第一篇：人教版數(shù)學(xué)選修精品--§2. 2 .1直接證明--綜合法與分析法

人教版數(shù)學(xué)選修精品——推理與證明

§2.2.1直接證明--綜合法與分析法

1．教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。

過程與方法: 多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力；

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

2．教學(xué)重點(diǎn)：了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)

3．教學(xué)難點(diǎn)：分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)

4．教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。

5．教學(xué)設(shè)想：分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn).“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。

6．教學(xué)過程:

學(xué)生探究過程：

合情推理分歸納推理和類比推理，所得的結(jié)論的正確性是要證明的，數(shù)學(xué)中的兩大基本證明方法-------直接證明與間接證明。

若要證明下列問題：

已知a,b>0,求證a(b2?c2)?b(c2?a2)?4abc

教師活動(dòng)：給出以上問題，讓學(xué)生思考應(yīng)該如何證明，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式證明。教師最后歸結(jié)證明方法。

學(xué)生活動(dòng)：充分討論，思考，找出以上問題的證明方法

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式證明以上問題，引出綜合法的定義

證明:因?yàn)閎2?c2?2bc,a?0,所以a(b2?c2)?2abc,因?yàn)閏?a?2ac,b?0,所以b(c?a)?2abc.因此, a(b?c)?b(c?a)?4abc.P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示要證明的結(jié)論

1.綜合法

綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是： 2222222

2?P?Q1??(Q1?Q2)??Q2?Q3??.....??Qn?Q?

綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч从梢阎獥l件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公例

1、在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列, a,b,c成等比數(shù)列,求證△ABC為等邊三角形.分析：將 A , B , C 成等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言就是2B =A + C;A , B , C為△ABC的內(nèi)角，這是一個(gè)隱含條件，明確表示出來是A + B + C =?； a , b，c成等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言就是b?ac．此時(shí)，如果能把角和邊統(tǒng)一起來，那么就可以進(jìn)一步尋找角和邊之

2間的關(guān)系，進(jìn)而判斷三角形的形狀，余弦定理正好滿足要求．于是，可以用余弦定理為工具進(jìn)行證明．

證明：由 A, B, C成等差數(shù)列，有 2B=A + C ． ①因?yàn)锳,B,C為△ABC的內(nèi)角，所以A + B + C=?． ⑧

?

由①②，得B=.由a, b，c成等比數(shù)列，有b2?ac.由余弦定理及③，可得

b?a?c?2accosB?a?c?ac.再由④，得a2?c2?ac?ac.(a?c)?0,因此a?c.從而A=C.由②③⑤，得

?

A=B=C=.所以△ABC為等邊三角形．

解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往要先作語言的轉(zhuǎn)換，如把文字語言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語言，或把符號(hào)語言轉(zhuǎn)換成圖形語言等．還要通過細(xì)致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來．

例

2、已知a,b?R?,求證aabb?abba.本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。

證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于a,b對(duì)稱，不妨設(shè)a?b?0.?a?b?0?ab?aba

a

b

b

a

?ab(a

a

bba?b

?b

a?b)?0，從而原不等式得證。

2）商值比較法：設(shè)a?b?0,aa?b?()?1.故原不等式得證。ba

bbab注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號(hào)。

?

?1,a?b?0, ?

ab

b

討論：若題設(shè)中去掉x?1這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換？

2.分析法

證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，還經(jīng)常從要證的結(jié)論 Q 出發(fā)，反推回去，尋求保證 Q 成立的條件，明尸 2 成立，再去尋求尸 2 成立的充分條件尸 3 件、定理、定義、公理等）為止．乞，再去尋求尸 1 成立的充分條件尸 2 ；為了證 ? ? 直到找到一個(gè)明顯成立的條件（已知條即使 Q 成立的充分條件尸 1 ．為了證明尸 1 成立，分析法：證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

?Q?P1??(P1?P2).....?(Pn?1?Pn)??Pn?P?

分析法的思維特點(diǎn)是：分析法的書寫格式：要證明命題B為真，只需要證明命題B1為真，從而有??

這只需要證明命題B2為真，從而又有????

這只需要證明命題A而已知A為真，故命題B例

3、求證3?證明：因?yàn)??只需證明(3?

7?2

57和25都是正數(shù)，所以為了證明3?7)?(25)

7?25

展開得10?221?20 即221?10,21?25 因?yàn)?1?25成立，所以

(3?

7)?(25)成立

即證明了3?7?25

說明：①分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，它與綜合法是對(duì)立②分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的模式是：為了證明命題B為真，這只需要證明命題B1為真，從而有?? 這只需要證明命題B2為真，從而又有?? 這只需要證明命題A為真 而已知A為真，故B必真

在本例中，如果我們從“21<25 ”出發(fā)，逐步倒推回去，就可以用綜合法證出結(jié)論。但由于我們很難想到從“21<25”入手，所以用綜合法比較困難。

事實(shí)上，在解決問題時(shí)，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特

‘‘

點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論 P．若由P‘可以推出Q‘成立，就可以證明結(jié)論成立．下面來看一個(gè)例子．

?

例4 已知?,??k??(k?Z)，且

sin??cos??2sin?①

sin?cos??sin?②

求證：

1?tan?1?tan?

?

1?tan?2(1?tan?)。

分析：比較已知條件和結(jié)論，發(fā)現(xiàn)結(jié)論中沒有出現(xiàn)角?，因此第一步工作可以從已知條件中消去?.觀察已知條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含數(shù)量關(guān)系

222

2(sin??cos?)?2sin?cos??1，于是，由 ①一2×② 得4sin??2sin??1．把

4sin??2sin??1與結(jié)論相比較，發(fā)現(xiàn)角相同，但函數(shù)名稱不同，于是嘗試轉(zhuǎn)化結(jié)論：

統(tǒng)一函數(shù)名稱，即把正切函數(shù)化為正（余）弦函數(shù)．把結(jié)論轉(zhuǎn)化為

cos??sin??cos??sin??

1212

(cos??sin?),再與4sin??2sin??1比較，發(fā)現(xiàn)只要把c(os??

2222

sin?中的角的余弦轉(zhuǎn)化為正弦，就能達(dá)到目的．)

證明：因?yàn)?sin??cos?)?2sin?cos??1，所以將 ① ② 代入，可得

4sin??2sin??1.③

另一方面，要證

1?tan?1?tan?

?

1?tan?2(1?tan?)

1?

sin??

2sin?cos?

1?2(1?

sin?cos?sin?cos?

即證

1?，)

即證cos2??sin2??即證1?2sin2??

(cos??sin?)，(1?2sin?)，即證4sin2??2sin2??1。

由于上式與③相同，于是問題得證。

例5 證明：通過水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管截面的周長(zhǎng)相等，那么截面是圓分析：當(dāng)水的流速相同時(shí)，水管的流量取決于水管截面面積的大小，設(shè)截面的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則周長(zhǎng)為L(zhǎng)的圓的半徑為為（L

4L2?，截面積為T1（L2?)

L2?)；周長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形邊長(zhǎng)為

L4，截面積)?（?（L4)2

證明：設(shè)截面的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，依題意，截面是圓的水管的截面面積為?(方形的水管的截面面積為（L4)，所以本題只需證明?（L2?)，截面是正

L2?)

?（L4)

為了證明上式成立，只需證明

?L4?

?

L

兩邊同乘以正數(shù)

?L

因此，只需證明4??，得

?

上式是成立的，所以?（L2?)

?（L4)

這就證明了，通過水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管截面的周長(zhǎng)相等，那么截面是圓說明：對(duì)于較復(fù)雜的不等式，直接運(yùn)用綜合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索

鞏固練習(xí)：第81頁練習(xí)1, 2，31、a,b,c?R,求證

?

?

a?b?c)

2、?ABC中，已知3b?sinB，且cosB?cosC求證：?ABC為等邊三角形

?

3、a,b,c為?ABC的三內(nèi)角的對(duì)應(yīng)邊試證明:

aA?bB?cCa?b?c

?

?

2課后作業(yè)：第84頁1，2,3教學(xué)反思：本節(jié)課學(xué)習(xí)了分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn).“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。

分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題。對(duì)于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生積極參加課堂教學(xué)，順利地完成了教學(xué)任務(wù)，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目的。但由于學(xué)生的基礎(chǔ)較差，知識(shí)遺忘嚴(yán)重，在一定程度上影響了教學(xué)進(jìn)度，使課堂上進(jìn)度比較緊張。所以在以后的教學(xué)過程中，要特別注意學(xué)生的實(shí)際水平，讓學(xué)生提前預(yù)習(xí)，以保證課堂教學(xué)進(jìn)度。通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解直接證明的基本方法----綜合法，了解綜合法的思考過程、特點(diǎn)；培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，分析能力，邏輯推理能力。本節(jié)的教學(xué)應(yīng)該是比較成功的。

例

1、已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：

a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc

證明：∵b2?c2≥2bc,a＞0,∴a(b2?c2)≥2abc① 同理 b(c2?a2)≥2abc②

c(a?b)≥2abc③

因?yàn)閍，b，c不全相等，所以b2?c2≥2bc, c2?a2≥2ca, a2?b2≥2ab三式不能全取“=”號(hào)，從而①、②、③三式也不能全取“=∴a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc

例

2、已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：a?b?c?(a?b?c)證明：左－右=2（ab+bc－ac）∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b?ac 又∵a，b，c都是正數(shù)，所以0?b?

ac≤

a?c

2?a?c

222222

∴a?c?b

∴2(ab?bc?ac)?2(ab?bc?b)?2b(a?c?b)?0 ∴a?b?c?(a?b?c)

2422

例

3、若實(shí)數(shù)x?1，求證：3(1?x?x)?(1?x?x).證明：采用差值比較法：

3(1?x?x)?(1?x?x)

=3?3x?3x?1?x?x?2x?2x?2x =2(x?x?x?1)=2(x?1)(x?x?1)

24242

343

=2(x?1)2[(x?

2)?

4].12)?

?x?1,從而(x?1)?0,且(x?34]?0,34

?0,∴2(x?1)2[(x?

12)?

∴3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.例

4、已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)

分析一:用分析法

證法一:(1)當(dāng)ac+bd≤0時(shí),(2)當(dāng)ac+bd>0時(shí),欲證原不等式成立,2222

2只需證(ac+bd)≤(a+b)(c+d)

222222222222

即證ac+2abcd+bd≤ac+ad+bc+bd 即證2abcd≤b2c2+a2d2

即證0≤(bc-ad)

因?yàn)閍,b,c,d∈R,所以上式恒成立, 綜合(1)、(2)可知:分析二:用綜合法

***2222

2證法二:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd=(ac+2abcd+bd)+(bc-2abcd+ad)=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2

∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+分析三:用比較法

證法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0, ∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+bd, 即ac+bd

例

5、設(shè)a、b是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．證明：(用分析法思路書寫)要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a-2ab+b＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0亦即a2-ab+b2＞ab

由題設(shè)條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab

3322

即a+b＞ab+ab，由此命題得證.

第二篇：2.2.1直接證明--綜合法與分析法

課題：直接證明--綜合法與分析法

1．教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。

過程與方法: 多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力；

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

2．教學(xué)重點(diǎn)：了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)

3．教學(xué)難點(diǎn)：分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)

4．教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。

5．教學(xué)設(shè)想：分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn).“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。

6．教學(xué)過程:

學(xué)生探究過程：證明的方法

（1）、分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題。對(duì)于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。

（2）、例1．設(shè)a、b是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．

證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a2-2ab+b2＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由題設(shè)條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證

24223(1?x?x)?(1?x?x).x?1例

2、若實(shí)數(shù)，求證：

證明：采用差值比較法：

3(1?x2?x4)?(1?x?x2)

2=3?3x?3x?1?x?x?2x?2x?2x

=2(x?x?x?1)=2(x?1)(x?x?1)432224242

3132(x?1)2[(x?)2?].24 =

13?x?1,從而(x?1)2?0,且(x?)2??0,2

4132(x?1)2[(x?)2?]?0,24223(1?x?x)?(1?x?x).24∴ ∴

abba例

3、已知a,b?R,求證ab?ab.?

本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。

證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于a,b對(duì)稱，不妨設(shè)a?b?0.?a?b?0

?aabb?abba?abbb(aa?b?ba?b)?0，從而原不等式得證。

2）商值比較法：設(shè)a?b?0,aabbaa??1,a?b?0,?ba?()a?b?1.bb ab故原不等式得證。

注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號(hào)。

討論：若題設(shè)中去掉x?1這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換？

鞏固練習(xí)：第81頁練習(xí)1, 2, 3 ,4課后作業(yè)：第84頁1，2,3教學(xué)反思：本節(jié)課學(xué)習(xí)了分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn).“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。

第三篇：2.2.1直接證明--綜合法與分析法教案

金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)

直接證明--綜合法與分析法

1．教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。

過程與方法: 多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力；

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

2．教學(xué)重點(diǎn)：了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)

3．教學(xué)難點(diǎn)：分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)

4．教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。

5．教學(xué)設(shè)想：分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn).“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。

6．教學(xué)過程:

學(xué)生探究過程：證明的方法

（1）、分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題。對(duì)于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。

（2）、例1．設(shè)a、b是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．

證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a2-2ab+b2＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。

(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0亦即a2-ab+b2＞ab

由題設(shè)條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證

24223(1?x?x)?(1?x?x).x?1例

2、若實(shí)數(shù)，求證：

證明：采用差值比較法：

金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)wx.jtyjy.com

金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)3(1?x2?x4)?(1?x?x2)

2242423=3?3x?3x?1?x?x?2x?2x?2x

22432(x?1)(x?x?1)2(x?x?x?1)= =

132(x?1)2[(x?)2?].24 =

13?x?1,從而(x?1)2?0,且(x?)2??0,2

4132(x?1)2[(x?)2?]?0,24∴ ∴

3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.?a,b?R,求證aabb?abba.例

3、已知

本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于a,b對(duì)稱，不妨設(shè)a?b?0.?a?b?0

?aabb?abba?abbb(aa?b?ba?b)?0，從而原不等式得證。

2）商值比較法：設(shè)a?b?0,aabbaa??1,a?b?0,?ba?()a?b?1.bbab 故原不等

式得證。

注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號(hào)。

討論：若題設(shè)中去掉x?1這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換？

金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)鞏固練習(xí)：第81頁練習(xí)1, 2, 3 ,4課后作業(yè)：第84頁1，2,3教學(xué)反思：本節(jié)課學(xué)習(xí)了分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn).“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。

第四篇：選修2-2§2.2.1綜合法與分析法

人教版數(shù)學(xué)選修精品——推理與證明

§2.2.1直接證明--綜合法與分析法

1．教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。

過程與方法: 多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力；

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

2．教學(xué)重點(diǎn)：了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)

3．教學(xué)難點(diǎn)：分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)

4．教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。

5．教學(xué)設(shè)想：分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn).“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。

6．教學(xué)過程:

學(xué)生探究過程：

合情推理分歸納推理和類比推理，所得的結(jié)論的正確性是要證明的，數(shù)學(xué)中的兩大基本證明方法-------直接證明與間接證明。

若要證明下列問題：

已知a,b>0,求證a(b2?c2)?b(c2?a2)?4abc

教師活動(dòng)：給出以上問題，讓學(xué)生思考應(yīng)該如何證明，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式證明。教師最后歸結(jié)證明方法。

學(xué)生活動(dòng)：充分討論，思考，找出以上問題的證明方法

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式證明以上問題，引出綜合法的定義

證明:因?yàn)閎2?c2?2bc,a?0,所以a(b2?c2)?2abc,因?yàn)閏?a?2ac,b?0,所以b(c?a)?2abc.因此, a(b?c)?b(c?a)?4abc.P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示要證明的結(jié)論

1.綜合法

綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是： 2222222

2?P?Q1??(Q1?Q2)??Q2?Q3??.....??Qn?Q?

綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公例

1、在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列, a,b,c成等比數(shù)列,求證△ABC為等邊三角形.分析：將 A , B , C 成等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言就是2B =A + C;A , B , C為△ABC的內(nèi)角，這是一個(gè)隱含條件，明確表示出來是A + B + C =?； a , b，c成等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言就是b?ac．此時(shí)，如果能把角和邊統(tǒng)一起來，那么就可以進(jìn)一步尋找角和邊之

2間的關(guān)系，進(jìn)而判斷三角形的形狀，余弦定理正好滿足要求．于是，可以用余弦定理為工具進(jìn)行證明．

證明：由 A, B, C成等差數(shù)列，有 2B=A + C ． ①

因?yàn)锳,B,C為△ABC的內(nèi)角，所以A + B + C=?． ⑧

?由①②，得B=.3由a, b，c成等比數(shù)列，有b2?ac.由余弦定理及③，可得

b?a?c?2accosB?a?c?ac.22222

再由④，得a2?c2?ac?ac.2(a?c)?0,因此a?c.從而A=C.由②③⑤，得 ?A=B=C=.3

所以△ABC為等邊三角形．

解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往要先作語言的轉(zhuǎn)換，如把文字語言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語言，或把符號(hào)語言轉(zhuǎn)換成圖形語言等．還要通過細(xì)致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來．

2.分析法

證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，還經(jīng)常從要證的結(jié)論 Q 出發(fā)，反推回去，尋求保證Q 成立的條件，即使Q成立的充分條件P1，為了證明P1成立，再去尋求P1成立的充分條件P2，為了證明P2成立，再去尋求P2成立的充分條件P3······直到找到一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止。

分析法：證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

?Q?P1??(P1?P2).....?(Pn?1?Pn)??Pn?P?

分析法的思維特點(diǎn)是：分析法的書寫格式：

要證明命題B為真，只需要證明命題B1為真，從而有??

這只需要證明命題B2為真，從而又有??

??

這只需要證明命題A而已知A為真，故命題B例

3、求證3?

證明：因?yàn)??只需證明(3?7?25 7和25都是正數(shù)，所以為了證明3?7)?(25)227?25 展開得10?221?20

即221?10,21?2

5因?yàn)?1?25成立，所以

(3?227)?(25)成立 即證明了3?7?25

說明：①分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，它與綜合法是對(duì)立②分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的模式是：為了證明命題B為真，這只需要證明命題B1為真，從而有??

這只需要證明命題B2為真，從而又有??

這只需要證明命題A為真

而已知A為真，故B必真

在本例中，如果我們從“21<25 ”出發(fā)，逐步倒推回去，就可以用綜合法證出結(jié)論。但由于我們很難想到從“21<25”入手，所以用綜合法比較困難。

事實(shí)上，在解決問題時(shí)，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特

‘‘點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論 P．若

由P‘可以推出Q‘成立，就可以證明結(jié)論成立．下面來看一個(gè)例子．

?例4 已知?,??k??(k?Z)，且

2sin??cos??2sin?①

sin?cos??sin?②2

求證：1?tan?

1?tan?22?1?tan?2(1?tan?)22。

分析：比較已知條件和結(jié)論，發(fā)現(xiàn)結(jié)論中沒有出現(xiàn)角?，因此第一步工作可以從已知條件中消去?.觀察已知條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含數(shù)量關(guān)系

2222(sin??cos?)?2sin?cos??1，于是，由 ①一2×② 得4sin??2sin??1．把

4sin??2sin??1與結(jié)論相比較，發(fā)現(xiàn)角相同，但函數(shù)名稱不同，于是嘗試轉(zhuǎn)化結(jié)論：22

統(tǒng)一函數(shù)名稱，即把正切函數(shù)化為正（余）弦函數(shù)．把結(jié)論轉(zhuǎn)化為cos??sin??

cos??sin??222212

12(cos??sin?),再與4sin??2sin??1比較，發(fā)現(xiàn)只要把c(os??222222sin?中的角的余弦轉(zhuǎn)化為正弦，就能達(dá)到目的．)2證明：因?yàn)?sin??cos?)?2sin?cos??1，所以將 ① ② 代入，可得 4sin??2sin??1.③ 2

另一方面，要證

sin?21?tan?1?tan?22?21?tan?2(1?tan?)22 1?

即證

1??2sin?

cos?

2221?2(1?sin?cos?sin?cos?1

2222，)222即證cos??sin??

即證1?2sin??

22(cos??sin?)，2122(1?2sin?)，即證4sin??2sin??1。

由于上式與③相同，于是問題得證。

課堂小結(jié)：直接證明的兩種方法-綜合法和分析法

課后作業(yè)：第91頁A組 2,3教學(xué)反思：本節(jié)課學(xué)習(xí)了分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn).“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法。

分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題。對(duì)于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。

首先，介紹為什么要引入證明，以及經(jīng)常用的兩種證明方法，主要介紹的是直接證明的兩種方法。然后具體講解綜合法和分析法并舉例說明，強(qiáng)調(diào)分析法的步驟以及兩者的區(qū)別。最后舉一個(gè)兩種方法綜合使用的例子

例

1、已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：

222222a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc

證明：∵b2?c2≥2bc,a＞0,∴a(b2?c2)≥2abc①

同理 b(c2?a2)≥2abc②

c(a?b)≥2abc③ 2

2因?yàn)閍，b，c不全相等，所以b2?c2≥2bc, c2?a2≥2ca, a2?b2≥2ab三式不能全取“=”號(hào)，從而①、②、③三式也不能全取“=∴a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

例

2、已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，求證：a2?b2?c2?(a?b?c)

2證明：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2?ac

又∵a，b，c都是正數(shù)，所以0?b?

∴a?c?b

∴2(ab?bc?ac)?2(ab?bc?b)?2b(a?c?b)?0

∴a?b?c?(a?b?c)

2422例

3、若實(shí)數(shù)x?1，求證：3(1?x?x)?(1?x?x).22222ac≤a?c2?a?c

證明：采用差值比較法：

3(1?x?x)?(1?x?x)242

2=3?3x?3x?1?x?x?2x?2x?2x

43=2(x?x?x?1)

=2(x?1)(x?x?1)=2(x?1)[(x?224242322

12)?

2234].1

2)?2?x?1,從而(x?1)?0,且(x?

4]?0,2234?0, ∴2(x?1)[(x?24212)?2∴3(1?x?x)?(1?x?x).例

4、已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)

分析一:用分析法

證法一:(1)當(dāng)ac+bd≤0時(shí),(2)當(dāng)ac+bd>0時(shí),欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

222222222222即證ac+2abcd+bd≤ac+ad+bc+bd

即證2abcd≤b2c2+a2d

22即證0≤(bc-ad)

因?yàn)閍,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:分析二:用綜合法

***22222證法二:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd=(ac+2abcd+bd)+(bc-2abcd+ad)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+分析三:用比較法

證法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 ∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd

例

5、設(shè)a、b是兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．

證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a-ab+b)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a-2ab+b＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由題設(shè)條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab

3322即a+b＞ab+ab，由此命題得證.2222

第五篇：2.2.1綜合法與分析法

2.2.1 綜合法與分析法

一．教學(xué)目標(biāo)：

1．知識(shí)與技能：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)。

2．過程與方法: 多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力；

3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二．教學(xué)重點(diǎn)：了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)

三．教學(xué)難點(diǎn)：分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)

四．教學(xué)過程

直接證明是從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結(jié)論的真實(shí)性。常用的直接證明方法有綜合法與分析法。

綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法，而分析法是一種從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的思維方法。具體地說，綜合法是從已知條件出法，經(jīng)過逐步的推理，最后達(dá)到待證結(jié)論。分析法則是從待證結(jié)論出法，一步一步尋求結(jié)論成立的充分條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí)。

1.教學(xué)實(shí)例：

123???2例1log519log319log219 1證明：因?yàn)?logb?a

左式=log 195?2log 193?3log 192?log 19360l

因?yàn)閘og 19360?log 19361?

2所以 1?2?3?

2log519log319log219

這個(gè)證明就是從已知條件出法，進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算和推理，得到要證明的結(jié)論，其中要用到一些已經(jīng)證明的命題。

例2．如圖，設(shè)四面體PABC中, ∠ABC=90°，PA=PB=PC，D中點(diǎn)，求證：PD 垂直于△ABC 所在的平面。

證明：連接PD，BD，因?yàn)锽D 是Rt△ABC 斜邊上的中線，所以DA=DB=DC，又因?yàn)镻A=PB=PC，而PD 是△PDA、△PBD、△PCD 的公共邊，所以△PDA≌△PBD≌△PCD，于是∠PDA=∠PDB=∠PDC，而∠PDA=∠PDC=90°，可見PD⊥AC，PD⊥BD，由此可知，PD 垂直于△ABC 所在的平面。

這個(gè)證明的步驟是：

（1）由已知BD 是Rt△ABC 斜邊上的中線，推出DA=DB=DC，記為P0(已知)?P1；

（2）由DA=DB=DC，和已知條件，推出三個(gè)三角形全等，記為P1?P2；

（3）由三個(gè)三角形全等，推出∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°，記為P2?P3；

（4）由∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°，推出PD 垂直于△ABC 所在的平面，記為P3?P4(結(jié)論)； logba

這個(gè)證明步驟用符號(hào)表示就是P0(已知)?P1?P2?P3?P4(結(jié)論).2．分析法

例3

??證明：因?yàn)??

7和2

只需證明?7）?(25)

展開得10 + 2 22??21 < 20，即21 < 5，只需證明21<25，因?yàn)?1<25成立，所以不等式?7?2成立。

分析法證明的邏輯關(guān)系是：B(結(jié)論)?Bl ?B2 ? ?? ?Bn ?A(已知).在分析法證明中，從結(jié)論出發(fā)的每一個(gè)步驟所得到的判斷都是結(jié)論成立的充分條件，最后一步歸結(jié)到已被證明的事實(shí)。因此從最后一步可以倒推回去，直到結(jié)論，但這個(gè)倒推過程可以省略。

例4．求證：當(dāng)一個(gè)圓與一個(gè)正方形的周長(zhǎng)相等時(shí)，這個(gè)圓的面積比正方形的面積大。

?L??L?證明：設(shè)圓和正方形的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，依題意，圓的面積為???，正方形的面積為??。?4??2??

?L??L?因此本題只需證明???>??，2????4?2222

?L2L2

?為了證明上式成立，只需證明, 164?2

兩邊同乘以正數(shù)411，得? 2?4L

22?L??L?因?yàn)樯鲜绞浅闪⒌模???>?? 2????4?

這就證明了如果一個(gè)圓與一個(gè)正方形的周長(zhǎng)相等，那么這個(gè)圓的面積比這個(gè)正方形的面積大。

從前面的例子可以看出，分析法的特點(diǎn)是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實(shí)際上是要尋找它的充分條件。綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋找它的必要條件，分析法與綜合法各有其特點(diǎn)。有些具體的待證命題，用分析法和綜合法都可以證出來，人們往往選擇比較簡(jiǎn)單的一種。從以上幾中可以看出，分析法解題方向較為明確，利于尋找解題思路，綜合法解題條理清晰，易于表述。因此，在實(shí)際解題時(shí)，通常以分析法為主尋找思路，再用綜合法有條理地表述解題過程

3．小結(jié)：

（1）分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。綜合法則是

從數(shù)學(xué)題的（2）已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題。對(duì)于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。