第一篇：三角形全等的證明專題

戴雨靜數(shù)學專題輔導資料2010年7月16日星期五星海學校

三角形全等的證明專題

線段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等與未知的結論聯(lián)系起來．那么我們應該怎樣應用三角形全等的判別方法呢？

（1）條件充足時直接應用

在證明與線段或角相等的有關問題時，常常需要先證明線段或角所在的兩個三角形全等，而從近年的中考題來看，這類試題難度不大，證明兩個三角形的條件比較充分．只要同學們認真觀察圖形，結合已知條件分析尋找

A兩個三角形全等的條件即可證明兩個三角形全等．

例1 已知：如圖1，CE⊥AB于點E，BD⊥AC于點D，BD、CE交于點O，且AO平分∠BAC．

ED那么圖中全等的三角形有___對．

O

BC

（2）條件不足，會增加條件用判別方法

此類問題實際是指條件開放題，即指題中沒有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補充使三角形全等的條件．解這類問題的基本思路是：執(zhí)果索因，逆向思維，逐步 分析，探索結論成立的條件，從而得出答案．

例2 如圖2，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，B還需添加的條件是（只需填一個）_____．

D

A

EC

（3）條件比較隱蔽時，可通過添加輔助線用判別方法

在證明兩個三角形全等時，當邊或角的關系不明顯時，可通過添加 輔助線作為橋梁，溝通邊或角的關系，使條件由隱變顯，從而順利運用 全等三角形的判別方法證明兩個三角形全等．

例3 已知：如圖3，AB=AC，∠1=∠2． 求證：AO平分∠BAC．

分析：要證AO平分∠BAC，即證∠BAO=∠BCO，要證∠BAO=∠BCO，只需證∠BAO和∠BCO所在的兩

個三角形全等．而由已知條件知，只需再證明BO=CO即可．

A

1O

2BC

C

D

（4）條件中沒有現(xiàn)成的全等三角形時，會通過構造全等三角形用判別方法有些幾何問題中，往往不能直接證明一對三角形全等，E一般需要作輔助線來構造全等三角形．

例4 已知：如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，BAF

AC=BC，D為BC的中點，CE⊥AD于E，交AB于F，連接DF．

求證：∠ADC=∠BDF． G

說明：常見的構造三角形全等的方法有如下三種：①涉及三角形的中線問題時，常采用延長中線一倍的方法，構造出一對全等三角形；②涉及角平分線問題時，經過角平分線上一點向兩邊作垂線，可以得到一對全等三角形；③證明兩條線段的和等于第三條線段時，用“截長補短”法可以構造一對全等三角形．

（5）會在實際問題中用全等三角形的判別方法

新課標強調了數(shù)學的應用價值，注意培養(yǎng)同學們應用數(shù)學的意識，形成解決簡單實際問題的能力﹒在近年中考出現(xiàn)的與全等三角形有關的實際問題，體現(xiàn)了這一數(shù)學理念，應當引起同學們的重視．

例5要在湖的兩岸A、B間建一座觀賞橋，由于條件

限制，無法直接度量A，B兩點間的距離﹒請你用學過的數(shù)

學知識按以下要求設計一測量方案﹒

(1)畫出測量圖案﹒

(2)寫出測量步驟（測量數(shù)據(jù)用字母表示）﹒圖

5(3)計算A、B的距離（寫出求解或推理過程，結果用字母表示）﹒

分析：可把此題轉化為證兩個三角形全等．第(1)題，測量圖案如圖5所示．第(2)題，測量步驟：先在陸地上找到一點O，在AO的延長線上取一點C，并測得OC=OA，在BO的延長線上取一點D，并測得OD=OB，這時測得CD的長為a，則AB的長就是a．第(3)題易證△AOB≌△COD，所以AB=CD，測得CD的長即可得AB的長．

解：(1)如圖6示．

(2)在陸地上找到可以直接到達A、B的一點O，在AO的延長線上取一點C，并測得OC＝OA，在BO的AB延長線上取一點D，并測

得OD＝OB，這時測出CD的長為a，則AB的長就是a．

(3)理由：由測法可得OC=OA，OD=OB．

O又∠COD=∠AOB，∴△COD≌△AOB．

∴CD=AB=a． CD

（注意書寫格式和書寫過程，一定要嚴謹！）

圖6

評注：本題的背景是學生熟悉的，提供了一個學生動手操作的機會，重點考查了學生的操作能力，培養(yǎng)了

學生用數(shù)學的意識﹒

練習

1．已知：如圖，D是△ABC的邊AB上一點，AB∥FC，DF交AC于點E，DE=FE．A

D求證：AE=CE．E F

BC

2．如圖，在△ABC中，點E在BC上，點D在AE上，已知∠ABD=∠ACD，∠BDE=∠CDE．

A求證：BD=CD．

D

BCE

3．用有刻度的直尺能平分任意角嗎？下面是一種方法：如圖所示，先在∠AOB的兩邊上取OP=OQ，A再取PM=QN，連接PN、QM，得交點C，則射線OC

平分∠AOB．你能說明道理嗎？M

PC

OQNB

4．如圖，△ABC中，AB=AC，過點A作GE∥BC，角平分線BD、CF相交于點H，它們的延長線分別交GE于點E、G．試在圖10中找出3對全等三角形，并對其中一對全等三角形給出證明．

P A

GE

FH

ACDBBC

5．已知：如圖，點C、D在線段AB上，PC=PD．請你添加一個條件，使圖中存在全等三角形，并給予證A明．所添條件為__________，你得到的一對全等三角形是△_____≌△_____．

7．如圖，在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠B=∠C．求證：△ABD≌△ACD．

BC

8．如圖14，直線AD與BC相交于點O，且AC=BD，AD=BC．求證：CO=DO．DCD

O

BA

9．已知△ABC，AB=AC，E、F分別為AB和AC延長線上的點，且BE=CF，EF交BC于G．求證：EG=GF．A

E C BG FA10．已知：如圖16，AB=AE，BC=ED，點F是CD的中點，AF⊥CD．求證：∠B=∠E．

B

E

CFD

11．如圖17，某同學把一把三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊大小形狀完全一樣的玻璃，那么

最省事的辦法是（）﹒

(A)帶①和②去(B)帶①去(C)帶②去(D)帶③去

12．有一專用三角形模具，損壞后，只剩下如圖中的陰影部分，你對圖中做哪些數(shù)據(jù)度量后，就可以重新制作一塊與原模具完全

一樣的模具，并說明其中的道理．

第二篇：全等三角形證明

全等三角形的證明

1.?翻折

如圖（1），?BOC≌?EOD，?BOC可以看成是由?EOD沿直線AO翻折180?得到的；

?旋轉

如圖（2），?COD≌?BOA，?COD可以看成是由?BOA繞著點O旋轉180?得到的；

?平移

如圖（3），?DEF≌?ACB，?DEF可以看成是由?ACB沿CB方向平行移動而得到的。

2.判定三角形全等的方法：

（1）邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊（直角三角形中）公理

（2）推論：角角邊定理

3.注意問題：

（1）在判定兩個三角形全等時，至少有一邊對應相等；

（2）不能證明兩個三角形全等的是，a: 三個角對應相等，即AAA；b :有兩邊和其中一角對應相等，即SSA。

一、全等三角形知識的應用

（1）證明線段（或角）相等

例1：如圖，已知AD=AE,AB=AC.求證：BF=FC

（2）證明線段平行

例2：已知：如圖，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E、F，DE=BF，AE=CF.求證：AB∥CD

（3）證明線段的倍半關系，可利用加倍法或折半法將問題轉化為證明兩條線段相等

例3：如圖，在△ ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，取AB的中點E，連接CD和CE.求證：CD=2CE

例4 如圖，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求證：AB＝AC＋CD．

．

例5：已知：如圖，A、D、B三點在同一條直線上，CD⊥AB,ΔADC、ΔBDO為等腰Rt三角形，AO、BC的大小關系和位置關系分別如何？證明你的結論。

例6.如圖，已知C為線段AB上的一點，?ACM和?CBN都是等邊三角形，AN和CM相交于F點，BM和CN交于E點。求證：?CEF是等邊三角形。

N

M

FE

C

A B

第三篇：全等三角形證明

全等三角形證明

1、已知CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，問AF=CE嗎？說明理由。

CA2、已知∠E=∠F，∠1=∠2，AB=CD，問AE=DF嗎？說明理由。

F3、已知，點C是AB的中點，CD∥BE，且CD=BE，問∠D=∠E嗎？說明理由。

4、已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，問AB∥CD嗎？

A B

C

第四篇：初一全等三角形證明

全等三角形１．三角形全等的判定一（SSS）

1．如圖，AB＝AD，CB＝CD．△ABC與△ADC全等嗎？為什么？

２．如圖，C是AB的中點，AD＝CE，CD＝BE．

求證△ACD≌△CBE．

３．如圖，點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB=DE，AC=DF，BE=CF． 求證∠A=∠D．

４．已知，如圖，AB=AD，DC=CB．求證：∠B=∠D。

B

５．如圖, AD＝BC, AB＝DC, DE＝BF.BE＝DF.求證：∠E=∠F

A

DCBF

２．三角形全等的判定二（SAS）

1．如圖，AC和BD相交于點O，OA=OC，OB=OD．求證DC∥AB．

2．如圖，△ABC≌△A?B?C?，AD，A?D?分別是△ABC，△A?B?C?的對應邊上的中線，AD與A?D?有什么關系？證明你的結論．

3．如圖，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，試猜想線段CE與DE的大小與位置關系，并證明你的結論．

E B

4．已知：如圖，AD∥BC，AD=CB，求證：△ADC≌△CBA．

CB

5．已知：如圖AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求證：△AFD≌△CEB．

AC

6．已知，如圖，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求證：△ABD≌△ACE． AE D

３～４．三角形全等的判定三、四（ASA、AAS）

1．如圖，點B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，F(xiàn)B=CE，AB∥ED，AC∥FD．求證AB=DE，AC=DF．

2．如圖，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm． 求BE的長．

3．已知，D是△ABC的邊AB上的一點，DE交AC于點E，DE=FE，F(xiàn)C∥AB。求證：AE=CE。

E

DB

4．已知：如圖 , 四邊形ABCD中 , AB∥CD , AD∥BC．求證：△ABD≌△CDB

5．如圖, AD∥BC, AB∥DC, MN＝PQ.求證：DE＝BE.3 QDPA

6．如圖, 在ABC中, ∠A＝90°, BD平分B, DE⊥BC于E, 且BE＝EC,(1)求∠ABC與∠C的度數(shù)；

(2)求證：BC＝2AB.07．如圖，四邊形ABCD中，

（2）求證：E是CD的中點；

（3）求證：AD+BC=AB.8．如圖, 在△ABC中, AC⊥BC, CE⊥AB于E, AF平分∠CAB交CE于點F, 過F作FD∥

BC交AB于點D.求證：AC＝AD.C

第五篇：全等三角形的證明

3eud教育網(wǎng)http://50多萬教學資源，完全免費，無須注冊，天天更新！

全等三角形的證明

1、已知：（如圖）AD∥BC，AD=CB，求證：△ADC≌△CBA。

B C2、已知：如圖AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求證：△AFD≌△CEB。AC3、已知，如圖，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求證：△ABD≌△ACE。

A

C

ED4、已知，如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，F(xiàn)B=CE，AB∥ED，AC∥FD。求證：AB=DE，AC=DF。

E

B F C5、已知，D是△ABC的邊AB上的一點，DE交AC于點E，DE=FE，F(xiàn)C∥AB。求證：AE=CE。

E

D

B

C

6、已知，如圖，AB=AD，DC=CB，求證：∠B=∠D。

B

3eud教育網(wǎng) http://教學資源集散地。可能是最大的免費教育資源網(wǎng)！

A 全等三角形的證明

2、已知：（如圖）AD∥BC，AD=CB，求證：△ADC≌△CBA。

B C2、已知：如圖AD∥BC，AD=CB，AE=CF。求證：△AFD≌△CEB。AC3、已知，如圖，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求證：△ABD≌△ACE。

C 1

B

ED4、已知，如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，F(xiàn)B=CE，AB∥ED，AC∥FD。求證：AB=DE，AC=DF。

E

B F C5、已知，D是△ABC的邊AB上的一點，DE交AC于點E，DE=FE，F(xiàn)C∥AB。求證：AE=CE。

E

D

B C

6、已知，如圖，AB=AD，DC=CB，求證：∠B=∠D。

B

A