第一篇：線性代數(shù)歷年考試試題

東 北 大 學(xué) 考 試 試 卷（A卷）2006-2007學(xué)年第2學(xué)期課程名稱：線性代數(shù)

一單項(xiàng)選擇題（本題共5小題，每小題4分，共20分）

1.設(shè)?1,?2,?3,?1,?2都是四維列向量，且四階行列式|?1,?2,?3,?1|?m，|?1,?2,?2,?3|?n，則四階行列式|?3,?2,?1，(?1??2)|等于 [ ].(A)m?n(B)?(m?n)(C)n?m(D)m?n

2.設(shè)n階矩陣A，B，C滿足ABC?E，則下列一定正確的是 [ ].(A)ACB?E(B)BAC?E(C)CBA?E(D)CAB?E

3.向量組?1,?2,?,?r線性相關(guān)的充分必要條件是 [ ].(A)向量組中至少有一個(gè)向量可由其它向量線性表示；(B)向量組中任一向量都可由其它向量線性表示；(C)向量組中任一向量都不能由其它向量線性表示；(D)向量組中至少有一個(gè)向量不能由其它向量線性表示；

4.設(shè)?1,?2是非齊次線性方程組Ax?b的兩個(gè)不同的解，?1,?2是其導(dǎo)出組Ax?0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則線性方程組Ax?b的通解可表示為 [ ].11(?1??2)?k1?1?k2(?1?2?2)(?1??2)?k1?1?k2(?1??2)22(A)(B)

(C)(?1??2)?k1?1?k2?2(D)(?1??2)?k1?1?k2?2

5.設(shè)n階矩陣A與B相似，則下列不正確的是 [ ].22(A)A?B(B)A??E?B??E(C)A?E?B?E(D)A與B相似

二填空題（本題共5小題，每小題4分，共20分；將正確答案填在題中括號(hào)內(nèi)。）

2AB1.設(shè)A,B都是n階矩陣，且|A|=2,|B|??3，則

?1=()。

10??1?a??A??11?a0??002???的秩R(A)?2,則a?()。2.設(shè)矩陣?1???1???0???2????1???2???1???2??2??????的過渡矩陣 ??R3.從向量空間的基，到基，?1??1??1??1?為()。

4.設(shè)R(A)?2，且線性方程組Ax?b無解，則R(A?b)?()。

222f(x,x,x)?x?2x?3x123?2tx1x2是正定的，則t滿足條件()。5.設(shè)二次型1231

2三、計(jì)算行列式（10分）D?342341341241 23?230????

1四、設(shè)A??120?，且ABA?6A?BA，求矩陣B（10分）.?003???TTTT??(1,0,?1,1)??(1,1,1,1)??(1,2,3,1)??(1,3,5,1)312

4五、討論向量組，,的線性相關(guān)性，并求其秩和一個(gè)極大線性無關(guān)組(10分)。六?為何值時(shí)線性方程組：

?x1?x2?x3?x4?1?2x?x?3x?2x?2?1234??x1?4x2?5x4????3x1?3x2?5x3?5x4?3

有解？在有解時(shí)求該方程組的通解（10分）。設(shè)V是RV2?2上所有對(duì)稱矩陣組成的線性空間，試求出V的一組基，并求

?12??12???A??21??在此組基下的矩陣(10分)。21????22f(x1,x2,x3)?2x12?x2?x3?2x2x3化成標(biāo)準(zhǔn)形，并說明上線性變換?(A)???

八、求一正交變換，將二次型f(x1,x2,x3)?1表示何種二次曲面(10分)。

線性代數(shù)試題 2008.5

一、計(jì)算下列各題(每小題5分, 共30分)

1、設(shè)?1,?2,?,?都是3維列向量，且行列式|A|?|?1,2?2,?|?a，|B|?|?2,?1,?|?b，求行列式C?|?1,2?2,???|.?100???*?1A2、設(shè)的逆矩陣A??220?, 求A的伴隨矩陣A.?333???TTTT??(1,?1,3,2)??(1,1,1,1)??(1,2,?1,1)??(1,0,1,2)31243、設(shè)，，求向量組?1,?2,?3,?4的秩和一個(gè)極大線性無關(guān)向量組。

?11?1??x1??1???????

4、已知線性方程組?211??x2???2?有解，但解不唯一，求a,b的值。

?1a1??x??b????3???T?10??01?2?2?(A)?AR??

5、求線性空間的線性變換在基E11??,E?12?00??00??，?????00??00?TA???,下的矩陣，其中是A的轉(zhuǎn)置矩陣。E21??E?22?10??01?????222f?x?x?5x?2tx1x2?2x1x3?4x2x3是正定二次型。123t6、問為何值時(shí)，二次型1?a23412?a34123?a4234?a

二、(10分)計(jì)算行列式

1三、(10分)求解下面矩陣方程中的矩陣X

?010??100??12?1????????100?X?011???102??001??001??134???????

?x1?x3?x4?2?x?x?2x?x?1?3

4四、(10分)求線性方程組?12的通解，并用對(duì)應(yīng)齊次線性方程組基礎(chǔ)?2x1?x2?x3?2x4?3??3x1?x2?3x4?5解系表示通解。

?1a1??300?????

五、(10分)已知矩陣A??ab0?與B??030?相似，求a,b的值.?411??00?1?????222f(x,x,x)?2x?x?x?2x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形 x?Qy12312

3六、12分)求出正交變換，使化二次型

七、(8分)記R是R上所有2?3矩陣，按矩陣加法、數(shù)與矩陣乘法構(gòu)成的R上的線???0V??????x3性空間，集合2?32?3x10x2???x?x?x?0,x,x,x,x?R??1241234x4???，證明：V是R的線性子空間，并求V的一組基和維數(shù)。

八、（10分）證明題：

（1）設(shè)向量組?1,?2,?,?s線性無關(guān)，向量組?1,?2,?,?s,?線性相關(guān)，證明向量?可由向量組?1,?2,?,?s線性表示且表示式唯一。（2）設(shè)A?(aij)Ta?1b?(1,0,0)3?311是實(shí)正交矩陣，且，向量，證明線性方程組Ax?b有唯一解x?b。

東 北 大 學(xué) 期 末 考 試 試 卷2008-2009學(xué)年第1學(xué)期：線性代數(shù)

一、單項(xiàng)選擇題（本題4小題，每小題3分，共12分；在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題中括號(hào)內(nèi)）

1、設(shè)A,B都是n階非零矩陣，且AB?O，則必有（）.(A)A?O或B?O；(B)A?B?O；(C)A?0或B?0 ；(D)A?B?0.2、設(shè)A是n階矩陣，A?0An?1，A是A的伴隨矩陣，則

An*

A*=（）

(A)1；(B)；(C)

；(D)A.3、n階矩陣A具有n個(gè)不同的特征值，是A與對(duì)角矩陣相似的（）

A 充分必要條件B充分但非必要條件C 必要但非充分條件D既非充分也非必要條件.4、設(shè)A是m?n階矩陣，B是n?m階矩陣，則齊次線性方程組(AB)x?0（）A當(dāng)n?m時(shí)僅有零解B當(dāng)n?m時(shí)必有非零解C當(dāng)m?n時(shí)僅有零解D當(dāng)m?n時(shí)必有非零解

二、填空（本題6個(gè)小題，每小題3分，共18分；將正確的答案填在題中括號(hào)內(nèi)）

1、設(shè)4階矩陣A?(?,?2,?3,?4)，B?(?,?2,?3,?4)，其中?,?,?2,?3,?4,均為 4維列向量，已知A?4，B?1，則A?B?（）.??111?1????1?1?11??A??A5????1?1?11?????111?1??，則 ?

2、設(shè)

??????

3、設(shè)P[i?j(k)]表示把n階單位矩陣的第j行的k倍加到第i行的得到的初等矩陣，則(P[i?j(k)])?1=（）..222f(x,x,x)?3x?3x?9x?10x1x2?12x1x3?12x2x3的秩是（）.1231234、已知二次型?0?0B???0??05、設(shè)矩陣00300?1020??0?2??2?，矩陣A與B相似，則R(A?E)?R(A?3E)?（）

1(A2)?

16、設(shè)??2是可逆矩陣A的一個(gè)特征值，則矩陣3有一個(gè)特征值等于（）.?423???A??110???123???，求矩陣B n

三、（10）設(shè)階矩陣A與B滿足條件AB?A?2B，已知矩陣

1333?33233?3Dn?3333?33334?3?????3333?n?x1?x2?kx3?4,?2??x1?kx2?x3?k,?x?x?2x??43?1

2四、（10分）計(jì)算行列式

五、（12分）已知線性方程組

問k為何值時(shí)，方程組有唯一解，無解，有無窮多解？ 并求出有無窮多解時(shí)的通解.???1??2??3，六、（12分）（1）設(shè)向量組?1,?2,?3線性無關(guān)，證明向量組???1,???2,???3TTTT??(1,2,1,3),??(4,?1,?5,?6),??(1,?3,?4,?7),?,?1,0)，234?(2,1也線性無關(guān).（2）設(shè)1試判斷該向量組的線性相關(guān)性，并給出其一個(gè)極大線性無關(guān)組。

七、（10分）設(shè)A?R，記(1)S(A)是Rn×nn×nS(A)??B:B?Rn×n，AB?0?，證明： 的一個(gè)子空間；(2)設(shè)秩(A)?r，求S(A)的一組基和維數(shù).222f?3x?3x?6x?8x1x2?4x1x3?4x2x3 12

3八、（16分）用正交變換化二次型

為標(biāo)準(zhǔn)形，給出所用的正交變換，并判斷該二次型的正定性，給出判別的理由.

第二篇：全國自考?xì)v年線性代數(shù)試題及答案.2012

全國自考?xì)v年線性代數(shù)試題及答案.2012

課程代碼：02198

說明：在本卷中，A表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣，A表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

0?1011?1中元素a21的代數(shù)余子式A21=（）0T

*1．3階行列式aij?1?1A．-2 B．-1 C．-1 D．2 2．設(shè)n階可逆矩陣A、B、C滿足ABC=E，則B-1=（）A．A-1C-1 C．AC

?0?3．設(shè)3階矩陣A=?0?0?100B．C-1A-1 D．CA

0??21?，則A的秩為（）0??A．0 C．2 4．設(shè)矩陣A=??A．P1P2A=B ?a11?a21a12??a21?a11?，B=??a22?a11??B．1 D．3

a22?a12??0?，P1=??1?a12??1??1??，P=2?10???0??，則必有（）1??B．P2P1A=B C．AP1P2=B D．AP2P1=B

5．設(shè)向量組α1, α2, α3, α4線性相關(guān)，則向量組中（）A．必有一個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合 B．必有兩個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合

C．必有三個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合 D．每一個(gè)向量都可以表為其余向量的線性組合

6．設(shè)α1, α2, α3, α4是一個(gè)4維向量組，若已知α4可以表為α1, α2, α3,的線性組合，且表示法惟一，則向量組α1, α2, α3, α4的秩為（）A．1

B．2 C．3 D．4 7．設(shè)α1, α2, α3是齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則下列解向量組中，可以作為該方程組基礎(chǔ)解系的是（）

A．α1, α2, α1+α2 B．α1, α2, α1-α2 C．α1+α2, α2+α3, α3+α1

D．α1-α2，α2-α3，α3-α1

8．設(shè)A為3階矩陣，且2A?3E=0，則A必有一個(gè)特征值為（）

A．-C．2332 B．-D．0?422332

?2?9．設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A=?0?0?22A．z12+z2+z3 0??T2?，則3元二次型f(x1,x2,x3)=xAx的規(guī)范形為（）?1??22B．z12+z2-z3

2C．z12+z2 2D．z12-z2

10．設(shè)2元二次型f(x1,x2)=xTAx正定，則矩陣A可取為（）A．????2?11?? ?2???2? ??1?B．???2??1?1?2?1?? 2??2? ??1?C．???1??2D．??

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。

11.設(shè)3階行列式D3的第2列元素分別為1，-2，3，對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式分別為-3，2，1，則D3=___________。

a112a124a226a323a139a33a11a31a12a22a32a13a23=___________。a3312.已知3階行列式2a213a316a23=6，則a2113.設(shè)A=???1??12?2?，則A-2A+E=___________。0???1?

32?

?，則A=___________。4??14.設(shè)A為2階矩陣，將A的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩陣B.若B=???0?15.設(shè)3階矩陣A=?0?3?0231??-12?，則A=___________。3??16.設(shè)向量組a1=(a,1,1),a2=(1,-2,1),a3=(1,1,-2),線性相關(guān)，則數(shù)a=___________。17.3元齊次線性方程組???x1?x2?0?x2?x3?0的基礎(chǔ)解系中所含解向量的個(gè)數(shù)為___________。

18.已知3階矩陣A的特征值為0，-2，3，且矩陣B與A相似，則B?E=___________。

19.設(shè)2階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為1，2，它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1=(1,1)T，α2=(1,k)T，則數(shù)k=___________。

20.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2的矩陣A=___________。

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

1111?a111?a111?a11121.計(jì)算4階行列式111?a.22.設(shè)2階矩陣A=???3?22??0，P=???11???1?*，矩陣B滿足關(guān)系式PB=AP，計(jì)算行列式B.?1??23.求向量組α1=(1,1,1,3)T，α2=(-1,-3,5,1)T，α3=(3,2,-1,4)T，α4=(-2,-6,10,2)T的一個(gè)極大無關(guān)組，并將向量組中的其余向量用該極大無關(guān)組線性表示.?ax1?x2?x3?0?24.設(shè)3元齊次線性方程組?x1?ax2?x3?0，?x?x?ax?023?1（1）確定當(dāng)a為何值時(shí)，方程組有非零解；

（2）當(dāng)方程組有非零解時(shí)，求出它的基礎(chǔ)解系和全部解.?2?25.設(shè)矩陣B=?3?4?0101??3?，5??（1）判定B是否可與對(duì)角矩陣相似，說明理由；

（2）若B可與對(duì)角矩陣相似，求對(duì)角矩陣∧和可逆矩陣P，使P-1BP=∧.226.設(shè)3元二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x2+x32-2x1x2-2x2x3，求正交變換x=Py，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.四、證明題（本大題6分）

?a1?27.設(shè)矩陣A=?0?0?0a200??0?，其中a1,a2,a3互不相同，證明：與A可交換的矩陣只能為對(duì)角矩陣.a3??

第三篇：XX大學(xué)線性代數(shù)考試試題

命題人：審批人：試卷分類（A卷或B卷）Axx大學(xué)線性代數(shù) 試 卷

課程：線性代數(shù)專業(yè)：計(jì)算機(jī)班級(jí)：學(xué)期：學(xué)

第四篇：線性代數(shù)試題

線性代數(shù)試題(一)

一、填空（每題2分，共20分）1.N(n12…(n-1))=。

2.設(shè)D為一個(gè)三階行列式，第三列元素分別為-2，3，1，其余子式分別為9，6，24，則D=。

3.關(guān)于線性方程組的克萊姆法則成立的條件是

，結(jié)論是。

4.n階矩陣A可逆的充要條件是，設(shè)A*為A的伴隨矩陣，則A-1=。

5.若n階矩陣滿足A2-2A-4I=0,則A-1=。

?1??1?????2??2??1234???3??3??1234??????4?????=，?4?6.=。7.設(shè)向量組?1,?2,?3線性相關(guān)，則向量組?1,?1,?2,?2,?3,?3一定線性。

A?1A*A8.設(shè)A三階矩陣，若=3，則= ,=。

9.n階可逆矩陣A的列向量組為?1,?2,??n，則r(?1,?2,??n)=。10.非齊次線性方程組Am?nX=b有解的充要條件是。

二、單項(xiàng)選擇題（10分，每題2分）

k?12k?1?0的充要條件是（）1．2。

（a）k?1（b）k?3（c）k??1,且k?3（d）k??1,或k?3 2.A,B,C為n階方陣，則下列各式正確的是（）(a)AB=BA(b)AB=0,則A=0或B=0(c)（A+B）（A-B）=A2-B2 d)AC=BC且C可逆,則A=B 3.設(shè)A為n階可逆矩陣，則下述說法不正確的是（）

A?1?0A?0,(a)(b)(c)r(A)=n(d)A的行向量組線性相關(guān) 4.設(shè)矩陣A=(aij)m?n，AX=0僅有零解的充要條件是（）(a)A的行向量組線性無關(guān)(b)A的行向量組線性相關(guān)(c)A的列向量組線性無關(guān)(d)A的列向量組線性相關(guān)

5.向量組 ?1,?2,??s的秩為r,則下述說法不正確的是（）(a)?1,?2,??s中至少有一個(gè)r個(gè)向量的部分組線性無關(guān)

(b)?1,?2,??s中任何r個(gè)向量的線性無關(guān)部分組與?1,?2,??s可互相線性表示

(c)?1,?2,??s中r個(gè)向量的部分組皆線性無關(guān)(d)?1,?2,??s中r+1個(gè)向量的部分組皆線性相關(guān)

三、判斷題（正確的劃√，錯(cuò)誤的劃х，共10分，每題2分）1．5級(jí)排列41253是一個(gè)奇排列。（）

2．A為任意的m?n矩陣, 則ATA, AAT都是對(duì)稱矩陣。（）

3．?1,?2,??s線性無關(guān)，則其中的任意一個(gè)部分組都線性無關(guān)。（）

0004．行列式1001001001000=-1（）

5．若兩個(gè)向量組可互相線性表示，則它們的秩相等。（）

四、計(jì)算n階行列式（12分）

xaaaxaaax???aaaaaa??????aaa?ax

?223????1?10???121??(13分)注：A不可逆，修改為 2．解矩陣方程AX=A+X,其中A=?23??2??1?10????122???

3．求向量組?1?(2,4,2),?2?(1,1,0),?3?(2,3,1)，?4?(3,5,2)的極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。（10分）4．用消元法解下列方程組。（15分）

??x1?x2?x3?x4?1??x1?x2?x3?x4?0?1x?x?2x?2x??1234?2 ?

五、證明題（從下列三題中任選兩道, 每題5分，共10分）

1．設(shè)向量組?1,?2,?3線性無關(guān)，證明?1,?1??2,?1??2??3也線性無關(guān)。（5分）

2．已知向量組?,?,?線性無關(guān)，而向量組?,?,?,?線性相關(guān)，試證明：（1）向量?一定可由向量組?,?,?線性表示；（2）表示法是唯一的。（5分）

3． A,B是同階對(duì)稱矩陣，證明：AB為對(duì)稱矩陣的充要條件是A與B可交換。（5分）

線性代數(shù)試題(一)答案

一．(1).n(n?1)(2).–12 2xj?DJD(3).線性方程組的系數(shù)行列式D?0；方程組有唯一解且

?1?2??31*1A?(A?2I)A?0A4(4).；(5).(6).30，?41(7).相關(guān)(8).3, 9(9).n(10).234?468??6912??81216?

r?Ab??r?A?

二．(1)C(2)D(3)D(4)C(5)C 三．(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√ 四.n?1[x?(n?1)a]?(x?a)(1).?3?2?1X???4?0??(2).3??1??23?0??4?12???

(3).極大線性無關(guān)組為?1,?2

?3??1??2;?4??1??2(4)全部解為： 12

1?1?TT,0??c1?1,1,0,0??c2?0,0,1,1??,0,2?2?(c1 ,c2為任意常數(shù))五．略

線性代數(shù)試題及答案

說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣。表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)癬多選或未選均無分。

1.設(shè)3階方陣A的行列式為2，則()

TA.-1 B.C.D.1

2.設(shè) 則方程 的根的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3

3.設(shè)A為n階方陣，將A的第1列與第2列交換得到方陣B，若 則必有()A.B.C.D.4.設(shè)A,B是任意的n階方陣，下列命題中正確的是()A.B.C.D.5.設(shè) 其中 則矩陣A的秩為()A.0 B.1 C.2 D.3

6.設(shè)6階方陣A的秩為4，則A的伴隨矩陣A*的秩為()A.0 B.2 C.3 D.4

7.設(shè)向量α=(1，-2，3)與β=(2，k，6)正交，則數(shù)k為()

A.-10 B.-4 C.3 D.10

8.已知線性方程組 無解，則數(shù)a=()A.B.0 C.D.1

9.設(shè)3階方陣A的特征多項(xiàng)式為 則()

A.-18 B.-6 C.6 D.18

10.若3階實(shí)對(duì)稱矩陣 是正定矩陣，則A的3個(gè)特征值可能為()

A.-1，-2，-3 B.-1，-2，3

C.-1，2，3 D.1，2，3

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。

11.設(shè)行列式 其第3行各元素的代數(shù)余子式之和為__轉(zhuǎn)載自百分網(wǎng)http://004km.cn，請(qǐng)保留此標(biāo)記________.12.設(shè) 則 __________.13.設(shè)A是4×3矩陣且 則 __________.14.向量組(1，2),(2，3)(3，4)的秩為__________.15.設(shè)線性無關(guān)的向量組α1，α2，…，αr可由向量組β1，β2，…,βs線性表示，則r與s的關(guān)系為__________.16.設(shè)方程組 有非零解，且數(shù) 則 __________.17.設(shè)4元線性方程組 的三個(gè)解α1，α2，α3，已知 則方程組的通解是__________.18.設(shè)3階方陣A的秩為2，且 則A的全部特征值為__________.19.設(shè)矩陣 有一個(gè)特征值 對(duì)應(yīng)的特征向量為 則數(shù)a=__________.20.設(shè)實(shí)二次型 已知A的特征值為-1，1，2，則該二次型的規(guī)范形為__________.三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

21.設(shè)矩陣 其中 均為3維列向量，且 求

22.解矩陣方程

23.設(shè)向量組α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(3，2，-1，p+2)T問p為何值時(shí)，該向量組線性相關(guān)?并在此時(shí)求出它的秩和一個(gè)極大無關(guān)組.24.設(shè)3元線性方程組 ，(1)確定當(dāng)λ取何值時(shí)，方程組有惟一解、無解、有無窮多解?

(2)當(dāng)方程組有無窮多解時(shí)，求出該方程組的通解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示).25.已知2階方陣A的特征值為 及 方陣

(1)求B的特征值;

(2)求B的行列式.26.用配方法化二次型 為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所作的可逆線性變換.四、證明題(本題6分)27.設(shè)A是3階反對(duì)稱矩陣，證明|A|=0.線性代數(shù)B期末試題

一、判斷題(正確填T，錯(cuò)誤填F。每小題2分，共10分)1． A是n階方陣，??R，則有?A??A。（）

?1?1?1AB?0(AB)?BA。（）2． A，B是同階方陣，且，則3．如果A與B等價(jià)，則A的行向量組與B的行向量組等價(jià)。()4．若A,B均為n階方陣，則當(dāng)A?B時(shí)，A,B一定不相似。()?1,?2,?3,?4?線性相關(guān)，則??1,?2,?3?也線性相關(guān)。（）5．n維向量組?

二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）

1．下列矩陣中，（）不是初等矩陣。

?001??100??100??100??010??000??020??01?2??????????100??(B)??010??(C)??001??(D)??001??（A）?2．設(shè)向量組?1,?2,?3線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的是（）。

（A）?1??2,?2??3,?3??1（B）?1,?2,?3??1（C）?1,?2,2?1?3?2（D）?2,?3,2?2??3

?12(A?2E)?（）A?A?5E?03．設(shè)A為n階方陣，且。則

11(A?E)(A?E)(A)A?E(B)E?A(C)3(D)3

4．設(shè)A為m?n矩陣，則有（）。

（A）若m?n，則Ax?b有無窮多解；

（B）若m?n，則Ax?0有非零解，且基礎(chǔ)解系含有n?m個(gè)線性無關(guān)解向量；（C）若A有n階子式不為零，則Ax?b有唯一解；（D）若A有n階子式不為零，則Ax?0僅有零解。

5．若n階矩陣A，B有共同的特征值，且各有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則（）

（A）A與B相似（B）A?B，但|A-B|=0（C）A=B

（D）A與B不一定相似，但|A|=|B|

三、填空題（每小題4分，共20分）

012n?10。1．n*A?13A?A?2．A為3階矩陣，且滿足3,則=______。

?1??0??2??1?????????1??1??2??4??234???????2??1??5??7??0?????????是線性（填相關(guān)或3．向量組，，無關(guān)）的，它的一個(gè)極大線性無關(guān)組是。

4． 已知?1,?2,?3是四元方程組Ax?b的三個(gè)解，其中A的秩R(A)=3，?1??4?????24?1????2??3????3??4????4???4????，??，則方程組Ax?b的通解為。

?2?31??A??1a1????503??，且秩(A)=2，則a=

。5．設(shè)

四、計(jì)算下列各題（每小題9分，共45分）。

?121??A??342????122??，求矩陣B。1．已知A+B=AB，且

Tn2.設(shè)??(1,?1,?1,1),??(?1,1,1,?1)，而A???，求A。

3.已知方程組 有無窮多解，求a以及方程組的通解。

4.求一個(gè)正交變換將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型

222f(x1,x2,x3)?x1?2x2?2x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3

5． A，B為4階方陣，AB+2B=0，矩陣B的秩為2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩陣A的特征值；（2）A是否可相似對(duì)角化？為什么？；（3）求|A+3E|。

五．證明題（每題5分，共10分）。

1．若A是對(duì)稱矩陣，B是反對(duì)稱矩陣，AB?BA是否為對(duì)稱矩陣？證明你的結(jié)論。

T2．設(shè)A為m?n矩陣，且的秩R(A)為n，判斷AA是否為正定陣？證明你的結(jié)論。

第五篇：2010年1月自學(xué)考試線性代數(shù)試題

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全國2010年1月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)試題 課程代碼：02198

說明：本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置，αT表示向量α的轉(zhuǎn)置，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，A-1表示方陣A的逆矩陣，R（A）表示矩陣A的秩.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

xy01z3?1,則行列式12x4312y012z1?11.設(shè)行列式41（）

A.23 B.1 D.3-1C.2

82.設(shè)A，B，C為同階可逆方陣，則（ABC）=（）A.ABC C.C-1A-1B-1-1-1-

1B.CBA D.A-1C-1B-1

-1-1-13.設(shè)α1，α2，α3，α4是4維列向量，矩陣A=（α1，α2，α3，α4），如果|A|=2，則|-2A|=（）A.-32 C.4 4.設(shè)方陣A滿足A5=E，則必有（）A.A=E C.|A|=1

B.A=-E D.|A|=-1 B.-4 D.32 5.設(shè)α1，α2，α3，α4 是三維實(shí)向量，則（）A.α1，α2，α3，α4一定線性無關(guān) C.α1，α2，α3，α4一定線性相關(guān)

B.α1一定可由α2，α3，α4線性表出 D.α1，α2，α3一定線性無關(guān)

6.設(shè)A是4×6矩陣，R（A）=2，則齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中所含向量的個(gè)數(shù)是（）

A.1 C.3 ?4?7.設(shè)A=?5??6?5?7?9B.2 D.4 2??3，則以下向量中是A的特征向量的是（）?4??A.（1，1，1）T B.（1，1，3）T

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C.（1，1，0）T

?18.設(shè)矩陣A=?1???1?131D.（1，0，-3）T

1???1的三個(gè)特征值分別為λ?1??1，λ2，λ3，則λ1+λ2+λ3 =

（）

A.4 C.6

B.5 D.7

229.三元二次型f（x1，x2，x3）=x12?4x1x2?6x1x3?4x2?12x2x3?9x3的矩陣為（）

?1A.?2???3?1C.?2???02463??6 ?9??6??6 ?9???1B.?0???3?1D.?2???34463??6 ?9??3??0 ?9??246241210.設(shè)矩陣A=?A.a<2 C.a=6 ?1?32??是正定矩陣，則a滿足（）a?

B.a=2 D.a>6

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。

125739=_________.13

32-111.行列式4612.設(shè)方陣A滿足A-2A+E=0，則（A-2E）=_________.?5?2A=??0??0210000210??0?，則1??1?13.設(shè)A-1=_________.14.設(shè)α=（1，1，-1），β=（-2，1，0），γ=（-1，-2，1），則3α-β+5γ=_________.15.實(shí)數(shù)向量空間V={（x1,x2,x3）|x1+x2+x3=0}的維數(shù)是_________.?a?16.設(shè)線性方程組?1??11a11??x1??1??????1x2?1有無窮多個(gè)解，則a=_________.?????????a??x3???2??自考網(wǎng)上培訓(xùn)班(http://net.thea.cn/zk/kc/)-精品課程在線免費(fèi)試聽 聯(lián)展自考網(wǎng)(http://net.thea.cn/zk/ks/)-中國最好的自考輔導(dǎo)資料網(wǎng)站

17.設(shè)A是m×n實(shí)矩陣，若R（ATA）=5，則R（A）=_________.18.設(shè)n階矩陣A有一個(gè)特征值3，則|-3E+A|=_________.19.設(shè)向量α=（1，2，-2），β=（2，a，3），且α與β正交，則a=_________.2220.二次型f(x1,x2,x3)?4x2?3x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3的秩為_________.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

13?521?13132?4?1?321．計(jì)算行列式D=10?5.?222.設(shè)A=?4???5?3?5?71?-1?2，判斷A是否可逆，若可逆，求其逆矩陣A.?3??23.設(shè)向量組α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）.（1）求該向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組；

（2）將其余向量表示為該最大線性無關(guān)組的線性組合.?x1?x2?2x4?0?24.求齊次線性方程組?4x1?x2?x3?x4?0的基礎(chǔ)解系及其結(jié)構(gòu)解.?3x?x?x?0123??3025.設(shè)矩陣A=????42?12?2?-1?0，求可逆方陣P，使PAP為對(duì)角矩陣.??3??2226.已知二次型f(x1,x2,x3)?5x12?5x2?cx3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的秩為2，求參數(shù)c.四、證明題（本大題6分）

27．設(shè)方陣A與方陣B相似，證明：對(duì)任意正整數(shù)m，Am與Bm相似.自考網(wǎng)上培訓(xùn)班(http://net.thea.cn/zk/kc/)-精品課程在線免費(fèi)試聽