第一篇：雙曲線的簡單幾何性質教學反思

雙曲線的簡單幾何性質教學反思

圓錐曲線是高考的熱點和高考試題的壓軸題，主要是對圓錐曲線幾何性質的考查，因此，課堂教學時應重視對圓錐曲線幾何性質的歸納和運用.有效教學要在學生已有認知基礎上，尋找學生最近發(fā)展區(qū)促進學生更深層面上思維和理解。本節(jié)課學習活動是以學生對橢圓幾何性質的認知基礎上進行的，利用方程討論曲線的性質的這種方法，學生在學習討論橢圓的性質時已經嘗試探討過，所以這節(jié)課主要是對照橢圓幾何性質，讓學生通過類比的思想方法得出雙曲線的幾何性質.充分調動學生學習的積極性，使學生更清楚地區(qū)分兩者曲線，找出“共性”和“個性”.有效教學要使學生建立良好的知識網絡體系。良好知識結構應把知識及知識形成發(fā)展的脈絡及蘊含的數學思想方法、知識間的內在聯(lián)系、結論的推導證明線索融合成一個有機整體，也只有這樣的知識才有利于轉化成長期記憶，才能夠在需要時被自如調用。本課突出展現了雙曲線幾何性質的獲得過程.當然在課堂教學的實際活動中，有一些不盡人意，一是與橢圓的類比不到位，二是知識網絡的形成欠缺，三是由于應用多媒體，客課容量是增加了，但個別知識容易造成一帶而過，引不起足夠重視，四是時間分配上存在誤差，練習時間減少。

在教學活動中，學生的思維活動主要是在問題的驅動下進行的。能有效促進學生數學思維發(fā)生的問題應具備如下特點：（1）從學生知識可接受性的實際出發(fā)，確定合理的難度和適當的思維強度，即，問題使學生處于似會非會、似能解決又不能解決的感覺。（2）問題要有利于引起學生的認知沖突和學習心向，激發(fā)學生學習興趣，促進學生積極參與。（3）問題的序列設置要使數學內容的呈現合理、自然，有情理之中的感覺，要有利于學生領悟數學的本質，提煉數學思想方法，靈活運用所學。（4）從數學方法論的角度出發(fā)，問題要具有啟發(fā)性，如：你認為該問題可能涉及哪些知識？解決該問題需要什么條件？我們還疏漏了什么沒有？…….促進學生自己提出問題、發(fā)現問題，對數學有所感悟，實現學生思維深度參與的自動發(fā)生機制。（5）問題要有利于引領、促進學生有效反思自己的學習行為，及時整理、內省自己的思維過程，提升對知識、方法的認識。如：問題是怎樣得到解決的？使用了哪些思維方法？該問題的解決方法有推廣價值嗎？可推廣到哪些方面？……..這在實際教學活動確實有所體現，但是還有一定的欠缺，這需要在教學實踐中不斷的去摸索經驗，此外在教學設計中還應更加細致，預先設置的更細致些，會有更好的效果。

第二篇：雙曲線的簡單幾何性質的教學反思

隨著課程改革的不斷推進，在開展的各種公開課、展示課的活動中，以下三方面的問題引發(fā)教師們的更多思考：

一、教學需要講求實效

教學的實效性是課堂的生命線，在學生學習的主戰(zhàn)場——課堂，不具有效率就不具有生命力，因此，我們會發(fā)現，有些課型只能曇花一現（公開課中），而在常規(guī)課堂幾乎沒有生存空間。

有效教學要使學生建立良好的知識網絡體系。良好知識結構應把知識及知識形成發(fā)展的脈絡及蘊含的數學思想方法、知識間的內在聯(lián)系、結論的推導證明線索融合成一個有機整體，也只有這樣的知識才有利于轉化成長期記憶，才能夠在需要時被自如調用。本課突出展現了雙曲線幾何性質的獲得過程，特別是對于教材中出現較為突兀的虛軸和漸近線，從雙曲線方程的研究中獲得了很好的解釋，并把雙曲線幾何性質及其發(fā)現獲得的過程用下圖展示出來，有利于學生建立雙曲線幾何性質的良好知識網絡，此外，為了加強兩種標準位置雙曲線幾何性質的對比和聯(lián)系，在小結中又增加了讓學生按表格進行梳理的要求。

有效教學要促進學生遷移運用所學，發(fā)展學生學習的積極情感。本課在研究獲得雙曲線的幾何性質后，設計了兩項任務：一是自行研究獲得雙曲線 的幾何性質，二是練習題“研究的漸近線”，以此促進學生遷移運用所學的研究方法，加深學生對研究過程的理解和認識，并通過練習題的歸納、發(fā)現，激發(fā)學生學習的積極情感，感受數學思考發(fā)現的快樂。

有效課堂教學活動在課堂結束時，學生的學習活動不應該停止，而是在解決了原有問題后，引發(fā)學生新的思考與發(fā)現，課堂的教學應該是為了課下的不教。正常來講，一個人知道的越多，疑問也就應該越多，需要思考研究的問題也就越多，因此，應該鼓勵學生對學習過程中去反思和梳理，發(fā)現新的思考探究點，不斷擴大自己的認識。本課結尾部分是出于該想法進行設計的，但是在實際教學活動中，由于時間關系，教師只能在拖堂的一分鐘時間內匆匆提出，沒能給予學生思考時間。

二、如何擺正教師教的主體和學生學的主體地位？

從教學的最根本目的“通過教學活動促進學生的發(fā)展”來看，這就決定了學生在教學活動中處于最核心的地位，不論是以什么樣的教學方式、技巧，其效用的實現，最終都離不開學生主體的心理及思維活動，因此，教師的教必須以學生為出發(fā)點，以學生已有認知水平為基礎。

從學生學習的發(fā)生條件來看，學生主體的系列心理及思維活動的發(fā)生，需要一定的數學學習情境的作用，而數學學習情境作用的大小，又取決于教師能否創(chuàng)設出與學生認知水平相適應的學習情境，因此，學習情境能否成為有效刺激，從而激活學生的數學學習活動（有深層次的數學思維參與）的發(fā)生，都有賴于教師教的主體能動性的發(fā)揮。

因此，兩個主體的關系概括來講，就是教師教的主體作用，應體現在如何有效促進學生學習的主體性。由此來看，教師當講則講，就不必去忌諱講解，但是教師講解的語言要能夠揭示出數學的本質，要能體現數學的邏輯的力量，要能夠展示數學的魅力。本課在設計過程，一直有一個矛盾，就是既要保證課堂的效率，又要確保學生學習中的發(fā)現和研究活動，比如：有些環(huán)節(jié)讓學生去發(fā)現是非常困難的，因此需要較多的鋪墊和相當充足的時間才可以保證，而我又不想讓雙曲線的漸近線的學習占用一節(jié)課時間，因為按正常課時安排是不允許的，后來在上述思考的基礎上，確定了現在的設計：對于學生在現有認知基礎上，多數同學可以自主探究獲得的雙曲線的范圍、對稱性設計成課前預習探究作業(yè)，把雙曲線離心率的概念學習和雙曲線幾何性質的簡單應用的例題設計成課后閱讀學習，對漸近線的發(fā)現、解釋、證明設計成教師引導下的探究活動，并把從雙曲線方程對漸近線的代數特征解釋作為教師講解，把焦點在y軸上的雙曲線幾何性質的研究和練習題的解決作為學生遷移運用所學思想方法的實踐活動，把反思本課研究過程中產生的疑問與思考作為學有余力的優(yōu)秀學生的課后施展才能的舞臺。

當然在課堂教學的實際活動中，有一些不盡人意，比如教師在學生課前預習探究成果交流階段，如果有更好的語言功底，點評能夠做到既簡潔又準確，就能節(jié)省一些時間，結尾部分的反思研究過程，發(fā)現新疑問的環(huán)節(jié)就可以充分一些，但是，總體上講，課堂容量還是顯得有些太大，相對于45分鐘課堂來講太緊張了。

三、對引導性問題需要精益求精

由于數學思維就是解決數學問題的心智活動，思維過程中總是表現為不斷地提出問題、分析問題和解決問題。因此數學問題是數學思維目的性的體現，也是數學思維活動的核心動力。因此在教學活動中，學生的思維活動主要是在問題的驅動下進行的。這就決定了合理有效的系列問題設計，和激發(fā)疑問生成的情境設計，成為能否有效促進學習主體進行深層次數學思維的關鍵！

從數學學習心理學和數學學習的一般規(guī)律來看，能有效促進學生數學思維發(fā)生的問題應具備如下特點：

（1）從學生知識可接受性的實際出發(fā)，確定合理的難度和適當的思維強度，即，問題使學生處于似會非會、似能解決又不能解決的感覺。

（2）問題要有利于引起學生的認知沖突和學習心向，激發(fā)學生學習興趣，促進學生積極參與。

（3）問題的序列設置要使數學內容的呈現合理、自然，有情理之中的感覺，要有利于學生領悟數學的本質，提煉數學思想方法，靈活運用所學。

（4）從數學方法論的角度出發(fā)，問題要具有啟發(fā)性，如：你認為該問題可能涉及哪些知識？解決該問題需要什么條件？我們還疏漏了什么沒有？……促進學生自己提出問題、發(fā)現問題，對數學有所感悟，實現學生思維深度參與的自動發(fā)生機制。

（5）問題要有利于引領、促進學生有效反思自己的學習行為，及時整理、內省自己的思維過程，提升對知識、方法的認識。如：問題是怎樣得到解決的？使用了哪些思維方法？該問題的解決方法有推廣價值嗎？可推廣到哪些方面？……

這在本節(jié)課的教學活動確實有所體現，但是還有一定的欠缺，這需要在教學實踐中不斷的去摸索經驗，此外在教學設計中還應更加細致，預先設置的更細致些，會有更好的效果。

第三篇：雙曲線的簡單幾何性質

雙曲線的簡單幾何性質

【學習障礙】 1．理解障礙

(1)關于雙曲線對稱性的理解

把雙曲線方程中的y換為－y，方程不變，說明雙曲線關于x軸對稱．其原因是設(x，y)為雙曲線上的一點，y換為－y方程不變，說明(x，－y)也在此雙曲線上，由于點(x，y)，(x，－y)關于x軸對稱，故整個雙曲線關于x軸對稱．

同理，分別用(－x，y)及(－x，－y)代換方程中的(x，y)，方程都不改變，這說明雙曲線關于y軸、原點都是對稱的，因此坐標軸為對稱軸，對稱中心為原點．(2)關于對雙曲線漸近線的理解

xyxyx2y2除按課本上的證明方法外，漸近線還可以這樣理解：雙曲線(H)2－2＝1方程即(＋)(－)

ababab＝1，當雙曲線上點P(x，y)在第一、三象限且遠離原點時，|在二、四象限遠離原點時，|

xyxy＋|→＋∞，此時－→0，當點P(x，y)ababxyxy－|→＋∞，此時＋→0；這些表明雙曲線(H)上位于一、三象限的點遠ababxyxy離原點時，雙曲線越來越靠近直線－＝0，位于二、四象限的點遠離原點時，雙曲線越來越靠近＋

ababxyxy＝0，因此把直線＋＝0與－＝0叫做雙曲線(H)的漸近線．

abab(3)關于對離心率e的理解

cbba2?b2?b?由于e＝＝=1???，e越大，漸近線y＝x的斜率就越大，這時漸近線y＝－x到y(tǒng)aaaa?a?＝

2bx的角就越大，從而雙曲線開口就越闊，反之，e越小，雙曲線開口就越窄． a2．解題障礙

(1)雙曲線焦點位置的判定

雙曲線的焦點位置除題目直接告訴外，還可根據頂點位置．實軸(虛軸)、準線位置等判定，另外也可根據點在漸近線的上方還是下方來確定．(2)雙曲線方程的幾種變形

x2y2x2y2以雙曲線2－2＝1(a＞0，b＞0)為例，如果將右邊的常數1換為0，即2－2＝0就是其漸近線方ababx2y2程，但反過來就不正確．如果將常數1換為－1，即2－2＝－1為其共軛雙曲線方程，如果將常數1換為

abλ(λ≠0)，即為與原雙曲線有共同漸近線的雙曲線系方程，注意它們的應用．另外，以直線

ax±by＝0為漸近線的雙曲線系為a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．(3)等軸雙曲線的幾個重要性質

漸近線為y＝±x，離心率e＝2均是雙曲線為等軸雙曲線的充要條件，掌握這些性質可以很好地解決解題思路．

【學習策略】 1．待定系數法

根據雙曲線的某些幾何性質求雙曲線方程，一般用待定系數法轉化為解方程(組)，但要注意焦點的位置，從而正確選擇方程的形式，善于利用雙曲線的對稱性簡化作圖步驟和減少運算量．這一點正體現雙曲線的幾何性質的應用．綜上可簡記為：“巧設方程立好系，待定系數求a、b；結合圖形用性質，避免繁瑣用定義． 2．定義法

與焦點有關的距離，通過定義轉化往往收到事半功倍的效果． 3．利用雙曲線系 利用具有共同漸近線或共焦點的雙曲線系求雙曲線方程往往要比用其他方法簡單易行，另外，已知兩漸近線方程，也應能寫出對應的雙曲線系． 【例題分析】

［例1］已知雙曲線的一條漸近線方程是x－2y＝0，且過點P(4，3)，求雙曲線的標準方程．

策略：思路一：已知漸近線方程，即知道a與b的比，可用a、b中的一個未知數表示出雙曲線的標準方程，但要判斷點P的位置，才能確定雙曲線方程的類型，再由點P在雙曲線上，用待定系數法求出該雙曲線的方程．思路二：已知漸近線方程可用雙曲線系寫出標準方程，再把P點坐標代入方程可求出參數λ，從而求出雙曲線方程．

1x，2a1當x＝4時，y＝2＜yP＝3 ∴焦點在y軸上，即＝，設a＝k，b＝2k，a2＝k2，b2＝4k2．

b2解法一：∵雙曲線的一條漸近線方程為x－2y＝0即y＝x2y2∴雙曲線方程為－2?2＝1 4kk∵P(4，3)在雙曲線上，∴－169

2?＝1，∴k＝5 224kkx2y2?∴a＝5，b＝20 ∴所求雙曲線方程為－＝1 20522

xx2解法二：∵雙曲線的一條漸近線方程為x－2y＝0，即－y＝0 ∴雙曲線的漸近線方程為－y2＝0．

24x2∴可設雙曲線方程為－y2＝λ(λ≠0)

∵雙曲線經過點P(4，3)

442∴－32＝λ，λ＝－5 4x2x2y22

?∴所求的雙曲線方程為－y＝－5，即－＝1．

4205評注：由已知條件求雙曲線方程時，首先要確定其定位條件，即要確定焦點在哪個坐標軸上，再根據其他條件確定其定形條件，即a、b的值．在定位時，一般把已知點橫坐標xP代入漸近線所得的y值與yP比較可知P點在漸近線上方或下方，由此確定焦點的位置．解法二利用了共漸近線的雙曲線系，避免了對

22xy雙曲線方程類型的討論，簡化了解題過程，在共漸近線的雙曲線系方程2－2＝λ(λ≠0，λ為參數)ab中，當λ＞0時，焦點在x軸上，當λ＜0時，焦點在y軸上．

x2y25?［例2］已知雙曲線的離心率e＝，且與橢圓＝1有共同焦點，求該雙曲線的標準方程． 1332策略：可先求出橢圓的焦點即雙曲線的焦點，由離心率可得出a進而求出b，可得雙曲線方程．

解法一：橢圓中：a2＝13，b2＝3 ∴c＝13?3＝10，焦點F(±10，0)在x軸上，∴雙曲線的焦點也在x軸上，且c＝10． 由e＝5105得＝ 2a2∴a＝22，a2＝8，b2＝c2－a2＝10－8＝2．

x2y2?∴所求雙曲線方程為＝1． 82x2y2?解法二：設與橢圓共焦點的雙曲線方程為＝1(3＜k＜13)13?k3?kx2y2?即＝1，13?kk?3∴a＝13?k，c＝10

∴離心率e＝c10＝，a13?k即510＝解得k＝5．

213?kx2y2?∴所求雙曲線方程為＝1． 8222xy評注：解法二用了共焦點的圓錐曲線系方程，簡化了解題過程，一般地與橢圓2+2＝1共焦點的圓錐曲線ab22xy系方程為2+2＝1(其中a＞b＞0，k＜a2且k≠b2)．當k＜b2時，方程表示橢圓，當b2＜k＜a2時，方程a?kb?k表示雙曲線．

［例3］已知中心在原點的雙曲線的焦點為F1(－5，0)，F2(5，0)，漸近線方程為3x±4y＝0，求此雙曲線的共軛雙曲線的方程．

策略：由已知漸近線的方程可得出a、b間的關系，再由c2＝a2＋b2可求出a、b并求出雙曲線方程，也可用雙曲線系方程求解．

解法一：∵漸近線方程為3x±4y＝0，即y＝±∵焦點F(±5，0)在x軸上，∴

3x． 4b3＝，設a＝4k，b＝3k，而已知c＝5，a4由a2＋b2＝c2得16k2＋9k2＝25，k2＝1 ∴a2＝16，b2＝9 x2y2x2y2??∴雙曲線方程為＝1，它的共軛雙曲線方程為－＝1． 169169解法二：∵雙曲線的漸近線方程為3x±4y＝0，可設雙曲線系方程為9x2－16y2＝λ(λ＞0)． 即x2?9?y2?16＝1

∴a2＝????，b2＝，c＝5 ∴＋＝25 916916∴λ＝9316

x2y2y2x2??＝1． ∴雙曲線方程為＝1，它的共軛雙曲線方程為169169評注：利用雙曲線系方程，可以簡化運算．漸近線方程為ax±by＝0的雙曲線系方程為a2x2－b2y2＝λ(λ＞0時焦點在x軸上，λ＜0時焦點在y軸上)．

策略：要證PF1⊥PF2，首先容易想到的方法是證明兩直線斜率之積為－1，這需要先求出點P的坐標(x0，y0)或x02與y02，但計算相當麻煩，再一個方法是用勾股定理，這需要先求出|PF1|與|PF2|，可以考慮用雙曲線的兩個定義解決．

解法一：設點P的橫坐標為x0，當點P在雙曲線的右支上時，根據雙曲線第二定義得|PF1|＝e(x0＋a)＝ex0＋a(F1為左焦點)，c2a|PF2|＝e(x0－)＝ex0－a(F2為右焦點)． c2∴|PF1|＋|PF2|2＝2e2x02＋2a2． ∵|PF1|2|PF2|＝32

∴e2x02－a2＝32

∴e2x02＝32＋a2

∴|PF1|2＋|PF2|2＝64＋4a2＝100 又|F1F2|2＝4c2＝4(a2＋b2)＝43(9＋16)＝100，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴△F1PF2是直角三角形，PF1⊥PF2

∴同理，當點P在雙曲線左支上時，仍可得PF1⊥PF2．

解法二：∵點P在雙曲線上，依據雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝2a＝6 ∴(|PF1|－|PF2|)2＝36 又∵|PF1|2|PF2|＝32，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2332＝100 又|F1F2|2＝4c2＝100． ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2

∴PF1⊥PF2．

評注：雙曲線的定義不僅是推導雙曲線方程的依據，也是解題的常用方法，用這一方法可以解決有關雙曲線的焦點、準線等許多問題．

［例5］某工程要挖一個橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運到P處(如圖8—4—1所示)

2x2y2? ＝1的兩個焦點點P在雙曲線上，且|PF|2|PF|＝32，求證PF⊥PF．［例4］已知F1、F2是雙曲線1212 916|PA|＝100 m，|PB|＝150 m，∠APB＝60°，試說明怎樣運土才能最省工．

策略：首先抽象為數學問題，半圓中的點可分為三類：(1)沿AP到P較近；(2)沿BP到P最近；(3)沿AP、BP到P同樣近．顯然第三類點是第一、第二類點的分界．

解：設M是分界線上的任意一點，則有|MA|＋|PA|＝|MB|＋|PB|，于是|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝150－100＝50，所以第三類點M滿足性質：點M到定點A與定點B的距離之差等于常數50，符合雙曲線的定義，所以M點在以A、B為焦點的雙曲線的右支上，所以問題轉化為求雙曲線的方程． 在△PAB中，由余弦定理得

|AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA|2|PB|2cos60°＝1002＋1502－23100315021＝17500

2∴以AB所在直線為x軸，AB中點為原點建立平面直角坐標系，則界線是雙曲線孤

x2y2?＝1(x≥25)6253750所以運土時，將此雙曲線左側的土沿AP運到P處，右側的土沿BP運到P處最?。?/p>

評注：本題通過建立直角坐標系,利用點的集合的性質,構造圓錐曲線模型(即分界線)，從而確定最優(yōu)化區(qū)域． ［例6］(2000年2全國高考)如圖8—4—2，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CD|，點E滿足|AE|＝λ|EC|，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，當

32≤λ≤時，求雙曲線離心率e的取值范圍．

策略：設出雙曲線方程，由E、C坐標適合方程，找出各字母之間的聯(lián)系，特別是e同λ的關系求之． 解：如圖8—4—2，以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標系xOy，則CD⊥y軸．

因為雙曲線經過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于y軸對稱．依題意，記A(－c，0)，C(c1，h)，E(x0，y0)，其中c＝|AB|為雙曲線的半焦距，h是梯形的高．由|AE|＝λ|EC|，即(x0＋c，y0)＝22x2y2c?hc(??2)cλ(－x0，h－y0)得：x0＝，y0＝．設雙曲線方程為2－2＝1，則離心率e＝，21??aab2(1??)由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和e＝?e2h2??2?1??????????①?4b ?222??2????h?e??????2?1???②?4??1??1???b??22he由①式得2??1 ③ b4c代入雙曲線的方程得： a3e2將③式代入②式，整理得(4－4λ)＝1＋2λ，故λ＝1－2．

e?2433322依題設≤λ≤得：≤1－2≤，4e?2433解得7≤ e ≤10

所以，雙曲線的離心率的取值范圍為［7，10］． 評注：解本題關鍵找出離心率e與λ的關系，對于λ＝1－

31?2?

32，也可整理為e＝＝－2，再用2e?21??1??觀察法求得7≤ e ≤10．該題對考查學生思維能力、運算推理能力、綜合運用數學知識等能力都有較高要求，作為高考題可謂當之無愧．

x2y2［例7］設雙曲線2－2＝1(0＜a＜b)的半焦距為c，直線l過(a，0)，(0，b)兩點，已知原點到直線l的距ab離為3c，求雙曲線的離心率。4解析：由直線的截距式方程和直線l的方程為：

xy?＝1，即bx＋ay－ab＝0． ab由點到直線的距離公式得：?aba2?b2?3c． 43

432c，∴a2b2＝c

164又由雙曲線方程知：b2＋a2＝c2

∴ab＝∴a2(c2－a2)＝ 344c，∴3e4－16e2＋16＝0

∴e2＝4或e2＝ 1634c2a2?b2b22?1?又02 ∴e＝舍去 223aaa2∴e2＝4，∴e＝2．

【同步達綱練習】

1．下列各對雙曲線中，離心率與漸近線都相同的是（）

A．－＝1和－＝1 B．－＝1和＝1 C．－＝1和－＝1 D． －＝1或＝1 2．雙曲線－＝1的兩條漸近線所夾銳角的正切值是（）

3．A．

B．2

C．

D．

3．雙曲線－＝1的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率是（）A．2

B．

C．

D．

4．點P為雙曲線－y2＝1右支上一點(非頂點)，F1、F2是該雙曲線的焦點，則△F1PF2的內心在（）

A．直線x＝2上 B．直線x＝1上 C．直線y＝2x上 D．直線y＝x上

5．設連接雙曲線－＝1與－＝1的四個頂點的四邊形的面積是S1，連結其四個焦點的面積為S2，則的最大值是（）

A．

B．

C．1

D．2 6．過雙曲線的右焦點F2作垂直于實軸的弦PQ，F1為左焦點且∠PF1Q＝___________．，則雙曲線的離心率是7．以雙曲線－＝1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為___________．

8．雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，且過點P(3，－)，則它的標準方程是___________．

9．若雙曲線的漸近線方程為3x±4y＝0，則雙曲線的離心率為___________． 10．已知中心在原點，焦點F1、F2在坐標軸上的等軸雙曲線經過點(4，－)．

(1)求雙曲線的方程；

(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：MF1⊥MF2；(3)對于(2)中的點M，求△F1MF2的面積．

11．已知雙曲線的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且與圓x2＋y2＝17相交于點A(4，－1)，若圓在A點的切線與雙曲線的漸近線平行，求這雙曲線方程．

12．在一次模擬軍事演習中，A、B、C是我軍三個炮兵陣地．在指揮作戰(zhàn)圖的坐標平面上，由數據給出：A在指揮中心O的正東3 km，B在O的正西3 km，C在B的北偏西30°，相距4 km，P為敵軍陣地(如圖8—4—3)．某時刻，A處發(fā)現了敵軍陣地P的某種信號，設該信號傳播速度為1 km/s，由于B、C兩地比A地距P地遠，因此4秒鐘后，B、C才同時發(fā)現信號，于是A處準備炮擊P處，求A處炮擊的方向角θ(即東偏北多少度)．

參考答案

【同步達綱練習】

1．解析：(用排除法)選項A和B中的兩個方程所表示的雙曲線漸近線不同，故排除A和B，而C中的兩個方程所表示的雙曲線漸近線相同而離心率不同，所以也排除C，因此選D．

答案：D 2．解析：雙曲線＝1的兩條漸近線方程為y＝±x，設兩漸近線的夾角為θ，于是有：tanθ＝答案：B ．

3．解析：雙曲線∴a2＝b2．

∴c2＝a2＋b2＝2a2，＝1兩漸近線方程為y＝±x，又由題設知：－2＝－1，∴e2＝＝2，∴e＝．

答案：C 4．解析：設雙曲線的右頂點為N，△F1PF2的內切圓切雙曲線的實軸于T，由雙曲線的定義知：|PF1|－|PF2|＝4，由平面幾何知識得：|F1T|－|F2T|＝4．

又|F1T|＋|F2T|＝2c＝2，∴|F2T|＝

－2．

∴|OT|＝2 又右頂點N(2，0)，∴T與N重合，由圓的切線的性質定理知，△F1PF2的內切圓的圓心必在直線x＝2上． 答案：A 5．解析：由題設知雙曲線＝1的焦點坐標為：(±，0)，頂點坐標為

(±a，0)，雙曲線＝1的焦點坐標為(0，±)，頂點坐標為(0，±b)． 則S1＝2|2a|2|2b|＝2|ab|，S2＝

3（2)2＝2(a2＋b2)∴答案：B

．

6．解析：設雙曲線方程為＝1(a>0，b>0)，焦距2c，|PQ|＝，又知△PF1F2是等腰直角三角形，則2c＝，∴2ca＝c2－a2

∴∴e＝1±答案：－1＝0，即e2－2e－1＝0，又e>1，∴＋1

舍去∴e＝

＋1．

7．解析：由＝1知其焦點坐標為(±3，0)，頂點為(±，0)，設所求橢圓方

程為＝1(a>b>0)，則：a2＝9，b2＝32－()2＝4，∴＝1．

答案：＝1 8．解析：設所求雙曲線方程為

－y2＝λ(λ≠0)，把(3，－)代入得λ＝2，故方程為＝1．

答案：＝1 9．解析：離心率e＝，由于漸近線方程為y＝±x，當雙曲線焦點在x軸時，當雙曲線焦點在y軸時，故e為或．

答案：或 10．解：(1)設所求雙曲線的方程為x2－y2＝λ(λ≠0)則有42－(－∴λ＝6)2＝λ，∴所求雙曲線方程為＝1．

(2)將點M(3，m)代入雙曲線方程得：∴m2＝3，∴M(3，±)，0)，F2(2

＝1，又由雙曲線方程知F1(－2，0)∴＝＝－1 ∴MF1⊥MF2．

(3)由MF1⊥MF2知∠F1MF2＝90°

∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2 ① 又||MF1|－|MF2||＝2 ②

①－②2得：2|MF1|2|MF2|＝|F1F2|2－24＝4312－24＝24 ∴＝|MF1|2|MF2|＝6．

11．解：當所求雙曲線的焦點在x軸上時，方程為＝1(a>0，b>0)，漸近線方程為y＝±x，由已知條件知：雙曲線過點A(4，－1)，則有＝1 ①

又∵圓x2＋y2＝17在A(4，－1)的切線方程為4x－y＝17，由題意知

＝4 ②

解由①②組成的方程組得：a2＝，b2＝255．

∴當焦點在x軸上時，雙曲線方程為： ＝1．

當焦點在y軸上時，雙曲線方程為1 ③

＝1(a>0，b>0)．由題設知過點A(4，－1)，則有＝而雙曲線＝1的漸近線方程為y＝±x，∴＝4 ④

由③④知：a、b不存在，故焦點不可能在y軸上．

因此所求雙曲線方程為＝1．)12．解：由題意知：A(3，0)、B(－3，0)、C(－5，2由已知：|PB|－|PA|＝4，即P點在以B、A為焦點的以4為實軸長的雙曲線的右支上，設其方程為＝1(a>0，b>0，x>0)由2a＝4，2c＝6，得b2＝5 ∴P點在雙曲線＝1(x>0)上．

又|PB|＝|PC|，知P點在線段BC的垂直平分線l上．

∵kBC＝，∴kl＝，又BC中點(－4，)∴l(xiāng)的方程為y－＝(x＋4)，即點P在直線y＝(x＋7)上．

由得11x2－56x－256＝0 ∴x＝8或x＝－<0(舍去)，P點坐標(8，5)設所求方向角為θ，即θ＝∠xAP，由tanθ＝∴A處炮擊的方向角為60°．，得θ＝60°

第四篇：雙曲線及其簡單幾何性質作業(yè)

家長簽字：

學之導教育中心作業(yè)

———————————————————————————————學生:

授課時間：________年級：

教師：求滿足下列條件的雙曲線的標準方程

（1）焦點是（-4,0），（4,0），過點（2,0）

（2）離心率為54，半虛軸長為2（3）兩頂點間的距離是6，兩焦點連線被兩頂點和中心四等分過雙曲線x2-y2?3=1的左焦點F1，作傾斜角為

6的弦為AB，求：（（2）?F2AB的周長（F2為雙曲線的右焦點）

1）

AB 3 已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F1（-3,0），一條漸近線的方程為（1）求雙曲線C的標準方程

5x?2y?0、（2）若以k（k不為0）的斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個不同的點M，N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標圍成的三角形的面積為

812，求K的范圍

第五篇：雙曲線幾何性質2

授課時間 周星期 授課班級 授課教師 方法、技巧、規(guī)律 課雙曲線幾何性質 題 學1．了解雙曲線的簡單幾何性質——漸近線習2．能用雙曲線的簡單幾何性質解決一些簡單問題。目.標 重雙曲線的幾何性質及初步運用。點 難雙曲線的漸近線 點 問題 1：由橢圓的幾何性質出發(fā)，類比探究雙曲線 標準方程 觀察圖形，把握對 稱性`開放性和特 殊點 漸近線方程 問題2實軸與虛軸等長的雙曲線叫___________ 雙曲線 學方程可表示為___________，漸近線方程為________,習問題3：不同的雙曲線漸近線會相同嗎？ 過x2y222程 1.雙曲線4?9?1漸近線方程為_____，雙曲線y36?x16?1漸近線方程為_____ 2.（2009天津卷文）設雙曲線x22a2?yb2?1(a?0,b?0)的虛軸長為2，焦距為23，x224k?y9k?1漸近線方程為____ 例2.已知雙曲線方程x29?y216?1，求與它共漸近線且滿 1）過點(?3,23)22）焦點為橢圓x210?y5?1的頂點 3）焦距為10 漸近線應用 21）（2009寧夏海南卷理）雙曲線x24-y12=1的焦點到漸近（A）23（B）2（C）3 2）(2011年湖南)設雙曲線x2a2?y29?1?a?0?的漸近線3）（2010浙江理數）（8）設Fx21、F2分別為雙曲線a2?曲線右支上存在點P，滿足PF2?F1F2，且F2到直線雙曲線的漸近線方程為（A）3x?4y?0（B）3x?5y?0（C）4x?3y?x24）.（2009全國卷）雙曲線?y2?1的漸近線與圓(b