第一篇：切線不等式的應(yīng)用

利用不等式“?x?R,ex?x?1”解決高考?jí)狠S題

呼和浩特市第二中學(xué)

郎礪志

“?x?R,ex?x?1”這一結(jié)論頻繁地出現(xiàn)在與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的各種教輔材料中，可以說學(xué)生很熟悉這個(gè)不等式的結(jié)論和證明過程，但是大多數(shù)人可能僅僅把它當(dāng)成是一道練習(xí)題，殊不知，就是這樣一個(gè)看似不起眼的結(jié)論，卻撐起了近5年高考理科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)試題（壓軸題）的半邊天，所以本文的主要內(nèi)容就是：分析近幾年高考導(dǎo)數(shù)試題，誘發(fā)新的解題線索，提供高效而實(shí)用的解題方案，最后給出2013年全國理科數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷第21題的一種新解法。命題1.?x?R,ex?x?1.可以從兩個(gè)角度證明這個(gè)命題的正確性。角度1.構(gòu)造函數(shù)

證明：設(shè)f(x)?ex?x?1,x?R，則f?(x)?ex?1

令f?(x)?ex?1=0，解得x?0，則當(dāng)x?(??,0)時(shí)，f?(x)?0，f(x)單調(diào)遞減； 則當(dāng)x?(0,??)時(shí)，f?(x)?0，f(x)單調(diào)遞增；

于是由單調(diào)性可知，f(x)min?f(x)極小=f(0)?0，即?x?R,ex?x?1。角度2.數(shù)形結(jié)合

在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出兩個(gè)函數(shù)f(x)?e,g(x)?x?1的圖象，如下圖所示，證完！

由上圖可知，這個(gè)不等式實(shí)際上反映的是曲線f(x)?e和其圖象上的點(diǎn)(0,1)處的切線圖形的高低關(guān)系。

xx于是這里得到，定理.?x?R,ex?x?1，當(dāng)且僅當(dāng)x?0時(shí)取等號(hào)。

由上面的定理可以立即得到，推論1.?x?[0,??),e?1?x?x?12x 2xx證明：讓我們換一套思路證明它，?t?R,e?t?1，則 ?x?R,?edt??(1?x)dt，00?t?t根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式可得e?1?x?x12x，證完！2這里要點(diǎn)明，這個(gè)結(jié)論實(shí)際上在高等數(shù)學(xué)中是顯然的，根據(jù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開可得，x2x31e?1?x?????1?x?x2,x?[0,??).。

2!3!2x推論2.?x?R?,lnx?x?1，當(dāng)且僅當(dāng)x?1時(shí)取等號(hào)。

證明：由定理可得，?x?R?,ex?1?x，兩邊同時(shí)取以e為底的對(duì)數(shù)得，?lnx?x?1，當(dāng)且僅當(dāng)x?1時(shí)取等號(hào)。

推論3.?x?[1,??),lnx?11(x?).2x證明：?t?[1,??),lnt?t?1，則?x?[1,??),化簡可得推論3.接下來就是高考試題的分析。

題1（2010年全國理科數(shù)學(xué)Ⅱ卷第22題節(jié)選）設(shè)函數(shù)f(x)?1?e.?x?x1lntdt??(t?1)dt，1xx。x?1x證明：欲證 當(dāng)x??1時(shí)，f(x)?，只須證明：

x?111?e?x?1?，即

x?11e?x?，也即

x?1求證：當(dāng)x??1時(shí)，f(x)?ex?x?1，得證。

題2.(2013年遼寧理科數(shù)學(xué)卷第21題節(jié)選)已知函數(shù)f(x)?(1?x)e?2x.求證：當(dāng)x?[0,1]時(shí)，f(x)?1.1?x證明：事實(shí)上，等價(jià)于證明e2x?(x?1)2，也即

ex?x?1.題3.(2010年理科數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷第21題節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)?ex?1?x?ax2，當(dāng)x?0時(shí)，f(x)?0.求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：由推論1可知，a?111滿足條件，于是當(dāng)a?時(shí)均滿足條件，事實(shí)上，當(dāng)a?時(shí)，222故當(dāng)x?(0,ln(2a))時(shí)，f??(x)?ex?2a?0,f?(x)?ex?1?2ax,f??(x)?ex?2a，此時(shí)函數(shù)f?(x)單調(diào)遞減，有f?(x)?f?(0)?0,從而函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)?f(0)?0，這和題目條件矛盾，綜上，a?1。2這里順便指出，利用這道題的結(jié)論可以輕松斷定2012年遼寧理科數(shù)學(xué)高考第12題的A選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，從而我們也能感受到高考試題的延續(xù)性。題4.（2011年湖北省理科數(shù)學(xué)卷第21題節(jié)選）設(shè)ak,bk(k?1,2,3,?,n)均為正數(shù)，證明：

若a1b1?a2b2???anbn?b1?b2???bn, 則a11a22?an證明：欲證a11a22?anbbbnbbbn?1。

bbb?1，只須證ln(a11a22?ann)?ln1?0，即b1lna1?b2lna2???bnlnan?0 ① 事實(shí)上，根據(jù)題意即推論2可知，lnak?ak?1,k?1,2,3,?,n，帶到①式左邊可得，b1lna1?b2lna2???bnlnan?b1(a1?1)?b2(a2?1)???bn(an?1)

=(b1a1?b2a2???bnan)?(b1?b2???bn)?0,證完。

題5.（2010年湖北省理科數(shù)學(xué)卷21題節(jié)選）求證：1?111n ?????ln(n?1)?23n2(n?1)證明：由推論3知：?x?[1,??),lnx?11(x?)； 且 2x11當(dāng)x?1,lnx?(x?)；

2xk?1k?11k?11?1,(k?1,2,3,?n), 有l(wèi)n?(?)令x?kk2kk?1111[(1?)?(1?)]2kk?1111?(?)2kk?1?

于是有，ln(k?1)?lnk?111(?),k?1,2,3,?n.2kk?1將這n個(gè)同向不等式相加并整理即可得：

1?證完。111n ?????ln(n?1)?23n2(n?1)下面給出2013年全國新課標(biāo)卷第21題的一種新解法。題6.已知函數(shù)f(x)?e?ln(x?m)當(dāng)m?2時(shí)，f(x)?0.證明：很明顯，f(x)?e?ln(x?2)，若記g(x)?e?lnx(?2)，則只須證明

xxxg(x)?ex?ln(x?2)?0即可，事實(shí)上，由推論2，ln(x?2)?x?1知，g(x)?ex?(x?1)，設(shè)h(x)?ex?(x?1)，由定理?可知h(x)?0成立，但上述等號(hào)無法同時(shí)取得，綜上，利用“>”的傳遞性可得，當(dāng)m?2時(shí)，f(x)?0.證完！上面的各個(gè)例題告訴我們，不等式“?x?R,e?x?1”及其推論在高考試卷中的應(yīng)用是廣泛而重要的，能靈活地運(yùn)用這些結(jié)論對(duì)快速高效地解決高考導(dǎo)數(shù)大題意義深遠(yuǎn)，另外，通過分析高考試題，我們也可以得到一個(gè)結(jié)論：看似紛繁蕪雜的導(dǎo)數(shù)試題中其實(shí)蘊(yùn)含著永恒的規(guī)律，遵循本文給出的解題線索，你一定能擁有針對(duì)性極強(qiáng)的解題意識(shí)，在高考?jí)狠S題的海洋中遨游。

x

第二篇：均值不等式及其應(yīng)用

教師寄語：一切的方法都要落實(shí)到動(dòng)手實(shí)踐中

高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)案

均值不等式及其應(yīng)用

一．考綱要求及重難點(diǎn)

要求：1.了解均值不等式的證明過程.2.會(huì)用均值不等式解決簡單的最大（小）值問題.重難點(diǎn)：1.主要考查應(yīng)用不等式求最值和不等式的證明.2.對(duì)均值不等式的考查多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度為中低檔題，若出現(xiàn)證明題難度也不會(huì)太大.二．考點(diǎn)梳理

a?b1.均值定理：?；

2（1）均值不等式成立的條件是_________.（2）等號(hào)成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)_________時(shí)取等號(hào).（3）其中_________稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均值，_________稱為正數(shù)a，b的幾何平均值.2.利用均值定理求最值

M2

1）.兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，4＋

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.簡記：和定積最大。

2）.兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2P，＋

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.簡記：積定和最小。

3、幾個(gè)重要的不等式

（1）a?b?2ab(a,b∈R)（2）22ba ??2(a,b同號(hào)）ab

a2?b2a?b2a?b2?()（a,b?R）（3）ab?()（a,b?R）（4）22

2三、學(xué)情自測(cè)

1、已知a?0，b?0，且a?b?2，則（）

112222A、ab?B、ab?C、a?b?2D、a?b?3 222、給出下列不等式：①a?1?2a21?2；③x2?2?1，其中正確的個(gè)數(shù)是 x?1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、長為24cm的鐵絲做成長方形模型，則模型的最大面積為___________。

125.已知正數(shù)a,b，滿足a?b?1，則?的最小值為 ab3、設(shè)x?0，則y?3?3x?

均值不等式及其應(yīng)用第 1頁（共4頁）

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

212xy??22x?3xy?4y?z?0,則當(dāng)z取得最大值時(shí),xyz的最大例

1、（2013山東）設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足

值為（）

A．0

B．1 9C．4 D．

3x2?7x?10變式訓(xùn)練1.若x??1，求函數(shù)f(x)?的最大值。x?

12.（2013天津數(shù)學(xué)）設(shè)a + b = 2, b>0, 則當(dāng)a = ______時(shí),考向

二、利用均值不等式證明簡單不等式

例

2、已知x?0,y?0,z?0，求證：（變式訓(xùn)練

2、已知a,b,c都是實(shí)數(shù)，求證：a?b?c?

2221|a|取得最小值.?2|a|byzxzxy?)(?)(?)?8 xxyyzz1(a?b?c)2?ab?bc?ac

3考向

三、均值不等式的實(shí)際應(yīng)用

例

3、小王于年初用50萬元購買一輛大貨車,第一年因繳納各種費(fèi)用需支出6萬元,從第二年起,每年都比

上一年增加支出2萬元,假定該年每年的運(yùn)輸收入均為25萬元.小王在該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出后,考慮將大貨車作為二手車出售,若該車在第x年年底出售,其銷售價(jià)格為25?x萬元(國家規(guī)定大貨車的報(bào)廢年限為10年).(1)大貨車運(yùn)輸?shù)降趲啄昴甑?該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出?

(2)在第幾年年底將大貨車出售,能使小王獲得的年平均利潤最大?)(利潤=累計(jì)收入+銷售收入-總支出)

變式訓(xùn)練：

如圖：動(dòng)物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成。

（1）現(xiàn)有可圍36米長鋼筋網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？

（2）若使每間虎籠面積為24m，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最小？

五、當(dāng)堂檢測(cè)

1、若a,b?R且ab?0，則下列不等式中，恒成立的是（）

2A、a?b?2abB、a?b?、11ba??、??2 abab2、若函數(shù)f(x)?x?1(x?2)在x?a處取得最小值，則a?（）x?

2A、1B、1?C、3D、4ab3、已知log2?log2?1，則3?9的最小值為___________。ab

4.若點(diǎn)A?1,1?在直線mx?ny?2?0上,其中mn?0,則11?的最小值為__________.mn

六、課堂小結(jié)

七、課后鞏固

511、已知x?，則函數(shù)y?4x?2?的最大值是（）44x?

51A、2B、3C、1D、2(a?b)22、已知x?0,y?0,x,a,b,y成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則的最小值是 cd

A、0B、1C、2D、43、已知b?0，直線(b?1)x?ay?2?0與直線x?by?1?0互相垂直，則ab的最小值為（）

A、1B、2C、D、4、已知x?0,y?0,x?y?xy?8，則x?y最小值是___________。

5、若對(duì)任意x?0,22x?a恒成立，則a的取值范圍是___________。2x?3x?1

6.某工廠去年的某產(chǎn)品的年銷售量為100萬只,每只產(chǎn)品的銷售價(jià)為10元,每只產(chǎn)品固定成本為8元,今年,工廠第一次投入100萬元,并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬元,預(yù)計(jì)銷售量從今年開始每年比上一年增加10萬只,第n次投入后,每只產(chǎn)品的固定成本為g(n)?k?0,k為常數(shù),n?N),若產(chǎn)品銷售價(jià)保持不變,第n次投入后的年利潤為f(n)萬元.(1)求k的值,并求出f(n)的表達(dá)式;

(2)若今年是第1年,則第幾年年利潤最高?最高利潤為多少萬元?

第三篇：均值不等式應(yīng)用

均值不等式應(yīng)用

一．均值不等式

22a?b1.(1)若a,b?R，則a?b?2ab(2)若a,b?R，則ab?a?b時(shí)取“=”）22

22.(1)若a,b?R*，則a?b?(2)若a,b?R*，則a?b?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）2

a?b?(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”(3)若a,b?R*，則ab??）???2?2

3.若x?0，則x?

取“=”）1）;若x?0，則x?1??2(當(dāng)且僅當(dāng)x??1時(shí)?2(當(dāng)且僅當(dāng)x?1時(shí)取“=”xx

若x?0，則x?1?2即x?1?2或x?1?-2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）

xxx

ab4.若ab?0，則??2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）ba

若ab?0，則ababab）??2即??2或??-2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”bababa

a?b2a2?b25.若a,b?R，則(（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）)?22

注：（1）3.已知x,y?R,x+y=s,xy=p.6．及值定理：

①若p為定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，s=x+y有；

②若s為定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，p=xy有。

（備注）：求最值的條件“一正，二定，三取等”

應(yīng)用一：求最值

解題技巧：技巧一：湊項(xiàng)

例1：已知x??5，求函數(shù)y?4x?2?1的最大值。44x?

51不是常數(shù)，所以對(duì)4x?2要進(jìn)行拆、4x?5解：因4x?5?0，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又(4x?2)?

湊項(xiàng)，∵x?511??,?5?4x?0，?y?4x?2????5?4x??3??2?3?1 ?44x?55?4x??

當(dāng)且僅當(dāng)5?4x?1，即x?1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x?1時(shí)，ymax?1。5?4x

評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)

例1.當(dāng)

時(shí)，求y?x(8?2x)的最大值。

1解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩

個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將y?x(8?2x)湊上一個(gè)系數(shù)即可。

當(dāng)，即x＝2時(shí)取等號(hào)當(dāng)x＝2時(shí)，y?x(8?2x)的最大值為8。

評(píng)注：本題無法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。

變式：設(shè)0?x?3，求函數(shù)y?4x(3?2x)的最大值。

32x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2???? 222??

3?當(dāng)且僅當(dāng)2x?3?2x,即x?3???0,?時(shí)等號(hào)成立。

4?2?

技巧三： 分離

x2?7x?10

(x??1)的值域。例3.求y?

x?1

解析一：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項(xiàng)，再將其分離。

當(dāng),即

時(shí),y?5?9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）。技巧四：換元

解析二：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。

(t?1)2?7(t?1）+10t2?5t?44y?=?t??

5ttt

當(dāng),即t=

時(shí),y?5?9（當(dāng)t=2即x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）。評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為y?mg(x)?等式來求最值。

技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)f(x)?x?調(diào)性。

例：求函數(shù)y?

A

?B(A?0,B?0)，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不g(x)

a的單x

2的值域。

2?t(t?

2)，則y?

?1

?t?(t?2)

t因t?0,t??1，但t?解得t??1不在區(qū)間?2,???，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。因?yàn)閥?t?在區(qū)間?1,???單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間?2,???為單調(diào)遞增函數(shù)，故y?所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?,???。

練習(xí)．求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x 的值.t1t

1t5。

2?5?2??

11x2?3x?1

y?2sinx?,x?(0,?)y?2x?,x?3,(x?0)??(3)（1）y?（2）

sinxx?3x

2．已知0?x?

1，求函數(shù)y3．0?x?

.；，求函數(shù)y

3.條件求最值

ab

1.若實(shí)數(shù)滿足a?b?2，則3?3的最小值是.解： 3和3都是正數(shù)，3?3≥23a?3b?3a?b?6

a

b

a

b

ababab

當(dāng)3?3時(shí)等號(hào)成立，由a?b?2及3?3得a?b?1即當(dāng)a?b?1時(shí)，3?3的最小值

是6．

變式：若log4x?log4y?2，求?的最小值.并求x,y的值

xy

技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。2：已知x?0,y?0，且

??1，求x?y的最小值。xy

19?19???1，?x?y?????

x?y???12xyxy??

錯(cuò)解： ∵x?0,y?0，且．．

故 ?x?y?min?12。

錯(cuò)因：解法中兩次連用均值不等式，在x?y?x?

y，在1?9?x

y

成立條件是

?即y?9x,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用均值不等式處理問題xy

時(shí)，列出等號(hào)成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。

?19?y9x19

正解：∵x?0,y?0,??1，?x?y??x?y???????10?6?10?16

xy?xy?xy

當(dāng)且僅當(dāng)

19y9x?時(shí)，上式等號(hào)成立，又??1，可得x?4,y?12時(shí)，?x?y?min?16。

xyxy

x

y

變式：（1）若x,y?R?且2x?y?1，求1?1的最小值

?

(2)若a,b,x,y?R且a?b?1，求x?y最小值

xy

y 2

技巧

七、已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x＋ ＝1，求x1＋y的最大值.a 2＋b

2分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤。

11＋y中y前面的系數(shù)為，x1＋y＝x

1＋y2·＝2 x2＋22

下面將x，1y ＋分別看成兩個(gè)因式： 22

x＋x＋ ≤

222

技巧

八、取平方

2y 21

2＋)x＋ ＋ 2222

3＝ ＝即1＋y＝2 ·x

4＋ ≤ 2245、已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝3x ＋2y 的最值.a＋ba 2＋b

2解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，≤，本題很簡單

3x ＋2y≤2

3x）2＋（2y）2 ＝2

3x＋2y ＝2

5解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。

W＞0，W2＝3x＋2y＋23x y ＝10＋3x 2y ≤10＋3x)2·(y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20

∴ W

≤20 ＝5

變式: 求函數(shù)y?

1?x?5)的最大值。

解析：注意到2x?

1與5?2x的和為定值。

y2?

2?4??4?(2x?1)?(5?2x)?8

又y?0，所以0?y?當(dāng)且僅當(dāng)2

x?1=5?2x，即x?

時(shí)取等號(hào)。故ymax? 2

評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。

應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式

1． 已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a?b?c?ab?bc?ca

2正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

?1??1??1?

3、已知a、b、c?R，且a?b?c?1。求證：???1???1???1??8

?a??b??c?

?

解：?a、b、c?R，a?b?c?1。

?1?1?1?a?b?c?

1?1

1?1

aaabc上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得

1時(shí)取等號(hào)。?1??1??1?。當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c??1?1?1?8??????3?a??b??c?

應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題

例：已知x?0,y?0且1?9?1，求使不等式x?y?m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。

x

y

條件：m≤(x+y)的最小值，m????,16?

應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用： 例：若a?b?1,P?

lga?lgb,Q?

1a?b(lga?lgb),R?lg()，則P,Q,R的大小關(guān)系是22

分析：∵a?b?1 ∴l(xiāng)ga?0,lgb?0

（lga?lgb)?a?lgb?p 2

a?b1R?lg()?lgab?lgab?Q∴R>Q>P。

22Q?

第四篇：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式

常澤武指導(dǎo)教師：任天勝

（河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 甘肅張掖 734000）

摘要： 不等式在初等數(shù)學(xué)和高等代數(shù)中有廣泛的應(yīng)用，證明方法很多，本文以函數(shù)的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)不等式，以導(dǎo)數(shù)為工具來證明不等式。

關(guān)鍵字： 導(dǎo)數(shù) 不等式最值中值定理單調(diào)性泰勒公式

中圖分類號(hào)： O13

Application derivative to testify inequality

ChangZeWu teachers: RenTianSheng

(HeXi institute of mathematics and statistics Gansu zhang ye 734000)Abstract: He inequality in elementary mathematics and higher algebra is widely used, proved many methods, based on the function point of view to know inequality to derivative tools to prove to inequality.Key words: The most value of derivative inequality value theorem monotonicity Taylor formula

1.利用微分中值定理來證明不等式

在數(shù)學(xué)分析中，我們學(xué)到了拉格朗日中值定理，其內(nèi)容為：

定理1.如果函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，在開區(qū)間?a,b?上可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)???a,b?，使得f'(?)?

拉格朗日中值定理是探討可微函數(shù)的的幾何特性及證明不等式的重要工具，我們可以根據(jù)以下兩種方法來證明。

（1）首先，分析不等式通過變形，將其特殊化。其次，選取合適的函數(shù)和范圍。第三，利用拉格朗日中值定理。最后，在根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最大值和最小值。

（2）我們可根據(jù)其兩種等價(jià)表述方式

①f(b)?f(a)?f'(a??(b?a))(b?a),0???1

②f?a?h??f?a??f'?a??h?h,0???1

我們可以?的范圍來證明不等式。f(b)?f(a)。b?a

11(x?0)例1.1證明不等式ln(1?)?x1?x

證明第一步變形1 ln(1?)?ln(1?x)?ln(x)x

第二步選取合適的函數(shù)和范圍

令f(x)?lntt??x,1?x?

第三步應(yīng)用拉格朗日中值定理

存在???x,1?x?使得f'(?)?f(1?x)?f(x)(1?x)?(x)

即ln(1?x)?ln(x)?1

?而 ?<1+x 1 1?x

1?x1)?而0?x??? 即ln(x1?x?ln(1?x)?ln(x)?

例 1.2證明：?h>-1且h?0都有不等式成立：

h?ln(1?h)?h 1?h

證明：令f(x)=ln(1+x),有拉格朗日中值定理，????0,1?使得

ln(1?h)?f(h)?f(0)?f'(?h)h?

當(dāng)h>0時(shí)有

1??h?1?1?h,當(dāng)?1?h?0時(shí)有

1?1??h?1?h?0,即h.1??h1h??h;1?h1??h1h??h.1?h1??h

2．利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式

我們?cè)诔醯葦?shù)學(xué)當(dāng)中學(xué)習(xí)不等式的證明時(shí)用到了兩種方法：一種是判斷它們差的正負(fù)，另一種是判斷它們的商大于1還是小于1.而我們今天所要討論的是根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的思想來判斷大小。

定理：設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?可導(dǎo)，那么

（1）若在?a,b?內(nèi)f'(x)?0則f(x)在?a,b?內(nèi)單調(diào)遞增。

（2）若在?a,b?內(nèi)f'(x)?0則f(x)在?a,b?內(nèi)單調(diào)遞減。

使用定理：要證明區(qū)間?a,b?上的不等式f(x)?g(x)，只需令F(x)?f(?x)。g使在(x)?a,b?上F'(x)>0（F'(x)<0）且F(a)=0或（F(b)=0）例2.1 設(shè)x?0證明不等式ln(1?x)?xe?x

證明：令F(x)?ln(1?x)?xe?x（x>0）

顯然F(0)?0

1ex?x2?1?x?x（x>0）F'(x)??e?xe?x1?x(1?x)e

現(xiàn)在來證明ex?x2?1?0

令f(x)?ex?x2?1顯然f(0)?0

當(dāng)x?0時(shí)f'(x)?ex?2x?0

于是得f(x)在x?0上遞增

故對(duì)x?0有f(x)?f(0)?f(x)?0

而(1?x)ex?0

所以F'(x)?0故F(x)遞增

又因?yàn)镕(0)?0

所以F(x)?0

所以ln(1?x)?xe?x成立

3．利用函數(shù)的最大值和最小值證明不等式

當(dāng)?shù)仁街泻小?”號(hào)時(shí)，不等式f(x)?g(x)(或f(x)?g(x))? g(x)?f(x)?0（或g(x)?f(x)?0），亦即等價(jià)于函數(shù)G(x)?g(x)?f(x)有最小值或F(x)?f(x?)g(有最大值。x)

證明思路：由待正不等式建立函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求出極值并判斷時(shí)極大值還是極小值，在求出最大值或最小值，從而證明不等式。

1例3.1證明若p>1，則對(duì)于?0,1?中的任意x有p?1?xp?(1?x)p?1 2

證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)?xp?(1?x)p(0?x?1)

則有f'(x)?pxp?1?p(1?x)p?1?p(xp?1?(1?x)p?1)

令f'(x)?0，可得xp?1?(1?x)p?1，于是有x?1?x，從而求得x?1。由于2

函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?0,1?上連續(xù)，因而在閉區(qū)間?0,1?上有最小值和最大值。

由于函數(shù)f(x)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，沒有不可導(dǎo)點(diǎn)，又函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x?1和2

111p1?)?p?1,f(0)?f(1),區(qū)間端點(diǎn)(x?0和x?1)的函數(shù)值為f()?)p?(1所以2222

1f(x)在?0,1?的最小值為p?1，最大值為1，從而對(duì)于?0,1?中的任意x有2

11?f(x)?1?xp?(1?x)p?1。，既有p?1p?122

4．利用函數(shù)的泰勒展式證明不等式

若函數(shù)f(x)在含有x0的某區(qū)間有定義，并且有直到(n?1)階的各階導(dǎo)數(shù)，又在x0處有n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x0)，則有展式： f'(x0)f''(x0)fn(x0)2(x?x0)?(x?x0)??(x?x0)n?Rn(x)f(x)?f(x0)?1!2!n!

在泰勒公式中，取x0=0,變?yōu)辂溈藙诹止?/p>

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)?Rn(x)1!2!n!

在上述公式中若Rn(x)?0(或?0)則可得

f'(0)f''(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)，1!2!n!

f'(0)f''(0)2fn(0)n(x)?(x)??(x)?；騠(x)?f(0)?1!2!n!

帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式的實(shí)質(zhì)是拉格朗日微分中值定理的深化，他是一個(gè)定量估計(jì)式，該公式在不等式證明和微分不等式證明及較為復(fù)雜的極限計(jì)算中有廣泛的應(yīng)用。

用此公式證明不等式就是要把所證不等式化簡，其中函數(shù)用此公式，在把公式右邊放大或縮小得到所證不等式。

例4.1若函數(shù)f(x)滿足：（1）在區(qū)間?a,b?上有二階導(dǎo)函數(shù)f''(x)，（2）

f'(a)?f'(b)?0，則在區(qū)間?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使

f''(c)?4f(b)?f(a)。2(b?a)

證明：由f(x)在x?a和x?b處的泰勒公式，并利用f'(a)?f'(b)?0，得f(x)?f(a)?f''(?)(x?a)2

2!f''(?)f(x)?f(b)?(x?b)2,于是2!

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(a)??(a???),22!42

a?bf''(?)(b?a)2a?bf()?f(b)??(a???),22!42

f''(?)?f''(?)(b?a)2

相減，得f(b)-f(a)=,24

4f(b)?f(a)1(b?a)2

即?f''(?)?f(?)?,(b?a)224

當(dāng)f''(?)?f''(?)時(shí)，記c??否則記c=?,那么

f''(c)?4f(b)?f(a)(a?b?c)(b?a)2

參 考 文 獻(xiàn)

《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，高等教育出版社，1990.?1?鄭英元，毛羽輝，宋國棟編，?2?趙煥光，林長勝編《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，四川大學(xué)出版社，2006。?3?歐陽光中，姚允龍，周淵編《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，復(fù)旦大學(xué)出版社，2004.?4?華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》上冊(cè)，第三版，高等教育出版社2001.

第五篇：均值不等式的應(yīng)用

均值不等式的應(yīng)用

教學(xué)目標(biāo)：

1.掌握平均不等式的基礎(chǔ)上進(jìn)而掌握極值定理

2.運(yùn)用基本不等式和極值定理熟練地處理一些極值與最值問題 教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用

教學(xué)方法：講練結(jié)合 教

具：多媒體 教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

1.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定義，平均不等式 2.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系----并推廣：調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù) 3.極值定理：積定和最??；和定積最大

注：①極值定理成立的條件：一正二定三相等 ②應(yīng)用時(shí)應(yīng)該注意的問題： 4.練習(xí)：

3①若x?0,求y?1?2x?的最大值.xx2?2x?2②?4?x?1,求的最值.2x?2y2?2?1,求x1?y2的最大值.③x?R,且x?21④ y?x(2?3x)⑤y?1?4x?

5?4x

二、新授：

1.基本應(yīng)用：

掌握用重要不等式求最值的方法，重視運(yùn)用過程中的三個(gè)條件：正數(shù)、相等、常數(shù)

4例1.求函數(shù)y?x?的值域.x(??,?4]或[4,??)

例2.已知x?2y?1,x、y?R?，求x2y的最大值.11x?x?4y31x?2y32)??(2?)?分析：x2y??x?x?4y?（443432721當(dāng)x=4y即x?,y?時(shí)取等號(hào).36例3.設(shè)a,b,x,y?R，且有a2+b2=3,x2+y2=6,求ax+by的最大值.分析：運(yùn)用柯西不等式 2．變形運(yùn)用：

對(duì)于某些復(fù)雜的函數(shù)式，需適當(dāng)變形后，再運(yùn)用重要不等式求最值.?23例4.求y?sinxcos2x(x?(0,))函數(shù)的最大值.29ab例5.已知a,b,x,y?R?且??1，求x?y的最小值.xy分析：此題若能靈活變形，運(yùn)用重要不等式求最值，則能起到事半功倍的效果.解法一：用判別式法----轉(zhuǎn)換為一個(gè)未知數(shù)利用判別式 解法二：換元法----令x?acsc2?,y?bsec2? 解法三：轉(zhuǎn)換為一個(gè)字母利用基本不等式求解

ab解法四：利用x?y=(x?y)?(?)

xy11變形：已知a,b,x,y?R?，且x?2y?1,求u??的最小值.xy3.綜合運(yùn)用：

例6.已知直角三角形的內(nèi)切圓半徑為1，求此三角形面積的最小值.解：略.例7.將一塊邊長為a的正方形鐵皮，剪去四個(gè)角（四個(gè)全等的正方形），作成一個(gè) 無蓋的鐵盒，要使其容積最大，剪去的小正方形的邊長為多少？最大容積是多少？

解：設(shè)剪去的小正方形的邊長為x

a則其容積為V?x(a?2x)2,(0?x?)

2114x?(a?2x)?(a?2x)32a3V??4x?(a?2x)?(a?2x)?[]?

44327aa2a3當(dāng)且僅當(dāng)4x?a?2x即x?時(shí)取“=”即剪去的小邊長為時(shí)，容積為

6627

三、練習(xí)：

66?3x2的最小值，y?2?3x的最小值.xx2.已知a,b滿足ab?a?b?3,求ab的范圍.1.x?0時(shí)求y?3.已知x,y滿足xy?x?y?1，求x?y的最小值.4.已知a2?b2?10，求a+b的范圍.5.已知x?0,y?0,z?0，求(1?x2)(1?y2)(1?z2)?8xyz的解.四、小結(jié)：

五、作業(yè)：

1.若0?x?1, 求y?x4(1?x2)的最大值

2．制作一個(gè)容積為16?m3的圓柱形容器(有底有蓋)，問圓柱底半徑和高各取多少時(shí)，用料最省？（不計(jì)加工時(shí)的損耗及接縫用料）(R?2m,h?4m)

六、板書設(shè)計(jì)：