第一篇：周世勛量子力學(xué)教案1
§1.1 經(jīng)典物理學(xué)的困難
宏觀物理的機(jī)械運(yùn)動(dòng)：牛頓力學(xué)
電磁現(xiàn)象：麥克斯韋方程
光現(xiàn)象：光的波動(dòng)理論
熱現(xiàn)象熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)
多數(shù)物理學(xué)家認(rèn)為物理學(xué)的重要定律均以發(fā)現(xiàn)，理論已相當(dāng)完善了，以后物理學(xué)的任務(wù)只是提高實(shí)驗(yàn)精度和研究理論的應(yīng)用。
19世紀(jì)末20世紀(jì)初：“在物理學(xué)晴朗天空的遠(yuǎn)處還有兩朵小小的、令人不安的烏云。”：
（1）“紫外災(zāi)難”，經(jīng)典理論得出的瑞利－金斯公式，在高頻部分趨無(wú)窮。
（2）“以太漂移”，邁克爾遜－莫雷實(shí)驗(yàn)表明，不存在以太。
歷史有驚人的相似之處，當(dāng)前，處于21世紀(jì)之處，物理學(xué)碩果累累，但也遇到兩大困惑：“夸克禁閉”和“對(duì)稱性破缺”。預(yù)示物理學(xué)正面臨新的挑戰(zhàn)。
黑體輻射光電效應(yīng)原子的光譜線系固體低溫下的比熱
光的波粒二象性玻爾原子結(jié)構(gòu)理論（半經(jīng)典）
微觀粒子的波粒二象性
量子力學(xué) 一．黑體輻射問(wèn)題
黑體：一個(gè)物體能全部吸收輻射在它上面的電磁波而無(wú)反射。
熱輻射：任何物體都有熱輻射。
當(dāng)黑體的輻射與周圍物體處于平衡狀態(tài)時(shí)的能量分布：
熱力學(xué)+特殊假設(shè)→維恩公式長(zhǎng)波部分不一致
經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)+統(tǒng)計(jì)物理學(xué)→瑞利金斯公式（短波部分完全不一致）二．光電效應(yīng)
光照在金屬上有電子從金屬上逸出的現(xiàn)象，這種電子叫光電子。
光電效應(yīng)的規(guī)律：
（1）存在臨界頻率；
（2）光電子的能量只與光的頻率有關(guān)，與光強(qiáng)無(wú)關(guān)，光頻率越高，光電子能量越大，光強(qiáng)只影響光電子數(shù)目。光強(qiáng)越大，光電子數(shù)目越多。
(３)時(shí)，光一照上，幾乎立刻（）觀測(cè)到光電子。
這些現(xiàn)象無(wú)法用經(jīng)典理論解釋。三．原子的線狀光譜及原子的穩(wěn)定性
氫原子譜線頻率的巴耳末公式： ,叫波數(shù)。
原子光譜為什么不是連續(xù)的而是線狀光譜？線狀光譜產(chǎn)生的機(jī)制？
現(xiàn)實(shí)世界表明，原子是穩(wěn)定存在的，但按經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)，原子會(huì)崩潰?！?.2 早期的量子論
一．普朗克的能量子假設(shè)
1．普朗克公式
普朗克在1900年10月19日，提出一新的黑體輻射公式（普朗克公式），它與實(shí)驗(yàn)驚人符合。
h叫普朗克常數(shù)焦?fàn)?秒。
2．普朗克的能量子假設(shè)
對(duì)一定頻率的電磁波，物體只能以為單位吸收或發(fā)射它，即吸收或發(fā)射電磁波只能以“量子”方式進(jìn)行，每一份能量叫一能量子。二．愛因斯坦的光量子理論與光的波粒二象性
1．愛因斯坦的光量子理論
愛因斯坦在普朗克量子論的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出光量子的概念：輻射場(chǎng)是由光量子（光子）組成，即光具有粒子的特性，光子既有能量又有動(dòng)量，波矢 , n表示沿光子運(yùn)動(dòng)方向的單位矢量。
2．愛因斯坦公式
，叫脫出功，光電效應(yīng)反映了光具有粒子的特性。
3．康普頓效應(yīng)
高頻率X射線被輕元素中電子散射后，波長(zhǎng)隨散射角的增大而增大，按經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)，電磁波波長(zhǎng)散射后波長(zhǎng)不變。如將這過(guò)程看成光子電子碰撞，康普頓效應(yīng)可得到圓滿解釋。
利用能量動(dòng)量守恒和，可得到康普頓散射公式
康普頓效應(yīng)也反映了光的粒子特性。
4．光的波粒二象性
牛頓微粒說(shuō)（發(fā)光體發(fā)出彈性微粒流）－－》愛因斯坦光量子思想
（可解釋光的直線前進(jìn)、反射、折射）（光電效應(yīng)、康普頓效應(yīng)），惠更斯波動(dòng)說(shuō)（機(jī)械波）――》光的電磁本質(zhì)（電磁波）
（光的干涉、衍射）（不依靠媒質(zhì)）
――》光的波粒二象性：光的波動(dòng)說(shuō)和微粒說(shuō)從不同側(cè)面揭示了光的本質(zhì)。光既具有波動(dòng)性有具有粒子性，這二重性不存在哪個(gè)更本質(zhì)問(wèn)題。
二．玻爾的原子理論
1913年丹麥物理學(xué)家玻爾提出了半經(jīng)典半量子的原子理論，成功解釋了原子的穩(wěn)定性、原子的線狀光譜，揭示了原子內(nèi)部的量子特性。
玻爾原子理論的中心內(nèi)容：定態(tài)假設(shè)，頻率條件，量子化條件。
1．定態(tài)假設(shè)
原子內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)只可能處于一些不連續(xù)的穩(wěn)定狀態(tài)，稱為定態(tài)。原子在每一個(gè)定態(tài)下能量分別都有一定的值，原子的能量只允許取量子化的離散值，稱為一個(gè)個(gè)能級(jí)。原子處于定態(tài)下，原子內(nèi)的電子運(yùn)動(dòng)有加速度，也不會(huì)發(fā)生輻射導(dǎo)致原子能量改變。
2．頻率條件
原子的能量不能任意連續(xù)地改變，只能通過(guò)從一個(gè)定態(tài)到另一定態(tài)的躍遷而產(chǎn)生躍遷式的改變。原子從一個(gè)能量為的定態(tài)躍遷到另一能量為的定態(tài)時(shí)，將發(fā)射或吸收頻率為的光子。
3．量子化條件
在量子理論中，角動(dòng)量必須是的整數(shù)倍，由此可確定每個(gè)能級(jí)的能量，再結(jié)合頻率條件可得到
巴爾末公式。
索末菲將玻爾的量子化條件推廣到多自由度情況
q為廣義坐標(biāo)，p為對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量，n為正整數(shù)，稱為量子數(shù)。
玻爾的理論是把微觀粒子看成經(jīng)典力學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)，把經(jīng)典力學(xué)的規(guī)律用在微觀粒子中，然后加了些量子化條件，它有局限性。對(duì)復(fù)雜原子（氦）遇到困難，另外還無(wú)法解釋譜線強(qiáng)度，量子力學(xué)就是在克服這些困難和局限性中發(fā)展起來(lái)的。玻爾提出的一些最基本的概念（原子能量的量子化、量子躍遷、頻率條件等）還是正確的。
普朗克、愛因斯坦、玻爾是舊量子論的奠基者。舊量子論正確表達(dá)了部分客觀事實(shí)，揭示了部分微觀客體的內(nèi)在聯(lián)系，并為新量子論的建立奠定了基礎(chǔ)。但舊量子論并沒拋棄經(jīng)典理論，只是在經(jīng)典理論基礎(chǔ)上加上一些量子化條件，因而是半經(jīng)典半量子的理論，因而有局限性。
§1.3 量子力學(xué)的建立
一．微觀粒子的波粒二象性
1．德布羅意波
1924年德布羅意在光有波粒二象性的啟發(fā)下，提出微觀粒子也具有波粒二象性的假設(shè)，這種與粒子相聯(lián)系的波叫德布羅意波。波的頻率和波長(zhǎng)與粒子的能量和動(dòng)量通過(guò)德布羅意公式聯(lián)系起來(lái)。
2．驗(yàn)證德布羅意波存在的實(shí)驗(yàn)
（1）戴維孫――革末電子衍射實(shí)驗(yàn)
電子注正入射到鎳單晶上，散射電子束的強(qiáng)度隨散射角而改變，當(dāng)散射角取某些確定值時(shí)，強(qiáng)度有最大值，這與X射線的衍射現(xiàn)象相同，這充分說(shuō)明電子具有波動(dòng)性。
（2）電子雙縫衍射
光通過(guò)兩個(gè)窄縫時(shí)，會(huì)出現(xiàn)衍射條紋，這是光具有波動(dòng)性的體現(xiàn)。將光源換成電子源，會(huì)出現(xiàn)同樣的衍射條紋，這是電子具有波動(dòng)性的又一例證。
二．量子力學(xué)的建立量子力學(xué)是在1923－1927年建立起來(lái)的，矩陣力學(xué)與波動(dòng)力學(xué)幾乎同時(shí)提出，它們是完全等價(jià)的，是同一力學(xué)規(guī)律的兩種不同描述。波動(dòng)力學(xué)來(lái)源于德布羅意物質(zhì)波的思想，薛定諤進(jìn)一步推廣了物質(zhì)波的概念，找到了一個(gè)量子體系物質(zhì)波的運(yùn)動(dòng)方程：薛定諤方程，它是波動(dòng)力學(xué)的核心。它成功地解釋了氫原子光譜等一系列重大問(wèn)題。相對(duì)論和量子力學(xué)是20世紀(jì)物理學(xué)兩大進(jìn)展。以薛定諤方程為核心的量子力學(xué)屬于非相對(duì)論量子力學(xué)。非相對(duì)論量子力學(xué)只能解決微觀低速問(wèn)題，電子的自旋是作為假設(shè)引入的。1928年狄拉克建立了電子的相對(duì)論波動(dòng)方程，這個(gè)理論適用于電子速度接近光速的情況，電子的自旋自然包含了進(jìn)去。但這個(gè)理論不能處理多電子體系。
在高能情況下，粒子會(huì)發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，在此基礎(chǔ)上發(fā)展起量子場(chǎng)論。
第一章 緒論內(nèi)容小結(jié)
1． 經(jīng)典物理的困難黑體輻射，光電效應(yīng)，原子光譜線系 2． 舊量子論
<1>普朗克能量子論<2>愛因斯坦對(duì)光電效應(yīng)的解釋,光的波粒二象性光電效應(yīng)的規(guī)律 愛因斯坦公式
光子能量動(dòng)量關(guān)系
<3>玻爾的原子理論
定態(tài)的假設(shè), 頻率條件 , 量子化條件
3.微觀粒子的波粒二象性,德布羅意關(guān)系
戴維孫,革末等人的電子衍射實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了德布羅意關(guān)系 4． 量子力學(xué)的建立
物質(zhì)波——>薛定諤方程——>非相對(duì)論量子力學(xué)——>相對(duì)論量子力學(xué) ——>量子場(chǎng)論
第二篇：周世勛量子力學(xué)教案6
§6.1 電子自旋的實(shí)驗(yàn)根據(jù)及自旋的特點(diǎn)
一． 實(shí)驗(yàn)事實(shí)
1． 斯特恩(stern)－革拉赫（Gerlach）實(shí)驗(yàn)：
現(xiàn)象：K射出的處于S態(tài)的氫原子束通過(guò)狹縫BB和不均勻磁場(chǎng)，最后射到照相片PP上，實(shí)驗(yàn)結(jié)果是照片上出現(xiàn)兩條分立線。解釋：氫原子具有磁矩，設(shè)
沿Z方向
如 在空間可取任何方向，應(yīng)連續(xù)變化，照片上應(yīng)是一連續(xù)帶，但實(shí)驗(yàn)結(jié)果只有兩條, 說(shuō)明，對(duì)S 態(tài) ，是空間量子化的，只有兩個(gè)取向 磁矩。即自旋磁矩。2． 堿原子光譜的雙線結(jié)構(gòu) ,沒軌道角動(dòng)量，所以原子所具有的磁矩是電子固有如鈉原子光譜中一條很亮的黃線 條譜線組成
3． 反常塞曼(Zeeman)效應(yīng)，如用分辨本領(lǐng)較高的光譜儀進(jìn)行觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)它是由很靠近的兩
1912年，Passhen 和 Back發(fā)現(xiàn)反常Zeeman效應(yīng)－在弱磁場(chǎng)中原子光譜線的復(fù)雜分裂（分裂成偶條數(shù)）。二． 烏倫貝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脫(Goudsmit)的自旋假設(shè)
1． 每個(gè)電子具有自旋角動(dòng)量S，它在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)值
2． 每個(gè)電子具有自旋磁矩，它和自旋角動(dòng)量S的關(guān)系是
為玻爾磁子
這個(gè)比值稱為電子自旋的回轉(zhuǎn)磁比率.軌道運(yùn)動(dòng)的回轉(zhuǎn)磁比率是
三．電子自旋的特點(diǎn)
烏倫貝克最初提出的電子自旋概念具有機(jī)械的性質(zhì)，認(rèn)為與地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)相似，電子一方面繞原子核運(yùn)動(dòng);一方面又有自轉(zhuǎn)。但把電子的自轉(zhuǎn)看成機(jī)械的自轉(zhuǎn)是錯(cuò)誤的。設(shè)想電子為均勻分布的電荷小球，若要它的磁矩達(dá)到一個(gè)玻爾磁子，則其表面旋轉(zhuǎn)速度將超過(guò)光速，這是不正確的。電子自旋及相應(yīng)的磁矩是電子本身的內(nèi)稟屬性。特點(diǎn)：
1． 電子具有自旋角動(dòng)量這一特點(diǎn)純粹是量子特性，它不可能用經(jīng)典力學(xué)來(lái)解釋。它是電子的本身的內(nèi)稟屬性，標(biāo)志了電子還有一個(gè)新自由度。
2． 電子自旋與其它力學(xué)量的根本區(qū)別為，一般力學(xué)量可表示為坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù)，自旋角動(dòng)量與電子坐標(biāo)和動(dòng)量無(wú)關(guān)，不能表示為，它是電子內(nèi)部狀態(tài)的表征，是一個(gè)新的自由度。
3． 電子自旋值是，而不是 的整數(shù)倍。
4．，而
兩者在差一倍。
自旋角動(dòng)量也具有其它角動(dòng)量的共性，即滿足同樣的對(duì)易關(guān)系
§6.2 電子的自旋算符和自旋函數(shù)
一．自旋角動(dòng)量算符
在空間任意方向上的投影只能取值
（由實(shí)驗(yàn)所得假設(shè)）
本征值都是 ，叫自旋量子數(shù)
引入一新算符 ，由
相加
定義反對(duì)易
重要關(guān)系式
二． 自旋函數(shù)與泡利矩陣
考慮到電子具有一新的自由度：自旋角動(dòng)量，電子的波函數(shù)
是（自旋向上），位置在r處的幾率密度.是（自旋向下）, 位置在r處的幾率密度.自旋向上的幾率，自旋向下的幾率.歸一化條件
自旋算符應(yīng)是 矩陣 ，是厄密算符
設(shè)
為實(shí)數(shù), ，由
取
泡利矩陣
這是 在表象中的表示，在 表象中，本征函數(shù) ，當(dāng)自旋和軌道運(yùn)動(dòng)之間無(wú)相互作用，即電子的自旋不影響軌道運(yùn)動(dòng)。的。
和 對(duì) 的依賴關(guān)系是一樣
叫自旋函數(shù)，自旋算符僅對(duì)波函數(shù)中的
有作用。
自旋與軌道運(yùn)動(dòng)無(wú)相互作用
自旋算符 為 矩陣，自旋算符任一函數(shù) 也是
矩陣
算符 在態(tài) 中對(duì)自旋平均為：
對(duì)坐標(biāo)的自旋同時(shí)平均
§6.3 簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng)
氫原子或類氫原子處于均勻的磁場(chǎng)中，設(shè)外磁場(chǎng)足夠大，（自旋與軌道相互作用忽略）由于自旋的存在而產(chǎn)生的能級(jí)分裂現(xiàn)象。
沿 方向 取
體系定態(tài)薛定諤方程
或
無(wú)磁場(chǎng)時(shí)，對(duì)氫 對(duì)堿金屬
有外磁場(chǎng)時(shí)：
取 即
仍是兩方程的解。
時(shí)
同樣
時(shí) 原來(lái)不同而能量相同的簡(jiǎn)并現(xiàn)象被外磁場(chǎng)消除，能級(jí)與 有關(guān)。當(dāng)原子處于
態(tài)，原來(lái)的能級(jí) 分裂為兩個(gè)，正如斯特恩－革拉赫實(shí)驗(yàn)中所觀測(cè)到的。
由選擇定則
簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng)：在強(qiáng)磁場(chǎng)作用下，原來(lái)沒有外磁場(chǎng)時(shí)的一條譜線分裂為三條。復(fù)雜塞曼效應(yīng)：外磁場(chǎng)弱時(shí)，需考慮電子自能與軌道相互作用，能級(jí)分裂更復(fù)雜。
§6.4 兩個(gè)角動(dòng)量的耦合
一． 角動(dòng)量的對(duì)易關(guān)系
粒子既有軌道角動(dòng)量又有自旋角動(dòng)量，他們之間會(huì)存在耦合。
設(shè) 為體系的的兩個(gè)角動(dòng)量算符
分量都對(duì)易 相互獨(dú)立.體系的總角動(dòng)量
[證明]：
即 同樣有
還有
注意:
二． 無(wú)耦合表象和耦合表象
相互對(duì)易,它們有共同的本征矢組成正交歸一的完全系，以這些本征矢作基矢的表象稱為無(wú)耦合表象。
另一方面, { } 也相互對(duì)易,他們有共同本征矢
以 為基矢的表象稱為耦合表象，兩表象之間的關(guān)系
:克來(lái)布希－高登(Clebsch-Gordon)系數(shù)
三． 總角動(dòng)量的取值范圍
1． 的最大值
: 最大值為
最大值為
最大值為
又
2． 的最小值
對(duì) , 給定.:
個(gè)取值
對(duì) , 給定 :
個(gè)取值 , 固定有
個(gè)
是各種
的線性疊加
確定時(shí)，的數(shù)目也是，對(duì)應(yīng)不同的
對(duì)一個(gè)，有 個(gè)值：。
的數(shù)目可以表示為
利用等差級(jí)數(shù)求和公式
又 代入方程
§6.5 光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)
由于自旋與軌道角動(dòng)量的耦合，使原來(lái)簡(jiǎn)并的能級(jí)分裂成幾條差別很小的能級(jí)，這就產(chǎn)生了光譜線精細(xì)結(jié)構(gòu)。1． 不考慮自旋時(shí)，無(wú)外場(chǎng)
本征函數(shù)，本征值
度簡(jiǎn)并
2． 考慮自旋的存在，但不考慮軌道角動(dòng)量 與自旋角動(dòng)量
耦合
相互對(duì)易，它們有共同的本征函數(shù)，即考慮自旋后，電子的波函數(shù)由
四個(gè)量子數(shù)確定。
只與 有關(guān)，有兩個(gè)取值，這時(shí)能級(jí)
引入總角動(dòng)量算符:
相互對(duì)易，它們的共同本征函數(shù)
3． 考慮自旋和軌道運(yùn)動(dòng)之間的耦合 相互作用量：
是
度簡(jiǎn)并
.無(wú)共同本征函數(shù)，即 的本征函數(shù)，不再是 的本征函數(shù)，這時(shí):
如何描述
由于存在耦合項(xiàng) ，電子態(tài)不能用量子數(shù) 描寫，或者設(shè)
現(xiàn)在不是好量子數(shù)，不是守恒量。
又:
即
有共同的本征函數(shù)
是守恒的好量子數(shù)，的能量本征函數(shù) 怎么表示
將
看成微擾，用簡(jiǎn)并情況下的微擾理論求
求出 為 的本征值
在耦合表象中是對(duì)角化的
上式
即，在耦合表象中是對(duì)角化的，對(duì)角元
即為能量一級(jí)修正
自旋軌道間的耦合使原來(lái)簡(jiǎn)并的能級(jí)分裂開
只與 有關(guān)，度簡(jiǎn)并
考慮一級(jí)修正后，與 有關(guān)，度簡(jiǎn)并
給定后，即具有相同的量子數(shù) 的能級(jí)有兩個(gè)，它們之間的差別很小。
§6.6 全同粒子的特性
一． 全同粒子
質(zhì)量，電子，自旋等固有性質(zhì)完全的微觀粒子為全同粒子。所以電子都是全同粒子，所以質(zhì)子都是全同粒子。在經(jīng)典力學(xué)中，全同粒子是可以區(qū)分的，因?yàn)榱Ｗ釉谶\(yùn)動(dòng)過(guò)程中，都有自己確定的位置和軌道，經(jīng)典粒子有不可入性。
在量子力學(xué)中，和每個(gè)粒子相聯(lián)系的總有一個(gè)波，波在傳播中總會(huì)出現(xiàn)重疊，在重疊部分，無(wú)法區(qū)分哪是第一個(gè)粒子，哪是第二個(gè)粒子。
二． 全同性原理：量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)
兩全同粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改變。即全同粒子的不可區(qū)分性。三． 全同粒子系統(tǒng)的特性
1． 全同粒子體系的哈密頓算符具有交換對(duì)稱性。
設(shè)一由 個(gè)全同粒子組成的體系，表示第 個(gè)粒子的坐標(biāo)和自旋。體系的哈密頓量為
則: 2． 全同粒子的波函數(shù)有確定的交換對(duì)稱性
交換算符 表示將第 個(gè)粒子和第 個(gè)粒子相互交換
由薛定諤方程：
將交換算符 作用于薛定諤方程
即：
即若 是薛定諤方程的解，則
也是薛定諤方程解。
由全同性原理，與 應(yīng)描寫同一狀態(tài)，因而它們之間只相差一常數(shù)因子
, 是守恒量，本征值為
對(duì)稱函數(shù)
反對(duì)稱函數(shù)
描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對(duì)稱的或反對(duì)稱的，它們的對(duì)稱性不隨時(shí)間改變。[ 證] 設(shè) 時(shí)刻體系波函數(shù) 是對(duì)稱的，因?yàn)?/p>
對(duì)稱
在 時(shí)刻也對(duì)稱；由 , 在 時(shí)刻也對(duì)稱,在下一時(shí)刻波函數(shù)為，也是對(duì)稱函數(shù)。以此類推，在以后任何時(shí)刻波函數(shù)都是對(duì)稱的。同樣如果在某一時(shí)刻波函數(shù)是反對(duì)稱的，以后任何時(shí)刻波函數(shù)都是反對(duì)稱的。3． 玻色子和費(fèi)米子
實(shí)驗(yàn)證明，由電子，質(zhì)子，中子這些自旋為 的粒子以及自旋為 的奇數(shù)倍的粒子組成的全同粒子體系的波函數(shù)是反對(duì)稱的，這類粒子服從費(fèi)米(Fermi)－狄拉克(Dirac)統(tǒng)計(jì)，稱為費(fèi)米子，由光子（自旋為）以及其它自旋為零，或 整數(shù)倍的粒子所組成的全同粒子體系的波函數(shù)是對(duì)稱的，這類粒子服從玻色(Bose)－愛因斯坦統(tǒng)計(jì)，稱為玻色子。
§6.7 全同粒子體系的波函數(shù)
一． 兩個(gè)全同粒子體系的波函數(shù)
無(wú)相互作用時(shí) 與
形式是相同的
設(shè) 分別表示 的本征值和本征函數(shù)
設(shè)，為 的本征函數(shù) 即
同樣
也是能量本征值為
的本征函數(shù)，這叫交換簡(jiǎn)并。
是不是全同粒子的波函數(shù)？
如
對(duì)稱函數(shù)
如
不對(duì)稱
為此我們構(gòu)成對(duì)稱的或反對(duì)稱的函數(shù)，它應(yīng)是 對(duì)稱函數(shù)： 的組合
反對(duì)稱函數(shù)：
都是的本征函數(shù)，本征值為
如 是歸一化的波函數(shù)
即
同樣
因此歸一化的對(duì)稱，反對(duì)稱的波函數(shù)為
二． N個(gè)全同粒子的體系
粒子間無(wú)相互作用，設(shè)本征值為 的 的本征函數(shù)為 , 則
設(shè)
無(wú)相互作用的全同粒子所組成的體系的哈密頓算符，其本征函數(shù)等于各單粒子哈密頓算符的本征函數(shù)之積，本征能量等于各粒子本征能量之和。這樣，解多粒子體系薛定諤方程的問(wèn)題，就歸結(jié)為解單粒子薛定諤方程： 對(duì)玻色子組成的全同粒子體系，體系波函數(shù)是對(duì)稱的
P表示N 個(gè)粒子在波函數(shù)中的某一種排列
是處于 態(tài)的粒子數(shù)，對(duì)費(fèi)米子組成的全同粒子體系，體系的波函數(shù)是反對(duì)稱的
三． 泡利不相容原理
對(duì)費(fèi)米子組成的全同粒子體系，如有兩個(gè)單粒子態(tài)相同，比如第i個(gè)粒子和第 j個(gè)粒子處于同一態(tài)。
又 應(yīng)是反對(duì)稱函數(shù)
必有
從行列式看，兩個(gè)單粒子態(tài)相同，就是行列式中兩行相同，行列式為零。這表示不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上費(fèi)米子處于同一狀態(tài)，這就是泡利不相容原理。
注意：泡利不相容原理不是什么新的原理。它實(shí)質(zhì)上是全同性原理的體現(xiàn)，是全同費(fèi)米子體系具有交換反對(duì)稱性的必然推論，全同性原理比泡利原理廣泛得多，它不僅適用費(fèi)米子，而且適用于玻色子。四． 自旋的影響
考慮到粒子的自旋，體系波函數(shù)可寫成坐標(biāo)與自旋函數(shù)之積，對(duì)費(fèi)米子，例：設(shè)有三個(gè)全同粒子，可以用指標(biāo) 稱態(tài)函數(shù)。
表示三個(gè)不同單粒子態(tài)，寫出全同粒子對(duì)應(yīng)的對(duì)稱態(tài)波函數(shù)和反對(duì)[解] ①
②
③
反對(duì)稱
§6.8 兩個(gè)電子的自旋函數(shù)
如無(wú)自旋時(shí)相互作用，23 對(duì)稱函數(shù)
不能構(gòu)成其它獨(dú)立的對(duì)稱或反對(duì)稱自旋函數(shù)，定義總的自旋角動(dòng)量
下面求 的本征值
同理
同樣
兩個(gè)粒子的自旋平行，分量沿正Z方向。
兩個(gè)粒子的自旋平行，分量沿反Z方向。
兩個(gè)粒子的自旋Z分量相互反平行, 垂直Z軸分量平行。
兩個(gè)粒子的自旋反平行，總自旋為零。
第六章 小結(jié)
一． 自旋 1．自旋的引入
電子的自旋是在實(shí)驗(yàn)事實(shí)的基礎(chǔ)上以假設(shè)方式提出的。
實(shí)驗(yàn)事實(shí)：
① 原子的精細(xì)結(jié)構(gòu) ② 塞曼效應(yīng) ③ 斯特恩－蓋拉赫實(shí)驗(yàn)
假設(shè)：① 2．自旋特性
（任意方向）② ① 內(nèi)稟屬性 ② 量子特性，不能表示為 3．自旋算符與泡利算符
③滿足角動(dòng)量的一般對(duì)易關(guān)系，自旋算符的對(duì)易關(guān)系，泡利算符對(duì)易關(guān)系
4．電子自旋態(tài)矢量與泡利矩陣
共同本征函數(shù) ，在 表象中(泡利表象）
可表示為 矩陣：
在泡利表象，任一自旋態(tài)為
既有自旋運(yùn)動(dòng)又有電子空間運(yùn)動(dòng)，自旋與軌道無(wú)相互作用 5．兩個(gè)電子體系的自旋函數(shù)
, , ，二．兩個(gè)角動(dòng)量的耦合
兩獨(dú)立角動(dòng)量:
總角動(dòng)量: 總角動(dòng)量的基本關(guān)系:
即 它們可構(gòu)成
共同本征矢
以
為基矢的表象叫耦合表象 也相互對(duì)易，構(gòu)成完備基
以 為基矢的表象叫無(wú)耦合表象
二種表象的關(guān)系
--克來(lái)布希－高登系數(shù)
三． 堿金屬原子光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)，塞曼效應(yīng)
堿金屬原子光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)：由于自旋與軌道角動(dòng)量的存在，而產(chǎn)生耦合，在無(wú)外場(chǎng)的情況下，原來(lái)一個(gè)能級(jí)分裂成一組不同j值的能級(jí)。
不考慮自旋與動(dòng)量耦合
度
度（考慮自旋）
簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng)：在強(qiáng)磁場(chǎng)中（不考慮自旋與軌道角動(dòng)量耦合），由于自旋的存在而產(chǎn)生的能級(jí)分裂現(xiàn)象。若在弱磁場(chǎng)中，需考慮自旋與角動(dòng)量的耦合，分裂比較復(fù)雜,稱為復(fù)雜塞曼效應(yīng)。四． 全同粒子
1． 什么是全同粒子？（質(zhì)量，電荷，自旋等）相同的微觀粒子 兩大類: 費(fèi)米子，玻色子
2． 全同性原理：兩個(gè)粒子的相互代換不引起物理狀態(tài)的改變?nèi)?同粒子在重疊區(qū)的不可分性。3． 由全同性原理推出的一些基本結(jié)果:
①全同粒子體系的哈密頓量對(duì)任意兩個(gè)粒子的互換不變。
②全同粒子體系的物理狀態(tài)對(duì)于兩個(gè)粒子互換不變，即:全同粒子體系的狀態(tài)波函數(shù)不因二粒子互換而變。
，全同粒子體系的狀態(tài)波函數(shù)只能是對(duì)稱波函數(shù)或反對(duì)稱波函數(shù)，費(fèi)米子組成的全同粒子體系由反對(duì)稱波函數(shù)描述，玻色子組成的體系由對(duì)稱波函數(shù)描述。
全同性原理是一個(gè)假設(shè)，但它得出的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)相符，從而作為量子力學(xué)的一條基本原理而保留。它說(shuō)明，全同粒子的狀態(tài)波函數(shù)不僅要滿足薛定諤方程，而且要滿足一定對(duì)稱性。4． 全同粒子體系狀態(tài)波函數(shù)的構(gòu)成對(duì)稱波函數(shù)：
反對(duì)稱波函數(shù)：
5． 泡利不相容原理
不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的費(fèi)米子處于同一狀態(tài)，它是全同性原理的自然推論。
第三篇：車世勛個(gè)人總結(jié)
個(gè)人年終總結(jié)
20111103車世勛
走進(jìn)電子信息工程系，一眨眼已有半年時(shí)光了。在這個(gè)匯集眾多強(qiáng)有力對(duì)手的集體中，相對(duì)于過(guò)往的高中生活，一切都是新面孔，新生活。其中充滿新體驗(yàn)，心思索。在2011年的年終淺談一下自己的總結(jié)：
首先是在課程學(xué)習(xí)上。大學(xué)，曾經(jīng)一度夢(mèng)想的地方。當(dāng)時(shí)我們傻傻的記著高中老師說(shuō)“辛苦3年，等你們上了大學(xué)就輕松了”的教誨，那一刻考上大學(xué)是我們所有人的夢(mèng)想，那時(shí)都傻傻的人未考上大學(xué)以后學(xué)習(xí)就不是那么苦了?，F(xiàn)在才驚訝的發(fā)現(xiàn)——大學(xué)豐富的生活中，一切都很精彩，學(xué)習(xí)便是這精彩的基礎(chǔ)。如果想給自己的大學(xué)生涯留下一些回味，那么就必須在個(gè)人生活、學(xué)生工作、愛好培養(yǎng)上做到完美的平衡，不能顧此失彼。在某些特定的科目上，必須投入充足的時(shí)間和精力，比如英語(yǔ)，它是一種熟練型的課程。在第一學(xué)期，由于個(gè)人時(shí)間規(guī)劃不合理，懶惰。所以最終期末英語(yǔ)才74分的結(jié)果。這種結(jié)果自己很惋惜、悔恨，但深知這樣不能挽回結(jié)局。所做的只能是在下一個(gè)學(xué)期學(xué)習(xí)中要努力求實(shí)。
其次，在個(gè)人生活方面要有正確的規(guī)律性。大學(xué)生活中充滿了很多的放縱，擺脫了父母、老師，個(gè)人完全掌握了自己的日常
生活安排，以至于有些人徹夜的泡網(wǎng)吧，熬夜網(wǎng)聊。無(wú)節(jié)奏的生活使其無(wú)法將全部精力投入到學(xué)習(xí)中，不能踏上正常的大學(xué)軌道。在第一學(xué)期中，由于接觸很多新朋友，過(guò)多的外出聚餐和貪戀其他娛樂(lè)、上網(wǎng)等事情是自己的生活毫無(wú)規(guī)律，每一次上課都萎靡不振，沒有效率的課堂就代表著零的結(jié)果失敗的結(jié)果只能由自己撿起。
再次，在學(xué)生工作中要做到“求同存異”。寬容，是大度；寬容，是一種親和的人格魅力。在電子信息工程系組織部任干事的半年時(shí)間里。發(fā)現(xiàn)人與人之間總存在很多誤解和矛盾，經(jīng)常有人將問(wèn)題擴(kuò)大化，應(yīng)激的性格和狹隘的心理給工作的進(jìn)展帶來(lái)很大阻力。想起曾經(jīng)以為企業(yè)家說(shuō)過(guò)：“一個(gè)團(tuán)隊(duì)需要的往往不是最優(yōu)秀的人，而是最合適的人”只有適合團(tuán)隊(duì)生活的人才能給團(tuán)隊(duì)注入新動(dòng)力，推動(dòng)團(tuán)隊(duì)的進(jìn)步。
最后，在第一學(xué)期的失敗結(jié)果中有一種危機(jī)的感覺。自己的排名帶給自己一種無(wú)名的恐懼。和大家加一起生活，一起學(xué)習(xí)，合作的同時(shí)也存在著激烈競(jìng)爭(zhēng)。別人的強(qiáng)大會(huì)使弱小的自己在這個(gè)集體中漸漸失去立足之地。做尾巴的恐懼將會(huì)激勵(lì)自己在今后的學(xué)習(xí)中不斷的努力，爭(zhēng)取盡快走出這種尾巴的感覺。
經(jīng)歷了一個(gè)學(xué)期的時(shí)光，其中有快樂(lè)，也有苦楚。度過(guò)了大學(xué)生活的適應(yīng)期，踏入真正的大學(xué)生活。結(jié)合自己半年的生活，在個(gè)人人學(xué)習(xí)和生活上作出如上總結(jié)。
第四篇：量子力學(xué)導(dǎo)論 第十章 教案
量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
第10章
定態(tài)問(wèn)題的常用近似方法 §10.0 引言
§10.1 非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論 §10.2 簡(jiǎn)并微擾理論 §10.3 變分法
§10.0
引
言
（一）近似方法的重要性
前幾章介紹了量子力學(xué)的基本理論，使用這些理論解決了一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。如：（1）一維無(wú)限深勢(shì)阱問(wèn)題；（2）線性諧振子問(wèn)題；
（3）勢(shì)壘貫穿問(wèn)題；
（4）氫原子問(wèn)題。
這些問(wèn)題都給出了問(wèn)題的精確解析解。
然而，對(duì)于大量的實(shí)際物理問(wèn)題，Schrodinger 方程能有精確解的情況很少。通常體系的 Hamilton量是比較復(fù)雜的，往往不能精確求解。因此，在處理復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，量子力學(xué)求問(wèn)題近似解的方法（簡(jiǎn)稱近似方法）就顯得特別重要。
（二）近似方法的出發(fā)點(diǎn)
近似方法通常是從簡(jiǎn)單問(wèn)題的精確解出發(fā)，來(lái)求較復(fù)雜問(wèn)題的近似解。
（三）近似解問(wèn)題分為兩類
（1）體系 Hamilton 量不是時(shí)間的顯函數(shù)——定態(tài)問(wèn)題 1.定態(tài)微擾論；
2.變分法。
（2）體系 Hamilton 量顯含時(shí)間——狀態(tài)之間的躍遷問(wèn)題 1.與時(shí)間 t 有關(guān)的微擾理論；
2.常微擾?！?0.1 非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論
（一）微擾體系方程
（二）態(tài)矢和能量的一級(jí)修正
（三）能量的二階修正
（四）微擾理論適用條件
（五）討論
（六）實(shí)例 量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
（一）微擾體系方程
微擾法不是量子力學(xué)所特有的方法，在處理天體運(yùn)行的天體物理學(xué)中，計(jì)算行星運(yùn)行軌道時(shí)，就是使用微擾方法。計(jì)算中需要考慮其他行星影響的二級(jí)效應(yīng)。
例如，地球受萬(wàn)有引力作用繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)，可是由于其它行星的影響，其軌道需要予以修正。在這種情況下，計(jì)算所使用的方法是：首先把太陽(yáng)和地球作為二體系統(tǒng)，求出其軌道，然后研究這個(gè)軌道受其它行星的影響而發(fā)生的變化。
可精確求解的體系叫做未微擾體系，待求解的體系叫做微擾體系。假設(shè)體系 Hamilton 量不顯含時(shí)間，而且可分為兩部分：
??H??H?? H0?0所描寫的體系是可以精確求解的，其本征值E(0)，本征矢|?(0)?滿足如下本征方Hnn程：
?0|?(0)??E(0)|?(0)? Hnnn??是很小的（很小的物理意義將在下面討論）可以看作加于H?0上的微小擾另一部分H動(dòng)?，F(xiàn)在的問(wèn)題是如何求解微擾后 Hamilton 量H的本征值和本征矢，即如何求解整個(gè)體系的 Schrodinger 方程：
?|???E|?? Hnnn(0)(0)當(dāng)H??0時(shí)，|?n??|?n ； ?, En?En(0)(0)當(dāng)H??0時(shí)，引入微擾，使體系能級(jí)發(fā)生移動(dòng)，由En狀態(tài)由|?n ?En，??|?n?。為了明顯表示出微擾的微小程度，將其寫為：
????W H其中λ是很小的實(shí)數(shù)，表征微擾程度的參量。
為明確起見，我們干脆將量子數(shù)n對(duì)應(yīng)的能級(jí)和波函數(shù)分別寫為En、|?n?，請(qǐng)注意與教材中對(duì)應(yīng)
因?yàn)镋n、|?n?都與微擾有關(guān)，可以把它們看成是λ的函數(shù)而將其展開成λ的冪級(jí)數(shù)：
(0)(1)(2)En?En??En??2En??|?n??|?
(0)n???|?2
(1)n???|?2(2)n??? 量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
(0)(1)(2)其中En，?En，?2En，…分別是能量的0 級(jí)近似，能量的一級(jí)修正和二級(jí)修正等；(0)(1)(2)而||?n?，?|?n?，?2|?n?，…分別是狀態(tài)矢量 0 級(jí)近似，一級(jí)修正和二級(jí)修正等。
代入Schrodinger方程得：
???W)(|?(0)???|?(1)???2|?(2)???)(H0nnn?(E乘開得：(0)n??E(1)n??E2(2)n??)(|?(0)n???|?(1)n???|?2(2)n???)
(0)(0)?|?(0)???0???0H?En|?n?0n?1???(1)(0)(0)(1)(1)(0)?H0|?n??W|?n??????1En|?n??En|?n???2???2?(2)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0)??H0|?n??W|?n?????En|?n??En|?n??En|?n??
?3??3???????????????????????????????????????????????????????????????????????根據(jù)等式兩邊λ同冪次的系數(shù)應(yīng)該相等，可得到如下一系列方程式: ?|?(0)??E(0)|?(0)? ?0:H0nnn?|?(1)??W|?(0)??E(0)|?(1)??E(1)|?(0)? ?1:H0nnnnnn?|?(2)??W|?(1)??E(0)|?(2)??E(1)|?(1)??E(2)|?(0)? ?2:H0nnnnnnnn整理后得：
??E(0)]|?(0)??0?[H0nn???E(0)]|ψ(1)???[W?E(1)]|ψ(0)??[H0nnnn ?(0)(2)(1)(1)(2)(0)??E]|????[W?E]|???E|???[H0nnnnnn???????????????????????(1)(2)上面的第一式就是H0的本征方程，第二、三式分別是|?n?和|?n?|所滿足的方程，由此可解得能量和態(tài)矢的第一、二級(jí)修正。
（二）態(tài)矢和能量的一級(jí)修正
(0)現(xiàn)在我們借助于未微擾體系的態(tài)矢||?n?和本征能量En來(lái)導(dǎo)出擾動(dòng)后的態(tài)矢
(0)|?n?和能量En的表達(dá)式。
(1)(1)能量一級(jí)修正?En
量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
(0)根據(jù)力學(xué)量本征矢的完備性假定，H0的本征矢|?n?是完備的，任何態(tài)矢量都可按(1)其展開，|?n? 也不例外。因此我們可以將態(tài)矢的一級(jí)修正展開為：
??|ψ(1)n???|ψk?1(0)k??ψ|ψ(0)k(1)n(1)(0)???akn|ψk?
k?1(1)(0)(1)其中akn??ψk|ψn?。
是一組完備基矢。|?k(0)?（k?1,2,?,?）代回前面的第二式并計(jì)及第一式得：
??E(0)]?a(1)|?(0)???[W?E(1)]|?(0)? [H0nknknnk?1?或?qū)懗?/p>
?ak?1?(1)kn(0)(1)(0)[Ek(0)?En]|?k(0)???[W?En]|?n?
(0)左乘??n|, 有
??k?1(1)(0)(0)(0)(0)(0)(1)(0)(0)akn[Ek(0)?En]??m|?k?????m|W|?n??En??m|?n?
考慮到本征基矢的正交歸一性：
?ak?1?(1)kn(0)(1)[Ek(0)?En]?mk??Wmn?En?mn
(1)(0)(0)(1)?amn[Em?En]??Wmn?En?mn
考慮兩種情況 1.m?n
(1)(0)(0)En?Wnn???n|W|?n?
2.m?n
a(1)mn(0)(0)Wmn??m|W|?n? ?(0)?(0)(0)(0)En?EmEn?Em可以給出波函數(shù)的展開系數(shù) 準(zhǔn)確到一階微擾的體系能量：
量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
(0)(1)En?En??En(0)(0)(0)?En????n|W|?n?(0)(0)(0)?En???n|?W|?n?
??|?(0)??E(0)???(0)|Hnnn(0)???En?Hnn?????(0)|H??|?(0)? 其中Hnnnn即能量的一級(jí)修正等于微擾 Hamilton 量在 0 級(jí)態(tài)矢中的平均值
(1)（2）態(tài)矢的一級(jí)修正|?n?
?令|?(1)n(1)???akn|?k(0)?
k?1為了求出體系態(tài)矢的一級(jí)修正，我們先利用擾動(dòng)態(tài)矢|?n?的歸一化條件證明上式展開(1)系數(shù)中ann?0（可以取為0）
證：
基于|?n?的歸一化條件并考慮上面的展開式
1???n|?n?(0)(1)(0)(1)?[??n|????n|]?[|?n???|?n?](0)(0)(0)(1)(1)(0)(1)(1)???n|?n?????n|?n?????n|?n???2??n|?n?(1)(0)(1)(0)?1???[akn??n|?k(0)??akn*??k(0)|?n?]??2??k?1(1)(1)?1???[akn?nk?akn*?kn]??2??k?1(1)(1)?1??[ann?ann*]
各級(jí)波函數(shù)都可以是歸一的。由于歸一，所以
(1)(1)?[ann?ann*]?0
(1)(1)(1)???0，?[ann?ann*]?0?Re[ann]?0
(1)(1)(1)的實(shí)部為0。ann是一個(gè)純虛數(shù)，故可令annann?i?（?為實(shí)）。
量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
(0)(1)|?n??|?n????akn|?k(0)?k?1(0)(1)(0)(1)?|?n???ann|?n????akn|?k(0)?k?n(0)(0)(1)?|?n???i?|?n????akn|?k(0)?k?n
(0)(1)?(1??i?)|?n????akn|?k(0)?k?n(0)(1)?e?i?|?n????akn|?k(0)?k?n?(0)?(1)(0)??e?i??|????a|???knk?n?k?n??最后兩步用到公式eiλ??1?iλ?。
（三）能量的二階修正
(0)對(duì)|?n??e?i?(|?n????ak?n(1)kn(0)|?k?)
(1)(0)上式結(jié)果表明，展開式中，ann|?n?項(xiàng)的存在只不過(guò)是使整個(gè)態(tài)矢量|?n?增加了(1)一個(gè)相因子，這是無(wú)關(guān)緊要的。所以我們可取? = 0，即ann?0。這樣一來(lái)，(1)????akn|?k(0)?k?n?(0)??k(0)|W|?n?(0)????|?k?(0)(0)E?Ek?nnk??|?n??|??|?(0)n(0)n(0)??k(0)|?W|?n?(0)?|????|?k?(0)(0)E?Ek?nnk???|?(0)?(0)??k(0)|H(0)n?|?n???|?k?(0)(0)En?Ekk?n??Hkn(0)?|?n???(0)|?k(0)?(0)k?nEn?Ek(0)n(2)與求態(tài)矢的一階修正一樣，將|?n?按|?n? 展開：
??(0)|?(2)n???|?k?1(0)k???(0)k|?(2)n(2)???akn|?k(0)?
k?1(1)與|?n?展開式一起代入關(guān)于? 的第三式 6 量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
????E(0)]?a(2)|?(0)???[W?E(1)]?a(1)|?(0)??E(2)|?(0)? [H0nknknknknnk?1k?1??[Ek?1?(0)k?E]a(0)n(2)kn|?(0)k(1)(0)(2)(0)???[W?E]?akn|?k??En|?n?
(1)nk?1(0)左乘態(tài)矢??m|得
???[Ek?1(0)k?E]a(0)n(2)kn???(0)m|?(0)k(1)(0)????akn??m|W|?k(0)?k?1
(1)(1)(0)(2)(0)(0)?En??m|?k(0)??En??m|?n??aknk?1利用正交歸一性，有
?[Ek?1?(0)k?E(0)n]a(2)knmkδ???ak?1(0)n(2)mn?(1)kn?ψ|W|ψ?(0)m(0)k??E(1)n?ak?1?(1)knmkδ(2)?Enδmn
[E1.當(dāng)m?n時(shí)
(0)m?E]a(1)(1)(1)(2)???aknWmk?Enamn?En?mn
k?1(1)(1)(1)(2)0???aknWmk?Enamn?Enk?1?E(2)n??aWnk?Wnna(1)knk?1??(1)nn??aWnk??(1)knk?n?WknWnk(0)(0)k?nEn?Ek?*?WknWkn|Wkn|2??(0)??(0)(0)(0)k?nEn?Ekk?nEn?Ek(1)
利用了akn?Wkn。(0)En?Ek(0)在推導(dǎo)中使用了微擾矩陣的厄密性
*(0)(0)(0)Wkn???k(0)|W|?n?*???n|W?|?k(0)????n|W|?k(0)??Wnk2.當(dāng)m?n時(shí)
[E(0)m?E]a(0)n(2)mn(1)(1)(1)???aknWmk?Enamn
k?1? 7 量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
(1)(1)aknWmkWnnamn??(0)?(0)(0)(0)E?EEn?Emk?1nm?a(2)mn??k?n?(0)[EnWknWmkWnnWmn?(0)(0)(0)(0)2?Em][En?Ek(0)][En?Em]
可以給出波函數(shù)的展開系數(shù)。能量的二級(jí)修正
?E2(2)n(0)?|Wkn|2|??k(0)|?W|?n?|2???(0)??(0)(0)(0)E?EE?Ek?nk?nnknk
(0)(0)22????||??k|H?|?n?||Hkn????(0)(0)(0)En?Ek(0)k?nk?nEn?Ek2?在計(jì)及二階修正后，擾動(dòng)體系能量本征值由下式給出：
En?E(0)n??E??E(1)n2(2)n?E(0)n?|2|Hkn???(0)?Hnn(0)k?nEn?Ek?
（四）微擾理論適用條件
總結(jié)上述，在非簡(jiǎn)并情況下，受擾動(dòng)體系的能量和態(tài)矢量分別由下式給出：
?|2|Hkn???(0)En?E?Hnn??(0)k?nEn?Ek
?H?(0)|?n??|?n???(0)kn(0)|?k(0)???k?nEn?Ek(0)n?欲使二式有意義，則要求二級(jí)數(shù)收斂。由于不知道級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，無(wú)法判斷級(jí)數(shù)的收斂性，我們只能要求級(jí)數(shù)已知項(xiàng)中，后項(xiàng)遠(yuǎn)小于前項(xiàng)。由此我們得到微擾理論適用條件是：
?Hkn(0)(0)，E?E??1nk(0)(0)En?Ek這就是本節(jié)開始時(shí)提到的關(guān)于H?很小的明確表示式。當(dāng)這一條件被滿足時(shí)，由上式計(jì)算得到的一級(jí)修正通?？山o出相當(dāng)精確的結(jié)果。
上述微擾適用條件表明：
??|??k|H?|?n（1）Hkn(0)(0)(0)(0)?要小，即微擾矩陣元要?。?/p>
（2）En?Ek 要大，即能級(jí)間距要寬。
例如：在庫(kù)侖場(chǎng)中，體系能量（能級(jí)）與量子數(shù)n成反比，即
2En??
?Z2e42?2n28，?n?1,2,3,...? 量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
由上式可見，當(dāng)n大時(shí)，能級(jí)間距變小，因此微擾理論不適用于計(jì)算高能級(jí)（n大）的修正，而只適用于計(jì)算低能級(jí)（n?。┑男拚?/p>
（五）討論
（1）在一階近似下：
|?n??|?(0)n???k?n??Hkn(0)|?? k(0)(0)En?Ek(0)表明擾動(dòng)態(tài)矢|?n?可以看成是未擾動(dòng)態(tài)矢|?k?的線性疊加。
（2）展開系數(shù)
?Hkn(0)表明第k個(gè)未擾動(dòng)態(tài)矢|??對(duì)第n個(gè)擾動(dòng)態(tài)矢|?n?的貢k(0)(0)En?Ek(0)獻(xiàn)有多大。展開系數(shù)反比于擾動(dòng)前狀態(tài)間的能量間隔，所以能量最接近的態(tài)|?k?混合的也越強(qiáng)。因此態(tài)矢一階修正無(wú)須計(jì)算無(wú)限多項(xiàng)。
(0)(0)（3）由En?En加上微擾?Hnn可知，擾動(dòng)后體系能量是由擾動(dòng)前第n態(tài)能量En(0)Hamilton量H?在未微擾態(tài)|?n?中的平均值組成。該值可能是正或負(fù)，引起原來(lái)能級(jí)上移或下移。
（4）對(duì)滿足適用條件
?Hkn(0)?Ek(0)??1，En(0)(0)En?Ek??0 就需要微擾的問(wèn)題，通常只求一階微擾其精度就足夠了。如果一級(jí)能量修正Hnn求二級(jí)修正，態(tài)矢求到一級(jí)修正即可。
（5）在推導(dǎo)微擾理論的過(guò)程中，我們引入了小量λ，令：H???W只是為了便于將擾動(dòng)后的定態(tài)Schrodinger方程能夠按λ的冪次分出各階修正態(tài)矢所滿足的方程，僅此而已。一旦得到了各階方程后，λ就可不用再明顯寫出，把W理解為H?即可，因此在以后討論中，就不再明確寫出這一小量。
（六）實(shí)例
例1.一電荷為 e 的線性諧振子，受恒定弱電場(chǎng)ε作用。電場(chǎng)沿 x 正向，用微擾法求體系的定態(tài)能量和波函數(shù)。
解：（1）電諧振子Hamilton 量
量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
?2d21?H???2??2x2?e?x 22?dx將 Hamilton 量分成H0?H?兩部分，在弱電場(chǎng)下，上式最后一項(xiàng)很小，可看成微擾。
???2d21?2μω2x2?H0??22μdx ??H?????exε(0)（2）寫出 H0 的本征值和本征函數(shù)E(0), ?n
???(0)n?Nne??2x2/2Hn(?x)
???，Nn?? n?2n!(0)，n?0,1,2,? En???(n?12)(1)（3）計(jì)算En
E(1)n????Hnn????(0)*n?(0)(0)*(0)?H??ndx??e???nx?ndx?0
??上式積分等于 0，是因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù)所致。（4）計(jì)算能量二級(jí)修正
?矩陣元。欲計(jì)算能量二級(jí)修正，首先應(yīng)計(jì)算Hkn???Hkn????(0)*k?(0)(0)*(0)?H??ndx??e???kx?ndx
??利用線性諧振子本征函數(shù)的遞推公式：
x?n?1[n?n?1?n?1?n?1] ?22???e??Hkn???(0)n?1?(0)]dx?k(0)*1[n?n?1??22n?1??(0)*(0)(0)n1??e?[??k?n?1dx???k(0)*n?1?n?1dx] ?????22??e?[n?k,n?1?n?1?k,n?1]?22將上式代入能量二級(jí)修正公式，得
量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
E(2)n??k?n?|2|Hkn(0)En?Ek(0)
|?e?[n?k,n?1?n?1?k.n?1]|2?22??(0)(0)k?nEn?Ek??11n?1?(e?)2?n(0)?(0)(0)(0)???2En?En2E?E?1nn?1?對(duì)諧振子有；
(0)(0)(0)(0)En?En?1???, En?En?1????
(2)En?(e?)2[n1?n?11]??(e?)21?2??2????2??(??2???)22???e?22??由此式可知,能級(jí)移動(dòng)與n無(wú)關(guān),即與擾動(dòng)前振子的狀態(tài)無(wú)關(guān).(1)?n??k?n?Hkn(0)???k(0)(0)En?Ekk?n?e?[n?k,n?1?n?1?k,n?1]?22(0)?k(0)En?Ek(0)
?n11(0)(0)?e?n?1????n?1??n?1?(0)(0)(0)(0)??2En2?EnE?E?1nn?1?1(0)1?(0)???e??n?n?1?n?1?n??2??2????1???e?12???3?(0)(0)n?1?n?n??1n?1?(5)討論-----電諧振子的精確解
實(shí)際上這個(gè)問(wèn)題是可以精確求解的，只要我們將體系Hamilton量作以下整理：
22?d22???H?12??x?e?x22?dx?2d21e?e?2e2?222?????[x?2x?()]?22222?dx????2??2???d1??2[x?e?]2?e??2?dx22??22??22222
?2d2e2ε2221???μωx??222μdx?2μω2 11 量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
其中x??x?eε，可見，體系仍是一個(gè)線性諧振子。它的每一個(gè)能級(jí)都比無(wú)電場(chǎng)時(shí)2μωeεe2ε2的線性諧振子的相應(yīng)能級(jí)低，而平衡點(diǎn)向右移動(dòng)了距離。22μω2μω由于勢(shì)場(chǎng)不再具有空間反射對(duì)稱性，所以波函數(shù)沒有確定的宇稱。這一點(diǎn)可以從下式擾
(0)(0)(0)動(dòng)后的波函數(shù)?n已變成?n,?n?1,?n?1的疊加看出。
(0)(0)1[n?1??n?n?1n?1] 32???(0)(1)(0)?n??n??n??n?e?0??1c??0? 例2.設(shè)Hamilton量的矩陣形式為：H??c3?00c?2???（1）設(shè)c<<1，應(yīng)用微擾論求H本征值到二級(jí)近似；（2）求H 的精確本征值；
（3）在怎樣條件下，上面二結(jié)果一致。解：
（1）c<<1，可取0級(jí)和微擾Hamilton量分別為：
?100??0c0??????H0??030?，H??c00?
?00?2??00c?????H0是對(duì)角矩陣，是Hamilton H0在自身表象中的形式。所以能量的 0 級(jí)近似為：
(0)(0)E1(0)?1，E2?3，E3??2
由非簡(jiǎn)并微擾公式
(1)?En??Hnn??|2 ?(2)|Hkn?En??E(0)?E(0)k?nnk?得能量一級(jí)修正：
??0?E1(1)?H11?(1)??0 ?E2?H22?(1)??c?E3?H33能量二級(jí)修正為： 量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
E(2)1?1|2?|2?|2|Hk|H31|H211c2 ??(0)????(0)(0)2?Ek(0)E1(0)?E2E1(0)?E3k?nE1??k?n(2)3E(2)2?2|2?|2?|2|Hk|H32|H121c2 ???(0)(0)(0)(0)2E2?Ek(0)E2?E1(0)E2?E3E?3|2?|2?|2|Hk|H13|H23??(0)?(0)?(0)?0(0)(0)(0)E?EE?EE?Ek?n3k3132準(zhǔn)確到二級(jí)近似的能量本征值為：
?E?1?1c2?12?12?E2?3?2c ??E3??2?c?(2)精確解：
設(shè) H 的本征值是 E，由久期方程可解得：
1?Ec0c03?E0?0 0c?2?E?(c?2?E)(E2?4E?3?c2)?0
解得：
?E?2?1?c2?1?2?E2?2?1?c ?E??2?c3??(3)將準(zhǔn)確解按 c(<<1)展開：
?E?2?1?c2?1?1c2?1c4??28?1?21214?E2?2?1?c?3?2c?8c?? ?E??2?c3??比較（1）和（2）之解
量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
?E?1?1c2?E?2?1?c2?121??212??E2?3?2c，?E2?2?1?c ??E??2?c3?E3??2?c???可知，微擾論二級(jí)近似結(jié)果與精確解展開式不計(jì)c及以后高階項(xiàng)的結(jié)果相同 §10.2 簡(jiǎn)并微擾理論
（一）簡(jiǎn)并微擾理論
（二）實(shí)例
（三）討論
（一）簡(jiǎn)并微擾理論
(0)(0)假設(shè)En是簡(jiǎn)并的，那末屬于H0的本征值En有k個(gè)歸一化本征函數(shù):
4|n1?，|n2?，……，|nk? ?n?|n??????
(0)為描述方便，我們將量子數(shù)n對(duì)應(yīng)的能級(jí)和k重簡(jiǎn)并波函數(shù)分別寫為En、|n??，請(qǐng)注意與教材中的|n??對(duì)應(yīng)
顯然它們滿足本征方程：
??E(0)]|n???0，??1,2,3,?,k [H0n共軛方程
??E(0)]?0，??1,2,3,?,k ?n?|[H0n在用微擾論求解問(wèn)題時(shí)，需要知道0級(jí)近似波函數(shù)，但我們不知道在k個(gè)本征函數(shù)中究竟應(yīng)取哪一個(gè)作為波函數(shù)的0級(jí)近似。所以在簡(jiǎn)并情況下，首先要解決如何選0級(jí)近似波函數(shù)的問(wèn)題，然后才是求能量和波函數(shù)的各級(jí)修正。
0級(jí)近似波函數(shù)肯定應(yīng)從這k個(gè)|n??中挑選，而它應(yīng)滿足上節(jié)按?冪次分類得到的方程：
?(0)?E(0)]|?(1)???[H???E(1)]|?(0)? [Hnnnn 量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
(0)根據(jù)這個(gè)條件，我們選取0級(jí)近似波函數(shù)|?n?的最好方法是將其表示成k個(gè)|n??的線性組合，因?yàn)榉凑?級(jí)近似波函數(shù)要在|n??(??1,2,3,?,k)中挑選。
(0)n|????c?|n??
??1k(0)|?n?已是正交歸一化，系數(shù)c?由 ?一次冪方程定出
?(0)?E(0)]|?(1)???[H???E(1)]?c|n??[Hnnn???1(1)??|n???En?c?|n????c?Hkkk
??1??1左乘?n?|得：
?(0)?E(0)]|?(1)??E(1)?c?n?|n????c?n?|H??|n???n?|[Hnnn????1kkk??1?Ek(1)n???1?c??????c?H????1k
(1)?]c???[En????H????1?(0)?E(0)]?0）（由?n?|[Hn??|n??。???n?|H其中H??得：???1k(1)??En[H?????]c??0。
上式是以展開系數(shù)c?為未知數(shù)的齊次線性方程組,它有不含為零解的條件是系數(shù)行列式為零，即
(1)??EnH11?H21?H12?(1)??EnH22???2Hk????1Hk??(1)??En?Hkk(1)?0
(1)解此久期方程可得能量的一級(jí)修正En的k個(gè)根：En?（?=1,2,...,k），因?yàn)?0)(1)(1)所以若這k個(gè)根都不相等,則一級(jí)微擾就可以將k度簡(jiǎn)并完全消除；若En??En?EnE?n?有幾個(gè)重根,則表明簡(jiǎn)并只是部分消除,須進(jìn)一步考慮二級(jí)修正才可使能級(jí)完全分裂開來(lái)。
量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
(1)為了確定能量En?所對(duì)應(yīng)的0級(jí)近似波函數(shù)，可以把En?之值代入線性方程組從而解得一組c?(?=1,2,...,k)系數(shù)，將該組系數(shù)代回展開式就能夠得到相應(yīng)的 0 級(jí)近似波函數(shù)。
(1)為了能表示出c? 是對(duì)應(yīng)與第?個(gè)能量一級(jí)修正En我們?cè)谄渖霞由辖菢?biāo)?的一組系數(shù)，?而改寫成c??。這樣一來(lái)，線性方程組就改寫成：
???1k(1)??En[H??????]c???0，??1,2,?,k
(1)則對(duì)應(yīng)En?修正的0級(jí)近似波函數(shù)改寫為：
k|?
（二）實(shí)例
例1.氫原子一級(jí) Stark 效應(yīng)（1）Stark 效應(yīng)
(0)n????c??|n??
??1氫原子在外電場(chǎng)作用下產(chǎn)生譜線分裂現(xiàn)象稱為 Stark 效應(yīng)。
我們知道電子在氫原子中受到球?qū)ΨQ庫(kù)侖場(chǎng)作用，造成第n 個(gè)能級(jí)有n度簡(jiǎn)并。但是當(dāng)加入外電場(chǎng)后，由于勢(shì)場(chǎng)對(duì)稱性受到破壞，能級(jí)發(fā)生分裂，簡(jiǎn)并部分被消除。Stark 效應(yīng)可以用簡(jiǎn)并情況下的微擾理論予以解釋。
（2）外電場(chǎng)下氫原子 Hamilton 量
2??H??H?? H0???22e2???H0??2?r ????H???e??r?e?z?e?rcos??取外電場(chǎng)沿 z 正向。通常外電場(chǎng)強(qiáng)度比原子內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度小得多，例如,強(qiáng)電場(chǎng)≈107 伏/米，而原子內(nèi)部電場(chǎng)≈1011伏/米，二者相差 4個(gè)量級(jí)。所以我們可以把外電場(chǎng)的影響作為微擾處理。
（3）H0 的本征值和本征函數(shù)
??e4n?1,2,3,??En??22 2?n????(r?nlm)?Rnl(r)Ylm(?,?)量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
下面我們只討論 n=2 的情況，這時(shí)簡(jiǎn)并度 n2=4。
?2e2，a0? En??2??2?e8?8a0?e4屬于該能級(jí)的4個(gè)簡(jiǎn)并態(tài)是：
?1??200?R20Y00?412?(a1)3/2(2?ar)e?r/2a000000?2??210?R21Y10?412?(a1)3/2(ar)e?r/2acos??3??211?R21Y11??81?()13/2ra0a00()e0?r/2a0sin?e0i?
?4??21?1?R21Y1?1??81?(a1)3/2(ar)e?r/2asin?e?i?其中，???|2??，??1,2,3,4。即
??1?|21??ψ200???1?|21??ψ200（4）求H?在各態(tài)中的矩陣元
?1?|21??ψ200?4?|24??ψ21?1
由簡(jiǎn)并微擾理論知,求解久期方程,須先計(jì)算出微擾Hamilton量H’在以上各態(tài)的矩陣元。
??|???e??R|r|R??Y|cos?|Y?????1|HH12220210010??|???e??R|r|R??Y|cos?|Y? ????2|HH21121201000??????????????????????我們碰到角積分?Yl?m?|cos?|Ylm?需要利用如下公式：
22(l?1)2?m2l?m cos?Ylm?Y?Y(2l?1)(2l?3)l?1,m(2l?1)(2l?1)l?1,m于是
?Yl?m?22(l?1)2?m2l?m|cos?|Ylm???Yl?m?|Yl?1,m???Yl?m?|Yl?1,m?(2l?1)(2l?3)(2l?1)(2l?1)?22(l?1)2?m2l?m?????(2l?1)(2l?3)l?l?1m?m(2l?1)(2l?1)l?l?1m?m欲使上式不為 0，由球諧函數(shù)正交歸一性要求量子數(shù)必須滿足如下條件：
?l??l?1??l?l??l??1??l?l?1 ?????m?m??m?0?m??m? 17 量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
?，H21?不等僅當(dāng)?l??1，?m?0時(shí)，H?的矩陣元才不為0。因此矩陣元中只有H12于0。
因?yàn)?Y10|cos?|Y00??所以
3??H21??e??R20|r|R21?H123??e??(1)3/2(2?r)e?r/2a0r1(1)3/2(r)e?r/2a0r2dra0a0302a032a0??e?(1)4?(2?r)e?r/a0r4dr24a00a0
???r/a044e?1?()[?2erdr??re?r/a0r4dr]00a24a005?e?(1)4[a04!(2?5)]24a0??3e?a0這是微擾矩陣元的表達(dá)式（5）能量一級(jí)修正
將H?的矩陣元代入久期方程：
(1)?E2?3e?a0(1)?E2000(1)?E20000(1)?E2?3e?a000解得 4 個(gè)根：
?0
0(1)?E21?(1)?E22?(1)?E23?E(1)?24?3e?a0??3e?a0?0?0(0)
由此可見，在外場(chǎng)作用下，原來(lái) 4 度簡(jiǎn)并的能級(jí)E2在一級(jí)修正下，被分裂成 3 條能級(jí)，簡(jiǎn)并部分消除。當(dāng)躍遷發(fā)生時(shí)，原來(lái)的一條譜線就變成了 3 條譜線。其頻率一條與原來(lái)相同，另外兩條中一條稍高于一條稍低于原來(lái)頻率。見下圖：
量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
6）求 0 級(jí)近似波函數(shù)
(1)分別將E2 的 4 個(gè)值代入方程組：
k??E????)c???0(H??? ?(1)n?1??1,2,?k得 四 元一次線性方程組
(1)??E2c1?3e?a0c2?0?(1)0??3e?a0c1?E2c2??(1)?0?E2c3?0?0?0?0????0?00?00?0
(1)?E2c4?0(1)(1)將E2?E21?3e?a0代入上面方程，得：
??c1??c2 ???c3?c4?0(0)所以相應(yīng)于能級(jí)E2?3e?a0 的0級(jí)近似波函數(shù)是：
?1(0)?1[?1??2]?1[?200??210]
22(1)(1)將E2?E22??3e?a0代入上面方程，得：
??c1?c2 ???c3?c4?0(0)所以相應(yīng)于能級(jí)E2?3e?a0的0級(jí)近似波函數(shù)是：
量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
(0)?2?1[?1??2]?1[?200??210]
22(1)(1)(1)將E2?E23?E24?0，代入上面方程，得：
??c1?c2?0 ??0的常數(shù)?c3和c4為不同時(shí)等于(0)因此相應(yīng)與E2?0的0級(jí)近似波函數(shù)可以按如下方式構(gòu)成：
(0)(0)?3(?4)?c3?3?c4?4?c3?211?c4?21?1
我們不妨仍取原來(lái)的0級(jí)波函數(shù)（經(jīng)常這樣處理），即令：
??c3?1???c4?0(0)???3??211則?(0)。???4??21?1or??c3?0 ???c4?1（7）討論
(0)上述結(jié)果表明，若氫原子處于 0 級(jí)近似態(tài)?1, ?2, ?3, ?4，那末，氫原子就
(0)(0)(0)好象具有了大小為3ea0的永久電偶極矩一般。對(duì)于處在?1, ?2態(tài)的氫原子，其電矩取
(0)向分別與電場(chǎng)方向平行和反平行；而對(duì)于處在?3, ?4態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電
(0)(0)(0)場(chǎng)方向垂直。
例2.有一粒子，其 Hamilton 量的矩陣形式為：H?H0?H?，其中
?200??0???H0??020?，H???0?002??????0???00?，???1 00??求能級(jí)的一級(jí)近似和波函數(shù)的0級(jí)近似。
解：H0的本征值問(wèn)題是三重簡(jiǎn)并的，這是一個(gè)簡(jiǎn)并微擾問(wèn)題。
(1)(1)求本征能量
由久期方程H??EI?0得：
?E(1)00?E(1)0?0?E(1)?0
??E(1)?E(1)???2?0 2?? 20 量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
解得：E(1)?0,??。記為：
(1)?0，E1(1)??? E1(1)???，E2故能級(jí)一級(jí)近似：
?E1?E0?E1(1)?2???(1)?E2?E0?E2?2?(1)E?E?E?2??303?簡(jiǎn)并完全消除
(2)求解 0 級(jí)近似波函數(shù) 將E1(1)???代入方程，得：
??0?????0?0???0????由歸一化條件：
?c1???(c1?c3)??????c1??c3c?0?c?0 ???2????2?c2?0?c???(c?c)?13??3???c則ψ1(0)*1?c1??*?0?c1?0??2|c1|2?1取實(shí)解：c1?1
2??c??1???1?1????0?。
2????1?將E2?0代入方程，得：(1)?0??0???由歸一化條件：
0???00?00???c1???c3??????c2??0??0??0?c1?c3?0 ?c???c??3??1??0????0c2*0??c2??|c2|2?1取實(shí)解：c2?1
?0??? 21 量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
則?2(0)?0?????1?。?0???(0)如法炮制，得?3?1?1????0?
2???1?
（三）討論
（1）新 0 級(jí)波函數(shù)的正交歸一性 1.正交性
對(duì)處理λ一次冪所帶來(lái)的系數(shù)公式
??E????]c???0[H????(1)n?1k(1)
取復(fù)共厄
?)[(H?????1k*(1)*?Enc???0 ????]??的厄米性，有 由于H??|n??*??n?|H???|n???)*??n?|H(H????|n???H???n?|H????E????]c???0 [H????(1)n*?1k
改記求和指標(biāo)
???，???
(1)*??En??[H??????]c???0k(2)
??1由前知??E????]c???0[H????(1)n?1k(1)
k(1)?c????(2)?c?? ???*?1?1(1)*??E?]c??c?????[H????En???[H??????]c??c???0
(1)n???*kkkkk??1??1??1??1上式合起來(lái)可寫為 量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
kk[E??E?]???c??c???0 ????(1)n(1)n*?1?1或[E(1)n?*?E]?c??c???0(1)n?k??1(1)(1)對(duì)于En??En?的根，k*c???0??c??(3)
??1(0)(1)(0)(1)對(duì)應(yīng)于En??En?En?和En??En?En?的 0 級(jí)近似本征函數(shù)分別為：
kk|?(0)n????c??|n????1|?(0)n????c??|n??
??1??(0)n?|?(0)n?*????c??c???n?|n??kk??1??1kk**???c??c???????c??c???0k
??1??1??1利用了(3)式c??c???0。??*?1k上式表明，新 0 級(jí)近似波函數(shù)滿足正交條件。2.歸一性
由于新 0 級(jí)近似波函數(shù)應(yīng)滿足歸一化條件，對(duì)于同一能量，即角標(biāo)???，則上式變?yōu)椋?/p>
??(0)n?|?(0)n?*???c??c???1k(4)
??1Eq.(3)和Eq.(4)合記之為：
c??c????????*?1k(5)
(2)可以證明在新 0 級(jí)近似波函數(shù)?n??為基矢的 k 維子空間中，H’從而 H的矩陣形式是對(duì)角化的。
證：
(0)23 量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
kk??(0)n???|?(0)????c*c?n?|H??|n??|Hn???????1??1kk???c???c??H??????c??c??H??**kk??1??1k*??1??1k
??c???E???c???E(1)n?k(1)n???1??1*c???c????1(1)?En????k第2－3步用到了（1）式
??E????]c???0。[H????(1)n?1上式最后一步利用了Eq.(5)關(guān)系式。所以 H’在新0級(jí)近似波函數(shù)為基矢的表象中是對(duì)角化的。
[證畢] 因?yàn)?H0在自身表象中是對(duì)角化的，所以在新0級(jí)近似波函數(shù)為基矢的表象中也是對(duì)角化的。當(dāng)???時(shí)，上式給出如下關(guān)系式：
(1)(0)??(0)En????n?|H|?n??
也就是說(shuō)，能量一級(jí)修正是 H’在新 0 級(jí)波函數(shù)中的平均值。這一結(jié)論也是預(yù)料之中的事。
求解簡(jiǎn)并微擾問(wèn)題，從本質(zhì)上講就是尋找一么正變換矩陣 S，使 H’從而 H 對(duì)角化。求解久期方程和線性方程組就是尋找這一么正變換矩陣的方法。例如：前面講到的例 2
?200???H0??020??002????0?H???0???0???00?00?????1
應(yīng)用簡(jiǎn)并微擾論解得的新 0 級(jí)近似波函數(shù)是：
?1(0)?1?1????0?2????1?(0)?2?0?????1??0????3(0)?1?1????0?
2???1?這是新 0 級(jí)近似波函數(shù)在原簡(jiǎn)并波函數(shù)?i，i = 1,2,3.為基矢所張開的子空間中的矩陣表示，即
????ci??i
(0)i?13 24 量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
我們求解
?i?13??E?(1)?li)ci??0(Hlil?1,2,3
就是為了尋找一個(gè)么正變換 S，使原來(lái)的 H = H0 + H’ 在以?i為基矢的表象中的表示變到??(0)為基矢的表象中，從而使 H 對(duì)角化。
根據(jù)表象理論，若??(0)在以?i為基矢的表象中的形式由下式給出，?1(0)(0)?1?1????0?2????1?(0)?2?0?????1??0????3(0)?1?1????0?
2???1?則由?表象到?表象的么正變換矩陣為：
?1?2S??0???12?其逆矩陣為
010??0? 1??2?12?12~*??1?S?S?S??0??1?2H’從?表象到?(0)0?10??0? 1??2?12表象由下式給出：
??S?1H?SHS??????????0?1??00α??12????210??000??01??α00???10???2?2?????00?????000??00????120120101??2?0? 1?2??§10.3 變分法
微擾法求解問(wèn)題的條件是體系的 Hamilton 量 H可分為兩部分
??H??H?? H0 25 量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
其中 H0 的本征值本征函數(shù)已知有精確解析解，而 H’很小。如果上面條件不滿足，微擾法就不適用。這時(shí)我們可以采用另一種近似方法—變分法。
（一）能量的平均值
（二）< H >與 E0 的偏差和
（三）如何選取試探波函數(shù)
（四）變分方法
（五）實(shí)例
（一）能量的平均值
設(shè)體系的 Hamilton 量 H 的本征值由小到大順序排列為：
試探波函數(shù)的關(guān)系
E0?E1?E2?......?En?......?0??1??2?......??n?......上式第二行是與本征值相應(yīng)的本征函數(shù)，其中E0、?0?分別為基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)。
為簡(jiǎn)單計(jì)，假定H本征值是分立的，本征函數(shù)組成正交歸一完備系，即
???H|?n??En|?n????|?n???n|?1?n????m|?n???mnn?0,1,2,?
設(shè)??是任一歸一化的波函數(shù)，在此態(tài)中體系能量平均值：
?|????H?，則必有E?E E?H???|H0證： 插入單位算符?|?nn???n|?1，則
?|?????|H?|????|??E?H???|H?nnn??En??|?n???n|??n
?E0???|?n???n|???E0??|???E0n即H?E0。
量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
這個(gè)不等式表明，用任意波函數(shù)??計(jì)算出的平均值
若??未歸一化，則
?|????|HH??E0
??|??基于上述基本原理，我們可以選取很多波函數(shù): ??: ?(1)?，?(2)?，…，?(k)?，…稱為試探波函數(shù)，來(lái)計(jì)算
H?H1,H2,??Hk
其中最小的一個(gè)就最接近基態(tài)能量 E0，即
Min[H1,H2,??Hk]?E0
如果選取的試探波函數(shù)越接近基態(tài)波函數(shù)，則 H 的平均值就越接近基態(tài)能量 E0。這就為我們提供了一個(gè)計(jì)算基態(tài)能量本征值近似值的方法。
使用此方法求基態(tài)能量近似值還需要解決以下兩個(gè)問(wèn)題：（1）試探波函數(shù)??與?0?之間的偏差和平均值（2）如何尋找試探波函數(shù)。
（二）< H >與 E0 的偏差和試探波函數(shù)的關(guān)系
由上面分析可以看出，試探波函數(shù)越接近基態(tài)本征函數(shù)，
.那末，由于試探波函數(shù)選取上的偏差????0?會(huì)引起[
為了討論這個(gè)問(wèn)題，我們假定已歸一化的試探波函數(shù)為：
< H > 與 E0之間偏差的關(guān)系；
|???|?0???|????|???1
其中?是一常數(shù)，??是任一波函數(shù)，滿足?0?所滿足的同樣的邊界條件。顯然|??有各種各樣的選取方式，通過(guò)引入?|??就可構(gòu)造出在?0?附近的有任意變化的試探波函數(shù)。能量偏差：
量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
??E|???H??E0???|H0??E???0|??*??|H0???|?0???|?????E|??????|H??E|?? ???0|H0000??E|???|?|2??|H??E|????*??|H000??E|???|?|2??|H0?|???E|??）（利用了Hnnn可見，若?是一小量，即波函數(shù)偏差????0??|??
是一階小量，那末
??E|?? ?H??E0?|?|2??|H0是二階小量。
這也就是說(shuō)，? 是小量，??與?0?很接近，則< H >與 E0更接近。當(dāng)且僅當(dāng)????0?時(shí)，才有< H > = E0。
[結(jié)論] 上述討論表明，對(duì)本征函數(shù)附近的一個(gè)任意小的變化，本征能量是穩(wěn)定的。因此，我們選取試探波函數(shù)的誤差不會(huì)使能量近似值有更大的誤差。
（三）如何選取試探波函數(shù)
試探波函數(shù)的好壞直接關(guān)系到計(jì)算結(jié)果，但是如何選取試探波函數(shù)卻沒有一個(gè)固定可循的法則，通常是根據(jù)物理上的知覺去猜測(cè)。
（1）根據(jù)體系 Hamilton 量的形式和對(duì)稱性推測(cè)合理的試探波函數(shù)；（2）試探波函數(shù)要滿足問(wèn)題的邊界條件；
（3）為了有選擇的靈活性，試探波函數(shù)應(yīng)包含一個(gè)或多個(gè)待調(diào)整的參數(shù)，這些參數(shù)稱為變分參數(shù)；
（4）若體系Hamilton量可分成兩部分H=H0+ H1，而H0 的本征函數(shù)已知有解析解，則該解析解可作為體系的試探波函數(shù)。
例：一維簡(jiǎn)諧振子試探波函數(shù) 一維簡(jiǎn)諧振子Hamilton 量：
22?d???H?1??2x2 222?dx其本征函數(shù)是：
量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
?n(x)?Nne??22x/2Hn(?x)
下面我們根據(jù)上面所述原則構(gòu)造試探波函數(shù)。方法 I：
試探波函數(shù)可寫成：
?c(?2?x2)?(x)???0|x|??
|x|??顯然，這不是諧振子的本征函數(shù)，但是它是合理的。
1.因?yàn)橹C振子勢(shì)是關(guān)于 x = 0 點(diǎn)對(duì)稱的，我們的試探波函數(shù)也是關(guān)于 x = 0 點(diǎn)對(duì)稱的； 2.滿足邊界條件，即當(dāng)|x| →∞ 時(shí)，ψ→ 0； 3.含有一個(gè)待定的λ參數(shù)。方法 II:
亦可選取如下試探波函數(shù)：
?(x)?Ae??x2
A ——?dú)w一化常數(shù)，? 是變分參量。這個(gè)試探波函數(shù)比第一個(gè)好，因?yàn)?1.?(x)是光滑連續(xù)的函數(shù)；
2.關(guān)于 x = 0 點(diǎn)對(duì)稱，滿足邊界條件，即當(dāng) |x|→∞ 時(shí)，ψ→ 0；
3.?(x)是高斯函數(shù)，高斯函數(shù)有很好的性質(zhì)，可作解析積分，且有積分表可查。
（四）變分方法
有了試探波函數(shù)后，我們就可以計(jì)算< H >
?|???H????|H
????(?)|H|?(?)???H(?)??H(?)能量平均值是變分參數(shù)λ的函數(shù)，欲使< H(λ)>取最小值，則要求：
dH(?)d?H(?)???0 d?d?上式就可定出試探波函數(shù)中的變分參量λ取何值時(shí)
（五）實(shí)例
對(duì)一維簡(jiǎn)諧振子試探波函數(shù)，前面已經(jīng)給出了兩種可能的形式。下面我們就分別使用這兩種試探波函數(shù)，應(yīng)用變分法求解諧振子的基態(tài)近似能量和近似波函數(shù)。
量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
方法I 使用第一種試探波函數(shù)：
?c(?2?x2)?(x)???01.首先定歸一化系數(shù)
|x|??
|x|?????c????????????*?dx?1
?????*?dx??0?0dx??c2(?2?x2)2dx??0?0dx??2?15?5?。16??0165c(??x)dx?c??11522222
2.求能量平均值
H(?)????2??dx?*H?22??2d2122??c?(??x)?????x?(?2?x2)dx22???2?dx? 2?222??2222?1?c?(??x)??2??x(??x)?dx?????5?2?21?????2?24?143.變分求極值
dH(?)5?2?31??????2??0 d?2?7??2?35?。
2??代入上式得基態(tài)能量近似值為：
5?2H?4?2??135?5???2????0.5976
35?142??141???0.5??，比較二式可以看出，近似結(jié)果還2我們知道一維諧振子基態(tài)能量 E0?不太壞。
方法II 使用第二種試探波函數(shù)：
1.對(duì)第二種試探波函數(shù)定歸一化系數(shù)：
?(x)?Ae??x
2量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
1???(x)*?(x)dx?|A|???2????e?2?x2dx?|A|2? 2??|A|2?2??。
2.求能量平均值
H(?)?????2??dx?|A|2?*H???x2????2?e??x2dxe??xH2222??x2d?1?|A|?e[????x]edx??2?dx2222 ??2?2?x221222?2?x2?2??|A|??edx?|A|[????]?xedx?????2??|A|2?2??2?221212?|A|[????]2?2?4??2?帶入|A|?22??，得
?21H(?)?????2??1
2?83.變分求極值
dH(?)?21????2??2?0 d?2?8???1??2??1，?? 2???代入上式得基態(tài)能量近似值為：
?21??12?1H????2???
2?2?8??2這正是精確的一維諧振子基態(tài)能量。這是因?yàn)槿魧?/p>
??代入試探波函數(shù)，得：
1?? 2??(x)?Ae??x2???????????1/4e???x2/2???0(x)
量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)導(dǎo)論》
正是一維諧振子基態(tài)波函數(shù)。此例之所以得到了正確的結(jié)果，是因?yàn)槲覀冊(cè)谶x取試探波函數(shù)時(shí)要盡可能的通過(guò)對(duì)體系物理特性（Hamilton量性質(zhì)）的分析，構(gòu)造出物理上合理的試探波函數(shù)。
作業(yè)
p309 10.1、10.3、10.6 32
第五篇：周世敬工作計(jì)劃1
重慶航天職業(yè)技術(shù)學(xué)院 管理工程系2011-2012學(xué)工作計(jì)劃周世敬
重慶航天職業(yè)技術(shù)學(xué)院 管理工程系2011-2012學(xué)
工作計(jì)劃
? 換屆選舉
九月中旬，初步確定各部門核心干部，確保學(xué)生會(huì)工作正常運(yùn)行。10月初召開學(xué)生會(huì)成立大會(huì)，組織各班班干，團(tuán)干交流學(xué)習(xí)；以便后期工作開展；組織干部聚餐加強(qiáng)干部交流。
? 指導(dǎo)思想
對(duì)我系積極分子檔案的收交，發(fā)展新的積極分子；抓好學(xué)生會(huì)內(nèi)部基礎(chǔ)。大力發(fā)展黨性作風(fēng)，培養(yǎng)高意識(shí)干部。
? 部門理解
明確目標(biāo)，才可以合理定位找到自己的工作動(dòng)力，工作動(dòng)向。以下是我對(duì)學(xué)生會(huì)8個(gè)部門這一年的目標(biāo)闡述：
主席團(tuán) 負(fù)責(zé)并分管各部門的工作、合理協(xié)調(diào)和監(jiān)督；掌握分管學(xué)生干部的思想和工作情況；促進(jìn)各部門工作順利完成；組織宣傳工作的規(guī)劃、安排；組織我系同學(xué)黨課理論學(xué)習(xí)活動(dòng)，主題教育。
秘書處 負(fù)責(zé)每次活動(dòng)后的稿件完成，以及發(fā)表。協(xié)助主席團(tuán)完成會(huì)議記錄，以及資料整理。幫助系部老師處理一些瑣碎事物，負(fù)責(zé)學(xué)生會(huì)內(nèi)部聯(lián)系。
組織部 負(fù)責(zé)組織，策劃活動(dòng)，帶動(dòng)我系同學(xué)參加各項(xiàng)活動(dòng)，鍛煉
自己。包括組織學(xué)生會(huì)內(nèi)部活動(dòng)的開展。
宣傳部 負(fù)責(zé)每期板報(bào)的順利完成，以及系部展板的完成；對(duì)每一個(gè)活動(dòng)的宣傳；建立“管理系人才庫(kù)”以及“管理系
平臺(tái)交流”通訊錄。
學(xué)習(xí)部 定期組織策劃利學(xué)活動(dòng)，提高同學(xué)們的主動(dòng)學(xué)習(xí)精神，提高學(xué)習(xí)氣氛。加強(qiáng)師生間的教學(xué)聯(lián)系，及時(shí)收集學(xué)生
在教學(xué)方面的意見、并及時(shí)反饋給老師。
生活部 協(xié)調(diào)學(xué)校有關(guān)部門做好系上學(xué)生宿舍的管理工作。組織
收集、反映并幫助解決學(xué)生生活中的問(wèn)題。指導(dǎo)和幫助
各班生活委員開展工作。負(fù)責(zé)系部的正常物品購(gòu)買。
文體部 主要由文娛，體育構(gòu)成，必須收集這兩方面人才建立人
才庫(kù)，指導(dǎo)和幫助各班學(xué)生文、體委員開展工作。做好
院部和同學(xué)的協(xié)調(diào)工作，以便更好開展各項(xiàng)活動(dòng)。
女生部 負(fù)責(zé)我系女生的大小事務(wù)。并去邀請(qǐng)外面老師講解女生
安全，美容，等一系列知識(shí)。讓我系女生在擁有美麗的同時(shí)，全心全意投入學(xué)習(xí)。提高學(xué)習(xí)效率。
? 主要工作
1.各部門各項(xiàng)工作拉開帷幕，組織各部門主要負(fù)責(zé)人召開主要干
部會(huì)議。
2.統(tǒng)計(jì)各班新班干最新聯(lián)系方式。
3.組織各班，班干，團(tuán)干，學(xué)生會(huì)干部到固定教室，邀請(qǐng)主任或
者老師開展干部知識(shí)講座，培養(yǎng)干部意識(shí)。
4.開展學(xué)習(xí)與運(yùn)動(dòng)精神共有的促學(xué)辯論賽，增強(qiáng)學(xué)習(xí)氣氛。
5.定期對(duì)我系重要班、團(tuán)干部進(jìn)行培養(yǎng)和鍛煉，讓其充分發(fā)揮骨
干作用。
6.定期開展利學(xué)活動(dòng)。
7.建議基礎(chǔ)學(xué)院管理系開展第二屆聯(lián)誼晚會(huì)，促進(jìn)情誼交流。
8.舉辦我系第二屆拔河比賽。
? 工作要點(diǎn)
1.承辦院部學(xué)生會(huì)工作。
2.定期開展我系的利學(xué)活動(dòng)。
3.著重以工作來(lái)宣傳學(xué)生會(huì)。
4.協(xié)調(diào)各部之間的工作，營(yíng)造各司其職、團(tuán)結(jié)協(xié)作的氛圍。
5.發(fā)掘各項(xiàng)人才，建立“管理系人才庫(kù)”有利活動(dòng)開展。
? 其他工作
1.開學(xué)初，全面做好宣傳工作（主席團(tuán)成員及宣傳部聯(lián)合做好海
報(bào)、板報(bào)、學(xué)校網(wǎng)站宣傳）。
2.在秘書處內(nèi)部設(shè)一個(gè)辦公室（責(zé)任：負(fù)責(zé)做好每次會(huì)議記錄，以及做好每次會(huì)議的通知、資料收集等工作）。
3.設(shè)一名攝影師（責(zé)任：負(fù)責(zé)做好每次活動(dòng)、工作、會(huì)議的攝影）。
4.每周一次列會(huì)；每?jī)芍苡懻撘淮谓诠ぷ髦攸c(diǎn)
5.對(duì)每次會(huì)議嚴(yán)格要求，并請(qǐng)知道老師定期參加。
周世敬
2011年9月13日
點(diǎn)擊咨詢 