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      “任意角的三角函數(shù)”教學(xué)反思5篇

      時(shí)間:2019-05-15 03:40:50下載本文作者:會(huì)員上傳
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      第一篇:“任意角的三角函數(shù)”教學(xué)反思

      “任意角的三角函數(shù)”教學(xué)反思

      在進(jìn)行人教版高中數(shù)學(xué)必修(4)1.2.1任意角的三角函數(shù)的的教學(xué)過(guò)程中,我將教材內(nèi)容進(jìn)行整合:首先,讓學(xué)生回顧初中相關(guān)內(nèi)容--銳角三角函數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值等;然后將初中的銳角三角形放到直角坐標(biāo)系中,出現(xiàn)了點(diǎn)的坐標(biāo),鄰、對(duì)、斜變成了橫、縱、r(=OP)。老教材上的定義自然推出;再次,將r特殊化令r=1,新教材上的定義立即出現(xiàn);最后,進(jìn)行定義的應(yīng)用,教材14頁(yè)例1考查新教材定義,例2考查舊教材定義;強(qiáng)化練習(xí)、課堂小結(jié)、布置作業(yè)。課上的很順,自我感覺(jué)良好。但針對(duì)上節(jié)內(nèi)容布置當(dāng)堂作業(yè),卻發(fā)現(xiàn)學(xué)生仍不能很好地理解掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)。過(guò)后,我在備課本的教學(xué)反思處寫(xiě)下了四條教學(xué)反思:

      (1)知識(shí)與能力:這節(jié)課從知識(shí)傳授上看比較成功,三個(gè)問(wèn)題環(huán)環(huán)相扣,但從能力培養(yǎng)上顯得不足,主要是在例題與練習(xí)的處理上,投入的時(shí)間不足,沒(méi)有及時(shí)將知識(shí)內(nèi)化為能力,但通過(guò)作業(yè)和調(diào)研題的講解,師生對(duì)三角函數(shù)概念的理解都有了質(zhì)的飛躍。

      (2)循序漸進(jìn):在題目設(shè)計(jì)上相對(duì)于學(xué)生已有的知識(shí)是難了一點(diǎn),因此出錯(cuò)率高。在今后的教學(xué)中要注意梯度的設(shè)計(jì),跨度不要太大,貼近教材、貼近學(xué)生、貼近實(shí)際。

      (3)教給與教會(huì):這節(jié)課也許是我設(shè)計(jì)得太自然了,臺(tái)階過(guò)密、跨度太小,學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中沒(méi)有遇到陷阱,沒(méi)有產(chǎn)生激烈的思維碰撞,因此,看似順暢,效果不佳。下一步要注意梯度的設(shè)計(jì),臺(tái)階不要過(guò)密,要有一定的思維跨度。

      (4)腳踏實(shí)地:由于教師對(duì)新課改理解不深、盲目跟風(fēng),片面追求課堂氣氛,將“滿(mǎn)堂灌”變成了“滿(mǎn)堂問(wèn)”。學(xué)生為了表現(xiàn)自己,爭(zhēng)搶回答問(wèn)題,失去了對(duì)問(wèn)題的深入思考,致使學(xué)生基礎(chǔ)不扎實(shí)了,計(jì)算器的使用也降低了學(xué)生基本的運(yùn)算能力。在今后的教學(xué)中要切實(shí)抓好落實(shí),把數(shù)學(xué)解題真正落實(shí)到學(xué)生的筆頭上。

      反思是人類(lèi)進(jìn)步的階梯,進(jìn)步其實(shí)就是在沒(méi)有極限的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的矛盾發(fā)展的過(guò)程中點(diǎn)滴積累起來(lái)的。努力讓自己同時(shí)也鼓勵(lì)自己的學(xué)生做生活工作的有心人,發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,在反思中促進(jìn)自身的成長(zhǎng)。

      第二篇:《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思

      《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思

      肥東縣長(zhǎng)臨河中學(xué)趙治龍

      任意角三角函數(shù)的第一節(jié)課,其中心任務(wù)應(yīng)該是讓學(xué)生建立起計(jì)算一個(gè)任意角的三角函數(shù)與其終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系,并在此基礎(chǔ)上初步建立任意角三角函數(shù)概念的意義,《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思。如,計(jì)算方法、定義域、值域、符號(hào)表示、有關(guān)結(jié)論(與點(diǎn)的位置的選取無(wú)關(guān))后,首先提供“坐標(biāo)系”作為腳手架,并引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突—“在坐標(biāo)系下,如何研究一個(gè)任意角的三角函數(shù)?”并以坐標(biāo)系為平臺(tái),有層次的研究隨角的變化,即第一象限下的銳角(認(rèn)識(shí)研究方法的變化,以及符號(hào)表示的變化)——0~2π范圍內(nèi)的角(認(rèn)識(shí)該范圍內(nèi)角的三角函數(shù)的表示方法,特別是值域的變化)——不同象限下終邊相同的角(逐漸形成計(jì)算一個(gè)任意角的三角函數(shù)的操作過(guò)程)。

      銳角三角函數(shù)概念教學(xué)時(shí)如果是先給一個(gè)銳角,再構(gòu)造三角形,而不是象當(dāng)前大多數(shù)教材中采用的直接放在一個(gè)直角三角形下,對(duì)學(xué)生概念的遷移會(huì)更有幫助。

      “任意角和弧度制”,應(yīng)該完成用弧度制表示一個(gè)角α及其終邊相同的角的集合如何表示,會(huì)對(duì)本節(jié)課“任意角的三角函數(shù)”概念的教學(xué)更有意義。

      新教材的教學(xué)理念之一是讓學(xué)生去體驗(yàn)新知識(shí)的發(fā)生過(guò)程,這節(jié)《任意角三角函數(shù)》的教案,主要圍繞這一點(diǎn)來(lái)設(shè)計(jì).到底應(yīng)該怎樣去合理定義任意角的三角函數(shù)呢讓學(xué)生提出自己的想法,同時(shí)讓學(xué)生去辨證這個(gè)想法是否是科學(xué)的因?yàn)橐粋€(gè)概念是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?科學(xué)的,不能隨心所欲地編造,必須去論證它的合理性,至少這種概念不能和銳角三角函數(shù)的定義有所沖突.在這個(gè)立-破的過(guò)程中,讓學(xué)生去體驗(yàn)一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念可能是如何形成,在形成的過(guò)程中可以從哪些角度加以科學(xué)的辯思.這樣也有助于學(xué)生對(duì)任意角三角函數(shù)概念的理解.讓學(xué)生充分體會(huì)在任意角三角函數(shù)定義的推廣中,是如何將直角三角形這個(gè)“形”的問(wèn)題,轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)這個(gè)“數(shù)”的過(guò)程的.培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想.《標(biāo)準(zhǔn)》把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)作為其目標(biāo)之一,在教學(xué)中不僅要突出知識(shí)的來(lái)龍去脈還要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)應(yīng)用實(shí)踐的空間,促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)和實(shí)踐過(guò)程中形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),提高學(xué)生的直覺(jué)猜想、歸納抽象、數(shù)學(xué)地提出、分析、解決問(wèn)題的能力,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí),使其上升為一種數(shù)學(xué)意識(shí),自覺(jué)地對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式作出思考和判斷,教學(xué)反思《《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思》。在解答問(wèn)題的過(guò)程中體驗(yàn)到從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法去觀察生活、分析自然現(xiàn)象、解決實(shí)際問(wèn)題的策略,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)原來(lái)就來(lái)自身邊的現(xiàn)實(shí)世界,是認(rèn)識(shí)和解決我們生活和工作中問(wèn)題的有力武器,同時(shí)也獲得了進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的切身體驗(yàn)和能力。增進(jìn)了他們對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心。

      第三篇:《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思

      《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思

      《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思1

      首先,讓學(xué)生回顧初中相關(guān)內(nèi)容--銳角三角函數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值等;

      然后將初中的銳角三角形放到直角坐標(biāo)系中,出現(xiàn)了點(diǎn)的坐標(biāo),鄰、對(duì)、斜變成了橫、縱、r(r=|op|)。教材上的定義自然推出;

      再次,將r特殊化令r=1,教材上的定義立即出現(xiàn)。

      最后,進(jìn)行定義的應(yīng)用,教材14頁(yè)例1考查新教材定義,例2考查舊教材定義;強(qiáng)化練習(xí)、課堂小結(jié)、布置作業(yè)。課上的很順,自我感覺(jué)良好。

      但接下來(lái)發(fā)生的事卻直得深思,自習(xí)輔導(dǎo)課上針對(duì)上節(jié)內(nèi)容布置當(dāng)堂作業(yè),題目是教材17頁(yè)第一題,當(dāng)堂批閱、統(tǒng)計(jì),出錯(cuò)率20%,我很愕然。立即進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)情調(diào)研:讓學(xué)生每人準(zhǔn)備一張白紙,可以不署名,限時(shí)做教材23頁(yè)A組練習(xí)第二題,當(dāng)堂批閱、統(tǒng)計(jì),出錯(cuò)率60%,真的沒(méi)有想到。

      過(guò)后,我寫(xiě)下了四條教學(xué)反思:

      (1)知識(shí)與能力:

      這節(jié)課從知識(shí)傳授上看比較成功,三個(gè)問(wèn)題環(huán)環(huán)相扣,但從能力培養(yǎng)上顯得不足,主要是在例題與練習(xí)的處理上,投入的時(shí)間不足,沒(méi)有及時(shí)將知識(shí)內(nèi)化為能力,但通過(guò)作業(yè)和調(diào)研題的講解,學(xué)生對(duì)三角函數(shù)概念的理解都有了質(zhì)的飛躍。

      (2)循序漸進(jìn):

      A組練習(xí)二的目的是為了調(diào)研,此題相對(duì)于學(xué)生已有的知識(shí)是難了一點(diǎn),因此出錯(cuò)率高。在今后的教學(xué)中要注意梯度的設(shè)計(jì),跨度不要太大,貼近教材、貼近學(xué)生、貼近實(shí)際。

      (3)教給與教會(huì):

      這節(jié)課也許是我設(shè)計(jì)得太自然了,臺(tái)階過(guò)密、

      跨度太小,學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中沒(méi)有遇到陷阱,沒(méi)有產(chǎn)生激烈的思維碰撞,因此,看似順暢,效果不佳。下一步要注意梯度的設(shè)計(jì),臺(tái)階不要過(guò)密,要有一定的思維跨度

      (4)不可忽視的浮夸風(fēng):

      片面追求課堂氣氛,將“滿(mǎn)堂灌”變成了“滿(mǎn)堂問(wèn)”。學(xué)生為了表現(xiàn)自己,爭(zhēng)搶回答問(wèn)題,失去了對(duì)問(wèn)題的深入思考,致使學(xué)生基礎(chǔ)不扎實(shí)了,計(jì)算器的使用也降低了學(xué)生基本的運(yùn)算能力。

      當(dāng)統(tǒng)計(jì)完調(diào)研題后,我提問(wèn)數(shù)學(xué)課代表,讓他猜測(cè)答對(duì)率,他回答--80%(實(shí)際為40%)。進(jìn)一步表明了學(xué)生過(guò)高估計(jì)自己的解題能力,存在著嚴(yán)重的“浮夸風(fēng)”。在今后的教學(xué)中要切實(shí)抓好落實(shí),把數(shù)學(xué)解題真正落實(shí)到學(xué)生的筆頭上。

      《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思2

      改進(jìn)的設(shè)想:

      (1)回顧任意角、象限角與軸線角的概念。

      (2)回顧銳角三角函數(shù)的定義,有了任意角之后,原來(lái)三角函數(shù)的定義有局限性,需要對(duì)其重新定義,以適用于任意的三角函數(shù)。

      (3)除了銳角的三角函數(shù)外,在其它學(xué)科中有沒(méi)有接觸到一些特殊角的三角函數(shù)值?(意圖是讓學(xué)生說(shuō)出)

      重新定義的原則有哪些?

      ①和諧的原則,新定義應(yīng)該包含以前的定義,即當(dāng)角為銳角時(shí),其定義應(yīng)與前面的三角形邊的比值等價(jià)。由此可以確定,新的定義仍應(yīng)是比值的形式;

      ②傳承的原則,新定義應(yīng)保留舊定義中的一些做法,如可以同樣在角的終邊上任取一點(diǎn)來(lái)定義,且所得結(jié)果應(yīng)與所取點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)。

      ③相容的原則,新定義不能與一些熟悉的結(jié)論相矛盾。如當(dāng)角為鈍角時(shí),其余弦值應(yīng)為負(fù)值。由此可知,新的三角函數(shù)的定義應(yīng)保證所得三角函數(shù)值有正負(fù)之分;

      ④自然的原則,新定義不能出來(lái)得很奇怪,要讓人接受必須順其自然,可在我們前面討論的象限角的基礎(chǔ)上進(jìn)行,換句話說(shuō),老師在給出一個(gè)任意角的時(shí)候,就可以將角直接放在直角坐標(biāo)系下,因?yàn)榍懊嬉延懻撨^(guò)象限角。

      按上述幾個(gè)原則讓學(xué)生自主探究。

      《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思3

      任意角三角函數(shù)的第一節(jié)課,其中心任務(wù)應(yīng)該是讓學(xué)生建立起計(jì)算一個(gè)任意角的三角函數(shù)與其終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系,并在此基礎(chǔ)上初步建立任意角三角函數(shù)概念的意義,《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思。如,計(jì)算方法、定義域、值域、符號(hào)表示、有關(guān)結(jié)論(與點(diǎn)的位置的選取無(wú)關(guān))后,首先提供“坐標(biāo)系”作為腳手架,并引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突—“在坐標(biāo)系下,如何研究一個(gè)任意角的三角函數(shù)?”并以坐標(biāo)系為平臺(tái),有層次的`研究隨角的變化,即第一象限下的銳角(認(rèn)識(shí)研究方法的變化,以及符號(hào)表示的變化)——0~2π范圍內(nèi)的角(認(rèn)識(shí)該范圍內(nèi)角的三角函數(shù)的表示方法,特別是值域的變化)——不同象限下終邊相同的角(逐漸形成計(jì)算一個(gè)任意角的三角函數(shù)的操作過(guò)程)。

      銳角三角函數(shù)概念教學(xué)時(shí)如果是先給一個(gè)銳角,再構(gòu)造三角形,而不是象當(dāng)前大多數(shù)教材中采用的直接放在一個(gè)直角三角形下,對(duì)學(xué)生概念的遷移會(huì)更有幫助。

      “任意角和弧度制”,應(yīng)該完成用弧度制表示一個(gè)角α及其終邊相同的角的集合如何表示,會(huì)對(duì)本節(jié)課“任意角的三角函數(shù)”概念的教學(xué)更有意義。

      新教材的教學(xué)理念之一是讓學(xué)生去體驗(yàn)新知識(shí)的發(fā)生過(guò)程,這節(jié)《任意角三角函數(shù)》的教案,主要圍繞這一點(diǎn)來(lái)設(shè)計(jì).

      到底應(yīng)該怎樣去合理定義任意角的三角函數(shù)呢讓學(xué)生提出自己的想法,同時(shí)讓學(xué)生去辨證這個(gè)想法是否是科學(xué)的因?yàn)橐粋€(gè)概念是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?科學(xué)的,不能隨心所欲地編造,必須去論證它的合理性,至少這種概念不能和銳角三角函數(shù)的定義有所沖突.在這個(gè)立-破的過(guò)程中,讓學(xué)生去體驗(yàn)一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念可能是如何形成,在形成的過(guò)程中可以從哪些角度加以科學(xué)的辯思.這樣也有助于學(xué)生對(duì)任意角三角函數(shù)概念的理解.

      讓學(xué)生充分體會(huì)在任意角三角函數(shù)定義的推廣中,是如何將直角三角形這個(gè)“形”的問(wèn)題,轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)這個(gè)“數(shù)”的過(guò)程的培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想.

      《標(biāo)準(zhǔn)》把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)作為其目標(biāo)之一,在教學(xué)中不僅要突出知識(shí)的來(lái)龍去脈還要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)應(yīng)用實(shí)踐的空間,促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)和實(shí)踐過(guò)程中形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),提高學(xué)生的直覺(jué)猜想、歸納抽象、數(shù)學(xué)地提出、分析、解決問(wèn)題的能力,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí),使其上升為一種數(shù)學(xué)意識(shí),自覺(jué)地對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式作出思考和判斷,教學(xué)反思《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思》。在解答問(wèn)題的過(guò)程中體驗(yàn)到從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法去觀察生活、分析自然現(xiàn)象、解決實(shí)際問(wèn)題的策略,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)原來(lái)就來(lái)自身邊的現(xiàn)實(shí)世界,是認(rèn)識(shí)和解決我們生活和工作中問(wèn)題的有力武器,同時(shí)也獲得了進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的切身體驗(yàn)和能力。增進(jìn)了他們對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心。

      《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思4

      三角函數(shù)的教學(xué)中,要充分發(fā)揮單位圓的作用,并且要注意逐漸使學(xué)生形成用單位圓討論三角函數(shù)問(wèn)題的意識(shí)和習(xí)慣,引導(dǎo)學(xué)生自主地用單位圓探索三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),提高分析和解決問(wèn)題的能力。在我們的教學(xué)中可以注意以下幾點(diǎn):

      (1)進(jìn)行定義的應(yīng)用,教材14頁(yè)例1考查新教材定義,例2考查舊教材定義;強(qiáng)化練習(xí)、課堂小結(jié)、布置作業(yè)。課上的很順,自我感覺(jué)良好。但接下來(lái)發(fā)生的事卻直得深思,自習(xí)輔導(dǎo)課上針對(duì)上節(jié)內(nèi)容布置當(dāng)堂作業(yè),題目是教材17頁(yè)第一題,當(dāng)堂批閱、統(tǒng)計(jì),出錯(cuò)率20%,我很愕然。立即進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)情調(diào)研:讓學(xué)生每人準(zhǔn)備一張白紙,可以不署名,限時(shí)做教材23頁(yè)A組練習(xí)第二題,當(dāng)堂批閱、統(tǒng)計(jì),出錯(cuò)率60%,真的沒(méi)有想到。

      (2)這節(jié)課從知識(shí)傳授上看比較成功,三個(gè)問(wèn)題環(huán)環(huán)相扣,但從能力培養(yǎng)上顯得不足,主要是在例題與練習(xí)的處理上,投入的時(shí)間不足,沒(méi)有及時(shí)將知識(shí)內(nèi)化為能力,但通過(guò)作業(yè)和調(diào)研題的講解,師生對(duì)三角函數(shù)概念的理解都有了質(zhì)的飛躍。

      (3)例題2變式的目的是為了調(diào)研,此題相對(duì)于學(xué)生已有的知識(shí)是難了一點(diǎn),因此出錯(cuò)率高。在今后的教學(xué)中要注意梯度的設(shè)計(jì),跨度不要太大,貼近教材、貼近學(xué)生、貼近實(shí)際。

      (4)這節(jié)課也許是我設(shè)計(jì)得太自然了,臺(tái)階過(guò)密、跨度太小,學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中沒(méi)有遇到陷阱,沒(méi)有產(chǎn)生激烈的思維碰撞,因此,看似順暢,效果不佳。下一步要注意梯度的設(shè)計(jì),臺(tái)階不要過(guò)密,要有一定的思維跨度。

      寫(xiě)在最后,多媒體給中學(xué)教學(xué)帶來(lái)了新工具,但同時(shí)也滋生了盲目跟風(fēng),個(gè)別教師對(duì)新課改理解不深、片面追求課堂氣氛,將“滿(mǎn)堂灌”變成了“滿(mǎn)堂問(wèn)”。學(xué)生為了表現(xiàn)自己,爭(zhēng)搶回答問(wèn)題,失去了對(duì)問(wèn)題的深入思考,致使學(xué)生基礎(chǔ)不扎實(shí),進(jìn)一步表明過(guò)高估計(jì)自己的解題能力,存在著嚴(yán)重的“浮夸風(fēng)”。在今后的教學(xué)中要切實(shí)抓好落實(shí),把數(shù)學(xué)解題真正落實(shí)到學(xué)生的筆頭上。

      《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思5

      任意角的三角函數(shù)是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課,是本章的基礎(chǔ)。因此本節(jié)課的重點(diǎn)放在了任意角的三角函數(shù)的理解上。在本節(jié)課的開(kāi)頭以學(xué)生所熟悉的直角三角形的銳角入手,引導(dǎo)學(xué)生嘗試探究,逐步深入,引出任意三角函數(shù)的定義,以問(wèn)題的形式鞏固深化任意角三角函數(shù)值的計(jì)算。引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過(guò)程,讓學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)與社會(huì)的聯(lián)系,新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。

      通過(guò)任意角三角函數(shù)的定義,啟發(fā)學(xué)生找到各個(gè)三角函數(shù)在每個(gè)象限的符號(hào)以及在坐標(biāo)軸上的值。并用“一全正,二正弦,三余弦,四正切”這一句話來(lái)概括了各個(gè)象限的符號(hào)。

      在例題的設(shè)置上,例1是已知一個(gè)角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo),求這個(gè)角的三個(gè)三角函數(shù)值。通過(guò)這個(gè)例題的練習(xí),讓學(xué)生更好地鞏固了任意三角函數(shù)的定義,會(huì)求任意一個(gè)角的三角函數(shù)。例2和例3的設(shè)置是讓學(xué)生進(jìn)一步熟記各個(gè)三角函數(shù)在每個(gè)象限的范圍以及坐標(biāo)軸上的值。例4是把幾個(gè)三角函數(shù)組合在一起,形成一個(gè)新的函數(shù),結(jié)合函數(shù)的表達(dá)形式求定義域,能夠讓學(xué)生反過(guò)來(lái)已知三角函數(shù)值的符號(hào)去判斷角的大小。四個(gè)立體的設(shè)置讓學(xué)生更好地掌握任意角的三角函數(shù),為以后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

      《對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)》這節(jié)課再次利用學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)時(shí)的細(xì)胞分裂例子,從研究指數(shù)函數(shù)的反面入手,已知了分裂后的個(gè)數(shù)求分裂的次數(shù),由此引出了對(duì)數(shù)函數(shù)的概念。把對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)相對(duì)比能夠發(fā)現(xiàn)它們的定義域和值域相互交換,它們互為反函數(shù)。用描點(diǎn)法畫(huà)出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象,再仿照研究指數(shù)函數(shù)的方法讓學(xué)生自主地去探究對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域,值域,定點(diǎn),單調(diào)性,函數(shù)值的分布等各個(gè)性質(zhì)。教給學(xué)生方法比教給學(xué)生知識(shí)更重要。通過(guò)類(lèi)比,以舊引新,自然過(guò)渡到本節(jié)的學(xué)習(xí),用研究指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的方法來(lái)研究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)。在教學(xué)過(guò)程中,引導(dǎo)學(xué)生確定探究問(wèn)題、探究方向和探究步驟,確保了探究的有效性;讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖、觀察圖象,啟發(fā)學(xué)生思考、實(shí)驗(yàn)、分析、歸納,注重探究的過(guò)程與方法。讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人,學(xué)會(huì)學(xué)習(xí),學(xué)到“對(duì)比聯(lián)系”、“數(shù)形結(jié)合”及“分類(lèi)討論”的思想方法。

      例題的設(shè)置主要就是圍繞對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)??傋罨镜亩x域和值域開(kāi)始。再用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性去比較兩個(gè)對(duì)數(shù)的大小以及解對(duì)數(shù)形式的不等式。對(duì)數(shù)函數(shù)是函數(shù)中的一種,因此,例5后的練習(xí)把對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)結(jié)合在了一起,并且加上了一個(gè)參數(shù),根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)去討論參數(shù)的取值范圍。通過(guò)這些例題的練習(xí)使學(xué)生加深了對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的理解。

      《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思6

      任意角三角函數(shù)的第一節(jié)課,其中心任務(wù)應(yīng)該是讓學(xué)生建立起計(jì)算一個(gè)任意角的三角函數(shù)與其終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系,并在此基礎(chǔ)上初步建立任意角三角函數(shù)概念的意義,《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思。如,計(jì)算方法、定義域、值域、符號(hào)表示、有關(guān)結(jié)論(與點(diǎn)的位置的選取無(wú)關(guān))后,首先提供“坐標(biāo)系”作為腳手架,并引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突—“在坐標(biāo)系下,如何研究一個(gè)任意角的三角函數(shù)?”并以坐標(biāo)系為平臺(tái),有層次的研究隨角的變化,即第一象限下的銳角(認(rèn)識(shí)研究方法的變化,以及符號(hào)表示的變化)——0~2π范圍內(nèi)的角(認(rèn)識(shí)該范圍內(nèi)角的三角函數(shù)的表示方法,特別是值域的變化)——不同象限下終邊相同的角(逐漸形成計(jì)算一個(gè)任意角的三角函數(shù)的操作過(guò)程)。

      銳角三角函數(shù)概念教學(xué)時(shí)如果是先給一個(gè)銳角,再構(gòu)造三角形,而不是象當(dāng)前大多數(shù)教材中采用的直接放在一個(gè)直角三角形下,對(duì)學(xué)生概念的遷移會(huì)更有幫助。

      “任意角和弧度制”,應(yīng)該完成用弧度制表示一個(gè)角α及其終邊相同的角的集合如何表示,會(huì)對(duì)本節(jié)課“任意角的三角函數(shù)”概念的教學(xué)更有意義。

      新教材的教學(xué)理念之一是讓學(xué)生去體驗(yàn)新知識(shí)的發(fā)生過(guò)程,這節(jié)《任意角三角函數(shù)》的教案,主要圍繞這一點(diǎn)來(lái)設(shè)計(jì)。

      到底應(yīng)該怎樣去合理定義任意角的三角函數(shù)呢讓學(xué)生提出自己的想法,同時(shí)讓學(xué)生去辨證這個(gè)想法是否是科學(xué)的因?yàn)橐粋€(gè)概念是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模茖W(xué)的,不能隨心所欲地編造,必須去論證它的合理性,至少這種概念不能和銳角三角函數(shù)的定義有所沖突。在這個(gè)立—破的過(guò)程中,讓學(xué)生去體驗(yàn)一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念可能是如何形成,在形成的過(guò)程中可以從哪些角度加以科學(xué)的辯思。這樣也有助于學(xué)生對(duì)任意角三角函數(shù)概念的理解。

      讓學(xué)生充分體會(huì)在任意角三角函數(shù)定義的推廣中,是如何將直角三角形這個(gè)“形”的問(wèn)題,轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)這個(gè)“數(shù)”的過(guò)程的。培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想。

      《標(biāo)準(zhǔn)》把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)作為其目標(biāo)之一,在教學(xué)中不僅要突出知識(shí)的。來(lái)龍去脈還要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)應(yīng)用實(shí)踐的空間,促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)和實(shí)踐過(guò)程中形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),提高學(xué)生的直覺(jué)猜想、歸納抽象、數(shù)學(xué)地提出、分析、解決問(wèn)題的能力,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí),使其上升為一種數(shù)學(xué)意識(shí),自覺(jué)地對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式作出思考和判斷,教學(xué)反思《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思》。在解答問(wèn)題的過(guò)程中體驗(yàn)到從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法去觀察生活、分析自然現(xiàn)象、解決實(shí)際問(wèn)題的策略,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)原來(lái)就來(lái)自身邊的現(xiàn)實(shí)世界,是認(rèn)識(shí)和解決我們生活和工作中問(wèn)題的有力武器,同時(shí)也獲得了進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的切身體驗(yàn)和能力。增進(jìn)了他們對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心。

      《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思7

      改進(jìn)的設(shè)想:

      (1)回顧任意角、象限角與軸線角的概念.

      (2)回顧銳角三角函數(shù)的定義,有了任意角之后,原來(lái)三角函數(shù)的定義有局限性,需要對(duì)其重新定義,以適用于任意的三角函數(shù).

      (3)除了銳角的三角函數(shù)外,在其它學(xué)科中有沒(méi)有接觸到一些特殊角的三角函數(shù)值?(意圖是讓學(xué)生說(shuō)出)

      重新定義的原則有哪些?

      ①和諧的原則,新定義應(yīng)該包含以前的定義,即當(dāng)角為銳角時(shí),其定義應(yīng)與前面的三角形邊的比值等價(jià).由此可以確定,新的定義仍應(yīng)是比值的形式;

      ②傳承的原則,新定義應(yīng)保留舊定義中的一些做法,如可以同樣在角的終邊上任取一點(diǎn)來(lái)定義,且所得結(jié)果應(yīng)與所取點(diǎn)的位置無(wú)關(guān).

      ③相容的原則,新定義不能與一些熟悉的結(jié)論相矛盾.如當(dāng)角為鈍角時(shí),其余弦值應(yīng)為負(fù)值.由此可知,新的三角函數(shù)的定義應(yīng)保證所得三角函數(shù)值有正負(fù)之分;

      ④自然的原則,新定義不能出來(lái)得很奇怪,要讓人接受必須順其自然,可在我們前面討論的象限角的基礎(chǔ)上進(jìn)行,換句話說(shuō),老師在給出一個(gè)任意角的時(shí)候,就可以將角直接放在直角坐標(biāo)系下,因?yàn)榍懊嬉延懻撨^(guò)象限角.

      按上述幾個(gè)原則讓學(xué)生自主探究.

      第四篇:任意角的三角函數(shù)教學(xué)反思

      任意角的三角函數(shù)教學(xué)反思

      任意角的三角函數(shù)教學(xué)反思1

      首先,讓學(xué)生回顧初中相關(guān)內(nèi)容--銳角三角函數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值等;

      然后將初中的銳角三角形放到直角坐標(biāo)系中,出現(xiàn)了點(diǎn)的坐標(biāo),鄰、對(duì)、斜變成了橫、縱、r(r=|op|)。教材上的定義自然推出;

      再次,將r特殊化令r=1,教材上的定義立即出現(xiàn)。

      最后,進(jìn)行定義的應(yīng)用,教材14頁(yè)例1考查新教材定義,例2考查舊教材定義;強(qiáng)化練習(xí)、課堂小結(jié)、布置作業(yè)。課上的很順,自我感覺(jué)良好。

      但接下來(lái)發(fā)生的事卻直得深思,自習(xí)輔導(dǎo)課上針對(duì)上節(jié)內(nèi)容布置當(dāng)堂作業(yè),題目是教材17頁(yè)第一題,當(dāng)堂批閱、統(tǒng)計(jì),出錯(cuò)率20%,我很愕然。立即進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)情調(diào)研:讓學(xué)生每人準(zhǔn)備一張白紙,可以不署名,限時(shí)做教材23頁(yè)A組練習(xí)第二題,當(dāng)堂批閱、統(tǒng)計(jì),出錯(cuò)率60%,真的沒(méi)有想到。

      過(guò)后,我寫(xiě)下了四條教學(xué)反思:

      (1)知識(shí)與能力:

      這節(jié)課從知識(shí)傳授上看比較成功,三個(gè)問(wèn)題環(huán)環(huán)相扣,但從能力培養(yǎng)上顯得不足,主要是在例題與練習(xí)的'處理上,投入的時(shí)間不足,沒(méi)有及時(shí)將知識(shí)內(nèi)化為能力,但通過(guò)作業(yè)和調(diào)研題的講解,學(xué)生對(duì)三角函數(shù)概念的理解都有了質(zhì)的飛躍。

      (2)循序漸進(jìn):

      A組練習(xí)二的目的是為了調(diào)研,此題相對(duì)于學(xué)生已有的知識(shí)是難了一點(diǎn),因此出錯(cuò)率高。在今后的教學(xué)中要注意梯度的設(shè)計(jì),跨度不要太大,貼近教材、貼近學(xué)生、貼近實(shí)際。

      (3)教給與教會(huì):

      這節(jié)課也許是我設(shè)計(jì)得太自然了,臺(tái)階過(guò)密、

      跨度太小,學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中沒(méi)有遇到陷阱,沒(méi)有產(chǎn)生激烈的思維碰撞,因此,看似順暢,效果不佳。下一步要注意梯度的設(shè)計(jì),臺(tái)階不要過(guò)密,要有一定的思維跨度。

      (4)不可忽視的浮夸風(fēng):

      片面追求課堂氣氛,將“滿(mǎn)堂灌”變成了“滿(mǎn)堂問(wèn)”。學(xué)生為了表現(xiàn)自己,爭(zhēng)搶回答問(wèn)題,失去了對(duì)問(wèn)題的深入思考,致使學(xué)生基礎(chǔ)不扎實(shí)了,計(jì)算器的使用也降低了學(xué)生基本的運(yùn)算能力。

      當(dāng)統(tǒng)計(jì)完調(diào)研題后,我提問(wèn)數(shù)學(xué)課代表,讓他猜測(cè)答對(duì)率,他回答--80%(實(shí)際為40%)。進(jìn)一步表明了學(xué)生過(guò)高估計(jì)自己的解題能力,存在著嚴(yán)重的“浮夸風(fēng)”。在今后的教學(xué)中要切實(shí)抓好落實(shí),把數(shù)學(xué)解題真正落實(shí)到學(xué)生的筆頭上。

      任意角的三角函數(shù)教學(xué)反思2

      任意角的三角函數(shù)是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課,是本章的基礎(chǔ)。因此本節(jié)課的重點(diǎn)放在了任意角的三角函數(shù)的理解上。在本節(jié)課的開(kāi)頭以學(xué)生所熟悉的直角三角形的銳角入手,引導(dǎo)學(xué)生嘗試探究,逐步深入,引出任意三角函數(shù)的定義,以問(wèn)題的形式鞏固深化任意角三角函數(shù)值的計(jì)算。引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過(guò)程,讓學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)與社會(huì)的聯(lián)系,新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。

      通過(guò)任意角三角函數(shù)的定義,啟發(fā)學(xué)生找到各個(gè)三角函數(shù)在每個(gè)象限的符號(hào)以及在坐標(biāo)軸上的值。并用“一全正,二正弦,三余弦,四正切”這一句話來(lái)概括了各個(gè)象限的符號(hào)。

      在例題的設(shè)置上,例1是已知一個(gè)角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo),求這個(gè)角的三個(gè)三角函數(shù)值。通過(guò)這個(gè)例題的練習(xí),讓學(xué)生更好地鞏固了任意三角函數(shù)的定義,會(huì)求任意一個(gè)角的三角函數(shù)。例2和例3的設(shè)置是讓學(xué)生進(jìn)一步熟記各個(gè)三角函數(shù)在每個(gè)象限的范圍以及坐標(biāo)軸上的值。例4是把幾個(gè)三角函數(shù)組合在一起,形成一個(gè)新的函數(shù),結(jié)合函數(shù)的表達(dá)形式求定義域,能夠讓學(xué)生反過(guò)來(lái)已知三角函數(shù)值的符號(hào)去判斷角的大小。四個(gè)立體的設(shè)置讓學(xué)生更好地掌握任意角的三角函數(shù),為以后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

      《對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)》這節(jié)課再次利用學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)時(shí)的細(xì)胞分裂例子,從研究指數(shù)函數(shù)的反面入手,已知了分裂后的個(gè)數(shù)求分裂的次數(shù),由此引出了對(duì)數(shù)函數(shù)的概念。把對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)相對(duì)比能夠發(fā)現(xiàn)它們的定義域和值域相互交換,它們互為反函數(shù)。用描點(diǎn)法畫(huà)出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象,再仿照研究指數(shù)函數(shù)的方法讓學(xué)生自主地去探究對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域,值域,定點(diǎn),單調(diào)性,函數(shù)值的分布等各個(gè)性質(zhì)。教給學(xué)生方法比教給學(xué)生知識(shí)更重要。通過(guò)類(lèi)比,以舊引新,自然過(guò)渡到本節(jié)的`學(xué)習(xí),用研究指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的方法來(lái)研究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)。在教學(xué)過(guò)程中,引導(dǎo)學(xué)生確定探究問(wèn)題、探究方向和探究步驟,確保了探究的有效性;讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖、觀察圖象,啟發(fā)學(xué)生思考、實(shí)驗(yàn)、分析、歸納,注重探究的過(guò)程與方法。讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人,學(xué)會(huì)學(xué)習(xí),學(xué)到“對(duì)比聯(lián)系”、“數(shù)形結(jié)合”及“分類(lèi)討論”的思想方法。

      例題的設(shè)置主要就是圍繞對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)??傋罨镜亩x域和值域開(kāi)始。再用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性去比較兩個(gè)對(duì)數(shù)的大小以及解對(duì)數(shù)形式的不等式。對(duì)數(shù)函數(shù)是函數(shù)中的一種,因此,例5后的練習(xí)把對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)結(jié)合在了一起,并且加上了一個(gè)參數(shù),根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)去討論參數(shù)的取值范圍。通過(guò)這些例題的練習(xí)使學(xué)生加深了對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的理解。

      任意角的三角函數(shù)教學(xué)反思3

      改進(jìn)的設(shè)想:

      (1)回顧任意角、象限角與軸線角的概念.

      (2)回顧銳角三角函數(shù)的定義,有了任意角之后,原來(lái)三角函數(shù)的定義有局限性,需要對(duì)其重新定義,以適用于任意的三角函數(shù).

      (3)除了銳角的三角函數(shù)外,在其它學(xué)科中有沒(méi)有接觸到一些特殊角的三角函數(shù)值?(意圖是讓學(xué)生說(shuō)出)

      重新定義的原則有哪些?

      ①和諧的原則,新定義應(yīng)該包含以前的定義,即當(dāng)角為銳角時(shí),其定義應(yīng)與前面的三角形邊的'比值等價(jià).由此可以確定,新的定義仍應(yīng)是比值的形式;

      ②傳承的原則,新定義應(yīng)保留舊定義中的一些做法,如可以同樣在角的終邊上任取一點(diǎn)來(lái)定義,且所得結(jié)果應(yīng)與所取點(diǎn)的位置無(wú)關(guān).

      ③相容的原則,新定義不能與一些熟悉的結(jié)論相矛盾.如當(dāng)角為鈍角時(shí),其余弦值應(yīng)為負(fù)值.由此可知,新的三角函數(shù)的定義應(yīng)保證所得三角函數(shù)值有正負(fù)之分;

      ④自然的原則,新定義不能出來(lái)得很奇怪,要讓人接受必須順其自然,可在我們前面討論的象限角的基礎(chǔ)上進(jìn)行,換句話說(shuō),老師在給出一個(gè)任意角的時(shí)候,就可以將角直接放在直角坐標(biāo)系下,因?yàn)榍懊嬉延懻撨^(guò)象限角.

      按上述幾個(gè)原則讓學(xué)生自主探究.

      任意角的三角函數(shù)教學(xué)反思4

      任意角三角函數(shù)的第一節(jié)課,其中心任務(wù)應(yīng)該是讓學(xué)生建立起計(jì)算一個(gè)任意角的三角函數(shù)與其終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系,并在此基礎(chǔ)上初步建立任意角三角函數(shù)概念的意義,《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思。如,計(jì)算方法、定義域、值域、符號(hào)表示、有關(guān)結(jié)論(與點(diǎn)的位置的.選取無(wú)關(guān))后,首先提供“坐標(biāo)系”作為腳手架,并引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突—“在坐標(biāo)系下,如何研究一個(gè)任意角的三角函數(shù)?”并以坐標(biāo)系為平臺(tái),有層次的研究隨角的變化,即第一象限下的銳角(認(rèn)識(shí)研究方法的變化,以及符號(hào)表示的變化)——0~2π范圍內(nèi)的角(認(rèn)識(shí)該范圍內(nèi)角的三角函數(shù)的表示方法,特別是值域的變化)——不同象限下終邊相同的角(逐漸形成計(jì)算一個(gè)任意角的三角函數(shù)的操作過(guò)程)。

      銳角三角函數(shù)概念教學(xué)時(shí)如果是先給一個(gè)銳角,再構(gòu)造三角形,而不是象當(dāng)前大多數(shù)教材中采用的直接放在一個(gè)直角三角形下,對(duì)學(xué)生概念的遷移會(huì)更有幫助。

      任意角的三角函數(shù)教學(xué)反思5

      三角函數(shù)的教學(xué)中,要充分發(fā)揮單位圓的作用,并且要注意逐漸使學(xué)生形成用單位圓討論三角函數(shù)問(wèn)題的意識(shí)和習(xí)慣,引導(dǎo)學(xué)生自主地用單位圓探索三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),提高分析和解決問(wèn)題的能力。在我們的教學(xué)中可以注意以下幾點(diǎn):

      (1)進(jìn)行定義的應(yīng)用,教材14頁(yè)例1考查新教材定義,例2考查舊教材定義;強(qiáng)化練習(xí)、課堂小結(jié)、布置作業(yè)。課上的很順,自我感覺(jué)良好。但接下來(lái)發(fā)生的事卻直得深思,自習(xí)輔導(dǎo)課上針對(duì)上節(jié)內(nèi)容布置當(dāng)堂作業(yè),題目是教材17頁(yè)第一題,當(dāng)堂批閱、統(tǒng)計(jì),出錯(cuò)率20%,我很愕然。立即進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)情調(diào)研:讓學(xué)生每人準(zhǔn)備一張白紙,可以不署名,限時(shí)做教材23頁(yè)A組練習(xí)第二題,當(dāng)堂批閱、統(tǒng)計(jì),出錯(cuò)率60%,真的沒(méi)有想到。

      (2)這節(jié)課從知識(shí)傳授上看比較成功,三個(gè)問(wèn)題環(huán)環(huán)相扣,但從能力培養(yǎng)上顯得不足,主要是在例題與練習(xí)的處理上,投入的時(shí)間不足,沒(méi)有及時(shí)將知識(shí)內(nèi)化為能力,但通過(guò)作業(yè)和調(diào)研題的講解,師生對(duì)三角函數(shù)概念的理解都有了質(zhì)的飛躍。

      (3)例題2變式的目的是為了調(diào)研,此題相對(duì)于學(xué)生已有的知識(shí)是難了一點(diǎn),因此出錯(cuò)率高。在今后的'教學(xué)中要注意梯度的設(shè)計(jì),跨度不要太大,貼近教材、貼近學(xué)生、貼近實(shí)際。

      (4)這節(jié)課也許是我設(shè)計(jì)得太自然了,臺(tái)階過(guò)密、跨度太小,學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中沒(méi)有遇到陷阱,沒(méi)有產(chǎn)生激烈的思維碰撞,因此,看似順暢,效果不佳。下一步要注意梯度的設(shè)計(jì),臺(tái)階不要過(guò)密,要有一定的思維跨度。

      寫(xiě)在最后,多媒體給中學(xué)教學(xué)帶來(lái)了新工具,但同時(shí)也滋生了盲目跟風(fēng),個(gè)別教師對(duì)新課改理解不深、片面追求課堂氣氛,將“滿(mǎn)堂灌”變成了“滿(mǎn)堂問(wèn)”。學(xué)生為了表現(xiàn)自己,爭(zhēng)搶回答問(wèn)題,失去了對(duì)問(wèn)題的深入思考,致使學(xué)生基礎(chǔ)不扎實(shí),進(jìn)一步表明過(guò)高估計(jì)自己的解題能力,存在著嚴(yán)重的“浮夸風(fēng)”。在今后的教學(xué)中要切實(shí)抓好落實(shí),把數(shù)學(xué)解題真正落實(shí)到學(xué)生的筆頭上。

      第五篇:任意角三角函數(shù)定義

      “任意角三角函數(shù)定義”的教學(xué)認(rèn)識(shí)與設(shè)計(jì)

      浙江金華第一中學(xué) 孔小明

      本文首先對(duì)三角函數(shù)定義的教學(xué)進(jìn)行從整體到局部的分析,并在此基礎(chǔ)上給出定義教學(xué)的主干問(wèn)題設(shè)計(jì).1.整體把握,使教學(xué)線索清晰,層次分明

      三角函數(shù)是以函數(shù)為主線,刻畫(huà)周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.高中學(xué)習(xí)的三角函數(shù)是在初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上,通過(guò)用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)將角的概念推廣到任意角,并使角與實(shí)數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,然后結(jié)合坐標(biāo)系和單位圓重新定義任意角的三角函數(shù).因此,三角函數(shù)是函數(shù)的下位概念,同時(shí)又是銳角三角函數(shù)的上位概念,教學(xué)要以函數(shù)思想為指導(dǎo),以坐標(biāo)系和單位圓為定義工具,以初中銳角三角函數(shù)概念為認(rèn)知的起點(diǎn),促進(jìn)任意角三角函數(shù)定義的有效生成.教科書(shū)在完成任意角三角函數(shù)定義基礎(chǔ)上衍生出:(1)三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào);(2)單位圓中的三角函數(shù)線;(3)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系;(4)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式;(5)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等.可見(jiàn),三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)教學(xué)中可謂重中之重,是整個(gè)三角部分的奠基石,它貫穿于與三角有關(guān)的各部分內(nèi)容并起著關(guān)鍵作用.本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)是理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義,經(jīng)歷從銳角三角函數(shù)定義過(guò)渡到任意角三角函數(shù)定義的推廣過(guò)程,體驗(yàn)三角函數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程,領(lǐng)悟直角坐標(biāo)系和單位圓的功能,豐富數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗(yàn).由于三角函數(shù)的定義內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因,同時(shí),用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示的任意角三角函數(shù)定義,與學(xué)生初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)定義有一定的距離,一個(gè)側(cè)重幾何的邊與邊的比值表示,一個(gè)側(cè)重代數(shù)的坐標(biāo)(比值)表示.與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)定義也有距離,一般函數(shù)是實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng),而三角函數(shù)首先是實(shí)數(shù)(弧度數(shù))到點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)應(yīng),然后才是實(shí)數(shù)(弧度數(shù))到實(shí)數(shù)(橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo))的對(duì)應(yīng).學(xué)生理解該定義很難一步到位,需要分成若干個(gè)層次,逐步加深提高.促進(jìn)學(xué)生理解定義的關(guān)鍵是讓學(xué)生經(jīng)歷定義的形成過(guò)程,增強(qiáng)學(xué)習(xí)活動(dòng)的體驗(yàn),在教師的引導(dǎo)下獨(dú)立思考、自主探究,完成定義的意義建構(gòu).教材中任意角三角函數(shù)定義的得出經(jīng)歷了以下四個(gè)循序漸進(jìn)、不斷深化的過(guò)程:(1)回憶用直角三角形邊長(zhǎng)的比產(chǎn)生的銳角三角函數(shù)的定義;(2)把銳角α放在直角坐標(biāo)系中,用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角α的三角函數(shù);(3)由相似三角形的知識(shí)可知,三角函數(shù)值只與α的大小有關(guān),與點(diǎn)在終邊上的位置無(wú)關(guān),因此可用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角α的三角函數(shù);(4)類(lèi)比得出用單位圓定義任意角三角函數(shù),并將它納入到一般函數(shù)概念的范疇.教科書(shū)這樣設(shè)計(jì)改變了以往純學(xué)術(shù)形態(tài)的形式,一定程度上具有了教育形態(tài)的特征,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程,反映了數(shù)學(xué)的“來(lái)龍去脈”,通過(guò)有效的鋪墊,使之符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,使從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)過(guò)渡自然,有利于學(xué)生步步加深對(duì)三角函數(shù)定義本質(zhì)的理解.因此,筆者認(rèn)為,教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)無(wú)須“另起爐灶”,只要在此基礎(chǔ)上,依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),進(jìn)行教學(xué)法的深加工即可.2.抓住關(guān)鍵,使教學(xué)精煉、簡(jiǎn)約而高效

      由于教科書(shū)自身特點(diǎn)的限制,教科書(shū)還不能成為教師教學(xué)用的教學(xué)設(shè)計(jì),根據(jù)教材的內(nèi)容、要求以及編寫(xiě)意圖,教師還需要一個(gè)再加工、再創(chuàng)造的過(guò)程.具體的,就是將教材中得出任意角三角函數(shù)定義經(jīng)歷的四個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)一步教學(xué)化,使之符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和規(guī)律,包括內(nèi)容研究的必要性,坐標(biāo)系、單位圓引入的自然性,以及用單位圓定義的可行性、合理性等.把它變成適合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的具體的教育形態(tài),使學(xué)生感受“數(shù)學(xué)是自然的、清楚的、水到渠成的”.當(dāng)前,高中數(shù)學(xué)課標(biāo)課程比大綱課程的內(nèi)容有所增加,初中數(shù)學(xué)對(duì)高中數(shù)學(xué)支持減弱,新課程賦予數(shù)學(xué)教學(xué)更多的價(jià)值取向,要讓課堂的所有環(huán)節(jié)都讓學(xué)生有深度思考、自主探究并展示結(jié)果是不現(xiàn)實(shí)也是沒(méi)必要的.事實(shí)上,學(xué)生在校以學(xué)習(xí)間接經(jīng)驗(yàn)為主,學(xué)生的學(xué)習(xí)主要是“接受——建構(gòu)”式的,因此,對(duì)教學(xué)起關(guān)鍵作用的內(nèi)容,要留足時(shí)間讓學(xué)生充分思考、交流與展示,其它內(nèi)容教師可多講授與引導(dǎo),發(fā)揮先行組織者作用,使教與學(xué)達(dá)到平衡,讓教學(xué)效益達(dá)到最大化.在引導(dǎo)學(xué)生回憶初中銳角三角函數(shù)定義之前,先解決“學(xué)習(xí)的必要性”問(wèn)題,明確要研究的內(nèi)容.教材將“三角函數(shù)”作為重要的基本初等函數(shù),是周期現(xiàn)象的基本模型,教師可借助本章的章頭語(yǔ),完成課題的引入.由于初中的銳角三角函數(shù)定義不能推廣到任意角的情形,從而引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突,激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望.用什么定義、怎樣定義、這樣定義是否合理等,成為繼續(xù)研究的自然問(wèn)題.之前,在任意角內(nèi)容的學(xué)習(xí)中,學(xué)生已經(jīng)有了在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角的經(jīng)驗(yàn),但教學(xué)實(shí)踐表明,學(xué)生仍不能自然想到引入坐標(biāo)系工具,利用坐標(biāo)來(lái)定義任意角三角函數(shù).筆者認(rèn)為,從幫助學(xué)生理解定義的實(shí)質(zhì),體會(huì)坐標(biāo)思想與數(shù)形結(jié)合思想的角度,教師可利用適當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)言,引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)解決“如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)”的關(guān)鍵問(wèn)題.需要提及的是,陶老師的問(wèn)題設(shè)計(jì)具有啟示性:

      現(xiàn)在,角的范圍擴(kuò)大了,由銳角擴(kuò)展到了0°~360°內(nèi)的角,又?jǐn)U展到了任意角,并且在直角坐標(biāo)系中,使得角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的正半軸重合.在這樣的環(huán)境中,你認(rèn)為,對(duì)于任意角α,sinα怎樣定義好呢?

      上述問(wèn)題提得“大氣”,既能使學(xué)生的學(xué)習(xí)圍繞關(guān)鍵問(wèn)題展開(kāi),又突出正弦函數(shù)的概念分析.當(dāng)然,若能依教材先作銳角情形的鋪墊,教學(xué)更符合學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”,提高效率.這里,需要引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)用坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù),有助于從函數(shù)的本質(zhì)特征來(lái)認(rèn)識(shí)三角函數(shù).在第三個(gè)環(huán)節(jié)中,首先是如何自然引入單位圓的問(wèn)題.用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)有許多優(yōu)點(diǎn),其中最主要的是使正弦函數(shù)、余弦函數(shù)從自變量(角的弧度數(shù))到函數(shù)值(單位圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo))之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系更清楚、簡(jiǎn)單,突出了三角函數(shù)的本質(zhì),有利于學(xué)生利用已有的函數(shù)概念來(lái)理解三角函數(shù),其次是使三角函數(shù)反映的數(shù)形關(guān)系更直接,為后面討論函數(shù)的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).但單位圓的這些“優(yōu)點(diǎn)”要在引入單位圓后才能逐步體會(huì)到.因此,引入單位圓的“理由”應(yīng)該另辟蹊徑,白老師在引導(dǎo)學(xué)生完成用角的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)之后,從求簡(jiǎn)的角度設(shè)置問(wèn)題,不愧為“棋高一招”:

      大家有沒(méi)有辦法讓所得到的定義式變得更簡(jiǎn)單一點(diǎn)?

      在學(xué)生得出時(shí)定義式最簡(jiǎn)單后,白老師引入單位圓,引導(dǎo)學(xué)生利用單位圓定義銳角三角函數(shù).至此,學(xué)生就有了第四環(huán)節(jié)中用單位圓定義任意角三角函數(shù)的認(rèn)知準(zhǔn)備.由于“定義”是一種“規(guī)定”,因此,第四環(huán)節(jié)中,教師可類(lèi)比用單位圓定義銳角三角函數(shù)情形,直接給出任意角三角函數(shù)定義,對(duì)學(xué)生而言,關(guān)鍵是理解這樣“規(guī)定”的合理性,對(duì)定義合理性認(rèn)知基礎(chǔ)就是三角函數(shù)的“函數(shù)”本質(zhì)——定義要符合一般函數(shù)的內(nèi)涵(函數(shù)三要素).3.精心設(shè)計(jì)問(wèn)題,讓課堂成為學(xué)生思維閃光的舞臺(tái) 基于上述認(rèn)識(shí),對(duì)定義部分的教學(xué),給出如下先行組織者和主干問(wèn)題設(shè)計(jì).先行組織者1:周期現(xiàn)象是社會(huì)生活和科學(xué)實(shí)踐中的基本現(xiàn)象,大到宇宙運(yùn)動(dòng),小到粒子變化,這些現(xiàn)象的共同特點(diǎn)是具有周期性,另外,如潮汐現(xiàn)象、簡(jiǎn)諧振動(dòng)、交流電等,也具有周期性,而“三角函數(shù)”正是刻畫(huà)這些變化的基本函數(shù)模型.三角函數(shù)到底是一種怎樣的函數(shù)?它具有哪些特別的性質(zhì)?在解決具有周期性變化規(guī)律的問(wèn)題中到底能發(fā)揮哪些作用?本課從研究第一個(gè)問(wèn)題入手.意圖:明確研究方向與內(nèi)容.問(wèn)題1:在初中,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù),它是怎樣定義的? 意圖:從學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)出發(fā),為用坐標(biāo)定義三角函數(shù)作準(zhǔn)備.問(wèn)題2:現(xiàn)在,角的概念已經(jīng)推廣到了任意角,上述定義方法能推廣到任意角嗎? 意圖:引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,激發(fā)學(xué)生求知欲望.問(wèn)題3:如何定義任意角的三角函數(shù)? 意圖:引導(dǎo)學(xué)生探索任意角三角函數(shù)的定義.先行組織者2:我們知道,直角坐標(biāo)系是展示函數(shù)規(guī)律的載體,是構(gòu)架“數(shù)形結(jié)合”的天然橋梁,上堂課我們把任意角放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行研究,借助坐標(biāo)系,可以使角的討論簡(jiǎn)化,也能有效地表現(xiàn)出角的終邊位置“周而復(fù)始”的現(xiàn)象.坐標(biāo)系也為我們從“數(shù)”的角度定義任意角三角函數(shù)提供有效載體.意圖:引導(dǎo)學(xué)生借助坐標(biāo)系來(lái)定義任意角三角函數(shù).問(wèn)題4:先考慮銳角的情形,如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,你能用點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角α的三角函數(shù)嗎?

      意圖:引導(dǎo)學(xué)生用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù).問(wèn)題5:各個(gè)比值與角之間有怎樣的關(guān)系?比值是角的函數(shù)嗎?

      意圖:扣準(zhǔn)函數(shù)概念的內(nèi)涵,把三角函數(shù)知識(shí)納入函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu),突出變量之間的依賴(lài)關(guān)系或?qū)?yīng)關(guān)系,增強(qiáng)函數(shù)觀念.先讓學(xué)生想象思考,作出主觀判斷,再用幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)演示,得出結(jié)論:三個(gè)比值分別是以銳角α為自變量、以比值為函數(shù)值的函數(shù).問(wèn)題6:既然可在終邊上任取一點(diǎn),那有沒(méi)有辦法讓所得的對(duì)應(yīng)關(guān)系變得更簡(jiǎn)單一點(diǎn)? 意圖:為引入單位圓進(jìn)行鋪墊.教師給出單位圓定義之后,可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步明確:正弦、余弦、正切都是以銳角α為自變量、以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)(或比值)為函數(shù)值的函數(shù).問(wèn)題7:類(lèi)比上述做法,設(shè)任意角α的終邊與單位圓交點(diǎn)為P(x,y),定義正弦函數(shù)為,余弦函數(shù)為,正切函數(shù)為.你認(rèn)為這樣定義符合函數(shù)定義要求嗎? 意圖:給出任意角三角函數(shù)的定義,引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)三要素說(shuō)明定義的合理性,明確任意角三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域.引導(dǎo)學(xué)生思考定義的合理性,先讓學(xué)生作出主觀判斷,再用幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)演示,同時(shí)作好解釋說(shuō)明,得出結(jié)論:正弦、余弦、正切都是以任意角α為自變量、以單位圓上的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值(如果存在的話)為函數(shù)值的函數(shù).接著給出任意角三角函數(shù)的定義域、值域.“任意角三角函數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)

      陶維林(江蘇南京師范大學(xué)附屬中學(xué),210003)

      一.內(nèi)容和內(nèi)容解析

      三角函數(shù)是一個(gè)重要的基本初等函數(shù),它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型.它的基礎(chǔ)主要是幾何中的相似形和圓,研究方法主要是代數(shù)中的圖象分析和式子變形,三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來(lái).它在物理學(xué)、天文學(xué)、測(cè)量學(xué)等學(xué)科中都有重要的應(yīng)用,它是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具,它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中其他學(xué)科的基礎(chǔ).

      角的概念已經(jīng)由銳角擴(kuò)展到0°~360°內(nèi)的角,再擴(kuò)充到任意角,相應(yīng)地,銳角三角函數(shù)概念也必須有所擴(kuò)充.任意角三角函數(shù)概念的出現(xiàn)是角的概念擴(kuò)充的必然結(jié)果.

      比較銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)這兩個(gè)概念,共同點(diǎn)是,它們都是“比值”,不同點(diǎn)是銳角三角函數(shù)是“線段長(zhǎng)度的比值”,而任意角三角函數(shù)是直角坐標(biāo)系中“坐標(biāo)與長(zhǎng)度的比值,或者是坐標(biāo)的比值”.正是由于“比值”這一與在角的終邊上所取點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)的特點(diǎn),因此,可以用角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)(或坐標(biāo)的比值)來(lái)表示任意角的三角函數(shù),這是概念的核心.這樣定義,不僅簡(jiǎn)化了任意角三角函數(shù)的表示,也為后續(xù)研究它的性質(zhì)帶來(lái)了方便.

      從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)類(lèi)似于從自然數(shù)到整數(shù)擴(kuò)充的過(guò)程,產(chǎn)生了“符號(hào)問(wèn)題”.因此,學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)可以與銳角三角函數(shù)相類(lèi)比,借助銳角三角函數(shù)的概念建立起任意角三角函數(shù)的概念.

      任意角三角函數(shù)概念的重點(diǎn)是任意角的正弦、余弦、正切的定義.它們是本節(jié),乃至本章的基本概念,是學(xué)習(xí)其他與三角函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ),具有根本的重要的作用.解決這一重點(diǎn)的關(guān)鍵,是學(xué)會(huì)用直角坐標(biāo)系中,角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示三角函數(shù).因?yàn)檎泻瘮?shù)并不獨(dú)立,最主要的是正弦函數(shù)與余弦函數(shù).

      任意角三角函數(shù)自然具有函數(shù)的一切特征,有它的定義域,對(duì)應(yīng)法則以及值域.任意角三角函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集(或它的子集),這是因?yàn)椋诮⒒《戎埔院?,角的集合與實(shí)數(shù)集合間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,從這個(gè)意義上說(shuō),“角是實(shí)數(shù)”,三角函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù).各種不同的三角函數(shù)定義了不同的對(duì)應(yīng)法則,因而可能有不同的定義域與值域.

      任意角三角函數(shù)概念是核心概念,它是解決一切三角函數(shù)問(wèn)題的基點(diǎn).無(wú)論是研究三角函數(shù)在各象限中的符號(hào)、特殊角的三角函數(shù)值,還是同角三角函數(shù)間的關(guān)系,以及三角函數(shù)的性質(zhì),等等,都具有基本的重要的意義.

      在建立任意角三角函數(shù)這個(gè)定義的過(guò)程中,學(xué)生可以感受到數(shù)與形結(jié)合,以及類(lèi)比、運(yùn)動(dòng)、變化、對(duì)應(yīng)等數(shù)學(xué)思想方法. 二.目標(biāo)和目標(biāo)解析

      本節(jié)課的目標(biāo)是,理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.

      學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)sinα,cosα,tanα,了解三角函數(shù)是直角三角形中邊長(zhǎng)的比值,這個(gè)比值僅與銳角的大小有關(guān),是隨著銳角取值的變化而變化的,其值是惟一確定的,等函數(shù)的要素.這是任意角三角函數(shù)概念的“生長(zhǎng)點(diǎn)”.

      理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)定義的關(guān)鍵是由銳角三角函數(shù)這個(gè)線段長(zhǎng)度的比值擴(kuò)展為點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值.因此,對(duì)銳角三角函數(shù)理解得怎樣,對(duì)理解任意角三角函數(shù)有決定意義,復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù),加深對(duì)銳角三角函數(shù)的理解是必要的.

      要實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生“理解”任意角三角函數(shù)定義的教學(xué)目標(biāo),莫過(guò)于讓學(xué)生參與任意角三角函數(shù)定義的過(guò)程.讓學(xué)生感受到因角的概念的擴(kuò)展,銳角三角函數(shù)概念擴(kuò)展的必要性,任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)概念的自然延伸.反過(guò)來(lái),既然銳角集合是任意角集合的子集,那么,銳角三角函數(shù)也應(yīng)該是任意角三角函數(shù)的特殊情況,是一個(gè)包含關(guān)系.讓學(xué)生參與定義,可以感受到這樣定義的合理性,感受到這個(gè)定義是自然的.

      三.教學(xué)問(wèn)題診斷分析

      從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)的學(xué)習(xí),從認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展的角度來(lái)說(shuō),是屬于“下、上位關(guān)系學(xué)習(xí)”,是一個(gè)從特殊到一般的過(guò)程,“先行組織者”是銳角三角函數(shù)的概念.教學(xué)策略上先復(fù)習(xí)包容性小、抽象概括程度低的銳角三角函數(shù)的概念,然后讓學(xué)生“再創(chuàng)造”抽象程度高的上位概念(參與定義),并形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu),讓原有的銳角三角函數(shù)的概念類(lèi)屬于抽象程度更高的任意角三角函數(shù)的概念之中.

      學(xué)生過(guò)去在直角三角形中研究過(guò)銳角三角函數(shù),這對(duì)研究任意角三角函數(shù)在認(rèn)識(shí)上會(huì)有一定的局限性,所以學(xué)生在用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)研究三角函數(shù)可能會(huì)有一定的困難.可以讓學(xué)生在原有的對(duì)銳角三角函數(shù)的幾何認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上,嘗試讓學(xué)生建立用終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角三角函數(shù),或者嘗試用終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)定義銳角三角函數(shù),然后再定義任意角的三角函數(shù).

      教學(xué)的另一個(gè)難點(diǎn)是,任意角三角函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集(或它的子集).因?yàn)閷W(xué)生剛剛接觸弧度制,未必能理解“把角的集合與實(shí)數(shù)集建立一一對(duì)應(yīng)”到底是為了什么.可以在復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)時(shí),把銳角說(shuō)成區(qū)間(0,四.教學(xué)支持條件分析

      利用幾何畫(huà)板軟件,可以動(dòng)態(tài)改變角的終邊位置,從而改變角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)大小的特點(diǎn),便于學(xué)生認(rèn)識(shí)任意角的位置的改變,所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值也改變的特點(diǎn),感受函數(shù)的本質(zhì);感受終邊相同的角具有相同的三角函數(shù)值;也便于觀察各三角函數(shù)在各象限中符號(hào)的變化情況,加深對(duì)任意角三角函數(shù)概念的理解,增強(qiáng)教學(xué)效果.)內(nèi)的角,以便分散這個(gè)難點(diǎn). 五.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 1.理解銳角三角函數(shù)

      要理解任意角三角函數(shù)首先要理解銳角三角函數(shù).銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的先行組織者.

      問(wèn)題1 任意畫(huà)一個(gè)銳角α,借助三角板,找出sinα,cosα,tanα的近似值.

      教師用幾何畫(huà)板任意畫(huà)一個(gè)銳角.要求學(xué)生自己任意也畫(huà)一個(gè)銳角,利用手中的三角板畫(huà)直角三角形,度量角α的對(duì)邊長(zhǎng)、斜邊長(zhǎng),計(jì)算比值.

      意圖:復(fù)習(xí)初中所學(xué)習(xí)過(guò)的銳角三角函數(shù),加深對(duì)銳角三角函數(shù)概念的理解,它是學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的基礎(chǔ).突出:

      (1)與點(diǎn)的位置的選取無(wú)關(guān);(2)是直角三角形中線段長(zhǎng)度的比值. 問(wèn)題2 能否把某條線段畫(huà)成單位長(zhǎng),有些三角函數(shù)值不用計(jì)算就可以得到?

      意圖:學(xué)生根據(jù)自己實(shí)際畫(huà)圖操作,以及計(jì)算比值的體驗(yàn),會(huì)很快認(rèn)為把斜邊畫(huà)成單位長(zhǎng)比較方便,為后續(xù)任意角三角函數(shù)的“單位圓定義法”做鋪墊.

      問(wèn)題3 銳角三角函數(shù)sinα作為一個(gè)函數(shù),自變量以及與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別是什么?

      意圖:以便與后面的任意角三角函數(shù)的自變量是角(的弧度,對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是α的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)比較.

      銳角三角函數(shù)sinα作為一個(gè)函數(shù),自變量是銳角.由于角的弧度值與實(shí)數(shù)可以一一對(duì)應(yīng),所以,α是(0,)上的實(shí)數(shù).而與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值sinα是線段長(zhǎng)度的比值,是區(qū)間(0,1)上的實(shí)數(shù).

      問(wèn)題4 你產(chǎn)生過(guò)這個(gè)疑問(wèn)嗎:“三角函數(shù)只有這三個(gè)?”

      意圖:這個(gè)問(wèn)題具有元認(rèn)知提示的特點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生勤于思考,逐步學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、研究問(wèn)題.

      三條邊相互比,可以產(chǎn)生六個(gè)比.還有哪三個(gè)呢?再把已知的三個(gè)倒過(guò)來(lái). 2.任意角三角函數(shù)定義的“再創(chuàng)造”

      教師利用幾何畫(huà)板,把角α的頂點(diǎn)定義為原點(diǎn),一邊與x軸的正半軸重合,轉(zhuǎn)動(dòng)另一條邊,表現(xiàn)任意角.

      問(wèn)題5 現(xiàn)在,角的范圍擴(kuò)大了.在直角坐標(biāo)系中,使得角的頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與x軸的正半軸重合.在這樣的環(huán)境下,你認(rèn)為,對(duì)于任意角α,sinα,cosα,tanα怎樣來(lái)定義好呢?

      意圖:可以打破知識(shí)結(jié)構(gòu)的平衡,感受到學(xué)習(xí)新知識(shí)的必要性——角的范圍擴(kuò)大了,銳角三角函數(shù)也應(yīng)該“與時(shí)俱進(jìn)”,并不顯得突然.把定義的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生,引導(dǎo)學(xué)生參與定義過(guò)程,發(fā)展思維.

      有兩種可能的回答.

      可能一:在α的終邊上任意畫(huà)一點(diǎn)P(x,y),|OP|=r.

      可能二:設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(x,y).

      不論出現(xiàn)可能一還是可能二,都再問(wèn):“都是這樣的嗎?”

      引導(dǎo)學(xué)生議論,以確認(rèn)兩種定義方法的一致性、各自特點(diǎn).再問(wèn)“你贊成哪一種?”,統(tǒng)一認(rèn)識(shí),建立任意角三角函數(shù)的定義.(板書(shū))

      因?yàn)榍懊嬉呀?jīng)有引導(dǎo),學(xué)生可能很快接受“可能二”. 3.任意角三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)(對(duì)定義的體驗(yàn))

      問(wèn)題6(1)求下列三角函數(shù)值:

      問(wèn)題6(2)說(shuō)出幾個(gè)使得cosα=1的α的值. 意圖:通過(guò)定義的簡(jiǎn)單應(yīng)用,把握定義的內(nèi)涵.

      逐題給出,對(duì)于每一個(gè)答案,都要求學(xué)生說(shuō)出“你是怎樣得到的.”突出“畫(huà)終邊,找交點(diǎn)坐標(biāo),算比值(對(duì)正切函數(shù))”的步驟.

      問(wèn)題6(3)指出下列函數(shù)值:

      意圖:角的終邊位置決定了三角函數(shù)值的大?。K邊位置相同的角同一三角函數(shù)值相等.于是有 sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα,tan(α+2kπ)=tanα.(其中k∈Z)問(wèn)題6(4)

      ①確定下列三角函數(shù)的符號(hào):

      ②θ在哪個(gè)象限?請(qǐng)說(shuō)明理由.反過(guò)來(lái)呢?

      ③角α的哪些三角函數(shù)值在第二、三象限都是負(fù)數(shù)?為什么? ④tanα在哪些象限中取正數(shù)?為什么? 意圖:認(rèn)識(shí)三角函數(shù)在各象限中的符號(hào).

      問(wèn)題7 做了這么多題,要反思.你是否發(fā)現(xiàn)了任意角三角函數(shù)的一些性質(zhì)?還有些什么體會(huì)? 意圖:體驗(yàn)以后的概括,階段小結(jié).(1)抓住各三角函數(shù)的定義不放;(2)各象限中三角函數(shù)的符號(hào)特點(diǎn),等.

      教師板書(shū)學(xué)生獲得的成果、感受. 4.任意角三角函數(shù)的定義域

      問(wèn)題8 α是任意角,作為函數(shù)的sinα,cosα,tanα,它們的定義域分別是什么?

      意圖:三角函數(shù)也是函數(shù),自然應(yīng)該關(guān)心它的定義域.

      建立了角的弧度制,角的集合與實(shí)數(shù)集合之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,因此,sinα,cosα的定義域是R;tanα=中,x≠0,于是tanα的定義域是

      仍然緊扣定義,并引導(dǎo)以弧度制表示它的定義域. 5.練習(xí)

      (1)確定下列三角函數(shù)值的符號(hào),并借助計(jì)算器計(jì)算:

      (2)求下列三角函數(shù)值:

      6.小結(jié)

      問(wèn)題9 下課后,你走出教室,如果有人問(wèn)你:“過(guò)去你就學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù),今天又學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù),它們的差別在哪里呢?”你怎么回答他?

      意圖:通過(guò)問(wèn)題小結(jié).不追求面面俱到,突出銳角三角函數(shù)是三角形中,邊長(zhǎng)的比值,而任意角的三角函數(shù)是直角坐標(biāo)系中角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo),或者是坐標(biāo)的比值.

      若時(shí)間允許,再問(wèn):“還有其他收獲嗎?”比如,終邊相同的角的同一三角函數(shù)相等;各象限三角函數(shù)的符號(hào);任意角三角函數(shù)的定義域,等. 六.目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

      (1),寫(xiě)出α的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo),并寫(xiě)出tanα的值.

      (2)求下列三角函數(shù)的值:

      (3)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)是Q,點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是1/2,說(shuō)出幾個(gè)滿(mǎn)足條件的角α.

      (4)點(diǎn)P(3,-4)在角α終邊上,說(shuō)出sinα,cosα,tanα分別是多少?

      (1)實(shí)際教學(xué)片段

      上課始,教師用幾何畫(huà)板任意畫(huà)一個(gè)銳角,提出問(wèn)題1:“任意畫(huà)一個(gè)銳角α,借助三角板,找出sinα,cosα,tanα的近似值.”然后走進(jìn)學(xué)生中間,觀察他們的學(xué)習(xí)行為.結(jié)果發(fā)現(xiàn),有一部分同學(xué)畫(huà)出角之后,一片茫然.教師又不愿意把結(jié)果告訴學(xué)生,提示同桌的兩位同學(xué)可以商量一下,并提示,完成的同學(xué)請(qǐng)舉手示意,以便教師了解情況,結(jié)果舉手的人很少.之后,教師提問(wèn)一位舉手的學(xué)生,問(wèn):“你是怎么做的?”她要求上黑板,教師非常贊成.她在黑板上畫(huà)出一個(gè)直角三角形,并不熟練地寫(xiě)出一個(gè)銳角的正弦是它的對(duì)邊比斜邊以及余弦、正切等三個(gè)三角函數(shù).之后,教師又與學(xué)生討論了問(wèn)題2:能否把某條線段畫(huà)成單位長(zhǎng),有些三角函數(shù)值不用計(jì)算就可以得到?學(xué)生比較一致認(rèn)為把斜邊長(zhǎng)畫(huà)成單位長(zhǎng)比較好,為“單位圓定義法”做必要的鋪墊.接著討論問(wèn)題3:銳角三角函數(shù)sinα作為一個(gè)函數(shù),自變量以及與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別是什么?在教師類(lèi)比正方形的面積s=a2的提示下,學(xué)生說(shuō)出銳角三角函數(shù)中自變量以及與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別是角、比值,最后討論問(wèn)題4:你產(chǎn)生過(guò)這個(gè)疑問(wèn)嗎:“三角函數(shù)只有這三個(gè)?”有學(xué)生舉手,表示想過(guò)這個(gè)問(wèn)題,應(yīng)該是六個(gè),另外三個(gè)可以把現(xiàn)有的三個(gè)倒一下得到.至此,時(shí)間已經(jīng)過(guò)去20多分鐘.

      教師本以為,學(xué)生在初中既然學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù),對(duì)給出的一個(gè)銳角,借助三角板構(gòu)造直角三角形,找出它的正弦、余弦的近似值是很容易的事,而恰恰在這一點(diǎn)上,學(xué)生耗費(fèi)了大量的時(shí)間,而教師又不想越俎代庖地告訴學(xué)生,這就嚴(yán)重影響了后續(xù)建立任意角三角函數(shù)的概念,并通過(guò)特殊角的求值體驗(yàn)、把握內(nèi)涵的時(shí)間保證,造成體驗(yàn)不夠,概括

      過(guò)早,應(yīng)用更少的現(xiàn)象.

      (2)問(wèn)題出在哪里

      問(wèn)題在教學(xué)設(shè)計(jì)不夠合理,當(dāng)中的“教學(xué)問(wèn)題診斷分析”不夠準(zhǔn)確.沒(méi)有準(zhǔn)確把握學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)與認(rèn)識(shí)能力,對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)的困難估計(jì)不足.尤其是,對(duì)學(xué)生關(guān)于銳角三角函數(shù)的理解估計(jì)過(guò)高.主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面,一是初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)是在直角三角形中進(jìn)行的,并不要求給出一個(gè)銳角,兩邊是射線,求出它的三角函數(shù)值.二是并不要求把“銳角三角函數(shù)”作為函數(shù)來(lái)認(rèn)識(shí),比如關(guān)注它的自變量是角,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是比值,更不關(guān)心它的定義域、值域以及對(duì)應(yīng)法則這些函數(shù)的要素.只要求運(yùn)用符號(hào)sinA,cosA,tanA的意義來(lái)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算,等.現(xiàn)在,要求學(xué)生從函數(shù)角度建立任意角三角函數(shù)概念這就失去了概念的上位支持.

      關(guān)于銳角三角函數(shù),在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》中,是在“空間與圖形”的“圖形與變換”部分.標(biāo)準(zhǔn)指出:“通過(guò)實(shí)例認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)(sinA,cosA,tanA),知道30°,45°,60°角的三角函數(shù)值;會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值,由已知三角函數(shù)值求它對(duì)應(yīng)的銳角.”以及“運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡(jiǎn)

      單實(shí)際問(wèn)題.”

      筆者查閱了按照“課程標(biāo)準(zhǔn)”編寫(xiě)的幾套初中教材,給出sinA的方式基本上一致,是:

      如圖(圖略),在Rt△ABC中,∠C=90°,我們把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正弦(sine),記作sinA,即”(對(duì)cosA,tanA有類(lèi)似的定義)并指出“銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函

      數(shù).”

      以后的內(nèi)容(包括解實(shí)際問(wèn)題),都是有關(guān)三角函數(shù)值的計(jì)算,并不強(qiáng)調(diào)它們的函數(shù)特征.有的教材雖然指出“對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值,sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng),所以sinA是A的函數(shù).同樣地,cosA,tanA也是A的函數(shù).”作出了銳角三角函數(shù)是一種特殊的函數(shù)的提示,由于缺少必要的練習(xí),作用并不大.應(yīng)該說(shuō),這些都不違背“課程標(biāo)準(zhǔn)” 的要求.可見(jiàn)學(xué)生在初中學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)有正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù),銳角三角函數(shù)并不納入“函

      數(shù)”這個(gè)系統(tǒng).

      初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)有一個(gè)特定的載體,這就是直角三角形,因此,當(dāng)他們面對(duì)任意畫(huà)出的一個(gè)銳角,其兩條邊是射線,要求出這個(gè)角的三角函數(shù)的近似值這個(gè)新情境時(shí),竟不知如何是好,手足無(wú)措,無(wú)計(jì)可施,也說(shuō)明學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)并不理解.這樣看來(lái),畫(huà)出一個(gè)銳角,要求學(xué)生會(huì)取點(diǎn)、畫(huà)垂線、度量、計(jì)算比值的要求是必要的.

      有教師認(rèn)為,不必復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù),直接提出問(wèn)題“同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù),你認(rèn)為應(yīng)該怎樣來(lái)定義任意角的三角函數(shù)?”這種“大撒手”的問(wèn)題跨度太大,學(xué)生更難回答.原因是對(duì)銳角三角函數(shù)的“函數(shù)”特征認(rèn)識(shí)不足、理解不到位,要讓學(xué)生直接建立任意角的三角函數(shù),又要突出“函數(shù)”這一特征,很困難.因此,為建立任意角的三角函數(shù)的概念,需要先復(fù)習(xí)初中銳角三角函數(shù)的概念,因?yàn)閺匿J角(三角函數(shù))到任意角(三角函數(shù))又是由下位到上位的學(xué)習(xí).教材要求首先把直角三角形中邊長(zhǎng)的比值擴(kuò)展到坐標(biāo)或者坐標(biāo)的比值,在直角坐標(biāo)系中認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù),并引導(dǎo)學(xué)生從“函數(shù)”的角度認(rèn)識(shí)它,也就是弄清自變量以及與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)分別是什么是必要的.

      (3)對(duì)教學(xué)的反思

      高中教師應(yīng)該了解義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn),了解初中教材,了解學(xué)生在初中學(xué)習(xí)過(guò)哪些內(nèi)容,尤其是相應(yīng)的教學(xué)目標(biāo)是什么,關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).應(yīng)該做好初、高中的銜接工作,不僅注意知識(shí)的銜接,還要注意思想方法、能力要求等各方面的銜接,為學(xué)習(xí)高中的相關(guān)內(nèi)容做好鋪墊.以為已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù),學(xué)生就能夠把它理解為一種特殊的函數(shù),是一個(gè)明顯的例子.

      教科書(shū)在節(jié)首提出的“思考”是:“我們已經(jīng)學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù),知道它們都是以銳角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù),你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù)嗎”其實(shí),學(xué)生只知道銳角三角函數(shù)是直角三角形中邊長(zhǎng)的比值,并不完全知道“它們都是以銳角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù)”,這就需要通過(guò)復(fù)習(xí),來(lái)幫助學(xué)生

      補(bǔ)上這一點(diǎn).

      2.其他反思

      (1)由于學(xué)生在復(fù)習(xí)階段花了較多的時(shí)間,影響了新課的學(xué)習(xí),用任意角三角函數(shù)概念解題的時(shí)間不多,體驗(yàn)不夠,有教師提出“下課后練習(xí)不好做”,說(shuō)明復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)沒(méi)有必要.筆者認(rèn)為,當(dāng)“預(yù)設(shè)”與“生成”發(fā)生矛盾時(shí),教師寧可選擇“生成”.尊重學(xué)生的認(rèn)知水平,尊重學(xué)生的認(rèn)知心理過(guò)程,決不簡(jiǎn)單化,把結(jié)論直接告訴給學(xué)生,追求“結(jié)果”,追求“完成”教學(xué)任務(wù).教師不能認(rèn)為我已經(jīng)把這個(gè)概念告訴你了,你就應(yīng)該知道了.?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)不是“告訴教學(xué)”,概念不能靠學(xué)生“復(fù)制”,對(duì)概念需要的是理解,需要學(xué)生用自己的體驗(yàn)建立起對(duì)概念的理解.什么是“教學(xué)任務(wù)”,不能僅限于知識(shí)要求,要注意學(xué)生的全面發(fā)展.比如,當(dāng)學(xué)生不能正確選擇在角的一邊上取點(diǎn),畫(huà)垂線時(shí),啟示學(xué)生互相討論、啟發(fā)一下,借助于同伴的幫助解決問(wèn)題.當(dāng)學(xué)生不能說(shuō)出“作為函數(shù)的銳角三角函數(shù),自變量以及它的函數(shù)分別是什么”(屬性)意義不清,不好回答時(shí),教師降低難度,啟發(fā)類(lèi)比S=a2中a表示邊長(zhǎng),而S表示正方形的面積.突出線段長(zhǎng)、面積,等等.

      “任意角三角函數(shù)的概念”與作為第一節(jié)課的“任意角三角函數(shù)的概念”不是同一個(gè)概念.對(duì)“任意角三角函數(shù)的概念”的認(rèn)識(shí)、理解不是一蹴而就的,不是一節(jié)課可以完成的任務(wù),需要一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程.比如,把角度化成弧度到底是為了什么?即便化成弧度,又為什么省略不寫(xiě)呢?建立角的弧度與實(shí)數(shù)間的一一對(duì)應(yīng)有什么必要呢?任意角三角函數(shù)的自變量明明白白是角,為什么偏要把它說(shuō)成實(shí)數(shù)呢?剛剛接觸任意角三角函數(shù)就要求理解這一切是十分困難的.隨著學(xué)習(xí)的深入,尤其是三角函數(shù)的應(yīng)用,學(xué)生才能慢慢消除這些疑問(wèn),逐漸理解它.比如,在三相交流電路中,某一相電路中的電流強(qiáng)度IA=Imsin(ωt)(其中Im是電路中電流強(qiáng)度的峰值),三角函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的基本數(shù)學(xué)模型;再比如,當(dāng)學(xué)生接觸到函數(shù)y=sin(cosx)后,再來(lái)看三角函數(shù)的定義域,會(huì)認(rèn)識(shí)到抽象后的任意角三角函數(shù)的自變量作為實(shí)數(shù)更具廣泛性.

      這一節(jié)課把教學(xué)的基本要求定位在,弄清任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的區(qū)別,接受用坐標(biāo)(或坐標(biāo)的比值)表示三角函數(shù)就夠了.如同在建立數(shù)軸之后,一個(gè)知道把向東2公里表示為2公里而向西2公里表示成-2公里,接受“路程也可以是負(fù)數(shù)”的學(xué)生,就已經(jīng)開(kāi)始接受有理數(shù),逐漸成為中學(xué)生了.

      還需要注意的是,應(yīng)該通過(guò)什么方式讓學(xué)生建立起用坐標(biāo)(或比值)表示任意角三角函數(shù),以及領(lǐng)會(huì)建立這個(gè)概念過(guò)程

      中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法.

      (2)在求cosπ時(shí),一個(gè)學(xué)生說(shuō)出的結(jié)果是0.9985.教師追問(wèn)“你是怎么算出來(lái)的?”他回答:“用計(jì)算器.”后來(lái),筆者用計(jì)算器做了實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)他用計(jì)算器計(jì)算時(shí),把計(jì)算器中的角度模式(Mode)設(shè)置成了角度制(Degree).在這種模式下,計(jì)算cosπ可以得到0.9985(即計(jì)算的是cosπ°).如果把角度模式設(shè)置成了弧度制(Radian),計(jì)算cosπ仍可以得到-1.這件事的出現(xiàn)給我以及所有聽(tīng)課教師引發(fā)諸多思考.第一,這位同學(xué)沒(méi)有關(guān)注到這節(jié)課剛學(xué)習(xí)過(guò)的概念,運(yùn)用新概念解決當(dāng)前的問(wèn)題,而是停留在“三角函數(shù)值是能夠用計(jì)算器算出來(lái)的”這個(gè)認(rèn)識(shí)水平上;第二,反映了計(jì)算器的過(guò)度使用,會(huì)形成對(duì)學(xué)具的依賴(lài),影響學(xué)生思維能力的發(fā)展.學(xué)具的功能越全面越強(qiáng)大不一定是好事.比如,具有解方程(Solve)功能的計(jì)算器在初中使用可能會(huì)削弱解一元二次方程的學(xué)習(xí);具有圖象功能的計(jì)算器的過(guò)早使用可能會(huì)干擾函數(shù)的學(xué)習(xí).因此,教師應(yīng)該注意技術(shù)在教學(xué)中的“輔助”作用,適度使用教具,重視算理分析,重視算法的來(lái)源,重視思維能力的培養(yǎng),而不是追求計(jì)算結(jié)果.

      借班上課,對(duì)學(xué)生的不熟悉是教師的苦惱,加上教學(xué)進(jìn)度等問(wèn)題,學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備不足(在教學(xué)任意角三角函數(shù)概念之前僅上過(guò)一堂“任意角”的課),是教學(xué)并不理想的一個(gè)重要原因.教學(xué)過(guò)程是師生雙邊活動(dòng)的過(guò)程,離不開(kāi)師生之間的交流,生疏是交流的障礙之一,生疏更難以做到師生之間配合默契.另外,學(xué)生對(duì)教師的教學(xué)風(fēng)格的適應(yīng)或認(rèn)可也有一個(gè)過(guò)程,比如教師希望學(xué)生積極發(fā)言而不僅是聽(tīng)講,等等.

      (3)討論中,老師們提出了許多有價(jià)值的教學(xué)應(yīng)該遵循的一般規(guī)律以及一些先進(jìn)的教學(xué)理念,但是,要求一節(jié)課全面體現(xiàn)各種先進(jìn)教學(xué)理念,去承擔(dān)反映數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律中太多的東西是不現(xiàn)實(shí),也是不應(yīng)該的.

      課堂教學(xué)是一項(xiàng)實(shí)踐性很強(qiáng)的工作,除了認(rèn)真的課前準(zhǔn)備外,對(duì)教學(xué)過(guò)程中出現(xiàn)的“突發(fā)事件”,隨機(jī)應(yīng)變十分重要.教師需要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)行為,關(guān)注學(xué)生的認(rèn)識(shí)過(guò)程,隨時(shí)修改自己的教學(xué)設(shè)計(jì),調(diào)整教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)要求,改變策略,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▽?shí)施教學(xué),以達(dá)到最佳教學(xué)效果.這一切都需要教師有很強(qiáng)的基本功.

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