第一篇：波利亞教我們?cè)鯓咏忸}

每個(gè)同學(xué)差不多都有過這樣的經(jīng)歷：一道題，自己總也想不出解法，而老師卻給出了一個(gè)絕妙的解法，這時(shí)你最希望知道的是“老師是怎么想出這個(gè)解法的？”如果這個(gè)解法不是很難時(shí)，“我自己完全可以

想出，但為什么我沒有想到呢？”

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞（George Polya,1887~1985）對(duì)回答上述問題非常感興趣，他先后寫出了《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》和《數(shù)學(xué)與猜想》。這些書被譯成很多國(guó)家的文字出版，成了世界范圍內(nèi)的數(shù)學(xué)教育名著。對(duì)數(shù)學(xué)(http://luntan.flycity.cn)教育產(chǎn)生了深刻的影響。正因?yàn)槿绱?，?dāng)波利亞93歲高齡時(shí)，還被國(guó)

際數(shù)學(xué)教育大會(huì)聘為名譽(yù)主席。

波利亞1887年出生在匈牙利，青年時(shí)期曾在布達(dá)佩斯、維也納、哥廷根，巴黎等地攻讀數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)，獲博士學(xué)位。1914年在蘇黎世著名的瑞士聯(lián)邦理工學(xué)院任教。1940年移居美國(guó)，1942年起任美國(guó)斯坦福大學(xué)教授。他一生發(fā)表達(dá)200多篇論文和許多專著，他在數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域內(nèi)有精深的造詣，對(duì)實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、概率論、縱使數(shù)學(xué)、數(shù)論，幾何和微分方程等若干分支領(lǐng)域都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，留下了以他的名字命名的術(shù)語(yǔ)和定理。他是法國(guó)科學(xué)院、美國(guó)全國(guó)科學(xué)院和匈牙利科學(xué)院的院士，不愧為一位杰出的數(shù)學(xué)家。波利亞熱心數(shù)學(xué)教育，十分重視培養(yǎng)學(xué)生思考問題分析問題的能力。他認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本宗旨是“教會(huì)年輕人思考”。教師要努力啟發(fā)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)解法，從而從根本上提高學(xué)生的解題能力。

波利亞致力于解題的研究，為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來的”這個(gè)令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張《怎樣解題》表。在這張包括“弄清問題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧”四大步驟的解題全過程的解題表中，對(duì)第二步即“擬定計(jì)劃”的分析是最為引人入勝的。他指出尋找解法實(shí)際上就是“找出已知數(shù)與未知數(shù)（http://）之間的聯(lián)系，如果找不出直接聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。最終得出一個(gè)求解計(jì)劃?！彼褜ふ也l(fā)現(xiàn)解法的思維過程分解為五條建議和23個(gè)具有啟發(fā)性的問題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程的“慢動(dòng)作鏡頭”，使我們對(duì)解題的思維過程看得見，摸得著。波利亞的《怎樣解題》表的精髓是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發(fā)性問題吧?！澳阋郧耙娺^它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？看著未知數(shù)！試指出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有聯(lián)系且早已解決的問題。你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個(gè)問題？你能不能用不

同的方式重新敘述它？......”

波利亞說他在寫這些東西時(shí)，腦子里重現(xiàn)了他過去在研究數(shù)學(xué)時(shí)解決問題的過程。實(shí)際上是他解決研究問題時(shí)的思維過程的總結(jié)。這正是數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)教育，特別是研究解題教學(xué)時(shí)的優(yōu)勢(shì)所在，絕非“紙上談兵”。仔細(xì)想一想，我們?cè)诮忸}時(shí)，為了找到解法，實(shí)際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識(shí)到罷了。現(xiàn)在波利亞把這些問題和建議（http://tuan.flycity.cn）去尋找解法，這樣，在解題的過程中，也使自己的思維受到良好的訓(xùn)練。久而久之，不僅提高了解題能力，而且養(yǎng)成了有益的思維習(xí)慣。而這是比任何具

體的數(shù)學(xué)知識(shí)重要得多的東西。

波利亞教我們?cè)鯓咏忸}

波利亞的《怎樣解題》被譯成16種文字，僅平裝本就銷售100萬冊(cè)以上。著名數(shù)學(xué)家瓦爾登1952年2月2日在瑞士蘇黎世大學(xué)的會(huì)議致詞中說：“每個(gè)大學(xué)生，每個(gè)學(xué)者，特別是每個(gè)老師都應(yīng)該讀讀這本引人入勝的書”。我想，波利亞關(guān)于怎樣解題的思想對(duì)于廣大中學(xué)

生同樣也是非常需要的和有益的。

波利亞強(qiáng)調(diào)發(fā)現(xiàn)，不僅僅是指發(fā)現(xiàn)解法，而且也包括數(shù)學(xué)的創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)。他把闡述自己“對(duì)解題的理解、研究和講授”的書取名為《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》，我想大概就是這個(gè)原因。他在這本書的第二卷中，還專門詳細(xì)介紹了數(shù)學(xué)大師歐拉發(fā)現(xiàn)凸多面體的歐拉公式（頂點(diǎn)數(shù)—棱數(shù)+面數(shù)=2）的全過程，生動(dòng)地再現(xiàn)了歐拉如何一步一步地進(jìn)行歸納和猜想，最終得到上述公式的。也就是把處于發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學(xué)，照原

樣提供給我們。展示教學(xué)家創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)的思維活動(dòng)過程，自然而生動(dòng)地顯示歸納和猜想在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的重要作用，這在教科書和一般的數(shù)學(xué)著作中是極少見到的，而這對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)（http://）卻是非常重要的。波利亞要求我們不僅要學(xué)習(xí)證明，而且要學(xué)習(xí)猜想。也就是不僅要培養(yǎng)和提高解題能力，而且要學(xué)習(xí)和培養(yǎng)創(chuàng)新

能力。

第二篇：波利亞教我們?cè)鯓咏忸}

波利亞教我們?cè)鯓咏忸}

-------送給渴望學(xué)好數(shù)學(xué)的同學(xué)

喬治·波利亞，美籍匈牙利人，是20世紀(jì)舉世公認(rèn)的數(shù)學(xué)家，著名的數(shù)學(xué)教育家，享有國(guó)際盛譽(yù)的數(shù)學(xué)方法論大師。波利亞致力于解題的研究，為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來的”這個(gè)令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。學(xué)知識(shí)，先學(xué)方法。他的這些解題的方法，對(duì)我啟發(fā)很大!所以特意摘錄給同學(xué)們看看，希望大家也能從中受到啟發(fā)。

第一步：你必須弄清問題。

1.已知是什么？未知是什么？要確定未知數(shù)，條件是否充分？

2.畫張圖，將已知標(biāo)上。

3.引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。

4.把條件的各個(gè)部分分開。

第二步：找出已知與未知的聯(lián)系。

1.你能否轉(zhuǎn)化成一個(gè)相似的、熟悉的問題？

2.你能否用自己的語(yǔ)言重新敘述這個(gè)問題？

3.回到定義去。

4.你能否解決問題的一部分？

5.你是否利用了所有的條件？

第三步：寫出你的想法。

1.勇敢地寫出你的方法。

2.你能否說出你所寫的每一步的理由？

第四步：回顧。

1.你能否一眼就看出結(jié)論？

2.你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)論？

3.你能否把這個(gè)題目或這種方法用于解決其他的問題？

第三篇：波利亞 教我們?cè)鯓咏忸}

學(xué)習(xí)波利亞《教我們?cè)鯓咏忸}》

(美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治?波利亞（George Polya,1887—1985），法國(guó)科學(xué)院、美國(guó)全國(guó)科學(xué)院和匈牙利科學(xué)院的院士，杰出的數(shù)學(xué)家。波利亞一生發(fā)表達(dá)200多篇論文和許多專著，他在數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域內(nèi)有精深的造詣，他熱心數(shù)學(xué)教育，十分重視培養(yǎng)學(xué)生思考問題分析問題的能力。他認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本宗旨是“教會(huì)年輕人思考”。教師要努力啟發(fā)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)解法，從而從根本上提高學(xué)生的解題能力。)

每個(gè)同學(xué)差不多都有過這樣的經(jīng)歷：一道題，自己總也想不出解法，而老師卻給出了一個(gè)絕妙的解法，這時(shí)你最希望知道的是“老師是怎么想出這個(gè)解法的？”如果這個(gè)解法不是很難時(shí)，“我自己完全可以想出，但為什么我沒有想到呢？”

波利亞對(duì)回答上述問題非常感興趣，他先后寫出了《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》和《數(shù)學(xué)與猜想》。這些書被譯成很多國(guó)家的文字出版，成了世界范圍內(nèi)的數(shù)學(xué)教育名著。對(duì)數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生了深刻的影響。正因?yàn)槿绱?，?dāng)波利亞93歲高齡時(shí)，還被國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)聘為名譽(yù)主席。

波利亞致力于解題的研究，為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來的”這個(gè)令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張《怎樣解題》表。在這張包括“弄清問題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧”四大步驟的解題全過程的解題表中，對(duì)第二步即“擬定計(jì)劃”的分析是最為引人入勝的。他指出尋找解法實(shí)際上就是“找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，如果找不出直接聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。最終得出一個(gè)求解計(jì)劃。”他把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過程分解為五條建議和23個(gè)具有啟發(fā)性的問題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程的“慢動(dòng)作鏡頭”，使我們對(duì)解題的思維過程看得見，摸得著。

波利亞的《怎樣解題》一書中的精髓是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發(fā)性問題吧?！澳阋郧耙娺^它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？看著未知數(shù)！試指出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有聯(lián)系且早已解決的問題。你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個(gè)問題？你能不能用不同的方式重新敘述它？......”

波利亞說他在寫這些東西時(shí)，腦子里重現(xiàn)了他過去在研究數(shù)學(xué)時(shí)解決問題的過程。實(shí)際上是他解決研究問題時(shí)的思維過程的總結(jié)。這正是數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)教育，特別是研究解題教學(xué)時(shí)的優(yōu)勢(shì)所在，絕非“紙上談兵”。仔細(xì)想一想，我們?cè)诮忸}時(shí)，為了找到解法，實(shí)際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識(shí)到罷了?，F(xiàn)在波利亞把這些問題和建議去尋找解法，這樣，在解題的過程中，也使自己的思維受到良好的訓(xùn)練。久而久之，不僅提高了解題能力，而且養(yǎng)成了有益的思維習(xí)慣。而這是比任何具體的數(shù)學(xué)知識(shí)重要得多的東西。

波利亞強(qiáng)調(diào)發(fā)現(xiàn)，不僅僅是指發(fā)現(xiàn)解法，而且也包括數(shù)學(xué)的創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)。展示教學(xué)家創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)的思維活動(dòng)過程，自然而生動(dòng)地顯示歸納和猜想在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的重要作用，這對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)卻是非常重要的。波利亞要求我們不僅要學(xué)習(xí)證明，而且要學(xué)習(xí)猜想。也就是不僅要培養(yǎng)和提高解題能力，而且要學(xué)習(xí)和培養(yǎng)創(chuàng)新能力。

附：波利亞解題表

一、弄清題意

1)已知是什么?

2)未知是什么?

3)題目要求你干什么?

4)可否畫一個(gè)圖形?

5)可否數(shù)學(xué)化?

二、擬定方案(核心)

1)你能否一眼看出結(jié)果?

2)是否見過形式上稍有不同的題目?

3)你是否知道與此有關(guān)的題目,是否知道用得上的定義,定理,公式?

4)有一個(gè)與你現(xiàn)在的題目有關(guān)且你已解過的題目,你能利用它嗎?

5)已知條件A,B,C……可否轉(zhuǎn)化?可否建立一個(gè)等式或不等式?

6)你能否引入輔助元素?

7)如果你不能解這個(gè)題,可先解一個(gè)有關(guān)的題,你能否想出一個(gè)較易下手的,較一般的,特殊的,類似的題?

三、執(zhí)行方案

1)把你想好的解題過程具體地用術(shù)語(yǔ),符號(hào),圖形,式子表述出來.2)修正解題方向以及原來擬定的不恰當(dāng)?shù)姆桨?3)解題要求是:嚴(yán)密具有邏輯性.四、檢驗(yàn)回顧

1)你能擬定其它解題方案嗎?

2)你能利用它嗎?你能用它的結(jié)果嗎?你能用它的方法嗎?

3)你能找到什么方法檢驗(yàn)?zāi)愕慕Y(jié)果嗎?

第四篇：波利亞《怎樣解題》讀后感

《怎樣解題》讀書筆記

“學(xué)習(xí)難，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更難”，許多人對(duì)數(shù)學(xué)望而生畏，大有談虎色變的趨勢(shì)。大家都有這樣的經(jīng)歷：一道題，自己總也想不出解法，而別人卻輕而易舉地給出了一個(gè)絕妙的解法，這時(shí)你最希望知道的是“你是怎么想出這個(gè)解法的？為什么我沒有想到呢？”有這么一個(gè)人，為了改變數(shù)學(xué)在公眾心目中的形象，致力于解題的研究，為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來的”這個(gè)令人困惑的問題，很早就開始探索數(shù)學(xué)中的發(fā)明創(chuàng)造，他利用在大學(xué)任教的機(jī)會(huì)，通過與學(xué)生的交流和對(duì)學(xué)生的細(xì)致觀察，認(rèn)真研究了人們解題的過程，通過和一批數(shù)學(xué)大家的交流，花了整整三十年的時(shí)間，終于完成一篇著作，這本書指導(dǎo)了人們不僅僅是在數(shù)學(xué)中，乃至在任何其他領(lǐng)域中怎樣進(jìn)行正確思維，引導(dǎo)了一代又一代讀者在學(xué)習(xí)中走上正確的道路。這個(gè)人就是著名數(shù)學(xué)家喬治?波利亞，這本著作就是《怎樣解題》。

波利亞(1887-1985)是美國(guó)著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。上中學(xué)時(shí)，他就是一個(gè)很有上進(jìn)心的學(xué)生，但每當(dāng)遇較難的數(shù)學(xué)題時(shí)，他也時(shí)常感到困惑：“這個(gè)解答好像還行，他看起來是正確的，但怎樣才能想到這樣的解答呢？這個(gè)結(jié)論好像還行，他看起來是個(gè)事實(shí)，但別人是怎樣發(fā)現(xiàn)這個(gè)事實(shí)的？我自己怎樣才能想出或發(fā)現(xiàn)他們呢？”為了解決這個(gè)困惑，波利亞經(jīng)過多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的累計(jì)以及與一批數(shù)學(xué)大家的交流，最終著出《怎樣解題》這本書，一經(jīng)出版，暢銷全球。在這本書中，波利亞表達(dá)了這樣的觀點(diǎn)：解題的價(jià)值不是答案的本身，而在于弄清“是怎樣想到這個(gè)解法的？”、“是什么促使你這樣想，這樣做的？”這就是說，解題過程還是一個(gè)思維過程，是一個(gè)把知識(shí)與問題聯(lián)系起來思考、分析、探索的過程。波利亞認(rèn)為“對(duì)你自己提出問題是解決問題的開始”，“當(dāng)你有目的地向自己提出問題時(shí)，它就變成你自己的問題了”，“怎樣解題表”是《怎樣解題》一書的精華，這張表是波利亞在分解解題的思維過程得到，表中所述看似很平常的解題步驟或方法，其實(shí)已包含幾代人的智慧結(jié)晶和經(jīng)驗(yàn)總結(jié)?！霸鯓咏忸}”表將解題過程分成了四個(gè)步驟，包括“弄清問題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧反思”，在這其中，對(duì)第二步

即“擬定計(jì)劃”的分析是最為引人入勝的。波利亞把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過程分解為五條建議和二十三個(gè)具有啟發(fā)性的問題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程進(jìn)行分解，使我們對(duì)解題的思維過程看得見，摸得著，易于操作。波利亞推崇探索法，他認(rèn)為現(xiàn)代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用的智力活動(dòng)。他說《怎樣解題》這本書就是實(shí)現(xiàn)這種計(jì)劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實(shí)質(zhì)上就是試圖誘發(fā)靈感的“智力活動(dòng)表”。波利亞的“怎樣解題”表的精髓是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發(fā)性問題吧?！澳阋郧耙娺^它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？??”波利亞說他在寫這些東西時(shí)，腦子里重現(xiàn)了他過去在研究數(shù)學(xué)時(shí)解決問題的過程，實(shí)際上是他解決和研究問題時(shí)的思維過程的總結(jié)。這正是數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)，特別是研究解題方法時(shí)的優(yōu)勢(shì)所在，絕非“紙上談兵”?；剡^頭來想一想，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)自己在解決問題時(shí)的確或多或少地經(jīng)歷了這樣一個(gè)過程。我們?cè)诮忸}時(shí)，為了找到解法，實(shí)際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識(shí)到這些問題罷了。在解決實(shí)際問題時(shí)，我們可能又忽略許多解決問題的方法和細(xì)節(jié)。因此我們需要控制自己的思路，用頑強(qiáng)的意志不斷地模仿解決問題的步驟和方法，爭(zhēng)取達(dá)到靈活運(yùn)用和創(chuàng)造性地解決問題的程度。按波利亞提出的這些問題和建議去尋找解法，在解題的過程中，必將使自己的思維受到良好的訓(xùn)練，久而久之，不僅提高了解題能力，而且養(yǎng)成了有益的思維習(xí)慣。如果能在平時(shí)的解題中不斷實(shí)踐和體會(huì)該表，必能很快就會(huì)發(fā)出和波利亞一樣的感嘆：“學(xué)數(shù)學(xué)是一種樂趣！”

在書中波利亞這樣說：“一個(gè)重大的發(fā)現(xiàn)可以解決一道重大的難題，而在解答任何一道題目的過程中，也會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)。”這句話頗有現(xiàn)實(shí)意義，人如果缺乏善于發(fā)現(xiàn)的眼睛和發(fā)現(xiàn)題目的本質(zhì)，就無法摒棄無關(guān)緊要的繁瑣條件和層層陷阱，就無法抓住問題的關(guān)鍵，因此也就無從下筆解答題目了。他還認(rèn)為當(dāng)你解答的題目并不陌生，有些似曾相識(shí)的時(shí)候可能會(huì)不以為然，但你若因此而感到有興趣，并被好奇所激發(fā)時(shí)，你的創(chuàng)造力將被激起，并被發(fā)揮出來；特別是如果你用自己獨(dú)一無二的方法做出時(shí)，你將飽含成就感，從而更加激發(fā)你學(xué)習(xí)的熱情和對(duì)問題探索的渴望。也就是說，學(xué)好數(shù)學(xué)不只在于練習(xí)、操作、演算，最重要的是從心底萌發(fā)出的對(duì)數(shù)學(xué)的濃厚興趣與自我歸納理解后的解題思路。書中還講到了教師對(duì)于學(xué)生的解題應(yīng)該進(jìn)行怎樣的指導(dǎo)，書的第一章節(jié)，為“在教室中”，分為“目的”“主要問題，主要部分”在“目的”這一節(jié)中，波利亞系統(tǒng)地指導(dǎo)了教師如何讓幫助學(xué)生，他說：“教師最重要的任務(wù)就是幫助學(xué)生。學(xué)生應(yīng)當(dāng)獲得盡可能多的獨(dú)立工作的經(jīng)驗(yàn)。但是如果讓他獨(dú)自面對(duì)問題而得不到任何幫助或者幫助得不夠。那么他很可能沒有進(jìn)步。但若教師對(duì)他幫助過多，那么學(xué)生卻又無事可干，教師對(duì)學(xué)生的幫助應(yīng)當(dāng)不多不少，恰使學(xué)生有一個(gè)合理的工作量。如果學(xué)生不太能夠獨(dú)立工作，那么教師也至少應(yīng)當(dāng)使他感覺自己是在獨(dú)立工作。為了做到這一點(diǎn)，教師應(yīng)當(dāng)考慮周到地、不顯眼地幫助學(xué)生。不過，對(duì)學(xué)生的幫助最好是順乎自然。教師對(duì)學(xué)生應(yīng)當(dāng)設(shè)身處地，應(yīng)當(dāng)了解學(xué)生情況，應(yīng)當(dāng)弄清學(xué)生正在想什么，并且提出一個(gè)學(xué)生自己可能會(huì)產(chǎn)生的問題，或者指出一個(gè)學(xué)生自己可能會(huì)想出來的步驟?！倍谥笇?dǎo)學(xué)生的過程中，教師不免一而再，再而三地提出一些相同的問題，指出一些相同的步驟。例如，在大量的問題中，我們總是問：未知數(shù)是什么？我們可以變換提問的方法，以各種不同的方式提問同一個(gè)問題：求什么？你想找到什么？你假定求的是什么？這類問題的目的是把學(xué)生的注意力集中到未知數(shù)上。有時(shí)，我們用一條建議：看著未知數(shù)，來更為自然地達(dá)到同一效果。問題與建議都以同一效果為目的：即企圖引起同樣的思維活動(dòng)。在波利亞看來，在與學(xué)生討論的問題中，收集一些典型的有用問題和建議，并加以分類是有價(jià)值的?！霸鯓咏忸}”表就包含了這類經(jīng)過仔細(xì)挑選與安排的問題和建議；它們對(duì)于那些能獨(dú)立解題的人也同樣有用。而在讀者們充分熟悉這張表并且看出在建議之后所應(yīng)采取的行動(dòng)之后，他們會(huì)感到這張表中所間接列舉的是對(duì)解題很有用的典型思維活動(dòng)。這些思維活動(dòng)在表中的次序是按其發(fā)生的可能性大小排列的。表中所提問題與建議的重要特點(diǎn)之一是普遍性，當(dāng)然，除去普遍性以外，它們也是自然的、簡(jiǎn)單的、顯而易見的并且來自于普通常識(shí)。如果能夠在遇到一些困難的問題的時(shí)候，我們能聯(lián)想到與之相關(guān)卻為我們所熟悉的內(nèi)容，那么我們走的這條路也是對(duì)的。波

利亞指出，教師和學(xué)生在實(shí)踐中，教師試圖提高學(xué)生解題能力，必須培養(yǎng)學(xué)生的興趣，然后給他們提供大量的機(jī)會(huì)去模仿與實(shí)踐。如果教師想要在他的學(xué)生中發(fā)展相應(yīng)于“如何解題”表中的問題與建議的思維活動(dòng)，那么他就應(yīng)該盡可能地經(jīng)常而自然地向?qū)W生提出這些問題和建議。此外，當(dāng)教師在全班面前解題時(shí)，他應(yīng)當(dāng)使其思路更吸引人一些，并且應(yīng)當(dāng)向自己提出那些在幫助學(xué)生時(shí)所使用的相同問題。由于這樣的指導(dǎo)，學(xué)生將終于找到使用表中這些問題與建議的正確方法，并且這樣做以后，他將學(xué)到比任何具體數(shù)學(xué)知識(shí)更為重要的東西。將此聯(lián)系到實(shí)際中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問題，在如今應(yīng)試教育的大環(huán)境下，現(xiàn)在教師的教學(xué)過程、學(xué)生的思維都比較的定式化，特別像是數(shù)學(xué)物理等理科，教師運(yùn)用題海戰(zhàn)術(shù)，學(xué)生只要多做多練，甚至背好題型就可以萬事大吉了。但是學(xué)生很難出于自己的興趣去解題，解題更多地被當(dāng)做一種機(jī)械的條件反射的運(yùn)動(dòng)而不是思維活動(dòng)。這樣的問題有待于我們這些未來的教師去解決。作為一名數(shù)學(xué)師范專業(yè)的學(xué)生，我想我從這本書中學(xué)到了太多，不僅僅解決了自身的學(xué)習(xí)問題，激發(fā)了自己對(duì)于解題的興趣、學(xué)會(huì)了如何運(yùn)用“怎樣解題”表中的步驟解決問題，更學(xué)會(huì)了，作為一名教師應(yīng)該如何指導(dǎo)學(xué)生解決問題，如何教育學(xué)生，讀完這本書，我獲益匪淺。

第五篇：從波利亞怎樣解題

從波利亞《怎樣解題》

談數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的習(xí)慣培養(yǎng)

沈 斌

摘要：運(yùn)用波利亞的“怎樣解題”表來指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，揭示解題過程的思維訓(xùn)練全貌, 暴露數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)核心問題的本質(zhì)，以增進(jìn)教學(xué)效果，同時(shí), 在解題的過程中，也使學(xué)生的思維受到良好的訓(xùn)練。久而久之，不僅提高解題能力，而且養(yǎng)成有益的思維習(xí)慣，進(jìn)而形成了良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，而這是比任何具體的數(shù)學(xué)知識(shí)重要得多的東西。

關(guān)鍵詞：怎樣解題表職業(yè)中學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣

正文：

一、中等職業(yè)學(xué)校學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀

當(dāng)前的職校數(shù)學(xué)教學(xué)面臨著一種困境，學(xué)生生源質(zhì)量差且參差不齊，經(jīng)常聽到有教師怨言：“這些學(xué)生怎么教呵！”學(xué)生基礎(chǔ)比較差這是事實(shí)，是不是學(xué)生智質(zhì)差？不是，學(xué)生也聰明，活潑好動(dòng)，究其原因是職業(yè)中學(xué)學(xué)生大多,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣不好，學(xué)習(xí)被動(dòng)等，他們不懂得怎樣去思考問題, 怎樣將己知未知聯(lián)系起來, 甚至搞不清已知是什么,總之他們不會(huì)學(xué)習(xí)或者說解題不知從何入手。對(duì)于教師而言，面對(duì)著一個(gè)班級(jí)里有許多學(xué)習(xí)目的不明確、學(xué)習(xí)習(xí)慣不好、基礎(chǔ)不扎實(shí)的學(xué)生，如何上好課的確是一大難題，如果沿用傳統(tǒng)的課堂教學(xué)目標(biāo)和模式，其結(jié)果只能造成師生互怨。

二、波利亞《怎樣解題》的啟示

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞（George Polya,1887~1985）致力于解題的研究，為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來的”這個(gè)令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張“怎樣解題”表。這張表包括“弄清問題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧”四大步驟的解題全過程。

波利亞把他本人數(shù)十年的教學(xué)與科研經(jīng)驗(yàn)集中具體地表現(xiàn)在他的”怎樣解題”表上。在這張表中, 他按照邏輯思維的順序和出現(xiàn)可能性大小的順序搜集了一系列公式化了的指導(dǎo)性意見, 提出的方式也十分靈活, 有時(shí)用建議的口氣, 有時(shí)則用引導(dǎo)性問題的辦法, 盡量順乎自然, 使學(xué)生感到這些意見真是說到他們的心坎上了, 這就是他們自己所要說的話。波利亞說: “教師最重要的任務(wù)之一是幫助學(xué)生”?！敖處煂?duì)學(xué)生應(yīng)當(dāng)設(shè)身處地，應(yīng)當(dāng)了解學(xué)生情況，應(yīng)當(dāng)弄清學(xué)生正在想什么，并且提出一個(gè)學(xué)生自己可能會(huì)產(chǎn)生的問題，或者指出一個(gè)學(xué)生自己可能會(huì)想出來的步驟”。波利亞的《怎樣解題》教學(xué)思想使我受到啟示，在課堂教學(xué)中嘗試“弄清問題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧”四大步驟，使學(xué)生逐步養(yǎng)成了良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。

三、在職校數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用《怎樣解題》思想培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣

(一)通過審題, 弄清問題, 培養(yǎng)學(xué)生分析已知條件的習(xí)慣

審題過程就是要審清題目數(shù)量關(guān)系，知道該道題講的是什么，并能找出已知條件，使題目的條件、問題及其關(guān)系在學(xué)生頭腦中建立起完整的印象，為正確分析數(shù)量關(guān)系和解答問題創(chuàng)造良好的前

提條件。對(duì)題中揭示數(shù)量關(guān)系的關(guān)鍵句要反復(fù)推敲，理解它的真實(shí)含義。數(shù)學(xué)教師在通常的教學(xué)過程中應(yīng)時(shí)時(shí)提醒學(xué)生這樣盡力去做, 那么我們的學(xué)生不管他對(duì)每一道題目是否審的清楚, 但一定可以在這種過程中培養(yǎng)起先弄清問題,分析已知條件的習(xí)慣。

例 如果一條直線平行于一個(gè)平面,那么垂直于這條直線的平面必垂直于這個(gè)平面.講解第一步、弄清問題:

你要求證的是什么?

要求證的是平面與平面垂直.已知些什么?

一條直線平行于一個(gè)平面, 另一個(gè)平面垂直于這條直線.可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來敘述題意嗎? 可以畫張圖嗎?

已知: 直線a∥平面α, 直

求證:平面α⊥平面β.效果：通過以上的審題和分析

了題意并數(shù)學(xué)化，同時(shí)大腦中有了

(二)通過探求解題方法,培

習(xí)慣

在波利亞的解題表中，擬定計(jì)劃是關(guān)鍵環(huán)節(jié)，“擬定計(jì)劃”的過程是在“過去的經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)”基礎(chǔ)上,探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過程?！皵M定計(jì)劃”的過程其實(shí)就是不斷變換問題的過程，把復(fù)雜的問題向簡(jiǎn)單的問題轉(zhuǎn)化，陌生的問題向熟悉的問題轉(zhuǎn)化，最終把待解決的問題化歸為已解決的或易解決的問題，這樣在探索解題思路的過程中自然而然地培養(yǎng)了學(xué)生擬定解題計(jì)劃的習(xí)慣。學(xué)生有了計(jì)劃, 就不會(huì)拉下已知條件, 就會(huì)考慮解題的優(yōu)先順序，有清晰的目標(biāo)，就可以通過計(jì)劃的實(shí)施來實(shí)現(xiàn)解題的目標(biāo)。

講解第二步、擬定計(jì)劃:

怎樣證明兩個(gè)平面垂直?

要證明平面α⊥平面β, 只要在其中一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線即可。

怎樣找到另一個(gè)平面的垂線呢？

由直線a⊥平面β, 根據(jù)直線和直線平行的性質(zhì)定理, 只要在平面α內(nèi)找到一條和直線a平行的直線, 這直線必定垂直于平面β。

怎樣在平面α內(nèi)找到這條直線呢？

而由直線和平面平行的性質(zhì)定理可知, 只須過直線a任意作一個(gè)平面γ和平面α相交于直線b, 則交線b⊥平面β, 由此可證明結(jié)論成立.解題計(jì)劃：直線a∥平面α，可找平面α內(nèi)的直線b，a∥b可得直線b⊥平面β，b⊥平面β且平面α經(jīng)過直線b結(jié)論可得證。

(三)通過實(shí)現(xiàn)解題計(jì)劃,培養(yǎng)學(xué)生將計(jì)劃付諸實(shí)現(xiàn)的習(xí)慣

想出一個(gè)計(jì)劃,產(chǎn)生一個(gè)求解的念頭是不容易的,要成功,需要有許多條件,如已有的知識(shí)、良好的思維習(xí)慣等。我們要把來之不易的好計(jì)劃好念頭付諸實(shí)現(xiàn)，在解題計(jì)劃的實(shí)現(xiàn)過程中我們必須充 a線a⊥平面β.已知條件，使學(xué)生弄清一個(gè)立體模型.養(yǎng)學(xué)生擬定解題計(jì)劃的實(shí)細(xì)節(jié)并耐心地檢查每一個(gè)細(xì)節(jié)，直到每一點(diǎn)都完全清楚，沒有任何可能隱藏錯(cuò)誤的含糊之處為止。在這個(gè)過程中教師要注意培養(yǎng)學(xué)生的耐心和恒心，要時(shí)時(shí)提醒學(xué)生自己解題的計(jì)劃是什么?按照解題計(jì)劃堅(jiān)持讓學(xué)生檢查每一步驟,這對(duì)職業(yè)中學(xué)的學(xué)生而言尤其重要,因他們的關(guān)鍵是踏踏實(shí)實(shí)的做每一件事情，將計(jì)劃執(zhí)行到底。

講解第三步、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃:

證明:過直線a任作一個(gè)

直線b

直線a∥平面α? a∥直線a⊥平面β

b⊥平面β ? a平面γ, 和平面α相交于而平面α過直線b，則平面α⊥平面β.檢查：直線和平面平行的性質(zhì)定理，直線和直線平行的性質(zhì)定理，平面和平面垂直的判定定理，三個(gè)定理清晰保證每步成立。

(四)通過解題回顧, 培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)回顧反思的習(xí)慣

即使是相當(dāng)好的學(xué)生, 當(dāng)他得到問題的解答, 并且很干凈利落地寫下論證后, 就會(huì)合上書本, 找點(diǎn)別的事來干干。這樣做, 他們就錯(cuò)過了解題的一個(gè)重要而有教益的方面。

培養(yǎng)學(xué)生對(duì)自己的解題過程進(jìn)行回顧反思的習(xí)慣，提高學(xué)生的思維自我評(píng)介水平，這是提高學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的有效的方法。解題是學(xué)好數(shù)學(xué)的必由之路，養(yǎng)成對(duì)自己的解題過程進(jìn)行回顧反思的習(xí)慣是具有正確的解題思想的體現(xiàn)。如果在獲得正確答案后就此終止,不對(duì)解題過程進(jìn)行回顧和反思，那么解題活動(dòng)就有可能停留在經(jīng)驗(yàn)水平上,事倍功半；如果在每一次解題以后都以對(duì)自己的思路作自我評(píng)價(jià)，探討成功的經(jīng)驗(yàn)或失敗的教訓(xùn)，那么學(xué)生的思維就會(huì)在更高的層次上進(jìn)行再概括，并促使學(xué)生的思維進(jìn)入理性認(rèn)識(shí)階段，事半功倍，同時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生創(chuàng)新的好念頭。因此，為了提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，必須加強(qiáng)正確的解題思想教育，使學(xué)生養(yǎng)成回顧反思的習(xí)慣。

講解第四步、回顧:

回顧解題過程可以看到, 解題首先要弄清題意, 從中捕捉有用的信息, 同時(shí)又要及時(shí)提取記憶中的有關(guān)知識(shí), 來擬定出一個(gè)成功的計(jì)劃。此題我們?cè)谒季S策略上是二層次解決問題, 首先根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)定理找到直線b, 然后根據(jù)直線和直線平行的性質(zhì)定理及平面與平面垂直的判定定理得證。

四、教師應(yīng)更新教育觀念 ,擺出良好姿態(tài)

數(shù)學(xué)家喬治·波利亞在他的《怎樣解題》一書中自始至終體現(xiàn)出對(duì)學(xué)生的關(guān)懷和設(shè)身處地地為學(xué)生考慮的思想。因此，我們職業(yè)學(xué)校的教師應(yīng)轉(zhuǎn)變教育思想,樹立起為學(xué)生服務(wù)觀念, 擺出良好姿態(tài)面對(duì)我們的學(xué)生，我們要相信每個(gè)學(xué)生都是有能力學(xué)好的。給予學(xué)生更多的人文關(guān)懷，教師在整個(gè)教學(xué)過程中應(yīng)從學(xué)生的角度出發(fā)，考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)感受，特別對(duì)于基礎(chǔ)差的學(xué)生，更不能帶有偏見、抱怨和漠然的態(tài)度，應(yīng)尊重他們受教育的權(quán)利，設(shè)計(jì)出符合學(xué)生特點(diǎn)的課堂教學(xué)，更好地為學(xué)生服務(wù)。本著這樣一種觀念，就會(huì)創(chuàng)造出一種讓學(xué)生處處感到被信任的氛圍，沒有懷疑，只有理解，其結(jié)果則會(huì)培養(yǎng)學(xué)生的自覺意識(shí)，增強(qiáng)自律能力，逐步養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。這就要求教師要做到：

1、要熱愛學(xué)生，這是達(dá)到民主和諧的基礎(chǔ)，沒有愛就沒有教育.2、要建立平等的師生關(guān)系，教師要放

下架子，把自己當(dāng)作學(xué)生中的一員，使自己成為既是學(xué)生學(xué)習(xí)的指導(dǎo)者，又是合作者，積極參與學(xué)生的討論、交流，經(jīng)常用商量的口吻進(jìn)行教學(xué)。

3、要正視學(xué)生的潛能，承認(rèn)學(xué)生能主動(dòng)發(fā)展，視教學(xué)過程為學(xué)生的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的過程，而不僅是知識(shí)獲得的過程。

參考文獻(xiàn)：

G.波利亞著<<怎樣解題>>閻育蘇譯

<<數(shù)學(xué)解題思維策略>>劉云章 趙雄輝 編

從<<怎樣解題>>談例題教學(xué)何雙誼高中數(shù)學(xué)教與學(xué)2004 年第12期

<<波利亞的怎樣解題表>>羅增儒

羅新兵中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2004 年第4期