第一篇：三角形重心

重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)，三線交一可用燕尾定理證明，十分簡(jiǎn)單。證明過(guò)程又是塞瓦定理的特例。

已知：△ABC中，D為BC中點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，AD與BE交于O，CO延長(zhǎng)線交AB于F。求證：F為AB中點(diǎn)。

證明：根據(jù)燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再應(yīng)用燕尾定理即得AF=BF，命題得證。

重心的幾條性質(zhì)：

1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。

2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。

3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。

4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為

((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標(biāo)系——橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3 縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標(biāo)：（z1+z2+z3）/35、三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。

指三角形三條邊的垂直平分線的相交點(diǎn)。用這個(gè)點(diǎn)做圓心可以畫三角形的外接圓。指三角形外接圓的圓心，一般叫三角形的外心。

三角形的外心是三邊中垂線的交點(diǎn),且這點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等。

外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，即外接圓的圓心。

外心定理：三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的外心。

注意到外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，結(jié)合垂直平分線定義，外心定理其實(shí)極好證。計(jì)算外心的重心坐標(biāo)是一件麻煩的事。先計(jì)算下列臨時(shí)變量：

d1,d2,d3分別是三角形三個(gè)頂點(diǎn)連向另外兩個(gè)頂點(diǎn)向量的點(diǎn)乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐標(biāo)：((c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c)。

第二篇：向量與三角形的重心

向量與三角形的重心

????????????例1 已知A，B，C是不共線的三點(diǎn)，G是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若GA?GB?GC?0．求

證：G是△ABC的重心．

????????????????????????證明：如圖1所示，因?yàn)镚A?GB?GC?0，所以GA??(GB?GC)．

????????????????????以GB，GC為鄰邊作平行四邊形BGCD，則有GD?GB?GC，????????所以GD??GA．

????????又因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜝GCD中，BC交GD于點(diǎn)E，所以BE?EC，????????????????GE?ED．所以AE是△ABC的邊BC的中線，且GA?2GE．

故G是△ABC的重心．

點(diǎn)評(píng)：①解此題要聯(lián)系重心的性質(zhì)和向量加法的意義；②把平面幾何知識(shí)和向量知識(shí)結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題是解此類問(wèn)題的常用方法．

變式引申：已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，AC，AB的中點(diǎn)．求證： ????????????AD?BE?CF?0．

證明：如圖2的所示，????????????????????????????????????????????AD?AC?CD????????????????2AD?AC?AB?CD?BD，即2AD?AC?AB． AD?AB?BD??

????????????????????????同理2BE?BA?BC，2CF?CA?CB．

?????????????2A(D?BE?C)F?A?C

????????????0?C?F?AD?BE． ????????????????．?AB?BA?B0C? CA?CB????????

點(diǎn)評(píng)：該例考查了三角形法則和向量的加法．

例2 如圖3所示，△ABC的重心為G，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，????????????????OA?a，OB?b，OC?c，試用a，b，c表示OG．

解：設(shè)AG交BC于點(diǎn)M，則M是BC的中點(diǎn)，????????????b?aAB?AC?BC?c?b．則，c?a，?????1??????1??1?AM?ABb?C?a?(c?b)?(c?b?2a)． 22

2??????21????AGA(c?b?2a．)3

3????????????11故OG?OA?AG?a?(c?b?2a)?(a?b?c)． 33

點(diǎn)評(píng)：重心問(wèn)題是三角形的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，充分利用重心性質(zhì)及向量加、減運(yùn)算的幾何意義是解決此類題的關(guān)鍵．

變式引申：如圖4，平行四邊形ABCD的中心為O，????1????????????????P為該平面上任意一點(diǎn)，則PO?(PA?PB?PC?PD)． 4

?????????????????????????????????????PO?PA?AO，PO?PB?BO，PO?PC?CO，證法1：

????????????PO?PD?DO，?????????????????P?BP?C PD?4PO?PA，???? ????1????????????????即PO?(PA?PB?PC?PD)． 4

????1????????????1????????證法2：?PO?(PA?PC)，PO?(PB?PD)，22

????1?????????????????PO?(PA?PB?PC?PD)． 4

點(diǎn)評(píng)：（1）證法1運(yùn)用了向量加法的三角形法則，證法2運(yùn)用了向量加法的平行四邊形法則．

????????????????（2）若P與O重合，則上式變?yōu)镺A?OB?OC?OD?0．

第三篇：三角形的重心定理及其證明

三角形的重心定理及其證明

積石中學(xué)王有華

同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)幾何時(shí)，常常用到三角形的重心定理.但很多同學(xué)不會(huì)證明這個(gè)定理？下面給出三種證明方法，你閱讀后想一想，哪一種證明方法最好.已知：（如圖）設(shè)?ABC中，L、M、N分

別是BC、CA、AB的中點(diǎn).求證：AL、BM、CN相交于一點(diǎn)G，且

AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1.BC證明1（平面幾何法）：（如圖1）假設(shè)中

線AL與BM交于G，而且假設(shè)C與G的連線與AB邊交于N，首先來(lái)證明N是AB的中點(diǎn).現(xiàn)在，延長(zhǎng)GL，并在延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D，使GL=LD。因?yàn)樗倪呅蜝DCG的對(duì)角線互相平分，所以BDCG是平行四邊形.從而，BG∥DC，即GM∥DC.但M是AC的中點(diǎn)，因此，G是AD的中點(diǎn).另一方面，GC∥BD，即NG∥BD.但G是AD的中點(diǎn)，因此N是AB的中點(diǎn).另外，G是AD的中點(diǎn)，因此AG﹕GL=2﹕1.同理可證：BG﹕GM=2﹕1，CG﹕GN=2﹕1.這個(gè)點(diǎn)G被叫做?ABC的重心.證明2（向量法）：（如圖2）在?ABC中，設(shè)AB邊上的中

1線為CN，AC邊上的中線為BM，其交點(diǎn)為G，邊BC的中點(diǎn)為L(zhǎng)，連接AG和GL，因?yàn)锽、G、M三點(diǎn)共線，且M是AC的中點(diǎn)，?????????

所以向量BG∥BM，所以，存在實(shí)數(shù)?

1C

??????????????????????????BG??1BM，即 AG?AB??1(AM?AB)

?????????????

所以，AG??1AM?(1??1)AB，使得

????????

=?1AC?(1??1)AB

同理，因?yàn)镃、G、N三點(diǎn)共線，且N是AB的中點(diǎn).所

????????????

以存在實(shí)數(shù)?2，使得 AG??2AN?(1??2)AC

????????1= ?2AB?(1??2)AC

2????????????????1所以?1AC?(1??1)AB = ?2AB?(1??2)AC 22

?????????

又因?yàn)锳B、AC 不共線，所以 ?

121

2?1?1??2

?

?2?1??

1???????????????

因?yàn)長(zhǎng)是BC的中點(diǎn)，所以GL?GA?AC?CL

?2????1?????????1????????1????1???1???

=?(AB?AC)?AC?CB =?AB?AC?(AB?AC)

332332

????1????1????

所以 ?1??2?，所以 AG?AB?AC.33

3?????????1????1???

=AB?AC，即AG?2GL66，所以A、G、L三點(diǎn)共線.故AL、BM、CN相交于一點(diǎn)G，且AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕

1證明3（向量法）（如圖3）在?ABC中，BC的中點(diǎn)L

????1????????

對(duì)應(yīng)于OL?(OB?OC)，中線AL上的任意一點(diǎn)G，有

????????????

OG??OA?(1??)OL

????1??????1????????OA?2OB?

2OC.同理，AB的中線

CN上的任意點(diǎn)

G′，?????????OG???OC?1??????12A???????

O2

OB，求中線AL和CN的交點(diǎn)，就是要找一個(gè)?和一個(gè)?，使

?????????OG?OG?.因此，我們令??

1??

1??1??1??2，?，??

.解之

得?1

????????????3.所以O(shè)G?OG??1????1????1????

3OA?3OB?

3OC.由對(duì)稱性可知，第三條中線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)G.故AL、CN、BM相交于一點(diǎn)G，且易證AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1.

第四篇：三角形外心、重心、垂心的向量形式

三角形外心、重心、垂心的向量形式

已知△ABC，P為平面上的點(diǎn)，則

(1)P為外心

(2)P為重心

(3)P為垂心

證明(1)如P為△ABC的外心(圖1)，則 PA=PB=PC，(2)如P為△ABC的重心，如圖2，延長(zhǎng)AP至D，使PD=PA，設(shè)AD與BC相交于E點(diǎn)．

由重心性質(zhì)

∴ 四邊形PBDC為平行四邊形．

BC和PD之中點(diǎn)．

心．

(3)如圖3，P為△ABC的垂心

同理PA⊥AC，故P為△ABC之垂心．

由上不難得出這三個(gè)結(jié)論之間的相互關(guān)系：

∴ △ABC為正三角形．

∴ △ABC為正三角形，且O為其中心．

第五篇：三角形外心內(nèi)心重心垂心與向量性質(zhì)

三 角 形 的“四 心”

所謂三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及內(nèi)心。當(dāng)三角形是正三角形時(shí)，四心重合為一點(diǎn)，統(tǒng)稱為三角形的中心。一、三角形的外心

定

義：三角形三條中垂線的交點(diǎn)叫外心，即外接圓圓心。?ABC的重心一般用字母O表示。性

質(zhì)：

1.外心到三頂點(diǎn)等距，即OA?OB?OC。

2.外心與三角形邊的中點(diǎn)的連線垂直于三角形的這一邊，即OD?BC,OE?AC,OF?AB.3.向量性質(zhì)：若點(diǎn)O為?ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足(OA?OB)?BA?(OB?OC)?CB?(OC?OA)?AC，則點(diǎn)O為?ABC的外心。二、三角形的內(nèi)心

定

義：三角形三條角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，即內(nèi)切圓圓心。?ABC的內(nèi)心一般用字母I表示，它具有如下性質(zhì)： 性

質(zhì)：

1.內(nèi)心到三角形三邊等距，且頂點(diǎn)與內(nèi)心的連線平分頂角。2.三角形的面積＝1?三角形的周長(zhǎng)?內(nèi)切圓的半徑． 23.向量性質(zhì)：設(shè)???0,???，則向量AP??(點(diǎn)P的軌跡過(guò)?ABC的內(nèi)心。

AB|AB||AC|?AC)，則動(dòng) 三、三角形的垂心

定

義：三角形三條高的交點(diǎn)叫重心。?ABC的重心一般用字母H表示。性

質(zhì)：

1.頂點(diǎn)與垂心連線必垂直對(duì)邊，即AH?BC,BH?AC,CH?AB。2.向量性質(zhì)：

結(jié)論1：若點(diǎn)O為?ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足OA?OB?OB?OC?OC?OA，則點(diǎn)O為?ABC的垂心。

結(jié)論2：若點(diǎn)O為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足OA?BC?OB?CA?OC?AB，則點(diǎn)O為?ABC的垂心。

22222

2四、三角形的“重心”：

定

義：三角形三條中線的交點(diǎn)叫重心。?ABC的重心一般用字母G表示。

性

質(zhì)：

1.頂點(diǎn)與重心G的連線必平分對(duì)邊。

2.重心定理：三角形重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍。

即GA?2GD,GB?2GE,GC?2GF 3.重心的坐標(biāo)是三頂點(diǎn)坐標(biāo)的平均值． 即xG?xA?xB?xCy?yB?yC,yG?A.334.向量性質(zhì)：（1）GA?GB?GC?0；（2）PG?

1(PA?PB?PC)。3 2