第一篇：三角函數(shù)公式表

角函數(shù)（Trigonometric）是數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)中的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們的本質(zhì)是任意角的集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的，其定義域?yàn)檎麄€(gè)實(shí)數(shù)域。另一種定義是在直角三角形中，但并不完全?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無(wú)窮數(shù)列的極限和微分方程的解，將其定義擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系。它包含六種基本函數(shù)：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三角函數(shù)的周期性，它并不具有單值函數(shù)意義上的反函數(shù)。三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有較為重要的應(yīng)用。在物理學(xué)中，三角函數(shù)也是常用的工具。起源

“三角學(xué)”，英文Trigonometry，法文Trigonometrie，德文Trigonometrie，都來(lái)自拉丁文 Trigonometria。現(xiàn)代三角學(xué)一詞最初見(jiàn)于希臘文。最先使用Trigonometry這個(gè)詞的是皮蒂斯楚斯(Bartholomeo Pitiscus,1516-1613)，他在1595年出版一本著作《三角學(xué):解三角學(xué)的簡(jiǎn)明處理》，創(chuàng)造了這個(gè)新詞。它是由τριγωυου(三角學(xué))及μετρει υ(測(cè)量)兩字構(gòu)成的，原意為三角形的測(cè)量，或者說(shuō)解三角形。古希臘文里沒(méi)有這個(gè)字，原因是當(dāng)時(shí)三角學(xué)還沒(méi)有形成一門獨(dú)立的科學(xué)，而是依附于天文學(xué)。因此解三角形構(gòu)成了古代三角學(xué)的實(shí)用基礎(chǔ)。

早期的解三角形是因天文觀測(cè)的需要而引起的。還在很早的時(shí)候，由于墾殖和畜牧的需要，人們就開(kāi)始作長(zhǎng)途遷移；后來(lái)，貿(mào)易的發(fā)展和求知的欲望，又推動(dòng)他們?nèi)ラL(zhǎng)途旅行。在當(dāng)時(shí)，這種遷移和旅行是一種冒險(xiǎn)的行動(dòng)。人們穿越無(wú)邊無(wú)際、荒無(wú)人煙的草地和原始森林，或者經(jīng)水路沿著海岸線作長(zhǎng)途航行，無(wú)論是那種方式，都首先要明確方向。那時(shí)，人們白天拿太陽(yáng)作路標(biāo)，夜里則以星星為指路燈。太陽(yáng)和星星給長(zhǎng)期跋山涉水的商隊(duì)指出了正確的道路，也給那些沿著遙遠(yuǎn)的異域海岸航行的人指出了正確方向。就這樣，最初的以太陽(yáng)和星星為目標(biāo)的天文觀測(cè)，以及為這種觀測(cè)服務(wù)的原始的三角測(cè)量就應(yīng)運(yùn)而生了。因此可以說(shuō)，三角學(xué)是緊密地同天文學(xué)相聯(lián)系而邁出自己發(fā)展史的第一步的同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

倒數(shù)關(guān)系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝

1商的關(guān)系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

平方關(guān)系： sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α

誘導(dǎo)公式

sin（－α）＝－sinα

sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα

sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα

sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα

sin（3π/2－α）＝－cosα sinα

sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα cot（2π－α）＝－cotα

cos（3π/2－α）＝－tan（2π－α）＝－tanα tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanαsin（2kπ＋α）＝sinα

sin（3π/2＋α）＝－

cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（π/2＋α）＝－tanα cot（π＋α）＝cotα

兩角和與差的三角函數(shù)公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ tan（α＋β）＝——————1－tanα ·tanβ

tanα－tanβ tan（α－β）＝——————1＋tanα ·tanβ

半角的正弦、余弦和正切公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α

2tanα tan2α＝—————1－tan2α

三角函數(shù)的和差化積公式

α＋βα－β sinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－—22α＋βα－β

cosα

cot（2kπ＋α）＝cotα

cos（3π/2＋α）＝sinα(其中k∈Z)

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα 萬(wàn)能公式

2tan(α/2)

sinα＝——————1＋tan2(α/2)1－tan2(α/2)cosα＝——————1＋tan2(α/2)2tan(α/2)tanα＝——————1－tan2(α/2)

三角函數(shù) 的降冪公式

三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α＝3sinα－4sin3α cos3α＝4cos3α－3cosα

3tanα－tan3α tan3α＝——————1－3tan2α

三角函數(shù)的積化和差公式

sinα ·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

21sinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—22α＋βα－β cosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—22α＋βα－β cosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－—22

cosα ·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]21

cosα ·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]21

sinα ·sinβ＝－-[cos（α＋β）－cos（α－β）]2

化asinα ±bcosα為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式（輔助角的三角函數(shù)的公式）

目錄

余弦定理 余弦定理性質(zhì) 余弦定理證明余弦定理的作用 其他 余弦定理 余弦定理性質(zhì) 余弦定理證明余弦定理的作用 其他

展開(kāi)

編輯本段余弦定理

余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個(gè)邊求角的問(wèn)題，若對(duì)余弦定理加以變形并適當(dāng)移于其它知識(shí)，則使用起來(lái)更為方便、靈活。

編輯本段余弦定理性質(zhì)

對(duì)于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a，b，c 三角為A，B，C，則滿足性質(zhì)——a^2 = b^2 + c^22·a·c·cosBc^2 = a^2 + b^2c^2)/(2·a·b)cosB =(a^2 + c^2a^2)/(2·b·c)

（物理力學(xué)方面的平行四邊形定則中也會(huì)用到）第一余弦定理（任意三角形射影定理）

設(shè)△ABC的三邊是a、b、c，它們所對(duì)的角分別是A、B、C，則有a=b·cos C+c·cos B，b=c·cos A+a·cos C，c=a·cos B+b·cos A。

編輯本段余弦定理證明平面向量證法

∵如圖，有a+b=c(平行四邊形定則：兩個(gè)鄰邊之間的對(duì)角線代表兩個(gè)鄰邊大小）

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)（以上粗體字符表示向量）又∵Cos(π-θ)=-CosC

∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：這里用到了三角函數(shù)公式）再拆開(kāi)，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC即 CosC=(a^2+b^2-c^2)/2*a*b

同理可證其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。

平面幾何證法

在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所對(duì)的邊為c，∠B所對(duì)的邊為b，∠A所對(duì)的邊為a則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根據(jù)勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2

b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

編輯本段余弦定理的作用

(1)已知三角形的三條邊長(zhǎng)，可求出三個(gè)內(nèi)角；(2)已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊.(3)已知三角形兩邊及其一邊對(duì)角，可求其它的角和第三條邊。(見(jiàn)解三角形公式，推導(dǎo)過(guò)程略。)

判定定理一(兩根判別法)：

若記m(c1,c2)為c的兩值為正根的個(gè)數(shù)，c1為c的表達(dá)式中根號(hào)前取加號(hào)的值，c2為c的表達(dá)式中根號(hào)前取減號(hào)的值

①若m(c1,c2)=2,則有兩解；②若m(c1,c2)=1,則有一解；③若m(c1,c2)=0,則有零解(即無(wú)解)。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此種情況算到第二種情況，即一解。判定定理二(角邊判別法):一當(dāng)a>bsinA時(shí)

①當(dāng)b>a且cosA>0(即A為銳角)時(shí),則有兩解；

②當(dāng)b>a且cosA<=0(即A為直角或鈍角)時(shí),則有零解(即無(wú)解)；③當(dāng)b=a且cosA>0(即A為銳角)時(shí),則有一解；

④當(dāng)b=a且cosA<=0(即A為直角或鈍角)時(shí),則有零解(即無(wú)解)；⑤當(dāng)b

①當(dāng)cosA>0(即A為銳角)時(shí),則有一解；

②當(dāng)cosA<=0(即A為直角或鈍角)時(shí),則有零解(即無(wú)解)；三當(dāng)a

解三角形公式

例如：已知△ABC的三邊之比為5：4：3，求最大的內(nèi)角.解 設(shè)三角形的三邊為a,b,c且a:b:c=5:4:3.由三角形中大邊對(duì)大角可知：∠A為最大的角.由余弦定理cos A=0

所以∠A=90°.再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度,求BC之長(zhǎng).解 由余弦定理可知

BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos A

第二篇：三角函數(shù)變換公式

兩角和公式

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ –cosαsinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)cot(α+β)=(cotαcotβ-1)/(cotβ+cotα)cot(α-β)=(cotαcotβ+1)/(cotβ-cotα)和差化積

sinα+sinβ= 2sin[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]sinα-sinβ= 2cos[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]cosα+cosβ= 2cos[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]tanα+tanβ=sin(α+β)/cosαcosβ

=tan(α+β)(1-tanαtanβ)

tanα-tanβ=sin(α-β)/cosαcosβ

=tan(α-β)/(1+tanαtanβ)

積化和差

sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2 銳角三角函數(shù)公式

正弦：sin α=∠α的對(duì)邊/∠α 的斜邊余弦：cos α=∠α的鄰邊/∠α的斜邊正切：tan α=∠α的對(duì)邊/∠α的鄰邊余切：cot α=∠α的鄰邊/∠α的對(duì)邊 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

tanα= sinα/ cosα ；cotα= cosα/ sinα；secα＝1 /cosα ；cscα＝1/ sinα； 倒數(shù)關(guān)系:

tanα ·cotα＝1sinα ·cscα＝1cosα ·secα＝1商的關(guān)系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα平方關(guān)系：

sin2(α)＋cos2(α)＝11＋tan2(α)＝sec2(α)1＋cot2(α)＝csc2(α)二倍角公式：

正弦sin2α=2sinαcosα

余弦cos2a=cos2(a)-sin2(a)=2Cos2(a)-1

=1-2Sin2(a)

正切tan2α=（2tanα）/（1-tan2(α)）

半角公式

tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)cot(α/2)=sinα/(1-cosα)=(1+cosα)/sinα.sin2(α/2)=(1-cos(α))/2cos2(α/2)=(1+cos(α))/2誘導(dǎo)公式

sin(-α)=-sinαcos(-α)= cosαtan(-α)=-tanαsin(π/2-α)= cosαcos(π/2-α)= sinαsin(π/2+α)= cosαcos(π/2+α)=-sinαsin(π-α)= sinαcos(π-α)=-cosαsin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα 誘導(dǎo)公式記背訣竅：奇變偶不變，符號(hào)看象限 萬(wàn)能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))2]

cosα=[1-(tan(α/2))2]/[1+(tan(α/2))2]tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))2]三倍角公式

sin3θ= 3sinθ-4sin3θ cos3θ=4cos3θ-3cosθ sin3θ=(3sinθ-sin3θ)/4 cos3θ=(3cosθ+cos3θ)/4 一個(gè)特殊公式（sinα+sinβ）*（sinα-sinβ）=sin（α+β）*sin（α-β）證明：（sinα+sinβ）*（sinα-sinβ）=2 sin[(α+β)/2] cos[(α-β)/2] *2 cos[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]=sin（α+β）*sin（α-β）其它公式

(1)(sinα)2+(cosα)2=1(2)1+(tanα)2=(secα)2(3)1+(cotα)2=(cscα)2

(4)對(duì)于任意非直角三角形,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

證:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得證同樣可以得證,當(dāng)x+y+z=nπ(n∈Z)時(shí),該關(guān)系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)cos2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcosBcosC(8)sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC

第三篇：高中數(shù)學(xué)--三角函數(shù)公式doc

高中數(shù)學(xué)—三角函數(shù)公式大全

銳角三角函數(shù)公式

sin α=∠α的對(duì)邊 / 斜邊

cos α=∠α的鄰邊 / 斜邊

tan α=∠α的對(duì)邊 / ∠α的鄰邊

cot α=∠α的鄰邊 / ∠α的對(duì)邊

倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A））三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推導(dǎo)

sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

輔助角公式

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B降冪公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

推導(dǎo)公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina

成都家教濟(jì)南家教

=3sina-4sin³a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa

=4cos³a-3cosa

sin3a=3sina-4sin³a

=4sina(3/4-sin²a)

=4sina[(√3/2)²-sin²a]

=4sina(sin²60°-sin²a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos³a-3cosa

=4cosa(cos²a-3/4)

=4cosa[cos²a-(√3/2)²]

=4cosa(cos²a-cos²30°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述兩式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

半角公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

三角和

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

兩角和差

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

和差化積

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ =-2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

積化和差

sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2

cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2

誘導(dǎo)公式

sin(-α)=-sinα

cos(-α)= cosα

tan(—a)=-tanα

sin(π/2-α)= cosα

cos(π/2-α)= sinα

sin(π/2+α)= cosα

cos(π/2+α)=-sinα

sin(π-α)= sinα

cos(π-α)=-cosα

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tanA= sinA/cosA

tan（π/2＋α）＝－cotα

tan（π/2－α）＝cotα

tan（π－α）＝－tanα

tan（π＋α）＝tanα

誘導(dǎo)公式記背訣竅：奇變偶不變，符號(hào)看象限

萬(wàn)能公式

sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］

cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］

tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］

其它公式

(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

(2)1+(tanα)^2=(secα)^2

(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sinα)^2,第二個(gè)除(cosα)^2即可

(4)對(duì)于任意非直角三角形,總有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

證:

A+B=π-C

tan(A+B)=tan(π-C)

(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得證

同樣可以得證,當(dāng)x+y+z=nπ(n∈Z)時(shí),該關(guān)系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC

(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC

(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

第四篇：高中數(shù)學(xué)-三角函數(shù)公式

兩角和公式

sin(A+B)= sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)= sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)= cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)= cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)倍角公式

tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A)Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A=2Cos^2 A—1=1—2sin^2 A 三倍角公式

sin3A = 3sinA-4(sinA)^3;cos3A = 4(cosA)^3-3cosA

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)半角公式

sin(A/2)= √{(1--cosA)/2}cos(A/2)= √{(1+cosA)/2}

tan(A/2)= √{(1--cosA)/(1+cosA)}

tan(A/2)=(1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)和差化積

sin(a)+sin(b)= 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sin(a)-sin(b)= 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]cos(a)+cos(b)= 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cos(a)-cos(b)=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 積化和差

sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]cos(a)cos(b)= 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]sin(a)cos(b)= 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b)= 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)] 誘導(dǎo)公式

sin(-a)=-sin(a)cos(-a)= cos(a)sin(π/2-a)= cos(a)cos(π/2-a)= sin(a)sin(π/2+a)= cos(a)cos(π/2+a)=-sin(a)sin(π-a)= sin(a)cos(π-a)=-cos(a)sin(π+a)=-sin(a)cos(π+a)=-cos(a)tanA = sinA/cosA 萬(wàn)能公式

sin(a)= [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]^2}

cos(a)= {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]^2} tan(a)= [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}

其它公式

a·sin(a)+b·cos(a)= [√(a^2+b^2)]*sin(a+c)[其中，tan(c)=b/a]a·sin(a)-b·cos(a)= [√(a^2+b^2)]*cos(a-c)[其中，tan(c)=a/b]

1+sin(a)= [sin(a/2)+cos(a/2)]^2;1-sin(a)= [sin(a/2)-cos(a/2)]^2;;公式一：

設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：

sin（2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanα公式二：

設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π＋α）=-sinαcos（π＋α）=-cosαtan（π＋α）= tanα公式三：

任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（-α）=-sinαcos（-α）= cosαtan（-α）=-tanα公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）=-cosαtan（π-α）=-tanα公式五：

利用公式-和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2π-α）=-sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）=-tanα公式六：

π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）=-sinαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαsin（3π/2+α）=-cosαcos（3π/2+α）= sinαsin（3π/2-α）=-cosαcos（3π/2-α）=-sinα

第五篇：三角函數(shù)公式及證明

三角函數(shù)公式及證明

（本文由hahacjh@qq.com 編輯整理 2013.5.3）

基本定義

1.任意角的三角函數(shù)值：

在此單位圓中，弧AB的長(zhǎng)度等于?；

B點(diǎn)的橫坐標(biāo)x?cos?，縱坐標(biāo)y?sin? ；

（由 三角形OBC面積<弧形OAB的面積<三角形OMA的面積 可得：

sin??a?tana（0????2））

2.正切：

tan??sin?cos?

基本定理

1.勾股定理： sin2??cos2??1 1.正弦定理：asinA2=2bsinB2=

csinC= 2R（R為三角形外接圓半徑）

A2.余弦定理：a=b+c-2bccos3.誘導(dǎo)公試:

?cosA?b?c?a2bc222

?2k??

sin?costan?cot

奇變偶不變，符號(hào)看相線

4.正余弦和差公式: ①sin(?②cos(?

??)?sin?cos??cos?sin???)?cos?cos??sin?sin?

推導(dǎo)結(jié)論

1.基本結(jié)論

(sin??cos?)22?1?sin2?1cos?2

tan??1?

2.正切和差公式：

tan(???)??sin(???)?sin?cos??cos?sin???????

cos(???)?cos?cos??sin?sin??tan??tan?1?tan?tan?

3.二倍角公式（包含萬(wàn)能公式）：

2sin?cos??2tan??sin2??2sin?cos?????222?sin??cos??1?tan?2222

?1?tan2????1?tan2???cos2??sin2?cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin????sin2??cos2??tan2??sin2?cos2??2tan?1?tan?2

sin??221?cos2?21?cos2?2?tan?1?tan?22

cos??

4.半角公式：（符號(hào)的選擇由

?2所在的象限確定）sin?2??1?cos?21?cos?21?cos?1?cos? sin2?2?1?cos?21?cos?2 1?cos? 1?cos??2sin2?2 cos?2?? cos2?2??2cos2?2tan?2??sin?cossin?cos?2?cos?cos?sin?sin???2?1?cos??sin?22?2sin?1?cos??2

?2?2

1?sin??(cos?2?sin?2)2?cos?2?sin?2

5.積化和差公式：

sin?cos??121?sin(???)?sin(???)?cos?sin??12?sin(???)?sin(???)?cos?cos??2?cos(???)?cos(???)? sin?sin???12?cos(???)?cos??????

6.和差化積公式：

①sin?③cos? ?sin??2sin???2cos???22 ②sin? ④cos??sin??2cos???22sin???22 ?cos??2cos???2cos????cos???2sin???sin???7.三角形面積公式

S⊿=a?ha=absinC=bcsinA=acsin=2abc4R2221111B

sinAsinBsinC=2R2 =asinBsinC2sinA2=bsinAsinC2sinB2=

csinAsinB2sinC2

=pr =p(p?a)(p?b)(p?c)(海倫公式，證明見(jiàn)下文)(其中p? 12(a?b?c), r為三角形內(nèi)切圓半徑)定理結(jié)論的證明

1.勾股定理的證明：

本證明選自《幾何原本》(歐幾里得)第I卷 命題47.2.正弦定理的證明：

做三角形外接圓進(jìn)行證明；需利用結(jié)論同弧所對(duì)的圓周角相等，及直徑所對(duì)圓周角為直角；

同弧所對(duì)圓周角相等的證明：

本證明選自《幾何原本》(歐幾里得)第III卷 命題20.直徑所對(duì)圓周角為直角的證明：

本證明選自《幾何原本》(歐幾里得)第III卷 命題31.3.余弦定理的證明：

本證明選自《幾何原本》(歐幾里得)第II卷 命題12,13.4.誘導(dǎo)公式的證明：

同理可證

sin(cos(3?23?2??)?sin(????)?cos(???2??)??sin(?2??)??cos???)?sin?

?2??)??cos(?2本證明選自人教版高中數(shù)學(xué)教材.5.正余弦和差公式的證明:

sin(???)?sin(??(??))可得sin(???)的結(jié)論

本證明選自人教版高中數(shù)學(xué)教材.5.海倫公式的證明:

本證明選自 http://wenku.baidu.com/view/78e82de50975f46527d3e182.html