第一篇：正弦定理(第一課時(shí))

課題: §1．1．1正弦定理（第1課時(shí)）

●教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問(wèn)題。

過(guò)程與方法：讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過(guò)三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

●教學(xué)重點(diǎn)

正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

●教學(xué)難點(diǎn)

已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。

●教學(xué)過(guò)程

1.課題導(dǎo)入

在直角三角形中：sinA=a

c，sinB=b

c，sinC=

1即 c=a

sinA，c=bc

sinB，c=sinC．

∴a

sinA=bc

sinB=sinC

2．學(xué)生探究

思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學(xué)生討論、分析）

證明一：（等積法）在任意斜△ABC當(dāng)中

S

12absinC?1

2acsinB?1△ABC=2bcsinA

兩邊同除以1ab

2abc即得：c

sinA=sinB=sinC

證明二：（外接圓法）

如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴a

sinA?a

sinD?CD?2R

同理 b

sinB=2R，c

sinC＝2R

證明三：（向量法）

過(guò)A作單位向量垂直于

由 +=兩邊同乘以單位向量 得 ?(+)=? 則?+?=?

∴||?||cos90?+||?||cos(90??C)=||?|AB|cos(90??A)

∴asinC?csinA∴ac= sinAsinC

cb=sinCsinB同理，若過(guò)C作垂直于得：

abc==。sinAsinBsinC∴

（板書）

1、正弦定理：abc===2R（R是?ABC外接圓的半徑）sinAsinBsinC

變形：a:b:c?sinA:sinB:sinC。

注：每個(gè)等式可視為一個(gè)方程：知三求一

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形。

3.例題講解

例1.（1）在?ABC中，b?,B?600,c?1,求a和A,C．

（2）在?ABC中，c?6,A?450,a?2,求b和B,C．

bccsinB1?sin6001解：（1）∵?,?sinC???，sinBsinCb2?b?c,B?600,?C?B,C為銳角，?C?300,B?900∴a?b2?c2?

2（?C?30或C?150，而C?B?210?180）0000

accsinA6?sin4503?,?sinC???（2）?sinAsinCa22

?csinA?a?c,?C?600或1200

csinBsin750

?當(dāng)C?60時(shí)，B?75,b????1，sinCsin60000

csinB6sin150

?當(dāng)C?120時(shí)，B?15,b????1 0sinCsin6000

?b??1,B?750,C?600或b?3?1,B?150,C?1200

利用正弦定理可以解決下列兩類解斜三角形的問(wèn)題： ①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a?bsinA； sinB

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。a

b

思考：由例1條件，已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，為什么三角形的形狀不能唯一確定，會(huì)出現(xiàn)兩解、一解？。（學(xué)生討論，老師引導(dǎo)：從代數(shù)和幾何兩方面）

4．三角形解的判斷方法：（板書）

已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，由于三角形的形狀不能唯一確定，會(huì)出現(xiàn)兩解、一解和無(wú)解三種情況。

已知邊a,b和?A

a

無(wú)解a=CH=bsinA僅有一個(gè)解

CH=bsinA

⑴若A為銳角時(shí):（板書）⑵若A為直角或鈍角時(shí)：（學(xué)生自己完成）

無(wú)解?a?bsinA??a?b無(wú)解一解(直角)?a?bsinA: ???a?b一解(銳角)?bsinA?a?b二解(一銳, 一鈍)

?a?b一解(銳角)?

5．課堂練習(xí)

1.在?ABC中，三個(gè)內(nèi)角之比A:B:C?1:2:3，那么a:b:c等于.2.在?ABC中，B?1350,C?150,A?5,則此三角形的最大邊長(zhǎng)為3.在?ABC中，已知b?2csinB，求?C的度數(shù).6．課堂小結(jié)（學(xué)生發(fā)言，互相補(bǔ)充，老師評(píng)價(jià)）

1．用三種方法證明了正弦定理：

（1）轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊角關(guān)系；（2）利用向量的數(shù)量積．（3）外接圓法

2．理論上正弦定理可解決兩類問(wèn)題：

（1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

（2）兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角．

教學(xué)反思：本課通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形中的正弦定理，進(jìn)而探究在任意三角形中是否還成立？將學(xué)生帶入探索新知的氛圍，學(xué)生從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，探索得出新結(jié)論，體驗(yàn)了成功的樂(lè)趣，對(duì)如何運(yùn)用定理解決問(wèn)題也是躍躍欲試，在課堂小結(jié)教學(xué)中，給學(xué)生一個(gè)暢所欲言的機(jī)會(huì)，互相評(píng)價(jià)，最終得到完善的答案．這樣做，可以鍛煉學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力，這也體現(xiàn)了一個(gè)人成長(zhǎng)、發(fā)展所必須經(jīng)歷的過(guò)程，對(duì)于培養(yǎng)意志品質(zhì)起到了重要作用．

第二篇：正弦定理第一課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

《正弦定理》（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)

點(diǎn)明課題

本節(jié)課是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修5第一章《解三角形》中的1.1《正弦定理和余弦定理》中的1.1.1《正弦定理》的內(nèi)容，該節(jié)包括正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明和應(yīng)用，我把這節(jié)內(nèi)容分為2課時(shí)，現(xiàn)在我要說(shuō)的是《正弦定理》的第一課時(shí)，主要包括正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明和簡(jiǎn)單的應(yīng)用。

下面我從三個(gè)方面來(lái)說(shuō)說(shuō)對(duì)這節(jié)課的分析和設(shè)計(jì)：

一、教學(xué)背景分析1.教學(xué)目標(biāo)分析 2.學(xué)生現(xiàn)實(shí)分析 3.教材地位分析

二、教學(xué)展開(kāi)分析1.教學(xué)過(guò)程實(shí)施2.教學(xué)媒體選擇3.教學(xué)策略與學(xué)法指導(dǎo) 4.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

三、教學(xué)結(jié)果分析

(一)、教學(xué)背景分析

1.教材地位分析

《正弦定理》是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修5中第一章《解三角形》的學(xué)習(xí)內(nèi)容，比較系統(tǒng)地研究了解三角形這個(gè)課題?！墩叶ɡ怼肪o跟必修4（包括三角函數(shù)與平面向量）之后，可以啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想所學(xué)知識(shí)，運(yùn)用平面向量的數(shù)量積連同三角形、三角函數(shù)的其他知識(shí)作為工具，推導(dǎo)出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基礎(chǔ)，又是學(xué)生了解向量的工具性和知識(shí)間的相互聯(lián)系的的開(kāi)端，對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意三角形的求解、體會(huì)事物是相互聯(lián)系的辨證思想均起著舉足輕重的作用。通過(guò)本節(jié)課學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)和自主、合作、探究能力。

2.學(xué)生現(xiàn)實(shí)分析

(1)學(xué)生在初中已學(xué)過(guò)有關(guān)直角三角形的一些知識(shí)：

①勾股定理：

②三角函數(shù)式，如：(2)學(xué)生在初中已學(xué)過(guò)有關(guān)任意三角形的一些知識(shí)：

①

②大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角

③兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

(3)學(xué)生在高中已學(xué)過(guò)必修4（包括三角函數(shù)與平面向量）

(4)學(xué)生已具備初步的數(shù)學(xué)建模能力，會(huì)從簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型

3.教學(xué)目標(biāo)分析

知識(shí)目標(biāo)：

(1)正弦定理的發(fā)現(xiàn)

(2)證明正弦定理的幾何法和向量法

(3)正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用

能力目標(biāo)：

(1)培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析問(wèn)題、應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力

(2)通過(guò)向量把三角形的邊長(zhǎng)和三角函數(shù)建立起關(guān)系，在解決問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力、綜合應(yīng)用知識(shí)的能力

情感目標(biāo)：

(1)設(shè)置情景，培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立探究意識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣(2)鼓勵(lì)學(xué)生探索規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決實(shí)際問(wèn)題

(3)通過(guò)共同剖析、探討問(wèn)題，推進(jìn)師生合作意識(shí)，加強(qiáng)相互評(píng)價(jià)與自我反思

(二)、教學(xué)展開(kāi)分析

1.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)分析

教學(xué)重點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)正弦定理、用幾何法和向量法證明正弦定理。正弦定理是三角形邊角關(guān)系中最常見(jiàn)、最重要的兩個(gè)定理之一，它準(zhǔn)確反映了三角形中各邊與它所對(duì)角的正弦的關(guān)系，對(duì)于它的形式、內(nèi)容、證明方法和應(yīng)用必須引起足夠的重視。正弦定理要求學(xué)生綜合運(yùn)用正弦定理和內(nèi)角和定理等眾多基礎(chǔ)知識(shí)解決幾何問(wèn)題和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，這些知識(shí)的掌握，有助于培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力，所以一向?yàn)閿?shù)學(xué)教育所重視。

教學(xué)難點(diǎn)是用向量法證明正弦定理。雖然學(xué)生剛學(xué)過(guò)必修4中的平面向量的知識(shí)，但是要利用向量推導(dǎo)正弦定理，有一定的困難。突破此難點(diǎn)的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)向量的數(shù)量積把三角形的邊長(zhǎng)和內(nèi)角的三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)。用平面向量的數(shù)量積方法證明這個(gè)定理，使學(xué)生鞏固向量知識(shí)，突出了向量的工具性，是向量知識(shí)應(yīng)用的范例。

2.教學(xué)策略與學(xué)法指導(dǎo)

教學(xué)策略：本節(jié)課采用“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”的模式，即由“結(jié)合實(shí)例提出問(wèn)題——觀察特例提出猜想——數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)深入探究——證明猜想得出定理——運(yùn)用定理解決問(wèn)題”五個(gè)環(huán)節(jié)組成的“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”模式，在教學(xué)中貫徹“啟發(fā)性”原則，通過(guò)提問(wèn)不斷啟發(fā)學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生自主探索與思考；并貫徹“以學(xué)定教”原則，即根據(jù)教學(xué)中的實(shí)際情況及時(shí)地調(diào)整教學(xué)方案。

學(xué)法指導(dǎo)：教師平等地參與學(xué)生的自主探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生全員參與、全過(guò)程參與。通過(guò)啟發(fā)、調(diào)整、激勵(lì)來(lái)體現(xiàn)主導(dǎo)作用，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知情況和情感發(fā)展來(lái)調(diào)整整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)的梯度和層次，保證學(xué)生的認(rèn)知水平和情感體驗(yàn)分層次向前推進(jìn)。

3.教學(xué)媒體選擇與應(yīng)用

使用多媒體平臺(tái)（包括電腦和投影儀）輔助教學(xué)，讓學(xué)生自己動(dòng)手進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，借助多媒體快捷、形象、生動(dòng)的輔助作用，既突出了知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程，遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生形成體驗(yàn)性認(rèn)識(shí)，體會(huì)成功的愉悅，同時(shí)又可以增加課堂的趣味性，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

4.教學(xué)過(guò)程實(shí)施

本節(jié)課采用“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”的模式，因而教學(xué)過(guò)程實(shí)施分為五個(gè)部分：(1)結(jié)合實(shí)例提出問(wèn)題(2)觀察特例提出猜想(3)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)深入探究(4)證明猜想得出定理(5)運(yùn)用定理解決問(wèn)題

第三篇：第一課時(shí) 正弦定理(一)教案53

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第一課時(shí) 正弦定理(一)

教學(xué)要求：要求學(xué)生掌握正弦定理，并能應(yīng)用解斜三角形，解決實(shí)際問(wèn)題。

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理及應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的向量證明。

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

在直角三角形中，由三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)，可以由已知的邊和角求出未知的邊和角。那么斜三角形怎么辦？——提出課題：?

二、講授新課：

aba①、特殊情況：直角三角形中的正弦定理： sinA=sinB= sinC=1 即：c=?，∴ ccsinA

②、能否推廣到斜三角形？證明一（傳統(tǒng)證法）在任意斜△ABC當(dāng)中：

1111abcS△ABC=absinC?acsinB?bcsinA，兩邊同除以abc即得：== 2222sinAsinBsinC

③用向量證明： 證二：過(guò)A作單位向量垂直于

+=兩邊同乘以單位向量jj?(+)=j? 則：?+?=?

∴||?||cos90?+||?||cos(90??C)=||?||cos(90??A)

ac∴asinC?csinA∴= sinAsinC

cbabc同理：若過(guò)C作垂直于得： =∴== sinCsinBsinAsinBsinC

當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，設(shè) ?A>90?過(guò)A作單位向量垂直于向量

④突出幾點(diǎn)：1?正弦定理的敘述：在一個(gè)三角形中。各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即：abcabc==它適合于任何三角形。2?可以證明===2R（R為△ABC外接圓半徑）sinAsinBsinCsinAsinBsinC

3? 每個(gè)等式可視為一個(gè)方程：知三求一

⑤正弦定理的應(yīng)用： 從理論上正弦定理可解決兩類問(wèn)題： 1．兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

2．兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角。

例

一、在△ABC中，已知c?10A=45?C=30?求b

解略見(jiàn)P128注意強(qiáng)調(diào)“對(duì)”

例

二、在△ABC中，已知a?20b=28A=40?求B(精確到1?)和c（保留兩個(gè)有效數(shù)字）

ab解略見(jiàn)P129注意由=求出sinB=0.8999B角有兩解 sinAsinB

例

三、在△ABC中，已知a?60b=50A=38?求B(精確到1?)和c（保留兩個(gè)有效數(shù)字）

解略見(jiàn)P129注意由b

⑥小結(jié)：正弦定理，兩種應(yīng)用；已知兩邊和其中一邊對(duì)角解斜三角形有兩解或一解（見(jiàn)圖示）

三、鞏固練習(xí)：

1、?ABC中，c?6,A?450,a?2,求b和B,C2、?ABC中，b?3,B?600,c?1,求a和A,C

3.P131練習(xí)1、2P1321、2、3

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第四篇：正弦定理證明

正弦定理證明1.三角形的正弦定理證明： 步驟1.在銳角△ABC中，設(shè)三邊為a，b，c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到

a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC 步驟2.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度 因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R a/SinA=BC/SinD=BD=2R 類似可證其余兩個(gè)等式。2.三角形的余弦定理證明：平面幾何證法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC.∠C所對(duì)的邊為c，∠B所對(duì)的邊為b，∠A所對(duì)的邊為a 則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根據(jù)勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 3 在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b 則c^2=a^2+b^2-2ab*cosC a^2=b^2+c^2-2bc*cosA b^2=a^2+c^2-2ac*cosB 下面在銳角△中證明第一個(gè)等式，在鈍角△中證明以此類推。過(guò)A作AD⊥BC于D，則BD+CD=a 由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2 所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2 =(a-CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2 =a^2+b^2-2a*CD 因?yàn)閏osC=CD/b 所以CD=b*cosC 所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC 題目中^2表示平方。2 談?wù)?、余弦定理的多種證法 聊城二中 魏清泉

正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，關(guān)于這兩個(gè)定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數(shù)學(xué)》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時(shí)用到作輔助單位向量并對(duì)向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過(guò)于獨(dú)特，不易被初學(xué)者接受.本文試圖通過(guò)運(yùn)用多種方法證明正、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合.定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則(1)(正弦定理)= =;(2)(余弦定理)c2=a2+b2-2abcos C, b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A.一、正弦定理的證明

證法一：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有 AD=b?sin∠BCA，BE=c?sin∠CAB，CF=a?sin∠ABC。

所以S△ABC=a?b?csin∠BCA =b?c?sin∠CAB =c?a?sin∠ABC.證法二：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有 AD=b?sin∠BCA=c?sin∠ABC，BE=a?sin∠BCA=c?sin∠CAB。證法三：如圖2，設(shè)CD=2r是△ABC的外接圓 的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

證法四：如圖3，設(shè)單位向量j與向量AC垂直。因?yàn)锳B=AC+CB，所以j?AB=j?(AC+CB)=j?AC+j?CB.因?yàn)閖?AC=0，j?CB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=a?sinC，j?AB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=c?sinA.二、余弦定理的證明

法一：在△ABC中，已知，求c。

第五篇：正弦定理證明

正弦定理

1.在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，且等于其外接圓半徑的兩倍，即

abc???2R sinAsinBsinC

證明：如圖所示，過(guò)B點(diǎn)作圓的直徑BD交圓于D點(diǎn)，連結(jié)AD BD=2R, 則 D=C，?DAB?90 在Rt?ABD中 ?A ?sinC?sinD??c 2RD

b c c?2R sinCab同理：?2R,?2R

sinAsinBabc所以???2R

sinAsinBsinC2.變式結(jié)論

1）a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC 2）sinA?C

a

B abc ,sinB?,sinC?2R2R2R3）asinB?bsinA,asinC?csinA,csinB?bsinC 4）a:b:c?sinA:sinB:sinC

例題

在?ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c，若(3b?c)cosA?acosC，求cosA的值.解：由正弦定理 a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC得

(3sinB?sinC)cosA?sinAcosC

?3sinBcosA?sin(A?C)?sin(A?C)?sinB?3sinBcosA?sinB?B?(0,?)?0?sinB?1?cosA?33