第一篇：“任意角的三角函數(shù)”教學(xué)反思

“任意角的三角函數(shù)”教學(xué)反思

在進(jìn)行人教版高中數(shù)學(xué)必修（4）1.2.1任意角的三角函數(shù)的的教學(xué)過(guò)程中，我將教材內(nèi)容進(jìn)行整合:首先，讓學(xué)生回顧初中相關(guān)內(nèi)容－－銳角三角函數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值等；然后將初中的銳角三角形放到直角坐標(biāo)系中，出現(xiàn)了點(diǎn)的坐標(biāo)，鄰、對(duì)、斜變成了橫、縱、r(=OP)。老教材上的定義自然推出；再次，將r特殊化令r=1,新教材上的定義立即出現(xiàn)；最后，進(jìn)行定義的應(yīng)用，教材14頁(yè)例1考查新教材定義，例2考查舊教材定義；強(qiáng)化練習(xí)、課堂小結(jié)、布置作業(yè)。課上的很順，自我感覺(jué)良好。但針對(duì)上節(jié)內(nèi)容布置當(dāng)堂作業(yè)，卻發(fā)現(xiàn)學(xué)生仍不能很好地理解掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)。過(guò)后，我在備課本的教學(xué)反思處寫(xiě)下了四條教學(xué)反思：

（1）知識(shí)與能力：這節(jié)課從知識(shí)傳授上看比較成功，三個(gè)問(wèn)題環(huán)環(huán)相扣，但從能力培養(yǎng)上顯得不足，主要是在例題與練習(xí)的處理上，投入的時(shí)間不足，沒(méi)有及時(shí)將知識(shí)內(nèi)化為能力，但通過(guò)作業(yè)和調(diào)研題的講解，師生對(duì)三角函數(shù)概念的理解都有了質(zhì)的飛躍。

（2）循序漸進(jìn)：在題目設(shè)計(jì)上相對(duì)于學(xué)生已有的知識(shí)是難了一點(diǎn)，因此出錯(cuò)率高。在今后的教學(xué)中要注意梯度的設(shè)計(jì)，跨度不要太大，貼近教材、貼近學(xué)生、貼近實(shí)際。

（3）教給與教會(huì)：這節(jié)課也許是我設(shè)計(jì)得太自然了，臺(tái)階過(guò)密、跨度太小，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中沒(méi)有遇到陷阱，沒(méi)有產(chǎn)生激烈的思維碰撞，因此，看似順暢，效果不佳。下一步要注意梯度的設(shè)計(jì)，臺(tái)階不要過(guò)密，要有一定的思維跨度。

（4）腳踏實(shí)地：由于教師對(duì)新課改理解不深、盲目跟風(fēng)，片面追求課堂氣氛，將“滿(mǎn)堂灌”變成了“滿(mǎn)堂問(wèn)”。學(xué)生為了表現(xiàn)自己，爭(zhēng)搶回答問(wèn)題，失去了對(duì)問(wèn)題的深入思考，致使學(xué)生基礎(chǔ)不扎實(shí)了，計(jì)算器的使用也降低了學(xué)生基本的運(yùn)算能力。在今后的教學(xué)中要切實(shí)抓好落實(shí)，把數(shù)學(xué)解題真正落實(shí)到學(xué)生的筆頭上。

反思是人類(lèi)進(jìn)步的階梯，進(jìn)步其實(shí)就是在沒(méi)有極限的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的矛盾發(fā)展的過(guò)程中點(diǎn)滴積累起來(lái)的。努力讓自己同時(shí)也鼓勵(lì)自己的學(xué)生做生活工作的有心人，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，在反思中促進(jìn)自身的成長(zhǎng)。

第二篇：《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思

《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思

肥東縣長(zhǎng)臨河中學(xué)趙治龍

任意角三角函數(shù)的第一節(jié)課，其中心任務(wù)應(yīng)該是讓學(xué)生建立起計(jì)算一個(gè)任意角的三角函數(shù)與其終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上初步建立任意角三角函數(shù)概念的意義，《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思。如，計(jì)算方法、定義域、值域、符號(hào)表示、有關(guān)結(jié)論（與點(diǎn)的位置的選取無(wú)關(guān)）后，首先提供“坐標(biāo)系”作為腳手架，并引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突—“在坐標(biāo)系下，如何研究一個(gè)任意角的三角函數(shù)？”并以坐標(biāo)系為平臺(tái)，有層次的研究隨角的變化，即第一象限下的銳角（認(rèn)識(shí)研究方法的變化，以及符號(hào)表示的變化）——0~2π范圍內(nèi)的角（認(rèn)識(shí)該范圍內(nèi)角的三角函數(shù)的表示方法，特別是值域的變化）——不同象限下終邊相同的角（逐漸形成計(jì)算一個(gè)任意角的三角函數(shù)的操作過(guò)程）。

銳角三角函數(shù)概念教學(xué)時(shí)如果是先給一個(gè)銳角，再構(gòu)造三角形，而不是象當(dāng)前大多數(shù)教材中采用的直接放在一個(gè)直角三角形下，對(duì)學(xué)生概念的遷移會(huì)更有幫助。

“任意角和弧度制”，應(yīng)該完成用弧度制表示一個(gè)角α及其終邊相同的角的集合如何表示，會(huì)對(duì)本節(jié)課“任意角的三角函數(shù)”概念的教學(xué)更有意義。

新教材的教學(xué)理念之一是讓學(xué)生去體驗(yàn)新知識(shí)的發(fā)生過(guò)程,這節(jié)《任意角三角函數(shù)》的教案,主要圍繞這一點(diǎn)來(lái)設(shè)計(jì).到底應(yīng)該怎樣去合理定義任意角的三角函數(shù)呢讓學(xué)生提出自己的想法,同時(shí)讓學(xué)生去辨證這個(gè)想法是否是科學(xué)的因?yàn)橐粋€(gè)概念是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?科學(xué)的,不能隨心所欲地編造,必須去論證它的合理性,至少這種概念不能和銳角三角函數(shù)的定義有所沖突.在這個(gè)立-破的過(guò)程中,讓學(xué)生去體驗(yàn)一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念可能是如何形成,在形成的過(guò)程中可以從哪些角度加以科學(xué)的辯思.這樣也有助于學(xué)生對(duì)任意角三角函數(shù)概念的理解.讓學(xué)生充分體會(huì)在任意角三角函數(shù)定義的推廣中,是如何將直角三角形這個(gè)“形”的問(wèn)題,轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)這個(gè)“數(shù)”的過(guò)程的.培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想.《標(biāo)準(zhǔn)》把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)作為其目標(biāo)之一,在教學(xué)中不僅要突出知識(shí)的來(lái)龍去脈還要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)應(yīng)用實(shí)踐的空間,促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)和實(shí)踐過(guò)程中形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),提高學(xué)生的直覺(jué)猜想、歸納抽象、數(shù)學(xué)地提出、分析、解決問(wèn)題的能力,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí),使其上升為一種數(shù)學(xué)意識(shí),自覺(jué)地對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式作出思考和判斷，教學(xué)反思《《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思》。在解答問(wèn)題的過(guò)程中體驗(yàn)到從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法去觀察生活、分析自然現(xiàn)象、解決實(shí)際問(wèn)題的策略,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)原來(lái)就來(lái)自身邊的現(xiàn)實(shí)世界,是認(rèn)識(shí)和解決我們生活和工作中問(wèn)題的有力武器,同時(shí)也獲得了進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的切身體驗(yàn)和能力。增進(jìn)了他們對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心。

第三篇：《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思

《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思

《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思1

首先，讓學(xué)生回顧初中相關(guān)內(nèi)容－－銳角三角函數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值等；

然后將初中的銳角三角形放到直角坐標(biāo)系中，出現(xiàn)了點(diǎn)的坐標(biāo)，鄰、對(duì)、斜變成了橫、縱、r(r=|op|)。教材上的定義自然推出；

再次，將r特殊化令r=1，教材上的定義立即出現(xiàn)。

最后，進(jìn)行定義的應(yīng)用，教材14頁(yè)例1考查新教材定義，例2考查舊教材定義；強(qiáng)化練習(xí)、課堂小結(jié)、布置作業(yè)。課上的很順，自我感覺(jué)良好。

但接下來(lái)發(fā)生的事卻直得深思，自習(xí)輔導(dǎo)課上針對(duì)上節(jié)內(nèi)容布置當(dāng)堂作業(yè)，題目是教材17頁(yè)第一題，當(dāng)堂批閱、統(tǒng)計(jì)，出錯(cuò)率20％，我很愕然。立即進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)情調(diào)研：讓學(xué)生每人準(zhǔn)備一張白紙，可以不署名，限時(shí)做教材23頁(yè)A組練習(xí)第二題，當(dāng)堂批閱、統(tǒng)計(jì)，出錯(cuò)率60％，真的沒(méi)有想到。

過(guò)后，我寫(xiě)下了四條教學(xué)反思：

（1）知識(shí)與能力：

這節(jié)課從知識(shí)傳授上看比較成功，三個(gè)問(wèn)題環(huán)環(huán)相扣，但從能力培養(yǎng)上顯得不足，主要是在例題與練習(xí)的處理上，投入的時(shí)間不足，沒(méi)有及時(shí)將知識(shí)內(nèi)化為能力，但通過(guò)作業(yè)和調(diào)研題的講解，學(xué)生對(duì)三角函數(shù)概念的理解都有了質(zhì)的飛躍。

（2）循序漸進(jìn)：

A組練習(xí)二的目的是為了調(diào)研，此題相對(duì)于學(xué)生已有的知識(shí)是難了一點(diǎn)，因此出錯(cuò)率高。在今后的教學(xué)中要注意梯度的設(shè)計(jì)，跨度不要太大，貼近教材、貼近學(xué)生、貼近實(shí)際。

（3）教給與教會(huì)：

這節(jié)課也許是我設(shè)計(jì)得太自然了，臺(tái)階過(guò)密、

跨度太小，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中沒(méi)有遇到陷阱，沒(méi)有產(chǎn)生激烈的思維碰撞，因此，看似順暢，效果不佳。下一步要注意梯度的設(shè)計(jì)，臺(tái)階不要過(guò)密，要有一定的思維跨度。

（4）不可忽視的浮夸風(fēng)：

片面追求課堂氣氛，將“滿(mǎn)堂灌”變成了“滿(mǎn)堂問(wèn)”。學(xué)生為了表現(xiàn)自己，爭(zhēng)搶回答問(wèn)題，失去了對(duì)問(wèn)題的深入思考，致使學(xué)生基礎(chǔ)不扎實(shí)了，計(jì)算器的使用也降低了學(xué)生基本的運(yùn)算能力。

當(dāng)統(tǒng)計(jì)完調(diào)研題后，我提問(wèn)數(shù)學(xué)課代表，讓他猜測(cè)答對(duì)率，他回答－－80％（實(shí)際為40％）。進(jìn)一步表明了學(xué)生過(guò)高估計(jì)自己的解題能力，存在著嚴(yán)重的“浮夸風(fēng)”。在今后的教學(xué)中要切實(shí)抓好落實(shí)，把數(shù)學(xué)解題真正落實(shí)到學(xué)生的筆頭上。

《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思2

改進(jìn)的設(shè)想：

（1）回顧任意角、象限角與軸線角的概念。

（2）回顧銳角三角函數(shù)的定義，有了任意角之后，原來(lái)三角函數(shù)的定義有局限性，需要對(duì)其重新定義，以適用于任意的三角函數(shù)。

（3）除了銳角的三角函數(shù)外，在其它學(xué)科中有沒(méi)有接觸到一些特殊角的三角函數(shù)值？（意圖是讓學(xué)生說(shuō)出）

重新定義的原則有哪些？

①和諧的原則，新定義應(yīng)該包含以前的定義，即當(dāng)角為銳角時(shí)，其定義應(yīng)與前面的三角形邊的比值等價(jià)。由此可以確定，新的定義仍應(yīng)是比值的形式；

②傳承的原則，新定義應(yīng)保留舊定義中的一些做法，如可以同樣在角的終邊上任取一點(diǎn)來(lái)定義，且所得結(jié)果應(yīng)與所取點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)。

③相容的原則，新定義不能與一些熟悉的結(jié)論相矛盾。如當(dāng)角為鈍角時(shí)，其余弦值應(yīng)為負(fù)值。由此可知，新的三角函數(shù)的定義應(yīng)保證所得三角函數(shù)值有正負(fù)之分；

④自然的原則，新定義不能出來(lái)得很奇怪，要讓人接受必須順其自然，可在我們前面討論的象限角的基礎(chǔ)上進(jìn)行，換句話說(shuō)，老師在給出一個(gè)任意角的時(shí)候，就可以將角直接放在直角坐標(biāo)系下，因?yàn)榍懊嬉延懻撨^(guò)象限角。

按上述幾個(gè)原則讓學(xué)生自主探究。

《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思3

任意角三角函數(shù)的第一節(jié)課，其中心任務(wù)應(yīng)該是讓學(xué)生建立起計(jì)算一個(gè)任意角的三角函數(shù)與其終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上初步建立任意角三角函數(shù)概念的意義，《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思。如，計(jì)算方法、定義域、值域、符號(hào)表示、有關(guān)結(jié)論（與點(diǎn)的位置的選取無(wú)關(guān)）后，首先提供“坐標(biāo)系”作為腳手架，并引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突—“在坐標(biāo)系下，如何研究一個(gè)任意角的三角函數(shù)？”并以坐標(biāo)系為平臺(tái)，有層次的`研究隨角的變化，即第一象限下的銳角（認(rèn)識(shí)研究方法的變化，以及符號(hào)表示的變化）——0~2π范圍內(nèi)的角（認(rèn)識(shí)該范圍內(nèi)角的三角函數(shù)的表示方法，特別是值域的變化）——不同象限下終邊相同的角（逐漸形成計(jì)算一個(gè)任意角的三角函數(shù)的操作過(guò)程）。

銳角三角函數(shù)概念教學(xué)時(shí)如果是先給一個(gè)銳角，再構(gòu)造三角形，而不是象當(dāng)前大多數(shù)教材中采用的直接放在一個(gè)直角三角形下，對(duì)學(xué)生概念的遷移會(huì)更有幫助。

“任意角和弧度制”，應(yīng)該完成用弧度制表示一個(gè)角α及其終邊相同的角的集合如何表示，會(huì)對(duì)本節(jié)課“任意角的三角函數(shù)”概念的教學(xué)更有意義。

新教材的教學(xué)理念之一是讓學(xué)生去體驗(yàn)新知識(shí)的發(fā)生過(guò)程,這節(jié)《任意角三角函數(shù)》的教案,主要圍繞這一點(diǎn)來(lái)設(shè)計(jì).

到底應(yīng)該怎樣去合理定義任意角的三角函數(shù)呢讓學(xué)生提出自己的想法,同時(shí)讓學(xué)生去辨證這個(gè)想法是否是科學(xué)的因?yàn)橐粋€(gè)概念是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?科學(xué)的,不能隨心所欲地編造,必須去論證它的合理性,至少這種概念不能和銳角三角函數(shù)的定義有所沖突.在這個(gè)立-破的過(guò)程中,讓學(xué)生去體驗(yàn)一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念可能是如何形成,在形成的過(guò)程中可以從哪些角度加以科學(xué)的辯思.這樣也有助于學(xué)生對(duì)任意角三角函數(shù)概念的理解.

讓學(xué)生充分體會(huì)在任意角三角函數(shù)定義的推廣中,是如何將直角三角形這個(gè)“形”的問(wèn)題,轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)這個(gè)“數(shù)”的過(guò)程的培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想.

《標(biāo)準(zhǔn)》把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)作為其目標(biāo)之一,在教學(xué)中不僅要突出知識(shí)的來(lái)龍去脈還要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)應(yīng)用實(shí)踐的空間,促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)和實(shí)踐過(guò)程中形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),提高學(xué)生的直覺(jué)猜想、歸納抽象、數(shù)學(xué)地提出、分析、解決問(wèn)題的能力,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí),使其上升為一種數(shù)學(xué)意識(shí),自覺(jué)地對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式作出思考和判斷，教學(xué)反思《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思》。在解答問(wèn)題的過(guò)程中體驗(yàn)到從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法去觀察生活、分析自然現(xiàn)象、解決實(shí)際問(wèn)題的策略,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)原來(lái)就來(lái)自身邊的現(xiàn)實(shí)世界,是認(rèn)識(shí)和解決我們生活和工作中問(wèn)題的有力武器,同時(shí)也獲得了進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的切身體驗(yàn)和能力。增進(jìn)了他們對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心。

《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思4

三角函數(shù)的教學(xué)中，要充分發(fā)揮單位圓的作用，并且要注意逐漸使學(xué)生形成用單位圓討論三角函數(shù)問(wèn)題的意識(shí)和習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生自主地用單位圓探索三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，提高分析和解決問(wèn)題的能力。在我們的教學(xué)中可以注意以下幾點(diǎn):

（1）進(jìn)行定義的應(yīng)用，教材14頁(yè)例1考查新教材定義，例2考查舊教材定義；強(qiáng)化練習(xí)、課堂小結(jié)、布置作業(yè)。課上的很順，自我感覺(jué)良好。但接下來(lái)發(fā)生的事卻直得深思，自習(xí)輔導(dǎo)課上針對(duì)上節(jié)內(nèi)容布置當(dāng)堂作業(yè)，題目是教材17頁(yè)第一題，當(dāng)堂批閱、統(tǒng)計(jì)，出錯(cuò)率20％，我很愕然。立即進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)情調(diào)研：讓學(xué)生每人準(zhǔn)備一張白紙，可以不署名，限時(shí)做教材23頁(yè)A組練習(xí)第二題，當(dāng)堂批閱、統(tǒng)計(jì)，出錯(cuò)率60％，真的沒(méi)有想到。

（2）這節(jié)課從知識(shí)傳授上看比較成功，三個(gè)問(wèn)題環(huán)環(huán)相扣，但從能力培養(yǎng)上顯得不足，主要是在例題與練習(xí)的處理上，投入的時(shí)間不足，沒(méi)有及時(shí)將知識(shí)內(nèi)化為能力，但通過(guò)作業(yè)和調(diào)研題的講解，師生對(duì)三角函數(shù)概念的理解都有了質(zhì)的飛躍。

（3）例題2變式的目的是為了調(diào)研，此題相對(duì)于學(xué)生已有的知識(shí)是難了一點(diǎn)，因此出錯(cuò)率高。在今后的教學(xué)中要注意梯度的設(shè)計(jì)，跨度不要太大，貼近教材、貼近學(xué)生、貼近實(shí)際。

（4）這節(jié)課也許是我設(shè)計(jì)得太自然了，臺(tái)階過(guò)密、跨度太小，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中沒(méi)有遇到陷阱，沒(méi)有產(chǎn)生激烈的思維碰撞，因此，看似順暢，效果不佳。下一步要注意梯度的設(shè)計(jì)，臺(tái)階不要過(guò)密，要有一定的思維跨度。

寫(xiě)在最后，多媒體給中學(xué)教學(xué)帶來(lái)了新工具，但同時(shí)也滋生了盲目跟風(fēng)，個(gè)別教師對(duì)新課改理解不深、片面追求課堂氣氛，將“滿(mǎn)堂灌”變成了“滿(mǎn)堂問(wèn)”。學(xué)生為了表現(xiàn)自己，爭(zhēng)搶回答問(wèn)題，失去了對(duì)問(wèn)題的深入思考，致使學(xué)生基礎(chǔ)不扎實(shí)，進(jìn)一步表明過(guò)高估計(jì)自己的解題能力，存在著嚴(yán)重的“浮夸風(fēng)”。在今后的教學(xué)中要切實(shí)抓好落實(shí)，把數(shù)學(xué)解題真正落實(shí)到學(xué)生的筆頭上。

《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思5

任意角的三角函數(shù)是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課，是本章的基礎(chǔ)。因此本節(jié)課的重點(diǎn)放在了任意角的三角函數(shù)的理解上。在本節(jié)課的開(kāi)頭以學(xué)生所熟悉的直角三角形的銳角入手，引導(dǎo)學(xué)生嘗試探究，逐步深入，引出任意三角函數(shù)的定義，以問(wèn)題的形式鞏固深化任意角三角函數(shù)值的計(jì)算。引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過(guò)程，讓學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)與社會(huì)的聯(lián)系，新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。

通過(guò)任意角三角函數(shù)的定義，啟發(fā)學(xué)生找到各個(gè)三角函數(shù)在每個(gè)象限的符號(hào)以及在坐標(biāo)軸上的值。并用“一全正，二正弦，三余弦，四正切”這一句話來(lái)概括了各個(gè)象限的符號(hào)。

在例題的設(shè)置上，例1是已知一個(gè)角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求這個(gè)角的三個(gè)三角函數(shù)值。通過(guò)這個(gè)例題的練習(xí)，讓學(xué)生更好地鞏固了任意三角函數(shù)的定義，會(huì)求任意一個(gè)角的三角函數(shù)。例2和例3的設(shè)置是讓學(xué)生進(jìn)一步熟記各個(gè)三角函數(shù)在每個(gè)象限的范圍以及坐標(biāo)軸上的值。例4是把幾個(gè)三角函數(shù)組合在一起，形成一個(gè)新的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的表達(dá)形式求定義域，能夠讓學(xué)生反過(guò)來(lái)已知三角函數(shù)值的符號(hào)去判斷角的大小。四個(gè)立體的設(shè)置讓學(xué)生更好地掌握任意角的三角函數(shù)，為以后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

《對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)》這節(jié)課再次利用學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)時(shí)的細(xì)胞分裂例子，從研究指數(shù)函數(shù)的反面入手，已知了分裂后的個(gè)數(shù)求分裂的次數(shù)，由此引出了對(duì)數(shù)函數(shù)的概念。把對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)相對(duì)比能夠發(fā)現(xiàn)它們的定義域和值域相互交換，它們互為反函數(shù)。用描點(diǎn)法畫(huà)出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，再仿照研究指數(shù)函數(shù)的方法讓學(xué)生自主地去探究對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，值域，定點(diǎn)，單調(diào)性，函數(shù)值的分布等各個(gè)性質(zhì)。教給學(xué)生方法比教給學(xué)生知識(shí)更重要。通過(guò)類(lèi)比，以舊引新，自然過(guò)渡到本節(jié)的學(xué)習(xí)，用研究指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的方法來(lái)研究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)。在教學(xué)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生確定探究問(wèn)題、探究方向和探究步驟，確保了探究的有效性；讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖、觀察圖象，啟發(fā)學(xué)生思考、實(shí)驗(yàn)、分析、歸納，注重探究的過(guò)程與方法。讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)到“對(duì)比聯(lián)系”、“數(shù)形結(jié)合”及“分類(lèi)討論”的思想方法。

例題的設(shè)置主要就是圍繞對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)?？傋罨镜亩x域和值域開(kāi)始。再用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性去比較兩個(gè)對(duì)數(shù)的大小以及解對(duì)數(shù)形式的不等式。對(duì)數(shù)函數(shù)是函數(shù)中的一種，因此，例5后的練習(xí)把對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)結(jié)合在了一起，并且加上了一個(gè)參數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)去討論參數(shù)的取值范圍。通過(guò)這些例題的練習(xí)使學(xué)生加深了對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的理解。

《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思6

任意角三角函數(shù)的第一節(jié)課，其中心任務(wù)應(yīng)該是讓學(xué)生建立起計(jì)算一個(gè)任意角的三角函數(shù)與其終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上初步建立任意角三角函數(shù)概念的意義，《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思。如，計(jì)算方法、定義域、值域、符號(hào)表示、有關(guān)結(jié)論（與點(diǎn)的位置的選取無(wú)關(guān)）后，首先提供“坐標(biāo)系”作為腳手架，并引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突—“在坐標(biāo)系下，如何研究一個(gè)任意角的三角函數(shù)？”并以坐標(biāo)系為平臺(tái)，有層次的研究隨角的變化，即第一象限下的銳角（認(rèn)識(shí)研究方法的變化，以及符號(hào)表示的變化）——0~2π范圍內(nèi)的角（認(rèn)識(shí)該范圍內(nèi)角的三角函數(shù)的表示方法，特別是值域的變化）——不同象限下終邊相同的角（逐漸形成計(jì)算一個(gè)任意角的三角函數(shù)的操作過(guò)程）。

銳角三角函數(shù)概念教學(xué)時(shí)如果是先給一個(gè)銳角，再構(gòu)造三角形，而不是象當(dāng)前大多數(shù)教材中采用的直接放在一個(gè)直角三角形下，對(duì)學(xué)生概念的遷移會(huì)更有幫助。

“任意角和弧度制”，應(yīng)該完成用弧度制表示一個(gè)角α及其終邊相同的角的集合如何表示，會(huì)對(duì)本節(jié)課“任意角的三角函數(shù)”概念的教學(xué)更有意義。

新教材的教學(xué)理念之一是讓學(xué)生去體驗(yàn)新知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，這節(jié)《任意角三角函數(shù)》的教案，主要圍繞這一點(diǎn)來(lái)設(shè)計(jì)。

到底應(yīng)該怎樣去合理定義任意角的三角函數(shù)呢讓學(xué)生提出自己的想法，同時(shí)讓學(xué)生去辨證這個(gè)想法是否是科學(xué)的因?yàn)橐粋€(gè)概念是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模茖W(xué)的，不能隨心所欲地編造，必須去論證它的合理性，至少這種概念不能和銳角三角函數(shù)的定義有所沖突。在這個(gè)立—破的過(guò)程中，讓學(xué)生去體驗(yàn)一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念可能是如何形成，在形成的過(guò)程中可以從哪些角度加以科學(xué)的辯思。這樣也有助于學(xué)生對(duì)任意角三角函數(shù)概念的理解。

讓學(xué)生充分體會(huì)在任意角三角函數(shù)定義的推廣中，是如何將直角三角形這個(gè)“形”的問(wèn)題，轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)這個(gè)“數(shù)”的過(guò)程的。培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想。

《標(biāo)準(zhǔn)》把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)作為其目標(biāo)之一，在教學(xué)中不僅要突出知識(shí)的。來(lái)龍去脈還要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)應(yīng)用實(shí)踐的空間，促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)和實(shí)踐過(guò)程中形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生的直覺(jué)猜想、歸納抽象、數(shù)學(xué)地提出、分析、解決問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，使其上升為一種數(shù)學(xué)意識(shí)，自覺(jué)地對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式作出思考和判斷，教學(xué)反思《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思》。在解答問(wèn)題的過(guò)程中體驗(yàn)到從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法去觀察生活、分析自然現(xiàn)象、解決實(shí)際問(wèn)題的策略，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)原來(lái)就來(lái)自身邊的現(xiàn)實(shí)世界，是認(rèn)識(shí)和解決我們生活和工作中問(wèn)題的有力武器，同時(shí)也獲得了進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的切身體驗(yàn)和能力。增進(jìn)了他們對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心。

《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思7

改進(jìn)的設(shè)想：

（1）回顧任意角、象限角與軸線角的概念．

（2）回顧銳角三角函數(shù)的定義，有了任意角之后，原來(lái)三角函數(shù)的定義有局限性，需要對(duì)其重新定義，以適用于任意的三角函數(shù)．

（3）除了銳角的三角函數(shù)外，在其它學(xué)科中有沒(méi)有接觸到一些特殊角的三角函數(shù)值？（意圖是讓學(xué)生說(shuō)出）

重新定義的原則有哪些？

①和諧的原則，新定義應(yīng)該包含以前的定義，即當(dāng)角為銳角時(shí)，其定義應(yīng)與前面的三角形邊的比值等價(jià)．由此可以確定，新的定義仍應(yīng)是比值的形式；

②傳承的原則，新定義應(yīng)保留舊定義中的一些做法，如可以同樣在角的終邊上任取一點(diǎn)來(lái)定義，且所得結(jié)果應(yīng)與所取點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)．

③相容的原則，新定義不能與一些熟悉的結(jié)論相矛盾．如當(dāng)角為鈍角時(shí)，其余弦值應(yīng)為負(fù)值．由此可知，新的三角函數(shù)的定義應(yīng)保證所得三角函數(shù)值有正負(fù)之分；

④自然的原則，新定義不能出來(lái)得很奇怪，要讓人接受必須順其自然，可在我們前面討論的象限角的基礎(chǔ)上進(jìn)行，換句話說(shuō)，老師在給出一個(gè)任意角的時(shí)候，就可以將角直接放在直角坐標(biāo)系下，因?yàn)榍懊嬉延懻撨^(guò)象限角．

按上述幾個(gè)原則讓學(xué)生自主探究．

第四篇：任意角的三角函數(shù)教學(xué)反思

任意角的三角函數(shù)教學(xué)反思

任意角的三角函數(shù)教學(xué)反思1

首先，讓學(xué)生回顧初中相關(guān)內(nèi)容－－銳角三角函數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值等；

然后將初中的銳角三角形放到直角坐標(biāo)系中，出現(xiàn)了點(diǎn)的坐標(biāo)，鄰、對(duì)、斜變成了橫、縱、r(r=|op|)。教材上的定義自然推出；

再次，將r特殊化令r=1，教材上的定義立即出現(xiàn)。

最后，進(jìn)行定義的應(yīng)用，教材14頁(yè)例1考查新教材定義，例2考查舊教材定義；強(qiáng)化練習(xí)、課堂小結(jié)、布置作業(yè)。課上的很順，自我感覺(jué)良好。

但接下來(lái)發(fā)生的事卻直得深思，自習(xí)輔導(dǎo)課上針對(duì)上節(jié)內(nèi)容布置當(dāng)堂作業(yè)，題目是教材17頁(yè)第一題，當(dāng)堂批閱、統(tǒng)計(jì)，出錯(cuò)率20％，我很愕然。立即進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)情調(diào)研：讓學(xué)生每人準(zhǔn)備一張白紙，可以不署名，限時(shí)做教材23頁(yè)A組練習(xí)第二題，當(dāng)堂批閱、統(tǒng)計(jì)，出錯(cuò)率60％，真的沒(méi)有想到。

過(guò)后，我寫(xiě)下了四條教學(xué)反思：

（1）知識(shí)與能力：

這節(jié)課從知識(shí)傳授上看比較成功，三個(gè)問(wèn)題環(huán)環(huán)相扣，但從能力培養(yǎng)上顯得不足，主要是在例題與練習(xí)的'處理上，投入的時(shí)間不足，沒(méi)有及時(shí)將知識(shí)內(nèi)化為能力，但通過(guò)作業(yè)和調(diào)研題的講解，學(xué)生對(duì)三角函數(shù)概念的理解都有了質(zhì)的飛躍。

（2）循序漸進(jìn)：

A組練習(xí)二的目的是為了調(diào)研，此題相對(duì)于學(xué)生已有的知識(shí)是難了一點(diǎn)，因此出錯(cuò)率高。在今后的教學(xué)中要注意梯度的設(shè)計(jì)，跨度不要太大，貼近教材、貼近學(xué)生、貼近實(shí)際。

（3）教給與教會(huì)：

這節(jié)課也許是我設(shè)計(jì)得太自然了，臺(tái)階過(guò)密、

跨度太小，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中沒(méi)有遇到陷阱，沒(méi)有產(chǎn)生激烈的思維碰撞，因此，看似順暢，效果不佳。下一步要注意梯度的設(shè)計(jì)，臺(tái)階不要過(guò)密，要有一定的思維跨度。

（4）不可忽視的浮夸風(fēng)：

片面追求課堂氣氛，將“滿(mǎn)堂灌”變成了“滿(mǎn)堂問(wèn)”。學(xué)生為了表現(xiàn)自己，爭(zhēng)搶回答問(wèn)題，失去了對(duì)問(wèn)題的深入思考，致使學(xué)生基礎(chǔ)不扎實(shí)了，計(jì)算器的使用也降低了學(xué)生基本的運(yùn)算能力。

當(dāng)統(tǒng)計(jì)完調(diào)研題后，我提問(wèn)數(shù)學(xué)課代表，讓他猜測(cè)答對(duì)率，他回答－－80％（實(shí)際為40％）。進(jìn)一步表明了學(xué)生過(guò)高估計(jì)自己的解題能力，存在著嚴(yán)重的“浮夸風(fēng)”。在今后的教學(xué)中要切實(shí)抓好落實(shí)，把數(shù)學(xué)解題真正落實(shí)到學(xué)生的筆頭上。

任意角的三角函數(shù)教學(xué)反思2

任意角的三角函數(shù)是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課，是本章的基礎(chǔ)。因此本節(jié)課的重點(diǎn)放在了任意角的三角函數(shù)的理解上。在本節(jié)課的開(kāi)頭以學(xué)生所熟悉的直角三角形的銳角入手，引導(dǎo)學(xué)生嘗試探究，逐步深入，引出任意三角函數(shù)的定義，以問(wèn)題的形式鞏固深化任意角三角函數(shù)值的計(jì)算。引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過(guò)程，讓學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)與社會(huì)的聯(lián)系，新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。

通過(guò)任意角三角函數(shù)的定義，啟發(fā)學(xué)生找到各個(gè)三角函數(shù)在每個(gè)象限的符號(hào)以及在坐標(biāo)軸上的值。并用“一全正，二正弦，三余弦，四正切”這一句話來(lái)概括了各個(gè)象限的符號(hào)。

在例題的設(shè)置上，例1是已知一個(gè)角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求這個(gè)角的三個(gè)三角函數(shù)值。通過(guò)這個(gè)例題的練習(xí)，讓學(xué)生更好地鞏固了任意三角函數(shù)的定義，會(huì)求任意一個(gè)角的三角函數(shù)。例2和例3的設(shè)置是讓學(xué)生進(jìn)一步熟記各個(gè)三角函數(shù)在每個(gè)象限的范圍以及坐標(biāo)軸上的值。例4是把幾個(gè)三角函數(shù)組合在一起，形成一個(gè)新的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的表達(dá)形式求定義域，能夠讓學(xué)生反過(guò)來(lái)已知三角函數(shù)值的符號(hào)去判斷角的大小。四個(gè)立體的設(shè)置讓學(xué)生更好地掌握任意角的三角函數(shù)，為以后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

《對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)》這節(jié)課再次利用學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)時(shí)的細(xì)胞分裂例子，從研究指數(shù)函數(shù)的反面入手，已知了分裂后的個(gè)數(shù)求分裂的次數(shù)，由此引出了對(duì)數(shù)函數(shù)的概念。把對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)相對(duì)比能夠發(fā)現(xiàn)它們的定義域和值域相互交換，它們互為反函數(shù)。用描點(diǎn)法畫(huà)出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，再仿照研究指數(shù)函數(shù)的方法讓學(xué)生自主地去探究對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，值域，定點(diǎn)，單調(diào)性，函數(shù)值的分布等各個(gè)性質(zhì)。教給學(xué)生方法比教給學(xué)生知識(shí)更重要。通過(guò)類(lèi)比，以舊引新，自然過(guò)渡到本節(jié)的`學(xué)習(xí)，用研究指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的方法來(lái)研究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)。在教學(xué)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生確定探究問(wèn)題、探究方向和探究步驟，確保了探究的有效性；讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖、觀察圖象，啟發(fā)學(xué)生思考、實(shí)驗(yàn)、分析、歸納，注重探究的過(guò)程與方法。讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)到“對(duì)比聯(lián)系”、“數(shù)形結(jié)合”及“分類(lèi)討論”的思想方法。

例題的設(shè)置主要就是圍繞對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)?？傋罨镜亩x域和值域開(kāi)始。再用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性去比較兩個(gè)對(duì)數(shù)的大小以及解對(duì)數(shù)形式的不等式。對(duì)數(shù)函數(shù)是函數(shù)中的一種，因此，例5后的練習(xí)把對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)結(jié)合在了一起，并且加上了一個(gè)參數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)去討論參數(shù)的取值范圍。通過(guò)這些例題的練習(xí)使學(xué)生加深了對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的理解。

任意角的三角函數(shù)教學(xué)反思3

改進(jìn)的設(shè)想：

（1）回顧任意角、象限角與軸線角的概念．

（2）回顧銳角三角函數(shù)的定義，有了任意角之后，原來(lái)三角函數(shù)的定義有局限性，需要對(duì)其重新定義，以適用于任意的三角函數(shù)．

（3）除了銳角的三角函數(shù)外，在其它學(xué)科中有沒(méi)有接觸到一些特殊角的三角函數(shù)值？（意圖是讓學(xué)生說(shuō)出）

重新定義的原則有哪些？

①和諧的原則，新定義應(yīng)該包含以前的定義，即當(dāng)角為銳角時(shí)，其定義應(yīng)與前面的三角形邊的'比值等價(jià)．由此可以確定，新的定義仍應(yīng)是比值的形式；

②傳承的原則，新定義應(yīng)保留舊定義中的一些做法，如可以同樣在角的終邊上任取一點(diǎn)來(lái)定義，且所得結(jié)果應(yīng)與所取點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)．

③相容的原則，新定義不能與一些熟悉的結(jié)論相矛盾．如當(dāng)角為鈍角時(shí)，其余弦值應(yīng)為負(fù)值．由此可知，新的三角函數(shù)的定義應(yīng)保證所得三角函數(shù)值有正負(fù)之分；

④自然的原則，新定義不能出來(lái)得很奇怪，要讓人接受必須順其自然，可在我們前面討論的象限角的基礎(chǔ)上進(jìn)行，換句話說(shuō)，老師在給出一個(gè)任意角的時(shí)候，就可以將角直接放在直角坐標(biāo)系下，因?yàn)榍懊嬉延懻撨^(guò)象限角．

按上述幾個(gè)原則讓學(xué)生自主探究．

任意角的三角函數(shù)教學(xué)反思4

任意角三角函數(shù)的第一節(jié)課，其中心任務(wù)應(yīng)該是讓學(xué)生建立起計(jì)算一個(gè)任意角的三角函數(shù)與其終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上初步建立任意角三角函數(shù)概念的意義，《任意角的三角函數(shù)》教學(xué)反思。如，計(jì)算方法、定義域、值域、符號(hào)表示、有關(guān)結(jié)論（與點(diǎn)的位置的.選取無(wú)關(guān)）后，首先提供“坐標(biāo)系”作為腳手架，并引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突—“在坐標(biāo)系下，如何研究一個(gè)任意角的三角函數(shù)？”并以坐標(biāo)系為平臺(tái)，有層次的研究隨角的變化，即第一象限下的銳角（認(rèn)識(shí)研究方法的變化，以及符號(hào)表示的變化）——0~2π范圍內(nèi)的角（認(rèn)識(shí)該范圍內(nèi)角的三角函數(shù)的表示方法，特別是值域的變化）——不同象限下終邊相同的角（逐漸形成計(jì)算一個(gè)任意角的三角函數(shù)的操作過(guò)程）。

銳角三角函數(shù)概念教學(xué)時(shí)如果是先給一個(gè)銳角，再構(gòu)造三角形，而不是象當(dāng)前大多數(shù)教材中采用的直接放在一個(gè)直角三角形下，對(duì)學(xué)生概念的遷移會(huì)更有幫助。

任意角的三角函數(shù)教學(xué)反思5

三角函數(shù)的教學(xué)中，要充分發(fā)揮單位圓的作用，并且要注意逐漸使學(xué)生形成用單位圓討論三角函數(shù)問(wèn)題的意識(shí)和習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生自主地用單位圓探索三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，提高分析和解決問(wèn)題的能力。在我們的教學(xué)中可以注意以下幾點(diǎn):

（1）進(jìn)行定義的應(yīng)用，教材14頁(yè)例1考查新教材定義，例2考查舊教材定義；強(qiáng)化練習(xí)、課堂小結(jié)、布置作業(yè)。課上的很順，自我感覺(jué)良好。但接下來(lái)發(fā)生的事卻直得深思，自習(xí)輔導(dǎo)課上針對(duì)上節(jié)內(nèi)容布置當(dāng)堂作業(yè)，題目是教材17頁(yè)第一題，當(dāng)堂批閱、統(tǒng)計(jì)，出錯(cuò)率20％，我很愕然。立即進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)情調(diào)研：讓學(xué)生每人準(zhǔn)備一張白紙，可以不署名，限時(shí)做教材23頁(yè)A組練習(xí)第二題，當(dāng)堂批閱、統(tǒng)計(jì)，出錯(cuò)率60％，真的沒(méi)有想到。

（2）這節(jié)課從知識(shí)傳授上看比較成功，三個(gè)問(wèn)題環(huán)環(huán)相扣，但從能力培養(yǎng)上顯得不足，主要是在例題與練習(xí)的處理上，投入的時(shí)間不足，沒(méi)有及時(shí)將知識(shí)內(nèi)化為能力，但通過(guò)作業(yè)和調(diào)研題的講解，師生對(duì)三角函數(shù)概念的理解都有了質(zhì)的飛躍。

（3）例題2變式的目的是為了調(diào)研，此題相對(duì)于學(xué)生已有的知識(shí)是難了一點(diǎn)，因此出錯(cuò)率高。在今后的'教學(xué)中要注意梯度的設(shè)計(jì)，跨度不要太大，貼近教材、貼近學(xué)生、貼近實(shí)際。

（4）這節(jié)課也許是我設(shè)計(jì)得太自然了，臺(tái)階過(guò)密、跨度太小，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中沒(méi)有遇到陷阱，沒(méi)有產(chǎn)生激烈的思維碰撞，因此，看似順暢，效果不佳。下一步要注意梯度的設(shè)計(jì)，臺(tái)階不要過(guò)密，要有一定的思維跨度。

寫(xiě)在最后，多媒體給中學(xué)教學(xué)帶來(lái)了新工具，但同時(shí)也滋生了盲目跟風(fēng)，個(gè)別教師對(duì)新課改理解不深、片面追求課堂氣氛，將“滿(mǎn)堂灌”變成了“滿(mǎn)堂問(wèn)”。學(xué)生為了表現(xiàn)自己，爭(zhēng)搶回答問(wèn)題，失去了對(duì)問(wèn)題的深入思考，致使學(xué)生基礎(chǔ)不扎實(shí)，進(jìn)一步表明過(guò)高估計(jì)自己的解題能力，存在著嚴(yán)重的“浮夸風(fēng)”。在今后的教學(xué)中要切實(shí)抓好落實(shí)，把數(shù)學(xué)解題真正落實(shí)到學(xué)生的筆頭上。

第五篇：任意角三角函數(shù)定義

“任意角三角函數(shù)定義”的教學(xué)認(rèn)識(shí)與設(shè)計(jì)

浙江金華第一中學(xué) 孔小明

本文首先對(duì)三角函數(shù)定義的教學(xué)進(jìn)行從整體到局部的分析，并在此基礎(chǔ)上給出定義教學(xué)的主干問(wèn)題設(shè)計(jì).1．整體把握，使教學(xué)線索清晰，層次分明

三角函數(shù)是以函數(shù)為主線，刻畫(huà)周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.高中學(xué)習(xí)的三角函數(shù)是在初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，通過(guò)用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)將角的概念推廣到任意角，并使角與實(shí)數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后結(jié)合坐標(biāo)系和單位圓重新定義任意角的三角函數(shù).因此，三角函數(shù)是函數(shù)的下位概念，同時(shí)又是銳角三角函數(shù)的上位概念，教學(xué)要以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以坐標(biāo)系和單位圓為定義工具，以初中銳角三角函數(shù)概念為認(rèn)知的起點(diǎn)，促進(jìn)任意角三角函數(shù)定義的有效生成.教科書(shū)在完成任意角三角函數(shù)定義基礎(chǔ)上衍生出：(1)三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)；(2)單位圓中的三角函數(shù)線；(3)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；(4)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式；(5)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等.可見(jiàn)，三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)教學(xué)中可謂重中之重,是整個(gè)三角部分的奠基石,它貫穿于與三角有關(guān)的各部分內(nèi)容并起著關(guān)鍵作用.本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)是理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，經(jīng)歷從銳角三角函數(shù)定義過(guò)渡到任意角三角函數(shù)定義的推廣過(guò)程,體驗(yàn)三角函數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程,領(lǐng)悟直角坐標(biāo)系和單位圓的功能,豐富數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗(yàn).由于三角函數(shù)的定義內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因，同時(shí)，用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示的任意角三角函數(shù)定義,與學(xué)生初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)定義有一定的距離,一個(gè)側(cè)重幾何的邊與邊的比值表示,一個(gè)側(cè)重代數(shù)的坐標(biāo)（比值）表示.與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)定義也有距離,一般函數(shù)是實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng),而三角函數(shù)首先是實(shí)數(shù)（弧度數(shù)）到點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)應(yīng),然后才是實(shí)數(shù)（弧度數(shù)）到實(shí)數(shù)（橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)）的對(duì)應(yīng).學(xué)生理解該定義很難一步到位，需要分成若干個(gè)層次，逐步加深提高.促進(jìn)學(xué)生理解定義的關(guān)鍵是讓學(xué)生經(jīng)歷定義的形成過(guò)程,增強(qiáng)學(xué)習(xí)活動(dòng)的體驗(yàn),在教師的引導(dǎo)下獨(dú)立思考、自主探究,完成定義的意義建構(gòu).教材中任意角三角函數(shù)定義的得出經(jīng)歷了以下四個(gè)循序漸進(jìn)、不斷深化的過(guò)程：（1）回憶用直角三角形邊長(zhǎng)的比產(chǎn)生的銳角三角函數(shù)的定義；（2）把銳角α放在直角坐標(biāo)系中，用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角α的三角函數(shù)；（3）由相似三角形的知識(shí)可知，三角函數(shù)值只與α的大小有關(guān)，與點(diǎn)在終邊上的位置無(wú)關(guān)，因此可用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角α的三角函數(shù)；（4）類(lèi)比得出用單位圓定義任意角三角函數(shù)，并將它納入到一般函數(shù)概念的范疇.教科書(shū)這樣設(shè)計(jì)改變了以往純學(xué)術(shù)形態(tài)的形式,一定程度上具有了教育形態(tài)的特征,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程,反映了數(shù)學(xué)的“來(lái)龍去脈”,通過(guò)有效的鋪墊,使之符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,使從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)過(guò)渡自然,有利于學(xué)生步步加深對(duì)三角函數(shù)定義本質(zhì)的理解.因此,筆者認(rèn)為,教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)無(wú)須“另起爐灶”,只要在此基礎(chǔ)上,依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),進(jìn)行教學(xué)法的深加工即可.2．抓住關(guān)鍵，使教學(xué)精煉、簡(jiǎn)約而高效

由于教科書(shū)自身特點(diǎn)的限制,教科書(shū)還不能成為教師教學(xué)用的教學(xué)設(shè)計(jì),根據(jù)教材的內(nèi)容、要求以及編寫(xiě)意圖,教師還需要一個(gè)再加工、再創(chuàng)造的過(guò)程.具體的,就是將教材中得出任意角三角函數(shù)定義經(jīng)歷的四個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)一步教學(xué)化,使之符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和規(guī)律,包括內(nèi)容研究的必要性，坐標(biāo)系、單位圓引入的自然性，以及用單位圓定義的可行性、合理性等.把它變成適合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的具體的教育形態(tài),使學(xué)生感受“數(shù)學(xué)是自然的、清楚的、水到渠成的”.當(dāng)前,高中數(shù)學(xué)課標(biāo)課程比大綱課程的內(nèi)容有所增加，初中數(shù)學(xué)對(duì)高中數(shù)學(xué)支持減弱，新課程賦予數(shù)學(xué)教學(xué)更多的價(jià)值取向，要讓課堂的所有環(huán)節(jié)都讓學(xué)生有深度思考、自主探究并展示結(jié)果是不現(xiàn)實(shí)也是沒(méi)必要的.事實(shí)上，學(xué)生在校以學(xué)習(xí)間接經(jīng)驗(yàn)為主,學(xué)生的學(xué)習(xí)主要是“接受——建構(gòu)”式的,因此,對(duì)教學(xué)起關(guān)鍵作用的內(nèi)容，要留足時(shí)間讓學(xué)生充分思考、交流與展示,其它內(nèi)容教師可多講授與引導(dǎo)，發(fā)揮先行組織者作用,使教與學(xué)達(dá)到平衡，讓教學(xué)效益達(dá)到最大化.在引導(dǎo)學(xué)生回憶初中銳角三角函數(shù)定義之前,先解決“學(xué)習(xí)的必要性”問(wèn)題,明確要研究的內(nèi)容.教材將“三角函數(shù)”作為重要的基本初等函數(shù),是周期現(xiàn)象的基本模型,教師可借助本章的章頭語(yǔ),完成課題的引入.由于初中的銳角三角函數(shù)定義不能推廣到任意角的情形，從而引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望.用什么定義、怎樣定義、這樣定義是否合理等,成為繼續(xù)研究的自然問(wèn)題.之前,在任意角內(nèi)容的學(xué)習(xí)中,學(xué)生已經(jīng)有了在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角的經(jīng)驗(yàn)，但教學(xué)實(shí)踐表明,學(xué)生仍不能自然想到引入坐標(biāo)系工具,利用坐標(biāo)來(lái)定義任意角三角函數(shù).筆者認(rèn)為，從幫助學(xué)生理解定義的實(shí)質(zhì)，體會(huì)坐標(biāo)思想與數(shù)形結(jié)合思想的角度，教師可利用適當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)言,引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)解決“如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)”的關(guān)鍵問(wèn)題.需要提及的是,陶老師的問(wèn)題設(shè)計(jì)具有啟示性：

現(xiàn)在，角的范圍擴(kuò)大了,由銳角擴(kuò)展到了0°~360°內(nèi)的角,又?jǐn)U展到了任意角,并且在直角坐標(biāo)系中,使得角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環(huán)境中,你認(rèn)為,對(duì)于任意角α，sinα怎樣定義好呢？

上述問(wèn)題提得“大氣”，既能使學(xué)生的學(xué)習(xí)圍繞關(guān)鍵問(wèn)題展開(kāi)，又突出正弦函數(shù)的概念分析.當(dāng)然，若能依教材先作銳角情形的鋪墊，教學(xué)更符合學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”，提高效率.這里，需要引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)用坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)，有助于從函數(shù)的本質(zhì)特征來(lái)認(rèn)識(shí)三角函數(shù).在第三個(gè)環(huán)節(jié)中，首先是如何自然引入單位圓的問(wèn)題.用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)有許多優(yōu)點(diǎn)，其中最主要的是使正弦函數(shù)、余弦函數(shù)從自變量（角的弧度數(shù)）到函數(shù)值（單位圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系更清楚、簡(jiǎn)單，突出了三角函數(shù)的本質(zhì)，有利于學(xué)生利用已有的函數(shù)概念來(lái)理解三角函數(shù)，其次是使三角函數(shù)反映的數(shù)形關(guān)系更直接，為后面討論函數(shù)的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).但單位圓的這些“優(yōu)點(diǎn)”要在引入單位圓后才能逐步體會(huì)到.因此，引入單位圓的“理由”應(yīng)該另辟蹊徑，白老師在引導(dǎo)學(xué)生完成用角的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)之后，從求簡(jiǎn)的角度設(shè)置問(wèn)題,不愧為“棋高一招”：

大家有沒(méi)有辦法讓所得到的定義式變得更簡(jiǎn)單一點(diǎn)？

在學(xué)生得出時(shí)定義式最簡(jiǎn)單后,白老師引入單位圓,引導(dǎo)學(xué)生利用單位圓定義銳角三角函數(shù).至此，學(xué)生就有了第四環(huán)節(jié)中用單位圓定義任意角三角函數(shù)的認(rèn)知準(zhǔn)備.由于“定義”是一種“規(guī)定”，因此，第四環(huán)節(jié)中，教師可類(lèi)比用單位圓定義銳角三角函數(shù)情形，直接給出任意角三角函數(shù)定義，對(duì)學(xué)生而言，關(guān)鍵是理解這樣“規(guī)定”的合理性，對(duì)定義合理性認(rèn)知基礎(chǔ)就是三角函數(shù)的“函數(shù)”本質(zhì)——定義要符合一般函數(shù)的內(nèi)涵（函數(shù)三要素）.3．精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，讓課堂成為學(xué)生思維閃光的舞臺(tái) 基于上述認(rèn)識(shí)，對(duì)定義部分的教學(xué)，給出如下先行組織者和主干問(wèn)題設(shè)計(jì).先行組織者1：周期現(xiàn)象是社會(huì)生活和科學(xué)實(shí)踐中的基本現(xiàn)象，大到宇宙運(yùn)動(dòng)，小到粒子變化，這些現(xiàn)象的共同特點(diǎn)是具有周期性，另外，如潮汐現(xiàn)象、簡(jiǎn)諧振動(dòng)、交流電等，也具有周期性，而“三角函數(shù)”正是刻畫(huà)這些變化的基本函數(shù)模型.三角函數(shù)到底是一種怎樣的函數(shù)？它具有哪些特別的性質(zhì)？在解決具有周期性變化規(guī)律的問(wèn)題中到底能發(fā)揮哪些作用？本課從研究第一個(gè)問(wèn)題入手.意圖：明確研究方向與內(nèi)容.問(wèn)題1：在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，它是怎樣定義的？ 意圖：從學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，為用坐標(biāo)定義三角函數(shù)作準(zhǔn)備.問(wèn)題2：現(xiàn)在，角的概念已經(jīng)推廣到了任意角，上述定義方法能推廣到任意角嗎？ 意圖：引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生求知欲望.問(wèn)題3：如何定義任意角的三角函數(shù)？ 意圖：引導(dǎo)學(xué)生探索任意角三角函數(shù)的定義.先行組織者2：我們知道，直角坐標(biāo)系是展示函數(shù)規(guī)律的載體，是構(gòu)架“數(shù)形結(jié)合”的天然橋梁，上堂課我們把任意角放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行研究，借助坐標(biāo)系，可以使角的討論簡(jiǎn)化，也能有效地表現(xiàn)出角的終邊位置“周而復(fù)始”的現(xiàn)象.坐標(biāo)系也為我們從“數(shù)”的角度定義任意角三角函數(shù)提供有效載體.意圖：引導(dǎo)學(xué)生借助坐標(biāo)系來(lái)定義任意角三角函數(shù).問(wèn)題4：先考慮銳角的情形，如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，你能用點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角α的三角函數(shù)嗎？

意圖：引導(dǎo)學(xué)生用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù).問(wèn)題5：各個(gè)比值與角之間有怎樣的關(guān)系？比值是角的函數(shù)嗎？

意圖：扣準(zhǔn)函數(shù)概念的內(nèi)涵，把三角函數(shù)知識(shí)納入函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)，突出變量之間的依賴(lài)關(guān)系或?qū)?yīng)關(guān)系，增強(qiáng)函數(shù)觀念.先讓學(xué)生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)演示，得出結(jié)論：三個(gè)比值分別是以銳角α為自變量、以比值為函數(shù)值的函數(shù).問(wèn)題6：既然可在終邊上任取一點(diǎn)，那有沒(méi)有辦法讓所得的對(duì)應(yīng)關(guān)系變得更簡(jiǎn)單一點(diǎn)？ 意圖：為引入單位圓進(jìn)行鋪墊.教師給出單位圓定義之后，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步明確：正弦、余弦、正切都是以銳角α為自變量、以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)（或比值）為函數(shù)值的函數(shù).問(wèn)題7：類(lèi)比上述做法，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交點(diǎn)為P（x，y），定義正弦函數(shù)為，余弦函數(shù)為，正切函數(shù)為.你認(rèn)為這樣定義符合函數(shù)定義要求嗎? 意圖：給出任意角三角函數(shù)的定義,引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)三要素說(shuō)明定義的合理性，明確任意角三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域.引導(dǎo)學(xué)生思考定義的合理性，先讓學(xué)生作出主觀判斷，再用幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)演示，同時(shí)作好解釋說(shuō)明，得出結(jié)論：正弦、余弦、正切都是以任意角α為自變量、以單位圓上的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值（如果存在的話）為函數(shù)值的函數(shù).接著給出任意角三角函數(shù)的定義域、值域.“任意角三角函數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)

陶維林（江蘇南京師范大學(xué)附屬中學(xué)，210003）

一．內(nèi)容和內(nèi)容解析

三角函數(shù)是一個(gè)重要的基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型．它的基礎(chǔ)主要是幾何中的相似形和圓，研究方法主要是代數(shù)中的圖象分析和式子變形，三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來(lái)．它在物理學(xué)、天文學(xué)、測(cè)量學(xué)等學(xué)科中都有重要的應(yīng)用，它是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具，它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中其他學(xué)科的基礎(chǔ)．

角的概念已經(jīng)由銳角擴(kuò)展到0°~360°內(nèi)的角，再擴(kuò)充到任意角，相應(yīng)地，銳角三角函數(shù)概念也必須有所擴(kuò)充．任意角三角函數(shù)概念的出現(xiàn)是角的概念擴(kuò)充的必然結(jié)果．

比較銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)這兩個(gè)概念，共同點(diǎn)是，它們都是“比值”，不同點(diǎn)是銳角三角函數(shù)是“線段長(zhǎng)度的比值”，而任意角三角函數(shù)是直角坐標(biāo)系中“坐標(biāo)與長(zhǎng)度的比值，或者是坐標(biāo)的比值”．正是由于“比值”這一與在角的終邊上所取點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)的特點(diǎn)，因此，可以用角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)（或坐標(biāo)的比值）來(lái)表示任意角的三角函數(shù)，這是概念的核心．這樣定義，不僅簡(jiǎn)化了任意角三角函數(shù)的表示，也為后續(xù)研究它的性質(zhì)帶來(lái)了方便．

從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)類(lèi)似于從自然數(shù)到整數(shù)擴(kuò)充的過(guò)程，產(chǎn)生了“符號(hào)問(wèn)題”．因此，學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)可以與銳角三角函數(shù)相類(lèi)比，借助銳角三角函數(shù)的概念建立起任意角三角函數(shù)的概念．

任意角三角函數(shù)概念的重點(diǎn)是任意角的正弦、余弦、正切的定義．它們是本節(jié)，乃至本章的基本概念，是學(xué)習(xí)其他與三角函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)，具有根本的重要的作用．解決這一重點(diǎn)的關(guān)鍵，是學(xué)會(huì)用直角坐標(biāo)系中，角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示三角函數(shù)．因?yàn)檎泻瘮?shù)并不獨(dú)立，最主要的是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)．

任意角三角函數(shù)自然具有函數(shù)的一切特征，有它的定義域，對(duì)應(yīng)法則以及值域．任意角三角函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集（或它的子集），這是因?yàn)椋诮⒒《戎埔院?，角的集合與實(shí)數(shù)集合間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從這個(gè)意義上說(shuō)，“角是實(shí)數(shù)”，三角函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)．各種不同的三角函數(shù)定義了不同的對(duì)應(yīng)法則，因而可能有不同的定義域與值域．

任意角三角函數(shù)概念是核心概念，它是解決一切三角函數(shù)問(wèn)題的基點(diǎn)．無(wú)論是研究三角函數(shù)在各象限中的符號(hào)、特殊角的三角函數(shù)值，還是同角三角函數(shù)間的關(guān)系，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，等等，都具有基本的重要的意義．

在建立任意角三角函數(shù)這個(gè)定義的過(guò)程中，學(xué)生可以感受到數(shù)與形結(jié)合，以及類(lèi)比、運(yùn)動(dòng)、變化、對(duì)應(yīng)等數(shù)學(xué)思想方法． 二．目標(biāo)和目標(biāo)解析

本節(jié)課的目標(biāo)是，理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義．

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)sinα，cosα，tanα，了解三角函數(shù)是直角三角形中邊長(zhǎng)的比值，這個(gè)比值僅與銳角的大小有關(guān)，是隨著銳角取值的變化而變化的，其值是惟一確定的，等函數(shù)的要素．這是任意角三角函數(shù)概念的“生長(zhǎng)點(diǎn)”．

理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）定義的關(guān)鍵是由銳角三角函數(shù)這個(gè)線段長(zhǎng)度的比值擴(kuò)展為點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值．因此，對(duì)銳角三角函數(shù)理解得怎樣，對(duì)理解任意角三角函數(shù)有決定意義，復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)，加深對(duì)銳角三角函數(shù)的理解是必要的．

要實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生“理解”任意角三角函數(shù)定義的教學(xué)目標(biāo)，莫過(guò)于讓學(xué)生參與任意角三角函數(shù)定義的過(guò)程．讓學(xué)生感受到因角的概念的擴(kuò)展，銳角三角函數(shù)概念擴(kuò)展的必要性，任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)概念的自然延伸．反過(guò)來(lái)，既然銳角集合是任意角集合的子集，那么，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該是任意角三角函數(shù)的特殊情況，是一個(gè)包含關(guān)系．讓學(xué)生參與定義，可以感受到這樣定義的合理性，感受到這個(gè)定義是自然的．

三．教學(xué)問(wèn)題診斷分析

從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，從認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展的角度來(lái)說(shuō)，是屬于“下、上位關(guān)系學(xué)習(xí)”，是一個(gè)從特殊到一般的過(guò)程，“先行組織者”是銳角三角函數(shù)的概念．教學(xué)策略上先復(fù)習(xí)包容性小、抽象概括程度低的銳角三角函數(shù)的概念，然后讓學(xué)生“再創(chuàng)造”抽象程度高的上位概念（參與定義），并形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓原有的銳角三角函數(shù)的概念類(lèi)屬于抽象程度更高的任意角三角函數(shù)的概念之中．

學(xué)生過(guò)去在直角三角形中研究過(guò)銳角三角函數(shù)，這對(duì)研究任意角三角函數(shù)在認(rèn)識(shí)上會(huì)有一定的局限性，所以學(xué)生在用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)研究三角函數(shù)可能會(huì)有一定的困難．可以讓學(xué)生在原有的對(duì)銳角三角函數(shù)的幾何認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，嘗試讓學(xué)生建立用終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角三角函數(shù)，或者嘗試用終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)定義銳角三角函數(shù)，然后再定義任意角的三角函數(shù)．

教學(xué)的另一個(gè)難點(diǎn)是，任意角三角函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集（或它的子集）．因?yàn)閷W(xué)生剛剛接觸弧度制，未必能理解“把角的集合與實(shí)數(shù)集建立一一對(duì)應(yīng)”到底是為了什么．可以在復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)時(shí)，把銳角說(shuō)成區(qū)間（0，四．教學(xué)支持條件分析

利用幾何畫(huà)板軟件，可以動(dòng)態(tài)改變角的終邊位置，從而改變角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)大小的特點(diǎn)，便于學(xué)生認(rèn)識(shí)任意角的位置的改變，所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值也改變的特點(diǎn)，感受函數(shù)的本質(zhì)；感受終邊相同的角具有相同的三角函數(shù)值；也便于觀察各三角函數(shù)在各象限中符號(hào)的變化情況，加深對(duì)任意角三角函數(shù)概念的理解，增強(qiáng)教學(xué)效果．）內(nèi)的角，以便分散這個(gè)難點(diǎn)． 五．教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 1．理解銳角三角函數(shù)

要理解任意角三角函數(shù)首先要理解銳角三角函數(shù)．銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的先行組織者．

問(wèn)題1 任意畫(huà)一個(gè)銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．

教師用幾何畫(huà)板任意畫(huà)一個(gè)銳角．要求學(xué)生自己任意也畫(huà)一個(gè)銳角，利用手中的三角板畫(huà)直角三角形，度量角α的對(duì)邊長(zhǎng)、斜邊長(zhǎng)，計(jì)算比值．

意圖：復(fù)習(xí)初中所學(xué)習(xí)過(guò)的銳角三角函數(shù)，加深對(duì)銳角三角函數(shù)概念的理解，它是學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的基礎(chǔ)．突出：

（1）與點(diǎn)的位置的選取無(wú)關(guān)；（2）是直角三角形中線段長(zhǎng)度的比值． 問(wèn)題2 能否把某條線段畫(huà)成單位長(zhǎng)，有些三角函數(shù)值不用計(jì)算就可以得到？

意圖：學(xué)生根據(jù)自己實(shí)際畫(huà)圖操作，以及計(jì)算比值的體驗(yàn)，會(huì)很快認(rèn)為把斜邊畫(huà)成單位長(zhǎng)比較方便，為后續(xù)任意角三角函數(shù)的“單位圓定義法”做鋪墊．

問(wèn)題3 銳角三角函數(shù)sinα作為一個(gè)函數(shù)，自變量以及與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別是什么？

意圖：以便與后面的任意角三角函數(shù)的自變量是角（的弧度，對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)），對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是α的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)比較．

銳角三角函數(shù)sinα作為一個(gè)函數(shù)，自變量是銳角．由于角的弧度值與實(shí)數(shù)可以一一對(duì)應(yīng)，所以，α是（0，）上的實(shí)數(shù)．而與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值sinα是線段長(zhǎng)度的比值，是區(qū)間（0，1）上的實(shí)數(shù)．

問(wèn)題4 你產(chǎn)生過(guò)這個(gè)疑問(wèn)嗎：“三角函數(shù)只有這三個(gè)？”

意圖：這個(gè)問(wèn)題具有元認(rèn)知提示的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生勤于思考，逐步學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、研究問(wèn)題．

三條邊相互比，可以產(chǎn)生六個(gè)比．還有哪三個(gè)呢？再把已知的三個(gè)倒過(guò)來(lái)． 2．任意角三角函數(shù)定義的“再創(chuàng)造”

教師利用幾何畫(huà)板，把角α的頂點(diǎn)定義為原點(diǎn)，一邊與x軸的正半軸重合，轉(zhuǎn)動(dòng)另一條邊，表現(xiàn)任意角．

問(wèn)題5 現(xiàn)在，角的范圍擴(kuò)大了．在直角坐標(biāo)系中，使得角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環(huán)境下，你認(rèn)為，對(duì)于任意角α，sinα，cosα，tanα怎樣來(lái)定義好呢？

意圖：可以打破知識(shí)結(jié)構(gòu)的平衡，感受到學(xué)習(xí)新知識(shí)的必要性——角的范圍擴(kuò)大了，銳角三角函數(shù)也應(yīng)該“與時(shí)俱進(jìn)”，并不顯得突然．把定義的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生參與定義過(guò)程，發(fā)展思維．

有兩種可能的回答．

可能一：在α的終邊上任意畫(huà)一點(diǎn)P（x，y），|OP|＝r．

可能二：設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P（x，y）．

不論出現(xiàn)可能一還是可能二，都再問(wèn)：“都是這樣的嗎？”

引導(dǎo)學(xué)生議論，以確認(rèn)兩種定義方法的一致性、各自特點(diǎn)．再問(wèn)“你贊成哪一種？”，統(tǒng)一認(rèn)識(shí)，建立任意角三角函數(shù)的定義．（板書(shū)）

因?yàn)榍懊嬉呀?jīng)有引導(dǎo)，學(xué)生可能很快接受“可能二”． 3．任意角三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)（對(duì)定義的體驗(yàn)）

問(wèn)題6（1）求下列三角函數(shù)值：

問(wèn)題6（2）說(shuō)出幾個(gè)使得cosα＝1的α的值． 意圖：通過(guò)定義的簡(jiǎn)單應(yīng)用，把握定義的內(nèi)涵．

逐題給出，對(duì)于每一個(gè)答案，都要求學(xué)生說(shuō)出“你是怎樣得到的．”突出“畫(huà)終邊，找交點(diǎn)坐標(biāo)，算比值（對(duì)正切函數(shù)）”的步驟．

問(wèn)題6（3）指出下列函數(shù)值：

意圖：角的終邊位置決定了三角函數(shù)值的大?。K邊位置相同的角同一三角函數(shù)值相等．于是有 sin（α＋2kπ）＝sinα，cos（α＋2kπ）＝cosα，tan（α＋2kπ）＝tanα．（其中k∈Z）問(wèn)題6（4）

①確定下列三角函數(shù)的符號(hào)：

②θ在哪個(gè)象限？請(qǐng)說(shuō)明理由．反過(guò)來(lái)呢？

③角α的哪些三角函數(shù)值在第二、三象限都是負(fù)數(shù)？為什么？ ④tanα在哪些象限中取正數(shù)？為什么？ 意圖：認(rèn)識(shí)三角函數(shù)在各象限中的符號(hào)．

問(wèn)題7 做了這么多題，要反思．你是否發(fā)現(xiàn)了任意角三角函數(shù)的一些性質(zhì)？還有些什么體會(huì)？ 意圖：體驗(yàn)以后的概括，階段小結(jié)．（1）抓住各三角函數(shù)的定義不放；（2）各象限中三角函數(shù)的符號(hào)特點(diǎn)，等．

教師板書(shū)學(xué)生獲得的成果、感受． 4．任意角三角函數(shù)的定義域

問(wèn)題8 α是任意角，作為函數(shù)的sinα，cosα，tanα，它們的定義域分別是什么？

意圖：三角函數(shù)也是函數(shù)，自然應(yīng)該關(guān)心它的定義域．

建立了角的弧度制，角的集合與實(shí)數(shù)集合之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此，sinα，cosα的定義域是R；tanα＝中，x≠0，于是tanα的定義域是

仍然緊扣定義，并引導(dǎo)以弧度制表示它的定義域． 5．練習(xí)

（1）確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)，并借助計(jì)算器計(jì)算：

（2）求下列三角函數(shù)值：

6．小結(jié)

問(wèn)題9 下課后，你走出教室，如果有人問(wèn)你：“過(guò)去你就學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)，今天又學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)，它們的差別在哪里呢？”你怎么回答他？

意圖：通過(guò)問(wèn)題小結(jié)．不追求面面俱到，突出銳角三角函數(shù)是三角形中，邊長(zhǎng)的比值，而任意角的三角函數(shù)是直角坐標(biāo)系中角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)，或者是坐標(biāo)的比值．

若時(shí)間允許，再問(wèn)：“還有其他收獲嗎？”比如，終邊相同的角的同一三角函數(shù)相等；各象限三角函數(shù)的符號(hào)；任意角三角函數(shù)的定義域，等． 六．目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

（1），寫(xiě)出α的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，并寫(xiě)出tanα的值．

（2）求下列三角函數(shù)的值：

（3）角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)是Q，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是1/2，說(shuō)出幾個(gè)滿(mǎn)足條件的角α．

（4）點(diǎn)P（3，－4）在角α終邊上，說(shuō)出sinα，cosα，tanα分別是多少？

（1）實(shí)際教學(xué)片段

上課始，教師用幾何畫(huà)板任意畫(huà)一個(gè)銳角，提出問(wèn)題1：“任意畫(huà)一個(gè)銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．”然后走進(jìn)學(xué)生中間，觀察他們的學(xué)習(xí)行為．結(jié)果發(fā)現(xiàn)，有一部分同學(xué)畫(huà)出角之后，一片茫然．教師又不愿意把結(jié)果告訴學(xué)生，提示同桌的兩位同學(xué)可以商量一下，并提示，完成的同學(xué)請(qǐng)舉手示意，以便教師了解情況，結(jié)果舉手的人很少．之后，教師提問(wèn)一位舉手的學(xué)生，問(wèn)：“你是怎么做的？”她要求上黑板，教師非常贊成．她在黑板上畫(huà)出一個(gè)直角三角形，并不熟練地寫(xiě)出一個(gè)銳角的正弦是它的對(duì)邊比斜邊以及余弦、正切等三個(gè)三角函數(shù)．之后，教師又與學(xué)生討論了問(wèn)題2：能否把某條線段畫(huà)成單位長(zhǎng)，有些三角函數(shù)值不用計(jì)算就可以得到？學(xué)生比較一致認(rèn)為把斜邊長(zhǎng)畫(huà)成單位長(zhǎng)比較好，為“單位圓定義法”做必要的鋪墊．接著討論問(wèn)題3：銳角三角函數(shù)sinα作為一個(gè)函數(shù)，自變量以及與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別是什么？在教師類(lèi)比正方形的面積s＝a2的提示下，學(xué)生說(shuō)出銳角三角函數(shù)中自變量以及與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別是角、比值，最后討論問(wèn)題4：你產(chǎn)生過(guò)這個(gè)疑問(wèn)嗎：“三角函數(shù)只有這三個(gè)？”有學(xué)生舉手，表示想過(guò)這個(gè)問(wèn)題，應(yīng)該是六個(gè)，另外三個(gè)可以把現(xiàn)有的三個(gè)倒一下得到．至此，時(shí)間已經(jīng)過(guò)去20多分鐘．

教師本以為，學(xué)生在初中既然學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)，對(duì)給出的一個(gè)銳角，借助三角板構(gòu)造直角三角形，找出它的正弦、余弦的近似值是很容易的事，而恰恰在這一點(diǎn)上，學(xué)生耗費(fèi)了大量的時(shí)間，而教師又不想越俎代庖地告訴學(xué)生，這就嚴(yán)重影響了后續(xù)建立任意角三角函數(shù)的概念，并通過(guò)特殊角的求值體驗(yàn)、把握內(nèi)涵的時(shí)間保證，造成體驗(yàn)不夠，概括

過(guò)早，應(yīng)用更少的現(xiàn)象．

（2）問(wèn)題出在哪里

問(wèn)題在教學(xué)設(shè)計(jì)不夠合理，當(dāng)中的“教學(xué)問(wèn)題診斷分析”不夠準(zhǔn)確．沒(méi)有準(zhǔn)確把握學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)與認(rèn)識(shí)能力，對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)的困難估計(jì)不足．尤其是，對(duì)學(xué)生關(guān)于銳角三角函數(shù)的理解估計(jì)過(guò)高．主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面，一是初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)是在直角三角形中進(jìn)行的，并不要求給出一個(gè)銳角，兩邊是射線，求出它的三角函數(shù)值．二是并不要求把“銳角三角函數(shù)”作為函數(shù)來(lái)認(rèn)識(shí)，比如關(guān)注它的自變量是角，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是比值，更不關(guān)心它的定義域、值域以及對(duì)應(yīng)法則這些函數(shù)的要素．只要求運(yùn)用符號(hào)sinA，cosA，tanA的意義來(lái)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算，等．現(xiàn)在，要求學(xué)生從函數(shù)角度建立任意角三角函數(shù)概念這就失去了概念的上位支持．

關(guān)于銳角三角函數(shù)，在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中，是在“空間與圖形”的“圖形與變換”部分．標(biāo)準(zhǔn)指出：“通過(guò)實(shí)例認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值；會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它對(duì)應(yīng)的銳角．”以及“運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡(jiǎn)

單實(shí)際問(wèn)題．”

筆者查閱了按照“課程標(biāo)準(zhǔn)”編寫(xiě)的幾套初中教材，給出sinA的方式基本上一致，是：

如圖（圖略），在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正弦（sine），記作sinA，即”（對(duì)cosA，tanA有類(lèi)似的定義）并指出“銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函

數(shù)．”

以后的內(nèi)容（包括解實(shí)際問(wèn)題），都是有關(guān)三角函數(shù)值的計(jì)算，并不強(qiáng)調(diào)它們的函數(shù)特征．有的教材雖然指出“對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以sinA是A的函數(shù)．同樣地，cosA，tanA也是A的函數(shù)．”作出了銳角三角函數(shù)是一種特殊的函數(shù)的提示，由于缺少必要的練習(xí)，作用并不大．應(yīng)該說(shuō)，這些都不違背“課程標(biāo)準(zhǔn)” 的要求．可見(jiàn)學(xué)生在初中學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)有正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)，銳角三角函數(shù)并不納入“函

數(shù)”這個(gè)系統(tǒng)．

初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)有一個(gè)特定的載體，這就是直角三角形，因此，當(dāng)他們面對(duì)任意畫(huà)出的一個(gè)銳角，其兩條邊是射線，要求出這個(gè)角的三角函數(shù)的近似值這個(gè)新情境時(shí)，竟不知如何是好，手足無(wú)措，無(wú)計(jì)可施，也說(shuō)明學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)并不理解．這樣看來(lái)，畫(huà)出一個(gè)銳角，要求學(xué)生會(huì)取點(diǎn)、畫(huà)垂線、度量、計(jì)算比值的要求是必要的．

有教師認(rèn)為，不必復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)，直接提出問(wèn)題“同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)，你認(rèn)為應(yīng)該怎樣來(lái)定義任意角的三角函數(shù)？”這種“大撒手”的問(wèn)題跨度太大，學(xué)生更難回答．原因是對(duì)銳角三角函數(shù)的“函數(shù)”特征認(rèn)識(shí)不足、理解不到位，要讓學(xué)生直接建立任意角的三角函數(shù)，又要突出“函數(shù)”這一特征，很困難．因此，為建立任意角的三角函數(shù)的概念，需要先復(fù)習(xí)初中銳角三角函數(shù)的概念，因?yàn)閺匿J角（三角函數(shù)）到任意角（三角函數(shù)）又是由下位到上位的學(xué)習(xí)．教材要求首先把直角三角形中邊長(zhǎng)的比值擴(kuò)展到坐標(biāo)或者坐標(biāo)的比值，在直角坐標(biāo)系中認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)，并引導(dǎo)學(xué)生從“函數(shù)”的角度認(rèn)識(shí)它，也就是弄清自變量以及與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)分別是什么是必要的．

（3）對(duì)教學(xué)的反思

高中教師應(yīng)該了解義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，了解初中教材，了解學(xué)生在初中學(xué)習(xí)過(guò)哪些內(nèi)容，尤其是相應(yīng)的教學(xué)目標(biāo)是什么，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．應(yīng)該做好初、高中的銜接工作，不僅注意知識(shí)的銜接，還要注意思想方法、能力要求等各方面的銜接，為學(xué)習(xí)高中的相關(guān)內(nèi)容做好鋪墊．以為已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)，學(xué)生就能夠把它理解為一種特殊的函數(shù)，是一個(gè)明顯的例子．

教科書(shū)在節(jié)首提出的“思考”是：“我們已經(jīng)學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù)嗎”其實(shí)，學(xué)生只知道銳角三角函數(shù)是直角三角形中邊長(zhǎng)的比值，并不完全知道“它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)”，這就需要通過(guò)復(fù)習(xí)，來(lái)幫助學(xué)生

補(bǔ)上這一點(diǎn)．

2．其他反思

（1）由于學(xué)生在復(fù)習(xí)階段花了較多的時(shí)間，影響了新課的學(xué)習(xí)，用任意角三角函數(shù)概念解題的時(shí)間不多，體驗(yàn)不夠，有教師提出“下課后練習(xí)不好做”，說(shuō)明復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)沒(méi)有必要．筆者認(rèn)為，當(dāng)“預(yù)設(shè)”與“生成”發(fā)生矛盾時(shí)，教師寧可選擇“生成”．尊重學(xué)生的認(rèn)知水平，尊重學(xué)生的認(rèn)知心理過(guò)程，決不簡(jiǎn)單化，把結(jié)論直接告訴給學(xué)生，追求“結(jié)果”，追求“完成”教學(xué)任務(wù)．教師不能認(rèn)為我已經(jīng)把這個(gè)概念告訴你了，你就應(yīng)該知道了．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)不是“告訴教學(xué)”，概念不能靠學(xué)生“復(fù)制”，對(duì)概念需要的是理解，需要學(xué)生用自己的體驗(yàn)建立起對(duì)概念的理解．什么是“教學(xué)任務(wù)”，不能僅限于知識(shí)要求，要注意學(xué)生的全面發(fā)展．比如，當(dāng)學(xué)生不能正確選擇在角的一邊上取點(diǎn)，畫(huà)垂線時(shí)，啟示學(xué)生互相討論、啟發(fā)一下，借助于同伴的幫助解決問(wèn)題．當(dāng)學(xué)生不能說(shuō)出“作為函數(shù)的銳角三角函數(shù)，自變量以及它的函數(shù)分別是什么”（屬性）意義不清，不好回答時(shí)，教師降低難度，啟發(fā)類(lèi)比S＝a2中a表示邊長(zhǎng)，而S表示正方形的面積．突出線段長(zhǎng)、面積，等等．

“任意角三角函數(shù)的概念”與作為第一節(jié)課的“任意角三角函數(shù)的概念”不是同一個(gè)概念．對(duì)“任意角三角函數(shù)的概念”的認(rèn)識(shí)、理解不是一蹴而就的，不是一節(jié)課可以完成的任務(wù)，需要一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程．比如，把角度化成弧度到底是為了什么？即便化成弧度，又為什么省略不寫(xiě)呢？建立角的弧度與實(shí)數(shù)間的一一對(duì)應(yīng)有什么必要呢？任意角三角函數(shù)的自變量明明白白是角，為什么偏要把它說(shuō)成實(shí)數(shù)呢？剛剛接觸任意角三角函數(shù)就要求理解這一切是十分困難的．隨著學(xué)習(xí)的深入，尤其是三角函數(shù)的應(yīng)用，學(xué)生才能慢慢消除這些疑問(wèn)，逐漸理解它．比如，在三相交流電路中，某一相電路中的電流強(qiáng)度IA＝Imsin（ωt）（其中Im是電路中電流強(qiáng)度的峰值），三角函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的基本數(shù)學(xué)模型；再比如，當(dāng)學(xué)生接觸到函數(shù)y＝sin（cosx）后，再來(lái)看三角函數(shù)的定義域，會(huì)認(rèn)識(shí)到抽象后的任意角三角函數(shù)的自變量作為實(shí)數(shù)更具廣泛性．

這一節(jié)課把教學(xué)的基本要求定位在，弄清任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的區(qū)別，接受用坐標(biāo)（或坐標(biāo)的比值）表示三角函數(shù)就夠了．如同在建立數(shù)軸之后，一個(gè)知道把向東2公里表示為2公里而向西2公里表示成－2公里，接受“路程也可以是負(fù)數(shù)”的學(xué)生，就已經(jīng)開(kāi)始接受有理數(shù)，逐漸成為中學(xué)生了．

還需要注意的是，應(yīng)該通過(guò)什么方式讓學(xué)生建立起用坐標(biāo)（或比值）表示任意角三角函數(shù)，以及領(lǐng)會(huì)建立這個(gè)概念過(guò)程

中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法．

（2）在求cosπ時(shí)，一個(gè)學(xué)生說(shuō)出的結(jié)果是0.9985．教師追問(wèn)“你是怎么算出來(lái)的？”他回答：“用計(jì)算器．”后來(lái)，筆者用計(jì)算器做了實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)他用計(jì)算器計(jì)算時(shí)，把計(jì)算器中的角度模式（Mode）設(shè)置成了角度制（Degree）．在這種模式下，計(jì)算cosπ可以得到0.9985（即計(jì)算的是cosπ°）．如果把角度模式設(shè)置成了弧度制（Radian），計(jì)算cosπ仍可以得到－1．這件事的出現(xiàn)給我以及所有聽(tīng)課教師引發(fā)諸多思考．第一，這位同學(xué)沒(méi)有關(guān)注到這節(jié)課剛學(xué)習(xí)過(guò)的概念，運(yùn)用新概念解決當(dāng)前的問(wèn)題，而是停留在“三角函數(shù)值是能夠用計(jì)算器算出來(lái)的”這個(gè)認(rèn)識(shí)水平上；第二，反映了計(jì)算器的過(guò)度使用，會(huì)形成對(duì)學(xué)具的依賴(lài)，影響學(xué)生思維能力的發(fā)展．學(xué)具的功能越全面越強(qiáng)大不一定是好事．比如，具有解方程（Solve）功能的計(jì)算器在初中使用可能會(huì)削弱解一元二次方程的學(xué)習(xí)；具有圖象功能的計(jì)算器的過(guò)早使用可能會(huì)干擾函數(shù)的學(xué)習(xí)．因此，教師應(yīng)該注意技術(shù)在教學(xué)中的“輔助”作用，適度使用教具，重視算理分析，重視算法的來(lái)源，重視思維能力的培養(yǎng)，而不是追求計(jì)算結(jié)果．

借班上課，對(duì)學(xué)生的不熟悉是教師的苦惱，加上教學(xué)進(jìn)度等問(wèn)題，學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備不足（在教學(xué)任意角三角函數(shù)概念之前僅上過(guò)一堂“任意角”的課），是教學(xué)并不理想的一個(gè)重要原因．教學(xué)過(guò)程是師生雙邊活動(dòng)的過(guò)程，離不開(kāi)師生之間的交流，生疏是交流的障礙之一，生疏更難以做到師生之間配合默契．另外，學(xué)生對(duì)教師的教學(xué)風(fēng)格的適應(yīng)或認(rèn)可也有一個(gè)過(guò)程，比如教師希望學(xué)生積極發(fā)言而不僅是聽(tīng)講，等等．

（3）討論中，老師們提出了許多有價(jià)值的教學(xué)應(yīng)該遵循的一般規(guī)律以及一些先進(jìn)的教學(xué)理念，但是，要求一節(jié)課全面體現(xiàn)各種先進(jìn)教學(xué)理念，去承擔(dān)反映數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律中太多的東西是不現(xiàn)實(shí)，也是不應(yīng)該的．

課堂教學(xué)是一項(xiàng)實(shí)踐性很強(qiáng)的工作，除了認(rèn)真的課前準(zhǔn)備外，對(duì)教學(xué)過(guò)程中出現(xiàn)的“突發(fā)事件”，隨機(jī)應(yīng)變十分重要．教師需要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)識(shí)過(guò)程，隨時(shí)修改自己的教學(xué)設(shè)計(jì)，調(diào)整教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)要求，改變策略，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▽?shí)施教學(xué)，以達(dá)到最佳教學(xué)效果．這一切都需要教師有很強(qiáng)的基本功．