第一篇：中國足療發(fā)展簡史

足療發(fā)展簡史

我國是足部療法起源最早的國家。幾千年前的中國就有關于足部按摩的記載。古代黃帝內(nèi)經(jīng) “ 足心篇 ” 之 “ 觀趾法 ”(一種診療方法)；隋朝高僧所撰《摩河止觀》之 “ 意守足 ”(常擦足心，能治多種疾病)；漢代神醫(yī)華佗著于《華佗秘笈》之 “ 足心道 ”(意即足底的學問)，司馬遷《史記》之 “ 俞跗用足治病 ”(“ 俞 ” 通 “ 愈 ”，跗指足背)；其中包括許多在腳上的穴位。如肝經(jīng)的大敦、行間、太沖、內(nèi)庭、陷谷、沖陽、解溪等等。這說明我們的祖先早已認識到腳部的許多敏感反映點（胸穴）與人體內(nèi)臟器官的關系。指出刺激這些反映點可起治病的作用。

根據(jù)有關史料，我國長沙馬王推出的醫(yī)學文獻《五十二病方》中就有“溫燙”、“藥摩”、“外洗”等內(nèi)病外治的記載。公元前三世紀，東漢醫(yī)學家張仲景《傷寒論》等書及漢代司馬遷所著《史記》、《素問●舉痛篇》均對足浴對人體的好處作了詳細介紹，宋代文豪蘇東坡先生對養(yǎng)生頗有研究，對堅持摩擦足底涌泉穴對身體的益處就大加贊賞，稱 “ 其效不甚覺，但積累至百余日，功用不可量 ??若信而行之，必有大益?！?說明中國人很早就對足部按摩有益于健康有很深的了解。明朝時期，足部按摩得到進一步發(fā)展。后因封建禮教、女子裹腳等輕視足部健康的 “ 政策 ”、民風，大大影響了該療法的健康發(fā)展。特別是到了清末年間，這一中國歷史文化遺產(chǎn)更是遭到了外國列強的殘酷掠奪，一度在國內(nèi) “ 銷聲匿跡 ”，幾乎失傳。

1、中國式足部按摩在唐代傳入日本、朝鮮.元朝以后又傳入歐洲;2、20世紀初,美國醫(yī)生威廉·菲茨杰拉德以現(xiàn)代醫(yī)學方法研究整理足部反射療法的成果,于1917年發(fā)表了《區(qū)域療法》(Zone Therapy)一書.3、十九世紀三十年代，美國印古哈姆《足的故事》專門介紹了 “ 足部按摩療法 ”。

4、一九七五年，瑞士瑪魯卡多《足反射療法》，從學術上總結了人類關于足部反射區(qū)的自然療法。5、20世紀80年代在臺灣傳教的瑞士神父吳若石先生用“中國古代的足部按摩術”治好了他多年的風濕關節(jié)炎,并發(fā)表了《若石健康法——足部反射自學手冊》一書.1982年臺灣成立了“國際若石健康研究會”;6、1985年英國現(xiàn)代醫(yī)學協(xié)會將足部推拿法定為現(xiàn)代醫(yī)學“足部反射區(qū)療法”;7、1988年，中國足療之父揚茗茗老師在北京創(chuàng)建若石保健咨詢服務中心，同年組建中國若石健康法專業(yè)委員會。8、1989年在美國加州召開了足反射療法會議.9、1990年在日東京舉行了國際若石健康法學術研討會,使足部健康反射療法在國際上嶄露頭角.10、1991年，“中國足部反射區(qū)健康法研究會” 于北京正式掛牌成立，足部按摩健康法在國內(nèi)亦得到了重視。11、1994年，中國足療之父揚茗茗老師出版發(fā)行了《若石健康法——足部保健按摩實用手冊》三種版本和教學錄像帶。12、1997年，揚茗茗老師組織起草了《足部按摩師國家標準》《國家職業(yè)資格培訓鑒定教材》以及試題和考核辦法。13、1997年6月18日，在泉城濟南解放橋誕生了第一家專業(yè)足體保健店——良子足療，1998年7月，富僑足療保健在重慶九龍坡毛線溝創(chuàng)立；從此足療保健行業(yè)的兩大連鎖品牌，綻放神州大地。14、1999年1月，“足部按摩師國家職業(yè)標準”通過了國家鑒定，經(jīng)國務院批準國家勞動和社會保障部將足部按摩師國家職業(yè)標準納入《中華人民共和國職業(yè)分類大典》。足部按摩師正式成為中國政府承認的一個工種而服務于社會，填補了中國職業(yè)分類的空白。15、1999 年國家職業(yè)資格工作委員會足部按摩專業(yè)委員會正式成立，勞動部任命楊茗茗先生為國家職業(yè)資格工作委員會足部按摩專業(yè)委員會主任，負責組織足部按摩師職業(yè)教材編寫、職業(yè)標準制定和題庫的開發(fā)。16、1999年11月為了統(tǒng)一規(guī)范足部按摩師國家職業(yè)標準，勞動和社會保障部在黃山培訓部舉辦了全國首屆高級足部按摩師和足部按摩師考評員培訓班，當時有34名同志考取了國家高級足部按摩師和足部按摩師考評員資格。至此，足部保健行業(yè)逐步走向職業(yè)化、標準化的發(fā)展軌道。這不僅充分體現(xiàn)出國家對這一職業(yè)的重視程度，更為足部保健行業(yè)的規(guī)范發(fā)展奠定了技術理論基礎。17、2000年楊茗茗老師創(chuàng)建了北京若石保健按摩職業(yè)技能培訓學校并任校長，成為全國品牌最大的專業(yè)足部按摩學校，并為我國的足部保健行業(yè)培養(yǎng)了大批專業(yè)人才。18、2004年為培養(yǎng)高技能人才，我國修訂了《足部按摩師國家職業(yè)標準》和《教程》，增加了足部按摩師技師級別，使足部按摩行業(yè)的技術水平提升到一個新的專業(yè)高度。19、2007年，6月22日華夏良子德國巴特基辛根店正式開業(yè)，它的成功建立標志著中國足療走向世界。20、2007年8月，《足浴保健經(jīng)營技術規(guī)范》行業(yè)標準，編號為:SB/T10441-2007，商務部批準已于2008年5月1日起實施；

21、重慶港天養(yǎng)生全國率先開展---病歷式調理足療，把我國足浴發(fā)展引領到新的高度，同年研發(fā)---24節(jié)氣足療系統(tǒng)手法，成為保護性調理項目。22、2008年3月5日在全國召開的“兩會”開幕式上，人民政協(xié)報四版特刊形式全面報導足療行業(yè)發(fā)展。23、2008年5月，修訂了《足浴保健企業(yè)等級劃分技術要求》行業(yè)標準，編號為:SB/T10540-2009，于2010年7月1日起實施。

第二篇：中國足療發(fā)展簡史（模版）

中國足療發(fā)展簡史

我國是足部療法起源最早的國家，幾千年前的中國就有關于足部按摩的記載。據(jù)今兩千多年前的經(jīng)典醫(yī)著《黃帝內(nèi)經(jīng)》中 “ 足心篇 ” 之 “ 觀趾法 ”(一種診療方法)；隋朝高僧所撰《摩河止觀》之 “ 意守足 ”(常擦足心，能治多種疾病)；漢代神醫(yī)華佗著于《華佗秘笈》之 “ 足心道 ”(意即足底的學問)；司馬遷《史記》之 “ 俞跗用足病 ”(“ 俞 ” 通 “ 愈 ”，跗指足背)；就詳細介紹了全身的經(jīng)絡和腧穴，其中有許多是足部的穴位，如肝經(jīng)的大敦、行間、太沖、內(nèi)庭、陷谷、沖陽、解溪等等。《素頭號.舉痛論》明確地指出：“按之則氣血散，故按之痛?！薄端貑?厥論》說：“ 陽氣起于足五趾之表，陰氣起于足五趾之里?！闭J為足三陰經(jīng)起于足，足三陽經(jīng)止于足，足三陰經(jīng)和足三陽經(jīng)又與手三陰、手三陽經(jīng)相互關聯(lián)，奇經(jīng)八脈中陰、陽維脈，陰、陽蹺脈起于足部，這樣足部就與全身臟腑器官通過經(jīng)脈聯(lián)系起來，這說明我們的祖先早已認識到腳部的許多敏感反映點（胸穴）與人體內(nèi)臟器官的關系，指出：臟腑有病可以通過經(jīng)絡反映到體表穴位，根據(jù)不同穴位的癥狀可以推斷相關的臟腑功能出現(xiàn)了問題。為足部治療提供了理論依據(jù)，并發(fā)現(xiàn)了足部的許多腧穴和足部跗陽脈診病法，足部穴位可反映及治療全身多種疾病，通過對足部進行按摩、針灸等治療，相應的內(nèi)臟功能紊亂可以得到糾正，使人體恢復健康，減少疾病發(fā)生，起到保健延年的作用。從醫(yī)學發(fā)展史來看，足療的起源遠遠早于其他療法。在古代，由于自然界的意外襲擊或某些原因造成身體的損傷，使身體產(chǎn)生疼痛不適等癥狀，人們有意或無意中用手或其他器具觸及足部某些部位，發(fā)現(xiàn)疼痛緩解，癥狀減輕，發(fā)現(xiàn)勞累后用熱水洗腳后可解除疲勞等，人們逐漸認識到通過對足部的刺激可治療疾病。經(jīng)過長期的探索和總結，漸漸地演化為現(xiàn)在的足部按摩法、足穴針灸法、足部敷貼法、足部熏浴法、足部功法等足療法。根據(jù)有關史料，我國長沙馬王推出的醫(yī)學文獻《五十二病方》中就有“溫燙”、“藥摩”、“外洗”等內(nèi)病外治的記載。公元前三世紀，東漢醫(yī)學家張仲景《傷寒論》等書及漢代司馬遷所著《史記》、《素問●舉痛篇》均對足浴對人體的好處作了詳細介紹，說明中國人很早就對足部按摩有益于健康有很深的了解。足針治療疾病，足療中國早在《靈樞.根結》中即有刺竅陰、至陽、歷兌、沖陽等穴以瀉充盛之氣的記載。晉代皇甫謐的《針灸甲乙經(jīng)》中也有所述，且內(nèi)容較前更為豐富。足部貼敷法治病，在原始社會，原始人就曾用泥土、草葉敷裹傷口?！秲?nèi)經(jīng)》中記載用白酒摻和桂粉涂敷中風的血脈，是外敷法較早的文字記載。宋代文豪蘇東坡先生對養(yǎng)生頗有研究，對堅持摩擦足底涌泉穴對身體的益處就大加贊賞，稱 “ 其效不甚覺，但積累至百余日，功用不可量 ……若信而行之，必有大益?！泵鞔镀諠健穬?nèi)記述用生附子研末，和蔥涎為泥，敷涌泉穴，來治療鼻淵。足部熏浴法治病，在清代吳尚先的《理瀹駢文》中就有二十余首熏蒸方藥。足部功法歷史悠久，在古代醫(yī)書中就有許多足功法的記載。在清代潘霨 所著《內(nèi)功圖說》中，就有心功、身功、首功、面功、手功、足功、背功、腰功、腎功等治療疾病的論述。明朝時期，足部按摩得到進一步發(fā)展。但是，由于中國兩千多年封建社會的封建意識和習俗使人的腳藏而不露，赤踝裸足為大不雅，后因封建禮教、女子裹腳等輕視足部健康的 “ 政策 ”、民風嚴重阻礙了足療的學術發(fā)展，大大影響了該療法的健康發(fā)展。特別是到了清末年間，這一中國歷史文化遺產(chǎn)更是遭到了外國列強的殘酷掠奪，一度在國內(nèi) “ 銷聲匿跡 ”，使得這一古老醫(yī)術瀕臨失傳。

1、中國式足部按摩在唐代傳入日本、朝鮮.元朝以后又傳入歐洲，被稱為“足心道”療法。

2、20世紀初,美國醫(yī)生威廉?菲茨杰拉德以現(xiàn)代醫(yī)學方法研究整理足部反射療法的成果,于1917年發(fā)表了《區(qū)域療法》(Zone Therapy)一書.3、十九世紀三十年代，美國印古哈姆《足的故事》專門介紹了 “ 足部按摩療法 ”。

4、一九七五年，瑞士瑪魯卡多《足反射療法》，從學術上總結了人類關于足部反射區(qū)的自然療法。5、20世紀80年代在臺灣傳教的瑞士神父吳若石先生用“中國古代的足部按摩術”治好了他多年的風濕關節(jié)炎,并發(fā)表了《若石健康法——足部反射自學手冊》一書.1982年臺灣成立了“國際若石健康研究會”;6、1985年英國現(xiàn)代醫(yī)學協(xié)會將足部推拿法定為現(xiàn)代醫(yī)學“足部反射區(qū)療法”;7、1988年，中國足療之父揚茗茗老師在北京創(chuàng)建若石保健咨詢服務中心，同年組建中國若石健康法專業(yè)委員會。8、1989年在美國加州召開了足反射療法會議.9、1990年在日東京舉行了國際若石健康法學術研討會,使足部健康反射療法在國際上嶄露頭角.10、1991年，“中國足部反射區(qū)健康法研究會” 于北京正式掛牌成立，足部按摩健康法在國內(nèi)亦得到了重視。11、1994年，中國足療之父揚茗茗老師出版發(fā)行了《若石健康法——足部保健按摩實用手冊》三種版本和教學錄像帶。12、1997年，揚茗茗老師組織起草了《足部按摩師國家標準》《國家職業(yè)資格培訓鑒定教材》以及試題和考核辦法。13、1997年6月18日，在泉城濟南解放橋誕生了第一家專業(yè)足體保健店——良子足療，1998年7月，富僑足療保健在重慶九龍坡毛線溝創(chuàng)立；從此足療保健行業(yè)的兩大連鎖品牌，綻放神州大地。14、1999年1月，“足部按摩師國家職業(yè)標準”通過了國家鑒定，經(jīng)國務院批準國家勞動和社會保障部將足部按摩師國家職業(yè)標準納入《中華人民共和國職業(yè)分類大典》。足部按摩師正式成為中國政府承認的一個工種而服務于社會，填補了中國職業(yè)分類的空白。15、1999 年國家職業(yè)資格工作委員會足部按摩專業(yè)委員會正式成立，勞動部任命楊茗茗先生為國家職業(yè)資格工作委員會足部按摩專業(yè)委員會主任，負責組織足部按摩師職業(yè)教材編寫、職業(yè)標準制定和題庫的開發(fā)。16、1999年11月為了統(tǒng)一規(guī)范足部按摩師國家職業(yè)標準，勞動和社會保障部在黃山培訓部舉辦了全國首屆高級足部按摩師和足部按摩師考評員培訓班，當時有34名同志考取了國家高級足部按摩師和足部按摩師考評員資格。至此，足部保健行業(yè)逐步走向職業(yè)化、標準化的發(fā)展軌道。這不僅充分體現(xiàn)出國家對這一職業(yè)的重視程度，更為足部保健行業(yè)的規(guī)范發(fā)展奠定了技術理論基礎。17、2000年楊茗茗老師創(chuàng)建了北京若石保健按摩職業(yè)技能培訓學校并任校長，成為全國品牌最大的專業(yè)足部按摩學校，并為我國的足部保健行業(yè)培養(yǎng)了大批專業(yè)人才。18、2004年為培養(yǎng)高技能人才，我國修訂了《足部按摩師國家職業(yè)標準》和《教程》，增加了足部按摩師技師級別，使足部按摩行業(yè)的技術水平提升到一個新的專業(yè)高度。19、2007年，6月22日華夏良子德國巴特基辛根店正式開業(yè)，它的成功建立標志著中國足療走向世界。20、2007年8月，《足浴保健經(jīng)營技術規(guī)范》行業(yè)標準，編號為:SB/T10441-2007，商務部批準已于2008年5月1日起實施；

21、重慶港天養(yǎng)生全國率先開展---病歷式調理足療，把我國足浴發(fā)展引領到新的高度，同年研發(fā)---24節(jié)氣足療系統(tǒng)手法，成為保護性調理項目。22、2008年3月5日在全國召開的“兩會”開幕式上，人民政協(xié)報四版特刊形式全面報導足療行業(yè)發(fā)展。23、2008年5月，修訂了《足浴保健企業(yè)等級劃分技術要求》行業(yè)標準，編號為:SB/T10540-2009，于2010年7月1日起實施。

第三篇：淺談中國足

淺談中國足球

周一第六節(jié)

國人說到中國足球，大抵上下都是一個態(tài)度——弱。甚至前些年春節(jié)晚會上黃宏也毫不掩飾的拿中國足球來當做笑料，作為球迷，當然不愿意看到這些，但是卻又不得不面對，既然大家拿他做笑料，那么就必定有這樣做的道理，我們預期憤憤不平，倒不如坐下來冷靜理智的思考一下，是什么造就了現(xiàn)在的國足，是什么讓現(xiàn)在的國足成了上到黃發(fā)下到垂髫都當作笑談的。

其實，如果關注國足歷史的話，我們可以發(fā)下70年代最強，那會橫掃亞洲，80年代還可以，到了90年代中國不算很強，但4~5名還是名符其實的，但是反觀現(xiàn)在，中國足球的排名不斷下滑，由歷史最好成績世界排名第56位，在短短幾年間就花落到了97位，竟然下降了四是一名之多，為什么中國經(jīng)濟騰飛了，GDP實現(xiàn)一個有一個突破了，可是國足卻一直在走下坡路呢？

2002年韓日世界杯，中國足球終于迎來了自己光輝燦爛的時刻，或者說是向世人很好證明自己的機會，我們終于可以進入世界杯，終于可以和世界頂級國家隊在世界頂級賽場上一比高下。當然，理智一點的球迷應該不會抱著得到大力神杯的幻想，但是，即便如此也不會想到最終一球沒進暗淡出局。我雖然那時候年齡尚小，不動太多，但是整天電視上米盧教練和足球的的廣告充斥所以頻道所有時間段的事情還是忘不掉的，甚至可以這么說，除了北京奧運會，我?guī)缀跽也坏接心囊患w育事件引起這么高的關注。于是大家期望越高失望越大，最終的結果讓我們又回到現(xiàn)實，是的，現(xiàn)實就是這樣。那年是韓日世界杯，韓國和日本兩個國家直接入選不用預選賽，于是亞洲這塊地方直接少了兩個最有力的競爭對手，雖然我不愿這么說，但事實就是這樣，中國隊比以往和今后有著更好的機會進入世界杯，這個進入的機會倒是把握住了，只是后來結果實在不能讓人哪怕是一點點滿意。那么，為什么呢？

關注體育的人可以發(fā)現(xiàn)，最近幾次奧運會中國的金牌數(shù)一直名列前茅，似乎國民體質正在一路飆升，體育事業(yè)也正欣欣向榮。但是仔細看，那些得金牌的項目除了乒乓球羽毛球跳水之外和一些平時大家根本接觸不到的項目之外，沒有一個大項目，比如籃球足球排球，（中國女排女籃還是非常優(yōu)秀的，男排就不敢恭維了）。很多人甚至憤憤地說，中國那么多人，就找不出幾個踢球好的人？？ 這個問題，誰能解答呢？

中國足球的百度貼吧里充斥著各種關于制度等等的各種說法，而我也偶爾從新聞上看到各種幕后黑哨假球之類的不光彩的事情，我想說，如果沒有一個強大的聯(lián)盟做后盾，沒有自由的市場做動力，也許就算中國人口再多，也難以出現(xiàn)強大的中國足球了。

第四篇：物理學發(fā)展簡史

物理學發(fā)展簡史

摘要：物理學的發(fā)展大致經(jīng)歷了三個時期：古代物理學時期、近代物理學時期（又稱經(jīng)典物理學時期）和現(xiàn)代物理學時期。物理學實質性的大發(fā)展，絕大部分是在歐洲完成，因此物理學的發(fā)展史，也可以看作是歐洲物理學的發(fā)展史。

關鍵詞：物理學；發(fā)展簡史；經(jīng)典力學；電磁學；相對論；量子力學；人類未來發(fā)展 0 引言

物理學的發(fā)展經(jīng)歷了漫長的歷史時期，本文將其劃分為三個階段：古代、近代和現(xiàn)代，并逐一進行簡要介紹其主要成就及特點，使物理學的發(fā)展歷程顯得清晰而明了。古代物理學時期

古代物理學時期大約是從公元前8世紀至公元15世紀，是物理學的萌芽時期。

物理學的發(fā)展是人類發(fā)展的必然結果，也是任何文明從低級走向高級的必經(jīng)之路。人類自從具有意識與思維以來，便從未停止過對于外部世界的思考，即這個世界為什么這樣存在，它的本質是什么，這大概是古代物理學啟蒙的根本原因。因此，最初的物理學是融合在哲學之中的，人們所思考的，更多的是關于哲學方面的問題，而并非具體物質的定量研究。這一時期的物理學有如下特征：在研究方法上主要是表面的觀察、直覺的猜測和形式邏輯的演繹；在知識水平上基本上是現(xiàn)象的描述、經(jīng)驗的膚淺的總結和思辨性的猜測；在內(nèi)容上主要有物質本原的探索、天體的運動、靜力學和光學等有關知識，其中靜力學發(fā)展較為完善；在發(fā)展速度上比較緩慢。在長達近八個世紀的時間里，物理學沒有什么大的進展。

古代物理學發(fā)展緩慢的另一個原因，是歐洲黑暗的教皇統(tǒng)治，教會控制著人們的行為，禁錮人們的思想，不允許極端思想的出現(xiàn)，從而威脅其統(tǒng)治權。因此，在歐洲最黑暗的教皇統(tǒng)治時期，物理學幾乎處于停滯不前的狀態(tài)。

直到文藝復興時期，這種狀態(tài)才得以改變。文藝復興時期人文主義思想廣泛傳播，與當時的科學革命一起沖破了經(jīng)院哲學的束縛。使唯物主義和辯證法思想重新活躍起來?？茖W復興導致科學逐漸從哲學中分裂出來，這一時期，力學、數(shù)學、天文學、化學得到了迅速發(fā)展。2近代物理學時期

近代物理學時期又稱經(jīng)典物理學時期，這一時期是從16世紀至19世紀，是經(jīng)典物理學的誕生、發(fā)展和完善時期。

近代物理學是從天文學的突破開始的。早在公元前4世紀，古希臘哲學家亞里士多德就已提出了“地心說”，即認為地球位于宇宙的中心。公元140年，古希臘天文學家托勒密發(fā)表了他的13卷巨著《天文學大成》，在總結前人工作的基礎上系統(tǒng)地確立了地心說。根據(jù)這一學說，地為球形，且居于宇宙中心，靜止不動，其他天體都繞著地球轉動。這一學說從表觀上解釋了日月星辰每天東升西落、周而復始的現(xiàn)象，又符合上帝創(chuàng)造人類、地球必然在宇宙中居有至高無上地位的宗教教義，因而流傳時間長達1300余年。公元15世紀，哥白尼經(jīng)過多年關于天文學的研究，創(chuàng)立了科學的日心說，寫出“自然科學的獨立宣言”——《天體運行論》，對地心說發(fā)出了強有力的挑戰(zhàn)。16世紀初，開普勒通過從第谷處獲得的大量精確的天文學數(shù)據(jù)進行分析，先后提出了行星運動三定律。開普勒的理論為牛頓經(jīng)典力學的建立提供了重要基礎。從開普勒起，天文學真正成為一門精確科學，成為近代科學的開路先鋒。

近代物理學之父伽利略，用自制的望遠鏡觀測天文現(xiàn)象，使日心說的觀念深入人心。他提出落體定律和慣性運動概念，并用理想實驗和斜面實驗駁斥了亞里士多德的“重物下落快”的錯誤觀點，發(fā)現(xiàn)自由落體定律。他提出慣性原理，駁斥了亞里士多德外力是維持物體運動的說法，為慣性定律的建立奠定了基礎。伽利略的發(fā)現(xiàn)以及他所用的科學推理方法是人類思想史上最偉大的成就之一，而且標志著物理學真正的開端。

16世紀，牛頓總結前人的研究成果，系統(tǒng)的提出了力學三大運動定律，完成了經(jīng)典力學的大一統(tǒng)。16世紀后期創(chuàng)立萬有引力定律，樹立起了物理學發(fā)展史上一座偉大的里程碑。之后兩個世紀，是電學的大發(fā)展時期，法拉第用實驗的方法，完成了電與磁的相互轉化，并創(chuàng)造性地提出了場的概念。19世紀，麥克斯韋在法拉第研究的基礎上，憑借其高超的數(shù)學功底，創(chuàng)立了了電磁場方程組，在數(shù)學形式上完成了電與磁的完美統(tǒng)一，完成了電磁學的大一統(tǒng)。與此同時，熱力學與光學也得到迅速發(fā)展，經(jīng)典物理學逐漸趨于完善。3 現(xiàn)代物理學時期

現(xiàn)代物理學時期，即從19世紀末至今，是現(xiàn)代物理學的誕生和取得革命性發(fā)展時期。

19世紀末，當力學、熱力學、統(tǒng)計物理學和電動力學等取得一系列成就后，許多物理學家都認為物理學的大廈已經(jīng)建成，后輩們只要做一些零碎的修補工作就行了。然而，兩朵烏云的出現(xiàn)，打破了物理學平靜而晴朗的天空。第一朵烏云是邁克爾孫-莫雷實驗：在實驗中沒測到預期的“以太風”，即不存在一個絕對參考系，也就是說光速與光源運動無關，光速各向同性。第二朵烏云是黑體輻射實驗：用經(jīng)典理論無法解釋實驗結果。這兩朵在平靜天空出現(xiàn)的烏云最終導致了物理學的天翻地覆的變革。

20世紀初，愛因斯坦大膽地拋棄了傳統(tǒng)觀念，創(chuàng)造性地提出了狹義相對論，永久性地解決了光速不變的難題。狹義相對論將物質、時間和空間緊密的聯(lián)系在一起，揭示了三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，提出了運動物質長度收縮，時間膨脹的觀點，徹底顛覆了牛頓的絕對時空觀，完成了人類歷史上一次偉大的時空革命。十年之后，愛因斯坦提出等效原理和廣義協(xié)變原理的假設，并在此基礎上創(chuàng)立了廣義相對論，揭示了萬有引力的本質，即物質的存在導致時空彎曲。相對論的創(chuàng)立，為現(xiàn)代宇宙學的研究提供了強有力的武器。

物理學的第二朵烏云——黑體輻射難題，則是在普朗克，愛因斯坦，玻爾等一大批物理學家的努力下，最終導致了量子力學的產(chǎn)生與興起。普朗克引入了“能量子”的假設，標志著量子物理學的誕生，具有劃時代的意義。愛因斯坦，對于新生“量子嬰兒”，表現(xiàn)出熱情支持的態(tài)度。并于1905年提出了“光量子”假設，把量子看成是輻射粒子，賦予量子的實在性，并成功地解釋了光電效應實驗，捍衛(wèi)和發(fā)展了量子論。隨后玻爾在普朗克和愛因斯坦 “量子化”概念和盧瑟福了“原子核核式結構”模型的影響下提出了氫原子的玻爾模型。德布羅意把光的“波粒二象性”推廣到了所有物質粒子，從而朝創(chuàng)造描寫微觀粒子運動的新的力學——量子力學邁進了革命性的一步。他認為輻射與粒子應是對稱的、平等的，輻射有波粒二象性，粒子同樣應有波粒二象性，即對微粒也賦予它們波動性。薛定諤則用波動方程完美解釋了物質與波的內(nèi)在聯(lián)系，量子力學逐漸趨于完善。

量子力學與相對論力學的產(chǎn)生成為現(xiàn)代物理學發(fā)展的主要標志，其研究對象由低速到高速，由宏觀到微觀，深入到廣垠的宇宙深處和物質結構的內(nèi)部，對宏觀世界的結構、運動規(guī)律和微觀物質的運動規(guī)律的認識，產(chǎn)生了重大的變革。其發(fā)展導致了整個物理學的巨大變革，奠定了現(xiàn)代物理學的基礎。隨后的幾十年即從1927年至今，是現(xiàn)代物理學的飛速發(fā)展階段，這一期間產(chǎn)生了量子場論、原子核物理學、粒子物理學、半導體物理學、現(xiàn)代宇宙學、現(xiàn)代物理技術等分支學科，物理學日漸趨于成熟。4 結論

物理學的發(fā)展史，也是人類從愚昧走向成熟，從低級走向高級的歷史。物理學的每一次大發(fā)展，都使人類的思想境界上升到了一個新的高度。相對于整個宇宙范圍來說，當今人類的文明尚處于一個較低的層次，并處于正在向第一文明等級發(fā)展的歷程中。在這個發(fā)展的歷程中，科學無疑是第一推動力，而在科學的眾多分支中，物理學無疑是這一推動力的最先進的代表。

第五篇：《數(shù)學發(fā)展簡史》

《數(shù)學發(fā)展簡史》

導言：為什么學習數(shù)學史 第一講： 早期文明中的數(shù)學1．古埃及的數(shù)學 2．巴比倫的數(shù)學 3．中國早期的數(shù)學

主講教師：王幼軍

目 錄

第二講：古希臘的數(shù)學

1．希臘數(shù)學——從愛奧尼亞到亞歷山大 2．亞歷山大時期 第三講：中國古代的數(shù)學 1．漢以前的中國數(shù)學

2．從魏晉到隋唐時期的中國數(shù)學 3．

十二、三世紀的宋元數(shù)學 第四講：印度與阿拉伯的數(shù)學 1．印度的數(shù)學 2．阿拉伯數(shù)學 第五章：數(shù)學的復興 1．中世紀的歐洲數(shù)學

2．經(jīng)驗主義數(shù)學觀的形成及其對于近代數(shù)學實踐的影響 3．三次、四次方程的求根公式的解決 4．三角學的歷史 第六講：近代數(shù)學的興起 1．對數(shù)

2．解析幾何的誕生 3．微積分的產(chǎn)生與發(fā)展 4．概率論的產(chǎn)生 第七講：近代數(shù)學的發(fā)展 1．幾何學的發(fā)展 2．代數(shù)學的發(fā)展 3．分析學的發(fā)展 4．公理化運動 第八講：現(xiàn)代數(shù)學概觀

1．集合論悖論與數(shù)學基礎的研究 2．純數(shù)學的發(fā)展 3．應用數(shù)學的發(fā)展 4．六十年代以后的數(shù)學

導言：為什么學習數(shù)學史

1．為了更全面、更深刻地了解數(shù)學

每一門學科都有它的歷史，文學有文學史，哲學有哲學史，天文學有天文學史等等。數(shù)學有它自己的發(fā)展過程，有它的歷史。它是活生生的、有血有肉的。無論是概念還是體系，無論是內(nèi)容還是方法，都只有在與其發(fā)展過程相聯(lián)系時，才容易被理解?？梢哉f，不懂得數(shù)學史，就不能真心地理解數(shù)學。數(shù)學課本上的數(shù)學，經(jīng)過多次加工，已經(jīng)不是原來的面貌；刀斧的痕跡，清晰可見。數(shù)學教師要把課本上的內(nèi)容放到歷史的背景上考察，才能求得自己的理解；然后，才有可能幫助學生理解。

2．為了總結經(jīng)驗教訓，探索發(fā)展規(guī)律

我國自古以來就非常重視歷史、“前事之不忘，后事之師”（《戰(zhàn)國策·趙策一》）早已成為人們的共識。英國哲學家培根（Francis Bacon，1561—1626）的名言“歷史使人明智”（Histories make men wise）也是盡人皆知的成語。數(shù)學有悠久的歷史，它的成長道路是相當曲折的。有時興旺發(fā)達，有時衰敗凋殘。探索它的發(fā)展規(guī)律，可以指導當前的工作，使我們少走或不走彎路，更好地做出正確的判斷，制定合理的政策。

3．為了教育的目的

（1）激發(fā)興趣，開闊眼界，啟發(fā)思維，經(jīng)驗證明，在數(shù)學課中加入數(shù)學史的講授會使學生興趣盎然。任何一個靜止的事物，如果和它的歷史聯(lián)系起來，就會對它有濃厚的興趣。教師講授一條定理，如果不僅僅給出推導和證明，還指出它的思考路線，以及學者研究和發(fā)現(xiàn)定理的經(jīng)過，課堂空氣會立刻活躍起來。教師也可以適當介紹和本定理有關的典故和趣事。學生開闊了眼界．知道一個定理的發(fā)現(xiàn)過程竟如此曲折，印象會非常深刻。講述定理的來龍去脈，可以開拓學生的思維，使他們從多個方面去思考問題。（如果不是專門的數(shù)學史課，史料的加入宜適而止，否則會喧賓奪主，沖淡了主題）

（2）表彰前賢，鼓勵后進。

數(shù)學是人類智慧的結晶，是全世界人民寶貴的精神財富。今天數(shù)學的繁榮昌盛，實得力于千百年來數(shù)學工作者的辛勤勞動。飲水必須思源，數(shù)典不可忘祖，他們的豐功偉績，理應載人史冊。數(shù)學史的主要內(nèi)容之一，就是記述他們的生平事跡和重要貢獻，以供后人參考借鑒。其目的在于總結先輩的經(jīng)驗教訓，學習他們不畏艱苦的創(chuàng)業(yè)精神。表彰前賢，足以鼓勵后進。

4．文化的目的

數(shù)學是文明的一個組成部分。數(shù)學不僅僅是形式化、演繹化的思維訓練，也不僅僅是一門嚴肅的、抽象的學科，數(shù)學其實是豐富多彩的文化的產(chǎn)物，數(shù)學中的幾乎每一步進展都反映了推進者的個人背景、時間和地點的影響，也受到當時流行的價值觀、社會思想和當時所有的資源的影響。所以，數(shù)學不僅是一種單純的知識活動，它也擁有豐富的歷史文化向度，人類豐富多彩的文化為它染上了濃重眩目的文化色彩。幾乎任何一門數(shù)學分支的發(fā)展都反映了一定時代和地域所流行的價值觀和各種因素的影響，這些因素包括游戲娛樂、美學欣賞、宗教信仰、哲學思考和實用價值探索等，在數(shù)學中它們是如此緊密地交織在一起，只要拆散和剔除其中的任何一個方面都將給數(shù)學帶不可估量的損失。

為了探索及揭露數(shù)學發(fā)展的規(guī)律，也為了敘述的方便，常常將整個發(fā)展史劃分為若干個階段，這就是數(shù)學史的分期。分期的標準主要有兩種，一種是根據(jù)數(shù)學本身的特點（通常叫做“內(nèi)史”，另一種是根據(jù)社會的歷史背景（“外史”），三是根據(jù)所接受的對象。本課程綜合上述看法，采取下面的分期。1早期文明中的數(shù)學，2．初等數(shù)學的發(fā)展，4近代數(shù)學的興起，5近現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展，6現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展概述。

學習資源：

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9.M·克萊茵.數(shù)學：《確定性的喪失》，李宏魁譯.長沙:湖南科學技術出版社,1999.10.李迪主編，《中外數(shù)學史教程》，福建教育出版社，1993

11.汪曉勤，韓祥臨．中學數(shù)學中的數(shù)學史．北京：科學出版社，2002 12.http://math.ntu.edu.tw 13.http://math.ntnu.edu.tw/~horng

14.http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ 15.http://math.clarku.edu/~djoyce

第一講：早期文明中的數(shù)學

數(shù)學最早起源于適合人類生存的大河流域，例如尼羅河流域的埃及、兩河流域的巴比倫、黃河長江流域的中國等。伴隨著這些早期文明的發(fā)展，數(shù)學也開始了它的萌芽和進程。

在有文字記載之前人類就已經(jīng)有了數(shù)概念。起初人們只能認識“有”還是“沒有”，后來又漸漸有了“多”與“少”的朦朧意識。而“多”與“少”的意識原始人是在一一對應的過程中建立的。即把兩組對象進行一一比較，如果兩組對象完全對應，則這兩個組的數(shù)量就相等，如果不能完全一一對應，就會出現(xiàn)多少。例如，據(jù)古希臘荷馬史詩記載：波呂斐摩斯被俄底修斯刺傷后，以放羊為生。他每天坐在山洞口照料他的羊群，早晨母羊出洞吃草，出來一只，他就從一堆石子中撿起一顆石子兒；晚上母羊返回山洞，進去一只，他就扔掉一顆石子兒，當把早晨撿起的石子兒全部扔完后，他就放心了，因為他知道他的母羊全都平安地回到了山洞。

另一個方面，在長期的采集、狩獵等生產(chǎn)活動中原始人逐漸注意到一只羊與許多羊，一頭狼與整群狼在數(shù)量上的差異。通過一只羊、一頭狼與許多羊、整群狼的比較，就逐漸看到一只羊、一頭狼、一條魚、一棵樹??之間存在著某種共同的東西，即它們的單位性。由此抽象出數(shù)“1”這個概念。數(shù)“1”可以說是這類具有單個元素的集合的特征。可以認為，在人類發(fā)展的一個相當長的階段上，人們最早具有的數(shù)的概念是“1”，與之相對應的是一個比較確定的觀念——“多”。如上面的“數(shù)羊”，人們把一些被數(shù)物品用另外某些彼此同類的物品或標記來代替，如用手指、小石塊、繩結、樹枝、刻痕等。根據(jù)彼此一一對應的原則進行這種計算，也就是給每個被數(shù)物品選擇一個相應的東西作為計算工具，這就是早期的記數(shù)。

最早可能是手算，即用手指計數(shù)。一只手上的5個指頭可以被現(xiàn)成的用來表示5個以內(nèi)事物的集合。兩只手上的指頭合在一起，可以數(shù)到10，再和腳趾聯(lián)合在一起，可以數(shù)到20。有人認為，現(xiàn)在的羅馬數(shù)字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ就分別是1——4個手指的形象，Ⅴ是四指并攏拇指張開形象，10則畫成ⅤⅤ，表示雙手，后來又畫成X，是ⅤⅤ的對頂形式。古代俄國把1叫做“手指頭”，10則稱為“全部”。這些都是古代手指計數(shù)的痕跡。亞里士多德曾經(jīng)指出，今天10進制的廣泛采用，只不過是人類絕大多數(shù)人生來就具有10個手指這樣一個解剖學事實的結果。

手算能表示出的數(shù)目畢竟有限，即使再借助于腳趾，也不過數(shù)到20。當指頭不敷用時，數(shù)到10時，擺一塊小石頭，雙手就解放了，還可以繼續(xù)數(shù)更大的數(shù)目。自然地人們會想到，可以不用手，直接用石頭記數(shù)。但記數(shù)的石子堆很難長久保存信息，于是又有結繩記數(shù)。我國有“上古結繩而治，后世圣人，易之以書契”的說法?！敖Y繩而治”一般解釋為“結繩記事”或“結繩記數(shù)”?！皶酢本褪窃谖矬w上刻痕，以后逐漸發(fā)展成為文字。

結繩記事、記數(shù)，并不限于中國，世界各地都有，有些地方甚至到19世紀還保留這種方法，有些結繩事物甚至保存下來。例如，美國自然史博物館就藏有古代南美印加部落用來記事的繩結，當時人們稱之為基普：在一根較粗的繩子上拴系涂有顏色的細繩，再在細繩上打各種各樣的結，不同的顏色和結的位置、形狀表示不同的事物和數(shù)目。

結繩畢竟不甚方便，以后在實物（石、木、骨等）上刻痕以代替結繩。從現(xiàn)在的考古資料看，幾乎所有的文明古國都經(jīng)歷過一個刻痕記數(shù)的階段，只是各自的形式不同而已。

無論手算、結繩還是刻痕所記下來的數(shù)還不是現(xiàn)在意義上的數(shù)，只是物體集合蘊涵著的數(shù)量特性從一個物體集合轉移到另一個物體集合上。也就是說，人們還不能脫離具體的物的集合來認識“數(shù)量”。但是，當人們可以任意選用這種隨手可得的東西來記數(shù)時，就離形成數(shù)的概念為期不遠了。

總之，在人類幾萬年的原始文明中，只限于一些零碎的、片斷的、不完整的知識，有些人只能分辨一、二和許多，有些能夠把數(shù)作為抽象的概念來認識，并采用特殊的字或記號來代表個別的數(shù)，甚至采用十、二十或五作為基底來表示較大的數(shù)，進行簡單的運算。此外，古人也認識到最簡單的幾何概念，如，直線、圓、角等。直到公元前三千年左右巴比倫和埃及的數(shù)學出場，數(shù)學開始取得更多的進展。

1，古埃及的數(shù)學

背景非洲東北部的尼羅河流域，孕育了埃及的文化。在公元前3500—3000年間，這里曾建立了一個統(tǒng)一的帝國。目前我們對古埃及數(shù)學的認識，主要源于兩份用僧侶文寫成的紙草書，其一是成書于公元前1850年左右的莫斯科紙草書，另一份是

約成書于公元前1650年的蘭德（Rhind）紙草書，又稱阿默士（Ahmes）紙草書。阿默士紙草書的內(nèi)容相當豐富，講述了埃及的乘法和除法、單位分數(shù)的用法、試位法、求圓面積問題的解和數(shù)學在許多實際問題中的應用。

古埃及人將所有的分數(shù)都化成單位分數(shù)（分子為1的分數(shù)之和），在阿默士紙草書中，有很大一張分數(shù)表，把表示成單位分數(shù)之和

狀分數(shù)古埃及人已經(jīng)能解決一些屬于一次方程和最簡單的二次方程的問題，還有一些關于等差數(shù)列、等比數(shù)列的初步知識。例如，在蘭德紙草書上有一個關于“堆算”的特殊篇章。這部分從本質上來說，包含的是用一元一次方程來解的問題。古代埃及人把未知數(shù)稱為“堆”，它本來的意思是指數(shù)量是未知數(shù)的谷物的堆。其中一個方程式這樣的：“有一堆，它的2/3加它的1/2，加它的1/7，再加全部共為33”用現(xiàn)在的形式寫出來就是：

x?2xxx???33327埃及人還發(fā)展了卓越的幾何學。有一種觀點認為，尼羅河水每年一次的定期泛濫，淹沒河流兩岸的谷地。大水過后，法老要重新分配土地，長期積累起來的土地測量知識逐漸發(fā)展為幾何學。古埃及人留下了許多氣勢宏偉的建筑，其中最突出的是約于公元前2900年興建于下埃及的法老胡夫的金字塔，高達146.5米，塔基每邊平約寬230米，任何一邊與此數(shù)值相差不超過0.16米，正方程度與水平程度的平均誤差不超過萬分之一。與金字塔媲美的另一建筑群是上埃及的阿蒙神廟。其中卡爾納克的神廟主殿總面積達5000平方米，有134根圓柱，中間最高的12根高達21米。這些宏偉建筑的落成，也離不開幾何學知識。

埃及人能夠計算簡單平面圖形的面積，計算出的圓周率為3.16049；他們還知道如何計算棱錐、圓錐、圓柱體及半球的體積。其中最驚人的成就在于方棱椎平頭截體體積的計算，他們給出的計算過程與現(xiàn)代的公式相符。

2，巴比倫的數(shù)學

底格里斯河和幼發(fā)拉底河流域，希臘人稱之為美索不達米亞（Mesopotamia），原意為兩河之間的地方，統(tǒng)稱為兩河流域。在歷史上兩河流域一直是許多城邦以及定居的部族和游牧部族之間競爭角逐的場所。在兩河流域的歷史上，征服者和被征服者就像走馬燈一樣來來去去，其情形是極其復雜的。但是，兩河流域是個大熔爐，在這里，許多不同的部族都是由競爭角逐而趨于融合，所以各個部族的文化和技術相互融合，從而使這個地區(qū)成了西亞的先進地區(qū)。

古代巴比倫國家的位置在美索不達米亞最靠近底格里斯河和幼發(fā)拉底河河床的地方。巴比倫城位于幼發(fā)拉底河河岸上，“巴比倫人”這個名稱包括許多同時或先后居住在底格里斯河和幼發(fā)拉底河之間及其流域上的一些民族。其中蘇美爾人（Sumerians）是兩河流域古文明的奠基者）。公元1700年左右，阿摩利人漢默拉比Hammurabi王統(tǒng)治時期，文化得到高度的發(fā)展，這位君主以制定一部著名的法典而著稱（《漢默拉比法典》），這個時期就是所稱的古巴比倫王國。公元前八世紀，這個地區(qū)為原來住在底格里斯河上游的亞述人（Assyrians）所統(tǒng)治。亞述人尚武輕文，在文化方面很少有創(chuàng)造性的貢獻，然而，亞述帝國的政治統(tǒng)一卻也促進了文化的交流，使古代東方各地的文化得以融于一爐。對兩河流域的古文化，亞述人也做過一些保存和整理工作。亞述帝國的最后一個名叫巴尼伯（Assurbanipal），曾經(jīng)在尼尼微的宮殿里建了一座圖書館，那里收藏了二萬二千塊刻著楔形文字的泥板。一個世紀以后，亞述帝國為伽勒底人（Chaldeans）和米太人（Medes）所滅，在歷史上美索不達米亞的這段時期（公元前7世紀）通常稱為伽勒底時期，也稱為新巴比倫帝國。公元前540年左右，新巴比倫帝國為居魯士（Cyrus）統(tǒng)治下的波斯人所征服。公元前330年，希臘軍事領袖亞歷山大大帝（Alexander the Great）征服了這個地區(qū)。歷史中所講的巴比倫數(shù)學也到此為止。

從十九世紀前期開始，在美索不達米亞工作的考古學家們進行了系統(tǒng)的發(fā)掘工作，發(fā)現(xiàn)了大約五十萬塊刻著文字的泥板，僅僅在古代尼普爾舊址上就挖掘出五萬塊。在巴黎、柏林和倫敦的大博物館中，在耶魯、哥倫比亞河賓夕法尼亞大學的考古展覽館中，都珍藏著許多這類書板，書板有大有小，小的只有幾平方英寸，最大的和一般的教科書大小差不多，中心大約有一英寸半厚。有的只是書板的一面有字，有時兩面都有字，并且往往在其四邊上也刻有字。

在公元前3500年以前，蘇美爾人就已經(jīng)發(fā)明了文字。蘇美爾人用削尖了的蘆葦管做筆，把這種文字刻在泥板磚的怌塊上，在日光下或火爐上烘干，這種帶有文字的泥板就稱為泥板書。因為這種文字是刻在泥板上的，落筆處比較重，收筆處比較纖細，呈尖劈形，所以被稱為“楔形文字”（Cuneiform）。在五十萬塊書板中，約有300塊是被鑒定為載有數(shù)字表和一大批問題的純數(shù)學書板。直到1935年，由于美國學者諾伊格包爾（Otto Neugebaur）和法國學者蒂羅。丹金（Thureau—Dangin）夫人的工作才取得突破。他們解釋了一部分數(shù)學泥板，由于這些工作還在進行，或許不久的將來還會有新的發(fā)現(xiàn)。

古代巴比倫人是具有高度計算技巧的計算家，其計算程序是借助乘法表、倒數(shù)表、平方表、立方表等數(shù)表來實現(xiàn)的。巴比倫人書寫數(shù)字的方法更值得我們注意。他們引入了以60為基底的位值制（60進制），希臘人、歐洲人直到16世紀還于數(shù)學計算和天文學計算中運用這個系統(tǒng)，直至現(xiàn)在60進制仍被應用于角度、時間等記錄上。

3．中國早期的數(shù)學

中國古代數(shù)學的起源可以上溯到公元前數(shù)千年．《周易·系辭下》中說：“上古結繩而治，后世圣人易之以書契。百官以治，萬民以察。”《說文解字·敘》記載：“及神農(nóng)氏結繩而治而統(tǒng)其事?！薄吨芤住粪嵭ⅲ骸敖Y繩為約，事大，大結其繩；事小，小結其繩。”《九家易》：“古者無文字，其有誓約之事，事大，大其繩；事小，小其繩。結之多少，隨物眾寡，各執(zhí)以相考，亦足以相治也?！睋?jù)此可知：結繩是神農(nóng)或神農(nóng)以前上古時期的一種記事方法，以繩結的大小約定事的大小，以繩結的多少約定物的多少。

契刻是較結繩晚出的一種記事方法，其作用主要是用于記數(shù)或作為契約的記數(shù)憑證。在許多古代典籍中都有關這方面的記載，《墨子·備城門》中曰：“守城之法：必數(shù)城中之木，十人之所舉為十挈（契），五人之所舉為五挈。凡輕重以挈為人數(shù)?！薄吨芤住粪嵭ⅲ骸皶谀荆唐鋫葹槠?，各持其一，后以相考合。”《列子·說符篇》說：“宋人有游于道得人遺契者，歸而藏之，密數(shù)其齒，告鄰人曰：?吾富可待也。?”

在距今約五至六千年前的仰韶文化時期出土的陶器上還刻有表示數(shù)目的符號，說明此時已開始用文字符號取代結繩記事了。

西安半坡村出土的陶器上有直線、三角、方、菱形等各種對稱和復雜的幾何圖案，半坡村遺址上有圓形和正方形的屋基?！妒酚洝分杏涊d：夏禹治水，“左規(guī)矩，右準繩”。這可以看作是中國古代幾何學的起源。

在殷商（月公元前13世紀）的甲骨文中已經(jīng)使用了十進制記數(shù)法，共有13個獨立的符號，出現(xiàn)的最大數(shù)字為三萬。商代還用10個天干和12個地支組成甲子、乙丑等60個名稱來記60十天的日期。春秋戰(zhàn)國時代又出現(xiàn)了十進位值制籌算記數(shù)法．而戰(zhàn)國時代的《考工記》、《墨經(jīng)》、《莊子》等著作中則探討了許多抽象的數(shù)學概念，并記載了大量實用幾何知識．

在記述中國古代早期數(shù)學內(nèi)容的典籍中，《周易》是包含數(shù)學內(nèi)容最豐富的著作，因而對中國古代數(shù)學家產(chǎn)生了極大的影響。比如，劉徽在《九章算術注》的序中就寫道：“昔伏羲氏始作八卦，以通神明之德，以類萬物之情。作九九之數(shù)，以合六爻之變?！睂嶋H上就把數(shù)學方法與《周易》中的六爻、八卦等內(nèi)容聯(lián)系起來了。

《周易》中的另一重要概念是太極?！吨芤住穼懙溃骸耙子刑珮O，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。”太極即太一，這段話講的是八卦產(chǎn)生的原理，也試圖解釋天地造分、化成萬物的原理。到周代（公元前11至公元前3世紀）又發(fā)展成64卦，表示64種事物。后經(jīng)宋代陳摶的發(fā)展，便有了太極圖。

《周易》中另一個與數(shù)學相關的內(nèi)容是“河圖洛書”?！吨芤住分杏小昂映鰣D，洛出書，圣人則之”的記載。以后，有人又把河圖洛書與八卦及九數(shù)聯(lián)系起來。例如，孔安國認為：“河圖者，伏羲氏王天下，龍馬出河，遂則其文以畫八卦。洛書者，禹治水時，神龜負文，而列于背，有數(shù)至九，禹遂因而第之，以成九類。”也就是說，在古人看來，八卦與九數(shù)實出于河圖洛書。

西周初期能用炬測量高、深、廣、遠，知道勾股形中的勾

三、股

四、弦五及環(huán)炬為圓等知識。西周青銅器上的金文數(shù)字與商代數(shù)字基本一致，是我們今天文字的源泉。此時，已有整數(shù)和分數(shù)的四則遠算，《韓詩外傳》中還記載了公元前7世紀齊桓公招賢納士之事，將會背“九九”乘法口訣的人當作貴客款待。

卜筮是原始人類共有的社會現(xiàn)象。中國古代常用龜甲和獸骨作為占卜工具，以決定事情的吉兇。筮，是按一定的規(guī)則得到特定的數(shù)字，并用它來預測事情的吉兇。《周禮》稱：“凡國之大事，先筮后卜?！薄妒酚洝敳吡袀鳌穭t說：“王者決定諸疑，參與卜筮，斷以蓍龜，不易之道也?！?筮的工具起初是竹棍（以后出現(xiàn)的籌算數(shù)碼則形成了中國古代用竹棍表示數(shù)字的傳統(tǒng)），后來改用蓍草----一種有鋸齒的草本植物。公元前500年左右的戰(zhàn)國時代，算籌已得到普遍使用，算籌大多是特制的小竹棍，也有用木、骨、鐵等材料制作的。算籌的記數(shù)法采用十進位制?！赌?jīng)》（約公元前4世紀）中說：“一少于二而多余五，說在建位?！奔匆辉趥€位小于二，在十位就大于五，每個數(shù)字的大小除由它本身表示的數(shù)值決定外，還要看它在整個數(shù)中所處的位置?！秾O子算經(jīng)》（約公元4世紀）中描述了對籌算數(shù)字的擺放方法：“凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵；千十相望，萬百相當” 即：個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，萬位又用縱式，如此縱橫相間，以免發(fā)生誤會。并規(guī)定用空位表示零。說明有縱橫兩式：

總之，在人類早期的文明中，數(shù)學還處于萌芽時期，主要包括計數(shù)、算術、初步的代數(shù)和幾何等知識。此時所呈現(xiàn)的數(shù)學更多的是經(jīng)驗、直觀、零碎、片斷的知識，還沒有形成系統(tǒng)的理論體系、抽象的思維方法等。

第二講：古希臘的數(shù)學

數(shù)學作為一門獨立和理性的學科開始于公元前600年左右的古希臘。古希臘是數(shù)學史上一個“黃金時期”，在這里產(chǎn)生了眾多對數(shù)學主流的發(fā)展影響深遠的人物和成果，泰勒斯、畢達哥拉斯、柏拉圖、歐幾里德、阿基米德等數(shù)學巨匠不勝枚舉。此外，在初等數(shù)學時期，東方的中國、印度與阿拉伯等地區(qū)也發(fā)展出了獨具特色的數(shù)學知識。在中世紀后期的歐洲，在獨特的中世紀文化中，東西方數(shù)學知識逐漸融合，為下一個階段數(shù)學的快速發(fā)展奠定了基礎。

1．希臘數(shù)學——從愛奧尼亞到亞歷山大

古代希臘從地理疆城上講，包括巴爾干半島南部、小亞細亞半島西部、意大利半島南部、西西里島及愛琴海諸島等地區(qū)。這里長期以來由許多大小奴隸制城邦國組成，直到約公元前325年，亞歷山大大帝（Alexander the Great）征服了希臘和近東、埃及，他在尼羅河口附近建立了亞歷山大里亞城（Alexandria）。亞歷山大大帝死后（323B.C.），他創(chuàng)建的帝國 分裂為三個獨立的王國，但仍聯(lián)合在古希臘文化的約束下，史稱希臘化國家。統(tǒng)治了埃及的托勒密一世（Ptolemy the First）大力提倡學術，多方網(wǎng)羅人才，在亞歷山大里亞建立起一座空前宏偉的博物館和圖 書館，使這里取代雅典，一躍而成為古代世界的學術文化中心，繁榮幾達千年之久！

希臘人的思想毫無疑問地受到了埃及和巴比倫的影響，但是他們創(chuàng)立的數(shù)學與前人的數(shù)學相比較，卻有著本質的區(qū)別，其發(fā)展可分為古典時期和亞歷山大時期兩個階段。

一、古典時期（600B.C.-300B.C.）

這一時期始于泰勒斯（Thales）為首的愛奧尼亞學派（Ionians），其貢獻在于開創(chuàng)了命題的證明，為建立幾何的演繹體系邁出了第一步。稍后有畢達哥拉斯（Pythagoras）領導的學派，這是一個帶有神秘色彩的政治、宗教、哲學團體，以「萬物皆數(shù)」作為信條，將數(shù)學理論從具體的事物中抽象出來，予數(shù)學以特殊獨立的地位。

公元前480年以后，雅典成為希臘的政治、文化中心，各種學術思想在雅典爭奇斗妍，演說和辯論時有所見，在這種氣氛下，數(shù)學開始從個別學派閉塞的圍墻里跳出來，來到更廣闊的天地里。

埃利亞學派的芝諾（Zeno）提出四個著名的悖論（二分說、追龜說、飛箭靜止說、運動場問題），迫使哲學家和數(shù)學家深入思考無窮的問題。智人學派提出幾何作圖的三大問題：化圓為方、倍立方體、三等分任意角。希臘人的興趣在于從理論上去解決這些問題，是幾何學從實際應用向演繹體系靠攏的又一步。正因為三大問題不能用標尺解出，往往使研究者闖入未知的領域中，作出新的發(fā)現(xiàn)：圓錐曲線就是最典型的例子；「化圓為方」問題亦導致了圓周率和窮竭法的探討。

哲學家柏拉圖（Plato）在雅典創(chuàng)辦著名的柏拉圖學園，培養(yǎng)了一大批數(shù)學家，成為早期畢氏學派和后來長期活躍的亞歷山大學派之間聯(lián)系的紐帶。歐多克斯（Eudoxus）是該學園最著名的人物之一，他創(chuàng)立了同時適用于可通約量及不可通約量的比例理論。柏拉圖的學生亞里士多德（Aristotle）是形式主義的奠基者，其邏輯思想為日后將幾何學整理在嚴密的邏輯體系之中開辟了道路。

（1）泰勒斯﹝Tales of Miletus，約公元前625-前547﹞

古希臘哲學家、自然科學家。生于小亞細亞西南海岸米利都，早年是商人，曾游歷巴比倫、埃及等地。泰勒斯是希臘最早的哲學學派──伊奧尼亞學派的創(chuàng)始人，他幾乎涉獵了當時人類的全部思想和活動領域，被尊為“希臘七賢”之首。而他更是以數(shù)學上的發(fā)現(xiàn)而出名的第一人。他認為處處有生命和運動，并以水為萬物的本源。泰勒斯在埃及時還曾利用日影及比例關系算出金字塔的高，說明相似形已有初步認識。在天文學中他曾精確地預測了公元前585年5月28日發(fā)生的日食，還可能寫過《航海天文學》一書，并已知按春分、夏至、秋分、冬至劃分四季是不等長的。

證明命題是希臘幾何學的基本精神，泰勒斯在數(shù)學方面的劃時代貢獻是開始引入了命題證明的思想，它標志著人們對客觀事物的認識從經(jīng)驗上升到理論。這在數(shù)學史上是一次不尋常的飛躍，其重要意義在于： 1.保證命題的正確性，使理論立于不敗之地；

2.揭露各定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，使數(shù)學構成一個嚴密的體系，為進一步發(fā)展打下基礎； 3.使數(shù)學命題具有充份的說服力，令人深信不疑。

數(shù)學自此從具體的、實驗的階段過渡到抽象的、理論的階段，逐漸形成一門獨立的、演譯的科學。

畢達哥拉斯（以下簡稱畢氏）于紀元前580年左右出生于生于希臘東部薩摩斯﹝今希臘東部小島﹞，正是希臘黃金時代的初期，也是羅馬帝國建國的時代。在我們東方來說，就是釋迦牟尼與孔子的道學，正流行的時代。畢達哥拉斯早年曾在錫羅斯島向費雷西底﹝Pherecydes﹞學習，又曾師事伊奧尼亞學派的安約西曼德﹝Anaximander﹞，以后游歷埃及、巴比倫等地，接受古代流傳下來的天文、數(shù)學知識。他最后定居在克羅托內(nèi)﹝Crotone﹞，在那里建立一個宗教、政治、學術合一的團體──畢達哥拉斯學派，它是繼伊奧尼亞學派后古希臘第二個重要的學派。這個團體后來在政治斗爭中遭到破壞，他逃到塔蘭托(Metapontum)，后終于被殺害。畢氏學派有一個教規(guī)，就是一切發(fā)現(xiàn)都歸功于學派的領袖，且對外保密，故討論其學術成就時，很難將畢達哥拉斯本人和他的學派分開。

畢氏學派將抽象的數(shù)作為萬物的本源，“萬物皆數(shù)”使他們的信條之一。但是，研究數(shù)的目的不是為了實際應用，而是通過揭露數(shù)的奧秘來探索宇宙的永恒真理。他們將學問分為四類，即算術、音樂﹝數(shù)的應用﹞、幾何﹝靜止的量﹞、天文﹝運動的量﹞；根據(jù)“簡單整數(shù)比”原理創(chuàng)造一套音樂理論；對數(shù)作過深入研究，并得到很多結果，將自然數(shù)進行分類，如奇數(shù)、偶數(shù)、完全數(shù)、親合數(shù)、三角數(shù)、平方數(shù)、五角數(shù)、六角數(shù)等等；發(fā)理勾股定理﹝西方稱為畢達哥拉斯定理﹞和勾股數(shù)﹝西方稱

為畢達哥拉斯數(shù)﹞；發(fā)現(xiàn)五種正多面體；發(fā)現(xiàn)不可通約量,甚至于音樂上也可目睹到他所遺留的許多事跡。下面我們來列舉十數(shù)種畢氏學派的貢獻,供大家見賞。

畢達哥拉斯定理是說：一直角三角形中的斜邊平方等于兩直角邊之平方和。如設三角形 ABC 三個邊為 a,b,c，其中 c 為斜邊（如圖一），則其間的關系為：a2 + b2 = c2

（3），芝諾﹝Zero of Elea，約公元前490-約前425﹞

芝諾生活在古希臘的埃利亞城邦，他是埃利亞學派的著名哲學家巴門尼德﹝Parmenides﹞的學生和朋友。芝諾因其悖論而

著名，并因此在數(shù)學和哲學兩方面享有不朽的聲譽。數(shù)學史家F?卡約里﹝Cajori﹞說：“芝諾悖論的歷史，大體上也就是連續(xù)性、無限大和無限小這些概念的歷史?！庇捎谥ブZ的著作沒能流傳下來，故只能通過批評他的亞里士多德及其詮釋者辛普里西奧斯才得以了解芝諾悖論的要旨的?，F(xiàn)存的芝諾悖論至少有8個，其中關于運動的4個悖論：二分說、阿基里斯追龜說、飛箭靜止說、運動場悖論尤為著名。前三個悖論揭示的是事物內(nèi)部的稠密性和連續(xù)性之間的區(qū)別，是無限可分和有限長度之間的矛盾。他并不是簡單地否認運動，而是反對那種認為空間是點的總和、時間是瞬刻的和的概念，他想證明在空間作為點的總和的概念下運動是不可能的。第4個悖論是古代文獻中第一個涉及相對運動的問題。

芝諾編造這些悖論的目的何在，歷來有許多爭論。有人認為是為了反對“多”與“變化”，以維護他的師父 Parmenides（約紀元前五世紀）的萬有是“一”與“不變”之學說。從畢氏學派失敗的背景來觀察，芝諾是對于離散性、連續(xù)性、無窮大、無窮小等詭譎概念作詰疑。千古以來可以說是切中數(shù)學的核心。芝諾的功績在于把動和靜的關系、無限和有限的關系、連續(xù)和離散的關系惹人注意地擺了出來，并進行了辯證的考察。雖然不能肯定他對古典希臘數(shù)學的發(fā)展有無直接的重要影響，但有一點決不是偶然的巧合：柏拉圖寫作對話《巴門尼德》篇時，因為其中討論的主要話題之一是芝諾的觀點，芝諾也是書中的主角之一，因此在柏拉圖學園中很自然地熱烈討論起芝諾悖論來。當時歐多克索斯正在柏拉圖學園中攻讀和研究數(shù)學與哲學。歐多克索斯在稍后的時間里創(chuàng)立了新的比例論，從而克服了因發(fā)現(xiàn)無理數(shù)而出現(xiàn)數(shù)學危機，并完善了窮竭法，巧妙地處理了無窮小問題。

羅素稱贊道：“幾乎所有從芝季諾時代到今日所建構出的有關時間、空間與無窮的理論，都可以在季諾的論證里找到背景基礎?！?/p>

（4），詭辯學派

希波戰(zhàn)爭以后，希臘商務繁榮，雅典成為文人薈萃的中心。愛奧尼亞學派的哲學家Anaxagoras（B.C.499——427）開始將愛奧尼亞的哲學輸入雅典，畢達格拉斯學派的人也群聚于此，只是過去秘密的作風已不復見。雅典人崇尚公開的精神。在公開的討論中，要想取得勝利，必須具有雄辯、修辭、哲學及數(shù)學知識。于是“詭辯學派”應運而生?！霸庌q”(Sophism)一詞是使人智慧的意思，也譯作“哲人學派”或“智人學派”。

經(jīng)過兩千多年的努力，數(shù)學家利用代數(shù)方法終于證明了三大難題都無解?；瘓A為方相當于求√π，它不是任何整系數(shù)方程的根，因而不可能用尺規(guī)作出，1882年由德國數(shù)學家林德曼證明。倍立方相當于求3√2，法國數(shù)學家范齊爾于1837年證明用尺規(guī)作不出等分任意角難在任意，有些角如90度角三等分是可以的。

（5），柏拉圖﹝Plato，約公元前427——前347﹞

公元前427年，柏拉圖出生于雅典，他自幼受到良好而完備的教育，少年時代勤奮好學、多才多藝且體格健壯。除了家庭的熏陶之外，給他影響最為深遠的莫過于正直善辯的哲學家蘇格拉底﹝Socrates﹞了，而蘇格拉底以不敬神和蠱惑青年的罪名

被處死的悲劇給柏拉圖極大的刺激，隨著年歲的增長，他對當時的政客、法典和習俗愈來愈感到厭惡，從而決心繼承蘇格拉底的哲學思想，并從事于締造理想國家的理論研究。柏拉圖曾在非洲海岸昔蘭尼跟狄奧多魯斯﹝Theodorns﹞學數(shù)學，并成為著名的阿爾希塔斯的知心朋友。約公元前387年，他回到雅典創(chuàng)辦他的著名學園，這是一所為系統(tǒng)地研究哲學和科學而開設的高等院校，成為早期畢氏學派和后來長期活躍的亞歷山大里亞數(shù)學學派之間聯(lián)系的紐帶。公元前347年，柏拉圖以八十歲高齡死于雅典。

作為一位哲學家，柏拉圖對于歐洲的哲學乃至整個文化的發(fā)展，有著深遠的影響。特別是他的認識論，數(shù)學哲學和數(shù)學教育思想，在古希臘的社會條件下，對于科學的形成和數(shù)學的發(fā)展，起了不可磨滅的推進作用。

從柏拉圖的著作中，可以看到數(shù)學哲學領域的最初的探究。柏拉圖的數(shù)學哲學思想是同他的認識論，特別是理念論分不開的。他認為數(shù)學所研究的應是可知的理念世界中的永恒不變的關系，而不是可感的物質世界中的變動無常的關系。因此，數(shù)學的研究對象應是抽象的數(shù)和理想的圖形。他在《理想國》中說：“我所說的意思是算術有很偉大和很高尚的作用，它迫使靈魂就抽象的數(shù)進行推理，而反對在論證中引入可見的和可捉摸的對象?！彼诹硪惶幷劦綆缀螘r說：“你豈不知道，他們雖然利用各種可見的圖形，并借此進行推理，但是他們實際思考的并不是這些圖形，而是類似于這些圖形的理想形象。??他們力求看到的是那些只有用心靈之日才能看到的實在。”

如果說數(shù)學概念的抽象化定義始于畢達哥拉斯學派，那么，柏拉圖及其學派則把這一具有歷史意義的工作大大地向前推進了。他們不僅把數(shù)學概念和現(xiàn)實中相應的實體區(qū)分開來，并把它和在討論中用以代表它們的幾何圖形嚴格地分開。柏拉圖是從理念論的角度去探討數(shù)學概念的涵義的。亞里士多德闡釋說，柏拉圖是將數(shù)學對象置于現(xiàn)實對象與理念之間的，數(shù)學對象因其常駐不變而區(qū)別于現(xiàn)實對象，又因其可能有許多同類對象而區(qū)別于理念。

柏拉圖十分強調脫離直觀印象的純理性證明，并嚴格地把數(shù)學作圖工具限制為直尺圓規(guī)。這種主張對于形成歐幾里德幾何公理演譯體系，不無促進作用。

柏拉圖也十分重視整數(shù)的學問，他在很大程度上繼承了畢氏學派的『萬物皆數(shù)』的觀點。他認為宇宙間的天體以至萬物都是按照數(shù)學規(guī)律來設計的。依賴感官所感覺到的世界是混亂和迷離的，因而是不可靠的和無價值的，只有通過數(shù)學才能領悟到世界的實質。

此外，柏拉圖學派在數(shù)學中引入了分析法和歸謬法；他給出了點、線、面、體的定義；他對軌跡也有較早的認識，還研究了棱柱、棱錐、圓柱、圓錐的問題。在算術方面，他們發(fā)現(xiàn)了級數(shù)的不少重要性質。在天文學方面，他們不只是追尋天文觀測的表象，而是尋求完美的有關天體的數(shù)學理論?？傊?，柏拉圖學派主張嚴密的定義與邏輯證明，促成了數(shù)學的科學化。

自公元前387年開始，柏拉圖就把創(chuàng)建和主持學園教育作為自己最重要的事業(yè)。雖然他認為學園的辦學宗旨是培養(yǎng)具有哲學頭腦的優(yōu)秀政治人材，直至造就一個能夠勝任治國重任的哲學王，但他深信：從事數(shù)學研究能培養(yǎng)人的思維能力，并因此是哲學家和那些要治理他的理想國的人所必須具備的基本素養(yǎng)。故學園在具體課程設計上繼承和發(fā)展了畢氏學派的以數(shù)學為主課的方針。據(jù)說，他的學園門口寫著：“不懂幾何者，不得入內(nèi)”。

柏拉圖倡導多層次的數(shù)學教育，在某種意義上也體現(xiàn)了一種因材施教的原則。柏拉圖首次提出了普及數(shù)學教育的主張：『應該嚴格規(guī)定貴城邦的全體居民務必學習幾何。??經(jīng)驗證明，學過幾何的人在學習其它任何學問時，要比未學過幾何的人快得多?！辉诎乩瓐D的指導下，學園的數(shù)學教育取得極大的成功。在公元前四世紀的希臘，絕大多數(shù)知名數(shù)學家都是柏拉圖的學生或朋友，他們以柏拉圖學園為數(shù)學交流活動的中心場所，形成以柏拉圖為核心的學派，史稱柏拉圖學派。

美國數(shù)學史家博耶評論說：“雖然柏拉圖本人在數(shù)學研究方面沒有特別杰出的學術成果，然而，他卻是那個時代的數(shù)學活動的核心??，他對數(shù)學的滿腔熱誠沒有使他成為知名數(shù)學家，但卻贏得了‘數(shù)學家的締造者’的美稱?！?/p>

（6），歐多克索斯﹝Eudoxus，約公元前400-前347﹞

歐多克索斯是古希臘時代成就卓著的數(shù)學家和天文學家，生于尼多斯。曾受教于柏拉圖及阿爾希塔斯。

歐多克索斯對數(shù)學的最大功績是創(chuàng)立了關于比例的一個新理論。他首先引入“量”的概念，將“量”和“數(shù)”區(qū)別開來。

用現(xiàn)代術語來說，他的“量”指的是連續(xù)量，而“數(shù)”是離散的，僅限于有理數(shù)。其次，改變“比”的定義為：“比”是同類量之間的大小關系。從這一定義出發(fā)可以推出有關比例的若干命題，而不必考慮這些量是否可公度。這在希臘數(shù)學史上是一個大突破。其創(chuàng)立之比例論，成為歐幾里得《幾何原本》，特別是其中五、六、十二卷的主要內(nèi)容。事實上，19世紀的無理數(shù)理論是歐多克索斯思想的繼承和發(fā)展。不過歐多克索斯理論是建立在幾何量的基礎之上的，因而回避了把無理數(shù)作為數(shù)來處理。盡管如此歐多克索斯的這些定義無疑給不可公度比提供了邏輯基礎。為了防止在處理這些量時出錯，他進一步建立了以明確公理為依據(jù)的演繹體系，從而大大推進了幾何學的發(fā)展。從他以后，幾何學成了希臘數(shù)學的主流。（7），亞里士多德（Aristotle，公元前384—公元前322）

亞里士多德出生于希臘北部的斯塔吉拉，父親是馬其頓國王的御醫(yī)。公元前367年，17歲的亞里士多德到當時希臘的文化中心雅典，進入柏拉圖的阿卡德米學園學習。由于他聰敏過人，深受柏拉圖的喜愛，成為柏拉圖的得意門生。他在學園一共學習了20年，直到柏拉圖去世。柏拉圖去世以后，他到小亞細亞各城邦去講學。公元前343年，他42歲時，應馬其頓王的邀請，擔任王子亞力山大的老師。當時亞力山大只有13歲。公元前335年，亞里士多德回到雅典，創(chuàng)辦一所學園，名叫呂克昂（Lyceum）。他在這里從事學術研究和教學活動達13年。亞力山大王去世以后，他被迫離開雅典，把呂克昂交給別人管理。次年病逝，享年63歲。他去世以后，呂克昂繼續(xù)存在了幾百年。

如果說柏拉圖是一位綜合型的學者，那亞里士多德就是一位分科型的學者。他總結了 前人已經(jīng)取得的成就，創(chuàng)造性的提出自己的理論，在幾乎每一學術領域，亞里士多德都留 下了自己的著作。從第一哲學著作《形而上學》，物理學著作《物理學》、《論生滅》、《論天》、《天象學》、《論宇宙》，生物學著作《動物志》、《論動物的歷史》、《論 靈魂》，到邏輯學著作《范疇篇》、《分析篇》，倫理學著作《尼各馬可倫理學》、《大 倫理學》、《歐德謨斯倫理學》，以及《政治學》、《詩學》、《修辭學》等，他的著作 幾乎遍及每一個學術領域，他是一位名符其實的百科全書式的學者。

亞里士多德對數(shù)學的本性及其與物理世界的關系所發(fā)表的看法影響很大。例如，他討論定義：一個定義只能告訴我們一件事物是什么，并不說明它一定存在。定義了的東西是否存在有待證明。亞里士多德還討論數(shù)學的基本原理： 把公理個公設加以區(qū)別。公理是一切科學所公有的真理，而公設只是為某一門科學所接受的第一性原理。亞里士多德認為邏輯原理都是公理，公設無需是不言自明的，其是否為真受所推出的結果檢驗，列出的公理和公設數(shù)目越少越好。這些思想對以后歐幾里德的思想起了重要的影響。

亞里士多德的另一個重大貢獻就是創(chuàng)立邏輯學。他的邏輯對數(shù)學也產(chǎn)生了極大的影響，他的邏輯基本原理，如矛盾律：一個命題不能既是真又是假的；排中律：一個命題必須是真的或是假的??等原理是數(shù)學中間接證法的核心。

2.亞歷山大時期（300B.C——641A.D.）

這一階段以公元前30年羅馬帝國吞并希臘為分界，分為前后兩個時期。亞歷山大前期和亞歷山大后期，前期出現(xiàn)了希臘化數(shù)學的黃金時期，代表人物是名垂千古的三大數(shù)學家：歐幾里得（Euclid）、阿基米得（Archimedes）及阿波羅尼烏斯（Appollonius）。歐幾里得總結古典希臘數(shù)學，用公理方法整理幾何學，寫成13卷《幾何原本》（Elements）。這部劃時代歷史巨著的意義在于它樹立了用公理法建立起演繹數(shù)學體系的最早典范。阿基米得是古代最偉大的數(shù)學家、力學家和機械師。他將實驗的經(jīng)驗研究方法和幾何學的演繹推理方 法有機地結合起來，使力學科學化，既有定性分析，又有定量計算。阿基米得在純數(shù)學領域涉及的范圍也 很廣，其中一項重大貢獻是建立多種平面圖形面積和旋轉體體積的精密求積法，蘊含著微積分的思想。阿波羅尼烏斯的《圓錐曲線論》（Conic Sections）把前輩所得到的圓錐曲線知識予以嚴格的系統(tǒng)化，并做出新的貢獻，對17 世紀數(shù)學的發(fā)展有著巨大的影響。亞歷山大圖書館館長埃拉托塞尼（Eratosthenes）也是這一時期有名望的學者。

亞歷山大后期是在羅馬人統(tǒng)治下的時期，但是希臘的文化傳統(tǒng)尚未被破壞，學者還可繼續(xù)研究，然而已沒有前期那種磅礡的氣勢。這時期出色的數(shù)學家有海倫（Heron）、托勒密（Plolemy）、丟番圖（Diophantus）和帕普斯（Pappus）。丟番圖的代數(shù)學在希臘數(shù)學中獨樹一幟；帕波斯的工作是前期學者研究成果的總結和補充。之后，希臘數(shù)學處于停滯狀態(tài)。

公元641年，阿拉伯人攻占亞歷山大里亞城，圖書館再度被焚（第一次是在公元前46年），希臘數(shù)學悠久燦爛的歷史，至此終結。亞歷山大里亞有創(chuàng)造力的日子也隨之一去不復返了。

（1）歐幾里得﹝Euclid，約公元前330─約公元前275﹞

關于歐幾里得，除了知道他是歷時長久的亞歷山大數(shù)學學派的奠基人外，對他的生平所知甚少，僅估計他很可能在雅典的柏拉圖學園受過數(shù)學訓練。

在歐幾里得之前，古希臘的數(shù)學知識已經(jīng)累積得相當豐富，于是有人將它們整理成冊，例如希波克拉底就是第一位進行匯

編的人。歐幾里得也總結了他那個時代古希臘的所有數(shù)學成果，編輯成13卷的《幾何原本》，以下簡稱《原本》。此書最重要的特色是公理化系統(tǒng)的結構：由少數(shù)幾條公理(axioms)出發(fā)，推導出所有的幾何定理。公理是「直觀自明」的真理，是數(shù)學的源頭，無法證明，也不必證明。歐氏的曠世名著，使得其它版本都黯然無光，乃至消失?！稁缀卧尽匪鸬男Ч绻湃怂f：“月升燈失色，風起扇無功”。

歐幾里得的《幾何原本》﹝Elements﹞是一部劃時代的著作，就其大部份內(nèi)容來說，是對于公元前七世紀以來，希臘幾何積聚起來的豐富成果作出高度成功的編纂和系統(tǒng)的整理，其主要功績在于對命題的巧妙選擇，和把它們排列進由少數(shù)初始假定出發(fā)，演繹地推導出的合乎邏輯的序列中。換言之，《原本》偉大的歷史意義在于它是用公理方法建立起演繹體系的最早典范。

五條公設

1.過相異兩點，能作且只能作一直線（直線公理）。2.線段(有限直線)可以任意地延長。

3.以任一點為圓心、任意長為半徑，可作一圓(圓公理)。4.凡是直角都相等(角公理)。

5.兩直線被第三條直線所截，如果同側兩內(nèi)角和小于兩個直角，則兩直線作延長時在此側會相交。五條公理

1.跟同一個量相等的兩個量相等；即若 a=c 且 b=c，則 a = b（等量代換公理）。2.等量加等量，其和相等；即若 a=b 且 c=d，則 a+c = b+d（等量加法公理）。3.等量減等量，其差相等；即若 a=b 且 c=d，則 a-c = b-d（等量減法公理）。4.完全迭合的兩個圖形是全等的（移形迭合公理）。5.全量大于分量，即 a+b>a（全量大于分量公理）。一般公理不止適用于幾何學，對于其它學科也行得通。23 個定義

（2）“數(shù)學之神”──阿基米德（Archimedes，公元前287～公元前212）

阿基米德于公元前２８７年出生在意大利半島南端西西里島的敘拉古（Syracuse）的貴族之家。父親是位數(shù)學家兼天文學家。阿基米德從小有良好的家庭教養(yǎng)，他在年輕時曾在亞力山大求學，不過大半生都待在他老家西西里島的敘拉古，受國王 Hieron 的贊助從事研究工作。

阿基米德與歐幾里德、阿波羅尼并列為希臘三大數(shù)學家，也有人甚至說他是有史以來最偉大的三個數(shù)學家之一（其他二位

是牛頓與高斯）。他的主要數(shù)學貢獻是求面積和體積的工作。在他之前的希臘數(shù)學不重視算術計算，關于面積和體積，數(shù)學家們頂多證明一下兩個面積或體積的比例就完了，而不再算出每一個面積或體積究竟是多少。當時連圓面積都算不出來，因為比較精確的π值還不知道。從阿基米德開始，或者說從以阿 基米德為代表的亞歷山大里亞的數(shù)學家開始，算術和代數(shù)開始成為一門獨立的數(shù)學學科。阿基米德發(fā)現(xiàn)的一個著名的定理是：任一球的面積是外切圓柱表面積的三分之二，而任一球的體積也是外切圓柱體積的三分之二。這個定理是從球面積等于大圓面積的四倍這一定理推來的，據(jù)說，該定理遵遺囑被刻在阿基米德的墓碑上。

阿基米德發(fā)明了求面積和體積的“平衡法”，求出面積或體積后再用“窮竭法”加以證明。阿基米德“平衡法”與“窮竭法”的結合是嚴格證明與創(chuàng)造技巧相結合的典范。阿基米德的“平衡法”，將需要求積的量分成一些微小單元，再與另一組微小單元進行比較，而后一組的總和比較容易計算。因此，“平衡法”實際上體現(xiàn)了近代積分法的基本思想，是阿基米德數(shù)學研究的最大功績。但是，“平衡法”本身必須以極限論為基礎，阿基米德意識到了他的方法在嚴密性上的不足，所以他用平衡法求出一個面積或體積后，必再用窮竭法加以嚴格的證明。

《拋物線求積法》研究了曲線圖形求積的問題，并用窮竭法建立了這樣的結論：“任何由直線和直角圓錐體的截面所包圍的弓形（即拋物線），其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四。”他還用力學權重方法再次驗證這個結論，使數(shù)學與力學成功地結合起來。

《論螺線》，是阿基米德對數(shù)學的出色貢獻。他明確了螺線的定義，以及對螺線的面積的計算方法。在同一著作中，阿基米德還導出幾何級數(shù)和算術級數(shù)求和的幾何方法。

《論錐型體與球型體》，講的是確定由拋物線和雙曲線其軸旋轉而成的錐型體體積，以及橢圓繞其長軸和短軸旋轉而成的球型體的體積。

（3）阿波羅尼奧斯（Apollonius，公元前262-190）

阿波羅尼奧斯出生于小亞細亞（今土爾其一帶），年輕時曾在亞歷山大城跟隨歐幾里得的學生學習，后到小亞細亞西岸的帕加蒙王國居住與工作，晚年又回到亞歷山大。阿波羅尼奧斯的主要數(shù)學成就是在前人工作的基礎上創(chuàng)立了相當完美的圓錐曲線理論，編著《圓錐曲線論》。

阿波羅尼奧斯用統(tǒng)一的方式引出三種圓錐曲線后，便展開了對它們性質的廣泛討論，內(nèi)容涉及圓錐曲線的直徑、公軛直徑、切線、中心、雙曲線的漸進線、橢圓與雙曲線的焦點以及處在不同位置上的圓錐曲線的交點數(shù)等?！秷A錐曲線論》中包含了許多即使按今天的眼光看也是很深奧的問題。第5卷中關于定點到圓錐曲線的最長和最短線段的探討，實質上提出了圓錐曲線的法線包絡即漸屈線的概念，它們是近代微分幾何的課題。第3、4卷中關于圓錐曲線的極點與極線的調和性質的論述，則包含了射影幾何學的萌芽思想。

（4）埃拉托塞尼﹝Eratosthenes，約公元前276─約前195﹞

埃拉托塞尼出生于地中海南岸的昔蘭尼﹝現(xiàn)北非利比亞舍哈特﹞，卒于亞歷山大。他早年在雅典學習，大約四十歲時，接

受埃及的托勒玫三世的邀請，來到亞歷山大當他兒子的家庭教師，約公元前235年起擔任亞歷山大附設于博物館的圖書館館長。埃拉托塞尼晚年因患眼疾，以致雙目失明，他無法忍受不能讀書的痛苦，竟絕食而死。

埃拉托塞尼在當時所有的知識領域里都是奇才。他是一位杰出的數(shù)學家、天文學家、地理學家、歷史學家、哲學家、詩人和運動員。早年在雅典受過教育，先后師事逍遙學派的阿里斯頓，柏拉圖學派的阿凱西勞斯和犬儒學派的塞翁等。后到亞歷山大，又跟隨詩人卡利馬科斯學習詩詞。他的博學多才，后來贏得“五項全能”﹝Pentathlus﹞的雅號。他是阿基米德的摯友，曾受到阿基米德的高度評價。著作有《地理學》、《地球的測量》、《倍立方問題》、《論平均值》、《柏拉圖》等，可惜只有很少的片斷流傳下來。埃拉托塞尼最受人贊揚和傳誦的業(yè)績是測量地球的周長，其特點是原理簡單，方法易行，結果也較精確。他的另一項膾炙人口的發(fā)明是尋找素數(shù)的方法，即所謂埃拉托塞尼篩，記載于尼科馬霍斯《算術入門》第十三章中，即要在自然數(shù)列中從小到大找出素數(shù)，先從3開始，將奇數(shù)列寫出，3是第一個素數(shù)，將3后面所有3的倍數(shù)都劃去；3后面第一個未被劃去的數(shù)是5，將5后面所有5的倍數(shù)都劃去；5后面第一個未被劃去的數(shù)是7，將7后面所有7的倍數(shù)都劃去，重復這一步驟，直到所寫出的數(shù)列最后一個數(shù)，未被劃去的就是素數(shù)。

（5）海倫（Heron of Alexandria, 公元62年左右）

希臘數(shù)學家、力學家、機械學家。約公元62年活躍于亞歷山大，在那里教過數(shù)學、物理學等課程。他多才多藝，善于博采眾長。在論證中大膽使 用某些經(jīng)驗性的近似公式，注重數(shù)學的實際應用。主要貢獻是《度量論》一書。該書共3卷，分別論 述平面圖形的面積，立體圖形的體積和將圖形分成比例的問題。其中卷Ｉ第8題給出著名的海倫公式 的證明，設三角形邊長分別是a、b、c，s是半周長（即s=(a+b+c)/2），Δ是三角形的面積，則有Δ＝

。海倫用文字敘述了這一公式的證明，并舉例加以 說明?，F(xiàn)已公認海倫公式是阿基米德發(fā)現(xiàn)的，但這個名稱已成為習慣用法。他的成就還有：正3到正12邊形面積計算法；長方臺體積公式；求立方根的近似公式等。

（6）丟番圖﹝Diophantus of Alexandria，約公元250年前后﹞

對于丟番圖的生平事跡，人們知道得很少。但在一本《希臘詩文選》﹝The Greek anthology﹞【這是公元500年前后的遺

物，大部份為語法學家梅特羅多勒斯﹝Metrodorus﹞所輯，其中有46首和代數(shù)問題有關的短詩﹝epigram﹞。

亞歷山大的丟番圖對代數(shù)學的發(fā)展起了極其重要的作用，對后來的數(shù)論學者有很深的影響。他有幾種著作，最重要的是《算術》，還有一部《多角數(shù)》，另一些已遺失。《算術》是一部劃代的著作，它在歷史上影響之大，可和歐幾里得的《幾何原本》相媲美。

丟番圖的《算術》是講數(shù)論的，它討論了一次、二次以及個別的三次方程，還有大量的不定方程?，F(xiàn)在對于具有整數(shù)系數(shù)的不定方程，如果只考慮其整數(shù)解，這類方程就叫做丟番圖方程，它是數(shù)論的一個分支。不過丟番圖并不要求解答是整數(shù)，而只要求是正有理數(shù)。從另一個角度看，《算術》一書也可以歸入代數(shù)學的范圍。代數(shù)學區(qū)別于其它學科的最大特點是引入了未知數(shù)，并對未知數(shù)加以運算。就引入未知數(shù)，創(chuàng)設未知數(shù)的符號，以及建立方程的思想﹝雖然未有現(xiàn)代方程的形式﹞這幾方面來看，丟番圖的《算術》完全可以算得上是代數(shù)。

（7）帕普斯﹝Pappus of Alexandria，約公元300─350年﹞

公元4世紀，希臘數(shù)學已成強弩之末?！包S金時代”﹝300 B.C─200 B.C﹞幾何巨匠已逝去五、六百年，公元前146年亞歷山大被羅馬人占領，學者們雖然仍能繼續(xù)研究，然而已沒有他們的先輩那種氣勢雄偉、一往無前的創(chuàng)作精迪。公元后，興趣轉向天文的應用，除門納勞斯﹝Menelaus of Alexandria公元100前后﹞、托勒密﹝Claudius Ptolemy，約公元85-165﹞在三角學方面有所建樹外，理論幾何的活力逐漸雕萎。此時亞歷山大的帕普斯正努力總結數(shù)百年來前人披荊斬棘所取得的成果，以免年久失傳，敘寫了希臘數(shù)學的最后一頁。

帕普斯給歐幾里得《幾何原本》和《數(shù)據(jù)》以及托勒密的《至大論》和《球極平面投影》作過注釋。寫成八卷的《數(shù)學匯編》﹝Mathematical Collection﹞──對他那個時代存在的幾何著作的綜述評論和指南，其中包括帕普斯自己的創(chuàng)作。但第一卷和第二卷的一部份已遺失，許多古代的學術成果，由于有了這部書的存錄，才能讓后世人得知。例如芝諾多努斯的《等周論》，經(jīng)過帕普斯的加工，被編入于第五卷之中。當中有關于“圓面積大于任何同周長正多邊形的面積”、“球的體積大于表面積相同的圓錐、圓柱”、“表面積相同的正多面體，面積愈多體積愈大”等命題。對于希臘幾何三大問題也作了歷史的回顧，并給出幾種用二次或高次曲線的解法。在第七卷中則探討了三種圓錐曲線的焦點和準線的性質，還討論了“不面圖形繞一軸旋轉所產(chǎn)生立體的體積”，后來這叫做“古爾丁定理”，因為后者曾重新加以研究。

總括而言，希臘數(shù)學的成就是輝煌的，它為人類創(chuàng)造了巨大的精神財富，不論從數(shù)量還是從質量來衡量，都是世界上首屈一指的。比希臘數(shù)學家取得具體成果更重要的是：希臘數(shù)學產(chǎn)生了數(shù)學精神。即數(shù)學證明的演繹推理方法。數(shù)學的抽象化以及

自然界依數(shù)學方式設計的信念，為數(shù)學乃至科學的發(fā)展起了至關重要的作用。而由這一精神所產(chǎn)生的理性、確定性、永恒的

第三章．中國古代的數(shù)學 1．漢以前的中國數(shù)學

幾乎和古希臘同時的戰(zhàn)國時期的百家爭鳴也促進了中國數(shù)學的發(fā)展，一些學派還總結和概括出與數(shù)學有關出的許多抽象概念。其中著名的有《墨經(jīng)》中關于幾何的定義和命題，例如，圓，一中同長也，即圓是從中心到周界有相同長度的圖形。平，同高也，即平行線之間的高度相同。等等。

周秦以來逐漸發(fā)展起來的中國古代數(shù)學，經(jīng)過漢代更進一步的發(fā)展，已經(jīng)逐漸形成了完整的體系，中國傳統(tǒng)數(shù)學自古就受到天文歷法的推動，秦漢時期天文歷法有了明顯的進步，涉及的數(shù)學知識水平也相應提高。西漢末年編纂的《周髀算經(jīng)》是一部以數(shù)學方法闡述的天文著作，用對話一問一答的形式寫出的，提出勾股定理的特例和提出測太陽高、遠的方法，為后來重差術的先驅。

《九章算術》是戰(zhàn)國、秦、漢封建社會創(chuàng)立并鞏固時期數(shù)學發(fā)展的總結，就其數(shù)學成就來說，堪稱是世界數(shù)學名著。例如分數(shù)四則運算、今有術(西方稱三率法)、開平方與開立方(包括二次方程數(shù)值解法)、盈不足術(西方稱雙設法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負數(shù)運算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數(shù)的方法)等。其中方程組解法和正負數(shù)加減法則在世界數(shù)學發(fā)展上是遙遙領先的。就其特點來說，它形成了一個以算法為中心、與古希臘數(shù)學完全不同的獨立體系。

總之，《九章算術》有幾個顯著的特點：采用按類分章的數(shù)學問題集的形式；算式都是從籌算記數(shù)法發(fā)展起來的；以算術、代數(shù)為主，很少涉及圖形性質；重視應用，缺乏理論闡述等。

2．從魏晉到隋唐時期的中國數(shù)學

東漢《九章算術》出現(xiàn)以后，注釋與修正的工作在不斷進行著。魏晉趙爽作《勾股方圓圖注》，利用勾股定理完成一般一元二次方程(首項系數(shù)可以為負，三國時代，劉徽注《九章算術》(263年)?！毒耪滤阈g》中取圓周率為3，劉徽提出「割圓術」，計算正192邊形的面積，求得3.141的三位小數(shù)近似值。其后南北朝祖沖之(429-500)更把這結果向前推進，在《綴術》一書中，找到3.1415926的密率。

如果將《九章算術》的內(nèi)容當作中國數(shù)學的雛型，那么自東漢到隋唐(即公元第二世紀到第十世紀)，可稱為它的發(fā)展期，隋唐以后漸臻成熟。到十三世紀南宋及元初，才進入中國數(shù)學的黃金時代。

著作方面，唐朝《新唐書藝文志》中收錄的《十部算經(jīng)》(李淳風注)很 能夠反應發(fā)展期的數(shù)學水平?！妒克憬?jīng)》除收集早期的《周髀》《九章》之外還包羅了

《海島算經(jīng)》(劉徽，263年)《孫子算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》(皆為第三、四世紀之作，但夏侯陽現(xiàn)傳本則迭經(jīng)增補，搜集的材料包含到第八世紀的有關內(nèi)容)《五曹算術》、《五經(jīng)算術》(《五曹》為官吏手卌，《五經(jīng)》則傾向玄學，無甚內(nèi)容)《輯古算經(jīng)》(唐、王孝通，626年稍后定成)另外亦含第五世紀祖沖之所作《綴術》，惜已失傳。十三世紀宋朝再刻《十部算經(jīng)》時，便以《數(shù)術記遺》代之，成為現(xiàn)存的《算經(jīng)十書》。

3．十二、三世紀的宋元數(shù)學

宋元兩代，中國數(shù)學進入了黃金時期，尤其到了十三世紀成就更趨輝煌。不只相對于中國本身古來的數(shù)學得到空前的發(fā)展，放眼于當時阿拉伯、印度及歐洲各地的數(shù)學水平，也是處于領先的地位。

宋元黃金時期的數(shù)學家一般以南方的秦九韶、楊輝，北方的李治、朱世杰為代表，合稱秦、李、楊、朱四大家。事實上，四家之前有北宋支持王安石變法的沈括(1031-95)。沈括晚年著有《夢溪筆談》，討論「隙積術」，開創(chuàng)了高階等差級數(shù)的研究。又有楚衍(與沈括約同時代在司天監(jiān)工作)的學生賈憲，作「增乘開方法」引進隨乘隨加的方法，開平方開立方法。由于隨乘隨加的方法暗含著二項式定理的系數(shù)分配，這種開方法馬上可以推廣到高次開方,為其后不久劉益，秦九韶作一般高次方程的數(shù)值解法鋪路。在西方，高次方程的數(shù)值解法要延到十九世紀才由 Ruffini(1804)與Horner(1819)具體提出，西方數(shù)學慣稱為Horner method(霍納方法)。

值得注意，不管在代數(shù)方法或轉化方法上，中國數(shù)學家在定量方面的努力都已接近飽和，必須轉向去做些定性的工作。例如在代數(shù)方法上有了天元術、四元術，便須轉個方向去考慮根與系數(shù)的定性關系，才能再往前推進，做出像十九世紀 Abel, Galois 的方程論那樣的工作。而在轉化方法上，有了個別關系也須要改做些定性的考慮，到定性方面去找尋有系統(tǒng)的轉化關系，發(fā)展出像解析幾何之類的工作。

但變量數(shù)學終究不曾出現(xiàn)在中國，道理還是社會條件不夠，當時中國社會以天文歷法所需的數(shù)學最為繁復。內(nèi)插法是一種逼近，隱約有了變量數(shù)學成份。但變量數(shù)學得以發(fā)展的真正關鍵在于引入變化率。日月五星的運行雖也有變量，但運行的瞬間速度在當時還不必去考慮，不像在歐洲，力學已發(fā)展到須要找出運動規(guī)律的時候了。十三世紀前的中國數(shù)學在局部化方法上所作的貢獻只限于三次函數(shù)的內(nèi)插逼近及早先祖沖之的 Cavalieri 原理。

宋元以后，明代理學對科學技術與思想發(fā)展造成一定束縛。除程大位《算法統(tǒng)宗》繼吳敬,徐心魯?shù)热藢⒒I算改良，發(fā)展為珠算，便利四則計算之外，明朝兩百年間，不僅沒繼承宋元數(shù)學而持續(xù)發(fā)展，甚至宋元著作散失，數(shù)學水平普遍下降。明末清初，西方傳教士陸續(xù)來華之時，中國數(shù)學正處低潮時期，兩種文化的交會結束了中國本土數(shù)學的發(fā)展。

第四講章．印度與阿拉伯的數(shù)學

1．印度的數(shù)學

印度是世界上文化發(fā)達最早的地區(qū)之一，印度數(shù)學的起源和其它古老民族的數(shù)學起源一樣，是在生產(chǎn)實際需要的基礎上產(chǎn)生的。但是，印度數(shù)學的發(fā)展也有一個特殊的因素，便是它的數(shù)學和歷法一樣，是在婆羅門祭禮的影響下得以充分發(fā)展的。再加上佛教的交流和貿(mào)易的往來，印度數(shù)學和近東，特別是中國的數(shù)學便在互相融合，互相促進中前進。另外，印度數(shù)學的發(fā)展始終與天文學有密切的關系，數(shù)學作品大多刊載于天文學著作中的某些篇章。

約在三千七百年前，Harappa 文化已開始式微。等到約三千五百年前，亞利安人從中亞進入印度的恒河流域時，這支文化已經(jīng)消失殆盡。

亞利安人發(fā)展了世襲的種姓制度，婆羅門（教士）與武士享有統(tǒng)治權。婆羅門掌管知識，并且不讓平民有一絲一毫的教育；為此，他們反對寫作，而婆羅門教圣詩吠陀(Veda)則以口述承傳。亞利安人在印度頭一千年的歷史就因文獻不足而不清不楚。在數(shù)學方面，我們只能從吠陀的經(jīng)文中看出，他們和別的民族一樣，也在天文方面花了一些心思。公元前六世紀，佛教興起，屏棄了婆羅門教的閉鎖性格，于是文學萌芽，歷史也開始有了可靠的文獻。

公元前326年，亞歷山大大帝曾經(jīng)征服了印度的西北部，使得希臘的天文學與三角學傳到了印度。緊接著亞歷山大大帝之后，孔雀王朝（Maurya，公元前320～185年）興起，在其阿育王時代（公元前272～232年）勢力達到頂峰，領土不但包括印度次大陸的大部分，而且遠如阿富汗都在其控制之下。阿育王以佛教為國教，每到一重要城市總要立下石柱。從數(shù)學的眼光來看，這些石柱讓人感興趣，因為在石柱上我們可以找到印度阿拉伯數(shù)字的原形。

從八世紀開始印度教興起，同時回教勢力也開始侵入，佛教在兩者夾攻之下逐漸式微。到了公元1200年左右，佛教在其出生地的印度差不多就完全消失了。這種宗教信仰的變遷，對印度的文化是有非常具大的影響的。印度的數(shù)學從此之后就停止不前。

十六世紀初，中亞的蒙古人后裔，南下印度，建立了回化的蒙兀兒帝國。到了十九世紀，英國的勢力完全取代了蒙兀兒，成為印度的主宰者。這一段時期，印度雖然有比較統(tǒng)一的局面，但數(shù)學方面仍然沒有進展。因此十二世紀的 Bhaskara 可以說是印度傳統(tǒng)數(shù)學的最后一人。直到二十世紀初，印度數(shù)學會成立（1907年），出版學會雜志（1909年），而且又產(chǎn)生了數(shù)學怪才Ramanujan（1887～1920年），印度的數(shù)學終于漸有起色，而投入了世界數(shù)學的發(fā)展洪流中。

然而印度的傳統(tǒng)數(shù)學在算術及代數(shù)方面則有相當?shù)某删停贿@些包括建立完整的十進制記數(shù)系統(tǒng)，引進負數(shù)的觀念及計算，使代數(shù)半符號化，提供開方的方法，解二次方程式及一次不定方程式等。

拉普拉斯對十進位值制記數(shù)法的評價：“用十個記號來表示一切的數(shù)，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個深遠而又重要的思想，它今天看來如此簡單，以致我們忽視了它的真正偉績。但恰恰是它的簡單性以及對一切計算都提供了極大的方便，才使我們的算術在一切有用的發(fā)明中列在首位；而當我們想到它竟逃過了古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼斯的天才思想的關注時，我們更感到這成就的偉大了?！?/p>

2．阿拉伯數(shù)學

從九世紀開始，數(shù)學發(fā)展的中心轉向阿拉伯和中亞細亞。自從公元七世紀初伊斯蘭教創(chuàng)立后，很快形成了強大的勢力，迅速擴展到阿拉伯半島以外的廣大地區(qū)，跨越歐、亞、非三大洲。在這一廣大地區(qū)內(nèi)，阿拉伯文是通用的官方文字，這里所敘述的阿拉伯數(shù)學，就是指用阿拉伯語研究的數(shù)學。

從八世紀起，大約有一個到一個半世紀是阿拉伯數(shù)學的翻譯時期，巴格達成為學術中心，建有科學宮、觀象臺、圖書館和一個學院。來自各地的學者把希臘、印度和波斯的古典著作大量地譯為阿拉伯文。在翻譯過程中，許多文獻被重新校訂、考證和增補，大量的古代數(shù)學遺產(chǎn)獲得了新生。阿拉伯文明和文化在接受外來文化的基礎上，迅速發(fā)展起來，直到15世紀還充滿活力。

三角學在阿拉伯數(shù)學中占有重要地位，它的產(chǎn)生與發(fā)展和天文學有密切關系。阿拉伯人在印度人和希臘人工作的基礎上發(fā)

展了三角學。他們引進了幾種新的三角量，揭示了它們的性質和關系，建立了一些重要的三角恒等式。給出了球面三角形和平面三角形的全部解法，制造了許多較精密的三角函數(shù)表。其中著名的數(shù)學家有：阿爾?巴塔尼﹝Al-Battani﹞、阿卜爾?維法﹝Abu'l-Wefa﹞、阿爾?比魯尼﹝Al-Beruni﹞等。系統(tǒng)而完整地論述三角學的著作是由十三世紀的學者納西爾丁﹝Nasir ed-din﹞完成的，該著作使三角學脫離天文學而成為數(shù)學的獨立分支，對三角學在歐洲的發(fā)展有很大的影響。

第五講：數(shù)學的復興 1．中世紀的歐洲數(shù)學

羅馬人活躍于歷史舞臺上的時期大約從公元前七世紀至公元五世紀。他們在軍事上和政治上曾取得極大成功，在文化方面也頗有建樹，但他們的數(shù)學卻很落后，只有一些粗淺的算術和近似的幾何公式。著名的科學書籍有維特魯維尼斯的《建筑十書》﹝公元前14年﹞。書中比較注重處理數(shù)學問題，使用了建筑物的平面體和立視圖，可以看到畫法幾何的萌芽。此外，羅馬人對歷法改革也有一定的貢獻。中世紀原指古代文化衰落（五世紀）到意大利文藝復興（十五世紀）之間漫長的一千年。從科學史角度來看，在這段時期內(nèi)，人類從希臘科學文明和羅馬統(tǒng)治的高峰跌落，再沿著現(xiàn)代知識的斜坡掙扎向上。這一時期只出現(xiàn)少數(shù)幾位熱心學術的學者和教士：殉道的羅馬公民博埃齊﹝Boethius﹞，英國的教士學者比德﹝Bede﹞和阿爾克溫﹝Alcuin﹞，著名的法國學者、教士熱爾拜爾﹝Gerbert﹞──他后來成了教皇西爾維斯特二世﹝Pope Sylvester II﹞。

在這樣一種價值取向下，數(shù)學的最基本的思想、方法和觀念等成分漸漸被吸納進基督教體系中去，并成為構建基督教體系所必須的條件之一。這一點特別明顯地體現(xiàn)在九世紀著名的經(jīng)院哲學家和神學家薩阿迪亞·果昂(Saadia Gaon，892-942)的著作中。在他的系統(tǒng)的神學理論中已經(jīng)曾現(xiàn)出十九世紀和二十世紀數(shù)學所特有的某些方法和思維過程。如薩阿迪亞在他的著作中曾

把上帝的存在作為假定，而上帝的唯一性被證明出來，并且以后所賦予上帝的一些性質通過抽象推理和《圣經(jīng)》的象征手法有趣地結合而推導出來。在這里希臘人的方法與希伯來傳統(tǒng)結合起來。這也引出了近現(xiàn)代數(shù)學中的“唯一性問題”。

這種思想經(jīng)過幾個世紀的醞釀，最終在十六、十七世紀達到其頂峰，讓我門看一看法國數(shù)學家、哲學家笛卡兒帶有強烈的唯意志論特征的一段話：“數(shù)學真理，如同其他一切受造之物一樣，也都是由上帝所確立，并依賴于上帝。??上帝能夠做我們所理解的一切事情，我們不可以說上帝無法做我們所不理解的事情。因為，認為我們的想象力可以窮盡上帝力量的那種想法是？越而狂妄的。”所以，對于此時的歐洲學者來說，上帝就是一位至高無上的數(shù)學家，人類不可能指望像上帝那樣清楚地明白上帝的意圖，但人至少可以通過謙恭的態(tài)度和理性的思考來接近上帝的思想，就可以明白神創(chuàng)造的世界。近代數(shù)學的產(chǎn)生和進展就直接得益于這種宗教觀念的提升和促進，由此為近代數(shù)學發(fā)展超越古希臘階段提供了一個必要的形而上學基礎。

十二世紀是數(shù)學史上的大翻譯時期，是知識傳播的世紀，由穆斯林保存下來的希臘科學和數(shù)學的經(jīng)典著作，以及阿拉伯學者寫的著作開始被大量翻譯為拉丁文，并傳入西歐。當時主要的傳播地點是西班牙和西西里，著名的翻譯家有巴思的英國修士阿德拉特﹝Adelard﹞、克雷莫納的格拉多﹝Gherardo﹞、切斯特的羅伯特﹝Robert﹞等等。

十四世紀相對地是數(shù)學上的不毛之地，這一時期最大的數(shù)學家是法國的N?奧雷斯姆﹝Oresme﹞，在他的著

作中，首次使用分數(shù)指數(shù)，還提出用坐標表示點的位置和溫度的變化，出現(xiàn)了變量和函數(shù)的概念。他的工作影響到文藝復興后包括笛卡爾在內(nèi)的學者。

2．經(jīng)驗主義數(shù)學觀的形成及其對于近代數(shù)學實踐的影響

在古希臘哲學家畢達哥拉斯和柏拉圖那里，數(shù)學是一門獨立的、專門的學科，它被賦予了完美與和諧的性質。他們把數(shù)學孤立起來看待，認為數(shù)學是人們通往理念世界的階梯，而當完美的數(shù)學與不完美的可感知世界產(chǎn)生矛盾時，現(xiàn)實是被校正的對象。柏拉圖尤其認為在現(xiàn)象世界中物質阻礙了對數(shù)學理念的精確反映。柏拉圖甚至憎惡“幾何學”這個名詞，他認為在幾何學這門學科中存在著太多的使人聯(lián)想起受做工作的名詞，“這門學科所用的語言散發(fā)著奴隸的氣息”，數(shù)學研究是一種崇高而且有哲理性的職業(yè)，但與應用有關的則是卑劣粗俗的[8]。

在文藝復興時期，畢達哥拉斯和柏拉圖所強調的自然是依照數(shù)學設計的信念廣泛地為歐洲的知識分子所接受。

近代數(shù)學在這種完全嶄新的文化氛圍中邁開了步伐。由于技工與學者相互合作、邏輯思辨與實驗科學攜手大大刺激了數(shù)學中新的觀點、新的理論和方法的產(chǎn)生，這時，數(shù)學一方面從實驗的自然科學中吸取了的靈感，激發(fā)了眾多新學科的創(chuàng)造，如對數(shù)、三角學的形成，微積分的產(chǎn)生與分析學的發(fā)展都是建立在自然科學的研究的基礎上的。另一方面，數(shù)學的成果也日益廣泛的被應用到其他自然科學的研究中去。實際上，從開普勒、笛卡爾、伽利略、牛頓到十八世紀的拉普拉斯，他們在一般方法上或具體研究中都是以數(shù)學家的身份去探索自然的。依靠數(shù)學的指導，建立定量化的規(guī)律，從而導出了極有價值的科學成果。

這一時期，在數(shù)學中首先發(fā)展起來的是透視法。藝術家們把描述現(xiàn)實世界作為繪畫的目標，研究如何把三維的現(xiàn)實世界繪

制在二維的畫布上。

文藝復興時期更出版了一批普及的算術書，內(nèi)容多是用于商業(yè)、稅收測量等方面的實用算術。印度─阿拉伯數(shù)碼的使用使

算術運算日趨標準化。

符號代數(shù)學的最終確立是由16世紀最著名的法國數(shù)學家韋達﹝Viete﹞完成的。他在前人工作的基礎上，于1591年出版了

名著《分析方法入門》﹝In artem analyticam isagoge﹞，對代數(shù)學加以系統(tǒng)的整理，并第一次自覺地使用字母來表示未知數(shù)和已知數(shù)，使代數(shù)學的形式更抽象，應用更廣泛。韋達在他的另一部著作《論方程的識別與訂正》﹝De aequationum recognitione et emendatione, 1615﹞中，改進了三、四次方程的解法，還對n = 2、3的情形，建立了方程根與系數(shù)之間的關系，現(xiàn)代稱之為韋達定理。

文藝復興時期在文學、繪畫、建筑、天文學各領域都取得了巨大的成就。數(shù)學方面則主要是在中世紀大翻譯運動的基礎上，吸收希臘和阿拉伯的數(shù)學成果，從而建立了數(shù)學與科學技術的密切聯(lián)系，為下兩個世紀數(shù)學的大發(fā)展作了準備。

3．三次、四次方程的求根公式的解決

代數(shù)學在文藝復興時期獲得了重要發(fā)展。最杰出的成果是意大利學者所建立的三、四次方程的解法。卡爾達諾在他的著作《大術》﹝Ars magna，1545﹞中發(fā)表了三次方程的求根公式，但這一公式的發(fā)現(xiàn)實應歸功于另一學者塔爾塔利亞﹝Tartaglia﹞。四次方程的解法由卡爾達諾的學生費拉里﹝Ferrari﹞發(fā)現(xiàn)，在《大術》中也有記載。稍后，邦貝利﹝Bombelli﹞在他的著作中闡述了三次方程不可約的情形，并使用了虛數(shù)，還改進了當時流行的代數(shù)符號。

4．三角學的歷史

早期三角學不是一門獨立的學科，而是依附于天文學，是天文觀測結果推算的一種方法，因而最先發(fā)展起來的是球面三角學．希臘、印度、阿拉伯數(shù)學中都有三角學的內(nèi)容，可大都是天文觀測的副產(chǎn)品．例如，古希臘門納勞斯（公元100年左右）著《球面學》，提出了三角學的基礎問題和基本概念，特別是提出了球面三角學的門納勞斯定理；50年后，另一個古希臘學者托勒密著《天文學大成》，初步發(fā)展了三角學．而在公元499年，印度數(shù)學家阿耶波多也表述出古代印度的三角學思想；其后的瓦拉哈米希拉（約505～587）最早引入正弦概念，并給出最早的正弦表；公元10世紀的一些阿拉伯學者進一步探討了三角學．當然，所有這些工作都是天文學研究的組成部分．直到納西爾?。?201～1274）的《橫截線原理書》才開始使三角學脫離天文學，成為純粹數(shù)學的一個獨立分支．而在歐洲，最早將三角學從天文學獨立出來的數(shù)學家是德國人雷格蒙塔努斯（1436～1476）．

近代三角學是從歐拉的《無窮分析引論》開始的．他定義了單位圓，并以函數(shù)線與半徑的比值定義三角函數(shù)，他還創(chuàng)用小寫拉丁字母ａ、ｂ、ｃ表示三角形三條邊，大寫拉丁字母Ａ、Ｂ、Ｃ表示三角形三個角，從而簡化了三角公式．使三角學從研究三角形解法進一步轉化為研究三角函數(shù)及其應用，成為一個比較完整的數(shù)學分支學科．而由于上述諸人及19世紀許多數(shù)學家的努力，形成了現(xiàn)代的三角函數(shù)符號和三角學的完整的理論

第六講：近代數(shù)學的興起

在數(shù)學史上，十七世紀初到十九世紀20年代這段時間被稱為近代數(shù)學時期。對數(shù)的產(chǎn)生、牛頓、萊布尼茨的微積分、帕斯卡等人的概率論等都是這一階段的重要成果。

1．對數(shù)

16世紀末至17世紀初的時候，當時在自然科學領域（特別是天文學）的發(fā)展上經(jīng)常遇到大量精密而又龐大的數(shù)值計算，于是數(shù)學家們?yōu)榱藢で蠡喌挠嬎惴椒ǘl(fā)明了對數(shù)。

德國的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整數(shù)算術》中，寫出了兩個數(shù)列，左邊是等比數(shù)列（叫原數(shù)），右邊是一個等差數(shù)列（叫原數(shù)的代表，或稱指數(shù)，德文是Exponent，有代表之意）。

英國的布里格斯在1624年創(chuàng)造了常用對數(shù)。

1619年，倫敦斯彼得所著的《新對數(shù)》使對數(shù)與自然對數(shù)更接近（以e=2.71828...為底）。

最早傳入我國的對數(shù)著作是《比例與對數(shù)》，它是由波蘭的穆尼斯（1611-1656）和我國的薛鳳祚在17世紀中葉合 編而成的。當時在lg2=0.3010中，2叫「真數(shù)」，0.3010叫做「假數(shù)」，真數(shù)與假數(shù)對列成表，故稱對數(shù)表。后來改用 「假數(shù)」為「對數(shù)」。

2.解析幾何的誕生

幾何學及綜合幾何式的思考方式是希臘數(shù)學的傳統(tǒng)。幾何學幾乎是數(shù)學的同義詞，數(shù)量的研究也包含其中。這種趨勢直到十七世紀上半葉才漸有改變；那時候代數(shù)學已較成熟，同時科學發(fā)展也逼使幾何學尋求更有效的思考工具，更能量化的科學方法。在此雙重刺激之下，解析幾何學就誕生了。

在希臘人的觀點中，圓錐曲線就是圓錐被平面割截的截痕，但若死守這種觀點，圓錐曲線的性質就甚難推演。Apollonius 由圓錐截痕的定義導出圓錐曲線中一些幾何量所具有的代數(shù)關系式，然后以這些關系式為基礎再導出其它的性質。這些關系式，經(jīng)稍微的變形，用現(xiàn)代的觀點來看是這樣的。

代數(shù)學本身尚未完全成熟也使解析幾何的想法未能迅速推廣開來。那時，負數(shù)的觀念并不成熟，尤其是，幾何的量不能與負數(shù)有關，所以許多可以統(tǒng)一處理的情形，都得分成好幾個狀況，分別處理，而且只有在第一象限才有圖形。

3.微積分的產(chǎn)生與發(fā)展

微積分思想的萌芽可以追溯到古希臘時代。公元前5世紀，德謨克利特創(chuàng)立原子論，把物體看成由大量的不可分割的微小部份﹝稱為原子﹞迭合而成，從而求得物體體積。公元前4世紀，歐多克索斯建立了確定面積和體積的新方法──窮竭法，從中可以清楚地看出無窮小分析的原理。阿基米得成功地把窮竭法、原子論思想和杠桿原理結合起來，求出拋物線弓形面積和回轉錐線體的體積，他的種種方法都孕育了近代積分學的思想。

事實上，17世紀早期不少數(shù)學家在微積分學的問題上做了大量的工作，但只停留在某些具體問題的細節(jié)之中，他們?nèi)狈@門科學的普遍性和一般性的認識。微積分學的最終創(chuàng)立要歸功于英國數(shù)學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茲。

4.概率論的產(chǎn)生

（1）．概率的起源——隨機性游戲

作為一門經(jīng)驗科學的古典概率論最直接起源于一種相當獨特的人類行為思想的探索：人們對于機會性游戲的研究思考。所謂機會性游戲是靠運氣取勝一些游戲，如賭博等。這種游戲不是哪一個民族的單獨發(fā)明，它幾乎出現(xiàn)在世界各地的許多地方，如埃及、印度、中國等。在自古至今各國文獻的記載中，有關賭博等機會性游戲的記載的文獻是非常豐富的，賭博手冊的存在、各種隨機發(fā)生器的發(fā)明，各個時代和國家經(jīng)常展開的反對賭博的斗爭活動等都是早年機會性游戲流傳的明證。

帕斯卡和費馬正確解決了“點問題”的這一事件被伊夫斯）稱為“數(shù)學史上的一個里程碑”。

（2）．概率論與統(tǒng)計學的結合

概率論產(chǎn)生于人類的一種特殊的活動——機會性的游戲，而培育它成長壯大的其他因素卻豐富多彩。首先是一門與經(jīng)濟、政治和宗教信仰等有密切關系的關于數(shù)據(jù)的學問——統(tǒng)計學對概率論發(fā)展產(chǎn)生了重大的影響。

正是伯努利具體地指出了概率論可以走出賭桌旁而邁向更廣闊的天地這一光輝前景。他的大數(shù)定律成為概率論從一系列人們視之為不怎么高尚的賭博問題轉向在科學、道德、經(jīng)濟、政治等方面有價值和有意義的應用的一塊塌腳石，從而吸引了歐拉、拉格郎日、達朗貝爾、孔多塞、拉普拉斯等一大批數(shù)學家投身于其中。

（3）．概率論與分析學等領域的結合

伯努利的工作也顯示了逐漸發(fā)展的統(tǒng)計是概率論施展?jié)摿Φ淖钪匾奈枧_。但是由于統(tǒng)計學所研究的許多現(xiàn)象比賭博中的輸贏等現(xiàn)象要復雜得多，許多問題涉及到連續(xù)和無限的情形，這樣主要以離散組合方法為主的古典概率論就顯得不是很充分了。所幸的是十八世紀分析學的發(fā)展為概率論方法的擴展提供了及時的條件，于是分析的方法開始大規(guī)模地進入了概率論研究的領域。早期在這方面做出重要嘗試的是與伯努利幾乎同時對概率論做出重要貢獻的另一位數(shù)學家棣莫弗（1667—1754）。

在數(shù)學分析與概率論的結合方面做出有益嘗試的數(shù)學家們還有：伯努利家族眾多科學成員中的一員丹尼爾.伯努利（Daniel Bernoulli，1700—1782）研究了由他的哥哥尼古拉.伯努利（Nikolaus）在1713年首先提出的著名的彼得堡（Petersburg）悖論。丹尼爾.伯努利在其工作中還明確地示范了怎樣將微積分（60年前發(fā)明的）應用于概率的研究。歐拉（Leonard Euler，1707—

1783）分類整理了許多概率問題；拉格朗日（Joseph Lagrange，1736—1813）更是系統(tǒng)地把微積分應用于概率論，由此把概率論推進了一大步。

（4）．概率論與社會科學的結合

在十八世紀，除了當時非常有效的數(shù)學工具——數(shù)學分析，以及統(tǒng)計學和誤差測量等方面與概率論的廣泛結合之外，概率論發(fā)展的另一個重要特征就是它的應用范圍大幅度地向社會學領域中擴展，這種傾向與當時的社會精神氛圍有著極其密切的關系。在十八世紀，“理性”是貫穿始終的一個中心，這個詞表達出了這個世紀的人們的希望和為之奮斗的一切東西。所謂理性一般是指正確方法的關鍵，它也指自然界的秩序，也表示邏輯上有效的論證，就像數(shù)學中的論證那樣。所以，數(shù)學一直被作為秩序和理性的典范。而此時正是經(jīng)典的自然科學領域結出輝煌碩果的時期，許多知識分子也希望建立一門像自然科學那樣以數(shù)學的方法為基礎的關于人和社會的科學。這一切與自笛卡爾以來人們所認為的數(shù)學具有普遍特征的觀點是一脈相承的。

第七講：近代數(shù)學的發(fā)展

十九世紀二十年代以來，數(shù)學發(fā)展的主要特征是空前的創(chuàng)造精神和高度的嚴格精神相結合，這個世紀的數(shù)學成果超過以往所有數(shù)學成果的總和，其中最典型的成就應當屬分析學的嚴格化；射影幾何的復興及非歐幾何的誕生；代數(shù)學中群論和非交換代數(shù)學的產(chǎn)生；以及公理化運動化的開端等。這些事件具有重大的意義，從某種程度來說它們改變了人類的思維方法，并且最終影響到人們對數(shù)學的本性的理解，這些事件也深深地影響了二十世紀數(shù)學的發(fā)展趨勢，主要反映在純粹數(shù)學方面。

1．幾何學的發(fā)展

（1）射影幾何學的復興

19世紀，幾何學領域的首先的一個突出的進展是關于射影幾何學的研究。

射影幾何學討論平面或空間圖形的射影性質。所謂射影性質就是在射影變換下保持不變的幾何性質，如三點共線、三線共點等，這些性質如此眾多，且各不相同，因此，為了使這繁雜的知識變得有條理，人們常采取建立在定理的推演方法的基礎上的分類原則。按照這種分類原則可以區(qū)分出“綜合”與“分析”兩大類方法。綜合法就是歐幾里得公理化方法，它將學科建立在純粹的幾何基礎之上，而與代數(shù)及數(shù)的連續(xù)概念無關，其中的定量都是從一組稱為公理或公設的原始例題推導出來的。分析法則是建立在引入數(shù)值坐標的基礎上，并且應用代數(shù)的技巧。這種方法給數(shù)學帶來了深刻的變化，它將幾何、分析和代數(shù)統(tǒng)一成為一個有機的體系。

（2）非歐幾何的創(chuàng)立

19世紀幾何學最重要的成就，應當首推30年代創(chuàng)立的非歐幾何學。

非歐幾何的歷史，便開始于努力清除對歐幾里得平行公理的懷疑。據(jù)說，在歐幾里得以后果的兩千多年的時間里，幾乎難以發(fā)現(xiàn)一個沒有試證過第五公設的大數(shù)學家。但是，兩千多年來許多數(shù)學這在這方面的努力都失敗了。這是因為：除了他們一直沒有找到一個比平行公理更好的假設之外，在他們的每一個所謂“證明”中，都自覺不自覺、或明或暗地引進了一些新的假設，而每個新假設都與第五公設等價：即在某給定的公理的基礎上加上第五公設可以推導出這一命題；反之；反之在此組公理基礎上加上這個命題也可以推導出第五公設。所以，在本質上他們并沒有證明第五公設，只是在整個公理體系中，把第五公設用等價命題來代替罷了。例如：公元4世紀的普洛克拉斯（Proclus）試圖通過把平行于已知直線的線定義為和已知直線有給定固定距離所有點的軌跡的方法，來廢除特殊的平行公理，但是他沒有意識到，他只是把困難轉移到另一個地方罷了，因為，必須證明這樣的點的軌跡的確是一條直線，當然證明這一點是困難的。但如果承認這個命題是一個公理，那么容易證明：這個公理和平行公理是等價的。

到17、18世紀，許多數(shù)學家，如意大利耶穌會教士薩開里（Girolano Sacheri，1667-1733）、瑞士的蘭伯特（Johann Heinrich Lambert，1728-1777）、法國的分析數(shù)學家拉格朗日（Lagrange，1736-1813）和勒讓德（Legendre，1752-1833）、匈牙利的W·波

爾約（WBolyai，1775-1813）等，為了試證平行公設，而改用反證法，即從第五公設不成立的情況著手，追窮它能否得出與已知定理相矛盾的結果。如果得不出，它又會產(chǎn)生怎樣的事實。實際上，這樣的思想方法，已經(jīng)開辟了一條通向非歐幾何的道路，并且得出了許多耐人尋味的事實。而這些事實正是從第五公設不成立這一假定下推導出來的，這恰恰就是非歐幾何學中的定理。

羅巴切夫斯基（1793-1856）于1826年2月在喀山大學數(shù)理系的一次會議上提出了關于非歐幾何的思想。1829年，他正式發(fā)表了題為《論幾何學基礎》的論文，以后，他又發(fā)表了題為《具有平行的完全理論的幾何新基礎》等多篇著作，論述他關于平行公設的研討以及對新創(chuàng)立幾何體系的探索。

到了19世紀末期，非歐幾何逐漸被人們所接受，非歐幾何的產(chǎn)生具有極為深遠的意義，它把幾何學從傳統(tǒng)的模型中解放出來，“只有一種可能的幾何”這個幾千年來根深蒂固的信念動搖了，從而為創(chuàng)造許多不同體系的幾何打開了大門。1873年，一位英國數(shù)學家把羅巴切夫斯基的影響比作由哥白尼的日心說所引起的科學革命。希爾伯特也稱非歐幾何是“這個世紀的最富有建設性和引人注目的成就”。

2.代數(shù)學的發(fā)展

（1）群論的誕生

群的思想起源于求解高次方程的根的問題。在18世紀末和20世紀初，代數(shù)學中的中心問題之一仍是代數(shù)方程的代數(shù)解法，這個問題的根本困難在于求一個未知數(shù)的n次代數(shù)方程的解法，可以用系數(shù)的加、減、乘、除和開方的有限次運算表示出根的公式，也稱根式解法。

19世紀末期，群論幾乎滲入到當時數(shù)學的各個領域中去，例如1872年，克萊因在他著名的“埃爾朗根綱領”中指出，變換群可用來對幾何進行分類；F·克萊因和龐加萊在研究自守函數(shù)的過程中曾用到其它類型的無限群；1870年左右，S·李開始研究連續(xù)變換群的概念，并用它們闡明微分方程的解，將微分方程進行分類；在代數(shù)中，群作為一個綜合的基本結構成為抽象代數(shù)在20世紀興起的重要因素；此外，群論在近代物理學中也有重要的應用。

（2）非交換代數(shù)學的產(chǎn)生 1．代數(shù)結構

在19世紀早期，代數(shù)和幾何有著相似的經(jīng)歷，人們把代數(shù)單純地看作是符號化的算術，也就是說，在代數(shù)中，凡量都可以用字母表示，然后按照對數(shù)字的算術運算法則對這些字母進行計算，例如，這些運算法則中最基本的五條是：加法交換律、乘法交換律、加法結合律、乘法結合律、乘法在加法上的分配律。而隨著伽羅瓦的群的概念的引入，19世紀中葉的代數(shù)在保持上述這種基礎的同時，又把它大大地推廣了。這時，在代數(shù)中還考察比數(shù)（自然數(shù)、整數(shù)、負數(shù)等）具有更普遍得多的性質的“數(shù)”——元素。比如，上述關于數(shù)的五條基本性質，也可以看作是其它完全不同的元素體系的性質，也就是說，存在有共同代數(shù)結構的公設，并且，邏輯上隱含于這些公設的任何定理，可被用于滿足這五條基本性質的任何元素來解釋。從這個觀點上說，代數(shù)不再束縛于算術上，代數(shù)就成了純形式的演繹研究。

2．向量

19世紀后期，復數(shù)成為研究平面向量的有效工具。但是，復數(shù)只能表示平面向量，而物理學中處理的量涉及的總是三維空間向量。困此，迫切需要一種能處理空間向量的數(shù)學理論。四元數(shù)的誕生自然引起了很大的反響，數(shù)學物理家們從四元數(shù)中找到了處理空間向量的數(shù)學理論，因為四元數(shù)中含有三維向量的標準研究式xi+yj+zk。但是，在哈密頓那里，向量只是四元數(shù)的部分，而不是作為獨立的數(shù)學實體處理的。從四元數(shù)到向量需要邁出主要一步是把向量從四元數(shù)中獨立出來。電磁理論的發(fā)明者，偉大的英國數(shù)學物理學家之一麥克斯韋（1831-1879）在區(qū)分出哈密頓的四元數(shù)的數(shù)量部分和向量部分的方向上邁出了第一步。其后，在19世紀80年代初期由數(shù)學物理學家吉布斯（1839-1903）和希維賽德（1850-1925）各自獨立地開創(chuàng)了一個獨立于四元數(shù)的新課題——三維向量分析。

3．矩陣

另一個不可交換的代數(shù)——矩陣理論是英國數(shù)學家凱萊創(chuàng)造的。他是在研究線性變換下的不變問題時，為簡化記號引入矩陣概念的。凱萊定義了兩個矩陣相等、兩個矩陣的乘法、矩陣的加法。在所得到的矩陣代數(shù)中，可以證明：乘法不滿足交換律。

總之，正象非歐幾何的創(chuàng)立為新幾何學的創(chuàng)立開辟了道路一樣。四元數(shù)、超復數(shù)、向量、矩陣等新的代數(shù)體系的出現(xiàn)，也成為代數(shù)學上的一次革命。它們首先把數(shù)學家們從傳統(tǒng)的觀念中解放出來，并為新的代數(shù)學——現(xiàn)代抽象代數(shù)學的創(chuàng)立打開了大門。

3．分析學的發(fā)展

（1）微積分的嚴格化

自17世紀中葉微積分建立以后，分析學各個分支象雨后春筍般迅速發(fā)展起來，其內(nèi)容的豐富，應用的廣泛使人應接不暇。它的高速發(fā)展，使人們無暇顧及它的理論基礎的嚴密性，因而也遭到了種種非難。到19世紀初，許多迫切的問題得到了基本解決。大批數(shù)學家又轉向了微積分基礎的研究工作。以極限理論為基礎的微積分體系的建立是19世紀數(shù)學中最重要的成就之一。

微積分中，這種缺乏牢固的理論基礎和任意使用發(fā)散級數(shù)的狀況，被當時一些數(shù)學家認為是數(shù)學的恥辱。這些問題，雖然經(jīng)過了整整一個半世紀的修正和改進，仍未得到完滿的解決。但是人們已經(jīng)從正反兩方面積累了豐富的材料，為解決這些問題準備了條件。從19世紀20年代起，經(jīng)過許多數(shù)學家的努力，到19世紀末，微積分的理論基礎基本形成。在這方面做出突出貢獻的主要有數(shù)學家波爾查諾、柯西、魏爾斯特拉斯等。

集合論的建立

在分析學的重建運動中，德國數(shù)學家康托爾開始探討了前人從未碰過的實數(shù)點集，這是集合論研究的開端。到1874年康托爾開始一般地提出“集合”的概念。他對集合所下的定義是：把若干確定的有區(qū)別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素。人們把康托爾于1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日。

但是隨著歲月的流逝，集合論日臻完善，并且以其巨大的生命力展現(xiàn)在人們面前。集合論的誕生被譽為是數(shù)學史上一件具有革命性意義的事件，英國哲學家羅素把康托爾的工作稱為“可能是這個時代所能夸耀的最巨大的成就?！笨低袪柹霸錆M自信地說：“我的理論猶如磐石一般堅固，任何反對它的人到頭來都將搬起石頭砸自己的腳??。”歷史的事實證實了這一點，康托爾和他它的集合論最終獲得了世界的承認，至今享有極高的聲譽，它已經(jīng)深入到數(shù)學的每一個角落。正如大數(shù)學家希爾伯特所指出的那樣“沒有人能把我們從康托爾所創(chuàng)造的樂園里趕走！”

4.公理化運動

概括地說，公理觀點可以敘述如下：在演繹系統(tǒng)中，為了證明一個定理，就必須證明這個定理是某些以前已經(jīng)證明過的命題的必然的邏輯推論，而這些命題本身又必須用其它命題來證明，等等。這個過程不可能是無限的，因此，必須有少數(shù)不定義的術語和公認成立而不要求證明的命題（稱為公理或公設），從這些公理出發(fā)，我們可以試圖通過純邏輯的推理來導出所有其它的定理。如果科學領域的事實，有這樣的邏輯順序，那么就說這個領域是按公理形式表示了。

（1）、算術的公理化

對于分析，幾何等分支的基礎問題的進一步探討，使得數(shù)學家們關心起算術的基礎。然而，直到19世紀末，算術中一些最基本的概念，如：什么是數(shù)？什么是0？什么是1？什么是自然數(shù)的運算等，卻很少有人解釋過。

（2）初等幾何的公理化

自從歐幾里得時代以來，幾何學就成為公理化學科的典范，很多世紀，歐幾里得體系是被集中研究的對象。但是在19世紀后期，數(shù)學家們才明白：如果一切初等幾何都要從歐氏系統(tǒng)推演出來，那么歐氏公理必須加以修改和補充。

（3）其它數(shù)學對象的公理化

公理化的思想風靡于世，它日益滲透到每一個領域中去。例如，在19世紀初解代數(shù)方程而引進的群及域的概念，在當時都是十分具體的，如置換群。只有到19世紀后半葉，才逐步有了抽象群的概念并用公理刻畫它，群的公理由四條組成，即封閉性公理，兩個元素相加（或相乘）仍對應唯一的元素；運算滿足結合律；有零元及逆元素存在，等等。公理化的思想深深地影響著現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展。20世紀初的數(shù)學發(fā)展的趨勢之一就是數(shù)學分支的公理化。例如1933年，蘇聯(lián)數(shù)學家A.H.柯爾莫戈洛夫在他的《概率論基礎》一書中給出了一套嚴密的概念論公理體系。特別應當指出的是：公理化運動最大的成果之一是它已經(jīng)創(chuàng)立了一門新學科——數(shù)理邏輯。

第八講 現(xiàn)代數(shù)學概觀

“現(xiàn)代數(shù)學”一詞已為人們所常用，但現(xiàn)代數(shù)學時期卻很難用一個確定的年代作為開始的時間，一般來講，是從20世紀初開始的。現(xiàn)在，20世紀即將結束，它留給人們一筆豐富的數(shù)學財產(chǎn)。這個世紀數(shù)學發(fā)展速度之快、范圍之廣、成就之大、遠遠超出人們的預料，數(shù)學的發(fā)展在改變著人們對數(shù)學的認識。數(shù)學本身也在不斷分化出更多的二級、三級，甚至更細小的學科和思想，而在不同的學科之間，幾乎沒有共同的語言。在這里我們所能給出的，僅僅是極為粗略的概述。

1．集合論悖論與數(shù)學基礎的研究

康托的集合率與數(shù)學的關系從來沒有順利過。1900年左右，正當康托的思想逐漸被人接受時，一系列完全沒有想到的邏輯矛盾，在集合論里的邊緣被發(fā)現(xiàn)了。開始，人們并不直接稱之為矛盾，而是只把它們看成數(shù)學中的奇特現(xiàn)象。人們認為，集合的概念結構的組成還沒有達到十分令人滿意的程序，只需對基本定義修改，一切事情都會好起來。

在有限集合中，推理有效的邏輯法則的一個特殊例子是排中律，布勞威爾反對把它應用于無限集中。支撐這個法則的假設是每一個數(shù)學陳述都可以判斷是真或假，而不依賴于我們用于判斷真值的方法。對布勞威爾來說，純粹地假設的真值是一個錯誤。只有一個自明的構造通過有限步驟建立起來時，才可以說斷定一個給定的數(shù)學陳述是真的。因為并不能預先保證能夠找到這樣的一個構造。所以我們就無權假設有一個陳述要么是真的，要么是假的。例如：布勞威爾問：“在π的小數(shù)表達式中有十個連續(xù)的數(shù)學形成0123456789的形式，這個陳述是真還是假？”因為這顯然需要我們判定在π中有0123456789形式，或者證明沒有這樣的形式，但是因為π是一無窮小數(shù)，也就不存在作出這個決定的方法，所以人們就不能應用排中律說這個陳述是真或假的。另一方面，從直覺主義者的立場來說，斷言 或是素數(shù)或是合數(shù)，而不必說二者之一成立。因為有一種方法，（如果不怕麻煩去應用它的話），也就是一個有效法則能夠決定兩者之一哪個是正確的。

拋棄排中律和拋棄以此為根據(jù)的非構造的存在性證明，對希爾伯特來說是過于激進的一步，以至于不能接受。他說：“禁止數(shù)學家用排中律，就象禁止天文學家用望遠鏡或拳擊者用拳一樣。”對他來說，布勞威爾不會贊同證明傳統(tǒng)數(shù)學是相容的能夠恢復數(shù)學的意義的主張。這樣他寫道：“用這種方式不會得到任何有數(shù)學價值的東西，沒有被悖論制止的一個假的理論仍然是假的。就象一個沒有被法庭禁止的犯罪行為仍然是犯罪一樣?！?/p>

2.純數(shù)學的發(fā)展

20世紀初，除了圍繞驚心動魄的關于數(shù)學基礎所展開的爭論之外，由19世紀70年代以來發(fā)展起來的數(shù)學的抽象化和公理化的趨勢一直受人重視，人們已經(jīng)意識到抽象理論幾乎具有囊括一切的本領。建立起這樣的抽象理論成為許多數(shù)學家的奮斗目標，而這些人又影響到他們的弟子以及以后幾代數(shù)學家，使得他們不但非常重視數(shù)學的公理化、嚴密性和抽象性，而且傾向于將這些特性永遠看作數(shù)學的本質。在20世紀產(chǎn)生的眾多的純粹數(shù)學中，最具有代表性的應當屬拓撲學、泛函分析和抽象代數(shù)學。這三門學科可以說是現(xiàn)代數(shù)學的三大理論支柱。20世紀，圍繞著這三個領域產(chǎn)生了形形色色的數(shù)學分支，時至今日，人們

似乎形成了這樣的一個觀念，一個人不能閱讀用抽象代數(shù)、拓撲和泛函分析的語言寫成的書籍，就不能自認為真正掌握了現(xiàn)代數(shù)學知識，下面簡略介紹這三門學科的歷史。

（1）拓撲學

有關拓撲學的某些問題可以追溯到17世紀，1679年萊布尼茲發(fā)表《幾何特性》一文，試圖闡述幾何圖形的基本幾何特點，采用特別的符號來表示它們，并對它們進行運算來產(chǎn)生新的性質。萊布尼茲把他的研究叫做位置分析或位置幾何學，并另外宣稱應建立一門能直接表示位置的真正幾何的學問，這是拓撲學的先聲。

1736年，歐拉解決了著名的哥尼斯堡七橋問題。這個問題是，能否在散步中連續(xù)地經(jīng)過如圖（6-1的左圖）所示的七座橋且每座橋只走一次。歐拉解決問題的方式具有拓撲意義，他簡化了這個問題的表示法，用點代表陸地，用線段或弧代表橋，將問題改變成：能否一筆畫出下圖中的右圖。

（2）泛函分析

泛函分析有兩個源頭。第一個源頭是變分法。早在17世紀末18世紀初，約翰·伯努利關于最速降線的工作就可以看成是泛函數(shù)研究的開端。這個問題及后來提出的各種變分問題一般都可歸結為求形如 或更復雜一些的積分的極值。這里函數(shù) 是在某個集合Y上變動。變分法研究以函數(shù)y為自變元的函數(shù)J(y)。把這里的y視為點，Y視為函數(shù)空間的觀念是在很晚才形成的。泛函的抽象理論開始于意大利數(shù)學家沃爾泰拉（1860-1940）關于變分法的工作，他研究所謂“線的函數(shù)”時指出：每一個線的函數(shù)是一個實值函數(shù)F，它的值取決于定義在某個區(qū)間[a, b]上的函數(shù)y(x)的全體。全體y(x)被看作一個空間，每個y(x)看作空間中的一個點。對于y(x)的函數(shù)J(y)，沃爾泰拉曾引進連續(xù)、微商和微分的定義。法國數(shù)學家阿·達馬首先稱這種函數(shù)的函數(shù)J(y)為“泛函”，而阿·達馬的學生萊維則給泛函的分析性質的研究冠上了泛函分析的名稱。

（3）抽象代數(shù)學

抽象代數(shù)是20世紀初期的數(shù)學中最偉大的成果之一，它的產(chǎn)生可以追溯到19世紀。在19世紀，代數(shù)學中發(fā)生了幾次革命性的變革最終促進了抽象代數(shù)學的產(chǎn)生，首先是由于阿貝爾和伽羅瓦等人的工作結束了代數(shù)學中以解方程為主的時代，并促使人們對于代數(shù)學所研究的對象采取一種更為抽象的形式，并且，他們的工作也是后來抽象群論的第一個來源，自19世紀以來，引起代數(shù)學的變革并最終導致抽象代數(shù)學產(chǎn)生的工作還有許多，這些工作大致可以分屬于群論、代數(shù)理論和線性代數(shù)這三個主要方面。到19世紀末期，數(shù)學家們從許多分散出現(xiàn)的具體研究對象抽象出它們的共同特征來進行公理化研究，完成了來自上述三個方面工作的綜合，至此可以說，代數(shù)學已發(fā)展成為抽象代數(shù)學。近代一些德國數(shù)學家對這一綜合的工作起到主要作用，自十九世紀末戴德金和希爾伯特的工作開始，在韋伯（1842-1913）的巨著《代數(shù)教程》的影響下，施泰尼茨（1871-1928）于1911年發(fā)表了重要論文《域的代數(shù)理論》，對抽象代數(shù)學的建立貢獻很大。

（4）布爾巴基學派

隨著三大理論支柱的建立，20世紀以來，數(shù)學越來越向著日益抽象的趨勢發(fā)展，三十年代，對于推動這種趨勢進一步發(fā)展的是尼古拉·布爾巴基的工作。

1939年，布爾巴基出版了一部書名樸實的長篇巨著——《數(shù)學原理》，全書分成許多卷，這本書馬上引起了數(shù)學界極大關注。但是，關于書的作者人們卻一無所知，1949年，有人在一篇有關布爾巴基教授的生平簡介中提到，他從前是波爾達維亞皇家科學院院士，當時居住在法國的南錫。但是以后不久，大約在1953-1954年，他似乎又與南加哥大學數(shù)學研究所有了聯(lián)系。

3.應用數(shù)學的發(fā)展

20世紀現(xiàn)代數(shù)學變得抽象化的同時，數(shù)學應用的范圍也變得更加廣泛了。數(shù)學不僅僅應用于天文、物理、力學等傳統(tǒng)的領域，而且涉及到了人們以往認為的與數(shù)學的相互關系不大的生物、地理、化學等領域。今天，可以說幾乎所有的科學領域都滲入了數(shù)學的概念和方法，而數(shù)學本身由于在這些學科上的應用也不斷地豐富起來，數(shù)理統(tǒng)計學和生物數(shù)學的興起和發(fā)展充分說

明了這一點。

與數(shù)理統(tǒng)計學的興起和發(fā)展相互推動的是另一門應用學科——生物數(shù)學的興起。以往生物學的研究工作大多停留在描述生命現(xiàn)象和定性研究的階段，對數(shù)學的需求自然顯得不太迫切，許多人對于“生物學的研究中究竟能用到多少數(shù)學知識？”這個問題持消極態(tài)度，但事實證明生物學的深入研究必然會遇到大量數(shù)學問題。生物界現(xiàn)象的復雜程度遠遠超過物理現(xiàn)象和化學現(xiàn)象。特別是在定量研究方面更加困難，因此，進行研究所使用數(shù)學工具必然多樣化。如基因的地理分布、種群的年齡分布、森林病毒的蔓延等等。這些問題的研究都要涉及到種群大小的計算、估計和預測，這是概率論的基本內(nèi)容。沃爾泰拉模型中用的微分方程、進化論和試驗設計發(fā)展了數(shù)理統(tǒng)計學；遺傳結構離不開抽象代數(shù)等等。這些都是數(shù)學與生物學相互結合的典型事例。到現(xiàn)在為止，生物數(shù)學已經(jīng)有了生物統(tǒng)計學、生物微分方程、生物系統(tǒng)分析、生物控制、運籌、對策等分支。有人預言：“21世紀可能是生物數(shù)學的黃金時代。”

應用數(shù)學最迅猛的發(fā)展開始于四十年代。第二次世界大戰(zhàn)期間反法西斯戰(zhàn)爭的需要，以及戰(zhàn)后經(jīng)濟發(fā)展的需要等大大促進了該學科的發(fā)展。例如：

計算機的出現(xiàn)，使計算數(shù)學迅猛發(fā)展。一些由于計算量過大而擱置不用的應用方法，這時獲得了新的實用價值。線性規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃、優(yōu)選法等最優(yōu)化理論迅速成長起來。應用數(shù)學有了電子計算機，如虎添翼，20世紀初期強調抽象理論的趨勢至此有了新的變化。

4.六十年代以后的數(shù)學

20世紀60年代以后，數(shù)學理論更加抽象。這個時期，除了某些重大的傳統(tǒng)科目，如集合論、代數(shù)、拓撲、泛函、分析、概率論、數(shù)論等等學科有許多重大的進展外，還有許多新興的分支出現(xiàn)，其中，最引人注目是：非標準分析、模糊數(shù)學、突破理論。此外，由于電子計算機的廣泛應用，使得數(shù)學發(fā)展的趨勢又有了新變化。

（1）非標準分析

在牛頓—萊布尼茲時代，微積分的基礎理論是不嚴格的；那時，牛頓、萊布尼茲的無窮小游移不定——有時被認為是0，有時被認為不是0，他們自己不能自圓其說，因此，遭到了很多的批評，直到19世紀，才由柯西、波爾查諾、魏爾斯特拉斯等人把微積分的理論建立在嚴格的極限理論基礎上。從此，分析中的無窮小量和無窮大量作為數(shù)就再也不存在了，偶而提到，也只是“某變量趨于無窮大”之類的句子，只不過是習慣性的說法而已。但是，1960年秋，羅賓遜（Robinson，Abraham，1918-1974，生于德國人，猶太人，1962年去美國）在普林頓大學的一次報告中卻指出，利用新的方法可以使分析學中久已廢黜的“無窮小”、“無窮大”的概念重新納于合法的地位。1961年在《荷蘭科學院報告》上刊登了羅賓遜的題為“非標準分析”的文章，表明這一新分支已經(jīng)形成。

（2）模糊數(shù)學

經(jīng)典集合論已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學的基礎。在經(jīng)典集合論中，當確定一個元素是否屬于某集合時，只能有兩種回答：“是”或者“不是”，它只能表示出現(xiàn)實事物的“非此即彼”狀態(tài)，然而在現(xiàn)實生活中，卻有著大量的“亦此亦彼”的模糊現(xiàn)象，比如“高個子”、“年輕人”、“漂亮的人”等一些更復雜的情況，這樣一類問題以經(jīng)典集合論為基礎的數(shù)學就不能處理。為了解決這類矛盾，1965年，美國加利福尼亞州立大學的扎德（Zadeh，L.A，1921-）發(fā)表了論文《模糊集合》，其中，他提出了一種嶄新的數(shù)學思想。他引進了“隸屬度”的概念。

此后，在電子計算機的配合下，形成了一個數(shù)學的新分支——模糊數(shù)學，并且很快應用到各個領域中去。（3）突變理論

如果說微積分的主要研究對象是連續(xù)變化的現(xiàn)象，那么突變理論的基本思想則是運用拓撲學、奇點理論和結構穩(wěn)定性等數(shù)學工具描述客觀世界各種形態(tài)、結構的突然性變化，如火山爆發(fā)、胚胎變異、神經(jīng)錯亂、市場崩潰等一系列不連續(xù)的變化現(xiàn)象。

但是，突變理論產(chǎn)生的時間畢竟很短，它的理論還遠不夠完善，對它也還存在著不同的意見和看法，因此，現(xiàn)在對它做出更準確的評價，似乎為時尚早。

（4）電子計算機對數(shù)學發(fā)展的影響

20世紀科學技術的卓越成就之一是電子計算機的產(chǎn)生。自從1944年第一臺計算機問世以來，計算機已經(jīng)深深地影響到整個人類的生活，包括數(shù)學在內(nèi)，人們普遍認為，電子計算機的出現(xiàn)標志著一個新時代——信息時代的到來。

1．四色問題的解決

四色問題稱四色猜想，1852年由倫敦大學的學生佛·格思里（Francis Guthrie）提出，當時他觀察到：如果近鄰區(qū)域著以不同的顏色，那么用四種顏色足夠給任何畫在平面上的地圖著色。他由此提出疑問：是否能夠從數(shù)學上對此加以證明。

2．幾何學的新動向

自歐幾里得時代以來，幾何學一直是基礎數(shù)學的一個主要支柱，由于本世紀中期的新數(shù)學運動的影響，幾何學經(jīng)歷了幾十年衰退，但是到了七十年代，數(shù)學中的幾何學觀念又開始復興，這主要靠的是新理論工具的開發(fā)和計算機圖像顯示的威力，客觀地說，幾何學在數(shù)學上又在起著核心作用，就如同在古希臘時代一樣。舉例來說，在1986年的3名菲爾茲獎獲得者中，幾何學占了2名，這是為了獎勵邁克爾·弗里德曼（Michael Freedman）和西蒙·唐納森（Simou Donaldson）在四維流形幾何方面的貢獻。

計算機繪圖為把幾何學技術推廣到其它數(shù)學領域提供了新的有效手段。開始相互合作，最近在美國明尼蘇達大學進行的幾何學大型計算的研究項目就是一個例子。

3．非線性動力學

對非線性問題（如流體的紊流）的數(shù)學的分析只是在最近幾年才能進行，這是因為新的解析法、巧妙的數(shù)值模擬和計算機圖象顯示，使這類問題的解決已成為可能。應用范圍從機翼剖面的設計到等離體物理學，從油料回收到燃燒過程的研究等。