第一篇：推理與證明——以幾何教學(xué)為例 拓展閱讀4：數(shù)學(xué)證明的教育價(jià)值

數(shù)學(xué)證明的教育價(jià)值

北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系王申懷

目前，數(shù)學(xué)教育界都在關(guān)注《國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(初稿)－－目標(biāo)體系》的研討，其中一個(gè)熱門(mén)的話題是如何處理中學(xué)幾何課程的改革。爭(zhēng)論焦點(diǎn)之一是如何看待幾何中邏輯推理的教育價(jià)值。為此，筆者認(rèn)為首先應(yīng)該探討一下數(shù)學(xué)證明的教育價(jià)值。?

一、問(wèn)題的提出

從一組原始概念和命題(即公理)出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理得到一系列的定理和證明，這就是幾千年來(lái)數(shù)學(xué)學(xué)科所遵循的研究模式。但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，特別是電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，人們對(duì)上述研究模式產(chǎn)生了懷疑。其中最典型的一個(gè)例子就是所謂“四色問(wèn)題”的證明。下面詳細(xì)談一下由“四色問(wèn)題”所引起的爭(zhēng)論。?1852年，英國(guó)數(shù)學(xué)家F.Guthrie(格思里)在給他弟弟的一封信中說(shuō)：“看來(lái)每幅地圖若用不同顏色標(biāo)出鄰國(guó)，只要用四種顏色就夠了?！边@就是“四色問(wèn)題”的由來(lái)。一百多年來(lái)數(shù)學(xué)家們不斷努力企圖用數(shù)學(xué)方法來(lái)證明這個(gè)結(jié)論。直至1970年左右，問(wèn)題歸結(jié)為計(jì)算幾千個(gè)不可約構(gòu)形的問(wèn)題〔1〕，但其計(jì)算量之大是難以想像的，因此人們望而生畏。1976年美國(guó)兩位計(jì)算機(jī)專(zhuān)家K.Appel(阿佩爾)和W.Haken(哈肯)找到了一種新的計(jì)算方法。他們用了三臺(tái)IBM計(jì)算機(jī)經(jīng)過(guò)1000多個(gè)小時(shí)(約52天)的運(yùn)算，“證明”了格思里提出的結(jié)論是正確的。因此，“四色問(wèn)題”得到了“證明”。?

阿佩爾和哈肯的“證明”引起了人們的爭(zhēng)論。首先，他們的“證明”，其計(jì)算機(jī)程序就達(dá)400多頁(yè)，要用人工去檢驗(yàn)其程序有無(wú)問(wèn)題是十分吃力的。因此，似乎無(wú)人愿意再去重復(fù)阿－哈的“證明”。其次，能否保證計(jì)算機(jī)在計(jì)算過(guò)程中絕對(duì)不出錯(cuò)誤？第三，人們無(wú)法確定計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤是計(jì)算機(jī)本身的機(jī)械或電子方面的毛病，還是“證明”過(guò)程本身邏輯有問(wèn)題。? 于是就引起了什么是“數(shù)學(xué)證明”的爭(zhēng)論。?

有些數(shù)學(xué)家認(rèn)為數(shù)學(xué)證明只能是以人工可重復(fù)檢驗(yàn)的邏輯演繹(計(jì)算也是一種演繹)過(guò)程，否則只能稱(chēng)為計(jì)算機(jī)證明，二者不能混為一談。因此，按這種觀點(diǎn)，“四色問(wèn)題”只能稱(chēng)已得到了計(jì)算機(jī)證明，而不能稱(chēng)已得到了數(shù)學(xué)證明。?但是，另一些數(shù)學(xué)家反駁說(shuō)，用人工來(lái)檢驗(yàn)也可能產(chǎn)生錯(cuò)誤。例如，數(shù)學(xué)史上曾有不少數(shù)學(xué)家(如意大利的Saccheri，法國(guó)的Legendre)聲稱(chēng)他們已“證明”了歐幾里得第五公設(shè)(即歐氏平行公理)。但后來(lái)發(fā)現(xiàn)他們的“證明”均有問(wèn)題，其主要錯(cuò)誤在于他們利用了與第五公設(shè)等價(jià)的命題，因此從邏輯上說(shuō)他們都犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤。?

另外人工邏輯演繹證明可以重復(fù)嗎??

眾所周知，群論中有一個(gè)著名的所謂有限單群的分類(lèi)定理，單群的概念是由Galois(伽羅華)在1830年最初給出的。一百多年來(lái)數(shù)學(xué)家企圖對(duì)單群進(jìn)行分類(lèi)。直至20世紀(jì)80年代，由100多位數(shù)學(xué)家組成的非正規(guī)“隊(duì)伍”，他們共同努力列出所有的單群并證明這樣的列舉是完全的。在花費(fèi)了成千上萬(wàn)個(gè)小時(shí)以及發(fā)表了幾百篇論文之后，這項(xiàng)工作才得以完成，證明長(zhǎng)達(dá)15000多頁(yè)!〔2〕試問(wèn)誰(shuí)還愿意(或說(shuō)可能)去重復(fù)他們長(zhǎng)達(dá)15000多頁(yè)的證明?(恐怕連讀一遍都不愿意。)?于是問(wèn)題就不集中在“證明”是否可檢驗(yàn)的問(wèn)題上了，而在于人們?nèi)绾蝸?lái)理解“證明”的真正含義。數(shù)學(xué)證明的功能到底是什么??

二、數(shù)學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)證明的看法

國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)(ICMI)在《計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)的影響》報(bào)告中指出：“借助于計(jì)算機(jī)的證明不應(yīng)該比人工證明加以更多的懷疑??，我們不能認(rèn)為計(jì)算機(jī)將增加錯(cuò)誤證明的數(shù)目，恰恰相反對(duì)計(jì)算機(jī)證明的批評(píng)，例如四色問(wèn)題的證明，主要集中在它僅依靠蠻力和缺乏思考的洞察力。??計(jì)算機(jī)證明會(huì)給人們帶來(lái)一些新啟示，會(huì)激勵(lì)人們?nèi)ふ腋玫?、更短的、更富有說(shuō)服力的證明，會(huì)鼓勵(lì)數(shù)學(xué)家去更準(zhǔn)確地把握形式化的想法。”?

英國(guó)數(shù)學(xué)家Atiyah(阿蒂亞)在評(píng)論“四色問(wèn)題”的證明時(shí)說(shuō)：“這證明是一大成功，但在美學(xué)觀點(diǎn)上看極令人失望。完全不靠心智創(chuàng)造，全靠機(jī)械的蠻力?？茖W(xué)活動(dòng)的目的是理解客觀世界并進(jìn)而駕馭客觀世界，然而我們能說(shuō)‘理解’了四色問(wèn)題的證明了嗎?”“數(shù)學(xué)是一種藝術(shù)，一種使人擺脫蠻力計(jì)算，而且成熟概念和技巧，使人更輕松地漫游?！薄?〕

Bourbaki(布爾巴基)在《數(shù)學(xué)的建筑》一書(shū)中說(shuō)：“單是驗(yàn)證了一個(gè)數(shù)學(xué)證明的逐步邏輯推導(dǎo)，都沒(méi)有試圖洞察獲得這一連串推導(dǎo)的背后的意念，并不算理解了那個(gè)數(shù)學(xué)證明?！薄半娮佑?jì)算機(jī)證明不滿意者并非它沒(méi)有核實(shí)命題，難道用人工花幾個(gè)月檢驗(yàn)幾百頁(yè)證明便更可靠了嗎?而是它沒(méi)有使我們通過(guò)證明獲得理解?！?

C.Hanna說(shuō)：“證明是一種透明的辯論，其中用到的論據(jù)、推理過(guò)程??都清楚地展示給讀者，任由人們公開(kāi)批評(píng)，不必向權(quán)威低頭?！?

J.Horgen在《科學(xué)的美國(guó)》雜志上發(fā)表一篇題為《證明的死亡》中指出：“用計(jì)算機(jī)作實(shí)驗(yàn)，來(lái)證明建立定理，如四色問(wèn)題，任何人不能執(zhí)行如此長(zhǎng)的計(jì)算，也不能指望用其他辦法驗(yàn)證它。??因此這就突破了傳統(tǒng)證明的觀念，所以，不能再以邏輯推理作為證明數(shù)學(xué)命題的惟一手段?！?

R.Wilder(懷特)說(shuō)：“我們不要忘記，所謂證明不只在不同的文化有不同的含義，就連在不同的時(shí)代也有不同的含義?！薄昂苊黠@，我們不會(huì)擁有而且極可能永遠(yuǎn)不會(huì)有一個(gè)這樣的證明標(biāo)準(zhǔn)獨(dú)立于時(shí)代，獨(dú)立于所要證明的東西，并且獨(dú)立于使用它的個(gè)人或某個(gè)思想學(xué)派?！?/p>

更有甚者，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代(G.H.Hardy)說(shuō)：“嚴(yán)格說(shuō)起來(lái)根本沒(méi)有所謂數(shù)學(xué)證明??，歸根到底我們只是指出一些要點(diǎn)，??李特伍德(是和哈代長(zhǎng)期合作的一位數(shù)學(xué)家?筆者注)和我都把證明稱(chēng)之為廢話，它是為打動(dòng)某些人而編造的一堆華麗辭藻，是講演時(shí)來(lái)演示的圖片，是激發(fā)小學(xué)生想像力的工具。”〔4〕從以上一些數(shù)學(xué)家對(duì)“證明”的看法，我們可以得出這樣的結(jié)論：證明的真正含義并不在于檢驗(yàn)核實(shí)命題，而在于理解命題，啟迪思維，交流思想，導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)。?

很明顯，如果你能給出某一命題的一個(gè)證明，那么你可以說(shuō)你理解了(或說(shuō)你懂了)這個(gè)命題。如果你能用這個(gè)命題的證法去解決另一個(gè)問(wèn)題，例如，學(xué)生用一個(gè)定理的證法去做一道習(xí)題，那么，你在解決這個(gè)問(wèn)題的思維過(guò)程中必然是受到原來(lái)命題證法的啟發(fā)。為了你和其他人交流對(duì)某一命題的理解，最好的辦法就是你們共同商討對(duì)此命題的證明。下面我們?cè)賮?lái)較詳細(xì)地討論一下證明能夠?qū)е掳l(fā)現(xiàn)的功能。?

前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)，意大利數(shù)學(xué)家Saccheri和法國(guó)數(shù)學(xué)家Legendre對(duì)第五公設(shè)的“證明”，顯然他們都沒(méi)能證明歐氏平行公理，但是通過(guò)他們的證明使后來(lái)的數(shù)學(xué)家對(duì)歐氏平行公理有了更為深刻、更為清楚的理解，并最后導(dǎo)致了非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。因此，Saccheri和Legendre等人被公認(rèn)為發(fā)現(xiàn)非歐幾何的先驅(qū)者。事實(shí)上，Saccheri和Legendre等人的思想方法已經(jīng)打開(kāi)了一條通向非歐幾何的大門(mén)。因?yàn)樗麄儚牡谖骞O(shè)不成立這一假定下推出的許多事實(shí)，恰恰就是非歐幾何中的定理。?

計(jì)算機(jī)證明同樣有導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)的功能，其中一個(gè)較為典型的例子是分形幾何的創(chuàng)立。早在20世紀(jì)20年代，法國(guó)數(shù)學(xué)家Julia就開(kāi)始著手研究分形幾何，但是由于這種幾何圖形的驚人復(fù)雜性，Julia的研究沉寂了幾十年。直到60年代以后，美國(guó)數(shù)學(xué)家B.Mandelbrot(曼德勃羅)開(kāi)始用計(jì)算機(jī)來(lái)畫(huà)圖，才使分形幾何得到了真正的發(fā)展。因此人們普遍認(rèn)為分形幾何是由曼德勃羅創(chuàng)始的?！?〕由于計(jì)算機(jī)的介入，新一代的數(shù)學(xué)家已經(jīng)開(kāi)始在計(jì)算機(jī)上實(shí)驗(yàn)自己的各種思想。甚至他們宣布自己是實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)家，著手建立數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，創(chuàng)辦《實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)》雜志。同時(shí)他們對(duì)數(shù)學(xué)提出了一些新的看法：

1.對(duì)數(shù)學(xué)追求的是理解，而不是證明；?

2.重視發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造，數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于思想的充分自由與發(fā)揮人的創(chuàng)造能力；?

3.追求對(duì)解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)精神，利用數(shù)學(xué)更好地解決、處理復(fù)雜的自然現(xiàn)象。?

三、數(shù)學(xué)證明教學(xué)價(jià)值的新理解

如前所述數(shù)學(xué)證明的真諦不在于能證明命題的真假，而在于它能啟發(fā)人們對(duì)命題有更深刻的理解，并能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)，因此這就突破了傳統(tǒng)教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)證明的觀念。特別是由于計(jì)算機(jī)介入了證明之中，用機(jī)器證明產(chǎn)生定理(如四色問(wèn)題等)，所以人們不再以邏輯推理作為證明數(shù)學(xué)命題的惟一手段，于是提出“實(shí)驗(yàn)證明”的想法，即實(shí)驗(yàn)也應(yīng)該成為判斷數(shù)學(xué)命題真假的一種手段。人們不再一味地追求證明所得出的結(jié)論，而在于通過(guò)證明的過(guò)程去追求對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的真正理解。?另外，從認(rèn)知理論的觀點(diǎn)來(lái)看，數(shù)學(xué)知識(shí)不能簡(jiǎn)單地由教師傳遞給學(xué)生，而應(yīng)該通過(guò)學(xué)生自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改變?nèi)ソ?gòu)學(xué)生自己對(duì)數(shù)學(xué)的理解。因此，在數(shù)學(xué)中如果只重視邏輯演繹式的數(shù)學(xué)證明將無(wú)助于學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，無(wú)助于學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。命題教學(xué)的目的不應(yīng)是去核實(shí)命題的正確性，而是要讓學(xué)生通過(guò)證明去理解命題，并能重新構(gòu)建學(xué)生自己的新認(rèn)知結(jié)構(gòu)。?

綜合以上觀點(diǎn)，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)證明的教育價(jià)值在于：?

1.通過(guò)證明的教與學(xué)，使學(xué)生理解相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)；?

2.通過(guò)證明，訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力(包括邏輯的和非邏輯的思維)以及數(shù)學(xué)交流能力；

3.通過(guò)證明，幫助學(xué)生尋找新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生獲得的知識(shí)系統(tǒng)化；?

4.通過(guò)證明，使學(xué)生更牢固地掌握已學(xué)到的知識(shí)，并盡可能讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)新知識(shí)。

根據(jù)以上觀點(diǎn)，我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該重視非邏輯證明的教學(xué)；適當(dāng)降低和減少邏輯演繹在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位與時(shí)間，加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、類(lèi)比、歸納等合情推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位與作用。這里需要注意的是要合理選擇學(xué)生能夠接受的邏輯證明與非邏輯證明的方法，強(qiáng)調(diào)一種、排斥另一種證明方法都會(huì)妨礙學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)與理解。

?注：

〔1〕K.Devlin著、李文林等譯：《數(shù)學(xué)：新的黃金時(shí)代》，上海教育出版社版。?

〔2〕申大維等譯：《數(shù)學(xué)的原理與實(shí)踐》，高等教育出版社1998版。?〔3〕M.阿蒂亞著：《數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性》，江蘇教育出版社版。

〔4〕G.H.哈代著：《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》，江蘇教育出版社版。?〔5〕王健吾著：《數(shù)學(xué)思維方法引論》，安徽教育出版社版。

第二篇：推理與證明——以幾何教學(xué)為例 拓展閱讀6： 鑲 嵌

鑲 嵌（第一課時(shí)）

教材：義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)人教版七年級(jí)（下冊(cè)）第七章第四節(jié)

寧夏吳忠市第一中學(xué) 馬秀麗

一、教學(xué)目標(biāo)

1、在實(shí)驗(yàn)與探究的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，使學(xué)生了解鑲嵌的含義，認(rèn)識(shí)到正三角形、正四邊形和正六邊形可以鑲嵌平面，并能理解其中的道理。

2、通過(guò)探索多邊形覆蓋平面的條件，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，在活動(dòng)中使學(xué)生的觀察、猜想、歸納及動(dòng)手操作的能力得以提升。

3、通過(guò)現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；經(jīng)歷對(duì)平面鑲嵌條件的探索活動(dòng)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，建立良好的自信心。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：鑲嵌的含義及平面鑲嵌條件的探究。教學(xué)難點(diǎn)：探究平面鑲嵌的條件。

三、課前準(zhǔn)備:

1、學(xué)生準(zhǔn)備： ① 每位同學(xué)分別準(zhǔn)備好6-8個(gè)邊長(zhǎng)為5厘米長(zhǎng)的正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形。② 搜集有關(guān)鑲嵌圖片。

2、教師準(zhǔn)備： ① 生活中有關(guān)鑲嵌圖片。② 多媒體課件。

四、教學(xué)過(guò)程： 教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容 學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情境 引出課題大千世界中蘊(yùn)涵著大量的數(shù)學(xué)信息，觀看屏幕上一組生活中的地磚圖片（電腦演示）教師提出問(wèn)題：同學(xué)們仔細(xì)觀察這些圖片中都有那些圖形？這些圖形的共同特點(diǎn)是什么？你知道鋪地磚時(shí)有什么要求？ 教師點(diǎn)評(píng)，明確鑲嵌含義：用地磚鋪地，用瓷磚貼墻，都要求磚與磚嚴(yán)絲合縫，不留空隙，把地面或墻面全部覆蓋。從數(shù)學(xué)角度看，這些工作就是用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類(lèi)問(wèn)題叫做用多邊形覆蓋平面（或平面鑲嵌）的問(wèn)題。引出課題：鑲嵌（第一課時(shí)）學(xué)生欣賞圖片。學(xué)生觀察后，在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，分組交流，然后派代表發(fā)表見(jiàn)解。從普通、熟悉的現(xiàn)象中探求數(shù)學(xué)概念，易使學(xué)生產(chǎn)生親切感，容易較快地進(jìn)入角色。通過(guò)一系列圖片的展示下引出課題，使學(xué)生感受到生活中處處有數(shù)學(xué)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷體會(huì)從具體情景中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而尋求解決問(wèn)題的方法的全過(guò)程。合作交流 探索新知在前面學(xué)生了解了鑲嵌的含義的基礎(chǔ)上依次提出下列問(wèn)題： 問(wèn)題1：請(qǐng)你動(dòng)手拼拼看能否用正三角形鑲嵌成一個(gè)平面圖案？ 學(xué)生四人一組,由組長(zhǎng)負(fù)責(zé)分工，開(kāi)始實(shí)驗(yàn)。學(xué)生以小組合作的形式動(dòng)手拼圖。給學(xué)生充分的時(shí)間在組內(nèi)進(jìn)行交流。交流后展示每組的作品。形成結(jié)論： 正三角形能鑲嵌成一個(gè)平面圖案。正三角形是多邊形中的特殊圖形，因此，從正三角形入手，使學(xué)生會(huì)感到既熟悉，又輕松，為結(jié)論的得出奠定了基礎(chǔ)。教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖合作交流 探索新知問(wèn)題2：動(dòng)手拼拼看，分別用正四邊形和正六邊形能否鑲嵌成一個(gè)平面圖案？ 問(wèn)題3：拼拼看，用正五邊形能否鑲嵌成一個(gè)平面圖案？ 教師將學(xué)生的這四種拼圖過(guò)程利用多媒體演示給學(xué)生。鑲嵌條件的探究： 通過(guò)前面的實(shí)驗(yàn)，學(xué)生會(huì)急于知道：鑲嵌成一個(gè)平面圖案的條件到底是什么？教師順勢(shì)提出問(wèn)題： 為什么正三角形、正四邊形、正六邊形能夠能夠鑲嵌成一個(gè)平面圖案，而正五邊形卻不能？同一種正多邊形能夠鑲嵌成一個(gè)平面圖案的條件是什么？給學(xué)生足夠的時(shí)間，讓他們充分活動(dòng)后，在黑板上展示作品。形成結(jié)論： 正三角形、正四邊形和正六邊形都能鑲嵌成一個(gè)平面圖案，正五邊形不能。學(xué)生觀察教師的動(dòng)態(tài)演示。學(xué)生先獨(dú)立思考2-3分鐘。以組為單位，研究解決問(wèn)題的方法，從已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，試從不同角度尋求解決問(wèn)題的方法。教師深入到各小組，傾聽(tīng)學(xué)生們的討論，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，暢所欲言，對(duì)其中合理的回答給予肯定，對(duì)有困難的組要及時(shí)進(jìn)行指導(dǎo)。學(xué)生親自操作實(shí)驗(yàn)，再次感受鑲嵌的含義，并會(huì)產(chǎn)生探究的欲望，學(xué)生會(huì)思考：為什么正三角形、正四邊形、正六邊形能夠能夠鑲嵌成一個(gè)平面圖案，而正五邊形卻不能？這些內(nèi)容中蘊(yùn)涵什么數(shù)學(xué)規(guī)律？從而引出探究的問(wèn)題。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)將促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)探究、樂(lè)于探究。在前面學(xué)生動(dòng)手做的基礎(chǔ)上，比較幾種圖形的共性，以學(xué)生的眼觀、腦想、口說(shuō)，用比較歸納的方法得出平面鑲嵌的條件,并以正五邊形為反例，強(qiáng)化鑲嵌條件。在合作中學(xué)習(xí)與人交流，集思廣益，通過(guò)交流，讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言清楚地表達(dá)解決問(wèn)題的過(guò)程，提高語(yǔ)言表達(dá)能力。教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容 學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖 合作交流 探索新知教師利用多媒體展示。在全班同學(xué)的互相補(bǔ)充和完善下，教師加以總結(jié)概括，得到： 結(jié)論：多邊形能覆蓋平面需要滿足：拼接在同一個(gè)點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360°。推論：同一種正多邊形能進(jìn)行平面鑲嵌的條件是：這個(gè)正多邊形內(nèi)角度數(shù)能整除360°。學(xué)生觀看教師的動(dòng)態(tài)演示。與教師一起總結(jié)歸納鑲嵌條件。閱讀結(jié)論，加深理解。通過(guò)鑲嵌條件的歸納過(guò)程，使不同層次的學(xué)生在獨(dú)立思考的前提下，在交流與合作過(guò)程中感受新知，建立新的知識(shí)體系，為學(xué)生的進(jìn)一步探索提供可能。應(yīng)用推廣 鞏固提高教師提出問(wèn)題： 你還能找出其它能作鑲嵌的正多邊形嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由。教師進(jìn)行總結(jié)概括： 要使同一種正多邊形能覆蓋平面，必須要求這個(gè)正多邊形內(nèi)角度數(shù)能整除360°。事實(shí)上除了正三角形、正四邊形、正六邊形外，其他正多邊形都不可以鑲嵌，并說(shuō)明這一結(jié)論的證明有待于今后知識(shí)的學(xué)習(xí)來(lái)獲得。學(xué)生通過(guò)計(jì)算正七邊形、正八邊形、正九邊形的內(nèi)角后進(jìn)行歸納，然后小組交流。在不提供其他正多邊形圖片的情景下，讓學(xué)生去思辨得出：不存在其它正多邊形的鑲嵌，旨在培養(yǎng)學(xué)生的抽象推理能力，使學(xué)生由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，從而使所學(xué)知識(shí)得到推廣和應(yīng)用，獲得更具體更堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容 學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖課堂小結(jié) 體驗(yàn)收獲（1）學(xué)生談?wù)勍ㄟ^(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)有什么收獲？還有哪些疑惑？ 教師對(duì)個(gè)別學(xué)生富有個(gè)性的學(xué)習(xí)表現(xiàn)給予肯定和激勵(lì)，使他們感受到成功的喜悅，并對(duì)有疑惑的地方進(jìn)行補(bǔ)答。（2）學(xué)生例舉生活中見(jiàn)過(guò)的鑲嵌實(shí)例。（3）教師展示更多實(shí)例回歸生活。學(xué)生反思解決問(wèn)題的過(guò)程并發(fā)表個(gè)人看法。學(xué)生舉出鑲嵌實(shí)例，并展示課前搜集好的鑲嵌圖片。觀看教師展示的圖片。通過(guò)回顧與反思，使學(xué)生養(yǎng)成反思學(xué)習(xí)過(guò)程的習(xí)慣，初步學(xué)會(huì)自我評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)效果，通過(guò)談收獲，讓學(xué)生看到自己的進(jìn)步，激勵(lì)學(xué)生，促進(jìn)學(xué)生形成良好的心理品質(zhì)，同時(shí)有些學(xué)生可能會(huì)提出心中的疑問(wèn)，通過(guò)學(xué)生相互間解惑，既消除了學(xué)生心中的疑惑，又培養(yǎng)了學(xué)生口頭表達(dá)能力。通過(guò)讓對(duì)學(xué)生舉例，并且觀看教師展示的各種生活圖片，讓學(xué)生再次感受幾何美與生活美，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)作欲望，讓數(shù)學(xué)再次回歸生活。課 后 拓 展

1、分別剪出幾個(gè)形狀、大小相同的任意三角形和任意四邊形，拼拼看能否鑲嵌成平面圖案？

2、試用多種正多邊形組合進(jìn)行鑲嵌設(shè)計(jì)。

3、創(chuàng)造是人生命中的一個(gè)重要使命，充分發(fā)揮你的聰明才智和豐富的想象力，設(shè)計(jì)一個(gè)多姿多彩的地板圖案吧。學(xué)生利用當(dāng)堂所學(xué)知識(shí)，自檢掌握情況。這組課后拓展題的設(shè)計(jì)，是為了更好的促進(jìn)每一位學(xué)生得到不同的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力，同時(shí)促進(jìn)學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)進(jìn)行反思，為后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)起到承上啟下的作用。教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明 《鑲嵌》在教材中是以課題學(xué)習(xí)的形式呈現(xiàn)的，屬于課程改革的新增內(nèi)容。我在設(shè)計(jì)本課時(shí)，力求突出課題學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，以問(wèn)題為主線，以學(xué)生的動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)活動(dòng)為主，設(shè)計(jì)了豐富的拼圖活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)過(guò)自己的操作和思考，體驗(yàn)和感受知識(shí)的形成過(guò)程，既激發(fā)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，又使學(xué)生的觀察、猜想、歸納等動(dòng)手操作能力得到提升。本節(jié)課以“問(wèn)題情境--自主探究--拓展應(yīng)用”的模式展開(kāi)教學(xué)。首先，給學(xué)生展示生活中鋪地磚、墻面設(shè)計(jì)等精美的圖片，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)機(jī);之后，從簡(jiǎn)單的正多邊形(正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形)入手，讓學(xué)生經(jīng)過(guò)充分的拼圖實(shí)驗(yàn)，獲得一些感性認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)認(rèn)真思考、討論交流，上升到理性認(rèn)識(shí)，得到同一種正多邊形鑲嵌平面的條件，并以正五邊形為反例，強(qiáng)化平面鑲嵌的條件；最后，為了讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有更好的應(yīng)用，拓寬思路，初步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力，我設(shè)計(jì)了幾個(gè)課后拓展題結(jié)束本課。這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程體現(xiàn)讓學(xué)生從生活中學(xué)數(shù)學(xué)、讓學(xué)生感受到生活中的數(shù)學(xué)美，引發(fā)和激活學(xué)生的創(chuàng)作欲望，讓數(shù)學(xué)再次回歸生活，使學(xué)生走出課本課堂進(jìn)入生活實(shí)踐，進(jìn)入一個(gè)更加廣闊的思考空間。

第三篇：初中數(shù)學(xué)：幾何推理證明詳解

初中數(shù)學(xué)：幾何推理證明詳解

幾何推理的依據(jù)是定義、公理、定理，做這類(lèi)題，首先就是要掌握基本公式的知識(shí)點(diǎn)，今天瑞德特劉老師就幾何題的解題步驟進(jìn)行詳解。一、三個(gè)關(guān)鍵詞：“條件”，“推出”，“結(jié)論”。

簡(jiǎn)單地講，幾何推理就是由條件推出結(jié)論，這與命題的結(jié)構(gòu)（任何一個(gè)命題都由條件和結(jié)論兩部分組成）是相一致的。推理的依據(jù)是命題，而命題就是在講述什么條件可以推出什么結(jié)論。上個(gè)世紀(jì)的初中以及現(xiàn)在的高中推理不僅可以使用“∵”、“∴”，還可以使用推出符號(hào)“?”。了解推出符號(hào)“?”，可以更好地理解什么是幾何推理。

二、學(xué)習(xí)幾何推理，就從一步推理開(kāi)始。

推理的依據(jù)是定義、公理、定理。那么每學(xué)一個(gè)定義、公理、定理，都要熟練掌握它的推理形式。

第四篇：高考數(shù)學(xué)推理與證明

高考數(shù)學(xué)推理與證明

1．（08江蘇10）將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：35 68 9 10

。。。

按照以上排列的規(guī)律，第n行（n?3）從左向右的第3個(gè)數(shù)為▲.n2?n?6【答案】 2

【解析】本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式．前n－1 行共有正整數(shù)1＋2＋…＋（n

n2?nn2?n－1）個(gè)，即個(gè)，因此第n 行第3 個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第＋3個(gè)，即為22

n2?n?6． 2

2.（09江蘇8）在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類(lèi)似地，在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1：2，則它們的體積比為▲.【解析】 考查類(lèi)比的方法。體積比為1：8

3.（09福建15）五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：

①第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為1，第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和；

②若報(bào)出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍手一次

已知甲同學(xué)第一個(gè)報(bào)數(shù)，當(dāng)五位同學(xué)依序循環(huán)報(bào)到第100個(gè)數(shù)時(shí)，甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為_(kāi)_______.【答案】：5

解析：由題意可設(shè)第n次報(bào)數(shù)，第n?1次報(bào)數(shù)，第n?2次報(bào)數(shù)分別為an，an?1，an?2，所以有an?an?1?an?2，又a1?1,a2?1,由此可得在報(bào)到第100個(gè)數(shù)時(shí)，甲同學(xué)拍手5次。

4.（09上海）8.已知三個(gè)球的半徑R1，R2，R3滿足R1?2R2?3R3，則它們的表面積S1，S2，S3，滿足的等量關(guān)系是___________.?

【解析】S1?4?R1S1?22

S2?2R2S3?2R3，即R1＝R1，S1

2，R2＝S2

2，R3＝S3

2，由R1?

2R2?3R3?

5.（09浙江）15．觀察下列等式：

1C5?C55?23?2，159C9?C9?C9?27?23，15913C13?C13?C13?C13?211?25，1593C1C1?7?C1?7C?171C717?27?125，1

………

由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論：

1594n?1對(duì)于n?N，C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?*

答案：24n?1???1?22n?1?！窘馕觥窟@是一種需類(lèi)比推理方法破解的問(wèn)題，結(jié)論由二項(xiàng)構(gòu)成，n

第二項(xiàng)前有??1?n，二項(xiàng)指數(shù)分別為24n?1,22n?1，因此對(duì)于n?N

n*，1594n?124n?1???1?22n?1 C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?

第五篇：數(shù)學(xué)《推理與證明(文科)

！

文科數(shù)學(xué)《推理與證明》練習(xí)題

2013-5-10

1.歸納推理和類(lèi)比推理的相似之處為（）

A、都是從一般到一般B、都是從一般到特殊C、都是從特殊到特殊D、都不一定正確

2.命題“有些有理數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯(cuò)誤的原因是使用了（）

A．歸納推理B．類(lèi)比推理C． “三段論”，但大前提錯(cuò)誤D．“三段論”，但小前提錯(cuò)誤

3.三角形的面積為S?1?a?b?c??r,a,b,c為三角形的邊長(zhǎng)，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類(lèi)比推理，2可得出四面體的體積為（）

111abcB、V?ShC、V??S1?S2?S3?S4?r（S1,S2,S3,S4分別為四面體的四33

31個(gè)面的面積，r為四面體內(nèi)切球的半徑）D、V?(ab?bc?ac)h,(h為四面體的高)3A、V?

4.當(dāng)n?1，2，3，4，5，6時(shí)，比較2和n的大小并猜想（）

n2n2n2n2A.n?1時(shí)，2?nB.n?3時(shí)，2?nC.n?4時(shí)，2?nD.n?5時(shí)，2?n n

25.已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，且a1?1,Sn?n2an n?N，試歸納猜想出Sn的表達(dá)式為（）*

A、2n2n?12n?12nB、C、D、n?1n?1n?1n?

26.為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文?密文（加密），接受方由密文?明文（解密），已知加密規(guī)則為：明文a,b,c,d對(duì)應(yīng)密文a?2b,2b?c,2c?3d,4d，例如，明文1,2,3,4對(duì)應(yīng)密文5,7,18,16．當(dāng)接受方收到密文14,9,23,28時(shí)，則解密得到的明文為（）．

A． 4，6，1，7B． 7，6，1，4C． 6，4，1，7D． 1，6，4，7

7.有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b??平面?，直線a?平面?，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?

（）

A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤D.非以上錯(cuò)誤

8.下面使用類(lèi)比推理恰當(dāng)?shù)氖?①“若a·3=b·3,則a=b”類(lèi)推出“若a·0=b·0，則a=b”

②“(a+b)c=ac+bc”類(lèi)推出“a?bab=+” ccc

a?bab=+(c≠0)” ccc

nnn③“(a+b）c=ac+bc”類(lèi)推出“nnn④“（ab）=ab”類(lèi)推出“(a+b)=a+b”

9．“?AC,BD是菱形ABCD的對(duì)角線，?AC,BD互相垂直且平分?！毖a(bǔ)充以上推理的大前提是。

10．由①正方形的對(duì)角線相等；②平行四邊形的對(duì)角線相等；③正方形是平行四邊形，根據(jù) “三段論”推理出一個(gè)結(jié)論，則這個(gè)結(jié)論是。

11.補(bǔ)充下列推理的三段論：

（1）因?yàn)榛橄喾磾?shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0，又因?yàn)閍與b互為相反數(shù)且所以b=8.（2）因?yàn)橛忠驗(yàn)閑?2.71828?是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以e是無(wú)理數(shù)．

12.在平面直角坐標(biāo)系中，直線一般方程為Ax?By?C?0，圓心在(x0,y0)的圓的一般方程為(x?x0)2?(y?y0)2?r2；則類(lèi)似的，在空間直角坐標(biāo)系中，平面的一般方程為_(kāi)_______________,球心在(x0,y0,z0)的球的一般方程為_(kāi)______________________.13.在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)?ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB?AC?BC。”拓展到空間，類(lèi)比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面積與底面積間的關(guān)系，可以得妯的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則”.14.從1=1，1?4??(1?2),1?4?9?1?2?3,1?4?9?16??(1?2?3?4)?，概括出第n個(gè)式子為．

15.對(duì)函數(shù)f(n),n?N*，若滿足f(n)??222?n?100??n?3，試由f?10?4,f?10?3和??????ffn?5n?100?

f?99?,f?98?,f?97?和f?96?的值，猜測(cè)f?2??f?31??16.若函數(shù)f(n)?k,其中n?N，k是??3.1415926535......的小數(shù)點(diǎn)后第n位數(shù)字，例

如f(2)?4，則f{f.....f[f(7)]}（共2007個(gè)f）17.設(shè)平面內(nèi)有ｎ條直線(n?3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn)．若用f(n)表示這ｎ條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)=；當(dāng)ｎ＞４時(shí)，f(n)＝（用n表示）.18.蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊

形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數(shù).則

f(4)=_____;f(n)=_____________．

19.在等差數(shù)列?an?中，若a10?0，則有等式a1?a2?????an?a1?a2?????a19?n(n?19,n?N?)成立，類(lèi)比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列?bn?中，若b9?1，則有等式.：

20.某同學(xué)在電腦上打下了一串黑白圓，如圖所示，○○○●●○○○●●○○○?，按這種規(guī)律往下排，那么第36個(gè)圓的顏色應(yīng)是.21.求垂直于直線2x?6y?1?0并且與曲線y?x?3x?5相切的直線方程

32322．已知函數(shù)f(x)?ax?3(a?2)x2?6x?3 2

（1）當(dāng)a?2時(shí)，求函數(shù)f(x)極小值；

（2）試討論曲線y?f(x)與x軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

《2.1合情推理與演繹推理》知識(shí)要點(diǎn)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：推理的概念根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知事實(shí)(或假設(shè))得出一個(gè)判斷，這種思維方式叫做推理．從結(jié)構(gòu)上說(shuō)，推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實(shí)(或假設(shè))叫做前提，一部分是由已知推出的判斷，叫做結(jié)論．

知識(shí)點(diǎn)二：合情推理根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果、個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)等，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想、歸納、類(lèi)比等推測(cè)出某些結(jié)果的推理過(guò)程。其中歸納推理和類(lèi)比推理是最常見(jiàn)的合情推理。

1.歸納推理

（1）定義：由某類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱(chēng)為歸納推理（簡(jiǎn)稱(chēng)歸納）。

（2）一般模式：部分整體，個(gè)體一般

（3）一般步驟：

①通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；

②從已知的相同的性質(zhì)中猜想出一個(gè)明確表述的一般性命題；

③檢驗(yàn)猜想.（4）歸納推理的結(jié)論可真可假

2.類(lèi)比推理

（1）定義：由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理稱(chēng)為類(lèi)比推理（簡(jiǎn)稱(chēng)類(lèi)比）.（2）一般模式：特殊特殊

（3）類(lèi)比的原則：可以從不同的角度選擇類(lèi)比對(duì)象，但類(lèi)比的原則是根據(jù)當(dāng)前問(wèn)題的需要，選擇恰當(dāng)?shù)念?lèi)比對(duì)象.（4）一般步驟：

①找出兩類(lèi)對(duì)象之間的相似性或一致性；

②用一類(lèi)對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類(lèi)對(duì)象的特征，得出一個(gè)明確的命題（猜想）；

③檢驗(yàn)猜想.（5）類(lèi)比推理的結(jié)論可真可假

知識(shí)點(diǎn)三：演繹推理

（1）定義：從一般性的原理出發(fā)，按照嚴(yán)格的邏輯法則，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理，叫做演繹推理.簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．

（2）一般模式：“三段論”是演繹推理的一般模式，常用的一種格式

① 大前提——已知的一般原理；

② 小前提——所研究的特殊情況；

③ 結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的結(jié)論.（3）用集合的觀點(diǎn)理解“三段論”若集合的所有元素都具有性質(zhì)，是的子集，那么中所有元素都具有性質(zhì)

（4）演繹推理的結(jié)論一定正確

演繹推理是一個(gè)必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正確，那么結(jié)論一定是正確的，它是完全可靠的推理。

合情推理與演繹推理（文科）答案

1——7.D C C D A C A8.③

9.菱形對(duì)角線互相垂直且平分。10.②③?①。11.（1）a=-8；（2）無(wú)限不循環(huán)小數(shù)都是無(wú)理數(shù)

12.Ax?By?Cz?D?0；(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?r2；

13.S?BCD?S?ABC?S?ACD?S?ABD；

14.122222?22?32?42???(?1)n?1?n2??(1?2?3???n)；

18．【解題思路】找出f(n)?f(n?1)的關(guān)系式 15.97，98；16.1；17.5； n+1）(n-2)；

[解析]f(1)?1,f(2)?1?6,f(3)?1?6?12,?f(4)?1?6?12?18?37

?f(n)?1?6?12?18???6(n?1)?3n2?3n?1

【名師指引】處理“遞推型”問(wèn)題的方法之一是尋找相鄰兩組數(shù)據(jù)的關(guān)系.19.【解析】：在等差數(shù)列?an?中，由a10?0，得a1?a19?a2?a18???an?a20?n

?an?1?a19?n?2a10?0

所以a1?a2???an???a19?0即a1?a2???an??a19?a18???an?1

又?a1??a19,a2??a18,?a19?n??an?1

?a1?a2???an??a19?a18???an?1?a1?a2???a19?n

若a9?0，同理可得a1?a2??an?a1?a2???a17?n

相應(yīng)地等比數(shù)列?bn?中，則可得：b1b2?bn?b1b2?b17?nn?17,n?N*

【點(diǎn)評(píng)】已知性質(zhì)成立的理由是應(yīng)用了“等距和”性質(zhì)，故類(lèi)比等比數(shù)列中，相應(yīng)的“等距積”性質(zhì)，即可求解。

20.白色

21.解：設(shè)切點(diǎn)為P(a,b)，函數(shù)y?x3?3x2?5的導(dǎo)數(shù)為y'?3x2?6x

切線的斜率k?y'|x?a?3a2?6a??3，得a??1，代入到y(tǒng)?x?3x?5

得b??3，即P(?1,?3)，y?3??3(x?1),3x?y?6?0??32

22．解：（1）a2f'(x)?3ax2?3(a?2)x?6?3a(x?)(x?1),f(x)極小值為f(1)?? 2a

2（2）①若a?0，則f(x)??3(x?1)，?f(x)的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

②若a?0，?f(x)極大值為f(1)??a2?0，?f(x)的極小值為f()?0，2a

?f(x)的圖像與x軸有三個(gè)交點(diǎn)；

③若0?a?2，f(x)的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

'2④若a?2，則f(x)?6(x?1)?0，?f(x)的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

⑤若a?2，由（1）知f(x)的極大值為f()??4（點(diǎn)； 2a1323?)??0，?f(x)的圖像與x軸只有一個(gè)交a44

綜上知，若a?0,f(x)的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；若a?0，f(x)的圖像與x軸有三個(gè)交點(diǎn)。