第一篇：四年級奧數(shù)雞兔同籠問題

雞兔同籠問題

雞兔同籠問題是按照題目的內(nèi)容涉及到雞與兔而命名的，它是一類有名的中國古算題。許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題，都可以轉(zhuǎn)化為雞兔同籠問題來加以計算。

【例題講解及思維拓展訓(xùn)練題】

例1 小梅數(shù)她家的雞與兔，數(shù)頭有16個，數(shù)腳有44只。問：小梅家的雞與兔各有多少只？

【思維拓展訓(xùn)練一】 1、100個和尚140個饃，大和尚1人分3個饃，小和尚1人分1個饃。問：大、小和尚各有多少人？

2、彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多少套？

例2 雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多少只？

【思維拓展訓(xùn)練二】

學(xué)習(xí)，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。1 / 5

1、現(xiàn)有大、小油瓶共50個，每個大瓶可裝油4千克，每個小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克。問：大、小瓶各有多少個？

2、一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？

例3 樂樂百貨商店委托搬運站運送500只花瓶，雙方商定每只運費0.24元，但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅不給運費，而且還要賠償1.26元，結(jié)果搬運站共得運費115.5元。問：搬運過程中共打破了幾只花瓶？

【思維拓展訓(xùn)練三】

1、小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？

【課堂鞏固訓(xùn)練題】

1．雞、兔共有頭100個，腳350只，雞、兔各有多少只？

學(xué)習(xí)，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。2 / 5

2．學(xué)校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個學(xué)生進(jìn)行活動。問：象棋與跳棋各有多少副？

3．班級購買活頁簿與日記本合計32本，花錢74元。活頁簿每本1.9元，日記本每本3.1元。問：買活頁簿、日記本各幾本？

4．龜、鶴共有100個頭，鶴腿比龜腿多20只。問：龜、鶴各幾只？

5．小蕾花40元錢買了14張賀年卡與明信片。賀年卡每張3元5角，明信片每張2元5角。問：賀年卡、明信片各買了幾張？

學(xué)習(xí)，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。3 / 5

6．一個工人植樹，晴天每天植樹20棵，雨天每天植樹12棵，他接連幾天共植樹112棵，平均每天植樹14棵。問：這幾天中共有幾個雨天？

7．振興小學(xué)六年級舉行數(shù)學(xué)競賽，共有20道試題。做對一題得5分，沒做或做錯一題都要扣3分。小建得了60分，那么他做對了幾道題？

8．有一批水果，用大筐80只可裝運完，用小筐120只也可裝運完。已知每只大筐比每只小筐多裝運20千克，那么這批水果有多少千克？

9．蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀?，F(xiàn)有三種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀。問：每種小蟲各有幾只？

學(xué)習(xí)，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。4 / 5

10．雞、兔共有腳100只，若將雞換成兔，兔換成雞，則共有腳92只。問：雞、兔各幾只？

學(xué)習(xí)，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。/ 5

第二篇：四年級奧數(shù)——雞兔同籠問題

第6講 雞兔同籠問題與假設(shè)法

雞兔同籠問題是按照題目的內(nèi)容涉及到雞與兔而命名的，它是一類有名的中國古算題。許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題，都可以轉(zhuǎn)化為雞兔同籠問題來加以計算。

【例題講解及思維拓展訓(xùn)練題】

例1 小梅數(shù)她家的雞與兔，數(shù)頭有16個，數(shù)腳有44只。問：小梅家的雞與兔各有多少只？

分析：假設(shè)16只都是雞，那么就應(yīng)該有2×16＝32（只）腳，但實際上有44只腳，比假設(shè)的情況多了44-32＝12（只）腳，出現(xiàn)這種情況的原因是把兔當(dāng)作雞了。如果我們以同樣數(shù)量的兔去換同樣數(shù)量的雞，那么每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)增加了2只。因此只要算出12里面有幾個2，就可以求出兔的只數(shù)。

解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有雞16-6＝10（只）。

答：有6只兔，10只雞。

當(dāng)然，我們也可以假設(shè)16只都是兔子，那么就應(yīng)該有4×16＝64（只）腳，但實際上有44只腳，比假設(shè)的情況少了64－44＝20（只）腳，這是因為把雞當(dāng)作兔了。我們以雞去換兔，每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)減少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有幾個2，就可以求出雞的只數(shù)。

有雞（4×16-44）÷（4-2）=10（只），有兔16——10＝6（只）。

由例1看出，解答雞兔同籠問題通常采用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；也可以先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。因此這類問題也叫置換問題。

【思維拓展訓(xùn)練一】 1、100個和尚140個饃，大和尚1人分3個饃，小和尚1人分1個饃。問：大、小和尚各有多少人？ 分析與解：本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得。如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設(shè)法來解。

假設(shè)100人全是大和尚，那么共需饃300個，比實際多300－140＝160（個）?，F(xiàn)在以小和尚去換大和尚，每換一個總?cè)藬?shù)不變，而饃就要減少3——1＝2（個），因為160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有

100－80＝20（人）。

同樣，也可以假設(shè)100人都是小和尚，同學(xué)們不妨自己試試。

在下面的例題中，我們只給出一種假設(shè)方法。

2、彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多少套？

分析與解：我們設(shè)想有一只“怪雞”有1個頭11只腳，一種“怪兔”有1個頭19只腳，它們共有16個頭，280只腳。這樣，就將買文化用品問題轉(zhuǎn)換成雞兔同籠問題了。

假設(shè)買了16套彩色文化用品，則共需19×16＝304（元），比實際多304——280＝24（元），現(xiàn)在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一套少用19——11＝8（元），所以

買普通文化用品 24÷8=3（套），買彩色文化用品 16－3＝13（套）。

學(xué)習(xí)，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。/ 4

例2 雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多少只？

分析：假設(shè)100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數(shù)為零。這樣雞腳比兔腳多200只，而實際上只多20只，這說明假設(shè)的雞腳比兔腳多的數(shù)比實際上多200——20=180（只）。

現(xiàn)在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就會減少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，雞100——30＝70（只）。解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），有雞100——30=70（只）。

答：有雞70只，兔30只。

【思維拓展訓(xùn)練二】

1、現(xiàn)有大、小油瓶共50個，每個大瓶可裝油4千克，每個小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克。問：大、小瓶各有多少個？

分析：本題與例4非常類似，仿照例4的解法即可。解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（個），大瓶有50-30＝20（個）。

答：有大瓶20個，小瓶30個。

2、一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？

分析：要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。

利用假設(shè)法，假設(shè)只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因為每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，所以要剩下4×36=144（噸）。根據(jù)條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9（輛）小卡車。這樣每輛小卡車能裝144÷9＝16（噸）。由此可求出這批鋼材有多少噸。解：4×36÷（45-36）×45＝720（噸）。

答：這批鋼材有720噸。

例3 樂樂百貨商店委托搬運站運送500只花瓶，雙方商定每只運費0.24元，但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅不給運費，而且還要賠償1.26元，結(jié)果搬運站共得運費115.5元。問：搬運過程中共打破了幾只花瓶？

分析：假設(shè)500只花瓶在搬運過程中一只也沒有打破，那么應(yīng)得運費0.24×500=120（元）。實際上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬運站每打破一只花瓶要損失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。

解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。

答：共打破3只花瓶。

【思維拓展訓(xùn)練三】

1、小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？

分析與解：利用假設(shè)法，假設(shè)小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數(shù)減少了

12×（2＋3）＝60（下）。

可求出小樂每分鐘跳

（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），小樂一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小樂共多跳

780——270×2＝240（下）。

學(xué)習(xí)，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。/ 4

【課堂鞏固訓(xùn)練題】

1．雞、兔共有頭100個，腳350只，雞、兔各有多少只？

2．學(xué)校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個學(xué)生進(jìn)行活動。問：象棋與跳棋各有多少副？

3．班級購買活頁簿與日記本合計32本，花錢74元?；铐摬久勘?.9元，日記本每本3.1元。問：買活頁簿、日記本各幾本？

4．龜、鶴共有100個頭，鶴腿比龜腿多20只。問：龜、鶴各幾只？

5．小蕾花40元錢買了14張賀年卡與明信片。賀年卡每張3元5角，明信片每張2元5角。問：賀年卡、明信片各買了幾張？

6．一個工人植樹，晴天每天植樹20棵，雨天每天植樹12棵，他接連幾天共植樹112棵，平均每天植樹14棵。問：這幾天中共有幾個雨天？

學(xué)習(xí)，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。/ 4

7．振興小學(xué)六年級舉行數(shù)學(xué)競賽，共有20道試題。做對一題得5分，沒做或做錯一題都要扣3分。小建得了60分，那么他做對了幾道題？

8．有一批水果，用大筐80只可裝運完，用小筐120只也可裝運完。已知每只大筐比每只小筐多裝運20千克，那么這批水果有多少千克？

9．蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀?，F(xiàn)有三種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀。問：每種小蟲各有幾只？

10．雞、兔共有腳100只，若將雞換成兔，兔換成雞，則共有腳92只。問：雞、兔各幾只？

學(xué)習(xí)，就是努力爭取獲得自然沒有賦予我們的東西。/ 4

第三篇：奧數(shù)四年級雞兔同籠問題

習(xí)題練習(xí)一

1、雞兔同籠，共有頭30個，足86只，求雞兔各有多少只？

2、有20張5元和10元的人民幣，一共是175元，5元和10元的人民幣各有多少張？

3、王老師圓珠筆和鋼筆共買了15枝，圓珠筆每枝1.5元，鋼筆每枝4.5元，共花了49.5元，圓珠筆和鋼筆各買了多少枝？

4、雞兔同籠，雞兔共35個頭，94條腿，問雞兔各多少只？

5、在一個停車場內(nèi)，汽車、摩托車共停了48輛，其中每輛汽車有4個輪子，每輛摩托車有3個輪子，這些車共有172個輪子，停車場內(nèi)有汽車摩托車各多少輛？

6、小剛買回8分郵票和4分郵票共100張，共付出6.8元，問，小剛買回這兩種郵票各多少張？

7、在知識競賽中，有10道判斷題，評分規(guī)定：每答對一道題的兩分，答錯一道題要倒扣一分。小明答了全部題目，但最后只得了14分，他答錯幾題？

8、某運輸隊為超市運送暖瓶500箱，每箱裝有6個暖瓶。已知每10個暖瓶的運費為5元，損壞一個不但不給運費還要賠10元，運后結(jié)算時，運輸隊共得1350元的運費。問損壞了多少暖瓶？

9、雞兔同籠，頭共20個，腳共62只，求雞兔各有幾只？

10、小華買了2元和5元郵票一共34張，用去98元錢。求小華買了2元和5元的郵票各多少張？

11、全班46人去劃船，共乘12只船，其中大船每只坐5人，小船每只坐3人，求大船和小船各有多少只？

12、在一個停車場上，停了汽車和摩托車一共32輛。其中汽車有4個輪子，摩托車有3個輪子，總共有108個輪子，汽車和摩托車各多少輛？

13、紅旗小學(xué)舉行數(shù)學(xué)競賽，共10題，做對一題10分，做錯一題倒扣兩分。小明得了52分，他做錯了幾道題？ 14、100名師生綠化校園，老師每人栽3課，學(xué)生每兩人栽1棵，共栽樹100棵。求老師和同學(xué)各栽樹多少棵？

15、東風(fēng)小學(xué)有3名同學(xué)去參加數(shù)學(xué)競賽，一份試卷共10道題，答對一題得10分，答錯一題不但不得分還要扣去3分，這三名同學(xué)都答了全部題目，小明得74分，小華得22分，小紅得87分，他們?nèi)斯泊饘Χ嗌兕}？

習(xí)題練習(xí)二

1．雞兔同籠，雞兔共35個頭，94條腿，問雞兔各多少只？

2.例題: 雞兔同籠，雞比兔多15只，雞兔共有腳132只，問雞兔各多少只？

3.例題:雞兔同籠，雞兔共40個頭，雞腳比兔腳共多32只，問雞兔各多少只？

4.例題:雞兔同籠，雞比兔多10只，但腳卻比兔子少60只，問雞兔各多少只？

5.雞兔同籠，雞比兔多10只，雞腳比兔腳多10只，問雞兔各多少只？

6.在一個停車場內(nèi)，汽車、摩托車共停了48輛，其中每輛汽車有4個輪子，每輛摩托車有3個輪子，這些車共有172個輪子，停車場內(nèi)有汽車、摩托車各多少輛？

7.張大媽養(yǎng)雞兔共200只，雞兔足數(shù)共560只，求雞兔各有多少只？

8.張大媽家養(yǎng)的雞比兔多13只，兔足比雞足少16只，求雞兔各有多少只？ 9.鶴龜同池，鶴比龜多12只，鶴龜足共72只，求鶴龜各有多少只？

10.小剛買回8分郵票和4分郵票共100張，共付出6.8元，問，小剛買回這兩種郵票個多少張？各付出多少元？

11.東風(fēng)小學(xué)有3名同學(xué)去參加數(shù)學(xué)競賽，一份試卷共10道題，答對一題得10分，答錯一道不但不得分，還要扣去3分，這3名同學(xué)都回答了所有的題目，小明得74分，小華得22分，小紅得87分，他們?nèi)斯泊饘Χ嗌兕}？

12.在知識競賽中，有10道判斷題，評分規(guī)定：每答對一題得2分，答錯一題要倒扣一分。小明同學(xué)雖然答了全部的題目，但最后只得了14分，請問，他答錯了幾題？

13.某運輸隊為超市運送暖瓶500箱，每箱裝有6個暖瓶。已知每10個暖瓶的運費為5元，損壞一個的話不但不給運費還要陪成本10元，運后結(jié)算時，運輸隊共得1350元的運費。問、共損壞了多少只暖瓶？

14.在很久很久以前，傳說有九頭一尾的九頭鳥和九尾一頭的九尾鳥。有一次這兩種鳥棲息在樹林里，一位獵人經(jīng)過此地數(shù)了數(shù)，這兩種鳥頭共268個，尾332個，那么有九頭鳥和九尾鳥各多少只？

15.蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀。現(xiàn)在這三種小蟲16只，共有110條腿和14對翅膀。問，每種小鳥各幾只？

16.螃蟹有10條腿，螳螂有6條腿和1對翅膀，蜻蜓有6條腿和2對翅膀?，F(xiàn)在這三種動物37只，共有250條腿和52對翅膀。每種動物各有多少只？

17.小東媽媽從單位領(lǐng)回獎金400元，其中有2元、5元、10元人民幣共80張，且5元和10元的張數(shù)相等，試問，這三種人民幣各有多少張？

18.小華有1分、2分、5分的硬幣共38枚，合計9角2分，已知1分與2分的硬幣的枚數(shù)相等。這三種硬幣各有多少枚？ 有雞兔同籠，共有38頭，116只腳。雞和兔各多少只？稚兔同籠，上有28頭，下有68只，稚兔幾何？

習(xí)題練習(xí)三

1.班主任張老師帶五年級（2）班50名同學(xué)栽樹，張老師栽5棵，男生每人栽3棵，女生每人栽2棵，總共栽樹120棵，問幾名男生，幾名女生？

2.大油瓶每瓶裝4千克，小油瓶2瓶裝1千克，現(xiàn)有100千克油裝了共60個瓶子。問大小油瓶各多少個？ 3.小毛參加數(shù)學(xué)競賽，共做20道題，得64分，已知做對一道得5分，不做得0分，錯一題扣1分，又知道他做錯的題和沒做的同樣多。問小毛做對幾道題？

4.有蜘蛛，蜻蜓，蟬三種動物共18只，共有腿118條，翅膀20對（蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，2對翅膀；蟬6條腿，1對翅膀），三種動物各幾只？

習(xí)題練習(xí)四

1.龜鶴共有100個頭,350只腳.龜,鶴各多少只

2.學(xué)校有象棋,跳棋共26副,恰好可供120個學(xué)生同時進(jìn)行活動.象棋2人下一副棋,跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有幾副

3.一些2分和5分的硬幣,共值2.99元,其中2分硬幣個數(shù)是5分硬幣個數(shù)的4倍,問5分硬幣有多少個

4.某人領(lǐng)得工資240元,有2元,5元,10元三種人民幣,共50張,其中2元與5元的張數(shù)一樣多.那么2元,5元,10元各有多少張

5.一件工程,甲單獨做12天完成,乙單獨做18天完成,現(xiàn)在甲做了若干天后,再由乙接著單獨做完余下的部分,這樣前后共用了16天.甲先做了多少天

6.摩托車賽全程長281千米,全程被劃分成若干個階段,每一階段中,有的是由一段上坡路(3千米),一段平路(4千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)組成的;有的是由一段上坡路(3千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)組成的.已知摩托車跑完全程后,共跑了25段上坡路.全程中包含這兩種階段各幾段

第四篇：四年級奧數(shù)雞兔同籠問題

雞兔同籠問題

例【1】 雞兔同籠，共有45個頭，146只腳?；\中雞兔各有多少只？

例【2】 盒子里有大、小兩種鋼珠共30個，共重266克，已知大鋼珠每個11克，小鋼珠每個7克。盒中大鋼珠、小鋼珠各有多少個？

例【3】 一個集郵愛好者買了10分和20分的郵票共100張，總值18元8角。這個集郵愛好者買這兩種郵票各多少張？

例【4】 學(xué)校買來3個排球和2個足球，共花去111元。每個足球比每個排球貴3元。每個排球和每個足球各多少元？

例【5】 買2支鋼筆的價錢等于買8支圓珠筆的價錢。如果買3支鋼筆和5支圓珠筆共花17元，問兩種筆每支各多少元？

小結(jié) 解“雞兔同籠問題”的常用方法是“替換法”、“轉(zhuǎn)換法”、“置換法”等。通常把其中一個未知數(shù)暫時當(dāng)作另一個未知數(shù)，然后根據(jù)已知條件進(jìn)行假設(shè)性的運算，直到求出結(jié)果。概括起來，解“雞兔同籠問題”的基本公式是：

雞數(shù)＝（每只兔腳數(shù)×雞兔總數(shù)－實際腳數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)－每只雞的腳數(shù)）兔數(shù)＝雞兔總數(shù)－雞數(shù)

一.練練你的基本功。

1.有雞兔關(guān)在一個籠子里，數(shù)頭共有6個頭，數(shù)腳共有20只，那么雞和兔個有多少只？

2.籠子里有雞和兔，一共有9個頭，26只腳，那么雞和兔個有多少只？

二.試試你的綜合能力

3.有三輪車和摩托車共15輛，數(shù)一數(shù)一共有38個輪子，那么三輪車和摩托車各多少輛？

4.有10分和20分的郵票共30張，總面值5元，兩種郵票各多少張？

5.一只蛐蛐有6條腿，一只蜘蛛8條腿?，F(xiàn)有蜘蛛和蛐蛐共10只。共有68條腿。那么蛐蛐有幾只？蜘蛛有幾只？

練習(xí)：

1、雞、兔共50只，共有教160只。雞、兔各多少只？

2、某學(xué)校舉行數(shù)學(xué)競賽，每做對一題得9分，做錯一題倒扣3分。共有12道題，王剛得了84分。王剛做錯了幾題？

3、某玻璃杯廠要為商場運送1000個玻璃杯，雙方商定每個運費為1元，如果打碎一個，這個不但不給運費，而且要賠償3元。結(jié)果運到目的地后結(jié)算時，玻璃杯廠共得運費920元。求打碎了幾個玻璃杯？

4、學(xué)校買來4個籃球和5個排球，共用了185元。已知1個籃球比1個排球貴8元，那么籃球每個多少元？排球每個多少元？

5、某場球賽賽售出40元、30元、50元的門票共400張，收入15600元。其中40元和50元的張數(shù)相等，每種門票各售出多少張？

6、一批鋼材，用小車裝，要用35輛，用大車裝只用30輛，每輛小車比大車少裝3噸，這批鋼材有多少噸？

7、鶴龜同池，鶴比龜多12只，鶴龜足共72只，求鶴龜個有多少只？

8、有甲、乙、丙三種練習(xí)薄，價錢分別為7角、3角和2角，三種練習(xí)薄一共買了47本，付了21元2角。買乙種練習(xí)薄的本數(shù)是丙種練習(xí)薄的2倍，三種練習(xí)薄個買了多少本？

9、蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀。現(xiàn)有這三種小蟲16只，共有110條腿和14對翅膀。問：每種小蟲各幾只？ 10、1分、2分和5分的硬幣共100枚，價值2元，如果其中2分硬幣的價值比1分硬幣的價值多13分，那么三種硬幣各多少枚？

第五篇：四年級奧數(shù) 雞兔同籠

學(xué)科：奧數(shù)

教學(xué)內(nèi)容：第14講 雞兔同籠問題

知識網(wǎng)絡(luò)

雞兔同籠問題是我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中的一個流傳甚廣的數(shù)學(xué)趣題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各有幾何？翻譯成現(xiàn)代漢語語言為：今有雞兔共居一籠，已知雞頭與兔頭共35個，雞腳與兔腳共94只。問雞、兔各有幾只？這一古老的數(shù)學(xué)問題在現(xiàn)實生活中普遍存在，解法也多種多樣，但一般采用的是假設(shè)法。

在解答應(yīng)用題時，有時要采用“假設(shè)”的思想來分析，以找到解題途徑。用假設(shè)思想解應(yīng)用題，首先要根據(jù)題意去正確地判斷應(yīng)該怎樣假設(shè)，并根據(jù)所做的假設(shè)，注意數(shù)量關(guān)系發(fā)生的變化，從所給的條件與變化了的數(shù)量關(guān)系的比較中做出適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，來找到正確答案。

重點·難點

運用假設(shè)法是求解這類可以轉(zhuǎn)化為雞兔同籠問題的應(yīng)用題的關(guān)鍵。

學(xué)法指導(dǎo)

用假設(shè)法解應(yīng)用題的步驟：一是要根據(jù)題意正確地判斷怎樣“假設(shè)”，二是依據(jù)假設(shè)，按照題目所給的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行推算，所得結(jié)果與題中對應(yīng)的數(shù)量不符時，要能夠正確地運用別的已知量加以調(diào)整，三是進(jìn)而得出正確的答案。

經(jīng)典例題

[例1]一個農(nóng)夫有若干只雞和兔，它們共有50個頭和140只腳，問雞、兔各有多少？

思路剖析

雞兔同籠問題適用的基本方法是假設(shè)法。假設(shè)這籠里全是雞，那么雞腳的總數(shù)應(yīng)為：50×2=100（只），與實際相比較，腳減少的數(shù)為140－100=40（只）。腳減少的原因是每把一只兔當(dāng)作一只雞時，要少4－2=2（只）腳。所以實際的兔數(shù)是40÷（4－2）=20（只），若先假設(shè)的全是雞，則先求出的是兔數(shù)。

解答

☆解法一：

設(shè)全是雞，那么相應(yīng)的雞腳數(shù)：50×2=100（只）與實際相比，腳減少的數(shù)：140－100=40（只）

兔腳與雞腳的差4－2=2（只）

實際兔數(shù)為40÷2=20（只）

那么實際的雞數(shù)：50－20=30（只）

答：有雞30只，有兔20只。

☆解法二：

利用方程求解：

設(shè)農(nóng)夫有雞x只，那么有免（50－x）只。那么雞有腳2×x只，兔有腳4×（50－x）只。

列方程為2×x+4×（5－x）=140

解方程2×x+200－4×x=140

2×x=60 x=30

50－x=50－30=20

則雞有30只，兔有20只。

☆解法三：

（不拘于傳統(tǒng)的解法，讓我們的思維發(fā)散，更具有創(chuàng)造性。）

農(nóng)夫想知道雞、兔分別有多少只，他做了一個有趣的設(shè)想，就是假設(shè)每只兔子又長出一個頭來，把它劈開，變成“一頭兩腳”的兩只“半兔”，半免和雞都有兩只腳，因而共有140÷2=70（只）頭，從而多出了70－50=20（只）頭，這就是兔子的數(shù)目，雞的只數(shù)就是50－20=30（只）。

☆解法四：

兔有4只腳，而雞有2只腳，不過雞有2只翅膀，如果把翅膀也當(dāng)作腳，則雞、兔都有4只腳，于是腳有50×4=200（只），但題中翅膀不算腳，因而有翅膀200－140=60（只），每只雞有兩只翅膀，則雞數(shù)為60÷2=30（只），兔有50－30=20（只）。

☆解法五：

農(nóng)夫驚訝地看到雞、兔們非凡的表演：每只雞都用一只腳站立著，每只兔都用兩只后腿站立起來。這種情況下，地上的總腿數(shù)是原來的一半，即70只腿，雞的腳數(shù)與頭數(shù)相同，而兔的腳數(shù)是頭數(shù)的兩倍，因此從70里減去總的頭數(shù)，剩下來的就是兔的頭數(shù)：70－50=20（只），即有20只兔，那么有雞30只。

☆解法六：

我們還可以想像雞、兔們經(jīng)過專門訓(xùn)練后具有一些“特殊技能”，當(dāng)它們聽到哨音后，雞飛起來，兔立即雙腳站立起來。這時立在地上的應(yīng)該都是兔，它的腳數(shù)：140－50×2=40（只）。因此有免：40÷2=20（只），雞有：50－20=30（只）。

[例2]現(xiàn)有2分和5分的硬幣共40枚，共值125分，問兩種硬幣各多少放？

思路剖析

利用假設(shè)法，假設(shè)40枚硬幣全是2分的，則面值為80分，與實際相比減少了125－80=45（分），是由于把每個5分硬幣少算了5－2=3（分）造成的，則可知有5分硬幣45÷3=15（枚）。

解答

設(shè)全為2分的，則共值2×40=80（分）

與實際相比少125－80=45（分）

由于假設(shè)造成的差值5－2=3（分）

則有5分硬幣45÷3=15（枚），2分硬幣40－15=25（枚）。

答：有5分硬幣15枚，2分硬幣25枚。

點津

由假設(shè)造成的與實際的差值45分，是與把5分硬幣當(dāng)作2分硬幣產(chǎn)生的差值相關(guān)的，而不是僅與5分硬幣有關(guān)。

[例3]某次的小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽，共有20道題，評分標(biāo)準(zhǔn)是：每做對一題得5分，每做錯或不做一題扣3分。小貝貝參加了這次競賽，得了68分，問：小貝貝做對了幾道題？

思路剖析

假設(shè)小貝貝20道題全做對了，他應(yīng)該得20×5=100（分），比實際上多了100－68=32（分），產(chǎn)生這一差異的原因是把做錯或沒做的題也算作做對的了，需要注意的是，做錯或不做一題比做對一題應(yīng)少得5+3=8（分），因此小貝貝做錯或不做的題數(shù)：

32÷8=4（道）。

解答

20－（5×20－68）÷（5+3）

=20－32÷8=20－4

=16（道）

答：小貝貝做對了16道題。

點津

由于做錯和不做的題不但不得分，還要扣掉分?jǐn)?shù)，那么與做對一道題相比，就不是簡單相減的關(guān)系，而應(yīng)該求和得出。類似于零上5℃與零下3℃相差是8℃，而不是2℃。

[例4]農(nóng)場工人上山植樹造林，綠化祖國，晴天時每人每天植樹20棵，雨天時每人每天植樹12棵，工人張寧接連幾天共植樹112棵，平均每天植樹14棵。問：張寧植樹這些天共有幾個雨天？

思路剖析

題目中雖然沒有問張寧工作了幾天，但總共做了多少天是一個關(guān)鍵量，須先求出來。天數(shù)=總量÷平均數(shù)=112÷14=8（天）。要求有多少個雨天，可假設(shè)每天都是晴天，那么應(yīng)植20×8=160（棵），與實際相比，多植160－112=48（棵），是把雨天植樹量當(dāng)作20棵造成的，20－12=8（棵）是實際植樹量與假設(shè)的差值。因此有雨天：48÷8=6（天）。

解答

[20×（112÷14）－112]÷（20－12）

=（160－112）÷8=48÷8

=6（天）

答：張寧植樹這些天總共有6個雨天。

[例5]“和尚分饅頭”題，記載于我國明代《算法統(tǒng)宗》。現(xiàn)代文譯文：大和尚與小和尚共100名，分配100個饅頭，大和尚每位給3個，小和尚3個人給1個，問大、小和尚各有多少人？

思路剖析

假設(shè)都是小和尚。因為小和尚3個人給1個饅頭，分配100個饅頭，應(yīng)該有小和尚3×l00=300（人），比實際多了300－100=200（人）。是由于把大和尚看做小和尚造成的，由于大和尚每位給3個饅頭，相當(dāng)于給9位小和尚的量。由于假設(shè)出現(xiàn)的差值即為9－l=8（人），那么大和尚的人數(shù)220÷8=25（人）。

解答

（3×100－100）÷（3×3－1）

=（300－100）÷8=200÷8

=25（人）

100－25=75（人）

答：大和尚有25人，小和尚有75人。

點津

本題中給出的條件“大和尚每位給3個，小和尚3個人給1個”，無法直接求出大、小和尚在人數(shù)或在饅頭數(shù)上的差值，需通過條件中給出的比例關(guān)系求得。

［例6］四年級某班有學(xué)生68人，為了更好地學(xué)習(xí)，同學(xué)們自愿結(jié)成了14個學(xué)習(xí)小組。這些小組有的3人，有的5人，有的7人。而且3人組與5人組的組數(shù)相同。問三種學(xué)習(xí)小組各有幾組？

思路剖析

前面的例題中，總體中的數(shù)量總是“非此即彼”只有兩種，而本題中出現(xiàn)了3種，似乎有些復(fù)雜。但題目中有個很重要的條件“而且3人組與5人組的組數(shù)相同”，是否可以利用這個條件將此題也轉(zhuǎn)化成我們熟悉的雞兔同籠題呢？我們將“3人組與5人組組數(shù)相同”這個條件，轉(zhuǎn)化為將他們組成4人組，那么組數(shù)應(yīng)為這兩組的組數(shù)和，因為4是3和5的平均數(shù)。

那么分組情況可以看做是兩類：4人組和7人組。假設(shè)都是4人組，那么應(yīng)有人數(shù)：4×14=56（人），與實際人數(shù)的差值：68－56=12（人），由于假設(shè)出現(xiàn)的差值：7－4=3（人），則7人組的組數(shù)：12÷3=4（組）。

解答

（68－4×14）÷（7－4）

=（68－56）÷3=12÷3

=4（組）

那么3人組與5人組的組數(shù)（14－4）÷2=5（組）

答：學(xué)習(xí)小組中3人組和5人組各有5組，7人組有4組。

[例7]有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共18只，共有腿118條，翅膀20對（蜘蛛8條腿，蜻蜓6條腿、兩對翅膀，蟬6條腿、一對翅膀），問蜻蜒有多少只？

思路剖析

依照例6的思路，我們應(yīng)當(dāng)將三種昆蟲分成兩類，從而將題目轉(zhuǎn)化成與雞兔同籠結(jié)構(gòu)相同的題。分析題中的已知條件，找到可以歸成一類的突破口。三種昆蟲有兩種有翅膀，一種沒翅膀，顯然不能按此劃分。三種昆蟲都有腿，而且其中兩種腿數(shù)相同，與例6思路相同，將三種昆蟲按腿數(shù)分成兩類：8腿蟲和6腿蟲。假設(shè)18只昆蟲都是8腿蟲，則有腿8×18=144（條），與實際腿數(shù)的差值144－118=26（條），由于假設(shè)造成的差值8－6=2（條），那么有6腿蟲：26÷2=13（只），知道了6腿蟲的總數(shù)，就可以按翅膀?qū)?shù)再將它們分成兩類：2對翅膀和1對翅膀。則又轉(zhuǎn)化成一道雞兔同籠結(jié)構(gòu)的題目。假設(shè)13只昆蟲都有2對翅膀，則有2×13=26（對），與實際翅膀數(shù)的差值26－20=6（對），由于假設(shè)造成的差值2－1=1（對），那么蟬（一對翅膀）有：6÷1=6（只）。

解答

（8×18－118）÷（8－6）

=（144－118）÷2=26÷2

=13（只）??6腿蟲數(shù)

（2×13－20）÷（2－1）

=（26－20）÷1

=6（只）??1對翅膀蟲數(shù)

13－6=7（只）??2對翅膀蟲數(shù)

答：蜻蜓有7只。

點津

恰當(dāng)?shù)匕讯嘟M事物根據(jù)其特點劃分成兩類，轉(zhuǎn)化成雞兔同籠結(jié)構(gòu)的題目是解題的關(guān)鍵。當(dāng)組數(shù)大于2時，有時需要在同一題中解決多于1次的雞兔同籠結(jié)構(gòu)的題目，才能求得最終結(jié)果。

發(fā)散思維訓(xùn)練

1．動物園里有一群鴕鳥和大象，它們共有36只眼睛和52只腳，問鴕鳥和大象各有多少？

2．養(yǎng)殖場共養(yǎng)雞、兔180只，已知雞腳總數(shù)比兔腳總數(shù)多180只。問養(yǎng)的雞、兔各多少只？

3．學(xué)校有象棋、跳棋共20副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供60個學(xué)生進(jìn)行活動。問象棋與跳棋各有多少副？

4．雞、兔共有腳140只，若將雞換成兔，兔換成雞，則共有腳160只。問原有雞、兔各幾只？

5．老師教同學(xué)們練跳繩，若一次能連續(xù)跳8個，老師獎給同學(xué)4塊巧克力；若跳不夠8個，則退給老師2塊。王芳同學(xué)一共練了10次，得到28塊巧克力。問王芳有幾次沒跳夠8個？

6．有6個謎語，讓50人猜，共猜對了202個。已知每人至少猜對2個，且猜對2個的有5人，猜對4個的有9人，猜對3個和5個的人數(shù)一樣多，那么，6個全猜對的有多少人？

7．現(xiàn)有大、小水桶共50個，每個大桶可裝水6千克，每個小桶可裝水3千克，大桶比小桶總共多裝水30千克。問大、小桶各多少個？

8．小張是車工，平均每天車某種零件50個，每車好一個正品，可為企業(yè)創(chuàng)造財富14元，但車壞一個要損失96元。某天，他為企業(yè)創(chuàng)造了480元的財寶，這一天他車出的正品是多少個？

9．模擬考試已舉行了24次，共出了試題426道，每次出的試題數(shù)不同，或者25題，或者16題，或者20題，那么，其中有25道試題的有多少次？

10．傳說九頭鳥有九頭一尾，九尾鳥有九尾一頭。今有頭510個，尾590個，問：兩種鳥各有多少個？

參考答案

發(fā)散思維訓(xùn)練

1．解：

由于每只動物有兩只眼睛，由題意可知動物園里鴕鳥和大象的總數(shù)為：36÷2=18（只），假設(shè)鴕鳥和大象一樣也有4只腳，那么腳總數(shù)為：18×4=72（只），與實際的差值為：72－52=20（只），由假設(shè)引起的差值：4－2=2（只），則鴕鳥數(shù)：20÷2=10（只），大象數(shù)：18－10=8（頭）。

答：鴕鳥有10只，大象有8頭。

2．解：

假設(shè)180只全是雞，則兔腳數(shù)為0，則雞腳數(shù)比兔腳數(shù)多：2×180=360（只），與實際相比：360－180=180（只），由假設(shè)造成的差值：2+4=6（只）。

那么實際的兔數(shù)是：180÷6=30（只）

雞數(shù)為：180－30=150（只）

答：養(yǎng)的雞為150只，兔為30只。

3．解：

假設(shè)象棋也可供6個人下，則可供6×20=120（人）學(xué)生進(jìn)行活動。與實際相比，120－60=60（人），由假設(shè)造成的差值：6－2=4（人）。

那么實際的象棋數(shù)為60÷4=15（副）

跳棋數(shù)為20－15=5（副）

答：象棋有15副，跳棋有5副。

4．解：

由于雞換成兔，兔換成雞，腳的只數(shù)增加了20只。故原來的兔比雞少20÷2=10（只），減去這10只雞，則雞、兔一樣多，并且共有腳：140－2×10=120（只）。假設(shè)雞、兔各有3只腳（雞、兔腳數(shù)的平均數(shù)），那么雞、兔共有120÷3＝40（只），雞、兔各有40÷2=20（只），實際的雞數(shù)為：

20+10=30（只）。

答：原有雞30只、兔20只。

5．解：

假設(shè)王芳10次都跳夠8個，則應(yīng)得巧克力4×10=40（塊）。與實際相比，40－28=12（塊）。由于跳不夠，不但沒得到巧克力，還要返還2塊。

那么由假設(shè)造成的差值為4+2=6（塊）。王芳沒有跳夠的次數(shù)：12÷6=2（次）。

答：沒跳夠8個的次數(shù)為2次。

6．解：

猜謎情況總共有5種，其中已知猜對2個的有5人、猜對4個的有9人，則猜對3、5、6個的人數(shù)：50－5－9=36（人），共猜對的題數(shù)：202－2×5－4×9＝156（個）。

由于猜對3個和5個的人數(shù)一樣多，可以把他們看作為猜對4個的人。

假設(shè)36個人都猜對了6個，那么共猜對的題數(shù)為6×36＝216（個），與實際相比，216－156=60（個），由假設(shè)造成的差值6－4=2（個），則猜對4個的人數(shù)：60÷2=30（人），那么猜對6個的人數(shù)：36－30=6（人）。

答：有6人全猜對。

7．解：

假設(shè)50個桶都是大桶，則共裝水6×50=300（千克），而此時小桶裝水為0，與實際相比，相差300－30=270（千克）。若將大桶換成小桶，則每換一個，大桶裝的水就減少6千克，小桶裝的水增加3千克，大桶比小桶多裝的重量就減少：6+3=9（千克），那么小桶的個數(shù)：270÷9＝30（個）大桶的個數(shù)：50－30=20（個）

答：大桶有20個，小桶有30個。

8．解：

假設(shè)小張這天車出的零件全部是正品，那么應(yīng)創(chuàng)造的財富為：14×50=700（元），可實際只有480元，其差額是700－480=220（元）。

根據(jù)題意：如果車壞一個零件要減少14+96=110（元），那么車壞零件的個數(shù)：220÷l10＝2（個），零件正品個數(shù)：50－2=48（個）。

答：他車出的正品是48個。

9．解：

假設(shè)24次考試，每次都是16題，則并考了試題16×24=384（題），與實際考題數(shù)相比，426－384=42（題）。而考25題的每次多考25－16=9（題），考20題的每次多考20－16=4（題），這樣有9×A+4×B=42，其中A表示考25題的次數(shù)，B表示考20題的次數(shù)。根據(jù)奇偶性分析，A只能是2。

答：考25題的次數(shù)是2次。

10．解：

尾數(shù)590個大于頭數(shù)510個，說明九尾鳥多于九頭鳥。590－510=80（個），兩種鳥的尾數(shù)差為9－l=8（個），那么九尾鳥比九頭鳥多80÷8=10（只）。除去這10只，剩下九頭鳥與九尾鳥的數(shù)量相等，為（510－10）÷（9+l）=50（只），九尾鳥有50+10=60（只）。

答：九尾鳥有60只，九頭鳥有50只。