第一篇：內(nèi)心、外心、重心、垂心定義及性質(zhì)總結(jié)
內(nèi)心、外心、重心、垂心定義及性質(zhì)總結(jié)
1.內(nèi)心：
（1）三條角平分線的交點(diǎn)，也是三角形內(nèi)切圓的圓心。
（2）性質(zhì)：到三邊距離相等。
2外心：
（1）三條中垂線的交點(diǎn)，也是三角形外接圓的圓心。
（2）性質(zhì)：到三個頂點(diǎn)距離相等。重心：
（1）三條中線的交點(diǎn)。
（2）性質(zhì)：三條中線的三等分點(diǎn)，到頂點(diǎn)距離為到對邊中點(diǎn)距離的2倍。垂心：三條高所在直線的交點(diǎn)。重 心 :三條中線定相交，交點(diǎn)位置真奇巧，交點(diǎn)命名為“重心”，重心性質(zhì)要明了，重心分割中線段，數(shù)段之比聽分曉；
長短之比二比一，靈活運(yùn)用掌握好．垂 心 :三角形上作三高，三高必于垂心交．
高線分割三角形，出現(xiàn)直角三對整，直角三角形有十二，構(gòu)成六對相似形，四點(diǎn)共圓圖中有，細(xì)心分析可找清.7內(nèi) 心 :三角對應(yīng)三頂點(diǎn)，角角都有平分線，三線相交定共點(diǎn)，叫做“內(nèi)心”有根源；
點(diǎn)至三邊均等距，可作三角形內(nèi)切圓，此圓圓心稱“內(nèi)心”如此定義理當(dāng)然．
8外 心 :三角形有六元素，三個內(nèi)角有三邊．
作三邊的中垂線，三線相交共一點(diǎn)．
此點(diǎn)定義為“外心”，用它可作外接圓．
“內(nèi)心”“外心”莫記混，“內(nèi)切”“外接”是關(guān)鍵．
第二篇：三角形外心內(nèi)心重心垂心與向量性質(zhì)
三 角 形 的“四 心”
所謂三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及內(nèi)心。當(dāng)三角形是正三角形時，四心重合為一點(diǎn)，統(tǒng)稱為三角形的中心。一、三角形的外心
定
義：三角形三條中垂線的交點(diǎn)叫外心，即外接圓圓心。?ABC的重心一般用字母O表示。性
質(zhì)：
1.外心到三頂點(diǎn)等距，即OA?OB?OC。
2.外心與三角形邊的中點(diǎn)的連線垂直于三角形的這一邊，即OD?BC,OE?AC,OF?AB.3.向量性質(zhì)：若點(diǎn)O為?ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足(OA?OB)?BA?(OB?OC)?CB?(OC?OA)?AC，則點(diǎn)O為?ABC的外心。二、三角形的內(nèi)心
定
義：三角形三條角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，即內(nèi)切圓圓心。?ABC的內(nèi)心一般用字母I表示，它具有如下性質(zhì)： 性
質(zhì)：
1.內(nèi)心到三角形三邊等距，且頂點(diǎn)與內(nèi)心的連線平分頂角。2.三角形的面積＝1?三角形的周長?內(nèi)切圓的半徑． 23.向量性質(zhì)：設(shè)???0,???，則向量AP??(點(diǎn)P的軌跡過?ABC的內(nèi)心。
AB|AB||AC|?AC)，則動 三、三角形的垂心
定
義：三角形三條高的交點(diǎn)叫重心。?ABC的重心一般用字母H表示。性
質(zhì)：
1.頂點(diǎn)與垂心連線必垂直對邊，即AH?BC,BH?AC,CH?AB。2.向量性質(zhì)：
結(jié)論1：若點(diǎn)O為?ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足OA?OB?OB?OC?OC?OA，則點(diǎn)O為?ABC的垂心。
結(jié)論2：若點(diǎn)O為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足OA?BC?OB?CA?OC?AB，則點(diǎn)O為?ABC的垂心。
22222
2四、三角形的“重心”：
定
義：三角形三條中線的交點(diǎn)叫重心。?ABC的重心一般用字母G表示。
性
質(zhì)：
1.頂點(diǎn)與重心G的連線必平分對邊。
2.重心定理：三角形重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對邊中點(diǎn)的距離的2倍。
即GA?2GD,GB?2GE,GC?2GF 3.重心的坐標(biāo)是三頂點(diǎn)坐標(biāo)的平均值． 即xG?xA?xB?xCy?yB?yC,yG?A.334.向量性質(zhì)：（1）GA?GB?GC?0；（2）PG?
1(PA?PB?PC)。3 2
第三篇：三角形五心：重心 垂心 內(nèi)心 外心 旁心
三角形只有五種心
一、重心: 三中線的交點(diǎn),三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)距離的2倍；重心分中線比為1：2；
1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。
證明一
三角形ABC，E、F是AB，AC的中點(diǎn)。EC、FB交于G。
過E作EH平行BF。
AE=BE推出AH=HF=1/2AF
AF=CF
推出HF=1/2CF 推出EG=1/2CG
2、重心和三角形3個頂點(diǎn)組成的3個三角形面積相等。
證明二
證明方法：
在△ABC內(nèi)，三邊為a，b，c，點(diǎn)O是該三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分別為a、b、c邊上的中線根據(jù)重心性質(zhì)知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1過O，A分別作a邊上高h(yuǎn)1，h可知Oh1=1/3Ah 則，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可證S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC)所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)
3、重心到三角形3個頂點(diǎn)距離平方的和最小。(等邊三角形）
證明方法：
設(shè)三角形三個頂點(diǎn)為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)平面上任意一點(diǎn)為（x，y）則該點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離平方和為：
(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2
=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2
=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
顯然當(dāng)x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐標(biāo)）時
上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
最終得出結(jié)論。
4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；
空間直角坐標(biāo)系——橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3 縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標(biāo)：（z1+z2+z3）/3
5、三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。
6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），則M點(diǎn)為△ABC的重心，反之也成立。
7、設(shè)△ABC重心為G點(diǎn)，所在平面有一點(diǎn)O，則向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）
二、垂心: 三角形三條高的交點(diǎn);設(shè)⊿ABC的三條高為AD、BE、CF，其中D、E、F為垂足，垂心為H，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2．
1、銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心；
3、垂心H關(guān)于三邊的對稱點(diǎn)，均在△ABC的外接圓上。
4、△ABC中，有六組四點(diǎn)共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
5、H、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心(并稱這樣的四點(diǎn)為一—垂心組)。
6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓。
7、在非直角三角形中，過H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則 AB/AP·tanB+
三角形的垂心與外心的位置關(guān)系
AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。
8、三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。
9、設(shè)O，H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
10、銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。
11、銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短。
12、西姆松(Simson)定理（西姆松線）
從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。
13、設(shè)銳角⊿ABC內(nèi)有一點(diǎn)T，那么T是垂心的充分必要條件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。
三、內(nèi)心: 三內(nèi)角平分線的交點(diǎn),是三角形的內(nèi)切圓的圓心的簡稱;到三邊距離相等。
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓為☉I(r)，I為圓心，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2．
1、三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r．
2、∠BIC=90°+A/2．
3、如圖 在RT△ABC中，∠A=90°△內(nèi)切圓切BC于D則S△ABC=BD*CD
4、點(diǎn)O是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)I是△ABC內(nèi)心的充要條件是：
向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．
5、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC內(nèi)心I的坐標(biāo)是：
(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．
6、(歐拉定理)⊿ABC中，R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑，O和I分別為其外心和內(nèi)心，則OI^2=R^2-2Rr．
7、點(diǎn)O是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)心的充要條件是：
a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0．
8、雙曲線上任一支上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成的三角形的內(nèi)心在實軸的射影為對應(yīng)支的頂點(diǎn)。
9、△ABC中，內(nèi)切圓分別與AB，BC，CA相切于P，Q，R，則AP=AR=（b+c-a）/2，BP =BQ =(a
+c-b)/2,CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。
10、（內(nèi)角平分線定理）
△ABC中，0為內(nèi)心，∠A、∠B、∠C的內(nèi)角平分線分別交BC、AC、AB于Q、P、R，則BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.四、外心:
三中垂線的交點(diǎn)，是三角形的外接圓的圓心的簡稱；到三頂點(diǎn)距離相等
設(shè)⊿ABC的外接圓為☉G(R)，G是圓心，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2．
性質(zhì)1：（1）銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；
（2）直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點(diǎn)重合；
（3）鈍角三角形的外心在三角形外.性質(zhì)2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A).性質(zhì)3：∠GAC+∠B=90°
證明：如圖所示延長AG與圓交與P
∵A、C、B、P四點(diǎn)共圓
∴∠P=∠B
∵∠P+∠GAC=90°
∴∠GAC+∠B=90°
性質(zhì)4：點(diǎn)G是平面ABC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是平面ABC上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)G是⊿ABC外心的充要條件是：
（1）向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.性質(zhì)5：三角形三條邊的垂直平分線的交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心.外心到三頂點(diǎn)的距離相等。
性質(zhì)6：點(diǎn)G是平面ABC上一點(diǎn)，那么點(diǎn)G是⊿ABC外心的充要條件(向量GA+向量GB)·向量AB=(向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0.五、旁心:（不用看，以后了解了解就好，現(xiàn)在一定不會考）
一條內(nèi)角平分線與其它二外角平分線的交點(diǎn).(共有三個.)是三角形的旁切圓的圓心的簡稱.當(dāng)且僅當(dāng)三角形是正三角形的時候,四心合一心,稱做正三角形的中心.。
第四篇：向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識
向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識的交匯一、四心的概念介紹
（1）重心——中線的交點(diǎn)：重心將中線長度分成2：1；
（2）垂心——高線的交點(diǎn)：高線與對應(yīng)邊垂直；
（3）內(nèi)心——角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；
（4）外心——中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。
二、四心與向量的結(jié)合（1）????O是?ABC的重心.證法1：設(shè)O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)
x1?x2?x3?x???(x1?x)?(x2?x)?(x3?x)?0?3????? ?O是?ABC??(y?y)?(y?y)?(y?y)?0y?y?y23?123?y?1?3?的重心.證法2：如圖 ?OA?OB?OC
?OA?2OD?0
?AO?2OD
?A、O、D三點(diǎn)共線，且O分AD為2：
1?O是?ABC的重心（2）??????O為?ABC的垂心.????(?)???0 BDC證明：如圖所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.?? 同理?，? ?O為?ABC的垂心
（3）設(shè)a,b,c是三角形的三條邊長，O是?ABC的內(nèi)
aOA?bOB?cOC?0?O為?ABC的內(nèi)心.證明：?BD
C心 AC方向上的單位向量，分別為AB、cb?ABAC?平分?BAC, cb
?AO??(bc?)，令?? cba?b?c
??ABACbc?（）cba?b?c化簡得(a?b?c)OA?bAB?cAC?0
（4）???O為?ABC的外心。?aOA?bOB?cOC?
典型例題：
例1：O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足???(?)，???0,???，則點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的（）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
分析：如圖所示?ABC，D、E分別為邊BC、AC的中點(diǎn).???2 ???2?
???
BD
C
?AP?2?AD
?//
?點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的重心，即選C.例2：（03全國理4）O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P
滿足????，???0,???，則點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的（B）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
分析：方向上的單位向量，分別為平分?BAC, ??點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的內(nèi)心，即選B.例3：O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿
足????，???0,???，則點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的（）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
分析：如圖所示AD垂直BC，BE垂直AC，D、E是垂足
.??
?
?
C
=
=0
?點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的垂心，即選D.練習(xí)：
1．已知?ABC三個頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P，滿足???，若實數(shù)?滿足：AB?AC??AP，則?的值為（）
A．2B．
32C．3D．6
2．若?ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，???，則OA?OB?()
A．
12B．0C．1D．?1
3．點(diǎn)O在?ABC內(nèi)部且滿足OA?2OB?2OC?0，則?ABC面積與凹四邊形ABOC面積之比是（A．0B．3
2C．
544D．3
4．?ABC的外接圓的圓心為O，若???，則H是?ABC的（）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
5．O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，若2?2?
2?CA2?OC2?AB2，則O是?ABC的（）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
6．?ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，?m(??)，則實數(shù)m =
7．（06陜西）已知非零向量AB→與AC→滿足(AB→
|AB→|+AC→
|AC→|)·BC→=0且AB→
|AB→|·AC→
|AC→|=12 , 則△ABC為()
A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形
8．已知?ABC三個頂點(diǎn)A、B、C，若AB2?AB?AC?AB?CB?BC?CA，則?ABC為（）
A．等腰三角形B．等腰直角三角形
C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形
練習(xí)答案：C、D、C、D、D、1、D、C
3）
第五篇：三角形外心、重心、垂心的向量形式
三角形外心、重心、垂心的向量形式
已知△ABC，P為平面上的點(diǎn)，則
(1)P為外心
(2)P為重心
(3)P為垂心
證明(1)如P為△ABC的外心(圖1)，則 PA=PB=PC，(2)如P為△ABC的重心，如圖2，延長AP至D，使PD=PA，設(shè)AD與BC相交于E點(diǎn)．
由重心性質(zhì)
∴ 四邊形PBDC為平行四邊形．
BC和PD之中點(diǎn)．
心．
(3)如圖3，P為△ABC的垂心
同理PA⊥AC，故P為△ABC之垂心．
由上不難得出這三個結(jié)論之間的相互關(guān)系：
∴ △ABC為正三角形．
∴ △ABC為正三角形，且O為其中心．
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