第一篇：畢業(yè)生乘車區(qū)間證明

證明

為廣西大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院專業(yè) 2013屆畢業(yè)生，學(xué)生證、圖書(shū)證等相關(guān)學(xué)生證件已被學(xué)校回收。該生家庭地址為省（區(qū)）市（縣），乘車區(qū)間為：南寧 站至站。

望憑此證明給予辦理購(gòu)買火車票優(yōu)惠等相關(guān)事宜。

廣西大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院

學(xué)工組：

2013年6月日

第二篇：學(xué)生乘車證明

證明

為我校專業(yè)2013屆畢業(yè)生，身份證號(hào)碼

為，學(xué)生證、圖書(shū)證等相關(guān)學(xué)生證件已被學(xué)?；厥?。

該生家庭地址為?。▍^(qū)）市（縣），乘車區(qū)間站至站。

望憑此證明給予辦理購(gòu)買火車票優(yōu)惠等相關(guān)事宜。

xxxx學(xué)院

2013年6月18日

第三篇：火車乘車證明

證明

我院2009級(jí)高分子材料與工程專業(yè)學(xué)生李濤（學(xué)號(hào)：5701109015），二○○九年九月至二○一三年六月在本校材料科學(xué)與工程學(xué)院學(xué)習(xí)，已修滿學(xué)分，通過(guò)畢業(yè)論文答辯，獲準(zhǔn)畢業(yè)，學(xué)生證等在校證件已上繳學(xué)校，其家庭所在地為陜西西安。

特此證明。

南昌大學(xué)

材料科學(xué)與工程學(xué)院

2013-6-8

第四篇：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)證明

§2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明

教學(xué)目的：掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)證明思路與方法，加深對(duì)實(shí)數(shù)完備性若干定理的理解。重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)與難點(diǎn)為其證明思路與方法。教學(xué)方法：講練結(jié)合。

在本節(jié)中，我們利用實(shí)數(shù)完備性的基本定理，來(lái)證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)．

有界性定理

若函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f在?a,b?上有界．

證

[證法一](應(yīng)用有限覆蓋定理)由連續(xù)函數(shù)的局部有界性(定理4．2)，對(duì)每一點(diǎn)x???a,b?,都存在鄰域U(x?;?x?)及正數(shù)Mx?，使得f(x)?Mx?,x?U(x?;?x?)??a,b?.考慮開(kāi)區(qū)間集

H?U(x?;?x?)x???a,b?, 顯然?是?a,b?的一個(gè)無(wú)限開(kāi)覆蓋．由有限覆蓋定理，存在?的一個(gè)有限子集

???*??U?xi;?i?xi??a,b?,i?1,2,?,k?

覆蓋了?a,b?，且存在正數(shù)M1,M2,?,Mk，使得對(duì)一切x?U?xi;?i???a,b?有f?x??Mi,i?1,2,?,k.令

M?maxMi，1?i?k則對(duì)任何x??a,b?，x必屬于某U?xi;?i??f?x??Mi?M．即證得f在?a,b?上有界．

[證法二](應(yīng)用致密性定理)倘若f在?a,b?上無(wú)上界，則對(duì)任何正整數(shù)n，存在xn??a,b?，使得f?xn??n．依次取n?1,2,?，則得到數(shù)列?xn???a,b?．由致密性定理，它含有收斂子列xnk，記limxnk??。由a?xnk?b及數(shù)列極限的保不等式性，???a,b?．利用f在點(diǎn)?連續(xù)，推得

k????limfxnk?f??????

k????另一方面，由xn的選取方法又有fxnk?nk?k????limfxnk???

k??????與(1)式矛盾．所以f在?a,b?有上界．類似可證f在?a,b?有下界，從而f在?a,b?上有界.最大、最小值定理 若函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f在?a,b?上有最大值與最小值．

證

(應(yīng)用確界原理)已證f在?a,b?上有界，故由確界原理，f的值域f??a,b??有上確界，記為M．以下我們證明：存在???a,b?，使f????M．倘若不然，對(duì)一切x??a,b?都有f?x??M．令

第七章第二節(jié)第1頁(yè)

g?x??1,x?[a,b]

M?f(x)易見(jiàn)g在?a,b?連續(xù),故g在?a,b?有上界.設(shè)G是g的一個(gè)上界,則

0?g?x??1,x?[a,b]

M?f(x)1,x?[a,b] G從而推得f?x??M?但這與M為f??a,b??的上確界矛盾.故必存在???a,b?,使f????M,即f在?a,b?上有最大值,同理可證f在?a,b?上有最小值.介值性定理 設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且f?a??f?b?.若?為介于f?a?與f?b?之間的任何實(shí)數(shù),則存在x0??a,b?，使得f?x0???

證[證法一](應(yīng)用確界原理)不妨設(shè) f?a????f?b?．令 g?x?= f?x???，則g也是 ?a,b?上的連續(xù)函數(shù)，且g?a??0,g?b??0.于是定理的結(jié)論轉(zhuǎn)化為：存在x0??a,b?，使得g?x0??0．這個(gè)簡(jiǎn)化的情形稱為根的存在性定理．

記???g?x??0,x??a,b??．顯然?為非空有界數(shù)集(???a,b?且b??)，故由確界原理，?有下確界，記x0?inf?．因g?a??0,g?b??0，由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性，存在??0，使得在?a,a???內(nèi)g?x??0，在?b??,b?內(nèi)g?x??0，由此易見(jiàn)x0?a,x0?b，即x0??a,b?．

下證g?x0??0．倘若g?x0??0，不妨設(shè)g?x0??0，則又由局部保號(hào)性，存在U?x0;?????a,b??，使在其內(nèi)g?x??0，特別有g(shù)?x0???????0?x0???．但這與x0?inf?正相矛盾，故必有2?2?g?x0??0．

[證法二](應(yīng)用區(qū)間套定理)同上述證法一，我們把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明根的存在性定理，即若函數(shù)g在?a,b?上連續(xù)，g?a??0,g?b??0，則存在x0??a,b?，使得g?x0??0．

將?a,b?等分為兩個(gè)子區(qū)間?a,c?與?b,c?．若g?c??0，則c即為所求；若g?c??0，則當(dāng)g?c??0時(shí)記?a1,b1???a,c?，當(dāng)g?c??0時(shí)記?a1,b1???c,b?。于是有g(shù)?a1??0,g?b1??0，且

第七章第二節(jié)第2頁(yè)

?a1,b1???a,b?,b1?a1?1?b?a?． 2再?gòu)膮^(qū)間?a1,b1?出發(fā)，重復(fù)上述過(guò)程，得到：或者在?a1,b1?的中點(diǎn)c1上有g(shù)?c1??0，或者有閉區(qū)間?a2,b2?，滿足g?a2??0,g?b2??0，且

?a2,b2???a1,b1?,b2?a2?1?b?a? 22

將上述過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，可能出現(xiàn)兩種情形：

(1)在某一區(qū)間的中點(diǎn)ci上有g(shù)?ci??0，則ci即為所求；

(2)在任一區(qū)間的中點(diǎn)ci上均有g(shù)?ci??0，則得到閉區(qū)間列

??an,bn??,滿足g?an??0,g?bn??0，且

?an?1,bn?1???an,bn?,bn?an?1?b?a?,n?1,2,?.n2由區(qū)間套定理，存在點(diǎn)x0??an,bn?,n?1,2,?.下證．g?x0??0，倘若g?x0??0，不妨設(shè)g?x0??0，則由局部保號(hào)性，存在U?x0;??,使在其內(nèi)有g(shù)?x??0．而由定理7.1的推論，當(dāng)n充分大時(shí)有?an,bn??U?x0;??，因而有g(shù)?an??0．但這與?an,bn?選取時(shí)應(yīng)滿足的g?an??0相矛盾，故必有g(shù)?x0??0

一致連續(xù)性定理

若函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f在?a,b?上一致連續(xù)．

證[證法一](應(yīng)用有限覆蓋定理)由f在?a,b?上的連續(xù)性，任給??0，對(duì)每一點(diǎn)x??a,b?，都存在?x?0，使得當(dāng)x??U?x;?x?時(shí)有

f?x???f?x??考慮開(kāi)區(qū)間集合 ???U?x,?2.(2)???x???x??a,b??

??2??顯然H是?a,b?的一個(gè)開(kāi)覆蓋．由有限覆蓋定理，存在H的一個(gè)有限子集

???U?xi,*?????i???i?1,2,?,k? 2??覆蓋了?a,b?．記??min???i???0 1?i?k2??*對(duì)任何x?,x????a,b?,x??x????,x?必屬于?中某開(kāi)區(qū)間,設(shè)x??U?xi;???i???即x??xi?i.22?第七章第二節(jié)第3頁(yè)

此時(shí)有x???xi?x???x??x??xi???故由(2)式同時(shí)有f?x???f?xi???i2??i2??i2??i

?2

和

f?x????f?xi???2

由此得f?x???f?x?????.所以f在?a,b?上一致連續(xù).[證法二](應(yīng)用致密性定理)用反證法.倘若f在?a,b?上不一致連續(xù),則存在某?0?0,對(duì)任何??0,都存在相應(yīng)的兩點(diǎn)x?,x????a,b?,盡管x??x????,但有

f?x???f?x?????0.令??11?,xn????a,b?，盡管x??x???,但有

(n為正整數(shù))，與它相應(yīng)的兩點(diǎn)記為xnnn???f?xn?????0.(3)

f?xn??與?xn?????a,b?．由致密性定理，存在?xn??的收斂子列xn?k，當(dāng)n取遍所有正整數(shù)時(shí)，得數(shù)列?xn???k?x0??a,b??k???．同時(shí)由 設(shè)xn?k?xn??k?xn1??k?x0?xn??k?xn?k?xn?k?x0?0?xnnk?k???

??k?x0?k???。又得xn?k?fxn??k??0，最后，由(3)式有

fxn在上式中令 k???，由 f的連續(xù)性及數(shù)列極限的保不等式性，得到

?????k?fxn??k??0，0?f?x0??f?x0??limfxnk??????這與?0?0相矛盾．所以f在?a,b?上一致連續(xù)．

第七章第二節(jié)第4頁(yè)

第五篇：畢業(yè)生證明

證明

姓名： xx，性別：xx，學(xué)號(hào)：身份證號(hào)：xxxxxxxxxxxxxxxxxx，系我校 xx 系xx級(jí)/專）科學(xué)生，該生于xxx年xx月畢業(yè)，符合各項(xiàng)條件將按時(shí)頒發(fā)相應(yīng)畢業(yè)證、學(xué)位證。

特此證明！

xx學(xué)院xx系

xx年x月x日

xx學(xué)院教務(wù)處

xx年x月x日