第一篇：等差數列前n項和作業(yè)

家長簽名：

學之導教育中心作業(yè)

———————————————————————————————學生: 伍家濠 授課時間:________年級: 高三

教師:

廖

1.已知等差數列共有10項，其中奇數項之和15，偶數項之和為30，則其公差是（）A.5 B.4 C.3 D.2 2.在等差數列?an?中，若a4?a6?12,Sn是數列?an?的前n項和，則S9的值為()（A）48(B)54(C)60(D)66 3.設Sn是等差數列?an?的前n項和，若（A）

S31S?,則6?()S63S12311（B）

（C）8（D）

39104.已知數列{an}、其首項分別為a1、且a1?b1?5，設b1，a1,b1?N*．{bn}都是公差為1的等差數列，則數列{cn}的前10項和等于（）cn?abn（n?N*）A．55

B．70

C．85

D．100 5.設?an?是公差為正數的等差數列，若a1?a2?a3?15,a1a2a3?80，則a11?a12?a13?（）

A． 120 B． 105 C． 90 D．75 6.?an?是首項a1=1，公差為d=3的等差數列，如果an=2005，則序號n等于()（A）667（B）668（C）669（D）670 7.若等差數列?an?的前三項和S3?9且a1?1，則a2等于（）A．3 B．4 C．5 D．6 8.等差數列?an?的前n項和為Sn若a2?1,a3?3,則S4＝（）[來源:學科網] A．12 B．10 C．8 D．6 9．設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3?9，S6?36，則a7?a8?a9?（）A．63 B．45 C．36 D．27 10.等差數列?an?的公差是正數,且a3a7??12,a4?a6??4,求它的前20項的和.11.已知數列?an?為等差數列，前30項的和為50，前50項的和為30，求前80項的和。

12.在等差數列?an?中，已知a2?a5?a12?a15?36，求S1613、若a1>0,S15=S20,它的前幾項和最大？

第二篇：等差數列前n項和教案

等差數列前n項和教案

一、教材分析

1、教材內容：等差數列前n項求和過程以及等差數列前n項和公式。

2.教材所處的地位和作用：本節(jié)課的教學內容是等差數列前n項和，與前面學過

的等差數列的定義、性質等內容有著密切的聯(lián)系，又能為后面等比數列前n

項和以及數列求和做鋪墊。

3、教學目標

（1）知識與技能：掌握等差數列前n項和公式，理解公式的推導方法。同時能

熟練、靈活地應用等差數列前n項和公式解決問題。

（2）過程與方法：經歷公式的推導過程，體驗倒序相加進行求和的過程，學會

觀察、歸納、反思。體驗從特殊到一般的研究方法。

（3）情感、態(tài)度、價值觀：通過具體、生動的現(xiàn)實問題的引入，激發(fā)學生探

究求和方法的興趣，樹立學生求知意識，產生熱愛數學的情感，逐步養(yǎng)

成科學、嚴謹的學習態(tài)度，提高一般公式推理的能力。

4、重點與難點

重點：等差數列前n項和公式的掌握與應用。

難點：等差數列前n項和公式的推導以及其中蘊含的數學思想的掌握。

二、學情分析

學生前幾節(jié)已經學過一些數列的概念及簡單表示法，還學了等差數列的定

義以及性質，對等差數列已經有了一定程度的認識。這些知識也為這節(jié)的等差數列前n項和公式做準備，讓學生能更容易理解等差數列前n項和公式的推導過程。同時也為后面的等比數列前n項和公式做鋪墊。但由于數列形式多樣，因此僅僅掌握等差數列前n項和公式還是不夠的，更應該學會靈活應用。

三、教學方法：啟發(fā)引導，探索發(fā)現(xiàn)

四、教學過程

1．教學環(huán)節(jié)：創(chuàng)設情境

教學過程：200多年前，高斯的算術老師提出了下面的問題： 1?2?3???100?？。據說，當其他同學忙于把100個數逐項相加時，10歲的高斯迅速得出5050這個答案。讓同學思考并討論高斯是怎么算的。

設計意圖：由著名的德國數學家高斯的例子引發(fā)同學們的思考，為下面引入倒序相加法求和做準備。2．教學環(huán)節(jié)：介紹倒序相加法

教學過程：請同學將自己的計算方法在課上發(fā)表，老師接著介紹倒序相加

法。記S?1?2?3???10098???1S?100?99?，從而發(fā)現(xiàn)每一列相加都得101。

則2S?(1?100)?(2?99)?(3?98)???(100?1)?101*100

S?101*1002?5050

類似地，用同樣的方法計算1,2,3，?，n，?的前n項和，可以得到 1?2?3???n?(n?1)n。2 設計意圖：介紹倒序相加法，并用這個方法計算1,2,3，?，n，?的前n 項和，從而為下面推導等差數列前n項和公式做鋪墊。

3.教學環(huán)節(jié)：推導公式

教學過程：首先介紹數列?an?的前n項和，用Sn來表示，即

Sn?a1?a2?a3???an。對于公差為d的等差數列，我們用兩種方法表示Sn。Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)???[a1?(n?1)d]Sn?an?(an?d)?(an?2d)???[an?(n?1)d]

則兩式相加得：

2Sn?(a1?an)?(a1?an)?(a1?an)???(a1?an)?n(a1?an)

???????????????????n個n(a1?an)，將等差數列的通項公2n(n?1)d。式an?a1?(n?1)d代入，得到公式Sn?na1?2 推導出等差數列前n項和的公式為Sn? 設計意圖：用倒序相加法推導得到等差數列前n項和公式，由于有前面的鋪墊讓學生更容易理解等差數列前n項和公式的推導過程，對后面的應用也有幫助。

4、教學環(huán)節(jié)：例題講解

教學過程：例1：用等差數列前n項和的公式計算1+3+5+?+99的值。

例2：a1?1,a8?6，求這個等差數列的前8項和S8以及公

差d。例3：已知數列?an?的前n項和Sn?n2?n，求這個數列 的通項公式。這個數列是等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？

設計意圖：鞏固等差數列前n項和公式，加深學生對該公式的印象。6．教學環(huán)節(jié)：回顧總結

教學過程：

1、倒序相加法進行求和的思想

2、復習等差數列前n項和公式Sn? Sn?na1?n(a1?an)和 2n(n?1)強調要根據條件選用適當的公式進 d，行求解。以及公式的適用范圍。7．教學環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

七、板書設計

1、問題的提出

2、倒序相加法

3、等差數列前n項和公式

4、例題

5、回顧總結

6、布置作業(yè)

第三篇：等差數列前n項和公式說課稿

大家好！今天我說課的題目是《等差數列的前n項和》，所選用的教材為中等職業(yè)教育規(guī)劃教材。

一、教材分析：

1、教材的地位和作用

《等差數列的前n項和》是第一冊第五章第二節(jié)的內容，本節(jié)內容在日常生活中有著廣泛的應用，同時與函數、三角、不等式等內容有著密切的聯(lián)系。它既是等差數列的概念的延續(xù)，又為后續(xù)研究等差數列的應用提供理論依據。鑒于這種認識，我認為，本節(jié)課對于進一步探索、研究等比數列無論在知識上，還是方法上都有很強的啟發(fā)與示范作用。

2、學情分析

學生在認知方面基本掌握等差數列的通項公式，初步具備運用所學知識解決問題的能力，但數形結合的意識和思維的深刻性需要進一步加強培養(yǎng)，多數學生有積極的學習態(tài)度，能主動參與探究，少數學生的主動性，還需要通過營造一定的學習氛圍帶動。

3、教學重難點

根據以上對教材的地位與作用，以及學情的分析，結合本節(jié)內容的特點，我將本節(jié)課的重點確定為：等差數列前n項和公式的理解、推導與應用；

難點確定為：獲得等差數列前n項和公式推導的思路及公式的簡單應用。

二、教學目標分析

在教學中應以知識與技能為主線，滲透情感態(tài)度價值觀，并把前兩者充分體現(xiàn)在過程與方法中。借此，我將三維目標進行整合，確定本節(jié)課的教學目標為：

1.掌握等差數列求和公式，能較熟練應用等差數列前n項和公式； 2.經歷公式的推導，體會數形結合的思想，體驗從特殊到一般的研究方法，學會觀察、歸納、反思；

3.通過合作交流、主動探究，體會數學的合理性和嚴謹性，使學生養(yǎng)成積極思考、獨立思考的習慣，培養(yǎng)學生團隊合作的精神。

三、教學方法分析

學生是學習的主體，教師是學習的組織者，教學的一切活動都必須圍繞學生展開。根據這一教學理念，本節(jié)課我采用引導發(fā)現(xiàn)法、問題驅動教學法，以問題的提出及解決為主線，倡導學生主動參與教學實踐活動，以獨立思考和相互交流的形式分析和解決問題，從真正意義上完成對知識的自我建構。

另外，在教學過程中，我采用多媒體輔助教學，以直觀呈現(xiàn)教學素材，從而更好地激發(fā)學生的學習興趣，增大教學容量，提高教學效率。

在學法方面，主要采用聯(lián)系學習法，探究式學習法，自主性學習，真正體現(xiàn)學生為主體的教學理念。

四、教學過程分析

為有序、有效地進行教學，本節(jié)課我主要安排以下教學環(huán)節(jié)：(一）創(chuàng)設情境，提出問題

給出歷史上有名的實例，提出問題，學生進行觀察分析，進入思考狀態(tài)。設計意圖：以問題的形式創(chuàng)設情境，激發(fā)學生探究新知的欲望，為學習新內容做好準備。

（通過這一環(huán)節(jié)，學生已經產生強烈的求知欲望，此時將學生帶入下一個環(huán)節(jié)。）

(二)探究討論，發(fā)現(xiàn)問題（本節(jié)課的重點）

首先給出探索發(fā)現(xiàn)1，在教師的啟發(fā)引導下，學生通過合作交流的方式，逐步明確解決問題的方法和思路。

設計意圖：通過這一環(huán)節(jié)，讓學生體會數形結合的數學思想，同時培養(yǎng)學生的探究及歸納能力。

接著給出探索發(fā)現(xiàn)2，由學生通過主動探究和合作交流的方式解決問題2，從而歸納整理出求和公式1。

設計意圖：學生通過探索1的解決，已經積累了解決此類問題的經驗，此時給出探索2，充分發(fā)掘學生的興趣點，同時順利解決問題。

最后給出探索發(fā)現(xiàn)3，此時提出問題3，學生結合前兩個問題的解決方法，從而歸納出求和公式一和二。

設計意圖：在本環(huán)節(jié)中采用問題驅動的教學方法，以循序漸進、層層深入的方式，運用特殊到一般的研究方法，降低了知識的梯度，從而突出重點。（通過前面的學習，學生已經基本把握了本節(jié)課所學習的內容，此時他們急于展示自我，體驗成功，于是我把學生帶入第三個階段。）

（三）公式應用，加深理解

本環(huán)節(jié)主要是等差數列求和公式的應用，是本節(jié)課的難點。解決引入時候設置的問題，處理方法是引導學生從首項、末項及項數出發(fā)，使用公式

（一）求和；(2)引導學生從首項、項數及公差出發(fā)，使用公式

（二）求和。通過兩種方法的比較，提示學生應根據信息選擇合適的公式。

設計意圖：反饋體驗，解決引入時候設置的問題，使得學生體會到等差數列前n項和的實用性，突破本節(jié)課的難點。

（五）小結歸納，感知深化

為發(fā)揮學生的主體作用，從學習的知識、方法、體驗三個方面進行歸納，我設計了三個問題。

設計意圖：通過三個問題的處理，讓學生從整體上把握課堂結構，從而優(yōu)化認知結構，充分發(fā)揮學生的主體作用。

（六）布置作業(yè)，拓展升華

以作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性為出發(fā)點，設計了A和B兩種題目，作業(yè)A是對本節(jié)課內容的一個反饋，作業(yè)B是對本節(jié)知識的一個延伸?？偟脑O計意圖是反饋教學，鞏固提高。

板書設計：這樣安排版面，使得本節(jié)課內容重難點突出，層次分明。

五、教學評價：

這節(jié)課的設計體現(xiàn)了以學生為主體，教師為指導的理念，以上幾個環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣，層層深入，充分體現(xiàn)教師與學生的互動，在教師的整體調控下，學生通過動腦思考，對知識的理解逐步深入，使課堂學習效果最優(yōu)化。

第四篇：等差數列前n項和教學設計說明

《等差數列前n項和》的教學設計說明

本課的教學設計反映了等差數列求和公式推導過程中數學思想方法——倒序相加法的生成過程，這是本節(jié)課教學設計的重中之重；設計中結合本班學生學習的實際情況，從而確定了教學活動的環(huán)節(jié)并以此來確定教學目標。下面從以下幾個方面進行詳細說明。

一、教學內容的本質、地位及作用分析

等差數列前n項和S n

? a 1 ?

a 2 ?

?

? a

，這是教材給出的前n項和的定n?1?an義，但需要說明的是這只是一個形式定義，表示求和是一般意義的加法運算，而本節(jié)課的數學本質是倒序相加法及其生成過程（即變不同“數”的求和為相同“數”的求和），進而推導和掌握等差數列的求和公式。

本節(jié)內容是必修五第二章第三節(jié)的第一課時，本節(jié)課對“等差數列前n 項和”的推導，是在學生學習了等差數列通項公式及性質的基礎上進一步研究等差數列，其學習的平臺是學生已掌握等差數列的性質以及高斯求和法等相關知識。對本節(jié)的研究，為以后學習數列求和提供了一種重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上啟下的重要作用．

對求和公式的認識中，將公式1與公式2與梯形的面積公式建立了聯(lián)系，從而起到延伸知識，提示事物間內在聯(lián)系，更能激發(fā)學生學習興趣，感受思考的魅力。

二、教學目標分析

本節(jié)課是等差數列的前n項和的第一課時，從知識點來說，掌握求和公式對每個學生來說并不困難，而難點是在于如何從求和公式的推導過程中體會倒序相加求和的思想方法及生成過程，滲透新課標理念，根據學情進行了具體分析，并結合學情制定本節(jié)課的教學目標。

學情分析：

1、學生已學習了函數、數列等有關基礎知識，并且高二學生的抽象邏輯推理能力基本形成，能在教師的引導下獨立地解決問題。

2、學生基礎知識比較扎實、思維較活躍，學生層次差異不大，能夠很好的掌握教材上的內容，能較好地做到數形結合，善于發(fā)現(xiàn)問題，深入研究問題。

3、學生對新知識很有興趣，對用多媒體進行教學非常熱愛，思維活躍。結合以上的學情分析，確定知識技能目標是：（1）理解等差數列前n項和的概念（2）掌握等差數列的前n項和公式的推導過程（3）會靈活運用等差數列的前n項和公式。過程與方法的目標是：（1）通過對等差數列前n項和公式的推導過程，滲透倒序相加求和的數學思想且自然生成的過程（2）通過靈活運用公式的過程，提高學生類比化歸的能力及掌握方程的思想和方法。并且從教學過程滲透本課的情感態(tài)度目標：結合具體情景，將教材知識和實際生活聯(lián)系起來，使學生感受數學的實用性，有效激發(fā)學習興趣，并通過對等差數列求和歷史的了解，滲透數學史和數學文化。

三、教學問題診斷

1、根據教學經驗，在本課的學習中，學生對公式的掌握及簡單應用并不困難，而難點在于在推導等差數列前n項和的過程中如何自然地生成倒序相加求和法，是本課教學環(huán)節(jié)中的一個重點內容。首先讓學生回顧高斯求和法，學生容易進行類比，將首末兩項進行配對相加，但是很快遇到問題，當項數為奇數的前n項和時配不成對，這里引導學生意識到奇數項與偶數項的問題影響了首尾配對法。為了改進首尾配對法的局限性，設計了兩個探索與發(fā)現(xiàn)，分別對應項數為奇數和偶數時，根據動畫引導學生發(fā)現(xiàn)顛倒順序再相加變?yōu)樯舷屡鋵?，體現(xiàn)了倒序相加法自然的生成過程，避免了對項數是奇與偶的討論，從而實現(xiàn)變不同“數”的求和為相同“數”的求和。

2、在對兩個求和公式的認識中，學生不容易想到將兩個公式與梯形面積公式建立聯(lián)系，此時教師可做適當的動畫來提示，學生便能迅速找到二者的關系。認識過程中再次強調倒序相加的思想方法且強化了對公式的記憶和理解。

3、本節(jié)課充分利用了多媒體技術的強大功能，多次設計動畫幫助學生觀察和思考，形象直觀且高效地提升了課堂的效益和效率，把現(xiàn)代信息技術作為學生學習數學和解決問題的強有力工具，使學生樂意投入到現(xiàn)實的、探索性的教學活動中去。

4、等差數列求和的兩個公式中涉及的量比較多，有a1、n，sn，d，an五個量，通過公式應用及練習引導學生體會方程的思想方法，具體來說就是熟練掌握“知三求二”的問題和方法。

四、教法特點及預期效果分析 根據教學內容和學生的學習狀況、認知特點，本課采用“探究——發(fā)現(xiàn)”教學模式．引導學生在活動中進行探究，在師生互動交流中，發(fā)現(xiàn)等差數列前n項和的推導方法，教師的教法突出活動的組織設計與方法的引導，學生的學法突出探究與發(fā)現(xiàn)，通過創(chuàng)設情景激發(fā)興趣，在與教師的互動交流中，獲得本節(jié)課的知識與方法。

根據學生具體情況，我力求達到：1、形成學生主動參與，自主探究的課堂氣氛。

2、掌握求和公式的方法特點，并能從梯形面積的角度認識和牢記公式。3、提高學生類比化歸及方程的思想方法。由于本課內容不多，難度不大，相信大多數學生都能掌握本課知識，實現(xiàn)預期的目標。

第五篇：等差數列前n項和教案設計

《等差數列前n項和》教學設計一

設計人：楊峰爍

【背景分析】

本節(jié)課教學內容是高中課程標準實驗教科書必修5（人教B版）中第二章的第二節(jié)第二課時的內容．本節(jié)課主要研究如何應用倒序相加法求等差數列的前n項和以及該求和公式的應用．等差數列在現(xiàn)實生活中比較常見，因此等差數列求和就成為我們在實際生活中經常遇到的一類問題．同時，求數列前n項和也是數列研究的基本問題，通過對公式推導，可以讓學生進一步掌握從特殊到一般的研究問題方法．

【學情分析】

學生已經學習了等差數列的定義及通項公式，有了一定的準備知識，但對等差數列的求和的方法和公式還是一無所知。針對學生的認知規(guī)律，本節(jié)課采取了自主、合作、探究的教學方式，以問題解答的形式，通過分析、討論、歸納、探索而獲得知識，為學生積極思考、自主探究搭建了理想的平臺，讓學生去感悟倒序相加法的使用范圍.【設計理念】

讓學生在具體的問題情境中經歷知識的形成和發(fā)展，讓學生利用自己的原有認知結構中相關的知識與經驗，自主地在教師的引導下促進對新知識的建構，因為建構主義學習理論認為，學習是學生積極主動地建構知識的過程．在教學過程中，根據教學內容，從介紹高斯的算法開始，探究這種方法如何推廣到一般等差數列的前n項和的求

法．通過設計一些從簡單到復雜，從特殊到一般的問題，層層鋪墊，組織和啟發(fā)學生獲得公式的推導思路，并且充分引導學生展開自主、合作、探究學習，通過生生互動和師生互動等形式，讓學生在問題解決中學會思考、學會學習．

【教學目標分析】

1.理解等差數列前n項和公式的推導過程；掌握并能熟練運用等差數列前n項和公式；了解倒序相加法的原理；

2.通過公式的推導過程，體驗從特殊到一般的研究方法，滲透函數思想與方程（組）思想，培養(yǎng)觀察、歸納、反思的能力；通過小組討論學習，培養(yǎng)合作交流、獨立思考等良好的個性品質.【教學重點和難點】

本節(jié)教學重點是探索并掌握等差數列前n項和公式，學會用公式解決一些實際問題；難點是等差數列前n項和公式推導思路的獲得.【教學過程】

一、【古文共賞】

讓學生們猜測問題與本節(jié)課的聯(lián)系，此問題如果不能解決，學完本節(jié)后，看是否能解決。

[設計意圖]：

引入一個中國古代的數列求和問題，通過懸疑的方式調動學生的好奇心，激發(fā)學生的學習興趣。

[簡要實錄]：

學生思考這個問題與這節(jié)課學習內容的聯(lián)系，教師簡略介紹一下

北朝張丘建。引導同學們可先粗略發(fā)言發(fā)表自己的意見。

二、【溫故知新】

學生準備好作業(yè)本，讓兩個學生在黑板上板演，教師說檢測內容。①等差數列的通項公式②等差中項③等差數列的性質 [設計意圖]：

檢查學生上節(jié)知識的掌握情況，為新課的學習做好鋪墊.[簡要實錄]：

2分鐘后，一起批閱黑板同學的默寫情況，下面的小組成員間互相檢查、更正。老師視情況指正。

三、【高斯王子】

講述數學王子高斯的故事，并自然提出高斯九歲時做出的題目。讓同學們思考解決這個題目的方法有哪些？那個是最簡便的呢？

[設計意圖]：

用偉人的故事，讓他們積極參與到課堂中來，同時培養(yǎng)他們的發(fā)散思維，培養(yǎng)他們一題多解的解題習慣。

[簡要實錄]：

學生們踴躍回答這個問題，并給出了兩種解決這個問題的方法。老師再深入問學生哪種方法更簡便呢？然后再引導學生，這個數列是不是我們剛學習的等差數列呢？學生經過觀察發(fā)現(xiàn)，這是一個首項為1，公差為1，末項為100的等差數列。于是老師提出下一個問題。

四、【自主嘗試】

求下面的這些鋼管的數量總數，讓同學們用剛才的計算方法來求

解。讓學生先做好充足的準備，然后到黑板敘述板演計算過程。

[設計意圖]：

進一步熟悉首尾相加的方法，慢慢為引入倒序相加作更進一步的準備。

[簡要實錄]：

學生先思考3分鐘。然后讓學生上黑板板演，然后和下面學生一起講解自己的思考和計算思路。后一起評價，更正。鼓勵學生，大膽面對成功和失敗，大膽上臺表現(xiàn)自己。

五、【知識遷移】

通過以上兩個題目的解答，先讓學生自己思考求等差數列前n項和的方法。并說明本節(jié)的一個重點學習內容倒序相加法。

[設計意圖]：

獨立推導等差數列的前n項和，加強對公式的記憶，熟練倒序相加的方法，讓同學們在獨立，討論中提升自己。

[簡要實錄]如果有同學不能獨立思考出，過3分鐘后，可小組討論。后讓學生到黑板板演過程。并等同學們基本解決完畢，一起由學生解析講解該問題。同學們提出自己的意見并對黑板學生作出更正。老師可視情況作出更精確的評價。

六、【公式記憶】

對比梯形公式，記憶等差數列的前n項和公式。通過聯(lián)系的方法，用熟悉的舊知識快速記住新內容。

[設計意圖]：

用新舊知識的聯(lián)系來達到記憶公式的目的。通過圖形的直觀性來加強公式記憶。

[簡要實錄]：

同學們推導完等差數列的前n項和公式后，再仔細觀察，引導他們察看公式的形式，引出梯形的面積公式與其所有的異曲同工之妙。并再書寫公式，記住公式。老師作重點符號，強調兩公式的重要性。

七、【始題釋疑】

回頭將最開始引入的問題再來解決?？纯词欠衲苡脛倢W習的知識來解答出來。并鼓勵學生向古代的人學習，要善于觀察生活，用數學解決生活中出現(xiàn)的問題。

[設計意圖]：

這樣做到首尾回應，整個課堂不偏離且圍繞教學的主要內容，但又具有故事性和創(chuàng)造性。

[簡要實錄]：

先給學生3分鐘時間考慮，然后由學生說出解答的思路，后學生在作業(yè)本上寫出整個問題的步驟，后再師生一起更正修訂。讓學生思考，就得給學生時間，然后課下，再上交作業(yè)本，看學生在課上的習題完成情況。

八、【公式小結】

讓學生自主完成等差數列前n項和sn的第二個公式的推導。觀察這兩個公式的相同點和不同點。找出相關量。弄明白這兩公式之間的聯(lián)系。并記住和能應用該公式。

[設計意圖]：

通過聯(lián)系的記憶方法，幫助同學們達到快速記憶的效果。找到相關量，面對不同的已知條件選擇不同的公式。達到公式的熟練記憶和應用。

[簡要實錄]：

同學們已經學了等差數列的通項公式?？墒?，在通項中，我們的書已知條件是首項，公差或是其中的某一項。那么在這個公式中，只有末項，如何將其變形，然后直接運用公式求解呢？學生會想通項公式與些數列的聯(lián)系，自然地將另一求和公式推導出來。并且看到了這兩個公式的區(qū)別。

由同學們自己在作業(yè)本上推導，并找一同學黑板板演。在3分鐘的時間內，仔細觀察出現(xiàn)的四個量。對黑板的同學更正修訂。老師再作小結，記憶公式。

九、【習題設計】

本課習題設計分了三等。是課本習題的精選。

一是基本知識。通過直接套用公式，來熟悉和使用公式。這里設計了兩個題目，分別用了兩個公式求和法。

二是自主嘗試。這是對公式有個大致應用后的一個針對練習。這里加了與通項相聯(lián)系的題目，達到對這三個公式間的互換和選擇。

三是問題提升。這里綜合考查學生對數列的整體把握情況。對求通項、項數、數列和的能力的訓練。

[設計意圖]：

1、通過不同梯度的習題，讓學生有一個掌握問題的逐步適應過程，也能夠從習題中更明白兩個求和公式的應用。

2、通過解決問題，學會方程思想解決數列問題。

3、培養(yǎng)學生通過給出的問題，來觀察問題中的已知條件并能快速判斷選擇哪個公式的能力。

[簡要實錄]：

先由學生在作業(yè)本上自行解出合作探究部分。做完后小給間討論然后學生起來說出正確答案。老師給予指正和評價。并要注意具體的詳解步驟。然后再由學生板演自主嘗試部分的習題。下面的學生在作業(yè)本上一并做出。教師在教室內環(huán)轉，以發(fā)現(xiàn)學生的不足和優(yōu)點。并在給指正時，給予重點指出或是鼓勵。然后學生下臺，一起更正。最后的問題升華，給學生的時間要多一些，同學們先讀題目，然后再自己思考3分鐘，然后再討論，再可以自行解決，在作業(yè)本上寫上詳細過程。后再將學生的作業(yè)投影，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題。發(fā)現(xiàn)優(yōu)點，放大優(yōu)點。

教師小結這些題中存在的問題。并再由學生敘述解決這類問題的規(guī)律。幫他們確定知三求二的規(guī)律。

十、【課堂小結】

用框架的形式整理本節(jié)內容，重點突出，關系明確。[設計意圖]：

將本節(jié)內容整理：將厚書讀薄，將問題梳理，將知識聯(lián)系。[簡要實錄]：

學生回憶本節(jié)內容作大致闡述。然后精抓問題實質，突出本節(jié)重

點。力求不累贅，不拖沓，力求明明白白，清清楚楚。

十一、【課后作業(yè)】

課后作業(yè)分選做和必做兩種。針對學生的學習差異而設計。[設計意圖]：

加上了趣味小故事，讓學生在思考中學習，在學習中成長，在成長中，樹立正確的學習觀和對數學史的認識。思考題目，是為了下節(jié)課的學習而做的準備。讓他們大致了解老師下節(jié)要講的內容主向。

【教學反思】

“等差數列前n項和”的推導不只一種方法，本節(jié)課是通過介紹高斯的算法，探究這種方法如何推廣到一般等差數列的求和．該方法反映了等差數列的本質，可以進一步促進學生對等差數列性質的理解，而且該推導過程體現(xiàn)了人類研究、解決問題的一般思路．本節(jié)課教學過程的難點在于如何獲得推導公式的“倒序相加法”這一思路．為了突破這一難點，在教學中采用了以問題驅動的教學方法，設計的問題體現(xiàn)了分析、解決問題的一般思路，即從特殊問題的解決中提煉方法，再試圖運用這一方法解決一般問題．在教學過程中，通過教師的層層引導、學生的合作學習與自主探究，尤其是借助圖形的直觀性，學生“倒序相加法”思路的獲得就水到渠成了．

《等差數列前n項和》教學設計二

設計人：楊峰爍

教材分析

等差數列的前ｎ項和是數列的重要內容，也是數列研究的基本問題．在現(xiàn)實生活中，等差數列的求和是經常遇到的一類問題．等差數列的求和公式，為我們求等差數列的前ｎ項和提供了一種重要方法． 教材首先通過具體的事例，探索歸納出等差數列前ｎ項和的求法，接著推廣到一般情況，推導出等差數列的前ｎ項和公式．為深化對公式的理解，通過對具體例子的研究，弄清等差數列的前ｎ項和與等差數列的項、項數、公差之間的關系，并能熟練地運用等差數列的前ｎ項和公式解決問題．這節(jié)內容重點是探索掌握等差數列的前ｎ項和公式，并能應用公式解決一些實際問題，難點是前ｎ項和公式推導思路的形成． 教學目標

1.通過等差數列前ｎ項和公式的推導，讓學生體驗數學公式產生、形成的過程，培養(yǎng)學生抽象概括能力．

2.理解和掌握等差數列的前ｎ項和公式，體會等差數列的前ｎ項和與二次函數之間的聯(lián)系，并能用公式解決一些實際問題，培養(yǎng)學生對數學的理解能力和邏輯推理能力．

3.在研究公式的形成過程中，培養(yǎng)學生的探究能力、創(chuàng)新能力和科學的思維方法． 任務分析

這節(jié)內容主要涉及等差數列的前ｎ項公式及其應用．

對公式的推導，為便于學生理解，采取從特殊到一般的研究方法比較適宜，如從歷史上有名的求和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯算法出發(fā)，一方面引發(fā)學生對等差數列求和問題的興趣，另一方面引導學生發(fā)現(xiàn)等差數列中任意的第ｋ項與倒數第ｋ項的和等于首項與末項的和這個規(guī)律，進而發(fā)現(xiàn)求等差數列前ｎ項和的一般方法，這樣自然地過渡到一般等差數列的求和問題．對等差數列的求和公式，要引導學生認識公式本身的結構特征，弄清前ｎ項和與等差數列的項、項數、公差之間的關系．為加深對公式的理解和運用，要強化對實例的教學，并通過對具體實例的分析，引導學生學會解決問題的方法．特別是對實際問題，要引導學生從實際情境中發(fā)現(xiàn)等差數列的模型，恰當選擇公式．對于等差數列前ｎ項和公式和二次函數之間的聯(lián)系，可引導學生拓展延伸． 教學設計

一、問題情景

1.在200多年前，有個10歲的名叫高斯的孩子，在老師提出問題：“1＋2＋3＋…＋100＝？”時，很快地就算出了結果．他是怎么算出來的呢？他發(fā)現(xiàn)1＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是1＋2＋…＋100＝101×50＝5050．

2.受高斯算法啟發(fā)，你能否求出1＋2＋3＋…＋ｎ的和． 3.高斯的方法妙在哪里呢？這種方法能否推廣到求一般等差數列的前ｎ項和？

二、建立模型

1.數列的前ｎ項和定義

對于數列｛ａn｝，我們稱ａ1＋ａ2＋…＋ａn為數列｛ａn｝的前ｎ項和，用Sn表示，即Sn＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn． 2.等差數列的求和公式

（1）如何用高斯算法來推導等差數列的前ｎ項和公式？ 對于公差為ｄ的等差數列｛ａn｝：

Sn＝ａ1＋（ａ1＋ｄ）＋（ａ1＋2ｄ）＋…＋［ａ1＋（ｎ—1）ｄ］，①

依據高斯算法，將Sn表示為Sn＝ａn＋（ａn—ｄ）＋（ａn—2ｄ）＋…＋［ａn—（ｎ—1）ｄ］．

②

由此得到等差數列的前ｎ項和公式

小結：這種方法稱為反序相加法，是數列求和的一種常用方法．（2）結合通項公式ａn＝ａ1＋（ｎ—1）ｄ，又能得怎樣的公式？

（３）兩個公式有什么相同點和不同點，各反映了等差數列的什么性質？

學生討論后，教師總結：相同點是利用二者求和都須知道首項ａ1和項數ｎ；不同點是前者還須要知道ａn，后者還須要知道ｄ．因此，在應用時要依據已知條件合適地選取公式．公式本身也反映了等差數列的性質：前者反映了等差數列的任意的第ｋ項與倒數第ｋ項的和都等于首、末兩項之和，后者反映了等差數的前ｎ項和是關于ｎ的沒有常數項的“二次函數”．

三、解釋應用 ［例 題］

1.根據下列各題中的條件，求相應的等差數列｛ａn｝的前ｎ項和Sn．

（1）ａ1＝ —4，ａ8＝ —18，ｎ＝8．（2）ａ1＝14．5，ｄ＝0.7，ａn＝32． 注：恰當選用公式進行計算．

2.已知一個等差數列｛ａn｝前10項的和是310，前20項的和是1220．由這些條件能確定這個等差數列的前ｎ項和的公式嗎？ 分析：將已知條件代入等差數列前ｎ項和的公式后，可得到兩個關于ａ1與ｄ的關系式，它們都是關于ａ1與ｄ的二元一次方程，由此可以求得ａ1與ｄ，從而得到所求前ｎ項和的公式． 解：由題意知

注：（1）教師引導學生認識到等差數列前ｎ項和公式，就是一個關于ａn，ａ1，ｎ或者ａ1，ｎ，ｄ的方程，使學生能把方程思想和前ｎ項和公式相結合，再結合通項公式，對ａ1，ｄ，ｎ，ａn及Sn這五個量知其三便可求其二．

（2）本題的解法還有很多，教學時可鼓勵學生探索其他的解法．例如，3.2000年11月14日教育部下發(fā)了《關于在中小學實施“校校通”工程的通知》．某市據此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年的時間，在全市中小學建成不同標準的校園網．據測算，2001年該市用于“校校通”工程的經費500萬元．為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元．那么從2001年起的未來10年內，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？ 教師引學生分析：每年“校校通”工程的經費數構成公差為５０的等差數列．問題實質是求該數列的前10項的和．

解：根據題意，從2001～2010年，該市每年投入“校校通”工程的經費都比上一年增加50萬元．所以，可以建立一個等差數列｛ａn｝，表示從2001年起各年投入的資金，其中，ａ1＝500，ｄ＝50． 那么，到2010年（ｎ＝10），投入的資金總額為

答：從2001～2010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元．

注：教師引導學生規(guī)范應用題的解題步驟．

4.已知數列｛ａn｝的前ｎ項和Sn＝ｎ2＋ｎ，求這個數列的通項公式．這個數列是等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？ 解：根據

由此可知，數列｛ａn｝是一個首項為，公差為2的等差數列．

思考：一般地，數列｛ａn｝前ｎ項和Sn＝Aｎ2＋Bｎ（A≠０），這時｛ａn｝是等差數列嗎？為什么？ ［練習］

1.一名技術人員計劃用下面的辦法測試一種賽車：從時速10ｋｍ／ｈ開始，每隔2ｓ速度提高20ｋｍ／ｈ．如果測試時間是30ｓ，測試距離是多長？

ｎ2＋2.已知數列｛ａn｝的前ｎ項的和為Sn＝個數列的通項公式．

ｎ＋4，求這3.求集合M＝｛ｍ｜ｍ＝2ｎ—1，ｎ∈N*，且ｍ＜60｝的元素個數，并求這些元素的和．

四、拓展延伸

1.數列｛ａn｝前ｎ項和Sn為Sn＝pn2＋qn＋ｒ（ｐ，ｑ，ｒ為常數且ｐ≠０），則｛ａn｝成等差數列的條件是什么？

2.已知等差數列5，4，3，…的前ｎ項和為Sn，求使Sn最大的序號ｎ的值．

分析1：等差數列的前ｎ項和公式可以寫成Sn＝ｎ2＋（ａ1－）ｎ，所以Sn可以看成函數ｙ＝x2＋（ａ1－）ｘ（ｘ∈N*）．當ｘ＝ｎ時的函數值．另一方面，容易知道Sn關于ｎ的圖像是一條拋物線上的一些點．因此，我們可以利用二次函數來求ｎ的值．

解：由題意知，等差數列5，4，3，…的公差為－，所以

于是，當ｎ取與最接近的整數即7或8時，Sn取最大值． 分析2：因為公差ｄ＝ －＜０，所以此數列為遞減數列，如果知道從哪一項開始它后邊的項全為負的，而它之前的項是正的或者是零，那么就知道前多少項的和最大了．即使點 評

然后從中求出ｎ．

這篇案例從具體的實例出發(fā)，引出等差數列的求和問題，在設計上，設計者注意激發(fā)學生的學習興趣和探究欲望，通過等差數列求和公式的探索過程，培養(yǎng)學生觀察、探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問題的能力． 對例題、練習的安排，這篇案例注意由淺入深，完整，全面．拓展延伸的設計有新意，有深度，符合學生的認識規(guī)律，有利于學生理解、掌握這節(jié)內容．

就總體而言，這篇案例體現(xiàn)了新課程的基本理念，尤其關注培養(yǎng)學生的數學思維能力和創(chuàng)新能力．另外，這篇案例對于繼承傳統(tǒng)教學設計注重“雙基”、關注學生的落實，同時注意著眼于學生的全面發(fā)展，有比較好的體現(xiàn)。