第一篇:3.4.1 基本不等式的證明教學(xué)點(diǎn)評
鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書配套教學(xué)軟件_評課
《3.4.1 基本不等式的證明》評課
南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 仇炳生
本節(jié)課的主要目標(biāo)是探索并證明基本不等式
a?b?ab(a?0,b?0).在探2索基本不等式的過程中,執(zhí)教老師依據(jù)教材給出的問題,改編為核查一個(gè)珠寶商是否違法的故事,創(chuàng)設(shè)了一個(gè)生動(dòng)有趣的問題情景.在運(yùn)用科學(xué)推理揭露不法珠寶商違法事實(shí)時(shí),由尋找“判斷珠寶商是否違法的依據(jù)”,提出兩個(gè)問題:“如何計(jì)算珠寶的真實(shí)重量?”及“比較
a?b(珠寶商提供的珠寶重量)與ab(珠2寶的真實(shí)重量)的大???”.通過實(shí)例展示基本不等式探索過程的教學(xué)設(shè)計(jì),既使探索過程中思維活動(dòng)十分流暢,也表現(xiàn)出數(shù)學(xué)發(fā)展的趣味性.
在證明基本不等式的過程中,由于基本不等式的證明方法比較多且難度不大,執(zhí)教老師放手讓學(xué)生自我研究證明方法.從學(xué)生在黑板上的板書中,反映出學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣比較好.除條件a?0,b?0在證法中沒有交代以外,證明過程書寫是比較規(guī)范的.必修教材中關(guān)于不等式證明的內(nèi)容比較少,執(zhí)教老師在學(xué)生證明的基礎(chǔ)上,對比較法和分析法作簡要的說明,是十分必要的.在教學(xué)中,教師指出分析法的基本思路是“執(zhí)果索因”,即瞄準(zhǔn)結(jié)論,尋找結(jié)論成立的(充分)條件,同時(shí)還通過分析法的書寫模式,強(qiáng)化基本思路.謹(jǐn)防學(xué)生認(rèn)為分析法就是“從結(jié)論倒推”的錯(cuò)誤.比較法在學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)曾經(jīng)接觸過,比較法實(shí)際上也可以看作是分析法的特例,即要證A?B,只要證A?B?0.(或者將對命題A?B的證明,化歸為對它的等價(jià)命題A?B?0的證明).比較法研究不等關(guān)系的優(yōu)越性在于,它有利于對未知不等關(guān)系的探索和證明.
形(幾何圖形)和數(shù)(數(shù)量關(guān)系)是中學(xué)數(shù)學(xué)研究的基本對象,它們是同一事物的兩種不同的表現(xiàn)形式.形和數(shù)各具特點(diǎn),又互相支撐.一般地,形——生動(dòng)、形象、整體性好,數(shù)——嚴(yán)謹(jǐn)、精確、邏輯性強(qiáng).形與數(shù)結(jié)合有利于開拓思
a?b?ab(a?0,b?0).啟發(fā)學(xué)生探索基2a?b本不等式的幾何形式的關(guān)鍵在于,給定線段a,b,如何構(gòu)造線段和ab.由
2維能力.基本不等式的代數(shù)形式為于學(xué)生初中數(shù)學(xué)內(nèi)容中沒有射影定理,對于一般學(xué)生探索基本不等式的幾何形式有一定的難度.基本不等式的幾何解釋不是本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn),是否作為本節(jié)課的鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書配套教學(xué)軟件_評課
教學(xué)內(nèi)容可視學(xué)生的具體情況確定.
在理解和運(yùn)用基本不等式的階段中,執(zhí)教老師重視定理教學(xué)的常規(guī)方式,首先要求學(xué)生分析不等式的特征,不等式成立的條件以及對定理中關(guān)鍵詞語的理解,然后再進(jìn)行練習(xí).這是很好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,應(yīng)該予以肯定.關(guān)于運(yùn)用基本不等式求函數(shù)的最值問題,可以作為下節(jié)課的主要內(nèi)容重點(diǎn)進(jìn)行處理.
縱觀本節(jié)課,教學(xué)設(shè)計(jì)合理,學(xué)生的參與度高.但在教學(xué)中,也有一些不足之處:對練習(xí)中學(xué)生的錯(cuò)誤不僅及時(shí)指出,還應(yīng)該及時(shí)給出正確的解答;對一些語病沒能及時(shí)校正,如將“開方”說成“開根號”,將“
a?b”說成“分式”等. 2
第二篇:4.1 比較法證明不等式
§4 不等式的證明
4.1 比較法證明不等式
1.設(shè)t=a+2b,s=a+b2+1,則下列t與s的大小關(guān)系中正確的是()
A.t>sB.t≥s
C.t 2解析:選D.∵s-t=(a+b+1)-(a+2b)=(b-1)2≥0,∴s≥t.12.已知P=Q=a2-a+1,那么P、Q的大小關(guān)系是()a+a+ 1A.P>QB.P C.P≥QD.P≤Q Q解析:選D.=(a2-a+1)·(a2+a+1)=(a2+1)2-a2=a4+2a2+1-a2=a4+a2+1≥1.P 13a-?2>0,又∵Q=a2-a+1=??2? 411P=>0,a+a+123?a+1?+4 ∴P≤Q.113.已知a>b>-1,則()a+1b+1 1111A.B. 1111C.D.≤a+1b+1a+1b+1 b-a11解析:選B.∵a>b>-1,∴a+1>0,b+1>0,a-b>0,則=<0,a+1b+1?a+1??b+1? 11∴a+1b+1 an4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=,其中a,b均為正數(shù),那么an與an+1的大小關(guān)系是bn+1 () A.a(chǎn)n>an+1B.a(chǎn)n C.a(chǎn)n=an+1D.與n的取值有關(guān) a?n+1?an解析:選B.an+1-an=- b?n+1?+1bn+1 a=,?bn+b+1??bn+1? ∵a>0,b>0,n>0,n∈N+,∴an+1-an>0,an+1>an.5.設(shè)x2,y73,z=6-2,則x,y,z的大小關(guān)系是() A.x>y>zB.z>x>y C.y>z>xD.x>z>y 44解析:選D.y73,z6-2=,7+36 2∵7+3>6+2>0,∴z>y.3+2-43-24又x-z=2->0,6+6+262 ∴x>z,∴x>z>y.6.在等比數(shù)列{an}和等差數(shù)列{bn}中,a1=b1>0,a3=b3>0,a1≠a3,則a5與b5的大小關(guān)系是() A.a(chǎn)5 5C.a(chǎn)5=b5D.不確定 解析:選B.∵{an}為等比數(shù)列設(shè)公比為q,∴a3=a1q2,又∵a1≠a3,∴q2≠1.{bn}為等差數(shù)列,設(shè)公差為d,∴b3=b1+2d.又∵a1=b1>0且a3=b3,∴b3=a1+2d,∴2d=a1q2-a1,∴a5=a1q4;b5=a1+4d=2a1q2-a1,∴a5-b5=a1(q4-2q2+1)=a1(q2-1)2>0.故a5>b5.bb+m7.設(shè)a,b,m均為正數(shù),且,則a與b的大小關(guān)系是________. aa+m b+mbm?a-b?解析:>0,a+maa?a+m? 又a,b,m為正數(shù). ∴a(a+m)>0,m>0,因此a-b>0,a>b.答案:a>b 3A8.若f(x)A=4loga(x-1),B=4+[loga(x-1)]2,若a>1,則________1.Bx?x-3? 3x>3,又a>1,所以A>0,B>0.x?x-3? 又因?yàn)锽-A=[loga(x-1)-2]2≥0,A所以B≥A≤1.B 答案:≤ 9.設(shè)n∈N,n>1,則logn(n+1)與logn+1(n+2)的大小關(guān)系是________. logn+1?n+2?解析:=logn+1(n+2)·logn+1n logn?n+1? logn+1?n+2?+logn+1n?2≤?2?? logn+1?n2+2n?2?=2? logn+1?n+1?22?<2?=1.答案:logn(n+1)>logn+1(n+2) 10.已知a、b都是正數(shù),x、y∈R,且a+b=1.求證:ax2+by2≥(ax+by)2.證明:ax2+by2-(ax+by)2 =ax2+by2-a2x2-2abxy-b2y2 =(ax2-a2x2)+(by2-b2y2)-2abxy =ax2(1-a)+by2(1-b)-2abxy =abx2+aby2-2abxy=ab(x-y)2.∵a>0,b>0,x,y∈R,∴ab>0,(x-y)2≥0,∴ax2+by2≥(ax+by)2成立. a+b+c11.若a,b,c∈(0,+∞),證明:aabbcc≥(abc.3解析:因?yàn)閒(x)= 證明:++=?abc?3aabbcc2a-b-c32b-c-a2c-a-bb3c3 aa-bbb-caa-c=()3()3(3bcc 由于a,b,c在題中的地位相當(dāng)(全對稱性),a-ba不妨設(shè)a≥b≥c>0,∴1,0,b3 aa-baa-cbb-c從而()31,同理3≥1,(3≥1.bcc 相乘即可得證. aa-bbb-caa-c∴()3()3(31,bcc abca+b+cabcabc即1,∴abc≥(abc)3.?abc?3 12.已知a>0,b>0,m>0,n>0,求證:amn+bmn>ambn+anbm.++證明:amn+bmn-(ambn+anbm) ++=(amn-ambn)-(anbm-bmn) =am(an-bn)-bm(an-bn) =(am-bm)(an-bn). 當(dāng)a>b時(shí),am>bm,an>bn,∴(am-bm)(an-bn)>0; 當(dāng)a0; 當(dāng)a=b時(shí),am=bm,an=bn,∴(am-bm)(an-bn)=0.綜上,(am-bm)(an-bn)≥0,++即amn+bmn≥ambn+anbm.++ 重要不等式及其應(yīng)用教案 教學(xué)目的 (1)使學(xué)生掌握基本不等式a2+b2≥2ab(a、b∈R,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號)和a3+b3+c3≥3abc(a、b、c∈R+,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號)及其推論,并能應(yīng)用它們證明一些不等式. (2)通過對定理及其推論的證明與應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用綜合法進(jìn)行推理的能力. 教學(xué)過程 一、引入新課 師:上節(jié)課我們學(xué)過證明不等式的哪一種方法?它的理論依據(jù)是什么? 生:求差比較法,即 師:由于不等式復(fù)雜多樣,僅有比較法是不夠的.我們還需要學(xué)習(xí)一些有關(guān)不等式的定理及證明不等式的方法. 如果a、b∈R,那么(a-b)2屬于什么數(shù)集?為什么? 生:當(dāng)a≠b時(shí),(a-b)2>0,當(dāng)a=b時(shí),(a-b)2=0,所以(a-b)2≥0.即(a-b)2∈ R+∪{0}. 師:下面我們根據(jù)(a-b)2∈R+∪{0}這一性質(zhì),來推導(dǎo)一些重要的不等式,同時(shí)學(xué)習(xí)一些證明不等式的方法. 二、推導(dǎo)公式 1.奠基 師:如果a、b∈R,那么有 (a-b)2≥0. ① 把①左邊展開,得 a2-2ab+b2≥0,∴a2+b2≥2ab. ② ②式表明兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍.這就是課本中介紹的定理1,它是一個(gè)很重要的絕對不等式,對任何兩實(shí)數(shù)a、b都成立.由于取“=”號這種特殊情況,在以后有廣泛的應(yīng)用,因此通常要指出“=”號成立的充要條件.②式中取等號的充要條件是什么呢? 師:充要條件通常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來表達(dá).“當(dāng)”表示條件是充分的,“僅當(dāng)”表示條件是必要的.所以②式可表述為:如果a、b∈R,那么a2+b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號). 以公式①為基礎(chǔ),運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式②,這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法.以公式②為基礎(chǔ),用綜合法可以推出更多的不等式.現(xiàn)在讓我們共同來探索. 2.探索 師:公式②反映了兩個(gè)實(shí)數(shù)平方和的性質(zhì),下面我們研究兩個(gè)以上的實(shí)數(shù)的平方和,探索可能得到的結(jié)果.先考查三個(gè)實(shí)數(shù).設(shè)a、b、c∈R,依次對其中的兩個(gè)運(yùn)用公式②,有 a2+b2≥2ab; b2+c2≥2bc; c2+a2≥2ca. 把以上三式疊加,得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca ③ (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號). 以此類推:如果ai∈R,i=1,2,?,n,那么有 ④ (當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時(shí)取“=”號). ④式是②式的一種推廣式,②式就是④式中n=2時(shí)的特殊情況.③和④式不必當(dāng)作公式去記,但從它們的推導(dǎo)過程中可以學(xué)到一種處理兩項(xiàng)以上的和式問題的數(shù)學(xué)思想與方法——迭代與疊加. 3.再探索 師:考察兩個(gè)以上實(shí)數(shù)的更高次冪的和,又能得到什么有趣的結(jié)果呢?先考查兩個(gè)實(shí)數(shù)的立方和.由于 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2),啟示我們把②式變成 a2-ab+b2≥ab,兩邊同乘以a+b,為了得到同向不等式,這里要求a、b∈R+,得到 a3+b3≥a2b+ab2. ⑤ 考查三個(gè)正實(shí)數(shù)的立方和又具有什么性質(zhì)呢? 生:由③式的推導(dǎo)方法,再增加一個(gè)正實(shí)數(shù)c,對b、c,c、a迭代⑤式,得到 b3+c3≥b2c+bc2,c3+a3≥c2a+ca2. 三式疊加,并應(yīng)用公式②,得 2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2) ≥a·2bc+b·2ca+c·2ab=6abc. ∴a3+b3+c3≥3abc ⑥ (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號). 師:這是課本中的不等式定理2,即三個(gè)正實(shí)數(shù)的立方和不小于它們的積的3倍.同學(xué)們可能想到n個(gè)正實(shí)數(shù)的立方和會有什么結(jié)果,進(jìn)一步還會想到4個(gè)正數(shù)的4次方的和會有什么結(jié)果,直至n個(gè)正數(shù)的n次方的和會有什么結(jié)果.這些問題留給同學(xué)們課外去研究. 4.推論 師:直接應(yīng)用公式②和⑥可以得到兩個(gè)重要的不等式. ⑦ (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號). 這就是課本中定理1的推論. ⑧ (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號).這就是課本中定理2的推論. 當(dāng)ai∈R+(i=1,2,?,n)時(shí),有下面的推廣公式(在中學(xué)不講它的證明) ⑨ (當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時(shí)取“=”號). 何平均數(shù).⑨式表明:n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).這是一個(gè)著名的平均數(shù)不等式定理.現(xiàn)在只要求同學(xué)掌握n=2、3時(shí)的兩個(gè)公式,即⑦和⑧. 三、小結(jié) (1)我們從公式①出發(fā),運(yùn)用綜合法,得到許多不等式公式,其中要求同學(xué)熟練掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧.它們之間的關(guān)系可圖示如下: (2)上述公式的證法不止綜合法一種.比如公式②和⑥,在課本上是用比較法證明的.又如公式⑦也可以由①推出;用⑦還可以推出⑧;由⑦、⑧也可以推出②、⑥.但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng),其理論基礎(chǔ)都是實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù). 四個(gè)公式中,②、⑦是基礎(chǔ),最重要.它們還可以用幾何法或三角法證明. 幾何法:構(gòu)造直角三角形ABC,使∠C=90°,BC=a,AC=b(a、b∈R),222則a+b=c表示以斜邊c為邊的正方形的面積.而 + 如上左圖所示,顯然有 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號,這時(shí)Rt△ABC等腰,如上右圖).這個(gè)圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)所用過的“勾股方圓圖”,同學(xué)們在初中已經(jīng)見過. 三角法:在Rt△ABC中,令∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b,則 2ab=2·c sin A· c sin B=2c2sinAcos A=c2·sin2A≤c2 =a2+b2(∵sin2A≤1) (當(dāng)且僅當(dāng)sinA=1,A=45°,即 a=b時(shí)取“=”號). 2三、應(yīng)用公式練習(xí) 1.判斷正誤:下列問題的解法對嗎?為什么?如果不對請予以改正. a、b∈R+.若tgα、ctgα∈R+.解法就對了.這時(shí)需令α是第一、三象限的角.] 改條件使a、b∈R+;②改變證法.a(chǎn)2+ab+b2≥2ab+ab=3ab.] 師:解題時(shí),要根據(jù)題目的條件選用公式,特別注意公式中字母應(yīng)滿足的條件.只有公式①、②對任何實(shí)數(shù)都成立,公式⑥、⑦、⑧都要求字母是正實(shí)數(shù)(事實(shí)上對非負(fù)實(shí)數(shù)也成立). 2.填空: (1)當(dāng)a________時(shí),an+a-n≥________; (3)當(dāng)x________時(shí),lg2x+1≥_________; (5)tg2α+ctg2α≥________; (6)sinxcosx≤________; 師:從上述解題中,我們可以看到:(1)對公式中的字母應(yīng)作廣義的理解,可以代表數(shù),也可以代表式子.公式可以順用,也可以逆用.總之要靈活運(yùn)用公式.(2)上述題目中右邊是常數(shù)的,說明左邊的式子有最大或最小值.因此,在一定條件下應(yīng)用重要不等式也可以求一些函數(shù)的最大(小)值.(3)重要不等式還可以用于數(shù)值估計(jì).如 表明任何自然數(shù)的算術(shù)平方根不大于該數(shù)加1之半. 四、布置作業(yè) 略. 教案說明 1.知識容量問題 這一節(jié)課安排的內(nèi)容是比較多的,有些是補(bǔ)充內(nèi)容.這是我教重點(diǎn)中學(xué)程度比較好的班級時(shí)的一份教案.實(shí)踐證明是可行的,效果也比較好.對于普通班級則應(yīng)另當(dāng)別論.補(bǔ)充內(nèi)容(一般式,幾何、三角證法等)可以不講,例題和練習(xí)也須壓縮.但講完兩個(gè)定理及其推論,實(shí)現(xiàn)教學(xué)的基本要求仍是可以做到的.還應(yīng)看到學(xué)生接受知識的能力也非一成不變的.同是一節(jié)課,講課重點(diǎn)突出,深入淺出,富有啟發(fā)性,學(xué)生就有可能舉一反 三、觸類旁通,獲取更多的知識.知識容量增加了,并未增加學(xué)生的負(fù)擔(dān).從整個(gè)單元來看,由于壓縮了講課時(shí)間,相應(yīng)的就增加了課堂練習(xí)的時(shí)間.反之,如果學(xué)生被動(dòng)聽講,目標(biāo)不清,不得要領(lǐng),內(nèi)容講得再少,學(xué)生也是難以接受的.由此可見,知識容量的多少,既與學(xué)生的程度有關(guān),與教學(xué)是否得法也很有關(guān)系.我們應(yīng)當(dāng)盡可能采用最優(yōu)教法,擴(kuò)大學(xué)生頭腦中的信息容量,以求可能的最佳效果. 2.教學(xué)目的問題 近年來,隨著教改的深入,教師在確定教學(xué)目的和要求時(shí),開始追求傳授知識和培養(yǎng)能力并舉的課堂教學(xué)效果.在培養(yǎng)學(xué)生的能力方面,不僅要求學(xué)生能夠運(yùn)用知識,更重要的是通過自己的思考來獲取知識.據(jù)此,本節(jié)課確定如下的教學(xué)目的:一是在知識內(nèi)容上要求學(xué)生掌握四個(gè)公式;二是培養(yǎng)學(xué)生用綜合法進(jìn)行推理的能力.當(dāng)然,學(xué)生能力的形成和發(fā)展,絕不是一節(jié)課所能“立竿見影”的.它比掌握知識來得慢,它是長期潛移默化的教學(xué)結(jié)果.考慮到中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識,大量的是公式和定理,如能在每一個(gè)公式、定理的教學(xué)中,都重視把傳授知識與開拓思維、培養(yǎng)能力結(jié)合起來,天長日久,肯定會收到深遠(yuǎn)的效果. 3.教材組織與教法選用問題 實(shí)現(xiàn)上述教學(xué)目的,關(guān)鍵在于組織好教材,努力把傳授知識與開拓思維、培養(yǎng)能力結(jié)合起來.教材中對定理1和定理2的安排,可能是為了與前面講的比較法和配方法相呼應(yīng).但這容易使人感到這兩個(gè)定理之間沒有什么內(nèi)在聯(lián)系,又似乎在應(yīng)用定理時(shí)才能用綜合法.事實(shí)上,可以用比較法證明兩個(gè)數(shù)的平方和或三個(gè)數(shù)的立方和的不等式,但當(dāng)n>3,特別對n是奇數(shù)時(shí),用比較法就困難了(因?yàn)檫@時(shí)難以配方與分解因式).因此不具有一般性.而對綜合法,學(xué)生在初中證幾何題時(shí)已多次用過了(只是課本上沒有提到這個(gè)名稱).現(xiàn)行課本中兩個(gè)不等式定理及其推論,是著名的平均值不等式: 和它的等價(jià)形式當(dāng) n=2,3時(shí)的特殊情況(當(dāng)n=2時(shí),ai的取值有所變化).在中學(xué)不講一般形式,只講特殊情況是符合大綱要求的.由于普遍性總是寓于特殊性之中,因此,這兩個(gè)特例應(yīng)是一般式的基礎(chǔ).同時(shí),這兩個(gè)特例之間應(yīng)有緊密的聯(lián)系,在推導(dǎo)方法上也應(yīng)該與一般式的證明有共性.這就是本教案的設(shè)計(jì)思想,因而改變了現(xiàn)行課本的證法. 這里,我們用由定理1先推出一個(gè)輔助不等式 a3+b3≥a2b+ab2,然后經(jīng)迭代、疊加,推出不等式 a3+b3+c3≥3abc,這種方法具有一般性.事實(shí)上,引入一個(gè)一般的輔助不等式 an+bn≥an-1b+abn-1(n>1),由迭代、疊加,再應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法就可以證出公式 正因?yàn)樯鲜鲎C法具有一般性,即揭示了證法的本質(zhì)(共性),就必然有利于遞推與探索.又由(a-b)2≥0非常容易推出a2+b2≥2ab,所以它是“天然”的奠基式.于 2ab,因此,凡能用配方法證明的問題,必能用基本不等式證明,反之亦真.可見配方法的重要作用.它的重要性應(yīng)在上一節(jié)比較法中就予以強(qiáng)調(diào). 當(dāng)學(xué)生在教師的指導(dǎo)下和教師一起探索問題時(shí),這個(gè)探索本身就是培養(yǎng)學(xué)生今后獨(dú)立去獲取知識的過程. 課題:基本不等式及其應(yīng)用 一、教學(xué)目的(1)認(rèn)知:使學(xué)生掌握基本不等式a2+b2≥2ab(a、b∈R,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號)和 a?b?ab(a、b∈R+,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號),并能應(yīng)用它們證明一些不等 2式. (2)情感:通過對定理及其推論的證明與應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用綜合法進(jìn)行推理的能力. 二、教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn):兩個(gè)基本不等式的掌握; 難點(diǎn):基本不等式的應(yīng)用。 三、教材、學(xué)生分析 教材分析:兩個(gè)基本不等式為以后學(xué)習(xí)不等式的證明和求函數(shù)的最大值或最小值提供了一種 方法,基本不等式的理解和掌握對以后的解題是很有幫助的。 學(xué)生分析:學(xué)生在上新課之前都預(yù)習(xí)了本節(jié)內(nèi)容,對上課內(nèi)容有一定的理解。所以根據(jù)這一 情況多補(bǔ)充了一些內(nèi)容,增加了課堂容量。 四、教學(xué)過程 (一)引入新課 客觀世界中,有些不等式關(guān)系是永遠(yuǎn)成立的。例如,在周長相等時(shí),圓的面積比正方形的面積大,正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。對這些不等關(guān)系的證明,常常會歸結(jié)為一些基本不等式。今天,我們學(xué)習(xí)兩個(gè)最常用的基本不等式。 (二)推導(dǎo)公式 1.奠基 如果a、b∈R,那么有(a-b)2≥0① 把①左邊展開,得 a2-2ab+b2≥0,∴a2+b2≥2ab. ② ②式表明兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍.這就是課本中介紹的定理1,也就是基本不等式1,對任何兩實(shí)數(shù)a、b都成立.由于取“=”號這種特殊情況,在以后有廣泛的應(yīng)用,因此通常要指出“=”號成立的充要條件.②式中取等號的充要條件是什么呢? 學(xué)生回答:a=b,因?yàn)閍=b?a+b=2ab 2 2充要條件通常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來表達(dá).“當(dāng)”表示條件是充分的,“僅當(dāng)”表示條件是必要的.所以②式可表述為:如果a、b∈R,那么a2+b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號). 以公式①為基礎(chǔ),運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式②,這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法.以公式②為基礎(chǔ),用綜合法可以推出更多的不等式.現(xiàn)在讓我們共同來探索. 2.探索 公式②反映了兩個(gè)實(shí)數(shù)平方和的性質(zhì),下面我們研究兩個(gè)以上的實(shí)數(shù)的平方和,探索可能得到的結(jié)果.先考查三個(gè)實(shí)數(shù).設(shè)a、b、c∈R,依次對其中的兩個(gè)運(yùn)用公式②,有 a2+b2≥2ab; b2+c2≥2bc; c2+a2≥2ca. 把以上三式疊加,得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca ③ (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號). 以此類推:如果ai∈R,i=1,2,?,n,那么有 22a12?a2???an?a1a2?a2a3???ana 1④ (當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時(shí)取“=”號). ④式是②式的一種推廣式,②式就是④式中n=2時(shí)的特殊情況.③和④式不必當(dāng)作公式去記,但從它們的推導(dǎo)過程中可以學(xué)到一種處理兩項(xiàng)以上的和式問題的數(shù)學(xué)思想與方法——迭代與疊加. 3.練習(xí) 222求證:a+b+c+3≥2(a+b+c) 4.基本不等式 2直接應(yīng)用基本不等式1可以得到基本不等式2 如果a、b、∈R,那么ab?R?,在公式②中用a替換a,用替換b,立即得+到 22a)?)?2ab 即a?b?2ab ∴a?b?ab⑤ 2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號). 這就是課本中基本不等式2 我們把a(bǔ)?b和ab分別叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)。 25、公式小結(jié) (1)我們從公式①出發(fā),運(yùn)用綜合法,得到許多不等式公式,其中要求同學(xué)熟練掌握的是公式①、②、③、⑤.它們之間的關(guān)系可圖示如下: 展開 迭代、疊加① 配方 ② ③ 降換 次元 ⑤ (2)上述公式的證法不止綜合法一種.比如公式②,在課本上是用比較法證明的.但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng),其理論基礎(chǔ)都是實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù). (3)四個(gè)公式中,②、⑤是基礎(chǔ),最重要.它們還可以用幾何法證明. +222幾何法:構(gòu)造直角三角形ABC,使∠C=90°,BC=a,AC=b(a、b∈R),則a+b=c表 示以斜邊c為邊的正方形的面積.而 2ab?4?ab?4S?ABC 2 如上左圖所示,顯然有c?4?21ab 2 ∴a+b≥2ab 22 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號,這時(shí)Rt△ABC等腰,如上右圖).這個(gè)圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)所用過的“勾股方圓圖”,同學(xué)們在初中已經(jīng)見過. 公式 示: a?b?ab也可以用幾何法證明,它的幾何意義是半徑大于等于半弦,如下圖所2 (三)例題 1、已知x,y∈R,證明:+xy??2,并指出等號成立的條件。yx2、已知a,b∈R,并且ab=4,求證:a?b?8,并指出等號成立的條件。223、已知x,y∈R,并且x+y=1,求證:xy≤+1 4 (其中一題作為練習(xí)) (四)應(yīng)用 下面我們來解決開始上課時(shí)所提到的:在周長相等時(shí),正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。 求證:在周長相等的矩形中,正方形的面積最大。 證明:設(shè)矩形的長和寬分別a,b(a,b為正數(shù),且a≠b),同樣周長的正方形的邊長為a?b,2 '可計(jì)算得矩形的面積S=ab,正方形的面積S?(a?b2),2 由基本不等式2,得a?b?ab?0(因?yàn)閍≠b等號不成立)。2 a?b2)?(ab)2,即S′>S.2又由不等式性質(zhì),得((五)作業(yè) 練習(xí)冊P10/6 課時(shí)九 基本不等式與不等式基本證明 第一部分:基本不等式變形技巧的應(yīng)用 基本不等式在求解最值、值域等方面有著重要的應(yīng)用,利用基本不等式時(shí),關(guān)鍵在對已知條件的靈活變形,使問題出現(xiàn)積(或和)為定值,以便解決問題,現(xiàn)就常用技巧給以歸納。 技巧一:加減常數(shù) 例 1、求函數(shù)y?x? 點(diǎn)評:當(dāng)各項(xiàng)符號不確定時(shí),必須分類討論,要保證代數(shù)式中的各項(xiàng)均為正。 技巧二:巧變常數(shù) 例 2、已知0?x? 點(diǎn)評:形如f(x)?x(1?ax)或f(x)?x2(1?ax2)等可有兩種變形方法:一是巧乘常數(shù);二是巧提常數(shù),應(yīng)用時(shí)要注意活用。 技巧 三、分離常數(shù) 例 3、已知x? 5452121x?1(x?1)的值域。,求函數(shù)y=x(1-2x)的最大值。,則f(x)?x?3x?32x?4542有()32A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值 32點(diǎn)評:通過加減常數(shù),分離出一個(gè)常數(shù)是分式函數(shù)求值域常用的方法,這里一定要加減好“常數(shù)”,以利于問題的解決。 技巧 四、活用常數(shù) 例 4、若x,y?R且滿足 點(diǎn)評:通過配湊“1”并進(jìn)行“1”的代換,整理后得到基本不等式的形式,減少了使用基本不等式的次數(shù),有效地避免了等號不能同時(shí)取到的麻煩。 技巧 五、統(tǒng)一形式 ?例 5、已知a,b,c?R,求(a?b?c)(?4x?16y?1,求x+y的最小值。1 a?b?1 c)的最小值。 點(diǎn)評:根據(jù)分母的特點(diǎn),進(jìn)行結(jié)構(gòu)調(diào)整為統(tǒng)一的形式,這樣便能快速求解。含有根號的問題也要注意形式的統(tǒng)一(如求函數(shù)y?x?x2(0?x?1)可變形為y?第二部分:均值定理證明不等式的方法技巧 。x(1?x)等) 1.輪換對稱型 例1 若a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù),求 證:a?b?c 222 ?ab?bc?ac.點(diǎn)評:分段應(yīng)用基本等式,然后整體相加(乘)得結(jié)論,是證明輪換對稱不等式的常用技 巧。 2.利用“1”的代換型 111? 已知a,b,c?R,且 a?b?c?1,求證 ???9.abc例2 點(diǎn)評:做“1”的代換。 .3.逆向運(yùn)用公式型 a,b?R,a?b?1求證: a? ? ?b? ?2.例3已知 點(diǎn)評:依據(jù)求證式的結(jié)構(gòu),湊出常數(shù)因子,是解決此類問題的關(guān)鍵。為脫去左邊的根號,a? 12,b? 將 1?1??? 轉(zhuǎn)換成 1??a??,1??b??,然后逆向運(yùn)22?2??? 用均值不等式: 若 a,b?R則 ab? ? a?b2 .4.挖掘隱含條件證明不等式 1??1?1?? a,b?R,a?b?1求證:?1???1???.a??b?9 ?例4 已知 ?a,b?R?,a?b?1 1??2 ?ab?說明a,b?R,a?b?1的背后隱含??a?b? 4??ab?? ?2?點(diǎn)評:由于? 著一個(gè)不等式ab? .5.用均值不等式的變式形式證明不等式 a?b?例5已知a,b,c?R,求證: ? b?c ?c?a ? 2?a?b?c?.點(diǎn)評:本題的關(guān)鍵在于對a?b,b?c,c?a的處理,如果能找出 a?b與a?b間的關(guān)系,問題就可以 222222 解決,注意到 ? a?b?2ab?2a?b ? ?? ?a?b?2 ?2a?b ?a?b ?其中a,b,c?R?即可。解題時(shí)要注意a ?b?2ab的a?b 變式應(yīng)用。常用 ? a?b2 (其中a,b?R)來解決有關(guān)根式不等式的問題.?第三篇:基本不等式的證明
第四篇:基本不等式的證明
第五篇:基本不等式與不等式基本證明