第一篇：三角形中角平分線形成的角的三個小結(jié)論

三角形中角平分線形成的角的三個小結(jié)論

湖北省黃石市下陸中學(xué)802班 成昌力（14歲）指導(dǎo)教師：陳 勇

學(xué)習(xí)三角形角平分線的知識時,我發(fā)現(xiàn)了三個有趣的結(jié)論，讓大家一起來看看吧！例1 如圖1，已知△ABC的∠B和∠C的平分線BD、CE相交于點O，求證：∠BOC= 90°+∠A。

解：∵BD平分∠ABC

∴∠ABC=2∠ABD=2∠DBC 同理：∠ACB=2∠ACE=2∠ECB.在△BOC中，∠BOC+∠DBC+∠ECB= 180°，∴∠BOC=180°-(∠DBC+∠ECB)

∵在△ABC中, ∠A+∠ABC+∠ACB= 180°, ∴∠ABC+∠ACB =180°-∠A ∴2∠DBC+2∠ECB =180°-∠A

∴∠DBC+∠ECB =90°-∠A

∴∠BOC=180°-(90°-∠A)

即∠BOC= 90°+∠A。

結(jié)論1：在一個三角形中，任意兩個內(nèi)角的角平分線相交形成的鈍角等于90°加上第三個角的一半。

例2 如圖2，已知BO平分∠EBC，CO平分∠FCB，BO、CO相交于點O，探究∠BOC與∠A的關(guān)系。

解：∵BO平分∠EBC

∴∠EBC=2∠CBO=2∠EBO 同理：∠FCB=2∠BCO=2∠FCO 又∵∠ABC+∠EBC=180°

∴∠ABC=180°-∠EBC=180°-2∠CBO 同理：∠ACB=180°-∠FCB=180°-2∠BCO ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°

∴∠A+180°-2∠CBO+180°-2∠BCO =180°

∴∠CBO+∠BCO= 90°+∠A

又∠BOC+∠CBO+∠BCO =180° ∴∠BOC =180°-(∠CBO+∠BCO)

=180°-(90°+∠A)

=90°-∠A

結(jié)論2：三角形兩個外角的角平分線相交形成的角等于90°減去第三個外角對應(yīng)的內(nèi)角的一半。

例3 如圖3，已知△ABC中，BE平分∠ABC,CE平分∠ACD，BE、CE相交于點E，探究∠E與∠A的關(guān)系。

解：∵BE平分∠ABC ∴∠ABC=2∠ABE=2∠EBC 同理：∠ACD=2∠ACE=2∠ECD 又∵∠ACB+∠ACD=180°

∴∠ACB=180°-∠ACD=180°-2∠ACE 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180° ∴∠A+2∠EBC+180°-2∠ACE=180°

∴∠ACE-∠EBC=∠A。①

在△BEC中，∠EBC +∠BCE+∠E=180° ∴∠EBC +∠ACB+∠ACE+∠E =180° 即∠EBC +180°-2∠ACE +∠ACE+∠E =180° ∴∠ACE-∠EBC=∠E.②

由①和②得：∠E=∠A。

結(jié)論3：三角形的一個內(nèi)角的角平分線與另一個內(nèi)角的鄰補角的角平分線相交形成的角等于三角形中的第三個內(nèi)角的一半。

第二篇：全等三角形證明題(含角平分線)

全等三角形證明題匯編

1．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分?DAB,若AB>AD,DC=BC.求證：?B??D?180?.圖2－

12．如圖:已知在?ABC中，AC=BC,?ACB?90?,BD平分?ABC.DE⊥AB。求證：AB＝BC＋CD.圖2－2

3．如圖，在?ABC中，?C?2?B,?1??2,試證明AB=AC+CD.圖2－3

4．如圖，已知在?ABC中，AD平分?BAC，AB+BD=AC.求?B︰?C的值

5．如圖，在?ACB中，D是BC的中點，過D點的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于G點，DE⊥GF交AB于點E，連結(jié)EG.求證：BG=CF.請你判斷BE＋CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.B

圖

3－1 C

G

圖3－2

6．如圖所示，AB?AD,BC?DE,?1??2,求證：(1)AC?AE;(2)?2??CAE.1題

7．如圖所示，CE?AB,BF?AC,BF交CE于D,且BD=CD,求證：點D在?BACB

CA2題

8．如圖所示，已知?1??2,AC?BD.說出?ABC??BAD成立的理由.AB

3題

9．如圖所示，在?ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它們相交于點H，且AE=BE.求證：AH=2BD.4題

10．如圖，?ABC和?ADE都是等腰直角三角形，CE與BD相交于點M,BD交AC于點N，求證：（1）BD=CE；（2）BD?CE.D6題當(dāng)?ABC繞A點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)到（1）（2）（3）位置時，上述結(jié)論是否成立？請說明。

E

EC

C

B

A3

11．如圖所示，已知正方形ABCD中，M為CD的中點，E為MC上一點，且?BAE?2?DAM.求證：AE=BC＋CE.ME

8題

第三篇：《角平分線》測試題

《角平分線》測試題

時間：60分鐘

滿分：100分

一、填空題（每小題3分，共30分）

1．已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分線交于點O，則∠AOC的度數(shù)為

.2．角平分線上的點到_________________距離相等；到一個角的兩邊距離相等的點都在_____________．

3．∠AOB的平分線上一點M，M到

OA的距離為1.5

cm，則M到OB的距離為_________.4．如圖，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，則∠DOC=_________.5．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分線，DE⊥AB于E，且DE=3

cm，BD=5

cm，則BC=_____cm.第7題

第6題

第4題

第5題

6．如圖，CD為Rt△ABC斜邊上的高，∠BAC的平分線分別交CD、CB于點E、F，F(xiàn)G⊥AB，垂足為G，則CF______FG，CE________CF.7．如圖，已知AB、CD相交于點E，∠AEC及∠AED的平分線所在的直線為PQ與MN，則直線MN與PQ的關(guān)系是_________.8．三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到________________相等．

9．點O是△ABC內(nèi)一點，且點O到三邊的距離相等，∠A=60°，則∠BOC的度數(shù)為_____________．

10．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，則D到AB的距離為.二、選擇題（每小題3分，共30分）

11．三角形中到三邊距離相等的點是（）

A、三條邊的垂直平分線的交點

B、三條高的交點

C、三條中線的交點

D、三條角平分線的交點

12．如圖，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，下列結(jié)論錯誤的是（）

A、PD＝PE

B、OD＝OE

C、∠DPO＝∠EPO

D、PD＝OD

13．如圖，直線l1，l2，l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）

A、1處

B、2處

C、3處　　　D、4處

14．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，則△DEB的周長為（）

A、4㎝

B、6㎝

C、10㎝

D、不能確定

第12題

第13題

第14題

15．如圖，MP⊥NP，MQ為△MNP的角平分線，MT＝MP，連接TQ，則下列結(jié)論中不正確的是（）

A、TQ＝PQ　　B、∠MQT＝∠MQP　　C、∠QTN＝90°　　D、∠NQT＝∠MQT

第15題

第16題

第17題

16．如圖在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3

cm，那么AE+DE等于（）

A．2

cm

B．3

cm

C．4

cm

D．5

cm

17．如圖，已知AB=AC，AE=AF，BE與CF交于點D，則對于下列結(jié)論：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分線上．其中正確的是（）

A．①

B．②

C．①和②

D．①②③

第18題

18．如圖，AB=AD，CB=CD，AC、BD相交于點O，則下列結(jié)論正確的是（）

A．OA=OC

B．點O到AB、CD的距離相等

C．∠BDA=∠BDC

D．點O到CB、CD的距離相等

19．△ABC中，∠C=90°，點O為△ABC三條角平分線的交點，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，則點O到三邊AB、AC、BC的距離為（）

A．2cm，2cm，2cm；

B．

3cm，3cm，3cm；

C．

4cm，4cm，4cm；

D．

2cm，3cm，5cm

20．兩個三角形有兩個角對應(yīng)相等，正確說法是（）

A．兩個三角形全等

B．如果還有一角相等，兩三角形就全等

C．兩個三角形一定不全等

D．如果一對等角的角平分線相等，兩三角形全等

三、解答與證明（共30分）

21．（6分）如圖，已知OE、OD分別平分∠AOB和∠BOC，若∠AOB=90°，∠EOD=70°，求∠BOC的度數(shù).22．（6分）如圖，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，求證：D到AB、AC的距離相等.23．（7分）如圖，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于點D，若BD=CD．求證：AD平分∠BAC.24．（7分）如圖，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求證：AE平分∠FAC.25．（7分）如圖，已知AB=AC，AD=AE，DB與CE相交于O.(1)若DB⊥AC于D，CE⊥AB于E，試判斷OE與OD的大小關(guān)系.并證明你的結(jié)論.(2)若沒有第（1）中的條件，是否有這樣的結(jié)論?試說明理由.26．（7分）如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC，求證：AM平分∠DAB.

第四篇：角平分線教案設(shè)計

1.3角平分線的性質(zhì)

一、教材分析：本節(jié)課主要探究角平分線的性質(zhì)與判定，而角平分線的性質(zhì)對學(xué)生后期的三角形的全等起到很重要的作用，學(xué)生可以利用角平分線的性質(zhì)和判定探索問題中的線段的數(shù)量關(guān)系與三角形全等的證明，實現(xiàn)承上啟下的作用。

二、學(xué)情分析：學(xué)生剛剛經(jīng)歷了三角形的全等證明，對證明線段的長度關(guān)系有了探索的方向，本節(jié)課主要通過動手實踐，摸索角平分線的性質(zhì)與判定，再利用三角形全等的證明來求證角平分線的性質(zhì)與判定，進而了解和掌握角平分線的性質(zhì)與判定。

三、教學(xué)目標(biāo)：

?知識技能：了解角平分線的畫法，了解和掌握角平分線的性質(zhì)，理解角平分線的判定。

?數(shù)學(xué)思考：經(jīng)歷角平分線的作法的實踐活動，理解角平分線的性質(zhì)和角平分線的判定。

?問題解決：作角平分線，運用角平分線的性質(zhì)與判定解決實際應(yīng)用中的全等證明。

④情感態(tài)度：在合作探究中體驗數(shù)學(xué)知識來源于生活，在學(xué)習(xí)過中中體驗成功的樂趣，鍛煉克服困難的意志，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。

四、教學(xué)重點與難點：?教學(xué)重點：理解如何作角的平分線（尺規(guī)作圖），角平分線的性質(zhì)及運用。

?教學(xué)難點：作角平分線中注意為什么要大于線段長的一半，由角平分線的性質(zhì)得出角平分線的判定。

五、課時安排：1課時。

六、教學(xué)方法：合作探究法、引導(dǎo)法。

七、教學(xué)過程：

（一）：交流預(yù)習(xí)：預(yù)習(xí)教材P28-29的內(nèi)容，展示收獲。（教師巡視，師友相互交流，將自己的收獲與師傅或?qū)W友分享）

（二）互助探究：探究?角平分線的畫法。

教師用課件展示思考1（教材P48）：師友利用預(yù)習(xí)的知識加以說明，兩組師友展示畫法并說明：

（教師在師傅的講解時突出強調(diào)為什么要大于DE）探究?角平分線上的點到角兩邊的距離的關(guān)系。教師展示課件教材思考2（P28）

師友互助，展示結(jié)果并講解：

（教師補充：這題我們先應(yīng)確定已知條件是什么，求證是什么。）已知：點C在?AOB的角平分線上，,求證：CD=CE.證明：?OC平分?AOB，??DOC??EOC,?CD?OA,CE?OB,??CDO??CEO?90?, 在?DOC與?EOC中，?DOC??EOC(已求)?CDO??CEO(已求)OC?OC（公共邊）

??DOC??EOC（AAS）

?CD?CE

師友共同總結(jié)這一結(jié)論：

角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。

此時讓師友總結(jié)證明幾何命題的步驟：

1、明確命題中的已知和求證；

2、根據(jù)題意畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證；

3、經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程。

探究?角平分線的判定。

公路

鐵路

教師展示課件教材思考3（P49）師友共同探討，教師巡視，加以引導(dǎo)。展示師友比較優(yōu)秀的做法并總結(jié)：

S

角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。

教師引導(dǎo)學(xué)生找出已知條件和求證，并讓師友合作探討，給出證明。選取一組師友的結(jié)果并展示：

已知：如圖，QD?OA,QE?OB,點D、E為垂足，QD?QE,求證：

點Q在?AOB的平分線上。

證明：?QD?OA,QE?OB（已知）

??QDO??QEO?90?(垂直的定義)在Rt?QDO與Rt?QEO中，QO?QO（公共邊）

QD?QE（已知）

?Rt?QDO?Rt?QEO(HL)??QOD??QOE

?點Q在?AOB的平分線上。

教師引導(dǎo)師友總結(jié)：

在角的內(nèi)部到角兩邊相等的點在角的角平分線上。（突出強調(diào)數(shù)學(xué)符號形式）數(shù)學(xué)符號語言表示為：

?QD?OA,QE?OB，QD?QE

? 點Q在?AOB的平分線上

（三）分層提高：教師利用課件展示練習(xí)：

如圖，已知?ABC的外角?CBD的角平分線和?BCE的角平分線相交于點F，求證：點F在?DAE的角平分線上。

學(xué)友在師傅的指導(dǎo)下，師友共同完成本題，教師巡堂，幫助有困難的師友，然后展示較好的作業(yè)。師友作業(yè)展示如下：

證明：過F作FG?AE交AE于點G,FH?AD交AD于點H，F(xiàn)M?BC交BC于點M，?F在?BCE的平分線上，F(xiàn)G?AE，F(xiàn)M?BC，?FG?FM

又?F在?CBD的平分線上，F(xiàn)H?AD，F(xiàn)M?BC，?FM?FH ?FG?FH

?點F在?DAE的角平分線上。

（四）總結(jié)歸納：本節(jié)課你有哪些收獲？你還有什么困惑？通過本次

（五）課的學(xué)習(xí)，你會勾畫知識框圖嗎？你還想學(xué)習(xí)什么內(nèi)容？（師友共同完成，學(xué)友回答，師傅可作補充）

（六）鞏固反饋：（師友合作探討交流）如圖，?ABC的角平分線BM,CN相交于點P，求證：點P到三邊AB,BC,AC的距離相等。

（請兩組師友加以證明，完成過程）

證明：過點P作PD?AB于D,PE?DC于E，PF?AC于F，?BM是?ABC的角平分線，點P在BM上

?PD?PE(角平分線上的點到角的兩邊的距離相等)同理：PE?PF

?PD?PE?PF

即點P到三邊AB,BC,AC的距離相等。

八、布置作業(yè)：?教材P30 ?<能力>本節(jié)同步

? 自編一道證明題，與師傅（或?qū)W友）分享

九、板書設(shè)計：

12.3角平分線的性質(zhì)

1、角平分線的畫法

展示角平分線的畫法

2、角平分線的性質(zhì)

借助角平分線畫法證明

3、角平分線的判定

利用性質(zhì)證明

4、課堂小結(jié)

十、教學(xué)后記：本節(jié)課在設(shè)計上主要是以學(xué)生的學(xué)為主線，用學(xué)代教的方式完成學(xué)習(xí)要求，以師友互助的方式讓學(xué)生在交流與探討的過程中掌握新的知識，運用新的知識，實現(xiàn)高效課堂。

第五篇：角平分線教案設(shè)計

10.5角平分線的性質(zhì)

一、教材分析：本節(jié)課主要探究角平分線的性質(zhì)與判定，而角平分線的性質(zhì)對學(xué)生后期的三角形的全等起到很重要的作用，學(xué)生可以利用角平分線的性質(zhì)和判定探索問題中的線段的數(shù)量關(guān)系與三角形全等的證明，實現(xiàn)承上啟下的作用。

二、學(xué)情分析：學(xué)生剛剛經(jīng)歷了三角形的全等證明，對證明線段的長度關(guān)系有了探索的方向，本節(jié)課主要通過動手實踐，摸索角平分線的性質(zhì)與判定，再利用三角形全等的證明來求證角平分線的性質(zhì)與判定，進而了解和掌握角平分線的性質(zhì)與判定。

三、教學(xué)目標(biāo)：?知識技能：了解角平分線的畫法，了解和掌握角平分線的性質(zhì)，理解角平分線的判定。

?數(shù)學(xué)思考：經(jīng)歷角平分線的作法的實踐活動，理解角平分線的性質(zhì)和角平分線的判定。

?問題解決：作角平分線，運用角平分線的性質(zhì)與判定解決實際應(yīng)用中的全等證明。

④情感態(tài)度：在合作探究中體驗數(shù)學(xué)知識來源于生活，在學(xué)習(xí)過中中體驗成功的樂趣，鍛煉克服困難的意志，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。

三、教學(xué)重點與難點：?教學(xué)重點：理解如何作角的平分線（尺規(guī)作圖），角平分線的性質(zhì)及運用。

?教學(xué)難點：作角平分線中注意為什么要大于線段長的一半，由角平分線的性質(zhì)得出角平分線的判定。

四、課時安排：1課時。

五、教學(xué)方法：合作探究法、引導(dǎo)法。

六、教學(xué)過程：

（一）：交流預(yù)習(xí)：預(yù)習(xí)教材P125--126的內(nèi)容，展示收獲。（教師巡視，師友相互交流，將自己的收獲與師傅或?qū)W友分享）

（二）互助探究： 教師展示課件教材思考

師友互助，展示結(jié)果并講解：

（教師補充：這題我們先應(yīng)確定已知條件是什么，求證是什么。）已知：點C在?AOB的角平分線上，,求證：CD=CE.證明：?OC平分?AOB，??DOC??EOC,?CD?OA,CE?OB,??CDO??CEO?90?, 在?DOC與?EOC中，?DOC??EOC(已求)?CDO??CEO(已求)OC?OC（公共邊）

??DOC??EOC（AAS）

?CD?CE

師友共同總結(jié)這一結(jié)論：

角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。此時讓師友總結(jié)證明幾何命題的步驟：

1、明確命題中的已知和求證；

2、根據(jù)題意畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證；

3、經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程。探究?角平分線的判定。教師展示課件教材思考

師友共同探討，教師巡視，加以引導(dǎo)。展示師友比較優(yōu)秀的做法并總結(jié)：

角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。

教師引導(dǎo)學(xué)生找出已知條件和求證，并讓師友合作探討，給出證明。選取一組師友的結(jié)果并展示：

已知：如圖，QD?OA,QE?OB,點D、E為垂足，QD?QE,求證：

點Q在?AOB的平分線上。

證明：?QD?OA,QE?OB（已知）

??QDO??QEO?90?(垂直的定義)在Rt?QDO與Rt?QEO中，QO?QO（公共邊）

QD?QE（已知）

?Rt?QDO?Rt?QEO(HL)??QOD??QOE

?點Q在?AOB的平分線上。

教師引導(dǎo)師友總結(jié)： 在角的內(nèi)部到角兩邊相等的點在角的角平分線上。（突出強調(diào)數(shù)學(xué)符號形式）數(shù)學(xué)符號語言表示為：

?QD?OA,QE?OB，QD?QE

? 點Q在?AOB的平分線上

（三）分層提高：教師利用課件展示練習(xí)：

如圖，已知?ABC的外角?CBD的角平分線和?BCE的角平分線相交于點F，求證：點F在?DAE的角平分線上。

學(xué)友在師傅的指導(dǎo)下，師友共同完成本題，教師巡堂，幫助有困難的師友，然后展示較好的作業(yè)。師友作業(yè)展示如下：

證明：過F作FG?AE交AE于點G,FH?AD交AD于點H，F(xiàn)M?BC交BC于點M，?F在?BCE的平分線上，F(xiàn)G?AE，F(xiàn)M?BC，?FG?FM

又?F在?CBD的平分線上，F(xiàn)H?AD，F(xiàn)M?BC，?FM?FH ?FG?FH

?點F在?DAE的角平分線上。

（四）總結(jié)歸納：本節(jié)課你有哪些收獲？你還有什么困惑？通過本次課的學(xué)習(xí)，你會勾畫知識框圖嗎？你還想學(xué)習(xí)什么內(nèi)容？（師友共同完成，學(xué)友回答，師傅可作補充）

（五）鞏固反饋：（師友合作探討交流）如圖，?ABC的角平分線BM,CN相交于點P，求證：點P到三邊AB,BC,AC的距離相等。

七、布置作業(yè)：教材P127 八 板書設(shè)計：

10.5角平分線的性質(zhì)

1、角平分線的性質(zhì)

借助角平分線畫法證明

2、角平分線的判定

利用性質(zhì)證明

3、課堂小結(jié)

九、教學(xué)后記：本節(jié)課在設(shè)計上主要是以學(xué)生的學(xué)為主線，用學(xué)代教的方式完成學(xué)習(xí)要求，以師友互助的方式讓學(xué)生在交流與探討的過程中掌握新的知識，運用新的知識，實現(xiàn)高效課堂。