第一篇：三點(diǎn)共線的證明方法

三點(diǎn)共線的證明方法

袁競(jìng)成題目 已知點(diǎn)A（1，2）、B（2，4）、C（3，6），求證：A、B、C三點(diǎn)共線。方法1：利用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式證明三點(diǎn)共線

設(shè)P（1。）分AC所成的比為，則=

方法2：利用向量平行的充分條件來(lái)證明三點(diǎn)共線，向量

方法3：其中一個(gè)點(diǎn)到另外兩個(gè)點(diǎn)所在直線的距離為0

由兩點(diǎn)式求得直線AB的方程為

方法4：的面積為0證明三點(diǎn)共線

方法5：直線夾角為0來(lái)證明三點(diǎn)共線

注意梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡(jiǎn)稱梅氏定理）是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于F、D、E點(diǎn)，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1?；颍涸O(shè)X、Y、Z分別在△ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1

方法五：利用幾何中的公理“如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線?！笨芍喝绻c(diǎn)同屬于兩個(gè)相交的平面則三點(diǎn)共線。

方法六：運(yùn)用公（定）理 “過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行（垂直）”。其實(shí)就是同一法。

方法七：證明其夾角為180°

方法八：設(shè)A B C，證明△ABC面積為0

方法九：帕普斯定理

注意帕普斯(Pappus)定理:如圖，直線l1上依次有點(diǎn)A,B,C，直線l2上依次有點(diǎn)D,E,F，設(shè)AE,BD交于P，AF,DC交于Q，BF,EC交于R，則P,Q,R共線。

帕普斯定理

[

第二篇：三點(diǎn)共線與三線共點(diǎn)的證明方法

三點(diǎn)共線與三線共點(diǎn)的證明方法

公理1.若一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。公理2.過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論1.經(jīng)過(guò)一條直線和直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面； 推論2.經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面； 推論3.經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面。

公理3.若兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。例1.如圖，在四面體ABCD中作截圖PQR，PQ、CB的延長(zhǎng)線交于M，RQ、DB的延長(zhǎng)線交于N，RP、DC的延長(zhǎng)線交于K．求證M、N、K三點(diǎn)共線．

由題意可知，M、N、K分別在直線PQ、RQ、RP上，根據(jù)公理1可知M、N、K在平面PQR上，同理，M、N、K分別在直線CB、DB、DC上，可知M、N、K在平面BCD上，根據(jù)公理3可知M、N、K在平面PQR與平面BCD的公共直線上，所以M、N、K三點(diǎn)共線．

D1M、例2.已知長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，求證：M、N分別為AA1與AB的中點(diǎn)，DA、CN三線共點(diǎn)．

由M、N分別為AA1與AB的中點(diǎn)知MN//A1B且MN?行且相等，所以MN//D1C且MN?1A1B，又A1B與D1C平21D1C，根據(jù)推論3可知M、N、C、D1四點(diǎn)共面，2且D1M與CN相交，若D1M與CN的交點(diǎn)為K，則點(diǎn)K既在平面ADD1A1上又在平面ABCD上，所以點(diǎn)K在平面ADD1A1與平面ABCD的交線DA上，故D1M、DA、CN三線交于點(diǎn)K，即三線共點(diǎn)．

從上面例子可以看出，證明三線共點(diǎn)的步驟就是，先說(shuō)明兩線交于一點(diǎn)，再證明此交點(diǎn)在另一線上，把三線共點(diǎn)的證明轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線的證明，而證明三點(diǎn)共線只需要證明三點(diǎn)均在兩個(gè)相交的平面上，也就是在兩個(gè)平面的交線上。

第三篇：向量法證明三點(diǎn)共線的又一方法及應(yīng)用

向量法證明三點(diǎn)共線的又一方法及應(yīng)用

平面向量既具有數(shù)量特征，又具有圖形特征,學(xué)習(xí)向量的應(yīng)用，可以啟發(fā)同學(xué)們從新的視角去分析、解決問(wèn)題，有益于培養(yǎng)創(chuàng)新能力.下面就一道習(xí)題的應(yīng)用探究為例進(jìn)行說(shuō)明.????????????原題 已知OB?λOA?μOC，其中λ?μ?1.求證：A、B、C三點(diǎn)共線

????????思路：通過(guò)向量共線(如AB?kAC)得三點(diǎn)共線.證明：如圖,由λ?μ?1得λ?1?μ,則 ????????????????????OB?λOA?μOC?(1?μ)OA?μOC

?????????????????OB?OA?μ(OC?OA)

?????????AB?μAC ?A、B、C三點(diǎn)共線.思考：1.此題揭示了證明三點(diǎn)共線的又一向量方法,點(diǎn)O具有靈活性；

2.反之也成立（證明略）：若A、B、C三點(diǎn)共線，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)λ、μ，滿 ????????????足OB?λOA?μOC,且λ?μ?1.揭示了三點(diǎn)貢獻(xiàn)的又一個(gè)性質(zhì)；

????1????????????13.特別地，λ?μ?時(shí)，OB?(OA?OC)，點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)，揭示了2

2中線OB的一個(gè)向量公式，應(yīng)用廣泛.應(yīng)用舉例

例1 如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BD上，且BN?

用向量法證明：M、N、C三點(diǎn)共線.?OAC 1BD.利

3C?????????????思路分析：選擇點(diǎn)B，只須證明BN?λBM?μBC,且λ?μ?1.A????????????證明：由已知BD?BA?BC，又點(diǎn)N在BD上，1BD，得 3????1????1????????1????1????BN?BD?(BA?BC)?BA?BC 3333

又點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，?????1?????????????

?BM?BA，即BA?2BM 2且BN?B

????2?????1?????BN?BM?BC 33

21而??1 33

?M、N、C三點(diǎn)共線.??????????點(diǎn)評(píng)：證明過(guò)程比證明MN?mMC簡(jiǎn)潔.BD?例2如圖，平行四邊形OACB中，11OD與AB相交于E，BC，求證：.BE?BA.3

4思路分析：可以借助向量知識(shí)，只須證明：

????1????????????????BE?BA，而B(niǎo)A?BO?BC，又O、D、E三

4點(diǎn)共線，存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)λ、μ，且λ?μ?1，使C????????????????????BE?λBO?μBD，從而得到BE與BA的關(guān)系.O????????????????????證明：由已知條件，BA?BO?BC，又B、E、A三點(diǎn)共線，可設(shè)BE?kBA，則

????????????BE?kBO?kBC①

????????????又O、E、D三點(diǎn)共線，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)λ、μ，使BE?λBO?μBD，且λ?μ?1.????1????又BD?BC 3????????1?????BE?λBO?μBC

3根據(jù)①、②得 ②

1?k???k?λ4??11??λ?，解得 k?μ??43??3???λ?μ?1μ??4?????1?????BE?BA

41?BE?BA 4

點(diǎn)評(píng)：借助向量知識(shí)，充分運(yùn)用三點(diǎn)共線的向量性質(zhì)解決問(wèn)題，巧妙、簡(jiǎn)潔.2

第四篇：證明方法

2.2直接證明與間接證明BCA案

主備人：史玉亮 審核人:吳秉政使用時(shí)間：2012年2-1

1學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.了解直接證明的兩種基本方法，即綜合法和分析法。了解間接證明的一種基本方法——反證法。

2.了解綜合法和分析法的思考過(guò)程與特點(diǎn)，并會(huì)用兩種方法證明。了解反證法的解題步驟，思維過(guò)程及特點(diǎn)。

重點(diǎn)：

1.對(duì)綜合法和分析法的考查是本課的重點(diǎn)。應(yīng)用反證法解決問(wèn)題是本課考查的熱點(diǎn)。

2.命題時(shí)多以考查綜合法為主，選擇題、填空題、解答題均有可能出現(xiàn)。反證法僅作為客觀題的判斷方法不會(huì)單獨(dú)命題。

B案

一、直接證明

1.定義：直接證明是從___________或___________出發(fā)的，根據(jù)已知的_________、________________，直接推證結(jié)論的真實(shí)性。

2.直接證明的方法：______________與________________。

二、綜合法

1.定義：綜合法是從___________推導(dǎo)到______________的思維方法。具體地說(shuō)，綜合法 從__________除法，經(jīng)過(guò)逐步的___________，最后達(dá)到_______________。

? ?

? ? ?

三、分析法

1.定義：分析法是從__________追溯到__________的思維方法，具體地說(shuō)，分析法是從________出發(fā)，一步一步尋

求結(jié)論成立的____________，最后達(dá)到

_________或__________。

?

? ? ? ?

四、反證法的定義

由證明p?q轉(zhuǎn)向證明?p?r?????t,t與_________矛盾，或與某個(gè)________矛盾，從而判定_________，推出___________的方法，叫做反證法。

預(yù)習(xí)檢測(cè)：

1.已知|x|＜1，|y|＜1，下列各式成立的是（）

A.|x?y|?|x?y|≥2B.x?yC.xy?1?x?yD.|x|?|y|

ln2ln3ln5,b?,c?，則（）23

5A.a?b?cB.c?b?aC.c?a?bD.b?a?c 2.若a?

3.命題“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角是直角”的結(jié)論的否定是（）

A.有兩個(gè)內(nèi)角是直角

B.有三個(gè)內(nèi)角是直角

C.至少有兩個(gè)內(nèi)角是直角

D.沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角是直角

4.a?b?c?d的必要不充分條件是（）

A.a?cB.b?dC.a?c且b?dD.a?c或b?d

5.“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)是偶數(shù)”的反證法設(shè)為（）

A.自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù)B.自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù)

C.自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)是偶數(shù)D.自然數(shù)a,b,c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)

6.已知a是整數(shù)，a2為偶數(shù)，求證：a也是偶數(shù)。

C案

一、綜合法

例1求證：12

3log19?log19?19?

253log2

2.已知n是大于1的自然數(shù)，求證：log(n?1)?log(n?2)

n(n?1)

二、分析法

例2．求證??

2變式突破： 已知a,b,c表示三角形的三邊，m?0,求證：

三、反證法：

例3．（1）證明：2不是有理數(shù)。

變式突破：若a、b、c均為實(shí)數(shù)，且a?x?2y?

求證：a、b、c中至少有一個(gè)大于0.2abc?? a?mb?mc?m?2,b?y2?2z??3,c?z2?2x??6.當(dāng)堂檢測(cè)：

1.“x?

0”是“?0”成立的（）

A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.非充分非必要條件 D.充要條件

2.設(shè)a?log54，b?(log53)2，c?log45，則（）

A.a?c?bB.b?c?aC.a?b?cD.b?a?c

3.設(shè)x,y,z?R?，a?x?111,b?y?,c?z?，則a,b,c三數(shù)（）yzx

A.至少有一個(gè)不大于2B.都小于2C.至少有一個(gè)不小于2D.都大于

22224.若下列方程：x?4ax?4a?3?0,x?(a?1)x?a?0，x?2ax?2a?0至少有2

一個(gè)方程有實(shí)根，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

A案

1.A、B為△ABC的內(nèi)角，∠A＞∠B是sinA?sinB的（）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

2.若向量a?(x,3)(x?R)，則“x?4”是“|a|?5”的（）

A.充分不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件D.既不充分又不必要條件

3.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)的和，若a2?a3?2a1且a4與2a7的等差中項(xiàng)為5，則S5=（）A.35B.33C.31D.29

44.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy(x,y?R)，f(1)?2，則f(?2)等于（）A.2B.3C.6D.9

5.分析法證明問(wèn)題是從所證命題的結(jié)論出發(fā)，尋求使這個(gè)結(jié)論成立的（）

A.充分條件B.必要條件C.重要條件D.既非充分條件又非必要條件

6.下面四個(gè)不等式：①a?b?c≥ab?bc?ca；②a(1?a)≤2221ba；③?≥2； 4ab

④(a2?b2)?(c2?d2)≥(ac?bd)2，其中恒成立有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

7.若x,y?0且x?y?2，則1?y1?x1?y1?x和的值滿足（）A.和的中至少xxyy

有一個(gè)小于2B.1?y1?x1?y1?x和都小于2C.和都大于2D.不確定 xxyy

8.已知?、?為實(shí)數(shù)，給出下列三個(gè)論斷：

①???0；②|???|?

5；③|?|??|?個(gè)論斷為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的命題是______________。

9.設(shè)a?0,b?0,c?0，若a?b?c?1，則

111??≥______________。abc

第五篇：九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)不共線三點(diǎn)確定二次函數(shù)的表達(dá)式學(xué)案新湘教版

1.3 不共線三點(diǎn)確定二次函數(shù)的表達(dá)式

1.掌握用待定系數(shù)法列方程組求二次函數(shù)表達(dá)式.2.由已知條件的特點(diǎn),靈活選擇二次函數(shù)的三種形式，合適地設(shè)置函數(shù)表達(dá)式,可使計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)便.閱讀教材第21至22頁(yè),自學(xué)“例1”“例2”，掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式.自學(xué)反饋 學(xué)生獨(dú)立完成后集體訂正 ①二次函數(shù)y=4x-mx+5，當(dāng)x<-2時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x>-2時(shí)，y隨x的增大而增大,則當(dāng)x=1時(shí)，y的值為25.可根據(jù)頂點(diǎn)公式用含m的代數(shù)式表示對(duì)稱軸，從而求出m的值.②拋物線y=-2x+2x+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2

215,).222 ③如圖所示的拋物線是二次函數(shù)y=ax-3x+a-1的圖象，那么a的值是-1.可根據(jù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)求出a的值，再考慮開(kāi)口方向.2 ④二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象大致位置如圖所示，下列判斷錯(cuò)誤的是(D)A.a<0 B.b>0 C.c>0 D.b2a>0

第④題圖 第⑤題圖 ⑤如圖，拋物線y=ax+bx+c(a>0)的對(duì)稱軸是直線x=1，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，0)，則a-b+c的值為(A)A.0 B.-1 C.1 D.2

根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性得知圖象與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，0)，將此點(diǎn)代入表達(dá)式，即可求出a-b+c的值.22 ⑥二次函數(shù)y=ax+x+a-1的圖象可能是(B)

根據(jù)圖形確定二次項(xiàng)系數(shù)的取值，再找其他特征，直至找到矛盾從而逐一排除.活動(dòng)1 小組討論

例1 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)，B(2，-3)，C(0，-3)，求函數(shù)的表達(dá)式和對(duì)稱軸.?9a?3b?c?0,?2 解:設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=ax+bx+c，因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)，B(2，-3)，C(0，-3)，則有?4a?2b?c??3,?c??3.?

?a?1,?解得?b??2，?c??3.? ∴函數(shù)的表達(dá)式為y=x-2x-3，其對(duì)稱軸為直線x=1.已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)任意三點(diǎn)，可直接設(shè)表達(dá)式為一般式，代入可得三元一次方程，解之即可求出待定系數(shù).例2 已知一拋物線與x軸的交點(diǎn)是A(-2，0)、B(1，0)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2，8).試求該拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo).解:設(shè)表達(dá)式為y=a(x+2)(x-1)，則有a(2+2)(2-1)=8,∴a=2.∴此函數(shù)的表達(dá)式為y=2x+2x-4，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（--2

21，29）.2

因?yàn)橐阎c(diǎn)為拋物線與x軸的交點(diǎn)，表達(dá)式可設(shè)為交點(diǎn)式，再把第三點(diǎn)代入可得一元一次方程，較一般式所得的三元一次方程簡(jiǎn)單.而頂點(diǎn)可根據(jù)頂點(diǎn)公式求出.活動(dòng)2 跟蹤訓(xùn)練(獨(dú)立完成后展示學(xué)習(xí)成果)1.已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)是(-1,2)，且過(guò)點(diǎn)（0, 解：表達(dá)式為y=-

3），求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式及與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo).2123x-x+,與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0)、(1，0).22

2此題只告訴了兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，但其中一點(diǎn)為頂點(diǎn)坐標(biāo)，所以表達(dá)式可設(shè)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)+k，即可得到一個(gè)關(guān)于字母a的一元一次方程，再把另一點(diǎn)代入即可求出待定系數(shù).在設(shè)表達(dá)式時(shí)注意h的符號(hào).關(guān)于其圖象與x的交點(diǎn)，即當(dāng)y=0時(shí)，解關(guān)于x的一元二次方程.2.若二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)(1，0)，且關(guān)于直線x= 3.如圖，已知二次函數(shù)y=-2

1對(duì)稱，那么它的圖象還必定經(jīng)過(guò)原點(diǎn).212x+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，0)，B(0，-6)兩點(diǎn).2 ①求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式； ②設(shè)該二次函數(shù)的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，連接BA、BC，求△ABC的面積.解：①y=-

12x+4x-6； ②6.2

①求表達(dá)式一般都用待定系數(shù)法；②求底邊落在坐標(biāo)軸上的三角形的面積時(shí)第三點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值即為三角形的高.活動(dòng)3 課堂小結(jié)

利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式，需要根據(jù)已知點(diǎn)的情況設(shè)適當(dāng)形式的表達(dá)式，可以使解題過(guò)程變得更簡(jiǎn)單.