F2分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn).∵雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x∴PF1x?165?PF2x?165x216?y29?1上求一點(diǎn)P，使它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩

??165..∵｜PF1｜=2｜PF2｜, ∴P在雙曲線(xiàn)的右支上，∴2PF2x?165485?PF2x?165,?x?4852

把x?代入方程x216?y9?1得：y??35119.所以，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(485,?35119)

此題也可用焦半徑解答.

第四篇：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 典型例題解析

典例剖析

x2y2［例1］已知雙曲線(xiàn)2?2=1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1(－c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）

ab是雙曲線(xiàn)上的任一點(diǎn)，求證｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜，其中e是雙曲線(xiàn)的離心率.x2y2【證明】 雙曲線(xiàn)2?2=1的兩焦點(diǎn)F1(－c,0)、F2(c,0)，aba2a2相應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)方程分別是x=－和x=.cc∵雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離的比等于這個(gè)雙曲線(xiàn)的離心率.∴PF1x0?ac2?e,PF2x0?ac2?e.化簡(jiǎn)得：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜.【點(diǎn)評(píng)】 ｜PF1｜、｜PF2｜都是雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離，習(xí)慣稱(chēng)作焦半徑.｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜稱(chēng)作焦半徑公式.［例2］雙曲線(xiàn)的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為4，一條準(zhǔn)線(xiàn)方程是x=程.1,求雙曲線(xiàn)的方2ca21【解】 ∵=4,=, c2a∴a=2,c=8,∴b2=82－22=60.x2y2∴雙曲線(xiàn)的方程是=1.?460【點(diǎn)評(píng)】 雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)總與實(shí)軸垂直.x2y2［例3］在雙曲線(xiàn)=1上求一點(diǎn)P，使它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩?169倍.【解】 設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)，F(xiàn)1、F2分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn).∵雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=±

16.5∴PF116x?5?PF216x?5.∵｜PF1｜=2｜PF2｜, ∴P在雙曲線(xiàn)的右支上，2PF2PF248∴，∴x=.?16165x?x?5548x2y2把x=代入方程=1得： ?1695y=±3119.5483，±119)

55【點(diǎn)評(píng)】 此題也可用焦半徑解答.所以，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(

第五篇：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

【學(xué)習(xí)障礙】 1．理解障礙

(1)關(guān)于雙曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性的理解

把雙曲線(xiàn)方程中的y換為－y，方程不變，說(shuō)明雙曲線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．其原因是設(shè)(x，y)為雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，y換為－y方程不變，說(shuō)明(x，－y)也在此雙曲線(xiàn)上，由于點(diǎn)(x，y)，(x，－y)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，故整個(gè)雙曲線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．

同理，分別用(－x，y)及(－x，－y)代換方程中的(x，y)，方程都不改變，這說(shuō)明雙曲線(xiàn)關(guān)于y軸、原點(diǎn)都是對(duì)稱(chēng)的，因此坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)．(2)關(guān)于對(duì)雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的理解

xyxyx2y2除按課本上的證明方法外，漸近線(xiàn)還可以這樣理解：雙曲線(xiàn)(H)2－2＝1方程即(＋)(－)

ababab＝1，當(dāng)雙曲線(xiàn)上點(diǎn)P(x，y)在第一、三象限且遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，|在二、四象限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，|

xyxy＋|→＋∞，此時(shí)－→0，當(dāng)點(diǎn)P(x，y)ababxyxy－|→＋∞，此時(shí)＋→0；這些表明雙曲線(xiàn)(H)上位于一、三象限的點(diǎn)遠(yuǎn)ababxyxy離原點(diǎn)時(shí)，雙曲線(xiàn)越來(lái)越靠近直線(xiàn)－＝0，位于二、四象限的點(diǎn)遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，雙曲線(xiàn)越來(lái)越靠近＋

ababxyxy＝0，因此把直線(xiàn)＋＝0與－＝0叫做雙曲線(xiàn)(H)的漸近線(xiàn)．

abab(3)關(guān)于對(duì)離心率e的理解

cbba2?b2?b?由于e＝＝=1???，e越大，漸近線(xiàn)y＝x的斜率就越大，這時(shí)漸近線(xiàn)y＝－x到y(tǒng)aaaa?a?＝

2bx的角就越大，從而雙曲線(xiàn)開(kāi)口就越闊，反之，e越小，雙曲線(xiàn)開(kāi)口就越窄． a2．解題障礙

(1)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)位置的判定

雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)位置除題目直接告訴外，還可根據(jù)頂點(diǎn)位置．實(shí)軸(虛軸)、準(zhǔn)線(xiàn)位置等判定，另外也可根據(jù)點(diǎn)在漸近線(xiàn)的上方還是下方來(lái)確定．(2)雙曲線(xiàn)方程的幾種變形

x2y2x2y2以雙曲線(xiàn)2－2＝1(a＞0，b＞0)為例，如果將右邊的常數(shù)1換為0，即2－2＝0就是其漸近線(xiàn)方ababx2y2程，但反過(guò)來(lái)就不正確．如果將常數(shù)1換為－1，即2－2＝－1為其共軛雙曲線(xiàn)方程，如果將常數(shù)1換為

abλ(λ≠0)，即為與原雙曲線(xiàn)有共同漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)系方程，注意它們的應(yīng)用．另外，以直線(xiàn)

ax±by＝0為漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)系為a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．(3)等軸雙曲線(xiàn)的幾個(gè)重要性質(zhì)

漸近線(xiàn)為y＝±x，離心率e＝2均是雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)的充要條件，掌握這些性質(zhì)可以很好地解決解題思路．

【學(xué)習(xí)策略】 1．待定系數(shù)法

根據(jù)雙曲線(xiàn)的某些幾何性質(zhì)求雙曲線(xiàn)方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點(diǎn)的位置，從而正確選擇方程的形式，善于利用雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化作圖步驟和減少運(yùn)算量．這一點(diǎn)正體現(xiàn)雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)的應(yīng)用．綜上可簡(jiǎn)記為：“巧設(shè)方程立好系，待定系數(shù)求a、b；結(jié)合圖形用性質(zhì)，避免繁瑣用定義． 2．定義法

與焦點(diǎn)有關(guān)的距離，通過(guò)定義轉(zhuǎn)化往往收到事半功倍的效果． 3．利用雙曲線(xiàn)系 利用具有共同漸近線(xiàn)或共焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)系求雙曲線(xiàn)方程往往要比用其他方法簡(jiǎn)單易行，另外，已知兩漸近線(xiàn)方程，也應(yīng)能寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的雙曲線(xiàn)系． 【例題分析】

［例1］已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程是x－2y＝0，且過(guò)點(diǎn)P(4，3)，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．

策略：思路一：已知漸近線(xiàn)方程，即知道a與b的比，可用a、b中的一個(gè)未知數(shù)表示出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，但要判斷點(diǎn)P的位置，才能確定雙曲線(xiàn)方程的類(lèi)型，再由點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，用待定系數(shù)法求出該雙曲線(xiàn)的方程．思路二：已知漸近線(xiàn)方程可用雙曲線(xiàn)系寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再把P點(diǎn)坐標(biāo)代入方程可求出參數(shù)λ，從而求出雙曲線(xiàn)方程．

1x，2a1當(dāng)x＝4時(shí)，y＝2＜yP＝3 ∴焦點(diǎn)在y軸上，即＝，設(shè)a＝k，b＝2k，a2＝k2，b2＝4k2．

b2解法一：∵雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為x－2y＝0即y＝x2y2∴雙曲線(xiàn)方程為－2?2＝1 4kk∵P(4，3)在雙曲線(xiàn)上，∴－169

2?＝1，∴k＝5 224kkx2y2?∴a＝5，b＝20 ∴所求雙曲線(xiàn)方程為－＝1 20522

xx2解法二：∵雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為x－2y＝0，即－y＝0 ∴雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為－y2＝0．

24x2∴可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為－y2＝λ(λ≠0)

∵雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，3)

442∴－32＝λ，λ＝－5 4x2x2y22

?∴所求的雙曲線(xiàn)方程為－y＝－5，即－＝1．

4205評(píng)注：由已知條件求雙曲線(xiàn)方程時(shí)，首先要確定其定位條件，即要確定焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，再根據(jù)其他條件確定其定形條件，即a、b的值．在定位時(shí)，一般把已知點(diǎn)橫坐標(biāo)xP代入漸近線(xiàn)所得的y值與yP比較可知P點(diǎn)在漸近線(xiàn)上方或下方，由此確定焦點(diǎn)的位置．解法二利用了共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)系，避免了對(duì)

22xy雙曲線(xiàn)方程類(lèi)型的討論，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，在共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)系方程2－2＝λ(λ≠0，λ為參數(shù))ab中，當(dāng)λ＞0時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，當(dāng)λ＜0時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上．

x2y25?［例2］已知雙曲線(xiàn)的離心率e＝，且與橢圓＝1有共同焦點(diǎn)，求該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程． 1332策略：可先求出橢圓的焦點(diǎn)即雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，由離心率可得出a進(jìn)而求出b，可得雙曲線(xiàn)方程．

解法一：橢圓中：a2＝13，b2＝3 ∴c＝13?3＝10，焦點(diǎn)F(±10，0)在x軸上，∴雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)也在x軸上，且c＝10． 由e＝5105得＝ 2a2∴a＝22，a2＝8，b2＝c2－a2＝10－8＝2．

x2y2?∴所求雙曲線(xiàn)方程為＝1． 82x2y2?解法二：設(shè)與橢圓共焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程為＝1(3＜k＜13)13?k3?kx2y2?即＝1，13?kk?3∴a＝13?k，c＝10

∴離心率e＝c10＝，a13?k即510＝解得k＝5．

213?kx2y2?∴所求雙曲線(xiàn)方程為＝1． 8222xy評(píng)注：解法二用了共焦點(diǎn)的圓錐曲線(xiàn)系方程，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，一般地與橢圓2+2＝1共焦點(diǎn)的圓錐曲線(xiàn)ab22xy系方程為2+2＝1(其中a＞b＞0，k＜a2且k≠b2)．當(dāng)k＜b2時(shí)，方程表示橢圓，當(dāng)b2＜k＜a2時(shí)，方程a?kb?k表示雙曲線(xiàn)．

［例3］已知中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，漸近線(xiàn)方程為3x±4y＝0，求此雙曲線(xiàn)的共軛雙曲線(xiàn)的方程．

策略：由已知漸近線(xiàn)的方程可得出a、b間的關(guān)系，再由c2＝a2＋b2可求出a、b并求出雙曲線(xiàn)方程，也可用雙曲線(xiàn)系方程求解．

解法一：∵漸近線(xiàn)方程為3x±4y＝0，即y＝±∵焦點(diǎn)F(±5，0)在x軸上，∴

3x． 4b3＝，設(shè)a＝4k，b＝3k，而已知c＝5，a4由a2＋b2＝c2得16k2＋9k2＝25，k2＝1 ∴a2＝16，b2＝9 x2y2x2y2??∴雙曲線(xiàn)方程為＝1，它的共軛雙曲線(xiàn)方程為－＝1． 169169解法二：∵雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為3x±4y＝0，可設(shè)雙曲線(xiàn)系方程為9x2－16y2＝λ(λ＞0)． 即x2?9?y2?16＝1

∴a2＝????，b2＝，c＝5 ∴＋＝25 916916∴λ＝9316

x2y2y2x2??＝1． ∴雙曲線(xiàn)方程為＝1，它的共軛雙曲線(xiàn)方程為169169評(píng)注：利用雙曲線(xiàn)系方程，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算．漸近線(xiàn)方程為ax±by＝0的雙曲線(xiàn)系方程為a2x2－b2y2＝λ(λ＞0時(shí)焦點(diǎn)在x軸上，λ＜0時(shí)焦點(diǎn)在y軸上)．

策略：要證PF1⊥PF2，首先容易想到的方法是證明兩直線(xiàn)斜率之積為－1，這需要先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，y0)或x02與y02，但計(jì)算相當(dāng)麻煩，再一個(gè)方法是用勾股定理，這需要先求出|PF1|與|PF2|，可以考慮用雙曲線(xiàn)的兩個(gè)定義解決．

解法一：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x0，當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的右支上時(shí)，根據(jù)雙曲線(xiàn)第二定義得|PF1|＝e(x0＋a)＝ex0＋a(F1為左焦點(diǎn))，c2a|PF2|＝e(x0－)＝ex0－a(F2為右焦點(diǎn))． c2∴|PF1|＋|PF2|2＝2e2x02＋2a2． ∵|PF1|2|PF2|＝32

∴e2x02－a2＝32

∴e2x02＝32＋a2

∴|PF1|2＋|PF2|2＝64＋4a2＝100 又|F1F2|2＝4c2＝4(a2＋b2)＝43(9＋16)＝100，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴△F1PF2是直角三角形，PF1⊥PF2

∴同理，當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)左支上時(shí)，仍可得PF1⊥PF2．

解法二：∵點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，依據(jù)雙曲線(xiàn)的定義得||PF1|－|PF2||＝2a＝6 ∴(|PF1|－|PF2|)2＝36 又∵|PF1|2|PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2332＝100 又|F1F2|2＝4c2＝100． ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2

∴PF1⊥PF2．

評(píng)注：雙曲線(xiàn)的定義不僅是推導(dǎo)雙曲線(xiàn)方程的依據(jù)，也是解題的常用方法，用這一方法可以解決有關(guān)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)等許多問(wèn)題．

［例5］某工程要挖一個(gè)橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運(yùn)到P處(如圖8—4—1所示)

2x2y2? ＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，且|PF|2|PF|＝32，求證PF⊥PF．［例4］已知F1、F2是雙曲線(xiàn)1212 916|PA|＝100 m，|PB|＝150 m，∠APB＝60°，試說(shuō)明怎樣運(yùn)土才能最省工．

策略：首先抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，半圓中的點(diǎn)可分為三類(lèi)：(1)沿AP到P較近；(2)沿BP到P最近；(3)沿AP、BP到P同樣近．顯然第三類(lèi)點(diǎn)是第一、第二類(lèi)點(diǎn)的分界．

解：設(shè)M是分界線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，則有|MA|＋|PA|＝|MB|＋|PB|，于是|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝150－100＝50，所以第三類(lèi)點(diǎn)M滿(mǎn)足性質(zhì)：點(diǎn)M到定點(diǎn)A與定點(diǎn)B的距離之差等于常數(shù)50，符合雙曲線(xiàn)的定義，所以M點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支上，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求雙曲線(xiàn)的方程． 在△PAB中，由余弦定理得

|AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA|2|PB|2cos60°＝1002＋1502－23100315021＝17500

2∴以AB所在直線(xiàn)為x軸，AB中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則界線(xiàn)是雙曲線(xiàn)孤

x2y2?＝1(x≥25)6253750所以運(yùn)土?xí)r，將此雙曲線(xiàn)左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處，右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處最?。?/p>

評(píng)注：本題通過(guò)建立直角坐標(biāo)系,利用點(diǎn)的集合的性質(zhì),構(gòu)造圓錐曲線(xiàn)模型(即分界線(xiàn))，從而確定最優(yōu)化區(qū)域． ［例6］(2000年2全國(guó)高考)如圖8—4—2，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，點(diǎn)E滿(mǎn)足|AE|＝λ|EC|，雙曲線(xiàn)過(guò)C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)，當(dāng)

32≤λ≤時(shí)，求雙曲線(xiàn)離心率e的取值范圍．

策略：設(shè)出雙曲線(xiàn)方程，由E、C坐標(biāo)適合方程，找出各字母之間的聯(lián)系，特別是e同λ的關(guān)系求之． 解：如圖8—4—2，以AB的垂直平分線(xiàn)為y軸，直線(xiàn)AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，則CD⊥y軸．

因?yàn)殡p曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知C、D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．依題意，記A(－c，0)，C(c1，h)，E(x0，y0)，其中c＝|AB|為雙曲線(xiàn)的半焦距，h是梯形的高．由|AE|＝λ|EC|，即(x0＋c，y0)＝22x2y2c?hc(??2)cλ(－x0，h－y0)得：x0＝，y0＝．設(shè)雙曲線(xiàn)方程為2－2＝1，則離心率e＝，21??aab2(1??)由點(diǎn)C、E在雙曲線(xiàn)上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e＝?e2h2??2?1??????????①?4b ?222??2????h?e??????2?1???②?4??1??1???b??22he由①式得2??1 ③ b4c代入雙曲線(xiàn)的方程得： a3e2將③式代入②式，整理得(4－4λ)＝1＋2λ，故λ＝1－2．

e?2433322依題設(shè)≤λ≤得：≤1－2≤，4e?2433解得7≤ e ≤10

所以，雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍為［7，10］． 評(píng)注：解本題關(guān)鍵找出離心率e與λ的關(guān)系，對(duì)于λ＝1－

31?2?

32，也可整理為e＝＝－2，再用2e?21??1??觀察法求得7≤ e ≤10．該題對(duì)考查學(xué)生思維能力、運(yùn)算推理能力、綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)等能力都有較高要求，作為高考題可謂當(dāng)之無(wú)愧．

x2y2［例7］設(shè)雙曲線(xiàn)2－2＝1(0＜a＜b)的半焦距為c，直線(xiàn)l過(guò)(a，0)，(0，b)兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線(xiàn)l的距ab離為3c，求雙曲線(xiàn)的離心率。4解析：由直線(xiàn)的截距式方程和直線(xiàn)l的方程為：

xy?＝1，即bx＋ay－ab＝0． ab由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得：?aba2?b2?3c． 43

432c，∴a2b2＝c

164又由雙曲線(xiàn)方程知：b2＋a2＝c2

∴ab＝∴a2(c2－a2)＝ 344c，∴3e4－16e2＋16＝0

∴e2＝4或e2＝ 1634c2a2?b2b22?1?又02 ∴e＝舍去 223aaa2∴e2＝4，∴e＝2．

【同步達(dá)綱練習(xí)】

1．下列各對(duì)雙曲線(xiàn)中，離心率與漸近線(xiàn)都相同的是（）

A．－＝1和－＝1 B．－＝1和＝1 C．－＝1和－＝1 D． －＝1或＝1 2．雙曲線(xiàn)－＝1的兩條漸近線(xiàn)所夾銳角的正切值是（）

3．A．

B．2

C．

D．

3．雙曲線(xiàn)－＝1的兩條漸近線(xiàn)互相垂直，那么該雙曲線(xiàn)的離心率是（）A．2

B．

C．

D．

4．點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)－y2＝1右支上一點(diǎn)(非頂點(diǎn))，F(xiàn)1、F2是該雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，則△F1PF2的內(nèi)心在（）

A．直線(xiàn)x＝2上 B．直線(xiàn)x＝1上 C．直線(xiàn)y＝2x上 D．直線(xiàn)y＝x上

5．設(shè)連接雙曲線(xiàn)－＝1與－＝1的四個(gè)頂點(diǎn)的四邊形的面積是S1，連結(jié)其四個(gè)焦點(diǎn)的面積為S2，則的最大值是（）

A．

B．

C．1

D．2 6．過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F2作垂直于實(shí)軸的弦PQ，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)且∠PF1Q＝___________．，則雙曲線(xiàn)的離心率是7．以雙曲線(xiàn)－＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓方程為_(kāi)__________．

8．雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為y＝x，且過(guò)點(diǎn)P(3，－)，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是___________．

9．若雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為3x±4y＝0，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)__________． 10．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，－)．

(1)求雙曲線(xiàn)的方程；

(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線(xiàn)上，求證：MF1⊥MF2；(3)對(duì)于(2)中的點(diǎn)M，求△F1MF2的面積．

11．已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，且與圓x2＋y2＝17相交于點(diǎn)A(4，－1)，若圓在A點(diǎn)的切線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行，求這雙曲線(xiàn)方程．

12．在一次模擬軍事演習(xí)中，A、B、C是我軍三個(gè)炮兵陣地．在指揮作戰(zhàn)圖的坐標(biāo)平面上，由數(shù)據(jù)給出：A在指揮中心O的正東3 km，B在O的正西3 km，C在B的北偏西30°，相距4 km，P為敵軍陣地(如圖8—4—3)．某時(shí)刻，A處發(fā)現(xiàn)了敵軍陣地P的某種信號(hào)，設(shè)該信號(hào)傳播速度為1 km/s，由于B、C兩地比A地距P地遠(yuǎn)，因此4秒鐘后，B、C才同時(shí)發(fā)現(xiàn)信號(hào)，于是A處準(zhǔn)備炮擊P處，求A處炮擊的方向角θ(即東偏北多少度)．

參考答案

【同步達(dá)綱練習(xí)】

1．解析：(用排除法)選項(xiàng)A和B中的兩個(gè)方程所表示的雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)不同，故排除A和B，而C中的兩個(gè)方程所表示的雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)相同而離心率不同，所以也排除C，因此選D．

答案：D 2．解析：雙曲線(xiàn)＝1的兩條漸近線(xiàn)方程為y＝±x，設(shè)兩漸近線(xiàn)的夾角為θ，于是有：tanθ＝答案：B ．

3．解析：雙曲線(xiàn)∴a2＝b2．

∴c2＝a2＋b2＝2a2，＝1兩漸近線(xiàn)方程為y＝±x，又由題設(shè)知：－2＝－1，∴e2＝＝2，∴e＝．

答案：C 4．解析：設(shè)雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)為N，△F1PF2的內(nèi)切圓切雙曲線(xiàn)的實(shí)軸于T，由雙曲線(xiàn)的定義知：|PF1|－|PF2|＝4，由平面幾何知識(shí)得：|F1T|－|F2T|＝4．

又|F1T|＋|F2T|＝2c＝2，∴|F2T|＝

－2．

∴|OT|＝2 又右頂點(diǎn)N(2，0)，∴T與N重合，由圓的切線(xiàn)的性質(zhì)定理知，△F1PF2的內(nèi)切圓的圓心必在直線(xiàn)x＝2上． 答案：A 5．解析：由題設(shè)知雙曲線(xiàn)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：(±，0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為

(±a，0)，雙曲線(xiàn)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±b)． 則S1＝2|2a|2|2b|＝2|ab|，S2＝

3（2)2＝2(a2＋b2)∴答案：B

．

6．解析：設(shè)雙曲線(xiàn)方程為＝1(a>0，b>0)，焦距2c，|PQ|＝，又知△PF1F2是等腰直角三角形，則2c＝，∴2ca＝c2－a2

∴∴e＝1±答案：－1＝0，即e2－2e－1＝0，又e>1，∴＋1

舍去∴e＝

＋1．

7．解析：由＝1知其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±3，0)，頂點(diǎn)為(±，0)，設(shè)所求橢圓方

程為＝1(a>b>0)，則：a2＝9，b2＝32－()2＝4，∴＝1．

答案：＝1 8．解析：設(shè)所求雙曲線(xiàn)方程為

－y2＝λ(λ≠0)，把(3，－)代入得λ＝2，故方程為＝1．

答案：＝1 9．解析：離心率e＝，由于漸近線(xiàn)方程為y＝±x，當(dāng)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，當(dāng)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在y軸時(shí)，故e為或．

答案：或 10．解：(1)設(shè)所求雙曲線(xiàn)的方程為x2－y2＝λ(λ≠0)則有42－(－∴λ＝6)2＝λ，∴所求雙曲線(xiàn)方程為＝1．

(2)將點(diǎn)M(3，m)代入雙曲線(xiàn)方程得：∴m2＝3，∴M(3，±)，0)，F(xiàn)2(2

＝1，又由雙曲線(xiàn)方程知F1(－2，0)∴＝＝－1 ∴MF1⊥MF2．

(3)由MF1⊥MF2知∠F1MF2＝90°

∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2 ① 又||MF1|－|MF2||＝2 ②

①－②2得：2|MF1|2|MF2|＝|F1F2|2－24＝4312－24＝24 ∴＝|MF1|2|MF2|＝6．

11．解：當(dāng)所求雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，方程為＝1(a>0，b>0)，漸近線(xiàn)方程為y＝±x，由已知條件知：雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(4，－1)，則有＝1 ①

又∵圓x2＋y2＝17在A(4，－1)的切線(xiàn)方程為4x－y＝17，由題意知

＝4 ②

解由①②組成的方程組得：a2＝，b2＝255．

∴當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，雙曲線(xiàn)方程為： ＝1．

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，雙曲線(xiàn)方程為1 ③

＝1(a>0，b>0)．由題設(shè)知過(guò)點(diǎn)A(4，－1)，則有＝而雙曲線(xiàn)＝1的漸近線(xiàn)方程為y＝±x，∴＝4 ④

由③④知：a、b不存在，故焦點(diǎn)不可能在y軸上．

因此所求雙曲線(xiàn)方程為＝1．)12．解：由題意知：A(3，0)、B(－3，0)、C(－5，2由已知：|PB|－|PA|＝4，即P點(diǎn)在以B、A為焦點(diǎn)的以4為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線(xiàn)的右支上，設(shè)其方程為＝1(a>0，b>0，x>0)由2a＝4，2c＝6，得b2＝5 ∴P點(diǎn)在雙曲線(xiàn)＝1(x>0)上．

又|PB|＝|PC|，知P點(diǎn)在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)l上．

∵kBC＝，∴kl＝，又BC中點(diǎn)(－4，)∴l(xiāng)的方程為y－＝(x＋4)，即點(diǎn)P在直線(xiàn)y＝(x＋7)上．

由得11x2－56x－256＝0 ∴x＝8或x＝－<0(舍去)，P點(diǎn)坐標(biāo)(8，5)設(shè)所求方向角為θ，即θ＝∠x(chóng)AP，由tanθ＝∴A處炮擊的方向角為60°．，得θ＝60°