第一篇：3.4.1 基本不等式的證明教學(xué)點(diǎn)評

鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書配套教學(xué)軟件_評課

《3.4.1 基本不等式的證明》評課

南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 仇炳生

本節(jié)課的主要目標(biāo)是探索并證明基本不等式

a?b?ab(a?0,b?0).在探2索基本不等式的過程中，執(zhí)教老師依據(jù)教材給出的問題，改編為核查一個(gè)珠寶商是否違法的故事，創(chuàng)設(shè)了一個(gè)生動(dòng)有趣的問題情景．在運(yùn)用科學(xué)推理揭露不法珠寶商違法事實(shí)時(shí)，由尋找“判斷珠寶商是否違法的依據(jù)”，提出兩個(gè)問題：“如何計(jì)算珠寶的真實(shí)重量？”及“比較

a?b（珠寶商提供的珠寶重量）與ab（珠2寶的真實(shí)重量）的大??？”．通過實(shí)例展示基本不等式探索過程的教學(xué)設(shè)計(jì)，既使探索過程中思維活動(dòng)十分流暢，也表現(xiàn)出數(shù)學(xué)發(fā)展的趣味性．

在證明基本不等式的過程中，由于基本不等式的證明方法比較多且難度不大，執(zhí)教老師放手讓學(xué)生自我研究證明方法．從學(xué)生在黑板上的板書中，反映出學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣比較好．除條件a?0,b?0在證法中沒有交代以外，證明過程書寫是比較規(guī)范的．必修教材中關(guān)于不等式證明的內(nèi)容比較少，執(zhí)教老師在學(xué)生證明的基礎(chǔ)上，對比較法和分析法作簡要的說明，是十分必要的．在教學(xué)中，教師指出分析法的基本思路是“執(zhí)果索因”，即瞄準(zhǔn)結(jié)論，尋找結(jié)論成立的（充分）條件，同時(shí)還通過分析法的書寫模式，強(qiáng)化基本思路．謹(jǐn)防學(xué)生認(rèn)為分析法就是“從結(jié)論倒推”的錯(cuò)誤．比較法在學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)曾經(jīng)接觸過，比較法實(shí)際上也可以看作是分析法的特例，即要證A?B，只要證A?B?0.（或者將對命題A?B的證明，化歸為對它的等價(jià)命題A?B?0的證明）．比較法研究不等關(guān)系的優(yōu)越性在于，它有利于對未知不等關(guān)系的探索和證明．

形（幾何圖形）和數(shù)（數(shù)量關(guān)系）是中學(xué)數(shù)學(xué)研究的基本對象，它們是同一事物的兩種不同的表現(xiàn)形式．形和數(shù)各具特點(diǎn)，又互相支撐．一般地，形——生動(dòng)、形象、整體性好，數(shù)——嚴(yán)謹(jǐn)、精確、邏輯性強(qiáng)．形與數(shù)結(jié)合有利于開拓思

a?b?ab(a?0,b?0).啟發(fā)學(xué)生探索基2a?b本不等式的幾何形式的關(guān)鍵在于，給定線段a，b，如何構(gòu)造線段和ab．由

2維能力．基本不等式的代數(shù)形式為于學(xué)生初中數(shù)學(xué)內(nèi)容中沒有射影定理，對于一般學(xué)生探索基本不等式的幾何形式有一定的難度．基本不等式的幾何解釋不是本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)，是否作為本節(jié)課的鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書配套教學(xué)軟件_評課

教學(xué)內(nèi)容可視學(xué)生的具體情況確定．

在理解和運(yùn)用基本不等式的階段中，執(zhí)教老師重視定理教學(xué)的常規(guī)方式，首先要求學(xué)生分析不等式的特征，不等式成立的條件以及對定理中關(guān)鍵詞語的理解，然后再進(jìn)行練習(xí)．這是很好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，應(yīng)該予以肯定．關(guān)于運(yùn)用基本不等式求函數(shù)的最值問題，可以作為下節(jié)課的主要內(nèi)容重點(diǎn)進(jìn)行處理．

縱觀本節(jié)課，教學(xué)設(shè)計(jì)合理，學(xué)生的參與度高．但在教學(xué)中，也有一些不足之處：對練習(xí)中學(xué)生的錯(cuò)誤不僅及時(shí)指出，還應(yīng)該及時(shí)給出正確的解答；對一些語病沒能及時(shí)校正，如將“開方”說成“開根號”，將“

a?b”說成“分式”等． 2

第二篇：4.1 比較法證明不等式

§4 不等式的證明

4．1 比較法證明不等式

1．設(shè)t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則下列t與s的大小關(guān)系中正確的是()

A．t>sB．t≥s

C．t

2解析：選D.∵s－t＝(a＋b＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.12．已知P＝Q＝a2－a＋1，那么P、Q的大小關(guān)系是()a＋a＋

1A．P>QB．P

C．P≥QD．P≤Q

Q解析：選D.＝(a2－a＋1)·(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1≥1.P

13a－?2>0，又∵Q＝a2－a＋1＝??2?

411P＝>0，a＋a＋123?a＋1?＋4

∴P≤Q.113．已知a>b>－1，則()a＋1b＋1

1111A.B.

1111C.D.≤a＋1b＋1a＋1b＋1

b－a11解析：選B.∵a>b>－1，∴a＋1>0，b＋1>0，a－b>0，則＝<0，a＋1b＋1?a＋1??b＋1?

11∴a＋1b＋1

an4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝，其中a，b均為正數(shù)，那么an與an＋1的大小關(guān)系是bn＋1

()

A．a(chǎn)n>an＋1B．a(chǎn)n

C．a(chǎn)n＝an＋1D．與n的取值有關(guān)

a?n＋1?an解析：選B.an＋1－an＝－ b?n＋1?＋1bn＋1

a＝，?bn＋b＋1??bn＋1?

∵a>0，b>0，n>0，n∈N＋，∴an＋1－an>0，an＋1>an.5．設(shè)x2，y73，z＝6－2，則x，y，z的大小關(guān)系是()

A．x>y>zB．z>x>y

C．y>z>xD．x>z>y

44解析：選D.y73，z6－2＝，7＋36

2∵7＋3>6＋2>0，∴z>y.3＋2－43－24又x－z＝2－>0，6＋6＋262

∴x>z，∴x>z>y.6．在等比數(shù)列{an}和等差數(shù)列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，則a5與b5的大小關(guān)系是()

A．a(chǎn)5b

5C．a(chǎn)5＝b5D．不確定

解析：選B.∵{an}為等比數(shù)列設(shè)公比為q，∴a3＝a1q2，又∵a1≠a3，∴q2≠1.{bn}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，∴b3＝b1＋2d.又∵a1＝b1>0且a3＝b3，∴b3＝a1＋2d，∴2d＝a1q2－a1，∴a5＝a1q4；b5＝a1＋4d＝2a1q2－a1，∴a5－b5＝a1(q4－2q2＋1)＝a1(q2－1)2>0.故a5>b5.bb＋m7．設(shè)a，b，m均為正數(shù)，且，則a與b的大小關(guān)系是________． aa＋m

b＋mbm?a－b?解析：>0，a＋maa?a＋m?

又a，b，m為正數(shù)．

∴a(a＋m)>0，m>0，因此a－b>0，a>b.答案：a>b

3A8．若f(x)A＝4loga(x－1)，B＝4＋[loga(x－1)]2，若a>1，則________1.Bx?x－3?

3x>3，又a>1，所以A>0，B>0.x?x－3?

又因?yàn)锽－A＝[loga(x－1)－2]2≥0，A所以B≥A≤1.B

答案：≤

9．設(shè)n∈N，n>1，則logn(n＋1)與logn＋1(n＋2)的大小關(guān)系是________．

logn＋1?n＋2?解析：＝logn＋1(n＋2)·logn＋1n logn?n＋1?

logn＋1?n＋2?＋logn＋1n?2≤?2??

logn＋1?n2＋2n?2?＝2?

logn＋1?n＋1?22?<2?＝1.答案：logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)

10．已知a、b都是正數(shù)，x、y∈R，且a＋b＝1.求證：ax2＋by2≥(ax＋by)2.證明：ax2＋by2－(ax＋by)2

＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2

＝(ax2－a2x2)＋(by2－b2y2)－2abxy

＝ax2(1－a)＋by2(1－b)－2abxy

＝abx2＋aby2－2abxy＝ab(x－y)2.∵a>0，b>0，x，y∈R，∴ab>0，(x－y)2≥0，∴ax2＋by2≥(ax＋by)2成立．

a＋b＋c11．若a，b，c∈(0，＋∞)，證明：aabbcc≥(abc.3解析：因?yàn)閒(x)＝

證明：＋＋＝?abc?3aabbcc2a－b－c32b－c－a2c－a－bb3c3

aa－bbb－caa－c＝()3()3(3bcc

由于a，b，c在題中的地位相當(dāng)(全對稱性)，a－ba不妨設(shè)a≥b≥c>0，∴1，0，b3

aa－baa－cbb－c從而()31，同理3≥1，(3≥1.bcc

相乘即可得證．

aa－bbb－caa－c∴()3()3(31，bcc

abca＋b＋cabcabc即1，∴abc≥(abc)3.?abc?3

12．已知a>0，b>0，m>0，n>0，求證：amn＋bmn>ambn＋anbm.＋＋證明：amn＋bmn－(ambn＋anbm)

＋＋＝(amn－ambn)－(anbm－bmn)

＝am(an－bn)－bm(an－bn)

＝(am－bm)(an－bn)．

當(dāng)a>b時(shí)，am>bm，an>bn，∴(am－bm)(an－bn)>0；

當(dāng)a0；

當(dāng)a＝b時(shí)，am＝bm，an＝bn，∴(am－bm)(an－bn)＝0.綜上，(am－bm)(an－bn)≥0，＋＋即amn＋bmn≥ambn＋anbm.＋＋

第三篇：基本不等式的證明

重要不等式及其應(yīng)用教案

教學(xué)目的

(1)使學(xué)生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號)及其推論，并能應(yīng)用它們證明一些不等式．

(2)通過對定理及其推論的證明與應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用綜合法進(jìn)行推理的能力．

教學(xué)過程

一、引入新課

師：上節(jié)課我們學(xué)過證明不等式的哪一種方法？它的理論依據(jù)是什么？

生：求差比較法，即

師：由于不等式復(fù)雜多樣，僅有比較法是不夠的．我們還需要學(xué)習(xí)一些有關(guān)不等式的定理及證明不等式的方法．

如果a、b∈R，那么(a－b)2屬于什么數(shù)集？為什么？

生：當(dāng)a≠b時(shí)，(a－b)2＞0，當(dāng)a=b時(shí)，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈

R+∪{0}．

師：下面我們根據(jù)(a－b)2∈R+∪{0}這一性質(zhì)，來推導(dǎo)一些重要的不等式，同時(shí)學(xué)習(xí)一些證明不等式的方法．

二、推導(dǎo)公式

1．奠基

師：如果a、b∈R，那么有

(a－b)2≥0．

①

把①左邊展開，得

a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．

②

②式表明兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，它是一個(gè)很重要的絕對不等式，對任何兩實(shí)數(shù)a、b都成立．由于取“=”號這種特殊情況，在以后有廣泛的應(yīng)用，因此通常要指出“=”號成立的充要條件．②式中取等號的充要條件是什么呢？

師：充要條件通常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來表達(dá)．“當(dāng)”表示條件是充分的，“僅當(dāng)”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號)．

以公式①為基礎(chǔ)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎(chǔ)，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來探索．

2．探索

師：公式②反映了兩個(gè)實(shí)數(shù)平方和的性質(zhì)，下面我們研究兩個(gè)以上的實(shí)數(shù)的平方和，探索可能得到的結(jié)果．先考查三個(gè)實(shí)數(shù)．設(shè)a、b、c∈R，依次對其中的兩個(gè)運(yùn)用公式②，有

a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc； c2＋a2≥2ca．

把以上三式疊加，得

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca

③

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號)．

以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有

④

(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時(shí)取“=”號)．

④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時(shí)的特殊情況．③和④式不必當(dāng)作公式去記，但從它們的推導(dǎo)過程中可以學(xué)到一種處理兩項(xiàng)以上的和式問題的數(shù)學(xué)思想與方法——迭代與疊加．

3．再探索

師：考察兩個(gè)以上實(shí)數(shù)的更高次冪的和，又能得到什么有趣的結(jié)果呢？先考查兩個(gè)實(shí)數(shù)的立方和．由于

a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2)，啟示我們把②式變成

a2－ab＋b2≥ab，兩邊同乘以a＋b，為了得到同向不等式，這里要求a、b∈R+，得到

a3＋b3≥a2b＋ab2．

⑤

考查三個(gè)正實(shí)數(shù)的立方和又具有什么性質(zhì)呢？

生：由③式的推導(dǎo)方法，再增加一個(gè)正實(shí)數(shù)c，對b、c，c、a迭代⑤式，得到

b3＋c3≥b2c＋bc2，c3＋a3≥c2a＋ca2．

三式疊加，并應(yīng)用公式②，得

2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)

≥a·2bc＋b·2ca＋c·2ab=6abc．

∴a3＋b3＋c3≥3abc

⑥

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號)．

師：這是課本中的不等式定理2，即三個(gè)正實(shí)數(shù)的立方和不小于它們的積的3倍．同學(xué)們可能想到n個(gè)正實(shí)數(shù)的立方和會有什么結(jié)果，進(jìn)一步還會想到4個(gè)正數(shù)的4次方的和會有什么結(jié)果，直至n個(gè)正數(shù)的n次方的和會有什么結(jié)果．這些問題留給同學(xué)們課外去研究．

4．推論

師：直接應(yīng)用公式②和⑥可以得到兩個(gè)重要的不等式．

⑦

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號)．

這就是課本中定理1的推論．

⑧

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號)．這就是課本中定理2的推論．

當(dāng)ai∈R+(i=1，2，?，n)時(shí)，有下面的推廣公式(在中學(xué)不講它的證明)

⑨

(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時(shí)取“=”號)．

何平均數(shù)．⑨式表明：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．這是一個(gè)著名的平均數(shù)不等式定理．現(xiàn)在只要求同學(xué)掌握n=2、3時(shí)的兩個(gè)公式，即⑦和⑧．

三、小結(jié)

(1)我們從公式①出發(fā)，運(yùn)用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學(xué)熟練掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧．它們之間的關(guān)系可圖示如下：

(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②和⑥，在課本上是用比較法證明的．又如公式⑦也可以由①推出；用⑦還可以推出⑧；由⑦、⑧也可以推出②、⑥．但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng)，其理論基礎(chǔ)都是實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)．

四個(gè)公式中，②、⑦是基礎(chǔ)，最重要．它們還可以用幾何法或三角法證明．

幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，222則a＋b=c表示以斜邊c為邊的正方形的面積．而

+

如上左圖所示，顯然有

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號，這時(shí)Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個(gè)圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)所用過的“勾股方圓圖”，同學(xué)們在初中已經(jīng)見過．

三角法：在Rt△ABC中，令∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，則

2ab=2·c sin A· c sin B=2c2sinAcos A=c2·sin2A≤c2

=a2＋b2(∵sin2A≤1)

(當(dāng)且僅當(dāng)sinA=1，A=45°，即 a=b時(shí)取“=”號)．

2三、應(yīng)用公式練習(xí)

1．判斷正誤：下列問題的解法對嗎？為什么？如果不對請予以改正．

a、b∈R+．若tgα、ctgα∈R+．解法就對了．這時(shí)需令α是第一、三象限的角．]

改條件使a、b∈R+；②改變證法．a(chǎn)2＋ab＋b2≥2ab＋ab=3ab．]

師：解題時(shí)，要根據(jù)題目的條件選用公式，特別注意公式中字母應(yīng)滿足的條件．只有公式①、②對任何實(shí)數(shù)都成立，公式⑥、⑦、⑧都要求字母是正實(shí)數(shù)(事實(shí)上對非負(fù)實(shí)數(shù)也成立)．

2．填空：

(1)當(dāng)a________時(shí)，an＋a－n≥________；

(3)當(dāng)x________時(shí)，lg2x＋1≥_________；

(5)tg2α＋ctg2α≥________；

(6)sinxcosx≤________；

師：從上述解題中，我們可以看到：(1)對公式中的字母應(yīng)作廣義的理解，可以代表數(shù)，也可以代表式子．公式可以順用，也可以逆用．總之要靈活運(yùn)用公式．(2)上述題目中右邊是常數(shù)的，說明左邊的式子有最大或最小值．因此，在一定條件下應(yīng)用重要不等式也可以求一些函數(shù)的最大(小)值．(3)重要不等式還可以用于數(shù)值估計(jì)．如

表明任何自然數(shù)的算術(shù)平方根不大于該數(shù)加1之半．

四、布置作業(yè)

略．

教案說明

1．知識容量問題

這一節(jié)課安排的內(nèi)容是比較多的，有些是補(bǔ)充內(nèi)容．這是我教重點(diǎn)中學(xué)程度比較好的班級時(shí)的一份教案．實(shí)踐證明是可行的，效果也比較好．對于普通班級則應(yīng)另當(dāng)別論．補(bǔ)充內(nèi)容(一般式，幾何、三角證法等)可以不講，例題和練習(xí)也須壓縮．但講完兩個(gè)定理及其推論，實(shí)現(xiàn)教學(xué)的基本要求仍是可以做到的．還應(yīng)看到學(xué)生接受知識的能力也非一成不變的．同是一節(jié)課，講課重點(diǎn)突出，深入淺出，富有啟發(fā)性，學(xué)生就有可能舉一反

三、觸類旁通，獲取更多的知識．知識容量增加了，并未增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)．從整個(gè)單元來看，由于壓縮了講課時(shí)間，相應(yīng)的就增加了課堂練習(xí)的時(shí)間．反之，如果學(xué)生被動(dòng)聽講，目標(biāo)不清，不得要領(lǐng)，內(nèi)容講得再少，學(xué)生也是難以接受的．由此可見，知識容量的多少，既與學(xué)生的程度有關(guān)，與教學(xué)是否得法也很有關(guān)系．我們應(yīng)當(dāng)盡可能采用最優(yōu)教法，擴(kuò)大學(xué)生頭腦中的信息容量，以求可能的最佳效果．

2．教學(xué)目的問題

近年來，隨著教改的深入，教師在確定教學(xué)目的和要求時(shí)，開始追求傳授知識和培養(yǎng)能力并舉的課堂教學(xué)效果．在培養(yǎng)學(xué)生的能力方面，不僅要求學(xué)生能夠運(yùn)用知識，更重要的是通過自己的思考來獲取知識．據(jù)此，本節(jié)課確定如下的教學(xué)目的：一是在知識內(nèi)容上要求學(xué)生掌握四個(gè)公式；二是培養(yǎng)學(xué)生用綜合法進(jìn)行推理的能力．當(dāng)然，學(xué)生能力的形成和發(fā)展，絕不是一節(jié)課所能“立竿見影”的．它比掌握知識來得慢，它是長期潛移默化的教學(xué)結(jié)果．考慮到中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識，大量的是公式和定理，如能在每一個(gè)公式、定理的教學(xué)中，都重視把傳授知識與開拓思維、培養(yǎng)能力結(jié)合起來，天長日久，肯定會收到深遠(yuǎn)的效果．

3．教材組織與教法選用問題

實(shí)現(xiàn)上述教學(xué)目的，關(guān)鍵在于組織好教材，努力把傳授知識與開拓思維、培養(yǎng)能力結(jié)合起來．教材中對定理1和定理2的安排，可能是為了與前面講的比較法和配方法相呼應(yīng)．但這容易使人感到這兩個(gè)定理之間沒有什么內(nèi)在聯(lián)系，又似乎在應(yīng)用定理時(shí)才能用綜合法．事實(shí)上，可以用比較法證明兩個(gè)數(shù)的平方和或三個(gè)數(shù)的立方和的不等式，但當(dāng)n＞3，特別對n是奇數(shù)時(shí)，用比較法就困難了(因?yàn)檫@時(shí)難以配方與分解因式)．因此不具有一般性．而對綜合法，學(xué)生在初中證幾何題時(shí)已多次用過了(只是課本上沒有提到這個(gè)名稱)．現(xiàn)行課本中兩個(gè)不等式定理及其推論，是著名的平均值不等式：

和它的等價(jià)形式當(dāng)

n=2，3時(shí)的特殊情況(當(dāng)n=2時(shí)，ai的取值有所變化)．在中學(xué)不講一般形式，只講特殊情況是符合大綱要求的．由于普遍性總是寓于特殊性之中，因此，這兩個(gè)特例應(yīng)是一般式的基礎(chǔ)．同時(shí)，這兩個(gè)特例之間應(yīng)有緊密的聯(lián)系，在推導(dǎo)方法上也應(yīng)該與一般式的證明有共性．這就是本教案的設(shè)計(jì)思想，因而改變了現(xiàn)行課本的證法．

這里，我們用由定理1先推出一個(gè)輔助不等式

a3＋b3≥a2b＋ab2，然后經(jīng)迭代、疊加，推出不等式

a3＋b3＋c3≥3abc，這種方法具有一般性．事實(shí)上，引入一個(gè)一般的輔助不等式

an＋bn≥an-1b＋abn-1(n＞1)，由迭代、疊加，再應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法就可以證出公式

正因?yàn)樯鲜鲎C法具有一般性，即揭示了證法的本質(zhì)(共性)，就必然有利于遞推與探索．又由(a－b)2≥0非常容易推出a2＋b2≥2ab，所以它是“天然”的奠基式．于

2ab，因此，凡能用配方法證明的問題，必能用基本不等式證明，反之亦真．可見配方法的重要作用．它的重要性應(yīng)在上一節(jié)比較法中就予以強(qiáng)調(diào)．

當(dāng)學(xué)生在教師的指導(dǎo)下和教師一起探索問題時(shí)，這個(gè)探索本身就是培養(yǎng)學(xué)生今后獨(dú)立去獲取知識的過程．

第四篇：基本不等式的證明

課題：基本不等式及其應(yīng)用

一、教學(xué)目的(1)認(rèn)知：使學(xué)生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號)和

a?b?ab(a、b∈R+，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號)，并能應(yīng)用它們證明一些不等

2式．

(2)情感：通過對定理及其推論的證明與應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用綜合法進(jìn)行推理的能力．

二、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：兩個(gè)基本不等式的掌握；

難點(diǎn)：基本不等式的應(yīng)用。

三、教材、學(xué)生分析

教材分析：兩個(gè)基本不等式為以后學(xué)習(xí)不等式的證明和求函數(shù)的最大值或最小值提供了一種

方法，基本不等式的理解和掌握對以后的解題是很有幫助的。

學(xué)生分析：學(xué)生在上新課之前都預(yù)習(xí)了本節(jié)內(nèi)容，對上課內(nèi)容有一定的理解。所以根據(jù)這一

情況多補(bǔ)充了一些內(nèi)容，增加了課堂容量。

四、教學(xué)過程

（一）引入新課

客觀世界中，有些不等式關(guān)系是永遠(yuǎn)成立的。例如，在周長相等時(shí)，圓的面積比正方形的面積大，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。對這些不等關(guān)系的證明，常常會歸結(jié)為一些基本不等式。今天，我們學(xué)習(xí)兩個(gè)最常用的基本不等式。

（二）推導(dǎo)公式

1．奠基

如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0①

把①左邊展開，得

a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．

②

②式表明兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，也就是基本不等式1，對任何兩實(shí)數(shù)a、b都成立．由于取“=”號這種特殊情況，在以后有廣泛的應(yīng)用，因此通常要指出“=”號成立的充要條件．②式中取等號的充要條件是什么呢？

學(xué)生回答：a=b，因?yàn)閍=b?a+b=2ab 2

2充要條件通常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來表達(dá)．“當(dāng)”表示條件是充分的，“僅當(dāng)”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號)．

以公式①為基礎(chǔ)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎(chǔ)，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來探索．

2．探索

公式②反映了兩個(gè)實(shí)數(shù)平方和的性質(zhì)，下面我們研究兩個(gè)以上的實(shí)數(shù)的平方和，探索可能得到的結(jié)果．先考查三個(gè)實(shí)數(shù)．設(shè)a、b、c∈R，依次對其中的兩個(gè)運(yùn)用公式②，有

a2＋b2≥2ab；

b2＋c2≥2bc；

c2＋a2≥2ca．

把以上三式疊加，得

a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca

③

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號)．

以此類推：如果ai∈R，i=1，2，?，n，那么有

22a12?a2???an?a1a2?a2a3???ana

1④

(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?=an時(shí)取“=”號)．

④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時(shí)的特殊情況．③和④式不必當(dāng)作公式去記，但從它們的推導(dǎo)過程中可以學(xué)到一種處理兩項(xiàng)以上的和式問題的數(shù)學(xué)思想與方法——迭代與疊加．

3．練習(xí)

222求證：a+b+c+3≥2（a+b+c）

4．基本不等式

2直接應(yīng)用基本不等式1可以得到基本不等式2

如果a、b、∈R，那么ab?R?，在公式②中用a替換a，用替換b，立即得+到

22a）?）?2ab 即a?b?2ab ∴a?b?ab⑤

2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號)．

這就是課本中基本不等式2 我們把a(bǔ)?b和ab分別叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)。

25、公式小結(jié)

(1)我們從公式①出發(fā)，運(yùn)用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學(xué)熟練掌握的是公式①、②、③、⑤．它們之間的關(guān)系可圖示如下： 展開 迭代、疊加①

配方

② ③ 降換

次元

⑤

(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②，在課本上是用比較法證明的．但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng)，其理論基礎(chǔ)都是實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)．

(3)四個(gè)公式中，②、⑤是基礎(chǔ)，最重要．它們還可以用幾何法證明．

+222幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，則a＋b=c表

示以斜邊c為邊的正方形的面積．而

2ab?4?ab?4S?ABC 2

如上左圖所示，顯然有c?4?21ab 2

∴a＋b≥2ab 22

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號，這時(shí)Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個(gè)圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)所用過的“勾股方圓圖”，同學(xué)們在初中已經(jīng)見過． 公式

示：

a?b?ab也可以用幾何法證明，它的幾何意義是半徑大于等于半弦，如下圖所2

（三）例題

1、已知x，y∈R，證明：+xy??2，并指出等號成立的條件。yx2、已知a,b∈R，并且ab=4，求證：a?b?8，并指出等號成立的條件。223、已知x，y∈R，并且x+y=1，求證：xy≤+1 4

（其中一題作為練習(xí)）

（四）應(yīng)用

下面我們來解決開始上課時(shí)所提到的：在周長相等時(shí)，正方形的面積又比非正方形的任意矩形的面積大。

求證：在周長相等的矩形中，正方形的面積最大。

證明：設(shè)矩形的長和寬分別a，b(a，b為正數(shù)，且a≠b)，同樣周長的正方形的邊長為a?b，2

'可計(jì)算得矩形的面積S=ab，正方形的面積S?(a?b2)，2

由基本不等式2，得a?b?ab?0（因?yàn)閍≠b等號不成立）。2

a?b2)?(ab)2，即S′>S.2又由不等式性質(zhì)，得（（五）作業(yè)

練習(xí)冊P10/6

第五篇：基本不等式與不等式基本證明

課時(shí)九 基本不等式與不等式基本證明

第一部分：基本不等式變形技巧的應(yīng)用

基本不等式在求解最值、值域等方面有著重要的應(yīng)用，利用基本不等式時(shí)，關(guān)鍵在對已知條件的靈活變形，使問題出現(xiàn)積（或和）為定值，以便解決問題，現(xiàn)就常用技巧給以歸納。

技巧一：加減常數(shù)

例

1、求函數(shù)y?x?

點(diǎn)評：當(dāng)各項(xiàng)符號不確定時(shí)，必須分類討論，要保證代數(shù)式中的各項(xiàng)均為正。

技巧二：巧變常數(shù)

例

2、已知0?x?

點(diǎn)評：形如f(x)?x(1?ax)或f(x)?x2(1?ax2)等可有兩種變形方法：一是巧乘常數(shù)；二是巧提常數(shù)，應(yīng)用時(shí)要注意活用。

技巧

三、分離常數(shù)

例

3、已知x?

5452121x?1(x?1)的值域。，求函數(shù)y＝x（1－2x）的最大值。，則f(x)?x?3x?32x?4542有（）32A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值

32點(diǎn)評：通過加減常數(shù)，分離出一個(gè)常數(shù)是分式函數(shù)求值域常用的方法，這里一定要加減好“常數(shù)”，以利于問題的解決。

技巧

四、活用常數(shù)

例

4、若x,y?R且滿足

點(diǎn)評：通過配湊“1”并進(jìn)行“1”的代換，整理后得到基本不等式的形式，減少了使用基本不等式的次數(shù)，有效地避免了等號不能同時(shí)取到的麻煩。

技巧

五、統(tǒng)一形式

?例

5、已知a,b,c?R，求(a?b?c)(?4x?16y?1，求x＋y的最小值。1

a?b?1

c)的最小值。

點(diǎn)評：根據(jù)分母的特點(diǎn)，進(jìn)行結(jié)構(gòu)調(diào)整為統(tǒng)一的形式，這樣便能快速求解。含有根號的問題也要注意形式的統(tǒng)一（如求函數(shù)y?x?x2(0?x?1)可變形為y?第二部分：均值定理證明不等式的方法技巧

。x(1?x)等）

1．輪換對稱型

例1 若a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù)，求

證：a?b?c

222

?ab?bc?ac.點(diǎn)評：分段應(yīng)用基本等式，然后整體相加(乘)得結(jié)論，是證明輪換對稱不等式的常用技

巧。

2．利用“1”的代換型

111?

已知a,b,c?R,且 a?b?c?1,求證 ???9.abc例2

點(diǎn)評：做“1”的代換。

.3.逆向運(yùn)用公式型

a,b?R,a?b?1求證： a?

?

?b?

?2.例3已知

點(diǎn)評：依據(jù)求證式的結(jié)構(gòu)，湊出常數(shù)因子，是解決此類問題的關(guān)鍵。為脫去左邊的根號，a?

12,b?

將

1?1???

轉(zhuǎn)換成 1??a??,1??b??,然后逆向運(yùn)22?2???

用均值不等式： 若

a,b?R則 ab?

?

a?b2

.4．挖掘隱含條件證明不等式

1??1?1??

a,b?R,a?b?1求證：?1???1???.a??b?9 ?例4 已知

?a,b?R?,a?b?1

1??2

?ab?說明a,b?R,a?b?1的背后隱含??a?b?

4??ab??

?2?點(diǎn)評:由于?

著一個(gè)不等式ab?

.5．用均值不等式的變式形式證明不等式

a?b?例5已知a,b,c?R,求證：

?

b?c

?c?a

?

2?a?b?c?.點(diǎn)評：本題的關(guān)鍵在于對a?b,b?c,c?a的處理，如果能找出

a?b與a?b間的關(guān)系，問題就可以

222222

解決，注意到

?

a?b?2ab?2a?b

?

??

?a?b?2

?2a?b

?a?b ?其中a,b,c?R?即可。解題時(shí)要注意a

?b?2ab的a?b

變式應(yīng)用。常用

?

a?b2

(其中a,b?R)來解決有關(guān)根式不等式的問題.?