第一篇：三角函數(shù)定義的教學(xué)反思

三角函數(shù)定義的教學(xué)反思

許欽彪

教育部制訂的普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（人民教育出版社2003年4月版）第31頁關(guān)于必修4《三角函數(shù)》的內(nèi)容與要求是：①借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。根據(jù)這個要求，人民教育出版社《數(shù)學(xué)必修4》（2007年2月版）第12頁給出的任意角的三角函數(shù)定義為（本文稱為定義1）：

設(shè)?是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點p(x,y)，那么y叫做?的正弦，記作sin?，即sin??y，x叫做?的余弦，記作cos?，即cos??x，yy叫做?的正切，記作tan?，即tan??。xx而把原教材中的三角函數(shù)定義，在第13頁用注釋給出（本文稱為定義2）： 一般地，設(shè)角?終邊上任意一點的坐標(biāo)為（x,y），它與原點的距離為r，則sin??yxr,cos??,tan??。并要學(xué)生證明。rrx在實際教學(xué)中，定義1的優(yōu)點是簡潔明了，缺點是缺乏一般性，在實際解題中不能直接應(yīng)用。而定義2不但簡潔明了，而且在一般性問題中都可以直接應(yīng)用。例如教材第12頁的例題：

例2：已知角?的終邊經(jīng)過點P0(?3,?4)，求角?的正弦、余弦和正切值。

教材中是先求出r?OP0?5，再用相似三角形的比例關(guān)系轉(zhuǎn)化成單位圓與終邊的交點坐標(biāo)來得到解。由于涉及到相似比以及符號，結(jié)果把這個簡單明了的問題搞得復(fù)雜化。而且這種相似比及符號問題沒有一般性。如果?在其它象限，其比值符號仍是一個困難。在講解和學(xué)習(xí)時，學(xué)生普遍反映思維別扭、理解不清、難以接受。

如果利用定義2，其解法就自然、清楚而且不受象限及符號的影響。

解：∵P0(?3,?4)在?的終邊上，?x??3,y??4,r?5。據(jù)定義2，得sin??y4x3y4??,cos????,tan???。r5r5x3同樣，第15頁的練習(xí)2，第20頁的習(xí)題1.2的2以及須由定義解答的問題都是利用定義2容易解答，這是因為很少有問題會在已知中給出終邊上的點剛好是單位圓上的條件，所以用定義1解答必須涉及相似比以及符號問題等困難，這是沒有必要的。

根據(jù)以上分析，建議在教學(xué)時，把定義2作為任意角三角函數(shù)的定義，而把定義1作為簡化定義。這一節(jié)的主要教學(xué)步驟可設(shè)計為：

1、定義引入：

①學(xué)生復(fù)習(xí)直角三角形中銳角?的正弦sin?,余弦cos?,正切tan?。

提出問題：現(xiàn)在角?是任意角，這種定義應(yīng)擴展。

②將角?放在直角坐標(biāo)系中，先以簡單的情況為例研究。設(shè)?是第一象限角（如圖），如何定義?的三角函數(shù)，要考慮兩個因素：

aba，來定義，現(xiàn)在擴大的定義要包含以前的定義。ccb第二，sin?,cos?,tan?要由?唯一確定（否則不是函數(shù)）。第一，初中中用比學(xué)生經(jīng)過討論基本上能認同找一個Rt?OPM，教師指出,這個Rt?的實質(zhì) 是終邊上的點P(x,y)。記。OP?r?定義sin?,cos?,tan?。

進一步討論這個比值是否由?唯一確定？與P在終邊上的位置有否關(guān)系？假如另外取一點P1(x1,y1),r1，學(xué)生易知關(guān)，由?唯一確定。

于是這個定義是合理的，也就是說以?的終邊上的一點P(x,y)的坐標(biāo)x,y和OP?r的比值來定義三角函數(shù)是符合函數(shù)要求的。

③進一步可以考慮，以上定義與?所在的象限有否關(guān)系（無），?有否大小限制（無）。④所以，任意角?的三角函數(shù)的定義是：設(shè)角?的終邊上任意一點的坐標(biāo)為P(x,y)，它與原點O的距離為r，則sin??yxyx2?y2.。聯(lián)想第一個因素，可以用比值，來

rrxy1yx1xyy?，?，?1。即比值與P點在終邊上的位置無

r1rr1rxx1yyx,cos???,tan??。rrx⑤說明：A：定義中的P點是?終邊上的任一點。

B：因為r?0，所以對任何?，sin?,cos?總有確定值，而x?0即??k??2

時，tan?沒有意義。

C：因為角?可以用弧度（實數(shù)）表示，所以三角函數(shù)建立了角的集合（弧度

表示）與實數(shù)集之間的一一對應(yīng)關(guān)系。

⑥給出單位圓概念。

⑦探討三角函數(shù)的簡化定義：角?的終邊與單位圓交于點P(x,y)，則r?1，此時定義簡化為：sin??y,cos??x,tan??y。x2、定義的應(yīng)用：

① 已知角?終邊上一點求三角函數(shù)值，講練課本12頁例2，15頁練2?？捎靡话?定義解決（點已知代定義）

②已知角?的大小求三角函數(shù)（課本12頁例1）可用單位圓與?終邊的交點（點未 知，自己?。?，進而練習(xí)特殊角0,????6432，，?,3?的三角函數(shù)值，并記憶。

23、三角函數(shù)的定義域：

由定義知定義域，學(xué)生填表（課本13頁）并記憶。

4、三角函數(shù)值的符號：

由定義和點角?終邊上一點P(x,y)在各象限的符號探討三角函數(shù)值在各象限的符 號，學(xué)生填表（課本13頁）。記憶和應(yīng)用（課本13頁例3）。

5、誘導(dǎo)公式一：

學(xué)生探討，由定義知終邊相同的同名三角函數(shù)值相等。誘導(dǎo)公式一的作用是把任意 角化為一周內(nèi)的角。應(yīng)用（課本14頁例4，例5，練習(xí)15頁5，6）。

6、小結(jié)：布置課外練習(xí)。

第二篇：任意角三角函數(shù)定義

“任意角三角函數(shù)定義”的教學(xué)認識與設(shè)計

浙江金華第一中學(xué) 孔小明

本文首先對三角函數(shù)定義的教學(xué)進行從整體到局部的分析，并在此基礎(chǔ)上給出定義教學(xué)的主干問題設(shè)計.1．整體把握，使教學(xué)線索清晰，層次分明

三角函數(shù)是以函數(shù)為主線，刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.高中學(xué)習(xí)的三角函數(shù)是在初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，通過用旋轉(zhuǎn)的觀點將角的概念推廣到任意角，并使角與實數(shù)建立一一對應(yīng)關(guān)系，然后結(jié)合坐標(biāo)系和單位圓重新定義任意角的三角函數(shù).因此，三角函數(shù)是函數(shù)的下位概念，同時又是銳角三角函數(shù)的上位概念，教學(xué)要以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以坐標(biāo)系和單位圓為定義工具，以初中銳角三角函數(shù)概念為認知的起點，促進任意角三角函數(shù)定義的有效生成.教科書在完成任意角三角函數(shù)定義基礎(chǔ)上衍生出：(1)三角函數(shù)值在各個象限的符號；(2)單位圓中的三角函數(shù)線；(3)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；(4)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式；(5)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等.可見，三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)教學(xué)中可謂重中之重,是整個三角部分的奠基石,它貫穿于與三角有關(guān)的各部分內(nèi)容并起著關(guān)鍵作用.本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)是理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，經(jīng)歷從銳角三角函數(shù)定義過渡到任意角三角函數(shù)定義的推廣過程,體驗三角函數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過程,領(lǐng)悟直角坐標(biāo)系和單位圓的功能,豐富數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗.由于三角函數(shù)的定義內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因，同時，用單位圓上點的坐標(biāo)表示的任意角三角函數(shù)定義,與學(xué)生初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)定義有一定的距離,一個側(cè)重幾何的邊與邊的比值表示,一個側(cè)重代數(shù)的坐標(biāo)（比值）表示.與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)定義也有距離,一般函數(shù)是實數(shù)到實數(shù)的對應(yīng),而三角函數(shù)首先是實數(shù)（弧度數(shù)）到點的坐標(biāo)的對應(yīng),然后才是實數(shù)（弧度數(shù)）到實數(shù)（橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)）的對應(yīng).學(xué)生理解該定義很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步加深提高.促進學(xué)生理解定義的關(guān)鍵是讓學(xué)生經(jīng)歷定義的形成過程,增強學(xué)習(xí)活動的體驗,在教師的引導(dǎo)下獨立思考、自主探究,完成定義的意義建構(gòu).教材中任意角三角函數(shù)定義的得出經(jīng)歷了以下四個循序漸進、不斷深化的過程：（1）回憶用直角三角形邊長的比產(chǎn)生的銳角三角函數(shù)的定義；（2）把銳角α放在直角坐標(biāo)系中，用角的終邊上點的坐標(biāo)表示銳角α的三角函數(shù)；（3）由相似三角形的知識可知，三角函數(shù)值只與α的大小有關(guān)，與點在終邊上的位置無關(guān)，因此可用單位圓上點的坐標(biāo)表示銳角α的三角函數(shù)；（4）類比得出用單位圓定義任意角三角函數(shù)，并將它納入到一般函數(shù)概念的范疇.教科書這樣設(shè)計改變了以往純學(xué)術(shù)形態(tài)的形式,一定程度上具有了教育形態(tài)的特征,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程,反映了數(shù)學(xué)的“來龍去脈”,通過有效的鋪墊,使之符合學(xué)生的認知規(guī)律,使從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)過渡自然,有利于學(xué)生步步加深對三角函數(shù)定義本質(zhì)的理解.因此,筆者認為,教學(xué)設(shè)計時無須“另起爐灶”,只要在此基礎(chǔ)上,依據(jù)學(xué)生的認知特點,進行教學(xué)法的深加工即可.2．抓住關(guān)鍵，使教學(xué)精煉、簡約而高效

由于教科書自身特點的限制,教科書還不能成為教師教學(xué)用的教學(xué)設(shè)計,根據(jù)教材的內(nèi)容、要求以及編寫意圖,教師還需要一個再加工、再創(chuàng)造的過程.具體的,就是將教材中得出任意角三角函數(shù)定義經(jīng)歷的四個環(huán)節(jié)進一步教學(xué)化,使之符合學(xué)生的認知特點和規(guī)律,包括內(nèi)容研究的必要性，坐標(biāo)系、單位圓引入的自然性，以及用單位圓定義的可行性、合理性等.把它變成適合學(xué)生認知特點的具體的教育形態(tài),使學(xué)生感受“數(shù)學(xué)是自然的、清楚的、水到渠成的”.當(dāng)前,高中數(shù)學(xué)課標(biāo)課程比大綱課程的內(nèi)容有所增加，初中數(shù)學(xué)對高中數(shù)學(xué)支持減弱，新課程賦予數(shù)學(xué)教學(xué)更多的價值取向，要讓課堂的所有環(huán)節(jié)都讓學(xué)生有深度思考、自主探究并展示結(jié)果是不現(xiàn)實也是沒必要的.事實上，學(xué)生在校以學(xué)習(xí)間接經(jīng)驗為主,學(xué)生的學(xué)習(xí)主要是“接受——建構(gòu)”式的,因此,對教學(xué)起關(guān)鍵作用的內(nèi)容，要留足時間讓學(xué)生充分思考、交流與展示,其它內(nèi)容教師可多講授與引導(dǎo)，發(fā)揮先行組織者作用,使教與學(xué)達到平衡，讓教學(xué)效益達到最大化.在引導(dǎo)學(xué)生回憶初中銳角三角函數(shù)定義之前,先解決“學(xué)習(xí)的必要性”問題,明確要研究的內(nèi)容.教材將“三角函數(shù)”作為重要的基本初等函數(shù),是周期現(xiàn)象的基本模型,教師可借助本章的章頭語,完成課題的引入.由于初中的銳角三角函數(shù)定義不能推廣到任意角的情形，從而引發(fā)學(xué)生認知沖突，激發(fā)學(xué)生進一步探究的欲望.用什么定義、怎樣定義、這樣定義是否合理等,成為繼續(xù)研究的自然問題.之前,在任意角內(nèi)容的學(xué)習(xí)中,學(xué)生已經(jīng)有了在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角的經(jīng)驗，但教學(xué)實踐表明,學(xué)生仍不能自然想到引入坐標(biāo)系工具,利用坐標(biāo)來定義任意角三角函數(shù).筆者認為，從幫助學(xué)生理解定義的實質(zhì)，體會坐標(biāo)思想與數(shù)形結(jié)合思想的角度，教師可利用適當(dāng)?shù)恼Z言,引導(dǎo)學(xué)生重點解決“如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)”的關(guān)鍵問題.需要提及的是,陶老師的問題設(shè)計具有啟示性：

現(xiàn)在，角的范圍擴大了,由銳角擴展到了0°~360°內(nèi)的角,又擴展到了任意角,并且在直角坐標(biāo)系中,使得角的頂點與原點重合,始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環(huán)境中,你認為,對于任意角α，sinα怎樣定義好呢？

上述問題提得“大氣”，既能使學(xué)生的學(xué)習(xí)圍繞關(guān)鍵問題展開，又突出正弦函數(shù)的概念分析.當(dāng)然，若能依教材先作銳角情形的鋪墊，教學(xué)更符合學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”，提高效率.這里，需要引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的觀點認識用坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)，有助于從函數(shù)的本質(zhì)特征來認識三角函數(shù).在第三個環(huán)節(jié)中，首先是如何自然引入單位圓的問題.用單位圓上點的坐標(biāo)定義三角函數(shù)有許多優(yōu)點，其中最主要的是使正弦函數(shù)、余弦函數(shù)從自變量（角的弧度數(shù)）到函數(shù)值（單位圓上點的橫、縱坐標(biāo)）之間的對應(yīng)關(guān)系更清楚、簡單，突出了三角函數(shù)的本質(zhì)，有利于學(xué)生利用已有的函數(shù)概念來理解三角函數(shù)，其次是使三角函數(shù)反映的數(shù)形關(guān)系更直接，為后面討論函數(shù)的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).但單位圓的這些“優(yōu)點”要在引入單位圓后才能逐步體會到.因此，引入單位圓的“理由”應(yīng)該另辟蹊徑，白老師在引導(dǎo)學(xué)生完成用角的終邊上任意一點的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)之后，從求簡的角度設(shè)置問題,不愧為“棋高一招”：

大家有沒有辦法讓所得到的定義式變得更簡單一點？

在學(xué)生得出時定義式最簡單后,白老師引入單位圓,引導(dǎo)學(xué)生利用單位圓定義銳角三角函數(shù).至此，學(xué)生就有了第四環(huán)節(jié)中用單位圓定義任意角三角函數(shù)的認知準(zhǔn)備.由于“定義”是一種“規(guī)定”，因此，第四環(huán)節(jié)中，教師可類比用單位圓定義銳角三角函數(shù)情形，直接給出任意角三角函數(shù)定義，對學(xué)生而言，關(guān)鍵是理解這樣“規(guī)定”的合理性，對定義合理性認知基礎(chǔ)就是三角函數(shù)的“函數(shù)”本質(zhì)——定義要符合一般函數(shù)的內(nèi)涵（函數(shù)三要素）.3．精心設(shè)計問題，讓課堂成為學(xué)生思維閃光的舞臺 基于上述認識，對定義部分的教學(xué)，給出如下先行組織者和主干問題設(shè)計.先行組織者1：周期現(xiàn)象是社會生活和科學(xué)實踐中的基本現(xiàn)象，大到宇宙運動，小到粒子變化，這些現(xiàn)象的共同特點是具有周期性，另外，如潮汐現(xiàn)象、簡諧振動、交流電等，也具有周期性，而“三角函數(shù)”正是刻畫這些變化的基本函數(shù)模型.三角函數(shù)到底是一種怎樣的函數(shù)？它具有哪些特別的性質(zhì)？在解決具有周期性變化規(guī)律的問題中到底能發(fā)揮哪些作用？本課從研究第一個問題入手.意圖：明確研究方向與內(nèi)容.問題1：在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，它是怎樣定義的？ 意圖：從學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗出發(fā)，為用坐標(biāo)定義三角函數(shù)作準(zhǔn)備.問題2：現(xiàn)在，角的概念已經(jīng)推廣到了任意角，上述定義方法能推廣到任意角嗎？ 意圖：引發(fā)學(xué)生的認知沖突，激發(fā)學(xué)生求知欲望.問題3：如何定義任意角的三角函數(shù)？ 意圖：引導(dǎo)學(xué)生探索任意角三角函數(shù)的定義.先行組織者2：我們知道，直角坐標(biāo)系是展示函數(shù)規(guī)律的載體，是構(gòu)架“數(shù)形結(jié)合”的天然橋梁，上堂課我們把任意角放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)進行研究，借助坐標(biāo)系，可以使角的討論簡化，也能有效地表現(xiàn)出角的終邊位置“周而復(fù)始”的現(xiàn)象.坐標(biāo)系也為我們從“數(shù)”的角度定義任意角三角函數(shù)提供有效載體.意圖：引導(dǎo)學(xué)生借助坐標(biāo)系來定義任意角三角函數(shù).問題4：先考慮銳角的情形，如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，你能用點的坐標(biāo)來表示銳角α的三角函數(shù)嗎？

意圖：引導(dǎo)學(xué)生用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù).問題5：各個比值與角之間有怎樣的關(guān)系？比值是角的函數(shù)嗎？

意圖：扣準(zhǔn)函數(shù)概念的內(nèi)涵，把三角函數(shù)知識納入函數(shù)知識結(jié)構(gòu)，突出變量之間的依賴關(guān)系或?qū)?yīng)關(guān)系，增強函數(shù)觀念.先讓學(xué)生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，得出結(jié)論：三個比值分別是以銳角α為自變量、以比值為函數(shù)值的函數(shù).問題6：既然可在終邊上任取一點，那有沒有辦法讓所得的對應(yīng)關(guān)系變得更簡單一點？ 意圖：為引入單位圓進行鋪墊.教師給出單位圓定義之后，可引導(dǎo)學(xué)生進一步明確：正弦、余弦、正切都是以銳角α為自變量、以單位圓上點的坐標(biāo)（或比值）為函數(shù)值的函數(shù).問題7：類比上述做法，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交點為P（x，y），定義正弦函數(shù)為，余弦函數(shù)為，正切函數(shù)為.你認為這樣定義符合函數(shù)定義要求嗎? 意圖：給出任意角三角函數(shù)的定義,引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)三要素說明定義的合理性，明確任意角三角函數(shù)的對應(yīng)法則、定義域、值域.引導(dǎo)學(xué)生思考定義的合理性，先讓學(xué)生作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明，得出結(jié)論：正弦、余弦、正切都是以任意角α為自變量、以單位圓上的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值（如果存在的話）為函數(shù)值的函數(shù).接著給出任意角三角函數(shù)的定義域、值域.“任意角三角函數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計

陶維林（江蘇南京師范大學(xué)附屬中學(xué)，210003）

一．內(nèi)容和內(nèi)容解析

三角函數(shù)是一個重要的基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型．它的基礎(chǔ)主要是幾何中的相似形和圓，研究方法主要是代數(shù)中的圖象分析和式子變形，三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來．它在物理學(xué)、天文學(xué)、測量學(xué)等學(xué)科中都有重要的應(yīng)用，它是解決實際問題的重要工具，它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中其他學(xué)科的基礎(chǔ)．

角的概念已經(jīng)由銳角擴展到0°~360°內(nèi)的角，再擴充到任意角，相應(yīng)地，銳角三角函數(shù)概念也必須有所擴充．任意角三角函數(shù)概念的出現(xiàn)是角的概念擴充的必然結(jié)果．

比較銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)這兩個概念，共同點是，它們都是“比值”，不同點是銳角三角函數(shù)是“線段長度的比值”，而任意角三角函數(shù)是直角坐標(biāo)系中“坐標(biāo)與長度的比值，或者是坐標(biāo)的比值”．正是由于“比值”這一與在角的終邊上所取點的位置無關(guān)的特點，因此，可以用角的終邊與單位圓的交點的坐標(biāo)（或坐標(biāo)的比值）來表示任意角的三角函數(shù)，這是概念的核心．這樣定義，不僅簡化了任意角三角函數(shù)的表示，也為后續(xù)研究它的性質(zhì)帶來了方便．

從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)類似于從自然數(shù)到整數(shù)擴充的過程，產(chǎn)生了“符號問題”．因此，學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)可以與銳角三角函數(shù)相類比，借助銳角三角函數(shù)的概念建立起任意角三角函數(shù)的概念．

任意角三角函數(shù)概念的重點是任意角的正弦、余弦、正切的定義．它們是本節(jié)，乃至本章的基本概念，是學(xué)習(xí)其他與三角函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)，具有根本的重要的作用．解決這一重點的關(guān)鍵，是學(xué)會用直角坐標(biāo)系中，角的終邊上的點的坐標(biāo)來表示三角函數(shù)．因為正切函數(shù)并不獨立，最主要的是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)．

任意角三角函數(shù)自然具有函數(shù)的一切特征，有它的定義域，對應(yīng)法則以及值域．任意角三角函數(shù)的定義域是實數(shù)集（或它的子集），這是因為，在建立弧度制以后，角的集合與實數(shù)集合間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，從這個意義上說，“角是實數(shù)”，三角函數(shù)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)．各種不同的三角函數(shù)定義了不同的對應(yīng)法則，因而可能有不同的定義域與值域．

任意角三角函數(shù)概念是核心概念，它是解決一切三角函數(shù)問題的基點．無論是研究三角函數(shù)在各象限中的符號、特殊角的三角函數(shù)值，還是同角三角函數(shù)間的關(guān)系，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，等等，都具有基本的重要的意義．

在建立任意角三角函數(shù)這個定義的過程中，學(xué)生可以感受到數(shù)與形結(jié)合，以及類比、運動、變化、對應(yīng)等數(shù)學(xué)思想方法． 二．目標(biāo)和目標(biāo)解析

本節(jié)課的目標(biāo)是，理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義．

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)sinα，cosα，tanα，了解三角函數(shù)是直角三角形中邊長的比值，這個比值僅與銳角的大小有關(guān)，是隨著銳角取值的變化而變化的，其值是惟一確定的，等函數(shù)的要素．這是任意角三角函數(shù)概念的“生長點”．

理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）定義的關(guān)鍵是由銳角三角函數(shù)這個線段長度的比值擴展為點的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值．因此，對銳角三角函數(shù)理解得怎樣，對理解任意角三角函數(shù)有決定意義，復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)，加深對銳角三角函數(shù)的理解是必要的．

要實現(xiàn)讓學(xué)生“理解”任意角三角函數(shù)定義的教學(xué)目標(biāo)，莫過于讓學(xué)生參與任意角三角函數(shù)定義的過程．讓學(xué)生感受到因角的概念的擴展，銳角三角函數(shù)概念擴展的必要性，任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)概念的自然延伸．反過來，既然銳角集合是任意角集合的子集，那么，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該是任意角三角函數(shù)的特殊情況，是一個包含關(guān)系．讓學(xué)生參與定義，可以感受到這樣定義的合理性，感受到這個定義是自然的．

三．教學(xué)問題診斷分析

從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，從認知結(jié)構(gòu)發(fā)展的角度來說，是屬于“下、上位關(guān)系學(xué)習(xí)”，是一個從特殊到一般的過程，“先行組織者”是銳角三角函數(shù)的概念．教學(xué)策略上先復(fù)習(xí)包容性小、抽象概括程度低的銳角三角函數(shù)的概念，然后讓學(xué)生“再創(chuàng)造”抽象程度高的上位概念（參與定義），并形成新的認知結(jié)構(gòu)，讓原有的銳角三角函數(shù)的概念類屬于抽象程度更高的任意角三角函數(shù)的概念之中．

學(xué)生過去在直角三角形中研究過銳角三角函數(shù)，這對研究任意角三角函數(shù)在認識上會有一定的局限性，所以學(xué)生在用角的終邊上的點的坐標(biāo)來研究三角函數(shù)可能會有一定的困難．可以讓學(xué)生在原有的對銳角三角函數(shù)的幾何認識的基礎(chǔ)上，嘗試讓學(xué)生建立用終邊上的點的坐標(biāo)定義任意角三角函數(shù)，或者嘗試用終邊上的點的坐標(biāo)定義銳角三角函數(shù)，然后再定義任意角的三角函數(shù)．

教學(xué)的另一個難點是，任意角三角函數(shù)的定義域是實數(shù)集（或它的子集）．因為學(xué)生剛剛接觸弧度制，未必能理解“把角的集合與實數(shù)集建立一一對應(yīng)”到底是為了什么．可以在復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)時，把銳角說成區(qū)間（0，四．教學(xué)支持條件分析

利用幾何畫板軟件，可以動態(tài)改變角的終邊位置，從而改變角的終邊上點的坐標(biāo)大小的特點，便于學(xué)生認識任意角的位置的改變，所對應(yīng)的三角函數(shù)值也改變的特點，感受函數(shù)的本質(zhì)；感受終邊相同的角具有相同的三角函數(shù)值；也便于觀察各三角函數(shù)在各象限中符號的變化情況，加深對任意角三角函數(shù)概念的理解，增強教學(xué)效果．）內(nèi)的角，以便分散這個難點． 五．教學(xué)過程設(shè)計 1．理解銳角三角函數(shù)

要理解任意角三角函數(shù)首先要理解銳角三角函數(shù)．銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的先行組織者．

問題1 任意畫一個銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．

教師用幾何畫板任意畫一個銳角．要求學(xué)生自己任意也畫一個銳角，利用手中的三角板畫直角三角形，度量角α的對邊長、斜邊長，計算比值．

意圖：復(fù)習(xí)初中所學(xué)習(xí)過的銳角三角函數(shù)，加深對銳角三角函數(shù)概念的理解，它是學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的基礎(chǔ)．突出：

（1）與點的位置的選取無關(guān)；（2）是直角三角形中線段長度的比值． 問題2 能否把某條線段畫成單位長，有些三角函數(shù)值不用計算就可以得到？

意圖：學(xué)生根據(jù)自己實際畫圖操作，以及計算比值的體驗，會很快認為把斜邊畫成單位長比較方便，為后續(xù)任意角三角函數(shù)的“單位圓定義法”做鋪墊．

問題3 銳角三角函數(shù)sinα作為一個函數(shù)，自變量以及與之對應(yīng)的函數(shù)值分別是什么？

意圖：以便與后面的任意角三角函數(shù)的自變量是角（的弧度，對應(yīng)一個實數(shù)），對應(yīng)的函數(shù)值是α的終邊與單位圓交點的縱坐標(biāo)比較．

銳角三角函數(shù)sinα作為一個函數(shù)，自變量是銳角．由于角的弧度值與實數(shù)可以一一對應(yīng)，所以，α是（0，）上的實數(shù)．而與之對應(yīng)的函數(shù)值sinα是線段長度的比值，是區(qū)間（0，1）上的實數(shù)．

問題4 你產(chǎn)生過這個疑問嗎：“三角函數(shù)只有這三個？”

意圖：這個問題具有元認知提示的特點，引導(dǎo)學(xué)生勤于思考，逐步學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、研究問題．

三條邊相互比，可以產(chǎn)生六個比．還有哪三個呢？再把已知的三個倒過來． 2．任意角三角函數(shù)定義的“再創(chuàng)造”

教師利用幾何畫板，把角α的頂點定義為原點，一邊與x軸的正半軸重合，轉(zhuǎn)動另一條邊，表現(xiàn)任意角．

問題5 現(xiàn)在，角的范圍擴大了．在直角坐標(biāo)系中，使得角的頂點在原點，始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環(huán)境下，你認為，對于任意角α，sinα，cosα，tanα怎樣來定義好呢？

意圖：可以打破知識結(jié)構(gòu)的平衡，感受到學(xué)習(xí)新知識的必要性——角的范圍擴大了，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該“與時俱進”，并不顯得突然．把定義的主動權(quán)交給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生參與定義過程，發(fā)展思維．

有兩種可能的回答．

可能一：在α的終邊上任意畫一點P（x，y），|OP|＝r．

可能二：設(shè)角α的終邊與單位圓的交點為P（x，y）．

不論出現(xiàn)可能一還是可能二，都再問：“都是這樣的嗎？”

引導(dǎo)學(xué)生議論，以確認兩種定義方法的一致性、各自特點．再問“你贊成哪一種？”，統(tǒng)一認識，建立任意角三角函數(shù)的定義．（板書）

因為前面已經(jīng)有引導(dǎo)，學(xué)生可能很快接受“可能二”． 3．任意角三角函數(shù)的認識（對定義的體驗）

問題6（1）求下列三角函數(shù)值：

問題6（2）說出幾個使得cosα＝1的α的值． 意圖：通過定義的簡單應(yīng)用，把握定義的內(nèi)涵．

逐題給出，對于每一個答案，都要求學(xué)生說出“你是怎樣得到的．”突出“畫終邊，找交點坐標(biāo)，算比值（對正切函數(shù)）”的步驟．

問題6（3）指出下列函數(shù)值：

意圖：角的終邊位置決定了三角函數(shù)值的大?。K邊位置相同的角同一三角函數(shù)值相等．于是有 sin（α＋2kπ）＝sinα，cos（α＋2kπ）＝cosα，tan（α＋2kπ）＝tanα．（其中k∈Z）問題6（4）

①確定下列三角函數(shù)的符號：

②θ在哪個象限？請說明理由．反過來呢？

③角α的哪些三角函數(shù)值在第二、三象限都是負數(shù)？為什么？ ④tanα在哪些象限中取正數(shù)？為什么？ 意圖：認識三角函數(shù)在各象限中的符號．

問題7 做了這么多題，要反思．你是否發(fā)現(xiàn)了任意角三角函數(shù)的一些性質(zhì)？還有些什么體會？ 意圖：體驗以后的概括，階段小結(jié)．（1）抓住各三角函數(shù)的定義不放；（2）各象限中三角函數(shù)的符號特點，等．

教師板書學(xué)生獲得的成果、感受． 4．任意角三角函數(shù)的定義域

問題8 α是任意角，作為函數(shù)的sinα，cosα，tanα，它們的定義域分別是什么？

意圖：三角函數(shù)也是函數(shù)，自然應(yīng)該關(guān)心它的定義域．

建立了角的弧度制，角的集合與實數(shù)集合之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，因此，sinα，cosα的定義域是R；tanα＝中，x≠0，于是tanα的定義域是

仍然緊扣定義，并引導(dǎo)以弧度制表示它的定義域． 5．練習(xí)

（1）確定下列三角函數(shù)值的符號，并借助計算器計算：

（2）求下列三角函數(shù)值：

6．小結(jié)

問題9 下課后，你走出教室，如果有人問你：“過去你就學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，今天又學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)，它們的差別在哪里呢？”你怎么回答他？

意圖：通過問題小結(jié)．不追求面面俱到，突出銳角三角函數(shù)是三角形中，邊長的比值，而任意角的三角函數(shù)是直角坐標(biāo)系中角的終邊與單位圓交點的坐標(biāo)，或者是坐標(biāo)的比值．

若時間允許，再問：“還有其他收獲嗎？”比如，終邊相同的角的同一三角函數(shù)相等；各象限三角函數(shù)的符號；任意角三角函數(shù)的定義域，等． 六．目標(biāo)檢測設(shè)計

（1），寫出α的終邊與單位圓交點的橫坐標(biāo)，并寫出tanα的值．

（2）求下列三角函數(shù)的值：

（3）角α的終邊與單位圓的交點是Q，點Q的縱坐標(biāo)是1/2，說出幾個滿足條件的角α．

（4）點P（3，－4）在角α終邊上，說出sinα，cosα，tanα分別是多少？

（1）實際教學(xué)片段

上課始，教師用幾何畫板任意畫一個銳角，提出問題1：“任意畫一個銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．”然后走進學(xué)生中間，觀察他們的學(xué)習(xí)行為．結(jié)果發(fā)現(xiàn)，有一部分同學(xué)畫出角之后，一片茫然．教師又不愿意把結(jié)果告訴學(xué)生，提示同桌的兩位同學(xué)可以商量一下，并提示，完成的同學(xué)請舉手示意，以便教師了解情況，結(jié)果舉手的人很少．之后，教師提問一位舉手的學(xué)生，問：“你是怎么做的？”她要求上黑板，教師非常贊成．她在黑板上畫出一個直角三角形，并不熟練地寫出一個銳角的正弦是它的對邊比斜邊以及余弦、正切等三個三角函數(shù)．之后，教師又與學(xué)生討論了問題2：能否把某條線段畫成單位長，有些三角函數(shù)值不用計算就可以得到？學(xué)生比較一致認為把斜邊長畫成單位長比較好，為“單位圓定義法”做必要的鋪墊．接著討論問題3：銳角三角函數(shù)sinα作為一個函數(shù)，自變量以及與之對應(yīng)的函數(shù)值分別是什么？在教師類比正方形的面積s＝a2的提示下，學(xué)生說出銳角三角函數(shù)中自變量以及與之對應(yīng)的函數(shù)值分別是角、比值，最后討論問題4：你產(chǎn)生過這個疑問嗎：“三角函數(shù)只有這三個？”有學(xué)生舉手，表示想過這個問題，應(yīng)該是六個，另外三個可以把現(xiàn)有的三個倒一下得到．至此，時間已經(jīng)過去20多分鐘．

教師本以為，學(xué)生在初中既然學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，對給出的一個銳角，借助三角板構(gòu)造直角三角形，找出它的正弦、余弦的近似值是很容易的事，而恰恰在這一點上，學(xué)生耗費了大量的時間，而教師又不想越俎代庖地告訴學(xué)生，這就嚴重影響了后續(xù)建立任意角三角函數(shù)的概念，并通過特殊角的求值體驗、把握內(nèi)涵的時間保證，造成體驗不夠，概括

過早，應(yīng)用更少的現(xiàn)象．

（2）問題出在哪里

問題在教學(xué)設(shè)計不夠合理，當(dāng)中的“教學(xué)問題診斷分析”不夠準(zhǔn)確．沒有準(zhǔn)確把握學(xué)生的知識基礎(chǔ)與認識能力，對學(xué)生在學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)的困難估計不足．尤其是，對學(xué)生關(guān)于銳角三角函數(shù)的理解估計過高．主要表現(xiàn)在兩個方面，一是初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)是在直角三角形中進行的，并不要求給出一個銳角，兩邊是射線，求出它的三角函數(shù)值．二是并不要求把“銳角三角函數(shù)”作為函數(shù)來認識，比如關(guān)注它的自變量是角，對應(yīng)的函數(shù)值是比值，更不關(guān)心它的定義域、值域以及對應(yīng)法則這些函數(shù)的要素．只要求運用符號sinA，cosA，tanA的意義來進行有關(guān)的計算，等．現(xiàn)在，要求學(xué)生從函數(shù)角度建立任意角三角函數(shù)概念這就失去了概念的上位支持．

關(guān)于銳角三角函數(shù)，在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》中，是在“空間與圖形”的“圖形與變換”部分．標(biāo)準(zhǔn)指出：“通過實例認識銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值；會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它對應(yīng)的銳角．”以及“運用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡

單實際問題．”

筆者查閱了按照“課程標(biāo)準(zhǔn)”編寫的幾套初中教材，給出sinA的方式基本上一致，是：

如圖（圖略），在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正弦（sine），記作sinA，即”（對cosA，tanA有類似的定義）并指出“銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函

數(shù)．”

以后的內(nèi)容（包括解實際問題），都是有關(guān)三角函數(shù)值的計算，并不強調(diào)它們的函數(shù)特征．有的教材雖然指出“對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應(yīng)，所以sinA是A的函數(shù)．同樣地，cosA，tanA也是A的函數(shù)．”作出了銳角三角函數(shù)是一種特殊的函數(shù)的提示，由于缺少必要的練習(xí)，作用并不大．應(yīng)該說，這些都不違背“課程標(biāo)準(zhǔn)” 的要求．可見學(xué)生在初中學(xué)習(xí)過的函數(shù)有正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)，銳角三角函數(shù)并不納入“函

數(shù)”這個系統(tǒng)．

初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)有一個特定的載體，這就是直角三角形，因此，當(dāng)他們面對任意畫出的一個銳角，其兩條邊是射線，要求出這個角的三角函數(shù)的近似值這個新情境時，竟不知如何是好，手足無措，無計可施，也說明學(xué)生對銳角三角函數(shù)并不理解．這樣看來，畫出一個銳角，要求學(xué)生會取點、畫垂線、度量、計算比值的要求是必要的．

有教師認為，不必復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)，直接提出問題“同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，你認為應(yīng)該怎樣來定義任意角的三角函數(shù)？”這種“大撒手”的問題跨度太大，學(xué)生更難回答．原因是對銳角三角函數(shù)的“函數(shù)”特征認識不足、理解不到位，要讓學(xué)生直接建立任意角的三角函數(shù)，又要突出“函數(shù)”這一特征，很困難．因此，為建立任意角的三角函數(shù)的概念，需要先復(fù)習(xí)初中銳角三角函數(shù)的概念，因為從銳角（三角函數(shù)）到任意角（三角函數(shù)）又是由下位到上位的學(xué)習(xí)．教材要求首先把直角三角形中邊長的比值擴展到坐標(biāo)或者坐標(biāo)的比值，在直角坐標(biāo)系中認識銳角三角函數(shù)，并引導(dǎo)學(xué)生從“函數(shù)”的角度認識它，也就是弄清自變量以及與之對應(yīng)的函數(shù)分別是什么是必要的．

（3）對教學(xué)的反思

高中教師應(yīng)該了解義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，了解初中教材，了解學(xué)生在初中學(xué)習(xí)過哪些內(nèi)容，尤其是相應(yīng)的教學(xué)目標(biāo)是什么，關(guān)注學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)．應(yīng)該做好初、高中的銜接工作，不僅注意知識的銜接，還要注意思想方法、能力要求等各方面的銜接，為學(xué)習(xí)高中的相關(guān)內(nèi)容做好鋪墊．以為已經(jīng)學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，學(xué)生就能夠把它理解為一種特殊的函數(shù)，是一個明顯的例子．

教科書在節(jié)首提出的“思考”是：“我們已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎”其實，學(xué)生只知道銳角三角函數(shù)是直角三角形中邊長的比值，并不完全知道“它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)”，這就需要通過復(fù)習(xí)，來幫助學(xué)生

補上這一點．

2．其他反思

（1）由于學(xué)生在復(fù)習(xí)階段花了較多的時間，影響了新課的學(xué)習(xí)，用任意角三角函數(shù)概念解題的時間不多，體驗不夠，有教師提出“下課后練習(xí)不好做”，說明復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)沒有必要．筆者認為，當(dāng)“預(yù)設(shè)”與“生成”發(fā)生矛盾時，教師寧可選擇“生成”．尊重學(xué)生的認知水平，尊重學(xué)生的認知心理過程，決不簡單化，把結(jié)論直接告訴給學(xué)生，追求“結(jié)果”，追求“完成”教學(xué)任務(wù)．教師不能認為我已經(jīng)把這個概念告訴你了，你就應(yīng)該知道了．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)不是“告訴教學(xué)”，概念不能靠學(xué)生“復(fù)制”，對概念需要的是理解，需要學(xué)生用自己的體驗建立起對概念的理解．什么是“教學(xué)任務(wù)”，不能僅限于知識要求，要注意學(xué)生的全面發(fā)展．比如，當(dāng)學(xué)生不能正確選擇在角的一邊上取點，畫垂線時，啟示學(xué)生互相討論、啟發(fā)一下，借助于同伴的幫助解決問題．當(dāng)學(xué)生不能說出“作為函數(shù)的銳角三角函數(shù)，自變量以及它的函數(shù)分別是什么”（屬性）意義不清，不好回答時，教師降低難度，啟發(fā)類比S＝a2中a表示邊長，而S表示正方形的面積．突出線段長、面積，等等．

“任意角三角函數(shù)的概念”與作為第一節(jié)課的“任意角三角函數(shù)的概念”不是同一個概念．對“任意角三角函數(shù)的概念”的認識、理解不是一蹴而就的，不是一節(jié)課可以完成的任務(wù)，需要一個長期的過程．比如，把角度化成弧度到底是為了什么？即便化成弧度，又為什么省略不寫呢？建立角的弧度與實數(shù)間的一一對應(yīng)有什么必要呢？任意角三角函數(shù)的自變量明明白白是角，為什么偏要把它說成實數(shù)呢？剛剛接觸任意角三角函數(shù)就要求理解這一切是十分困難的．隨著學(xué)習(xí)的深入，尤其是三角函數(shù)的應(yīng)用，學(xué)生才能慢慢消除這些疑問，逐漸理解它．比如，在三相交流電路中，某一相電路中的電流強度IA＝Imsin（ωt）（其中Im是電路中電流強度的峰值），三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的基本數(shù)學(xué)模型；再比如，當(dāng)學(xué)生接觸到函數(shù)y＝sin（cosx）后，再來看三角函數(shù)的定義域，會認識到抽象后的任意角三角函數(shù)的自變量作為實數(shù)更具廣泛性．

這一節(jié)課把教學(xué)的基本要求定位在，弄清任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的區(qū)別，接受用坐標(biāo)（或坐標(biāo)的比值）表示三角函數(shù)就夠了．如同在建立數(shù)軸之后，一個知道把向東2公里表示為2公里而向西2公里表示成－2公里，接受“路程也可以是負數(shù)”的學(xué)生，就已經(jīng)開始接受有理數(shù)，逐漸成為中學(xué)生了．

還需要注意的是，應(yīng)該通過什么方式讓學(xué)生建立起用坐標(biāo)（或比值）表示任意角三角函數(shù)，以及領(lǐng)會建立這個概念過程

中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法．

（2）在求cosπ時，一個學(xué)生說出的結(jié)果是0.9985．教師追問“你是怎么算出來的？”他回答：“用計算器．”后來，筆者用計算器做了實驗，發(fā)現(xiàn)他用計算器計算時，把計算器中的角度模式（Mode）設(shè)置成了角度制（Degree）．在這種模式下，計算cosπ可以得到0.9985（即計算的是cosπ°）．如果把角度模式設(shè)置成了弧度制（Radian），計算cosπ仍可以得到－1．這件事的出現(xiàn)給我以及所有聽課教師引發(fā)諸多思考．第一，這位同學(xué)沒有關(guān)注到這節(jié)課剛學(xué)習(xí)過的概念，運用新概念解決當(dāng)前的問題，而是停留在“三角函數(shù)值是能夠用計算器算出來的”這個認識水平上；第二，反映了計算器的過度使用，會形成對學(xué)具的依賴，影響學(xué)生思維能力的發(fā)展．學(xué)具的功能越全面越強大不一定是好事．比如，具有解方程（Solve）功能的計算器在初中使用可能會削弱解一元二次方程的學(xué)習(xí)；具有圖象功能的計算器的過早使用可能會干擾函數(shù)的學(xué)習(xí)．因此，教師應(yīng)該注意技術(shù)在教學(xué)中的“輔助”作用，適度使用教具，重視算理分析，重視算法的來源，重視思維能力的培養(yǎng)，而不是追求計算結(jié)果．

借班上課，對學(xué)生的不熟悉是教師的苦惱，加上教學(xué)進度等問題，學(xué)生的知識儲備不足（在教學(xué)任意角三角函數(shù)概念之前僅上過一堂“任意角”的課），是教學(xué)并不理想的一個重要原因．教學(xué)過程是師生雙邊活動的過程，離不開師生之間的交流，生疏是交流的障礙之一，生疏更難以做到師生之間配合默契．另外，學(xué)生對教師的教學(xué)風(fēng)格的適應(yīng)或認可也有一個過程，比如教師希望學(xué)生積極發(fā)言而不僅是聽講，等等．

（3）討論中，老師們提出了許多有價值的教學(xué)應(yīng)該遵循的一般規(guī)律以及一些先進的教學(xué)理念，但是，要求一節(jié)課全面體現(xiàn)各種先進教學(xué)理念，去承擔(dān)反映數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律中太多的東西是不現(xiàn)實，也是不應(yīng)該的．

課堂教學(xué)是一項實踐性很強的工作，除了認真的課前準(zhǔn)備外，對教學(xué)過程中出現(xiàn)的“突發(fā)事件”，隨機應(yīng)變十分重要．教師需要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，關(guān)注學(xué)生的認識過程，隨時修改自己的教學(xué)設(shè)計，調(diào)整教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)要求，改變策略，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▽嵤┙虒W(xué)，以達到最佳教學(xué)效果．這一切都需要教師有很強的基本功．

第三篇：三角函數(shù)教學(xué)反思1

三角函數(shù)教學(xué)反思

2月份是本學(xué)期的第一個月，我們開始了高中數(shù)學(xué)必修四的內(nèi)容，必修四主要在講三角函數(shù)，既然是函數(shù)，就和必修一聯(lián)系起來了，可是學(xué)生們在面對必修一的知識時，卻大多數(shù)都回憶不起來，比如說今天上課時的函數(shù)性質(zhì)——奇偶性，大部分學(xué)生已經(jīng)不知道判斷奇偶性的方法種類和具體方法，所以我們必須先將舊知識進行回顧然后再教授新知識。

三角函數(shù)其實是一個初中就接觸過的概念，只是在這里把它又放到單位圓中來研究了，因為只有這樣我們才能研究三角函數(shù)線，才能把角擴展到全體實數(shù)范圍內(nèi)，才能研究三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，再通過三角函數(shù)線來畫出正（余）弦函數(shù)的圖象，然后在研究性質(zhì)。近段時間的內(nèi)容表面看起來復(fù)雜，但實則簡單，需要記憶的東西比較多，雖然也可以現(xiàn)推公式圖象，但還是有簡單記憶做題會快得多。

這學(xué)期以來感覺兩個班的學(xué)習(xí)氣氛明顯不同，第一個班少數(shù)學(xué)生帶動，整個班級課堂氣氛、學(xué)習(xí)氛圍都要好得多，而第二個班就不同了。這是一個不好的開始，希望第二個班能盡快調(diào)整過來，作為老師我也會盡自己最大的努力讓兩個班成績相當(dāng)。

第四篇：銳角三角函數(shù)教學(xué)反思

教學(xué)反思

本節(jié)課是銳角三角形這章的第一節(jié)課，是學(xué)生在學(xué)了直角三角形及勾股定理基礎(chǔ)上再來研究直角三角形邊與角的關(guān)系的內(nèi)容，本章的知識通過解直角三角形與實際問題中的坡度、方向角方位角建立聯(lián)系，解決問題。本章是中考必考的知識點,特別是特殊角的三角函數(shù)值，一定要熟記。本節(jié)課雖考慮到本班學(xué)生自從分班以后，學(xué)習(xí)氛圍不濃，而基礎(chǔ)又較差，因而必須將難度降低想辦法調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性；但在引入時，既用了直角三角形在數(shù)學(xué)中的重要地位，用：“黑夜給了我一個黑色的眼睛，我用它來尋找光明”類比數(shù)學(xué)中的“上帝給了我一雙黑色的眼睛，我用它來尋找直角三角形”說明尋找直角三角形對解決數(shù)學(xué)問題的重要性；然后又引入用學(xué)生最近反應(yīng)學(xué)習(xí)苦，學(xué)習(xí)累和不愛護公共財物的情況，從引入課桌要到了到其他貧困地區(qū)孩子午休誰桌子下的情況引入愛護公共財物，今兒從而引出本節(jié)課相關(guān)的知識。雖然大家都在說這節(jié)課的亮點就是將德育與數(shù)學(xué)知識結(jié)合起來，注重學(xué)科之間的聯(lián)系。但我始終覺得這樣的結(jié)合不免顯得優(yōu)點牽強，下來我將在思考如何讓本節(jié)課的引入與內(nèi)容結(jié)合得更好。

還有一個問題就是我在設(shè)計教學(xué)時，想到學(xué)生函數(shù)的基礎(chǔ)不好，很怕函數(shù)，沒有考慮到和函數(shù)的定義聯(lián)系起來，而學(xué)生雖然會計算一個銳角的三角函數(shù)了，但對為什么把這些值成為這個銳角的三角函數(shù)并不清楚，在教學(xué)中我忽視了這一細節(jié)，也沒有一個學(xué)生提出疑問，這說明學(xué)生只停留在定義的表面，并沒有深入思考。因此，在下次教學(xué)時，我要設(shè)計這么一個問題：“為什么把它們成為函數(shù)值？”來啟發(fā)學(xué)生。

第五篇：《銳角三角函數(shù)》教學(xué)反思

《銳角三角函數(shù)》教學(xué)反思

這節(jié)課是銳角三角函數(shù)的第一節(jié)課，是一節(jié)概念課，教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生認識直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角的四個三角函數(shù)的概念。通過集體備課、講課、作業(yè)反饋幾個環(huán)節(jié)，進行以下幾方面的反思。

一、數(shù)學(xué)概念課教學(xué)

數(shù)學(xué)概念教學(xué)要使學(xué)生明確概念的背景、作用、概念中有哪些規(guī)定、限制等問題。

（一）概念的引出

這節(jié)課引入銳角三角函數(shù)概念的時候，從學(xué)生的認知水平出發(fā)先提出問題：（1）

如圖Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，求AB=？

（2）

如圖Rt△ABC中，AC＝3，∠B＝40°，求AB=? 對于第一個問題，學(xué)生在對勾股定理的已有認知基礎(chǔ)上，很容易求出AB，但對第二個問題，則不夠條件求AB了。從而引出課題。

在教學(xué)設(shè)計中，針對學(xué)生思維的多樣性，集備時對課本中的探索進行改動。探索1得出直角三角形中，銳角A的對邊與鄰邊的比值是唯一確定的。在此基礎(chǔ)上，設(shè)計一個開放性的探索2。讓學(xué)生從探索1中得到啟發(fā)去找找直角三角形中其他兩邊的比值是否也是唯一確定的。按照集備時的設(shè)想，是希望能充分拓展學(xué)生思維，找到各種不同的比值，從而比較自然的引出四種比值，即四個三角函數(shù)。但是在實際教學(xué)過程中，存在兩個極端，一部分學(xué)生很快找到四個比值。另一部分則感覺摸不著頭腦，需要不同程度的提示。在課后反思中，我們打算在下一次教學(xué)設(shè)計進行修改。對于水平比較低的班級，在探索1得出，通過填空提示學(xué)生找出其它兩邊比值，再進行探索2。

（二）概念講解

新課標(biāo)提倡學(xué)生自主思考探索，但是數(shù)學(xué)概念畢竟是需要教師進行講解，特別 是一些規(guī)定限制必須由教師強調(diào)。這節(jié)課上我是結(jié)合圖形小結(jié)等。但還應(yīng)注意定義的中文說法即還是應(yīng)該回到漢字，這樣有助于學(xué)生記憶定義。在下一節(jié)課開始的復(fù)習(xí)，我用了這種方法，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的確容易記憶。

二、教學(xué)中注重解題方法的總結(jié) 本節(jié)課有一道例題，是這樣設(shè)計的

例1：求出如圖所示的Rt△ABC中∠A的四個三角函數(shù)值.解：在Rt△ABC中，BC=8,AC=15, ∵

∴AB＝ =

＝

sin A=

＝

cos A=

＝

tan A=

＝

以填空的形式，給學(xué)生一定的提示，也給了一個規(guī)范的格式。在實際教學(xué)過程中，學(xué)生都能做出這題，所以我只是略略講解后就開始進行相關(guān)練習(xí)。可是在做A組第一題：“Rt△DEC中，∠E＝90゜，CD＝10，DE＝6，求出∠D的四個三角函數(shù)值。”這道題中，有部分學(xué)生出現(xiàn)不知怎么下筆的情況。這就提示我們在例題講解中，一定要幫助學(xué)生歸納出求三角函數(shù)的方法。應(yīng)該指出為什么要運用勾股定理，讓學(xué)生明確求四個三角函數(shù)必須知道三條邊。這樣在做練習(xí)時他們就能確定解題思路，明確預(yù)見利用勾股定理求出CE。