第一篇：2010三角函數(shù)與不等式證明(教師)

遼寧卷（17）（本小題滿分12分）

在△ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊，且

2asinA?(2a?c)sinB?(2c?b)sinC.（Ⅰ）求A的大??；

（Ⅱ）求sinB?sinC的最大值.（24）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 已知a,b,c均為正數(shù)，證明：a2?b2?c2?(等號(hào)成立。

1a?1b?1c并確定a,b,c為何值時(shí)，)?63，2全國卷

(17)(本小題滿分10分)(注意：在試題卷上作答無效)．．．．．．．．．．．．已知VABC的內(nèi)角A，B及其對(duì)邊ab，滿a?b?acotA?bcotB，求內(nèi)角C． 安徽卷

16、（本小題滿分12分）

設(shè)?ABC是銳角三角形，a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊長，并且

sinA?sin(2?

3?B)sin(?

3?B)? sinB。

2(Ⅰ)求角A的值；

????????(Ⅱ)

若AB?AC?12,a?b,c（其中b?c）。北京卷（15）（本小題共13分）

2已知函數(shù)f(x)?2cos2x?sinx?4cosx。（Ⅰ）求f?(?

3)的值；

（Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值。

（15）當(dāng)cosx??1時(shí)，f(x)取最大值6；當(dāng)cosx?2

3時(shí)，f(x)取最小值?7

3天津卷（17）（本小題滿分12分）

2已知函數(shù)f(x)?xcosx?2cosx?1(x?R)

（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間?0,?

???上的最大值和最小值； ?2?

（Ⅱ）若f(x0)?

????,x0??,?，求cos2x0的值。5?42?6

（1）解：由f(x)?xcosx?2cos2x?1，得

f(x)?

sinxcosx)?(2cosx?1)?

2x?cos2x?2sin(2x?

?

6)

所以函數(shù)f(x)的最小正周期為?

??

因?yàn)閒(x)?2sin?2x?

??

6?

?在區(qū)間?0,?

?

??

6??

上為增函數(shù)，在區(qū)間

????

上為減函數(shù)，又

?6,2???

?????????

f(0)?1,f???2,f????1，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間?0,?上的最大值為2，最小值

?6??2??2?

為-1

（Ⅱ）解：由（1）可知f(x0)?2sin?2x0?

?

5?

??

?

6?

又因?yàn)閒(x0)?，所以sin?2x0?

?

?

????

6?5

??2?7??????

由x0??,?，得2x0???,?6?36??42?

??4?從而cos?2x0?????

6?5?所以

????????

cos2x0?cos??2x0?????cos?2x0?

6?6?6???

????

cos?sin2x???0

66???3??

sin??

610?

重慶卷（16）（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問7分，（Ⅱ）小問6分.）

設(shè)函數(shù)f(x)?cos(x?

3?)?2cos

x2,x?R.（Ⅰ）求f(x)的值域；（Ⅱ）記?ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長分別為a、b、c，若

f(B)?1,b?1,c?3，求a的值.解：（Ⅰ）f(x)?cosxcos

3??sinxsin

3232

??cosx?

1??cosx?sinx?cosx?1

?

cosx?

sinx?1

?sin(x??)?1，因此f(x)的值域?yàn)閇0,2].56

（Ⅱ）由f(B)?1得sin(B?

故B?

?

6?)?1?1，即sin(B?

?)?0，又因0?B??，.江蘇卷

13、在銳角三角形ABC，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，tanCtanA

?tanCtanB

ba?ab

?6cosC，則。

[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。一題多解。（方法一）考慮已知條件和所求結(jié)論對(duì)于角A、B和邊a、b具有輪換性。當(dāng)A=B或a=b時(shí)滿足題意，此時(shí)有：cosC?

1tanb

ab

tanCtanA

tanCtanB

13，tan

C2

?

1?cosC1?

cosC

?

12，tan

C2

?，tanA?tanB?

C2

??= 4。

?

a

?6cosC?6abcosC?a?b，6ab?

a?b?c

2ab

222

?a?b,a?b?

2222

3c2

tanCtanA

?

tanCtanB

?

sinCcosC

?

cosBsinA?sinBcosA

sinAsinB1

c

sinCsin(A?B)1sinC

????

cosCsinAsinBcosCsinAsinB

c

由正弦定理，得：上式=?

????4 2

1213ccosCab2(a?b)?662

c

第二篇：二次不等式與不等式證明

班別_________姓名______________ 學(xué)號(hào)_________

1.不等式:x?1

x?4?0的解集為_________________.2.不等式

x?12x?2?1的解集是_________________.3.不等式2x?1

?1

?的解集為_________________.4.已知函數(shù)f(x)???x?2,x?0

??x?2,x?0

則不等式f(x)?x2的解集為_________________.5．關(guān)于x的不等式x－m

x＋1<0的解集為M，若0∈M，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________________.6.已知關(guān)于的不等式ax?1x?1?0的解集是(??,?1)?(?1,??).則a?________________.7．若函數(shù)y＝kx－6kx＋k＋8?的定義域?yàn)镽，則k的取值范圍是_________________.8．若關(guān)于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集為R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ________________.9.當(dāng)x?(1,2)時(shí)，不等式x2?mx?4?0恒成立，則的取值范圍是________________.10．已知不等式①x2－4x＋3<0和②x2－6x＋8<0及③2x2－9x＋m<0，若同時(shí)滿足①②的x也滿足 ③，則m的取值范圍是________________.11．已知不等式ax2

＋bx＋c>0的解集為{x|2

＋bx＋a<0的解集為____________．

12．已知關(guān)于x的不等式ax－5

x－a的解集為M.若3∈M且5?M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

________________.13．函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中mn>012

m＋n

________________.14．已知關(guān)于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的取值范圍；(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求m的取值范圍．

15．(1)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－30恒成立，求a的取值范圍．

16.設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a?b?c?1,證明:(1)ab?bc?ac?1a2b2c2

;(2)???1.

第三篇：基本不等式與不等式基本證明

課時(shí)九 基本不等式與不等式基本證明

第一部分：基本不等式變形技巧的應(yīng)用

基本不等式在求解最值、值域等方面有著重要的應(yīng)用，利用基本不等式時(shí)，關(guān)鍵在對(duì)已知條件的靈活變形，使問題出現(xiàn)積（或和）為定值，以便解決問題，現(xiàn)就常用技巧給以歸納。

技巧一：加減常數(shù)

例

1、求函數(shù)y?x?

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)各項(xiàng)符號(hào)不確定時(shí)，必須分類討論，要保證代數(shù)式中的各項(xiàng)均為正。

技巧二：巧變常數(shù)

例

2、已知0?x?

點(diǎn)評(píng)：形如f(x)?x(1?ax)或f(x)?x2(1?ax2)等可有兩種變形方法：一是巧乘常數(shù)；二是巧提常數(shù)，應(yīng)用時(shí)要注意活用。

技巧

三、分離常數(shù)

例

3、已知x?

5452121x?1(x?1)的值域。，求函數(shù)y＝x（1－2x）的最大值。，則f(x)?x?3x?32x?4542有（）32A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值

32點(diǎn)評(píng)：通過加減常數(shù)，分離出一個(gè)常數(shù)是分式函數(shù)求值域常用的方法，這里一定要加減好“常數(shù)”，以利于問題的解決。

技巧

四、活用常數(shù)

例

4、若x,y?R且滿足

點(diǎn)評(píng)：通過配湊“1”并進(jìn)行“1”的代換，整理后得到基本不等式的形式，減少了使用基本不等式的次數(shù)，有效地避免了等號(hào)不能同時(shí)取到的麻煩。

技巧

五、統(tǒng)一形式

?例

5、已知a,b,c?R，求(a?b?c)(?4x?16y?1，求x＋y的最小值。1

a?b?1

c)的最小值。

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)分母的特點(diǎn)，進(jìn)行結(jié)構(gòu)調(diào)整為統(tǒng)一的形式，這樣便能快速求解。含有根號(hào)的問題也要注意形式的統(tǒng)一（如求函數(shù)y?x?x2(0?x?1)可變形為y?第二部分：均值定理證明不等式的方法技巧

。x(1?x)等）

1．輪換對(duì)稱型

例1 若a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù)，求

證：a?b?c

222

?ab?bc?ac.點(diǎn)評(píng)：分段應(yīng)用基本等式，然后整體相加(乘)得結(jié)論，是證明輪換對(duì)稱不等式的常用技

巧。

2．利用“1”的代換型

111?

已知a,b,c?R,且 a?b?c?1,求證 ???9.abc例2

點(diǎn)評(píng)：做“1”的代換。

.3.逆向運(yùn)用公式型

a,b?R,a?b?1求證： a?

?

?b?

?2.例3已知

點(diǎn)評(píng)：依據(jù)求證式的結(jié)構(gòu)，湊出常數(shù)因子，是解決此類問題的關(guān)鍵。為脫去左邊的根號(hào)，a?

12,b?

將

1?1???

轉(zhuǎn)換成 1??a??,1??b??,然后逆向運(yùn)22?2???

用均值不等式： 若

a,b?R則 ab?

?

a?b2

.4．挖掘隱含條件證明不等式

1??1?1??

a,b?R,a?b?1求證：?1???1???.a??b?9 ?例4 已知

?a,b?R?,a?b?1

1??2

?ab?說明a,b?R,a?b?1的背后隱含??a?b?

4??ab??

?2?點(diǎn)評(píng):由于?

著一個(gè)不等式ab?

.5．用均值不等式的變式形式證明不等式

a?b?例5已知a,b,c?R,求證：

?

b?c

?c?a

?

2?a?b?c?.點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵在于對(duì)a?b,b?c,c?a的處理，如果能找出

a?b與a?b間的關(guān)系，問題就可以

222222

解決，注意到

?

a?b?2ab?2a?b

?

??

?a?b?2

?2a?b

?a?b ?其中a,b,c?R?即可。解題時(shí)要注意a

?b?2ab的a?b

變式應(yīng)用。常用

?

a?b2

(其中a,b?R)來解決有關(guān)根式不等式的問題.?

第四篇：三角函數(shù)公式及證明

三角函數(shù)公式及證明

（本文由hahacjh@qq.com 編輯整理 2013.5.3）

基本定義

1.任意角的三角函數(shù)值：

在此單位圓中，弧AB的長度等于?；

B點(diǎn)的橫坐標(biāo)x?cos?，縱坐標(biāo)y?sin? ；

（由 三角形OBC面積<弧形OAB的面積<三角形OMA的面積 可得：

sin??a?tana（0????2））

2.正切：

tan??sin?cos?

基本定理

1.勾股定理： sin2??cos2??1 1.正弦定理：asinA2=2bsinB2=

csinC= 2R（R為三角形外接圓半徑）

A2.余弦定理：a=b+c-2bccos3.誘導(dǎo)公試:

?cosA?b?c?a2bc222

?2k??

sin?costan?cot

奇變偶不變，符號(hào)看相線

4.正余弦和差公式: ①sin(?②cos(?

??)?sin?cos??cos?sin???)?cos?cos??sin?sin?

推導(dǎo)結(jié)論

1.基本結(jié)論

(sin??cos?)22?1?sin2?1cos?2

tan??1?

2.正切和差公式：

tan(???)??sin(???)?sin?cos??cos?sin???????

cos(???)?cos?cos??sin?sin??tan??tan?1?tan?tan?

3.二倍角公式（包含萬能公式）：

2sin?cos??2tan??sin2??2sin?cos?????222?sin??cos??1?tan?2222

?1?tan2????1?tan2???cos2??sin2?cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin????sin2??cos2??tan2??sin2?cos2??2tan?1?tan?2

sin??221?cos2?21?cos2?2?tan?1?tan?22

cos??

4.半角公式：（符號(hào)的選擇由

?2所在的象限確定）sin?2??1?cos?21?cos?21?cos?1?cos? sin2?2?1?cos?21?cos?2 1?cos? 1?cos??2sin2?2 cos?2?? cos2?2??2cos2?2tan?2??sin?cossin?cos?2?cos?cos?sin?sin???2?1?cos??sin?22?2sin?1?cos??2

?2?2

1?sin??(cos?2?sin?2)2?cos?2?sin?2

5.積化和差公式：

sin?cos??121?sin(???)?sin(???)?cos?sin??12?sin(???)?sin(???)?cos?cos??2?cos(???)?cos(???)? sin?sin???12?cos(???)?cos??????

6.和差化積公式：

①sin?③cos? ?sin??2sin???2cos???22 ②sin? ④cos??sin??2cos???22sin???22 ?cos??2cos???2cos????cos???2sin???sin???7.三角形面積公式

S⊿=a?ha=absinC=bcsinA=acsin=2abc4R2221111B

sinAsinBsinC=2R2 =asinBsinC2sinA2=bsinAsinC2sinB2=

csinAsinB2sinC2

=pr =p(p?a)(p?b)(p?c)(海倫公式，證明見下文)(其中p? 12(a?b?c), r為三角形內(nèi)切圓半徑)定理結(jié)論的證明

1.勾股定理的證明：

本證明選自《幾何原本》(歐幾里得)第I卷 命題47.2.正弦定理的證明：

做三角形外接圓進(jìn)行證明；需利用結(jié)論同弧所對(duì)的圓周角相等，及直徑所對(duì)圓周角為直角；

同弧所對(duì)圓周角相等的證明：

本證明選自《幾何原本》(歐幾里得)第III卷 命題20.直徑所對(duì)圓周角為直角的證明：

本證明選自《幾何原本》(歐幾里得)第III卷 命題31.3.余弦定理的證明：

本證明選自《幾何原本》(歐幾里得)第II卷 命題12,13.4.誘導(dǎo)公式的證明：

同理可證

sin(cos(3?23?2??)?sin(????)?cos(???2??)??sin(?2??)??cos???)?sin?

?2??)??cos(?2本證明選自人教版高中數(shù)學(xué)教材.5.正余弦和差公式的證明:

sin(???)?sin(??(??))可得sin(???)的結(jié)論

本證明選自人教版高中數(shù)學(xué)教材.5.海倫公式的證明:

本證明選自 http://wenku.baidu.com/view/78e82de50975f46527d3e182.html

第五篇：不等式證明

不等式證明

不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競(jìng)賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因?qū)Ч?/p>

2.分析法：執(zhí)果索因?；静襟E：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。

6.構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式。

證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法。

7.數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在數(shù)學(xué)歸納法中專門研究。

8.幾何法：用數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)則有神奇的功效。

9.函數(shù)法：引入一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到證明不等式的目的。

10.判別式法：利用二次函數(shù)的判別式的特點(diǎn)來證明一些不等式的方法。當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。當(dāng)a<0時(shí)，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。

注意：在不等式的證明中運(yùn)用換元法，能把高次變?yōu)榈痛?，分式變?yōu)檎?，無理式變?yōu)橛欣硎?，能簡化證明過程。尤其對(duì)含有若干個(gè)變?cè)凝R次輪換式或輪換對(duì)稱式的不等式，通過換元變換形式以揭示內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，可收到事半功倍之效。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當(dāng)放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當(dāng)縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個(gè)度，如果放得過大或縮得過小，就會(huì)導(dǎo)致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個(gè)恰到好處進(jìn)行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識(shí)，同時(shí)要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。

3.幾何法

數(shù)形結(jié)合來研究問題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)則有神奇的功效。