第一篇：基本不等式的教學設(shè)計

《基本不等式》教學設(shè)計

基本不等式

教材分析

本節(jié)課是在系統(tǒng)的學習了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的，作為重要的基本不等式之一,為后續(xù)的學習奠定基礎(chǔ)。要進一步了解不等式的性質(zhì)及運用，研究最值問題，此時基本不等式是必不可缺的?；静坏仁皆谥R體系中起了承上啟下的作用，同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應(yīng)用，因此它也是對學生進行情感價值觀教育的好素材，所以基本不等式應(yīng)重點研究。

教學中注意用新課程理念處理教材，學生的數(shù)學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習，而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程。通過本節(jié)學習體會數(shù)學來源于生活，提高學習數(shù)學的樂趣。課程目標分析

依據(jù)《新課程標準》對《不等式》學段的目標要求和學生的實際情況，特確定如下目標：

1、知識與能力目標：理解掌握基本不等式，并能運用基本不等式解決一些簡單的求最值問題；理解算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念，學會構(gòu)造條件使用基本不等式；培養(yǎng)學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。

2、過程與方法目標：按照創(chuàng)設(shè)情景，提出問題→ 剖析歸納證明→ 幾何解釋→ 應(yīng)用（最值的求法、實際問題的解決）的過程呈現(xiàn)。啟動觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動，培養(yǎng)學生的思維能力，體會數(shù)學概念的學習方法，通過運用多媒體的教學手段，引領(lǐng)學生主動探索基本不等式性質(zhì)，體會學習數(shù)學規(guī)律的方法，體驗成功的樂趣。

3、情感與態(tài)度目標：通過問題情境的設(shè)置，使學生認識到數(shù)學是從實際中來，培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光看世界，通過數(shù)學思維認知世界，從而培養(yǎng)學生善于思考、勤于動手的良好品質(zhì)。

教學重、難點分析

重點：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式ab?a?b的2證明過程及應(yīng)用。

難點：

1、基本不等式成立時的三個限制條件（簡稱一正、二定、三相等）；

2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。

教法分析

本節(jié)課采用觀察——感知——抽象——歸納——探究；啟發(fā)誘導、講練結(jié)合的教學方法，以學生為主體，以基本不等式為主線，從實際問題出發(fā)，放手讓學生探究思索。以現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件作為教學輔助手段，加深學生對基本不等式的理解。

教學準備

多媒體課件、板書

教學過程

教學過程設(shè)計以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調(diào)過程，符合學生的認知規(guī)律，使數(shù)學教學過程成為學生對知識的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。具體過程安排如下：

一、創(chuàng)設(shè)情景，提出問題；

設(shè)計意圖：數(shù)學教育必須基于學生的“數(shù)學現(xiàn)實”，現(xiàn)實情境問題是數(shù)學教學的平臺，數(shù)學教師的任務(wù)之一就是幫助學生構(gòu)造數(shù)學現(xiàn)實，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學現(xiàn)

《基本不等式》教學設(shè)計

實．基于此,設(shè)置如下情境:

上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客。[問]你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？

本背景意圖在于利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系，抽象出不等式a?b?2ab。在此基礎(chǔ)上，引導學生認識基本不等式。

二、抽象歸納：

一般地，對于任意實數(shù)a,b，有a?b?2ab，當且僅當a＝b時，等號成立。[問] 你能給出它的證明嗎？

學生在黑板上板書。

特別地，當a>0,b>0時，在不等式a?b?2ab中，以a、b分別代替a、b，得到什么？

設(shè)計依據(jù)：類比是學習數(shù)學的一種重要方法，此環(huán)節(jié)不僅讓學生理解了基本不等式不等式的來源，突破了重點和難點，而且感受了其中的函數(shù)思想，為今后學習奠定基礎(chǔ).答案：

222222ab?a?b(a,b?0)。2【歸納總結(jié)】

a?b，當且僅當a=b時，等號成立。2a?b我們稱此不等式為基本不等式。其中稱為a,b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為a,b的2如果a,b都是正數(shù)，那么ab?幾何平均數(shù)。

三、理解升華：

1、文字語言敘述：

兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

2、聯(lián)想數(shù)列的知識理解基本不等式

已知a,b是正數(shù)，A是a,b的等差中項，G是a,b的正的等比中項，A與G有無確定的大小關(guān)系？

兩個正數(shù)的等差中項不小于它們正的等比中項。

3、符號語言敘述： 若a?0,b?0，則有ab?a?ba?b，當且僅當a=b時，ab?。22ab?a?b； 2[問] 怎樣理解“當且僅當”？（學生小組討論，交流看法，師生總結(jié)）

“當且僅當a=b時，等號成立”的含義是：當a=b時，取等號，即a?b?僅當a=b時，取等號，即ab?a?b?a?b。

24、探究基本不等式證明方法： [問] 如何證明基本不等式？

（意圖在于引領(lǐng)學生從感性認識基本不等式到理性證明，實現(xiàn)從感性認識到理性認識的升華，前面是從幾何圖形中的面積關(guān)系獲得不等式的，下面用代數(shù)的思想，利用不等式的性質(zhì)直接推導這個不等式。）

2(a?b)?0展開證明。

方法一：作差比較或由 方法二：分析法（完成課本填空）

設(shè)計依據(jù)：課本是學生了解世界的窗口和工具，所以，課本必須成為學生賴以學會學習的文本.在教學中要讓學生學會認真看書、用心思考，養(yǎng)成講講議議、動手動筆、仔細觀察、用心體會的好習慣，真正學會讀“數(shù)學書”。

《基本不等式》教學設(shè)計

a?b?ab

① 2只要證a?b?

② 要證②,只要證a?b?

?0

③ 要證③,只要證(?)2?0 ④ 要證顯然, ④是成立的。當且僅當a=b時, ④中的等號成立。

點評：證明方法叫做分析法,實際上是尋找結(jié)論的充分條件,執(zhí)果索因的一種思維方法.5、探究基本不等式的幾何意義：借助初中階段學生熟知的幾何圖形，引導學生探究不等式ab?a?ba?b(a,b?0)ab?(a,b?0)22的幾何解釋，通過數(shù)形結(jié)合，賦予不等式幾何直觀。進一步領(lǐng)悟不等式中等號成立的條件。

如圖：AB是圓的直徑，點C是AB上一點，CD⊥AB，AC=a,CB=b，CD?ab

D

ab

a?b ba BAOC

幾何解釋實質(zhì)可認為是：在同一半圓中，半徑不小于半弦（直徑是最長的弦）；或者認為是，直角三角形斜邊的一半不小于斜邊上的高。

四、探究歸納

例1：把36寫成兩個正數(shù)的積，當這兩個正數(shù)取什么值時，它們的和最??？ 例2：把18寫成兩個正數(shù)的和，當這兩個正數(shù)取什么值時，它們的積最大？ 結(jié)論：

若兩正數(shù)的乘積為定值，則當且僅當兩數(shù)相等時，它們的和有最小值； 若兩正數(shù)的和為定值，則當且僅當兩數(shù)相等時，它們的乘積有最大值。簡記為：“一正、二定、三相等”。

五、領(lǐng)悟練習： 公式應(yīng)用(1)若x?0,x?1的最小 x值為________,此時x?_________.(1)若a>0,b>0,且a+b=2,則ab的最大值為_______,此時a=_____,b=_____。

六、反思總結(jié)，整合新知：

設(shè)計意圖：通過反思、歸納，培養(yǎng)概括能力；幫助學生總結(jié)經(jīng)驗教訓，鞏固知識技能，提高認知水平.老師根據(jù)情況完善如下：

一個不等式：若a?0,b?0，則有ab?a?ba?b，當且僅當a=b時，ab?。22兩種思想：數(shù)形結(jié)合思想、歸納類比思想。

三個注意：基本不等式求函數(shù)的最大(小)值是注意：七字口訣“一正二定三相等”

七、布置作業(yè)：

第二篇：基本不等式教學設(shè)計

基本不等式教學設(shè)計

10141510244 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 鐘林

課題：人教A版必修5第3章4節(jié)，基本不等式

【教學目標】

1.通過兩個探究實例，引導學生從幾何圖形中獲得兩個基本不等式，了解基本不等式的幾何背景，體會數(shù)形結(jié)合的思想。

2.進一步提煉、完善基本不等式，并從代數(shù)角度給出不等式的證明，組織學生分析證明方法，加深對基本不等式的認識，提高邏輯推理論證能力。3.結(jié)合課本的探究圖形，引導學生進一步探究基本不等式的幾何解釋，強化數(shù)形結(jié)合的思想。

4.借助例1嘗試用基本不等式解決簡單的最值問題，通過例2及其變式引導學生

a?b領(lǐng)會運用基本不等式ab?的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最

2值中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略。

【重點難點】

重點：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式a?bab?的證明過程。

2難點：在幾何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式。

【教學設(shè)計】

（一）問題導入

欣賞2002年國際數(shù)學家大會會徽，會徽是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能發(fā)現(xiàn)它是什么圖形構(gòu)成的嗎？請根據(jù)會徽探索一些常見相等或不等關(guān)系。

探究一：在這張“弦圖”中能找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？ 在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形．設(shè)直角三角形兩條直角邊長為，a,b。

22a?b那么正方形的邊長為。

于是，4個直角三角形的面積之和S1?2ab。正方形的面積S2?a2?b2。由圖可知S2?S1，即a2?b2?2ab。

當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危磿r，正方形EFGH縮為一個點，這時 a2?b2?2ab

所以a2?b2?2ab。

探究二：如下圖所示的梯形中，EF是梯形ABCD的中位線，梯形ABGH相似于梯 形GHDC。

梯形ABCD的上底是a，下底是b。讓同學們自主研究GH和EF的大小關(guān)系。

a?b因為EF是中位線，所以EF?，2由相似，可以得出GH?ab，同樣因為相似，有

AGABa，??GDGHb又因為a?b，所以AG?GD，即AG?AE，a?b。2顯然，當AB逐漸趨近CD的時候，GH也逐漸向EF靠近，當AB=CD的時候，即ABCD是矩形的時候，GH與EF重合。

a?b即，當且僅當a?b時，ab?。

2a?b所以，ab?，當且僅當a?b時，等號成立。

2所以GH?EF,即ab?

（二）概念深入

根據(jù)上述兩個幾何背景，初步形成不等式結(jié)論：

若a,b?R?，則a2?b2?2ab。（當且僅當a=b時，等號成立）

a?b。（當且僅當a=b時，等號成立）2請同學們運用代數(shù)法證明： 作法一（作差法）： 若a,b?R?，則ab?a2?b2?2ab?(a?b)2?0a?b?2ab22

當且僅當a=b時，等號成立。且發(fā)現(xiàn)這里且a和b可以是全體實數(shù)、單項式、多項式。

作法二（分析法）：

要證明a?b?ab，2只需證明a?b?2ab，即證a?b-2ab?0，即為?a-b?2?0，該式顯然成立，所以，當a?b時取等號。

于是有這樣的結(jié)論：

稱ab為a,b的幾何平均數(shù)；稱基本不等式ab?a?b為a,b的算術(shù)平均數(shù)，2a?b又可敘述為： 2兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)

作法三（幾何法）：

如圖，AB是圓O的直徑，點C是AB上一點，AC=a，BC=b．過點C作 垂直于AB的弦DE，連接AD,BD。從而有CD?ab,OD?a?b。2a?b。2a?b當且僅當C點與圓心O點重合時，即a=b時，ab?

2故再次證明：

a?ba?0,b?0,ab?，當且僅當a=b時，等號成立。

2a?b也說明了ab?的幾何意義：半徑不小于半弦。

2由于直角三角形COD中，直角邊CD<斜邊OD，即ab?

（三）例題講解

例1.（1）用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？

（2）一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？

（通過例1的講解，總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化）

對于x,y?R?，（1）若xy?p（定值），則當且僅當x?y時，x?y有最小值2p；

s2（2）若x?y?s（定值），則當且僅當x?y時，xy有最大值。

4（鼓勵學生自己探索推導，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養(yǎng)了勇于探索的精神。）

1例2.求y?x?(x?0)的值域。

x1變式1.若x?2，求x?的最小值．

x?21在運用基本不等式解題的基礎(chǔ)上，利用幾何畫板展示y?x?(x?0)的函數(shù)

x圖象，使學生再次感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。

a?b并通過例2及其變式引導學生領(lǐng)會運用基本不等式ab?的三個限制

2條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略。

（四）歸納小結(jié)&課后作業(yè) 基本不等式：

若a,b?R?，則a2?b2?2ab。（當且僅當a=b時，等號成立）

a?b。（當且僅當a=b時，等號成立）2（1）基本不等式的幾何解釋（數(shù)形結(jié)合思想）；（2）運用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法。

作業(yè)：A組第4題，B組第1題，第2題

若a,b?R?，則ab?

第三篇：基本不等式教學設(shè)計

基本不等式

一、教學設(shè)計理念：

注重學生自主、合作、探究學習，用新課程理念打造新的教學模式.二、教學設(shè)計思路： 1.教學目標確定

這節(jié)課的目標定位分為三個層面：

第一層面：知識與技能層面，①了解兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念；②要創(chuàng)設(shè)幾何和代數(shù)兩個方面的背景，從數(shù)形結(jié)合的高度讓學生了解基本不等式；③引導學生從不同角度去證明基本不等式；④用基本不等式來證明一些簡單不等式.第二層面：過程與方法，通過掌握公式的結(jié)構(gòu)特點，適當運用公式的變形，能夠提高學生分析問題和解決問題的能力，加強學生的實踐能力，滲透數(shù)學的思想方法.第三層面：情感、態(tài)度與價值觀，①通過具體問題的解決，讓學生去感受日常生活中存在大量的不等關(guān)系，鼓勵學生用數(shù)學觀點進行歸納，抽象，使學生感受到數(shù)學美，走進數(shù)學，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學學習習慣和良好的思維方式；②通過問題的解決，激發(fā)學生探究精神和科學態(tài)度，同時去感受數(shù)學的運用性，體會數(shù)學的奧妙，數(shù)學的簡潔美，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.2.教學過程

本節(jié)課我設(shè)計了五個環(huán)節(jié)：

第一個環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課.我設(shè)計了兩個情境：一個是天平測量的問題，另一個是讓學生動手操作折紙試驗，從不同的角度體驗和理解基本不等式，讓學生能夠體會數(shù)學與生活緊密聯(lián)系，激發(fā)學生學習興趣，為后面學習作鋪墊.第二個環(huán)節(jié)：探究交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.我在問題的情境中，讓學生帶著不同的數(shù)據(jù)去比較幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的大小，并通過小組折紙試驗，通過這樣合作交流的方式讓學生初步感受到幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)之間的大小關(guān)系.第三個環(huán)節(jié)：啟發(fā)引導、形成結(jié)論.本節(jié)課的重要任務(wù)就是對基本不等式進行嚴格的證明，包括了比較法，綜合法和分析法，而學生對作差比較法是比較熟悉的，綜合法和分析法的過程要加強引導，并組織學生去探究這兩種方法之間的關(guān)系，并規(guī)范證明過程，為今后學習證明方法打下基礎(chǔ).第四個環(huán)節(jié)：訓練小結(jié)，鞏固深化.學習基本不等式最終的目的體現(xiàn)在它的運用上，首先在例題選擇上，注重讓學生充分認識 和 間的關(guān)系，給出一般的結(jié)論，在練習中我選擇了題組形式，目的是與讓學生強化對基本不等式成立條件包括等號成立的條件.第五個環(huán)節(jié)：研究拓展，提高能力.我設(shè)計了一道關(guān)于例題的變式題，目的是讓學生感受到，通過適當?shù)淖冃螌⑵浠癁槔}中出現(xiàn)的形式，體現(xiàn)化歸的思想，最后設(shè)計三道思考題，兩道進一步鞏固化歸思想及應(yīng)用基本不等式的條件，一道需要分類討論，讓學有余力的學生提供更好展示自己能力的機會，得到進一步提高.最后我通過問題式的小結(jié)，讓學生自行歸納我們這節(jié)課當中學到的知識，特別是最后一問中，讓學生去總結(jié)在使用基本不等式的時候要注意哪些條件.雖然我沒有點出“一正二定三相等”這樣的結(jié)論，但已潛移默化為我們下一節(jié)課使用基本不等式求最值問題作了鋪墊，起到承前啟后的作用.三、本節(jié)課重點

重點：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想和日常生活中例子理解基本不等式，并從不同的角度探索不等式的證明過程.難點：靈活使用化歸思想把問題轉(zhuǎn)化為運用基本不等式，以及基本不等式成立條件中包括等號成立的條件.在這一節(jié)中的主要任務(wù)就是讓學生從不同的角度去探索基本不等式的證明過程，包括它的成立條件，在這一節(jié)課中我的總體想法是通過互動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，直接猜想，指定驗證，得出結(jié)論，最后靈活運用這個結(jié)論來解決問題.四、本節(jié)課亮點：

1.積極引導學生自主探究問題，解決問題.2.靈活運用轉(zhuǎn)化與化歸的思想.3.實現(xiàn)課堂三大轉(zhuǎn)變：

①變教學生學會知識為指導學生會學知識；

②變重視結(jié)論的記憶為重視學生獲取結(jié)論的體驗和感悟； ③變模仿式學習為探究式學習.4.課堂小結(jié)采取問題式小結(jié)給學生留下滿口香.導入新課

探究：上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客，你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？?

（教師用投影儀給出第24屆國際數(shù)學家大會的會標，并介紹此會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客.通過直觀情景導入有利于吸引學生的注意力，激發(fā)學生的學習熱情，并增強學生的愛國主義熱情）?? 推進新課

師 同學們能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？如何找？?

【三維目標】：

一、知識與技能

1.能夠運用基本不等式解決生活中的應(yīng)用問題 2.進一步掌握用基本不等式求函數(shù)的最值問題；

3.審清題意，綜合運用函數(shù)關(guān)系、不等式知識解決一些實際問題． 4.能綜合運用函數(shù)關(guān)系，不等式知識解決一些實際問題．

二、過程與方法

本節(jié)課是基本不等式應(yīng)用舉例的延伸。整堂課要圍繞如何引導學生分析題意、設(shè)未知量、找出數(shù)量關(guān)系進行求解這個中心。

三、情感、態(tài)度與價值觀

1.引發(fā)學生學習和使用數(shù)學知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求是、理論與實際相結(jié)合的科學態(tài)度和科學道德。

2.進一步培養(yǎng)學生學習數(shù)學、應(yīng)用數(shù)學的意識以及思維的創(chuàng)新性和深刻性

【三維目標】：

一、知識與技能

1.探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法； 2.會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}；

3.學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數(shù)相等；

4.理解兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及它的幾何解釋；

二、過程與方法

1.通過實例探究抽象基本不等式；

2.本節(jié)學習是學生對不等式認知的一次飛躍。要善于引導學生從數(shù)和形兩方面深入地探究不等式的證明，從而進一步突破難點。變式練習的設(shè)計可加深學生對定理的理解，并為以后實際問題的研究奠定基礎(chǔ)。兩個定理的證明要注重嚴密性，老師要幫助學生分析每一步的理論依據(jù)，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學品質(zhì)

三、情感、態(tài)度與價值觀

1.通過本節(jié)的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高學習數(shù)學的興趣

2.培養(yǎng)學生舉一反三的邏輯推理能力，并通過不等式的幾何解釋，豐富學生數(shù)形結(jié)合的想象力、知識結(jié)構(gòu)解讀

1．教材對基本不等式 的推導給出了三種證法，即作差法、分析法和綜合法，同時引導同學們探討基本不等式的幾何解釋．

2．基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．應(yīng)用基本不等式時一定要注意其成立的條件．基本不等式的應(yīng)用過程蘊涵了函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想．

二、重點、難點解讀

本節(jié)的重點內(nèi)容是掌握“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”；掌握“兩個正數(shù)的和為定值時積有最大值，積為定值時和有最小值”的結(jié)論． 難點是正確理解和使用基本不等式求某些函數(shù)的最值或證明不等式．

三、知識點精析

1．基本不等式的定義（詳見課本）

基本不等式可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)． 注意：不等式 成立的條件是 ． 2．基本不等式的幾何證明

已知在 中，如右圖所示，為斜邊 上的高，為 的外接圓的圓心，的延長線交 于點 ．，證明： ．

一、教學目標

1．知識與技能

探究基本不等式的證明過程，初步理解基本不等式

2．過程與方法

通過對基本不等式的不同角度的探究，滲透數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想．

3．情感、態(tài)度與價值觀：

通過本節(jié)學習，激發(fā)學生學習和應(yīng)用數(shù)學知識的興趣，形成積極探索的學習風氣．

二、教學重點 用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程

教學難點 對基本不等式 的探究

三、教學資源 普通高中數(shù)學課程標準（實驗）人教A版教材必修5

中學數(shù)學周刊2005年第10期 百度

四、教學方法與手段

啟發(fā)學生探究，多媒體輔助教學

五、教學過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境：

如圖1是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表著中國人民的熱情好客．

你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？

設(shè)計意圖：創(chuàng)設(shè)問題情境，為問題的引出做鋪墊

（二）新知探究： 圖1

將風車抽象成圖2

設(shè)直角三角形的兩條邊長為a、b,那么正方形 的邊長為.這樣,4個直角三角形的面積和為2ab,正方形面積為.由于4個直角三角形的面積和小于正方形ABCD的 面積，我們就得到了一個不等式

當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切? 圖2

即 時,正方形EFGH縮為一個點,這時有

此時，a、b代表正方形的邊長，顯然是正數(shù)，如果我們推廣到一般情況，對于任意的實數(shù)．知識與技能：學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數(shù)相等；

2．過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；

3．情態(tài)與價值：通過本節(jié)的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高學習數(shù)學的興趣

【教學重點】

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程；

【教學難點】

基本不等式 等號成立條件

【教學過程】

1.課題導入

基本不等式 的幾何背景：

如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？

教師引導學生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系

2.講授新課

1．探究圖形中的不等關(guān)系

將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式：。

當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有。

2．得到結(jié)論：一般的，如果

3．思考證明：你能給出它的證明嗎？

證明：因為

當

所以，即

4．1）從幾何圖形的面積關(guān)系認識基本不等式

特別的，如果a>0,b>0,我們用分別代替a、b，可得，通常我們把上式寫作：

2）從不等式的性質(zhì)推導基本不等式

用分析法證明：

要證(1)

只要證 a+b(2)

要證（2），只要證 a+b-0（3）

要證（3），只要證（-）（4）

顯然，（4）是成立的。當且僅當a=b時，（4）中的等號成立。

3）理解基本不等式 的幾何意義

探究：課本第110頁的《基本不等式》說課稿

一、教材分析

1、本節(jié)課的地位、作用和意義

基本不等式又稱為均值不等式，選自普遍高中課程標準實驗教科書(北京師范大學出版社出版)必修5，第3章第3節(jié)內(nèi)容。學生在初中學習了完全平方公式、圓、初步認識了不等式，同時，在本章前面兩節(jié)學習了比較大小、一元二次不等式等，這些給本節(jié)課提供了堅實的基礎(chǔ)；基本不等式是后面基本不等式與最大（?。┲档幕A(chǔ)，在高中數(shù)學中有著比較重要的地位，在工業(yè)生產(chǎn)等有比較廣的實際應(yīng)用。

2、本節(jié)課的教學重點和難點

我通過解讀新課標和分析教材，認為：

重點：通過對新課程標準的解讀，教材內(nèi)容的解析，我認為結(jié)果固然重要，但數(shù)學學習過程更重要，它有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和探究能力，所以均值不等式的推導是本節(jié)課的重點之一；再者，均值不等式有比較廣的應(yīng)用，需重點掌握，而掌握均值不等式，關(guān)鍵是對不等式成立條件的準確理解，因此，均值不等式以及其成立的條件也是教學重點。

突出重點的方法：我將采用①用分組討論，多媒體展示、引導啟發(fā)法來突出均值不等式的推導；用重復法（在課堂的每一環(huán)節(jié)，以各種方式進行強調(diào)均值不等式和其成立的條件），變式教學來突出均值不等式及其成立的條件。

難點：很多同學對均值不等式成立的條件的認識不深刻，在應(yīng)用時候常常出錯誤，所以，均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點。

突破難點的方法：我將采用用重復法（在課堂的每一環(huán)節(jié)，以各種方式進行強調(diào)均值不等式和其成立的條件），變式教學等等來突破均值不等式成立的條件這個難點。

二、教學目標分析

1、知識與技能目標

（1）學會推導基本不等式：。

（2）理解 的幾何意義。

（3）能3分鐘內(nèi)寫出基本不等式，并說明其成立的條件，準確率為95%

2、過程方法與能力目標

（1）探索并了解均值不等式的證明過程。

（2）體會均值不等式的證明方法。

3、情感、態(tài)度、價值觀目標

（1）通過探索均值不等式的證明過程，培養(yǎng)探索、研究精神。

（2）通過對均值不等式成立的條件的分析，養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W態(tài)度，勇于提出問題、分析問題的習慣。“探究” 基本不等式的證明（1）

【三維目標】：

一、知識與技能

1.探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法；

2.會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}；

3.學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數(shù)相等；

4.理解兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及它的幾何解釋；

二、過程與方法

1.通過實例探究抽象基本不等式；

2.本節(jié)學習是學生對不等式認知的一次飛躍。要善于引導學生從數(shù)和形兩方面深入地探究不等式的證明，從而進一步突破難點。變式練習的設(shè)計可加深學生對定理的理解，并為以后實際問題的研究奠定基礎(chǔ)。兩個定理的證明要注重嚴密性，老師要幫助學生分析每一步的理論依據(jù)，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學品質(zhì)

三、情感、態(tài)度與價值觀

1.通過本節(jié)的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高學習數(shù)學的興趣

2.培養(yǎng)學生舉一反三的邏輯推理能力，并通過不等式的幾何解釋，豐富學生數(shù)形結(jié)合的想象力

【教學重點與難點】：

重點：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程；

難點：理解基本不等式 等號成立條件及 “當且僅當 時取等號”的數(shù)學內(nèi)涵

【學法與教學用具】：

1.學法：先讓學生觀察常見的圖形，通過面積的直觀比較抽象出基本不等式。從生活中實際問題還原出數(shù)學本質(zhì)，可積極調(diào)動地學生的學習熱情。定理的證明要留給學生充分的思考空間，讓他們自主探究，通過類比得到答案

2.教學用具：直角板、圓規(guī)、投影儀（多媒體教室）

【授課類型】：新授課

【課時安排】：1課時

【教學思路】：

一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1.提問： 與 哪個大？

2.基本不等式 的幾何背景：

如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？（教師引導學生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系）。

二、研探新知

重要不等式 ：一般地，對于任意實數(shù)、，我們有，當且僅當 時，等號成立。

證明:

所以

第四篇：基本不等式教學設(shè)計

《基本不等式》教學設(shè)計

3.4.1基本不等式

開江中學 魏江蘭

目標分析

依據(jù)《新課程標準》對《不等式》學段的目標要求和學生的實際情況，特確定如下目標：

1、知識與能力目標：理解掌握基本不等式，并能運用基本不等式解決一些簡單的求最值問題；理解算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念，學會構(gòu)造條件使用基本不等式；培養(yǎng)學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。

2、過程與方法目標：按照創(chuàng)設(shè)情景，提出問題→ 剖析歸納證明→ 幾何解釋→ 應(yīng)用（最值的求法、實際問題的解決）的過程呈現(xiàn)。啟動觀察、分析、歸納、總結(jié)、抽象概括等思維活動，培養(yǎng)學生的思維能力，體會數(shù)學概念的學習方法，通過運用多媒體的教學手段，引領(lǐng)學生主動探索基本不等式性質(zhì)，體會學習數(shù)學規(guī)律的方法，體驗成功的樂趣。

3、情感與態(tài)度目標：通過問題情境的設(shè)置，使學生認識到數(shù)學是從實際中來，培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光看世界，通過數(shù)學思維認知世界，從而培養(yǎng)學生善于思考、勤于動手的良好品質(zhì)。

教學重、難點分析

重點：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式ab?a?b的證明過程及應(yīng)用。2難點：

1、基本不等式成立時的三個限制條件（簡稱一正、二定、三相等）；

2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。

教法分析

本節(jié)課采用觀察——感知——抽象——歸納——探究；啟發(fā)誘導、講練結(jié)合的教學方法，以學生為主體，以基本不等式為主線，從實際問題出發(fā)，放手讓學生探究思索。以現(xiàn)代信息技術(shù)多媒體課件作為教學輔助手段，加深學生對基本不等式的理解。

《基本不等式》教學設(shè)計

教學準備

多媒體課件、板書

教學過程

教學過程設(shè)計以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調(diào)過程，符合學生的認知規(guī)律，使數(shù)學教學過程成為學生對知識的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。具體過程安排如下：

一、創(chuàng)設(shè)情景，提出問題；

設(shè)計意圖：數(shù)學教育必須基于學生的“數(shù)學現(xiàn)實”，現(xiàn)實情境問題是數(shù)學教學的平臺，數(shù)學教師的任務(wù)之一就是幫助學生構(gòu)造數(shù)學現(xiàn)實，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學現(xiàn)實．基于此,設(shè)置如下情境: 上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客。

[問]你能在這個圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？

本背景意圖在于利用圖中相關(guān)面積間存在的數(shù)量關(guān)系，抽象出不等式a2?b2?2ab。在此基礎(chǔ)上，引導學生認識基本不等式。

二、抽象歸納：

一般地，對于任意實數(shù)a,b，有a2?b2?2ab，當且僅當a＝b時，等號成立。[問] 你能給出它的證明嗎？

證明：因為a2?b2?2ab?(a?b)2?0，即a2?b2?2ab.（當a?b時取等號）

特別地，當a>0,b>0時，在不等式a2?b2?2ab中，以a、b分別代替a、b，得到什么？

設(shè)計依據(jù)：類比是學習數(shù)學的一種重要方法，此環(huán)節(jié)不僅讓學生理解了基本不等式不等式的來源，突破了重點和難點，而且感受了其中的函數(shù)思想，為今后學習奠定基礎(chǔ).《基本不等式》教學設(shè)計

答案： ab?a?b(a,b?0)。2你能用不等式的性質(zhì)直接推導這個不等式嗎？ 證明：（分析法）：由于a,b?R?，于是要證明 a?b?2ab，只要證明 a?b?2即證

2ab，a?b?2ab?0，即(a?b)2?0，所以a?b?ab，（當a?b時取等號）

【歸納總結(jié)】

如果a,b都是正數(shù)，那么ab?a?b，當且僅當a=b時，等號成立。2a?b稱為a,b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱2我們稱此不等式為基本不等式。其中為a,b的幾何平均數(shù)。

文字語言敘述：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

探究基本不等式的幾何意義：借助初中階段學生熟知的幾何圖形，引導學生探究ab?a?b(a,b?0)2的幾何解釋，通過數(shù)形結(jié)合，賦予不等式不等式ab?a?b(a,b?0)2幾何直觀。進一步領(lǐng)悟不等式中等號成立的條件。

如圖：AB是圓的直徑，點C是AB上一點，CD⊥AB，AC=a,CB=b，CD

D?ab

aba?b2abOCAB幾何解釋實質(zhì)可認為是：在同一半圓中，半徑不小于半弦（直徑是最長的弦）；或者認為是，直角三角形斜邊的一半不小于斜邊上的高。

《基本不等式》教學設(shè)計

4．應(yīng)用舉例，鞏固提高

我們可以用兩個重要不等式來解決什么樣的問題呢？

例1（1）用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？（2）一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？

（通過例1的講解，總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化）對于（1）若（2）若，（定值），則當且僅當（定值），則當且僅當

時，時，有最小值有最大值

； ．

（鼓勵學生自己探索推導，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養(yǎng)了勇于探索的精神．）

1例 2：當x?0時，求y?x?的最小值？x1變式1：當x?0時，y?x?有最值嗎？

x1變式2：當x?1時，y?x?有最值嗎？

x通過例2及其變式引導學生領(lǐng)會運用基本不等式的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略．

練一練（自主練習）：課本練習5．歸納小結(jié)，反思提高

《基本不等式》教學設(shè)計

基本不等式：若若，則，則

（當且僅當（當且僅當

時，等號成立）時，等號成立）

（1）基本不等式的幾何解釋（數(shù)形結(jié)合思想）；（2）運用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法（一正二定三相等）． 6．布置作業(yè)，課后延拓

（1）基本作業(yè)：課本P100習題組1、2、3題

（2）拓展作業(yè)：請同學們課外到閱覽室或網(wǎng)上查找基本不等式的其他幾何解釋，整理并相互交流．

第五篇：《基本不等式》教學設(shè)計和教學反思（本站推薦）

《基本不等式》教學設(shè)計

一、教材分析

（一）本節(jié)教材的地位與作用

數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學.與等量關(guān)系一樣，不等量關(guān)系也是自然界中存在著的基本數(shù)量關(guān)系.在本章中，學生將通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，學習一些關(guān)于不等式的基本知識，通過不等式豐富的實際背景理解不等式.而通過本節(jié)內(nèi)容《基本不等式》的學習，學生將了解不等式的證明，解決一些簡單的最值問題.同時本節(jié)內(nèi)容還滲透了“數(shù)形結(jié)合”與“化歸”思想，有利于提升學生優(yōu)良的數(shù)學思維品質(zhì).（二）教學目標的確定（1）知識與技能

①從不同角度探索基本不等式，理解基本不等式； ②會用基本不等式解決簡單的最值問題.（2）過程與方法

①借助“拼圖游戲”，通過操作、觀察、抽象、概括學會從不同角度探索基本不等式,明確其簡單應(yīng)用；

②滲透“數(shù)形結(jié)合”與“化歸”思想，提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力.（3）情感、態(tài)度與價值觀

通過自主探究活動,獲得發(fā)現(xiàn)的成就感, 激發(fā)對數(shù)學的積極情感,培養(yǎng)創(chuàng)新意識和嚴謹?shù)目茖W精神.（三）教學重點和難點 1.教學重點

從不同角度探索基本不等式，理解基本不等式.2.教學難點

會用基本不等式求最大值和最小值.二、教法分析

1.采用啟發(fā)式教學法創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學生嘗試活動.2.多媒體輔助教學，使用多媒體輔助進行直觀演示啟發(fā)學生思考.3.問題引導，探究基本不等式.4.聯(lián)系實際問題，講練結(jié)合，同時采用變式教學鞏固應(yīng)用，加深理解.三、學法分析

在教學中, 讓學生在問題情境中, 經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展, 通過觀察、探索、交流、反思參與學習, 認識和理解數(shù)學知識, 學會學習, 發(fā)展能力.四、教學過程

（一）問題情境一

問題1：你能用四塊相同的三角板拼成一個正方形嗎？

這個環(huán)節(jié)，以基本不等式的幾何背景入手，讓學生四人一個小組，用準備好的四塊相同的三角板進行拼圖游戲.從而得到趙爽弦圖的模型，并適時地介紹我國三國時期偉大的平民數(shù)學家及由他創(chuàng)設(shè)的弦圖.設(shè)計意圖：以趣引思，激發(fā)學生發(fā)現(xiàn)新知的欲望，讓學生對趙爽及趙爽弦圖記憶深刻，并為探究基本不等式作好鋪墊.問題2：如果設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為a,b，你能用a、b來表示正方形ABCD的面積與四個全等的直角三角形的面積和嗎？正方形ABCD的面積與四個全等的直角三角形的面積和之間有怎樣的大小關(guān)系呢？

通過這兩個簡單的問題，學生很快得到正方形的面積大于四個直角三角形的面積和，但對于等號是否成立還有疑惑，所以再利用多媒體進行動畫演示，對為什么當且僅當a=b時取等號給出了直觀的解釋.從而得到結(jié)論a?b?2ab(a,b?R?)（當且僅當a=b時取等號）設(shè)計意圖：由學生自己拼成的“弦圖”出發(fā)，由“形”及“數(shù)”，自然生成得到了基本不等式，也體現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合.問題情境二

問題3： AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a,BC=b, 過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD.則半徑OD =______, 半弦CD =______.半徑與半弦有怎樣的大小關(guān)系？ 設(shè)計意圖：通過幾何背景“半弦≤半徑”，探索基本不等式，運用動畫演示，對基本不等式給出更直觀的幾何解釋.（二）建構(gòu)數(shù)學

問題4：剛才我們通過數(shù)學實驗及幾何圖形發(fā)現(xiàn)了不等關(guān)系a?b?2ab(a,b?R?)（當且僅當a=b時取等號），我們能否用代數(shù)的方法嚴格證明呢？

學生容易用代數(shù)的方法如“作差法”“分析法”“ a2?b2?2ab(a,b?R)替代法”來證明這個不等式.從而得到本節(jié)課的基本a?b?2ab(a,b?R?)（當且僅當a=b時取等號）要特別強調(diào)a,b?R?.設(shè)計意圖：學生用代數(shù)的方法證明基不等式，引導學生體驗數(shù)學結(jié)論的探究過程，體驗了成功的喜悅，同時使學生理解數(shù)學是自然的，也是嚴密的

（三）應(yīng)用數(shù)學

1的最小值 x1變式一：x?0,求x?的最大值

x4的最小值 變式二：x??2,求x?x?24的最大值 變式三：x??2,求x?x?2例1.x?0,求x?例2.x?0,y?0,x?y?3,求xy的最大值 例3判斷題

111(1)x?的最小值是2;(2)x?的最小值是2(x?2);(3)x2?(x?0)的最小值是2xxxx設(shè)計意圖：通過多個例題及變式,拓展基本不等式應(yīng)用的靈活性,并著力突出基本不等式使用的前提條件.例4.(1)用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園, 問該矩形的長、寬各為多少時, 所用籬笆最短，最短的籬笆是多少?(2)一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時, 菜園的面積最大.最大面積是多少？ 設(shè)計意圖：

通過本例使學生明確:兩個正數(shù)積為定值時，和有最小值;兩個正數(shù)和為定值時，積有最大值，當然前提是等號必須能夠取到.并抽象出數(shù)學模型: x?0,y?0(1)xy?P(定值),則當x?y時,x?y的最小值是2P;S2(2)x?y?S(定值),則當x?y時,xy的最大值是

4（四）鞏固練習

ab1.a?0b?0.求?的最小值;ba12..0?x??,求sinx?最小值sinx變式:0?x??23.求半徑為R(常數(shù))的圓的內(nèi)接矩形面積的最大值

?設(shè)計意圖：

練習1,2及變式是對基本不等式的簡單應(yīng)用：兩個正數(shù)，當積為定值時，和有最小值，前提等號必須取到.變式強調(diào)應(yīng)用基本不等式時一定要驗證等號是否取到.,練習3體現(xiàn)兩個正數(shù)，當和為定值時，積有最大值的應(yīng)用.設(shè)計這三個練習及變式是在學生已有認知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上提出新問題，使學生進一步加深對基本不等式的理解，深刻體會應(yīng)用基本不等式求最值時的條件和方法，培養(yǎng)學生的發(fā)散和創(chuàng)新思維.充分認識基本不等式的使用價值.（五）歸納總結(jié)、作業(yè)布置

學生總結(jié)：1．你有哪些收獲？

2.應(yīng)用基本不等式要注意哪些問題？ 設(shè)計意圖：

通過兩個問題引導學生總結(jié)歸納本節(jié)課的知識點及應(yīng)用基本不等式時要注意的一些問題,強化對基本不等式的理解與認識.