第一篇：高三數(shù)學(xué)教案：不等式的應(yīng)用

不等式的應(yīng)用

一、內(nèi)容歸納

1知識(shí)精講：在前面幾節(jié)課學(xué)習(xí)的不等式的性質(zhì)、證明和解不等式的基礎(chǔ)上運(yùn)用不等式的的知識(shí)和思想方法分析、解決一些涉及不等式關(guān)系的問題.2重點(diǎn)難點(diǎn): 善于將一個(gè)表面上看來并非是不等式的問題借助不等式的有關(guān)部門知識(shí)來解決.3思維方式: 合理轉(zhuǎn)化；正確應(yīng)用基本不等式；必要時(shí)數(shù)形結(jié)合.4特別注意: 應(yīng)用基本不等式時(shí)一定要注意應(yīng)用的條件有否滿足，還要檢驗(yàn)等號(hào)能否成立.二、例題選講

題型

1、不等式在方程、函數(shù)中的應(yīng)用。例

1、P96 函數(shù)y?2ax?b的最大值4,最小值-1,求常數(shù)a,b,的值。

x2?1小結(jié)：本題用的是判別式法的思想 練習(xí)：P96深化拓展

練習(xí)：若關(guān)于x的方程4?a?2?a?1?0有實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

xx4x?1(2x?1)2?2(2x?1)?22?x?解：a??x????2?1??2?2?22 x??2?12x?12?1????題型2：不等式在幾何中的應(yīng)用 例

2、用一塊矩形木板緊貼一墻角圍成一直三棱柱空間堆放谷物，已知木板的長為a，寬為b，墻角的兩堵墻面和地面兩兩互相垂直怎樣圍法，直三棱柱的空間最大？這個(gè)最大值是多少？ 解：如圖：A—CC1---B是二墻面所成直二面角, CC1?面ABC VABC?A1B1C1AB2?CC11AC2?CB2?AC?CB?CC1??CC1?（AC=CB時(shí)取”=”）244a2b當(dāng)AB=a,AA1=b時(shí)，V1?

4b2a當(dāng)AB=b,AA1=a時(shí)，V2?

4a2b因此，所圍成直三棱柱的底面是等腰Rt?，高等于b時(shí)，這柱體的體積有最大值.4題型

3、建立函數(shù)關(guān)系式，利用均值不等式求最值。例3，已知a>0,求函數(shù)y?x2?a?1x?a2的最小值。

cm，畫面的寬與高的比為?(??1)，畫練習(xí)：.設(shè)計(jì)一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840面的上下各留8cm的空白，左右各留5cm的空白，問怎樣確定畫面的高與寬的尺寸，能使宣傳畫所用紙張面積最??？如果??[,]，那么?為何值時(shí)，能使宣傳畫所用紙張面積最??？

2解：設(shè)畫面的高為xcm，寬為?xcm，則?x?4840，設(shè)紙張面積為S，則有

2334S?(x?16)(?x?10)

??x2?(16??10)x?160?5000?4410(8??5時(shí)，S取最小值，此時(shí)，高x?8

5?)?6760，當(dāng)且僅當(dāng)8??5?時(shí)，即??

4840??88cm，寬?x?5?88?55cm.8233423??1??2?, 34如果??[,]，則上述等號(hào)不能成立.現(xiàn)證函數(shù)S(?)在[,]上單調(diào)遞增.設(shè)

2334則 S(?1)?S(?2)?4410(8?1?5?1?8?2?5?2)?4410(?1??2)(8?5?1?2)，因?yàn)?1?2?255又?1??2?0，所以S(?1)?S(?2)?0，故S(?)??8??0，38?1?2在[,]上單調(diào)遞增，因此對(duì)??[,]，當(dāng)??233423342時(shí)，S(?)取得最小值.3[思維點(diǎn)拔] 用均值不等式求最值時(shí)，如果滿足“一正二定三相等”，則可直接求解；如果不符合條件中的相等，則應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性后在求解.題型

四、綜合問題 P96 例3 已知函數(shù)f(x)?ax2?bx?c(a?0且bc?0)（1）若|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1,試求f(x)的解折式；

（2）今g(x)=2ax+b,若g(1)=0,又f(x)的圖象在X軸上截得的弦的長度為L且0?l?2，試求f(x)的解折式。

解：P96

三、小結(jié)

1、要善于用不等式的知識(shí)解決一些表面上非不等式的問題；

2、使用不等式的有關(guān)性質(zhì)、定理、結(jié)論時(shí)一定要準(zhǔn)確到位，尤其是使用基本不等式求最值時(shí)，一定要檢驗(yàn)等號(hào)能否成立。

四、作業(yè)：

第二篇：初中不等式數(shù)學(xué)教案

興義民族師范學(xué)院

2012屆畢業(yè)生

摸擬實(shí)習(xí)教案

姓 名：馬 澤

院 系：數(shù) 學(xué) 系

專 業(yè)：數(shù) 學(xué) 教 育

學(xué) 號(hào)：200930412031 指導(dǎo)教師：黃 激 珊

時(shí)間：2011年12月18日

第九章

不等式與不等式組

9.1

不等式

第一課時(shí)

9.1.1

不等式及其解集

教學(xué)目標(biāo)：讓同學(xué)們理解不等式及其解集的概念和表示方

法，同時(shí)對(duì)一元一次不等式的理解。

教學(xué)重點(diǎn)：不等式的表示方法和不等式解集的表示形式。教學(xué)難點(diǎn)：在實(shí)際應(yīng)用中不等式所滿足的條件及其解集的表

示。

教學(xué)用具：直尺。

復(fù)習(xí)導(dǎo)入：復(fù)習(xí)一元一次方程。教學(xué)過程：

一、提出問題：

一輛勻速行駛的汽車在11:20距離A地50千米，要在12:00之前駛過A 地，車速應(yīng)滿足什么條件？

二、分析問題：

解：設(shè)車速是x千米/時(shí)。

從時(shí)間上看，汽車要在12:00之前駛過?地，則以2502這個(gè)速度行駛50千米所用的時(shí)間不到小時(shí)，即? ①3x3 從路程上看，汽車要在12:00之前駛過?地，則以22x這個(gè)速度行駛小時(shí)的路程要超過50千米，即?50 ②33

式子?和?從不同的角度表示了車速應(yīng)滿足的條件。

三、歸納定義：

1、不等式：像?和?這樣用符號(hào)“<”或“>”表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式。

但是，像a+2?a-2這樣用符號(hào)“?”表示不等關(guān)系的式子也是不等式。這是同學(xué)們應(yīng)該注意的。注意：（1）不含未知數(shù)的不等式 例如：3?4，-1?-2??????（2）含有未知數(shù)的不等式5022x 例如：?,?50??????x33（3）怎樣才能明確未知數(shù)滿足的條件呢？2x 例如：?5032x 當(dāng)x?78時(shí)，?50;32x 當(dāng)x?75時(shí)，?50;32x 當(dāng)x?72時(shí)，?50.3

2x對(duì)上面的問題而言，當(dāng)x取某些值（如78）時(shí)，不等式?50成立；32x當(dāng)x取某些值（如75,72）時(shí)，不等式?50不成立。3

2、不等式的解：與方程類似，我們把不等式成立的未知數(shù)的值叫 做不等式的解。2x2x 例如：78是不等式?50的解，而75和72不是不等式?50的解.33

2x思考：判斷下列數(shù)中哪些是不等式?50的解？376，79,73，80,74.2,75,90,63

你還能最找出這個(gè)不等式的其他解嗎？這個(gè)不等式有多少個(gè)解？2x從以上的思考可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=75時(shí)，不等式?50成立，而當(dāng)x?7532x或x=75時(shí)，不等式?50不成立。3

這就是說：任何一個(gè)大于75的數(shù)都是不等式2x?50的解，這樣的解有無數(shù)個(gè)。

33、解的集合：能使不等式成立的x的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡(jiǎn)稱解集。

2x例如：?50的解集表示為：x?75.這個(gè)解集還可以用數(shù)軸來表示：3

圖9.1-1 ?原點(diǎn)?①數(shù)軸?正方向 ② 實(shí)數(shù)與點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)?單位長度?

用數(shù)軸來表示解集應(yīng)注意得到問題：

（1）在表示75的點(diǎn)上畫空心圓圈，表示不包含這一點(diǎn)。

（2）若畫的是實(shí)點(diǎn)，則包含這個(gè)點(diǎn)。如x≥3 4

圖9.1-2

(3)一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個(gè)不等式的解集。

（4）求不等式的解集的過程叫做解不等式。

4、一元一次不等式：類似于一元一次方程，含有一個(gè)未知

數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式叫做一元一次不等式。

2x例如：?50是一個(gè)一元一次不等式。3 同學(xué)們還能舉出一些一元一次不等式的例子嗎？250?,7x?14,2x?42??????3x250注意：?中的x在分母位置，這個(gè)不等式不是一元一次不等式。3x

四、練習(xí)訓(xùn)練：

1、下列數(shù)值哪些是不等式x+3>6的解？哪些不是？-4，-2.5,0,1,2.5,3,3.2,4.8,8,9,12,16.2、用不等式表示：

（1）a是正數(shù)；

（2）a是負(fù)數(shù)；

（3）a與5的和小于7；

（4）a與2的差大于-1；（5）a的4倍大于8；

（6）a的一半小于3；

3、直接求出不等式的解集：

（1）x+3>6；(2)2x<8；(3)x-2>0.五、回顧總結(jié)：

1、不等式 ? 不等式的解 ? 解的集合 ? 表示方法（數(shù)軸）

2、一元一次不等式；理解概念。

六、作業(yè)布置：

1、下列數(shù)值中哪些是不等式2x+3>9的解？哪些不是？-4，-2，0,1,3,3.02,4,6,50,58,100.2、用不等式表示：（1）a與5的和是正數(shù)；（2）a與2的差是負(fù)數(shù)；（3）b與15的和小于27；（4）b與12的差大于-5；（5）c的4倍大于或等于8；（6）c的一半小于或等于3；（7）d與e的和不小于0；（8）d與e的差不大于-2.3、寫出不等式的解集：（1）x+2>6；（2）2x<10；（3）x-2>0.1；（4）-3x<10.7

第三篇：高三數(shù)學(xué)教案

高三數(shù)學(xué)教案---點(diǎn)面距離

課型：復(fù)習(xí)課；課時(shí)：1時(shí)間：45分鐘 教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)與技能：在充分了解空間各種距離的概念的基礎(chǔ)

上，探究求空間距離的 一般方法；

2、過程與方法：通過師生互動(dòng)，發(fā)現(xiàn)、總結(jié)規(guī)律；

3、情感態(tài)度價(jià)值觀：從發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律中體驗(yàn)學(xué)數(shù)學(xué)的興趣。重點(diǎn)難點(diǎn)：

1、點(diǎn)到平面的距離是有關(guān)距離問題的重點(diǎn)，它主要由兩

種方法求得：

﹙1﹚用定義，直接作出這段距離，經(jīng)論證在計(jì)算；

﹙2﹚轉(zhuǎn)化為錐體的高，用三棱錐體積公式求點(diǎn)到平面的距離

2、求解距離問題要注意運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思路：面面距離

→線面距離→點(diǎn)面距離→點(diǎn)點(diǎn)距離。

教學(xué)方法：講練結(jié)合教具：多媒體

第四篇：均值不等式應(yīng)用

均值不等式應(yīng)用

一．均值不等式

22a?b1.(1)若a,b?R，則a?b?2ab(2)若a,b?R，則ab?a?b時(shí)取“=”）22

22.(1)若a,b?R*，則a?b?(2)若a,b?R*，則a?b?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）2

a?b?(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”(3)若a,b?R*，則ab??）???2?2

3.若x?0，則x?

取“=”）1）;若x?0，則x?1??2(當(dāng)且僅當(dāng)x??1時(shí)?2(當(dāng)且僅當(dāng)x?1時(shí)取“=”xx

若x?0，則x?1?2即x?1?2或x?1?-2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）

xxx

ab4.若ab?0，則??2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）ba

若ab?0，則ababab）??2即??2或??-2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”bababa

a?b2a2?b25.若a,b?R，則(（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）)?22

注：（1）3.已知x,y?R,x+y=s,xy=p.6．及值定理：

①若p為定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，s=x+y有；

②若s為定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，p=xy有。

（備注）：求最值的條件“一正，二定，三取等”

應(yīng)用一：求最值

解題技巧：技巧一：湊項(xiàng)

例1：已知x??5，求函數(shù)y?4x?2?1的最大值。44x?

51不是常數(shù)，所以對(duì)4x?2要進(jìn)行拆、4x?5解：因4x?5?0，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又(4x?2)?

湊項(xiàng)，∵x?511??,?5?4x?0，?y?4x?2????5?4x??3??2?3?1 ?44x?55?4x??

當(dāng)且僅當(dāng)5?4x?1，即x?1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x?1時(shí)，ymax?1。5?4x

評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)

例1.當(dāng)

時(shí)，求y?x(8?2x)的最大值。

1解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩

個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將y?x(8?2x)湊上一個(gè)系數(shù)即可。

當(dāng)，即x＝2時(shí)取等號(hào)當(dāng)x＝2時(shí)，y?x(8?2x)的最大值為8。

評(píng)注：本題無法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。

變式：設(shè)0?x?3，求函數(shù)y?4x(3?2x)的最大值。

32x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2???? 222??

3?當(dāng)且僅當(dāng)2x?3?2x,即x?3???0,?時(shí)等號(hào)成立。

4?2?

技巧三： 分離

x2?7x?10

(x??1)的值域。例3.求y?

x?1

解析一：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項(xiàng)，再將其分離。

當(dāng),即

時(shí),y?5?9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）。技巧四：換元

解析二：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。

(t?1)2?7(t?1）+10t2?5t?44y?=?t??

5ttt

當(dāng),即t=

時(shí),y?5?9（當(dāng)t=2即x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）。評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為y?mg(x)?等式來求最值。

技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)f(x)?x?調(diào)性。

例：求函數(shù)y?

A

?B(A?0,B?0)，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不g(x)

a的單x

2的值域。

2?t(t?

2)，則y?

?1

?t?(t?2)

t因t?0,t??1，但t?解得t??1不在區(qū)間?2,???，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。因?yàn)閥?t?在區(qū)間?1,???單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間?2,???為單調(diào)遞增函數(shù)，故y?所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?,???。

練習(xí)．求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x 的值.t1t

1t5。

2?5?2??

11x2?3x?1

y?2sinx?,x?(0,?)y?2x?,x?3,(x?0)??(3)（1）y?（2）

sinxx?3x

2．已知0?x?

1，求函數(shù)y3．0?x?

.；，求函數(shù)y

3.條件求最值

ab

1.若實(shí)數(shù)滿足a?b?2，則3?3的最小值是.解： 3和3都是正數(shù)，3?3≥23a?3b?3a?b?6

a

b

a

b

ababab

當(dāng)3?3時(shí)等號(hào)成立，由a?b?2及3?3得a?b?1即當(dāng)a?b?1時(shí)，3?3的最小值

是6．

變式：若log4x?log4y?2，求?的最小值.并求x,y的值

xy

技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。2：已知x?0,y?0，且

??1，求x?y的最小值。xy

19?19???1，?x?y?????

x?y???12xyxy??

錯(cuò)解： ∵x?0,y?0，且．．

故 ?x?y?min?12。

錯(cuò)因：解法中兩次連用均值不等式，在x?y?x?

y，在1?9?x

y

成立條件是

?即y?9x,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用均值不等式處理問題xy

時(shí)，列出等號(hào)成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。

?19?y9x19

正解：∵x?0,y?0,??1，?x?y??x?y???????10?6?10?16

xy?xy?xy

當(dāng)且僅當(dāng)

19y9x?時(shí)，上式等號(hào)成立，又??1，可得x?4,y?12時(shí)，?x?y?min?16。

xyxy

x

y

變式：（1）若x,y?R?且2x?y?1，求1?1的最小值

?

(2)若a,b,x,y?R且a?b?1，求x?y最小值

xy

y 2

技巧

七、已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x＋ ＝1，求x1＋y的最大值.a 2＋b

2分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤。

11＋y中y前面的系數(shù)為，x1＋y＝x

1＋y2·＝2 x2＋22

下面將x，1y ＋分別看成兩個(gè)因式： 22

x＋x＋ ≤

222

技巧

八、取平方

2y 21

2＋)x＋ ＋ 2222

3＝ ＝即1＋y＝2 ·x

4＋ ≤ 2245、已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝3x ＋2y 的最值.a＋ba 2＋b

2解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，≤，本題很簡(jiǎn)單

3x ＋2y≤2

3x）2＋（2y）2 ＝2

3x＋2y ＝2

5解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。

W＞0，W2＝3x＋2y＋23x y ＝10＋3x 2y ≤10＋3x)2·(y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20

∴ W

≤20 ＝5

變式: 求函數(shù)y?

1?x?5)的最大值。

解析：注意到2x?

1與5?2x的和為定值。

y2?

2?4??4?(2x?1)?(5?2x)?8

又y?0，所以0?y?當(dāng)且僅當(dāng)2

x?1=5?2x，即x?

時(shí)取等號(hào)。故ymax? 2

評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。

應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式

1． 已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a?b?c?ab?bc?ca

2正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

?1??1??1?

3、已知a、b、c?R，且a?b?c?1。求證：???1???1???1??8

?a??b??c?

?

解：?a、b、c?R，a?b?c?1。

?1?1?1?a?b?c?

1?1

1?1

aaabc上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得

1時(shí)取等號(hào)。?1??1??1?。當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c??1?1?1?8??????3?a??b??c?

應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題

例：已知x?0,y?0且1?9?1，求使不等式x?y?m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。

x

y

條件：m≤(x+y)的最小值，m????,16?

應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用： 例：若a?b?1,P?

lga?lgb,Q?

1a?b(lga?lgb),R?lg()，則P,Q,R的大小關(guān)系是22

分析：∵a?b?1 ∴l(xiāng)ga?0,lgb?0

（lga?lgb)?a?lgb?p 2

a?b1R?lg()?lgab?lgab?Q∴R>Q>P。

22Q?

第五篇：高三數(shù)學(xué)教案：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

課時(shí)考點(diǎn)2 導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

高考考綱透析：（理科）

(1)了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景(如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等)；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念。(2)熟記基本導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則.了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(3)理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件(導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào))；會(huì)求一些實(shí)際問題(一般指單峰函數(shù))的最大值和最小值。（文科）

(1)了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景。(2)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。(3)掌握函數(shù)，y=c(c為常數(shù))、y=xn(n∈N+)的導(dǎo)數(shù)公式，會(huì)求多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(4)理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念.并會(huì)用導(dǎo)數(shù)求多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值。(5)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求某些簡(jiǎn)單實(shí)際問題的最大值和最小值。

高考風(fēng)向標(biāo)：

導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的最大值和最小值，尤其是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，復(fù)現(xiàn)率較高。

高考試題選：

1.設(shè)f?(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y?f?(x)的圖象如圖所示，則y?f(x)的圖象最有可能 的是（）

?x2.設(shè)曲線y?e(x≥0）在點(diǎn)M（t,e--t）處的切線l與x軸y軸所圍成的三角形面積為S（t）.（Ⅰ）求切線l的方程；（Ⅱ）求S（t）的最大值.23.已知a為實(shí)數(shù)，f(x)?(x?4)(x?a)，（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)f?(x)；（Ⅱ）若f?(?1)?0，求f(x)在[--2，2] 上的最大值和最小值；

（Ⅲ）若f(x)在（—∞，—2）和[2，+∞]上都是遞增的，求a的取值范圍.熱點(diǎn)題型1: 函數(shù)的最值

已知函數(shù)f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,（I）求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（II）若f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．

解：（I）f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，－1），（3，＋∞）．

（II）因?yàn)閒(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)>f(－2)．因?yàn)樵冢ǎ?，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上單調(diào)遞增，又由于f(x)在[－2，－1]上單調(diào)遞減，因此f(2)和f(－1)分別是f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．

故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最小值為－7．

變式新題型1：

已知f(x)?ax3?6ax?b,x?[?1,2]的最大值為3，最小值為?29，求a,b的值。

解題分析：對(duì)a的符號(hào)進(jìn)行分類討論，比較區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值及極值點(diǎn)的大小。

熱點(diǎn)題型2: 函數(shù)的極值

已知函數(shù)f(x)?ax3?bx2?3x在x??1處取得極值.（1）討論f(1)和f(?1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值；（2）過點(diǎn)A(0,16)作曲線y?f(x)的切線，求此切線方程.（1）解：f?(x)?3ax2?2bx?3，依題意，f?(1)?f?(?1)?0，即

??3a?2b?3?0，?3a?2b?3?0.解得a?1,b?0.∴f(x)?x3?3x,f?(x)?3x2?3?3(x?1)(x?1).令f?(x)?0，得x??1,x?1.若x?(??,?1)?(1,??)，則f?(x)?0，故

f(x)在(??,?1)上是增函數(shù)，f(x)在(1,??)上是增函數(shù).若x?(?1,1)，則f?(x)?0，故f(x)在(?1,1)上是減函數(shù).所以，f(?1)?2是極大值；f(1)??2是極小值.（2）解：曲線方程為y?x3?3x，點(diǎn)A(0,16)不在曲線上.3設(shè)切點(diǎn)為M(x0,y0)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足y0?x0?3x0.2因f?(x0)?3(x0?1)，故切線的方程為y?y0?3(x0?1)(x?x0)

2注意到點(diǎn)A（0，16）在切線上，有

32316?(x0?3x0)?3(x0?1)(0?x0)

化簡(jiǎn)得x0??8，解得x0??2.所以，切點(diǎn)為M(?2,?2)，切線方程為9x?y?16?0.變式新題型2：

322已知f(x)?x?ax?bx?c和g(x)?x?3x?2若y?f(x)在點(diǎn)x??1處有極值，且

曲線y?f(x)和y?g(x)在交點(diǎn)（0,2）處有公切線。（1）求a,b,c的值，（2）求y?f(x)在R上的極大值和極小值。

解題分析：關(guān)健點(diǎn)是：曲線y?f(x)和y?g(x)在交點(diǎn)（0,2）處有公切線構(gòu)造兩個(gè)方程。

熱點(diǎn)題型3: 函數(shù)的單調(diào)性

(理科)已知函數(shù)f(x)?

簡(jiǎn)明答案：（Ⅰ）f(x)?ax?6的圖象在點(diǎn)M（－1，f(x)）處的切線方程為x+2y+5=0.x2?b（Ⅰ）求函數(shù)y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.2x?6；

（Ⅱ）f(x)在(??,3?23)和(3?23,??)上是減函數(shù)，2x?3在(3?23,3?23)上是增函數(shù)。

（文科）已知函數(shù)f(x)?x3?bx2?ax?d的圖象過點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)M（－1，f（－1））處的切線方程為6x?y?7?0（.Ⅰ）求函數(shù)y?f(x)的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)y?f(x)的單調(diào)區(qū)間.簡(jiǎn)解：（Ⅰ）f(x)?x3?3x2?3x?2，（Ⅱ）f(x)?x?3x?3x?2在(??,1?2)和(1?2,??)上是增函數(shù)，在32(1?2,1?2)上是減函數(shù)。

變式新題型3：

42已知函數(shù)f(x)?ax?bx?c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,1），且在x?1處的切線方程是y?x?2，（1）求y?f(x)的解析式；（2）求y?f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間。

解題分析：關(guān)健點(diǎn)是：在x?1處的切線方程是y?x?2構(gòu)造兩個(gè)方程。

熱點(diǎn)題型4: 分類討論在導(dǎo)數(shù)中應(yīng)用

已知a?R，函數(shù)f(x)?x2|x?a|。

（1）當(dāng)a?2時(shí)，求使f(x)?x成立的x的集合；（2）求函數(shù)y?f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值。解：（1）由題意，f(x)?x|x?2|

2當(dāng)x?2時(shí)，f(x)?x(2?x)?x，解得x?0或x?1； 2當(dāng)x?2時(shí)，f(x)?x(x?2)?x，解得x?1?22

綜上，所求解集為{0,1,1?2}；（2）設(shè)此最小值為m

32①當(dāng)a?1時(shí)，在區(qū)間[1,2]上，f(x)?x?ax

2?a??0,x?(1,2)3?則f(x)是區(qū)間[1,2]上的增函數(shù)，所以m?f(1)?1?a； 因?yàn)閒?(x)?3x?2ax?3x?x?2?? ②當(dāng)1?a?2時(shí)，在區(qū)間[1,2]上，f(x)?x2|x?a|?0，則f(a)?0知

m?f(a)?0；

③當(dāng)a?2時(shí)，在區(qū)間[1,2]上，f(x)?ax2?x3，f?(x)?2ax?3x2?3x??2?a?x? ?3?若a?3，在區(qū)間(1,2)內(nèi)f?(x)?0，從而f(x)為區(qū)間[1,2]上的增函數(shù)，由此得：

m?f(1)?a?1；

若2?a?3，則1?當(dāng)1?x?2a?2 32?2?a時(shí)，f?(x)?0，從而f(x)為區(qū)間?1,a?上的增函數(shù)； 3?3?2?2?當(dāng)a?x?2時(shí)，f?(x)?0，從而f(x)為區(qū)間?a,2?上的減函數(shù) 3?3?因此，當(dāng)2?a?3時(shí)，m?f(1)?a?1或m?f(2)?4(a?2)；

7當(dāng)2?a?時(shí)，4(a?2)?a?1，故m?4(a?2)

37?a?3時(shí)，a?1?4(a?2)，故m?a?1 31?a,當(dāng)a?1時(shí)??0,當(dāng)1?a?2時(shí)??綜上所述，所求函數(shù)的最小值m??4(a?2),當(dāng)2?a?7時(shí)

3??a?1,當(dāng)a?7時(shí)?3?當(dāng)變式新題型4：

已知a?R，求函數(shù)f(x)?x2eax的單調(diào)區(qū)間。

備選題：

已知a > 0，函數(shù)f(x)= x3 – a，x∈[0，+?)．設(shè)x1 > 0，記曲線y = f(x)在點(diǎn)M(x1，f(x1))處的切線為l．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）設(shè)l與x軸交點(diǎn)為（x2，0）．證明：

（ⅰ）x2≥1a3；（ⅱ）若x1>

1a3，則

1a3< x2 < x1．

（Ⅰ）解：求f(x)的導(dǎo)數(shù)：f?(x)= 3x2，由此得切線l的方程：

3?a)= 3x12(x?x1)． y –(x1

（Ⅱ）證明：依題意，切線方程中令y = 0，33x1?a2x1?a?x2 = x1 –，3x123x12113

（?。﹛2?a?2(2x1?a?3x12a3)=2(x1?a3)2(2x1?a3)≥0，3x13x113111 所以

x2≥a，當(dāng)且僅當(dāng)x1 =a時(shí)等號(hào)成立．

13113133x1?a

（ⅱ）若x1 >a，則x?a?0,x2?x1???0，且由（?。﹛2 >a3，23x13113 所以a< x2 < x1．