第一篇：小學(xué)奧數(shù)數(shù)數(shù)圖形教案

我是闖關(guān)小達(dá)人

關(guān)卡一：握手游戲

有6個(gè)小朋友，每2人握一次手并且只能握一次手，一共要握幾次手？

關(guān)卡二：你知道怎么算嗎

從青島到上海的直達(dá)列車，中途?？?個(gè)大站,這趟列車共有多少種不同的車票？

關(guān)卡三：和爸爸媽媽合影

如果讓你和爸爸媽媽一起并排站著合影，你知道你們有幾種不同的排列順序嗎？

關(guān)卡四：我不會(huì)上當(dāng)?shù)呐?/p>

老師在黑板上寫下了0,2,4,6這四個(gè)數(shù)字，請(qǐng)同學(xué)們想想它們能組成幾個(gè)三位數(shù)？

數(shù)數(shù)圖形教案 例1：數(shù)一數(shù)，圖中有多少個(gè)銳角？

如何做到不重復(fù)又不遺漏呢？ 第一種方法：列舉法

第二種方法：圖示法

小朋友們，你們發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎？

例2：數(shù)一數(shù)，下面圖形中共有幾個(gè)三角形？

（1）

（2）

方法解析：按照三角形的拼組方式或者形狀的大小將給定的圖形分類數(shù)數(shù)。（1）

（2）

例3：動(dòng)動(dòng)腦，數(shù)數(shù)下圖中有幾個(gè)長(zhǎng)方形？

例4：數(shù)數(shù)下圖中有幾個(gè)正方形？

例5：數(shù)一數(shù)，下圖中的大長(zhǎng)方體是由多少個(gè)小長(zhǎng)方體組成的？

例6：下圖所示的“塔”由四層沒(méi)有縫隙的小立方塊壘成，求塔中共有多少個(gè)小立方塊？

練習(xí)

1.你知道下圖中共有幾個(gè)角嗎？

（1）

（2）

2.數(shù)一數(shù)，下面的圖形有幾條線段？（1）

（2）

3.你知道下圖中共有幾個(gè)三角形嗎？（1）

（2）

4.下面圖形有多少個(gè)長(zhǎng)方形？

（1）

（2）

5.下圖是由小立方塊碼放起來(lái)的，其中有一些小立方體被壓住看不見(jiàn)，請(qǐng)你數(shù)一數(shù)共有多少小立方體？

第二篇：四年級(jí)奧數(shù)-數(shù)數(shù)圖形-教案

四年級(jí)奧數(shù)第十三章《數(shù)數(shù)圖形》教案

教學(xué)目標(biāo)：

1、在學(xué)過(guò)一些基本的幾何圖形的基礎(chǔ)上，通過(guò)觀察掌握數(shù)線段、角、三角形、長(zhǎng)方形的規(guī)律和方法。

2、學(xué)生通知親身體驗(yàn)明白數(shù)圖形時(shí)不重復(fù)、不遺漏的規(guī)律，鍛煉數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。教學(xué)重、難點(diǎn)：

在觀察的基礎(chǔ)上，自己總結(jié)出數(shù)圖形的規(guī)律和方法。教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)：

復(fù)習(xí)以前所學(xué)的數(shù)簡(jiǎn)單的線段、三角形、角的方法。

二、新授：

例1：數(shù)一數(shù)，下圖中有多少條線段？（1）

（2）解答：（1）4＋3＋2＋1=10（條）答：有10個(gè)線段。

（2）6＋5＋4＋3＋2＋1=21（條）答：有21條線段。

總結(jié)：如果線段上有5個(gè)點(diǎn)，就構(gòu)成了4條基本線段，線段總數(shù)為：4＋3＋2＋1這4個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和。以此類推。練習(xí)：

數(shù)線段：師在黑板上畫圖（線段上有8個(gè)點(diǎn)）。

7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=28（條）例2：數(shù)角、數(shù)三角形。

（1）數(shù)角。

（2）數(shù)三角形。

（2）數(shù)三角形。

解答：（1）4＋3＋2＋1=10（個(gè)）答：有10個(gè)角。

（2）4＋3＋2＋1=10（個(gè)）答：有10個(gè)三角形。

（3）（4＋3＋2＋1）×2=20（個(gè)）答：有20個(gè)三角形。總結(jié)：數(shù)角、三角形規(guī)律的數(shù)線段類似。練習(xí)：

數(shù)線段：師在黑板上畫圖（數(shù)角和數(shù)三角形的）。例3：數(shù)長(zhǎng)方形。

（1）

(2)

(3)(3)1 解答：（1）6個(gè) 6=6×1(6=3＋2＋1)（2）18個(gè) 18=6×3(6=3＋2＋1,3=2＋1)（3）60個(gè) 60=10×6(10=4＋3＋2＋1,6=3＋2＋1)總結(jié)：數(shù)長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)可以用公式：

長(zhǎng)邊上的線段數(shù)×寬邊上的線段數(shù)=長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù) 練習(xí)：師在黑板上畫圖（數(shù)長(zhǎng)方形的）。

（如果學(xué)生接受好，還可以補(bǔ)充數(shù)正方形的方法。不過(guò)，數(shù)正方形的方法將在五年級(jí)奧數(shù)里會(huì)學(xué)到。）

方法學(xué)會(huì)了，那么，會(huì)有什么用途呢？接下來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)圖形的應(yīng)用。

例4：從成都到南京的某次快車，中途要停靠9個(gè)站。鐵路局要為這次快車準(zhǔn)備多少種不同的車票？這些車票中有多少種不同的票價(jià)？

分析：這道題實(shí)際上也是數(shù)線段的問(wèn)題。中途要?？?個(gè)站，連同成都、南京兩個(gè)站，共可看作有11個(gè)點(diǎn)，進(jìn)而有10條基本線段，共要準(zhǔn)備

10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=（10＋1）×10÷2=55（種）想一想，上面的計(jì)算運(yùn)用了我們學(xué)過(guò)的什么知識(shí)點(diǎn)？ 答：共要準(zhǔn)備55種不同的車票，共有55種不同的票價(jià)。練習(xí)：P75，第5題、第9題。

作業(yè)：練習(xí)十三：1，2，6，10大題。

第三篇：小學(xué)奧數(shù)教案——圖形與面積

小學(xué)奧數(shù)教案

圖形與面積

一 本講學(xué)習(xí)目標(biāo)

掌握通過(guò)面積公式及其變換解決圖形面積問(wèn)題

二 重點(diǎn)難點(diǎn)考點(diǎn)分析

小學(xué)課堂中出現(xiàn)的面積計(jì)算多是用特殊圖形（正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊行、圖形、三角形等）面積公式來(lái)解決（這些公式在以前的講義中已經(jīng)給大家做了總結(jié)），由此可見(jiàn)面積公式是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)工具，但是在歷屆的小學(xué)希望杯、迎春杯的比賽中出現(xiàn)的幾何問(wèn)題大多僅僅用面積公式是不能解決的，這就需要我們要進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化的方法大體上分兩點(diǎn)：

（1）利用平移、旋轉(zhuǎn)、弦圖、割補(bǔ)法、差不變等技巧解題

（2）利用五大模型之高相等面積比＝底的比（關(guān)鍵高相等：同一個(gè)三角形等高、平行線間的三角形等高）

（3）利用五大模型之相似三角形：相似三角形在我們小學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中常用的就是金字塔和沙漏，對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：

① ②:

三 知識(shí)框架

1.變換位值 2.割補(bǔ)法 3.等積變換

四 例題講解

例1 按照?qǐng)D中的樣子，在一個(gè)平行四邊形紙片上剪去了甲、乙兩個(gè)直角三角形。一直甲三角形的兩

條直角邊分別為2厘米和4厘米，乙三角形的兩條直角邊分別為3厘米和6厘米，求圖中陰影部分的面積。

例2 有紅黃綠三塊大小一樣正方形紙塊，放在一個(gè)底面為正方形的盒內(nèi)，它們之間相互疊合。已知，露在在外面的部分中，紅色面積是20，黃色面積是14，綠色面積是10。求正方形盒底的面積。

例3

例3 如圖所示，在正方形ABCD中，紅色、綠色正方形的面積分別是52和13，且紅綠兩個(gè)正方形有一個(gè)頂點(diǎn)重合。黃色正方形的一個(gè)頂點(diǎn)位于紅色正方形兩條對(duì)角線的焦點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)位于綠色正方形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)。求黃色正方形的面積。

例4 已知正方形的面積是120平方厘米，B、E為正方形邊上的中點(diǎn)，求題中陰影部分的面積是多少平方厘米？

例5 有一個(gè)長(zhǎng)方形，它的長(zhǎng)是寬的4倍，對(duì)角線長(zhǎng)34厘米，求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積。

例6 四個(gè)完全一樣的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形如果小正方形面積是1平方米，大正方形面積是5平方米。那么直角三角的直角邊長(zhǎng)度是多少米？

例7 如圖所示在四邊形ABCD中，線段BC長(zhǎng)為6厘米，角ABC為直角，角BCD為1350，而且點(diǎn)A到邊CD的垂線AE的長(zhǎng)為12厘米。線段ED的長(zhǎng)為5厘米，四邊形ABCD的面積是多少平方厘米？

例8 如圖，有四個(gè)長(zhǎng)方形的面積分別是是1平方厘米、23平方厘米和4平方厘米，組合成一個(gè)大的長(zhǎng)方形，求圖中陰影部分的面積。

例9 如圖，長(zhǎng)方形ABCD被CE、DF分成四塊，一直三塊的面積分別是2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形OFBC的面積是多少平方厘米？

例10 正方形 ABCD 的面積為 1，EFGH 分別是 AB、BC、CD、AD 的四等分點(diǎn)如圖，求陰影部 分的面積？

例11 已知長(zhǎng)方形ABCD的面積是70平方厘米，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G是BC邊上的三等分點(diǎn)，求陰影三角形EHO的面積是多少平方厘米？

例12 如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=20，高為12，并且FM//NH//CD，已知BM=8，CN=5，四邊形EHGH的面積是多少？

五 課堂練習(xí)

如圖，ABCD長(zhǎng)方形中，陰影部分是直角三角形且面積為54，OD的長(zhǎng)是16，OB的長(zhǎng)是9。那么四邊形OECD的面積是多少？

一塊長(zhǎng)方形的草坪（陰影部分），長(zhǎng)是寬的2倍，它的四周圍的總面積是34平方米的1米寬的小路，求草坪總面積。

六 課后作業(yè)

1、照?qǐng)D中的樣子，在一個(gè)正方形的紙板上割去兩個(gè)直角 三角形，求圖中陰影部分的面積。

2、兩塊直角三角形的三角板，直角邊分別是10厘米和6厘米，如下圖那樣重合，求重合部分的面積？

七 勵(lì)志或?qū)W科小故事——阿基米德判斷黃金真假

敘古拉國(guó)王艾希羅交給金匠一塊黃金，讓他做一頂王冠。王冠做成后，國(guó)王拿在手里覺(jué)得有點(diǎn)輕。他懷疑金匠摻了假，可是金匠以腦袋擔(dān)保說(shuō)沒(méi)有，并當(dāng)面拿秤來(lái)稱，結(jié)果與原來(lái)的金塊一樣重。國(guó)王還是有些懷疑，可他又拿不出證據(jù)，于是把阿基米德叫來(lái)，要他來(lái)解決這個(gè)難題。

回家后，阿基米德閉門謝客，冥思苦想，但百思不得其解。一天，他的夫人逼他洗澡。當(dāng)他跳入池中時(shí)，水從池中溢了出來(lái)。阿基米德聽(tīng)到那嘩嘩嘩的流水聲，靈感一下子冒了出來(lái)。他從池中跳出來(lái)，連衣服都沒(méi)穿，就沖到街上，高喊著：“優(yōu)勒加！優(yōu)勒加?。ㄒ鉃榘l(fā)現(xiàn)了）”。夫人這回可真著急了，嘴里嘟囔著“真瘋了，真瘋了”，便隨后追了出去。街上的人不知發(fā)生了什么事，也都跟在后面追著看。

原來(lái)，阿基米德由澡盆溢水找到了解決王冠問(wèn)題的辦法：相同質(zhì)量的相同物質(zhì)泡在水里，溢出的水的體積應(yīng)該相同。如果把王冠放到水了，溢出的水的體積應(yīng)該與相同質(zhì)量的金塊的體積相同，否則王冠里肯定摻有假。阿基為德跑到王宮后立即找來(lái)一盆水，又找來(lái)同樣重量的一塊黃金，一塊白銀，分兩次泡進(jìn)盆里，白銀溢出的水比黃金溢出的幾乎要多一倍，然后他又把王冠和金塊分別泡進(jìn)水盆里，王冠溢出的水比金塊多，顯然王冠的質(zhì)量不等于金塊的質(zhì)量，王冠里肯定摻了假。在鐵的事實(shí)面前，金匠不得不低頭承認(rèn)，王冠里確實(shí)摻了白銀。煩人的王冠之謎終于解開了。

第四篇：小學(xué)奧數(shù)教案——循環(huán)小數(shù)

小學(xué)奧數(shù)教案---循環(huán)小數(shù)

一 本講學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、掌握循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的法則，還要掌握該法則的推導(dǎo)方法——錯(cuò)位相減法；

2、會(huì)進(jìn)行分?jǐn)?shù)與循環(huán)小數(shù)的互化；

3、掌握分?jǐn)?shù)與循環(huán)小數(shù)的混合計(jì)算

二 概念解析

循環(huán)小數(shù)可分為有限循環(huán)小數(shù)，如：1.123123123（不可添加省略號(hào)）和無(wú)限循環(huán)小數(shù)，如：1.123123123……（有省略號(hào)）。前者是有限小數(shù)，后者是無(wú)限小數(shù)。

一、把循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)的規(guī)則

①純循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：將一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)作為分子，分母的各位都是9，9的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，最后能約分的再約分。

②混循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：分子是第二個(gè)循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分的數(shù)字組成的數(shù)與不循環(huán)部分的數(shù)字所組成的數(shù)之差，分母的頭幾位數(shù)字是9，9的個(gè)數(shù)與一個(gè)循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，末幾位是0，0的個(gè)數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。

二、分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)的判斷方法：

①一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中既含有質(zhì)因數(shù)2和5，又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是混循環(huán)小數(shù)。

②一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是純循環(huán)小數(shù)。

三 例題講解

純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)

從小數(shù)點(diǎn)后面第一位就循環(huán)的小數(shù)叫做純循環(huán)小數(shù)。例 把純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)：

從以上例題可以看出，純循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分可以化成分?jǐn)?shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子是一個(gè)循環(huán)節(jié)表示的數(shù)，分母各位上的數(shù)都是9。9的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同。能約分的要約分。

混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)

不是從小數(shù)點(diǎn)后第一位就循環(huán)的小數(shù)叫混循環(huán)小數(shù)。例 把混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)。

（2）先看小數(shù)部分0.353

由以上例題可以看出，一個(gè)混循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分可以化成分?jǐn)?shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子是不循環(huán)部分和一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)減去不循環(huán)部分的數(shù)字組成的數(shù)所得的差，分母就是按一個(gè)循環(huán)節(jié)的位數(shù)寫幾個(gè)9，再在后面按不循環(huán)部分的位數(shù)添寫幾個(gè)0組成的數(shù)．

循環(huán)小數(shù)的四則運(yùn)算

循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)后，循環(huán)小數(shù)的四則運(yùn)算就可以按分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則進(jìn)行。從這種意義上來(lái)講，循環(huán)小數(shù)的四則運(yùn)算和有限小數(shù)四則運(yùn)算一樣，也是分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算。

例1 計(jì)算下面各題：

解：先把循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)后再計(jì)算。

?的運(yùn)算時(shí)，?錯(cuò)寫作3.57，例2 在計(jì)算一個(gè)正數(shù)乘以3.57某同學(xué)誤將3.57結(jié)果與正確答案相差1.4．則正確的乘積結(jié)果是______．

解：設(shè)這個(gè)正數(shù)為x，依題意，得 ?x?3.57?1.4． 3.57??3?因?yàn)?.5757?552?3，90905257x?3x?1.4． 90100所以上述方程可化為3解得x?180．

所以正確的乘積結(jié)果應(yīng)為

??180?322?180?644． 3.5790

例3 計(jì)算下面各題。

分析與解：（1）把循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，再按分?jǐn)?shù)計(jì)算。

（2）可根據(jù)乘法分配律把1.25提出，再計(jì)算。

（3）把循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，根據(jù)乘法分配律和等差數(shù)列求和公式計(jì)算。

第五篇：小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)教案

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）

小學(xué)奧數(shù)

第1講 歸一問(wèn)題與歸總問(wèn)題 第2講 年齡問(wèn)題

第3講 雞兔同籠問(wèn)題與假設(shè)法 第1講 歸一問(wèn)題與歸總問(wèn)題

在解答某些應(yīng)用題時(shí)，常常需要先找出“單一量”，然后以這個(gè)“單一量”為標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)其它條件求出結(jié)果。用這種解題思路解答的應(yīng)用題，稱為歸一問(wèn)題。所謂“單一量”是指單位時(shí)間的工作量、物品的單價(jià)、單位面積的產(chǎn)量、單位時(shí)間所走的路程等。

例1 一種鋼軌，4根共重1900千克，現(xiàn)在有95000千克鋼，可以制造這種鋼軌多少根？（損耗忽略不計(jì)）

分析：以一根鋼軌的重量為單一量。

（1）一根鋼軌重多少千克？

1900÷4＝475（千克）。

（2）95000千克能制造多少根鋼軌？

95000÷475＝200（根）。

解：95000÷（1900÷4）＝200（根）。

答：可以制造200根鋼軌。

例2 王家養(yǎng)了5頭奶牛，7天產(chǎn)牛奶630千克，照這樣計(jì)算，8頭奶牛15天可產(chǎn)牛奶多少千克？

分析：以1頭奶牛1天產(chǎn)的牛奶為單一量。

（1）1頭奶牛1天產(chǎn)奶多少千克？

630÷5÷7＝18（千克）。

（2）8頭奶牛15天可產(chǎn)牛奶多少千克？

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）

18×8×15＝2160（千克）。

解：（630÷5÷7）×8×15=2160（千克）。

答：可產(chǎn)牛奶2160千克。

例3 三臺(tái)同樣的磨面機(jī)2.5時(shí)可以磨面粉2400千克，8臺(tái)這樣的磨面機(jī)磨25600千克面粉需要多少時(shí)間？

分析與解：以1臺(tái)磨面機(jī)1時(shí)磨的面粉為單一量。

（1）1臺(tái)磨面機(jī)1時(shí)磨面粉多少千克？

2400÷3÷2.5=320（千克）。

（2）8臺(tái)磨面機(jī)磨25600千克面粉需要多少小時(shí)？

25600÷320÷8=10（時(shí)）。

綜合列式為

25600÷（2400÷3÷2.5）÷8=10（時(shí)）。

例4 4輛大卡車運(yùn)沙土，7趟共運(yùn)走沙土336噸?，F(xiàn)在有沙土420噸，要求5趟運(yùn)完。問(wèn)：需要增加同樣的卡車多少輛？ 分析與解：以1輛卡車1趟運(yùn)的沙土為單一量。

（1）1輛卡車1趟運(yùn)沙土多少噸？

336÷4÷7=12（噸）。

（2）5趟運(yùn)走420噸沙土需卡車多少輛？

420÷12÷5＝7（輛）。

（3）需要增加多少輛卡車？

7-4＝3（輛）。

綜合列式為

420÷（336÷4÷7）÷5-4＝3（輛）。

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）

與歸一問(wèn)題類似的是歸總問(wèn)題，歸一問(wèn)題是找出“單一量”，而歸總問(wèn)題是找出“總量”，再根據(jù)其它條件求出結(jié)果。所謂“總量”是指總路程、總產(chǎn)量、工作總量、物品的總價(jià)等。

例5 一項(xiàng)工程，8個(gè)人工作15時(shí)可以完成，如果12個(gè)人工作，那么多少小時(shí)可以完成？

分析：（1）工程總量相當(dāng)于1個(gè)人工作多少小時(shí)？

15×8＝120（時(shí)）。

（2）12個(gè)人完成這項(xiàng)工程需要多少小時(shí)？

120÷12＝10（時(shí)）。解：15×8÷12＝10（時(shí)）。

答：12人需10時(shí)完成。

例6 一輛汽車從甲地開往乙地，每小時(shí)行60千米，5時(shí)到達(dá)。若要4時(shí)到達(dá)，則每小時(shí)需要多行多少千米？

分析：從甲地到乙地的路程是一定的，以路程為總量。

（1）從甲地到乙地的路程是多少千米？

60×5=300（千米）。

（2）4時(shí)到達(dá)，每小時(shí)需要行多少千米？

300÷4＝75（千米）。

（3）每小時(shí)多行多少千米？

75－60＝15（千米）。

解：（60×5）÷4——60＝15（千米）。

答：每小時(shí)需要多行15千米。

例7 修一條公路，原計(jì)劃60人工作，80天完成?，F(xiàn)在工作20天后，又增加了30人，這樣剩下的部分再用多少天可以完成？

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）

分析：（1）修這條公路共需要多少個(gè)勞動(dòng)日（總量）？

60×80＝4800（勞動(dòng)日）。

（2）60人工作20天后，還剩下多少勞動(dòng)日？

4800-60×20=3600（勞動(dòng)日）。

（3）剩下的工程增加30人后還需多少天完成？

3600÷（60＋30）=40（天）。

解：（60×80-60×20）÷（60＋30）＝40（天）。

答：再用40天可以完成。

練習(xí)11

1．2臺(tái)拖拉機(jī)4時(shí)耕地20公頃，照這樣速度，5臺(tái)拖拉機(jī)6時(shí)可耕地多少公頃？

2．4臺(tái)織布機(jī)5時(shí)可以織布2600米，24臺(tái)織布機(jī)幾小時(shí)才能織布24960米？

3．一種幻燈機(jī)，5秒鐘可以放映80張片子。問(wèn)：48秒鐘可以放映多少?gòu)埰樱?/p>

4．3臺(tái)抽水機(jī)8時(shí)灌溉水田48公頃，照這樣的速度，5臺(tái)同樣的抽水機(jī)6時(shí)可以灌溉水田多小公頃？

5．平整一塊土地，原計(jì)劃8人平整，每天工作7.5時(shí)，6天可以完成任務(wù)。由于急需播種，要求5天完成，并且增加1人。問(wèn)：每天要工作幾小時(shí)？

6．食堂管理員去農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)買雞蛋，原計(jì)劃按每千克3.00元買35千克。結(jié)果雞蛋價(jià)格下調(diào)了，他用這筆錢多買了2.5千克雞蛋。問(wèn)：雞蛋價(jià)格下調(diào)后是每千克多少元？

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）

7．鍋爐房按照每天4.5噸的用量?jī)?chǔ)備了120天的供暖煤。供暖40天后，由于進(jìn)行了技術(shù)改造，每天能節(jié)約0.9噸煤。問(wèn)：這些煤共可以供暖多少天？

第2講 年齡問(wèn)題

年齡問(wèn)題是一類以“年齡為內(nèi)容”的數(shù)學(xué)應(yīng)用題。

年齡問(wèn)題的主要特點(diǎn)是：二人年齡的差保持不變，它不隨歲月的流逝而改變；二人的年齡隨著歲月的變化，將增或減同一個(gè)自然數(shù)；二人年齡的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長(zhǎng)而發(fā)生變化，年齡增大，倍數(shù)變小。

根據(jù)題目的條件，我們常將年齡問(wèn)題化為“差倍問(wèn)題”、“和差問(wèn)題”、“和倍問(wèn)題”進(jìn)行求解。

例1 兒子今年10歲，5年前母親的年齡是他的6倍，母親今年多少歲？ 分析與解：兒子今年10歲，5年前的年齡為5歲，那么5年前母親的年齡為5×6＝30（歲），因此母親今年是

30＋5=35（歲）。

例2 今年爸爸48歲，兒子20歲，幾年前爸爸的年齡是兒子的5倍？ 分析與解：今年爸爸與兒子的年齡差為“48——20”歲，因?yàn)槎说哪挲g差不隨時(shí)間的變化而改變，所以當(dāng)爸爸的年齡為兒子的5倍時(shí)，兩人的年齡差還是這個(gè)數(shù)，這樣就可以用“差倍問(wèn)題”的解法。當(dāng)爸爸的年齡是兒子年齡的5倍時(shí)，兒子的年齡是

（48——20）÷（5——1）＝7（歲）。

由20－7＝13（歲），推知13年前爸爸的年齡是兒子年齡的5倍。

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）例3 兄弟二人的年齡相差5歲，兄3年后的年齡為弟4年前的3倍。問(wèn)：兄、弟二人今年各多少歲？

分析與解：根據(jù)題意，作示意圖如下：

由上圖可以看出，兄3年后的年齡比弟4年前的年齡大5＋3＋4＝12（歲），由“差倍問(wèn)題”解得，弟4年前的年齡為（5＋3＋4）÷（3－1）＝6（歲）。由此得到

弟今年6＋4＝10（歲），兄今年10＋5＝15（歲）。

例4 今年兄弟二人年齡之和為55歲，哥哥某一年的歲數(shù)與弟弟今年的歲數(shù)相同，那一年哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的2倍，請(qǐng)問(wèn)哥哥今年多少歲？ 分析與解：在哥哥的歲數(shù)是弟弟的歲數(shù)2倍的那一年，若把弟弟歲數(shù)看成一份，那么哥哥的歲數(shù)比弟弟多一份，哥哥與弟弟的年齡差是1份。又因?yàn)槟且荒旮绺鐨q數(shù)與今年弟弟歲數(shù)相等，所以今年弟弟歲數(shù)為2份，今年哥哥歲數(shù)為2＋1=3（份）（見(jiàn)下頁(yè)圖）。

由“和倍問(wèn)題”解得，哥哥今年的歲數(shù)為

55÷(3+2)×3=33(歲)。

例5 哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等，哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲，請(qǐng)問(wèn)二人今年各多少歲？

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）分析與解：由“哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等”可知兄妹二人的年齡差為“4＋5”歲。由“哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲”，可知兄妹二人今年的年齡和為“97——2——8”歲。由“和差問(wèn)題”解得，兄[（97——2——8）＋（4＋5）]÷2＝48（歲），妹[（97——2——8）-（4＋5）]÷2=39（歲）。

例6 1994年父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的4倍。2000年，父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的2倍。問(wèn)：父親出生在哪一年？

分析與解：如果用1段線表示兄弟二人1994年的年齡和，則父親1994年的年齡要用4段線來(lái)表示（見(jiàn)下頁(yè)圖）。

父親在2000年的年齡應(yīng)是4段線再加6歲，而兄弟二人在2000年的年齡之和是1段線再加2×6＝12（歲），它是父親年齡的一半，也就是2段線再加3歲。由

1段＋12歲=2段＋3歲，推知1段是9歲。所以父親1994年的年齡是9×4＝36（歲），他出生于

1994——36＝1958（年）。

例7今年父親的年齡為兒子的年齡的4倍，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍。問(wèn)：父子今年各多少歲？

解法一：假設(shè)父親的年齡一直是兒子年齡的4倍，那么每過(guò)一年兒子增加一歲，父親就要增加4歲。這樣，20年后兒子增加20歲，父親就要增加80歲，比兒子多增加了80－20＝60（歲）。

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）

事實(shí)上，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍，根據(jù)剛才的假設(shè)，多增加的60歲，正好相當(dāng)于20年后兒子年齡的（4——2＝）2倍，因此，今年兒子的年齡為

（20×4－20）÷（4－2）－20＝10（歲），父親今年的年齡為10×4＝40（歲）。

解法二：如果用1段線表示兒子今年的年齡，那么父親今年的年齡要用4段線來(lái)表示（見(jiàn)下圖）。

20年后，父親的年齡應(yīng)是4段線再加上20歲，而兒子的年齡應(yīng)是1段線再加上20歲，是父親年齡的一半，也就是2段線再加上10歲。由

1段＋20=2段＋10，求得1段是10歲，即兒子今年10歲，從而父親今年40歲。例8 今年?duì)敔?8歲，長(zhǎng)孫27歲，次孫23歲，三孫16歲。問(wèn)：幾年后爺爺?shù)哪挲g等于三個(gè)孫子年齡之和？

分析：今年三個(gè)孫子的年齡和為27＋23＋16=66（歲），爺爺比三個(gè)孫子的年齡和多78——66＝12（歲）。每過(guò)一年，爺爺增加一歲，而三個(gè)孫子的年齡和卻要增加1＋1＋1＝3（歲），比爺爺多增加3－1＝2（歲）。因而只需求出12里面有幾個(gè)2即可。

解：[78－（27＋23＋16）]÷（1＋1＋1－1）＝6（年）。

答：6年后爺爺?shù)哪挲g等于三個(gè)孫子年齡的和。

練習(xí)12

1．父親比兒子大30歲，明年父親的年齡是兒子年齡的3倍，那么今年兒子幾歲？

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）

2．王梅比舅舅小19歲，舅舅的年齡比王梅年齡的3倍多1歲。問(wèn)：他們二人各幾歲？

3．小明今年9歲，父親39歲，再過(guò)多少年父親的年齡正好是小明年齡的2倍？

4．父親年齡是女兒的4倍，三年前父女年齡之和是49歲。問(wèn)：父女兩人現(xiàn)在各多少歲？

5．一家三口人，三人年齡之和是74歲，媽媽比爸爸小2歲，媽媽的年齡是兒子年齡的4倍。問(wèn)：三人各是多少歲？

6．今年老師46歲，學(xué)生16歲，幾年后老師年齡的2倍與學(xué)生年齡的5倍相等？

7．已知祖孫三人，祖父和父親年齡的差與父親和孫子年齡的差相同，祖父和孫子年齡之和為82歲，明年祖父的年齡恰好等于孫子年齡的5倍。問(wèn)：祖孫三人各多少歲？

8．小樂(lè)問(wèn)劉老師今年有多少歲，劉老師說(shuō)：“當(dāng)我像你這么大時(shí)，你才3歲；當(dāng)你像我這么大時(shí)，我已經(jīng)42歲了?！蹦隳芩愠鰟⒗蠋熡卸嗌贇q嗎？

第3講 雞兔同籠問(wèn)題與假設(shè)法

雞兔同籠問(wèn)題是按照題目的內(nèi)容涉及到雞與兔而命名的，它是一類有名的中國(guó)古算題。許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題，都可以轉(zhuǎn)化為雞兔同籠問(wèn)題來(lái)加以計(jì)算。

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）

例1 小梅數(shù)她家的雞與兔，數(shù)頭有16個(gè)，數(shù)腳有44只。問(wèn)：小梅家的雞與兔各有多少只？

分析：假設(shè)16只都是雞，那么就應(yīng)該有2×16＝32（只）腳，但實(shí)際上有44只腳，比假設(shè)的情況多了44-32＝12（只）腳，出現(xiàn)這種情況的原因是把兔當(dāng)作雞了。如果我們以同樣數(shù)量的兔去換同樣數(shù)量的雞，那么每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)增加了2只。因此只要算出12里面有幾個(gè)2，就可以求出兔的只數(shù)。

解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有雞16-6＝10（只）。

答：有6只兔，10只雞。

當(dāng)然，我們也可以假設(shè)16只都是兔子，那么就應(yīng)該有4×16＝64（只）腳，但實(shí)際上有44只腳，比假設(shè)的情況少了64－44＝20（只）腳，這是因?yàn)榘央u當(dāng)作兔了。我們以雞去換兔，每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)減少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有幾個(gè)2，就可以求出雞的只數(shù)。

有雞（4×16-44）÷（4-2）=10（只），有兔16——10＝6（只）。

由例1看出，解答雞兔同籠問(wèn)題通常采用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；也可以先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。因此這類問(wèn)題也叫置換問(wèn)題。

例2 100個(gè)和尚140個(gè)饃，大和尚1人分3個(gè)饃，小和尚1人分1個(gè)饃。問(wèn)：大、小和尚各有多少人？

分析與解：本題由中國(guó)古算名題“百僧分饃問(wèn)題”演變而得。如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問(wèn)題，可以用假設(shè)法來(lái)解。

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）

假設(shè)100人全是大和尚，那么共需饃300個(gè)，比實(shí)際多300－140＝160（個(gè)）?，F(xiàn)在以小和尚去換大和尚，每換一個(gè)總?cè)藬?shù)不變，而饃就要減少3——1＝2（個(gè)），因?yàn)?60÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有

100－80＝20（人）。

同樣，也可以假設(shè)100人都是小和尚，同學(xué)們不妨自己試試。

在下面的例題中，我們只給出一種假設(shè)方法。

例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問(wèn)：兩種文化用品各買了多少套？

分析與解：我們?cè)O(shè)想有一只“怪雞”有1個(gè)頭11只腳，一種“怪兔”有1個(gè)頭19只腳，它們共有16個(gè)頭，280只腳。這樣，就將買文化用品問(wèn)題轉(zhuǎn)換成雞兔同籠問(wèn)題了。

假設(shè)買了16套彩色文化用品，則共需19×16＝304（元），比實(shí)際多304——280＝24（元），現(xiàn)在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一套少用19——11＝8（元），所以

買普通文化用品 24÷8=3（套），買彩色文化用品 16－3＝13（套）。

例4 雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問(wèn)：雞、兔各多少只？

分析：假設(shè)100只都是雞，沒(méi)有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數(shù)為零。這樣雞腳比兔腳多200只，而實(shí)際上只多20只，這說(shuō)明假設(shè)的雞腳比兔腳多的數(shù)比實(shí)際上多200——20=180（只）。

現(xiàn)在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就會(huì)減少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，雞100——30＝70（只）。

解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）

有雞100——30=70（只）。

答：有雞70只，兔30只。

例5 現(xiàn)有大、小油瓶共50個(gè)，每個(gè)大瓶可裝油4千克，每個(gè)小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克。問(wèn)：大、小瓶各有多少個(gè)？

分析：本題與例4非常類似，仿照例4的解法即可。解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（個(gè)），大瓶有50-30＝20（個(gè)）。

答：有大瓶20個(gè)，小瓶30個(gè)。

例6 一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？

分析：要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。

利用假設(shè)法，假設(shè)只用36輛小卡車來(lái)裝載這批鋼材，因?yàn)槊枯v大卡車比每輛小卡車多裝4噸，所以要剩下4×36=144（噸）。根據(jù)條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9（輛）小卡車。這樣每輛小卡車能裝144÷9＝16（噸）。由此可求出這批鋼材有多少噸。解：4×36÷（45-36）×45＝720（噸）。

答：這批鋼材有720噸。

例7 樂(lè)樂(lè)百貨商店委托搬運(yùn)站運(yùn)送500只花瓶，雙方商定每只運(yùn)費(fèi)0.24元，但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅不給運(yùn)費(fèi)，而且還要賠償1.26元，結(jié)果搬運(yùn)站共得運(yùn)費(fèi)115.5元。問(wèn)：搬運(yùn)過(guò)程中共打破了幾只花瓶？

分析：假設(shè)500只花瓶在搬運(yùn)過(guò)程中一只也沒(méi)有打破，那么應(yīng)得運(yùn)費(fèi)0.24×500=120（元）。實(shí)際上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）搬運(yùn)站每打破一只花瓶要損失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。

解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。

答：共打破3只花瓶。

例8 小樂(lè)與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。已知小喜比小樂(lè)每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂(lè)共多跳了多少下？

分析與解：利用假設(shè)法，假設(shè)小喜的跳繩速度減少到與小樂(lè)一樣，那么兩人跳的總數(shù)減少了

12×（2＋3）＝60（下）。

可求出小樂(lè)每分鐘跳

（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），小樂(lè)一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小樂(lè)共多跳

780——270×2＝240（下）。練習(xí)13

1．雞、兔共有頭100個(gè)，腳350只，雞、兔各有多少只？

2．學(xué)校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個(gè)學(xué)生進(jìn)行活動(dòng)。問(wèn)：象棋與跳棋各有多少副？

3．班級(jí)購(gòu)買活頁(yè)簿與日記本合計(jì)32本，花錢74元?；铐?yè)簿每本1.9元，日記本每本3.1元。問(wèn)：買活頁(yè)簿、日記本各幾本？

4．龜、鶴共有100個(gè)頭，鶴腿比龜腿多20只。問(wèn)：龜、鶴各幾只？

5．小蕾花40元錢買了14張賀年卡與明信片。賀年卡每張3元5角，明信片每張2元5角。問(wèn)：賀年卡、明信片各買了幾張？

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）

6．一個(gè)工人植樹，晴天每天植樹20棵，雨天每天植樹12棵，他接連幾天共植樹112棵，平均每天植樹14棵。問(wèn)：這幾天中共有幾個(gè)雨天？

7．振興小學(xué)六年級(jí)舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共有20道試題。做對(duì)一題得5分，沒(méi)做或做錯(cuò)一題都要扣3分。小建得了60分，那么他做對(duì)了幾道題？

8．有一批水果，用大筐80只可裝運(yùn)完，用小筐120只也可裝運(yùn)完。已知每只大筐比每只小筐多裝運(yùn)20千克，那么這批水果有多少千克？

9．蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對(duì)翅膀，蟬有6條腿和1對(duì)翅膀。現(xiàn)有三種小蟲共18只，有118條腿和20對(duì)翅膀。問(wèn)：每種小蟲各有幾只？ 10．雞、兔共有腳100只，若將雞換成兔，兔換成雞，則共有腳92只。問(wèn)：雞、兔各幾只？

高冠軍，所以由（1）知乙不是數(shù)學(xué)博士。將上面的結(jié)論依次填入上表，便得到下表：

所以，甲是小畫家和歌唱家，乙是短跑健將和跳高冠軍，丙是數(shù)學(xué)博士和大作家。

例4張明、席輝和李剛在北京、上海和天津工作，他們的職業(yè)是工人、農(nóng)民和教師，已知：（1）張明不在北京工作，席輝不在上海工作；

（2）在北京工作的不是教師；

（3）在上海工作的是工人；

（4）席輝不是農(nóng)民。

問(wèn)：這三人各住哪里？各是什么職業(yè)？

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（四年級(jí)）分析與解：與前面的例題相比，這道題的關(guān)系要復(fù)雜一些，要求我們通過(guò)推理，弄清人物、工作地點(diǎn)、職業(yè)三者之間的關(guān)系。三者的關(guān)系需要兩兩構(gòu)造三個(gè)表，即人物與地點(diǎn)，人物與職業(yè)，地點(diǎn)與職業(yè)三個(gè)表。

我們先將題目條件中所給出的關(guān)系用下面的表來(lái)表示，由條件（1）得到表1，由條件（4）得到表2，由條件（2）（3）得到表3。

因?yàn)楦鞅碇校啃忻苛兄荒苡幸粋€(gè)“√”，所以表（3）可填全為表（4）。

因?yàn)橄x不在上海工作，在上海工作的是工人，所以席輝不是工人，他又不是農(nóng)民，所以席輝是教師。再由表4知，教師住在天津，即席輝住在天津。至此，表1可填全為表5。

對(duì)照表5和表4，得到：張明住在上海是工人，席輝住在天津是教師，李剛住在北京是農(nóng)民。