第一篇：[教案精品]新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)人教A版必修四全冊教案2.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(二)

2．3．3平面向量的坐標(biāo)運算教學(xué)目的：（1）理解平面向量的坐標(biāo)的概念；（2）掌握平面向量的坐標(biāo)運算；（3）會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.教學(xué)重點：平面向量的坐標(biāo)運算教學(xué)難點：向量的坐標(biāo)表示的理解及運算的準(zhǔn)確性.教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2??(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量ａ在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數(shù)量

二、講解新課：

?1．平面向量的坐標(biāo)運算

?????思考1：已知：a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，你能得出a?b、a?b、?a的坐標(biāo)嗎？設(shè)基底為i、j，則a?b?(x1i?y1j)?(x2i?y2j)?(x1?x2)i?(y1?y2)j即a?b?(x1?x2,y1?y2)，同理可得a?b?(x1?x2,y1?y2)（1）若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.（2）若a?(x,y)和實數(shù)?，則?a?(?x,?y).實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).設(shè)基底為i、j，則?a??(xi?yj)??xi??yj，即?a?(?x,?y)

實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。

?思考2：已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，怎樣求AB的坐標(biāo)？

（3）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?

AB=OB?OA=(x2，y2)?(x1，y1)=(x2? x1，y2? y1)一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo).思考3：你能標(biāo)出坐標(biāo)為(x2? x1，y2? y1)的P點嗎？

向量AB的坐標(biāo)與以原點為始點、點P為終點的向量的坐標(biāo)是相同的。

三、講解范例：

????????例1 已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐標(biāo).例2 已知平面上三點的坐標(biāo)分別為A(?2，1)，B(?1，3)，C(3，4)，求點D的坐標(biāo)使這四點構(gòu)成平行四邊形四個頂點.解：當(dāng)平行四邊形為ABCD時，由AB?DC得D1=(2，2)當(dāng)平行四邊形為ACDB時，得D2=(4，6)，當(dāng)平行四邊形為DACB時，得D3=(?6，0)例3已知三個力F1(3，4)，F(xiàn)2(2，?5)，F(xiàn)3(x，y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐標(biāo).解：由題設(shè)F1+F2+F3=0 得：(3，4)+(2，?5)+(x，y)=(0，0)即：??3?2?x?0?x??5 ∴? ∴F3(?5，1)?4?5?y?0?y?

1四、課堂練習(xí)：

1．若M(3，-2)N(-5，-1)且 MP?1MN，求P點的坐標(biāo) 22．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，則AB?2BC=.3．已知：四點A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，求證：四邊形ABCD是梯形.五、小結(jié)：平面向量的坐標(biāo)運算；

六、課后作業(yè)：《習(xí)案》作業(yè)二十

第二篇：[教案精品]新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)人教A版必修四全冊教案2.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(三)

2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示教學(xué)目的：（1）理解平面向量共線的坐標(biāo)表示；（2）掌握平面上兩點間的中點坐標(biāo)公式及定點坐標(biāo)公式；（3）會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.教學(xué)重點：平面向量公線的坐標(biāo)表示及定點坐標(biāo)公式，教學(xué)難點：向量的坐標(biāo)表示的理解及運算的準(zhǔn)確性教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2??(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量ａ在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數(shù)量2．平面向量的坐標(biāo)表示

?分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得a?xi?yj把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a?(x,y)其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，特別地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).2．平面向量的坐標(biāo)運算（1）若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y)兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差..實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。（2）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo).1

向量AB的坐標(biāo)與以原點為始點、點P為終點的向量的坐標(biāo)是相同的。3．練習(xí)：1．若M(3，-2)N(-5，-1)且 MP?1MN，求P點的坐標(biāo)22．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，則AB?2BC=.3．已知：四點A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，如何求證：四邊形ABCD是梯形.？

二、講解新課：

1、思考：（1）兩個向量共線的條件是什么？（2）如何用坐標(biāo)表示兩個共線向量？

????設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)其中b?a.??x1??x2?由a=λb得，(x1，y1)=λ(x2，y2)?? 消去λ，x1y2-x2y1=0

?y1??y2???a∥b(b?0)的充要條件是x1y2-x2y1=0探究：（1）消去λ時能不能兩式相除？

?（不能 ∵y1，y2有可能為0，∵b?0 ∴x2，y2中至少有一個不為0）

（2）能不能寫成y1y2 ？（不能?！選1，x2有可能為0）?x1x2a??b

x1y2?x2y1?0???(3)向量共線有哪兩種形式？ a∥b(b?0)?

三、講解范例：

????例1已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y.例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，試判斷A，B，C三點之間的位置關(guān)系.思考：你還有其它方法嗎？

??例3若向量a=(-1，x)與b=(-x，2)共線且方向相同，求x ??解：∵a=(-1，x)與b=(-x，2)共線 ∴(-1)×2-x?(-x)=0

?? ∴x=±2 ∵a與b方向相同 ∴x=2

例4 已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB與CD平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？

解：∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，CD=(2-1，7-5)=(1，2)又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD

又 ∵ AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，AB=(2，4)，2×4-2×6?0 ∴AC與AB不平行

∴A，B，C不共線 ∴AB與CD不重合 ∴AB∥CD 例5設(shè)點P是線段P1P2上的一點，P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2).(1)當(dāng)點P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標(biāo).思考：（1）中 P1P：PP2=？（2）中P1P：PP2=？ 若P1P：PP2=?如何求點P的坐標(biāo)？

四、課堂練習(xí)：P101面4、5、6、7題。

五、小結(jié) ：（1）平面向量共線的坐標(biāo)表示；

（2）平面上兩點間的中點坐標(biāo)公式及定點坐標(biāo)公式；（3）向量共線的坐標(biāo)表示.六、課后作業(yè)：《習(xí)案》二十二。思考：

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（C）A.6 B.5 C.7 D.8 2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點共線，則x的值為（B） A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).AB與DC共線，則x、y的值可能分別為（B）A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4 4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，則y= 3.3

5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b與2a-b平行，則x的值為26.已知□ABCD四個頂點的坐標(biāo)為A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，則x= 5

第三篇：高中數(shù)學(xué) 2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示教學(xué)設(shè)計 新人教A版必修4

2.3《平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示》教學(xué)設(shè)計

【教學(xué)目標(biāo)】

1．了解平面向量基本定理；

2．理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實際問題的重要思想方法；

3．能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá).【導(dǎo)入新課】 復(fù)習(xí)引入： 1． 實數(shù)與向量的積

實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作：λa.（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0時，λa與a方向相同；λ<0時，λa與a方向相反；λ=0時，λa=0.2．運算定律 ?????????????????aaaaaa結(jié)合律：λ(μ)=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+b)=λa+λ?b.3.向量共線定理

????向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ，使b=λa.新授課階段

一、平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.探究：

(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數(shù)量.二、平面向量的坐標(biāo)表示

如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為??? 1

基底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得 a?xi?yj…………○1○我們把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作 2 a?(x,y)…………○2○

2其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，○2○式叫做向量的坐標(biāo)表示.與．a(chǎn)相等的向量的坐標(biāo)也為．．．．．．．．．．(x,y).特別地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點O為起點作OA?a，則點A的位置由a唯一確定.設(shè)OA?xi?yj，則向量OA的坐標(biāo)(x,y)就是點A的坐標(biāo)；反過來，點A的坐標(biāo)(x,y)也就是向量OA的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示.三、平面向量的坐標(biāo)運算

（1）若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2).兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.設(shè)基底為i、j，則a?b?(x1i?y1j)?(x2i?y2j)?(x1?x2)i?(y1?y2)j，即a?b?(x1?x2,y1?y2)，同理可得a?b?(x1?x2,y1?y2).（2）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?.一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo).AB=OB?OA=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2? x1，y2? y1).（3）若a?(x,y)和實數(shù)?，則?a?(?x,?y).實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).設(shè)基底為i、j，則?a??(xi?yj)??xi??yj，即?a?(?x,?y).2

例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐標(biāo).例2 已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐標(biāo).例3 已知平面上三點的坐標(biāo)分別為A(?2，1)，B(?1，3)，C(3，4)，求點D的坐標(biāo)使這四點構(gòu)成平行四邊形四個頂點.解：當(dāng)平行四邊形為ABCD時，由AB?DC，得D1=(2，2).當(dāng)平行四邊形為ACDB時，得D2=(4，6)，當(dāng)平行四邊形為DACB時，得D3=(?6，0).例4 已知三個力F1(3，4)，F(xiàn)2(2，?5)，F(xiàn)3(x，y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐標(biāo).解：由題設(shè)F1+F2+F3=0，得：(3，4)+(2，?5)+(x，y)=(0，0)，即：??3?2?x?0,?x??5, ∴? ∴F3(?5，1).4?5?y?0,y?1.??????????例5 已知a=(2,1), b=(－3,4),求a＋b，a－b，3a＋4b的坐標(biāo).??解：a＋b＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)，??a－b＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，??3a＋4b＝3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19).點評：利用平面向量的坐標(biāo)運算法則直接求解.例6 已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標(biāo)分別為（-2，1）、（-1，3）（3，4），求頂點D的坐標(biāo).解：設(shè)點D的坐標(biāo)為（x,y）, AB?(?1,3)?(?2,1)?(1,2)，DC?(3,4)?(x,y)?(3?x,4?y)，且AB?DC,?(1,2)?(3?x,4? y).即 3-x=1,4-y=2.解得x=2,y=2.所以頂點D的坐標(biāo)為（2，2）.3

另解：由平行四邊形法則可得

BD?BA?BC

?(?2?(?1),1?3)?(3?(?1),4?3)

?(3,?1), OD?OB?BD ?(?1,3)?(3,?1)?(2,2).例7 經(jīng)過點M(?2,3)的直線分別交x軸、y軸于點A,B，且|AB|?3|AM|，求點A,B的坐標(biāo).解：由題設(shè)知，A,B,M三點共線，且|AB|?3|AM|，設(shè)A(x,0),B(0,y)，①點M在A,B之間，則有AB?3AM，∴(?x,y)?3(?2?x,3).解之得：x??3,y?3，點A,B的坐標(biāo)分別為(?3,0),(0,3).②點M不在A,B之間，則有AB??3AM，同理，可求得點A,B的坐標(biāo)分別為(?3,0)，2(0,?9).綜上，點A,B的坐標(biāo)分別為(?3,0),(0,3)或(?3,0)，(0,?9).2例8.已知三點A(2,3),B(5,4),C(7,10)，若AM??AB?AC，試求實數(shù)?的取值范圍，使M落在第四象限.解：設(shè)點M(x,y)，由題設(shè)得(x?2,y?3)?(3?,?)?(5,7)?(3??5,??7)，∴x?3??3,y???4，要使M落在第四象限，則x?3??3?0,y???4?0，解之得1???4.例8 已知向量a?(8,2),b?(3,3),c?(6,12),p?(6,4)，問是否存在實數(shù)x,y,z同時滿足兩個條件：(1)p?xa?yb?zc;(2)x?y?z?1？如果存在，求出x,y,z的值；如果不存在，請說明理由.4

1?x?,?2?8x?3y?6z?6,?1??解：假設(shè)滿足條件的實數(shù)x,y,z存在，則有?2x?3y?12z?4,解之得：?y?，3?x?y?z?1.??1?z?.?6?∴滿足條件的實數(shù)x?課堂小結(jié)

（1）理解平面向量的坐標(biāo)的概念；（2）掌握平面向量的坐標(biāo)運算；

（3）會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.作業(yè) 見同步練習(xí)拓展提升

1.設(shè)e1,e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，不能以下各組向量中作為基底的是（）A.e1，e2 B.e1+e2，e2 C.e1，2e2 D.e1，e1+e2 2.設(shè)e1,e2是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，則以下各組向量中，不能作為基底的是（）

A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-2e2和4e1-6e2 C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1+e2和e2

111,y?,z?.236???????????????????????????????????????3.已知e1,e2不共線，a =?1e1+e2，b=4 e1+2e2，并且a，b共線，則下列各式正確的是（）

A.?1=1，B.?1=2，C.?1=3，D.?1=4 ??????4.設(shè)AB=a+5b，BC=-2a+8b，CD=3a-3b，那么下列各組的點中三點一定共線的是（）

A.A，B，C B.A，C，D C.A，B，D D.Ｂ，Ｃ，Ｄ ５．下列說法中，正確的是（）

①一個平面內(nèi)只有一對不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；

②一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；

③零向量不可作為基底中的向量.Ａ．①②

Ｂ．①③

Ｃ．②③

Ｄ①②③

６．已知e1,e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列兩個結(jié)論中正確的是（）①?1e1+?2e2（?1，?2為實數(shù)）可以表示該平面內(nèi)所有向量；

???????②若有實數(shù)?1，?2使?1e1+?2e2＝0，則?1＝?2＝０.Ａ．①

Ｂ．②

Ｃ．①②

Ｄ．以上都不對

??７．已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ邊上的中線，若AB＝a，AC＝b，則AM＝（）????11aaＡ．（－ b）

Ｂ． －（－ b）22????11Ｃ．－（a＋b）

Ｄ．（a＋b）

22??８．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六邊形，AB＝a，AE＝b，則BC＝（）????11Ａ．（a－ b）

Ｂ． －（a－ b）

22?1???1Ｃ．a(chǎn)＋b

Ｄ．（a＋b）

22?????????９．如果３e1+４e2＝a，２e1+３e2＝b，其中a，b為已知向量，則e1＝，?e2＝

.１０．已知e1,e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，且AB＝２e1+ｋe2，CB＝e1+３e2，CD＝２e1－e2，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三點共線，則ｋ的值為

.????????????????１１．當(dāng)ｋ為何值時，向量a＝４e1+２e2，b＝ｋe1＋e2共線，其中e1、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量.???????１２．已知：e1、e2是不共線的向量，當(dāng)ｋ為何值時，向量a＝ｋe1+e2與b＝e1＋ｋe2共線？ ? 6

參考答案

1．C 2.B 3.B 4.C 5．C 6.C 7.D 8.D 9.－2a?3b,11．②③⑤ 12.k=2

79a?b 10.－8 44 8

第四篇：[教案精品]新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)人教A版必修四全冊教案2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及含義

2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義教學(xué)目的：1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理垂直的問題；4.掌握向量垂直的條件.教學(xué)重點：平面向量的數(shù)量積定義教學(xué)難點：平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：（1）兩個非零向量夾角的概念：已知非零向量ａ與ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角.說明：（1）當(dāng)θ＝０時，ａ與ｂ同向；（2）當(dāng)θ＝π時，ａ與ｂ反向；（3）當(dāng)θ＝?時，ａ與ｂ垂直，記ａ⊥ｂ；2（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的.范圍0?≤?≤180?（2）兩向量共線的判定（3）練習(xí)

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（C）A.6 B.5 C.7 D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點共線，則x的值為（B）A.-3 B.-1 C.1 D.3（4）力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F與s的夾角.二、講解新課：1．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos?叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，（０≤θ≤π）.并規(guī)定0向量與任何向量的數(shù)量積為0.?探究：

1、向量數(shù)量積是一個向量還是一個數(shù)量？它的符號什么時候為正？什么時候為負(fù)？

2、兩個向量的數(shù)量積與實數(shù)乘向量的積有什么區(qū)別？（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cos?的符號所決定.（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a?b；今后要學(xué)到兩個向量的外積a×b，而a?b是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分.符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，1 也不能用“×”代替.（3）在實數(shù)中，若a?0，且a?b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0.因為其中cos?有可能為0.（4）已知實數(shù)a、b、c(b?0)，則ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c a = c

如右圖：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA|? a?b = b?c 但a ? c(5)在實數(shù)中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.2．“投影”的概念：作圖

定義：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)?為銳角時投影為正值； 當(dāng)?為鈍角時投影為負(fù)值； 當(dāng)?為直角時投影為0； 當(dāng)? = 0?時投影為 |b|； 當(dāng)? = 180?時投影為 ?|b|.3．向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積a?b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos?的乘積.探究：兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量，1、a?b ? a?b = 0

2、當(dāng)a與b同向時，a?b = |a||b|； 當(dāng)a與b反向時，a?b = ?|a||b|.特別的a?a = |a|或|a|?a?a |a?b| ≤ |a||b| cos? =探究：平面向量數(shù)量積的運算律 1．交換律：a ? b = b ? a

證：設(shè)a，b夾角為?，則a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos? ∴a ? b = b ? a

2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：(?a)?b =?(a?b)= a?(?b)證：若?> 0，(?a)?b =?|a||b|cos?，?(a?b)=?|a||b|cos?，a?(?b)=?|a||b|cos?，2a?b

|a||b| 2 若?< 0，(?a)?b =|?a||b|cos(???)= ??|a||b|(?cos?)=?|a||b|cos?，?(a?b)=?|a||b|cos?，a?(?b)=|a||?b|cos(???)= ??|a||b|(?cos?)=?|a||b|cos?.3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c

在平面內(nèi)取一點O，作OA= a，AB= b，OC= c，∵a + b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?

2∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2，∴c?(a + b)= c?a + c?b 即：(a + b)?c = a?c + b?c

說明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）

（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0

２

ａ＝ｂ

２（3）有如下常用性質(zhì)：ａ＝｜ａ｜，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ

三、講解范例：

例1．證明：(ａ＋ｂ)＝ａ＋２ａ·ｂ＋ｂ ２

２

２

????例2．已知|a|=12，|b|=9，a?b??542，求a與b的夾角。

例3．已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為60求：（1）(a+2b)·(a-3b).（2）|a+b|與|a-b|.（利用 |a|?oa?a）

例4．已知|a|=3，|b|=4，且a與b不共線，k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直.四、課堂練習(xí)：

1．P106面1、2、3題。

2．下列敘述不正確的是（）

A.向量的數(shù)量積滿足交換律 B.向量的數(shù)量積滿足分配律 C.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律 D.a·b是一個實數(shù) 3．|a|=3，|b|=4，向量a+

33b與a-b的位置關(guān)系為（）44A.平行 B.垂直 C.夾角為

? D.不平行也不垂直 3 4．已知|a|=8，|b|=10，|a+b|=16，求a與b的夾角.五、小結(jié)：

1．平面向量的數(shù)量積及其幾何意義； 2．平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律； 3．向量垂直的條件.六、作業(yè)：《習(xí)案》作業(yè)二十三。

第五篇：高中數(shù)學(xué)必修4教案平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運算

平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運算

教學(xué)目的：

（1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐標(biāo)的概念；

（2）理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實際問題的重要思想方法；

（3）能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá).教學(xué)重點：平面向量基本定理.教學(xué)難點：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.向量的坐標(biāo)表示的理解及運算的準(zhǔn)確性.教學(xué)過程： 復(fù)習(xí)引入：

??aa1．實數(shù)與向量的積：實數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作：λ ??aa（1）|λ|=|λ|||；

?????aaaaa（2）λ>0時λ與方向相同；λ<0時λ與方向相反；λ=0時λ=0

2．運算定律

????????aaaaaaab結(jié)合律：λ(μ)=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ

???3.向量共線定理

向量b與非零向量a共線則：有且只有一個非零實數(shù)λ，使b=λ

二、講解新課：

1．思考：（1）給定平面內(nèi)兩個向量e1，e2，請你作出向量3e1+2e2，e1-2e2，（2）同一平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示？

?b

?a.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的??aa任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使=λ1e1+λ2e2.2．探究：

(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解；

?a(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被，e1，e2唯一確定的數(shù)量

3．講解范例：

例1 已知向量e1，e

2求作向量?2.5e1+3e2 例2 如圖，OA、OB 不共線,且

AP?t AB(t?R), 用 OA，OB 表示 OP.本題實質(zhì)是 已知O、A、B三點不共線，P B O

A 若點 P 在直線 AB 上，則 OP?mOA?nOB, 且 m?n?1.4．練習(xí)1：

1.設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個向量，則有(D)A.e1、e2一定平行

B.e1、e2的模相等

C.同一平面內(nèi)的任一向量a都有a ＝λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知向量a ＝ e1-2e2，b ＝2e1+e2，其中e1、e2不共線，則a+b與c ＝6e1-2e2的關(guān)系（Ｂ）

A.不共線

B.共線

C.相等

D.無法確定

３.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一組基底，且a ＝λ1e1+λ2e2，則a與e1不共線，a與e2不共線．

(填共線或不共線).???????aa?bOA?aOB?b5．向量的夾角:已知兩個非零向量、，作，則∠AOB＝，叫向量、???????b的夾角，當(dāng)?=0°，a、b同向，當(dāng)?=180°，a、b反向，當(dāng)?=90°，a與b垂直，記作??a⊥b。

6．平面向量的坐標(biāo)表示

（1）正交分解：把向量分解為兩個互相垂直的向量。

（2）思考：在平面直角坐標(biāo)系中，每一個點都可以用一對有序?qū)崝?shù)表示，平面內(nèi)的每一個向量，如何表示呢？

如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基

y底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、，使得a?xi?yj…………○1

我們把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a?(x,y)…………○2

其中x的坐標(biāo)，叫做a在x軸上y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，○

2式叫做向量的坐標(biāo)表示.與a相等的向量的坐標(biāo)也為(x,y).特別地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點O為起點作OA?a，則點A的位置由a唯一確定.設(shè)OA?xi?yj，則向量OA的坐標(biāo)(x,y)就是點A的坐標(biāo)；反過來，點A的坐標(biāo)(x,y)也就是向量OA的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示.7．講解范例：

例2．教材P96面的例2。

8．課堂練習(xí)：P100面第3題。

三、小結(jié)：（1）平面向量基本定理；

（2）平面向量的坐標(biāo)的概念；

四、課后作業(yè)：《習(xí)案》作業(yè)二十一