第一篇：正弦定理必修5

課題: §1．1．1正弦定理

授課類型：新授課

一、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

過程與方法：讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

二、教學(xué)重點(diǎn)

正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

三、教學(xué)難點(diǎn)

已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。

四、教學(xué)過程

Ⅰ.課題導(dǎo)入

如圖1．1-1，固定?ABC的邊CB及?B，使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)。思考：?C的大小與它的對(duì)邊AB的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 顯然，邊AB的長(zhǎng)度隨著其對(duì)角?C的大小的增大而增大。能否

用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來？Ⅱ.講授新課

[探索研究](圖1．1-1)在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1．1-2，在Rt?ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，abc?sinA，?sinB，又sinC?1?,A ccc

abc則???csinsinsinabc從而在直角三角形ABC中，CaB ??sinsinsin有

(圖1．1-2)

思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？

（由學(xué)生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如圖1．1-3，當(dāng)?ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=asinB?bsinA,則

同理可得

從而asinA?bsinB，csinC??bsinB?，a

sinAbsinBcsinCAcB

(圖1．1-3)

思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長(zhǎng)問題，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題。

（證法二）：過點(diǎn)A作j?AC，C

由向量的加法可得AB?AC?CB

則j?AB?j?(AC?

CB)∴j?AB?j?AC?j?CBj

jABcos?900?A??0?jCBcos?900?C?

∴csinA?asinC，即

同理，過點(diǎn)C作j?BC，可得

從而ac ?bc ?a

sinA?b

sinB?c

sinC

類似可推出，當(dāng)?ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

a

sinA?b

sinB?c

sinC

[理解定理]

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC；

（2）a

sinA?b

sinB?c

sinC等價(jià)于a

sinA?b

sinB，c

sinC?b

sinB，a

sinA?c

sinC

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a?bsinA； sinB

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

[例題分析]

例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，ab

C?1800?(A?B)

?1800?(32.00?81.80)

?66.20；

根據(jù)正弦定理，asinB42.9sin81.80

b???80.1(cm)； sin32.0根據(jù)正弦定理，asinC42.9sin66.20

c???74.1(cm).sin32.0評(píng)述：對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。

例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精確到10，邊長(zhǎng)精確到1cm）。

解：根據(jù)正弦定理，bsinA28sin400

sinB???0.8999.因?yàn)?0＜B＜1800，所以B?640，或B?1160.⑴ 當(dāng)B?640時(shí)，C?1800?(A?B)?1800?(400?640)?760，asinC20sin760

c???30(cm).sin40

⑵ 當(dāng)B?1160時(shí)，C?1800?(A?B)?1800?(400?1160)?240，asinC20sin240

c???13(cm).sin40評(píng)述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。Ⅲ.課堂練習(xí)

第5頁練習(xí)第1（1）、2（1）題。

[補(bǔ)充練習(xí)]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c

（答案：1：2：3）

Ⅳ.課時(shí)小結(jié)（由學(xué)生歸納總結(jié)）

（1）定理的表示形式：a

sinAsinBsinC

或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0)

（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；

②已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。

Ⅴ.課后作業(yè)

第10頁[習(xí)題1.1]A組第1（1）、2（1）題。

?b?c?a?b?c?k?k?0?； sinA?sinB?sinC

第二篇：必修⑤《1.1.1正弦定理》教案

必修⑤《1.1.1 正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

龍游縣橫山中學(xué) 黃建金

? 教材分析

正弦定理是必修⑤第一章開篇內(nèi)容,在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)三角形邊角關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中更準(zhǔn)確的邊角關(guān)系。通過給出的實(shí)際問題，并指出解決問題的關(guān)鍵在于研究三角形中的邊、角關(guān)系，從而引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生探索愿望，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。在教學(xué)過程中，要引導(dǎo)學(xué)生自主探究三角形的邊角關(guān)系，先由特殊情況發(fā)現(xiàn)結(jié)論，再對(duì)一般三角形進(jìn)行推導(dǎo)證明,并引導(dǎo)學(xué)生分析正弦定理可以解決兩類關(guān)于解三角形的問題：

（1）知兩角一邊，解三角形；

（2）知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形。

? 學(xué)情分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)了基本初等函數(shù)和三角恒等變換的基礎(chǔ)上，探究三角形邊角的量化關(guān)系，得出正弦定理。學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)問題比較感興趣，用現(xiàn)實(shí)問題出發(fā)激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，驅(qū)使學(xué)生探索研究新知識(shí)的欲望。

? 教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能：

(1)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理的內(nèi)容，探索證明正弦定理的方法；

(2)簡(jiǎn)單運(yùn)用正弦定理解三角形、初步解決某些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題

2.過程與方法：

（1）通過對(duì)定理的探究，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的思維方法與能力；

（2）通過對(duì)定理的證明和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力和體會(huì)分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

(1)通過對(duì)三角形邊角關(guān)系的探究學(xué)習(xí)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的過程，體會(huì)由特殊到一般再由一般到特殊的認(rèn)識(shí)事物規(guī)律，培養(yǎng)探索精神和創(chuàng)新意識(shí)；

(2)通過本節(jié)學(xué)習(xí)和運(yùn)用實(shí)踐，體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的思維方式解決問題、認(rèn)識(shí)世界,進(jìn)而領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值、美學(xué)價(jià)值，不斷提高自身的文化修養(yǎng).? 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

? 教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的推證與運(yùn)用。

? 教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的推證；解決問題時(shí)可能有兩解的情形。

教學(xué)過程

一、結(jié)合實(shí)例，導(dǎo)入新課

出示靈山江的圖片。

問：如何能夠?qū)崿F(xiàn)不上塔頂而知塔高，不過河而知河寬？

二、觀察特例，提出猜想[討論]

（1）認(rèn)識(shí)三角形中的6個(gè)元素，并復(fù)習(xí)“大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊”知識(shí)。

問1 ：構(gòu)成一個(gè)三角形最基本的要素有哪些？（同時(shí)在黑板上畫出三個(gè)不同類型的三角形）問2：在三角形中，角與對(duì)邊之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角）

（2）觀察直角三角形，提出猜想

問：能否用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來？

在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中的角與邊的等式關(guān)系。如圖，在Rt?ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有a

?sinA，b?sinB，又sinC?1?c,則ac

sinA?b

sinB?sinC?c

從而在直角三角形ABC中，a

sinA?b

sinB?c

sinC問：這種關(guān)系在銳角三角形中能否成立？

三、證明猜想，得出定理[探究] C（１）化歸思想，把銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形證明。

首先，證明當(dāng)?ABC是銳角三角形時(shí)的情況。證法如下：

設(shè)邊AB上的高是CD（目的是把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形），根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=asinB?bsinA,則a

sinA?b

sinB，同理可得cbsinC?sinB，從而abc?sinAsinB?sinC

其次，提問當(dāng)?ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立？（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）最后提問：還有其它證明方法嗎？（向量方法）

（２）向量思想，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為向量問題證明。

由于涉及邊長(zhǎng)問題，從而可以考慮用向量來研究這問題。

證明：過點(diǎn)A作單位向量j?????AC?????????CB???，由向量的加法可得 AB?AC?

j??????AB?j???(??AC???CB???·

則)

j??????AB??j????AC????j??CB???

∴?j???AB?

cos?900?A??0??j???CB?cos?

900?C?

a∴csinA?asinC，即?c A?????bc同理，過點(diǎn)C作j?BC，可得?

ab

從而sinA?sinB?c

sinC

（3）得出定理，細(xì)說定理

從上面的研探過程，和證明可得以下定理：

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即ab

sinA?sinB?c

sinC

四、定理運(yùn)用，解決實(shí)例

例1．在 △ABC 中,已知 A?30?,B?45?，a?2 cm，求C、b及c

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C?1800?(A?B)?180??(30??45?)?105?

a2?sinB?sin45?22（cm）； ?sinAsin30

a2?sinC?sin105?6?2（cm）c??sinAsin30根據(jù)正弦定理，b?

說明：

1、學(xué)生講出解題思路，老師板書以示解題規(guī)范。

2、已知三角形的幾個(gè)元素，求其他元素的過程叫作解三角形。

3、解題時(shí)利用定理的變形a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC更易解決問題。

例2．在 △ABC中，已知 a?6cm，b?6cm，A?30?，解三角形。

解：根據(jù)正弦定理，sinAsin30?3sinB?（？Ｂ角一定是銳角嗎？還有可能是什么角？如何判定？）b?63?a6

2因?yàn)?0＜B＜1800，所以，B=60或120 oo

⑴ 當(dāng)B=60時(shí)，C?180??(A?B)?180??(30??60?)?90?，o

c?a6sinC?sin90??12(cm)?sinAsin30

⑵ 當(dāng)B=120時(shí)，C?180??(A?B)?180??(30??120?)?30?，o

c?a6?sinC?sin30?6(cm)?sinAsin30

說明：

1.讓學(xué)生講解題思路，其他同學(xué)補(bǔ)充說明，目的是要求學(xué)生注意分類討論思想（可能有兩解）。

2.求角時(shí)，為了使用方便正弦定理還可以寫成sinAsinBsinC??abc

3.用正弦定理的解題使用的題型：邊角成對(duì)已知（1第一類：已知任意兩角及其一邊；

第二類：已知任意兩邊與其中一邊的對(duì)角。對(duì)+1個(gè)），五、活學(xué)活用，當(dāng)堂訓(xùn)練

練習(xí)1在?ABC中，已知下列條件，解三角形。

（說明：可以讓學(xué)生上黑板扮演或通過實(shí)物投影解題的規(guī)范和對(duì)錯(cuò)。）

（1）A?45，C?30，c?10cm，（2）a?20，b?11，B?30

練習(xí)2：[合作與探究]：某人站在靈山江岸邊樟樹B處，發(fā)現(xiàn)對(duì)岸發(fā)電廠A處有一棵大樹，如何求出A、B兩點(diǎn)間的距離？（如圖）???

六、回顧課堂，嘗試小結(jié)

①本節(jié)課學(xué)習(xí)了一個(gè)什么定理？

②該定理使用時(shí)至少需要幾個(gè)條件？

七、學(xué)有所成，課外續(xù)學(xué)

１、課本第10頁習(xí)題1.1A組1、2題

２.思考題：在?ABC中，a

sinA

?bsinB?csinC?k(k>o)，這個(gè)k與?ABC的外接圓半徑R有什么關(guān)系？

3八、板書設(shè)計(jì)

第三篇：必修5 正弦定理1

必修51.1.1正弦定理（學(xué)案）

【學(xué)習(xí)要求】

1．發(fā)現(xiàn)并掌握正弦定理及證明方法。

2．會(huì)初步應(yīng)用正弦定理解斜三角形．

3．三角形的面積公式

【學(xué)習(xí)過程】

1.正弦定理證明方法：（1）定義法（2）向量法（3法四：法一：（等積法）在任意斜△ABC當(dāng)中，S△ABC=absinC?acsinB?bcsinA.兩邊同除以abc即得：

法三：（外接圓法）

如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ,∴CD?2R?.同理2R =＝.可將正弦定理推廣為：abc== =2R（R為△ABC外接圓半sinAsinBsinC12121212abc==.sinAsinBsinC徑）.2.正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊與它所對(duì)角的正弦的比相等，都

等于這個(gè)三角形的外接圓的直徑，即

注意：正弦定理本質(zhì)是三個(gè)恒等式：

三角形的元素：a,b,c,??,??,?C

已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫解三角形。

3.定理及其變形 ：（1）sinA:sinB:sinC=a:b:c；

a?b?cabc(2)====2R； sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC

（3）a=2RsinA,；b=_2RsinB ；c=2RsinC；

abc（4）sinA=；sinB=；sinC=.2R2R2R

4.正弦定理可以解決的問題：

（1）_已知兩角和任意一邊，求其他兩邊和一角；（唯一解）abc=== 2RsinAsinBsinCabcbac??，, =.sinAsinCsinCsinBsinCsinB

（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和兩角．（常見：大一小二）

5.常用面積公式：

對(duì)于任意?ABC，若a，b，c為三角形的三邊，且A,B,C為三邊的對(duì)角，則三角形的面積為：

111①S?ABC?_____ha(ha表示a邊上的高）.②S?ABC?absinC?acsinB?____________ 22

2例1：在?ABC中，已知A?45?,B?30?,c?10,求b.例2：在?ABC中，已知A?45?,a?2,b?2,求B

例3：在?ABC中，已知B?45?,a?,b?2,求A,C和c

總結(jié)：（1）已知兩角和任意一邊，求解三角形時(shí)，注意結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理求出已知邊的對(duì)角；應(yīng)用正弦定理時(shí)注意邊與角的對(duì)應(yīng)性

（2）應(yīng)用正弦定理時(shí)注意邊與角的對(duì)應(yīng)性;注意由sinC求角C時(shí)，討論角C為銳角或鈍角的情況.例4不解三角形，判斷下列三角形解的個(gè)數(shù)．

(l)a=5,b=4，A=120?（2）a =7,b=l4,A= 150?(3)a =9,b=l0,A= 60?（4）c=50,b=72,C=135?練習(xí)：

1、在△ABC中，一定成立的是

A、acosA?bcosBB、asinA?bsinBC、asinB?bsinAD、acosB?bcosA

2．在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,則a:b:c?3．已知在△ABC中，a=10，∠A=60°，b=10，則cosB=___________.4．在△ABC中，已知a?2,b?2,A?30?，解三角形。

5.（1）在?ABC中，已知b?,B?600,c?1,求a和A,C

（2）?ABC中，c?,A?450,a?2,求b和B,C

6.在△ABC中，若∠A=60，∠B=45，a?求△ABC的面積。00

第四篇：高中數(shù)學(xué)必修5第一章正弦定理

1．1．1正弦定理

（一）教學(xué)目標(biāo)

1．知識(shí)與技能:通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

2.過程與方法:讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。

3．情態(tài)與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

（二）教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。

（三）學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)生首先從直角三角形中揭示邊角關(guān)系：a

sinA?b

sinB?c

sinC，接著就一般斜

三角形進(jìn)行探索，發(fā)現(xiàn)也有這一關(guān)系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對(duì)正弦定理進(jìn)行推導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量知識(shí)的簡(jiǎn)捷，新穎。

教學(xué)用具：直尺、投影儀、計(jì)算器

（四）教學(xué)設(shè)想

[創(chuàng)設(shè)情景]

如圖1．1-1，固定?ABC的邊CB及?B，使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)。思考：?C的大小與它的對(duì)邊AB的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

顯然，邊AB的長(zhǎng)度隨著其對(duì)角?C的大小的增大而增大。能否

用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來？

[探索研究](圖1．1-1)

在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1．1-2，在Rt?ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)

abc?sinA，?sinB，又sinC?1?,A cabc則???csinsinsinabc從而在直角三角形ABC中，CaB ??sinAsinBsinC的定義，有

(圖1．1-2)

思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？

（由學(xué)生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

3如圖1．1-3，當(dāng)?ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=asinB?bsinA,則同理可得從而

a

sin?

b

sin，c

sinC?

?

b

sinB?，a

sinA

b

sinB

c

sinC

AcB

(圖1．1-3)思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長(zhǎng)問題，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題。

（證法二）：過點(diǎn)A作j?AC，C 由向量的加法可得AB?AC?CB

??????

??????????

??????????????

則j?AB?j?(AC?CB)????????????????∴j?AB?j?AC?j?CBj

??????????0

jABcos?90?A??0?jCBcos?900?C?

∴csinA?asinC，即

ac

?

?????bc

同理，過點(diǎn)C作j?BC，可得?

從而

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin

類似可推出，當(dāng)?ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin

[理解定理]

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC；（2）

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin等價(jià)于

a

sinA

?

b

sinB，c

sinC

?

b

sinB，a

sinA

?

c

sinC

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a?

bsinA

； sinB

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

ab

[例題分析]

例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C?1800?(A?B)

?1800?(32.00?81.80)

?66.20；

根據(jù)正弦定理，asinB42.9sin81.80b???80.1(cm)；

sin32.00

根據(jù)正弦定理，asinC42.9sin66.20c???74.1(cm).sin32.00

評(píng)述：對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。

例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精確到10，邊

長(zhǎng)精確到1cm）。

解：根據(jù)正弦定理，bsinA28sin400

sinB???0.8999.因?yàn)?0＜B＜1800，所以B?640，或B?1160.⑴ 當(dāng)B?640時(shí)，C?1800?(A?B)?1800?(400?640)?760，asinC20sin760c???30(cm).sin400

⑵ 當(dāng)B?1160時(shí)，C?1800?(A?B)?1800?(400?1160)?240，asinC20sin240c???13(cm).sin400

評(píng)述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。

[隨堂練習(xí)]第5頁練習(xí)第1（1）、2（1）題。

a?b?c

sinA?sinB?sinC

abc

分析：可通過設(shè)一參數(shù)k(k>0)使???k,sinAsinBsinC

abca?b?c

證明出 ???

sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC

abc

解：設(shè)???k(k>o)

sinAsinBsinC

則有a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC

a?b?cksinA?ksinB?ksinC

從而==k

sinA?sinB?sinCsinA?sinB?sinC

例3．已知?ABC中，?A?

600，a?求

又

a

sinA

?

a?b?c

?2?k，所以=2 sinA?sinB?sinC評(píng)述：在?ABC中，等式

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sinC

?

a?b?c

?k?k?0?

sinA?sinB?sinC

恒成立。

[補(bǔ)充練習(xí)]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c

（答案：1：2：3）

[課堂小結(jié)]（由學(xué)生歸納總結(jié)）（1）定理的表示形式：

a

sinAsinBsinC

或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0)

（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角； ②已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。

（五）評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

①課后思考題：（見例3）在?ABC中，?

b

?

c

?

a?b?c

?k?k?0?；

sinA?sinB?sinC

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sinC

?k(k>o)，這個(gè)k與?ABC有

什么關(guān)系？

②課時(shí)作業(yè)：第10頁[習(xí)題1.1]A組第1（1）、2（1）題。

第五篇：蘇教版必修5 11.1.2正弦定理 教案

.11．1正弦定理（2）

一、課題：正弦定理（2）

二、教學(xué)目標(biāo)：1．掌握正弦定理和三角形面積公式，并能運(yùn)用這兩組公式求解斜三角形，解決實(shí)際問題；

2．熟記正弦定理abc???2R（R為?ABC的外接圓的半 sinAsinBsinC

徑）及其變形形式。

三、教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理和三角形面積公式及其應(yīng)用。

四、教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用正弦定理和三角形面積公式解題。

五、教學(xué)過程：

（一）復(fù)習(xí)：

1．正弦定理：在一個(gè)三角形中各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，abc???2R（R為?ABC的外接圓的半徑）； sinAsinBsinC

1112．三角形面積公式：S?ABC?bcsinA?acsinB?absinC． 222 即：

（二）新課講解：

1．正弦定理的變形形式：

①a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC；

2．利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可解決以下兩類斜三角形問題：

（1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

（2）兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角。

一般地，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解斜三角形，有兩解或一解（見圖示）。C aaB1 B 2abc,sinB?,sinC?； 2R2R2R③sinA:sinB:sinC?a:b:c． ②sinA?Ba?bsinAbsinA?a?ba?ba?b一解兩解一解一解

3．正弦定理，可以用來判斷三角形的形狀，其主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化： 例如，判定三角形的形狀時(shí)，經(jīng)常把a(bǔ),b,c分別用2RsinA,2RsinB,2RsinC來替代。

4．例題分析：

例1在?ABC中，1 A?B2 sinA?sinB的（）

A．1只能推出2B．2只能推出1 C．

1、2可互相推出D．

1、2不可互相推出

解：在?ABC中，A?B?a?b?2RsinA?2RsinB?sinA?sinB，因此，選C．

說明：正弦定理可以用于解決?ABC中，角與邊的相互轉(zhuǎn)化問題。

例2在?ABC中，若lga?lgc?lgsinB??，且B為銳角，試判斷此三角形的形狀。解

：由lga?lgc?lgsinB??，得：sinB?

?B?45???0??B?90??，2asinA① ???

c2sinC2

將A?135?CC?2sin(135??C)。

?

∴sinC?sinC?cosC，∴cosC?0，故C?90，?

?A?45?，∴?ABC是等腰直角三角形。

說明：（1）判斷三角形的形狀特征，必須深入研究邊與邊的大小關(guān)系：是否兩邊相等？是否三邊相等？還要研究角與角的大小關(guān)系：是否兩角相等？是否三角相等？有無直角？有無鈍角？

（2）此類問題常用正弦定理（或?qū)W(xué)習(xí)的余弦定理）進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化、化簡(jiǎn)、運(yùn)算，揭示出邊與邊，或角與角的關(guān)系，或求出角的大小，從而作出正確的判斷。

?

例3某人在塔的正東方沿南60西的道路前進(jìn)40米后，望見塔在東北方向上，若沿途測(cè)得

?

塔的最大仰角為30，求塔高。

???D解：如圖，由題設(shè)條件知：?CAB??1?90?60?30，?ABC?45??1?45?30?15，?

?

?

?

?

?

?

?

?

北 C

∴?ACB?180??BAC??ABC?180?30?15?135，又∵AB?40米，在?ABC中，B

?

AC40

?，sin15?sin135?

40sin15?

???30?)?1)，∴AC??

sin13

5在圖中，過C作AB的垂線，設(shè)垂足E，則沿AB測(cè)得塔的最大仰角是?CED，∴?CED?30，在Rt?ABC中，EC?AC?sinBAC?AC?sin30??1)，?

在Rt?DCE中，塔高CD?CE?tan?CED?1)?tan30?

?

10(3（米）．

3例4如圖所示，在等邊三角形中，AB?a,O為中心，過O的直線交AB于M，交AC

于N，求

1?的最大值和最小值。OM2ON

2解：由于O為正三角形ABC的中心，∴AO?

設(shè)?MOA??，則

?，?MAO??NAO?，6A

?

???

2?，在?AON中，由正弦定理得： 3

OMOA，∴OM?，?

sin?MAOsin[??(??)]sin(??)

M?

N

B

在?

AOM中，由正弦定理得：ON?

sin(??)

6，1112??121222

??[sin(??)?sin(??)]?(?sin?)，2222

OMONa66a2?2?3∵???，∴?sin??1，33

4?1118

?故當(dāng)??時(shí)取得最大值，2OM2ON2a2

?2?311152

?所以，當(dāng)??,or時(shí)sin??，此時(shí)取得最小值． 222

334OMONa

∴

六、課練：《

七、課堂小結(jié)：1．正弦定理能解給出什么條件的三角形問題？

2．由于有三角形面積公式，故解題時(shí)要注意與三角形面積公式及三角形外

接圓直徑聯(lián)系在一起。

八、作業(yè)：

1．在?ABC中，已知atanB?btanA，試判斷這個(gè)三角形的形狀；

222

2．在?ABC中，若sinA?2sinB?cosC，sinA?sinB?sinC，試判斷?ABC的形狀。