第一篇：奧數(shù)教案.doc

第一講 行程問題

（一）路程、時間、速度是行程問題的三個基本量，它們之間的關(guān)系如下：

路程=時間×速度 時間=路程÷速度 速度=路程÷時間

這一講就是通過例題加深對這三個基本數(shù)量關(guān)系的理解。

例1 一個車隊以4米/秒的速度緩緩?fù)ㄟ^一座長200米的大橋，共用115秒。已知每輛車長5米，兩車間隔10米。問：這個車隊共有多少輛車？

分析與解：求車隊有多少輛車，需要先求出車隊的長度，而車隊的長度等于車隊115秒行的路程減去大橋的長度。由“路程=時間×速度”可求出車隊115秒行的路程為4×115=460（米）。

故車隊長度為460-200=260（米）。再由植樹問題可得車隊共有車（260-5）÷（5+10）+1=18（輛）。

例2騎自行車從甲地到乙地，以10千米/時的速度行進，下午1點到；以15千米/時的速度行進，上午11點到。如果希望中午12點到，那么應(yīng)以怎樣的速度行進？

分析與解：這道題沒有出發(fā)時間，沒有甲、乙兩地的距離，也就是說既沒有時間又沒有路程，似乎無法求速度。這就需要通過已知條件，求出時間和路程。

假設(shè)A，B兩人同時從甲地出發(fā)到乙地，A每小時行10千米，下午1點到；B每小時行15千米，上午11點到。B到乙地時，A距乙地還有10×2=20（千米），這20千米是B從甲地到乙地這段時間B比A多行的路程。因為B比A每小時多行15-10=5（千米），所以B從甲地到乙地所用的時間是

20÷（15-10）=4（時）。

由此知，A，B是上午7點出發(fā)的，甲、乙兩地的距離是

15×4=60（千米）。

要想中午12點到，即想（12-7=）5時行60千米，速度應(yīng)為

60÷（12-7）=12（千米/時）。

例3 劃船比賽前討論了兩個比賽方案。第一個方案是在比賽中分別以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各劃行賽程的一半；第二個方案是在比賽中分別以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各劃行比賽時間的一半。這兩個方案哪個好？

分析與解：路程一定時，速度越快，所用時間越短。在這兩個方案中，速度不是固定的，因此不好直接比較。在第二個方案中，因為兩種速度劃行的時間相同，所以以3.5米/秒的速度劃行的路程比以2.5米/秒的速度劃行的路程長。用單線表示以2.5米/秒的速度劃行的路程，用雙線表示以3.5米/秒的速度劃行的路程，可畫出下圖所示的兩個方案的比較圖。其中，甲段+乙段=丙段。

在甲、丙兩段中，兩個方案所用時間相同；在乙段，因為路程相同，且第二種方案比第一種方案速度快，所以第二種方案比第一種方案所用時間短。

綜上所述，在兩種方案中，第二種方案所用時間比第一種方案少，即第二種方案好。

例4 小明去爬山，上山時每小時行2.5千米，下山時每小時行4千米，往返共用3.9時。問：小明往返一趟共行了多少千米？

分析與解：因為上山和下山的路程相同，所以若能求出上山走1千米和下山走1千米一共需要的時間，則可以求出上山及下山的總路程。

因為上山、下山各走1千米共需

所以上山、下山的總路程為

在行程問題中，還有一個平均速度的概念：平均速度=總路程÷總時間。

例如，例4中上山與下山的平均速度是

例5一只螞蟻沿等邊三角形的三條邊爬行，如果它在三條邊上每分鐘分別爬行50，20，40厘米，那么螞蟻爬行一周平均每分鐘爬行多少厘米？

解：設(shè)等邊三角形的邊長為l厘米，則螞蟻爬行一周需要的時間為 11131（分鐘）

???502030300螞蟻爬行一周平均每分鐘爬行

311 31??29(厘米）30031

在行程問題中有一類“流水行船”問題，在利用路程、時間、速度三者之間的關(guān)系解答這類問題時，應(yīng)注意各種速度的含義及相互關(guān)系：

順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度，靜水速度=（順流速度+逆流速度）÷2，水流速度=（順流速度-逆流速度）÷2。

此處的靜水速度、順流速度、逆流速度分別指船在靜水中、船順流、船逆流的速度。

例6 兩個碼頭相距418千米，汽艇順流而下行完全程需11時，逆流而上行完全程需19時。求這條河的水流速度。

解：水流速度=（順流速度-逆流速度）÷2=（418÷11-418÷19）÷=（38-22）÷2=8（千米/時）

答：這條河的水流速度為8千米/時。

課堂練習(xí)：

1.小燕上學(xué)時騎車，回家時步行，路上共用50分鐘。若往返都步行，則全程需要70分鐘。求往返都騎車需要多少時間。

2.已知鐵路橋長1000米，一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全下橋共用120秒，整列火車完全在橋上的時間為80秒。求火車的速度和長度。

3.某人要到60千米外的農(nóng)場去，開始他以5千米/時的速度步行，后來有輛速度為18千米/時的拖拉機把他送到了農(nóng)場，總共用了5.5時。問：他步行了多遠？

課后作業(yè)：

姓名：

分數(shù)：

1.小紅上山時每走30分鐘休息10分鐘，下山時每走30分鐘休息5分鐘。已知小紅下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3時50分，那么下山用了多少時間？

2.汽車以72千米/時的速度從甲地到乙地，到達后立即以48千米/時的速度返回甲地。求該車的平均速度。

3.兩地相距480千米，一艘輪船在其間航行，順流需16時，逆流需20時，求水流的速度。

4.一艘輪船在河流的兩個碼頭間航行，順流需要6時，逆流需要8時，水流速度為2.5千米/時，求輪船在靜水中的速度。

第二講 行程問題

（二）本講重點講相遇問題和追及問題。在這兩個問題中，路程、時間、速度的關(guān)系表現(xiàn)為：

在實際問題中，總是已知路程、時間、速度中的兩個，求另一個。

例1甲車每小時行40千米，乙車每小時行60千米。兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行，相遇后3時，甲車到達B地。求A，B兩地的距離。

分析與解：先畫示意圖如下：

圖中C點為相遇地點。因為從C點到B點，甲車行3時，所以C，B兩地的距離為40×3=120（千米）。

這120千米乙車行了120÷60=2（時），說明相遇時兩車已各行駛了2時，所以A，B兩地的距離是（40+60）×2=200（千米）。

例2小明每天早晨按時從家出發(fā)上學(xué)，李大爺每天早晨也定時出門散步，兩人相向而行，小明每分鐘行60米，李大爺每分鐘行40米，他們每天都在同一時刻相遇。有一天小明提前出門，因此比平時早9分鐘與李大爺相遇，這天小明比平時提前多少分鐘出門？

分析與解：因為提前9分鐘相遇，說明李大爺出門時，小明已經(jīng)比平時多走了兩人9分鐘合走的路，即多走了（60+40）×9=900（米），所以小明比平時早出門900÷60=15（分）。

例3小剛在鐵路旁邊沿鐵路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，這時迎面開來一列火車，從車頭到車尾經(jīng)過他身旁共用18秒。已知火車全長342米，求火車的速度。

分析與解：

在上圖中，A是小剛與火車相遇地點，B是小剛與火車離開地點。由題意知，18秒小剛從A走到B，火車頭從A走到C，因為C到B正好是火車的長度，所以18秒小剛與火車共行了342米，推知小剛與火車的速度和是342÷18=19（米/秒），從而求出火車的速度為19-2=17（米/秒）。

例4 鐵路線旁邊有一條沿鐵路方向的公路，公路上一輛拖拉機正以20千米/時的速度行駛。這時，一列火車以56千米/時的速度從后面開過來，火車從車頭到車尾經(jīng)過拖拉機身旁用了37秒。求火車的全長。

分析與解

與例3類似，只不過由相向而行的相遇問題變成了同向而行的追及問題。由上圖知，37秒火車頭從B走到C，拖拉機從B走到A，火車比拖拉機多行一個火車車長的路程。用米作長度單位，用秒作時間單位，求得火車車長為

速度差×追及時間

= [（56000-20000）÷3600]×37

= 370（米）。

例5如右圖所示，沿著某單位圍墻外面的小路形成一個邊長300米的正方形，甲、乙兩人分別從兩個對角處沿逆時針方向同時出發(fā)。已知甲每分走90米，乙每分走70米。問：至少經(jīng)過多長時間甲才能看到乙？

分析與解：當(dāng)甲、乙在同一條邊（包括端點）上時甲才能看到乙。甲追上乙一條邊，即追上300米需 300÷（90-70）=15（分），此時甲、乙的距離是一條邊長，而甲走了90×15÷300=4.5（條邊），位于某條邊的中點，乙位于另一條邊的中點，所以甲、乙不在同一條邊上，甲看不到乙。甲再走0.5條邊就可以看到乙了，即甲走5條邊后可以看到乙，共需

例6 獵狗追趕前方30米處的野兔。獵狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子動作快，獵狗跑3步的時間兔子能跑4步。獵狗至少跑出多遠才能追上野兔？

分析與解：這道題條件比較隱蔽，時間、速度都不明顯。為了弄清兔子與獵狗的速度的關(guān)系，我們將條件都變換到獵狗跑12步的情形（想想為什么這樣變換）：

（1）獵狗跑12步的路程等于兔子跑21步的路程；

（2）獵狗跑12步的時間等于兔子跑16步的時間。

由此知，在獵狗跑12步的這段時間里，獵狗能跑12步，相當(dāng)于兔子跑

也就是說，獵狗每跑21米，兔子跑16米，獵狗要追上兔子30米需跑21×[30÷（21-16）]=126（米）。

課堂練習(xí)1.A，B兩村相距2800米，小明從A村出發(fā)步行5分鐘后，小軍騎車從B村出發(fā)，又經(jīng)過10分鐘兩人相遇。已知小軍騎車比小明步行每分鐘多行130米，小明每分鐘步行多少米？

2.一只獵狗正在追趕前方20米處的兔子，已知狗一跳前進3米，兔子一跳前進2.1米，狗跳3次的時間兔子跳4次。兔子跑出多遠將被獵狗追上？

3.甲、乙兩人從周長為1600米的正方形水池相對的兩個頂點同時出發(fā)逆時針行走，兩人每分鐘分別行50米和46米。出發(fā)后多長時間兩人第一次在同一邊上行走？

課后作業(yè)

姓名： 分數(shù)：

1.甲、乙兩車同時從A，B兩地相向而行，它們相遇時距A，B兩地中心處8千米。已知甲車速度是乙車的1.2倍，求A，B兩地的距離。

2.小紅和小強同時從家里出發(fā)相向而行。小紅每分鐘走52米，小強每分鐘走70米，二人在途中的A處相遇。若小紅提前4分鐘出發(fā)，但速度不變，小強每分鐘走90米，則兩人仍在A處相遇。小紅和小強的家相距多遠？

3.一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長是280米，慢長的車長是385米。坐在快車上的人看見慢車駛過的時間是11秒，坐在慢車上的人看見快車駛過的時間是多少秒？

4.甲、乙二人同時從A地到B地去。甲騎車每分鐘行250米，每行駛10分鐘后必休息20分鐘；乙不間歇地步行，每分鐘行100米，結(jié)果在甲即將休息的時刻兩人同時到達B地。問：A，B兩地相距多遠？

第三講 盈虧問題

人們在分東西的時候，經(jīng)常會遇到剩余（盈）或不足（虧），根據(jù)分東西過程中的盈或虧所編成的應(yīng)用題叫做盈虧問題。

例1 小朋友分糖果，若每人分4粒則多9粒；若每人分5粒則少6粒。問：有多少個小朋友分多少粒糖？

分析：由題目條件可以知道，小朋友的人數(shù)與糖的粒數(shù)是不變的。比較兩種分配方案，第一種方案每人分4粒就多9粒，第二種方案每人分5粒就少6粒，兩種不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。相差的原因在于兩種方案的分配數(shù)不同，第一種方案每人分4粒，第二種方案每人分5粒，兩次分配數(shù)之差為5－4＝1（粒）。每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人數(shù)為15÷1＝15（人），糖果的粒數(shù)為

4×15＋9＝69（粒）。解：（9＋6）÷（5-4）＝15（人），4×15＋9＝69（粒）。

答：有15個小朋友，分69粒糖。

例2 小朋友分糖果，若每人分3粒則剩2粒；若每人分5粒則少6粒。問：有多少個小朋友？多少粒糖果？

分析：本題與例1基本相同，例1中兩次分配數(shù)之差是5-4=1（粒），本題中兩次分配數(shù)之差是5-3＝2（粒）。例1中，兩種分配方案的盈數(shù)與虧數(shù)之和為9＋6＝15（粒），本題中，兩種分配方案的盈數(shù)與虧數(shù)之和為2＋6=8（粒）。仿照例1的解法即可。解：（6＋2）÷（4—2）＝4（人），3×4＋2＝14（粒）。

答：有4個小朋友，14粒糖果。

由例

1、例2看出，所謂盈虧問題，就是把一定數(shù)量的東西分給一定數(shù)量的人，由兩種分配方案產(chǎn)生不同的盈虧數(shù)，反過來求出分配的總?cè)藬?shù)與被分配東西的總數(shù)量。解題的關(guān)鍵在于確定兩次分配數(shù)之差與盈虧總額（盈數(shù)+虧數(shù)），由此得到求解盈虧問題的公式：

分配總?cè)藬?shù)=盈虧總額÷兩次分配數(shù)之差。

需要注意的是，兩種分配方案的結(jié)果不一定總是一“盈”一“虧”，也會出現(xiàn)兩“盈”、兩“虧”、一“不盈不虧”一“盈”或“虧”等情況。

例3 小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完；若每人分16粒，則有3個小朋友分不到糖果。問：有多少粒糖果？

分析與解：第一種方案是不盈不虧，第二種方案是虧16×3＝48（粒），所以盈虧總額是0＋48=48（粒），而兩次分配數(shù)之差是16—10＝6（粒）。由盈虧問題的公式得

有小朋友（0＋16×3）÷（16—10）＝8（人），有 糖10×8＝80（粒）。

例4 一批小朋友去買東西，若每人出10元則多8元；若每人出7元則少4元。問：有多少個小朋友？東西的價格是多少？ 分析與解：兩種購物方案的盈虧總額是8＋4＝12（元），兩次分配數(shù)之差是10—7＝3（元）。由公式得到

小朋友的人數(shù)（8＋4）÷（10—7）＝4（人），東西的價格是10×4—8＝32（元）。

例5 某班學(xué)生去劃船，如果增加一條船，那么每條船正好坐6人；如果減少一條船，那么每條船就要坐9人。問：學(xué)生有多少人？

分析：本題也是盈虧問題，為清楚起見，我們將題中條件加以轉(zhuǎn)化。假設(shè)船數(shù)固定不變，題目的條件“如果增加一條船??”表示“如果每船坐6人，那么有6人無船可坐”；“如果減少一條船??”表示“如果每船坐9人，那么就空出一條船”。這樣，用盈虧問題來做，盈虧總額為6＋9=15（人），兩次分配的差為9—6＝3（人）。

解：（6＋9）÷（9—6）＝5（條），6×5＋6=36（人）。

答：有36名學(xué)生。

例6在橋上用繩子測橋離水面的高度。若把繩子對折垂到水面，則余8米；若把繩子三折垂到水面，則余2米。問：橋有多高？繩子有多長？ 分析與解：因為把繩子對折余8米，所以是余了8×2=16（米）；同樣，把繩子三折余2米，就是余了3×2＝6（米）。兩種方案都是“盈”，故盈虧總額為16——6=10（米），兩次分配數(shù)之差為3-2＝1（折），所以

橋高（8×2-2×3）÷（3-2）＝10（米），繩子的長度為2×10＋8×2＝36（米）。

例7有若干個蘋果和若干個梨。如果按每1個蘋果配2個梨分堆，那么梨分完時還剩2個蘋果；如果按每3個蘋果配5個梨分堆，那么蘋果分完時還剩1個梨。問：蘋果和梨各有多少個？

分析與解：容易看出這是一道盈虧應(yīng)用題，但是盈虧總額與兩次分配數(shù)之差很難找到。原因在于第一種方案是1個蘋果“搭配”2個梨，第二種方案是3個蘋果“搭配”5個梨。如果將這兩種方案統(tǒng)一為1個蘋果“搭配”若干個梨，那么問題就好解決了。將原題條件變?yōu)椤?個蘋果搭配2個梨，缺4個梨；

有梨15×2-4＝26（個）。

例8樂樂家去學(xué)校上學(xué)，每分鐘走50米，走了2分鐘后，發(fā)覺按這樣的速度走下去，到學(xué)校就會遲到8分鐘。于是樂樂開始加快速度，每分鐘比原來多走10米，結(jié)果到達學(xué)校時離上課還有5分鐘。問：樂樂家離學(xué)校有多遠？

分析與解：樂樂從改變速度的那一點到學(xué)校，若每分鐘走50米，則要遲到8分鐘，也就是到上課時間時，他離學(xué)校還有50×8＝400（米）；若每分鐘多走10米，即每分鐘走60米，則到達學(xué)校時離上課還有5分鐘，如果一直走到上課時間，那么他將多走（50＋10）×5＝300（米）。所以盈虧總額，即總的路程相差

400＋300＝700（米）。

兩種走法每分鐘相差10米，因此所用時間為

700÷10＝70（分），也就是說，從樂樂改變速度起到上課時間有70分鐘。所以樂樂家到學(xué)校的距離為

50×（2＋70＋8）＝4000（米），或 50×2＋60×（70—5）＝4000（米）。

課后練習(xí)

姓名： 分數(shù)：

1．小朋友分糖果，每人3粒，余30粒；每人5粒，少4粒。問：有多少個小朋友？多少粒糖？

2．一個汽車隊運輸一批貨物，如果每輛汽車運3500千克，那么貨物還剩下5000千克；如果每輛汽車運4000千克，那么貨物還剩下500千克。問：這個汽車隊有多少輛汽車？要運的貨物有多少千克？

3．學(xué)校買來一批圖書。若每人發(fā)9本，則少25本；若每人發(fā)6本，則少7本。問：有多少個學(xué)生？買了多少本圖書？

4.小紅家買來一籃桔子，分給全家人。如果其中二人每人分4只，其余每人分2只，那么多出4只；如果一人分6只，其余每人分4只，那么缺12只。問：小紅家買來多少只桔子？小紅家共有幾人？

5.食堂采購員小李去買肉，如果買牛肉18千克，那么差4元；如果買豬肉20千克，那么多2元。已知牛肉、豬肉每千克差價8角，求牛肉、豬肉每千克各多少錢。

第四講

加法原理

例1從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中火車有4班，汽車有3班，輪船有2班。問：一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同走法？

分析與解：一天中乘坐火車有4種走法，乘坐汽車有3種走法，乘坐輪船有2種走法，所以一天中從甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（種）不同走法。

例2旗桿上最多可以掛兩面信號旗，現(xiàn)有紅色、藍色和黃色的信號旗各一面，如果用掛信號旗表示信號，最多能表示出多少種不同的信號？ 分析與解：根據(jù)掛信號旗的面數(shù)可以將信號分為兩類。第一類是只掛一面信號旗，有紅、黃、藍3種；第二類是掛兩面信號旗，有紅黃、紅藍、黃藍、黃紅、藍紅、藍黃6種。所以一共可以表示出不同的信號

3＋6=9（種）。

以上兩例利用的數(shù)學(xué)思想就是加法原理。

加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法 ??在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有 N=m1+m2+?+mn 種不同的方法。

乘法原理和加法原理是兩個重要而常用的計數(shù)法則，在應(yīng)用時一定要注意它們的區(qū)別。乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾步缺一不可，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各步方法數(shù)的乘積；加法原理是把完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和。

例3兩次擲一枚骰子，兩次出現(xiàn)的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有多少種？

分析與解：兩次的數(shù)字之和是偶數(shù)可以分為兩類，即兩數(shù)都是奇數(shù)，或者兩數(shù)都是偶數(shù)。

因為骰子上有三個奇數(shù)，所以兩數(shù)都是奇數(shù)的有3×3=9（種）情況；同理，兩數(shù)都是偶數(shù)的也有9種情況。根據(jù)加法原理，兩次出現(xiàn)的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有9＋9＝18（種）。

例4用五種顏色給右圖的五個區(qū)域染色，每個區(qū)域染一種顏色，相鄰的區(qū)域染不同的顏色。問：共有多少種不同的染色方法？

分析與解：本題與上一講的例4表面上十分相似，但解法上卻不相同。因為上一講例4中，區(qū)域A與其它區(qū)域都相鄰，所以區(qū)域A與其它區(qū)域的顏色都不相同。本例中沒有一個區(qū)域與其它所有區(qū)域都相鄰，如果從區(qū)域A開始討論，那么就要分區(qū)域A與區(qū)域E的顏色相同與不同兩種情況。

當(dāng)區(qū)域A與區(qū)域E顏色相同時，A有5種顏色可選；B有4種顏色可選；C有3種顏色可選；D也有3種顏色可選。根據(jù)乘法原理，此時不同的染色方法有

5×4×3×3＝180（種）。

當(dāng)區(qū)域A與區(qū)域E顏色不同時，A有5種顏色可選；E有4種顏色可選；B有3種顏色可選；C有2種顏色可選；D有2種顏色可選。根據(jù)乘法原理，此時不同的染色方法有

5×4×3×2×2＝240（種）。

再根據(jù)加法原理，不同的染色方法共有

180＋240=420（種）。例5小明要登上10級臺階，他每一步只能登1級或2級臺階，他登上10級臺階共有多少種不同的登法？ 分析與解：登上第1級臺階只有1種登法。登上第2級臺階可由第1級臺階上去，或者從平地跨2級上去，故有2種登法。登上第3級臺階可從第1級臺階跨2級上去，或者從第2級臺階上去，所以登上第3級臺階的方法數(shù)是登上第1級臺階的方法數(shù)與登上第2級臺階的方法數(shù)之和，共有1+2＝3（種）??一般地，登上第n級臺階，或者從第（n—1）級臺階跨一級上去，或者從第（n—2）級臺階跨兩級上去。根據(jù)加法原理，如果登上第（n—1）級和第（n—2）級分別有a種和b種方法，則登上第n級有（a＋b）種方法。因此只要知道登上第1級和第2級臺階各有幾種方法，就可以依次推算出登上以后各級的方法數(shù)。由登上第1級有1種方法，登上第2級有2種方法，可得出下面一串?dāng)?shù)：

1，2，3，5，8，13，21，34，55，89。

其中從第三個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)之和。登上第10級臺階的方法數(shù)對應(yīng)這串?dāng)?shù)的第10個，即89。也可以在圖上直接寫出計算得出的登上各級臺階的方法數(shù)（見下圖）。

例6沿左下圖中箭頭所指的方向從A到B共有多少種不同的走法？

分析與解：如右上圖所示，先標(biāo)出到C點的走法數(shù)，再標(biāo)出到D點和E點的走法數(shù)，然后標(biāo)出到F點的走法數(shù)，最后標(biāo)出到B點的走法數(shù)。共有8種不同的走法。例7有15根火柴，如果規(guī)定每次取2根或3根，那么取完這堆火柴共有多少種不同取法？

分析與解：為了便于理解，可以將本題轉(zhuǎn)變?yōu)椤吧?5級臺階，每次上2級或3級，共有多少種上法？”所以本題的解題方法與例1類似（見下表）。

注意，因為每次取2或3根，所以取1根的方法數(shù)是0，取2根和取3根的方法數(shù)都是1。取4根的方法數(shù)是取1根與取2根的方法數(shù)之和，即0＋1＝1。依此類推，取n根火柴的方法數(shù)是取（n-3）根與?。╪-2）根的方法數(shù)之和。所以，這串?dāng)?shù)（取法數(shù)）中，從第4個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面第3個數(shù)與前面第2個數(shù)之和。取完15根火柴共有28種不同取法。

課后練習(xí)

姓名： 分數(shù)：

1.南京去上?？梢猿嘶疖?、乘飛機、乘汽車和乘輪船。如果每天有20班火車、6班飛機、8班汽車和4班輪船，那么共有多少種不同的走法？

2.光明小學(xué)四、五、六年級共訂300份報紙，每個年級至少訂99份報紙。問：共有多少種不同的訂法？

3.將10顆相同的珠子分成三份，共有多少種不同的分法？

4.有一堆火柴共10根，每次取走1～3根，把這堆火柴全部取完有多少種不同取法，5.在下圖中，從A點沿最短路徑到B點，共有多少條不同的路線？

第五講 還原問題

有一位老人說：“把我的年齡加上12，再用4除，再減去15后乘以10，恰好是100歲?！边@位老人有多少歲呢？解這個題目要從所敘述的最后結(jié)果出發(fā)，利用已給條件一步步倒著推算，同學(xué)們不難看出，這位老人的年齡是

（100÷10＋15）×4—12＝88（歲）。

從這一例子可以看出，對于有些問題，當(dāng)順著題目條件的敘述去尋找解法時，往往有一定的困難，但是，如果改變思考順序，從問題敘述的最后結(jié)果出發(fā)，一步一步倒著思考，一步一步往回算，原來加的用減，減的用加，原來乘的用除，除的用乘，那么問題便容易解決。這種解題方法叫做還原法或逆推法，用還原法解題的問題叫做還原問題。

例1有一個數(shù)，把它乘以4以后減去46，再把所得的差除以3，然后減去10，最后得4。問：這個數(shù)是幾？

分析：這個問題是由

（□×4—46）÷3—10＝4，求出□。我們倒著看，如果除以3以后不減去10，那么商應(yīng)該是4＋10＝14；如果在減去46以后不除以3，那么差該是14×3＝42；可知這個數(shù)乘以4后的積為42＋46＝88，因此這個數(shù)是88÷4=22。解：［（4＋10）×3＋46］÷4＝22。

答：這個數(shù)是22。

例2小馬虎在做一道加法題目時，把個位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，結(jié)果得到的“和”是123。問：正確的結(jié)果應(yīng)是多少？

分析：利用還原法。因為把個位上的5看成9，所以多加了4；又因為把十位上的8看成3，所以少加了50。在用還原法做題時，多加了的4應(yīng)減去，多減了的50應(yīng)加上。

解：123-4＋50＝169。

答：正確的結(jié)果應(yīng)是169。

例3學(xué)校運來36棵樹苗，樂樂與歡歡兩人爭著去栽，樂樂先拿了若干樹苗，歡歡看到樂樂拿得太多，就搶了10棵，樂樂不肯，又從歡歡那里搶回來6棵，這時樂樂拿的棵數(shù)是歡歡的2倍。問：最初樂樂拿了多少棵樹苗？

分析：先求樂樂與歡歡現(xiàn)在各拿了多少棵樹苗。學(xué)校共有樹苗36棵，樂樂拿的樹苗數(shù)是歡歡的2倍，所以歡歡現(xiàn)在拿了36÷（2＋1）=12（棵）樹苗，而樂樂現(xiàn)在拿了12×2＝24（棵）樹苗，樂樂從歡歡那里搶走了6棵后是24棵，如果不搶，那么樂樂有樹苗24-6＝18（棵），歡歡看樂樂拿得太多，去搶了10棵，如果歡歡不搶，那么樂樂就有18＋10＝28（棵）。解：36÷5（1＋2）×2-6＋10=28（棵）。

答：樂樂最初拿了28棵樹苗。

例4甲、乙、丙三組共有圖書90本，乙組向甲組借3本后，又送給丙組5本，結(jié)果三個組擁有相等數(shù)目的圖書。問：甲、乙、丙三個組原來各有多少本圖書？ 分析與解：盡管甲、乙、丙三個組之間將圖書借來借去，但圖書的總數(shù)90本沒有變，由最后三個組擁有相同數(shù)目的圖書知道，每個組都有圖書90÷3＝30（本）。根據(jù)題目條件，原來各組的圖書為

甲組有30＋3＝33（本），乙組有30—3＋5＝32（本），丙組有30—5＝25（本）。上一講我們講了還原問題的基本思想和解法，下面再講一些較復(fù)雜的還原問題和列表逆推法。

例5有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。問：原來至少有多少枚棋子？

分析與解：棋子最少的情況是最后一次四等分時每份為1枚。由此逆推，得到

第三次分之前有1×4＋1＝5（枚），第二次分之前有5×1＋1＝21（枚），第一次分之前有21×4＋1＝85（枚）。

所以原來至少有85枚棋子。

例6袋里有若干個球，小明每次拿出其中的一半再放回一個球，這樣共操作了5次，袋中還有3個球。問：袋中原有多少個球？

分析與解：利用逆推法從第5次操作后向前逆推。第5次操作后有3個，第4次操作后有（3—1）×2＝4（個），第3次??為了簡潔清楚，可以列表逆推如下：

所以原來袋中有34個球。例7一捆電線，第一次用去全長的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后還剩7米，這捆電線原有多少米？

分析：由逆推法知，第二次用完還剩下15＋7=22（米），第一次用完還剩下（22—10）×2＝24（米），原來電線長（24＋3）×2＝54（米）。解：［（15＋7—10）×2＋3］×2＝54（米）。

答：這捆電線原有54米。

課后作業(yè)

姓名： 分數(shù)：

1.某數(shù)加上11，減去12，乘以13，除以14，其結(jié)果等于26，這個數(shù)是多少？

2.某數(shù)加上6，乘以6，減去6，其結(jié)果等于36，求這個數(shù)。

3.在125×□÷3×8—1=1999中，□內(nèi)應(yīng)填入什么數(shù)？

4.小樂爺爺今年的年齡數(shù)減去15后，除以4，再減去6之后，乘以10，恰好是100。問：小樂爺爺今年多少歲？

5.糧庫內(nèi)有一批面粉，第一次運出總數(shù)的一半多3噸，第二次運出剩下的一半少7噸，還剩4噸。問：糧庫里原有面粉多少噸？

6.有一堆桃，第一只猴拿走其中的一半加半個，第二只猴又拿走剩下的一半加半個，第三、四、五只猴照此方式辦理，最后還剩下一個桃。問：原來有多少個桃？

第六講

智取火柴

在數(shù)學(xué)游戲中有一類取火柴游戲，它有很多種玩法，由于游戲的規(guī)則不同，取勝的方法也就不同。但不論哪種玩法，要想取勝，一定離不開用數(shù)學(xué)思想去推算。

例1桌子上放著60根火柴，甲、乙二人輪流每次取走1～3根。規(guī)定誰取走最后一根火柴誰獲勝。如果雙方都采用最佳方法，甲先取，那么誰將獲勝？

分析與解：本題采用逆推法分析。獲勝方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒數(shù)第二次取時，必須留給對方4根，此時無論對方取1，2或3根，獲勝方都可以取走最后一根；再往前逆推，獲勝方要想留給對方4根，在倒數(shù)第三次取時，必須留給對方8根??由此可知，獲勝方只要每次留給對方的都是4的倍數(shù)根，則必勝。現(xiàn)在桌上有60根火柴，甲先取，不可能留給乙4的倍數(shù)根，而甲每次取完后，乙再取都可以留給甲4的倍數(shù)根，所以在雙方都采用最佳策略的情況下，乙必勝。

在例1中為什么一定要留給對方4的倍數(shù)根，而不是5的倍數(shù)根或其它倍數(shù)根呢？關(guān)鍵在于規(guī)定每次只能取1～3根，1＋3＝4，在兩人緊接著的兩次取火柴中，后取的總能保證兩人取的總數(shù)是4。利用這一特點，就能分析出誰采用最佳方法必勝，最佳方法是什么。由此出發(fā)，對于例1的各種變化，都能分析出誰能獲勝及獲勝的方法。

例2在例1中將“每次取走1～3根”改為“每次取走1～6根”，其余不變，情形會怎樣？

分析與解：由例1的分析知，只要始終留給對方（1+6=）7的倍數(shù)根火柴，就一定獲勝。因為60÷7＝8??4，所以只要甲第一次取走4根，剩下56根火柴是7的倍數(shù)，以后總留給乙7的倍數(shù)根火柴，甲必勝。

由例2看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者獲勝的規(guī)定下，誰能做到總給對方留下（1+n）的倍數(shù)根火柴，誰將獲勝。

例3將例1中“誰取走最后一根火柴誰獲勝”改為“誰取走最后一根火柴誰輸”，其余不變，情形又將如何？

分析與解：最后留給對方1根火柴者必勝。按照例1中的逆推的方法分析，只要每次留給對方4的倍數(shù)加1根火柴必勝。甲先取，只要第一次取3根，剩下57根（57除以4余1），以后每次都將除以4余1的根數(shù)留給乙，甲必勝。

由例3看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者為負的規(guī)定下，誰能做到總給對方留下（1＋n）的倍數(shù)加1根火柴，誰將獲勝。

有許多游戲雖然不是取火柴的形式，但游戲取勝的方法及分析思路與取火柴游戲完全相同。

例4兩人從1開始按自然數(shù)順序輪流依次報數(shù)，每人每次只能報1～5個數(shù)，誰先報到50誰勝。你選擇先報數(shù)還是后報數(shù)？怎樣才能獲勝？

分析與解：對照例

1、例2可以看出，本例是取火柴游戲的變形。因為50÷（1＋5）＝8??2，所以要想獲勝，應(yīng)選擇先報，第一次報2個數(shù)，剩下48個數(shù)是（1＋5＝）6的倍數(shù)，以后總把6的倍數(shù)個數(shù)留給對方，必勝。例51111個空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后輪流向右移動棋子，每次移動1～7格。規(guī)定將棋子移到最后一格者輸。甲為了獲勝，第一步必須向右移多少格？ 分析與解：本例是例3的變形，但應(yīng)注意，一開始棋子已占一格，棋子的右面只有1111-1＝1110（個）空格。由例3知，只要甲始終留給乙（1+7=）8的倍數(shù)加1格，就可獲勝。

（111-1）÷（1＋7）＝138??6，所以甲第一步必須移5格，還剩下1105格，1105是8的倍數(shù)加1。以后無論乙移幾格，甲下次移的格數(shù)與乙移的格數(shù)之和是8，甲就必勝。因為甲移完后，給乙留下的空格數(shù)永遠是8的倍數(shù)加1。

例6今有兩堆火柴，一堆35根，另一堆24根。兩人輪流在其中任一堆中拿取，取的根數(shù)不限，但不能不取。規(guī)定取得最后一根者為贏。問：先取者有何策略能獲勝？

分析與解：本題雖然也是取火柴問題，但由于火柴的堆數(shù)多于一堆，故本題的獲勝策略與前面的例題完全不同。

先取者在35根一堆火柴中取11根火柴，使得取后剩下兩堆的火柴數(shù)相同。以后無論對手在某一堆取幾根火柴，你只須在另一堆也取同樣多根火柴。只要對手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是說，最后一根火柴總會被你拿到。這樣先取者總可獲勝。

請同學(xué)們想一想，如果在上面玩法中，兩堆火柴數(shù)目一開始就相同，例如兩堆都是35根火柴，那么先取者還能獲勝嗎？

例7有3堆火柴，分別有1根、2根與3根火柴。甲先乙后輪流從任意一堆里取火柴，取的根數(shù)不限，規(guī)定誰能取到最后一根或最后幾根火柴就獲勝。如果采用最佳方法，那么誰將獲勝？

分析與解：根據(jù)例6的解法，誰在某次取過火柴之后，恰好留下兩堆數(shù)目相等的火柴，誰就能取勝。

甲先取，共有六種取法：從第1堆里取1根，從第2堆里取1根或2根；第3堆里取1根、2根或3根。無論哪種取法，乙采取正確的取法，都可以留下兩堆數(shù)目相等的火柴（同學(xué)們不妨自己試試），所以乙采用最佳方法一定獲勝。

課后練習(xí)

姓名： 分數(shù)：

1.桌上有30根火柴，兩人輪流從中拿取，規(guī)定每人每次可取1～3根，且取最后一根者為贏。問：先取者如何拿才能保證獲勝？

2.有1999個球，甲、乙兩人輪流取球，每人每次至少取一個，最多取5個，取到最后一個球的人為輸。如果甲先取，那么誰將獲勝？

3.甲、乙二人輪流報數(shù)，甲先乙后，每次每人報1～4個數(shù)，誰報到第888個數(shù)誰勝。誰將獲勝？怎樣獲勝？

4.有兩堆枚數(shù)相等的棋子，甲、乙兩人輪流在其中任意一堆里取，取的枚數(shù)不限，但不能不取，誰取到最后一枚棋子誰獲勝。如果甲后取，那么他一定能獲勝嗎？

第七講 邏輯問題

在日常生活中，有些問題常常要求我們主要通過分析和推理，而不是計算得出正確的結(jié)論。這類判斷、推理問題，就叫做邏輯推理問題，簡稱邏輯問題。這類題目與我們學(xué)過的數(shù)學(xué)題目有很大不同，題中往往沒有數(shù)字和圖形，也不用我們學(xué)過的數(shù)學(xué)計算方法，而是根據(jù)已知條件，分析推理，得到答案。

本講介紹利用列表法求解邏輯問題。

例1小王、小張和小李一位是工人，一位是農(nóng)民，一位是教師，現(xiàn)在只知道：小李比教師年齡大；小王與農(nóng)民不同歲；農(nóng)民比小張年齡小。問：誰是工人？誰是農(nóng)民？誰是教師？ 分析與解：由題目條件可以知道：小李不是教師，小王不是農(nóng)民，小張不是農(nóng)民。由此得到左下表。表格中打“√”表示肯定，打“×”表示否定。

因為左上表中，任一行、任一列只能有一個“√”，其余是“×”，所以小李是農(nóng)民，于是得到右上表。

因為農(nóng)民小李比小張年齡小，又小李比教師年齡大，所以小張比教師年齡大，即小張不是教師。因此得到左下表，從而得到右下表，即小張是工人，小李是農(nóng)民，小王是教師。

例1中采用列表法，使得各種關(guān)系更明確。為了講解清楚，例題中畫了幾個表，實際解題時，不用畫這么多表，只在一個表中先后畫出各種關(guān)系即可。需要注意的是：①第一步應(yīng)將題目條件給出的關(guān)系畫在表上，然后再依次將分析推理出的關(guān)系畫在表上；②每行每列只能有一個“√”，如果出現(xiàn)了一個“√”，它所在的行和列的其余格中都應(yīng)畫“×”。

在下面的例題中，“√”和“×”的含義是很明顯的，不再單獨解釋。例2劉剛、馬輝、李強三個男孩各有一個妹妹，六個人進行乒乓球混合雙打比賽。事先規(guī)定：兄妹二人不許搭伴。

第一盤：劉剛和小麗對李強和小英；

第二盤：李強和小紅對劉剛和馬輝的妹妹。問：三個男孩的妹妹分別是誰？ 分析與解：因為兄妹二人不許搭伴，所以題目條件表明：劉剛與小麗、李強與小英、李強與小紅都不是兄妹。由第二盤看出，小紅不是馬輝的妹妹。將這些關(guān)系畫在左下表中，由左下表可得右下表。

劉剛與小紅、馬輝與小英、李強與小麗分別是兄妹。例3甲、乙、丙每人有兩個外號，人們有時以“數(shù)學(xué)博士”、“短跑健將”、“跳高冠軍”、“小畫家”、“大作家”和“歌唱家”稱呼他們。此外：

（1）數(shù)學(xué)博士夸跳高冠軍跳得高；

（2）跳高冠軍和大作家常與甲一起去看電影；

（3）短跑健將請小畫家畫賀年卡；

（4）數(shù)學(xué)博士和小畫家很要好；

（5）乙向大作家借過書；

（6）丙下象棋常贏乙和小畫家。

你知道甲、乙、丙各有哪兩個外號嗎？

分析與解：由（2）知，甲不是跳高冠軍和大作家；由（5）知，乙不是大作家；由（6）知，丙、乙都不是小畫家。由此可得到下表：

因為甲是小畫家，所以由（3）（4）知甲不是短跑健將和數(shù)學(xué)博士，推知甲是歌唱家。因為丙是大作家，所以由（2）知丙不是跳高冠軍，推知乙是跳高冠軍。因為乙是跳高冠軍，所以由（1）知乙不是數(shù)學(xué)博士。將上面的結(jié)論依次填入上表，便得到下表：

所以，甲是小畫家和歌唱家，乙是短跑健將和跳高冠軍，例1四個小朋友寶寶、星星、強強和樂樂在院子里踢足球，一陣響聲，驚動了正在讀書的陸老師，陸老師跑出來查看，發(fā)現(xiàn)一塊窗戶玻璃被打破了。陸老師問：“是誰打破了玻璃？”

寶寶說：“是星星無意打破的?！?/p>

星星說：“是樂樂打破的?！?/p>

樂樂說：“星星說謊?！?/p>

強強說：“反正不是我打破的?！?/p>

如果只有一個孩子說了實話，那么這個孩子是誰？是誰打破了玻璃？

分析與解：因為星星和樂樂說的正好相反，所以必是一對一錯，我們可以逐一假設(shè)檢驗。

假設(shè)星星說得對，即玻璃窗是樂樂打破的，那么強強也說對了，這與“只有一個孩子說了實話”矛盾，所以星星說錯了。

假設(shè)樂樂說對了，按題意其他孩子就都說錯了。由強強說錯了，推知玻璃是強強打破的。寶寶、星星確實都說錯了。符合題意。

所以是強強打破了玻璃。

由例1看出，用假設(shè)法解邏輯問題，就是根據(jù)題目的幾種可能情況，逐一假設(shè)。如果推出矛盾，那么假設(shè)不成立；如果推不出矛盾，那么符合題意，假設(shè)成立。

例4甲、乙、丙、丁四人同時參加全國小學(xué)數(shù)學(xué)夏令營。賽前甲、乙、丙分別做了預(yù)測。

甲說：“丙第1名，我第3名?！?/p>

乙說：“我第1名，丁第4名?！?/p>

丙說：“丁第2名，我第3名?！?/p>

成績揭曉后，發(fā)現(xiàn)他們每人只說對了一半，你能說出他們的名次嗎？ 分析與解：我們以“他們每人只說對了一半”作為前提，進行邏輯推理。

假設(shè)甲說的第一句話“丙第1名”是對的，第二句話“我第3名”是錯的。由此推知乙說的“我第1名”是錯的，“丁第4名”是對的；丙說的“丁第2名”是錯的，“丙第3名”是對的。這與假設(shè)“丙第1名是對的”矛盾，所以假設(shè)不成立。

再假設(shè)甲的第二句“我第3名”是對的，那么丙說的第二句“我第3名”是錯的，從而丙說的第一句話“丁第2名”是對的；由此推出乙說的“丁第4名”是錯的，“我第1名”是對的。至此可以排出名次順序：乙第1名、丁第2名、甲第3名、丙第4名。

例5甲、乙、丙、丁在談?wù)撍麄兗八麄兊耐瑢W(xué)何偉的居住地。

甲說：“我和乙都住在北京，丙住在天津?！?/p>

乙說：“我和丁都住在上海，丙住在天津?！?/p>

丙說：“我和甲都不住在北京，何偉住在南京?！?/p>

丁說：“甲和乙都住在北京，我住在廣州?！?/p>

假定他們每個人都說了兩句真話，一句假話。問：不在場的何偉住在哪兒？ 分析與解：因為甲、乙都說“丙住在天津，”我們可以假設(shè)這句話是假話，那么甲、乙的前兩句應(yīng)當(dāng)都是真話，推出乙既住在北京又住在上海，矛盾。所以假設(shè)不成立，即“丙住在天津”是真話。

因為甲的前兩句話中有一句假話，而甲、丁兩人的前兩句話相同，所以丁的第三句話“我住在廣州”是真的。由此知乙的第二句話“丁住在上?！笔羌僭?，第一句“我住在上?！笔钦嬖?；進而推知甲的第二句是假話，第一句“我住在北京”是真話；最后推知丙的第二句話是假話，第三句“何偉住在南京”是真話。

所以，何偉住在南京。

在解答邏輯問題時，有時需要將列表法與假設(shè)法結(jié)合起來。一般是在使用列表法中，出現(xiàn)不可確定的幾種選擇時，結(jié)合假設(shè)法，分別假設(shè)檢驗，以確定正確的結(jié)果。

例6一天，老師讓小馬虎把甲、乙、丙、丁、戊的作業(yè)本帶回去，小馬虎見到這五人后就一人給了一本，結(jié)果全發(fā)錯了?，F(xiàn)在知道：

（1）甲拿的不是乙的，也不是丁的；

（2）乙拿的不是丙的，也不是丁的；

（3）丙拿的不是乙的，也不是戊的；

（4）丁拿的不是丙的，也不是戊的；

（5）戊拿的不是丁的，也不是甲的。另外，沒有兩人相互拿錯（例如甲拿乙的，乙拿甲的）。

問：丙拿的是誰的本？丙的本被誰拿走了？ 分析與解：根據(jù)“全發(fā)錯了”及條件（1）～（5），可以得到表1：

由表1看出，丁的本被丙拿了。此時，再繼續(xù)推理分析不大好下手，我們可用假設(shè)法。由表1知，甲拿的本不是丙的就是戊的。

先假設(shè)甲拿了丙的本。于是得到表2，表2中乙拿戊的本，戊拿乙的本。兩人相互拿錯，不合題意。

再假設(shè)甲拿戊的本。于是可得表3，經(jīng)檢驗，表3符合題意。

所以丙拿了丁的本，丙的本被戊拿去了。

丙是數(shù)學(xué)博士和大作家。

課后練習(xí)

姓名： 分數(shù)：

1.甲、乙、丙分別是來自中國、日本和英國的小朋友。甲不會英文，乙不懂日語卻與英國小朋友熱烈交談。問：甲、乙、丙分別是哪國的小朋友？

2.徐、王、陳、趙四位師傅分別是工廠的木工、車工、電工和鉗工，他們都是象棋迷。

（1）電工只和車工下棋；

（2）王、陳兩位師傅經(jīng)常與木工下棋；（3）徐師傅與電工下棋互有勝負；（4）陳師傅比鉗工下得好。

問：徐、王、陳、趙四位師傅各從事什么工種？

3.在一次數(shù)學(xué)競賽中，A，B，C，D，E五位同學(xué)分別得了前五名（沒有并列同一名次的），關(guān)于各人的名次大家作出了下面的猜測：

A說：“第二名是D，第三名是B?！?/p>

B說：“第二名是C，第四名是E。”

C說：“第一名是E，第五名是A?！?/p>

D說：“第三名是C，第四名是A?！?/p>

E說：“第二名是B，第五名是D?！苯Y(jié)果每人都只猜對了一半，他們的名次如何？

第八講 抽屜原理

如果將5個蘋果放到3個抽屜中去，那么不管怎么放，至少有一個抽屜中放的蘋果不少于2個。道理很簡單，如果每個抽屜中放的蘋果都少于2個，即放1個或不放，那么3個抽屜中放的蘋果的總數(shù)將少于或等于3，這與有5個蘋果的已知條件相矛盾，因此至少有一個抽屜中放的蘋果不少于2個。

同樣，有5只鴿子飛進4個鴿籠里，那么一定有一個鴿籠至少飛進了2只鴿子。

以上兩個簡單的例子所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理就是“抽屜原理”，也叫“鴿籠原理”。

抽屜原理1：將多于n件的物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品不少于2件。

說明這個原理是不難的。假定這n個抽屜中，每一個抽屜內(nèi)的物品都不到2件，那么每一個抽屜中的物品或者是一件，或者沒有。這樣，n個抽屜中所放物品的總數(shù)就不會超過n件，這與有多于n件物品的假設(shè)相矛盾，所以前面假定“這n個抽屜中，每一個抽屜內(nèi)的物品都不到2件”不能成立，從而抽屜原理1成立。

從最不利原則也可以說明抽屜原理1。為了使抽屜中的物品不少于2件，最不利的情況就是n個抽屜中每個都放入1件物品，共放入n件物品，此時再放入1件物品，無論放入哪個抽屜，都至少有1個抽屜不少于2件物品。這就說明了抽屜原理1。

例1某幼兒園有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？ 分析與解：1996年是閏年，這年應(yīng)有366天。把366天看作366個抽屜，將367名小朋友看作367個物品。這樣，把367個物品放進366個抽屜里，至少有一個抽屜里不止放一個物品。因此至少有2名小朋友的生日相同。

例2在任意的四個自然數(shù)中，是否其中必有兩個數(shù)，它們的差能被3整除？ 分析與解：因為任何整數(shù)除以3，其余數(shù)只可能是0，1，2三種情形。我們將余數(shù)的這三種情形看成是三個“抽屜”。一個整數(shù)除以3的余數(shù)屬于哪種情形，就將此整數(shù)放在那個“抽屜”里。

將四個自然數(shù)放入三個抽屜，至少有一個抽屜里放了不止一個數(shù)，也就是說至少有兩個數(shù)除以3的余數(shù)相同。這兩個數(shù)的差必能被3整除。

例3在任意的五個自然數(shù)中，是否其中必有三個數(shù)的和是3的倍數(shù)？

分析與解：根據(jù)例2的討論，任何整數(shù)除以3的余數(shù)只能是0，1，2?，F(xiàn)在，對于任意的五個自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的數(shù)，于是可分下面兩種情形來加以討論。

第一種情形。有三個數(shù)在同一個抽屜里，即這三個數(shù)除以3后具有相同的余數(shù)。因為這三個數(shù)的余數(shù)之和是其中一個余數(shù)的3倍，故能被3整除，所以這三個數(shù)之和能被3整除。

第二種情形。至多有兩個數(shù)在同一個抽屜里，那么每個抽屜里都有數(shù)，在每個抽屜里各取一個數(shù)，這三個數(shù)被3除的余數(shù)分別為0，1，2。因此這三個數(shù)之和能被3整除。

綜上所述，在任意的五個自然數(shù)中，其中必有三個數(shù)的和是3的倍數(shù)。例4在長度是10厘米的線段上任意取11個點，是否至少有兩個點，它們之間的距離不大于1厘米？

分析與解：把長度10厘米的線段10等分，那么每段線段的長度是1厘米（見下圖）。

將每段線段看成是一個“抽屜”，一共有10個抽屜?，F(xiàn)在將這11個點放到這10個抽屜中去。根據(jù)抽屜原理，至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的點（包括這些線段的端點）。由于這兩個點在同一個抽屜里，它們之間的距離當(dāng)然不會大于1厘米。

所以，在長度是10厘米的線段上任意取11個點，至少存在兩個點，它們之間的距離不大于1厘米。

例5有蘋果和桔子若干個，任意分成5堆，能否找到這樣兩堆，使蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)？ 分析與解：由于題目只要求判斷兩堆水果的個數(shù)關(guān)系，因此可以從水果個數(shù)的奇、偶性上來考慮抽屜的設(shè)計。

對于每堆水果中的蘋果、桔子的個數(shù)分別都有奇數(shù)與偶數(shù)兩種可能，所以每堆水果中蘋果、桔子個數(shù)的搭配就有4種情形：

（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），其中括號中的第一個字表示蘋果數(shù)的奇偶性，第二個字表示桔子數(shù)的奇偶性。

將這4種情形看成4個抽屜，現(xiàn)有5堆水果，根據(jù)抽屜原理可知，這5堆水果里至少有2堆屬于上述4種情形的同一種情形。由于奇數(shù)加奇數(shù)為偶數(shù)，偶數(shù)加偶數(shù)仍為偶數(shù)，所以在同一個抽屜中的兩堆水果，其蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)。

先看一個例子：如果將13只鴿子放進6只鴿籠里，那么至少有一只籠子要放3只或更多的鴿子。道理很簡單。如果每只鴿籠里只放2只鴿子，6只鴿籠共放12只鴿子。剩下的一只鴿子無論放入哪只鴿籠里，總有一只鴿籠放了3只鴿子。這個例子所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，就是下面的抽屜原理2。

抽屜原理2：將多于m×n件的物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品的件數(shù)不少于m+1。

說明這一原理是不難的。假定這n個抽屜中，每一個抽屜內(nèi)的物品都不到（m＋1）件，即每個抽屜里的物品都不多于m件，這樣，n個抽屜中可放物品的總數(shù)就不會超過m×n件。這與多于m×n件物品的假設(shè)相矛盾。這說明一開始的假定不能成立。所以至少有一個抽屜中物品的件數(shù)不少于m＋1。

從最不利原則也可以說明抽屜原理2。為了使抽屜中的物品不少于（m＋1）件，最不利的情況就是n個抽屜中每個都放入m件物品，共放入（m×n）件物品，此時再放入1件物品，無論放入哪個抽屜，都至少有一個抽屜不少于（m＋1）件物品。這就說明了抽屜原理2。

不難看出，當(dāng)m＝1時，抽屜原理2就轉(zhuǎn)化為抽屜原理1。即抽屜原理2是抽屜原理1的推廣。

例6某幼兒班有40名小朋友，現(xiàn)有各種玩具122件，把這些玩具全部分給小朋友，是否會有小朋友得到4件或4件以上的玩具？

分析與解：將40名小朋友看成40個抽屜。今有玩具122件，122=3×40＋2。應(yīng)用抽屜原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：至少有一個抽屜中放有4件或4件以上的玩具。也就是說，至少會有一個小朋友得到4件或4件以上的玩具。例7一個布袋中有40塊相同的木塊，其中編上號碼1，2，3，4的各有10塊。問：一次至少要取出多少木塊，才能保證其中至少有3塊號碼相同的木塊？ 分析與解：將1，2，3，4四種號碼看成4個抽屜。要保證有一個抽屜中至少有3件物品，根據(jù)抽屜原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。所以一次至少要取出9塊木塊，才能保證其中有3塊號碼相同的木塊。

例8六年級有100名學(xué)生，他們都訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、二種或三種。問：至少有多少名學(xué)生訂閱的雜志種類相同？

分析與解：首先應(yīng)當(dāng)弄清訂閱雜志的種類共有多少種不同的情況。

訂一種雜志有：訂甲、訂乙、訂丙3種情況；

訂二種雜志有：訂甲乙、訂乙丙、訂丙甲3種情況；

訂三種雜志有：訂甲乙丙1種情況。

總共有3＋3＋1=7（種）訂閱方法。我們將這7種訂法看成是7個“抽屜”，把100名學(xué)生看作100件物品。因為100＝14×7＋2。根據(jù)抽屜原理2，至少有14＋1＝15（人）所訂閱的報刊種類是相同的。

課后練習(xí)

姓名： 分數(shù)：

1.某班32名小朋友是在5月份出生的，能否找到兩個生日是在同一天的小朋友？

2.班上有50名小朋友，老師至少拿幾本書，隨意分給小朋友，才能保證至少有一個小朋友能得到不少于兩本書？

3.在任意三個自然數(shù)中，是否其中必有兩個數(shù)，它們的和為偶數(shù)？

4.幼兒園買來不少玩具小汽車、小火車、小飛機，每個小朋友任意選擇兩件，那么至少要有幾個小朋友才能保證有兩人選的玩具是相同的？

5.一興趣小組有10名學(xué)生，他們都訂閱甲、乙兩種雜志中的一種或兩種。問：至少有多少名學(xué)生訂閱的雜志種類相同？

第九講 高斯求和

德國著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時代聰明過人，上學(xué)時，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計算：

1＋2＋3＋4＋?＋99＋100＝？

老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準(zhǔn)呢？原來小高斯通過細心觀察發(fā)現(xiàn)：

1＋100＝2＋99＝3＋98＝?＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為

（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。

若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項。后項與前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項與前項之差稱為公差。例如：

（1）1，2，3，4，5，?，100；

（2）1，3，5，7，9，?，99；

（3）8，15，22，29，36，?，71。

其中（1）是首項為1，末項為100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項為1，末項為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項為8，末項為71，公差為7的等差數(shù)列。

由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式： 和=（首項+末項）×項數(shù)÷2。例1 1＋2＋3＋?＋1999＝？

分析與解：這串加數(shù)1，2，3，?，1999是等差數(shù)列，首項是1，末項是1999，共有1999個數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得

原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。

例2 11＋12＋13＋?＋31＝？

分析與解：這串加數(shù)11，12，13，?，31是等差數(shù)列，首項是11，末項是31，共有31-11＋1＝21（項）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差數(shù)列求和公式時，有時項數(shù)并不是一目了然的，這時就需要先求出項數(shù)。根據(jù)首項、末項、公差的關(guān)系，可以得到 項數(shù)=（末項-首項）÷公差+1，末項=首項+公差×（項數(shù)-1）。例3 3＋7＋11＋?＋99＝？

分析與解：3，7，11，?，99是公差為4的等差數(shù)列，項數(shù)=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。

例4 求首項是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項的和。解：末項=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340。

利用等差數(shù)列求和公式及求項數(shù)和末項的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題。例5 在下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個圖形由多少根火柴棍擺成？

分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時，每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表：

由上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。解：（1）最大三角形面積為

（1＋3＋5＋?＋15）×1＝［（1＋15）×8÷2］×12

＝768（厘米2）。

（2）火柴棍的數(shù)目為

3＋6＋9+?+24

＝（3＋24）×8÷2=108（根）。

答：最大三角形的面積是768厘米2，整個圖形由108根火柴擺成。

例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里??第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只乒乓球？

分析與解：一只球變成3只球，實際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球??第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了

2×1＋2×2＋?＋2×10

＝2×（1＋2＋?＋10）

＝2×55＝110（只）。

加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。

綜合列式為：

（3-1）×（1＋2＋?＋10）＋3 ＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。

課后練習(xí)

姓名：

分數(shù)：

1.計算下列各題：（1）2＋4＋6＋?＋200；

（2）17＋19＋21＋?＋39；

（3）5＋8＋11＋14＋?＋50；

（4）3＋10＋17＋24＋?＋101。

2.求首項是5，末項是93，公差是4的等差數(shù)列的和。

3.求首項是13，公差是5的等差數(shù)列的前30項的和。

4.時鐘在每個整點敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點數(shù)，每半點鐘也敲一下。問：時鐘一晝夜敲打多少次？

第十講 雞兔同籠問題與假設(shè)法

雞兔同籠問題是按照題目的內(nèi)容涉及到雞與兔而命名的，它是一類有名的中國古算題。許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題，都可以轉(zhuǎn)化為雞兔同籠問題來加以計算。例1 小梅數(shù)她家的雞與兔，數(shù)頭有16個，數(shù)腳有44只。問：小梅家的雞與兔各有多少只？

分析：假設(shè)16只都是雞，那么就應(yīng)該有2×16＝32（只）腳，但實際上有44只腳，比假設(shè)的情況多了44-32＝12（只）腳，出現(xiàn)這種情況的原因是把兔當(dāng)作雞了。如果我們以同樣數(shù)量的兔去換同樣數(shù)量的雞，那么每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)增加了2只。因此只要算出12里面有幾個2，就可以求出兔的只數(shù)。解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有雞16-6＝10（只）。

答：有6只兔，10只雞。

當(dāng)然，我們也可以假設(shè)16只都是兔子，那么就應(yīng)該有4×16＝64（只）腳，但實際上有44只腳，比假設(shè)的情況少了64－44＝20（只）腳，這是因為把雞當(dāng)作兔了。我們以雞去換兔，每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)減少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有幾個2，就可以求出雞的只數(shù)。

有雞（4×16-44）÷（4-2）=10（只），有兔16——10＝6（只）。

由例1看出，解答雞兔同籠問題通常采用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；也可以先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。因此這類問題也叫置換問題。例2 100個和尚140個饃，大和尚1人分3個饃，小和尚1人分1個饃。問：大、小和尚各有多少人？

分析與解：本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得。如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設(shè)法來解。

假設(shè)100人全是大和尚，那么共需饃300個，比實際多300－140＝160（個）。現(xiàn)在以小和尚去換大和尚，每換一個總?cè)藬?shù)不變，而饃就要減少3——1＝2（個），因為160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有

100－80＝20（人）。

同樣，也可以假設(shè)100人都是小和尚，同學(xué)們不妨自己試試。

在下面的例題中，我們只給出一種假設(shè)方法。

例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多少套？

分析與解：我們設(shè)想有一只“怪雞”有1個頭11只腳，一種“怪兔”有1個頭19只腳，它們共有16個頭，280只腳。這樣，就將買文化用品問題轉(zhuǎn)換成雞兔同籠問題了。

假設(shè)買了16套彩色文化用品，則共需19×16＝304（元），比實際多304——280＝24（元），現(xiàn)在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一套少用19——11＝8（元），所以

買普通文化用品 24÷8=3（套），買彩色文化用品 16－3＝13（套）。

例4 雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多少只？

分析：假設(shè)100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數(shù)為零。這樣雞腳比兔腳多200只，而實際上只多20只，這說明假設(shè)的雞腳比兔腳多的數(shù)比實際上多200——20=180（只）。

現(xiàn)在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就會減少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，雞100——30＝70（只）。解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），有雞100——30=70（只）。

答：有雞70只，兔30只。

例5 現(xiàn)有大、小油瓶共50個，每個大瓶可裝油4千克，每個小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克。問：大、小瓶各有多少個？

分析：本題與例4非常類似，仿照例4的解法即可。解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（個），大瓶有50-30＝20（個）。

答：有大瓶20個，小瓶30個。

例6 一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？

分析：要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。

利用假設(shè)法，假設(shè)只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因為每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，所以要剩下4×36=144（噸）。根據(jù)條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9（輛）小卡車。這樣每輛小卡車能裝144÷9＝16（噸）。由此可求出這批鋼材有多少噸。

解：4×36÷（45-36）×45＝720（噸）。

答：這批鋼材有720噸。

例7 樂樂百貨商店委托搬運站運送500只花瓶，雙方商定每只運費0.24元，但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅不給運費，而且還要賠償1.26元，結(jié)果搬運站共得運費115.5元。問：搬運過程中共打破了幾只花瓶？

分析：假設(shè)500只花瓶在搬運過程中一只也沒有打破，那么應(yīng)得運費0.24×500=120（元）。實際上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬運站每打破一只花瓶要損失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。

答：共打破3只花瓶。

例8 小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？

分析與解：利用假設(shè)法，假設(shè)小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數(shù)減少了

12×（2＋3）＝60（下）。

可求出小樂每分鐘跳

（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），小樂一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小樂共多跳

780——270×2＝240（下）。

課后練習(xí)

姓名： 分數(shù)：

1．雞、兔共有頭100個，腳350只，雞、兔各有多少只？

2．學(xué)校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個學(xué)生進行活動。問：象棋與跳棋各有多少副？

3．班級購買活頁簿與日記本合計32本，花錢74元?；铐摬久勘?.9元，日記本每本3.1元。問：買活頁簿、日記本各幾本？

4．龜、鶴共有100個頭，鶴腿比龜腿多20只。問：龜、鶴各幾只？

第十一講 定義新運算

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過加、減、乘、除運算，這些運算，即四則運算是數(shù)學(xué)中最基本的運算，它們的意義、符號及運算律已被同學(xué)們熟知。除此之外，還會有什么別的運算嗎？這兩講我們就來研究這個問題。這些新的運算及其符號，在中、小學(xué)課本中沒有統(tǒng)一的定義及運算符號，但學(xué)習(xí)討論這些新運算，對于開拓思路及今后的學(xué)習(xí)都大有益處。

例1 對于任意數(shù)a，b，定義運算“*”： a*b=a×b-a-b。求12*4的值。

分析與解：根據(jù)題目定義的運算要求，直接代入后用四則運算即可。12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。

根據(jù)以上的規(guī)定，求10△6的值。

3，x>=2，求x的值。分析與解：按照定義的運算，<1，2，3，x>=2，x=6。

由上面三例看出，定義新運算通常是用某些特殊符號表示特定的運算意義。新運算使用的符號應(yīng)避免使用課本上明確定義或已經(jīng)約定俗成的符號，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止發(fā)生混淆，而表示新運算的運算意義部分，應(yīng)使用通常的四則運算符號。如例1中，a*b=a×b-a-b，新運算符號使用“*”，而等號右邊新運算的意義則用四則運算來表示。

分析與解：按新運算的定義，符號“⊙”表示求兩個數(shù)的平均數(shù)。

四則運算中的意義相同，即先進行小括號中的運算，再進行小括號外面的運算。

按通常的規(guī)則從左至右進行運算。

例5已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。

分析與解：這是一道很簡單的題，把a=9，b=2代入新運算式，即可算出結(jié)果。但是，根據(jù)四則運算的法則，我們可以先把新運算“※”化簡，再求結(jié)果。

a※b=（a+b）-（a-b）

=a+b-a+b=2b。

所以，9※2=2×2=4。

由例1可知，如果定義的新運算是用四則混合運算表示，那么在符合四則混合運算的性質(zhì)、法則的前提下，不妨先化簡表示式。這樣，可以既減少運算量，又提高運算的準(zhǔn)確度。

例6定義運算：a⊙b=3a+5ab+kb，其中a，b為任意兩個數(shù)，k為常數(shù)。比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。

（1）已知5⊙2=73。問：8⊙5與5⊙8的值相等嗎？

（2）當(dāng)k取什么值時，對于任何不同的數(shù)a，b，都有a⊙b=b⊙a，即新運算“⊙”符合交換律？

分析與解：（1）首先應(yīng)當(dāng)確定新運算中的常數(shù)k。因為5⊙2=3×5+5×5×2+k× =65+2k，所以由已知 5⊙2=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）÷2=4。定義的新運算是：a⊙b=3a+5ab+4b。

8⊙5=3×8+5×8×5+4×5=244，5⊙8=3×5+5×5×8+4×8=247。

因為244≠247，所以8⊙5≠5⊙8。

（2）要使a⊙b=b⊙a，由新運算的定義，有

3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0，3×(a-b)-k(a-b)=0，(3-k)(a-b)=0。

對于兩個任意數(shù)a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。

當(dāng)新運算是a⊙b=3a+5ab+3b時，具有交換律，即 a⊙b=b⊙a。

例7 對兩個自然數(shù)a和b，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，定義為a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。

比如，10和14的最小公倍數(shù)是70，最大公約數(shù)是2，那么10☆14=70-2=68。

（1）求12☆21的值；

（2）已知6☆x=27，求x的值。

分析與解：（1）12☆21=[12，21]-（12，21）=84-3=81；

（2）因為定義的新運算“☆”沒有四則運算表達式，所以不能直接把數(shù)代入表達式求x，只能用推理的方法。

因為6☆x=[6，x]-（6，x）=27，而6與x的最大公約數(shù)（6，x）只能是1，2，3，6。所以6與x的最小公倍數(shù)[6，x]只能是28，29，30，33。這四個數(shù)中只有 30是 6的倍數(shù)，所以 6與x的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別是30和3。因為a×b=[a，b]×（a，b），所以6×x=30×3，由此求得x=15。

課后練習(xí)

姓名： 分數(shù)：

1.對于任意的兩個數(shù)a和b，規(guī)定a*b=3×a-b÷3。求8*9的值。

2.已知a

3.已知a

4.規(guī)定a◎b表示a與b的積與a除以b所得的商的和，求8◎2的值。

5.假定m◇n表示m的3倍減去n的2倍，即 m◇n=3m-2n。b表示（a-b）÷（a+b），試計算：（53）

（10

6）。b表示a除以3的余數(shù)再乘以b，求1

34的值。

（2）已知x◇（4◇1）=7，求x的值。

第十二講 奇偶性

整數(shù)按照能不能被2整除，可以分為兩類：

（1）能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例如

0，2，4，6，8，10，12，14，16，?

（2）不能被2整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，例如

1，3，5，7，9，11，13，15，17，?

整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個整數(shù)大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因為偶數(shù)能被2整除，所以偶數(shù)可以表示為2n的形式，其中n為整數(shù)；因為奇數(shù)不能被2整除，所以奇數(shù)可以表示為2n+1的形式，其中n為整數(shù)。

每一個整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這個屬性叫做這個數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有如下一些重要性質(zhì)：

（1）兩個奇偶性相同的數(shù)的和（或差）一定是偶數(shù)；兩個奇偶性不同的數(shù)的和（或差）一定是奇數(shù)。反過來，兩個數(shù)的和（或差）是偶數(shù)，這兩個數(shù)奇偶性相同；兩個數(shù)的和（或差）是奇數(shù)，這兩個數(shù)肯定是一奇一偶。

（2）奇數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。任意多個偶數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。

（3）兩個奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的乘積一定是偶數(shù)。

（4）若干個數(shù)相乘，如果其中有一個因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都是奇數(shù)，那么積就是奇數(shù)。反過來，如果若干個數(shù)的積是偶數(shù)，那么因數(shù)中至少有一個是偶數(shù)；如果若干個數(shù)的積是奇數(shù)，那么所有的因數(shù)都是奇數(shù)。

（5）在能整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù)，也可能得奇數(shù)。奇數(shù)肯定不能被偶數(shù)整除。

（6）偶數(shù)的平方能被4整除；奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1。

因為（2n）2=4n2=4×n2，所以（2n）2能被4整除；

因為（2n+1）2=4n2+4n+1=4×（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1。

（7）相鄰兩個自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)。

（8）如果一個整數(shù)有奇數(shù)個約數(shù)（包括1和這個數(shù)本身），那么這個數(shù)一定是平方數(shù)；如果一個整數(shù)有偶數(shù)個約數(shù)，那么這個數(shù)一定不是平方數(shù)。

整數(shù)的奇偶性能解決許多與奇偶性有關(guān)的問題。有些問題表面看來似乎與奇偶性一點關(guān)系也沒有，例如染色問題、覆蓋問題、棋類問題等，但只要想辦法編上號碼，成為整數(shù)問題，便可利用整數(shù)的奇偶性加以解決。例1下式的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？

1+2+3+4+?+1997+1998。

分析與解：本題當(dāng)然可以先求出算式的和，再來判斷這個和的奇偶性。但如果能不計算，直接分析判斷出和的奇偶性，那么解法將更加簡潔。根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)（2），和的奇偶性只與加數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)有關(guān)，與加數(shù)中的偶數(shù)無關(guān)。1～1998中共有999個奇數(shù)，999是奇數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)。所以，本題要求的和是奇數(shù)。

例2 能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？

1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。

分析與解：等號左端共有9個數(shù)參加加、減運算，其中有5個奇數(shù)，4個偶數(shù)。5個奇數(shù)的和或差仍是奇數(shù)，4個偶數(shù)的和或差仍是偶數(shù)，因為“奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”，所以題目的要求做不到。

例3 任意給出一個五位數(shù)，將組成這個五位數(shù)的5個數(shù)碼的順序任意改變，得到一個新的五位數(shù)。那么，這兩個五位數(shù)的和能不能等于99999？

分析與解：假設(shè)這兩個五位數(shù)的和等于99999，則有下式：

其中組成兩個加數(shù)的5個數(shù)碼完全相同。因為兩個個位數(shù)相加，和不會大于 9+9=18，豎式中和的個位數(shù)是9，所以個位相加沒有向上進位，即兩個個位數(shù)之和等于9。同理，十位、百位、千位、萬位數(shù)字的和也都等于9。所以組成兩個加數(shù)的10個數(shù)碼之和等于 9+9+9+9+9=45，是奇數(shù)。

另一方面，因為組成兩個加數(shù)的5個數(shù)碼完全相同，所以組成兩個加數(shù)的10個數(shù)碼之和，等于組成第一個加數(shù)的5個數(shù)碼之和的2倍，是偶數(shù)。

奇數(shù)≠偶數(shù)，矛盾的產(chǎn)生在于假設(shè)這兩個五位數(shù)的和等于99999，所以假設(shè)不成立，即這兩個數(shù)的和不能等于99999。例4 7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的2只杯子。能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，使得7只杯子全部杯口朝下？

分析與解：盲目的試驗，可能總也找不到要領(lǐng)。如果我們分析一下每次翻轉(zhuǎn)后杯口朝上的杯子數(shù)的奇偶性，就會發(fā)現(xiàn)問題所在。一開始杯口朝上的杯子有7只，是奇數(shù)；第一次翻轉(zhuǎn)后，杯口朝上的變?yōu)?只，仍是奇數(shù)；再繼續(xù)翻轉(zhuǎn)，因為只能翻轉(zhuǎn)兩只杯子，即只有兩只杯子改變了上、下方向，所以杯口朝上的杯子數(shù)仍是奇數(shù)。類似的分析可以得到，無論翻轉(zhuǎn)多少次，杯口朝上的杯子數(shù)永遠是奇數(shù)，不可能是偶數(shù)0。也就是說，不可能使7只杯子全部杯口朝下。例5 有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的（m-1）只杯子。經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，能使杯口全部朝上嗎？

分析與解：當(dāng)m是奇數(shù)時，（m-1）是偶數(shù)。由例2的分析知，如果每次翻轉(zhuǎn)偶數(shù)只杯子，那么無論經(jīng)過多少次翻轉(zhuǎn)，杯口朝上（下）的杯子數(shù)的奇偶性不會改變。一開始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子數(shù)是奇數(shù)，每次翻轉(zhuǎn)（m-1）即偶數(shù)只杯子。無論翻轉(zhuǎn)多少次，杯口朝下的杯子數(shù)永遠是奇數(shù)，不可能全部朝上。

當(dāng)m是偶數(shù)時，（m-1）是奇數(shù)。為了直觀，我們先從m= 4的情形入手觀察，在下表中用∪表示杯口朝上，∩表示杯口朝下，每次翻轉(zhuǎn)3只杯子，保持不動的杯子用*號標(biāo)記。翻轉(zhuǎn)情況如下：

由上表看出，只要翻轉(zhuǎn)4次，并且依次保持第1，2，3，4只杯子不動，就可達到要求。一般來說，對于一只杯子，要改變它的初始狀態(tài)，需要翻奇數(shù)次。對于m只杯子，當(dāng)m是偶數(shù)時，因為（m-1）是奇數(shù)，所以每只杯子翻轉(zhuǎn)（m-1）次，就可使全部杯子改變狀態(tài)。要做到這一點，只需要翻轉(zhuǎn)m次，并且依次保持第1，2，?，m只杯子不動，這樣在m次翻轉(zhuǎn)中，每只杯子都有一次沒有翻轉(zhuǎn)，即都翻轉(zhuǎn)了（m-1）次。

綜上所述：m只杯子放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)（m-1）只。當(dāng)m是奇數(shù)時，無論翻轉(zhuǎn)多少次，m只杯子不可能全部改變初始狀態(tài)；當(dāng)m是偶數(shù)時，翻轉(zhuǎn)m次，可以使m只杯子全部改變初始狀態(tài)。

課后練習(xí)

姓名： 分數(shù)：

1.能否從四個

3、三個

5、兩個7中選出5個數(shù)，使這5個數(shù)的和等于22？

2.任意交換一個三位數(shù)的數(shù)字，得一個新的三位數(shù)，一位同學(xué)將原三位數(shù)與新的三位數(shù)相加，和是999。這位同學(xué)的計算有沒有錯？

3.一串?dāng)?shù)排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，?

第十三講

列方程解應(yīng)用題

有些數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的應(yīng)用題，用算術(shù)方法求解比較困難。此時，如果能恰當(dāng)?shù)丶僭O(shè)一個未知量為x（或其它字母），并能用兩種方式表示同一個量，其中至少有一種方式含有未知數(shù)x，那么就得到一個含有未知數(shù)x的等式，即方程。利用列方程求解應(yīng)用題，數(shù)量關(guān)系清晰、解法簡潔，應(yīng)當(dāng)熟練掌握。例1商店有膠鞋、布鞋共46雙，膠鞋每雙7.5元，布鞋每雙5.9元，全部賣出后，膠鞋比布鞋多收入10元。問：膠鞋有多少雙？

分析：此題幾個數(shù)量之間的關(guān)系不容易看出來，用方程法卻能清楚地把它們的關(guān)系表達出來。

設(shè)膠鞋有x雙，則布鞋有（46-x）雙。膠鞋銷售收入為7.5x元，布鞋銷售收入為5.9（46-x）元，根據(jù)膠鞋比布鞋多收入10元可列出方程。

解：設(shè)有膠鞋x雙，則有布鞋（46-x）雙。

7.5x-5.9（46-x）=10，7.5x-271.4+5.9x=10，13.4x=281.4，x=21。

答：膠鞋有21雙。

分析：因為題目條件中黃球、藍球個數(shù)都是與紅球個數(shù)進行比較，所以

答：袋中共有74個球。

在例1中，求膠鞋有多少雙，我們設(shè)膠鞋有x雙；在例2中，求袋中共有多少個球，我們設(shè)紅球有x個，求出紅球個數(shù)后，再求共有多少個球。像例1那樣，直接設(shè)題目所求的未知數(shù)為x，即求什么設(shè)什么，這種方法叫直接設(shè)元法；像例2那樣，為解題方便，不直接設(shè)題目所求的未知數(shù)，而間接設(shè)題目中另外一個未知數(shù)為x，這種方法叫間接設(shè)元法。具體采用哪種方法，要看哪種方法簡便。在小學(xué)階段，大多數(shù)題目可以使用直接設(shè)元法。

例3某建筑公司有紅、灰兩種顏色的磚，紅磚量是灰磚量的2倍，計劃修建住宅若干座。若每座住宅使用紅磚80米3，灰磚30米3，那么，紅磚缺40米3，灰磚剩40米3。問：計劃修建住宅多少座？

分析與解一：用直接設(shè)元法。設(shè)計劃修建住宅x座，則紅磚有（80x-40）米3，灰磚有（30x+40）米3。根據(jù)紅磚量是灰磚量的2倍，列出方程

80x-40=（30x+40）×2，80x-40=60x+80，20x=120，x=6（座）。

分析與解二：用間接設(shè)元法。設(shè)有灰磚x米3，則紅磚有2x米3。根據(jù)修建住宅的座數(shù)，列出方程。

（x-40）×80=（2x+40）×30，80x-3200=60x+1200，20x=4400，x=220（米3）。

由灰磚有220米3，推知修建住宅（220-40）÷30=6（座）。

同理，也可設(shè)有紅磚x米3。留給同學(xué)們做練習(xí)。

例4教室里有若干學(xué)生，走了10個女生后，男生是女生人數(shù)的2倍，又走了9個男生后，女生是男生人數(shù)的5倍。問：最初有多少個女生？

分析與解：設(shè)最初有x個女生，則男生最初有（x-10）×2個。根據(jù)走了10個女生、9個男生后，女生是男生人數(shù)的5倍，可列方程

x-10=[（x-10）×2-9]×5，x-10=（2x-29）×5，x-10=10x-145，9x=135，x=15（個）。

例5一群學(xué)生進行籃球投籃測驗，每人投10次，按每人進球數(shù)統(tǒng)計的部分情況如下表：

還知道至少投進3個球的人平均投進6個球，投進不到8個球的人平均投進3個球。問：共有多少人參加測驗？

分析與解：設(shè)有x人參加測驗。由上表看出，至少投進3個球的有（x-7-5-4）人，投進不到8個球的有（x-3-4-1）人。投中的總球數(shù)，既等于進球數(shù)不到3個的人的進球數(shù)加上至少投進3個球的人的進球數(shù)，0×7+1×5+2×4+6×（x-7-5-4）

= 5+8+6×（x-16）

= 6x-83，也等于進球數(shù)不到8個的人的進球數(shù)加上至少投進8個球的人的進球數(shù)，3×（x-3-4-1）+8×3+9×4+10×1，= 3×（x-8）+24+36+10

= 3x+46。

由此可得方程

6x-83=3x+46，3x=129，x=43（人）。

例6甲、乙、丙三人同乘汽車到外地旅行，三人所帶行李的重量都超過了可免費攜帶行李的重量，需另付行李費，三人共付4元，而三人行李共重150千克。如果一個人帶150千克的行李，除免費部分外，應(yīng)另付行李費8元。求每人可免費攜帶的行李重量。

分析與解：設(shè)每人可免費攜帶x千克行李。一方面，三人可免費攜帶3x千克行李，三人攜帶150千克行李超重（150-3x）千克，超重行李每千克應(yīng)付4÷（150-3x）元；另一方面，一人攜帶150千克行李超重（150-x）千克，超重行李每千克應(yīng)付8÷（150-x）元。根據(jù)超重行李每千克應(yīng)付的錢數(shù)，可列方程

4÷（150-3x）=8÷（150-x），4×（150-x）=8×（150-3x），600-4x=1200-24x，20x=600，x=30（千克）。

課后練習(xí)

姓名： 分數(shù)：

還剩60元。問：甲、乙二人各有存款多少元？

2.大、小兩個水池都未注滿水。若從小池抽水將大池注滿，則小池還剩5噸水；若從大池抽水將小池注滿，則大池還剩30噸水。已知大池容積是小池的1.5倍，問：兩池中共有多少噸水？

3.一群小朋友去春游，男孩每人戴一頂黃帽，女孩每人戴一頂紅帽。在每個男孩看來，黃帽子比紅帽子多5頂；在每個女孩看來，黃帽子是紅帽子的2倍。問：男孩、女孩各有多少人？

4.教室里有若干學(xué)生，走了10個女生后，男生人數(shù)是女生的1.5倍，又走了10個女生后，男生人數(shù)是女生的4倍。問：教室里原有多少個學(xué)生？

第二篇：奧數(shù)教案

課題 ：應(yīng)用題的基本數(shù)量關(guān)系 知識點

用數(shù)學(xué)的方法解決在生活和工作中的實際問題 ————— 解應(yīng)用題。教學(xué)目標(biāo)

1、分析思考題目所包含的數(shù)量關(guān)系，鍛煉思維的靈活性。

2、讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，感受數(shù)學(xué)與日常生活的密 切聯(lián)系，體驗數(shù)學(xué)的價值，增強應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。

3、在探索問題解決方法的過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力，培養(yǎng)主動探索的意識。教 學(xué) 內(nèi) 容

【典型例題】

例1：一根繩子原來長20米，第一天剪去3米，第二天剪去的和第一天同樣多，剩下的米數(shù)比原來短幾米？

解題策略：這題要求剩下的米數(shù)比原來短幾米，通常我們用以下的數(shù)量關(guān)系來解： 解法一：20－3－3＝14（米）20－14＝6（米）

有沒有更簡便的方法呢？聰明的小朋友是否考慮到“剩下的米數(shù)比原來短的米數(shù)”就是剪去的米數(shù)，這樣只要用一步計算就能解答。解法二：3+3=6米

這種方法是不是更簡便？

【畫龍點睛】

解答應(yīng)用題時，我們不但要多動腦，分析思考題目所包含的數(shù)量關(guān)系，還要選擇最簡便的方法來解答，鍛煉思維的靈活性，使我們應(yīng)得更聰明。

第2課時

【舉一反三】

1、水果店有52箱水果，賣出16箱，又運進23箱，現(xiàn)在水果的箱數(shù)和原來比多了還是少了？多或少幾箱？

2、飼養(yǎng)場養(yǎng)的羊比牛少36只，牛比豬少29只，那么羊比豬少幾只？

3、把兩條長38厘米的紙條粘在一起，成為一條長72厘米的紙條，中間粘貼部分的紙條長幾厘米？

4、小明、小李和小紅三個朋友做紅花，小明和小李共做27朵，小明和小紅共做32朵，小李和小紅共做25朵，問：三個小朋友各做幾朵？

5、五（1）班有20名少先隊員，而五（2）班的少先隊員比五（1）班多9名，問兩班共有多少少先隊員？

6、一道既簡單又復(fù)雜的題：游戲開始了，請你們快速計算：

一輛載著16名乘客的公共汽車駛進車站，這時有4人下車，又上來4人； 在下一站上來10人，下去4人； 在下一站下去11 人，上來6人； 在下一站，下去4人，上來4人；

在下一站又下去8人，上來15。

還有，請你們接著計算：公共汽車繼續(xù)往前開，到了下一站下去6人，上來7人；在下一站下去5人，沒有人上來；在下一站只下去1人，又上來8人。

好了，記住你的計算結(jié)果，回答：這輛公共汽車究竟停了多少站？（不要重新計算哦）

7、商店共有61千克紅糖，第一天賣掉19千克，第二天比第一天多賣4千克，商店還剩多少斤紅糖？

8、買來17米布，做床單用去7米，做衣服用的和做床單用的同樣多，還剩幾米？

9、小王買了一只文具盒花了2元，又買了4個作業(yè)本，共

課題 ：兩步計算的應(yīng)用題、用畫圖法解應(yīng)用題 知識點

1、用數(shù)學(xué)的方法解決在生活和工作中的實際問題 ————— 解應(yīng)用題。

2、用畫圖來表示題目中的條件，幫助理解題意，正確解答。

教學(xué)目標(biāo)

1、分析思考題目所包含的數(shù)量關(guān)系，鍛煉思維的靈活性。

2、讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，感學(xué)與日常生活的密切聯(lián) 系，體驗數(shù)學(xué)的價值，增強受數(shù)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。

3、在探索問題解決方法的過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力，培養(yǎng)主動探索的意識。教 學(xué) 內(nèi) 容

第一課時： 【典型例題】

例1：小明的錢不到5元（是整角數(shù)），如果買6枝鉛筆，錢不夠，還少5角。小明原來最多有多少錢？

解題策略：問題求的是“小明原來最多有多少錢”。由題意已知小明原來的錢不到5元，但加上5角后就超過5元，且能被6整除。假設(shè)每枝筆8角錢，6枝則是48角，不到5元，所以不能；如果每枝9角，6枝就是54角，再減去少5角，原來最多49角。算式：6×9-5=49（【畫龍點睛】

解答兩步計算的應(yīng)用題，如果不認真思考，提筆就做，很容易出錯。所以應(yīng)該先從條件或問題入手，仔細分析，找出正確的解題方法。

第二課時

【舉一反三】

1、一盒糖果，總數(shù)不超過20顆，把它們平均分給6個小朋友，還余2顆，這盒糖最多有幾顆？最少有幾顆？

2、停車場里原來停放的轎車比卡車多12輛，后來轎車開走6輛，卡車開進8輛，這時停車場里哪種車多？多多少輛？

3、有大、小兩桶油共重50千克，兩個桶都倒出同樣多的油后，分別還剩10千克和6千克。大、小兩個桶原來各裝油多少千克？ 第二課時： 【典型例題】

例2：小明有10枝鉛筆，小紅有4枝鉛筆，要使兩人的鉛筆同樣多，小明要給小紅幾枝鉛筆？

解題策略：我們用圖來表示已知條件： 小明： 小紅：

從圖中我們可以清楚地看到，小明比小紅多6枝鉛筆，把多出來的6枝鉛筆平均分成兩份，即6÷2=3，所以小明給小紅3枝鉛筆后，兩人的枝數(shù)相同。

【畫龍點睛】

用畫圖法解應(yīng)用題，特別是解技巧性較強的題，能形象直觀地揭示數(shù)量關(guān)系，使抽象思維與形象思維協(xié)同發(fā)揮作用，從而構(gòu)建出解題思維的模式。

第三課時 【舉一反三】

1、小明給小紅3枝鉛筆后，兩人的枝數(shù)相同。問：小明比小紅多幾枝鉛筆？

2、小紅有4枝鉛筆，小明給小紅3枝鉛筆后，兩人的枝數(shù)相同，小明有幾支鉛筆？

3、一根12米長的木條，鋸3次，每段幾米？

4、小紅媽媽到水果店買蘋果，她的錢若買3斤多1元，若買4斤少1元5角，問媽媽帶了多少錢？

6、二（1）班同學(xué)做早操，每行人數(shù)相等，小李的位置從左邊數(shù)是第3個，從右邊數(shù)是第4 個，從前邊數(shù)是第4個，從后邊數(shù)是第2個。問：二（1）班有多少同學(xué)在做早操？

課題： 等量代換法 知識點

1、等量代換的思想：相等的量可以互相代替。

2、2、運用等量代換法來解決生活中的實際問題。

3、在解決等量代換數(shù)學(xué)問題的過程中，初步體會等量代換數(shù)學(xué)題的思想方法。教學(xué)目標(biāo)

1．使學(xué)生能初步學(xué)會等量代換的方法，接受等量代換的思想。2．培養(yǎng)學(xué)生的觀察力及初步的邏輯推理能力。

3、讓學(xué)生在經(jīng)歷解決問題的過程中，獲得經(jīng)驗，讓學(xué)生充分感受生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)，形成我要學(xué)好數(shù)學(xué)的精神風(fēng)貌。

4、在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生團結(jié)、友好合作，營造和諧共進的氛圍。教 學(xué) 內(nèi) 容 第一課時 【典型例題】

例1、1只河馬的體重等于2只大象的體重，1只大象的體重等于10匹馬的體重。1匹馬的體重是320千克，這只河馬的體重是多少千克？

解題策略：

1匹馬的體重是320千克，10匹馬的體重就是320×10＝3200(千克)，這也就是１只大象的體重。又知１只 河馬的體重等于2只大象的體重，用2只大象的體重代替1只河馬，則這只河馬體重是3200×2＝6400(千克)

【畫龍點睛】

也可以這樣想：1只大象的體重是10匹馬的體重，即2只大象的體重就等于2個10匹馬的體重，即20匹馬的體重，因為2只大象的體重與1只河馬的體重相等，所以1只河馬的體重就是20匹馬的體重。320×（2×10）＝6400(千克)

第二課時 【舉一反三】

1、已知1個 =3個 , 1個 =5個。那么1個 =（）個

2、△＋△＋△＋□＝25，□＝△＋△。求 △＝？ □＝？

3、一只菠蘿的重量等于2只梨的重量，也等于4只香蕉的重量，還等于2只蘋果、1只梨、1只香蕉的重量之和。那么1只菠蘿等于幾只蘋果的重量？

4、一條魚，魚頭重9千克，魚頭重量等于魚身一半加魚尾的重量，而魚身的重量等于魚頭加魚尾的重量。問：這條魚重幾千克？

第三課時

同步練習(xí)

1．一根20米長的木條，把它據(jù)成4段，要鋸幾次？

2．商店有480本練習(xí)本，又運來500本，賣出去360本，商店還有多少本練習(xí)本？

3．小明的爸爸年齡比媽媽大5歲，媽媽今年38歲，爸爸今年多少歲？小明 出生時媽媽30歲，小明今年是多大？

4．○+○+○=21 ☆-□=38 □+□+□=15 ○+○+□=18 ☆-△=45 △+△+△=12 ○-□=（）□-△=（）□+△=（）

5．一個數(shù)加上4，減去4，乘以4，再除以2，結(jié)果是2，求這個數(shù)。

6．一條毛毛蟲從幼蟲長成成蟲，每天長大一倍，10天時能長到20厘米。問：長到5厘米時是第幾天？

2．4瓶水全倒出來能裝滿3大碗，5杯水正好裝滿2瓶。裝滿3大碗要幾杯水？20杯水能裝滿幾大碗？

第三篇：一年級奧數(shù)教案

第一講 數(shù)一數(shù)

教學(xué)目標(biāo)：

1． 初步經(jīng)歷從場景中抽象出數(shù)的過程，初步認識順序數(shù)數(shù)的方法。2． 初步經(jīng)歷運用點子圖表示物體個數(shù)的過程，初步建立數(shù)感和一一對應(yīng)的思想。

3． 初步學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實事物，滲透應(yīng)用意識。4． 在他人的幫助下，初步體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義和樂趣。教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

談話：小朋友喜歡玩嗎？你們喜歡到哪兒去玩呢？悄悄地告訴你的同桌。老師猜，小朋友一定非常喜歡到兒童樂園去玩吧。（多媒體課件出示兒童樂園的情境圖）

二．自主探索，體驗領(lǐng)悟 1． 初步感知。

（1）問：圖上畫了些什么？（2）小組交流后集體交流。（3）描述：小朋友們自由自在地在兒童樂園里盡情游玩著，他們有的在騎木馬，有的在蕩秋千，有的在坐小飛機，有的在滑滑梯?？矗∷麄冃Φ枚嚅_心呀！學(xué)玩今天的新本領(lǐng)，咱們也到兒童樂園去玩，好嗎？ 2． 看主題圖數(shù)數(shù)

（1）提問：圖上畫了滑梯、秋千、木馬等東西，還畫了人、鳥、花等，你能數(shù)出每一種有多少嗎？

（2）學(xué)生先自己數(shù)一數(shù)，再數(shù)給同桌聽。

（3）集體交流，教師引導(dǎo)學(xué)生按順序數(shù)，并指出在數(shù)較多的物體時，可以數(shù)一個輕輕地劃掉一個，防止遺漏。3． 總結(jié)方法

（1）開展討論：怎樣數(shù)數(shù)又對又快？ 小組討論后再集體交流。

（2）小結(jié)：數(shù)數(shù)時，要一個一個按順序數(shù)，可以從左往右或從右往左數(shù)，也可以從上往下數(shù)，這樣就不會多數(shù)或少數(shù)了；如果數(shù)的是畫在書上的圖，可以用筆點著數(shù)，或者數(shù)一個用筆作一個記號，這樣數(shù)就又對又快了！最后數(shù)到幾，就說明一共有幾個物體。4． 按順序搶答。

（1）據(jù)圖意找用不著、2、3、------10表示的東西有哪些？比一比誰說得好?。ǘ嗝襟w課件同步演示，從主題中逐個抽取出其不意0幅片段圖）

（2）自己看著陸0幅圖說圖意。5． 用點子圖表示個數(shù)。

（1）講述：我們可以用一些簡單的符號表示物體個數(shù)，如點子，有一個滑梯就用一個點子表示。（出示點子圖）

（2）討論：怎樣表示秋千的個數(shù)？為什么？（出示點子圖）怎樣表示木馬、小飛機、蝴蝶、小鳥、氣球的個數(shù)？（出示點子圖）

（3）探索：圖中什么物體的個數(shù)可以用法個點子來表示？8個點子呢？怎樣表示氣球的個數(shù)？（自己在書上畫好）10個點子表示什么？ 三．鞏固深化，再次體驗 1． 門票游戲。

說明：只要完成每人門票上的題目，就能進入兒童樂園了。門票上的題目：用點子圖表示物體個數(shù)。

1個小天使、2個南瓜博士、3個茄子老師、4個豌豆、5個蘑菇、6個小蘿卜、7個小蕃茄、8枝鉛筆、9個蘋果、10只香蕉。

過渡：書上的兒童樂園里藏著許許多多的數(shù)，我們身邊也藏著很多很多的數(shù)呢！2． 找數(shù)活動（1）找一找我們自己身上和小朋友向上藏著多少數(shù)？（找到后與朋友交流）

（2）找一找我們學(xué)校藏著多少數(shù)？ 過渡：不但在我們身邊藏著很多很多數(shù)，其它地方也到處充滿著數(shù)學(xué)。四．總結(jié)提升，激發(fā)學(xué)習(xí)責(zé)任感

第二講 比多少

教學(xué)目標(biāo)：

1．使學(xué)生初步認識一一對應(yīng)，知道“同樣多”的含義；初步學(xué)會用一一對應(yīng)的方法比較物體的多少，知道多、少的含義。

2。通過聽童話故事，培養(yǎng)學(xué)生團結(jié)友愛、互相關(guān)心、互相幫助、熱情待人的良好品德。3．使學(xué)生通過操作、觀察，初步體驗數(shù)感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體驗合作學(xué)習(xí)的樂趣。教學(xué)過程：

一、聽故事，提問題

（一）教學(xué)“同樣多”

教師：同學(xué)們，今天老師想給你們講個故事，想聽嗎？這個故事的名字就叫《三個豬兄弟》。

1．三個豬兄弟為什么要幫小兔蓋房子？ 2。圖上有幾只小兔？每個小兔搬多少磚？學(xué)生一邊回答，教師一邊貼小兔頭圖片、磚頭圖片。

3．一只小兔搬一塊磚，有沒有多余的磚頭？有沒有多余的小兔？ 學(xué)生回答后教師說明：一只小兔對著一塊磚，沒有多余的小兔，也沒有多余的磚頭。我們就說：小兔和磚頭同樣多。學(xué)生模仿說一遍。4．圖上還有哪些物體同樣多呢？

（二）操作

1．教師引導(dǎo)學(xué)生擺“同樣多”。

教師擺六塊橡皮后，請學(xué)生對著橡皮擺鉛筆，要求鉛筆和橡皮擺得同樣多。

指1名學(xué)生到投影儀上擺，其他學(xué)生在課桌上擺。最后學(xué)生看自己擺的和投影儀上擺的是否一樣。2．全班學(xué)生獨立擺“同樣多”。

在梨片（5個）下面擺蘋果片，擺的梨片要和蘋果片同樣多。

教師和學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生一起擺弄，以增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。擺好后回答：梨片有幾個？一個蘋果片對著一個梨片??，有沒有多余的？梨片和蘋果片怎樣呢？

（三）教學(xué)“多些、少些” 1．圖上有幾只小豬？一共有幾根木頭？學(xué)生一邊回答教師一邊貼小豬頭圖片、木頭圖片。2．一個小豬頭對著一根木頭比，最后有沒有多余的小豬頭？有沒有多余的木頭？是小豬頭多還是木頭多？誰多誰少？學(xué)生交流后請小組長代表回答。教師板書：多、少。3． 圖上還可以比什么？

二、運用新知

1．第1題：左圖是猴子多，右圖是骨頭多。（避免學(xué)生產(chǎn)生思維定勢）2．第2題：學(xué)生觀察，看到公雞和鴨子雖然擺的一樣長，但疏密不同，進而判斷擺的密的鴨子的只數(shù)多些，而公雞只數(shù)少些。3．第3題：學(xué)生在觀察到第一排蛋糕同樣多的基礎(chǔ)上，只需比較兩盒中的第二排。第二排多的就多些，反之，就少些。

三、總結(jié)

教師：今天我們學(xué)習(xí)了“比一比”，知道在比較時，一定要一個對著一個比，才會得到正確的結(jié)果。

第三講 有關(guān)20以內(nèi)退位減的發(fā)現(xiàn)

教學(xué)目標(biāo)：

1、通過對于計算規(guī)律的總結(jié)和應(yīng)用，讓學(xué)生更準(zhǔn)確、熟練地進行20以內(nèi)退位減的運算。

2、讓學(xué)生初步學(xué)習(xí)有條理的思考，并產(chǎn)生用函數(shù)關(guān)系去解決問題的意識，發(fā)展思維的深度和縝密性，深切體會算法的多元化。教學(xué)重難點：

利用函數(shù)關(guān)系和被減數(shù)個位與差的變化規(guī)律，正確、熟練的進行20以內(nèi)退位減的計算。

教學(xué)準(zhǔn)備：算式卡片、小黑板 方法步驟：

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入： 小朋友，我們在數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)了20以內(nèi)的退位減，用你最喜歡的方法完成下面的練習(xí)。

（1）11－9=（2）17－8= 12－9= 16－8= 13－9= 15－8= 14－9= 14－8= 給學(xué)生1.5分鐘的時間讓其獨立完成。集體交流計算結(jié)果。

二、自主探索

1、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)

仔細觀察每組中的四道減法算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 學(xué)生仔細觀察、獨立思考，然后小組交流。

教師可適當(dāng)?shù)奶岢觯好拷M中的被減數(shù)是怎么變化的？差又是怎么變化的？

分兩組討論，派代表發(fā)言。每組派一名代表仿照例題出題。

教師小結(jié)函數(shù)關(guān)系：當(dāng)減數(shù)不變時，被減數(shù)怎么變化，差就跟著怎么變化。

2、利用發(fā)現(xiàn)一氣呵成

（1）11－9=（2）11－8= 12－9= 12－8= 13－9= 13－8= 14－9= 14－8= 15－9= 15－8= 16－9= 16－8= 17－9= 17－8= 18－9= 讓學(xué)生快速完成，開火車報得數(shù)。

教師小結(jié)：利用上面的發(fā)現(xiàn)，我們可以事半功倍，如果你把每題的第1題給計算錯了，那可就事倍功半了。

3、深入觀察 仔細觀察每一組中被減數(shù)的個位與差的關(guān)系。學(xué)生仔細觀察，指名說出發(fā)現(xiàn)。

引導(dǎo)說出：減數(shù)是9的算式，差總比被減數(shù)的個位上的數(shù)字大1；在減數(shù)是8的算式中，差總比被減數(shù)的個位上的數(shù)字大2。

4、抽象概括

在（）里填上合適的數(shù)字。

1△－9=△+（）① 1△－8=△+（）② 先讓學(xué)生獨立完成，集體交流。

5、討論適用范圍

在哪些條件下我們可以選擇利用函數(shù)關(guān)系幫助我們運算；什么時候利用規(guī)律①②更方便？

三、拓展應(yīng)用

1、在（）里填上合適的數(shù)字。

1△－7=△+（）1△－6=△+（1△－5=△+（）

2、快速口算。

18－9= 11－7= 12－6= 16－9= 13－7= 12－5= 13－9= 16－7= 12－3=）第四講 找規(guī)律畫一畫

教學(xué)目標(biāo)：

1、通過觀察、猜測、實驗、推理等活動發(fā)現(xiàn)圖形的排列規(guī)律。

2、培養(yǎng)學(xué)生的觀察、操作及歸納推理的能力。

3、培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和欣賞數(shù)學(xué)美及運用規(guī)律去創(chuàng)造美的意識。教學(xué)設(shè)計：

一、談話導(dǎo)入新課

老師家準(zhǔn)備裝修，想利用這兩種瓷磚設(shè)計出既漂亮又有規(guī)律的墻面，你能幫老師設(shè)計設(shè)計嗎？

師邊說邊出示兩種圖案設(shè)計的卡片若干。請個別學(xué)生上臺擺一擺。

你能說說你是按照什么規(guī)律擺的嗎？

二、觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律

小東家的廚房裝修得可漂亮了，我們一起來看看。小組交流：小東家的墻面和地面的設(shè)計上，隱藏著規(guī)律，比一比，看誰最快找出來，在小組里交流。小組匯報：說說你找到的規(guī)律。

三、動手操作，創(chuàng)造“規(guī)律”

老師家也想象小東家那樣，用四種瓷磚（用四種學(xué)具圖形）設(shè)計出既美觀，又有規(guī)律的墻面，你能開動腦筋，幫我設(shè)計嗎？ 學(xué)生分組動手操作。

小組展示、匯報：說一說你設(shè)計的圖形有什么規(guī)律。

四、按規(guī)律，畫一畫

指導(dǎo)看書116頁例1：他們之間有什么規(guī)律？先仔細觀察，小組擺一擺再討論。

集體討論。生邊說，師邊演示。

照這樣的規(guī)律排下去，下一組是什么圖形呢？ 請學(xué)生上臺演示，并填寫在書本上。

做一做：請你仔細觀察題目，找出他們排列的規(guī)律，想一想，填出下一組的圖形。

學(xué)生獨立完成，投影講評。

五、練習(xí)反饋

1、完成做一做，說一說你發(fā)現(xiàn)他們之間的什么規(guī)律。

2、二十三第1題：寒假里，小明為自己的房間設(shè)計了一組有趣的圖案，你們瞧

同桌說一說他是按什么規(guī)律設(shè)計的圖案，再獨立完成。

六、課堂小結(jié)

同學(xué)們，上了這節(jié)課，你有什么收獲？有什么疑問嗎？誰能幫助同學(xué)解答這些疑問？

第五講 接著畫

教學(xué)目標(biāo)：

1、通過觀察實例，使學(xué)生初步認識物體或圖形的平移和旋轉(zhuǎn)，并能在方格紙上將圖形平移。

2、通過聯(lián)系生活經(jīng)驗，使學(xué)生體會平移和旋轉(zhuǎn)的特點，培養(yǎng)空間觀念。教學(xué)重點：平移的距離、找出對應(yīng)點。教學(xué)難點：旋轉(zhuǎn)的體會。教學(xué)過程：

一、“搬水”的生活場景，引入新課

錄像引入：一學(xué)生拿純凈水的場面，先是拖動，再是滾動。（1）問：這位學(xué)生在干什么？她是怎么拿的？

（2）其實拖動在數(shù)學(xué)上我們也可以說是平移，滾動也可以說是旋轉(zhuǎn)。（板書課題）

（3）這就是我們今天一起學(xué)習(xí)的：平移和旋轉(zhuǎn)。

二、平移和旋轉(zhuǎn)的認識和區(qū)別

1、出示風(fēng)車

（1）風(fēng)一吹，風(fēng)車就運動了，這樣的運動叫做——旋轉(zhuǎn)。

（2）突然有一天，風(fēng)車壞了，只能是這樣動，這時還能說是旋轉(zhuǎn)嗎？ 那風(fēng)車的運動算是什么呢？

（3）其實自然界的物體的運動的基本形式就是平移和旋轉(zhuǎn)這兩種。

2、出示書本上圖例

（1）你能說說他們各是什么運動嗎？

（2）這口鐘上，下面的鐘擺該屬于平移還是旋轉(zhuǎn)呢？

讓我們一起來做個實驗。

3、旋轉(zhuǎn)實驗

（1）出示一根線，一頭系一小球。

（2）請你拿著線的一頭將物體旋轉(zhuǎn)一周。

旋轉(zhuǎn)三圈；旋轉(zhuǎn)半圈；旋轉(zhuǎn)半圈中的半圈。

（3）師模擬出錯誤的旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生與正確的旋轉(zhuǎn)進行區(qū)別。（4）我們倆的旋轉(zhuǎn)有何不同？

為什么我的這種運動不是旋轉(zhuǎn)？（5）學(xué)生再次體驗旋轉(zhuǎn)，即鐘擺的感覺。

4、辯別：下面哪些是平移，哪些是旋轉(zhuǎn)？

5、在生活中你還遇到過哪些運動是旋轉(zhuǎn)，哪些是平移？小組交流

三、平移運動

1、出示小房圖

（1）動態(tài)演示：小房圖向右平移6格。（2）平移了多少格呢？同桌交流一下。

（3）產(chǎn)生意見分歧，各說說是怎么看的？

（4）慢動作演示，驗證結(jié)果。分析結(jié)果，看對應(yīng)的點。

（5）讓學(xué)生找一找各個對應(yīng)點，說明，物體平移了多少格，得看對應(yīng)點之間的格數(shù)。

板書：對應(yīng)點。

（6）將小房圖向上平移5格。讓學(xué)生說說平移了多少格，為什么？

2、出示金魚圖，火箭圖（1）動態(tài)演示

（2）說說分別平移了多少格。（3）指出：對應(yīng)點。

3、完成想想做做4，說說各圖形平移了多少格。

4、總結(jié)：平移有什么方法嗎？指出：位置變化了，大小，形狀都不變。平移了多少格就看對應(yīng)點之間的格數(shù)。

四、平移運動的畫法

1、將 向右平移五格。

（1）你打算怎么平移？同桌交流一下方法。（2）學(xué)生用自己喜歡的方法畫線段。

2、將 向左平移6格

（1）先交流方法，再動手畫一畫。

（2）師可以適當(dāng)指導(dǎo)一下，找出對應(yīng)點。

3、將 向下平移5格；將 向上平移6格。

4、總結(jié)：畫圖形平移的方法。

五、思考題：

1、將 旋轉(zhuǎn)一周，想像一下會是什么樣的？

2、將 旋轉(zhuǎn)半周，想像一下會是什么樣的？

第六講 數(shù)一數(shù)

活動目標(biāo)：

1、使學(xué)生學(xué)會解決數(shù)線段的問題，掌握有序分類圖形的方法。增強學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。

2、通過活動，培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達能力、初步的觀察推理能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的有序性。

3、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，擴展學(xué)生的視野，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的聯(lián)系，養(yǎng)成善于與同學(xué)合作，共同討論和探索問題的習(xí)慣。重點：學(xué)會數(shù)線段的方法。難點：學(xué)會數(shù)線段的快捷方法?；顒舆^程：

一、談話引入

有句話說得好：上有天堂，下有蘇杭。那么，你們?nèi)ミ^杭州嗎？你們是乘坐什么交通工具去的？

出示：一列火車從義烏到杭州的途中要?？恐T暨、蕭山2個站，按照兩站間的地名不同而設(shè)置票價，有多少種不同的票價？

1、大膽猜測。

2、說說想法。

3、可以畫一條線段，在線段上標(biāo)出4個點，數(shù)數(shù)共有幾條線段。A B C D

4、獨立數(shù)，小組交流。

5、匯報。

（1）以A點為左端點的線段有AB、AC、AD三條，以B點為左端點的線段有BC、BD兩條，以C點為左端點的線段有CD一條，共有3+2+1=6（條）。

（2）AB、BC、CD都是只含有一段的線段，我們把它叫基本線段，有3條；AC和BD是含有兩段的線段，有兩條；AD則是含有三小段的線段，只有一條，所以共有3+2+1=6（條）。

第一種是按A、B、C等一定的順序，依次為左端點，往下數(shù)，即按序數(shù)數(shù)；另一種是按線段的組成不同來數(shù)，即分類數(shù)。

6、“一列火車在從義烏到上海的途中要停靠8個站??”如果再按此法來數(shù)，你有什么想法？是否有什么簡捷的方法呢？下面我們就先來研究數(shù)線段。

二、展開

1、填表

（1）獨立填（2）小組交流，匯成公認的表格（3）匯報

2、探索規(guī)律

從表中你能發(fā)現(xiàn)什么？（1）基本線段數(shù)=點數(shù) — 1（2）第一個加數(shù)剛好比點數(shù)少1，然后每個加數(shù)少1，依次下去，直到1為止。（點數(shù) — 1）+??+2+1（3）線段總條數(shù)就是1到基本線段數(shù)所有自然數(shù)的和。

3、試做。

線段上共有100個點，請問共有多少條線段？ 99+98+97+??+2+1=4950（99+1）x 99 ÷ 2

4、我們用”點數(shù)x基本線段數(shù)÷ 2“的方法更簡便。

三、自主學(xué)習(xí)。

1、試做求票價題

2、圖中有幾條線段，你怎么想出來的？

四、延伸方法，拓寬知識。

1、數(shù)一數(shù)，下列圖中各有幾個角？

2、數(shù)一數(shù)，下列圖中各有幾個三角形？

問：從數(shù)角、數(shù)三角形和剛才的數(shù)線段中，你發(fā)現(xiàn)了什么？

五、課末小結(jié)，畫龍點睛。給本課取個題目。巧在哪里？

第七講 認識角

教學(xué)目標(biāo)：

1．使學(xué)生會辨認直角、銳角和鈍角，能用更準(zhǔn)確的、更具體的數(shù)學(xué)化語言描述生活中的角。

2．培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達能力和動手操作的能力。

3．培養(yǎng)學(xué)生善于觀察、從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的良好習(xí)慣。教學(xué)過程：

一、激趣引入

同學(xué)們，智慧爺爺托老師帶給大家一件禮物，想知道是什么嗎？現(xiàn)在就在你們桌上的盒子里，趕快打開來看一看。不過在看之前智慧爺爺還有個小小的要求，就是看過之后各組要把盒子里的東西按一定的標(biāo)準(zhǔn)分一分，行嗎？好，開始行動。1．各小組倒出來后發(fā)現(xiàn)是相同的卡片上畫著大小不同的角，然后以組試分。

2．小組派代表匯報分的結(jié)果。（一般會分成兩類：直角和其他的角）3．這些是直角，那么，那些是什么角，又有什么特點呢？這節(jié)課我們就一起走進角的皇宮，來研究有關(guān)角的問題。

二、認識銳角和鈍角

1．引導(dǎo)學(xué)生用剛才分出的第二類角與直角比較，看哪些大一些，哪些小一點？

2．小組合作比較大小，然后交流比較方法和結(jié)果。

3．根據(jù)比較結(jié)果再次對盒子中的角進行分類，并且展示分的結(jié)果。4．教師根據(jù)學(xué)生的分類結(jié)果給出各種角的名稱（即銳角與鈍角）以及判斷標(biāo)準(zhǔn)。

5．鼓勵學(xué)生說說教室里或生活中哪里還有銳角或鈍角。

三、組織活動，鞏固認角 1．做角：鼓勵學(xué)生采用多種活動方式做出不同的角鞏固對三種角的認識。

2．找角：引導(dǎo)學(xué)生從實物中找出角并分類放入相應(yīng)的房子里。

四、畫角 1．大家真是愛幫助人的好孩子，這些角為了感謝大家想為自己畫一些像送給大家，你最希望得到什么樣的畫像呢？能試著把你希望得到的畫像畫出來嗎？ 2．學(xué)生獨立嘗試畫出自己喜歡的角，并用三角板上的直角來判斷是哪一類角。

3．展示自己畫的角并交流畫角的方法。

五、拓展活動

同學(xué)們在研究角的過程中，三角板幫了我們的大忙，為了感謝三角板，我們來一起陪它做個游戲，輕松一下，好嗎？ 1．引導(dǎo)學(xué)生用三角板做拼擺圖形的游戲。2．各組交流拼出的是什么圖形，在此圖形中有幾個角，分別是什么角，是由三角板上的哪些角組成？

六、總結(jié)。

第四篇：六年級奧數(shù)教案

思源學(xué)校第二課堂（第六周）

判斷與推理 2 授課人：雍堯

教學(xué)要求:(1)理解邏輯推理的四條基本規(guī)律，學(xué)會運用分析、推理方法解決問題。

(2)培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力.教學(xué)重點:學(xué)會運用分析、推理方法解決問題。

教學(xué)難點: 理解、掌握分析、推理方法。

教學(xué)方法:講解法、圖表法、練習(xí)法。

（一）教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)。

上節(jié)課的習(xí)題例2

二、教學(xué)新課 教學(xué)例3

甲乙丙三人被蒙上眼睛，告訴他們每個人頭上都戴了一頂帽子，帽子的顏色不是紅的就是綠的。然后，就去掉蒙眼睛的布，要求每個人如果看見別人（一個或兩個）戴的是紅帽子就舉手，并且誰能斷定自己頭上帽子的顏色，誰就馬上離開房間。三人碰巧戴的都是紅帽子，因此三個人都舉了手，幾分鐘后，丙首先走開了，他是怎么推導(dǎo)出自己頭上帽子的顏色的？

（1）學(xué)生審題，理解題意。（2）同座位討論。

（3）分析：此題關(guān)鍵：注意到甲乙兩人沒有立即離開房間這個事實。丙推理，我的帽子如果是綠的，甲根據(jù)乙舉手立即知道自己的帽子是紅的，那他應(yīng)走出房間，乙會做同樣的推理離開房間。甲乙不能很快判斷自己帽子的顏色，說明我的帽子不是綠的，而是紅的。（4）說說你的推理過程。

3、比較前面例2例3有什么相同不同之處。

三、鞏固練習(xí)。教學(xué)例4 學(xué)田小學(xué)舉行科技知識競賽，同學(xué)們對一貫刻苦學(xué)習(xí)愛好讀書的四名學(xué)生的成績作了如下估計：（1）丙得第一，乙得第二；

（2）丙得第二，丁得第三；（3）甲得第二，丁得第四。

比賽結(jié)果一公布，果然是這四名學(xué)生獲得前四名。但以上三種估計，每一種都對了一半錯一半。他們各得第幾名？（1）學(xué)生審題，理解題意。（2）同座位討論。（3）分析：利用圖表幫助學(xué)生去推理判斷。

第一種假定“丙第一錯，乙第二對”出現(xiàn)矛盾。照此推理“丙第一對，乙第二錯”沒有出

現(xiàn)矛盾。所以丙第一，甲第二，丁第三，乙第四。（4）每人口述推理過程。

四、小結(jié)。

這節(jié)課你學(xué)會了什么？

第五篇：立體幾何教案奧數(shù)

第九講 立體幾何

知識導(dǎo)航：

在小學(xué)階段，我們除了學(xué)習(xí)習(xí)近平面圖形外，還認識了一些簡單的立體圖形，如長方體、正方體（立方體）、直圓柱體，直圓錐體、球體等，并且知道了它們的體積、表面積的計算公式，歸納如下：

在數(shù)學(xué)競賽中，有許多幾何趣題，解答這些趣題的關(guān)鍵在于精巧的構(gòu)思和恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計，把形象思維和抽象思維結(jié)合起來． 經(jīng)典例題：

例1：下圖是由 18 個邊長為 1 厘米的小正方體拼成的，求它的表面積。

例2：一個圓柱體底面周長和高相等．如果高縮短了 2 厘米，表面積就減少 12.56平方厘米．求這個圓柱體的表面積？

例3：一個正方體形狀的木塊，棱長為 1 米．若沿正方體的三個方向分別鋸成 3 份、4 份和 5 份，如下圖，共得到大大小小的長方體60 塊，這 60 塊長方體的表面積的和是多少平方米？

例4：一個酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），如下圖．已知它的容積

神經(jīng)依舊制作貢獻 為 26.4π立方厘米．當(dāng)瓶子正放時，瓶內(nèi)的酒精的液面高為 6 厘米；瓶子倒放時，空余部分的高為 2 厘米。問：瓶內(nèi)酒精的體積是多少立方厘米？合多少升？

例5：一個稻谷囤，上面是圓錐體，下面是圓柱體（如下圖）．圓柱的底面周長是 9.42 米，高 2 米，圓錐的高是 0.6 米．求這個糧囤的體積是多少立方米？

例6：皮球掉在一個盛有水的圓柱形水桶中。皮球的直徑為 12 厘米，水桶底面直徑為 60 厘米．皮球有一半浸在水中（下圖）．問皮球掉進水中后，水桶的水面升高多少厘米？

例7：下圖所示為一個棱長 6 厘米的正方體，從正方體的底面向內(nèi)挖去一個最

神經(jīng)依舊制作貢獻 大的圓錐體，求剩下的體積是原正方體的百分之幾？

課堂練習(xí)

1、大、中、小三個正方體形的水缸都盛有缸水，它們的內(nèi)邊長分別為 4 分米、3 分米、2 分米．把兩堆碎石分別沉浸在中、小水缸的水中，兩個水池的水面分別升高了 4 厘米和 11 厘米．如果將這兩堆碎石都沉浸在大水缸中，大水缸中水面將升高多少厘米？

2、一根圓柱形鋼材，沿底面直徑割開成兩個相等的半圓柱體，如下圖．已知一個剖面的面積是 960平方厘米，半圓柱的體積是3014.4 立方厘米．求原來鋼材的體積和側(cè)面積．

3、在一只底面直徑是 40 厘米的圓柱形盛水缸里，有一個直徑是10 厘米的圓錐形鑄件完全浸于水中．取出鑄件后，缸里的水下降 0.5厘米，求鑄件的高．

4、在邊長為 4 厘米的正方體木塊的每個面中心打一個邊與正方體的邊平行的洞．洞口是邊長為 1 厘米的正方形，洞深 1 厘米（如下圖）．求挖洞后木塊的表面積和體積．

神經(jīng)依舊制作貢獻

5、如下圖所示一個零件，中間一段是高為 10 厘米，底面半徑為 2 厘米圓柱體，上端是一個半球體，下端是一個圓錐，它的高是 2厘米．求這個零件的體積

6、塑料制的三棱柱形的筒里裝著水（如圖（1）是這個筒的展開圖，圖中數(shù)字單位為厘米）．把這個筒的 A 面作為底面，放在水平桌面上，水面的高度是 2 厘米（如圖（2））問：（1）若把 B 面作為底面，放在水平的桌面上，水面的高度是多少厘米？（2）若把 C 面作為底面，放在水平桌面上，水面高度是多少厘米？

7、有一個圓柱體的零件，高 10 厘米，底面直徑是 6 厘米，零件的一端有一個圓柱形的直孔，如下圖．圓孔的直徑是 4 厘米，孔深5 厘米．如果將這個零件接觸空氣部分涂上防銹漆，一共需涂多少平方厘米？

神經(jīng)依舊制作貢獻