第一篇：角的平分線的性質(zhì)教案

角的平分線的性質(zhì)

教學(xué)目標

1． 掌握角的平分線的性質(zhì)定理和它的逆定理的內(nèi)容、證明及應(yīng)用． 2． 理解原命題和逆命題的概念和關(guān)系，會找一個簡單命題的逆命題． 3． 滲透角平分線是滿足特定條件的點的集合的思想。教學(xué)重點和難點

角平分線的性質(zhì)定理和逆定理的應(yīng)用是重點． 性質(zhì)定理和判定定理的區(qū)別和靈活運用是難點． 教學(xué)過程設(shè)計

一、角平分錢的性質(zhì)定理與判定定理的探求與證明 1，復(fù)習(xí)引入課題．

（1）提問關(guān)于直角三角形全等的判定定理．

（2）讓學(xué)生用量角器畫出圖3－86中的∠AOB的角平分線OC．

2．畫圖探索角平分線的性質(zhì)并證明之．

（1）在圖3－86中，讓學(xué)生在角平分線OC上任取一 點P，并分別作出表示Ｐ點到∠AOB兩邊的距離的線段 PD，PE．

（2）這兩個距離的大小之間有什么關(guān)系？為什么？學(xué)生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知識進行證明，得出定理．

（3）引導(dǎo)學(xué)生敘述角平分線的性質(zhì)定理（定理1），分析定理的條件、結(jié)論，并根據(jù)相應(yīng)圖形寫出表達式．

3．逆向思維探求角平分線的判定定理．

（1）讓學(xué)生將定理1的條件、結(jié)論進行交換，并思考所得命題是否成立？如何證明？請一位同學(xué)敘述證明過程，得出定理2——角平分線的判定定理．

（2）教師隨后強調(diào)定理1與定理2的區(qū)別：已知角平分線用性質(zhì)為定理1，由所給條件判定出角平分線是定理2．

（3）教師指出：直接使用兩個定理不用再證全等，可簡化解題過程． 4．理解角平分線是到角的兩邊距離都相等的點的集合．（1）角平分線上任意一點（運動顯示）到角的兩邊的距離都相等（滲透集合的純粹性）．

（2）在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點（運動顯示）都在這個角的平分線上（而不在其它位置，滲透集合的完備性）．

由此得出結(jié)論：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合．

二、應(yīng)用舉例、變式練習(xí)

練習(xí)1填空：如圖3－86（1）∵OC平分∠AOB，點P在射線OC上，PD⊥OA于D PE⊥OB于E．∴---------（角平分線的性質(zhì)定理）．

（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴ OP平分∠AOB（-------------）

例1已知：如圖3－87（a），ABC的角平分線BD和CE交于F．

（l）求證：F到AB，BC和 AC邊的距離相等；

（2）求證：AF平分∠BAC；

（3）求證：三角形中三條內(nèi)角的平分線交于一點，而且這點到三角形三邊的距離相等；

（4）怎樣找△ABC內(nèi)到三邊距離相等的點？

（5）若將“兩內(nèi)角平分線BD，CE交于F”改為“△ABC的兩個外角平分線BD，CE交于F，如圖3-87（b），那么（1）～（3）題的結(jié)論是否會改變？怎樣找△ABC外到三邊所在直線距離相等的點？共有多少個？

說明：

（1）通過此題達到鞏固角平分線的性質(zhì)定理（第（1）題）和判定定理（第（2）題）的目的．

（2）此題提供了證明“三線共點”的一種常用方法：先確定兩條直線交于某一點，再證明這點在第三條直線上。

（3）引導(dǎo)學(xué)生對題目的條件進行類比聯(lián)想（第（5）題），觀察結(jié)論如何變化，培養(yǎng)發(fā)散思維能力．

練習(xí)2已知△ABC，在△ABC內(nèi)求作一點P，使它到△ABC三邊的距離相等．

練習(xí)3已知：如圖 3－88，在四邊形 ABCD中，AB＝AD，AB⊥BC，AD⊥DC．求證：點 C在∠DAB的平分線上．

例2已知：如圖 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于 C，ED⊥OB于 D．求證：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．

分析：證明第（1）題時，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分線的性質(zhì)定理得到 OC＝OD．這樣處理，可避免證明兩個三角形全等． 練習(xí)4 課本第54頁的練習(xí).說明：訓(xùn)練學(xué)生將生活語言翻譯成數(shù)學(xué)語言的能力．

三、互逆命題，互逆定理的定義及應(yīng)用 1．互逆命題、互逆定理的定義．

教師引導(dǎo)學(xué)生分析角平分線的性質(zhì)，判定定理的題設(shè)、結(jié)論，使學(xué)生看到這兩個命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反，得出互逆命題、互逆定理的定義，并舉出學(xué)過的互逆命題、互逆定理的例子．教師強調(diào)“互逆命題”是兩個命題之間的關(guān)系，其中任何一個做為原命題，那么另一個就是它的逆命題．

2．會找一個命題的逆命題，并判定它是真、假命題．

例3寫出下列命題的逆命題，并判斷（1）～（5）中原命題和它的逆命題是真命題還是假命題：

（1）兩直線平行，同位角相等；

（2）直角三角形的兩銳角互余；

（3）對頂角相等；

（4）全等三角形的對應(yīng)角相等；

（5）如果|x|＝|y|，那么x＝y(tǒng)；

（6）等腰三角形的兩個底角相等；

（7）直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方． 說明：注意逆命題語言的準確描述，例如第（6）題的逆命題不能說成是“兩底角相等的三角形是等腰三角形”．

3．理解互逆命題、互逆定理的有關(guān)結(jié)論．

例4 判斷下列命題是否正確：

（1）錯誤的命題沒有逆命題；

（2）每個命題都有逆命題；

（3）一個真命題的逆命題一定是正確的；

（4）一個假命題的逆命題一定是錯誤的；

（5）每一個定理都一定有逆定理．

通過此題使學(xué)生理解互逆命題的真假性關(guān)系及互逆定理的定義．

四、師生共同小結(jié)

1．角平分線的性質(zhì)定理與判定定理的條件內(nèi)容分別是什么？

2．三角形的角平分線有什么性質(zhì)？怎樣找三角形內(nèi)到三角形三邊距離相等的點？ 3．怎樣找一個命題的逆命題？原命題與逆命題是否同真、同假？

五、作業(yè)

課本第55頁第3，5，6，7，8，9題．

課堂教學(xué)設(shè)計說明

本教學(xué)設(shè)計需2課時完成．

角平分線是符合某種條件的動點的集合，因此，利用教具，投影或計算機演示動點運動的過程和規(guī)律，更能展示知識的形成過程，有利于學(xué)生自己觀察，探索新知識，從中提高興趣，以充分培養(yǎng)能力，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性．

第二篇：角平分線性質(zhì)教案

教學(xué)設(shè)計

一、教學(xué)目標

（一）知識與技能目標

1.掌握作角的平分線和作直線垂線的方法 2.學(xué)握角平分線的性質(zhì)

（二）情感態(tài)度目標

1.在探討做角平分線的方法及角平分線性質(zhì)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的興趣，增強解決問題的信心，獲得解決問題的成功體驗。2.培養(yǎng)學(xué)生團結(jié)合作精神。

教學(xué)重點： 掌握角平分線的尺規(guī)作圖，理解角的平分線的性質(zhì)并能初步運用。教學(xué)難點： 1.對角平分線性質(zhì)定理中點到角兩邊的距離的正確理解； 2.對于性質(zhì)定理的運用。

教學(xué)工具： 多媒體 課件。直尺，圓規(guī)等

二、教學(xué)過程設(shè)計

（一）復(fù)習(xí)引入 1.角平分線的定義。2.點到直線的距離。

學(xué)生思考，回答問題。（設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)已學(xué)知識，為下面研究創(chuàng)造條件。）

（二）設(shè)計活動，引出內(nèi)容 【活動一】

問題 1 ：利用之前學(xué)過的知識，如何確定一個角的角平分線。

問題 2 ：不利用工具，將一張用紙片做的角分成兩個相等的角，你有什么辦法？（對折）學(xué)生活動：學(xué)生用量角器去量，讓一個學(xué)生上講臺用折紙的方法得到角平分線展示給大家。

（設(shè)計意圖：掌握作角的平分線的簡易方法）

假如我們要將紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？那么我們除了使用量角器外，我再給大家介紹另一種儀器——角平分儀（展示課件）如圖，是一個平分角的儀器，其中 AB=AD，BD=DC，將點 A 放在角的頂點，AB 和 AD 沿著角的兩邊放下，沿 AC 畫一條射線 AE，AE 就是這個角的平分線，你能說明它的道理嗎？

（總結(jié)學(xué)生思路——利用三角形全等）

（設(shè)計意圖：訓(xùn)練書寫數(shù)學(xué)語言）

引導(dǎo)學(xué)生觀察這個角分儀，根據(jù)這個角分儀的制作原理，通過小組討論總結(jié)，歸納出作一個已知角角平分線的方法。（分小組完成這項活動，教師可參與到學(xué)生活動中，及時發(fā)現(xiàn)問題，給予啟發(fā)和指導(dǎo)，使講評更具有針對性）

通過小組討論的結(jié)果，讓同學(xué)在黑板上演示作圖過程及復(fù)述畫法，再利用多媒體演示，加深印象，并強調(diào)尺規(guī)的規(guī)范性。討論結(jié)果展示：

作已知角平分線的方法： 已知：∠ AOB ．

求作：∠ AOB 的平分線． 作法：

（1）以 O 為圓心，適當長為半徑作弧，分別交 OA、OB 于 M、N.（2）分別以 M、N 為圓心，大于 MN 的長為半徑作?。畠苫≡凇?AOB 內(nèi)部交于點 C.（3）作射線 OC，射線 OC 即為所求.設(shè)置問題：

1.在上面作法的第二步中，“大于 MN 的長”這個條件改成“小于或等于

MN 的長”不行嗎？

2.第二步中所作的兩弧交點一定在∠ AOB 的內(nèi)部嗎？

（設(shè)計這兩個問題的目的在于加深對角的平分線的作法的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)嚴密性的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。）學(xué)生討論結(jié)果總結(jié)：

1.不行，若改成“小于或等于 MN 的長”，那么所作的兩弧可能沒有交點，所以就找不到角的平分線。

2.若分別以 M、N 為圓心，大于 MN 的長為半徑畫兩弧，兩弧的交點可能在∠ AOB 的內(nèi)部，也可能在∠ AOB 的外部，而我們要找的是∠ AOB 內(nèi)部的交點，? 否則兩弧交點與頂點連線得到的射線就不是∠ AOB 的平分線了。應(yīng)用：平分平角∠ AOB(學(xué)生口述)由平分平角的步驟，得出結(jié)論： 作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過直線上一點作這條直線的垂線的方法。

【活動二】

拿出用紙片做的角 ∠ AOB，在這個角的角平分線上任意取一點 P，過點 P 分別向角的兩邊做垂線，量一量點 P 到將兩邊的垂線段的長有什么關(guān)系？再在這個角平分線上任取 3 個點，也分別向角的兩邊做垂線，看看這些點到角的兩邊的垂線段的長有什么關(guān)系？

學(xué)生動手操作，通過觀察，用尺子測量，得出結(jié)論： 角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

這是從直觀上得出的結(jié)論，從理論上要證明這個結(jié)論。

（設(shè)計意圖：解決實際問題，拓展學(xué)生思維，引導(dǎo)角平分線的性質(zhì)定理總結(jié)，規(guī)律化規(guī)范語言，深化記憶定理）

證一證： 引導(dǎo)學(xué)生證明角平分線的性質(zhì)，分清題設(shè)、結(jié)論，將文字變成符號并加以證明。學(xué)生板眼，挑出問題，糾正問題，得出完整過程。

由此，得到角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。用符號語言表示為： ∵ OP平分∠ AOB PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴ PD=PE 定理的作用：證明線段相等。練習(xí)：判斷正誤，并說明理由：

（1）如圖 1，P 在射線 OC 上，PE ⊥ OA，PF ⊥ OB，則 PE=PF。（2）如圖 2，P 是∠ AOB 的平分線 OC 上的一點，E、F 分別在 OA、OB 上，則 PE=PF。

（3）如圖 3，在∠ AOB 的平分線 OC 上任取一點 P，若 P 到 OA 的距離為 3cm，則 P 到 OB 的距離邊為 3cm。

（三）知識回顧 1.角平分線的畫法

2.角平分線的性質(zhì)：角平分線的點到角兩邊的距離相等

（四）板書設(shè)計

第三篇：教案角的平分線的性質(zhì)

<<角的平分線的性質(zhì)>>教案

王彥坤

一.教學(xué)目標

1、知識與技能

（1）掌握用尺規(guī)作已知角的平分線的方法。（2）理解角的平分線的性質(zhì)并能初步運用。

2、過程與方法

學(xué)生經(jīng)歷觀察演示，動手操作，合作交流，自主探究等過程，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。

3、情感態(tài)度與價值觀

充分利用多媒體教學(xué)優(yōu)勢，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的興趣，增強解決問題的信心，獲得解決問題的成功體驗，激發(fā)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的熱情。

二.學(xué)情分析

剛進入初二的學(xué)生觀察、操作、猜想能力較強，但歸納、運用數(shù)學(xué)的意識和思想比較薄弱，思維的廣闊性、敏捷性、靈活性比較欠缺，需要在課堂教學(xué)中進一步加強引導(dǎo)。

三.重點難點

教學(xué)重點為：掌握角平分線的尺規(guī)作圖，理解角的平分線的性質(zhì)并能初步運用。

難點為：（1）角平分線性質(zhì)定理中，點到角兩邊的距離的正確理解；（2）對于性質(zhì)定理的運用（學(xué)生習(xí)慣找三角形全等的方法解決問題而不注重利用剛學(xué)過的定理來解決，結(jié)果相當于對定理的重復(fù)證明）四.教學(xué)活動

活動1：感悟?qū)嵺`經(jīng)驗，探索作已知角的平分線的方法 問題1：在紙上任意畫一個角，怎樣找到這個角的平分線？ 問題2：用平分角的儀器可以平分一個角，你能說明其中蘊含的道理嗎？

問題3：在畫一個角的平分線時，這個儀器給了你什么啟發(fā)嗎？如何用尺規(guī)作圖的方法，畫已知角的平分線呢？ 活動2：經(jīng)過探究，猜想角的平分線的性質(zhì)

問題1：讓學(xué)生利用尺規(guī)，作任意角∠AOB的平分線OC。

問題2：在角平分線OC上，任意取一點P，過點P畫OA、OB的垂線段，垂足分別為D、E。

動手測量PD、PE的長，并做好記錄。你有什么發(fā)現(xiàn)？

問題 3：在角平分線OC上再任取幾個點試一試，結(jié)論還是一樣的嗎？ 問題4：圖中點P到直線l的距離是什么？那么PD、PE的長可以看作是什么？

問題5：你能大膽提出猜想嗎？

活動3： 經(jīng)過推理，得到角的平分線的性質(zhì)定理 問題1：上面的猜想出的命題一定是真命題嗎？ 問題2：命題中的已知和求證（題設(shè)和結(jié)論）是什么？ 問題3：你能用數(shù)學(xué)語言表達已知和求證嗎？ 問題4：你可以證明這個命題嗎？ 問題5：回憶角的平分線的性質(zhì)定理的證明過程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？

問題6：角的平分線的性質(zhì)定理作用是什么？ 活動4： 運用性質(zhì)定理，解決簡單問題

（一）牛刀小試：

1、判斷正誤，并說明理由：

（1）如圖1，P在射線OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，則PE=PF。

（2）如圖2，P是∠AOB的平分線OC上的一點，E、F分別在OA、OB上，則PE=PF。

（3）如圖3，P在∠AOB的平分線OC上，若P到OA的距離為3cm，則P到OB的距離邊為3cm。

2、如圖在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，AE+DE=_________。

（二）典例分析：

例1：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)。求證：∠B=∠C。

（三）拓展能力：

例2：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P。求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等。

活動5 ：小結(jié)與作業(yè) 小結(jié)：

1、本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？

2、角的平分線的性質(zhì)為我們提供了證明什么的方法？在應(yīng)用此性質(zhì)時應(yīng)注意什么？

作業(yè)：課本51頁第1、2題

活動6【活動】活動6 ：設(shè)置疑問，為下節(jié)課鋪墊

（想一想）如圖，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路的距離與到鐵路的距離相等，并且離公路與鐵路的交叉點的距離為500米。你認為應(yīng)如何找出集貿(mào)市場的位置呢？（在圖上標出它的位置，比例尺為1：20000）

第四篇：角平分線的性質(zhì)教案

《角平分線的性質(zhì)》講學(xué)稿

學(xué)習(xí)目標：

1、通過動手實踐探究角平分線的性質(zhì)

2、熟練應(yīng)用角平分線性質(zhì)

3、會進行文字命題的論證

重點：角平分線性質(zhì)的理解和應(yīng)用

難點：文字命題的論證、角平分線性質(zhì)的應(yīng)用。

一、情境引入：

同學(xué)們，上一節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了用尺規(guī)做一個角平分線的方法。小明同學(xué)準備把一個角的模型紙片得到一個角的平分線，但是粗心的小明忘了帶作圖工具。你能不用作圖工具幫他畫出這個角的平分線嗎？（教師示意自己的模型紙片）

請同學(xué)們拿出準備好的∠AOB模型紙片，自己動手試一試

二、初探新知： 活動一：

學(xué)生活動：先獨立嘗試，再小組合作探索

教師活動：哪位同學(xué)上講臺展示你們組探究的成果？ 學(xué)生活動：學(xué)生展示；

教師點評歸納：對折（提示：用彩筆將折出的角平分線折痕描出來）

三、再探新知： 活動二：

你能在對折后的紙片模型上折出一個直角三角形，使直角三角形的斜邊與角平分線所在射線重合。

學(xué)生活動：折直角三角形。教師活動：（點撥）注意直角三角形的條件：斜邊所在的位置。教師活動：哪位同學(xué)上講臺展示你們組探究的成果？說說你的折法。并說明在折出的直角三角形中哪個角是直角？為什么？ 學(xué)生活動：學(xué)生演示，并說明折法和道理。（重點在直角，說明后面的折痕垂直于角的兩邊）

教師活動：把有得到的兩條折痕用彩筆描出來。

我們把折出的圖形展開，看一看你得到的是怎樣的一個圖形？（1）有一個角∠AOB；

（2）有一條角平分線OC；

（3）在角平分線上取一個點P，想一想，哪兩條線段表示點P到角∠AOB兩邊的距離？（教師板示，在模型上標注字母，畫出垂直符號）PD、PE。（4）根據(jù)剛才大家的動手實踐，你能得到PD與PE有什么數(shù)量關(guān)系嗎？為什么？

先獨立思考，再與同伴交流。

學(xué)生活動：利用折疊過的紙片模型探究。教師活動：（點撥）可以把展開的紙片模型重新折疊起來，比較一下折痕PD、PE。

學(xué)生活動：PD=PE，因為這兩條折痕互相重合。

教師活動：根據(jù)以上的活動，你能得到角平分線的點有什么樣的性質(zhì)？

（學(xué)生歸納有困難，可以點撥：①點P在什么位置？②PD、PE表示什么？③PD、PE有什么數(shù)量關(guān)系？）

先自己用文字語言歸納一下，再與小組的同伴交流，看看你得到的結(jié)論是否和他們一樣。學(xué)生活動：（小組點名回答）角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

活動3：

若P點在運動，且PD⊥OA，PE ⊥OB，則PD與PE的數(shù)量關(guān)系會發(fā)生變化嗎？ 教師活動：（動畫演示）通過動畫說明，點P為∠AOB 的平分線OC上任意一點，PD與PE總保持相等。由此看來同學(xué)們的猜想是正確的。

板書：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。教師活動：這個結(jié)論要用于幾何證明命題推理的依據(jù)，還必須加以證明他的正確性。

ADCPOEB

活動4： 教師活動：（1）在這個命題中，它的題設(shè)、結(jié)論分別是什么？（2）你能畫出它的圖形嗎？

（3）結(jié)合圖形寫出已知、求證。

學(xué)生活動：學(xué)生嘗試，教師點名提問，其他圖形補充。教師活動：教師根據(jù)學(xué)生的回答，板書、畫圖：

已知：如圖∠_____=∠______點P在OC上，____⊥____，____⊥____，垂足分別為點D，E 求證：___________ A教師活動：你能用前面學(xué)過的有關(guān)三角形全等的D方法寫出證明過程嗎？試一試。CP學(xué)生活動：學(xué)生獨立完成，教師巡視點撥。再由一學(xué)生板示證明過程。

OEB

教師活動：

歸納：一般情況下：要證明一個幾何命題時會按類似的步驟進行，即：

1、明確命題中的__________________和________________

2、根據(jù)題意，畫出圖形并用_____________表示_______和________

3、經(jīng)過分析：找出由已知推出_________的途徑，寫出證明過程。教師活動：由此，我們把同學(xué)們發(fā)現(xiàn)的這個結(jié)論作為定理。（補充板書）： 角平分線性質(zhì)定理：________________________________ 教師活動：根據(jù)如圖所示的角平分線的基本圖形，常用的推理形式：

∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE ⊥OB ∴PD=PE

同學(xué)們注意觀察，在推理的條件中，共并列了幾個條件？

四、學(xué)會應(yīng)用：

1、如圖，P為∠AOB平分線上一點，PC⊥AO于點C，PD⊥OB于點D，寫出圖中一組相等的線段。________________________________

2、如圖在△ABC中，∠C=90°，BD為角平分線，AD=2.2cm AC=3.7cm，求點D到AB邊距離.方法小結(jié)：（1）

（2）

注意事項：

3、在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=40cm，BD=到AB的距離？

53CD，求點D方法小結(jié)：

五、再進一步：

在△ABC中，AD為角平分線，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)求證：EB=FC 教師活動：結(jié)合圖形先審題，明確你的證明思路 是否能直接證出結(jié)論？

方法小結(jié)：______________________________________________________

變式訓(xùn)練：如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，點F在AC上，BD＝DF，求證：CF＝BE

C方法引導(dǎo)：圖形中有角平分線的基本圖形嗎？

AEDFB

六、小結(jié)：談?wù)勀惚竟?jié)課的收獲？

七、作業(yè)：課本P23 4題、5題、6題

課后思考：點P在∠AOB平分線上，請你添加一個條件，使PA=PB，并證明。

APOB

第五篇：角平分線的性質(zhì)教案

送教下鄉(xiāng)教案----孔田中學(xué) 12.3 角的平分線的性質(zhì)（2）

陳明盛

一、教學(xué)目標

（一）知識與技能

1.了解角的平分線的判定定理；

2.會利用角的平分線的判定進行證明與計算.（二）過程與方法

在探究角的平分線的判定定理的過程中,進一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識和能力.（三）情感、態(tài)度與價值觀

在探究作角的平分線的判定定理的過程中,培養(yǎng)學(xué)生探究問題的興趣、合作交流的意識、動手操作的能力與探索精神,增強解決問題的信心,獲得解決問題的成功體驗.二、教學(xué)重點、難點

重點：角的平分線的判定定理的證明及應(yīng)用； 難點：角的平分線的判定.三、教法學(xué)法

自主探索,合作交流的學(xué)習(xí)方式.四、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)、回顧

1.角平分線的作法（尺規(guī)作圖）

①以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，交OA、OB于C、D兩點； ②分別以C、D為圓心，大于CD長為半徑畫弧，兩弧交于點P； ③過點P作射線OP，射線OP即為所求．

2.角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等． ①推導(dǎo)

已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一點，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分別為點A、點B．

求證：PA＝PB．

證明：∵PA⊥OM，PB⊥ON

∴∠PAO＝∠PBO＝90° ∵OC平分∠MON ∴∠1＝∠2 在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO ∴PA＝PB

②幾何表達：（角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等）

如圖所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．

（二）合作探究

角平分線的判定：到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上． ①推導(dǎo)

已知：點P是∠MON內(nèi)一點，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB． 求證：點P在∠MON的平分線上．

證明：連結(jié)OP

在Rt△PAO和Rt△PBO中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）∴∠1＝∠2 ∴OP平分∠MON

即點P在∠MON的平分線上．

②幾何表達：（到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．）

如圖所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）【典型例題】

例1.已知：如圖所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′． 求證：（1）∠ABC＝∠ABC′；

（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．

分析：由條件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把點A看作是 ∠CBC′平分線上的點，由此可打開思路．

證明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定義）． 又∵AC＝AC′（已知），∴點A在∠CBC′的角平分線上（到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）．

∴∠ABC＝∠ABC′．

（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）即∠BAC＝∠BAC′，∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′（角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等）．

例2.如圖所示，已知△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，那么AP能否平分∠BAC？請說明理由．由此題你能得到一個什么結(jié)論？

分析：由題中條件可知，本題可以采用角的平分線的性質(zhì)及判定來解答，因此要作出點P到三邊的垂線段．

解：AP平分∠BAC．

結(jié)論：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三邊的距離相等． 理由：過點P分別作BC，AC，AB的垂線，垂足分別是E、F、D． ∵BM是∠ABC的角平分線且點P在BM上，∴PD＝PE（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）． 同理PF＝PE，∴PD＝PF．

∴AP平分∠BAC（到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上）．

（三）鞏固訓(xùn)練

練習(xí)：第2題

（四）小結(jié)

請你說說本屆課的收獲與困惑.（五）作業(yè)

習(xí)題12.3 3、7