第一篇：波利亞解題心得體會(huì)

波利亞解題心得體會(huì)

一道題，自己總也想不出解法，而老師卻能給出了一個(gè)絕妙的解法，這時(shí)你最希望知道的是“老師是怎么想出這個(gè)解法的?”如果這個(gè)解法不是很難時(shí)，“我自己完全可以想出，但為什么我沒有想到呢?”

有人聽到“數(shù)學(xué)”就會(huì)頭痛，為什么又會(huì)有人熱衷于解題呢？在解答這道或那道不涉及物質(zhì)利益的題目的愿望背后，也許有著一個(gè)更深切的好奇心，一個(gè)要求理解解答的各種途徑和方法、動(dòng)機(jī)和步驟的愿望，當(dāng)我們絞盡腦汁想的題突然被我們解答出來，那種心情只有真正經(jīng)歷過的人才懂。不管是我們自己或者我們?nèi)椭鷦e人，我們不僅要盡力去理解這道或那道題目的解答，而且要理解這個(gè)解答的動(dòng)機(jī)和步驟，并盡力向別人解釋這些動(dòng)機(jī)和步驟。

在老師上課的時(shí)候，為什么很多學(xué)生能聽懂例題卻不能獨(dú)立思考得出問題的答案，總是要等到提示、點(diǎn)撥后才恍然大悟呢？這是因?yàn)閷W(xué)生不懂得思考的方法，大多數(shù)老師講題總是“頭痛醫(yī)頭，腳痛醫(yī)腳”，只有實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)，沒有形成方法論。但是學(xué)生要的不應(yīng)該是一道道具體的題目，而是面對任何一道題目時(shí)的思維方法。這也就是波利亞要告訴我們的。

波利亞致力于解題的研究，為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來的”這個(gè)令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張《怎樣解題》表。在這張包括“弄清問題”，即未知量是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？條件有可能滿足嗎？條件是否足以確定未知量？或者它不夠充分？或者多余？或者矛盾？“擬定計(jì)劃”，找出已知數(shù)據(jù)與未知量之間的聯(lián)系，如果找不出直接聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。最終得出一個(gè)求解計(jì)劃?！皩?shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧”，我自己認(rèn)為回顧在解題中是很重要的一個(gè)步驟，很多同學(xué)卻不以為然，你能檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)果嗎？你能檢驗(yàn)這個(gè)論證嗎？你能以不同的方式推導(dǎo)這個(gè)結(jié)果嗎？你能一眼就看出它來嗎？你能在別的什么題目中利用這個(gè)結(jié)果或這種方法嗎？回顧能讓我們更加理解這一類題目的解題方法。

解答其實(shí)也是一種創(chuàng)造，當(dāng)找到一個(gè)方法解決了一道題目，我們同時(shí)也應(yīng)該思考 “你能在別的什么題目中利用這個(gè)結(jié)果或這種方法嗎？”有時(shí)我們要舉一反三，改造一道題目。基本的方法有：普遍化、特殊化、類比、分解和重組等。大二的時(shí)候修了初等數(shù)論這一門課程，它主要研究整數(shù)最基本的性質(zhì)，是一門基礎(chǔ)課程，蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法（整體化、轉(zhuǎn)化、構(gòu)造、反證），上這門課時(shí)，老師講的都能聽懂，課后解題卻不知所措。還有一些需要證明的習(xí)題也是今后能夠用到的結(jié)論，卻不懂得如何運(yùn)用和解答。自己不去反思、去領(lǐng)悟、去歸納，縱使心中方法無數(shù)，下筆也只能低頭苦思。“好題目和某種蘑菇有點(diǎn)相似之處：它們都成串生長。找到一個(gè)以后，我們應(yīng)該四處看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的?！?喬治·波利亞說過：“解題可以是人的最富有特征的活動(dòng)，假如你想要從解題中得到最大的收獲，你就應(yīng)該在所做的題目當(dāng)中去找出它的特征，那些特征在你以后求解其他問題時(shí)，能起到指導(dǎo)的作用?！?/p>

做一件事情的主體永遠(yuǎn)是自己，對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)來說，只有你自己的思維活躍起來了，在學(xué)習(xí)中尋找到屬于自己的快樂，有了成功的體驗(yàn)，對數(shù)學(xué)知識本身才能產(chǎn)生內(nèi)在的興趣。

第二篇：波利亞解題讀書心得體會(huì)

當(dāng)我們經(jīng)過反思，有了新的啟發(fā)時(shí)，不如來好好地做個(gè)總結(jié)，寫一篇心得體會(huì)，這樣我們就可以提高對思維的訓(xùn)練。應(yīng)該怎么寫才合適呢？以下是小編為大家整理的波利亞解題讀書心得體會(huì)，歡迎大家分享。

生活中我們經(jīng)常把一個(gè)整體分解成它的各個(gè)部分，然后又把這些部分重組，使之成為一個(gè)與原來或多或少有些不同的整體。在觀察部分時(shí)你可能深入到細(xì)節(jié)中去，這樣你就會(huì)在細(xì)節(jié)中迷失，阻礙你對要點(diǎn)的投入足夠的注意力，甚至使你全然看不到要點(diǎn)。我們不希望在不必要的細(xì)節(jié)上浪費(fèi)時(shí)間，要把精力用到要點(diǎn)上。因此，我們首先得對題目作一個(gè)整體的理解。在理解題目之后，在判斷哪些特點(diǎn)是重要的內(nèi)容，在確定了一兩個(gè)要點(diǎn)后，在判斷還有哪些深一層的細(xì)節(jié)值得詳細(xì)研究。

在研究一道題目時(shí)，我們應(yīng)從以下問題開始：未知量是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？研究每個(gè)數(shù)據(jù)本身，將條件的不同部分分開，并研究每一個(gè)部分本身，然后再嘗試用某種新的方式來重組他的元素。再由原來的題目來構(gòu)建一道新的題目時(shí)，我們可以：

（1）保持未知量不變，改變其余的部分（已知數(shù)據(jù)和條件）；

（2）保持已知數(shù)據(jù)不變，改變其余的部分（未知量和條件）；

（3）既改變未知量，已改變已知數(shù)據(jù)。

我們把元素組合成另一個(gè)定理，在這一方面，有下列三種可能性：

（1）我們保持結(jié)論不變而改變題設(shè)。

（2）我們保持題設(shè)不變，而改變結(jié)論：你能從題設(shè)中得到什么有用的東西嗎？

（3）我們同時(shí)改變題設(shè)和結(jié)論。

“數(shù)學(xué)是人們生活、勞動(dòng)和學(xué)習(xí)必不可少的工具”，它的學(xué)習(xí)是為了更好的應(yīng)用，為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值。數(shù)學(xué)能力是指在一定問題情境中，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，提出問題、分析問題、解決問題的能力?！霸诳茖W(xué)研究中成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，就在于針對所研究的問題提煉出一個(gè)適合的數(shù)學(xué)模型，這個(gè)模型既能反映問題的本質(zhì)，又能使問題得到必要的簡化，以利于展開數(shù)學(xué)推導(dǎo)?！?/p>

在獲取信息方面的培養(yǎng)，在通過讀題時(shí)，了解問題信息以后，學(xué)生首先要能識別問題，了解問題類型、性質(zhì)，接著能掌握數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)，通過思維訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)問題結(jié)構(gòu)。什么叫數(shù)學(xué)問題結(jié)構(gòu)，通常人們在解答一個(gè)問題之前必須先了解這個(gè)問題，分析這個(gè)問題，找出問題的已知條件和要求，初步的研究條件與條件之間的關(guān)系，條件與問題之間的關(guān)系，抓住問題中的具有本質(zhì)意義的那些關(guān)系，這就抓住了“數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)”。能力強(qiáng)的學(xué)生拿到一道數(shù)學(xué)題時(shí)，一眼就看到問題的結(jié)構(gòu)，就能把己知條件和問題聯(lián)系起來，在教一步應(yīng)用題時(shí)，就著重抓住了數(shù)學(xué)問題結(jié)構(gòu)的訓(xùn)練，如畫線段圖的訓(xùn)練，補(bǔ)充問題與條件的訓(xùn)練，題意不變，敘述方法改變的訓(xùn)練，自編應(yīng)用題的訓(xùn)練，根據(jù)問題說出所需條件的訓(xùn)練，對比訓(xùn)練等。

在分析問題、解決問題方面。應(yīng)用題之所以難學(xué)，除問題本身比較復(fù)雜是個(gè)原因外，從教學(xué)方法來說，關(guān)鍵缺少解題思路(思維過程的順序、步驟與方法)的訓(xùn)練，使許多學(xué)生拿到問題無從下手，不知怎樣去想。對于這一點(diǎn)，我們只要把它同計(jì)算題作一比較就清楚了，解計(jì)算題時(shí)，學(xué)生對運(yùn)算法則、計(jì)算的順序、運(yùn)算的步驟都是清清楚楚的，學(xué)生思維過程間運(yùn)算順序也是一致的，計(jì)算的每一步都書寫出來，看得見，摸得著，計(jì)算的對與錯(cuò)一目了然。通過訓(xùn)練學(xué)習(xí)容易掌握。解應(yīng)用題則不同，學(xué)生要了解題意，分析條件與條件之間，條件與問題之間的各種數(shù)量關(guān)系，要分析、綜合，找到解題的途徑與方法，從審題到列出式子，思維過程少則幾步，多則幾十步，都是內(nèi)部語言的形式進(jìn)行的。這種內(nèi)部語言的思維過程，教師既無從知道它是否合理、正確，對于這樣一個(gè)關(guān)鍵性問題，在解題教學(xué)中要設(shè)計(jì)一套教學(xué)方法，使學(xué)生的解題思維過程由內(nèi)隱到外化，有計(jì)劃、有步驟地訓(xùn)練學(xué)生的解題思路。

培養(yǎng)學(xué)生解題過程思維的有序性和合理性，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。在解題思路訓(xùn)練基礎(chǔ)上，對問題的分析、綜合、聯(lián)想、想像等思維方式進(jìn)行綜合的訓(xùn)練、發(fā)散訓(xùn)練等方法，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生思維的獨(dú)立性、變通性和流暢性，使學(xué)生能更好地運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，解決日常生活中的一些實(shí)際問題。

每個(gè)同學(xué)差不多都有過這樣的經(jīng)歷:一道題，自己總也想不出解法，而老師卻給出了一個(gè)絕妙的解法，這時(shí)你最希望知道的是“老師是怎么想出這個(gè)解法的?”如果這個(gè)解法不是很難時(shí)，“我自己完全可以想出，但為什么我沒有想到呢?”

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞(George Polya,1887~1985)對回答上述問題非常感興趣，他先后寫出了《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》和《數(shù)學(xué)與猜想》。

喬治.波利亞(George Polya)1887年出生在匈牙利，青年時(shí)期曾在布達(dá)佩斯、維也納、哥廷根，巴黎等地攻讀數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)，獲博士學(xué)位。1914年在蘇黎世著名的瑞士聯(lián)邦理工學(xué)院任教。1940年移居美國，1942年起任美國斯坦福大學(xué)教授。他一生發(fā)表達(dá)200多篇論文和許多專著，他在數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域內(nèi)有精深的造詣，對實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、概率論、數(shù)論、幾何和微分方程等若干分支領(lǐng)域都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，留下了以他的名字命名的術(shù)語和定理。他是法國科學(xué)院、美國全國科學(xué)院和匈牙利科學(xué)院的院士。他不愧為一位杰出的數(shù)學(xué)家。

波利亞致力于解題的研究，為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來的”這個(gè)令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張《怎樣解題》表。在這張包括“弄清問題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧”四大步驟的解題全過程的解題表中，對第二步即“擬定計(jì)劃”的分析是最為引人入勝的。他指出尋找解法實(shí)際上就是“找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，如果找不出直接聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題。最終得出一個(gè)求解計(jì)劃。”他把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過程分解為五條建議和23個(gè)具有啟發(fā)性的提示語，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程的“慢動(dòng)作鏡頭”，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著。

波利亞的《怎樣解題》表的精髓是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么?怎樣聯(lián)想?讓我們看一看他在表中所提出的建議和提示性的問題吧?！澳阋郧耙娺^它嗎?你是否見過相同的問題而形式稍有不同?你是否知道與此有關(guān)的問題?你是否知道一個(gè)可能用得上的定理?看著未知數(shù)!試指出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有聯(lián)系且早已解決的問題。你能不能利用它?你能利用它的結(jié)果嗎?你能利用它的方法嗎?為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素?你能不能重新敘述這個(gè)問題?你能不能用不同的方式重新敘述它?”

這些大量提示性的問題，不是問別人，而是問自己，實(shí)際是解題者的自我詰問，自我反省。問題中有一部分其對象是針對問題具體的內(nèi)容的，也就是“客體水平”的，屬于認(rèn)知性的;問題中的還有一部分是以解題者身軀為對象，針對主體內(nèi)部心理抽象認(rèn)知過程的，屬于元認(rèn)知性的。這些問題并沒有直接涉及問題的具體內(nèi)容，完全是針對主體自身思維，是對自身解題思維活動(dòng)的反詰，是自我監(jiān)察，自我意識，自我預(yù)測，自我調(diào)節(jié)，自我監(jiān)控。因此在地理解題過程中我們應(yīng)該:

一、加強(qiáng)對解題過程的監(jiān)控

在解題過程中，自己應(yīng)該對以下幾個(gè)主要要素進(jìn)行監(jiān)控:控制、監(jiān)察、預(yù)見、調(diào)節(jié)和評價(jià)。

1.控制，即在解題過程中，對如何入手，如何策劃，如何構(gòu)思，如何選擇，如何組織，如何猜想，如何修正等做出基本計(jì)劃和安排。對學(xué)習(xí)情境中的各種信息做出準(zhǔn)確的知覺和分類，調(diào)動(dòng)頭腦中已有的`相關(guān)知識，對有效信息做出迅速選擇，以恰當(dāng)?shù)姆绞浇M織信息，選擇解決問題的策略，安排學(xué)習(xí)步驟，控制自己的思維方向。關(guān)注解題的過程性和層次性，有意識地控制自己的解題節(jié)奏，對整個(gè)解題過程做到“心中有數(shù)”，明確地意識到自己所采取的每一個(gè)解題步驟的意圖。

2.監(jiān)察，即臨視和考察。在解題過程中，密切關(guān)注解題進(jìn)程，保持良好的批判性，以高度的警覺審視解題每一歷程問題的認(rèn)識、策略的選取、前景的設(shè)想、概念的理解、定理的運(yùn)用、形式的把握，用恰當(dāng)?shù)姆绞椒椒z查自己的猜想、推理、運(yùn)算和結(jié)論。

3.預(yù)見，即在解題的整個(gè)過程，隨時(shí)估計(jì)自己的處境，判斷問題的性質(zhì)，展望問題的前景。對問題的性質(zhì)、特點(diǎn)和難度以及解題的基本策略和基本思維做出大致的估計(jì)、判斷和選擇;猜想問題的可能答案和可能采取的方法，并估計(jì)各方法的前景和成功的可能性等等，要設(shè)法使自己置易于抓住問題的位置上。

4.調(diào)節(jié)，即根據(jù)監(jiān)察的結(jié)果，根據(jù)對解題各方面的預(yù)見，及時(shí)調(diào)整解題進(jìn)程，轉(zhuǎn)換思考的策略，重新考慮已知條件、未知數(shù)或條件、假設(shè)和結(jié)論;對問題重新表述，以使其變得更加熟悉，更易于接近目標(biāo)。如，“盡可能畫一張圖”，“引入適當(dāng)?shù)姆枴?，“回到定義中去”。

5.評價(jià)，即以“理解性”和“發(fā)展性”標(biāo)準(zhǔn)來認(rèn)識自己解題的收獲，自覺對問題的本質(zhì)進(jìn)行重新解剖，反思自己發(fā)現(xiàn)解題念頭的經(jīng)歷，抽取解決問題的關(guān)鍵，總結(jié)解題過程的經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)，反思解題過程的成敗得失及其原因;從思維策略的高度對解題過程進(jìn)行總結(jié)，從中概括出一般性規(guī)律，概括出點(diǎn)點(diǎn)滴滴的新經(jīng)驗(yàn)、新見解、新體會(huì)，以及對問題進(jìn)行推廣、深化，尋找新的解法、更好的解法，對解題過程或表述予以簡化。評價(jià)應(yīng)該貫穿于解題的始終，隨時(shí)進(jìn)行評價(jià)，而不僅僅是在解題后。

二、提高解題的自我意識

意識是人對客觀現(xiàn)實(shí)的反映，它包括自我意識和對外界事物的意識。自我意識是人的意識的最高形式，由于自我意識以主體及其內(nèi)部活動(dòng)為意識對象，因而它能對人的認(rèn)識活動(dòng)進(jìn)行監(jiān)控和調(diào)節(jié)，它是自我監(jiān)控的最高水平。在地理解題學(xué)習(xí)中，人的自我意識是對自己在問題感知、表征、思考、記憶和體驗(yàn)的意識，對自己的目的、計(jì)劃、行動(dòng)以及行動(dòng)效果的意識。

提高解題能力，就是要使解題的監(jiān)控上升到自我意識的水平。只在當(dāng)各種監(jiān)控達(dá)到不假思索，油然而生的境界，也就是上升到“意識”的層次，才能使主體的地理解題能力達(dá)到自己的最高水平。地理解題的自我意識包括:問題意識、審題意識、聯(lián)想意識、目標(biāo)意識、接近度意識、猜想意識、反思意識、概括意識等等，也就是波利亞的提示語所要達(dá)到的期望。

三、運(yùn)用波利亞的“提示語”

波利亞在他的解題理論著作中給出了很多的提示語。因而在解題時(shí)經(jīng)常自覺地運(yùn)用這些提示語，是提高解題能力的有效途徑。正如波利亞指出，“表中的問題除了普遍性以外，它們也是自然的、簡單的、顯而易見的，來自于普通常識。這些問題總是勸告你去做此時(shí)你該去做的合乎情理的事，而對你正要解決的特定問題并沒有提出特定的勸告?！薄叭绻麊柕檬堑胤?，是時(shí)候，就可能引出好的答案，引出正確的想法，或一個(gè)能夠推動(dòng)解題進(jìn)程的合宜的步子?！?/p>

波利亞提示語的常識性、普遍性，使得這些問題對學(xué)生的幫助并非是強(qiáng)加于人的，學(xué)生自己也可以很自然地提出類似的問題。在各種不同的問題情境下，如果學(xué)生以各種不同的方式反復(fù)用同一個(gè)提示語詰問自己，就很容易引起同樣的思維活動(dòng)，從而利于形成一種思維習(xí)慣。如果表中的同一個(gè)提示語反復(fù)的對學(xué)生有所幫助，那么他就更會(huì)注意到這個(gè)提示語，從而在類似的情況下，不斷地運(yùn)用這個(gè)提示語。這些提示語只不過是指出了一般的方向，而留給學(xué)生去做的還很多。通過反復(fù)地提出這些提示語，總會(huì)獲得一次誘導(dǎo)出正確念頭的成功。通過這樣的成功，就會(huì)逐漸真正領(lǐng)會(huì)它。

在解題教學(xué)中，教師為學(xué)生所能做的最大的好事是通過比較自然的幫助，特別應(yīng)當(dāng)反復(fù)經(jīng)常地提出這些提示語，促使他自已想出一個(gè)好念頭。這樣的指導(dǎo)，可以使學(xué)生找到使用各種提示語的正確方法。因?yàn)檫@些知識超越了具體的對象而實(shí)用于任何問題，從而學(xué)生就學(xué)到比任何具體地理知識更重要的東西。

四、提煉自己的“提示語”

對于善于解決問題而已經(jīng)擁有這些常識的人來說，這些常識性提示似乎很自然、很平凡、很不起眼，但是他們往往不注意用明確的語言來表達(dá)他們的行動(dòng)，而波利亞則以自己的明確意識，清晰地表達(dá)出這些觀點(diǎn)。

因此，一方面需要學(xué)習(xí)運(yùn)用波利亞的解題監(jiān)控的提示語，培養(yǎng)良好的解題習(xí)慣，另一方面解題者還應(yīng)當(dāng)從自己的體驗(yàn)中提煉和總結(jié)自己在解題監(jiān)控中的經(jīng)驗(yàn)和體會(huì)，形成有自己風(fēng)格的解題監(jiān)控的提示語。

第三篇：波利亞《怎樣解題》讀后感

《怎樣解題》讀書筆記

“學(xué)習(xí)難，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更難”，許多人對數(shù)學(xué)望而生畏，大有談虎色變的趨勢。大家都有這樣的經(jīng)歷：一道題，自己總也想不出解法，而別人卻輕而易舉地給出了一個(gè)絕妙的解法，這時(shí)你最希望知道的是“你是怎么想出這個(gè)解法的？為什么我沒有想到呢？”有這么一個(gè)人，為了改變數(shù)學(xué)在公眾心目中的形象，致力于解題的研究，為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來的”這個(gè)令人困惑的問題，很早就開始探索數(shù)學(xué)中的發(fā)明創(chuàng)造，他利用在大學(xué)任教的機(jī)會(huì)，通過與學(xué)生的交流和對學(xué)生的細(xì)致觀察，認(rèn)真研究了人們解題的過程，通過和一批數(shù)學(xué)大家的交流，花了整整三十年的時(shí)間，終于完成一篇著作，這本書指導(dǎo)了人們不僅僅是在數(shù)學(xué)中，乃至在任何其他領(lǐng)域中怎樣進(jìn)行正確思維，引導(dǎo)了一代又一代讀者在學(xué)習(xí)中走上正確的道路。這個(gè)人就是著名數(shù)學(xué)家喬治?波利亞，這本著作就是《怎樣解題》。

波利亞(1887-1985)是美國著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。上中學(xué)時(shí)，他就是一個(gè)很有上進(jìn)心的學(xué)生，但每當(dāng)遇較難的數(shù)學(xué)題時(shí)，他也時(shí)常感到困惑：“這個(gè)解答好像還行，他看起來是正確的，但怎樣才能想到這樣的解答呢？這個(gè)結(jié)論好像還行，他看起來是個(gè)事實(shí)，但別人是怎樣發(fā)現(xiàn)這個(gè)事實(shí)的？我自己怎樣才能想出或發(fā)現(xiàn)他們呢？”為了解決這個(gè)困惑，波利亞經(jīng)過多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的累計(jì)以及與一批數(shù)學(xué)大家的交流，最終著出《怎樣解題》這本書，一經(jīng)出版，暢銷全球。在這本書中，波利亞表達(dá)了這樣的觀點(diǎn)：解題的價(jià)值不是答案的本身，而在于弄清“是怎樣想到這個(gè)解法的？”、“是什么促使你這樣想，這樣做的？”這就是說，解題過程還是一個(gè)思維過程，是一個(gè)把知識與問題聯(lián)系起來思考、分析、探索的過程。波利亞認(rèn)為“對你自己提出問題是解決問題的開始”，“當(dāng)你有目的地向自己提出問題時(shí)，它就變成你自己的問題了”，“怎樣解題表”是《怎樣解題》一書的精華，這張表是波利亞在分解解題的思維過程得到，表中所述看似很平常的解題步驟或方法，其實(shí)已包含幾代人的智慧結(jié)晶和經(jīng)驗(yàn)總結(jié)?！霸鯓咏忸}”表將解題過程分成了四個(gè)步驟，包括“弄清問題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧反思”，在這其中，對第二步

即“擬定計(jì)劃”的分析是最為引人入勝的。波利亞把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過程分解為五條建議和二十三個(gè)具有啟發(fā)性的問題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過程進(jìn)行分解，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著，易于操作。波利亞推崇探索法，他認(rèn)為現(xiàn)代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用的智力活動(dòng)。他說《怎樣解題》這本書就是實(shí)現(xiàn)這種計(jì)劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實(shí)質(zhì)上就是試圖誘發(fā)靈感的“智力活動(dòng)表”。波利亞的“怎樣解題”表的精髓是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發(fā)性問題吧。“你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？??”波利亞說他在寫這些東西時(shí)，腦子里重現(xiàn)了他過去在研究數(shù)學(xué)時(shí)解決問題的過程，實(shí)際上是他解決和研究問題時(shí)的思維過程的總結(jié)。這正是數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)，特別是研究解題方法時(shí)的優(yōu)勢所在，絕非“紙上談兵”?；剡^頭來想一想，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)自己在解決問題時(shí)的確或多或少地經(jīng)歷了這樣一個(gè)過程。我們在解題時(shí)，為了找到解法，實(shí)際上也思考過表中的某些問題，只不過不自覺，沒有意識到這些問題罷了。在解決實(shí)際問題時(shí)，我們可能又忽略許多解決問題的方法和細(xì)節(jié)。因此我們需要控制自己的思路，用頑強(qiáng)的意志不斷地模仿解決問題的步驟和方法，爭取達(dá)到靈活運(yùn)用和創(chuàng)造性地解決問題的程度。按波利亞提出的這些問題和建議去尋找解法，在解題的過程中，必將使自己的思維受到良好的訓(xùn)練，久而久之，不僅提高了解題能力，而且養(yǎng)成了有益的思維習(xí)慣。如果能在平時(shí)的解題中不斷實(shí)踐和體會(huì)該表，必能很快就會(huì)發(fā)出和波利亞一樣的感嘆：“學(xué)數(shù)學(xué)是一種樂趣！”

在書中波利亞這樣說：“一個(gè)重大的發(fā)現(xiàn)可以解決一道重大的難題，而在解答任何一道題目的過程中，也會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)。”這句話頗有現(xiàn)實(shí)意義，人如果缺乏善于發(fā)現(xiàn)的眼睛和發(fā)現(xiàn)題目的本質(zhì)，就無法摒棄無關(guān)緊要的繁瑣條件和層層陷阱，就無法抓住問題的關(guān)鍵，因此也就無從下筆解答題目了。他還認(rèn)為當(dāng)你解答的題目并不陌生，有些似曾相識的時(shí)候可能會(huì)不以為然，但你若因此而感到有興趣，并被好奇所激發(fā)時(shí)，你的創(chuàng)造力將被激起，并被發(fā)揮出來；特別是如果你用自己獨(dú)一無二的方法做出時(shí)，你將飽含成就感，從而更加激發(fā)你學(xué)習(xí)的熱情和對問題探索的渴望。也就是說，學(xué)好數(shù)學(xué)不只在于練習(xí)、操作、演算，最重要的是從心底萌發(fā)出的對數(shù)學(xué)的濃厚興趣與自我歸納理解后的解題思路。書中還講到了教師對于學(xué)生的解題應(yīng)該進(jìn)行怎樣的指導(dǎo)，書的第一章節(jié)，為“在教室中”，分為“目的”“主要問題，主要部分”在“目的”這一節(jié)中，波利亞系統(tǒng)地指導(dǎo)了教師如何讓幫助學(xué)生，他說：“教師最重要的任務(wù)就是幫助學(xué)生。學(xué)生應(yīng)當(dāng)獲得盡可能多的獨(dú)立工作的經(jīng)驗(yàn)。但是如果讓他獨(dú)自面對問題而得不到任何幫助或者幫助得不夠。那么他很可能沒有進(jìn)步。但若教師對他幫助過多，那么學(xué)生卻又無事可干，教師對學(xué)生的幫助應(yīng)當(dāng)不多不少，恰使學(xué)生有一個(gè)合理的工作量。如果學(xué)生不太能夠獨(dú)立工作，那么教師也至少應(yīng)當(dāng)使他感覺自己是在獨(dú)立工作。為了做到這一點(diǎn)，教師應(yīng)當(dāng)考慮周到地、不顯眼地幫助學(xué)生。不過，對學(xué)生的幫助最好是順乎自然。教師對學(xué)生應(yīng)當(dāng)設(shè)身處地，應(yīng)當(dāng)了解學(xué)生情況，應(yīng)當(dāng)弄清學(xué)生正在想什么，并且提出一個(gè)學(xué)生自己可能會(huì)產(chǎn)生的問題，或者指出一個(gè)學(xué)生自己可能會(huì)想出來的步驟?！倍谥笇?dǎo)學(xué)生的過程中，教師不免一而再，再而三地提出一些相同的問題，指出一些相同的步驟。例如，在大量的問題中，我們總是問：未知數(shù)是什么？我們可以變換提問的方法，以各種不同的方式提問同一個(gè)問題：求什么？你想找到什么？你假定求的是什么？這類問題的目的是把學(xué)生的注意力集中到未知數(shù)上。有時(shí)，我們用一條建議：看著未知數(shù)，來更為自然地達(dá)到同一效果。問題與建議都以同一效果為目的：即企圖引起同樣的思維活動(dòng)。在波利亞看來，在與學(xué)生討論的問題中，收集一些典型的有用問題和建議，并加以分類是有價(jià)值的。“怎樣解題”表就包含了這類經(jīng)過仔細(xì)挑選與安排的問題和建議；它們對于那些能獨(dú)立解題的人也同樣有用。而在讀者們充分熟悉這張表并且看出在建議之后所應(yīng)采取的行動(dòng)之后，他們會(huì)感到這張表中所間接列舉的是對解題很有用的典型思維活動(dòng)。這些思維活動(dòng)在表中的次序是按其發(fā)生的可能性大小排列的。表中所提問題與建議的重要特點(diǎn)之一是普遍性，當(dāng)然，除去普遍性以外，它們也是自然的、簡單的、顯而易見的并且來自于普通常識。如果能夠在遇到一些困難的問題的時(shí)候，我們能聯(lián)想到與之相關(guān)卻為我們所熟悉的內(nèi)容，那么我們走的這條路也是對的。波

利亞指出，教師和學(xué)生在實(shí)踐中，教師試圖提高學(xué)生解題能力，必須培養(yǎng)學(xué)生的興趣，然后給他們提供大量的機(jī)會(huì)去模仿與實(shí)踐。如果教師想要在他的學(xué)生中發(fā)展相應(yīng)于“如何解題”表中的問題與建議的思維活動(dòng)，那么他就應(yīng)該盡可能地經(jīng)常而自然地向?qū)W生提出這些問題和建議。此外，當(dāng)教師在全班面前解題時(shí)，他應(yīng)當(dāng)使其思路更吸引人一些，并且應(yīng)當(dāng)向自己提出那些在幫助學(xué)生時(shí)所使用的相同問題。由于這樣的指導(dǎo)，學(xué)生將終于找到使用表中這些問題與建議的正確方法，并且這樣做以后，他將學(xué)到比任何具體數(shù)學(xué)知識更為重要的東西。將此聯(lián)系到實(shí)際中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)問題，在如今應(yīng)試教育的大環(huán)境下，現(xiàn)在教師的教學(xué)過程、學(xué)生的思維都比較的定式化，特別像是數(shù)學(xué)物理等理科，教師運(yùn)用題海戰(zhàn)術(shù)，學(xué)生只要多做多練，甚至背好題型就可以萬事大吉了。但是學(xué)生很難出于自己的興趣去解題，解題更多地被當(dāng)做一種機(jī)械的條件反射的運(yùn)動(dòng)而不是思維活動(dòng)。這樣的問題有待于我們這些未來的教師去解決。作為一名數(shù)學(xué)師范專業(yè)的學(xué)生，我想我從這本書中學(xué)到了太多，不僅僅解決了自身的學(xué)習(xí)問題，激發(fā)了自己對于解題的興趣、學(xué)會(huì)了如何運(yùn)用“怎樣解題”表中的步驟解決問題，更學(xué)會(huì)了，作為一名教師應(yīng)該如何指導(dǎo)學(xué)生解決問題，如何教育學(xué)生，讀完這本書，我獲益匪淺。

第四篇：從波利亞怎樣解題

從波利亞《怎樣解題》

談數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的習(xí)慣培養(yǎng)

沈 斌

摘要：運(yùn)用波利亞的“怎樣解題”表來指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，揭示解題過程的思維訓(xùn)練全貌, 暴露數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)核心問題的本質(zhì)，以增進(jìn)教學(xué)效果，同時(shí), 在解題的過程中，也使學(xué)生的思維受到良好的訓(xùn)練。久而久之，不僅提高解題能力，而且養(yǎng)成有益的思維習(xí)慣，進(jìn)而形成了良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，而這是比任何具體的數(shù)學(xué)知識重要得多的東西。

關(guān)鍵詞：怎樣解題表職業(yè)中學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣

正文：

一、中等職業(yè)學(xué)校學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀

當(dāng)前的職校數(shù)學(xué)教學(xué)面臨著一種困境，學(xué)生生源質(zhì)量差且參差不齊，經(jīng)常聽到有教師怨言：“這些學(xué)生怎么教呵！”學(xué)生基礎(chǔ)比較差這是事實(shí)，是不是學(xué)生智質(zhì)差？不是，學(xué)生也聰明，活潑好動(dòng)，究其原因是職業(yè)中學(xué)學(xué)生大多,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣不好，學(xué)習(xí)被動(dòng)等，他們不懂得怎樣去思考問題, 怎樣將己知未知聯(lián)系起來, 甚至搞不清已知是什么,總之他們不會(huì)學(xué)習(xí)或者說解題不知從何入手。對于教師而言，面對著一個(gè)班級里有許多學(xué)習(xí)目的不明確、學(xué)習(xí)習(xí)慣不好、基礎(chǔ)不扎實(shí)的學(xué)生，如何上好課的確是一大難題，如果沿用傳統(tǒng)的課堂教學(xué)目標(biāo)和模式，其結(jié)果只能造成師生互怨。

二、波利亞《怎樣解題》的啟示

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞（George Polya,1887~1985）致力于解題的研究，為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來的”這個(gè)令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程得到的一張“怎樣解題”表。這張表包括“弄清問題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧”四大步驟的解題全過程。

波利亞把他本人數(shù)十年的教學(xué)與科研經(jīng)驗(yàn)集中具體地表現(xiàn)在他的”怎樣解題”表上。在這張表中, 他按照邏輯思維的順序和出現(xiàn)可能性大小的順序搜集了一系列公式化了的指導(dǎo)性意見, 提出的方式也十分靈活, 有時(shí)用建議的口氣, 有時(shí)則用引導(dǎo)性問題的辦法, 盡量順乎自然, 使學(xué)生感到這些意見真是說到他們的心坎上了, 這就是他們自己所要說的話。波利亞說: “教師最重要的任務(wù)之一是幫助學(xué)生”?！敖處煂W(xué)生應(yīng)當(dāng)設(shè)身處地，應(yīng)當(dāng)了解學(xué)生情況，應(yīng)當(dāng)弄清學(xué)生正在想什么，并且提出一個(gè)學(xué)生自己可能會(huì)產(chǎn)生的問題，或者指出一個(gè)學(xué)生自己可能會(huì)想出來的步驟”。波利亞的《怎樣解題》教學(xué)思想使我受到啟示，在課堂教學(xué)中嘗試“弄清問題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧”四大步驟，使學(xué)生逐步養(yǎng)成了良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。

三、在職校數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用《怎樣解題》思想培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣

(一)通過審題, 弄清問題, 培養(yǎng)學(xué)生分析已知條件的習(xí)慣

審題過程就是要審清題目數(shù)量關(guān)系，知道該道題講的是什么，并能找出已知條件，使題目的條件、問題及其關(guān)系在學(xué)生頭腦中建立起完整的印象，為正確分析數(shù)量關(guān)系和解答問題創(chuàng)造良好的前

提條件。對題中揭示數(shù)量關(guān)系的關(guān)鍵句要反復(fù)推敲，理解它的真實(shí)含義。數(shù)學(xué)教師在通常的教學(xué)過程中應(yīng)時(shí)時(shí)提醒學(xué)生這樣盡力去做, 那么我們的學(xué)生不管他對每一道題目是否審的清楚, 但一定可以在這種過程中培養(yǎng)起先弄清問題,分析已知條件的習(xí)慣。

例 如果一條直線平行于一個(gè)平面,那么垂直于這條直線的平面必垂直于這個(gè)平面.講解第一步、弄清問題:

你要求證的是什么?

要求證的是平面與平面垂直.已知些什么?

一條直線平行于一個(gè)平面, 另一個(gè)平面垂直于這條直線.可以用數(shù)學(xué)語言來敘述題意嗎? 可以畫張圖嗎?

已知: 直線a∥平面α, 直

求證:平面α⊥平面β.效果：通過以上的審題和分析

了題意并數(shù)學(xué)化，同時(shí)大腦中有了

(二)通過探求解題方法,培

習(xí)慣

在波利亞的解題表中，擬定計(jì)劃是關(guān)鍵環(huán)節(jié)，“擬定計(jì)劃”的過程是在“過去的經(jīng)驗(yàn)和已有的知識”基礎(chǔ)上,探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過程。“擬定計(jì)劃”的過程其實(shí)就是不斷變換問題的過程，把復(fù)雜的問題向簡單的問題轉(zhuǎn)化，陌生的問題向熟悉的問題轉(zhuǎn)化，最終把待解決的問題化歸為已解決的或易解決的問題，這樣在探索解題思路的過程中自然而然地培養(yǎng)了學(xué)生擬定解題計(jì)劃的習(xí)慣。學(xué)生有了計(jì)劃, 就不會(huì)拉下已知條件, 就會(huì)考慮解題的優(yōu)先順序，有清晰的目標(biāo)，就可以通過計(jì)劃的實(shí)施來實(shí)現(xiàn)解題的目標(biāo)。

講解第二步、擬定計(jì)劃:

怎樣證明兩個(gè)平面垂直?

要證明平面α⊥平面β, 只要在其中一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線即可。

怎樣找到另一個(gè)平面的垂線呢？

由直線a⊥平面β, 根據(jù)直線和直線平行的性質(zhì)定理, 只要在平面α內(nèi)找到一條和直線a平行的直線, 這直線必定垂直于平面β。

怎樣在平面α內(nèi)找到這條直線呢？

而由直線和平面平行的性質(zhì)定理可知, 只須過直線a任意作一個(gè)平面γ和平面α相交于直線b, 則交線b⊥平面β, 由此可證明結(jié)論成立.解題計(jì)劃：直線a∥平面α，可找平面α內(nèi)的直線b，a∥b可得直線b⊥平面β，b⊥平面β且平面α經(jīng)過直線b結(jié)論可得證。

(三)通過實(shí)現(xiàn)解題計(jì)劃,培養(yǎng)學(xué)生將計(jì)劃付諸實(shí)現(xiàn)的習(xí)慣

想出一個(gè)計(jì)劃,產(chǎn)生一個(gè)求解的念頭是不容易的,要成功,需要有許多條件,如已有的知識、良好的思維習(xí)慣等。我們要把來之不易的好計(jì)劃好念頭付諸實(shí)現(xiàn)，在解題計(jì)劃的實(shí)現(xiàn)過程中我們必須充 a線a⊥平面β.已知條件，使學(xué)生弄清一個(gè)立體模型.養(yǎng)學(xué)生擬定解題計(jì)劃的實(shí)細(xì)節(jié)并耐心地檢查每一個(gè)細(xì)節(jié)，直到每一點(diǎn)都完全清楚，沒有任何可能隱藏錯(cuò)誤的含糊之處為止。在這個(gè)過程中教師要注意培養(yǎng)學(xué)生的耐心和恒心，要時(shí)時(shí)提醒學(xué)生自己解題的計(jì)劃是什么?按照解題計(jì)劃堅(jiān)持讓學(xué)生檢查每一步驟,這對職業(yè)中學(xué)的學(xué)生而言尤其重要,因他們的關(guān)鍵是踏踏實(shí)實(shí)的做每一件事情，將計(jì)劃執(zhí)行到底。

講解第三步、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃:

證明:過直線a任作一個(gè)

直線b

直線a∥平面α? a∥直線a⊥平面β

b⊥平面β ? a平面γ, 和平面α相交于而平面α過直線b，則平面α⊥平面β.檢查：直線和平面平行的性質(zhì)定理，直線和直線平行的性質(zhì)定理，平面和平面垂直的判定定理，三個(gè)定理清晰保證每步成立。

(四)通過解題回顧, 培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)回顧反思的習(xí)慣

即使是相當(dāng)好的學(xué)生, 當(dāng)他得到問題的解答, 并且很干凈利落地寫下論證后, 就會(huì)合上書本, 找點(diǎn)別的事來干干。這樣做, 他們就錯(cuò)過了解題的一個(gè)重要而有教益的方面。

培養(yǎng)學(xué)生對自己的解題過程進(jìn)行回顧反思的習(xí)慣，提高學(xué)生的思維自我評介水平，這是提高學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的有效的方法。解題是學(xué)好數(shù)學(xué)的必由之路，養(yǎng)成對自己的解題過程進(jìn)行回顧反思的習(xí)慣是具有正確的解題思想的體現(xiàn)。如果在獲得正確答案后就此終止,不對解題過程進(jìn)行回顧和反思，那么解題活動(dòng)就有可能停留在經(jīng)驗(yàn)水平上,事倍功半；如果在每一次解題以后都以對自己的思路作自我評價(jià)，探討成功的經(jīng)驗(yàn)或失敗的教訓(xùn)，那么學(xué)生的思維就會(huì)在更高的層次上進(jìn)行再概括，并促使學(xué)生的思維進(jìn)入理性認(rèn)識階段，事半功倍，同時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生創(chuàng)新的好念頭。因此，為了提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，必須加強(qiáng)正確的解題思想教育，使學(xué)生養(yǎng)成回顧反思的習(xí)慣。

講解第四步、回顧:

回顧解題過程可以看到, 解題首先要弄清題意, 從中捕捉有用的信息, 同時(shí)又要及時(shí)提取記憶中的有關(guān)知識, 來擬定出一個(gè)成功的計(jì)劃。此題我們在思維策略上是二層次解決問題, 首先根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)定理找到直線b, 然后根據(jù)直線和直線平行的性質(zhì)定理及平面與平面垂直的判定定理得證。

四、教師應(yīng)更新教育觀念 ,擺出良好姿態(tài)

數(shù)學(xué)家喬治·波利亞在他的《怎樣解題》一書中自始至終體現(xiàn)出對學(xué)生的關(guān)懷和設(shè)身處地地為學(xué)生考慮的思想。因此，我們職業(yè)學(xué)校的教師應(yīng)轉(zhuǎn)變教育思想,樹立起為學(xué)生服務(wù)觀念, 擺出良好姿態(tài)面對我們的學(xué)生，我們要相信每個(gè)學(xué)生都是有能力學(xué)好的。給予學(xué)生更多的人文關(guān)懷，教師在整個(gè)教學(xué)過程中應(yīng)從學(xué)生的角度出發(fā)，考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)感受，特別對于基礎(chǔ)差的學(xué)生，更不能帶有偏見、抱怨和漠然的態(tài)度，應(yīng)尊重他們受教育的權(quán)利，設(shè)計(jì)出符合學(xué)生特點(diǎn)的課堂教學(xué)，更好地為學(xué)生服務(wù)。本著這樣一種觀念，就會(huì)創(chuàng)造出一種讓學(xué)生處處感到被信任的氛圍，沒有懷疑，只有理解，其結(jié)果則會(huì)培養(yǎng)學(xué)生的自覺意識，增強(qiáng)自律能力，逐步養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。這就要求教師要做到：

1、要熱愛學(xué)生，這是達(dá)到民主和諧的基礎(chǔ)，沒有愛就沒有教育.2、要建立平等的師生關(guān)系，教師要放

下架子，把自己當(dāng)作學(xué)生中的一員，使自己成為既是學(xué)生學(xué)習(xí)的指導(dǎo)者，又是合作者，積極參與學(xué)生的討論、交流，經(jīng)常用商量的口吻進(jìn)行教學(xué)。

3、要正視學(xué)生的潛能，承認(rèn)學(xué)生能主動(dòng)發(fā)展，視教學(xué)過程為學(xué)生的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的過程，而不僅是知識獲得的過程。

參考文獻(xiàn)：

G.波利亞著<<怎樣解題>>閻育蘇譯

<<數(shù)學(xué)解題思維策略>>劉云章 趙雄輝 編

從<<怎樣解題>>談例題教學(xué)何雙誼高中數(shù)學(xué)教與學(xué)2004 年第12期

<<波利亞的怎樣解題表>>羅增儒

羅新兵中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2004 年第4期

第五篇：波利亞解題辨析論文

文 章

來源蓮山

課件 w ww.5 y kj.Co m來源 徐利治先生早就指出，我們要培養(yǎng)一大批波利亞型的數(shù)學(xué)家，要按照波利亞思想改革數(shù)學(xué)教 材 和教學(xué)方法．目前，從理論研究方面來看，已出現(xiàn)“超越波利亞”的苗頭，但從中學(xué)數(shù)學(xué)教 學(xué)的現(xiàn)狀來看，離波利亞的想法還存在很大差距；對于很多學(xué)校，波利亞思想還沒有“進(jìn)入 校門”，其主要原因是，很多中學(xué)同志買不到波利亞的著作，對波利亞的數(shù)學(xué)教育思想缺乏 認(rèn)識．為此，徐利治先生前年來寧講學(xué)期間再次強(qiáng)調(diào)，為了搞好中學(xué)素質(zhì)教育，我們還要加 大力度傳播波利亞思想．

有些中學(xué)同志講，我們沒有辦法，要提高學(xué)生應(yīng)試能力，不得不搞題海戰(zhàn)術(shù)，“題?！笔?客 觀存在，無法回避，波利亞也是強(qiáng)調(diào)解題訓(xùn)練的．的確，“題?！笔强陀^存在，波利亞也強(qiáng) 調(diào)解題訓(xùn)練，他說：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題的訓(xùn)練．”但波利亞的解題訓(xùn) 練與題海戰(zhàn)術(shù)有很大區(qū)別．

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一、訓(xùn)練的目的不同

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“題海戰(zhàn)術(shù)”的目的明顯表現(xiàn)為應(yīng)考．而波利亞強(qiáng)調(diào)解題訓(xùn)練的目的在于提高學(xué)生的數(shù)學(xué) 素質(zhì)．波利亞認(rèn)為，任何學(xué)問都包括知識和能力這兩個(gè)方面．對于數(shù)學(xué)，能力比起僅僅具有 一些知識來重要得多．因此，“學(xué)校的目的應(yīng)該是發(fā)展學(xué)生本身的內(nèi)蘊(yùn)能力，而不僅僅是傳 授知識”．波利亞發(fā)現(xiàn)，在日常解題和攻克難題而獲得數(shù)學(xué)上重大發(fā)現(xiàn)之間，并沒有不可逾 越的鴻溝．他說：“一個(gè)重大的發(fā)現(xiàn)可以解決一些重大的問題，但在求解任何問題的過程中，也都會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)．”要想有重大的發(fā)現(xiàn)，就必須重視平時(shí)的解題．

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數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面，已嚴(yán)格地提出來的數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；另一方面，在 創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看來卻像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)．波利亞指出，通過研究解題方法，我 們可以看到數(shù)學(xué)的第二個(gè)側(cè)面，也就是看到“處于發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學(xué)”． 因此，波利亞 把 “解題”作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)才能和教會(huì)他們思考的一種手段和途徑．這種思想得到了國際數(shù) 學(xué)教育界的廣泛贊同．1976年數(shù)學(xué)管理者委員會(huì)把解題能力列為10項(xiàng)基本技能的首位，美 國數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會(huì)理事會(huì)把解題提到了“80年代學(xué)校數(shù)學(xué)的核心”這一高度．

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波利亞的解題思想集中反映在他的《怎樣解題》一書中，該書的中心思想就是談解題過程 中 怎樣誘發(fā)靈感．書的一開始就是一張“怎樣解題表”，在“表”中收集了一些典型的問題與 建 議．波利亞推崇探索法，他認(rèn)為現(xiàn)代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用 的 智力活動(dòng)．他說《怎樣解題》這本書就是實(shí)現(xiàn)這種計(jì)劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實(shí)質(zhì)上 就是 試圖誘發(fā)靈感的“智力活動(dòng)表”．正如波利亞在書中所寫：“我們的表實(shí)際上是一個(gè)在解題 中典型有用的智力活動(dòng)表．”“表中的問題和建議并不直接提到好念頭，但實(shí)際上所有的問 題和建議都與它有關(guān)．”

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“怎樣解題表”包含四部分內(nèi)容：弄清問題、擬訂計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧．波利亞說：“ 弄清問題是為好念頭的出現(xiàn)做準(zhǔn)備；制訂計(jì)劃是試圖引發(fā)它；在引發(fā)之后，我們實(shí)現(xiàn)它；回 顧此過程和求解的結(jié)果，是試圖更好地利用它．”波利亞所講的好念頭，就是指靈感．

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《怎樣解題》書中有一部分內(nèi)容叫“探索法小詞典”，從篇幅上看，它占全書的 4/5．“探索法小辭典”的主要內(nèi)容就是配合“怎樣解題表”，對解題 過程中典型有用的智力活動(dòng)做進(jìn)一步解釋．

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全書的字里行間，處處給人一個(gè)強(qiáng)烈的感覺：波利亞強(qiáng)調(diào)解題訓(xùn)練的目的是引導(dǎo)學(xué)生開展 智力活動(dòng)，提高數(shù)學(xué)才能．

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二、訓(xùn)練的方式不同

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“題海戰(zhàn)術(shù)”是讓學(xué)生做大量的題，熟悉題型及其解法．波利亞反對讓學(xué)生做大量的題，他認(rèn)為，一個(gè)數(shù)學(xué)教師，如果“把分配給他的時(shí)間塞滿了例行運(yùn)算來訓(xùn)練他的學(xué)生，他就扼 殺了學(xué)生的興趣，妨礙了他們的智力發(fā)展……”因此，他主張與其窮于應(yīng)付繁瑣的教學(xué)內(nèi) 容和過量的題目，還不如選擇一個(gè)有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生深入發(fā)掘題目的各 個(gè)側(cè)面，使學(xué)生通過這道題目，就如同通過一道大門而進(jìn)入一個(gè)嶄新的天地．比如，“證明 是無理數(shù)”和“證明素?cái)?shù)有無限多個(gè)”就是這樣的好題目，前者通 向?qū)崝?shù)的精確概念，而后者是通向數(shù)論的門戶，打開數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)大門的金鑰匙往往就在這類好 題目之中．

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過去，國內(nèi)外有關(guān)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的著作和習(xí)題集基本上偏重于解決個(gè)別類型的問題，例如算術(shù) 問題、幾何問題、代數(shù)問題等，但很少涉及解題的一般方法．然而，“學(xué)生熟悉了解答個(gè)別 類型問題的特殊方法之后，有可能只限于掌握一種千篇一律的死板方法而并不具備獨(dú)立解 決新問題的本領(lǐng)．”波利亞的《怎樣解題》就彌補(bǔ)了這一空白，這本書給出了求解數(shù)學(xué)問題 的一般方法．今天人們公認(rèn)，在數(shù)學(xué)解題研究方面，波利亞是一面旗幟，他做出了劃時(shí)代的 貢獻(xiàn)．

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“怎樣解題表”中的指導(dǎo)性意見，具有普適性．不僅適用于“不太能獨(dú)立工作”的人，而 且適用于那些能獨(dú)立解題的人；不僅適用于數(shù)學(xué)學(xué)科，而且可適用于其他學(xué)科．例如，未知 數(shù)是什么?已知數(shù)是什么?條件是什么?這些問題都是普遍適用的，對于所有各類問題(代數(shù)的 或幾何的，數(shù)學(xué)的或非數(shù)學(xué)的，理論的或?qū)嶋H的)，我們提出這些問題都會(huì)取得良好效果． 波利亞解題訓(xùn)練的方式是引導(dǎo)學(xué)生按照“表”中的問題和建議思考問題，探索解題途徑．試 圖引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握解題過程的一般規(guī)律．這與“題海戰(zhàn)術(shù)”的“題型＋解法”的訓(xùn)練方式 是絕然不同的．

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波利亞高度重視解題過程中的合情推理．?dāng)?shù)學(xué)中的合情推理是多種多樣的，而歸納和類比 是兩種用途最廣的特殊合情推理，拉普拉斯曾說過：“甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的工具也是 歸納與類比．”因而波利亞對這兩種合情推理給予了特別重視，并注意到更廣泛的合情推理 ；他不僅討論了合情推理的特征、作用、范例、模式，還指出了其中的教學(xué)意義和教學(xué)方法 ．

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波利亞反復(fù)呼吁：只要我們能承認(rèn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程中需要合情推量、需要猜想的話，數(shù)學(xué)教 學(xué)中就必須有教猜想的地位，必須為發(fā)明做準(zhǔn)備，或至少給一點(diǎn)發(fā)明的嘗試．對于一個(gè)想以 數(shù)學(xué)作為終身職業(yè)的學(xué)生來說，為了在數(shù)學(xué)上取得真正的成就，就得掌握合情推理；對于一 般學(xué)生來說，他也必須學(xué)習(xí)和體驗(yàn)合情推理，這是他未來生活的需要．

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怎樣教猜想?怎樣教合情推理?沒有十拿九穩(wěn)的教學(xué)方法．波利亞說，教學(xué)中最重要的就是 選取一些典型教學(xué)結(jié)論的創(chuàng)造過程，分析其發(fā)現(xiàn)動(dòng)機(jī)和合情推理，然后再讓學(xué)生模仿范例去 獨(dú)立實(shí)踐，在實(shí)踐中發(fā)展合情推理能力．波利亞欣賞蘇格拉底的名言：“思想應(yīng)當(dāng)誕生在學(xué) 生的心里，教師僅僅應(yīng)當(dāng)像助產(chǎn)士那樣辦事．”他指出，教師要選擇典型的問題，創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生饒有興趣地、自覺地去試驗(yàn)、觀察，得到猜想．

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“學(xué)生自己提出了猜想，也就會(huì)有追求證明的渴望，因而此時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)最富有吸引力，切莫錯(cuò)過時(shí)機(jī)”．波利亞指出，要充分發(fā)揮班級教學(xué)的優(yōu)勢，鼓勵(lì)學(xué)生之間互相討論和啟發(fā)，教師只有在學(xué)生受阻的時(shí)候才給些方向性的揭示，不能硬把他們趕上事先預(yù)備好的道路，這樣學(xué)生才能體驗(yàn)到猜想、發(fā)現(xiàn)的樂趣，才能真正掌握合情推理，提高思考問題、解決問題 的能力．

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這種訓(xùn)練方式與“題型＋解法”的做法也是完全不同的．

三、能力培養(yǎng)的效果不同

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應(yīng)該承認(rèn)，“題海戰(zhàn)術(shù)”對提高學(xué)生的能力也有一定的積極作用，但經(jīng)驗(yàn)表明，“題海戰(zhàn) 術(shù)”在能力培養(yǎng)方面主要表現(xiàn)為提高模仿力與復(fù)制力，所謂“高分低能”癥正是如此產(chǎn)生的 ．

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在數(shù)學(xué)學(xué)科中，能力指的是什么?波利亞說：“這就是解決問題的才智——我們這里所指 的問題，不僅僅是尋常的，它們還要求人們具有某種程度的獨(dú)立見解、判斷力、能動(dòng)性 和創(chuàng)造精神．”波利亞致力于培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立探索能力．從教育心理學(xué)角度看，“怎樣解題 表”的確是十分可取的，利用這張表教師可行之有效地指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)，發(fā)展學(xué)生獨(dú)立思考和 進(jìn)行創(chuàng)造性活動(dòng)的能力．如果我們提出一個(gè)“波利亞探索法”的話，那么“波利亞探索法” 的主要特點(diǎn)就是變更問題，誘發(fā)靈感．在波利亞看來，解題過程就是不斷變更問題的過程． 事實(shí)上，“怎樣解題表”中許多問題和建議都是“直接以變化問題為目的的”．如，你知道 與 它有關(guān)的問題嗎?你能不能試想出一個(gè)有相同或相似未知數(shù)的熟悉問題?你是否見過形式稍微 有不同樣 的題目?你能改述這題目嗎?你能不能用不同的方法重新敘述它?你能不能想出一個(gè)更容易著 手的有關(guān)問題，一個(gè)更普遍的題，一個(gè)更特殊的題，一個(gè)類似的題?你能否解決這道題的一 部分 ?你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西?能不能想出適于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)?你能改 變未知數(shù)，或已知數(shù)，必要時(shí)改變兩者，使新未知數(shù)和新的已知數(shù)更加互相接近嗎?

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波利亞說：“如果不‘變化問題’，我們幾乎不能有什么進(jìn)展．”“變更問題”是《怎樣 解題》一書的主旋律．書中多次強(qiáng)調(diào)了“變更問題”的幾種特殊手段．例如“回到定義去”，“分解與重新組合”，“引入輔助元”，“普遍化、特殊化及類比”．

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這里只談?wù)劇盎氐蕉x”．波利亞說，“回到定義”是一項(xiàng)重要的智力活動(dòng)．回到定義是 為了“掌握那些專業(yè)術(shù)語后面數(shù)學(xué)對象間的實(shí)際關(guān)系”．面對一個(gè)數(shù)學(xué)題，“如果我們只知 道概念的定義，別無其他，我們就不得不回到定義”．

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《怎樣解題》書中，有個(gè)精彩的實(shí)例：

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已知拋物線的焦點(diǎn)Ｆ，準(zhǔn)線ｄ和一直線l，求作此拋物線與已知直線的交點(diǎn)．

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觀察題意可見，眼下的情況就是“只知道概念的定義，別無其他”，因此，我們不得不回 到定義．考慮到拋物線的定義，原問題就變化為：

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在直線ｌ上求一點(diǎn)，使它和已知點(diǎn)Ｆ及已知直線ｄ等距離．

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這是第一次變化，解析幾何題變成了平面幾何題．這道平面幾何題本身也是一道有意義的 題．

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“你能不能用不同的方法重新敘述它?”

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這道題可以換個(gè)說法敘述為：

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在直線ｌ上求一點(diǎn)，以它為圓心作圓與直線ｄ相切且通過點(diǎn)Ｆ．

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這是第二次變化．

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所作的圓要滿足兩個(gè)條件．“你能否解決這問題的一部分?”可以，先放棄一個(gè)條件，第 三次變化問題．

（下略）

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“怎樣解題表”風(fēng)靡全球．經(jīng)驗(yàn)證明，適當(dāng)使用表中的問題與建議，對培養(yǎng)學(xué)生的探索力 是有益的．

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“題海”是客觀存在，我們應(yīng)研究對付“題?！钡膽?zhàn)術(shù)．波利亞的“表”雖不如阿里巴巴 的金鑰匙，但卻切實(shí)可行，給出了探索解題途徑的可操作機(jī)制，被人們公認(rèn)為“指導(dǎo)學(xué)生在 題海游泳”的“行動(dòng)綱領(lǐng)”．著名的現(xiàn)代數(shù)學(xué)家瓦爾登早就說過：“每個(gè)大學(xué)生，每個(gè)學(xué)者，特別是每個(gè)教師都應(yīng)該讀這本引人入勝的書《怎樣解題》．”

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