第一篇：《怎樣解題》讀后感

《怎樣解題》讀后感

在于老師的強烈推薦下，我拜讀了著名數學家和教育學家波利亞的名著《怎樣解題》。在未正式拜讀之前，我懵懂的認為這只是一本關于怎樣在考試中快速解題，拿到高分以及與大量解題技巧有關的書?？墒牵x完后，才發(fā)現，我原來的觀點是多么的狹隘與片面。在書中，波利亞認為數學教育的根本宗旨是教會年輕人思考，他把“解題”作為培養(yǎng)學生數學才能和教會他們思考的一種手段和途徑，而并非僅僅局限于教學生簡單機械地做題，得到正確答案。全書主要圍繞“怎樣解題”表中的問題與建議展開的，作者在詳述例題的過程中也是按照表中的問題與建議來引導學生的，循序漸進，讓學生自己總結思考，進而總結出做題的規(guī)律。

在“怎樣解題”表中，作者將解題分為四個部分：

第一部分：你必須理解題目。我個人認為這一部分可以概括為我們平時所說的審題。在這一部分中作者明確告訴我們應該怎樣審題： 未知量是什么？已知數據是什么？條件是什么？條件有可能滿足嗎？條件是否足以確定未知量？或者它不夠充分？或者多余？或者矛盾？大多數學生或許會覺得審題很簡單，把題目讀一遍不就是了嗎？可是就是把題目讀一遍，每個學生讀的效果也是不一樣的：有的學生讀完了，什么也沒有得到，腦袋一片空白，要想做題的話，還得讀第二遍；有的學生讀完了，只得到了一些無關緊要的信息，對做題毫無幫助；有的學生讀完了，只得到了部分信息，或者可以說是顯性信息，在做題時感覺已知條件不充分，做題會遇到瓶頸；而還有一部分學生讀完后，則能將題干中全部信息收入囊中，無論顯性還是隱性，這樣做題時就顯得游刃有余，從容鎮(zhèn)定了。不難發(fā)現，剛才分析的四種學生中，只有最后一種是可以把題目完完整整的做出來的。那導致這種結果的原因是什么呢？就是審題不清，完全不理解或者片面的理解題目的意思。讀完第一部分，關于審題方面，給我的啟發(fā)是我們在讀題的過程中，不要著急，一字一句的讀，把我們捕捉到的每條有用的信息用簡單的數學符號或者式子在演草紙上寫下來； 然后看看通過這些顯性的已知條件是否能得到一些隱性的也就是隱藏在題干中的其他已知條件，這些條件往往在做題中會起到關鍵性的作用；最后，我們回到題目所求的問題中，看看用哪些已知條件可以推導出來。大家都知道，良好的開端是成功的一半。對于做題來說，審題就是開端，所以審清題意是至關重要的，大家切不可忽視。

第二部分：找出已知數據與未知量之間的關系。作者在這一部分中告訴我們可以通過以下幾句話來引導學生尋找兩者之間的關系：“你以前見過它嗎？或者你見過同樣的題目以一種稍有不同的形式出現嗎？你知道一道與它相關的題目嗎？你知道一條可能有用的定理嗎？觀察未知量！并盡量想出一道你所熟悉的具有相同或者相似未知量的題目。這里有一道題目和你的題目有關而且以前解過。你能利用它嗎？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？為了有可能應用它，你是否應該引入某個輔助因素？你能重新敘述這道題嗎？你還能以不同的方式敘述它嗎？”作者說了這么多，無非是想告訴老師在做題過程中怎樣引導學生找出已知數據與未知量之間的關系，即從審題到構思的這個過程。眾所周知，對于數學來講，大多數學生認為構思這個過程是最難的，而正是這個最難的過程也最能體現出學生的做題能力。一道題，讀完題后沒有思路，那無異于一個人在茫茫大海上漂著或者在荒涼的沙漠里行走，毫無方向，毫無希望。學生在做題時通常都會說：“這道題我是這樣做的，這道題我是那樣做的。”那這個“這樣”與“那樣”不正是我們所說的思路嗎？現在的大部分課堂上，老師是把這個所謂的思路直接傳授給他的學生，而并非像作者提倡的那樣用一些簡單地方式來引導學生自己構思。比如一題多解，老師就會在黑板上或者課件上一股腦地把這幾種解法都展現給大家，然后大家也會覺得這就是解題的精華，一個解法比一個解法巧妙、精湛，完全沉醉于記錄解法與老師精彩的講課之中。可是，這叫什么呢？這就是毫無價值可言的“復制粘貼”，我們不妨試想一下，學生即使記錄了100種甚至更多的解題方法，可是沒有一種是自己的，都是老師的，那當他們再遇到相似的甚至是一模一樣的題目，還是不會做沒有思路，不會切入，不知道應該從何下手，為什么？因為思路全是老師的。這里，我想到了在為期6周的新老師培訓過程中，我們一次一次的備課，一次一次的批課，雖然每次都有不同程度的進步，可是就像于老師和趙老師說的那樣，我們都有一個致命性的錯誤，那就是不會引導學生。拿我們初中數學組為例，我們組在3個小時的批課過程中，被抽到的前面理論部分還將就說的過去，可是被抽到應用題這一部分時，我們的做法出奇的一致,都是先帶大家讀題，讀完題后找已知條件，然后帶大家解題。這個過程貌似進行的很順利，中間還穿插著和學生之間的互動，可是中間有引導嗎？完全沒有，我們只是自己會做了，然后把答案給學生們灌輸進去。在這個過程中，學生幾乎是沒有提高的，因為對于中上游的學生來講，他們自己看答案也能看懂，根本不需要老師再給他們解釋一遍，老師們累的不輕，可是學生們卻并沒有什么大的收獲。因此，以后在備課，課程設計的過程中，老師一定要注意引導學生，讓學生盡可能自己學會構思的過程，而老師只是簡單地說一些無關緊要的引導語，這樣才能發(fā)揮老師真正的作用，學生們也會很快地提高。兩全其美，何樂而不為呢？

第三部分：執(zhí)行你的方案。這部分作者講述的是執(zhí)行你的解題方案，檢查每一個步驟。你能清楚地看出這個步驟是正確的嗎？你能否證明它是正確的？這部分我把它理解成實踐。前兩部分主要講的是理論，這一部分學生在理論的指導下，要將他們的思路清晰準確地展現出來。中國有句諺語說：“紙上談兵終覺淺，絕知此事要躬行?！比绻晃兜貜娬{理論而不付諸實踐，那終究是“光說不練假把式”罷了。所以，學生既然有了思路，那就要開始做題，在做題過程中，一定要小心謹慎，切不可馬虎大意，因為如果有一絲馬虎，這將有可能導致滿盤皆輸，豈不冤哉？這一部分，除了對做題有所幫助外，我覺得對為人處世也是一樣的。當今社會，不乏高談闊論之人，他們有強大的理論基礎，可是在實踐上卻毫無建樹。俗話說：“實踐出真知?！皼]有腳踏實地的執(zhí)行過，怎知理論是否可行？大多數企業(yè)，需要的是實干家而并非理論家，所以這部分我想和大家共勉：只有實踐過、執(zhí)行過，我們才有發(fā)言權，否則我們終究會被社會所淘汰。

第四部分：檢查已經得到的解答?！蹦隳軝z驗這個結果嗎？你能檢驗這個論證嗎？你能以不同的方式推導這個結果嗎？你能一眼就看出它來嗎？你能在別的什么題目中利用這個結果或這種方法嗎？“最后這一部分作者無非就是告訴學生們兩點：

第一點：即使做完題了，也不要洋洋得意，覺得萬事大吉了，要時刻回頭檢查自己寫的每一個步驟，看是否正確，是否有意義，是不是有確切的根據。只有這樣，才能保證我們做過的題不會因為馬虎而失分。

第二點：作者波利亞認為：“沒有任何一個題目是徹底完成了的?！币驗榧词惯@道題目你做對了，也并不意味著這道題的終結。當學生第二次甚至第三次看這道題目的時候，或許學生還會發(fā)現比之前更簡單有效的方法。因此，學生們可以將的原來的解題方法進一步改進、深化，加深對題目的理解。

歐美的數學家曾經呼吁：“學數學的人，要讀讀波利亞；不學數學的人，也要讀讀波利亞。”看完《怎樣解題》這本書后，我非常贊同這個觀點。作為學數學的老師，以后在授課過程中要時刻記住引導這個詞語，要教會學生的是數學解題的思維方式而并非解題的最終答案。作為不學數學的人，我覺得在這一本書中，我們能找到解決問題的一些普遍原則，這些原則不僅適用于數學問題，也同樣適用于實際生活。每天的生活對我們而言本身就是一道題目，所以生活的過程就是解題的過程。我們在生活中不妨借鑒這四部分內容，找到生活中真正意義之所在，活出真實，活出精彩。

第二篇：怎樣解題讀后感

《怎樣解題》波利亞

————讀后感

著名數學家波利亞認為數學教育的根本宗旨是教會年輕人思考，他把“解題”作為培養(yǎng)學生數學才能和教會學生思考的一種手段和途徑．他專門研究解題的思維過程，分解解題的思維過程得到一張“怎樣解題”表。

在數學學習中，一定量的解題訓練是必不可少的，但僅依靠“題海戰(zhàn)術”來進行解題訓練是萬萬不可的，“題海戰(zhàn)術”在能力培養(yǎng)方面主要表現為提高模仿力與復制力，而在大學期間的數學學習更注重學生數學素質和能力的考查，因此我們與其窮于應付繁瑣過量的題目，還不如選擇一個有意義但又不太復雜的題目去深入發(fā)掘題目的各個側面，對與此相關的一系列問題都能有一個系統的認識和把握．波利亞在他的名著《怎樣解題》中很好的闡述了這一思想．《怎樣解題》一書中對數學解題理論的建設主要是通過“《怎樣解題》表”來實現的，包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計劃”和“回顧”四大步驟的解題全過程。

波利亞在《怎樣解題》中所闡述的，即波利亞“怎樣解題”表。第一步：必須弄清問題。弄清問題即審題，是解題的基礎。因為只有正確理解了題意，才能正確地樹立解題的思維方法，找出解題途徑。在這一步，解題者必須了解問題的文字敘述．然后通過觀察、分析、畫圖等把文字、圖形、符號等發(fā)出的信息正確的接收下來。把條件的各個部分分開，充分挖掘題設的內涵，判清題型，審清問題。第二步：找出已知與未知的聯系，如果找不出直接的聯系．則要考慮輔助問題，最終得出一個求解的計劃。擬訂計劃即探索解題的途徑，這是解題的關鍵環(huán)節(jié)。當我們審清了問題之后，熟悉的問題有一定的解題套路，不需要太多的思考；而對于不熟悉的題目，我們千萬不要急于動筆演算，而是要在頭腦中從整體上設計好一個解題思路，稍進一步的問題，需要有一點變化。一個正確的解題思路的形成過程是復雜的。它涉及解題者的知識因素、解題經驗和解題能力。不過，從思維角度看，都是按照由果索因或由因導果而進行的。第三步：實現想法和計劃。解題的核心即實現計劃，就是根據所探索的思路付諸行動。在解題過程中，這一步是相對容易的。如果計劃擬訂完善，實現計劃往往是做一些機械性的計算。但計劃往往是不完善的，所以往往又需要回到上一步，出現一些反復。另外，計算或操作過程中也會存在某些困難，甚至會遇到難以逾越的困難．這時原來的計劃就必須推翻重來，此時所需要的主要就是解題者的耐心。解題方案給出了一個解題的總體框架。我們必須耐心地對每一步進行嚴格推導和計算，確保每一步的細節(jié)都是正確的，必須考慮問題的所有條件，簡明規(guī)范地把解決問題的全過程完整地表達出來；第四步：驗算所得到的解。這一步相當于平時解題所說的“驗算”，它不只是簡單地核對答案，判斷解題是否正確，進而找出錯誤并予以糾正，而是要用多種方法，從不同的角度去獲得正確的結果，重要的是對解題結果或方法進行遷移思考，總結解題經驗，擴大解題成果。正如波利亞所說：“這是領會方法的最佳時

機”，“當解題者完成了他的任務。而且他的體驗在頭腦中還是新鮮的時候，去回顧他所做的一切，可能有利于探索他剛才克服困難的實質。

波利亞的“怎樣解題”表，其特點是：明顯的普遍性與常識性；一連串的發(fā)問，給出思路與建議；提出的問題驅動解題者的思維按一定方向搜索、加工、分析、應用信息。改為現行的解題四程序：審題；思素解法；實施解題計劃；檢驗、回顧、引拓。

“題?！笔强陀^存在，我們應研究對付“題海”的戰(zhàn)術．波利亞的“表”雖不如阿里巴巴的金鑰匙，但卻切實可行，給出了探索解題途徑的可操作機制，只要按波利亞提出的這些問題和建議去尋找解法，在解題的過程中。必將使自己的思維受到良好的訓練，久而久之，不僅提高了解題能力，而且養(yǎng)成了有益的思維習慣。

波利亞的“怎樣解題表”中的四個階段對問題解決具有開創(chuàng)性的意義。但是，與完整的元認知理論相比，也還存在著一些局限性。解題表作為一個解題的程序。忽視了對個體差異性的認識。缺乏對認知個體的認識。比如。解題表中沒有關于學習者本人特點方面的知識，如學習的能力、動機、目的、愛好以及影響學習的其他各種個人特征與狀態(tài)．關于記憶、理解等不同水平對不同個體解題活動影響涉及也較少?！霸鯓咏忸}表”中的元認知觀念相對于完整的元認知理論還是比較分散的．還不夠系統化，是樸素的元認知，而后提出的元認知結構正是在此基礎上進一步完善形成的理論系統。

第三篇：《怎樣解題》讀后感

《怎樣解題》讀后感

一直很喜歡讀書，特別是文學方面的書籍，但是這學期所看的書，卻讓我的書史有了大改觀。這學期所涉及要看的書，都是和教育有關的，雖然一直有做家教，之前也參加過支教活動，但是看完教育類的書籍后，卻有點顛覆教育在我心里的印象。

《怎樣解題》這本書初次接觸，感覺很陌生，很難看的進去，相對于《小學數學名師同課異構》案例書來說，更加感到差異很大。

第一次看這本理論書，給我最大的不同是，似乎老師每次給學生講解一道題目，都要從這道題先引申道另外一道題或者先問學生是否曾經做過類似的題目，然后再花費大量的時間去讓學生解決類似的題目或者曾經做過的題目，最后再慢慢引到最開始的問題上，利用前面的題目的方法或定理再來解決最初的問題?；叵肫鹨郧吧蠈W的情景，每當遇到問題的時候，問老師如何解題，老師都會先把題目理順一遍，然后再告訴我們思路，最后再一邊提問我們相關的定理或者概念，一邊把題目講解完，在這之后，如果題目比較典型，就在錯題本或者在筆記本上把這道題記錄下來，以后再次遇到類似的題目，則自己再回想之前的題目，想想是否能用相同的方法解題，或者直接翻開筆記本，再自己慢慢順著思路把問題解決，大概遇到兩次或者兩次以上的類似題目后，都能夠自己把問題解決，不需要翻開筆記或者問同學或老師。兩者不一樣的幫助學生的解題方法，感覺上都各有各的好處，但是不知道為什么感覺波利亞的教師幫助學生解題的方法感覺有點不太實際。

如果說老師要幫助每個學生解決他們不一樣的難題，都需要用到先想類似的題目或者先回憶曾經做過類似的題目，再來慢慢引導學生把題目解決，這需要花費大量的時間，而每個老師的空閑時間有限，學生的問問題時間也有限，但是學生的難題卻無限，這樣下來，老師根本不能解決每個學生的問題，不能夠完全幫助自己的學生，感覺有點不實際。但是如果老師把這種方法用在課堂上講解典型的難題的時候，我覺得這卻是比較好的一種方法，一方面可以鞏固學生在之前所學的知識，另一方面，也可以擴展學生的題海，讓學生能夠更加牢固的學會解題的方法和做類似題目的思路，同時，也可以讓成績比較差的學生能夠掌握該題的做題技巧。

當然，除了在感覺解題方式有點不太一樣之外，在這本比較難懂的理論書之中，還是學會了一些解題的相關技巧和步驟。第一步：必須弄清問題，弄清問題即審題，是解題的基礎；第二步：找出已知與未知的聯系，如果找不出直接的聯系．則要考慮輔助問題，最終得出一個求解的計劃；第三步：實現想法和計劃。解題的核心即實現計劃，就是根據所探索的思路付諸行動；第四步：驗算所得到的解。前三步在解題或者教學的過程中，一直都按照這個步驟進行，但是到了第四步驟時，基本上都會忘記或者根本沒有想過要檢驗，除非是在考試的時候或者在有答案的情況下才會驗算自己的答案。如果在教學的時候執(zhí)行第四步，對學生提出：你能檢驗這個結果嗎？你能檢驗這個結論嗎？你能以不同的方式推導這個結果嗎？你能一眼就看出它來嗎？你能在別的什么題目中利用這個結果或者這種方法嗎等，則能夠讓學生再次及時回顧剛才所學的知識和技巧，同時，也能讓學生養(yǎng)成以這種方式回顧和仔細檢查的習慣，會的一些條理分明、隨時可以使用的知識，并且將提高學生的解題能力。

當然，想要做到能利用波利亞的解題方法，也并不是按照這個方法就能做到百分百成功，還需要積累一定的題目在自己的腦海里，以便自己隨時能調用，但并不是題海戰(zhàn)術就能解決這一切，而是需要每當自己做題的時候，能夠同時充分利用波利亞的解題步驟，這樣才能更加增大自己題量。不過，在利用波利亞的解題的步驟時，同時也需要注意到它的局限性，就是不能根據個人的特點來解題，沒有做到因材施教，忽視了對個體差異性的認識，缺乏對認知個體的認識。而且在波利亞的解題步驟中，每個人是用都一樣的方式來解題，忽略了學生在解題方面的興趣、目的等，所以我們在解題的時候，也不能生搬硬套，需要靈活應用，這

樣才能根據自身條件地完整地解決了一道題。

當然，這只是我第一次看這本書所得的初步感想，或許再次閱讀這本書的時候，會有更深刻的理解。

第四篇：《怎樣解題》讀后感

波利亞（1887-1985）是美國著名的數學家和數學教育家。因長期從事數學教學，他對數學思維的一般規(guī)律有著深入的研究。這本開拓思維的《怎樣解題》就是其研究成果的總結，并因此而暢銷全球。

作者認為一個重大的發(fā)現可以解決一道重大的難題，而在解答任何一道題目的過程中，也會有點滴的發(fā)現。這句話頗有現實意義，人如果缺乏善于發(fā)現的眼睛和發(fā)現題目的本質，就無法摒棄無關緊要的繁瑣條件和層層陷阱，就無法抓住問題的關鍵，因此也就無從下筆解答題目了。

作者也認為當你解答的題目并不陌生，有些似曾相識的時候可能會不以為然，但你若因此而感到有興趣，并被好奇所激發(fā)時，你的創(chuàng)造力將被激起，并被發(fā)揮出來；特別是如果你用自己獨一無二的方法做出時，你將飽含成就感。

作者建議我們不要只做一些簡單的基礎題，它只會扼殺我們對數學的熱情；也別一味地做變態(tài)級的難題，那樣會打擊我們的自信心。

雖然在我看來，此書的實踐性不及一般的教輔書，但其對數學領域中怎樣進行正確、快速、有效地解題，有著一針見血的指導作用。作者在書中運用了大量活潑、生動、通俗的散文寫法，闡述了一個又一個數學問題。作者在此書中還提出了一個史無前例的觀點：學好數學不只在于練習、操作、演算，最重要的是從心底萌發(fā)出的對數學的濃厚興趣與自我歸納理解后的解題思路。

讀完全書，我最深的感受是我也愛上了數學。數學不僅是通向工程、技術的必由之路，它還充滿著樂趣。

第五篇：怎樣解題

《怎樣解題》是由著名美國數學家和數學教育家波利亞所寫得一部經久不衰的暢銷書，雖然它討論的是數學中發(fā)現和發(fā)明的方法和規(guī)律，但是對在其他任何領域中怎樣進行正確思維都有明顯的指導作用。本書圍繞“探索法”這一主題，采用明晰動人的散文筆法，闡述了求得一個證明或解出一個未知數的數學方法怎樣可以有助于解決任何“推理”性問題——從建造一座橋到猜出一個字謎。一代又一代的讀者嘗到了本書的甜頭，他們在本書的指導下，學會了怎樣摒棄不相干的東西，直搗問題的心臟。

目錄

內容簡介

作者簡介

目錄

怎樣解題表

編輯本段內容簡介這本經久不衰的暢銷書出自一位著名數學家的手筆，雖然它討論的是數學中發(fā)現和發(fā)明的方法和規(guī)律，但是對在其他任何領域中怎樣進行正確思維都有明顯的指導作用。本書圍繞“探索法”這一主題，采用明晰動人的散文筆法，闡述了求得一個證明或解出一個未知數的數學方法怎樣可以有助于解決任何“推理”性問題——從建造一座橋到猜出一個字謎。一代又一代的讀者嘗到了本書的甜頭，他們在本書的指導下，學會了怎樣摒棄不相干的東西，直搗問題的心臟。

編輯本段作者簡介波利亞(男)（George Polya，1887—1985），著名美國數學家和數學教育家。生于匈牙利布達佩斯。1912年獲布達佩斯大學博士學位。1914年至1940年在瑞士蘇黎世工業(yè)大學任數學助理教授、副教授和教授，1928年后任數學系主任。1940年移居美國，歷任布朗大學和斯坦福大學的教授。1976年當選美國國家科學院院士。還是匈牙利科學院、法蘭西科學院、比利時布魯塞爾國際哲學科學院和美國藝術和科學學院的院士。其數學研究涉及復變函數、概率論、數論、數學分析、組合數學等眾多領域。1937年提出的波利亞計數定理是組合數學的重要工具。長期從事數學教學，對數學思維的一般規(guī)律有深入的研究，在這方面的名著有《怎樣解題》、《數學的發(fā)現》、《數學與猜想》等，它們被譯成多種文字，廣為流傳。

編輯本段目錄第一部分 在教室里

目的1.幫助學生

2.問題，建議，思維活動

3.普遍性

4.常識

5.教師和學生，模仿和實踐

主要部分，主要問題

6.四個階段

7.理解題目

8.例子

9.擬訂方案

10.例子

11.執(zhí)行方案

12.例子

編輯本段怎樣解題表“怎樣解題表”就是《怎樣解題》一書的精華，該表被波利亞排在該書的正文之前，并且在書中再三提到該表。實際上，該書就是“怎樣解題表”的詳細解釋。波利亞的“怎樣解題表”將解題過程分成了四個步驟，只要解題時按這四個步驟去做，必能成功。同學們如果能在平時的做題中不斷實踐和體會該表，必能很快就會發(fā)出和波利亞一樣的感嘆：“學數學是一種樂趣！”

第一，你必須弄清問題

弄清問題

未知數是什么？

已知數據（指已知數、已知圖形和已知事項等的統稱）是什么？

條件是什么？

滿足條件是否可能？

要確定未知數，條件是否充分？

或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

畫張圖。

引入適當的符號。

把條件的各個部分分開。你能否把它們寫下來？

第二，找出已知數與求知數之間的聯系。

如果找不出直接的聯系，你可能不得不考慮輔助問題。

你應該最終得出一個求解的計劃。

擬定計劃

你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？

你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？

看著未知數！試想出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題。

這里有一個與你現在的問題有關，且早已解決的問題，你能應用它嗎?

你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？

回到定義去。

如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題。你能不能想出一個更容易著手的有關問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知能確定到什么程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數據導出某些有用的東西？你能不能想出適合于確定未知數的其它數據？如果需要的話，你能不能改變未知數和數據，或者二者都改變，以使新未知數和新數據彼此更接近？

你是否利用了所有的已知數據？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？

第三，實行你的計劃。

實現計劃

實現你的求解計劃，檢驗每一步驟。

你能否清楚地看出這一步是正確的？你能否證明這一步是正確的？

第四，驗算所得到的解。

回顧反思

你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導出這個結果？你能否一下子看出它來？你能不能把這結果或方法用于其它的問題？

《怎樣解題》表是波利亞在分解解題的思維過程得到的，看似很平常的解題步驟或方法，其實卻已包含幾代人的智慧結晶和經驗總結。在這張包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計

劃”和“回顧反思”四大步驟的解題全過程的解題表中，對第二步即“擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。他把尋找并發(fā)現解法的思維過程分解為五條建議和二十三個具有啟發(fā)性的問題，它們就好比是尋找和發(fā)現解法的思維過程進行分解，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著，易于操作。波利亞推崇探索法，他認為現代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用的智力活動。他說《怎樣解題》這本書就是實現這種計劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實質上就是試圖誘發(fā)靈感的“智力活動表”。波利亞的《怎樣解題》表的精髓是啟發(fā)你去聯想。聯想什么？怎樣聯想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發(fā)性問題吧?！澳阋郧耙娺^它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？??”波利亞說他在寫這些東西時，腦子里重現了他過去在研究數學時解決問題的過程，實際上是他解決和研究問題時的思維過程的總結。這正是數學家在研究數學，特別是研究解題方法時的優(yōu)勢所在，絕非“紙上談兵”?；剡^頭來想一想，我們會發(fā)現自己在解決問題時的確或多或少地經歷了這樣一個過程。

我們在解題時，為了找到解法，實際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識到這些問題罷了。在解決實際問題時，我們可能又忽略許多解決問題的方法和細節(jié)。因此我們需要控制自己的思路，用頑強的意志不斷地模仿解決問題的步驟和方法，爭取達到靈活運用和創(chuàng)造性地解決問題的程度。按波利亞提出的這些問題和建議去尋找解法，在解題的過程中，必將使自己的思維受到良好的訓練，久而久之，不僅提高了解題能力，而且養(yǎng)成了有益的思維習慣。

******************

生活中，碰到一個的問題的時候，我們如何解決？首先我們明確要解決的問題，然后搜集相關情報或者已有的資源，考慮問題關鍵因素之間的內在規(guī)律，接著嘗試一些可行的方案，最后選擇其中最優(yōu)的辦法實踐，最后問題得以解決。對于數學解題來說：首先我們明確未知量，然后明確已知量，確定條件，接著嘗試一些可行的方案，最終得到可以獲得未知量的方案，解出題目。

然而這里有一個模糊的地方，解決問題最關鍵的一步——想出可行的方案，是如何辦到的？當我們對未知、已知、條件都已經了如指掌之后還是想不出任何的方案，這個時候解題面臨本質的智力困難的時候，是如何從無到有思考出可能的方案供我們嘗試的？

這個問題更有畫面感的描述是：數學課，老師出了一道幾何題，先讓大家試解，無人能解。然后老師開始講題，前面的步驟1、2、3大家都會也都想到了，這時老師添加了一條輔助線，引出步驟4，問題得解，大家豁然開朗。然而，解題的關鍵步驟3到4是如何思考到的呢，老師為何就想到做這一條輔助線呢？

《怎樣解題》就是在回答以上問題。

書中有一個例子可以形象的問答這個問題：

一個原始人站在一條小溪前，他想要越過這條小溪，但溪水經過昨天一夜，已經漲了上來；因此他面臨一個問題：如何越過這條小溪。渡溪成了這道題目的研究對象，是原始題目中的X。這個人可能會回憶起，他以前曾經踏著一顆倒下的樹度過了另外一條溪流。于是他四處尋找一顆合適的樹，就構成了他新的未知量Y。他找不到合適的樹，但是沿著溪流有大量的樹木在岸上，他希望其中有一個樹會倒下來。于是他開始想如何使一棵樹橫倒在溪流上？這樣又產生了一個新的未知量Z。這一連串的念頭就是分析。如果這個人成功的完成了分析，他可能就成了橋和斧子的發(fā)明者。

而這個分析問題的過程，正包含了普遍的解決問題中本質智力困難的方法。首先思考我們是否面臨過同樣或者類似的問題，即使沒有，我們可以嘗試想更簡單的相關問題，可以是更普遍化的問題、更特殊化的問題，甚至只是問題中的一小部分問題?；蛘吒纱鄟碜兓覀冇龅降膯栴}的已知情況，觀察未知情況如何跟隨變化；或者變化未知量；或者同時變化已知未知量，來觀察問題如何變化。正是這樣一個分解和重構問題的過程，使得我們逐漸逾越了問題的核心部分，得出了疑似可行的方案。然后我們驗證疑似可行的方案，如果其中確有可行的，問題得解。如果沒有，我們將重復以上的過程。

以上是我理解的《怎樣解題》的主旨。

當然原著對分解和重構問題的過程做了更為細致、嚴謹的分析和探討，并配以精妙的數學題示例來演示各種細節(jié)。作為一本數學方法著作，更難能可貴的是，波利亞頗為人性化的闡釋了解題過程中的非智力因素——情感的作用。在書中的第三部分—探索法小詞典中，“決心、希望、成功”“潛意識活動”“進展”三個詞條都嚴謹、科學的闡述了情感是如何作用于我們解題過程的。

“決心會隨著希望與無望、滿意與沮喪而產生波動。如果我們認為答案即將來臨，就很容易繼續(xù)干下去，當我們看不到有什么克服困難的出路時，要堅持不懈就會很難。”“有超常天賦的人主要的優(yōu)勢也許在于一種常超的心理感受力。由于具有極度敏感的感受力，他能感覺到進展的細微標志，或者注意到這些標志的缺乏。”這些非智力因素對于我們解決生活和工作中的問題尤其重要，我們需要敏感的覺察來自情感腦的反饋，并加以利用，來幫助解決問題。舉例來說，生活中碰到一個很復雜問題，在長期解決問題的過程中，有一段時間可能解決問題時沒有明顯的反饋給我們標志，最后我們沮喪的放棄了解決問題。然而很有可能的是，這個過程真是解決問題的關鍵期，實際上也是有標志出現的，只是當時的我們還不理解這些標志。由此可見非智力因素之于解決問題的重要性，我們需要能理解并加以利用。

第三部分的最后，波利亞還舉出一個心理學試驗：用一個缺了一條邊的正方形圍欄圍住一只動物（狗、黑猩猩、母雞、人類嬰兒），在圍欄的另一側放上一個被試很想要的物體（對動物來說是食物，對人類嬰兒來說是有趣的玩具），然后觀察他們各自的行為。發(fā)現，狗在扒著圍欄吠了幾聲發(fā)現無法通過的時候，不久便學會了從圍欄的缺口的那一邊繞出去，人類嬰兒很快就學會了繞過障礙，而黑猩猩也學得很快（黑猩猩是和人類最近的靈長類親屬）。

“母雞的行為就像那些面臨問題的時候渾渾噩噩的人，試了一次又一次，最后靠一些運氣碰巧成功，而不去深究成功的原因。但我們甚至也不應責怪母雞的笨拙。要轉過身從目標跑開，不一直盯著目標前進，不沿著直接的道路到達目標，確實有一定困難。母雞的困難和我們的困難具有明顯的類似性?！弊詈笠痪湓捗菜朴行┱芾?，是全書嚴謹行文之中唯一有些文藝的一句。`

...............