第一篇：3.4.1 基本不等式的證明教學設計

鳳凰高中數(shù)學教學參考書配套教學軟件_教學設計

3.4.1 基本不等式的證明

南京師范大學附屬中學 季人杰

教學目標：

1．探索并了解基本不等式的證明；

2．體會證明不等式的基本思想方法；

3．能應用基本不等式解決簡單的不等式證明問題．

教學重點：

基本不等式的證明．

教學難點：

基本不等式的證明．

教學過程：

一、問題情境，導入新課

口述：有一個珠寶商人，很多人到他那里買的東西回家一稱發(fā)現(xiàn)分量都有問題，于是向工商局投訴，工商局派人去調查，商人承認他用的天平左右的桿長有問題，向人們提出一個調解方案，放左邊稱變重對人們不公平，放右邊稱變輕商人要虧本，那么用兩次稱重的平均值作為物品的實際重量，如果你是購買者，你接受他的方案嗎？

問題1 你能不能把這個問題轉化成一個數(shù)學問題？

珠寶放左邊稱砝碼顯示重量為a，放右邊稱砝碼顯示重量為b，假設天平的左杠桿長為l1，右杠桿長l2，那么這個珠寶的實際重量是多少？（會算嗎？用什么原理來算？你認為珠寶商的方案合理嗎，那也就是

問題2 a?bab 哪個大？）2a?bab 哪個大？（你估計一下哪個大？）（如果回答取值代，2那么可以追問取一正一負行嗎？如果回答作差，可以追問你估計一下哪個大？）

二、學生活動

a?b?a?0,b?0)呢？

2請2個同學上黑板（巡視，有不同的解法讓他上黑板寫一下）． 問題

3如何證明

證法一（比較法）

：a?b1

12?2?

=2?0，222

?a?b時，取“=”．

證法二：要證

?a?b，2

只要證

a?，b

只要證

0?a?b，只要證

0?2)

因為最后一個不等式成立，所以

時，取“＝”．

證法三：對于正數(shù)a,b，有)，?0?a?b成立，?即a?b2

?a?b?0，?a?b?

? a?b? 2

先讓學生談一談證的對不對，他這個證明方法有什么特點？

點評：回顧我們上面的證明過程，我們來看一下各種證法的特點：

證法一是比較法，比較法常用的就是作差將差值與零去比較；

證法二是分析法，分析法的特點是盯住我們要的目標，尋找結論成立的條件； 證法三是綜合法，它們都是證明不等式的基本方法．

（看來珠寶商還是多賺錢的，只有a＝b時才是一個守法的商人?。?/p>

三、建構數(shù)學

定理：如果a,b是實數(shù)且(a?0,b?0)，那么

取“＝”）．

問題：對于這個定理你怎么認識它？（結構有什么特點??？成立的條件是什么？什么叫當且僅當??？）（上式中a?b稱為a,b

a,b的幾何平均數(shù)，兩個正2a?b?ab（當且僅當a?b時

2數(shù)的算術平均數(shù)大于等于它們的幾何平均數(shù)，有的時候我們也把這個定理寫成．要用這個定理首先兩個數(shù)必須都是非負數(shù)． a?b?2ab）

當a?b時，取“＝”，并且只有當a?b時，取“＝”，我們把這種等號成立的情況稱之為當且僅當．

四、數(shù)學運用

例1 設a,b是正數(shù)，證明下列不等式成立：

ba1（1）??2（2）a??2 aba

（3）a2?b2?2ab

（先讓學生點評，對不對，關注格式與條件，他用什么方法來證明的？還有什么別的思路？）

點評：我們證明不等式通常有比較法，分析法，現(xiàn)在有了這個定理，也可以應用它來證明

什么時候取等號？

師：我們現(xiàn)在已經(jīng)對這個不等式有了一定的認識了，你能不能從圖形的角度來認識一下它呢？

有線段AB長為a，線段BC長為b，你能找到

講完了可以讓另一個學生再解釋一下）

a?

b

2B

1,(x?0)，求此函數(shù)的最小值． x例2（1）已知函數(shù)y?x?點評：什么是最小值，最小值就是大于等于一個數(shù)，你說大于等于2，那也大于等于1嘛，我能說最小值就是1嗎？

（2）已知函數(shù)y?x?

（3）已知函數(shù)y?2x?

1,(x?0)，求此函數(shù)的最大值； x1,(x??1)，求此函數(shù)的最小值． x?

1五、回顧小結

回顧本節(jié)課，你對基本不等式有哪些認識？

第二篇：4.1 比較法證明不等式

§4 不等式的證明

4．1 比較法證明不等式

1．設t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則下列t與s的大小關系中正確的是()

A．t>sB．t≥s

C．t

2解析：選D.∵s－t＝(a＋b＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.12．已知P＝Q＝a2－a＋1，那么P、Q的大小關系是()a＋a＋

1A．P>QB．P

C．P≥QD．P≤Q

Q解析：選D.＝(a2－a＋1)·(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1≥1.P

13a－?2>0，又∵Q＝a2－a＋1＝??2?

411P＝>0，a＋a＋123?a＋1?＋4

∴P≤Q.113．已知a>b>－1，則()a＋1b＋1

1111A.B.

1111C.D.≤a＋1b＋1a＋1b＋1

b－a11解析：選B.∵a>b>－1，∴a＋1>0，b＋1>0，a－b>0，則＝<0，a＋1b＋1?a＋1??b＋1?

11∴a＋1b＋1

an4．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝，其中a，b均為正數(shù)，那么an與an＋1的大小關系是bn＋1

()

A．an>an＋1B．an

C．an＝an＋1D．與n的取值有關

a?n＋1?an解析：選B.an＋1－an＝－ b?n＋1?＋1bn＋1

a＝，?bn＋b＋1??bn＋1?

∵a>0，b>0，n>0，n∈N＋，∴an＋1－an>0，an＋1>an.5．設x2，y73，z＝6－2，則x，y，z的大小關系是()

A．x>y>zB．z>x>y

C．y>z>xD．x>z>y

44解析：選D.y73，z6－2＝，7＋36

2∵7＋3>6＋2>0，∴z>y.3＋2－43－24又x－z＝2－>0，6＋6＋262

∴x>z，∴x>z>y.6．在等比數(shù)列{an}和等差數(shù)列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，則a5與b5的大小關系是()

A．a5b

5C．a5＝b5D．不確定

解析：選B.∵{an}為等比數(shù)列設公比為q，∴a3＝a1q2，又∵a1≠a3，∴q2≠1.{bn}為等差數(shù)列，設公差為d，∴b3＝b1＋2d.又∵a1＝b1>0且a3＝b3，∴b3＝a1＋2d，∴2d＝a1q2－a1，∴a5＝a1q4；b5＝a1＋4d＝2a1q2－a1，∴a5－b5＝a1(q4－2q2＋1)＝a1(q2－1)2>0.故a5>b5.bb＋m7．設a，b，m均為正數(shù)，且，則a與b的大小關系是________． aa＋m

b＋mbm?a－b?解析：>0，a＋maa?a＋m?

又a，b，m為正數(shù)．

∴a(a＋m)>0，m>0，因此a－b>0，a>b.答案：a>b

3A8．若f(x)A＝4loga(x－1)，B＝4＋[loga(x－1)]2，若a>1，則________1.Bx?x－3?

3x>3，又a>1，所以A>0，B>0.x?x－3?

又因為B－A＝[loga(x－1)－2]2≥0，A所以B≥A≤1.B

答案：≤

9．設n∈N，n>1，則logn(n＋1)與logn＋1(n＋2)的大小關系是________．

logn＋1?n＋2?解析：＝logn＋1(n＋2)·logn＋1n logn?n＋1?

logn＋1?n＋2?＋logn＋1n?2≤?2??

logn＋1?n2＋2n?2?＝2?

logn＋1?n＋1?22?<2?＝1.答案：logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)

10．已知a、b都是正數(shù)，x、y∈R，且a＋b＝1.求證：ax2＋by2≥(ax＋by)2.證明：ax2＋by2－(ax＋by)2

＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2

＝(ax2－a2x2)＋(by2－b2y2)－2abxy

＝ax2(1－a)＋by2(1－b)－2abxy

＝abx2＋aby2－2abxy＝ab(x－y)2.∵a>0，b>0，x，y∈R，∴ab>0，(x－y)2≥0，∴ax2＋by2≥(ax＋by)2成立．

a＋b＋c11．若a，b，c∈(0，＋∞)，證明：aabbcc≥(abc.3解析：因為f(x)＝

證明：＋＋＝?abc?3aabbcc2a－b－c32b－c－a2c－a－bb3c3

aa－bbb－caa－c＝()3()3(3bcc

由于a，b，c在題中的地位相當(全對稱性)，a－ba不妨設a≥b≥c>0，∴1，0，b3

aa－baa－cbb－c從而()31，同理3≥1，(3≥1.bcc

相乘即可得證．

aa－bbb－caa－c∴()3()3(31，bcc

abca＋b＋cabcabc即1，∴abc≥(abc)3.?abc?3

12．已知a>0，b>0，m>0，n>0，求證：amn＋bmn>ambn＋anbm.＋＋證明：amn＋bmn－(ambn＋anbm)

＋＋＝(amn－ambn)－(anbm－bmn)

＝am(an－bn)－bm(an－bn)

＝(am－bm)(an－bn)．

當a>b時，am>bm，an>bn，∴(am－bm)(an－bn)>0；

當a0；

當a＝b時，am＝bm，an＝bn，∴(am－bm)(an－bn)＝0.綜上，(am－bm)(an－bn)≥0，＋＋即amn＋bmn≥ambn＋anbm.＋＋

第三篇：基本不等式教學設計

基本不等式教學設計

10141510244 數(shù)學與應用數(shù)學 鐘林

課題：人教A版必修5第3章4節(jié)，基本不等式

【教學目標】

1.通過兩個探究實例，引導學生從幾何圖形中獲得兩個基本不等式，了解基本不等式的幾何背景，體會數(shù)形結合的思想。

2.進一步提煉、完善基本不等式，并從代數(shù)角度給出不等式的證明，組織學生分析證明方法，加深對基本不等式的認識，提高邏輯推理論證能力。3.結合課本的探究圖形，引導學生進一步探究基本不等式的幾何解釋，強化數(shù)形結合的思想。

4.借助例1嘗試用基本不等式解決簡單的最值問題，通過例2及其變式引導學生

a?b領會運用基本不等式ab?的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最

2值中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略。

【重點難點】

重點：應用數(shù)形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式a?bab?的證明過程。

2難點：在幾何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式。

【教學設計】

（一）問題導入

欣賞2002年國際數(shù)學家大會會徽，會徽是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能發(fā)現(xiàn)它是什么圖形構成的嗎？請根據(jù)會徽探索一些常見相等或不等關系。

探究一：在這張“弦圖”中能找出一些相等關系和不等關系嗎？ 在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形．設直角三角形兩條直角邊長為，a,b。

22a?b那么正方形的邊長為。

于是，4個直角三角形的面積之和S1?2ab。正方形的面積S2?a2?b2。由圖可知S2?S1，即a2?b2?2ab。

當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即時，正方形EFGH縮為一個點，這時 a2?b2?2ab

所以a2?b2?2ab。

探究二：如下圖所示的梯形中，EF是梯形ABCD的中位線，梯形ABGH相似于梯 形GHDC。

梯形ABCD的上底是a，下底是b。讓同學們自主研究GH和EF的大小關系。

a?b因為EF是中位線，所以EF?，2由相似，可以得出GH?ab，同樣因為相似，有

AGABa，??GDGHb又因為a?b，所以AG?GD，即AG?AE，a?b。2顯然，當AB逐漸趨近CD的時候，GH也逐漸向EF靠近，當AB=CD的時候，即ABCD是矩形的時候，GH與EF重合。

a?b即，當且僅當a?b時，ab?。

2a?b所以，ab?，當且僅當a?b時，等號成立。

2所以GH?EF,即ab?

（二）概念深入

根據(jù)上述兩個幾何背景，初步形成不等式結論：

若a,b?R?，則a2?b2?2ab。（當且僅當a=b時，等號成立）

a?b。（當且僅當a=b時，等號成立）2請同學們運用代數(shù)法證明： 作法一（作差法）： 若a,b?R?，則ab?a2?b2?2ab?(a?b)2?0a?b?2ab22

當且僅當a=b時，等號成立。且發(fā)現(xiàn)這里且a和b可以是全體實數(shù)、單項式、多項式。

作法二（分析法）：

要證明a?b?ab，2只需證明a?b?2ab，即證a?b-2ab?0，即為?a-b?2?0，該式顯然成立，所以，當a?b時取等號。

于是有這樣的結論：

稱ab為a,b的幾何平均數(shù)；稱基本不等式ab?a?b為a,b的算術平均數(shù)，2a?b又可敘述為： 2兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術平均數(shù)

作法三（幾何法）：

如圖，AB是圓O的直徑，點C是AB上一點，AC=a，BC=b．過點C作 垂直于AB的弦DE，連接AD,BD。從而有CD?ab,OD?a?b。2a?b。2a?b當且僅當C點與圓心O點重合時，即a=b時，ab?

2故再次證明：

a?ba?0,b?0,ab?，當且僅當a=b時，等號成立。

2a?b也說明了ab?的幾何意義：半徑不小于半弦。

2由于直角三角形COD中，直角邊CD<斜邊OD，即ab?

（三）例題講解

例1.（1）用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？

（2）一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？

（通過例1的講解，總結歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實現(xiàn)積與和的轉化）

對于x,y?R?，（1）若xy?p（定值），則當且僅當x?y時，x?y有最小值2p；

s2（2）若x?y?s（定值），則當且僅當x?y時，xy有最大值。

4（鼓勵學生自己探索推導，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養(yǎng)了勇于探索的精神。）

1例2.求y?x?(x?0)的值域。

x1變式1.若x?2，求x?的最小值．

x?21在運用基本不等式解題的基礎上，利用幾何畫板展示y?x?(x?0)的函數(shù)

x圖象，使學生再次感受數(shù)形結合的數(shù)學思想。

a?b并通過例2及其變式引導學生領會運用基本不等式ab?的三個限制

2條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略。

（四）歸納小結&課后作業(yè) 基本不等式：

若a,b?R?，則a2?b2?2ab。（當且僅當a=b時，等號成立）

a?b。（當且僅當a=b時，等號成立）2（1）基本不等式的幾何解釋（數(shù)形結合思想）；（2）運用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法。

作業(yè)：A組第4題，B組第1題，第2題

若a,b?R?，則ab?

第四篇：基本不等式教學設計

基本不等式

一、教學設計理念：

注重學生自主、合作、探究學習，用新課程理念打造新的教學模式.二、教學設計思路： 1.教學目標確定

這節(jié)課的目標定位分為三個層面：

第一層面：知識與技能層面，①了解兩個正數(shù)的算術平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念；②要創(chuàng)設幾何和代數(shù)兩個方面的背景，從數(shù)形結合的高度讓學生了解基本不等式；③引導學生從不同角度去證明基本不等式；④用基本不等式來證明一些簡單不等式.第二層面：過程與方法，通過掌握公式的結構特點，適當運用公式的變形，能夠提高學生分析問題和解決問題的能力，加強學生的實踐能力，滲透數(shù)學的思想方法.第三層面：情感、態(tài)度與價值觀，①通過具體問題的解決，讓學生去感受日常生活中存在大量的不等關系，鼓勵學生用數(shù)學觀點進行歸納，抽象，使學生感受到數(shù)學美，走進數(shù)學，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學學習習慣和良好的思維方式；②通過問題的解決，激發(fā)學生探究精神和科學態(tài)度，同時去感受數(shù)學的運用性，體會數(shù)學的奧妙，數(shù)學的簡潔美，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.2.教學過程

本節(jié)課我設計了五個環(huán)節(jié)：

第一個環(huán)節(jié)：創(chuàng)設情境，引入新課.我設計了兩個情境：一個是天平測量的問題，另一個是讓學生動手操作折紙試驗，從不同的角度體驗和理解基本不等式，讓學生能夠體會數(shù)學與生活緊密聯(lián)系，激發(fā)學生學習興趣，為后面學習作鋪墊.第二個環(huán)節(jié)：探究交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.我在問題的情境中，讓學生帶著不同的數(shù)據(jù)去比較幾何平均數(shù)和算術平均數(shù)的大小，并通過小組折紙試驗，通過這樣合作交流的方式讓學生初步感受到幾何平均數(shù)和算術平均數(shù)之間的大小關系.第三個環(huán)節(jié)：啟發(fā)引導、形成結論.本節(jié)課的重要任務就是對基本不等式進行嚴格的證明，包括了比較法，綜合法和分析法，而學生對作差比較法是比較熟悉的，綜合法和分析法的過程要加強引導，并組織學生去探究這兩種方法之間的關系，并規(guī)范證明過程，為今后學習證明方法打下基礎.第四個環(huán)節(jié)：訓練小結，鞏固深化.學習基本不等式最終的目的體現(xiàn)在它的運用上，首先在例題選擇上，注重讓學生充分認識 和 間的關系，給出一般的結論，在練習中我選擇了題組形式，目的是與讓學生強化對基本不等式成立條件包括等號成立的條件.第五個環(huán)節(jié)：研究拓展，提高能力.我設計了一道關于例題的變式題，目的是讓學生感受到，通過適當?shù)淖冃螌⑵浠癁槔}中出現(xiàn)的形式，體現(xiàn)化歸的思想，最后設計三道思考題，兩道進一步鞏固化歸思想及應用基本不等式的條件，一道需要分類討論，讓學有余力的學生提供更好展示自己能力的機會，得到進一步提高.最后我通過問題式的小結，讓學生自行歸納我們這節(jié)課當中學到的知識，特別是最后一問中，讓學生去總結在使用基本不等式的時候要注意哪些條件.雖然我沒有點出“一正二定三相等”這樣的結論，但已潛移默化為我們下一節(jié)課使用基本不等式求最值問題作了鋪墊，起到承前啟后的作用.三、本節(jié)課重點

重點：應用數(shù)形結合的思想和日常生活中例子理解基本不等式，并從不同的角度探索不等式的證明過程.難點：靈活使用化歸思想把問題轉化為運用基本不等式，以及基本不等式成立條件中包括等號成立的條件.在這一節(jié)中的主要任務就是讓學生從不同的角度去探索基本不等式的證明過程，包括它的成立條件，在這一節(jié)課中我的總體想法是通過互動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，直接猜想，指定驗證，得出結論，最后靈活運用這個結論來解決問題.四、本節(jié)課亮點：

1.積極引導學生自主探究問題，解決問題.2.靈活運用轉化與化歸的思想.3.實現(xiàn)課堂三大轉變：

①變教學生學會知識為指導學生會學知識；

②變重視結論的記憶為重視學生獲取結論的體驗和感悟； ③變模仿式學習為探究式學習.4.課堂小結采取問題式小結給學生留下滿口香.導入新課

探究：上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客，你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？?

（教師用投影儀給出第24屆國際數(shù)學家大會的會標，并介紹此會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客.通過直觀情景導入有利于吸引學生的注意力，激發(fā)學生的學習熱情，并增強學生的愛國主義熱情）?? 推進新課

師 同學們能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？如何找？?

【三維目標】：

一、知識與技能

1.能夠運用基本不等式解決生活中的應用問題 2.進一步掌握用基本不等式求函數(shù)的最值問題；

3.審清題意，綜合運用函數(shù)關系、不等式知識解決一些實際問題． 4.能綜合運用函數(shù)關系，不等式知識解決一些實際問題．

二、過程與方法

本節(jié)課是基本不等式應用舉例的延伸。整堂課要圍繞如何引導學生分析題意、設未知量、找出數(shù)量關系進行求解這個中心。

三、情感、態(tài)度與價值觀

1.引發(fā)學生學習和使用數(shù)學知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求是、理論與實際相結合的科學態(tài)度和科學道德。

2.進一步培養(yǎng)學生學習數(shù)學、應用數(shù)學的意識以及思維的創(chuàng)新性和深刻性

【三維目標】：

一、知識與技能

1.探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法； 2.會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}；

3.學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數(shù)相等；

4.理解兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及它的幾何解釋；

二、過程與方法

1.通過實例探究抽象基本不等式；

2.本節(jié)學習是學生對不等式認知的一次飛躍。要善于引導學生從數(shù)和形兩方面深入地探究不等式的證明，從而進一步突破難點。變式練習的設計可加深學生對定理的理解，并為以后實際問題的研究奠定基礎。兩個定理的證明要注重嚴密性，老師要幫助學生分析每一步的理論依據(jù)，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學品質

三、情感、態(tài)度與價值觀

1.通過本節(jié)的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高學習數(shù)學的興趣

2.培養(yǎng)學生舉一反三的邏輯推理能力，并通過不等式的幾何解釋，豐富學生數(shù)形結合的想象力、知識結構解讀

1．教材對基本不等式 的推導給出了三種證法，即作差法、分析法和綜合法，同時引導同學們探討基本不等式的幾何解釋．

2．基本不等式主要應用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．應用基本不等式時一定要注意其成立的條件．基本不等式的應用過程蘊涵了函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想及化歸與轉化等數(shù)學思想．

二、重點、難點解讀

本節(jié)的重點內容是掌握“兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”；掌握“兩個正數(shù)的和為定值時積有最大值，積為定值時和有最小值”的結論． 難點是正確理解和使用基本不等式求某些函數(shù)的最值或證明不等式．

三、知識點精析

1．基本不等式的定義（詳見課本）

基本不等式可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術平均數(shù)． 注意：不等式 成立的條件是 ． 2．基本不等式的幾何證明

已知在 中，如右圖所示，為斜邊 上的高，為 的外接圓的圓心，的延長線交 于點 ．，證明： ．

一、教學目標

1．知識與技能

探究基本不等式的證明過程，初步理解基本不等式

2．過程與方法

通過對基本不等式的不同角度的探究，滲透數(shù)形結合及轉化的數(shù)學思想．

3．情感、態(tài)度與價值觀：

通過本節(jié)學習，激發(fā)學生學習和應用數(shù)學知識的興趣，形成積極探索的學習風氣．

二、教學重點 用數(shù)形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程

教學難點 對基本不等式 的探究

三、教學資源 普通高中數(shù)學課程標準（實驗）人教A版教材必修5

中學數(shù)學周刊2005年第10期 百度

四、教學方法與手段

啟發(fā)學生探究，多媒體輔助教學

五、教學過程

（一）創(chuàng)設情境：

如圖1是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表著中國人民的熱情好客．

你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？

設計意圖：創(chuàng)設問題情境，為問題的引出做鋪墊

（二）新知探究： 圖1

將風車抽象成圖2

設直角三角形的兩條邊長為a、b,那么正方形 的邊長為.這樣,4個直角三角形的面積和為2ab,正方形面積為.由于4個直角三角形的面積和小于正方形ABCD的 面積，我們就得到了一個不等式

當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切? 圖2

即 時,正方形EFGH縮為一個點,這時有

此時，a、b代表正方形的邊長，顯然是正數(shù)，如果我們推廣到一般情況，對于任意的實數(shù)．知識與技能：學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數(shù)相等；

2．過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；

3．情態(tài)與價值：通過本節(jié)的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高學習數(shù)學的興趣

【教學重點】

應用數(shù)形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程；

【教學難點】

基本不等式 等號成立條件

【教學過程】

1.課題導入

基本不等式 的幾何背景：

如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？

教師引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關系

2.講授新課

1．探究圖形中的不等關系

將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個全等的直角三角形。設直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式：。

當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有。

2．得到結論：一般的，如果

3．思考證明：你能給出它的證明嗎？

證明：因為

當

所以，即

4．1）從幾何圖形的面積關系認識基本不等式

特別的，如果a>0,b>0,我們用分別代替a、b，可得，通常我們把上式寫作：

2）從不等式的性質推導基本不等式

用分析法證明：

要證(1)

只要證 a+b(2)

要證（2），只要證 a+b-0（3）

要證（3），只要證（-）（4）

顯然，（4）是成立的。當且僅當a=b時，（4）中的等號成立。

3）理解基本不等式 的幾何意義

探究：課本第110頁的《基本不等式》說課稿

一、教材分析

1、本節(jié)課的地位、作用和意義

基本不等式又稱為均值不等式，選自普遍高中課程標準實驗教科書(北京師范大學出版社出版)必修5，第3章第3節(jié)內容。學生在初中學習了完全平方公式、圓、初步認識了不等式，同時，在本章前面兩節(jié)學習了比較大小、一元二次不等式等，這些給本節(jié)課提供了堅實的基礎；基本不等式是后面基本不等式與最大（?。┲档幕A，在高中數(shù)學中有著比較重要的地位，在工業(yè)生產等有比較廣的實際應用。

2、本節(jié)課的教學重點和難點

我通過解讀新課標和分析教材，認為：

重點：通過對新課程標準的解讀，教材內容的解析，我認為結果固然重要，但數(shù)學學習過程更重要，它有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和探究能力，所以均值不等式的推導是本節(jié)課的重點之一；再者，均值不等式有比較廣的應用，需重點掌握，而掌握均值不等式，關鍵是對不等式成立條件的準確理解，因此，均值不等式以及其成立的條件也是教學重點。

突出重點的方法：我將采用①用分組討論，多媒體展示、引導啟發(fā)法來突出均值不等式的推導；用重復法（在課堂的每一環(huán)節(jié)，以各種方式進行強調均值不等式和其成立的條件），變式教學來突出均值不等式及其成立的條件。

難點：很多同學對均值不等式成立的條件的認識不深刻，在應用時候常常出錯誤，所以，均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點。

突破難點的方法：我將采用用重復法（在課堂的每一環(huán)節(jié)，以各種方式進行強調均值不等式和其成立的條件），變式教學等等來突破均值不等式成立的條件這個難點。

二、教學目標分析

1、知識與技能目標

（1）學會推導基本不等式：。

（2）理解 的幾何意義。

（3）能3分鐘內寫出基本不等式，并說明其成立的條件，準確率為95%

2、過程方法與能力目標

（1）探索并了解均值不等式的證明過程。

（2）體會均值不等式的證明方法。

3、情感、態(tài)度、價值觀目標

（1）通過探索均值不等式的證明過程，培養(yǎng)探索、研究精神。

（2）通過對均值不等式成立的條件的分析，養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W態(tài)度，勇于提出問題、分析問題的習慣?！疤骄俊?基本不等式的證明（1）

【三維目標】：

一、知識與技能

1.探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法；

2.會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}；

3.學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數(shù)相等；

4.理解兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及它的幾何解釋；

二、過程與方法

1.通過實例探究抽象基本不等式；

2.本節(jié)學習是學生對不等式認知的一次飛躍。要善于引導學生從數(shù)和形兩方面深入地探究不等式的證明，從而進一步突破難點。變式練習的設計可加深學生對定理的理解，并為以后實際問題的研究奠定基礎。兩個定理的證明要注重嚴密性，老師要幫助學生分析每一步的理論依據(jù)，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學品質

三、情感、態(tài)度與價值觀

1.通過本節(jié)的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高學習數(shù)學的興趣

2.培養(yǎng)學生舉一反三的邏輯推理能力，并通過不等式的幾何解釋，豐富學生數(shù)形結合的想象力

【教學重點與難點】：

重點：應用數(shù)形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程；

難點：理解基本不等式 等號成立條件及 “當且僅當 時取等號”的數(shù)學內涵

【學法與教學用具】：

1.學法：先讓學生觀察常見的圖形，通過面積的直觀比較抽象出基本不等式。從生活中實際問題還原出數(shù)學本質，可積極調動地學生的學習熱情。定理的證明要留給學生充分的思考空間，讓他們自主探究，通過類比得到答案

2.教學用具：直角板、圓規(guī)、投影儀（多媒體教室）

【授課類型】：新授課

【課時安排】：1課時

【教學思路】：

一、創(chuàng)設情景，揭示課題

1.提問： 與 哪個大？

2.基本不等式 的幾何背景：

如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？（教師引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關系）。

二、研探新知

重要不等式 ：一般地，對于任意實數(shù)、，我們有，當且僅當 時，等號成立。

證明:

所以

第五篇：基本不等式教學設計

《基本不等式》教學設計

3.4.1基本不等式

開江中學 魏江蘭

目標分析

依據(jù)《新課程標準》對《不等式》學段的目標要求和學生的實際情況，特確定如下目標：

1、知識與能力目標：理解掌握基本不等式，并能運用基本不等式解決一些簡單的求最值問題；理解算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念，學會構造條件使用基本不等式；培養(yǎng)學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。

2、過程與方法目標：按照創(chuàng)設情景，提出問題→ 剖析歸納證明→ 幾何解釋→ 應用（最值的求法、實際問題的解決）的過程呈現(xiàn)。啟動觀察、分析、歸納、總結、抽象概括等思維活動，培養(yǎng)學生的思維能力，體會數(shù)學概念的學習方法，通過運用多媒體的教學手段，引領學生主動探索基本不等式性質，體會學習數(shù)學規(guī)律的方法，體驗成功的樂趣。

3、情感與態(tài)度目標：通過問題情境的設置，使學生認識到數(shù)學是從實際中來，培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光看世界，通過數(shù)學思維認知世界，從而培養(yǎng)學生善于思考、勤于動手的良好品質。

教學重、難點分析

重點：應用數(shù)形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式ab?a?b的證明過程及應用。2難點：

1、基本不等式成立時的三個限制條件（簡稱一正、二定、三相等）；

2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。

教法分析

本節(jié)課采用觀察——感知——抽象——歸納——探究；啟發(fā)誘導、講練結合的教學方法，以學生為主體，以基本不等式為主線，從實際問題出發(fā)，放手讓學生探究思索。以現(xiàn)代信息技術多媒體課件作為教學輔助手段，加深學生對基本不等式的理解。

《基本不等式》教學設計

教學準備

多媒體課件、板書

教學過程

教學過程設計以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調過程，符合學生的認知規(guī)律，使數(shù)學教學過程成為學生對知識的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。具體過程安排如下：

一、創(chuàng)設情景，提出問題；

設計意圖：數(shù)學教育必須基于學生的“數(shù)學現(xiàn)實”，現(xiàn)實情境問題是數(shù)學教學的平臺，數(shù)學教師的任務之一就是幫助學生構造數(shù)學現(xiàn)實，并在此基礎上發(fā)展他們的數(shù)學現(xiàn)實．基于此,設置如下情境: 上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客。

[問]你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？

本背景意圖在于利用圖中相關面積間存在的數(shù)量關系，抽象出不等式a2?b2?2ab。在此基礎上，引導學生認識基本不等式。

二、抽象歸納：

一般地，對于任意實數(shù)a,b，有a2?b2?2ab，當且僅當a＝b時，等號成立。[問] 你能給出它的證明嗎？

證明：因為a2?b2?2ab?(a?b)2?0，即a2?b2?2ab.（當a?b時取等號）

特別地，當a>0,b>0時，在不等式a2?b2?2ab中，以a、b分別代替a、b，得到什么？

設計依據(jù)：類比是學習數(shù)學的一種重要方法，此環(huán)節(jié)不僅讓學生理解了基本不等式不等式的來源，突破了重點和難點，而且感受了其中的函數(shù)思想，為今后學習奠定基礎.《基本不等式》教學設計

答案： ab?a?b(a,b?0)。2你能用不等式的性質直接推導這個不等式嗎？ 證明：（分析法）：由于a,b?R?，于是要證明 a?b?2ab，只要證明 a?b?2即證

2ab，a?b?2ab?0，即(a?b)2?0，所以a?b?ab，（當a?b時取等號）

【歸納總結】

如果a,b都是正數(shù)，那么ab?a?b，當且僅當a=b時，等號成立。2a?b稱為a,b的算術平均數(shù)，ab稱2我們稱此不等式為基本不等式。其中為a,b的幾何平均數(shù)。

文字語言敘述：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

探究基本不等式的幾何意義：借助初中階段學生熟知的幾何圖形，引導學生探究ab?a?b(a,b?0)2的幾何解釋，通過數(shù)形結合，賦予不等式不等式ab?a?b(a,b?0)2幾何直觀。進一步領悟不等式中等號成立的條件。

如圖：AB是圓的直徑，點C是AB上一點，CD⊥AB，AC=a,CB=b，CD

D?ab

aba?b2abOCAB幾何解釋實質可認為是：在同一半圓中，半徑不小于半弦（直徑是最長的弦）；或者認為是，直角三角形斜邊的一半不小于斜邊上的高。

《基本不等式》教學設計

4．應用舉例，鞏固提高

我們可以用兩個重要不等式來解決什么樣的問題呢？

例1（1）用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？（2）一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？

（通過例1的講解，總結歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實現(xiàn)積與和的轉化）對于（1）若（2）若，（定值），則當且僅當（定值），則當且僅當

時，時，有最小值有最大值

； ．

（鼓勵學生自己探索推導，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養(yǎng)了勇于探索的精神．）

1例 2：當x?0時，求y?x?的最小值？x1變式1：當x?0時，y?x?有最值嗎？

x1變式2：當x?1時，y?x?有最值嗎？

x通過例2及其變式引導學生領會運用基本不等式的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略．

練一練（自主練習）：課本練習5．歸納小結，反思提高

《基本不等式》教學設計

基本不等式：若若，則，則

（當且僅當（當且僅當

時，等號成立）時，等號成立）

（1）基本不等式的幾何解釋（數(shù)形結合思想）；（2）運用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法（一正二定三相等）． 6．布置作業(yè)，課后延拓

（1）基本作業(yè)：課本P100習題組1、2、3題

（2）拓展作業(yè)：請同學們課外到閱覽室或網(wǎng)上查找基本不等式的其他幾何解釋，整理并相互交流．