第一篇：02直接證明--綜合法

2.2.1 直接證明--綜合法（2）

課型：習(xí)題課

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：結(jié)合教學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法之一：綜合法

過程與方法：通過教學(xué)實(shí)例，了解綜合法的思考過程、特點(diǎn)

情感態(tài)度與價(jià)值觀：體會(huì)數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn)，感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，養(yǎng)成之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣

重點(diǎn)：會(huì)用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.難點(diǎn)：根據(jù)問題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.教學(xué)方法：探究、精講

學(xué)習(xí)方法：自主、合作探究學(xué)習(xí)法

教學(xué)過程：

【自主學(xué)習(xí)】

學(xué)習(xí)內(nèi)容：

1.直接證明是指。

2.綜合法是指

3．綜合法是一種的方法，推理過程是?… ?

4.綜合法可用框圖表示為：

例題分析：

例1：△ABC在平面?外，AB???P,BC???Q,AC???R,求證：P,Q,R三點(diǎn)共線（圖見課本P37）

例2;在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列.求證：為△ABC等邊三角形.例3：在三角形ABC中，設(shè)?a,?b,求

a2?b2sin(A?B)?練習(xí)1：在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，證明 2sinCcS?ABC?12ab??a?b? 222

【拓展延伸】：設(shè)數(shù)列『an』前n項(xiàng)和為Sn，且(3?m)Sn?2man?m?3(n?N?)，其中m為常數(shù)且m??3（1）求證：『an』是等比數(shù)列

（2）若數(shù)列『an』的公比為q?f(m)，數(shù)列『bn』滿足b1?a1,bn?求證：『1』為等差數(shù)列 bn3f(bn?1),(n?N?,n?2)。2

【小結(jié)】

進(jìn)一步熟悉綜合法的思想及特點(diǎn)，會(huì)用綜合法證明數(shù)學(xué)問題。

【作業(yè)】：

1：課本P44習(xí)題2.2A組中的第2題

2：已知數(shù)列『an』滿足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an，證明數(shù)列『an?1?an』是等比數(shù)列

3：在數(shù)列『an』中，a1?1,an?1?2an?2n

（1）設(shè)bn?an。證明：數(shù)列『bn』是等比數(shù)列 2n?1

求數(shù)列『an』的前n項(xiàng)和Sn

教學(xué)反思：

第二篇：直接證明(綜合法)

2.2.1直接證明（綜合法）

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.已知 “若a1,a2?R?，且a1?a2?1，則

2.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：11??4”，試請(qǐng)此結(jié)論推廣猜想.a1a2111???9.abc

先完成證明 → 討論：證明過程有什么特點(diǎn)？

二、講授新課：

1.教學(xué)例題：

例1：已知a, b, c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc.練習(xí)：已知a，b，c是全不相等的正實(shí)數(shù)，求證

例2：在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列.求證：為△ABC等邊三角形.b?c?aa?c?ba?b?c???3 abc

練習(xí)：已知?ABC的3個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(5,?2),B(1,2),C(10,3)，求證：?ABC為直角三角形。

例3． 求證：對(duì)于任意角θ，cos4??sin4??cos2?.例4．已知：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD..求證：PC⊥BD.2.練習(xí)：

① A,B

為銳角，且tanA?tanBAtanB?A?B?60?.② 已知a?b?c, 求證：

3.小結(jié)：

114??.a?bb?ca?c2

第三篇：高中數(shù)學(xué)直接證明-綜合法

高二數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)學(xué)案姓名：班級(jí)：

編制人：審核：時(shí)間：

2.2 直接證明與間接證明

第1課時(shí)綜合法

學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解綜合法的思維過程和特點(diǎn)，掌握綜合法的解題步驟；

會(huì)用綜合法證明一些簡(jiǎn)單的命題。

在數(shù)學(xué)證明中，我們經(jīng)常從已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等出發(fā)，通過推理推導(dǎo)出所要的結(jié)論。

例:已知a>0,b>0, 求證a(b?c)?b(c?a)?4abc.利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等, 經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫＿＿＿。

用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結(jié)論.則綜合法用框圖表示為

:

合作探究：

例1 在△ＡＢＣ中，三個(gè)內(nèi)角Ａ、Ｂ、Ｃ對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證△ＡＢＣ為等邊三角形．

222

2例2 求證：對(duì)于任意角?，cos??sin??cos2?.鞏固、提高：

1.已知tan??sin??a,tan??sin??b,求證(a?b)?16ab.2.設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，非零實(shí)數(shù)x，y分別為a與b，b與c的等差中項(xiàng)，試證 2224

4ac??2.xy

小結(jié)： 綜合法是從已知的P出發(fā)，得到一系列的結(jié)論Q1,Q2,???，直到最后的結(jié)論是Q.運(yùn)用綜合法可以解決不等式、數(shù)列、三角、幾何、數(shù)論等相關(guān)證明問題.配餐練習(xí)：

1.已知1?tan??1，求證3sin2???4cos2?, 2?tan?

2.已知sin?是sin?,cos?的等差中項(xiàng)，sin?是sin?,cos?的等比中項(xiàng).求證： cos4??4sin4??3.3.設(shè)數(shù)列{an}中，a1?1，Sn?1?4an?2(n?N)，設(shè)bn?an?1?2an，求證：{bn} 是等比數(shù)列.*

第四篇：_直接證明--綜合法與分析法

教學(xué)反思：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生積極參加課堂教學(xué)，順利地完成了教學(xué)任務(wù)，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目的。但由于學(xué)生的基礎(chǔ)較差，知識(shí)遺忘嚴(yán)重，在一定程度上影響了教學(xué)進(jìn)度，使課堂上進(jìn)度比較緊張。所以在以后的教學(xué)過程中，要特別注意學(xué)生的實(shí)際水平，讓學(xué)生提前預(yù)習(xí)，以保證課堂教學(xué)進(jìn)度。

直接證明--綜合法與分析法

1．教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和

綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。

過程與方法: 多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析

問題和解決問題的能力；

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

2．教學(xué)重點(diǎn)：了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)

3．教學(xué)難點(diǎn)：分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)

4．教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。

5．教學(xué)設(shè)想：分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn).“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。

6．教學(xué)過程:

學(xué)生探究過程：

合情推理分歸納推理和類比推理，所得的結(jié)論的正確性是要證明的，數(shù)學(xué)中的兩大基本證明方法-------直接證明與間接證明。

若要證明下列問題：

已知a,b>0,求證a(b?c)?b(c?a)?4abc

教師活動(dòng)：給出以上問題，讓學(xué)生思考應(yīng)該如何證明，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式證明。教師最后歸結(jié)證明方法。

學(xué)生活動(dòng)：充分討論，思考，找出以上問題的證明方法

1.綜合法

綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是： 222

2?P?Q1??(Q1?Q2)??Q2?Q3??.....??Qn?Q?

綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч从梢阎獥l件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公例

1、在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列, a,b,c成等比數(shù)列,求證△ABC為等邊三角形.教師——引導(dǎo)

學(xué)生——小組討論

討論：若題設(shè)中去掉x?1這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換？

2.分析法

證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，還經(jīng)常從要證的結(jié)論 Q 出發(fā)，反推回去，尋求保證 Q 成立的條件，明尸 2 成立，再去尋求尸 2 成立的充分條件尸 3 件、定理、定義、公理等）為止．乞，再去尋求尸 1 成立的充分條件尸 2 ；為了證 ? ? 直到找到一個(gè)明顯成立的條件（已知條即使 Q 成立的充分條件尸 1 ．為了證明尸 1 成立，分析法：證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

?Q?P1??(P1?P2).....?(Pn?1?Pn)??Pn?P?

分析法的思維特點(diǎn)是：分析法的書寫格式：

要證明命題B為真，只需要證明命題B1為真，從而有??

這只需要證明命題B2為真，從而又有??

??

這只需要證明命題A而已知A為真，故命題B例

3、求證3?7?2

學(xué)生——自主解決

例4 已知?,??k???

2(k?Z)，且

sin??cos??2sin?①

sin?cos??sin2?②1?tan2?1?tan2?求證：。?221?tan?2(1?tan?)

教師——引導(dǎo)

學(xué)生——小組合作交流

練習(xí)：課本89頁(yè)1,2,3

課后作業(yè)：第84頁(yè)1，2,3

板書設(shè)計(jì)

第五篇：2.2.1直接證明--綜合法與分析法

課題：直接證明--綜合法與分析法

1．教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。

過程與方法: 多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力；

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

2．教學(xué)重點(diǎn)：了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)

3．教學(xué)難點(diǎn)：分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)

4．教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。

5．教學(xué)設(shè)想：分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn).“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。

6．教學(xué)過程:

學(xué)生探究過程：證明的方法

（1）、分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題。對(duì)于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。

（2）、例1．設(shè)a、b是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．

證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a2-2ab+b2＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由題設(shè)條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證

24223(1?x?x)?(1?x?x).x?1例

2、若實(shí)數(shù)，求證：

證明：采用差值比較法：

3(1?x2?x4)?(1?x?x2)

2=3?3x?3x?1?x?x?2x?2x?2x

=2(x?x?x?1)=2(x?1)(x?x?1)432224242

3132(x?1)2[(x?)2?].24 =

13?x?1,從而(x?1)2?0,且(x?)2??0,2

4132(x?1)2[(x?)2?]?0,24223(1?x?x)?(1?x?x).24∴ ∴

abba例

3、已知a,b?R,求證ab?ab.?

本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。

證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于a,b對(duì)稱，不妨設(shè)a?b?0.?a?b?0

?aabb?abba?abbb(aa?b?ba?b)?0，從而原不等式得證。

2）商值比較法：設(shè)a?b?0,aabbaa??1,a?b?0,?ba?()a?b?1.bb ab故原不等式得證。

注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號(hào)。

討論：若題設(shè)中去掉x?1這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換？

鞏固練習(xí)：第81頁(yè)練習(xí)1, 2, 3 ,4課后作業(yè)：第84頁(yè)1，2,3教學(xué)反思：本節(jié)課學(xué)習(xí)了分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn).“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。