第一篇：全國2010年04月線性代數(shù)自考題及參考答案

全國2010年4月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

課程代碼：04184

一、單項選擇題（本大題共20小題，每小題1分，共20分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1.已知2階行列式a1b1a2b2=m ,b1c1b2c2=n ,則

b1b2a1?c1a2?c2=（）

A.m-n

B.n-m

C.m+n

D.-（m+n）2.設(shè)A , B , C均為n階方陣，AB=BA，AC=CA，則ABC=（）A.ACB

B.CAB

C.CBA

D.BCA

3.設(shè)A為3階方陣，B為4階方陣,且行列式|A|=1，|B|=-2，則行列式||B|A|之值為（）A.-8

B.-2

C.2

D.8

?100??100??a11a12a13??a113a12a13????????????4.已知A=?a21a22a23?，B=?a213a22a23?，P=030，Q=310?，則B=（）?????aaa??a3aa??????313233??313233??001??001?A.PA

B.AP

C.QA

D.AQ 5.已知A是一個3×4矩陣，下列命題中正確的是（）

A.若矩陣A中所有3階子式都為0，則秩（A）=2

B.若A中存在2階子式不為0，則秩（A）=2 C.若秩（A）=2，則A中所有3階子式都為0

D.若秩（A）=2，則A中所有2階子式都不為0 6.下列命題中錯誤的是（）．．A.只含有一個零向量的向量組線性相關(guān) C.由一個非零向量組成的向量組線性相關(guān)

B.由3個2維向量組成的向量組線性相關(guān) D.兩個成比例的向量組成的向量組線性相關(guān)

7.已知向量組α1,α2,α3線性無關(guān)，α1,α2,α3，β線性相關(guān)，則（）

A.α1必能由α2,α3，β線性表出

B.α2必能由α1,α3，β線性表出

C.α3必能由α1,α2，β線性表出

D.β必能由α1,α2,α3線性表出

8.設(shè)A為m×n矩陣，m≠n,則齊次線性方程組Ax=0只有零解的充分必要條件是A的秩（）A.小于m

B.等于m

C.小于n

D.等于n

9.設(shè)A為可逆矩陣，則與A必有相同特征值的矩陣為（）A.AT

B.A2

C.A-

1D.A*

22210.二次型f（x1,x2,x3）=x1?x2?x3?2x1x2的正慣性指數(shù)為（）

A.0

B.1

C.2

D.3

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.行列式***0的值為_________________________.?1?13?2?,B=??12.設(shè)矩陣A=??201??0???0??,則ATB=____________________________.1??13.設(shè)4維向量??（3,-1,0,2）T,β=（3,1,-1,4）T，若向量γ滿足2??γ=3β，則γ=__________.14.設(shè)A為n階可逆矩陣，且|A|=?1,則|A-1|=___________________________.n15.設(shè)A為n階矩陣，B為n階非零矩陣，若B的每一個列向量都是齊次線性方程組Ax=0的解，則|A|=__________________.16.齊次線性方程組??x1?x2?x3?0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為________________.2x?x?3x?03?12?1?1?17.設(shè)n階可逆矩陣A的一個特征值是-3，則矩陣?A2?必有一個特征值為_____________.?3????1?2?2???18.設(shè)矩陣A=??2x0?的特征值為4，1，-2，則數(shù)x=________________________.??????200?????a??119.已知A=??2??0???0?2??b0?是正交矩陣，則a+b=_______________________________。

??01???120.二次型f（x1, x2, x3）=-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩陣是_______________________________。

三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

a21.計算行列式D=a2bb2b?b3cc2的值。c?c3a?a322.已知矩陣B=（2，1，3），C=（1，2，3），求（1）A=BTC；（2）A2。

TTT23.設(shè)向量組?1?(2,1,3,1),?2?(1,2,0,1),?3?(-1,1,-3,0)T,?4?(1,1,1,1),求向量組的秩及一個極大線性無關(guān)組，并用該極大線性無關(guān)組表示向量組中的其余向量。

??1??24.已知矩陣A=?0??0??210???3???14???????（2）解矩陣方程AX=B。2?，B=?25?.（1）求A-1；

????1?3?1????????x1?2x2?3x3?4??25.問a為何值時，線性方程組?2x2?ax3?2有惟一解？有無窮多解？并在有解時求出其

??2x?2x?3x?623?1解（在有無窮多解時，要求用一個特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示全部解）。

??2?26.設(shè)矩陣A=?0???0???1?-1PAP=?0???0?02003a?0??a?的三個特征值分別為1，2，5，求正的常數(shù)a的值及可逆矩陣P，使??3???0??0?。??5??

四、證明題（本題6分）

27.設(shè)A，B，A+B均為n階正交矩陣，證明（A+B）-1=A-1+B-1。2010年4月自考線性代數(shù)（經(jīng)管類）歷年試卷參考答案

第二篇：07年04月線性代數(shù)02198自考試題及答案

2007年4月高等教育自學(xué)考試全國統(tǒng)一命題考試

1．設(shè)矩陣A=（1，2），B=??12?

?，C??1?23??則下列矩陣運算中有意義的是（）??34??

??456??A．ACB B．ABC C．BAC

D．CBA

2．設(shè)A為3階方陣，且|A|=2，則|2A-1|=（）A．-4 B．-1 C．1 D．4 3．矩陣??33?????1?的逆矩陣是（）0?A．??0?1??0?3???33?? B．????13?? ??1??1?C．??0?11??

D．?

13?

?3????

?10???4．設(shè)2階矩陣A=??ab???cd??，則A*=（）?A．??d?b?．???dc????ca?? B???b?a?? ?C．???db??d?c???c?a?? D．?????ba?? ??0?10?5．設(shè)矩陣A=?1?0?234??，則A中（）??0005??A．所有2階子式都不為零 B．所有2階子式都為零 C．所有3階子式都不為零

D．存在一個3階子式不為零

6．設(shè)A為任意n階矩陣，下列矩陣中為反對稱矩陣的是（）A．A+AT B．A-AT C．AAT

D．ATA

7．設(shè)A為m×n矩陣，齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是（A．A的列向量組線性相關(guān)

B．A的列向量組線性無關(guān)

）C．A的行向量組線性相關(guān) D．A的行向量組線性無關(guān)

8．設(shè)3元非齊次線性方程組Ax=b的兩個解為α=（1，0，2）T，β=（1，-1，3）T，且系數(shù)矩陣A的秩r(A)=2,則對于任意常數(shù)k,k1,k2,方程組的通解可表為（）A．k1（1，0，2）T+k2（1，-1，3）T C．（1，0，2）+k（0，1，-1）

?111???9．矩陣A=?111?的非零特征值為（）

?111???TT

B．（1，0，2）T+k（1，-1，3）T D．（1，0，2）+k（2，-1，5）

T

TA．4 C．2 ??1?10．矩陣A=????1?A．????1?C．?????? 3????? ?3?????合同于（）?3??B．3 D．1 22?1?B．?????1?D．???2??? ?3????? ?3???2?2

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

?1?32??，則行列式|ATA|=____________.?4?a1b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3=____________.a3b311．設(shè)矩陣A=??12.若aibi≠0，i=1,2,3,則行列式a2b1a3b113．向量空間V={x=(x1,x2,0)|x1,x2為實數(shù)}的維數(shù)為____________.?a11x1?a12x2?a13x3?0?14．若齊次線性方程組?a21x1?a22x2?a23x3?0有非零解，則其系數(shù)行列式的值為____________.?ax?ax?ax?0322333?311 ?1?15．設(shè)矩陣A=?0?0?0201??0?，矩陣B=A-E，則矩陣B的秩r(B)=____________.1??16.設(shè)向量α=（1，2，3），β=（3，2，1），則向量α，β的內(nèi)積（α，β）=____________.17．設(shè)A是4×3矩陣，若齊次線性方程組Ax=0只有零解，則矩陣A的秩r(A)= ____________.18.已知某個3元非齊次線性方程組Ax=b的增廣矩陣A經(jīng)初等行變換化為：

?1?A??0?0??220?1???12?，若方程組無解，則a的取值為____________.a(a?1)a?1??322219．實二次型f(x1,x2,x3)=3x1?5x2?x3的矩陣為____________.?1?20．設(shè)矩陣A=?1?0?12?a00??0?為正定矩陣，則a的取值范圍是____________.1?a??

三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

12323496739.721．計算3階行列式249367?1?22.設(shè)A=?2??3?0121??-10?，求A.?5???0?0?0?x5?x1?x2?23.求齊次線性方程組?x1?x2?x3?x3?x4?x5?的基礎(chǔ)解系及通解.24.設(shè)向量α1=（1，-1，2，1）T，α2=（2，-2，4，-2）T，α3=（3，0，6，-1）T，α4=（0，3，0，-4）T.（1）求向量組的一個極大線性無關(guān)組；

（2）將其余向量表為該極大線性無關(guān)組的線性組合.25.設(shè)2階矩陣A的特征值為1與2，對應(yīng)的特征向量分別為α1=（1，-1）T，α2=（1，1）T，求矩陣A.222222?3x2?3x3?2ax2x3通過正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形f=y1?2y2?53,求a.26.已知二次型f(x1,x2,x3)=2x127．證明：若向量組α1=（a11,a21）,α2=(a12,a22)線性無關(guān)，則任一向量β=（b1,b2）必可由α1，α2線性表出.

第三篇：全國自考?xì)v年線性代數(shù)試題及答案.2012

全國自考?xì)v年線性代數(shù)試題及答案.2012

課程代碼：02198

說明：在本卷中，A表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣，A表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。

0?1011?1中元素a21的代數(shù)余子式A21=（）0T

*1．3階行列式aij?1?1A．-2 B．-1 C．-1 D．2 2．設(shè)n階可逆矩陣A、B、C滿足ABC=E，則B-1=（）A．A-1C-1 C．AC

?0?3．設(shè)3階矩陣A=?0?0?100B．C-1A-1 D．CA

0??21?，則A的秩為（）0??A．0 C．2 4．設(shè)矩陣A=??A．P1P2A=B ?a11?a21a12??a21?a11?，B=??a22?a11??B．1 D．3

a22?a12??0?，P1=??1?a12??1??1??，P=2?10???0??，則必有（）1??B．P2P1A=B C．AP1P2=B D．AP2P1=B

5．設(shè)向量組α1, α2, α3, α4線性相關(guān)，則向量組中（）A．必有一個向量可以表為其余向量的線性組合 B．必有兩個向量可以表為其余向量的線性組合

C．必有三個向量可以表為其余向量的線性組合 D．每一個向量都可以表為其余向量的線性組合

6．設(shè)α1, α2, α3, α4是一個4維向量組，若已知α4可以表為α1, α2, α3,的線性組合，且表示法惟一，則向量組α1, α2, α3, α4的秩為（）A．1

B．2 C．3 D．4 7．設(shè)α1, α2, α3是齊次線性方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系，則下列解向量組中，可以作為該方程組基礎(chǔ)解系的是（）

A．α1, α2, α1+α2 B．α1, α2, α1-α2 C．α1+α2, α2+α3, α3+α1

D．α1-α2，α2-α3，α3-α1

8．設(shè)A為3階矩陣，且2A?3E=0，則A必有一個特征值為（）

A．-C．2332 B．-D．0?422332

?2?9．設(shè)實對稱矩陣A=?0?0?22A．z12+z2+z3 0??T2?，則3元二次型f(x1,x2,x3)=xAx的規(guī)范形為（）?1??22B．z12+z2-z3

2C．z12+z2 2D．z12-z2

10．設(shè)2元二次型f(x1,x2)=xTAx正定，則矩陣A可取為（）A．????2?11?? ?2???2? ??1?B．???2??1?1?2?1?? 2??2? ??1?C．???1??2D．??

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

11.設(shè)3階行列式D3的第2列元素分別為1，-2，3，對應(yīng)的代數(shù)余子式分別為-3，2，1，則D3=___________。

a112a124a226a323a139a33a11a31a12a22a32a13a23=___________。a3312.已知3階行列式2a213a316a23=6，則a2113.設(shè)A=???1??12?2?，則A-2A+E=___________。0???1?

32?

?，則A=___________。4??14.設(shè)A為2階矩陣，將A的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩陣B.若B=???0?15.設(shè)3階矩陣A=?0?3?0231??-12?，則A=___________。3??16.設(shè)向量組a1=(a,1,1),a2=(1,-2,1),a3=(1,1,-2),線性相關(guān)，則數(shù)a=___________。17.3元齊次線性方程組???x1?x2?0?x2?x3?0的基礎(chǔ)解系中所含解向量的個數(shù)為___________。

18.已知3階矩陣A的特征值為0，-2，3，且矩陣B與A相似，則B?E=___________。

19.設(shè)2階實對稱矩陣A的特征值為1，2，它們對應(yīng)的特征向量分別為α1=(1,1)T，α2=(1,k)T，則數(shù)k=___________。

20.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2的矩陣A=___________。

三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

1111?a111?a111?a11121.計算4階行列式111?a.22.設(shè)2階矩陣A=???3?22??0，P=???11???1?*，矩陣B滿足關(guān)系式PB=AP，計算行列式B.?1??23.求向量組α1=(1,1,1,3)T，α2=(-1,-3,5,1)T，α3=(3,2,-1,4)T，α4=(-2,-6,10,2)T的一個極大無關(guān)組，并將向量組中的其余向量用該極大無關(guān)組線性表示.?ax1?x2?x3?0?24.設(shè)3元齊次線性方程組?x1?ax2?x3?0，?x?x?ax?023?1（1）確定當(dāng)a為何值時，方程組有非零解；

（2）當(dāng)方程組有非零解時，求出它的基礎(chǔ)解系和全部解.?2?25.設(shè)矩陣B=?3?4?0101??3?，5??（1）判定B是否可與對角矩陣相似，說明理由；

（2）若B可與對角矩陣相似，求對角矩陣∧和可逆矩陣P，使P-1BP=∧.226.設(shè)3元二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x2+x32-2x1x2-2x2x3，求正交變換x=Py，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.四、證明題（本大題6分）

?a1?27.設(shè)矩陣A=?0?0?0a200??0?，其中a1,a2,a3互不相同，證明：與A可交換的矩陣只能為對角矩陣.a3??

第四篇：自考《線性代數(shù)》經(jīng)管類2012年04月考試真題及答案

全國2012年4月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題 課程代碼：04184

說明：在本卷中,A表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩.T

*a111.設(shè)行列式a21a12a22a32a13?a112a122a222a32?3a13?3a23=（）?3a33D.12 a31A.-12 a23=2,則?a21a33?a31B.-6

C.6 ?120???2.設(shè)矩陣A=?120?,則A*中位于第1行第2列的元素是（）?003???A.-6 B.-3

C.3

D.6 3.設(shè)A為3階矩陣，且|A|=3，則(?A)?1=（）A.?3 B.?1 3C.1 3D.3 4.已知4?3矩陣A的列向量組線性無關(guān)，則AT的秩等于（）A.1 B.2

C.3

D.4 ?100???5.設(shè)A為3階矩陣,P =?210?,則用P左乘A，相當(dāng)于將A（）?001???A.第1行的2倍加到第2行

B.第1列的2倍加到第2列 C.第2行的2倍加到第1行

D.第2列的2倍加到第1列

?0?x1?2x2?3x36.齊次線性方程組?的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為（）?x+x?x= 0234?A.1 B.2

C.3

D.4 7.設(shè)4階矩陣A的秩為3，?1，?2為非齊次線性方程組Ax =b的兩個不同的解，c為任意常數(shù)，則該方程組的通解為（）A.?1?c?1??22 B.?1??223 5?c?1 C.?1?c?1??22 D.?1??225 3?c?1

8.設(shè)A是n階方陣，且|5A+3E|=0，則A必有一個特征值為（）A.?5 3B.?C.5D.??100???9.若矩陣A與對角矩陣D=?0?10?相似，則A3=（）?001???A.E B.D 222C.A D.-E

10.二次型f(x1,x2,x3)=3x1?2x2?x3是（）

A.正定的 B.負(fù)定的 C.半正定的 D.不定的

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

111.行列式21146=____________.41636?001??100?????12.設(shè)3階矩陣A的秩為2，矩陣P =?010?，Q =?010?，若矩陣B=QAP ，?100??101?????則r(B)=_____________.?1?4??48?13.設(shè)矩陣A=??，B=??，則AB=_______________.?1412????14.向量組?1=(1,1,1,1),?2=(1,2,3,4),?3=(0,1,2,3)的秩為______________.15.設(shè)?1,?2是5元齊次線性方程組Ax =0的基礎(chǔ)解系，則r(A)=______________.?10002???16.非齊次線性方程組Ax =b的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為?01002?，?0012-2???則方程組的通解是__________________________________.17.設(shè)A為3階矩陣，若A的三個特征值分別為1，2，3，則|A|=___________.18.設(shè)A為3階矩陣，且|A|=6，若A的一個特征值為2，則A*必有一個特征值為_________.22219.二次型f(x1,x2,x3)=x1的正慣性指數(shù)為_________.?x2?3x322220.二次型f(x1,x2,x3)=x1?2x2?2x3?4x2x3經(jīng)正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形______________.三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

3?421.計算行列式D =125?1253?3

2010?34?1?30???22.設(shè)A=?210?，矩陣X滿足關(guān)系式A+X=XA,求X.?002???23.設(shè)?，?，?2，?3，?4均為4維列向量，A=（?，?2，?3，?4）和B=（?，?2，?3，?4）為4階方陣.若行列式|A|=4，|B|=1，求行列式|A+B|的值.24.已知向量組?1=(1,2,?1,1)T,?2=(2,0,t,0)T,?3=(0,?4,5,?2)T,?4=(3,?2,t+4,-1)T（其中t為參數(shù)），求向量組的秩和一個極大無關(guān)組.?x1?x2?2x3?x4?3?25.求線性方程組?x1?2x2?x3?x4?2的通解..?2x?x?5x?4x?734?12（要求用它的一個特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）

26.已知向量?1=(1,1,1)T，求向量?2，?3,使?1，?2，?3兩兩正交.四、證明題（本題6分）

27.設(shè)A為m?n實矩陣，ATA為正定矩陣.證明：線性方程組Ax=0只有零解.

第五篇：線性代數(shù)習(xí)題答案

習(xí)題 三（A類）

1.設(shè)α1＝(1，1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(3，4，0).求α1-α2及3α1+2α2-α3.解：α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)

2.設(shè)3(α1-α)+2(α2+α)＝5(α3+α)，其中α1＝(2，5，1，3)，α2＝(10，1，5，10)，α＝(4，1，-1，1).求α.解：由3（α1-α）+2(α2+α)=5(α3+α)整理得：α=16163(3α1+2α2-5α3),即α=(6,12,18,24)

=(1,2,3,4)3.（1）×

（2）×

（3）√

（4）×

（5）×

4.判別下列向量組的線性相關(guān)性.（1）α1=(2,5), α2=(-1,3);(2)α1=(1,2)，α2=(2,3), α3=(4,3);(3)α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);(4)α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1).解：（1）線性無關(guān)；（2）線性相關(guān)；（3）線性無關(guān)；（4）線性相關(guān).5.設(shè)α１,α２,α3線性無關(guān)，證明：α１，α１+α２，α１+α２+α3也線性無關(guān).證明：設(shè)

k1?1?k2(?1??2)?k3(?1??2??3)?0，即

(k1?k2?k3)?1?(k2?k3)?2?k3?3?0.由?1,?2,?3線性無關(guān)，有

?k1?k2?k3?0,? ?k2?k3?0,?k?0.?3所以k1?k2?k3?0,即?1,?1??2,?1??2??3線性無關(guān).6.問a為何值時，向量組

?1?(1,2,3),?2?(3,?1,2),?3?(2,3,a)

'''線性相關(guān)，并將?3用?1,?2線性表示.13?1223?7(5?a),當(dāng)a=5時，?3?a117解：A?23?1?17?2.7.作一個以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)為行向量的秩為4的方陣.解：因向量(1,0,0,0)與（1,0,1,0）和(1,-1,0,0)線性無關(guān), 所以(1,0,0,0)可作為方陣的一個行向量，因（1,0,0,1）與(1,0,1,0)，（1，-1，0，0），（1，0，0，?1?10）線性無關(guān)，所以(1,0,0,1)可作為方陣的一個行向量.所以方陣可為??1??10?10010000??0?.0??1?

8.設(shè)?1,?2,?,?s的秩為r且其中每個向量都可經(jīng)?1,?2,?,?r線性表出.證明：?1,?2,?,?r為?1,?2,?,?s的一個極大線性無關(guān)組.【證明】若

?1,?2,?,?r

(1)線性相關(guān)，且不妨設(shè)

?1,?2,?,?t(t

(2)是(1)的一個極大無關(guān)組，則顯然（2）是?1,?2,?,?s的一個極大無關(guān)組，這與?1,?2,?,?s的秩為r矛盾，故?1,?2,?,?r必線性無關(guān)且為?1,?2,?,?s的一個極大無關(guān)組.9.求向量組?1=(1,1,1,k),?2=(1,1,k,1),?3=(1,2,1,1)的秩和一個極大無關(guān)組.【解】把?1,?2,?3按列排成矩陣A，并對其施行初等變換.?1?1A???1??k11k11??1??20????01???1??01??1??010????0k?10???1?k1?k??011??1??010????0k?10???01?k??011k?1001??0? 1??0?當(dāng)k=1時，?1,?2,?3的秩為2,?1,?3為其一極大無關(guān)組.當(dāng)k≠1時，?1,?2,?3線性無關(guān)，秩為3，極大無關(guān)組為其本身.10.確定向量?3?(2,a,b),使向量組?1?(1,1,0),?2?(1,1,1),?3與向量組?1=(0,1,1), ?2=(1,2,1),?3=(1,0,?1)的秩相同，且?3可由?1,?2,?3線性表出.【解】由于

?0?A?(?1,?2,?3)?1???1?1?B?(?1,?2,?3)?1???01211111??1??0?0????1???02??1??a?0???b???01102?100???1;?0??2??,b?a?2??

而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a?2=0,即a=2,又

?0?c?(?1,?2,?3,?3)?1???112110?12??1??a?0???b???0210010?? ,2?b?a?2??a要使?3可由?1,?2,?3線性表出，需b?a+2=0,故a=2,b=0時滿足題設(shè)要求，即?3=(2,2,0).11.求下列向量組的秩與一個極大線性無關(guān)組.(1)α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7);(2)α1＝(6，4，1，-1，2)，α2＝(1，0，2，3，-4)，α3＝(1，4，-9，-6，22)，α4＝(7，1，0，-1，3)；

(3)α1＝(1，-1，2，4)，α2＝(0，3，1，2)，α3＝(3，0，7，14)，α4＝(1，-1，2，0),α＝(2，1，5，6).解：（1）把向量組作為列向量組成矩陣Α，應(yīng)用初等行變換將Α化為最簡形矩陣B，則 11??1 0 ??1 4 1???1 4 1??1 4 1?9?????5?????0 1 ?2 ?1 ?30 ?9 ?55????????A??9???0 1 ??B

?1 ?5 ?4??0 ?9 ?5?9?0 0 0???????0 0 0?????0 0 0??3 ?6 ?7??0 ?18 ?10??????0 0 0?5可知：R（Α）=R（B）=2，B的第1，2列線性無關(guān)，由于Α的列向量組與B的對應(yīng)的列向量有相同的線性組合關(guān)系，故與B對應(yīng)的Α的第1，2列線性無關(guān)，即α1,α2是該向量組的一個極大無關(guān)組.（2）同理，? 6 1 1 7??0-11 55 7??1 2-9 0??????? 4 0 4 10 ?8 40 10-11 55 7??????? 1 2-9 0???1 2-9 0???0-8 40 1?????????1 3-6 ?10 5-15-10 5-15-1??????? 2 ?4 22 3??0 ?8 40 1??0 0 0 0????????1 2-9 0?7?0 1-5-?11?45?0 0 0-11??240 0 10 ?11??0 0 0 0????1 2-9 0??1 0 0 0???????0 1-5 00 1 0 0????????0 0 10 0???0 0 1 0??B?????0 0 0 10 0 0 1??????0 0 0 0??0 0 0 0?????????

可知R(Α)=R(B)=4,Α的4個列向量線性無關(guān),即α1,α2,α3,α4是該向量組的極大無關(guān)組.(3)同理，?1 0 3 1 2??1 0 3 1 2??1 0 3 1 2??1 0 3 1 2?????????-1 3 0-1 10 3 3 0 30 1 1 0 10 1 1 0 1??????????, A???2 1 7 2 5??0 1 1 0 1??0 0 0-4-4??0 0 0 1 1?????????4 2 14 0 60 2 2-4-20 0 0 0 00 0 0 0????????可知R(Α)=R(B)=3,取線性無關(guān)組α1,α3,α5為該向量組的一個極大無關(guān)組.12.求下列向量組的一個極大無關(guān)組,并將其余向量用此極大無關(guān)組線性表示.(1)α1=(1,1,3,1),α2=(-1,1,-1,3),α3=(5,-2,8,-9),α4=(-1,3,1,7);(2)α1=(1,1,2,3),α2=(1,-1,1,1),α3=(1,3,3,5),α4=(4,-2,5,6),α5=(-3,-1,-5,-7).解：(1)以向量組為列向量組成Α,應(yīng)用初等行變換化為最簡形式.3??1 0 1?1-1 5-1????1-1 5-1??1-1 5-1?2????7??????1 1-2 30 2-7 47??????0 1-2 2???0 1-2??B, A?????3-1 8 1??0 2-7 4?2?0 0 0 0???????0 0 0 0?????0 0 0 0??1 3-9 7??0 4-14 8 ??0 0 0 0?????可知,α1,α2為向量組的一個極大無關(guān)組.?x1?x2?5?37?x1?x2??2設(shè)α3=x1α1+x2α2,即?解得,x1?,x2??

22?3x1?x2?8?x?3x??9?12?x1?x2??1??x1?x2?3設(shè)α4=x3α1+x4α2,即?解得,x1?1,x2?2

?3x1?x2?1?x?3x?7?12所以a3?32a1?72a2,a4?a1?2a2.?1 1 1 4-3??1 1 1 4-3??1 0 2 1-2???????1-1 3-2-10-2 2-6 20 1-1 3-1????????B(2)同理, A???2 1 3 5-5??0-1 1-3 1??0 0 0 0 0???????3 1 5 6-70-2 2-6 20 0 0 0 0??????可知, α

1、α2可作為Α的一個極大線性無關(guān)組，令α3=x1α1+x2α?x1?x2?1可得：?即x1=2,x2=-1,令α4=x3α1+x4α2, x?x?3?12?x1?x2?4可得：?即x1=1,x2=3,令α5=x5α1+x6α2, ?x1?x2??2?x1?x2??3可得：?即x1=-2,x2=-1,所以α3=2α1-αx?x??1?122 α4=α1+3α2,α5=-2α1-α 13.設(shè)向量組?1,?2,?,?m與?1,?2,?,?s秩相同且?1,?2,?,?m能經(jīng)?1,?2,?,?s線性表出.證明?1,?2,?,?m與?1,?2,?,?s等價.【解】設(shè)向量組

?1,?2,?,?m

(1)與向量組

?1,?2,?,?s

(2)的極大線性無關(guān)組分別為

?1,?2,?,?r

(3)和

?1,?2,?,?r

(4)由于（1）可由（2）線性表出，那么（1）也可由（4）線性表出，從而（3）可以由（4）線性表出，即

r?i??aj?1ij?j(i?1,2,?,r).因（4）線性無關(guān)，故（3）線性無關(guān)的充分必要條件是|aij|≠0，可由（*）解出?j(j?1,2,?,r),即（4）可由（3）線性表出，從而它們等價，再由它們分別同（1），（2）等價，所以（1）和（2）等價.14.設(shè)向量組α1,α2,…,αs的秩為r1,向量組β1,β2,…,βt的秩為r2,向量組α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt的秩為r3,試證:

max{r1,r2}≤r3≤r1+r2.證明：設(shè)αs1,…，?Sr1為α1,α2,…，αs的一個極大線性無關(guān)組, βt1,βt2,…,?t為β1，r2β2,…,βt的一個極大線性無關(guān)組.μ1，…，?r為α1, α2，…，αs，β1，β2，…，βt的一

3個極大線性無關(guān)組，則α

s1，…，?S和βt1，…，β

r1tr2

可分別由μ1，…，?r線性表示，所

3以，r1≤r3，r2≤r3即max{r1,r2}≤r3，又μ1，…，?r可由α

3s1, …，αsr1，βt1，…，βtr2線性表示及線性無關(guān)性可知：r3≤r1+r2.15.已知向量組α1=(1,a,a,a)′,α2=(a,1,a,a)′,α3=(a,a,1,a)′,α4=(a,a,a,1)′的秩為3,試確定a的值.解：以向量組為列向量，組成矩陣A，用行初等變換化為最簡形式： ?1 a a a??1 a a a??1?3a a a a???????a 1 a aa-1 1?a 0 00 1-a 0 0???????? ?a a 1 a??a-1 0 1-a 0??0 0 1-a 0???????a a a 1a-1 0 0 1-a0 0 0 1-a??????由秩A=3.可知a≠1,從而1+3a=0，即a=-

13.16.求下列矩陣的行向量組的一個極大線性無關(guān)組.?25?75(1)??75??***42043??1??1320?；

(2)??2134???48??11201213025?141???1?.3???1???1????2【解】(1)矩陣的行向量組??的一個極大無關(guān)組為?1,?2,?3;

??3?????4???1????2(2)矩陣的行向量組??的一個極大無關(guān)組為?1,?2,?4.??3?????4?17.集合V1＝{(x1,x2,?,xn)｜x1,x2,?,xn∈R且x1?x2???xn＝0}是否構(gòu)成向量空間?為什么? 【解】由（0,0,…,0）∈V1知V1非空，設(shè)??(x1,x2,?,xn)?V1,??(y1,y2,?,yn)?V2,k?R)則

????(x1?y1,x2?y2,?,xn?yn)k??(kx1,kx2,?,kxn).因為

(x1?y1)?(x2?y2)???(xn?yn)?(x1?x2???xn)?(y1?y2???yn)?0, kx1?kx2???kxn?k(x1?x2???xn)?0,所以????V1,k??V1,故V1是向量空間.18.試證：由?1?(1,1,0),?2?(1,0,1),?3?(0,1,1),生成的向量空間恰為R3.【證明】把?1,?2,?3排成矩陣A=(?1,?2,?3),則

1A?1010101??2?0, 1所以?1,?2,?3線性無關(guān)，故?1,?2,?3是R3的一個基，因而?1,?2,?3生成的向量空間恰為R3.19.求由向量?1?(1,2,1,0),?2?(1,1,1,2),?3?(3,4,3,4),?4?(1,1,2,1),?5?(4,5,6,4)所生的向量空間的一組基及其維數(shù).【解】因為矩陣

A?(?1,?2,?3,?4,?5)?1?2???1??01112343411214??1??50????06???4??01?1023?2041?1114??1???30????02???4??01?1003?2001?1104???3 ?,2??0?∴?1,?2,?4是一組基，其維數(shù)是3維的.20.設(shè)?1?(1,1,0,0),?2?(1,0,1,1),?1?(2,?1,3,3),?2?(0,1,?1,?1),證明: L(?1,?2)?L(?1,?2).【解】因為矩陣

A?(?1,?2,?1,?2)?1?1???0??010112?1330??1??10????0?1????1??01?1002?3000??1 ?,0??0?由此知向量組?1,?2與向量組?1,?2的秩都是2，并且向量組?1,?2可由向量組?1,?2線性表出.由習(xí)題15知這兩向量組等價，從而?1,?2也可由?1,?2線性表出.所以

L(?1,?2)?L(?1,?2).21.在R3中求一個向量?，使它在下面兩個基

(1)?1?(1,0,1),(2)?1?(0,?1,1),?2?(?1,0,0)?2?(1,?1,0)?3?(0,1,1)?3?(1,0,1)

下有相同的坐標(biāo).【解】設(shè)?在兩組基下的坐標(biāo)均為(x1,x2,x3)，即

?x1??x1???????(?1,?2,?3)x2?(?1,?2,?3)x2,???????x3???x3???1?0???1?1000??x1??0????1x2??1????1????1?x3???1?101??x1????0x2???1????x3??

即

?1?1???0?210?1??x1????x?0, 1??2?0????x3??求該齊次線性方程組得通解

x1?k,x2?2k,x3??3k

(k為任意實數(shù))故

??x1?1?x2?2?x3?3?(k,2k,?3k).22.驗證?1?(1,?1,0),?2?(2,1,3),?3?(3,1,2)為R3的一個基，并把?1?(5,0,7), ?2?(?9,?8,?13)用這個基線性表示.【解】設(shè)

A?(?1,?2,?3),B?(?1,?2)，又設(shè)

?1?x11?1?x21?2?x31?3,?2?x12?1?x22?2?x32?3, 即

?x11?(?1,?2)?(?1,?2,?3)x21???x31x12??x22, ?x32??記作

B=AX.則

?1?(A?B)??1???0?1?0???***?2507?9??r2?r1???8????13???1?0???0233?1?0???0342010557001?9?r2?r3????17?r?2?r3??13??23?13???3??2???9??作初等行變換??13???????4??

因有A?E,故?1,?2,?3為R3的一個基，且

?2?(?1,?2)?(?1,?2,?3)3????13???3, ??2??即

?1?2?1?3?2??3,?2?3?1?3?2?2?3.（B類）

1.A 2.B 3.C 4.D 5.a=2，b=4 6.abc≠0

7.設(shè)向量組α1,α2,α3線性相關(guān),向量組α2,α3,α4線性無關(guān),問:(1)α1能否由α2,α3線性表示?證明你的結(jié)論.(2)α4能否由α1,α2,α3線性表示?證明你的結(jié)論.解：(1)由向量組α1，α2，α3線性相關(guān)，知向量組α1, α2, α3的秩小于等于2,而α2, α3, α4線性無關(guān)，所以α2, α3線性無關(guān)，故α2, α3是α1, α2, α3的極大線性無關(guān)組，所以α1能由α2, α3線性表示.（2）不能.若α4可由α1，α2，α3線性表示,而α2，α3是α1，α2，α3的極大線性無關(guān)組,所以α4可由α2，α3線性表示.與α2，α3，α4線性無關(guān)矛盾.8.若α1,α2,…,αn,αn+1線性相關(guān),但其中任意

n個向量都線性無關(guān),證明:必存在n+1個全不為零的數(shù)k1,k2,…,kn,kn+1,使

k1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0.證明:因為α1，α2，…，αn，αk1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0

n+1=0，由任意

n+1線性相關(guān)，所以存在不全為零的k1，k2，…，kn，kn+1使若k1=0，則k2α2+…+kn+1αn個向量都性線無關(guān)，則k2=…=kn+1=0,矛盾.從k1≠0,同理可知ki≠0,i=2, …,n+1,所以存在n+1個全不為零的數(shù)k1,k2,…,kn,kn+1,使k1a1+k2a2+…+kn+1an+1=0.9.設(shè)A是n×m矩陣,B是m×n矩陣,其中n＜m,E為n階單位矩陣.若AB=E,證明:B的列向量組線性無關(guān).證明：由第2章知識知，秩A≤n,秩B≤n，可由第2章小結(jié)所給矩陣秩的性質(zhì)，n=秩E≤min{秩A，秩B}≤n，所以秩B=n，所以B的列向量的秩為n，即線性無關(guān).