第一篇：必修5教案1.1正弦定理余弦定理

教學(xué)設(shè)計(jì)示例（第一課時(shí)）

一、教學(xué)目標(biāo)

1．掌握正弦定理及其向量法推導(dǎo)過程；

2．掌握用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題．

二、教學(xué)重點(diǎn)正弦定理及其推導(dǎo)過程，正弦定理在三角形中的應(yīng)用；

教學(xué)難點(diǎn)正弦定理的向量法證明以及運(yùn)用正弦定理解三角形時(shí)解的個(gè)數(shù)的判定．

三、教學(xué)準(zhǔn)備

直尺、投影儀．

四、教學(xué)過程

1．設(shè)置情境

師：初中我們已學(xué)過解直角三角形，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系： 生：Rt?ABC中有a?b?c 22

2a?csinA

b?csinB

a?tanAb

A?B?90?

ab ?sinAsinB

師：對(duì)！利用直角三角形中的這些邊角關(guān)系對(duì)任給直角三角形的兩邊或一邊一角可以求出這個(gè)三角形的其他邊與其他角．

師：在直角三角形中，你能用其他的邊角表示斜邊嗎？

生：在直角三角形ABC中，c?abc。??sinAsinBsinC

師：這個(gè)式子在任意三角形中也是成立的，這就是我們今天要學(xué)的正弦定理（板書正弦定理）．

2．探索研究

（1）師：為了證明正弦定理（引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)向量的數(shù)量積），a?b?a?bcos?，式子的左邊與要證明的式子有相似之處嗎？你能否構(gòu)造一個(gè)可以用來證明的式子．

生：如圖，在銳角?ABC中，過A作單位向量j垂直于，則j與的夾角為90??A,j與的夾角為90??C。

由向量的加法可得

??

對(duì)上面向量等式兩邊同取與向量j的數(shù)量積運(yùn)算，得到

j?

AC?CB?j?AB

?90??90??C)

?90??A)

?asinC?csinA

同理，過點(diǎn)C作與垂直的單位向量j，可得

cb ?sinCsinB

∴abc ??sinAsinBsinC

師：當(dāng)?ABC為鈍角三角形時(shí)，設(shè)A?90?，如圖，過點(diǎn)A作與AC垂直的向量j，則j與的夾角為A?90?，j與的夾角為90??C，同樣可證得

abc ??sinAsinBsinC

師：課后同學(xué)考慮一下正弦定理還有沒有其它的方法證明？

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察正弦定理，利用正弦定理可以解什么類型的三

角形問題？

生：已知兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角；已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，可以求出三角形的其他的邊和角。

（2）例題分析

例1在?ABC中，已知c?10,A?45?,C?30?，求b（保留兩個(gè)有效數(shù)字）bc且B?180??(A?C)?105? ?sinBsinC

c?sinB10?sin105?∴b???19 sinCsin30?解：∵

例2在?ABC中，已知a?4,b?42,B?45?，求?A。abasinB1得sinA??? sinAsinBb2

∵?ABC中a?b∴A為銳角∴A?30? 解：由

例3在?ABC中，?B?45?,?C?60?,a?2(?1)，求?ABC的面積S。解：首先可證明：S?ABC?

這組結(jié)論可作公式使用。

其次求b邊 1111ah??absinC?bcsinA?acsinB。2222

?

?A?180??(B?C)?75?

∴由正弦定理，b?asinB?sinA2(3?1)(2)?4 ?2

∴S?ABC?11absinC??2(3?1)?4?()?6?23 222

3．演練反饋

（1）在?ABC中，一定成立的等式是（）

A．a(chǎn)sinA?bsinBB．a(chǎn)cosA?bcosB

C．a(chǎn)sinB?bsinAD．a(chǎn)cosB?bcosA

（2）在?ABC中，若a

Acos2?bBcos2?cCcos2，則?ABC是（）

A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．等邊三有形

（3）在任一?ABC中，求證a(sinB?sinC)?b(sinC?sinA)?c(sinA?sinB)?0 參考答案：（1）C；（2）D；（3）證：由于正弦定理：令a?ksinA,B?ksinB,c?ksinC代入左邊得：左邊＝k(sinAsinB?sinAsinC?sinBsinC?sinBsinA?sinCsinA?sinCsinB)?0＝右邊

4．總結(jié)提煉

（1）三角形常用公式：A?B?C??；S?

弦定理以及下節(jié)將要學(xué)習(xí)的余弦定理。111absinC?bcsinA?casinB；正222

?a?2RsinAabc?（2）；?b?2RsinB；???2R（外接圓直徑）sinAsinBsinC?c?2RsinC?

a:b:c?sinA:sinB:sinC。

（3）正弦定理應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其他兩邊及一角。

②已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。

③幾何作圖時(shí)，存在多種情況。如已知a、b及A，求作三角形時(shí)，要分類討論，確定解的個(gè)數(shù)。

第二篇：數(shù)學(xué)： 1.1 正弦定理 教案(蘇教版必修5)

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第 2 課時(shí)： §1.1 正弦定理（2）

【三維目標(biāo)】：

一、知識(shí)與技能

1.學(xué)會(huì)利用正弦定理解決有關(guān)平幾問題以及判斷三角形的形狀，掌握化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想； 2.能熟練運(yùn)用正弦定理解斜三角形；

二、過程與方法

通過解斜三角形進(jìn)一步鞏固正弦定理，讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容。

三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀

1.培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解斜三角形問題的運(yùn)算能力； 2.培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想能力?！窘虒W(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】：

重點(diǎn)：利用正弦定理解斜三角形

難點(diǎn)：靈活利用正弦定理以及三角恒等變換公式?！緦W(xué)法與教學(xué)用具】：

1.學(xué)法：

2.教學(xué)用具：多媒體、實(shí)物投影儀、直尺、計(jì)算器 【授課類型】：新授課 【課時(shí)安排】：1課時(shí) 【教學(xué)思路】：

一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1.正弦定理：

2.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，如何判斷三角形的形狀？

二、研探新知，質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

abc??，試判斷三角形的形狀.cosAcosBcosCABBDAD?ABC?BAC?例2（教材P例5）在中，是的平分線，用正弦定理證明：． 10ACDC例1（教材P9例4）在?ABC中，已知證明：設(shè)?BAD??，?BDA??，則?CAD??，?CDA?180???．在?ABD和?ACD中分別運(yùn)用正弦定理，得即ABsin?ACsin(180???)ABAC???，又sin(180???)?sin?，所以，BDsin?DCsin?BDDCABBD?． ACDC例3 在?ABC中，已知角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若a?c?2b,（1）求證：2cosA?CA?C??cos；（2）若B?，試確定?ABC形狀 2231例4 在?ABC中，a,b,c分別為?ABC三邊長，若cosA?，（1）求sin32A?C?cos2A的值；（2）2若a?3，求bc的最大值

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例5（教材P9例3）某登山隊(duì)在山腳A處測(cè)得山頂B的仰角為35?，沿傾斜角為20?的斜坡前進(jìn)1000米后到達(dá)D處，又測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?5?，求山的高度(精確到1米)． 分析：要求BC，只要求AB，為此考慮解?ABD．

解：過點(diǎn)D作DE//AC交BC于E，因?yàn)?DAC?20?，所以?ADE?160?，于是?ADB?360??160??65??135?．又?BAD?35??20??15?，所以?ABD?30?．在?ABD中，由正弦定理，得

AB?ADsin?ADB1000sin135???10002(m)．

sin?ABDsin30?在Rt?ABC中，BC?ABsin35??10002sin35??811(m)． 答：山的高度約為811m．

四、鞏固深化，反饋矯正

1.在?ABC中，tanA?sinB?tanB?sinA，那么?ABC一定是________ 221?lgsinA??lg2，則?ABC形狀為_______ ca?b?c?_______ 3.在?ABC中，若A?600,a?3，則

sinA?sinB?sinC2.在?ABC中，A為銳角，lgb?lg

五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容（1）知識(shí)總結(jié)：（2）方法總結(jié)：

六、承上啟下，留下懸念

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第三篇：1.1 正弦定理和余弦定理 教學(xué)設(shè)計(jì) 教案

教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)目標(biāo)：理解并掌握正弦定理，能初步運(yùn)用正弦定理解斜三角形；

技能目標(biāo)：理解用向量方法推導(dǎo)正弦定理的過程，進(jìn)一步鞏固向量知識(shí)，體現(xiàn)向量的工具性

情感態(tài)度價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；

2.教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)

重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。

3.教學(xué)用具

多媒體

4.標(biāo)簽

正弦定理

教學(xué)過程 講授新課

在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1．1-2，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有，又，則

.從而在直角三角形ABC中，思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學(xué)生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：（證法一）如圖1．1-3，當(dāng)

ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根，則

.據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=

同理可得，從而.類似可推出，當(dāng)自己推導(dǎo)）ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

[理解定理]（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使，；（2）

等價(jià)于。

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如

；

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如.一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

評(píng)述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。[隨堂練習(xí)]第5頁練習(xí)第1（1）、2（1）題。

課堂小結(jié)（由學(xué)生歸納總結(jié)）（1）定理的表示形式：

或，（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角； ②已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。

課后習(xí)題

板書

第四篇：正弦定理余弦定理[推薦]

正弦定理 余弦定理

一、知識(shí)概述

主要學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)及其應(yīng)用，正弦定理是指在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通過兩定理的學(xué)習(xí)，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用這兩個(gè)定理去解斜三角形，學(xué)會(huì)用計(jì)算器解決解斜三角形的計(jì)算問題，熟悉兩定理各自解決不同類型的解三角形的問題．認(rèn)識(shí)在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形，產(chǎn)生多解的原因，并能準(zhǔn)確判斷解的情況．

二、重點(diǎn)知識(shí)講解

1、三角形中的邊角關(guān)系

在△ABC中，設(shè)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，則有

（1）角與角之間的關(guān)系：A＋B＋C＝180°；

（2）邊與角之間的關(guān)系：

正弦定理：

余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA

b2＝c2＋a2－2accosB

c2＝a2＋b2－2abcosC

射影定理：a＝bcosC＋ccosB

b＝ccosA＋acosC c＝acosB＋

bcosA

2、正弦定理的另三種表示形式：

3、余弦定理的另一種表示形式：

4、正弦定理的另一種推導(dǎo)方法——面積推導(dǎo)法

在△ABC中，易證明再在上式各邊同時(shí)除

以在此方法推導(dǎo)過程中，要注意對(duì)

面積公式的應(yīng)用．

例

1、在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面積S=15，求△ABC的三個(gè)內(nèi)角． 分析：

在正弦定理中，由

進(jìn)而可以利用三角函數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行解題． 解：

可以把面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由公式

∴C=30°或150°

又sinA=cosB∴A＋B=90°或A－B=90°顯然A＋B=90°不可能成立

當(dāng)C=30°時(shí)，由A＋B=150°，A－B=90°得A=120°B=30°

當(dāng)C=150°時(shí)，由A－B=90°得B為負(fù)值，不合題意故所求解為A=120°，B=30°，C=30°.例

2、在△ABC中，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的外邊，若b=2a，B=A＋60°，求A的值． 分析：

把題中的邊的關(guān)系b=2a利用正弦定理化為角的關(guān)系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA． 解：

∵B=A＋60°

∴sinB=sin(A＋60°)=sinAcos60°＋cosAsin60°

=

又∵b=2a

∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA

例

3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，試判斷△ABC的形狀． 分析：

三角形分類是按邊或角進(jìn)行的，所以判定三角形形狀時(shí)一般要把條件轉(zhuǎn)化為邊之間關(guān)系或角之間關(guān)系式，從而得到諸如a＋b＝c，a＋b>c（銳角三角形），a＋b＜c（鈍角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，進(jìn)而判定其形狀，但在選擇轉(zhuǎn)化為邊或是角的關(guān)系上，要進(jìn)行探索．

解法一：由同角三角函數(shù)關(guān)系及正弦定理可推得，∵A、B為三角形的內(nèi)角，∴sinA≠0，sinB≠0．

．

∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．解法二：由已知和正弦定理可得：

整理得a－ac＋bc－b＝0，即（a－b)（a＋b－c）＝0，于是a＝b或a＋b－c＝0，∴a＝b或a＋b＝c．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形狀，此類問題主要考查邊角互化、要么同時(shí)化邊為角，要么同時(shí)化角為邊，然后再找出它們之間的關(guān)系，注意解答問題要周密、嚴(yán)謹(jǐn)．

例

4、若acosA=bcosB，試判斷△ABC的形狀． 分析：

本題既可以利用正弦定理化邊為角，也可以利用余弦定理化角為邊． 解：

解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B

∴2A=2B或2A＋2B=180°∴A=B或A＋B=90°

故△ABC為等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得

∴a(b＋c－a)=b(a＋c－b)∴(a－b)(a＋b－c)=0∴a=b或a＋b=c

故△ABC為等腰三角形或直角三角形．

6、正弦定理，余弦定理與函數(shù)之間的相結(jié)合，注意運(yùn)用方程的思想．

例

5、如圖，設(shè)P是正方形ABCD的一點(diǎn)，點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別是

1，2，3，求正方形的邊長．

分析：

本題運(yùn)用方程的思想，列方程求未知數(shù)． 解：

設(shè)邊長為x(1

設(shè)x=t，則1

－5)=16t

三、難點(diǎn)剖析

1、已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，將出現(xiàn)無解、一解和兩解的情況，應(yīng)分情況予以討論．

下圖即是表示在△ABC中，已知a、b和A時(shí)解三角形的各種情況．

（1）當(dāng)A為銳角時(shí)（如下圖），（2）當(dāng)A為直角或鈍角時(shí)（如下圖），也可利用正弦定理進(jìn)行討論．

如果sinB>1，則問題無解； 如果sinB＝1，則問題有一解；

如果求出sinB<1，則可得B的兩個(gè)值，但要通過“三角形內(nèi)角和定理”或“大邊對(duì)大角”等三角形有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行判斷．

2、用方程的思想理解和運(yùn)用余弦定理：當(dāng)?shù)仁絘2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知數(shù)時(shí)，等式便成為方程．式中有四個(gè)量，知道任意三個(gè)，便可以解出另一個(gè)，運(yùn)用此式可以求a或b或c或cosA．

3、向量方法證明三角形中的射影定理

在△ABC中，設(shè)三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c．

4、正弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知兩角和任一邊解三角形；

（2）已知兩邊和一邊的對(duì)角解三角形．

5、余弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知三邊解三角形；

（2）已知兩邊和夾角解三角形．

6、三角形面積公式：

例

6、不解三角形，判斷三角形的個(gè)數(shù)． ①a＝5，b＝4，A＝120° ②a＝30，b＝30，A＝50° ③a＝7，b＝14，A＝30° ④a＝9，b＝10，A＝60° ⑤a＝6，b＝9，A＝45° ⑥c＝50，b＝72，C＝135° 解析：

①a>b，A＝120°，∴△ABC有一解．②a＝b，A＝50°<90°，∴△ABC有一解．

③a

④a0 ∴△ABC有兩解．

⑤b>c，C＝45°，∴△ABC無解（不存在）．⑥b>c，C＝135°>90°，又由b>c知∠B>∠C＝135°，這樣B＋C>180°，∴△ABC無解．

第五篇：正弦定理余弦定理練習(xí)

正弦定理和余弦定理練習(xí)

一、選擇題

1、已知?ABC中，a?4,b?43,A?300,則B=（）

A.300B.300或1500 C.600D.600或12002、已知?ABC中，AB?6,A?300,B?1200,則S?ABC?()

A.9B.18C.93D.1833、已知?ABC中，a:b:c?1:3:2，則A:B:C?（）

A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:24、已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?k:(k?1):2k(k?0)，則k的取值范圍是（）

A.?2,???B.???,0?C.二、填空題

1、已知?ABC中，B?300,AB?23,AC?2,則S?ABC?

2、已知?ABC中，b?2csinB,則角

3、設(shè)?ABC的外接圓的半徑為R，且AB?4,C?450,則R=

4、已知S?ABC?32,b?2,c?3,則角1??,0???2??D.?1?,????2?? A=

5、已知?ABC中，B?450,C?600,a?2(3?1)，則S?ABC?

三、簡答題

01、在?ABC中，若B?30,AB?23,AC?2,求S?ABC.2、已知?ABC中，C?60,BC?a,AC?b,a?b?6.(1)寫出?ABC的面積S與a的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)a等于多少時(shí)，Smax？并求出Smax.23、已知?ABC中，a?a?2(b?c),a?2b?2c?3,若sinC:sinA?4:，求a,b,c.04、a,b,c是?ABC的三內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，4sin

(1)求角A；(2)若a?3,b?c?3,2B?C2?cos2A?72.求b,c的值.