第一篇：任意角的三角函數(shù)教學案例1

任意角的三角函數(shù)教學案例

一、教學內容解析

這是一堂關于任意角的三角函數(shù)的概念課．

在初中，學生已學過銳角三角函數(shù)，知道直角三角形中銳角的三角函數(shù)等于相應邊長的比值．在此基礎上，隨著本章將角的概念推廣，以及引入弧度制后，這里相應地也要將銳角三角函數(shù)推廣為任意角的三角函數(shù)，但它與解三角形已經沒有什么關系了．任意角的三角函數(shù)是研究一個實數(shù)集（角的弧度數(shù)構成的集合）到另一個實數(shù)集（角的終邊與單位圓交點的坐標或其比值構成的集合）的對應關系，認識它需要借助單位圓、角的終邊以及二者的交點這些幾何圖形的直觀幫助，這中間體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想．三角函數(shù)是又一種基本初等函數(shù)，它作為描述周期變化現(xiàn)象的最常見、最基本的數(shù)學模型，不僅在高中數(shù)學中有廣泛的應用，而且在其他領域中也具有廣泛的應用．而任意角三角函數(shù)的概念又是整個三角函數(shù)內容的基礎，所以它不僅是三角函數(shù)內容的核心概念，同時在高中數(shù)學中還占有重要的地位．本節(jié)課將圍繞任意角三角函數(shù)的概念展開，任意角三角函數(shù)的定義是這節(jié)課的重點，能夠利用單位圓認識該定義是解決教學重點的關鍵．

二、教學目標解析

1．借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義：（1）能用直角坐標系中角的終邊與單位圓交點的坐標來表示銳角三角函數(shù)；（2）能用直角坐標系中角的終邊與單位圓交點的坐標來表示任意角的三角函數(shù)；（3）知道三角函數(shù)是研究一個實數(shù)集（角的弧度數(shù)構成的集合）到另一個實數(shù)集（角的終邊與單位圓交點的坐標或其比值構成的集合）的對應關系，正弦、余弦和正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)．

2．在借助單位圓認識任意角三角函數(shù)的定義的過程中，體會數(shù)形結合的思想，并利用這一思想解決有關定義應用的問題．

三、教學問題診斷分析

1．學生在理解用終邊上任意一點的坐標來表示銳角三角函數(shù)時可能會出現(xiàn)障礙，原因是學生在此之前都是研究直角三角形中銳角的三角函數(shù)，并習慣了直觀地用有關邊長的比值來表示銳角三角函數(shù)．要克服這一困難，關鍵是幫助學生建立終邊上點的坐標的比值與直角三角形有關邊長的比值的聯(lián)系．

2．學生在理解將終邊上任意一點取在終邊與單位圓的交點這一特殊位置上時，又可能會出現(xiàn)障礙，原因是他們可能會認為這一特殊點不具有任意性．針對這一問題，應引導學生利用相似三角形的知識來認識，明白對于一個確定的角，其三角函數(shù)值也就唯一確定了，表示其三角函數(shù)的比值不會隨終邊上所取點的位置的改變而改變．

3．學生在將用單位圓定義銳角三角函數(shù)推廣到定義任意角的三角函數(shù)時，還可能會出現(xiàn)障礙，主要原因還是受初中銳角三角函數(shù)定義的影響，仍然局限在直角三角形中思考問題．要幫助學生克服這一困難，就要讓學生知道，借助單位圓，用終邊與單位圓交點的坐標來表示三角函數(shù)，就是為了很好地解決在直角三角形中不能定義任意角的三角函數(shù)的問題，用單位圓統(tǒng)一定義三角函數(shù)，不僅沒有改變初中銳角三角函數(shù)定義的本質，同時還能定義任意角的三角函數(shù)．

四、教學過程設計

（一）教學基本流程

（二）教學情景

1．復習銳角三角函數(shù)的定義

問題1：在初中，我們已經學過銳角三角函數(shù)．如圖1，在直角△POM中，∠M是直角，那么根據銳角三角函數(shù)的定義，∠O的正弦、余弦和正切分別是什么？

師生活動：教師提出問題，學生回答． 2．認識任意角三角函數(shù)的定義

問題2：在上節(jié)教科書的學習中，我們已經將角的概念推廣到了任意角，現(xiàn)在所說的角可以是任意大小的正角、負角和零角．那么任意角的三角函數(shù)又該怎樣定義呢？

師生活動：在教學中，可以根據學生的實際情況，利用下列問題引導學生進行思考：（1）能不能繼續(xù)在直角三角形中定義任意角的三角函數(shù)？ 以此來引導學生在平面直角坐標系內定義任意角的三角函數(shù)．

如果學生仍然不能想到借助平面直角坐標系來定義，那么可以進一步提出下列問題來啟發(fā)學生進行思考：

（2）在上節(jié)教科書中，將銳角的概念推廣到任意角時，我們是把角放在哪里進行研究的？

進一步引導學生在平面直角坐標系內定義任意角的三角函數(shù)．在此基礎上，組織學生討論：

（3）如圖2，在平面直角坐標系中，如何定義任意角α的三角函數(shù)呢？

如果學生仍用直角三角形邊長的比值來定義，則可以作下列引導：

（4）終邊是OP的角一定是銳角嗎？如果不是，能利用直角三角形的邊長來定義嗎？如圖3，如果角α的終邊不在第I象限又該怎么辦？

（5）我們知道，借助平面直角坐標系，就可以把幾何問題代數(shù)化，比如把點用坐標表示，把線段的長用坐標算出來．我們還是回到銳角三角函數(shù)的問題上，大家能不能用平面直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示定義式中的三條邊長呢？

滲透數(shù)形結合的思想．

（6）利用平面直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來定義有什么好處？ 問題3：大家有沒有辦法讓所得到的定義式變得更簡單一點？

師生活動：教師提出問題后，可組織學生展開討論．在學生不能正確回答時，可啟發(fā)他們思考下列問題：

（1）我們在定義1弧度的角的時候，利用了一個什么圖形？所用的圓與半徑大小有關嗎？用半徑多大的圓定義起來更簡單易懂些？（2）對于一個三角函數(shù)，比如y＝sinα，它的函數(shù)值是由什么決定的？那么當一個角的終邊位置確定以后，能不能取終邊上任意一點來定義三角函數(shù)？取哪一點可以使得我們的定義式變得簡單些？怎樣??？

加強與幾何的聯(lián)系．

問題4：大家現(xiàn)在能不能給出任意角三角函數(shù)的定義了？ 師生活動：由學生給出任意角三角函數(shù)的定義，教師進行整理．

問題5：根據任意角三角函數(shù)的定義，要求角α的三個三角函數(shù)值其實就是分別是求什么？

師生活動：在學生回答問題的基礎上，引導學生利用定義求三角函數(shù)值．

例1：已知角α的終邊經過點，求角α的正弦、余弦和正切值．

師生活動：在完成本題的基礎上，可通過下列變式引導學生對三角函數(shù)的概念作進一步的認識：

變式1：求的正弦、余弦和正切值．

變式2：已知角α的終邊經過點P（－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切值． 3．進一步理解任意角三角函數(shù)的概念

問題6：你能否給出正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域？ 師生活動：學生求出定義域，教師進行整理． 問題7：上述三種函數(shù)的值在各象限的符號會怎樣？ 師生活動：學生回答，教師整理．

例2：求證：（1）當不等式組成立時，角θ為第三象限角；

（2）當角θ為第三象限角時，不等式組成立．

師生活動：在完成本題的基礎上，可視情況改變題目的條件或結論，作變式訓練． 問題8：既然我們知道了三角函數(shù)的函數(shù)值是由角的終邊的位置決定的，那么角的終邊每繞原點旋轉一周，它的大小將會怎樣變化？它所對應的三角函數(shù)值又將怎樣變化？ 師生活動：在教師引導下，由學生討論完成．

例3：先確定下列三角函數(shù)值的符號，然后再求出它們的值：

師生活動：先完成題（1），再通過改變函數(shù)名稱和角，逐步完成其他各題． 4．練習1．填表：

角α 角α的弧度數(shù)

sin α cos α tan α 0°

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

2．設α是三角形的一個內角，在sinα，cosα，tanα，是

．

3．選擇“>”，“<”，“＝”填空：

中，有可能取負值的4．選擇①sin θ>0，② sin θ<0，③cos θ>0，④ cos θ<0，⑤ tan θ>0，⑥ tan θ<0中適當?shù)年P系式的序號填空：

（1）當角θ為第一象限角時，反之也對；（2）當角θ為第二象限角時，反之也對；（3）當角θ為第三象限角時，反之也對；（4）當角θ為第四象限角時，反之也對． 5．求的正弦、余弦和正切值．

6．已知角θ的終邊經過點P（－12，5），求角θ的正弦、余弦和正切值． 7．求下列三角函數(shù)值（求非特殊角的三角函數(shù)值可用計算器）：

師生活動：根據教學的實際情況，對練習題的數(shù)量和內容作具體調整． 5．小結

問題9：銳角三角函數(shù)與解直角三角形直接相關，初中我們是利用直角三角形邊的比值來表示其銳角的三角函數(shù)．通過今天的學習，我們知道任意角的三角函數(shù)雖然是銳角三角函數(shù)的推廣，但它與解三角形已經沒有什么關系了．我們是利用單位圓來定義任意角的三角函數(shù)，借助直角坐標系中的單位圓，我們建立了角的變化與單位圓上點的變化之間的對應關系，進而利用單位圓上點的坐標或坐標的比值來表示圓心角的三角函數(shù)．你能再回顧一下我們是如何借助單位圓給出任意角三角函數(shù)的定義嗎？

師生活動：在學生給出定義之后，教師進一步強調用單位圓定義三角函數(shù)的優(yōu)點． 問題10：今天我們不僅學習了任意角三角函數(shù)的定義，還接觸了定義的一些應用．你能不能歸納一下，今天我們利用定義解決了哪些問題？

師生活動：在學生回顧與總結的基礎上，教師有意識地引導學生體會定義應用過程中所蘊含的數(shù)形結合思想．

6．作業(yè) 教科書習題

第二篇：任意角的三角函數(shù)教學案例1

任意角的三角函數(shù)教學案例

一、教學內容解析

這是一堂關于任意角的三角函數(shù)的概念課．

在初中，學生已學過銳角三角函數(shù)，知道直角三角形中銳角的三角函數(shù)等于相應邊長的比值．在此基礎上，隨著本章將角的概念推廣，以及引入弧度制后，這里相應地也要將銳角三角函數(shù)推廣為任意角的三角函數(shù)，但它與解三角形已經沒有什么關系了．任意角的三角函數(shù)是研究一個實數(shù)集（角的弧度數(shù)構成的集合）到另一個實數(shù)集（角的終邊與單位圓交點的坐標或其比值構成的集合）的對應關系，認識它需要借助單位圓、角的終邊以及二者的交點這些幾何圖形的直觀幫助，這中間體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想．三角函數(shù)是又一種基本初等函數(shù)，它作為描述周期變化現(xiàn)象的最常見、最基本的數(shù)學模型，不僅在高中數(shù)學中有廣泛的應用，而且在其他領域中也具有廣泛的應用．而任意角三角函數(shù)的概念又是整個三角函數(shù)內容的基礎，所以它不僅是三角函數(shù)內容的核心概念，同時在高中數(shù)學中還占有重要的地位．本節(jié)課將圍繞任意角三角函數(shù)的概念展開，任意角三角函數(shù)的定義是這節(jié)課的重點，能夠利用單位圓認識該定義是解決教學重點的關鍵．

二、教學目標解析

1．借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義：（1）能用直角坐標系中角的終邊與單位圓交點的坐標來表示銳角三角函數(shù)；（2）能用直角坐標系中角的終邊與單位圓交點的坐標來表示任意角的三角函數(shù)；（3）知道三角函數(shù)是研究一個實數(shù)集（角的弧度數(shù)構成的集合）到另一個實數(shù)集（角的終邊與單位圓交點的坐標或其比值構成的集合）的對應關系，正弦、余弦和正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)．

2．在借助單位圓認識任意角三角函數(shù)的定義的過程中，體會數(shù)形結合的思想，并利用這一思想解決有關定義應用的問題．

三、教學問題診斷分析

1．學生在理解用終邊上任意一點的坐標來表示銳角三角函數(shù)時可能會出現(xiàn)障礙，原因是學生在此之前都是研究直角三角形中銳角的三角函數(shù)，并習慣了直觀地用有關邊長的比值來表示銳角三角函數(shù)．要克服這一困難，關鍵是幫助學生建立終邊上點的坐標的比值與直角三角形有關邊長的比值的聯(lián)系．

2．學生在理解將終邊上任意一點取在終邊與單位圓的交點這一特殊位置上時，又可能會出現(xiàn)障礙，原因是他們可能會認為這一特殊點不具有任意性．針對這一問題，應引導學生利用相似三角形的知識來認識，明白對于一個確定的角，其三角函數(shù)值也就唯一確定了，表示其三角函數(shù)的比值不會隨終邊上所取點的位置的改變而改變．

3．學生在將用單位圓定義銳角三角函數(shù)推廣到定義任意角的三角函數(shù)時，還可能會出現(xiàn)障礙，主要原因還是受初中銳角三角函數(shù)定義的影響，仍然局限在直角三角形中思考問題．要幫助學生克服這一困難，就要讓學生知道，借助單位圓，用終邊與單位圓交點的坐標來表示三角函數(shù)，就是為了很好地解決在直角三角形中不能定義任意角的三角函數(shù)的問題，用單位圓統(tǒng)一定義三角函數(shù)，不僅沒有改變初中銳角三角函數(shù)定義的本質，同時還能定義任意角的三角函數(shù)．

四、教學支持條件分析

為了加強學生對三角函數(shù)定義的理解，幫助學生克服在理解定義過程中可能遇到的障礙，本節(jié)課準備在計算機的支持下，利用幾何畫板動態(tài)地研究任意角與其終邊和單位圓交點坐標的關系，構建有利于學生建立概念的“多元聯(lián)系表示”的教學情境，使學生能夠更好地數(shù)形結合地進行思維．

五、教學過程設計

（一）教學基本流程

（二）教學情景

1．復習銳角三角函數(shù)的定義

問題1：在初中，我們已經學過銳角三角函數(shù)．如圖1，在直角△POM中，∠M是直角，那么根據銳角三角函數(shù)的定義，∠O的正弦、余弦和正切分別是什么？

設計意圖：幫助學生回顧初中銳角三角函數(shù)的定義． 師生活動：教師提出問題，學生回答． 2．認識任意角三角函數(shù)的定義

問題2：在上節(jié)教科書的學習中，我們已經將角的概念推廣到了任意角，現(xiàn)在所說的角可以是任意大小的正角、負角和零角．那么任意角的三角函數(shù)又該怎樣定義呢？

設計意圖：引導學生將銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)．

師生活動：在教學中，可以根據學生的實際情況，利用下列問題引導學生進行思考：（1）能不能繼續(xù)在直角三角形中定義任意角的三角函數(shù)？ 以此來引導學生在平面直角坐標系內定義任意角的三角函數(shù)．

如果學生仍然不能想到借助平面直角坐標系來定義，那么可以進一步提出下列問題來啟發(fā)學生進行思考：

（2）在上節(jié)教科書中，將銳角的概念推廣到任意角時，我們是把角放在哪里進行研究的？

進一步引導學生在平面直角坐標系內定義任意角的三角函數(shù)．在此基礎上，組織學生討論：

（3）如圖2，在平面直角坐標系中，如何定義任意角α的三角函數(shù)呢？

如果學生仍用直角三角形邊長的比值來定義，則可以作下列引導：

（4）終邊是OP的角一定是銳角嗎？如果不是，能利用直角三角形的邊長來定義嗎？如圖3，如果角α的終邊不在第I象限又該怎么辦？

（5）我們知道，借助平面直角坐標系，就可以把幾何問題代數(shù)化，比如把點用坐標表示，把線段的長用坐標算出來．我們還是回到銳角三角函數(shù)的問題上，大家能不能用平面直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示定義式中的三條邊長呢？ 滲透數(shù)形結合的思想．

（6）利用平面直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來定義有什么好處？ 問題3：大家有沒有辦法讓所得到的定義式變得更簡單一點？ 設計意圖：為引入單位圓進行鋪墊．

師生活動：教師提出問題后，可組織學生展開討論．在學生不能正確回答時，可啟發(fā)他們思考下列問題：

（1）我們在定義1弧度的角的時候，利用了一個什么圖形？所用的圓與半徑大小有關嗎？用半徑多大的圓定義起來更簡單易懂些？

（2）對于一個三角函數(shù)，比如y＝sinα，它的函數(shù)值是由什么決定的？那么當一個角的終邊位置確定以后，能不能取終邊上任意一點來定義三角函數(shù)？取哪一點可以使得我們的定義式變得簡單些？怎樣??？

加強與幾何的聯(lián)系．

問題4：大家現(xiàn)在能不能給出任意角三角函數(shù)的定義了？

設計意圖：引導學生在借助單位圓定義銳角三角函數(shù)的基礎上，進一步給出任意角三角函數(shù)的定義．

師生活動：由學生給出任意角三角函數(shù)的定義，教師進行整理．

問題5：根據任意角三角函數(shù)的定義，要求角α的三個三角函數(shù)值其實就是分別是求什么？

設計意圖：讓學生從中體會，用單位圓上點的坐標定義三角函數(shù)不僅簡化了定義式，還更能突出三角函數(shù)概念的本質．

師生活動：在學生回答問題的基礎上，引導學生利用定義求三角函數(shù)值．

例1：已知角α的終邊經過點，求角α的正弦、余弦和正切值．

設計意圖：從最簡單的問題入手，通過變式，讓學生學習如何利用定義求不同情況下函數(shù)值的問題，進而加深對定義的理解，加強定義應用中與幾何的聯(lián)系，體會數(shù)形結合的思想．

師生活動：在完成本題的基礎上，可通過下列變式引導學生對三角函數(shù)的概念作進一步的認識：

變式1：求的正弦、余弦和正切值． 變式2：已知角α的終邊經過點P（－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切值． 3．進一步理解任意角三角函數(shù)的概念

問題6：你能否給出正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域？

設計意圖：研究一個函數(shù)，就要研究其三要素，而三要素中最本質的則是對應法則和定義域．三角函數(shù)的對應法則已經由定義式給出，所以在給出定義之后就要研究其定義域．通過利用定義求定義域，既完善了三角函數(shù)概念的內容，同時又可幫助學生進一步理解三角函數(shù)的概念．

師生活動：學生求出定義域，教師進行整理． 問題7：上述三種函數(shù)的值在各象限的符號會怎樣？

設計意圖：通過定義的應用，讓學生了解三種函數(shù)值在各象限的符號的變化規(guī)律，并從中進一步理解三角函數(shù)的概念，體會數(shù)形結合的思想．

師生活動：學生回答，教師整理．

例2：求證：（1）當不等式組成立時，角θ為第三象限角；

（2）當角θ為第三象限角時，不等式組成立．

設計意圖：通過問題的解決，熟悉和記憶函數(shù)值在各象限的符號的變化規(guī)律，并進一步理解三角函數(shù)的概念．

師生活動：在完成本題的基礎上，可視情況改變題目的條件或結論，作變式訓練． 問題8：既然我們知道了三角函數(shù)的函數(shù)值是由角的終邊的位置決定的，那么角的終邊每繞原點旋轉一周，它的大小將會怎樣變化？它所對應的三角函數(shù)值又將怎樣變化？

設計意圖：引出公式一，突出函數(shù)周期變化的特點，以及數(shù)形結合的思想． 師生活動：在教師引導下，由學生討論完成．

例3：先確定下列三角函數(shù)值的符號，然后再求出它們的值：

設計意圖：將確定函數(shù)值的符號與求函數(shù)值這兩個問題合在一起，通過應用公式一解決問題，讓學生熟悉和記憶公式一，并進一步理解三角函數(shù)的概念．

師生活動：先完成題（1），再通過改變函數(shù)名稱和角，逐步完成其他各題． 4．練習1．填表：

角α 角α的弧度數(shù)

sin α cos α tan α 0°

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

2．設α是三角形的一個內角，在sinα，cosα，tanα，是

．

3．選擇“>”，“<”，“＝”填空：

中，有可能取負值的4．選擇①sin θ>0，② sin θ<0，③cos θ>0，④ cos θ<0，⑤ tan θ>0，⑥ tan θ<0中適當?shù)年P系式的序號填空：

（1）當角θ為第一象限角時，反之也對；（2）當角θ為第二象限角時，反之也對；（3）當角θ為第三象限角時，反之也對；（4）當角θ為第四象限角時，反之也對．

5．求的正弦、余弦和正切值．

6．已知角θ的終邊經過點P（－12，5），求角θ的正弦、余弦和正切值． 7．求下列三角函數(shù)值（求非特殊角的三角函數(shù)值可用計算器）：

設計意圖：通過應用三角函數(shù)的定義，熟悉和記憶特殊角的三角函數(shù)值、三角函數(shù)值的符號、公式一，以及求三角函數(shù)值，加強對三角函數(shù)概念的理解．

師生活動：根據教學的實際情況，對練習題的數(shù)量和內容作具體調整． 5．小結

問題9：銳角三角函數(shù)與解直角三角形直接相關，初中我們是利用直角三角形邊的比值來表示其銳角的三角函數(shù)．通過今天的學習，我們知道任意角的三角函數(shù)雖然是銳角三角函數(shù)的推廣，但它與解三角形已經沒有什么關系了．我們是利用單位圓來定義任意角的三角函數(shù)，借助直角坐標系中的單位圓，我們建立了角的變化與單位圓上點的變化之間的對應關系，進而利用單位圓上點的坐標或坐標的比值來表示圓心角的三角函數(shù)．你能再回顧一下我們是如何借助單位圓給出任意角三角函數(shù)的定義嗎？

設計意圖：回顧和總結本節(jié)課的主要內容．

師生活動：在學生給出定義之后，教師進一步強調用單位圓定義三角函數(shù)的優(yōu)點． 問題10：今天我們不僅學習了任意角三角函數(shù)的定義，還接觸了定義的一些應用．你能不能歸納一下，今天我們利用定義解決了哪些問題？

設計意圖：回顧和總結三角函數(shù)定義在本節(jié)課中的應用．

師生活動：在學生回顧與總結的基礎上，教師有意識地引導學生體會定義應用過程中所蘊含的數(shù)形結合思想．

6．作業(yè)

教科書P.20習題1.2A組第1，2，3（1）、（3），4（1）、（3），5，6（1）、（2）、（3），7（1）、（3），8（1）、（3），9題．

設計意圖：根據本節(jié)課所涉及到的三角函數(shù)定義應用的幾個方面，從教科書中選擇作業(yè)題．試圖通過作業(yè)，讓學生進一步理解三角函數(shù)的概念，并從中評價學生對三角函數(shù)概念理解的情況

第三篇：《任意角三角函數(shù)》說課稿

《任意角三角函數(shù)》說課稿

《任意角三角函數(shù)》說課稿1

各位同仁，各位專家：

我說課的課題是《任意角的三角函數(shù)》，內容取自蘇教版高中實驗教科書《數(shù)學》第四冊 第1。2節(jié)

先對教材進行分析

教學內容：任意角三角函數(shù)的定義、定義域，三角函數(shù)值的符號。

地位和作用： 任意角的三角函數(shù)是本章教學內容的基本概念對三角內容的整體學習至關重要。同時它又為平面向量、解析幾何等內容的學習作必要的準備，通過這部分內容的學習，又可以幫助學生更加深入理解函數(shù)這一基本概念。所以這個內容要認真探討教材，精心設計過程。

教學重點：任意角三角函數(shù)的定義

教學難點：正確理解三角函數(shù)可以看作以實數(shù)為自變量的函數(shù)、初中用邊長比值來定義轉變?yōu)樽鴺讼迪掠米鴺吮戎刀x的觀念的轉換以及坐標定義的合理性的理解；

學情分析：

學生已經掌握的內容，學生學習能力

1。初中學生已經學習了基本的銳角三角函數(shù)的定義，掌握了銳角三角函數(shù)的一些常見的知識和求法。

2。我們南山區(qū)經過多年的初中課改，學生已經具備較強的自學能力，多數(shù)同學對數(shù)學的學習有相當?shù)呐d趣和積極性。

3。在探究問題的能力，合作交流的意識等方面發(fā)展不夠均衡，尚有待加強必須在老師一定的指導下才能進行

針對對教材內容重難點的和學生實際情況的分析我們制定教學目標如下

知識目標：

（1）任意角三角函數(shù)的定義；三角函數(shù)的定義域；三角函數(shù)值的符號，

能力目標：

（1）理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義；

（2）正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)；

（3）通過對定義域，三角函數(shù)值的符號的推導，提高學生分析探究解決問題的能力。

德育目標：

（1）學習轉化的思想，（2）培養(yǎng)學生嚴謹治學、一絲不茍的科學精神；

針對學生實際情況為達到教學目標須精心設計教學方法

教法學法：溫故知新，逐步拓展

（1）在復習初中銳角三角函數(shù)的定義的基礎上一步一步擴展內容，發(fā)展新知識，形成新的概念；

（2）通過例題講解分析，逐步引出新知識，完善三角定義

運用多媒體工具

（1）提高直觀性增強趣味性。

教學過程分析

總體來說， 由舊及新，由易及難，

逐步加強，逐步推進

先由初中的直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義

過度到直角坐標系中銳角三角函數(shù)的定義

再發(fā)展到直角坐標系中任意角三角函數(shù)的定義

給定定義后通過應用定義又逐步發(fā)現(xiàn)新知識拓展完善定義。

具體教學過程安排

引入： 復習提問：初中直角三角形中銳角的正弦余弦正切是怎樣定義的？

由學生回答

SinA=對邊/斜邊=BC/AB

cosA=對邊/斜邊=AC/AB

tanA=對邊/斜邊=BC/AC

逐步拓展：在高中我們已經建立了直角坐標系， 把“定義媒介”從直角三角形改為平面直角坐標系。

我們知道，隨著角的概念的推廣，研究角時多放在直角坐標系里， 那么三角函數(shù)的定義能否也放到坐標系去研究呢？

引導學生發(fā)現(xiàn)B的坐標和邊長的關系。進一步啟發(fā)他們發(fā)現(xiàn)由于相似三角形的相似比導致OB上任一P點都可以代換B，把三角函數(shù)的定義發(fā)展到用終邊上任一點的坐標來表示， 從而銳角三角函數(shù)可以使用直角坐標系來定義，自然地，要想定義任意一個角三角函數(shù)，便考慮放在直角坐標中進行合理進行定義了

從而得到

知識點一：任意一個角的三角函數(shù)的定義

提醒學生思考：由于相似比相等，對于確定的角A ，這三個比值的大小和P點在角的終邊上的位置無關。

精心設計例題，引出新內容深化概念，完善定義

例1已知角A 的終邊經過P（2，—3），求角A的三個三角函數(shù)值

（此題由學生自己分析獨立動手完成）

例題變式1，已知角A 的大小是30度，由定義求角A的三個三角函數(shù)值

結合變式我們發(fā)現(xiàn)三個三角函數(shù)值的大小與角的大小有關，只會隨角的大小而變化，符合當初函數(shù)的定義，而我們又一直稱呼為三角函數(shù)，

提出問題：這三個新的定義確實問是函數(shù)嗎？為什么？

從而引出函數(shù)極其定義域

由學生分析討論，得出結論

知識點二：三個三角函數(shù)的定義域

同時教師強調：由于弧度制使角和實數(shù)建立了一一對應關系，所以三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)

例題變式2， 已知角A 的終邊經過P（—2a，—3a）（ a不為0），求角A的三個三角函數(shù)值

解答中需要對變量的正負即角所在象限進行討論， 讓學生意識到三角函數(shù)值的正負與角所在象限有關，從而導出第三個知識點

知識點三：三角函數(shù)值的正負與角所在象限的關系

由學生推出結論，教師總結符號記憶方法，便于學生記憶

例題2：已知A在第二象限且 sinA=0。2 求cosA，tanA

求cosA，tanA

綜合練習鞏固提高，更為下節(jié)的同角關系式打下基礎

拓展，如果不限制A的象限呢，可以留作課外探討

小結回顧課堂內容

課堂作業(yè)和課外作業(yè)以加強知識的記憶和理解

課堂作業(yè)P16 1，2，4

（學生演板，后集體討論修訂答案同桌討論，由學生回答答案）

課后分層作業(yè)（有利于全體學生的發(fā)展）

必作P23 1（2），5（2），6（2）（4） 選作P23 3，4

板書設計（見PPT）

《任意角三角函數(shù)》說課稿2

1、教學目標：

一、借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)的定義。

二、根據三角函數(shù)的定義，能夠判斷三角函數(shù)值的符號。

三、通過學生積極參與知識的“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過程，培養(yǎng)合情猜測的能力，從中感悟數(shù)學概念的嚴謹性與科學性。

四、讓學生在任意角三角函數(shù)概念的形成過程中，體會函數(shù)思想，體會數(shù)形結合思想。

2、教學重點與難點：

重點：任意角的正弦、余弦、正切的定義；三角函數(shù)值的符號。

難點：任意角的三角函數(shù)概念的建構過程。

授課過程：

一、引入

在我們的現(xiàn)實世界中的許多運動變化都有循環(huán)往復、周而復始的現(xiàn)象，這種變化規(guī)律稱為周期性。如何用數(shù)學的方法來刻畫這種變化？從這節(jié)課開始，我們要來學習刻畫這種規(guī)律的數(shù)學模型之一――三角函數(shù)。

二、創(chuàng)設情境

三角函數(shù)是與角有關的函數(shù)，在學習任意角概念時，我們知道在直角坐標系中研究角，可以給學習帶來許多方便，比如我們可以根據角終邊的位置把它們進行歸類，現(xiàn)在大家考慮：若在直角坐標系中來研究銳角，則銳角三角函數(shù)又可怎樣定義呢？

學生情況估計：學生可能會提出兩種定義的方式，一種定義為邊之比，另一種定義在比值中引入了終邊上的一點P的坐標。

問題：

1、銳角三角函數(shù)能否表示成第二種比值方式？

2、點P能否取在終邊上的其它位置？為什么？

3、點P在哪個位置，比值會更簡潔？（引出單位圓的定義）。指出sina＝mP的函數(shù)依舊表示一個比值，不過其分母為1而已。

練習：計算的各三角函數(shù)值。

三、任意角的三角函數(shù)的定義

角的概念已經推廣道了任意角，那么三角函數(shù)的定義在任意角的范圍里改怎么定義呢？

嘗試：根據銳角三角函數(shù)的定義，你能嘗試著給出任意角三角函數(shù)的定義嗎？

評價學生給出的定義。給出任意角三角函數(shù)的定義。

四、解析任意角三角函數(shù)的定義

三角函數(shù)首先是函數(shù)。你能從函數(shù)觀點解析三角函數(shù)嗎？（定義域）

對于確定的角a，上面三個函數(shù)值都是唯一確定的，所以，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)。由于角的集合和實數(shù)集之間可以建立一一對應的關系，三角函數(shù)可以看成是自變量為實數(shù)的函數(shù)。

五、三角函數(shù)的應用。

1、已知角，求a的三角函數(shù)值。

2、已知角a終邊上的一點P（－3，－4），求各三角函數(shù)值。

以上兩道書上的例題，讓學生自習看書，學生看書的同時，老師提出問題：

1、已知角如何求三角函數(shù)值？

2、利用角a的終邊上任意一點的坐標也可以定義三角函數(shù)，你能給出這種定義嗎？（這種定義與課本中給出的定義各有什么特點？）

3、變式：已知角a終邊上點P（－3b，－4b），（b0），求角a的各三角函數(shù)值。

4、探究：三角函數(shù)的值在各象限的符號。

六、小結及作業(yè)

教案設計說明：

新教材的教學理念之一是讓學生去體驗新知識的發(fā)生過程，這節(jié)《任意角三角函數(shù)》的教案，主要圍繞這一點來設計。

首先，角的概念推廣了，那么銳角三角函數(shù)的定義是否也該推廣到任意角的三角函數(shù)的定義呢？通過這個問題，讓學生體會到新知識的發(fā)生是可能的，自然的。

其次，到底應該怎樣去合理定義任意角的三角函數(shù)呢？讓學生提出自己的想法，同時讓學生去辨證這個想法是否是科學的？因為一個概念是嚴謹?shù)?，科學的，不能隨心所欲地編造，必須去論證它的合理性，至少這種概念不能和銳角三角函數(shù)的定義有所沖突。在這個立－破的過程中，讓學生去體驗一個新的數(shù)學概念可能是如何形成，在形成的過程中可以從哪些角度加以科學的辯思。這樣也有助于學生對任意角三角函數(shù)概念的理解。

再次，讓學生充分體會在任意角三角函數(shù)定義的推廣中，是如何將直角三角形這個“形”的問題，轉換到直角坐標系下點的坐標這個“數(shù)”的過程的。培養(yǎng)數(shù)形結合的思想。

《任意角三角函數(shù)》說課稿3

各位領導,各位老師:

我說課的課題是《任意角的三角函數(shù)》，內容取自人教版普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學》④（必修）第1.2.1節(jié)。

一、教材結構與內容簡析

本節(jié)內容在全書及章節(jié)的地位：三角函數(shù)是描述周期運動現(xiàn)象的重要的數(shù)學模型，有非常廣泛的應用。三角函數(shù)的定義是在初中對銳角三角函數(shù)的定義以及剛學過的“角的概念的推廣”的基礎上討論和研究的。三角函數(shù)的定義是本章最基本的概念，對三角內容的整體學習至關重要，是其他所有知識的出發(fā)點。緊緊扣住三角函數(shù)定義這個寶貴的源泉，可以自然地導出本章的具體內容：三角函數(shù)線、定義域、符號判斷、值域、同角三角函數(shù)關系、多組誘導公式、多組變換公式、圖象和性質。三角函數(shù)的定義在教材中起著承前啟后的作用，一方面，通過這部分內容的學習，可以幫助學生更加深入理解函數(shù)這一基本概念，另一方面它又為平面向量、解析幾何等內容的學習作必要的準備。三角函數(shù)知識還是物理學、高等數(shù)學、測量學、天文學的重要基礎。

三角函數(shù)定義必然是學好全章內容的關鍵，如果學生掌握不好，將直接影響到后續(xù)內容的學習，由三角函數(shù)定義的基礎性和應用的廣泛性決定了本節(jié)教材的重點就是定義本身。

數(shù)學思想方法分析：作為一名數(shù)學老師,不僅要傳授給學生數(shù)學知識,更重要的是傳授給學生數(shù)學思想、數(shù)學意識，因此本節(jié)課在教學中力圖向學生展示嘗試類比、數(shù)形結合等數(shù)學思想方法。

二、教學重點、難點、關鍵

教學重點：任意角的三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的符號規(guī)律。

教學難點：任意角的三角函數(shù)概念的建構過程。

教學關鍵：如何想到建立直角坐標系；六個比值的確定性（α確定，比值也隨之確定）與依賴性（比值隨著α的變化而變化）。

三、學情分析

學生已經掌握的內容及學生學習能力

1.學生在初中時已經學習了基本的銳角三角函數(shù)的定義，掌握了銳角三角函數(shù)的一些常見的知識和求法。

2.學生的運算能力較差。

3.部分同學對數(shù)學的學習有相當?shù)呐d趣和積極性。

4.在探究問題的能力，合作交流的意識等方面發(fā)展不夠均衡，必須在老師一定的指導下才能進行。

四、教學目標

根據上述教材結構與內容分析，考慮到學生已有的認知結構心理特征，我制定如下教學目標：

1.基礎知識目標：使學生正確理解任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義；

2.能力訓練目標：通過學生積極參與知識的“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過程，培養(yǎng)合情猜測的能力。

3.情感目標：通過學習，滲透數(shù)形結合和類比的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生良好的思維習慣。

下面，為了講清重點、難點，使學生能達到本節(jié)設定的教學目標，我再從教法和學法上談談：

五、教學理念和方法

教學中注意用新課程理念處理傳統(tǒng)教材，學生的數(shù)學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習，而且要自主探索、合作交流、師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程。

根據本節(jié)課內容、高一學生認知特點和我自己的教學風格，本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結合”的方法組織教學教法，在課堂結構上，設計了①創(chuàng)設情境——揭示課題②推廣認知——形成概念③鞏固新知——探求規(guī)律④總結反思——提高認識⑤任務后延——自主探究五個層次的學法，它們環(huán)環(huán)相扣，層層深入，從而順利完成教學目標。接下來，我再具體談一談這堂課的教學過程：

六、教學程序及設想

總體來說,由舊及新,由易及難,逐步加強,逐步推進，給定定義后通過應用定義又逐步發(fā)現(xiàn)新知識，拓展、完善定義.

先由初中的直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義，過度到直角坐標系中銳角三角函數(shù)的定義，再發(fā)展到直角坐標系中任意角三角函數(shù)的定義。

（一）創(chuàng)設情境——揭示課題

問題1：在初中我們學習了銳角三角函數(shù)，那么銳角三角函數(shù)是如何定義的？

【設計意圖】學生在初中學習了銳角的三角函數(shù)概念，現(xiàn)在學習任意角的三角函數(shù)，又是一種推廣和拓展的過程（類似于從有理數(shù)到實數(shù)的擴展）。溫故知新，要讓學生體會知識的產生、發(fā)展過程，就要從源頭上開始，從學生現(xiàn)有認知狀況開始，對銳角三角函數(shù)的復習就必不可少。

問題2：角的概念推廣之后，這樣的三角函數(shù)定義還適用嗎？

問題3：若將銳角放入直角坐標系中，你能用角的終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎？

留時間讓學生獨立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對學困生作啟發(fā)引導。

能表示嗎？怎樣表示？針對剛才的問題點名讓學生回答。用角的對邊、鄰邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于前面已經以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生一般會想到（否則教師進行提示）繼續(xù)用直角坐標系來研究任意角的三角函數(shù)。

【設計意圖】

從學生現(xiàn)有知識水平和認知能力出發(fā)，創(chuàng)設問題情景，讓學生產生認知沖突，進行必要的啟發(fā)，將學生思維引上自主探索、合作交流的“再創(chuàng)造”征程。

教師對學生回答情況進行點評后布置任務情景：請同學們用直角坐標系重新研究銳角三角函數(shù)定義！

師生共做（學生口述，教師板書圖形和比值）。

問題4：對于確定的角，這三個比值是否與P在的終邊上的位置有關？為什么？

先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再引導學生觀察右圖，

聯(lián)系相似三角形知識，探索發(fā)現(xiàn)：對于銳角α的每一個確定值，

六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化。

得出結論(強調)：當α為銳角時，六個比值隨α的變化而變化；但對于銳角α的每一個確定值，六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化.所以，六個比值分別是以角α為自變量、以比值為函數(shù)值的.函數(shù)。

（二）推廣認知——形成概念

將銳角的比值情形推廣到任意角α后，水到渠成，師生共同進行探索和推廣出：任意角的三角函數(shù)定義。同時教師強調：由于弧度制使角和實數(shù)建立了一一對應關系，所以三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，對數(shù)學學習能力較好的同學起到了很好的指導作用。

教師指出:sinα、cosα、tanα的定義域必須緊扣三角函數(shù)定義在理解的基礎上記熟，cotα、cscα、secα的定義域不要求記憶。

（關于值域，到后面再學習）

【設計意圖】定義域是函數(shù)三要素之一，研究函數(shù)必須明確定義域.指導學生根據定義自主探索確定三角函數(shù)定義域，有利于在理解的基礎上記住它、應用它，也增進對三角函數(shù)概念的掌握。

（三）鞏固新知——探求規(guī)律

為了使學生達到對知識的深化理解，進而達到鞏固提高的效果，

例1.已知角的終邊過點，求的六個三角函數(shù)值

要求：讀完題目，思考：計算什么?需要準備什么?閉目心算，對照板書，模仿書面表達格式。

鞏固定義之后，我特地設計了一組即時訓練題，以鞏固和加深對三角函數(shù)概念的理解，通過課堂積極主動的練習活動，培養(yǎng)學生分析解決問題的能力。

例2.求的正弦、余弦和正切值。

分析：終邊上有無窮多個點，根據三角函數(shù)的定義，只要知道終邊上任意一個點的坐標，就可以計算這個角的三角函數(shù)值（或判斷其無意義）

師生探索：緊扣三角函數(shù)定義求解，首先要在終邊上取定一點。終邊在哪兒呢？取定哪一點呢？任意點、還是特殊點？要靈活，只要能夠算出三角函數(shù)值，都可以。

取特殊點能使計算更簡明。

等待學生基本理解和掌握三角函數(shù)定義后，觀察、分析初、高中所計算的函數(shù)值有何變化，讓學生意識到三角函數(shù)值的正負與角所在象限有關,然后引導學生緊緊抓住三角函數(shù)定義來分析，從而導出三角函數(shù)值的正負與角所在象限的關系，進而由教師總結符號記憶方法,便于學生記憶。

【設計意圖】判斷三角函數(shù)值的正負符號，是本章教材的一項重要的知識、技能要求.要引導學生抓住定義、數(shù)形結合判斷和記憶三角函數(shù)值的正負符號，并總結出形象的“才”字符號法則，這也是理解和記憶的關鍵。

（四）總結反思——提高認識

由學生總結本節(jié)課所學習的主要內容：⑴任意角的三角函數(shù)的定義及其定義域；⑵三角函數(shù)的符號規(guī)律。讓學生通過知識性內容的小結，把課堂教學傳授的知識盡快化為學生的素質；通過數(shù)學思想方法的小結，使學生更深刻地理解數(shù)學思想方法在解題中的地位和應用，并且逐漸培養(yǎng)學生的良好的個性品質目標。

（五）任務后延——自主探究

學生經過以上四個環(huán)節(jié)的學習，已經初步掌握了任意角的三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)的符號規(guī)律，有待進一步提高認知水平，因此我針對學生素質的差異設計了有層次的作業(yè)，其中思考題的設計思想是：綜合練習鞏固提高,更為下節(jié)的學習內容打下基礎，同時留給學生課后自主探究，這樣既使學生掌握基礎知識，又使學有佘力的學生有所提高，從而達到拔尖和“減負”的目的，以有利于全體學生的發(fā)展。

七、簡述板書設計。

cotα、cscα、secα的定義寫在sinα、cosα、tanα的左下方，突出本節(jié)重要內容的主體地位。

結束：以上，我僅從說教材，說學情，說教法，說學法，說教學程序上說明了“教什么”和“怎么教”，闡明了“為什么這樣教”。

希望各位領導、同行對本堂說課提出寶貴意見。

《任意角三角函數(shù)》說課稿4

一、教學目標

1．掌握任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義（包括定義域、正負符號判斷）；了解任意角的余切、正割、余割函數(shù)的定義.

2．經歷從銳角三角函數(shù)定義過度到任意角三角函數(shù)定義的推廣過程，體驗三角函數(shù)概念的產生、發(fā)展過程.領悟直角坐標系的工具功能，豐富數(shù)形結合的經驗.

3．培養(yǎng)學生通過現(xiàn)象看本質的唯物主義認識論觀點，滲透事物相互聯(lián)系、相互轉化的辯證唯物主義世界觀.

4．培養(yǎng)學生求真務實、實事求是的科學態(tài)度.

二、重點、難點、關鍵

重點：任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義、定義域、（正負）符號判斷法.

難點：把三角函數(shù)理解為以實數(shù)為自變量的函數(shù).

關鍵：如何想到建立直角坐標系；六個比值的確定性（α確定，比值也隨之確定）與依賴性（比值隨著α的變化而變化）.

三、教學理念和方法

教學中注意用新課程理念處理傳統(tǒng)教材，學生的數(shù)學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習，而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程.

根據本節(jié)課內容、高一學生認知特點和我自己的教學風格，本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結合”的方法組織教學.

四、教學過程

[執(zhí)教線索：

回想再認：函數(shù)的概念、銳角三角函數(shù)定義（銳角三角形邊角關系）--問題情境：能推廣到任意角嗎？--它山之石：建立直角坐標系（為何？）--優(yōu)化認知：用直角坐標系研究銳角三角函數(shù)--探索發(fā)展：對任意角研究六個比值（與角之間的關系：確定性、依賴性，滿足函數(shù)定義嗎？）--自主定義：任意角三角函數(shù)定義--登高望遠：三角函數(shù)的要素分析（對應法則、定義域、值域與正負符號判定）--例題與練習--回顧小結--布置作業(yè)]

（一）復習引入、回想再認

開門見山，面對全體學生提問：

在初中我們初步學習了銳角三角函數(shù)，前幾節(jié)課，我們把銳角推廣到了任意角，學習了角度制和弧度制，這節(jié)課該研究什么呢？

探索任意角的三角函數(shù)（板書課題），請同學們回想，再明確一下：

（情景1）什么叫函數(shù)？或者說函數(shù)是怎樣定義的？

讓學生回想后再點名回答，投影顯示規(guī)范的定義，教師根據回答情況進行修正、強調：

傳統(tǒng)定義：設在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值和它對應，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量，自變量x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域.

現(xiàn)代定義：設A、B是非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應，那么就稱映射?：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：y=f（x），x∈A，其中x叫自變量,自變量x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域.

設計意圖：

函數(shù)和三角函數(shù)是一般和特殊的關系，是共性和個性的關系，學生已經學習了函數(shù)的概念，因此對三角函數(shù)的學習就是一個從一般到特殊的演繹的過程,也是以具體函數(shù)豐富函數(shù)概念的過程.教學經驗表明：學生對函數(shù)兩種定義的記憶是有一定困難的，容易遺忘，此處讓學生對函數(shù)概念進行回想再認，目的在于明確函數(shù)概念的本質，為演繹學習任意角三角函數(shù)概念作好知識和認知準備.

（情景2）我們在初中通過銳角三角形的邊角關系，學習了銳角的正弦、余弦、正切等三個三角函數(shù).請回想：這三個三角函數(shù)分別是怎樣規(guī)定的？

學生口述后再投影展示，教師再根據投影進行強調：

設計意圖：

學生在初中學習了銳角的三角函數(shù)概念，現(xiàn)在學習任意角的三角函數(shù)，又是一種推廣和拓展的過程（類似于從有理數(shù)到實數(shù)的擴展）.溫故知新，要讓學生體會知識的產生、發(fā)展過程，就要從源頭上開始，從學生現(xiàn)有認知狀況開始，對銳角三角函數(shù)的復習就必不可少.

（二）引伸鋪墊、創(chuàng)設情景

（情景3）我們已經把銳角推廣到了任意角，銳角的三角函數(shù)概念也能推廣到任意角嗎？試試看，可以獨立思考和探索，也可以互相討論！

留時間讓學生獨立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對學困生作啟發(fā)引導.

能推廣嗎？怎樣推廣？針對剛才的問題點名讓學生回答.用角的對邊、臨邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于4.1節(jié)已經以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生一般會想到（否則教師進行提示）繼續(xù)用直角坐標系來研究任意角的三角函數(shù).

設計意圖：

從學生現(xiàn)有知識水平和認知能力出發(fā)，創(chuàng)設問題情景，讓學生產生認知沖突，進行必要的啟發(fā)，將學生思維引上自主探索、合作交流的“再創(chuàng)造”征程.

教師對學生回答情況進行點評后布置任務情景：請同學們用直角坐標系重新研究銳角三角函數(shù)定義！

師生共做（學生口述，教師板書圖形和比值）：

把銳角α安裝（如何安裝？角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸非負半軸重合）在直角坐標系中，在角α終邊上任取一點P，作Pm⊥x軸于m，構造一個RtΔomP，則∠moP=α（銳角），設P（x,y）（x＞0、y＞0），α的臨邊om=x、對邊mP=y，斜邊長|oP∣=r.

根據銳角三角函數(shù)定義用x、y、r列出銳角α的正弦、余弦、正切三個比值，并補充對應列出三個倒數(shù)比值：

設計意圖：

此處做法簡單，思想重要.為了順利實現(xiàn)推廣，可以構建中間橋梁或公共載體，使之既與初中的定義一致，又能自然地遷移到任意角的情形.由于前一節(jié)已經以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生自然能想到仍然以直角坐標系為工具來研究任意角的三角函數(shù).初中以直角三角形邊角關系來定義銳角三角函數(shù)，現(xiàn)在要用坐標系來研究，探索的結論既要滿足任意角的情形，又要包容初中銳角三角函數(shù)定義.這是一個認識的飛躍，是理解任意角三角函數(shù)概念的關鍵之一，也是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要思想和方法，屬于策略性知識,能夠形成遷移能力,為學生在以后學習中對某些知識進行推廣拓展奠定了基礎（譬如從平面向量到空間向量的擴展，從實數(shù)到復數(shù)的擴展等）.

（情景4）各個比值與角之間有怎樣的關系？比值是角的函數(shù)嗎？

追問：銳角α大小發(fā)生變化時，比值會改變嗎？

先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明：保持r不變，讓P繞原點o旋轉即α在銳角范圍內變化，六個比值隨之變化的直觀形象。結論是：比值隨α的變化而變化.

引導學生觀察圖3，聯(lián)系相似三角形知識，

探索發(fā)現(xiàn)：

對于銳角α的每一個確定值，六個比值都是

確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化.

得出結論(強調)：當α為銳角時，六個比值隨α的變化而變化；但對于銳角α的每一個確定值，六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化.所以，六個比值分別是以角α為自變量、以比值為函數(shù)值的函數(shù).

設計意圖：

初中學生對函數(shù)理解較膚淺，這里在學生思維的最近發(fā)展區(qū)進一步研究初中學過的銳角三角函數(shù)，在思維上更上了一個層次，扣準函數(shù)概念的內涵，突出變量之間的依賴關系或對應關系，是從函數(shù)知識演繹到三角函數(shù)知識的主要依據，是準確理解三角函數(shù)概念的關鍵，也是在認知上把三角函數(shù)知識納入函數(shù)知識結構的關鍵.這樣做能夠使學生有效地增強函數(shù)觀念.

（三）分析歸納、自主定義

（情境5）能將銳角的比值情形推廣到任意角α嗎?

水到渠成，師生共同進行探索和推廣：

對于一個任意角α，它的終邊所在位置包括下列兩類共八種情形（投影展示并作分析）：

終邊分別在四個象限的情形：終邊分別在四個半軸上的情形：

；

（指出：不畫出角的方向，表明角具有任意性）

怎樣刻畫任意角的三角函數(shù)呢？研究它的六個比值：

（板書）設α是一個任意角，在α終邊上除原點外任意取一點P（x，y），P與原點o之間的距離記作r（r=＞0），列出六個比值：

α=kππ/2時，x=0，比值y/x、r/x無意義；

α=kπ時，y=0，比值x/y、r/y無意義.

追問：α大小發(fā)生變化時，比值會改變嗎？

先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明：使r保持不變，P繞原點o逆時針、順時針旋轉即角α變化，六個比值隨之改變的直觀形象。結論是：各比值隨α的變化而變化.

再引導學生利用相似三角形知識，探索發(fā)現(xiàn)：對于任意角α的每一個確定值，六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化.

綜上得到（強調）：當角α變化時，六個比值隨之變化；對于確定的角α，六個比值（如果存在的話）都不會隨P在角α終邊上的改變而改變，六個比值是確定的(對應的多值性即誘導公式一留到下節(jié)課分析).

因此，六個比值分別是以角α為自變量、以比值為函數(shù)值的函數(shù).

根據歷史上的規(guī)定，對比值進行命名，指出英文記法和讀法，記作（承前作復合板書）：

=sinα（正弦）=cosα（余弦）=tanα（正切）

=cscα（余割）=sec（正弦）=cotα（余切）

教師強調：sinα表示sin與α的乘積嗎？不是，sinα是函數(shù)記號，是一個整體,相當于函數(shù)記號f（x）.其它幾個三角函數(shù)也如此

投影顯示圖六，指導學生分析其對應關系，進一步體會其函數(shù)內涵：

（圖六）

指導學生識記六個比值及函數(shù)名稱.

教師指出：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六個函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，三角函數(shù)有非常豐富的知識和思想方法，我們以后主要學習正弦、余弦、正切三個函數(shù)的相關知識和方法，對于余切、正割、余割，只要同學們了解它們的定義就夠了（遵循大綱要求）.

引導學生進一步分析理解：

已知角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應關系，對于每一個確定的實數(shù)，把它看成一個弧度數(shù)，就對應著唯一的一個角，從而分別對應著六個唯一的三角函數(shù)值.因此，（板書）三角函數(shù)可以看成是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，這將為以后的應用帶來很多方便.

設計意圖：

把角的終邊分別在四個象限、四條半軸上的情形全作出來，有利于對任意性的全面把握.明確比值存在與否的條件，為確定函數(shù)定義域作準備.動畫演示比值與角之間的依賴性與確定性關系，深化理解三角函數(shù)內涵.引導學生在理解的基礎上自主地對三角函數(shù)作出明確定義，是本節(jié)課的中心任務.由于學生剛學弧度制，對弧度制的理解有待于在以后的學習應用中逐步感悟，因此部分學生對“三角函數(shù)可以看成是以實數(shù)為自變量的函數(shù)”的理解有半信半疑之感，有待通過后續(xù)的應用加深理解.

（四）探索定義域

（情景6）（1）函數(shù)概念的三要素是什么？

函數(shù)三要素：對應法則、定義域、值域.

正弦函數(shù)sinα的對應法則是什么？

正弦函數(shù)sinα的對應法則，實質上就是sinα的定義：對α的每一個確定的值，有唯一確定的比值y/r與之對應，即α→y/r=sinα.

(2)布置任務情景：什么是三角函數(shù)的定義域？請求出六個三角函數(shù)的定義域，填寫下表：

三角函數(shù)

sinα

cosα

tanα

cotα

cscα

secα

定義域

引導學生自主探索：

如果沒有特別說明，那么使解析式有意義的自變量的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的定義域自然是指：使比值有意義的角α的取值范圍.

關于sinα=y/r、cosα=x/r，對于任意角α（弧度數(shù)），r＞0，y/r、x/r恒有意義，定義域都是實數(shù)集R.

對于tanα=y/x，α=kππ/2時x=0，y/x無意義，tanα的定義域是：{α|α∈R，且α≠kππ/2}..........

教師指出:sinα、cosα、tanα的定義域必須緊扣三角函數(shù)定義在理解的基礎上記熟，cotα、cscα、secα的定義域不要求記憶.

（關于值域，到后面再學習）.

設計意圖：

定義域是函數(shù)三要素之一，研究函數(shù)必須明確定義域.指導學生根據定義自主探索確定三角函數(shù)定義域，有利于在理解的基礎上記住它、應用它，也增進對三角函數(shù)概念的掌握.

（五）符號判斷、形象識記

（情景7）能判斷三角函數(shù)值的正、負嗎？試試看！

引導學生緊緊抓住三角函數(shù)定義來分析，r＞0,三角函數(shù)值的符號決定于x、y值的正負，根據終邊所在位置總結出形象的識記口訣：

（同好得正、異號得負）

sinα=y/r：上正下負橫為0cosα=x/r：左負右正縱為0tanα=y/x：交叉正負

設計意圖：

判斷三角函數(shù)值的正負符號，是本章教材的一項重要的知識、技能要求.要引導學生抓住定義、數(shù)形結合判斷和記憶三角函數(shù)值的正負符號，并總結出形象的識記口訣，這也是理解和記憶的關鍵.

（六）練習鞏固、理解記憶

1、自學例1：已知角α的終邊經過點P（2，-3），求α的六個三角函數(shù)值.

要求：讀完題目，思考：計算什么?需要準備什么?閉目心算，對照解答，模仿書面表達格式，鞏固定義.

課堂練習：

p19題1：已知角α的終邊經過點P（-3，-1），求α的六個三角函數(shù)值.

要求心算，并提問中下學生檢驗，--------

點評：角α終邊上有無窮多個點，根據三角函數(shù)的定義，只要知道α終邊上任意一個點的坐標，就可以計算這個角的三角函數(shù)值（或判斷其無意義）.

補充例題：已知角α的終邊經過點P（x，-3），cosα=4/5，求α的其它五個三角函數(shù)值.

師生探索：已知y=-3，要求其它五個三角函數(shù)值，須知r=？，x=？.根據定義得=（方程思想），x＞0，解得x=4，從而--------.解答略.

2、自學例2：求下列各角的六個三角函數(shù)值：(1)0；(2)π/2；(3)3π/2.

提問，據反饋信息作點評、修正.

師生探索：緊扣三角函數(shù)定義求解，首先要在終邊上取定一點。終邊在哪兒呢？取定哪一點呢？任意點、還是特殊點？要靈活，只要能夠算出三角函數(shù)值，都可以。

取特殊點能使計算更簡明。課堂練習：p19題2.（改編）填表：

角α（角度）

0°

90°

180°

270°

360°

角α（弧度）

sinα

cosα

tanα

處理：要求取點用定義求解，針對計算過程提問、點評，理解鞏固定義.

強調：終邊在坐標軸上的角叫軸線角，如0、π/2、π、3π/2等，今后經常用到軸線角的三角函數(shù)值，要結合三角函數(shù)定義記熟這些值.

設計意圖：

及時安排自學例題、自做教材練習題，一般性與特殊性相結合，進行適量的變式練習，以鞏固和加深對三角函數(shù)概念的理解，通過課堂積極主動的練習活動進行思維訓練，把“培養(yǎng)學生分析解決問題的能力”貫穿在每一節(jié)課的課堂教學始終.

（七）回顧小結、建構網絡

要求全體學生根據教師所提問題進行總結識記，提問檢查并強調：

1．你是怎樣把銳角三角函數(shù)定義推廣到任意角的？或者說任意角三角函數(shù)具體是怎樣定義的？（建立直角坐標系，使角的頂點與坐標原點重合，---，在終邊上任意取定一點P，---）

2．你如何判斷和記憶正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域？（根據定義，------）

3．你如何記憶正弦、余弦、正切函數(shù)值的符號？（根據定義，想象坐標位置，-----）

設計意圖：

遺忘的規(guī)律是先快后慢，回顧再現(xiàn)是記憶的重要途徑，在課堂內及時總結識記主要內容是上策.此處以問題形式讓學生自己歸納識記本節(jié)課的主體內容，抓住要害，人人參與，及時建構知識網絡，優(yōu)化知識結構，培養(yǎng)認知能力.

（八）布置課外作業(yè)

1．書面作業(yè)：習題4.3第3、4、5題.

2．認真閱讀p22“閱讀材料：三角函數(shù)與歐拉”，了解歐拉的生平和貢獻，特別學習他對科學的摯著精神和堅忍不拔的頑強毅力！有興趣的同學可以上網查閱歐拉的相關情況.

教學設計說明

一、對本節(jié)教材的理解

三角函數(shù)是描述周期運動現(xiàn)象的重要的數(shù)學模型，有非常廣泛的應用.

星星之火，可以燎原.

直角三角形簡單樸素的邊角關系，以直角坐標系為工具進行自然地推廣而得到簡明的任意角的三角函數(shù)定義，緊緊扣住三角函數(shù)定義這個寶貴的源泉，自然地導出三角函數(shù)線、定義域、符號判斷、值域、同角三角函數(shù)關系、多組誘導公式、多組變換公式、輔助角公式、圖象和性質，本章教材就是這些內容的具體安排.定義直接用于解析幾何（如直線斜率公式、極坐標、部分曲線的參數(shù)方程等），定義還是直接解決某些問題的工具，三角函數(shù)知識是物理學、高等數(shù)學、測量學、天文學的重要基礎.

三角函數(shù)定義必然是學好全章內容的關鍵，如果學生掌握不好，將直接影響到后續(xù)內容的學習，由三角函數(shù)定義的基礎性和應用的廣泛性決定了本節(jié)教材的重點就是定義本身.

二、教學法加工

數(shù)學教材通常用抽象概括的形式化的數(shù)學書面語言闡述其知識和方法，教師只有通過教學法加工，始終貫徹“以學生的發(fā)展為本”的科學教育觀，“將數(shù)學的學術形態(tài)轉化為教育形態(tài)”（張奠宙語），引導學生積極主動地進行思考活動，直接參與體驗數(shù)學知識產生發(fā)展的背景、過程，返璞歸真，揭示本質，體會其中的思想和方法，學生只有這樣才能真正理解掌握數(shù)學知識和方法，有效地發(fā)展智力、培養(yǎng)能力.

在本節(jié)教材中，三角函數(shù)定義是重點，三角函數(shù)線是難點，為了較好地突出重點和突破難點，分散重點和難點，同時兼顧例題、課堂練習的協(xié)調匹配，將不按教材順序來進行教學，第一課時安排三角函數(shù)的定義（突出重點）、定義域、符號判斷、例題1、2及p19課堂練習1、2、3，第二課時安排三角函數(shù)線、p15練習（突破難點）、誘導公式一及課本例題3、4和其它練習.本課例屬第一課時.

教學經驗表明，三角函數(shù)定義“簡單易記”，學生很容易輕視它，不少學生機械記憶、一知半解.本課例堅持“教師主導、學生主體”的原則，采用“啟發(fā)探索、講練結合”的常規(guī)教學方法，在學生的最近發(fā)展區(qū)圍繞學生的學習目標設計了一系列符合學生認知規(guī)律的程序，通過多媒體輔助教學動畫演示比值與角之間的依賴關系，拓展思維活動時空，力求使學生全員主動參與，積極思考，體會定義產生、發(fā)展的過程，通過思維過程來理解知識、培養(yǎng)能力.

將六個比值放在一起來研究，同時給出六個三角函數(shù)的定義，能夠增強對比感和整體感，至于大綱對兩組函數(shù)掌握與了解的不同要求，在下一步的教學中注意區(qū)分就行了.

教學中關于符號sinα、cosα、tanα的出場安排，教材首先對比值取名并給出英文記法，再研究它們與α的函數(shù)關系；另外可以先研究六個比值與α之間的函數(shù)關系，然后再對六個比值取名給出記法.后者更能突出函數(shù)內涵，揭示三角函數(shù)本質.本課例采用后者組織教學.

三、教學過程分析（見穿插在教案中的設計意圖）.

《任意角三角函數(shù)》說課稿5

各位領導，各位老師：

我說課的課題是《任意角的三角函數(shù)》，內容取自人教版普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學》④（必修）第1。2。1節(jié)。

一、教材結構與內容簡析

本節(jié)內容在全書及章節(jié)的地位：三角函數(shù)是描述周期運動現(xiàn)象的重要的數(shù)學模型，有非常廣泛的應用。三角函數(shù)的定義是在初中對銳角三角函數(shù)的定義以及剛學過的“角的概念的推廣”的基礎上討論和研究的。三角函數(shù)的定義是本章最基本的概念，對三角內容的整體學習至關重要，是其他所有知識的出發(fā)點。緊緊扣住三角函數(shù)定義這個寶貴的源泉，可以自然地導出本章的具體內容：三角函數(shù)線、定義域、符號判斷、值域、同角三角函數(shù)關系、多組誘導公式、多組變換公式、圖象和性質。 三角函數(shù)的定義在教材中起著承前啟后的作用，一方面，通過這部分內容的學習，可以幫助學生更加深入理解函數(shù)這一基本概念，另一方面它又為平面向量、解析幾何等內容的學習作必要的準備。三角函數(shù)知識還是物理學、高等數(shù)學、測量學、天文學的重要基礎。

三角函數(shù)定義必然是學好全章內容的關鍵，如果學生掌握不好，將直接影響到后續(xù)內容的學習，由三角函數(shù)定義的基礎性和應用的廣泛性決定了本節(jié)教材的重點就是定義本身。

數(shù)學思想方法分析：作為一名數(shù)學老師，不僅要傳授給學生數(shù)學知識，更重要的是傳授給學生數(shù)學思想、數(shù)學意識，因此本節(jié)課在教學中力圖向學生展示嘗試類比、數(shù)形結合等數(shù)學思想方法。

二、教學重點、難點、關鍵

教學重點：任意角的三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的符號規(guī)律。

教學難點：任意角的三角函數(shù)概念的建構過程。

教學關鍵：如何想到建立直角坐標系；六個比值的確定性（ α確定，比值也隨之確定）與依賴性（比值隨著α的變化而變化）。

三、學情分析

學生已經掌握的內容及學生學習能力

1。 學生在初中時已經學習了基本的銳角三角函數(shù)的定義，掌握了銳角三角函數(shù)的一些常見的知識和求法。

2。學生的運算能力較差。

3。部分同學對數(shù)學的學習有相當?shù)呐d趣和積極性。

4。在探究問題的能力，合作交流的意識等方面發(fā)展不夠均衡，必須在老師一定的指導下才能進行。

四、教學目標

根據上述教材結構與內容分析，考慮到學生已有的認知結構心理特征 ，我制定如下教學目標：

1?；A知識目標：使學生正確理解任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義；

2。能力訓練目標：通過學生積極參與知識的“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過程，培養(yǎng)合情猜測的能力。

3。情感目標：通過學習，滲透數(shù)形結合和類比的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生良好的思維習慣。

下面，為了講清重點、難點，使學生能達到本節(jié)設定的教學目標，我再從教法和學法上談談：

五、教學理念和方法

教學中注意用新課程理念處理傳統(tǒng)教材，學生的數(shù)學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習，而且要自主探索、合作交流、師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程。

根據本節(jié)課內容、高一學生認知特點和我自己的教學風格，本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結合”的方法組織教學教法， 在課堂結構上，設計了 ①創(chuàng)設情境——揭示課題②推廣認知——形成概念③鞏固新知——探求規(guī)律④總結反思——提高認識⑤任務后延——自主探究五個層次的學法，它們環(huán)環(huán)相扣，層層深入，從而順利完成教學目標。 接下來，我再具體談一談這堂課的教學過程：

六、教學程序及設想

總體來說， 由舊及新，由易及難，逐步加強，逐步推進，給定定義后通過應用定義又逐步發(fā)現(xiàn)新知識，拓展、完善定義。

先由初中的直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義，過度到直角坐標系中銳角三角函數(shù)的定義，再發(fā)展到直角坐標系中任意角三角函數(shù)的定義。

（一）創(chuàng)設情境——揭示課題

問題1：在初中我們學習了銳角三角函數(shù)，那么銳角三角函數(shù)是如何定義的？

【設計意圖】學生在初中學習了銳角的三角函數(shù)概念，現(xiàn)在學習任意角的三角函數(shù)，又是一種推廣和拓展的過程（類似于從有理數(shù)到實數(shù)的擴展）。溫故知新，要讓學生體會知識的產生、發(fā)展過程，就要從源頭上開始，從學生現(xiàn)有認知狀況開始，對銳角三角函數(shù)的復習就必不可少。

問題 2：角的概念推廣之后，這樣的三角函數(shù)定義還適用嗎？

問題 3：若將銳角放入直角坐標系中，你能用角的終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎？

留時間讓學生獨立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對學困生作啟發(fā)引導。

能表示嗎？怎樣表示？針對剛才的問題點名讓學生回答。 用角的對邊、鄰邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于前面已經以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生一般會想到（否則教師進行提示）繼續(xù)用直角坐標系來研究任意角的三角函數(shù)。

【設計意圖】

從學生現(xiàn)有知識水平和認知能力出發(fā)，創(chuàng)設問題情景，讓學生產生認知沖突，進行必要的啟發(fā)，將學生思維引上自主探索、合作交流的“再創(chuàng)造”征程。

教師對學生回答情況進行點評后布置任務情景：請同學們用直角坐標系重新研究銳角三角函數(shù)定義！

師生共做（學生口述，教師板書圖形和比值）。

問題 4：對于確定的角 ，這三個比值是否與P在 的終邊上的位置有關？為什么？

先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再引導學生觀察右圖，

聯(lián)系相似三角形知識，探索發(fā)現(xiàn)： 對于銳角α的每一個確定值，

六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化。

得出結論（強調）：當α為銳角時，六個比值隨α的變化而變化；但對于銳角α的每一個確定值，六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化。 所以，六個比值分別是以角α為自變量、以比值為函數(shù)值的函數(shù)。

（二）推廣認知——形成概念

將銳角的比值情形推廣到任意角α后，水到渠成，師生共同進行探索和推廣出：任意角的三角函數(shù)定義。同時教師強調：由于弧度制使角和實數(shù)建立了一一對應關系，所以三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，對數(shù)學學習能力較好的同學起到了很好的指導作用。

教師指出： sinα、csα、tanα的定義域必須緊扣三角函數(shù)定義在理解的基礎上記熟，ctα、cscα、secα的定義域不要求記憶。

（關于值域，到后面再學習）。

【設計意圖】定義域是函數(shù)三要素之一，研究函數(shù)必須明確定義域。 指導學生根據定義自主探索確定三角函數(shù)定義域，有利于在理解的基礎上記住它、應用它，也增進對三角函數(shù)概念的掌握。

（三）鞏固新知——探求規(guī)律

為了使學生達到對知識的深化理解，進而達到鞏固提高的效果，

例1。已知角 的終邊過點 ，求 的六個三角函數(shù)值

要求：讀完題目，思考：計算什么？需要準備什么？閉目心算，對照板書，模仿書面表達格式。

鞏固定義之后，我特地設計了一組即時訓練題，以鞏固和加深對三角函數(shù)概念的理解，通過課堂積極主動的練習活動，培養(yǎng)學生分析解決問題的能力。

例2。 求 的正弦、余弦和正切值。

分析： 終邊上有無窮多個點，根據三角函數(shù)的定義，只要知道 終邊上任意一個點的坐標，就可以計算這個角的三角函數(shù)值（或判斷其無意義）

師生探索：緊扣三角函數(shù)定義求解，首先要在終邊上取定一點。終邊在哪兒呢？取定哪一點呢？任意點、還是特殊點？要靈活，只要能夠算出三角函數(shù)值，都可以。

取特殊點能使計算更簡明。

等待學生基本理解和掌握三角函數(shù)定義后，觀察、分析初、高中所計算的函數(shù)值有何變化，讓學生意識到三角函數(shù)值的正負與角所在象限有關， 然后引導學生緊緊抓住三角函數(shù)定義來分析，從而導出三角函數(shù)值的正負與角所在象限的關系，進而由教師總結符號記憶方法，便于學生記憶。

【設計意圖】判斷三角函數(shù)值的正負符號，是本章教材的一項重要的知識、技能要求。 要引導學生抓住定義、數(shù)形結合判斷和記憶三角函數(shù)值的正負符號，并總結出形象的“才”字符號法則，這也是理解和記憶的關鍵。

（四）總結反思——提高認識

由學生總結本節(jié)課所學習的主要內容：⑴任意角的三角函數(shù)的定義及其定義域；⑵三角函數(shù)的符號規(guī)律。讓學生通過知識性內容的小結，把課堂教學傳授的知識盡快化為學生的素質；通過數(shù)學思想方法的小結，使學生更深刻地理解數(shù)學思想方法在解題中的地位和應用，并且逐漸培養(yǎng)學生的良好的個性品質目標。

（五）任務后延——自主探究

學生經過以上四個環(huán)節(jié)的學習，已經初步掌握了任意角的三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)的符號規(guī)律，有待進一步提高認知水平，因此我針對學生素質的差異設計了有層次的作業(yè)，其中思考題的設計思想是：綜合練習鞏固提高，更為下節(jié)的學習內容打下基礎，同時留給學生課后自主探究，這樣既使學生掌握基礎知識，又使學有佘力的學生有所提高，從而達到拔尖和“減負”的目的，以有利于全體學生的發(fā)展。

六、簡述板書設計。

ctα、cscα、secα的定義寫在sinα、csα、tanα的左下方，突出本節(jié)重要內容的主體地位。

結束：以上，我僅從說教材，說學情，說教法，說學法，說教學程序上說明了“教什么”和“怎么教”，闡明了“為什么這樣教”。

希望各位領導 、同行對本堂說課提出寶貴意見。

第四篇：任意角三角函數(shù)定義

“任意角三角函數(shù)定義”的教學認識與設計

浙江金華第一中學 孔小明

本文首先對三角函數(shù)定義的教學進行從整體到局部的分析，并在此基礎上給出定義教學的主干問題設計.1．整體把握，使教學線索清晰，層次分明

三角函數(shù)是以函數(shù)為主線，刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學模型.高中學習的三角函數(shù)是在初中學習銳角三角函數(shù)的基礎上，通過用旋轉的觀點將角的概念推廣到任意角，并使角與實數(shù)建立一一對應關系，然后結合坐標系和單位圓重新定義任意角的三角函數(shù).因此，三角函數(shù)是函數(shù)的下位概念，同時又是銳角三角函數(shù)的上位概念，教學要以函數(shù)思想為指導，以坐標系和單位圓為定義工具，以初中銳角三角函數(shù)概念為認知的起點，促進任意角三角函數(shù)定義的有效生成.教科書在完成任意角三角函數(shù)定義基礎上衍生出：(1)三角函數(shù)值在各個象限的符號；(2)單位圓中的三角函數(shù)線；(3)同角三角函數(shù)的基本關系；(4)三角函數(shù)的誘導公式；(5)三角函數(shù)的圖象與性質等.可見，三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)教學中可謂重中之重,是整個三角部分的奠基石,它貫穿于與三角有關的各部分內容并起著關鍵作用.本節(jié)課的學習目標是理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，經歷從銳角三角函數(shù)定義過渡到任意角三角函數(shù)定義的推廣過程,體驗三角函數(shù)概念的產生、發(fā)展過程,領悟直角坐標系和單位圓的功能,豐富數(shù)形結合的經驗.由于三角函數(shù)的定義內涵豐富、外延廣泛等原因，同時，用單位圓上點的坐標表示的任意角三角函數(shù)定義,與學生初中學習的銳角三角函數(shù)定義有一定的距離,一個側重幾何的邊與邊的比值表示,一個側重代數(shù)的坐標（比值）表示.與學生熟悉的一般函數(shù)定義也有距離,一般函數(shù)是實數(shù)到實數(shù)的對應,而三角函數(shù)首先是實數(shù)（弧度數(shù)）到點的坐標的對應,然后才是實數(shù)（弧度數(shù)）到實數(shù)（橫坐標或縱坐標）的對應.學生理解該定義很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步加深提高.促進學生理解定義的關鍵是讓學生經歷定義的形成過程,增強學習活動的體驗,在教師的引導下獨立思考、自主探究,完成定義的意義建構.教材中任意角三角函數(shù)定義的得出經歷了以下四個循序漸進、不斷深化的過程：（1）回憶用直角三角形邊長的比產生的銳角三角函數(shù)的定義；（2）把銳角α放在直角坐標系中，用角的終邊上點的坐標表示銳角α的三角函數(shù)；（3）由相似三角形的知識可知，三角函數(shù)值只與α的大小有關，與點在終邊上的位置無關，因此可用單位圓上點的坐標表示銳角α的三角函數(shù)；（4）類比得出用單位圓定義任意角三角函數(shù)，并將它納入到一般函數(shù)概念的范疇.教科書這樣設計改變了以往純學術形態(tài)的形式,一定程度上具有了教育形態(tài)的特征,體現(xiàn)了數(shù)學知識的產生、發(fā)展過程,反映了數(shù)學的“來龍去脈”,通過有效的鋪墊,使之符合學生的認知規(guī)律,使從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)過渡自然,有利于學生步步加深對三角函數(shù)定義本質的理解.因此,筆者認為,教學設計時無須“另起爐灶”,只要在此基礎上,依據學生的認知特點,進行教學法的深加工即可.2．抓住關鍵，使教學精煉、簡約而高效

由于教科書自身特點的限制,教科書還不能成為教師教學用的教學設計,根據教材的內容、要求以及編寫意圖,教師還需要一個再加工、再創(chuàng)造的過程.具體的,就是將教材中得出任意角三角函數(shù)定義經歷的四個環(huán)節(jié)進一步教學化,使之符合學生的認知特點和規(guī)律,包括內容研究的必要性，坐標系、單位圓引入的自然性，以及用單位圓定義的可行性、合理性等.把它變成適合學生認知特點的具體的教育形態(tài),使學生感受“數(shù)學是自然的、清楚的、水到渠成的”.當前,高中數(shù)學課標課程比大綱課程的內容有所增加，初中數(shù)學對高中數(shù)學支持減弱，新課程賦予數(shù)學教學更多的價值取向，要讓課堂的所有環(huán)節(jié)都讓學生有深度思考、自主探究并展示結果是不現(xiàn)實也是沒必要的.事實上，學生在校以學習間接經驗為主,學生的學習主要是“接受——建構”式的,因此,對教學起關鍵作用的內容，要留足時間讓學生充分思考、交流與展示,其它內容教師可多講授與引導，發(fā)揮先行組織者作用,使教與學達到平衡，讓教學效益達到最大化.在引導學生回憶初中銳角三角函數(shù)定義之前,先解決“學習的必要性”問題,明確要研究的內容.教材將“三角函數(shù)”作為重要的基本初等函數(shù),是周期現(xiàn)象的基本模型,教師可借助本章的章頭語,完成課題的引入.由于初中的銳角三角函數(shù)定義不能推廣到任意角的情形，從而引發(fā)學生認知沖突，激發(fā)學生進一步探究的欲望.用什么定義、怎樣定義、這樣定義是否合理等,成為繼續(xù)研究的自然問題.之前,在任意角內容的學習中,學生已經有了在直角坐標系內討論角的經驗，但教學實踐表明,學生仍不能自然想到引入坐標系工具,利用坐標來定義任意角三角函數(shù).筆者認為，從幫助學生理解定義的實質，體會坐標思想與數(shù)形結合思想的角度，教師可利用適當?shù)恼Z言,引導學生重點解決“如何用坐標表示銳角三角函數(shù)”的關鍵問題.需要提及的是,陶老師的問題設計具有啟示性：

現(xiàn)在，角的范圍擴大了,由銳角擴展到了0°~360°內的角,又擴展到了任意角,并且在直角坐標系中,使得角的頂點與原點重合,始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環(huán)境中,你認為,對于任意角α，sinα怎樣定義好呢？

上述問題提得“大氣”，既能使學生的學習圍繞關鍵問題展開，又突出正弦函數(shù)的概念分析.當然，若能依教材先作銳角情形的鋪墊，教學更符合學生“最近發(fā)展區(qū)”，提高效率.這里，需要引導學生從函數(shù)的觀點認識用坐標表示的銳角三角函數(shù)，有助于從函數(shù)的本質特征來認識三角函數(shù).在第三個環(huán)節(jié)中，首先是如何自然引入單位圓的問題.用單位圓上點的坐標定義三角函數(shù)有許多優(yōu)點，其中最主要的是使正弦函數(shù)、余弦函數(shù)從自變量（角的弧度數(shù)）到函數(shù)值（單位圓上點的橫、縱坐標）之間的對應關系更清楚、簡單，突出了三角函數(shù)的本質，有利于學生利用已有的函數(shù)概念來理解三角函數(shù)，其次是使三角函數(shù)反映的數(shù)形關系更直接，為后面討論函數(shù)的性質奠定了基礎.但單位圓的這些“優(yōu)點”要在引入單位圓后才能逐步體會到.因此，引入單位圓的“理由”應該另辟蹊徑，白老師在引導學生完成用角的終邊上任意一點的坐標表示銳角三角函數(shù)之后，從求簡的角度設置問題,不愧為“棋高一招”：

大家有沒有辦法讓所得到的定義式變得更簡單一點？

在學生得出時定義式最簡單后,白老師引入單位圓,引導學生利用單位圓定義銳角三角函數(shù).至此，學生就有了第四環(huán)節(jié)中用單位圓定義任意角三角函數(shù)的認知準備.由于“定義”是一種“規(guī)定”，因此，第四環(huán)節(jié)中，教師可類比用單位圓定義銳角三角函數(shù)情形，直接給出任意角三角函數(shù)定義，對學生而言，關鍵是理解這樣“規(guī)定”的合理性，對定義合理性認知基礎就是三角函數(shù)的“函數(shù)”本質——定義要符合一般函數(shù)的內涵（函數(shù)三要素）.3．精心設計問題，讓課堂成為學生思維閃光的舞臺 基于上述認識，對定義部分的教學，給出如下先行組織者和主干問題設計.先行組織者1：周期現(xiàn)象是社會生活和科學實踐中的基本現(xiàn)象，大到宇宙運動，小到粒子變化，這些現(xiàn)象的共同特點是具有周期性，另外，如潮汐現(xiàn)象、簡諧振動、交流電等，也具有周期性，而“三角函數(shù)”正是刻畫這些變化的基本函數(shù)模型.三角函數(shù)到底是一種怎樣的函數(shù)？它具有哪些特別的性質？在解決具有周期性變化規(guī)律的問題中到底能發(fā)揮哪些作用？本課從研究第一個問題入手.意圖：明確研究方向與內容.問題1：在初中，我們已經學習了銳角三角函數(shù)，它是怎樣定義的？ 意圖：從學生已有的數(shù)學經驗出發(fā)，為用坐標定義三角函數(shù)作準備.問題2：現(xiàn)在，角的概念已經推廣到了任意角，上述定義方法能推廣到任意角嗎？ 意圖：引發(fā)學生的認知沖突，激發(fā)學生求知欲望.問題3：如何定義任意角的三角函數(shù)？ 意圖：引導學生探索任意角三角函數(shù)的定義.先行組織者2：我們知道，直角坐標系是展示函數(shù)規(guī)律的載體，是構架“數(shù)形結合”的天然橋梁，上堂課我們把任意角放在平面直角坐標系內進行研究，借助坐標系，可以使角的討論簡化，也能有效地表現(xiàn)出角的終邊位置“周而復始”的現(xiàn)象.坐標系也為我們從“數(shù)”的角度定義任意角三角函數(shù)提供有效載體.意圖：引導學生借助坐標系來定義任意角三角函數(shù).問題4：先考慮銳角的情形，如圖1，在平面直角坐標系中，你能用點的坐標來表示銳角α的三角函數(shù)嗎？

意圖：引導學生用坐標表示銳角三角函數(shù).問題5：各個比值與角之間有怎樣的關系？比值是角的函數(shù)嗎？

意圖：扣準函數(shù)概念的內涵，把三角函數(shù)知識納入函數(shù)知識結構，突出變量之間的依賴關系或對應關系，增強函數(shù)觀念.先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，得出結論：三個比值分別是以銳角α為自變量、以比值為函數(shù)值的函數(shù).問題6：既然可在終邊上任取一點，那有沒有辦法讓所得的對應關系變得更簡單一點？ 意圖：為引入單位圓進行鋪墊.教師給出單位圓定義之后，可引導學生進一步明確：正弦、余弦、正切都是以銳角α為自變量、以單位圓上點的坐標（或比值）為函數(shù)值的函數(shù).問題7：類比上述做法，設任意角α的終邊與單位圓交點為P（x，y），定義正弦函數(shù)為，余弦函數(shù)為，正切函數(shù)為.你認為這樣定義符合函數(shù)定義要求嗎? 意圖：給出任意角三角函數(shù)的定義,引導學生用函數(shù)三要素說明定義的合理性，明確任意角三角函數(shù)的對應法則、定義域、值域.引導學生思考定義的合理性，先讓學生作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明，得出結論：正弦、余弦、正切都是以任意角α為自變量、以單位圓上的坐標或坐標的比值（如果存在的話）為函數(shù)值的函數(shù).接著給出任意角三角函數(shù)的定義域、值域.“任意角三角函數(shù)的概念”教學設計

陶維林（江蘇南京師范大學附屬中學，210003）

一．內容和內容解析

三角函數(shù)是一個重要的基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學模型．它的基礎主要是幾何中的相似形和圓，研究方法主要是代數(shù)中的圖象分析和式子變形，三角函數(shù)的研究已經初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來．它在物理學、天文學、測量學等學科中都有重要的應用，它是解決實際問題的重要工具，它是學習數(shù)學中其他學科的基礎．

角的概念已經由銳角擴展到0°~360°內的角，再擴充到任意角，相應地，銳角三角函數(shù)概念也必須有所擴充．任意角三角函數(shù)概念的出現(xiàn)是角的概念擴充的必然結果．

比較銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)這兩個概念，共同點是，它們都是“比值”，不同點是銳角三角函數(shù)是“線段長度的比值”，而任意角三角函數(shù)是直角坐標系中“坐標與長度的比值，或者是坐標的比值”．正是由于“比值”這一與在角的終邊上所取點的位置無關的特點，因此，可以用角的終邊與單位圓的交點的坐標（或坐標的比值）來表示任意角的三角函數(shù)，這是概念的核心．這樣定義，不僅簡化了任意角三角函數(shù)的表示，也為后續(xù)研究它的性質帶來了方便．

從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)類似于從自然數(shù)到整數(shù)擴充的過程，產生了“符號問題”．因此，學習任意角三角函數(shù)可以與銳角三角函數(shù)相類比，借助銳角三角函數(shù)的概念建立起任意角三角函數(shù)的概念．

任意角三角函數(shù)概念的重點是任意角的正弦、余弦、正切的定義．它們是本節(jié)，乃至本章的基本概念，是學習其他與三角函數(shù)有關內容的基礎，具有根本的重要的作用．解決這一重點的關鍵，是學會用直角坐標系中，角的終邊上的點的坐標來表示三角函數(shù)．因為正切函數(shù)并不獨立，最主要的是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)．

任意角三角函數(shù)自然具有函數(shù)的一切特征，有它的定義域，對應法則以及值域．任意角三角函數(shù)的定義域是實數(shù)集（或它的子集），這是因為，在建立弧度制以后，角的集合與實數(shù)集合間建立了一一對應關系，從這個意義上說，“角是實數(shù)”，三角函數(shù)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)．各種不同的三角函數(shù)定義了不同的對應法則，因而可能有不同的定義域與值域．

任意角三角函數(shù)概念是核心概念，它是解決一切三角函數(shù)問題的基點．無論是研究三角函數(shù)在各象限中的符號、特殊角的三角函數(shù)值，還是同角三角函數(shù)間的關系，以及三角函數(shù)的性質，等等，都具有基本的重要的意義．

在建立任意角三角函數(shù)這個定義的過程中，學生可以感受到數(shù)與形結合，以及類比、運動、變化、對應等數(shù)學思想方法． 二．目標和目標解析

本節(jié)課的目標是，理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義．

學生已經學習過銳角三角函數(shù)sinα，cosα，tanα，了解三角函數(shù)是直角三角形中邊長的比值，這個比值僅與銳角的大小有關，是隨著銳角取值的變化而變化的，其值是惟一確定的，等函數(shù)的要素．這是任意角三角函數(shù)概念的“生長點”．

理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）定義的關鍵是由銳角三角函數(shù)這個線段長度的比值擴展為點的坐標或坐標的比值．因此，對銳角三角函數(shù)理解得怎樣，對理解任意角三角函數(shù)有決定意義，復習銳角三角函數(shù)，加深對銳角三角函數(shù)的理解是必要的．

要實現(xiàn)讓學生“理解”任意角三角函數(shù)定義的教學目標，莫過于讓學生參與任意角三角函數(shù)定義的過程．讓學生感受到因角的概念的擴展，銳角三角函數(shù)概念擴展的必要性，任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)概念的自然延伸．反過來，既然銳角集合是任意角集合的子集，那么，銳角三角函數(shù)也應該是任意角三角函數(shù)的特殊情況，是一個包含關系．讓學生參與定義，可以感受到這樣定義的合理性，感受到這個定義是自然的．

三．教學問題診斷分析

從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)的學習，從認知結構發(fā)展的角度來說，是屬于“下、上位關系學習”，是一個從特殊到一般的過程，“先行組織者”是銳角三角函數(shù)的概念．教學策略上先復習包容性小、抽象概括程度低的銳角三角函數(shù)的概念，然后讓學生“再創(chuàng)造”抽象程度高的上位概念（參與定義），并形成新的認知結構，讓原有的銳角三角函數(shù)的概念類屬于抽象程度更高的任意角三角函數(shù)的概念之中．

學生過去在直角三角形中研究過銳角三角函數(shù)，這對研究任意角三角函數(shù)在認識上會有一定的局限性，所以學生在用角的終邊上的點的坐標來研究三角函數(shù)可能會有一定的困難．可以讓學生在原有的對銳角三角函數(shù)的幾何認識的基礎上，嘗試讓學生建立用終邊上的點的坐標定義任意角三角函數(shù)，或者嘗試用終邊上的點的坐標定義銳角三角函數(shù)，然后再定義任意角的三角函數(shù)．

教學的另一個難點是，任意角三角函數(shù)的定義域是實數(shù)集（或它的子集）．因為學生剛剛接觸弧度制，未必能理解“把角的集合與實數(shù)集建立一一對應”到底是為了什么．可以在復習銳角三角函數(shù)時，把銳角說成區(qū)間（0，四．教學支持條件分析

利用幾何畫板軟件，可以動態(tài)改變角的終邊位置，從而改變角的終邊上點的坐標大小的特點，便于學生認識任意角的位置的改變，所對應的三角函數(shù)值也改變的特點，感受函數(shù)的本質；感受終邊相同的角具有相同的三角函數(shù)值；也便于觀察各三角函數(shù)在各象限中符號的變化情況，加深對任意角三角函數(shù)概念的理解，增強教學效果．）內的角，以便分散這個難點． 五．教學過程設計 1．理解銳角三角函數(shù)

要理解任意角三角函數(shù)首先要理解銳角三角函數(shù)．銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的先行組織者．

問題1 任意畫一個銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．

教師用幾何畫板任意畫一個銳角．要求學生自己任意也畫一個銳角，利用手中的三角板畫直角三角形，度量角α的對邊長、斜邊長，計算比值．

意圖：復習初中所學習過的銳角三角函數(shù)，加深對銳角三角函數(shù)概念的理解，它是學習任意角三角函數(shù)的基礎．突出：

（1）與點的位置的選取無關；（2）是直角三角形中線段長度的比值． 問題2 能否把某條線段畫成單位長，有些三角函數(shù)值不用計算就可以得到？

意圖：學生根據自己實際畫圖操作，以及計算比值的體驗，會很快認為把斜邊畫成單位長比較方便，為后續(xù)任意角三角函數(shù)的“單位圓定義法”做鋪墊．

問題3 銳角三角函數(shù)sinα作為一個函數(shù)，自變量以及與之對應的函數(shù)值分別是什么？

意圖：以便與后面的任意角三角函數(shù)的自變量是角（的弧度，對應一個實數(shù)），對應的函數(shù)值是α的終邊與單位圓交點的縱坐標比較．

銳角三角函數(shù)sinα作為一個函數(shù)，自變量是銳角．由于角的弧度值與實數(shù)可以一一對應，所以，α是（0，）上的實數(shù)．而與之對應的函數(shù)值sinα是線段長度的比值，是區(qū)間（0，1）上的實數(shù)．

問題4 你產生過這個疑問嗎：“三角函數(shù)只有這三個？”

意圖：這個問題具有元認知提示的特點，引導學生勤于思考，逐步學會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、研究問題．

三條邊相互比，可以產生六個比．還有哪三個呢？再把已知的三個倒過來． 2．任意角三角函數(shù)定義的“再創(chuàng)造”

教師利用幾何畫板，把角α的頂點定義為原點，一邊與x軸的正半軸重合，轉動另一條邊，表現(xiàn)任意角．

問題5 現(xiàn)在，角的范圍擴大了．在直角坐標系中，使得角的頂點在原點，始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環(huán)境下，你認為，對于任意角α，sinα，cosα，tanα怎樣來定義好呢？

意圖：可以打破知識結構的平衡，感受到學習新知識的必要性——角的范圍擴大了，銳角三角函數(shù)也應該“與時俱進”，并不顯得突然．把定義的主動權交給學生，引導學生參與定義過程，發(fā)展思維．

有兩種可能的回答．

可能一：在α的終邊上任意畫一點P（x，y），|OP|＝r．

可能二：設角α的終邊與單位圓的交點為P（x，y）．

不論出現(xiàn)可能一還是可能二，都再問：“都是這樣的嗎？”

引導學生議論，以確認兩種定義方法的一致性、各自特點．再問“你贊成哪一種？”，統(tǒng)一認識，建立任意角三角函數(shù)的定義．（板書）

因為前面已經有引導，學生可能很快接受“可能二”． 3．任意角三角函數(shù)的認識（對定義的體驗）

問題6（1）求下列三角函數(shù)值：

問題6（2）說出幾個使得cosα＝1的α的值． 意圖：通過定義的簡單應用，把握定義的內涵．

逐題給出，對于每一個答案，都要求學生說出“你是怎樣得到的．”突出“畫終邊，找交點坐標，算比值（對正切函數(shù)）”的步驟．

問題6（3）指出下列函數(shù)值：

意圖：角的終邊位置決定了三角函數(shù)值的大小．終邊位置相同的角同一三角函數(shù)值相等．于是有 sin（α＋2kπ）＝sinα，cos（α＋2kπ）＝cosα，tan（α＋2kπ）＝tanα．（其中k∈Z）問題6（4）

①確定下列三角函數(shù)的符號：

②θ在哪個象限？請說明理由．反過來呢？

③角α的哪些三角函數(shù)值在第二、三象限都是負數(shù)？為什么？ ④tanα在哪些象限中取正數(shù)？為什么？ 意圖：認識三角函數(shù)在各象限中的符號．

問題7 做了這么多題，要反思．你是否發(fā)現(xiàn)了任意角三角函數(shù)的一些性質？還有些什么體會？ 意圖：體驗以后的概括，階段小結．（1）抓住各三角函數(shù)的定義不放；（2）各象限中三角函數(shù)的符號特點，等．

教師板書學生獲得的成果、感受． 4．任意角三角函數(shù)的定義域

問題8 α是任意角，作為函數(shù)的sinα，cosα，tanα，它們的定義域分別是什么？

意圖：三角函數(shù)也是函數(shù)，自然應該關心它的定義域．

建立了角的弧度制，角的集合與實數(shù)集合之間建立了一一對應關系，因此，sinα，cosα的定義域是R；tanα＝中，x≠0，于是tanα的定義域是

仍然緊扣定義，并引導以弧度制表示它的定義域． 5．練習

（1）確定下列三角函數(shù)值的符號，并借助計算器計算：

（2）求下列三角函數(shù)值：

6．小結

問題9 下課后，你走出教室，如果有人問你：“過去你就學習過銳角三角函數(shù)，今天又學習了任意角的三角函數(shù)，它們的差別在哪里呢？”你怎么回答他？

意圖：通過問題小結．不追求面面俱到，突出銳角三角函數(shù)是三角形中，邊長的比值，而任意角的三角函數(shù)是直角坐標系中角的終邊與單位圓交點的坐標，或者是坐標的比值．

若時間允許，再問：“還有其他收獲嗎？”比如，終邊相同的角的同一三角函數(shù)相等；各象限三角函數(shù)的符號；任意角三角函數(shù)的定義域，等． 六．目標檢測設計

（1），寫出α的終邊與單位圓交點的橫坐標，并寫出tanα的值．

（2）求下列三角函數(shù)的值：

（3）角α的終邊與單位圓的交點是Q，點Q的縱坐標是1/2，說出幾個滿足條件的角α．

（4）點P（3，－4）在角α終邊上，說出sinα，cosα，tanα分別是多少？

（1）實際教學片段

上課始，教師用幾何畫板任意畫一個銳角，提出問題1：“任意畫一個銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．”然后走進學生中間，觀察他們的學習行為．結果發(fā)現(xiàn)，有一部分同學畫出角之后，一片茫然．教師又不愿意把結果告訴學生，提示同桌的兩位同學可以商量一下，并提示，完成的同學請舉手示意，以便教師了解情況，結果舉手的人很少．之后，教師提問一位舉手的學生，問：“你是怎么做的？”她要求上黑板，教師非常贊成．她在黑板上畫出一個直角三角形，并不熟練地寫出一個銳角的正弦是它的對邊比斜邊以及余弦、正切等三個三角函數(shù)．之后，教師又與學生討論了問題2：能否把某條線段畫成單位長，有些三角函數(shù)值不用計算就可以得到？學生比較一致認為把斜邊長畫成單位長比較好，為“單位圓定義法”做必要的鋪墊．接著討論問題3：銳角三角函數(shù)sinα作為一個函數(shù)，自變量以及與之對應的函數(shù)值分別是什么？在教師類比正方形的面積s＝a2的提示下，學生說出銳角三角函數(shù)中自變量以及與之對應的函數(shù)值分別是角、比值，最后討論問題4：你產生過這個疑問嗎：“三角函數(shù)只有這三個？”有學生舉手，表示想過這個問題，應該是六個，另外三個可以把現(xiàn)有的三個倒一下得到．至此，時間已經過去20多分鐘．

教師本以為，學生在初中既然學習過銳角三角函數(shù)，對給出的一個銳角，借助三角板構造直角三角形，找出它的正弦、余弦的近似值是很容易的事，而恰恰在這一點上，學生耗費了大量的時間，而教師又不想越俎代庖地告訴學生，這就嚴重影響了后續(xù)建立任意角三角函數(shù)的概念，并通過特殊角的求值體驗、把握內涵的時間保證，造成體驗不夠，概括

過早，應用更少的現(xiàn)象．

（2）問題出在哪里

問題在教學設計不夠合理，當中的“教學問題診斷分析”不夠準確．沒有準確把握學生的知識基礎與認識能力，對學生在學習中可能出現(xiàn)的困難估計不足．尤其是，對學生關于銳角三角函數(shù)的理解估計過高．主要表現(xiàn)在兩個方面，一是初中學習銳角三角函數(shù)是在直角三角形中進行的，并不要求給出一個銳角，兩邊是射線，求出它的三角函數(shù)值．二是并不要求把“銳角三角函數(shù)”作為函數(shù)來認識，比如關注它的自變量是角，對應的函數(shù)值是比值，更不關心它的定義域、值域以及對應法則這些函數(shù)的要素．只要求運用符號sinA，cosA，tanA的意義來進行有關的計算，等．現(xiàn)在，要求學生從函數(shù)角度建立任意角三角函數(shù)概念這就失去了概念的上位支持．

關于銳角三角函數(shù)，在《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》中，是在“空間與圖形”的“圖形與變換”部分．標準指出：“通過實例認識銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值；會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它對應的銳角．”以及“運用三角函數(shù)解決與直角三角形有關的簡

單實際問題．”

筆者查閱了按照“課程標準”編寫的幾套初中教材，給出sinA的方式基本上一致，是：

如圖（圖略），在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正弦（sine），記作sinA，即”（對cosA，tanA有類似的定義）并指出“銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函

數(shù)．”

以后的內容（包括解實際問題），都是有關三角函數(shù)值的計算，并不強調它們的函數(shù)特征．有的教材雖然指出“對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應，所以sinA是A的函數(shù)．同樣地，cosA，tanA也是A的函數(shù)．”作出了銳角三角函數(shù)是一種特殊的函數(shù)的提示，由于缺少必要的練習，作用并不大．應該說，這些都不違背“課程標準” 的要求．可見學生在初中學習過的函數(shù)有正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)，銳角三角函數(shù)并不納入“函

數(shù)”這個系統(tǒng)．

初中學習銳角三角函數(shù)有一個特定的載體，這就是直角三角形，因此，當他們面對任意畫出的一個銳角，其兩條邊是射線，要求出這個角的三角函數(shù)的近似值這個新情境時，竟不知如何是好，手足無措，無計可施，也說明學生對銳角三角函數(shù)并不理解．這樣看來，畫出一個銳角，要求學生會取點、畫垂線、度量、計算比值的要求是必要的．

有教師認為，不必復習銳角三角函數(shù)，直接提出問題“同學們已經學習過銳角三角函數(shù)，你認為應該怎樣來定義任意角的三角函數(shù)？”這種“大撒手”的問題跨度太大，學生更難回答．原因是對銳角三角函數(shù)的“函數(shù)”特征認識不足、理解不到位，要讓學生直接建立任意角的三角函數(shù)，又要突出“函數(shù)”這一特征，很困難．因此，為建立任意角的三角函數(shù)的概念，需要先復習初中銳角三角函數(shù)的概念，因為從銳角（三角函數(shù)）到任意角（三角函數(shù)）又是由下位到上位的學習．教材要求首先把直角三角形中邊長的比值擴展到坐標或者坐標的比值，在直角坐標系中認識銳角三角函數(shù)，并引導學生從“函數(shù)”的角度認識它，也就是弄清自變量以及與之對應的函數(shù)分別是什么是必要的．

（3）對教學的反思

高中教師應該了解義務教育階段的數(shù)學課程標準，了解初中教材，了解學生在初中學習過哪些內容，尤其是相應的教學目標是什么，關注學生的認知結構．應該做好初、高中的銜接工作，不僅注意知識的銜接，還要注意思想方法、能力要求等各方面的銜接，為學習高中的相關內容做好鋪墊．以為已經學習過銳角三角函數(shù)，學生就能夠把它理解為一種特殊的函數(shù)，是一個明顯的例子．

教科書在節(jié)首提出的“思考”是：“我們已經學過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，你能用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎”其實，學生只知道銳角三角函數(shù)是直角三角形中邊長的比值，并不完全知道“它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)”，這就需要通過復習，來幫助學生

補上這一點．

2．其他反思

（1）由于學生在復習階段花了較多的時間，影響了新課的學習，用任意角三角函數(shù)概念解題的時間不多，體驗不夠，有教師提出“下課后練習不好做”，說明復習銳角三角函數(shù)沒有必要．筆者認為，當“預設”與“生成”發(fā)生矛盾時，教師寧可選擇“生成”．尊重學生的認知水平，尊重學生的認知心理過程，決不簡單化，把結論直接告訴給學生，追求“結果”，追求“完成”教學任務．教師不能認為我已經把這個概念告訴你了，你就應該知道了．數(shù)學教學不是“告訴教學”，概念不能靠學生“復制”，對概念需要的是理解，需要學生用自己的體驗建立起對概念的理解．什么是“教學任務”，不能僅限于知識要求，要注意學生的全面發(fā)展．比如，當學生不能正確選擇在角的一邊上取點，畫垂線時，啟示學生互相討論、啟發(fā)一下，借助于同伴的幫助解決問題．當學生不能說出“作為函數(shù)的銳角三角函數(shù)，自變量以及它的函數(shù)分別是什么”（屬性）意義不清，不好回答時，教師降低難度，啟發(fā)類比S＝a2中a表示邊長，而S表示正方形的面積．突出線段長、面積，等等．

“任意角三角函數(shù)的概念”與作為第一節(jié)課的“任意角三角函數(shù)的概念”不是同一個概念．對“任意角三角函數(shù)的概念”的認識、理解不是一蹴而就的，不是一節(jié)課可以完成的任務，需要一個長期的過程．比如，把角度化成弧度到底是為了什么？即便化成弧度，又為什么省略不寫呢？建立角的弧度與實數(shù)間的一一對應有什么必要呢？任意角三角函數(shù)的自變量明明白白是角，為什么偏要把它說成實數(shù)呢？剛剛接觸任意角三角函數(shù)就要求理解這一切是十分困難的．隨著學習的深入，尤其是三角函數(shù)的應用，學生才能慢慢消除這些疑問，逐漸理解它．比如，在三相交流電路中，某一相電路中的電流強度IA＝Imsin（ωt）（其中Im是電路中電流強度的峰值），三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的基本數(shù)學模型；再比如，當學生接觸到函數(shù)y＝sin（cosx）后，再來看三角函數(shù)的定義域，會認識到抽象后的任意角三角函數(shù)的自變量作為實數(shù)更具廣泛性．

這一節(jié)課把教學的基本要求定位在，弄清任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的區(qū)別，接受用坐標（或坐標的比值）表示三角函數(shù)就夠了．如同在建立數(shù)軸之后，一個知道把向東2公里表示為2公里而向西2公里表示成－2公里，接受“路程也可以是負數(shù)”的學生，就已經開始接受有理數(shù)，逐漸成為中學生了．

還需要注意的是，應該通過什么方式讓學生建立起用坐標（或比值）表示任意角三角函數(shù)，以及領會建立這個概念過程

中所蘊涵的數(shù)學思想方法．

（2）在求cosπ時，一個學生說出的結果是0.9985．教師追問“你是怎么算出來的？”他回答：“用計算器．”后來，筆者用計算器做了實驗，發(fā)現(xiàn)他用計算器計算時，把計算器中的角度模式（Mode）設置成了角度制（Degree）．在這種模式下，計算cosπ可以得到0.9985（即計算的是cosπ°）．如果把角度模式設置成了弧度制（Radian），計算cosπ仍可以得到－1．這件事的出現(xiàn)給我以及所有聽課教師引發(fā)諸多思考．第一，這位同學沒有關注到這節(jié)課剛學習過的概念，運用新概念解決當前的問題，而是停留在“三角函數(shù)值是能夠用計算器算出來的”這個認識水平上；第二，反映了計算器的過度使用，會形成對學具的依賴，影響學生思維能力的發(fā)展．學具的功能越全面越強大不一定是好事．比如，具有解方程（Solve）功能的計算器在初中使用可能會削弱解一元二次方程的學習；具有圖象功能的計算器的過早使用可能會干擾函數(shù)的學習．因此，教師應該注意技術在教學中的“輔助”作用，適度使用教具，重視算理分析，重視算法的來源，重視思維能力的培養(yǎng)，而不是追求計算結果．

借班上課，對學生的不熟悉是教師的苦惱，加上教學進度等問題，學生的知識儲備不足（在教學任意角三角函數(shù)概念之前僅上過一堂“任意角”的課），是教學并不理想的一個重要原因．教學過程是師生雙邊活動的過程，離不開師生之間的交流，生疏是交流的障礙之一，生疏更難以做到師生之間配合默契．另外，學生對教師的教學風格的適應或認可也有一個過程，比如教師希望學生積極發(fā)言而不僅是聽講，等等．

（3）討論中，老師們提出了許多有價值的教學應該遵循的一般規(guī)律以及一些先進的教學理念，但是，要求一節(jié)課全面體現(xiàn)各種先進教學理念，去承擔反映數(shù)學教學規(guī)律中太多的東西是不現(xiàn)實，也是不應該的．

課堂教學是一項實踐性很強的工作，除了認真的課前準備外，對教學過程中出現(xiàn)的“突發(fā)事件”，隨機應變十分重要．教師需要關注學生的學習行為，關注學生的認識過程，隨時修改自己的教學設計，調整教學內容、教學要求，改變策略，選擇恰當?shù)姆椒▽嵤┙虒W，以達到最佳教學效果．這一切都需要教師有很強的基本功．

第五篇：任意角三角函數(shù)教案（推薦）

問題1 本章研究的問題是三角函數(shù)，函數(shù)的研究離不開平面直角坐標系，這在第一節(jié)中已經有所感受。現(xiàn)在請你回憶初中學過的銳角三角函數(shù)的定義，并思考一個問題：如果將銳角置于平面直角坐標系中，如何用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標表示銳角三角函數(shù)呢？

（設計意圖：將已有知識坐標化,分化難點。用新的觀點再認識學生的已有知識經驗，發(fā)揮其正遷移作用，同時使本課時的學習與學生的已有知識經驗緊密聯(lián)系，使知識有一個熟悉的起點，扎實的固著點。）

預計的回答：學生可以回憶出初中學過的銳角三角函數(shù)的定義，但是在用坐標語言表述時可能會出現(xiàn)困難——即使將角置于坐標系中但是仍然習慣用三角形邊的比值表示銳角三角函數(shù)，需要教師引導學生將之轉換為用終邊上的點的坐標表示銳角三角函數(shù)。

解答過程：

：如圖1，在直角△POM中，∠M是直角，那么。

（2）坐標化：如圖2，建立平面直角坐標系，設點P的坐標為（x，y），那么，于是。

問題2 回憶弧度制中1弧度角的幾何解釋，它是借助于單位圓給出的，能否從中得到啟示將上述定義的形式化簡，化簡的依據是什么？寫出最簡單的形式。（設計意圖：引入單位圓。深化對單位圓作用的認識，用數(shù)學的簡潔美引導學生進行研究，為定義的拓展奠定基礎。該問題與問題1結合，分步推進，降低難度，基本尊重教材的處理方式。）

預計的困難：由于學生只接觸過一次單位圓，對它所能起的作用只有一般的了解，所以需要教師的引導。也可以引導學生從形式上對上述定義化簡，使得分母為1，之后通過分母的幾何意義將之與單位圓結合起來。

解答過程：

單位圓中定義銳角三角函數(shù)：如圖3，線段OP=1，點P的坐標為（x，y），那么銳角α的三角函數(shù)可以用坐標表示為：。

（說明：單位圓的定義建議在弧度制一節(jié)中給出。）

依據：三角形相似，比值與具體的點的位置沒有關系。

問題3：上述定義是借助于單位圓，利用角的終邊與單位圓的交點的坐標給出的，它可以推廣到任意角的三角函數(shù)，請你寫出任意角的三角函數(shù)的定義。分小組分別寫出角α的終邊位于第二、三、四象限和x軸、y軸上時的三角函數(shù)。（設計意圖：具體認識任意角的三角函數(shù)，突現(xiàn)本課時的研究重點。如果問題太一般化，如設計為：上述定義可以推廣到任意角的三角函數(shù)，請寫出任意角的三角函數(shù)的定義。那么學生不知道“上述定義”是指哪個，而且不明白任意角該如何取。所以在問題設計中再次強調要借助于單位圓，利用坐標，限定學生的思維，以免太發(fā)散。再者在一般要求“寫出任意角的三角函數(shù)”之后，又提出具體的活動方式：分小組針對不同位置的角分別寫出其三角函數(shù)。這樣將問題具體化，學生容易著手解決。寫出定義的過程也是鞏固推廣的過程，而且這樣做盡可能避免出現(xiàn)學生用計算器算cosπ的現(xiàn)象。）

活動形式：由學生分組獨立完成之后再展示交流，形成具體而全面的認識。學生可能會在寫出任意角的三角函數(shù)的定義時出現(xiàn)困難，教師的幫助不要具體，而是在思維上引導——用坐標表示，并引導學生正確認識三角函數(shù)的定義域。

預計的答案：如圖4，針對其中的圖（1）（2）（3）學生寫出，針對其中的圖（4）學生寫出，針對其中的圖（5）學生寫出，tanα無意義。

結論：給出三角函數(shù)的定義：（略）。

問題4：根據上述過程，你能寫出三角函數(shù)的定義域嗎？你能用函數(shù)的定義對三角函數(shù)進行分析嗎？

（設計意圖：順勢而為形成定義，并將三角函數(shù)的定義進行同化，通過這樣的活動強化學生對任意角三角函數(shù)定義的理解，達到對概念的初步精致。）

預計的困難：學生對三角函數(shù)的自變量認識可能會存在問題。

教師的引導：引導學生利用單位圓的幾何意義解釋正弦、余弦的值域。預計的答案：設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x,y）。

例1 求的正弦、余弦和正切值。

（設計意圖：鞏固對定義的理解。）

分析：根據定義求解，先利用銳角三角函數(shù)知識求出點P的坐標，再根據定義求解。

解：如圖5，可知在RTΔOPC中，∠OPC=30o，所以OC=，CP=，所以點P的坐標是。

根據定義可得：

練習１（P15練習3）完成下列表格中的前兩列：

例2 已知角α的終邊經過點P（－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切值。

（設計意圖：通過問題的轉化，進一步加深對定義的理解。）

分析：通過相似求出角α的終邊與單位圓的交點坐標，之后再根據定義求解。解：如圖6，由已知可得： |OP0|=。

設角α的終邊與單位圓交于點P（x，y）,分別過點P和P0作x軸的垂線MP，M 0P0，則

又|OP|=1，根據∽Δ，可得，即，所以。

所以。

（說明：上述書寫過程基本與例1統(tǒng)一，這樣可以將該題目的求解思路同化，降低學習難度。）

問題5 通過本課時的學習你有哪些收獲，請從知識、思想方法經驗等方面進行小結。此外你還有哪些需要質疑之處。

（設計意圖：引導學生小結，并進一步思考。通過質疑引導學生全面認識三角函數(shù)，雖然在課堂上不研究其他3個三角函數(shù)，但是可以讓學生有一個全面的認識，培養(yǎng)思維的嚴謹性。通過三角函數(shù)定義的一般化，引導學生用辯證的觀點認識事物，理解三角函數(shù)。）

小結：知識：（略）；

思想方法：（略）；

經驗：用函數(shù)的觀點認識三角函數(shù)，用單位圓的幾何特征研究三角函數(shù)。

拓展1：3個數(shù)可以形成6個比值，為什么只對其中的三個比值進行定義和研究，其他3個比值又能對應什么函數(shù)呢？有興趣的同學可以自己查閱資料進行研究。

拓展2：通過求解例2，你能發(fā)現(xiàn)還可以怎么定義任意角的三角函數(shù)呢？請閱讀教材的旁白。這是三角函數(shù)定義的等價定義。

六、目標檢測設計 1．P15練習1，2，3；

（設計意圖：初步應用定義和等價定義。）2．習題1.2A組2。

（設計意圖：培養(yǎng)學生類比、對比解決問題能力。）

3．完成教材P13的探究，之后完成P15練習4，6，把結果填在書上。（設計意圖：將作業(yè)作為課堂教學的延伸，培養(yǎng)學生自主學習的能力和習慣。）七．設計思路 1．突出單位圓的作用。具體表現(xiàn)在三個方面：第一是將銳角三角函數(shù)坐標化，引入單位圓；第二是利用單位圓寫出任意角的三角函數(shù)；第三是利用單位圓寫出定義域及正弦、余弦的值域；第四是在例2的解決過程中建立單位圓與一般定義的關系。

2．用函數(shù)同化三角函數(shù)。給出任意角的三角函數(shù)的定義之后，用函數(shù)的定義對三角函數(shù)進行分析，將之納入到已有的認知結構中，并使得原有認知結構發(fā)生順應變化。

3．力求在數(shù)學的自然、必要和學生的認知之間尋找平衡點。根據聽課時出現(xiàn)的問題，在本教學設計中采取了下列處理方式。（1）先坐標化再引入單位圓，降低認知臺階。

從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)這一段的處理基本尊重教材，這是因為在聽課過程中發(fā)現(xiàn)如果將“坐標化”與“單位圓”兩個問題同時拋給學生，雖然能體現(xiàn)出做這兩個工作的必要性，但是跨度較大，學生感到困難，解決問題的過程費時費力，不但不能使學生感受到學習的必要性，反而制約了學生的思維。

（2）將問題分解、具體化，通過具體認識一般。

在形成任意角的三角函數(shù)的定義時將問題解剖，并采取分組合作的組織方式，旨在將抽象的問題具體化，降低難度。讓學生根據角的不同位置寫出定義，特別是對于象限角也進行了相同的處理辦法，這是因為學生的思維從具體問題開始，而且要形成“初始效應”，在新概念學習伊始就使得它植根于學生的已有認知結構中，并形成強烈的意識——用新定義解決問題，而不再用計算器或其他辦法。

（3）解題思路求同，強化定義的作用。

例

1、例2兩個題目的解決思路都是相同的：先求出角的終邊與單位圓交點的坐標，之后再根據定義求解。差別在于求角的終邊與單位圓交點的坐標的具體方法不同，這些求法都是學生已經具備的技能。據此建議教材中將例2的解題過程修改，將利用相似求線段長的計算前置，分步完成即降低了難度，又統(tǒng)一了思路，突出了定義的作用。

（4）將作業(yè)作為課堂教學的有效延伸，給學生思考的空間。

作業(yè)中的第3項的設計，其意是使得學生的作業(yè)不但有模仿的，更有需要獨立思考的，培養(yǎng)學生的能力。

2009-04-09 人教網 關閉 打印

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