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      線性代數(shù)試題3

      時間:2019-05-14 03:07:34下載本文作者:會員上傳
      簡介:寫寫幫文庫小編為你整理了多篇相關(guān)的《線性代數(shù)試題3》,但愿對你工作學習有幫助,當然你在寫寫幫文庫還可以找到更多《線性代數(shù)試題3》。

      第一篇:線性代數(shù)試題3

      線性代數(shù)綜合練習題

      (三)一、選擇題

      1.設(shè)是矩陣,是階可逆矩陣,矩陣的秩為,矩陣的秩為,則().(A)(B)(C)(D)的關(guān)系依而定 2.若為正交陣,則下列矩陣中不是正交陣的是().(A)(B)(C)(D)

      3.值不為零的階行列式,經(jīng)過若干次矩陣的初等變換,則行列式的值().(A)保持不變(B)保持不為零

      (C)保持有相同的正負號(D)可以變?yōu)槿魏沃?4.設(shè)和都是階方陣,下列各項中,只有()正確.(A)若和都是對稱陣,則也是對稱陣(B)若,且,則

      (C)若是奇異陣,則和都是奇異陣(D)若是可逆陣,則和都是可逆陣

      5.向量組線性相關(guān)的充要條件是().(A)中有一個零向量

      (B)中任意向量的分量成比例

      (C)中有一個向量是其余向量的線性組合(D)中任意一個向量是其余向量的線性組合

      6.設(shè)方陣的秩分別為,則分塊矩陣的秩與的關(guān)系是().(A)(B)(C)(D)不能確定

      二、填空題

      1.設(shè)三階方陣的特征值為1,2,3,則.2.設(shè)為正定二次型,則的取值范圍為.3.設(shè),則.4.階行列式.5.設(shè)階方陣的元素全為1,則的個特征值為.6.設(shè)是非齊次線性方程組的個解,若也是它的解,則.三、計算題

      1.解矩陣方程,其中,.2.求下列矩陣的列向量組的一個最大無關(guān)組,并把其他向量用最大無關(guān)組線性表示:

      3.已知矩陣,求.4.向量組討論取何值時,(1)能由線性表示,且表示式唯一,(2)能由線性表示,且表示式不唯一,(3)不能由線性表示.四、證明題

      1.設(shè)是階方陣的兩個特征值,是對應(yīng)的特征向量,證明不是的特征向量.2.設(shè)是階方陣,若存在正整數(shù),使線性方程組有解向量,且,證明向量組是線性無關(guān)的.線性代數(shù)綜合練習題

      (三)參考答案

      一、選擇題

      1.C 2.B 3.B 4.D 5.C 6.A

      二、填空題

      1.6 ; 2.; 3.; 4.; 5.(個),; 6.1.三、計算題 1.解:由,得,為此對矩陣施行初等行變換化為行最簡形矩陣,所以.2.解:對施行初等行變換變成行最簡形,所以,的前三列是的列向量組的最大無關(guān)組,且,.3.解:先求的特征值,=,當時,由得,的對應(yīng)于2的特征向量是,當時,有得,的對應(yīng)于的特征向量是,當時,有得,的對應(yīng)于的特征向量是,取.令,則,所以

      .4.解:

      (1)當時,可由線性表示,且表示式不唯一;(2)當,且,即時,不能由線性表示;(3)當且時,能由線性表示,但表示式唯一.四、證明題

      1.證:假設(shè)是的對應(yīng)于的特征向量,則

      因為, 所以,由于是對應(yīng)于不同特征值的特征向量,所以它們線性無關(guān),從而,矛盾!

      2.證:因為是線性方程組的解向量,所以.從而(),又由知().設(shè),(1)

      以左乘上式兩邊,得,因而必有,以左乘(1)式兩邊,得,因而必有,類似地,可以證明必有,故是線性無關(guān)的.

      第二篇:線性代數(shù)試題

      線性代數(shù)試題(一)

      一、填空(每題2分,共20分)1.N(n12…(n-1))=。

      2.設(shè)D為一個三階行列式,第三列元素分別為-2,3,1,其余子式分別為9,6,24,則D=。

      3.關(guān)于線性方程組的克萊姆法則成立的條件是

      ,結(jié)論是。

      4.n階矩陣A可逆的充要條件是,設(shè)A*為A的伴隨矩陣,則A-1=。

      5.若n階矩陣滿足A2-2A-4I=0,則A-1=。

      ?1??1?????2??2??1234???3??3??1234??????4?????=,?4?6.=。7.設(shè)向量組?1,?2,?3線性相關(guān),則向量組?1,?1,?2,?2,?3,?3一定線性。

      A?1A*A8.設(shè)A三階矩陣,若=3,則= ,=。

      9.n階可逆矩陣A的列向量組為?1,?2,??n,則r(?1,?2,??n)=。10.非齊次線性方程組Am?nX=b有解的充要條件是。

      二、單項選擇題(10分,每題2分)

      k?12k?1?0的充要條件是()1.2。

      (a)k?1(b)k?3(c)k??1,且k?3(d)k??1,或k?3 2.A,B,C為n階方陣,則下列各式正確的是()(a)AB=BA(b)AB=0,則A=0或B=0(c)(A+B)(A-B)=A2-B2 d)AC=BC且C可逆,則A=B 3.設(shè)A為n階可逆矩陣,則下述說法不正確的是()

      A?1?0A?0,(a)(b)(c)r(A)=n(d)A的行向量組線性相關(guān) 4.設(shè)矩陣A=(aij)m?n,AX=0僅有零解的充要條件是()(a)A的行向量組線性無關(guān)(b)A的行向量組線性相關(guān)(c)A的列向量組線性無關(guān)(d)A的列向量組線性相關(guān)

      5.向量組 ?1,?2,??s的秩為r,則下述說法不正確的是()(a)?1,?2,??s中至少有一個r個向量的部分組線性無關(guān)

      (b)?1,?2,??s中任何r個向量的線性無關(guān)部分組與?1,?2,??s可互相線性表示

      (c)?1,?2,??s中r個向量的部分組皆線性無關(guān)(d)?1,?2,??s中r+1個向量的部分組皆線性相關(guān)

      三、判斷題(正確的劃√,錯誤的劃х,共10分,每題2分)1.5級排列41253是一個奇排列。()

      2.A為任意的m?n矩陣, 則ATA, AAT都是對稱矩陣。()

      3.?1,?2,??s線性無關(guān),則其中的任意一個部分組都線性無關(guān)。()

      0004.行列式1001001001000=-1()

      5.若兩個向量組可互相線性表示,則它們的秩相等。()

      四、計算n階行列式(12分)

      xaaaxaaax???aaaaaa??????aaa?ax

      ?223????1?10???121??(13分)注:A不可逆,修改為 2.解矩陣方程AX=A+X,其中A=?23??2??1?10????122???

      3.求向量組?1?(2,4,2),?2?(1,1,0),?3?(2,3,1),?4?(3,5,2)的極大線性無關(guān)組,并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。(10分)4.用消元法解下列方程組。(15分)

      ??x1?x2?x3?x4?1??x1?x2?x3?x4?0?1x?x?2x?2x??1234?2 ?

      五、證明題(從下列三題中任選兩道, 每題5分,共10分)

      1.設(shè)向量組?1,?2,?3線性無關(guān),證明?1,?1??2,?1??2??3也線性無關(guān)。(5分)

      2.已知向量組?,?,?線性無關(guān),而向量組?,?,?,?線性相關(guān),試證明:(1)向量?一定可由向量組?,?,?線性表示;(2)表示法是唯一的。(5分)

      3. A,B是同階對稱矩陣,證明:AB為對稱矩陣的充要條件是A與B可交換。(5分)

      線性代數(shù)試題(一)答案

      一.(1).n(n?1)(2).–12 2xj?DJD(3).線性方程組的系數(shù)行列式D?0;方程組有唯一解且

      ?1?2??31*1A?(A?2I)A?0A4(4).;(5).(6).30,?41(7).相關(guān)(8).3, 9(9).n(10).234?468??6912??81216?

      r?Ab??r?A?

      二.(1)C(2)D(3)D(4)C(5)C 三.(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√ 四.n?1[x?(n?1)a]?(x?a)(1).?3?2?1X???4?0??(2).3??1??23?0??4?12???

      (3).極大線性無關(guān)組為?1,?2

      ?3??1??2;?4??1??2(4)全部解為: 12

      1?1?TT,0??c1?1,1,0,0??c2?0,0,1,1??,0,2?2?(c1 ,c2為任意常數(shù))五.略

      線性代數(shù)試題及答案

      說明:在本卷中,AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,A*表示矩陣A的伴隨矩陣,E表示單位矩陣。表示方陣A的行列式,r(A)表示矩陣A的秩。

      一、單項選擇題(本大題共10小題,每小題2分,共20分)

      在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的,請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯癬多選或未選均無分。

      1.設(shè)3階方陣A的行列式為2,則()

      TA.-1 B.C.D.1

      2.設(shè) 則方程 的根的個數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3

      3.設(shè)A為n階方陣,將A的第1列與第2列交換得到方陣B,若 則必有()A.B.C.D.4.設(shè)A,B是任意的n階方陣,下列命題中正確的是()A.B.C.D.5.設(shè) 其中 則矩陣A的秩為()A.0 B.1 C.2 D.3

      6.設(shè)6階方陣A的秩為4,則A的伴隨矩陣A*的秩為()A.0 B.2 C.3 D.4

      7.設(shè)向量α=(1,-2,3)與β=(2,k,6)正交,則數(shù)k為()

      A.-10 B.-4 C.3 D.10

      8.已知線性方程組 無解,則數(shù)a=()A.B.0 C.D.1

      9.設(shè)3階方陣A的特征多項式為 則()

      A.-18 B.-6 C.6 D.18

      10.若3階實對稱矩陣 是正定矩陣,則A的3個特征值可能為()

      A.-1,-2,-3 B.-1,-2,3

      C.-1,2,3 D.1,2,3

      二、填空題(本大題共10小題,每小題2分,共20分)

      請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

      11.設(shè)行列式 其第3行各元素的代數(shù)余子式之和為__轉(zhuǎn)載自百分網(wǎng)http://004km.cn,請保留此標記________.12.設(shè) 則 __________.13.設(shè)A是4×3矩陣且 則 __________.14.向量組(1,2),(2,3)(3,4)的秩為__________.15.設(shè)線性無關(guān)的向量組α1,α2,…,αr可由向量組β1,β2,…,βs線性表示,則r與s的關(guān)系為__________.16.設(shè)方程組 有非零解,且數(shù) 則 __________.17.設(shè)4元線性方程組 的三個解α1,α2,α3,已知 則方程組的通解是__________.18.設(shè)3階方陣A的秩為2,且 則A的全部特征值為__________.19.設(shè)矩陣 有一個特征值 對應(yīng)的特征向量為 則數(shù)a=__________.20.設(shè)實二次型 已知A的特征值為-1,1,2,則該二次型的規(guī)范形為__________.三、計算題(本大題共6小題,每小題9分,共54分)

      21.設(shè)矩陣 其中 均為3維列向量,且 求

      22.解矩陣方程

      23.設(shè)向量組α1=(1,1,1,3)T,α2=(-1,-3,5,1)T,α3=(3,2,-1,p+2)T,α4=(3,2,-1,p+2)T問p為何值時,該向量組線性相關(guān)?并在此時求出它的秩和一個極大無關(guān)組.24.設(shè)3元線性方程組 ,(1)確定當λ取何值時,方程組有惟一解、無解、有無窮多解?

      (2)當方程組有無窮多解時,求出該方程組的通解(要求用其一個特解和導出組的基礎(chǔ)解系表示).25.已知2階方陣A的特征值為 及 方陣

      (1)求B的特征值;

      (2)求B的行列式.26.用配方法化二次型 為標準形,并寫出所作的可逆線性變換.四、證明題(本題6分)27.設(shè)A是3階反對稱矩陣,證明|A|=0.線性代數(shù)B期末試題

      一、判斷題(正確填T,錯誤填F。每小題2分,共10分)1. A是n階方陣,??R,則有?A??A。()

      ?1?1?1AB?0(AB)?BA。()2. A,B是同階方陣,且,則3.如果A與B等價,則A的行向量組與B的行向量組等價。()4.若A,B均為n階方陣,則當A?B時,A,B一定不相似。()?1,?2,?3,?4?線性相關(guān),則??1,?2,?3?也線性相關(guān)。()5.n維向量組?

      二、單項選擇題(每小題3分,共15分)

      1.下列矩陣中,()不是初等矩陣。

      ?001??100??100??100??010??000??020??01?2??????????100??(B)??010??(C)??001??(D)??001??(A)?2.設(shè)向量組?1,?2,?3線性無關(guān),則下列向量組中線性無關(guān)的是()。

      (A)?1??2,?2??3,?3??1(B)?1,?2,?3??1(C)?1,?2,2?1?3?2(D)?2,?3,2?2??3

      ?12(A?2E)?()A?A?5E?03.設(shè)A為n階方陣,且。則

      11(A?E)(A?E)(A)A?E(B)E?A(C)3(D)3

      4.設(shè)A為m?n矩陣,則有()。

      (A)若m?n,則Ax?b有無窮多解;

      (B)若m?n,則Ax?0有非零解,且基礎(chǔ)解系含有n?m個線性無關(guān)解向量;(C)若A有n階子式不為零,則Ax?b有唯一解;(D)若A有n階子式不為零,則Ax?0僅有零解。

      5.若n階矩陣A,B有共同的特征值,且各有n個線性無關(guān)的特征向量,則()

      (A)A與B相似(B)A?B,但|A-B|=0(C)A=B

      (D)A與B不一定相似,但|A|=|B|

      三、填空題(每小題4分,共20分)

      012n?10。1.n*A?13A?A?2.A為3階矩陣,且滿足3,則=______。

      ?1??0??2??1?????????1??1??2??4??234???????2??1??5??7??0?????????是線性(填相關(guān)或3.向量組,,無關(guān))的,它的一個極大線性無關(guān)組是。

      4. 已知?1,?2,?3是四元方程組Ax?b的三個解,其中A的秩R(A)=3,?1??4?????24?1????2??3????3??4????4???4????,??,則方程組Ax?b的通解為。

      ?2?31??A??1a1????503??,且秩(A)=2,則a=

      。5.設(shè)

      四、計算下列各題(每小題9分,共45分)。

      ?121??A??342????122??,求矩陣B。1.已知A+B=AB,且

      Tn2.設(shè)??(1,?1,?1,1),??(?1,1,1,?1),而A???,求A。

      3.已知方程組 有無窮多解,求a以及方程組的通解。

      4.求一個正交變換將二次型化成標準型

      222f(x1,x2,x3)?x1?2x2?2x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3

      5. A,B為4階方陣,AB+2B=0,矩陣B的秩為2且|E+A|=|2E-A|=0。(1)求矩陣A的特征值;(2)A是否可相似對角化?為什么?;(3)求|A+3E|。

      五.證明題(每題5分,共10分)。

      1.若A是對稱矩陣,B是反對稱矩陣,AB?BA是否為對稱矩陣?證明你的結(jié)論。

      T2.設(shè)A為m?n矩陣,且的秩R(A)為n,判斷AA是否為正定陣?證明你的結(jié)論。

      第三篇:線性代數(shù)試題及答案

      線性代數(shù)習題和答案

      第一部分

      選擇題

      (共28分)

      一、單項選擇題(本大題共14小題,每小題2分,共28分)在每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的,請將其代碼填在題后的括號內(nèi)。錯選或未選均無分。1.設(shè)行列式a11a21a12a22a13a23a11a21a11a21a12?a13a22?a23=m,=n,則行列式

      等于()

      A.m+n

      C.n-m

      B.-(m+n)D.m-n ?100???2.設(shè)矩陣A=?020?,則A-1等于()

      ???003??1??

      3A.?0??0??0120?0??0?

      ?1???

      B.??1??0???0?0120?0??0??1??3?

      ?1?00??3?

      C.?010??

      1???00?2??

      ?1??2D.?0??0???00??1?0 3?01????3?12???3.設(shè)矩陣A=?10?1?,A*是A????214?的伴隨矩陣,則A *中位于(1,2)的元素是()

      B.6

      A.–6

      C.2

      D.–2

      B.B?C時A=0 D.|A|?0時B=C 4.設(shè)A是方陣,如有矩陣關(guān)系式AB=AC,則必有()

      A.A =0

      C.A?0時B=C

      A.1 5.已知3×4矩陣A的行向量組線性無關(guān),則秩(AT)等于()

      B.2

      / 7

      C.3

      D.4

      和λ1β1+λ6.設(shè)兩個向量組α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均線性相關(guān),則()

      A.有不全為0的數(shù)λ1,λ2,…,λβ2+…λsβs=0

      B.有不全為0的數(shù)λ1,λ2,…,λ(αs+βs)=0

      C.有不全為0的數(shù)λ1,λ2,…,λ(αs-βs)=0

      D.有不全為0的數(shù)λ1,λ2,…,λ1+λ2α2+…+λsαs=0

      s和不全為

      s使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λss

      s使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0

      2使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λ

      s

      0的數(shù)μ1,μ2,…,μs使λ1α

      和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

      B.所有r-1階子式全為0 D.所有r階子式都不為0 7.設(shè)矩陣A的秩為r,則A中()

      A.所有r-1階子式都不為0

      C.至少有一個r階子式不等于0 是()

      A.η1+η2是Ax=0的一個解

      C.η1-η2是Ax=0的一個解

      A.秩(A)

      C.A=0

      B.η1+η2是Ax=b的一個解 D.2η1-η2是Ax=b的一個解 B.秩(A)=n-1

      D.方程組Ax=0只有零解

      12128.設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組,η1,η2是其任意2個解,則下列結(jié)論錯誤的9.設(shè)n階方陣A不可逆,則必有()

      10.設(shè)A是一個n(≥3)階方陣,下列陳述中正確的是()

      A.如存在數(shù)λ和向量α使Aα=λα,則α是A的屬于特征值λ的特征向量

      B.如存在數(shù)λ和非零向量α,使(λE-A)α=0,則λ是A的特征值

      C.A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量

      D.如λ1,λ2,λ于λ1,λ2,λ11.設(shè)λ0是矩陣3是

      A的3個互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的屬

      0的線性無關(guān)的特征向量的個3的特征向量,則α1,α2,α3有可能線性相關(guān)

      A的特征方程的3重根,A的屬于λ

      B.k<3

      D.k>3 數(shù)為k,則必有()

      A.k≤3

      C.k=3

      / 7

      12.設(shè)A是正交矩陣,則下列結(jié)論錯誤的是()

      A.|A|2必為1

      C.A-1=AT

      B.|A|必為1

      D.A的行(列)向量組是正交單位向量組

      13.設(shè)A是實對稱矩陣,C是實可逆矩陣,B=CTAC.則()

      A.A與B相似

      B.A與B不等價

      C.A與B有相同的特征值

      D.A與B合同

      14.下列矩陣中是正定矩陣的為()

      A.??23???34??34???26?

      B.? ?100???

      C.?02?3????0?35??111???D.?120????102?

      第二部分

      非選擇題(共72分)

      二、填空題(本大題共10小題,每小題2分,共20分)不寫解答過程,將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi)。錯填或不填均無分。15.111356?

      .92536?1?11???11?1?16.設(shè)A=?,B=??123??.則

      ??1?24?A+2B=

      .17.設(shè)A=(aij)3×3,|A|=2,Aij表示|A|中元素aij的代數(shù)余子式(i,j=1,2,3),則(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=

      .18.設(shè)向量(2,-3,5)與向量(-4,6,a)線性相關(guān),則a=

      .19.設(shè)A是3×4矩陣,其秩為3,若η1,η2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解,則它的通解為

      .20.設(shè)A是m×n矩陣,A的秩為r(

      .3 / 7

      21.設(shè)向量α、β的長度依次為2和3,則向量α+β與α-β的內(nèi)積(α+β,α-β)=

      .22.設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8,已知A有2個特征值-1和4,則另一特征值為

      .23.設(shè)矩陣?0106???A=?1?3?3?,已知α????2108??2???=??1????2?是它的一個特征向量,則α所對應(yīng)的特征值為

      .24.設(shè)實二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩為4,正慣性指數(shù)為3,則其規(guī)范形為

      .三、計算題(本大題共7小題,每小題6分,共42分)

      ?120???25.設(shè)A=?340?????121?,B=?110?5?23?1?(2)|4A|.?.求(1)ABT;

      ??240?26.試計算行列式3?521?123?413?1?3.?423???27.設(shè)矩陣A=?110?????123?,求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.??2??1??3??0?????????1?30??????1?.?,α=28.給定向量組α1=?,α,α23=4=?2??2??4??0??????????4???1??9??3?試判斷α4是否為α1,α2,α3的線性組合;若是,則求出組合系數(shù)。

      ?1?2?1??24229.設(shè)矩陣A=??2?10??3332??6?6?.23??34?0求:(1)秩(A);

      (2)A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。30.設(shè)矩陣?0?22???A=??2?34???4?3??2的全部特征值為1,1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D,使T-1AT=D.31.試用配方法化下列二次型為標準形

      / 7

      2f(x1,x2,x3)=x1?2x22?3x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3,并寫出所用的滿秩線性變換。

      四、證明題(本大題共2小題,每小題5分,共10分)

      32.設(shè)方陣A滿足A3=0,試證明E-A可逆,且(E-A)-1=E+A+A2.33.設(shè)η0是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解,ξ1,ξ基礎(chǔ)解系.試證明

      (1)η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ

      答案:

      一、單項選擇題(本大題共14小題,每小題2分,共28分)1.D

      2.B

      3.B

      6.D

      7.C

      8.A

      11.A

      12.B

      13.D

      二、填空題(本大題共10空,每空2分,共20分)15.6 16.4.D 9.A 14.C

      5.C 10.B

      2是其導出組Ax=0的一個

      2均是Ax=b的解;

      (2)η0,η1,η2線性無關(guān)。

      ?337?????1?37?

      17.4 18.–10 19.η1+c(η2-η1)(或η2+c(η2-η1)),c為任意常數(shù) 20.n-r 21.–5 22.–2 23.1 24.222z1?z22?z3?z4

      三、計算題(本大題共7小題,每小題6分,共42分)

      ?120??2?2?????40??34?25.解(1)AB=?3??????121???10?T

      ?86???=?1810????310?(2)|4A|=43|A|=64|A|,而

      .|A|=120340??2.?121所以|4A|=64·(-2)=-128 26.解 3?521110?5?123?413?1?3?5?110?5110?5?113?11300

      / 7

      =511?111?1 ?5?50511?62?620??30?10?40.?5?5?5?50=27.解

      AB=A+2B即(A-2E)B=A,而

      (A-2E)-1?223???=?1?10?????121??1?1?4?3?????1?5?3?.????164?所以

      B=(A-2E)-1?1?4?3??423??????5?3??110? A=?1??????164???123??3?8?6????9?6?.=?2????2129?28.解一 ??2130??0?53?2?????1?30?11?30?1????

      ????0224??0112??????34?19??013?112??1?0?????0??0?1?0?????0??005??1??112?0?????0088???0?14?14??0002??101?, 011??000?3035??112?

      011??000?所以α4=2α1+α2+α3,組合系數(shù)為(2,1,1).解二

      考慮α4=x1α1+x2α2+x3α3,即 ??2x1?x2?3x3?0?x?3x??1?12 ?2x?2x?43?2??3x1?4x2?x3?9.方程組有唯一解(2,1,1)T,組合系數(shù)為(2,1,1).29.解

      對矩陣A施行初等行變換

      ?1?2?1?000A?????032??09602??6?2?8?2??3?2?

      / 7

      2??1?2?10?1?2?1???0328?3032??????????000?0006?2?????000?217??0002??8?3?=B.3?1??00?0(1)秩(B)=3,所以秩(A)=秩(B)=3.(2)由于A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系,而B是階梯形,B的第1、2、4列是B的列向量組的一個最大線性無關(guān)組,故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。(A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是)

      30.解 A的屬于特征值λ=1的2個線性無關(guān)的特征向量為

      ξ1=(2,-1,0)T,ξ2=(2,0,1)T.??25/5???25/15?經(jīng)正交標準化,得η

      1?,η

      2??5/5?=?5/15?=?4?.?0????5/3??λ=-8的一個特征向量為

      ??1/3?ξ=?1?3??,經(jīng)單位化得η?2?

      3=???2/3??.??2????2/3????25/5215/151/3??所求正交矩陣為

      T=?.??5/545/152/3??05/3?2/3???1對角矩陣

      D=?00???010??.?00?8????25/5215/151/3???(也可取T=.)

      ?0?5/32/3??5/5?45/15?2/3??31.解

      f(x1,x2,x3)=(x1+2x2-2x3)2-2x22+4x2x3-7x32

      =(x1+2x2-2x3)2-2(x2-x3)2-5x32.??y1?x1?2x2?2x3?x1?y1?2設(shè)??y?y22?x2?x3,即?x2?y??2?y3?x?y?y3?x3?33?因其系數(shù)矩陣C=?1?20??11??可逆,故此線性變換滿秩。?0?001??經(jīng)此變換即得f(x1,x2,x3)的標準形

      y12-2y22-5y32.四、證明題(本大題共2小題,每小題5分,共10分)32.證

      由于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E,所以E-A可逆,且(E-A)-1= E+A+A2.33.證

      由假設(shè)Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0.(1)Aη1=A(η0+ξ1)=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2= b,所以η1,η2是Ax=b的2個解。(2)考慮l0η0+l1η1+l2η2=0,即

      (l0+l1+l2)η0+l1ξ1+l2ξ2=0.則l0+l1+l2=0,否則η0將是Ax=0的解,矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.又由假設(shè),ξ1,ξ2線性無關(guān),所以l1=0,l2=0,從而

      l0=0.所以η0,η1,η2線性無關(guān)。

      / 7,

      第四篇:線性代數(shù)試題(B)

      (101)北京理工大學遠程教育學院2007-2008學年第一學期

      《線性代數(shù)》期末試卷(A卷)

      教學站 學號 姓名 成績

      一.填空題(每小題4分,共20分)

      ?x1??2?1?1.已知A??,則XTAX?_______; ,X??????13??x2?2.設(shè)向量?1?(0,1,1),?2?(0,t,2)線性相關(guān),則t? _____;

      3.設(shè)A是秩為1的3階矩陣,則齊次線性方程組AX=0 的基礎(chǔ)解系含_____個解;

      ?111???4.已知矩陣?001?,則其秩為__________;

      ?001???5.已知2是矩陣A的一個特征值,則 |2E?A|? __________。

      二.選擇題(每小題4分,共20分)

      1.設(shè)A與B是兩個同階可逆矩陣,則();

      A.(A?B)?1?A?1?B?1

      B.|A||B|?|B||A|

      C.|A?B|?|A|?|B| D.AB?BA

      2.設(shè)A是1?2矩陣,B是2階方陣,C是2?1矩陣,則()A.ABC是1階方陣

      B.ABC是2?1階矩陣

      C.ABC是2階方陣

      D.ABC是1?2階矩陣

      3.已知向量組?1,?2,?3滿足?3?k1?1?k2?2,則()A.k1,k2不全為零

      B.?1,?2線性無關(guān) C.?3?0

      D.?1,?2,?3線性相關(guān)

      4.設(shè)?1,?2是非齊次線性方程組AX?b的兩個解,則下述說法不正確的是(); A.?1??2是導出組AX?0的1解

      B.(?1??2)是AX?0的解

      21C.?1??2是AX?b的解

      D.(?1??2)是AX?b的解

      5.設(shè)A是一個方陣,則();

      A.由| A | = 0可得 A = 0

      B.由| A | = 0可得 0是A的一個特征值

      C.由| A | = 1可得 A = E

      D.由| A | = 1可得 1是A的一個特征值

      三.計算題(每小題10分,共50分)

      131.計算行列式

      3233333333

      342.求解下列線性方程組

      ? x1?5x2?2x3??3???3x1? x2?4x3?2

      ? 5x?3x?6x??1123?用導出組的基礎(chǔ)解系表示通解。

      ?011?????120?3.解矩陣方程 X?101??? ??110??02?1???

      ??110???4.已知矩陣A??1?10?,求A的特征值和特征向量。

      ?00?2???

      5.求非退化線性替換,把實二次型

      f(x1,x2,x3)??4x1x3?2x2x3

      化為規(guī)范形。

      四.其它(每小題5分,共10分)

      1.設(shè)同階方陣A與B滿足AB?E,證明:|A||B|?1;

      2.舉例說明:由|A||B|?1不能導出AB?E。

      第五篇:自考線性代數(shù)試題

      全國2010年10月高等教育自學考試

      線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題 課程代碼:04184 說明:在本卷中,AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,A*表示矩陣A的伴隨矩陣,E是單位矩陣,|A|表示方陣A的行列式,r(A)表示矩A的秩.一、單項選擇題(本大題共10小題,每小題2分,共20分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的,請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。

      1.設(shè)A為3階矩陣,|A|=1,則|-2AT|=()A.-8 C.2 ?1?2.設(shè)矩陣A=???1??,B=(1,1),則AB=()??B.-2 D.8 A.0 ?1?C.???1??

      ??B.(1,-1)1??1D.???1?1??

      ??3.設(shè)A為n階對稱矩陣,B為n階反對稱矩陣,則下列矩陣中為反對稱矩陣的是()A.AB-BA C.AB

      B.AB+BA D.BA ?12?-14.設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A*=??34??,則A=()??A.?1 2?4?3????21?? ???12???34?? ??

      B.?1 21 2?1?2????34?? ???42???31?? ??C.?1 2D.?5.下列矩陣中不是初等矩陣的是()..?101???A.?010? ?000????100???C.?030?

      ?001???

      ?001?

      ??B.?010?

      ?100????100???D.?010?

      ?201???═════════════════════════════════════════════════════════════════════

      本套試題共分11頁,當前頁是第2

      ?1??3?????2???5?16.已知Ax=b為4元線性方程組,r(A)=3, α1, α2, α3為該方程組的3個解,且?1???,?1??3???,則該線性方程

      37?????4??9?????組的通解是_________.?1??1?????17.已知P是3階正交矩,向量???3?,???0?,則內(nèi)積(P?,P?)?_________.?2??2?????18.設(shè)2是矩陣A的一個特征值,則矩陣3A必有一個特征值為_________.?12?19.與矩陣A=??03??相似的對角矩陣為_________.???1?2?T20.設(shè)矩陣A=???2k??,若二次型f=xAx正定,則實數(shù)k的取值范圍是_________.??

      三、計算題(本大題共6小題,每小題9分,共54分)0121.求行列式D=201012210102的值.10?0?10???1?20?????22.設(shè)矩陣A=?100?,B??2?10?,求滿足矩陣方程XA-B=2E的矩陣X.?001??000??????1??1??2???2?????????23.若向量組?1??1?,?2???1?,?3??6?,?4??0?的秩為2,求k的值.?1??3???k???2k?????????23??2?2?????24.設(shè)矩陣A??1?10?,b??1?.??121??0?????(1)求A-1;(2)求解線性方程組Ax=b,并將b用A的列向量組線性表出.25.已知3階矩陣A的特征值為-1,1,2,設(shè)B=A2+2A-E,求(1)矩陣A的行列式及A的秩.(2)矩陣B的特征值及與B相似的對角矩陣.═════════════════════════════════════════════════════════════════════

      本套試題共分11頁,當前頁是第4

      C.| A |=| B |

      D.A與B有相同特征值

      9.若向量α=(1,-2,1)與β=(2,3,t)正交,則t=()A.-2 C.2

      B.0 D.4 10.設(shè)3階實對稱矩陣A的特征值分別為2,1,0,則()A.A正定 C.A負定

      B.A半正定 D.A半負定

      二、填空題(本大題共10小題,每小題2分,共20分)?3 ?2????2 1 ?1?11.設(shè)A=?0 1?,B=??,則AB=_________________.0 ?1 0???2 4???12.設(shè)A為3階方陣,且| A |=3,則| 3A-1 |=______________.13.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________.14.設(shè)α=(-1,2,2),則與α反方向的單位向量是_________________.15.設(shè)A為5階方陣,且r(A)=3,則線性空間W={x | Ax=0}的維數(shù)是______________.116.設(shè)A為3階方陣,特征值分別為-2,1,則| 5A-1 |=______________.217.若A、B為5階方陣,且Ax=0只有零解,且r(B)=3,則r(AB)=_________________.? 2 ?1 0???18.實對稱矩陣??1 0 1 ?所對應(yīng)的二次型f(x1, x2, x3)=________________.? 0 1 1????1???1?????19.設(shè)3元非齊次線性方程組Ax=b有解α1=?2?,α2=? 2?且r(A)=2,則Ax=b的通解是_______________.?3?? 3??????1???20.設(shè)α=?2?,則A=ααT的非零特征值是_______________.?3???

      三、計算題(本大題共6小題,每小題9分,共54分)2 0 0 0 1 0 2 0 0 0 21.計算5階行列式D=

      0 0 2 0 0 1 0 0 0 222.設(shè)矩陣X滿足方程

      ═════════════════════════════════════════════════════════════════════

      本套試題共分11頁,當前頁是第6

      A.PA C.QA

      B.AP D.AQ

      5.已知A是一個3×4矩陣,下列命題中正確的是()A.若矩陣A中所有3階子式都為0,則秩(A)=2 B.若A中存在2階子式不為0,則秩(A)=2 C.若秩(A)=2,則A中所有3階子式都為0 D.若秩(A)=2,則A中所有2階子式都不為0 6.下列命題中錯誤的是()..A.只含有一個零向量的向量組線性相關(guān) B.由3個2維向量組成的向量組線性相關(guān) C.由一個非零向量組成的向量組線性相關(guān) D.兩個成比例的向量組成的向量組線性相關(guān)

      7.已知向量組α1,α2,α3線性無關(guān),α1,α2,α3,β線性相關(guān),則()A.α1必能由α2,α3,β線性表出 C.α3必能由α1,α2,β線性表出

      B.α2必能由α1,α3,β線性表出 D.β必能由α1,α2,α3線性表出

      8.設(shè)A為m×n矩陣,m≠n,則齊次線性方程組Ax=0只有零解的充分必要條件是A的秩()A.小于m C.小于n

      B.等于m D.等于n

      9.設(shè)A為可逆矩陣,則與A必有相同特征值的矩陣為()A.AT C.A-1

      B.A2 D.A

      *22210.二次型f(x1,x2,x3)=x1?x2?x3?2x1x2的正慣性指數(shù)為()

      A.0 C.2

      B.1 D.3

      二、填空題(本大題共10小題,每小題2分,共20分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.行列式***0的值為_________________________.?1?13??20????,則ATB=____________________________.12.設(shè)矩陣A=,B=??201??01?????13.設(shè)4維向量??(3,-1,0,2)T,β=(3,1,-1,4)T,若向量γ滿足2??γ=3β,則γ=__________.114.設(shè)A為n階可逆矩陣,且|A|=?,則|A-1|=___________________________.n15.設(shè)A為n階矩陣,B為n階非零矩陣,若B的每一個列向量都是齊次線性方程組Ax=0的解,則|A|=__________________.═════════════════════════════════════════════════════════════════════

      本套試題共分11頁,當前頁是第8

      ??2?26.設(shè)矩陣A=?0???0?03a??0??1??-1?a的三個特征值分別為1,2,5,求正的常數(shù)a的值及可逆矩陣P,使PAP=?0????3??0??020?0??0?。??5??

      四、證明題(本題6分)

      27.設(shè)A,B,A+B均為n階正交矩陣,證明(A+B)-1=A-1+B-1。

      全國2010年1月高等教育自學考試

      說明:本卷中,AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置,αT表示向量α的轉(zhuǎn)置,E表示單位矩陣,|A|表示方陣A的行列式,A-1表示方陣A的逆矩陣,r(A)表示矩陣A的秩.一、單項選擇題(本大題共10小題,每小題2分,共30分)

      2x2y2z41.設(shè)行列式403?1,則行列式01?()

      3111111xyzA.2 3B.1 C.2

      8D.32.設(shè)A,B,C為同階可逆方陣,則(ABC)-1=()A.A-1B-1C-1 C.C-1A-1B-1

      B.C-1B-1A-1 D.A-1C-1B-1

      3.設(shè)α1,α2,α3,α4是4維列向量,矩陣A=(α1,α2,α3,α4).如果|A|=2,則|-2A|=()A.-32 C.4

      B.-4 D.32 4.設(shè)α1,α2,α3,α4 是三維實向量,則()A.α1,α2,α3,α4一定線性無關(guān) C.α1,α2,α3,α4一定線性相關(guān)

      B.α1一定可由α2,α3,α4線性表出 D.α1,α2,α3一定線性無關(guān)

      5.向量組α1=(1,0,0),α2=(1,1,0),α3=(1,1,1)的秩為()A.1 C.3

      B.2 D.4 6.設(shè)A是4×6矩陣,r(A)=2,則齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中所含向量的個數(shù)是()

      A.1 C.3

      B.2 D.4 7.設(shè)A是m×n矩陣,已知Ax=0只有零解,則以下結(jié)論正確的是()A.m≥n

      B.Ax=b(其中b是m維實向量)必有唯一解

      ═════════════════════════════════════════════════════════════════════

      本套試題共分11頁,當前頁是第10

      ?a11??x1??1???x???1?1a117.設(shè)線性方程組????2???有無窮多個解,則a=_________.??11a????x3?????2??18.設(shè)n階矩陣A有一個特征值3,則|-3E+A|=_________.19.設(shè)向量α=(1,2,-2),β=(2,a,3),且α與β正交,則a=_________.2220.二次型f(x1,x2,x3)?4x2?3x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3的秩為_________.三、計算題(本大題共6小題,每小題9分,共54分)2321.計算4階行列式D=453456456756.78?2?31??-14?5222.設(shè)A=?,判斷A是否可逆,若可逆,求其逆矩陣A.????5?73??23.設(shè)向量α=(3,2),求(αTα)101.24.設(shè)向量組α1=(1,2,3,6),α2=(1,-1,2,4),α3=(-1,1,-2,-8),α4=(1,2,3,2).(1)求該向量組的一個極大線性無關(guān)組;

      (2)將其余向量表示為該極大線性無關(guān)組的線性組合.?x1?x2?2x4?0?25.求齊次線性方程組?4x1?x2?x3?x4?0的基礎(chǔ)解系及其通解.?3x?x?x?0123??32?2???26.設(shè)矩陣A=?0?10?,求可逆方陣P,使P-1AP為對角矩陣.??42?3??

      四、證明題(本大題6分)

      27.已知向量組α1,α2,α3,α4線性無關(guān),證明:α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4-α1線性無關(guān).═════════════════════════════════════════════════════════════════════

      -本套試題共分11頁,當前頁是第11

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