第一篇：證明平行的方法

證明平行的方法

高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：

Ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無公共點(diǎn)的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個(gè)平面無公共點(diǎn)。2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個(gè)平面過另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。

方法1：

兩組對(duì)邊分別平行方法2：對(duì)角線互相平分方法3：一組對(duì)邊平行且相等樓上的：試問

兩組對(duì)邊相等

證明兩直線平行1.垂直于同一直線的各直線平行。2.同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。3.平行四邊形的對(duì)邊平行。4.三角形的中位線平行于第三邊。5.梯形的中位線平行于兩底。6.平行于同一直線的兩直線平行。7.一條直線截三角形的兩邊(或延長線)所得的線段對(duì)應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。證明兩條直線互相垂直1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對(duì)的角是直角。3.在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角。4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的對(duì)角線互相垂直。*10.在圓中平分弦(或弧)的直徑垂直于弦。*11.利用半圓上的圓周角是直角。

在空間中一定是平行四邊形嗎?

證明兩直線平行1.垂直于同一直線的各直線平行。2.同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。3.平行四邊形的對(duì)邊平行。4.三角形的中位線平行于第三邊。5.梯形的中位線平行于兩底。6.平行于同一直線的兩直線平行。7.一條直線截三角形的兩邊(或延長線)所得的線段對(duì)應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。證明兩條直線互相垂直1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對(duì)的角是直角。3.在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角。4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的對(duì)角線互相垂直。*10.在圓中平分弦(或弧)的直徑垂直于弦。

第二篇：證明平行的方法

空間的平行關(guān)系

1． 證明線線平行的方法：

(1)面面平行的判定：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

（2）線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和兩平面的交線平行。

（3）平行線的定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線。

(4)基本性質(zhì)四：平行于同一直線的兩直線互相平行。

（5）線面垂直的性質(zhì):垂直同一平面都兩條直線平行

2.證明線面平行的方法：

①面面平行的性質(zhì)：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。

②線面平行的性質(zhì)：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。

③定義：直線a與平面ａ沒有公共點(diǎn)，則直線與平面平行。

3.證明面面平行的方法：

(1)定義：如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面互相平行。

（2）面面平行的判定：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。

（3）面面平行的性質(zhì)：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線分別平行于另一個(gè)平面的兩條直線，則這兩個(gè)平面平行。

（4）線面垂直的性質(zhì)：垂直通一條直線的兩個(gè)平面平行

（5）面面平行的判定定理:同時(shí)與第三個(gè)平面平行的兩平面平行

第三篇：證明面面平行的方法

證明面面平行的方法

利用向量方法判斷空間位置關(guān)系,其難點(diǎn)是線面平行與面面垂直關(guān)系問題.應(yīng)用下面的兩個(gè)定理,將可建立一種簡單的程序化的解題模式.定理1設(shè)MA→、MB→不共線,pQ→=xMA→+yMB→(x,y∈R),則①p∈平面MABpQ平面MAB;②p平面MABpQ∥平面MAB.定理2設(shè)向量AB→、AC→不共線,DE→、DF→垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行

這個(gè)是錯(cuò)誤的，比如立方體相鄰三個(gè)面，兩兩垂直，顯然不符合你說的平行條件，證明面面平行可以用垂直于同一直線來證，但垂直于同一平面是錯(cuò)的2

1,線面垂直到面面垂直，直線a垂直于平面1，直線a平行與或包含于平面2，所以平面1垂直于平面2

2，(最白癡的一個(gè))平面1垂直于平面2，平面1平行于平面3，所以平面3垂直于平面2

3，通過2面角的夾角，如果2面角的夾角是90度，那么兩個(gè)平面也是垂直的這些方法前面都要通過其他方法證明，一步步才能證到這兒，譬如方法1，要先證明線面垂直，所以你也得知道線面垂直的證法有哪些。學(xué)立體幾何，重要的是空間感，沒事多揣摩揣摩比劃比劃，把每個(gè)定理的內(nèi)容用圖形表示出來，并記在腦子中，這樣考試的時(shí)候才能看到圖和題就會(huì)知道用什么定理了，熟記并熟練掌握哪些定理的運(yùn)用才行。還有像這樣比較好，證明每個(gè)東西都有哪些方法，有幾種途徑，那么做題的時(shí)候想不起來用哪個(gè)就可以根據(jù)題目條件一步步排除，并選擇對(duì)的方法，一般老師上課都會(huì)總結(jié)的。還是好好聽課吧~~

判定：

平面平行的判定一如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。

平面平行的判定二垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。

性質(zhì)：

平面平行的性質(zhì)一如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

平面平行的性質(zhì)二如果一條直線在一個(gè)平面內(nèi)，那么與此平面平行的平面與該直線平行。

這五個(gè)條件?哪五個(gè)?

判定一中：兩條相交的直線是可以確定一個(gè)平面的，所以“兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行?！?/p>

判定二中。如果一個(gè)直線垂直與一個(gè)平面，那么直線垂直于平面內(nèi)的所有直線，則有垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。

線線平行證2條線成倍數(shù)就行，倍數(shù)屬于R線面平行找面的法向量，它的法向量與線平行就OK面面平行先找兩個(gè)面的法向量，只要2個(gè)法向量成成倍數(shù)就行

第四篇：證明線面平行的方法

證明線面平行的方法

線面平行重點(diǎn)難點(diǎn)剖析

線面平行關(guān)系的判斷和證明是空間線面位置關(guān)系的研究重點(diǎn)之一，它包括直線與直線的平行，直線與平面的平行以及平面與平面的平行.本節(jié)復(fù)習(xí)包括首先要系統(tǒng)梳理有關(guān)判斷、證明線面平行關(guān)系的各種依據(jù)，其中既包括有關(guān)定義、公理，還包括相應(yīng)的判定定理或性質(zhì)定理.梳理中不僅要明確有關(guān)判斷、證明各有哪些依據(jù)，還要體會(huì)不同的依據(jù)在思維策略上給我們的指導(dǎo).例如判斷線面平行可有三種思維策略：

(1)從概念考慮，即依據(jù)線面平行的定義作思考，這就需要證明直線和平面沒有公共點(diǎn).證明方法通常選擇反證法.(2)從降級(jí)角度考慮，即通過證明線線平行來證明線面平行.其依據(jù)為：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.證明方法通常是把平面外的這條直線經(jīng)過平移，移到這個(gè)平面中去.(3)從升級(jí)角度考慮，即通過證明面面平行來證明線面平行.其依據(jù)為：兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面.證明方法是找出一個(gè)與這個(gè)平面平行的平面，并且使這條直線正好在所找的平面內(nèi).其中思維策略的選擇不僅要注意建立這種意識(shí)，還要根據(jù)不同問題的不同條件，才能作出恰當(dāng)?shù)倪x擇.在復(fù)習(xí)中應(yīng)注意積累這種思考、選擇的經(jīng)驗(yàn).2題目如圖1,已知四邊形ABCD,ABEF為兩個(gè)正方形,MN分別在其對(duì)角線BF和AC上,且FM=AN,求證:MN∥平面EBC.一、找“線線平行”思考1如圖2,過M作MH∥EF交BE于H,則MHEF=BBMF.過N作NG∥AB交BC于G,則NGAB=CANC.由于四邊形ABCD,ABEF為兩個(gè)全等正方形,則BF=AC,EF=AB,又因?yàn)镕M=AN,所以MH∥NG且MH=NG,故四邊形MHGN為平行四邊形,所以MN∥平面EBC.思考2如圖3,連結(jié)AM并延長交BE于K,則CK在平面EBC內(nèi).由題意,知△AFM∽△BKM,則AMMK=BFMM,因?yàn)镕M=AN,BF=AC,則FMBM=ANNC,所以在△ACK中,有AMMK=ANNC,則MN∥CK,所以MN∥平面EBC.注在平面內(nèi)找一條直線與平面外直線平行,通常有兩種方法可找:①構(gòu)造平行四邊形;②構(gòu)造三角形,利用對(duì)應(yīng)邊成比例.二、找“面面平行”思考3如圖4,過M作MH∥BE,交AB于H,連結(jié)NH,則BMBF=BBHA.由于四邊形ABCD,ABEF為全等的的正方形,又因?yàn)镕M=AN,則有BMBF=CCNA,所以在3

線面的我已經(jīng)給你了

我來補(bǔ)充線線的1.垂直于同一平面的兩條直線平行

2.平行于同一直線的兩條直線平行

3.一個(gè)平面與另外兩個(gè)平行平面相交,那么2條交線也平行

4.兩條直線的方向向量共線,則兩條直線平行

第五篇：線面平行證明的常用方法

湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）20081

2線面平行證明的常用方法

摘要：立體幾何在高考解答題中每年是必考內(nèi)容，線面平行的證明經(jīng)常出現(xiàn),很多同學(xué)總覺得證明方法很多很繁,在這里給大家用作輔助線的常用方法及空間坐標(biāo)系的方法進(jìn)行闡述。

關(guān)鍵詞：找平行線；找第三個(gè)點(diǎn)；作平行平面；建立空間坐標(biāo)系

立體幾何在高考解答題中每年是必考內(nèi)容，必有一個(gè)證明題；證明的內(nèi)容包括以下內(nèi)容：平行與垂直（線線平行、線面平行、面面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直等），我們現(xiàn)在對(duì)線面平行這一方面作如下探討：

在線面平行這節(jié)里有三個(gè)重要的定理：

直線與平面平行的判定性定理：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條

直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。

直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平

面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和這個(gè)交線平行。

平面與平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面是平行，那么在其中一個(gè)平面內(nèi)的直

線和另一個(gè)平面平行。

從前面兩個(gè)定理不難發(fā)現(xiàn)：要證線面平行(那么這條直線一定是平行于這個(gè)平面的),由性質(zhì)定理可以得到這樣一個(gè)結(jié)論：只要過這條直線作一個(gè)與平面相交的平面，那這個(gè)直線一定是與交線平行得。這樣我們就可以找到與平面內(nèi)的直線平行的直線。那么關(guān)鍵是怎樣作一個(gè)平面與已知平面相交且過直線的平面。下面給大家介紹

方法一：兩平行線能確定一個(gè)平面，過已知直線的兩個(gè)端點(diǎn)作兩條平行線使它們

與已知平面相交，關(guān)鍵：找平行線，使得所作平面與已知平面的交線。

（08浙江卷）如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，?BCF=?CEF=90?,AD=3,EF=2。求證：AE//平面DCF.分析：過點(diǎn)E作EG//AD交FC于G，DG就是平面

與平面DCF的交線，那么只要證明AE//DG即可。

證明：過點(diǎn)E作EG?CF交CF于G，連結(jié)DG，可得四邊形BCGE為矩形，又ABCD為矩形，∥EG，從而四邊形ADGE為平行四邊形，所以AD 故AE∥DG．

因?yàn)锳E?平面DCF，DG?平面DCF，所以AE∥平面DCF．

方法二：直線與直線外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面，關(guān)鍵：找第三個(gè)點(diǎn),使得所作平

面與已知平面的交線。

（06北京卷）如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P?ABCD中，AB?AC，PA?平面ABCD，且PA?AB，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).求證：PB//平面AEC.分析：由D、P、B三點(diǎn)的平面與已知平面AEC的交線最易找，第三個(gè)點(diǎn)選其它的點(diǎn)均不好找交線.證明：連接BD，與 AC 相交于 O，連接

∵ABCD 是平行四邊形，∴O 是 BD 的中點(diǎn)又 E 是 PD 的中點(diǎn)∴EO∥PB.又 PB?平面 AEC，EO?平面 AEC，∴PB∥平面 AEC.方法三：兩個(gè)平面是平行, 其中一個(gè)平面內(nèi)的直線和另一個(gè)平面平行,關(guān)鍵：作

平行平面，使得過所證直線作與已知平面平行的平面

（０８安徽卷）如圖，在四棱錐O?ABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，?

?ABC?, OA?底面ABCD, OA?2,M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中

點(diǎn)，證明：直線MN‖平面OCD 分析：M為OA的中點(diǎn),找OA(或AD)中點(diǎn),再連線。

證明：取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE

?ME‖AB,AB‖CD，?ME‖CD

又?NE‖OC,?平面MNE‖平面OCD ?MN‖平面OCD

方法四：（向量法）所證直線與已知平面的法向量垂直，關(guān)鍵：建立空間坐標(biāo)系

（或找空間一組基底）及平面的法向量。

（07全國Ⅱ?理）如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，SC的中點(diǎn)．證明EF∥平面SAD；

分析：因?yàn)閭?cè)棱SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空間直角坐標(biāo)系及相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)。

證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz．

0，0)，S(0，0，b)，則B(a，a，0)，C(0，a，0)，設(shè)A(a，E?a?a，0?

?，F(xiàn)?0ab??2??2?2?，?

????EF??b??a，0??

2?．

?因?yàn)閥軸垂直與平面SAD，故可設(shè)平面的法向量為n?

=（0，1，0）

????則：EF?n???b??a，0?

2?

（?0，1，0）?

?

=0 因此????EF?n?

所以EF∥平面SAD．