第一篇：教材中一些定理的補(bǔ)充證明

人大龍永紅編的教材中有一些推導(dǎo)省略了，為便于同學(xué)的學(xué)習(xí)，現(xiàn)補(bǔ)充如下：

一、超幾何分布用二項分布做近似計算的證明：

M!

P?X?k??CMCN?M

CNnkn?k?k!?M?N?M?!?k?!?n?k?!?N?M?n?k?!.N!

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注：第二個分式即?M

?N?k?!N!，展開為n項的乘積，?k?！

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第三個分式即?M?!?k?！

?n?！，展開為?n?k?項的乘積。?N?M?n?k?!?N?N

k二．泊松定理的證明 b?k,n,pn??Cnpnk?1?

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第二篇：老教材定理與證明

----------[初中數(shù)學(xué)]---------

初中數(shù)學(xué) 經(jīng)典教材系列 老人教版

定理與證明

教學(xué)目標(biāo)

1使學(xué)生理解公理和定理的意義，并能對公理與定理加以區(qū)別

2使學(xué)生理解證明命題的思路、書寫的格式，使學(xué)生對幾何的重要內(nèi)容之一——推理論證，有初步的認(rèn)識，從而初步培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性和邏輯性

教學(xué)重點和難點

重點是命題證明的一般步驟，難點是探索命題證明的思路以及思維方向

教學(xué)過程設(shè)計

一、復(fù)習(xí)命題，引入公理和定理

教師提問：學(xué)生思考后回答

1什么叫命題?請你說出一個數(shù)學(xué)命題

2什么叫真命題?什么叫假命題?請你分別舉出兩個實例

3在前面學(xué)過的真命題中，還有什么名稱?

當(dāng)學(xué)生回答完第三個問題后，教師再問

4公理和定理有什么區(qū)別?

先由學(xué)生隨意回答，互相補(bǔ)充，然后教師與學(xué)生一起歸納總結(jié)

公理：它的正確性是人們長期實踐中總結(jié)出來并作為判定其它命題真假的根據(jù) 定理：它是正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理

用幻燈投影命題與公理等關(guān)系

命題

真命題假命題(只需舉一個反例)

公理(正確性由實踐總結(jié))

定理(正確性由推理證實)

二、證明的意義、過程和步驟

1證明的意義

請證明以下命題：三個連續(xù)奇數(shù)的和是3的整數(shù)倍

問：請學(xué)生們思考，怎樣證明?

當(dāng)三個連續(xù)奇數(shù)為3，5，7時，它們的和為3+5+7=15是3的整數(shù)倍，當(dāng)三個數(shù)為7，8，9時，7+8+9=24，也對那么，我們能否這樣試下去，能不能通過試具體數(shù)的方法，證明這個命題是真命題不能，如何證明呢?

設(shè)n為整數(shù),三個連續(xù)奇數(shù)為2n+1,2n+3,2n+5,它們的積為(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)=6n+9=3,因為n是整數(shù),所以2n+3為整數(shù),3(2 n+3)是3的整數(shù)倍。

這就是推理的過程

要判斷一個命題的真假，必須要有推理論證的過程，也叫證明只有證明，才能區(qū)分命題的真假，否則就會得出錯誤的結(jié)論證明的意義就在于此

再問：“兩個連續(xù)整數(shù)的平方差是一個奇數(shù)，這個命題是真還是假?怎樣證明，學(xué)生分組討論，選做出結(jié)果的同學(xué)板演或講解 證明：設(shè)n為整數(shù)，n+1，n為兩個連續(xù)整數(shù)

(n+1)2-n2=n2+2n+1-n2=2n+1，因為2n+1為奇數(shù)，所以得證

2命題證明的一般步驟

例求證：同角的余角相等

已知：如圖2—87，∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角

求證：∠2＝∠3

證明：因為∠2與∠1互為余角，(已知)

∠3與∠1互為余角，所以∠2+∠1＝90°，∠3+∠1＝90°(余角定義)

所以∠2+∠1＝∠3+∠1(等量代換)

則∠2＝∠3(等量減等量差相等)

同學(xué)總結(jié)步驟：

1審題：分清命題的“題設(shè)”和“結(jié)論”

2譯題：結(jié)合圖形中的字母及符號，寫出已知，求證

3想題：用“執(zhí)因索果”(綜合法)；用“執(zhí)果索因”(分析法)尋找論證推理的邏輯思路一般是把二者結(jié)合起來思考，效果較好，這也叫綜合分析法

4證題：從已知出發(fā)，每一步過程要有根據(jù)(定義，公理或定理)最后得到結(jié)論，全面推理過程要因果分明

三、命題證明的練習(xí)

1證明：“如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，這條直線也和另一條垂直” 教師指導(dǎo)學(xué)生，按證明命題的四步，邊講邊請學(xué)生回答如下問題：

(1)命題的“題設(shè)”和“結(jié)論”各是什么?學(xué)生回答后，教師板書：

已知：如圖2—88，a∥b，a⊥c，求證：b⊥c

(2)以上譯題時應(yīng)注意：圖形盡量準(zhǔn)確，圖中字母與譯文要一致，不能隨意添加或丟失條件或結(jié)論

(3)思維的邏輯路線是什么?

要證垂直，就是要證兩條直線相交成90°的角，由第一條直線a與c垂直成90°角又a∥b，同位角相等，所以a與c的交角也為90°，所以b⊥c

(4)證明過程中有幾對因果關(guān)系?(兩對)

請學(xué)生寫出證明過程，最好請兩名證明順序有所不同的學(xué)生到黑板上證，兩種順序如下證法

(一)：∵a⊥c，(已知)

∴∠1=90°(垂直的定義)

∵a∥b，(已知)

∴∠1=∠2，(兩直線平行，同位角相等)

∴∠2=90°，(等量代換)

∵b⊥c(垂直定義)

證法(二)：

∵a∥b，(已知)

∴∠1=∠2(兩直線平行，同位角相等)

∵a⊥c，(已知)

∴∠1=90°，(垂直定義)

∴∠2=90°，(等量代換)

∴b⊥c(垂直定義)

2證明：“垂直于同一直線的兩條直線平行”

教師給出命題后，讓學(xué)生每人都在筆記本上自己做，然后找妯兩個或三個學(xué)生，讓他們在黑板上寫出證明的過程在學(xué)生板演的過程中，教師提問：

(1)將此命題寫成“如果??，那么??”的形式“如果兩條直線都與第三條直線垂直，那么這兩條直線平行”

(2)已知，求證，及圖形的畫法，由學(xué)生分別寫出和畫出，并與板演的學(xué)生對照 已知：a⊥c，b⊥c，如圖2—89，求證：a∥b

(3)師生共同探索證題的思考過程，然后找一位學(xué)生板演

證明：∵a⊥c，(已知)

∴∠1＝90°(垂直定義)

∵b⊥c，(已知)

∴∠2＝90°(垂直定義)

∴∠1＝∠2，(等量代換)

∴a∥b(同位角相等，兩條直線平行)

以上過程也可以簡寫為：

∵a⊥c，b⊥c，∴∠1＝90°，∠2＝90°

(……)

四、總結(jié)

教師以提問形式，學(xué)生回答，教師糾正。

1命題，定理之間的關(guān)系是什么?(關(guān)系圖)

2公理的正確性怎樣判定?定理的正確性怎樣判定?

3假命題應(yīng)怎樣判定?

4證明命題的一般步驟是什么?(審題、譯題、想題、證題)

五、作業(yè)

1將第一章的定理、公理整理出來，將第二章的定理、公理、整理出來。2復(fù)習(xí)證明命題的一般步驟。

3如圖2-90，已知：∠ABC=90°，∠1+∠C=90°，求證：∠C=∠2。

4如圖2-91，已知：∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求證：a∥b，c∥d。

5(選作題)

證明：

(1)13個同學(xué)中必有2個或2個以上的同學(xué)在同一個月份出生。

(2)初一年級共有400人，必有2個或2個以上的同學(xué)的生日是同一天。

(注：以上證明可用抽屜原則。詳細(xì)答案見“設(shè)計說明”。)

板書設(shè)計

定理與證明

一、公理與定理

三、證明練習(xí)

1公理例

12定理例

23關(guān)系圖

四、總結(jié)

二、證明命題

五、作業(yè)

1意義例：

2一般步驟

課堂教學(xué)設(shè)計說明

1本教案的教學(xué)時間為1課時45分鐘。

2關(guān)于真命題與定理的關(guān)系，可以告訴學(xué)生，在數(shù)學(xué)中經(jīng)過推理論證是正確的真命題都可以作為定理。

2在前面的教學(xué)中，實際已經(jīng)滲入了不少有關(guān)推理證明的問題，學(xué)生也已經(jīng)熟悉。在這一節(jié)課中，對證明的過程再加以系統(tǒng)的總結(jié)和歸納，使學(xué)生在將來的證明中，書寫和思考更加規(guī)范和合理。

3本節(jié)的例題內(nèi)容和作業(yè)內(nèi)容都比較簡單。有些基礎(chǔ)較好的學(xué)校和班級還可以適當(dāng)補(bǔ)充難度大一些的題目。如抽屜原則的習(xí)題和某些代數(shù)證明題。以下幾題可供參考：

(1)求證：對任意整數(shù)n，(n+5)-(n-3)(n+2)能被6整除。

(提示：化簡后原式=6(n+1))

(2)求證：任意兩個連續(xù)整數(shù)的平方差是一個奇數(shù)。

(3)求證：無論a取何值，代數(shù)式3(a-2)(a+2)+3(a+2)2-6a(a+2)的值永遠(yuǎn)為0。4選作題答案：

(1)將12個月作為12個抽屜，13個學(xué)生當(dāng)做13個蘋果，根據(jù)抽屜原則：把多于n個蘋果放到n個抽屜里，至少有一個抽屜有兩個或兩個以上的蘋果，則13個同學(xué)中必有2個或2個以上的同學(xué)在同一個月份出生。

(2)一年365天看作365個抽屜，400個同學(xué)為400個蘋果。

由抽屜原則可得到答案。

第三篇：正弦定理教材分析

《正弦定理》教材分析

一、內(nèi)容結(jié)構(gòu)

（1）正弦定理是高中新教材人教A版必修⑤第一章第一節(jié)第一部分的內(nèi)容。本節(jié)旨在基于高二已學(xué)的三角知識，通過對三角形邊

角關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長與角度之間數(shù)量關(guān)

系，引出正弦定理。

（2）一個三角形，有六個元素：三個角三條邊。知道其中的幾個元

素求其它元素的過程，即為解三角形。由于三角形內(nèi)角和為180

度，故而只需建立二邊二角的關(guān)系，就能解決所有解三角形的問題。而其中二邊二角的關(guān)系即為正弦定理。這個過程是對三

角知識的應(yīng)用；也是對初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸。

（3）教材證明正弦定理時，應(yīng)用了前面所學(xué)“正弦函數(shù)定義”的知

識，很好的解決了“已知兩角一邊或兩邊一角求其他邊角”的問題。教材的編排循序漸進(jìn)，有效的把所學(xué)知識融會貫通，使

學(xué)生更容易接收。

（4）正弦定理本身的應(yīng)用十分廣泛，同學(xué)們在下一節(jié)中即將學(xué)習(xí)領(lǐng)

悟到。因此做好該節(jié)內(nèi)容的教學(xué)，使學(xué)生通過對任意三角形中

正余弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“類比--猜想--證明”的科學(xué)研究問題方法，體會由“定性研究到定量研究”這種數(shù)

學(xué)思想，對于下一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)有極大的幫助。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能目標(biāo)：

（1）引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理的內(nèi)容，探索證明正弦定理的方法；

（2）掌握簡單運(yùn)用正弦定理解三角形、初步解決與測量與幾何計算

有關(guān)的實際問題的方法。

2.過程與方法目標(biāo)：

（1）通過對正弦定理的探究，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的思維能力；

（2）通過對正弦定理的證明和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方

法的能力；

（3）通過對實際問題的探索，培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度觀察問題、提出

問題、分析問題、解決問題的能力；

3.情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：

（1）通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身體驗數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培

養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的成功心理，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

（2）通過本節(jié)學(xué)習(xí)和運(yùn)用實踐，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的思維方式解決問題、認(rèn)識世界，進(jìn)而領(lǐng)會數(shù)學(xué)的人文價值、美學(xué)價值。

三、地位與作用

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》要求通過本章學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)達(dá)到以下學(xué)習(xí)目標(biāo)：

（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理，并

能解決一些簡單的三角形度量問題。

（2）能夠熟練運(yùn)用正弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計

算有關(guān)的生活實際問題。

利用正弦定理解三角形，可以把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，也可以把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，避免了許多繁雜的運(yùn)算，從而使許多復(fù)雜的問題得以解決。

四、教學(xué)建議

1.創(chuàng)造性使用教材。

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”，新課標(biāo)提倡教師創(chuàng)造性地使用教材。本節(jié)課的教學(xué)，應(yīng)該從問題情境做引入，通過對數(shù)學(xué)實驗的操作，使學(xué)生領(lǐng)悟證明方法。教師可以對教材作一定程度的調(diào)整和拓展，使其更符合學(xué)生的思維習(xí)慣和認(rèn)知水平，使學(xué)生在知識的形成過程、發(fā)展過程中展開思維，發(fā)展了學(xué)生的能力。

2.深刻挖掘教材。

深刻挖掘教材中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想。作為教師，首先一定要清楚正弦定理在解三角形思維體系中的地位與作用，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形的6個元素知三求三的所有情況；使學(xué)生理解需要已知哪些量，就可以解決所有關(guān)于三角形的所有問題。

這樣做的好處是：

（1）使學(xué)生知道建立正弦定理的必要性、合理性和重要性，幫助學(xué)

生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識；

（2）提煉數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生解決問題的能力；

（3）在解決三角形的實際問題時，讓學(xué)生知道要測量出什么量，才

能計算出所的要求的量實際問題。

3.從學(xué)生的角度出發(fā)設(shè)計課堂。

從學(xué)生的角度出發(fā)設(shè)計課堂，從有利于學(xué)生主動探索設(shè)計數(shù)學(xué)情境。新課標(biāo)指出：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實的、有趣的和富有挑戰(zhàn)性的。從心理學(xué)的角度看，青少年有一種好奇的心態(tài)、探究的心理。因此，課堂設(shè)計要緊緊地抓住高二學(xué)生的這一特征，利用“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”這一富有挑戰(zhàn)性和探索性的材料，精心設(shè)計教學(xué)情境，使學(xué)生在觀察、實驗、猜想、驗證、推理等活動中，逐步形成創(chuàng)新意識。

第四篇：正弦定理證明

新課標(biāo)必修數(shù)學(xué)5“解三角形”內(nèi)容分析及教學(xué)建議

江蘇省錫山高級中學(xué)楊志文

新課程必修數(shù)學(xué)5的內(nèi)容主要包括解三角形、數(shù)列、不等式。這些內(nèi)容都是高中數(shù)學(xué)中的傳統(tǒng)內(nèi)容。其中“解三角形”既是高中數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，又有較強(qiáng)的應(yīng)用性。在歷次教材改革中都作為中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點內(nèi)容，一直被保留下來。在這次新課程改革中，新普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）與原全日制普通高級中學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》（以下簡稱《大綱》）相比，“解三角形”這塊內(nèi)容在安排順序上進(jìn)行了新的整合。本文就《標(biāo)準(zhǔn)》必修模塊數(shù)學(xué)5第一部分“解三角形”的課程內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)要求、課程關(guān)注點、內(nèi)容處理上等方面的變化進(jìn)行簡要的分析，并對教學(xué)中應(yīng)注意的幾個問題談?wù)勛约旱囊恍┰O(shè)想和教學(xué)建議，供大家參考。

一、《標(biāo)準(zhǔn)》必修模塊數(shù)學(xué)5中“解三角形”與原課程中“解斜三角形”的比較

1．課程內(nèi)容安排上的變化

“解三角形”在原課程中為“解斜三角形”，安排在“平面向量”一章中，作為平面向量的一個單元。而在新課程《標(biāo)準(zhǔn)》中重新進(jìn)行了整合，將其安排在必修模塊數(shù)學(xué)5中，獨立成為一章，與必修模塊數(shù)學(xué)4中的“平面向量”分別安排在不同的模塊中。

2．教學(xué)要求的變化

原大綱對“解斜三角形”的教學(xué)要求是：

（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能運(yùn)用它們解斜三角形，能利用計算器解決解斜三角形的計算問題。

（2）通過解三角形的應(yīng)用的教學(xué)，提高運(yùn)用所學(xué)知識解決實際問題的能力。

（3）實習(xí)作業(yè)以測量為內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力和實際操作的能力。《標(biāo)準(zhǔn)》對“解三角形”的教學(xué)要求是：

（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。

（2）能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。由此可以看出，《標(biāo)準(zhǔn)》在計算方面降低了要求，取消了“利用計算器解決解斜三角形的計算問題”的要求，而在探索推理方面提高了要求，要求“通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。

3、課程關(guān)注點的變化

原《大綱》中，解斜三角形內(nèi)容，比較關(guān)注三角形邊角關(guān)系的恒等變換，往往把側(cè)重點放在運(yùn)算上。而《標(biāo)準(zhǔn)》則關(guān)注運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。側(cè)重點放在學(xué)生探究和推理能力的培養(yǎng)上。

4、內(nèi)容處理上的變化

原《大綱》中，解斜三角形作為平面向量知識的應(yīng)用，突出其工具性和應(yīng)用性。而《標(biāo)準(zhǔn)》將解三角形作為幾何度量問題來處理，突出幾何的作用，為學(xué)生理解數(shù)學(xué)中的量化思想、進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)。解三角形處理的是三角形中長度、角度、面積的度量問題，長度、面積是理解積分的基礎(chǔ)，角度是刻畫方向的，長度、方向是向量的特征，有了長度、方向，向量的工具自然就有用武之地。

二、教學(xué)中應(yīng)注意的幾個問題及教學(xué)建議

原《大綱》中解斜三角形的內(nèi)容，比較關(guān)注三角形邊角關(guān)系的恒等變換，往往把側(cè)重點放在運(yùn)算上。而《標(biāo)準(zhǔn)》將解三角形作為幾何度量問題來展開，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上，通過對任意三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長與角度之間的數(shù)量關(guān)系，解決簡單的三角形度量問題。這就要求在教學(xué)過程中，突出幾何的作用和數(shù)學(xué)量化思想，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的探究過程、再創(chuàng)造過程。因此在教學(xué)中應(yīng)注意以下幾個問題。

1．要重視探究和推理

《標(biāo)準(zhǔn)》要求“通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。因此建議在教學(xué)中，既要重視從特殊到一般的探索學(xué)習(xí)過程的教學(xué)，又要重視數(shù)學(xué)的理性思維的培養(yǎng)。教學(xué)中不要直接給出定理進(jìn)行證明，可通過學(xué)生對三角形邊與角的正弦的測量與計算，研究邊與其對角的正弦之間的比，揭示它們在數(shù)量上的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)正弦定理的結(jié)論，然后再從理論上進(jìn)行論證，從而掌握正弦定理。從中體會發(fā)現(xiàn)和探索數(shù)學(xué)知識的思想方法。

參考案例：正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)與證明

教學(xué)建議：建議按如下步驟設(shè)計教學(xué)過程：

(1)從特殊三角形入手進(jìn)行發(fā)現(xiàn)

讓學(xué)生觀察并測量一個三角板的邊長。

提出問題：你能發(fā)現(xiàn)三邊長與其對角的正弦值之比之間的關(guān)系嗎？

例如，量得三角板三內(nèi)角300，600，900所對的三邊長分別約為5cm，8.6cm，10cm，58.610，?10?10?10 000

sin30sin60sin90

abc

對于特殊三角形，我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律：。??

sinAsinBsinC

則有：

提出問題：上述規(guī)律，對任意三角形成立嗎？(2)實驗，探索規(guī)律

二人合作，先在紙上做一任意銳角（銳角或鈍角）三角形，測量三邊長及其三個對角，然后用計算器計算每一邊與其對角正弦值的比，填入下面表中，驗證前面得出的結(jié)論是否正確。（其中，角精確到分，忽略測量誤差，通過實驗，對任意三角形，有結(jié)論：

abc，即在一個三角形中，??

sinAsinBsinC

各邊和它所對的角的正弦的比相等。

提出問題：上述的探索過程所得出的結(jié)論，只是我們通過實驗(近似結(jié)果)發(fā)現(xiàn)的一個結(jié)果，如果我們能在理論上證明它是正確的，則把它叫做正弦定理。那么怎樣證明呢？

(4)研究定理證明的方法方法一：（向量法）①若△ABC為直角三角形，由銳角三角函數(shù)的定義知，定理顯然成立。②若△ABC為銳角三角形，過點A做單位向量j垂直于AC，則向量j與向量的夾角為900-A，向

量j

與向量CB的夾角為900-C，（如圖1），且有：AC?CB?AB，所以j·(+)= j·即j·+ j· = j·AB 展開|j||AC|cos900+ | j||CB|cos(900-C)=| j|||cos(900-A)

ac

。?

sinAsinC

cbabc

同理，過點C做單位向量j垂直于,可得：，故有。???

sinCsinBsinAsinBsinC

③若△ABC為鈍角三角形，不妨設(shè)角A>900（如圖2），過點A做單位向量j垂直于AC，則向量j與

則得 a sinC = c sinA，即

向量AB的夾角為A-900，向量j與向量的夾角為900-C，且有：??，同樣可證得：

abc

。??

sinAsinB

提出問題：你還能利用其他方法證明嗎？

方法二：請同學(xué)們課后自己利用平面幾何中圓內(nèi)接三角形（銳角，鈍角和直角）及同弧所對的圓周角相等等知識，將△ABC中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為以直徑為斜邊的直角三角形中去探討證明方法。

2．要重視綜合應(yīng)用

《標(biāo)準(zhǔn)》要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。建議在正弦定理、余弦定理的教學(xué)中，設(shè)計一些關(guān)于正弦定理、余弦定理的綜合性問題，提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識解決問題的能力。如可設(shè)計下面的問題進(jìn)行教學(xué)：

參考案例：正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用 C 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD?CD，AD=10，AB=14，?BDA=60?，?BCD=135?.求BC的長.教學(xué)建議：

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析，欲求BC，需在△BCD中求解，∵?BCD=135?，?BDC=30?，∴需要求BD，而BD需在△ABD中求解.再引導(dǎo)學(xué)生將

A B

四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，選擇余弦定理求BD，再由正弦定理

例2圖 求BC。

3．要重視實際應(yīng)用

《標(biāo)準(zhǔn)》要求運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。因此建議在教學(xué)中，設(shè)計一些實際應(yīng)用問題，為學(xué)生體驗數(shù)學(xué)在解決問題中的作用，感受數(shù)學(xué)與日常生活及與其他學(xué)科的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高學(xué)生解決實際問題的能力。在題目的設(shè)計中要注意對恒等變形降低要求，避免技巧性強(qiáng)的變形和繁瑣的運(yùn)算。

參考案例：解三角形在實際中的應(yīng)用

參考案例1．航海中甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東45?，與A的距離為10海里的C處正以20海里/h的速度向南偏東75?的方向航行，已知甲船速度是203海里/h，問甲船沿什么方向，用多少時間才能與

乙船相遇？

教學(xué)建議：引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題。若設(shè)甲船與乙船經(jīng)過t小時在B處相遇，構(gòu)建?ACB，容易計算出AB?20海里,BC?20海里，根據(jù)余弦定理建立關(guān)于t的方程，求出t，問題就解決了。

答: 甲船沿北偏東75?的方向，經(jīng)過0.5小時與乙船相遇.參考案例2．為了測量某城市電視塔的高度，在一條直道上選 擇了A，B，C三點，使AB?BC?60m，在A，B，C三點

?

?

?

例1圖 DA 觀察塔的最高點，測得仰角分別為45，54.2，60，若測量 E

者的身高為1.5m，試求電視塔的高度(結(jié)果保留1位小數(shù)).F 教學(xué)建議：引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意畫出示意圖如圖，將實際問題轉(zhuǎn)化為

解三角形問題。要求電視塔的高度。只要求出DE的長。將問題中的已

知量、未知量集中到有關(guān)三角形中，構(gòu)造出解三角形的數(shù)學(xué)模型。在例2圖 ?ACE中和?BCE中應(yīng)用余弦定理，使問題獲得解決.答: 電視塔的高度約為158.3m.4．要重視研究性學(xué)習(xí)

解三角形的內(nèi)容有較強(qiáng)的應(yīng)用性和研究性，可為學(xué)生提供豐富的研究性素材。建議在教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計上探索開放，在教學(xué)形式上靈活多樣?？稍O(shè)計一些研究性、開放性的問題，讓學(xué)生自行探索解決。參考案例：研究性學(xué)習(xí)

課外研究題：將一塊圓心角為120?，半徑為20厘米的扇形鐵片裁成一塊矩形，請你設(shè)計裁法，使裁得矩形的面積最大?并說明理由．

教學(xué)建議：這是一個研究性學(xué)習(xí)內(nèi)容，可讓學(xué)生在課外兩人一組合作完成，寫成研究報告，在習(xí)題課上讓學(xué)生交流研究結(jié)果，老師可適當(dāng)進(jìn)行點評。

參考答案：這是一個如何下料的問題，一般有如圖（1）、圖（2）的兩種裁法：即讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或讓矩形一邊與弦AB

平行。從圖形的特點來看，涉及到線段的長度和角度，將

這些量放置在三角形中，通過解三角形求出矩形的邊長，再計算出兩種方案所得矩形的最大面積，加以比較，就可以得出問題的結(jié)論．

NBB

PO圖（2）

QM

O圖（1）

按圖（1）的裁法:矩形的一邊OP在OA上，頂點M在圓弧上，設(shè)?MOA??，則：

時，Smax?200．

4按圖（2）的裁法: 矩形一邊PQ與弦AB平行，設(shè)?MOQ??，在?MOQ中，?OQM?90??30??120?，由正弦定理，得：

sin120?

又?MN?2OMsin(60???)?40sin(60???)，MQ?

20sin?

?

3sin?． 3

MP?20sin?,OP?20cos?，從而S?400sin?cos??200sin2?．即當(dāng)??

?

∴S?MQ?MN?

sin?sin(60???)?cos(2??60?)?cos60?． 33

??

∴當(dāng)??30?時，Smax?由于

400． 3

400平方厘米． ?200，所以用第二中裁法可裁得面積最大的矩形，最大面積為33

也可以建議學(xué)生在課外自行尋找研究性、應(yīng)用性的題目去做，寫出研究或?qū)嶒瀳蟾?，在學(xué)校開設(shè)的研究性學(xué)習(xí)課上進(jìn)行交流，評價。

參考文獻(xiàn)：

①全日制普通高中級學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》。人民教育出版社。2002年4 月。

②《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗））》。人民教育出版社。2003年4月第一次印刷。③《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）解讀》。嚴(yán)士健 張奠宙王尚志等主編。江蘇教育出版社。2004年4月。

第五篇：原創(chuàng)正弦定理證明

1．直角三角形中：sinA=，sinB=，sinC=1

即c=

∴abc，c=，c=．sinAsinBsinCacbcabc== sinAsinBsinC

2．斜三角形中

證明一：（等積法）在任意斜△ABC當(dāng)中

S△ABC=absinC?acsinB?bcsinA

兩邊同除以abc即得：

證明二：（外接圓法）

如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴aa??CD?2R sinAsinD

bc=2R，＝2R sinBsinC12121212abc== sinAsinBsinC

同理

證明三：（向量法）

?????過A作單位向量j垂直于AC

????????????由 AC+CB=AB

???????????????兩邊同乘以單位向量j 得 j?(AC+CB)=j?AB 則?+?=?

???????????????∴|j|?|AC|cos90?+|j|?|CB|cos(90??C)=| j|?|AB|cos(90??A)

∴asinC?csinA∴ac= sinAsinC

?????cbabc同理，若過C作j垂直于CB得： =∴== sinCsinBsinAsinBsinC

正弦定理的應(yīng)用 從理論上正弦定理可解決兩類問題：

1．兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

2已知a, b和A, 用正弦定理求B時的各種情況

:

⑴若A為銳角時: ?a?bsinA無解??a?bsinA一解(直角)

??bsinA?a?b二解(一銳, 一鈍)?a?b一解(銳角)?

已知邊a,b和?A

a

無解a=CH=bsinA僅有一個解

CH=bsinA

?a?b無解⑵若A為直角或鈍角時:? ?a?b一解(銳角)