B01--1.1 正弦定理和余弦定理(3課時)

第一篇：B01--1.1 正弦定理和余弦定理(3課時)

高中數(shù)學(xué)新課標必修⑤課時計劃城廂中學(xué)高一備課組授課時間: 2011年月日(星期)第節(jié) 總第課時第一課時1.1.1正弦定理

教學(xué)要求：通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題.教學(xué)重點：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用.教學(xué)難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù).教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)準備：

1.討論：在直角三角形中，邊角關(guān)系有哪些？（三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么辦？

2.由已知的邊和角求出未知的邊和角，稱為解三角形.已學(xué)習(xí)過任意三角形的哪些邊角關(guān)系？（內(nèi)角和、大邊對大角）是否可以把邊、角關(guān)系準確量化？ →引入課題：正弦定理

二、講授新課：

1.教學(xué)正弦定理的推導(dǎo)：

abcab①特殊情況：直角三角形中的正弦定理： sinA=sinB= sinC=1 即c=.??ccsinAsinBsinC

② 能否推廣到斜三角形？（先研究銳角三角形，再探究鈍角三角形）

當?ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)三角函數(shù)的定義，有CD?asinB?bsinA,acabcab.同理，（思考如何作高？），從而.????sinAsinCsinAsinBsinCsinAsinB

111③*其它證法：證明一：（等積法）在任意斜△ABC當中S△ABC=absinC?acsinB?bcsinA.22

21abc 兩邊同除以abc即得：==.2sinAsinBsinC

aa證明二：（外接圓法）如圖所示，∠A＝∠D，∴??CD?2R，sinAsinDbc同理 =2R，＝2R.sinBsinC??????????????????證明三：（向量法）過A作單位向量j垂直于AC，由AC+CB=AB邊同乘以單位向量j 得…..則

④ 正弦定理的文字語言、符號語言，及基本應(yīng)用：已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊；已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值.2.教學(xué)例題：

① 出示例1：在?ABC中，已知A?450，B?600，a?42cm，解三角形.分析已知條件 → 討論如何利用邊角關(guān)系 → 示范格式 → 小結(jié)：已知兩角一邊

② 出示例

2：?ABC中，cA?450,a?2,求b和B,C.分析已知條件 → 討論如何利用邊角關(guān)系 → 示范格式 → 小結(jié)：已知兩邊及一邊對角 ③

練習(xí)：?ABC中，b?B?600,c?1,求a和A,C.在?ABC中，已知a?10cm，b?14cm，A?400，解三角形（角度精確到10，邊長精確到1cm）④ 討論：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，如何判斷解的數(shù)量？

3.小結(jié)：正弦定理的探索過程；正弦定理的兩類應(yīng)用；已知兩邊及一邊對角的討論.三、鞏固練習(xí)：

1.已知?ABC中，?A=60

°，a?，求

2.作業(yè)：教材P5 練習(xí)1(2)，2題.教學(xué)后記：板書設(shè)計： a?b?c.sinA?sinB?sinC

第二課時1.1.2余弦定理

（一）教學(xué)要求：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.教學(xué)重點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用.教學(xué)難點：向量方法證明余弦定理.教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)準備：

1.提問：正弦定理的文字語言？符號語言？基本應(yīng)用？

2.練習(xí)：在△ABC中，已知c?10，A=45?，C=30?，解此三角形.→變式

3.討論：已知兩邊及夾角，如何求出此角的對邊？

二、講授新課：

1.教學(xué)余弦定理的推導(dǎo)：

① 如圖在?ABC中，AB、BC、CA的長分別為c、a、b.???????????? ∵AC?AB?BC，∴AC?AC?(AB?BC)?(AB?BC)?AB?2AB?BC?BC ????????????????????????????2????????????2????2????????????2??AB?2|AB|?|BC|cos(180?B)?BC?c2?2accosB?a2.即b2?c2?a2?2accosB，→

② 試證：a2?b2?c2?2bccosA，c2?a2?b2?2abcosC.③ 提出余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.用符號語言表示a2?b2?c2?2bccosA，…等；→ 基本應(yīng)用：已知兩邊及夾角

④ 討論：已知三邊，如何求三角？

b2?c2?a

2→ 余弦定理的推論：cosA?，…等.2bc

⑤ 思考：勾股定理與余弦定理之間的關(guān)系？

2.教學(xué)例題：

① 出示例1：在?ABC

中，已知a

?cB?600，求b及A.分析已知條件 → 討論如何利用邊角關(guān)系 → 示范求b

→ 討論：如何求A？（兩種方法）

（答案：b?A?600）

→ 小結(jié)：已知兩邊及夾角

②在?ABC中，已知a?13cm，b?8cm，c?16cm，解三角形.分析已知條件 → 討論如何利用邊角關(guān)系 → 分三組練習(xí)→ 小結(jié)：已知兩角一邊

3.練習(xí)：

① 在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.② 在ΔABC中，已知a＝2，b＝3，C＝82°，解這個三角形.4.小結(jié)：余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；余弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三邊求三角；②已知兩邊及它們的夾角，求第三邊.三、鞏固練習(xí)：

1.在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A.（答案：A=1200）

2.三角形ABC中，A＝120°，b＝3，c＝5，解三角形.→ 變式：求sinBsinC；sinB＋sinC.3.作業(yè)：教材P8 練習(xí)1、2（1）題.第三課時1.1正弦定理和余弦定理（練習(xí)）

教學(xué)要求：進一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容，能熟練運用余弦定理、正弦定理解答有關(guān)問題，如判斷三角形的形狀，證明三角形中的三角恒等式.教學(xué)重點：熟練運用定理.教學(xué)難點：應(yīng)用正、余弦定理進行邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)準備：

1.寫出正弦定理、余弦定理及推論等公式.2.討論各公式所求解的三角形類型.二、講授新課：

1.教學(xué)三角形的解的討論：

① 出示例1：在△ABC中，已知下列條件，解三角形.(i)A＝?

6，a＝25，b＝

(ii)A＝，a

?6，a＝

b＝

； ?，b＝

(iiii)A＝，a＝50，b＝

.66

分兩組練習(xí)→ 討論：解的個數(shù)情況為何會發(fā)生變化？

② 用如下圖示分析解的情況.（A為銳角時）

(iii)A＝

已知邊a,b和?A

無解a=CH=bsinA

僅有一個解

CH=bsinA

32.教學(xué)正弦定理與余弦定理的活用：

① 出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求最大角的余弦.分析：已知條件可以如何轉(zhuǎn)化？→ 引入?yún)?shù)k，設(shè)三邊后利用余弦定理求角.② 出示例3：在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，判斷三角形的類型.分析：由三角形的什么知識可以判別？ → 求最大角余弦，由符號進行判斷

a2?b2?c2?A是直角??ABC是直角三角形

結(jié)論：活用余弦定理，得到：a2?b2?c2?A是鈍角?ABC是鈍角三角形 a2?b2?c2?AABC是銳角三角形

③ 出示例4：已知△ABC中，bcosC?ccosB，試判斷△ABC的形狀.分析：如何將邊角關(guān)系中的邊化為角？→ 再思考：又如何將角化為邊？

3.小結(jié)：三角形解的情況的討論；判斷三角形類型；邊角關(guān)系如何互化.三、鞏固練習(xí)：

1.已知a、b為△ABC的邊，A、B分別是a、b的對角，且sinA2a?b的值 ?，求sinB3b

2.在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝4:5:6，則cosA:cosB:cosC＝.3.作業(yè)：教材P11 B組1、2題.

第二篇：《正弦定理和余弦定理》測試卷

《正弦定理和余弦定理》學(xué)習(xí)成果測評

基礎(chǔ)達標：

1.在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為()

A.一個解B.二個解C.無解D.無法確定

2．在△ABC

中，若a?2,b?c??A的度數(shù)是()

A.30°B.45°C.60°D.75°

2223．ΔABC中，若a=b+c+bc，則∠A=()

A.60?B.45?C.120?D.30?

4．邊長為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為()

A.90°B.120°C.135°D.150°

5.在△ABC中，已知a?3，b?2，B=45?.求A、C及c.06．在?ABC中，若B?

45，c?

b?A.7.在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形.8．在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求A.能力提升：

AB的取值范圍是()AC

A.(0，2)B.(2,2)C.(2,)D.(,2)9．銳角ΔABC中，若C=2B，則

10.已知在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，那么cosC的值為()A.?

14B.1

422ABC.?D.銳角ΔABC中，若C=2B，則的取值范圍是 33AC

11.等腰三角形底邊長為6，一條腰長12，則它的外接圓半徑為()

12．在?ABC中，已知三邊a、b、c滿足?a?b?c??a?b?c??3ab，則C＝()

A．15B．30C．45D．60

13．鈍角?ABC的三邊長為連續(xù)自然數(shù)，則這三邊長為（）。

A、1、2、3B、2、3、4C、3、4、5D、4、5、6 ????

sinC2?(6?1)，則∠A=_______.sinB

5a?b?c?_____.15.在△ABC中，∠A=60°，b=1，c=4，則sinA?sinB?sinC14．在ΔABC中，BC=3，AB=2，16.在△ABC中，∠B=120°，sinA:sinC=3:5，b=14，則a，c長為_____.綜合探究：

17．已知鈍角?ABC的三邊為：a?k,b?k?2,c?k?4,求實數(shù)k的取值范圍.a2?b2sin(A?B)?18.在?ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，證明:.2sinCc

參考答案：

基礎(chǔ)達標：

1.B2.A3.C4.B

5.解析：

asinB3sin45?解法1：由正弦定理得：sinA? ??b22

∴∠A=60?或120?

bsinC2sin75?6?2當∠A=60?時，∠C=75?，c?； ??sinB2sin45?

bsinC2sin15?6?2當∠A=120?時，∠C=15?，c?.???sinB2sin45

解法2：設(shè)c=x，由余弦定理b?a?c?2accosB 將已知條件代入，整理：x?x?1?0 解之：x?22226?2 2

222?22)?3b?c?a1?3??2??? 當c?時，cosA?2bc26?22(?1)22?2?22?（從而∠A=60?，∠C=75?； ?2時，同理可求得：∠A=120?，∠C=15?.2

bc?6.∵，sinBsinC當c?

csinBsin45???∴sinC?，b∵0?C?180，∴C?60或C?120

∴當C?60時，A?75； ?????

當C?120時，A?15，；

所以A?75或A?15．

7.由余弦定理的推論得： ????

b2?c2?a287.82?161.72?134.62

?0.5543,?cosA?A?56020?；

c2?a2?b2134.62?161.72?87.82

? cosB?B?32053?；

? C?1800?(A?B)?1800?(56020??32053)

8.∵bc?b2?c2?a2，?0.8398,b2?c2?a21∴由余弦定理的推論得：cosA?? ∵0?A?180，∴A?60.能力提升：

9.C10.A11.C

12.D．由?a?b?c??a?b?c??3ab，得a?b?2ab?c?3ab 222??

a2?b2?c21?，∴由余弦定理的推論得：cosC?2ab2

∵0?C?180，∴C?60.13.B；只需要判定最大角的余弦值的符號即可。

選項A不能構(gòu)成三角形； ??

22?32?421???0，故該三角形為鈍角三角形；選項B中最大角的余弦值為2?2?34

32?42?52

?0，故該三角形為直角三角形；選項C中最大角的余弦值為：2?4?3

42?52?621??0，故該三角形為銳角三角形.選項D中最大角的余弦值為2?4?58

14.120?

1516.4綜合探究：

17.∵?ABC中邊a?k,b?k?2,c?k?4，∴a?k?0，且邊c最長，∵?ABC為鈍角三角形

∴當C為鈍角時 a2?b2?c2

?0，∴cosC?2ab

∴a?b?c?0, 即a?b?c

∴k2?(k?2)2?(k?4)2, 解得?2?k?6,又由三角形兩邊之和大于第三邊：k?(k?2)?k?4,得到k?2，故實數(shù)k的取值范圍：2?k?6.18.證法一:由正弦定理得： 222222

a2?b2sin2A?sin2Bcos2B?cos2A?? c2sin2C2sin2C

=?2sin(B?A)sin(B?A)sinCsin(A?B)sin(A?B)==.222sinCsinCsinC

222證法二:由余弦定理得a=b+c-2bccosA，a2?b2c2?2bccosA2b??1??cosA，則22ccc

又由正弦定理得bsinB?，csinC

a2?b22sinBsinC?2sinBcosA?1??cosA?∴ 2csinCsinC

sin(A?B)?2sinBcosA sinC

sinAcosB?sinBcosAsin(A?B)??.sinCsinC

sin(A?B)sinAcosB?sinBcosA?證法三:.sinCsinC

sinAasinBb?,?，由正弦定理得sinCcsinCc

sin(A?B)acosB?bcosA?∴，sinCc?

又由余弦定理得

a2?c2?b2b2?c2?a2a??b?sin(A?B)?sinCc

(a2?c2?b2)?(b2?c2?a2)? 22c

a2?b2

?.c2

第三篇：正弦定理余弦定理[推薦]

正弦定理余弦定理

一、知識概述

主要學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)及其應(yīng)用，正弦定理是指在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通過兩定理的學(xué)習(xí)，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用這兩個定理去解斜三角形，學(xué)會用計算器解決解斜三角形的計算問題，熟悉兩定理各自解決不同類型的解三角形的問題．認識在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，產(chǎn)生多解的原因，并能準確判斷解的情況．

二、重點知識講解

1、三角形中的邊角關(guān)系

在△ABC中，設(shè)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，則有

（1）角與角之間的關(guān)系：A＋B＋C＝180°；

（2）邊與角之間的關(guān)系：

正弦定理：

余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA

b2＝c2＋a2－2accosB

c2＝a2＋b2－2abcosC

射影定理：a＝bcosC＋ccosB

b＝ccosA＋acosC c＝acosB＋

bcosA

2、正弦定理的另三種表示形式：

3、余弦定理的另一種表示形式：

4、正弦定理的另一種推導(dǎo)方法——面積推導(dǎo)法

在△ABC中，易證明再在上式各邊同時除

以在此方法推導(dǎo)過程中，要注意對

面積公式的應(yīng)用．

例

1、在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面積S=15，求△ABC的三個內(nèi)角．分析：

在正弦定理中，由

進而可以利用三角函數(shù)之間的關(guān)系進行解題．解：

可以把面積進行轉(zhuǎn)化，由公式

∴C=30°或150°

又sinA=cosB∴A＋B=90°或A－B=90°顯然A＋B=90°不可能成立

當C=30°時，由A＋B=150°，A－B=90°得A=120°B=30°

當C=150°時，由A－B=90°得B為負值，不合題意故所求解為A=120°，B=30°，C=30°.例

2、在△ABC中，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的外邊，若b=2a，B=A＋60°，求A的值．分析：

把題中的邊的關(guān)系b=2a利用正弦定理化為角的關(guān)系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA．解：

∵B=A＋60°

∴sinB=sin(A＋60°)=sinAcos60°＋cosAsin60°

又∵b=2a

∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA

例

3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，試判斷△ABC的形狀．分析：

三角形分類是按邊或角進行的，所以判定三角形形狀時一般要把條件轉(zhuǎn)化為邊之間關(guān)系或角之間關(guān)系式，從而得到諸如a＋b＝c，a＋b>c（銳角三角形），a＋b＜c（鈍角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，進而判定其形狀，但在選擇轉(zhuǎn)化為邊或是角的關(guān)系上，要進行探索．

解法一：由同角三角函數(shù)關(guān)系及正弦定理可推得，∵A、B為三角形的內(nèi)角，∴sinA≠0，sinB≠0．

．

∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．解法二：由已知和正弦定理可得：

整理得a－ac＋bc－b＝0，即（a－b)（a＋b－c）＝0，于是a＝b或a＋b－c＝0，∴a＝b或a＋b＝c．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形狀，此類問題主要考查邊角互化、要么同時化邊為角，要么同時化角為邊，然后再找出它們之間的關(guān)系，注意解答問題要周密、嚴謹．

例

4、若acosA=bcosB，試判斷△ABC的形狀．分析：

本題既可以利用正弦定理化邊為角，也可以利用余弦定理化角為邊．解：

解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B

∴2A=2B或2A＋2B=180°∴A=B或A＋B=90°

故△ABC為等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得

∴a(b＋c－a)=b(a＋c－b)∴(a－b)(a＋b－c)=0∴a=b或a＋b=c

故△ABC為等腰三角形或直角三角形．

6、正弦定理，余弦定理與函數(shù)之間的相結(jié)合，注意運用方程的思想．

例

5、如圖，設(shè)P是正方形ABCD的一點，點P到頂點A、B、C的距離分別是

1，2，3，求正方形的邊長．

分析：

本題運用方程的思想，列方程求未知數(shù)．解：

設(shè)邊長為x(1

設(shè)x=t，則1

－5)=16t

三、難點剖析

1、已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，將出現(xiàn)無解、一解和兩解的情況，應(yīng)分情況予以討論．

下圖即是表示在△ABC中，已知a、b和A時解三角形的各種情況．

（1）當A為銳角時（如下圖），（2）當A為直角或鈍角時（如下圖），也可利用正弦定理進行討論．

如果sinB>1，則問題無解；如果sinB＝1，則問題有一解；

如果求出sinB<1，則可得B的兩個值，但要通過“三角形內(nèi)角和定理”或“大邊對大角”等三角形有關(guān)性質(zhì)進行判斷．

2、用方程的思想理解和運用余弦定理：當?shù)仁絘2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知數(shù)時，等式便成為方程．式中有四個量，知道任意三個，便可以解出另一個，運用此式可以求a或b或c或cosA．

3、向量方法證明三角形中的射影定理

在△ABC中，設(shè)三內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c．

4、正弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知兩角和任一邊解三角形；

（2）已知兩邊和一邊的對角解三角形．

5、余弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知三邊解三角形；

（2）已知兩邊和夾角解三角形．

6、三角形面積公式：

例

6、不解三角形，判斷三角形的個數(shù)． ①a＝5，b＝4，A＝120° ②a＝30，b＝30，A＝50° ③a＝7，b＝14，A＝30° ④a＝9，b＝10，A＝60° ⑤a＝6，b＝9，A＝45° ⑥c＝50，b＝72，C＝135° 解析：

①a>b，A＝120°，∴△ABC有一解．②a＝b，A＝50°<90°，∴△ABC有一解．

③a

④a0 ∴△ABC有兩解．

⑤b>c，C＝45°，∴△ABC無解（不存在）．⑥b>c，C＝135°>90°，又由b>c知∠B>∠C＝135°，這樣B＋C>180°，∴△ABC無解．

第四篇：正弦定理余弦定理練習(xí)

正弦定理和余弦定理練習(xí)

一、選擇題

1、已知?ABC中，a?4,b?43,A?300,則B=（）

A.300B.300或1500 C.600D.600或12002、已知?ABC中，AB?6,A?300,B?1200,則S?ABC?()

A.9B.18C.93D.1833、已知?ABC中，a:b:c?1:3:2，則A:B:C?（）

A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:24、已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?k:(k?1):2k(k?0)，則k的取值范圍是（）

A.?2,???B.???,0?C.二、填空題

1、已知?ABC中，B?300,AB?23,AC?2,則S?ABC?

2、已知?ABC中，b?2csinB,則角

3、設(shè)?ABC的外接圓的半徑為R，且AB?4,C?450,則R=

4、已知S?ABC?32,b?2,c?3,則角1??,0???2??D.?1?,????2?? A=

5、已知?ABC中，B?450,C?600,a?2(3?1)，則S?ABC?

三、簡答題

01、在?ABC中，若B?30,AB?23,AC?2,求S?ABC.2、已知?ABC中，C?60,BC?a,AC?b,a?b?6.(1)寫出?ABC的面積S與a的函數(shù)關(guān)系式；(2)當a等于多少時，Smax？并求出Smax.23、已知?ABC中，a?a?2(b?c),a?2b?2c?3,若sinC:sinA?4:，求a,b,c.04、a,b,c是?ABC的三內(nèi)角A,B,C的對邊，4sin

(1)求角A；(2)若a?3,b?c?3,2B?C2?cos2A?72.求b,c的值.