第一篇：高等數(shù)學(xué)習(xí)題-第78章_

高等數(shù)學(xué)第七、八章練習(xí)題

1.指出下列各點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面或卦限：

A(2，1,-6)，B(0，2，0)，C(-3，0,5)，D(1，-1，-7).2.已知點(diǎn)M(-1，2，3)，求點(diǎn)M關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)、各坐標(biāo)軸及各坐標(biāo)面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).3.在z軸上求與兩點(diǎn)A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距離的點(diǎn).4.證明以M1(4,3,1)，M2(7,1,2)，M3(5,2,3)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形.5、已知向量a=（0，3，1），b=（1，2，-1），則a?b=______；

6、過(guò)點(diǎn)A（1，-2，1）且以a=（1，2，3）為法向量的平面方程是_____；

7、過(guò)點(diǎn)（1，-2，3）且與平面7x?3y?z?6?0平行的平面方程是＿＿；

8．已知兩點(diǎn)M1(4,2,1)與M2(3,0,2)，求M1M2，方向余弦，方向角．

9．試確定m于n的值，使向量a?{?2,3,n}與向量b?{m,?6,2}平行．

10、已知平面?1：A1x?B1y?C1z?D1?0與平面?2：A2x?B2y?C2z?D2?0，則??????1||?2的充要條件是＿＿，而?1??2的充要條件是＿＿；

11、平面3x?y?2z?1?0的法向量為(3,?1,2)＿＿；

12、過(guò)點(diǎn)（1，-2，2）且以向量a=（1，-2，3）為方程向量的直線方程是＿＿；

13、指出下列方程在平面解析幾何與空間解析幾何中分別表示什么幾何圖形？

22(1)x－2y=1；(2)x+y=1；

222(3)2x+3y=1；(4)y=x.14、求下列旋轉(zhuǎn)曲面的方程．

（1）將zOx面上的拋物線z?5x繞x軸旋轉(zhuǎn)一周； 2?

x2y

2??1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周；（2）將xOy面上的橢圓9

4（3）將xOy面上的雙曲線4x2?9y2?36分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)一周；

（4）將xOy面上的直線y?2x?1繞x軸旋轉(zhuǎn)一周．

15、求下列二元函數(shù)的定義域，并繪出定義域的圖形.(1)z?z?ln(x?y)(3)z?1(4)z?ln(xy?1)ln(x?y)

16.求下列函數(shù)的定義域，并指出其在平面直角坐標(biāo)系中的圖形：(1)z?sin212；

(2)z

x?y?

122(3)f(x,y)x?y)；

(4)f(x,y)17、函數(shù)z?x?y)的定義域?yàn)????????。

arcsinx18、函數(shù)z?的定義域?yàn)????????。y

?y?

19、設(shè)函數(shù)f(x,y)?x2?y2?xyln??x??，則f(kx,ky)= ???????。20、設(shè)函數(shù)f(x,y)?xy

x?y，則f(x?y,x?y)= ???????。

21、極限lim

sin(xy)

x?0y??

x

= ???????。

22、極限lim

ln(y?ex

2)x?0。

y?

1x2

=??????? ?y23、求極限limxyex

x?0

4?。

y?0

?xy

24.計(jì)算下列極限：

limex(1)?y

xy)

x?0x?y；

(2)lim

sin(;

(x,y)?(0,3)xy?

1sin(x3?y3(3)lim)；

(4)

(x,y)?(0,0)x?y

(x,ylim)?(0, 0)

.25.求下列極限：

(1)(x,limy)?(0,0)(x2?y2)sin1xy；

(2)(x,ylim)?(0, 0).limx226.極限y

x?0x4?y

2=（）

y?0

(A)等于0；(B)不存在；(C)等于

12；(D)存在且不等于0或12

?

27、設(shè)函數(shù)f(x,y)???xsin1?ysin

1xy?0，則極限lim?yx

x?0

f(x,y)=?0

xy?0

y?0

(A)不存在；(B)等于1；(C)等于0；(D)等于228.說(shuō)明下列極限不存在：

(1)limx?yx?0；(2)limx3y

6?0

x?yx?0y?0

x?y

2.y?

xy229、設(shè)函數(shù)f(x,y)??

?x2?y

2x2?y?0，則f(x,y)??

0x2?y2?0

(A)處處連續(xù)；(B)處處有極限，但不連續(xù)；

(C)僅在（0,0）點(diǎn)連續(xù)；(D)除（0,0）點(diǎn)外處處連續(xù)30、函數(shù)z?f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處具有偏導(dǎo)數(shù)是它在該點(diǎn)存在全微分的(A)必要而非充分條件；(B)充分而非必要條件；(C)充分必要條件；(D)既非充分又非必要條件

31.下列函數(shù)在何處間斷？

（）

（）

（）

(1)z?

1；

x?y

2(2)z?

32、設(shè)z?sin(3x?y)?y，則

?z?x

x?2y?

1?_________。

33.偏導(dǎo)數(shù)fx(x0,y0)，fy(x0,y0)存在是函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)連續(xù)的()A 充分條件B 必要條件

C 充要條件D 即非充分也非必要條件

34.函數(shù)f(x,y)?(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)存在的情況是().A fx(0,0)，fy(0,0)都存在B fx(0,0)存在，fy(0,0)不存在C fx(0,0)不存在，fy(0,0)存在D fx(0,0)，fy(0,0)都不存在35、設(shè)z?yx

ln(xy)，求?z?z

?x,?y

。36.求下列函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)：

(1)z=x

3+3xy+y3

；(2)z?siny

2x

;

(3)z?ln(x?3y)；(4)z?xy?lnxy(x?0，y?0,x?1)

z(5)u?xy；

(6)u?cos(x2?y2?e?z)

37.求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)：

(1)f(x,y)=x2－xy+y2，求fx(1,2)，fy(1,2);

(2)f(x,y)?arctanx2?y2

x?y

;求fx(1,0)

(3)f(x,y)?sin(x2?1)earctan(x2

;求fx(1,2)；

(4)f(x,y,z)?ln(x?yz), 求fx(2,0,1),fy(2,0,1),fz(2,0,1).38

．設(shè)r 2

(1)???r???x??????r???y??????r???z?

??1;(2)?2r?2r?2r?x2??y2??z

?2r;(3)

?2(lnr)?2(lnr?x2?)?2(lnr)

1?y2??z2?r

2.39.求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)?2z?2z?2

z?x2,?y2,?y?x

：(1)z?4x3?3x2y?3xy2?x?y；(2)z?xln(x?y).40.求下列函數(shù)的全微分：

(1)z=4xy3

+5x2y6；

(2)z(3)u=ln(x－yz)；(4)u?x?sin

y

?eyz 41.計(jì)算函數(shù)z=xy

在點(diǎn)(3，1)處的全微分.42.求函數(shù)z=xy在點(diǎn)(2，3)處，關(guān)于Δx=0.1，Δy=0.2的全增量與全微分.43.計(jì)算(1.04)2.02的近似值.44.設(shè)有一個(gè)無(wú)蓋圓柱形玻璃容器，容器的內(nèi)高為20 cm，內(nèi)半徑為4 cm，容器的壁與底的厚度均為0.1 cm，求容器外殼體積的近似值.45.求下列函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)：

3u+2v2

(1)設(shè)z=e，而u=t,v=cost,求導(dǎo)數(shù)dz；

dt3

(2)設(shè)z=arctan(u－v),而u=3x,v=4x,求導(dǎo)數(shù)dz;

dx

t

(3)設(shè)z=xy+sint,而x=e,y=cost,求導(dǎo)數(shù)dz.dt

46.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(其中f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))：

(1)設(shè)z=uv－uv，而u=xsiny,v=xcosy，求?z和?z；

?x?y

224x+2y

(2)設(shè)z=(3x+y)，求?z和?z；

?x?yx+2y+3z2

(3)設(shè)u=f(x,y,z)=e,z=xcosy，求?u和?u；

?x?y

(4)設(shè)w=f(x，xy，xyz)，求?w,?w,?w.?x?y?z47、函數(shù)z?z(x,y)由方程x?y?z?e

?(x?y?z)

?2z

?所確定，則?x

2?z

。答：?y48、設(shè)函數(shù)z?z(x,y)由方程xy2z?x?y?z所確定，求

z

49.已知sinxy－2z+e=0,求?z和?z..?x?y

50.求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)(其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))：

2(3)z=f(xy,x－y).51.求由下列方程所確定的隱函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)?z,?z：

?x?y(1)x+y+z－4z=0；

(2)z－3xyz=1.22

52.設(shè)z=f(x,y)由方程xy+yz+xz=1所確定,求?z,?z2,?z.?x?x?x?y

53.設(shè)函數(shù)f(x,y)?1,則下列結(jié)論正確的是()

A 點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極小值點(diǎn)B 點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極大值點(diǎn) C 點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的駐點(diǎn)D f(0,0)不是f(x,y)的極值

54、函數(shù)f?x,y??x?ay

?a?0?在?0,0?處（）

A、不取極值B、取極小值C、取極大值D、是否取極值依賴于a

55、設(shè)函數(shù)z?1?

x2?y2，則點(diǎn)(0,0)是函數(shù)z的（）

（A）極大值點(diǎn)但非最大值點(diǎn)；（B）極大值點(diǎn)且是最大值點(diǎn)；

（C）極小值點(diǎn)但非最小值點(diǎn)；（D）極小值點(diǎn)且是最小值點(diǎn)。

56、設(shè)函數(shù)z?f(x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在P0(x0,y0)處，有（）

fx(P0)?0,fy(P0)?0,fxx(P0)?fyy(P0)?0,fxy(P0)?fyx(P0)?2，則

（A）點(diǎn)P0是函數(shù)z的極大值點(diǎn)；（B）點(diǎn)P0是函數(shù)z的極小值點(diǎn)；（C）點(diǎn)P0非函數(shù)z的極值點(diǎn)；（D）條件不夠，無(wú)法判定。

?

57．設(shè)資本投入為K，勞動(dòng)投入為L(zhǎng)時(shí)，某產(chǎn)品的產(chǎn)出量為y，且y?AKL

?，其中A,?,?

為常數(shù)，則y對(duì)資本的偏彈性?K?，對(duì)勞動(dòng)的偏彈性?L?58.求下列函數(shù)的極值：

3(1)f(x,y)=x+y－6xy+18x－39y+16；

(2)f(x,y)=3xy－x－y+1.59.求下列函數(shù)的條件極值：(1)z=xy，x+y=1；

2(2)u=x－2y+2z，x+y+z=1.60.要用鐵板做成一個(gè)體積為8m的有蓋長(zhǎng)方體水箱，如何設(shè)計(jì)才能使用料最??？ 61.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的日產(chǎn)量分別為x件和y件，總成本函數(shù)為

C(x,y)=1000+8x2－xy+12y2(元),要求每天生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的總量為42件，問(wèn)甲、乙兩種產(chǎn)品的日產(chǎn)量為多少時(shí)，成本最低？ 62.某公司通過(guò)電視和報(bào)紙兩種媒體做廣告，已知銷售收入R(單位:萬(wàn)元)與電視廣告費(fèi)x(單位:萬(wàn)元)和報(bào)紙廣告費(fèi)y(單位:萬(wàn)元)之間的關(guān)系為

R(x,y)=15+14x+32y－8xy－2x2－10y2，(1)若廣告費(fèi)用不設(shè)限，求最佳廣告策略.(2)若廣告費(fèi)用總預(yù)算是2萬(wàn)元，分別用求條件極值和無(wú)條件極值的方法求最佳廣告策

略.63.某水泥廠生產(chǎn)A,B兩種標(biāo)號(hào)的水泥，其日產(chǎn)量分別記作x,y(單位：噸)，總成本(單位：元)為

C(x,y)=20+30x2+10xy+20y2,求當(dāng)x=4,y=3時(shí)，兩種標(biāo)號(hào)水泥的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟(jì)含義.64.設(shè)某商品需求量Q與價(jià)格為p和收入y的關(guān)系為

Q=400－2p+0.03y.求當(dāng)p=25,y=5000時(shí)，需求Q對(duì)價(jià)格p和收入y的偏彈性，并解釋其經(jīng)濟(jì)含義.2

265.求函數(shù)f(x,y)=x(2+y)+ylny的極值.66、某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品甲和乙，出售單價(jià)分別為10元與9元，生產(chǎn)x單位的產(chǎn)品甲與生產(chǎn)y單位的產(chǎn)品乙的總費(fèi)用是

400?2x?3y?0.01(3x?xy?3y)元，求取得最大利潤(rùn)時(shí)，兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少？

67．某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量各為x、y，其成本函數(shù)為c(x,y)?x2?2xy?3y2。由市場(chǎng)調(diào)查得知，甲、乙兩種產(chǎn)品的單價(jià)與產(chǎn)量分別有如下關(guān)系：P。1?36?3x,P2?40?5y試求甲、乙兩種產(chǎn)品產(chǎn)量各為多少時(shí)總利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)。

(元)。

第二篇：高等數(shù)學(xué)習(xí)題7-1

習(xí)題7-

11.判定下列平面點(diǎn)集中哪些是開(kāi)集、閉集、區(qū)域、有界集、無(wú)界集？并指出集合的邊界.（1）?(x,y)x?0,y?0?；

（2）?(x,y)1?x2?y2?4?；

（3）?(x,y)y?x2?；

（4）?(x,y)x2?(y?1)2?1且x2?(y?1)2?4?.解（1）集合是開(kāi)集，無(wú)界集；邊界為{(x,y)x?0或y?0}.（2）集合既非開(kāi)集，又非閉集，是有界集；邊界為

{(x,y)x?y?1}?{(x,y)x?y?4}.222

2（3）集合是開(kāi)集，區(qū)域，無(wú)界集；邊界為{(x,y)

（4）集合是閉集，有界集；邊界為

{(x,y)x?(y?1)?1}?{(x,y)22y?x}.2x?(y?1)?4} 22

2.已知函數(shù)f(u,v)?uv，試求f(xy,x?y).解f(xy,x?y)??xy?

3.設(shè)f(x,y)?(x?y).?2xy，證明：

f(tx,ty)?tf(x,y).2

解

f(tx,ty)?2

2txy?t22txy?t222xy ??tf(x,y).?y?4.設(shè)f???

?x?x(x?0)，求f(x).?y?解

由于f???

?

x?x?1，則f?x??.5.求下列各函數(shù)的定義域：

（1）z?x?y

x?y2222；（2）z?ln(y?x)?arcsinyx；

（3）z?ln(xy)；（4）z?；

（5）z?（6）u?arccos

.解（1）定義域?yàn)?(x,y)y??x?；

（2）定義域?yàn)?(x,y)x?y??x?；

（3）定義域?yàn)?(x,y)xy?0?，即第一、三象限（不含坐標(biāo)軸）； ?

（4）定義域?yàn)?(x,y)

?

xa

2?

??1?； 2b?y

（5）定義域?yàn)?(x,y)x?0,y?0,x2?y?；

（6）定義域?yàn)?(x,y,z)x2?y2?z2?0,x2?y2?0?.6.求下列各極限：（1）

lim

x?xy?y

x?y

；（2）1xy

(x,y)?(2,0)(x,y)?(0,0)

lim

ln(x?y?1)sin(xy)y；

（3）

(x,y)?(0,0)

lim(x?y)sin

；（4）

(x,y)?(2,0)

lim；

（5）

(x,y)?(0,1)

lim(1?xy)x；（6）

(x,y)?(??,??)

lim(x?y)e

22?x?y

.解：（1）

(x,y)?(2,0)

lim

x?xy?y

x?y

?f(2,0)?

?2；

（2）

(x,y)?(0,0)

lim

u

1?lim?lim?； u?0u?0ln(x?y?1)ln(1?u)u2

1?cos（3）因?yàn)?/p>

(x,y)?(0,0)

limin(x?y)?0，且s

1xy

1?有界，故

(x,y)?(0,0)

lim(x?y)sin

1xy

?0；

（4）

(x,y)?(2,0)

lim

sin(xy)y

?

(x,y)?(2,0)

limx

sin(xy)xy

?2?1?2；

（5）

(x,y)?(0,1)

lim(1?xy)?

x

(x,y)?(0,1)

lim(1?xy)

xy

?y

?e?e；

（6）當(dāng)x?N?0，y?N?0時(shí)，有0?

(x?y)e

x?y

?

(x?y)e

x?y，而

(x,y)?(??,??)

lim

?x?y?

e

x?y

?lim

ue

2u

u???

?lim

?x?y

2ue

u

u???

?lim

2e

u

u???

?0

按夾逼定理得

(x,y)?(??,??)

lim(x?y)e?0.7.證明下列極限不存在：（1）

lim

x?yx?y；

(x,y)?(0,0)

?x2y,?42

（2）設(shè)f(x,y)??x?y

??0,x?y?0,x?y?0,22

(x,y)?(0,0)

limf(x,y).證明（1）當(dāng)(x,y)沿直線y?kx趨于(0,0)時(shí)極限

x?yx?y

x?kxx?kx

1?k1?k

(x,y)?(0,0)

lim?lim

x?0y?kx

?

與k有關(guān)，上述極限不存在.（2）當(dāng)(x,y)沿直線y?x和曲線y?x2趨于(0,0)有

lim

xyx?yxyx?y

(x,y)?(0,0)

?lim

xxx?xxx

4x?0y?x

?lim

xx?1x

x?0y?x

?0，(x,y)?(0,0)

lim?lim

x?0

2y?x

x?x

?lim

x?0y?x

2x

?

12，故函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處二重極限不存在.8.指出下列函數(shù)在何處間斷：

（1）z?ln(x?y)；（2）z?

1y?2x

.解（1）函數(shù)在(0,0)處無(wú)定義，故該點(diǎn)為函數(shù)z?ln(x?y)的間斷點(diǎn)；（2）函數(shù)在拋物線y?2x上無(wú)定義，故y?2x上的點(diǎn)均為函數(shù)z?點(diǎn).9.用二重極限定義證明：

1y?2x的間斷

(x,y)?(0,0)

lim

2?0.證

?0?

?

2?

?

?

其中??P(x,y)，于是，???0，???2??0；當(dāng)0????時(shí)，?|OP|，?0??成立，由二重極限定義知

(x,y)?(0,0lim

?0.10.設(shè)f(x,y)?sinx，證明f(x,y)是R2上的連續(xù)函數(shù).證設(shè)P0(x0,y0)?R2.???0，由于sinx在x0處連續(xù)，故???0，當(dāng)|x?x0|??時(shí)，有

|sinx?sinx0|??.以上述?作P0的?鄰域U(P0,?)，則當(dāng)P(x,y)?U(P0,?)時(shí)，顯然

|x?x0|??(P,P0)??，從而

|f(x,y)?f(x0,y0)|?|sinx?sinx0|??，sinx作為x、y的二元函數(shù)在R2即f(x,y)?sinx在點(diǎn)P0(x0,y0)連續(xù).由P0的任意性知，上連續(xù).

第三篇：高等數(shù)學(xué)極限習(xí)題500道

當(dāng)x?x0時(shí)，設(shè)?1＝o(?)，?1?o(?)且lim求證：lim x?x0?存在，????1???1x?x0?limx?x0?．?1 若當(dāng)x?0時(shí)，?(x)?(1?ax)23?1與?(x)?cosx?1是等價(jià)無(wú)窮小，則a? 1313A．　B．　C．?　D．?．2222 答（）階的是2當(dāng)x?0時(shí)，下述無(wú)窮小中最高A　x　B1　?cosx　C　1?x n??2?1　D　x?sinx（）n 答n??? 求limn?ln(2n?1)?ln(2n?1)?之值． 求極限lim(?1)nsin(?n?2)．2e?1?x11求極限lim(n?)ln(1?)． lim3x?0n??2nxsinx x22的值?_____________ 設(shè)有數(shù)列a1?a，a2?b(b?a)，an?2?求證：limyn?lim(an?1?an)及l(fā)iman．n??n??n??an?1?an2 設(shè)x1?a，x2?b．(b?a?0)xn?2?記：yn?1xn?1?sinx2xnxn?1xn?xn?1，1，求limyn及l(fā)imxn．n??n??xn求極限limx?0(1?2x)?cosxx2之值． 設(shè)limu(x)?A，A?0；且limv(x)?Bx?x0x?x0試證明：limu(x)x?x0v(x)?A．B lim?ln(1?x)?(x?1)2?x?11A．? B．1 C．0 D．ln2 答（）lim(1?2x)x?0sinxx? A．1 B．e C．e D．2 2 答（）設(shè)u(x)?1?xsin求：lim212.f(u)?ux及l(fā)imu(x)之值，并討論x?0f(u)?1u?1u?1limf?u(x)??1u(x)?1 的結(jié)果．x?0limx?9x?x?6 xx?32的值等于_____________ lime?4ex?x?xx??3e?2e? 1A． B．2 C．1 D．不存在3答：（）lim(2?x)(3?x)(6?x)835x??? A.?1　B.1　C.12?32053　D.不存在答：（）lim(1?2x)(1?3x)(1?6x)321510x???__________3__ limxe?e1?2xx?xx?0的值等于____________ 求極限lim x?3x?2x?x?x?132 求lim．1?6x?4x?1x?0x(x?5)之值． 已知：limu(x)??，limu(x)v(x)?A?0x?x0x?x0問(wèn)limv(x)?？為什么？x?x0 關(guān)于極限lim5351結(jié)論是：54x?03?exA　　　B　0　　C　　D　不存在 　　　　　　　　　　　　　　答（）設(shè)limx?xf(x)?A，limg(x)??，則極限式成立的是0x?x0A.limf(x)x?xg(x)?00B.limg(x)x?xf(x)??0C.limx?xf(x)g(x)??0D.limf(xg(x)x?x)??0 答（）f(x)?excosx，問(wèn)當(dāng)x???時(shí)，f(x)是不是無(wú)窮大量． limtanx?1x?0arctanx?A.0 B.不存在.C.?2　D.??2 答（）limarctan(x2)x??x?A.0 B.? C.1 D.?2 答（）lim2x?1?x??x2?3A.2 B.?2 C.?2 D.不存在 答（）設(shè)f(x)?31，則f(?0)?___________ 2?ex limarccot1x?0x?A.0 B.? C.不存在.D.?2 答（）lima?cosx?0，則其中x?0ln1?xa?A.0　　B.1　　C.2　　D.?3 　　　　　　　　　　　　　　答（）lime 2xx?0?e?3x的值等于__________1?cosx2(1?cos2x)x?x__ limx?0? A.2　　B.?2　　C.不存在.D.0答：（）設(shè)f(x)?px?qx?5x?52，其中p、q為常數(shù)． 問(wèn)：(1)p、q各取何值時(shí)，limf(x)?1；x??(2)p、q各取何值時(shí)，limf(x)?0；x??(3)p、q各取何值時(shí)，limf(x)?1．x?5求極限limx??(x2nn?2)?(x222nn?2)22(x?1)?(x?1)4． 求極限lim(3x?2)(2x?3)3232x??． 已知limx?3?A?B(x?1)?c(x?1)(x?1)2?2?x?1?0 試確定A、B、C之值． 已知f(x)?試確定常數(shù)ax3?bx22?cx?dx?x?2a，b，c，d之值．，滿足(1)limf(x)?1，(2)limf(x)?0．x??x?1 已知lim(a?b)x?b3x?1?x?3x?x0x?1?4，試確定a，b之值． 1??＂上述說(shuō)法是否正確？?(x)為什么？ ＂若lim?(x)?0，則limx?x0 當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)是無(wú)窮大，且limg(x)?A，x?x0 證明：當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)?g(x)也為無(wú)窮大．用無(wú)窮大定義證明：用無(wú)窮大定義證明：limx?12x?1???． 用無(wú)窮大定義證明：x?1tanx??? 用無(wú)窮大定義證明：3x?0 lim?lnx???．limx???02x?1?0lim1x?1???． 用無(wú)窮大定義證明：用無(wú)窮大定義證明：x??? lim(x?4x)???．limlogx???a x???(其中0?a?1)． 若當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)、?(x)都是無(wú)窮小，則當(dāng)x?x0時(shí)，下列表示式哪一個(gè)不一定是無(wú)窮小.(A)?(x)??(x)(B)?(x)??(x)(C)ln?1??(x)??(x)?(D)22 ?(x)?(x)2　　　　　　　　　　　答（）＂當(dāng)x?x0，?(x)是無(wú)窮小量＂是＂當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)是無(wú)窮小量＂的(A)充分但非必要條件(B)必要但非充分條件(C)充分必要條件(D)既非充分條件，亦非必要條件　　　　　　　　　　　　　答（）＂當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)?A是無(wú)窮?。⑹牵imf(x)?A＂的：x?x0(A)充分但非必要條件(B)必要但非充分條件(C)充分必要條件(D)既非充分條件，亦非必要條件　　　　　　　　　　　　　答（）若limf(x)?0，limg(x)?0，但g(x)?0．x?x0x?x0證明：lim　　　limf(x)g(x)x?x0?b的充分必要條件是?0．n f(x)?b?g(x)g(x)x?x0用數(shù)列極限的定義證明用數(shù)列極限的定義證明：liman?? ?0，(其中0?a?1)． ?1(0?a?1)．：liman??1n用數(shù)列極限的定義證明lim1?cos(sinx)2ln(1?x)2：limn(n?2)2n?52n???1． 2x?0的值等于___________ 求極限lim?(cosx)xsinx3?1?之值． x?0(1?xsinx)?求極限limx?0x?1x3?之值． lim(cosx?sinx)xx22x2x?1x?0?__________ __ lim(1?2x)x(cosx)23x?1x?0?_____________ lim(1?sinx)?1x?0?__________2sinx3limx?0x?x?11?x?1求極限limx()?1??之值． ?______________ x???x?1?0??(x)?u(x)??(x)，且當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)~?(x)． 設(shè)在x0的某去心鄰域內(nèi)試證明：當(dāng) x?x0時(shí)　?(x)~u(x)．設(shè)當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)?0，?(x)?o??(x)?，?1(x)~?(x)．lim求證：lim?(x)??(x)u(x)?A．x?x0存在(?A?0)?1(x)??(x)u(x)572x?x0求limx?0(1?3x)?(1?2x)(2x?1)?1之值． 設(shè)當(dāng)x?x0，?(x)，?1(x)，?(x)，?1(x)均為無(wú)窮小，且?(x)~?1(x)；?(x)~?1(x)，如果lim1?(x)?(x)1x?x0?A 試證明：lim?1??(x)??(x)?lim?1??1(x)??1(x)．x?x0x?x0 設(shè)當(dāng)x?x0，?(x)，?(x)都是無(wú)窮小，且?(x)?0，?(x)?0試證明：?1??(x)? ?(x)~?(x)?(x)． 設(shè)當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)與?1(x)均為無(wú)窮小，且試證明：lim?(x)~?1(x)；如果lim?1．?(x)?(x)x?x0?A?1??(x)?a?(x)?1x?x0?lim?1??1(x)?a?(x)x?x0(式中a是正常數(shù))用數(shù)列極限的定義證明 limn??1?0． n!設(shè)limxn?A，且B?A?C．n??試證必有正整數(shù)N存在，使當(dāng) B?AA?Cn?N時(shí)恒有　?xn?成立．22 設(shè)有兩個(gè)數(shù)列?xn?，?yn?滿足(1)limxn?0；n??(2)yn?M(M為定數(shù))．試證明：lim(xn?yn)?0．n?? xsin設(shè)limf(x)?A，求證：limf(x)?A． 求極限limx?0x?x0x?x021x sinxx1?sin求極限lim?cosln(1?x)?coslnx? 求極限limx?0x???1x． 1x求極限limx??2x1?x2arctan1x． 求極限lim1x(1?e)xx?? 求極限limarctanx?arcsinx?? 求極限limx?02?11x2?2x ． 求數(shù)列的極限lim(sinn??n?1?sinn)設(shè)lim?(x)?u0，且?(x)?u0，又limf(u)?Ax?x0u?u0試證：limf??(x)??Ax?x0 設(shè)f(x)?x?1lnx試確定實(shí)數(shù)a，b之值，使得： 當(dāng)x?a時(shí)，f(x)為無(wú)窮?。划?dāng)x?b時(shí)，f(x)為無(wú)窮大。設(shè)f(x)?xtanx2，問(wèn)：當(dāng)x趨于何值時(shí)，f(x)為無(wú)窮小。若limf(x)?A，limg(x)?B，且B?Ax?x0x?x0 證明：存在點(diǎn) x0的某去心鄰域，使得在該鄰域內(nèi)　g(x)?f(x)．設(shè)limf(x)?A，試證明：x?x0對(duì)任意給定的??0，必存在正數(shù)?，使得對(duì)適含不等式0?x1?x0??；0?x2?x0??的一切x1、x2，都有f(x2)?f(x1)??成立。已知：limf(x)?A?0，試用極限定義證明：x?x0x?x0limf(x)?A． 若數(shù)列?xn?與?yn?同發(fā)散，試問(wèn)數(shù)列?xn?yn?是否也必發(fā)散？求f(x)?lim x2n?1?x?12n?1n??x2n的表達(dá)式 x設(shè)f(x)?limn??sin?x?cos(a?bx)22nx?1(其中a、b為常數(shù)，0?a?2?)，(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)確定a，b之值，使limf(x)?f(1)，limf(x)?f(?1)．x?1x??1求f(x)?lim211?(lnx)22n?1n??的表達(dá)式 求f(x)?lim2xn?2n?x?n?1?nn??x?xn的表達(dá)式． 設(shè)?(x)?x?3x?3，fn(x)?1??(x)??(x)????(x)，求f(x)?limfn(x)．n????xxx求f(x)?lim?x?????的表達(dá)式． 2222n?1?n??1?x(1?x)(1?x)??求f(x)?limxnnnn??1?x的表達(dá)式． 設(shè)Sn??k?1k，其中bk?(k?1)!，求limSn． n??bk22nn?x(1?x)x(1?x)x(1?x)求f(x)?lim?1?????2nn??222???的表達(dá)式。?求f(x)?limx(1?(1?limx)?nnnx?1nn?1的表達(dá)式，其中n??x)?13a?2(?b)n?1 x?0．求數(shù)列的極限n??3a?2(?b)n．(其中a?b?0)． n求數(shù)列的極限limn??5?3?3?(?2)32n． 求數(shù)列的極限lim(n??12?34?53???2n?12n)． 求數(shù)列的極限 lim(1?2q?3q???nqn??n?1)，其中q?1．求數(shù)列的極限111??lim?????? n??a(a?1)(a?2)(a?1)(a?2)(a?3)(a?n?1)(a?n)(a?n?1)??其中a?0．求數(shù)列的極限求數(shù)列的極限?1?11lim?????? n??1?33?5(2n?1)(2n?1)???1111lim??????n??2?33?4n(n?1)?1?2? ?．?求數(shù)列的極限求數(shù)列的極限liman23n???12?2?3???(n?1)(其中a?0)222?2?1n?lim(1?2?3???(n?1)? ?．n??n?2?2??求數(shù)列的極限limn??n(n?2?n?1)． 求數(shù)列的極限limn???n?4n?5?(n?1)． n?3n?6?(n?1)(n?1)n432?求數(shù)列的極限limn??． 求數(shù)列的極限求數(shù)列的極限limannn??2?a2 ．(其中a?1)．lim(1?n??12)(1?132)?(1?1n2)． 求數(shù)列的極限lim10000nn?12n??． 求數(shù)列的極限limn??n?4n?33n?5n?1nnn22． 求數(shù)列的極限lim(n?1?n??n)． 求數(shù)列的極限limn??1?2?3． 求數(shù)列的極限lim2n?a?n?b?2n2n2n?1n?2n??．(a?0，b?0且b?2)3　求數(shù)列的極限limn(1?n??n2n?1)． 求數(shù)列的極限limn(n??n?1n?2?1)． 求極限lim． n?12n?13?10?2?10若在x0的某鄰域內(nèi)f(x)?g(x)，且limf(x)?A，limg(x)?B．n??x?x0x?x02?10?3?10試判定是否可得：若lim?(x)?0，limx?x0x?x0A?B． 1?b?0，則lim?(x)?(x)?0是否成立？為什么？x?x0?(x)確定a，b之值，使limx????3x?4x?7?(ax?b)?0，2?并在確定好a，b后求極限limxx????3x?4x?7?(ax?b)2? 求極限lim(xx??x?1x?12?x)． 求極限limx??2x?cosx3x?sinx2． 2求極限limx??(x?1)?(2x?1)?(3x?1)???(10x?1)(10x?1)(11x?1)2 2求極限limxx????2x?2x?5?(x?1)． 求極限lim(4x?8x?5?2x?1)． x????討論極限limx??2e3x3x?3e?e2?2x4e?2x． 求極限lim22(x?1)(2x?1)(3x?1)(4x?1)(5x?1)(2x?3)(3x?2)22232x??． 求極限limx??(x?1)(2x?1)(3x?1)(4x?1)(5x?1)(5x?3)?2(4x?3)(3x?2)(6x?7)25234335x2x22． 求極限limx??． 求極限limx???a1?a(a?0，a?1)． 求極限limtan2x?tan(x??4??x)． 4確定a，b之值，使當(dāng)x???時(shí)，f(x)?x?4x?5?(ax?b)為無(wú)窮?。?2求極限limx?1x?3x?2x?4x?35x?1?234． 求極限limx?2x?5x?6x?4x?0223． 求極限limx?23x?2?2x?2． 求極限limx?22x?53x?42． 求極限lim52xx?5?253． 24求極限limx?0(1?2x)?(1?x)3(1?4x)?(1?3x)?2(2x?a)n4m 求極限limx?0(1?x)?(1?x)x2． 53求極限lim?anmx?ax?ax2axax22(m，n為自然數(shù))． 求極限lim(1?2x)?(1?4x)x x?0求極限limx?0(1?3x)?1． 設(shè)f(x)??(a?2)x?12?(a?1)x?ax?1問(wèn)：(1)當(dāng)a為何值時(shí)，limf(x)??；(2)當(dāng)a為何值時(shí)，limf(x)?x?1112；(3)當(dāng)a為何值時(shí)，limf(x)?0，并求出此極限值。x?2求極限limx?0cscx?cotxx1?tanx?x3． 求極限limx?01?cosaxx2． 求極限limx?0sinx?1． 求極限limx??tanx?tan??(0???)x??22?2cosxxx?0求極限limx?01?sinx?cosx1?sinpx?cospx(p為常數(shù)，p?0)． 討論極限lim． 求極限limx?0ln(1?3x)1?xsinx?cosx． ． 求極限limx?0xtanxxen?1?2求數(shù)列的極限limnsin． lim(arctan?)n?1． n??n??n4n??n2lim2sin． 求數(shù)列的極限limn(1?cos)． n?1n??n??2n求數(shù)列的極限求數(shù)列的極限 設(shè)f(x)是定義在x0?(a，b)，則?a，b?上的單調(diào)增函數(shù)，(A)f(x0?0)存在，但f(x0?0)不一定存在(B)f(x0?0)存在，但f(x0?0)不一定存在(C)f(x0?0)，f(x0?0)都存在，而(D)limf(x)存在x?x0x?x0 limf(x)不一定存在 設(shè)x1?a?0，且xn?1?　答（）axn，證明：limxn存在，并求出此極限值n?? ．設(shè)x1?2，且xn?1?2?xn，證明limxn存在，并求出此極限值n??。設(shè)x1?0，且xn?1?12(xn?axn)(其中a?0)，證明極限limxn存在，并求出此極限值．n?? 設(shè)x0?1，x1?1?x01?x0，?，xn?1?1?xn1?xn． 證明極限limxn存在，并求出此極限值。n??n??3n1111設(shè)xn???2???n，求證：limxn存在.n??1?13?13?13?1設(shè)xn?1?122?12???12，(n為正整數(shù))求證：limxn存在． 設(shè)x1?12，x2?1?32?41，?，xn?；1?3?5?(2n?1)2?4?6?(2n)，(1)證明：xn?2n?1(2)求極限limxn．n??求極限limx??100x?10x?1x?0.1x?0.01x?0.001xn?1xn322． 設(shè)數(shù)列?xn?適合3?r?1,(r為定數(shù)）證明：limxn?0． n??求極限limx?tanx?3tanxcos(x???6． 3)求數(shù)列的極限limn??2nn!． n?0．)．用極限存在的＂夾逼準(zhǔn)求數(shù)列的極限lim(n??則＂證明數(shù)列的極限1n?12limn???1n?22??212nn?n3求數(shù)列的極限求數(shù)列的極限limnn??sinn!． n?122x??111ln(2?3e)lim?????．． 222?求極限lim3xn??x???(n?1)(n?2)(2n)ln(3?2e)??63求極限limx??ln(x?5x?7)ln(x?3x?4)2． 求極限limx???x?x?xx?x． ??x?，當(dāng)x?0??2設(shè)f(x)?sin2x，g(x)???x??，當(dāng)x?0 ??2討論limg(x)及l(fā)imf?g(x)?．x?0x?0設(shè)lim?(x)?u0，limf(u)?f(u0), 證明：limf??(x)??f(u0)。x?x0u?u0x?x0無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.9?的值(A)不確定(B)小于1(C)等于1求極限limxm?xnD)無(wú)限接近1x?1xm?xn?2(m、n為正整數(shù))．(答（若數(shù)列?an?適合an?1?an?r(an?an?1)(0?r?1)求證：limaa2?ra1．n??n?1?rn設(shè)x?n!其中, 求極限limxn＋1n?anna?0是常數(shù)，n為正整數(shù) n??x n求數(shù)列的極限lim(sec?2n??n)n． 設(shè)x?x0時(shí)，?(x)與?(x)是等價(jià)無(wú)窮小且lim?(x)?f(x)?A x?x0證明：lim?(x)?f(x)?Ax?x0 設(shè)lim0f(x)?A，且A?0，x?x試證明必有x0的某個(gè)去心鄰域存在，使得 在該鄰域內(nèi)1f(x)有界.下述結(jié)論：＂若當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)與?(x)是等價(jià)無(wú)窮小，則當(dāng)x?x0時(shí)，ln?1??(x)?與ln?1??(x)?也 是等價(jià)無(wú)窮?。⑹欠裾_？為什么？）應(yīng)用等階無(wú)窮小性質(zhì)，1?5x?2求極限lim1?3xarctan(1?x)?arctan(1?x)x1x?0． 1求極限limx?0x?2x1． 求極限lim(1?4x)2?(1?6x)3xx?0． 1求極限limx?0(1?ax)n?1x(n為自然數(shù))．a(chǎn)?0． 求極限lim(5?2x)3?x?3x?2x?3． 設(shè)當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)與?(x)是等價(jià)無(wú)窮小，且limf(x)x?x0?(x)x?x0?a?1，limf(x)??(x)g(x)f(x)??(x)g(x)x?x0?A，證明：lim ?A．設(shè)當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)，?(x)是無(wú)窮小且?(x)??(x)?0證明：e ?(x)?e?(x)~?(x)??(x)．若當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)與?1(x)是等價(jià)無(wú)窮小，?(x)是比?(x)高階的無(wú)窮?。畡t當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)??(x)與?1(x)??(x)是否也是等價(jià)無(wú)窮?。繛槭裁?？ 設(shè)當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)、?(x)是無(wú)窮小，且?(x)??(x)?0.證明：ln?1??(x)??ln?1??(x)?　　　與?(x)??(x)是等價(jià)無(wú)窮?。? 設(shè)當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)是比g(x)高階的無(wú)窮小．證明：當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)?g(x)與g(x)是等價(jià)無(wú)窮?。? 若x?x0時(shí)，?(x)與?1(x)是等價(jià)無(wú)窮小，?(x)與?(x)是同階無(wú)窮小，但不是無(wú)窮小。試判定：?(x)??(x)與?1(x)??(x)也是等價(jià)無(wú)窮小嗎？為什么？等價(jià) 確定A及n，使當(dāng)x?0時(shí)，f(x)?ln(x?21?x)與g(x)?Ax，2n是等價(jià)無(wú)窮?。?設(shè)f(x)?sinx?2sin3x?sin5x，g(x)?Ax，求A及n，使當(dāng)x?0時(shí)，f(x)~g(x)． n 設(shè)f(x)?eg(x)?Ax(a?x)2?e(a?x)2?2ea2，(a為常數(shù))n求A及n，使當(dāng)x?0時(shí)，f(x)~g(x).設(shè)f(x)?　g(x)?xx?2?2Akx?1?x，確定k及A，使當(dāng)x???時(shí)，f(x)~g(x)． 設(shè)?(x)?x?3x?2，?(x)?c(x?1)，確定c及n，使當(dāng)x?1時(shí)，?(x)~?(x)n3 證明不等式：ln(1?求極限lim(ax?ex?0bx1n1)?1n．(其中n為正整數(shù))ax)x，(a，b為正的常數(shù))求極限lim(x?0?bx1求極限limx?1x?1x?1axan，(n為任意實(shí)數(shù))． 求極限xlim?x，(a?0，a?1)求極限lim3x2lnx?lnx0x?x0)x，(a?0，b?0)(x0?0)0求極限limx?a?aa3x?1x?ax?0?x2x?2(a?0，a?1)． e5x求極限limx?0etanx?exxsinx1?xa1?xb12x1． 求極限limx?02e?exx． 求極限lim?1xx?0． 求極限lim(x?0)x(a?0，b?0且a?1，b?1，a?b)1求極限limx(ax????aaxx?1)(a?0，a?1)． 求極限limx?0ln(secx?tanx)sinx． 求極限limln(1?ex???求極限limxln(x0?x)?ln(x0?x)?2lnx0xcosxcos?1)ln(1?b)(a，b為常數(shù)，且a?0).(x0?0)．xx?02求極限lim(x??)x??(??k???2，k?z)． 求極限limcosx????x． 1求極限lim(1?2x)x 求極限lim(x?02x?12x?1)3xx??． 求極限lim(x??12x?x?12x?x?122)． cotxx求極限lim(sinx)x?tanx2? 2???求極限limtan(?x)x求極限lim(sinx?cosx)． ?x?0?4??x?012x?0． 1求極限lim(cosx??0x)． 求極限lim(1?xx?x)x． 求極限lim?(x?2)ln(x?2)?2(x?1)ln(x?1)?xlnx?x 求極限limx???x?0lncosxx2． 求極限lim 求極限lim?ln(1?x)?ln(x?1)?x．x?－1lnxx???x?12． 11?en).求數(shù)列的極限limn?ln(n?1)?lnn?． 求數(shù)列的極限lim(nnn??n??求數(shù)列的極限limn(en??an?ebn)，其中a，b為正整數(shù)． 求數(shù)列的極限limnn??211??ln(a?)?ln(a?)?2lna;其中a?0是常數(shù) ??nn??求數(shù)列的極限lim(n??2n?1n?121)． 求數(shù)列的極限limn(an??nn?1)，其中a?0． 求數(shù)列的極限?(2?limn?en???n1)n?en(2?1)n2??2e?． ?求數(shù)列的極限lim(n??a?2nb)，其中a?0，b?0． 求數(shù)列的極限lim(n??n(n?1)2n?12n?1)． n求數(shù)列的極限 ?3n2?2?lim??2n??3n?4??1x1x 計(jì)算極限：limsin(n?a??)． n??22設(shè)f(x)?xsin?sinx，limf(x)?a，limf(x)?b，則有x?0x??(A)a?1，b?1(B)a?1，b?2(C)a?2，b?1(D)a?2，b?2　　　　　　　　　　　　　　答（）計(jì)算極限limx?01xlne?ex2x???enxn 計(jì)算極限limln(1?x?x)?ln(1?x?x)secx?cosx1?x?1?x222 x?0求極限limx?0tanmxsinnx(m，n為非零常數(shù))計(jì)算極限limx?0a?21?x?1 計(jì)算極限limx?a?0x?x?a2計(jì)算極限在limx?0x?aln(a?x)?ln(a?x)?2lna(a?0)計(jì)算極限limx?01?cosx1?cosx2． 1(1?1tanx)xsinx422(a?0)計(jì)算極限limx?0xsinx計(jì)算極限limx?0(e?1)?1?x2(1?cosx)ln(1?x)limsinxxx???(A)1(B)?(C)0(D)不存在但不是無(wú)窮大 　　　　　　　　　　　　　　　答（）limxsinx??1x之值(A)?1(B)?0(C)??(D)不存在但不是無(wú)窮大　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）已知limAtanx?B(1?cosx)Cln(1?2x)?D(1?e?x2x?0?1(其中A、B、C、D是非0常數(shù)))則它們之間的關(guān)系為(A)B?2D(B)B??2D(C)A?2C(C)A??2C　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）n設(shè)x?1計(jì)算極限lim(1?x)(1?x)(1?x)?(1?xn??242)設(shè)limxn?0及l(fā)imn??xn?1xn22n??2?a存在，試證明：a?1． 求lim(sin22?cos1)x x??xx計(jì)算極限limx?ax?(a?1)x?ax?a23(a?0)計(jì)算極限limx?2x?3x?3x?2x?x?2232 計(jì)算極限limx?0e?exxcosx2x?ln(1?x)計(jì)算極限xxx??limlim(coscos2?cosn)?x?0?222?n????r(0?r?1)，試證明liman?0． n??設(shè)有數(shù)列?an?滿足an?0及l(fā)iman?1annn??n??設(shè)有數(shù)列l(wèi)iman?0． n???an?滿足an?0且liman?r，(0?r?1)，試按極限定義證明：設(shè)limf(x)?A(A?0)，試用“???”語(yǔ)言證明limx?x0x?x0f(x)?A． 試問(wèn)：當(dāng)x?0時(shí)，?(x)?x?x0x?x0xsin21x，是不是無(wú)窮小？ x0的某去心鄰域，使得設(shè)limf(x)?A，limg(x)?B，且A?B,試證明：必存在在該鄰域?yàn)閒(x)?g(x)． 設(shè)f(x)?xsin1x，試研究極限lim1f(x)x?0 計(jì)算極限limx?2ln(1?332x?2)． arcsin(3x?4x?4)n?1?(?1)n?n?2設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為xn?n，則當(dāng)n??時(shí)，xn是(A)無(wú)窮大量(B)無(wú)窮小量(C)有界變量，但不是無(wú)窮小(D)無(wú)界變量，但不是無(wú)窮大 　答（）以下極限式正確的是(A)1xlim??0(1?x)x?e(B)xlim??0(1?1x)x?e?1(C)limx??(1?1x)x?e?1(D)limx??(1?1x)?x?0　　　　　　　　　　　　　　　　答（）設(shè)x1?10，xn?1?6?xn(n?1，2，?)，求limx??n． n ?eax?1設(shè)f(x)???x，當(dāng)x?0，且limf(x)?A??b，當(dāng)x?0x?0則a，b，A之間的關(guān)系為(A)a，b可取任意實(shí)數(shù)，A?1(B)a，b可取任意實(shí)數(shù)，A?b(C)a，b可取任意實(shí)數(shù)，A?a(D)a可取任意實(shí)數(shù)且A?b?a答：()?ln(1?ax)設(shè)f(x)d??x，當(dāng)?x?0，且limf(x)?A，??b，當(dāng)x?0x?0則a，b，A之間的關(guān)系為(A)a，b可取任意實(shí)數(shù)，A?a(B)a，b可取任意實(shí)數(shù)，A?b(C)a可取任意實(shí)數(shù)且a?b?A(D)a，b可取任意實(shí)數(shù)，而A僅取A?lna答：（）?1?cosax，當(dāng)x?0?2設(shè)f(x)??，且limf(x)?Axx?0?b，當(dāng)x?0?則a，b，A間正確的關(guān)系是(A)a，b可取任意實(shí)數(shù)(B)a，b可取任意實(shí)數(shù)(C)a可取任意實(shí)數(shù)(D)a可取任意實(shí)數(shù)A?a22aA?2a2 b?A?ab?A?22 答（）設(shè)有l(wèi)im?(x)?a，limf(?)?A，且在x0的某去心鄰域x?x0u?a內(nèi)復(fù)合函數(shù)f??(x)?有意義。試判定limf??(x)??A是否x?x0 成立。若判定成立請(qǐng)給出證明；若判定不成立，請(qǐng)舉出例子，并指明應(yīng)如何加強(qiáng)已知條件可使極限式成立。?x2?2x?b，當(dāng)x?1?設(shè)f(x)??　適合limf(x)?Ax?1x?1?a，當(dāng)x?1?則以下結(jié)果正確的是(A)僅當(dāng)a?4，b??3，A?4(B)僅當(dāng)a?4，A?4，b可取任意實(shí)數(shù)(C)b??3，A?4，a可取任意實(shí)數(shù)(D)a，b，A都可能取任意實(shí)數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　答（）?1?bx?1　當(dāng)x?0?設(shè)f(x)??　且limf(x)?3，則xx?0?a　　　　　當(dāng)x?0?(A)b?3，a?3(B)b?6，a?3(C)b?3，a可取任意實(shí)數(shù)(D)b?6，a可取任意實(shí)數(shù)　　　　　　　　　　　答（）設(shè)?(x)?(1?ax)213 ?1，?(x)?e?ecosx，且當(dāng)x?0時(shí)?(x)~?(x)，試求a值。求limx??e?2ex2sinxx?x?x3e?4e． 設(shè)lim(x??x?2ax)?8，則a?__________x?a __．__． lim(1?3x)x?0?__________ 當(dāng)x?0時(shí)，在下列無(wú)窮小中與x不等價(jià)的是(A)1?cos2x(B)ln1?x(C)1?x222 ?x?1?x(D)e?e2x?2　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）當(dāng)x?0時(shí)，下列無(wú)窮小量中，最高階的無(wú)窮小是(A)ln(x?1?x)(B)1?xx?x22?1(C)tanx?sinx(D)e?e?2　　　　　　　　　　　　　　　　答（）計(jì)算極限limx?01?ex21?xn?12?cosx limx??3x?54?sin?_____________________ 5x?3x22計(jì)算極限limx?xnx?1???x?x?n x?1(x?1)n?1計(jì)算極限 lim(x?1)(3x?1)?(nx?1)x?1計(jì)算極限 lim(cosx??0x)?x ．討論極限limarctanx?11x?1的存在性。研究極限limarccotx?01的存在性。x研究極限limx??x?2x?3x?12． 當(dāng)x??0時(shí)，下列變量中，為無(wú)(A)sinxx(B)lnx(C)arctan窮大的是 11(D)arccotxx）答（lim1lnx?1x?1?________________?！按嬖谝徽麛?shù)N，使當(dāng)n?N時(shí)，恒有設(shè)an?0，且liman?0，試判定下述結(jié)論n??an?1?an”是否成立？ 若liman?A試討論liman是否存在？ n??n??設(shè)有數(shù)列 ?an? 滿足lim(an?1?an)?0，試判定能否由此得出n??極限liman存在的n??結(jié)論。設(shè)有數(shù)列?an?滿足ana?0；n?1?r，0?r?1，試證明liman?0 n??an設(shè)limf(x)g(x)x?x0存在，limg(x)存在，則x?x0x?x0limf(x)是否必存在？ limg(x)?0．若limf(x)?0，limx?x0f(x)g(x)x?x0?A?0，則是否必有x?x0 當(dāng)x??0時(shí)，下列變量中為無(wú)窮(A)1x2小量的是sin1x2(B)ln(x?1)1(C)lnx(D)(1?x)1x ?1答（）x?x0 設(shè)x?x0時(shí)，f(x)??，g(x)?A(A是常數(shù)），試證明 limg(x)f(x)f(x)g(x)?0．若limg(x)?0，且在x0的某去心鄰域內(nèi)g(x)?0，limx?x0x?x0?A，則limf(x)必等于0，為什么？x?x0 若limf(x)?A，limg(x)不存在，則limf(x)?g(x)x?x0x?x0x?x0是否必不存在？若肯定不存在，請(qǐng)予證明，若不能肯定，請(qǐng)舉例說(shuō)明，并指出為何加強(qiáng)假設(shè)條件，使可肯定f(x)?g(x)的極限(x?x0時(shí))必不存在。若limf(x)??，limg(x)?A，試判定limf(x)?g(x)是否為無(wú)窮大？x?x0x?x0x?x0 設(shè)x?x0，f(x)??，g(x)?A，試證明lim?f(x)?g(x)???． x?x0設(shè)當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)??，g(x)?A(A?0)，試證明limf(x)g(x)??． x?x0 設(shè)??lnx?1x，??arcctgx，則當(dāng)x???時(shí)(A)?~?(B)?與?是同階無(wú)窮小，但不是等價(jià)無(wú)窮小(C)?是比?高階的無(wú)窮小(D)?與?不全是無(wú)窮小 答：（）f(x)?1x?sin1x(0?x???)(A)當(dāng)x???時(shí)為無(wú)窮小(B)當(dāng)x??0時(shí)為無(wú)窮大(C)當(dāng)x?(0，??)時(shí)f(x)有界(D)當(dāng)x??0時(shí)f(x)不是無(wú)窮大，但無(wú)界．　　　　　　　　　　　　　　　答（）若f(x)?x2x?1?ax?b，當(dāng)x??時(shí)為無(wú)窮小，則(A)a?1，b??1(B)a?1，b?1(C)a??1，b??1(D)a??1，b?1　　　　　　　　　　　　　　　答（）x?112n3?x?2???2)求lim()2 求lim(2n??nx??6?x?n?1n?n?2n?n?nn?2nlim()?____ n??n?1 1n??2n?1nlimen?en?e?e?2(A)1(B)e(C)e(D)e 　　　　　　　　　　答（）lim(1?2???n?n?? 1?2???(n?1))?____． x??0limxcos2x2(A)等于0;(B)等于2;.(C)為無(wú)窮大;(D)不存在，但不是無(wú)窮大 答（）設(shè)f(x)?1?sin，試判斷：xx;.(1)f(x)在(0，1)，內(nèi)是否有界(2)當(dāng)x??0時(shí)，f(x)是否成為無(wú)窮大 設(shè)f(x)?xcosx，試判斷：(1)f(x)在0，???上是否有界(2)當(dāng)x???時(shí)，f(x)是否成為無(wú)窮大? 試證明limcosx?01x不存在。f(x)??(x)，且lim?(x)?0，試證明limf(x)?0 x?x0x?x0若在x0的某去心鄰域內(nèi)若在x0的某去心鄰域內(nèi) f(x)?g(x)，且limf(x)?A，limg(x)?B;試證明A?B． x?x0x?x0sinlimx?01x1x之值(A)等于1;(B)等于0;(C)為無(wú)窮大;(D)不存在，但不是無(wú)窮大.答（）設(shè)?(x)?1?x，?(x)?3?33x，則當(dāng)x?1時(shí)（）1?x等價(jià)無(wú)窮小;(A)?(x)與?(x)是同階無(wú)窮小，但不是(B)?(x)與?(x)是等價(jià)無(wú)窮小;;.(C)?(x)是比?(x)高階的無(wú)窮小(D)?(x)是比?(x)高階的無(wú)窮小 32 答（）設(shè)limx?1x?ax?x?4?A，則必有x?1(A)a?2，A?5;(B)a?4，A??10;(C)a?4，A??6;(D)a??4，A?10.2 答（）1x?1x?1當(dāng)x?1時(shí)，f(x)?ex?1(A)等于2;(B)等于0;的極限(C)為?;(D)不存在但不是無(wú)窮大 設(shè)當(dāng)x?0，?(x)?(1?ax)23.）答（2?1和?(x)?1?cosx滿足?(x)~?(x)．試確定a的值。求a，b使lim(x??23x?2x?12?ax?b)?1 設(shè)lim(3x?4x?7?ax?b)?0 , 試確定a，b之值。x???設(shè)x1?1，xn?1?設(shè)x1?4，xn?1?2xn?3(n?1，2，?)，求limxn n??2xn?3(n?1，2，??)，求limxn． n????1??計(jì)算數(shù)列極限lim?tan(?)? 計(jì)算極限limn(arctann??4n?n???設(shè)當(dāng)x?0，?(x)?設(shè)?(x)?x?2?x)a3nn?1?arctannn)n?11?x3?1?x33~Ax，試確定A及k． kx?2x?1，求A與K使limbx?(x)xkx????A(A?0)極限lim(1?x?0(a?0，b?0)的值為 bbbe(A)1．(B)ln(C)ea．(D)aa 答（）設(shè)limx?0xa222?212(a?0)，試確定a，b之值。?x(b?cosx)設(shè)lim(3x?x???ax?bx?1)?2，試確定a，b之值。2設(shè)limx?1x?ax?x?bx?1x???23?3，試確定a，b之值。計(jì)算極限lim(x?x?x?x)計(jì)算極限lim 研究極限limx?01?xsinx?cos2x xtanx2?2cosaxx(a?0)的存在性。limxn．n??計(jì)算極限limx?04?tanx?etanx4?sinxsinx?ex?0設(shè)x1?(0，2)，xn?1?2xn?xn．(n?1，2，??)，試證數(shù)列22?xn?收斂，并求極限n??設(shè)x1?0，xn?1?2xn?xn(n?1，2，??)，試研究極限limxn． 設(shè)x1?2，xn?1?2xn?xn(n?1，2，??)，試研究極限 2 limxn．n??設(shè)a1，b1是兩個(gè)函數(shù)，令n??n?ban?1?n??anbn，bn?1?n??an?bn2，(n?1，2，?)試證明： liman存在，limbn存在，且liman?limbn計(jì)算極限limecosx?e2x?0x 計(jì)算極限 lim?x?????x?x?x?x?x??x ?計(jì)算極限lim(1?x??若limxnynn??21x?2)xx?0，且xn?0，yn?0，則能否得出＂limxn?0及l(fā)imyn?0至少有一n??n??式成立＂的結(jié)論。設(shè)數(shù)列?xn?，?yn?都是無(wú)界數(shù)列，zn試判定：?zn?是否也必是無(wú)界數(shù)列。?xnyn，如肯定結(jié)論請(qǐng)給出證明，如否定結(jié)論則需舉出反例。31??計(jì)算極限limx?sinln(1?)?sinln(1?)? x??xx?? 1極限lim(cosx)x?x?02A．0；　B．　　C．1；　D．e?12． 　　　　　　　　　　　　答（）極限lime?ex?x2x?0x(1?x)的值為（）A．0；　B．1；　C．2；　D．3．　　　　　　　　　　　　　答（）極限limx?01?cos3x的值為（）xsin3x 123A．0；　B．；　C．；　D．．632 答（）下列極限中不正確的是tan3xsin2x2A．limC．limx?0?32cos；　B．limx??1?2x?1xx???2； x?1sin(x?1)x?1?2；D．limarctanxx???0．　　　　　　　　　　　　　　　答（）極限limln(1?x?x)?ln(1?x?x)x222x?0? A．0；　B．1；　C．2；　D．3．　　　　　　　　　　　　　答（）1極限lim(cosx)x?x?01A．0；　B．e2；　C．1；　D．e?12． 　　　　　　　　　　　　　　答（）當(dāng)x?0時(shí)，與x為等價(jià)無(wú)窮小量的是A．sin2x；　 B．ln(1?x)；C．1?x?1?x； D．x(x?sinx)． 答（）當(dāng)x?1時(shí)，無(wú)窮小量A．等價(jià)無(wú)窮小量；C．高階無(wú)窮小量； 當(dāng)x?0時(shí)，無(wú)窮小量1－x是無(wú)窮小量1?2xB．同階但非等價(jià)無(wú)窮小D．低階無(wú)窮小量．x?1的量； 答（n）m，n為常數(shù)，則數(shù)組2sinx?sin2x與mx等價(jià)，其中m，n）中m，n的值為 A．(2，3)；　B．(3，2)；　C．(1，3)；　D．(3，1)． 　答（）已知lim(1?kx1x?x?0)e，則k的值為A．1；　B．?1；　C．12；　D．2． 　　　　　　　　　　　　　　答（）x極限lim(1?12x??2x)的值為A．e；　B．e?1；　C．e4；　D．e?14 　　　　　　　　　　　　　　答（）下列等式成立的是A．lim(1?2x??x)2x?e2；　B．lim1xx??(1?x)2?e2；1 C．lim(1?x?221x?1x??x)?e；D．limx??(1?x)?e2．　　　　　　　　　　　　　　　　答（）1極限limx?0(1?2x)x?A．e；　B．1e；　C．e?2；　D．e2． 答（）極限lim(x?1?4值為（）x??x?1)x的A．e?2；　B．e2；　C．e?4；　D．e4． 　　　　　　　　　　　　　　答（）（?2x?1?極限lim??x???2x?1?2x?1的值是?12?2A．1；　B．e；　C．e ；　D．e． 　　　　　　　　　　　　　　答（）下列極限中存在的是A．limx?1x2x??；　B．lim11?e1xx?0；C．limxsinx??1x；　D．lim12?1xx?0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）極限limtanx?sinxx1b3的值為12　D．?． x?0A．0；B．　C．　　　　　　　　　　　答（）極限limx??sinxx??? A．1；　B．0；　C．?1；　D．?．　　　　　　　　　　　　　　答（）已知lima?cosxxsinxx?0?12，則a的值為 A．0；　B．1；　C．2；　D．?1．　　　　　　　　　　　　　　答（）已知limsinkxx(x?2)x?0??3，則k的值為32；　C．6；　D．?6． A．?3；　B．?　　　　　　　　　　　　　　　答（）x?1設(shè)lim(?ax?b)?0，則常數(shù)a，b的值所組成的數(shù)組x??x?1A．(1，0)；　B．(0，1)；　C．(1，1)；　D．(1，?1)． 答（）2(a，b)為 4x?3設(shè)f(x)??ax?b，若limf(x)?0，則x??x?1a，b的值，用數(shù)組（a，b）可表示為 2A．(4，?4)；　B．(?4，4)；　C．(4，4)；　D．(?4，?4)答（）2極限limx?6x?8x2?8x?12的值為x?2A．0；　B．1；　C．12；　D．2． 　　　　　　　　　　　　　　答（）下列極限計(jì)算正確的是A．limx2n；　n??1?x2n?1B．xlimx?sinx???x?sinx?1；C．limx?sinx　12x32n)n．x?0?0；D．limn??(1??e　　　　　　　　　　　　　　　　　答（3極限lim(xx2x??x2?1?x?1)的值為A．0；　B．1；　C．?1；　D．?． 　　　　　　　　　　　　　　　答（）數(shù)列極限lim?(n2?n?n)的值為n?A．0；　B．12；　C．1；　D．不存在． 　　　　　　　　　　　　　　　答（）2已知limx?3x?cx???1，則C的值為x?11A．?1；　B．1；　C．2；　D．3． 　　　　　　　　　　　　　　答（）2已知limx?ax?61?x?的值為x?15，則aA．7；　B．?7　C．2；　D．?2． 答（））?ex?2，x?0設(shè)函數(shù)f(x)???1，x?0，則lim?x?0f(x)??x?cosx，x?0A．?1；　B．1；　C．0；　D．不存在． 答（）?1?cosx?，設(shè)f(x)??xx?0??x?1，則，?x?0?1?e1xA．lim?0f(x)?0；xB．lim?f(x)?lim?f(x)；x?0x?0C．lim?f(x)存在，lim?f(x)不存在； x?0x?0D．lim?f(x)不存在，limx?0x?0?f(x)存在． 答（）?tankx設(shè)f(x)???x，x?0，且limf(x)存在，則k的值為 ?x?x?3，x?0?0A．1；　B．2；　C．3；　D．4． 答（）下列極限中，不正確的是 1A．lim1)?4；B．limx?(x??0；x?3x?0?e1C．lim(1)x?0；D．limsin(x?1)?0．x?02x?1x 答（）若limf(x)?0，limg(x)?c?0(k?0)．x?0xkx?0xk?1 則當(dāng)x?0，無(wú)窮小f(x)與g(x)的關(guān)系是A．f(x)為g(x)的高階無(wú)窮??；B．g(x)為f(x)的高階無(wú)窮小； C．f(x)為g(x)的同階無(wú)窮小；D．f(x)與g(x)比較無(wú)肯定結(jié)論． 答（）當(dāng)x?0時(shí)，2sinx(1?cosx)與x2比較是（）A．岡階但不等價(jià)無(wú)窮??； B．等價(jià)無(wú)窮?。籆．高階無(wú)窮??； D．低階無(wú)窮?。? 答（）當(dāng)x?0時(shí)，sinx(1?cosx)是x的 A．岡階無(wú)窮小，但不是等價(jià)無(wú)窮小； B．等價(jià)無(wú)窮?。?3C．高階無(wú)窮??； D．低階無(wú)窮小． 答（）設(shè)有兩命題： ?xn?單調(diào)且有下界，則?xn?必收斂；?yn?、?zn?滿足條件：yn?xn?zn，且?yn?，?zn?都有收斂，則命題“b”，若數(shù)列?xn?、數(shù)列?xn?必收斂命題“a”，若數(shù)列則A．“a”、“b”都正確； B．“a”正確，“b”不正確；C．“a”不正確，“b”正確； D．“a”，“b”都不正確． 答（）設(shè)有兩命題： 命題甲：若命題乙：若則A．甲、乙都不成立； B．甲成立，乙不成立；C．甲不成立，乙成立； D．甲、乙都成立。答（）f(x)g(x)x?x0limf(x)、limg(x)都不存在，則x?x0x?x0lim?f(x)?x?x0g(x)?必不存在；x?x0limf(x)存在，而x?x0limg(x)不存在，則limf(x)?g(x)必不存在。設(shè)有兩命題： 命題“a”：若limf(x)?0，limg(x)存在，且g(x0)?0，則limx?x0x?x0x?x0?0；命題“b”：若limf(x)存在，limg(x)不存在。則x?x0x?x0x?x0lim(f(x)?g(x))必不存在。則A．“a”，“b”都正確； B．“a”正確，“b”不正確；C．“a”不正確，“b”正確； D．“a”，“b”都不正確。x?x9x?x0 答（）x?x0若lim,f(x)??，limg(x)?0，則limf(x)?g(x)A．必為無(wú)窮大量C．必為非零常數(shù);B．必為無(wú)窮小量;D．極限值不能確定 答（n??;．）設(shè)有兩個(gè)數(shù)列?an?，?bn?，且lim(bn?an)?0，則;相等;?an?，?bn?必都收斂，且極限相等A．?an?，?bn?必都收斂，但極限未必B．?an?收斂，而C．?bn?發(fā)散;?an?和?bn?可能都發(fā)散，也可能都D． 收斂．）答（下列敘述不正確的是A．無(wú)窮小量與無(wú)窮大量B．無(wú)窮小量與有界量的C．無(wú)窮大量與有界量的D．無(wú)窮大量與無(wú)窮大量 的商為無(wú)窮小量；積是無(wú)窮小量；積是無(wú)窮大量；的積是無(wú)窮大量。答（）下列敘述不正確的是A．無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)B．無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)C．無(wú)窮小量與有界量的D．無(wú)窮大量與無(wú)窮大量 x?x0x?x0窮小量；窮大量；乘積是無(wú)窮小量；的乘積是無(wú)窮大量。答（）是 若limf(x)??，limg(x)??，則下式中必定成立的A．limC．limx?x0?f(x)?f(x)g(x)g(x)???;B．limx?x0?f(x)?g(x)??0;x?x0?c?0;D．limkf(x)??，(k?0)．x?x0 答（）1設(shè)函數(shù)f(x)?xcos，則當(dāng)x??時(shí)，f(x)是 xA．有界變量； C．無(wú)窮小量； x?x0B．無(wú)界，但非無(wú)窮大量D．無(wú)窮大量． 答（；）若limf(x)?A(A為常數(shù)），則當(dāng)x?x0時(shí)，函數(shù)f(x)?A是 A．無(wú)窮大量;B．無(wú)界，但非無(wú)窮大量C．無(wú)窮小量;D．有界，而未必為無(wú)窮 設(shè)函數(shù)f(x)?xsin1，則當(dāng)x?0時(shí)，f(x)為 xA．無(wú)界變量;B．無(wú)窮大量;C．有界，但非無(wú)窮小量 f(x)在點(diǎn)x0處有定義是極限;小量 ． 答（）;D．無(wú)窮小量． 答（x?x0）limf(x)存在的 A．必要條件;B．充分條件;C．充分必要條件;D．既非必要又非充分條 答（件．）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列?an?滿足liman?1ann???0，則 A．liman?0;B．liman?C?0;n??n???an?的收放性不能確定．C．liman不存在;D．n?? 答（）若liman?A(A?0)，則當(dāng)n充分大時(shí)，必有n??A．a(chǎn)n?A； B．a(chǎn)n?A；C．a(chǎn)An?2； D．a(chǎn)An?2． 答（）數(shù)列?an?無(wú)界是數(shù)列發(fā)散的 A．必要條件;B．充分條件;C．充分必要條件;D．既非充分又非必要條 答（下列敘述正確的是 A．有界數(shù)列一定有極限；B．無(wú)界數(shù)列一定是無(wú)窮大量；C．無(wú)窮大數(shù)列必為無(wú)界數(shù)列； D．無(wú)界數(shù)列未必發(fā)散 　答（）件．）

第四篇：高等數(shù)學(xué)極限習(xí)題500道匯總

當(dāng)x?x0時(shí)，設(shè)?1＝o(?)，?1?o(?)且limx?x0?存在，? ???1?求證：lim?lim．x?x0???x?x0?1 21若當(dāng)x?0時(shí)，?(x)?(1?ax)3?1與?(x)?cosx?1是等價(jià)無(wú)窮小，則a?1313A．　B．　C．?　D．?． 2222 答（）當(dāng)x?0時(shí)，下述無(wú)窮小中最高階的是A　x2　B1　?cosx　C　1?x2?1　D　x?sinx 答（）求極限lim(n? 求limn?ln(2n?1)?ln(2n?1)?之值． 求極限lim(?1)nnsin(?n2?2)．n??n??n???11)ln(1?)． 2nlimx?0e x2?1?x2的值?_____________ 3xsinxan?1?an2 設(shè)有數(shù)列a1?a，a2?b(b?a)，an?2?求證：limyn?lim(an?1?an)及l(fā)iman．n??n??n?? 設(shè)x1?a，x2?b．(b?a?0)xn?2?記：yn?1xn?1?2xnxn?1，xn?xn?1 1，求limyn及l(fā)imxn．n??n??xn(1?2x)sinx?cosx求極限lim之值． x?0x2 設(shè)limu(x)?A，A?0；且limv(x)?Bx?x0x?x0試證明：limu(x)v(x)?AB．x?x0 lim?ln(1?x)?x?11(x?1)2? A．? B．1 C．0 D．ln2 答（）sinxxlim(1?2x)x?0? A．1 B．e2 C．e D．2 答（）設(shè)u(x)?1?xsinf(u)?1f?u(x)??1求：lim及l(fā)imu(x)之值，并討論lim的結(jié)果．u?1x?0x?0u?1u(x)?11.f(u)?u2x x2?9lim2的值等于_____________ x?3x?x?6 ex?4e?xlimx?x??3e?2e?x 1A． B．2 C．1 D．不存在3答：（）(2?x)3(3?x)5lim?x??(6?x)8 1A.?1　B.1　C.5　D.不存在2?33答：（）(1?2x)10(1?3x)20xx3?3x?2lim?____________ limx的值等于____________ 求極限lim3 ．x??x?0e?e?x(1?6x2)15x?1x?x2?x?11?6x?41?2x求lim之值． x?0x(x?5)3已知：limu(x)??，limu(x)v(x)?A?0x?x0x?x0問(wèn)limv(x)?？為什么？x?x0 關(guān)于極限limx?053?e1x結(jié)論是：55A　 B　0 C　　D　不存在 34 答（）設(shè)limf(x)?A，limg(x)??，則極限式成立的是x?x0x?x0f(x)?0x?x0g(x)g(x)B.lim??x?x0f(x)C.limf(x)g(x)??A.limx?x0 D.limf(x)g(x)??x?x0 答（）f(x)?excosx，問(wèn)當(dāng)x???時(shí)，f(x)是不是無(wú)窮大量． limtanx?arctanx?01?x??　D.? 22 答（）A.0 B.不存在.C.arctan(x2)lim?x??x? 2 答（）A.0 B.? C.1 D.limx??2x?12x?3A.2 B.?2 C.?2 D.不存在? 答（）設(shè)f(x)? 32?e1x，則f(?0)?___________ limarccotx?01?x? 2 答（）A.0 B.? C.不存在.D.lima?cosx?0，則其中a?x?0ln1?xA.0 B.1 C.2 D.?3e2x?e?x?3xlim的值等于____________ 答（）x?01?cosx lim2(1?cos2x)?x?0 xA.2 B.?2 C.不存在.D.0答：（）px2?qx?5設(shè)f(x)?，其中p、q為常數(shù)．x?5問(wèn)：(1)p、q各取何值時(shí)，limf(x)?1；x??(2)p、q各取何值時(shí)，limf(x)?0；x??(3)p、q各取何值時(shí)，limf(x)?1．x?5(x2n?2)2?(x2n?2)2(3x2?2)3求極限lim． 求極限lim． x??(xn?1)2?(xn?1)2x??(2x3?3)2 已知limx?1x4?3?A?B(x?1)?c(x?1)2?0(x?1)2??試確定A、B、C之值． ax3?bx2?cx?d已知f(x)?，滿足(1)limf(x)?1，(2)limf(x)?0．2x??x?1 x?x?2試確定常數(shù)a，b，c，d之值．已知limx?1(a?b)x?b3x?1?x?3?4，試確定a，b之值． 1??＂上述說(shuō)法是否正確？為什么？ ?(x)＂若lim?(x)?0，則limx?x0x?x0 當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)是無(wú)窮大，且limg(x)?A，x?x0證明：當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)?g(x)也為無(wú)窮大．用無(wú)窮大定義證明：limx?1 2x?1???． 用無(wú)窮大定義證明：limlnx???． x?1x?0?用無(wú)窮大定義證明：limtanx??? 用無(wú)窮大定義證明：lim?x?2?0x?1?01???． x?1 ＂當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)?A是無(wú)窮?。⑹牵imx?xf(x)?A＂的：0(A)充分但非必要條件(B)必要但非充分條件(C)充分必要條件(D)既非充分條件，亦非必要條件 答（）若limx?xf(x)?0，limg(x)?0，但g(x)?0．0x?x0證明：limf(x)x?x)?b的充分必要條件是 0g(x limf(x)?b?g(x)x?x?0．0g(x)1用數(shù)列極限的定義證明：liman?0 用數(shù)列極限的定義證明：limann??，(其中0?a?1)．n???1用數(shù)列極限的定義證明：limn(n?2)1?52lim1?cos(sinx)2ln(1?x)的值等于___________ n??2n2?． x?02?(cosx)sinx求極限lim?1?x?0x3之值．(0?a?1)． 設(shè)limf(x)?A，試證明：x?x0對(duì)任意給定的??0，必存在正數(shù)?，使得對(duì)適含不等式0?x1?x0??；0?x2?x0??的一切x1、x2，都有f(x2)?f(x1)??成立。已知：limf(x)?A?0，試用極限定義證明：limx?x0x?x0 f(x)?A． x2n?1?x求f(x)?lim2n的表達(dá)式 ?xn?與?yn??xn?yn?是否也必發(fā)散？若數(shù)列同發(fā)散，試問(wèn)數(shù)列 n??x?1 2n??x2n?1(其中a、b為常數(shù)，0?a?2?)，設(shè)f(x)?lim(1)求f(x)的表達(dá)式；x2n?1sin?x?cos(a?bx)(2)確定a，b之值，使limf(x)?f(1)，limf(x)?f(?1)．x?1x??1應(yīng)用等階無(wú)窮小性質(zhì)，求極限limx?01?5x?1?3xarctan(1?x)?arctan(1?x)． ． 求極限lim2x?0xx?2x1n求極限lim(1?4x)?(1?6x)(1?ax)?1． 求極限lim(n為自然數(shù))．a(chǎn)?0． x?0x?0xx(5?2x)?x?2． x?3x?3131213求極限lim 設(shè)當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)與?(x)是等價(jià)無(wú)窮小，f(x)f(x)??(x)?a?1，lim?A，x?x0?(x)x?x0g(x)f(x)??(x)證明：lim?A．x?x0g(x)且lim 設(shè)當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)，?(x)是無(wú)窮小且?(x)??(x)?0證明：e?(x)?e?(x)~?(x)??(x)． 若當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)與?1(x)是等價(jià)無(wú)窮小，?(x)是比?(x)高階的無(wú)窮?。畡t當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)??(x)與?1(x)??(x)是否也是等價(jià)無(wú)窮小？為什么？ 設(shè)當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)、?(x)是無(wú)窮小，且?(x)??(x)?0.證明：ln?1??(x)??ln?1??(x)? 與?(x)??(x)是等價(jià)無(wú)窮?。? 設(shè)當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)是比g(x)高階的無(wú)窮?。C明：當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)?g(x)與g(x)是等價(jià)無(wú)窮?。? 若x?x0時(shí)，?(x)與?1(x)是等價(jià)無(wú)窮小，?(x)與?(x)是同階無(wú)窮小，但不是等價(jià)無(wú)窮小。試判定：?jiǎn)?？為什么??(x)??(x)與?1(x)??(x)也是等價(jià)無(wú)窮小 sinx?x??x(A)1(B)?(C)0(D)不存在但不是無(wú)窮大 lim 答（）1limxsin之值x??x(A)?1(B)?0(C)??(D)不存在但不是無(wú)窮大 答（）已知limx?0Atanx?B(1?cosx)Cln(1?2x)?D(1?e?x2)?1(其中A、B、C、D是非0常數(shù))則它們之間的關(guān)系為(A)B?2D(B)B??2D(C)A?2C(C)A??2C 答（）xn?1設(shè)limx?0及l(fā)im?a存在，試證明：a?1． 設(shè)x?1計(jì)算極限lim(1?x)(1?x)(1?x)?(1?x)n??nn??xn??n242n21x2x3?(a2?1)x?ax3?3x2?3x?2求lim(sin?cos)計(jì)算極限lim(a?0)計(jì)算極限lim x??x?ax?2xxx2?a2x2?x?22ex?excosx?lim(cosxcosx?cosx)? 計(jì)算極限lim 計(jì)算極限limx?0x?ln(1?x2)x?0?2222n??n????an?滿足an?0及l(fā)im設(shè)有數(shù)列n??an?1?r(0?r?1)，試證明liman?0． n??ann???an?滿足an?0且limnan?r，設(shè)有數(shù)列(0?r?1)，試按極限定義證明：liman?0． n??設(shè)limf(x)?A(A?0)，試用“???”語(yǔ)言證明limx?x0x?x0f(x)?A． 1試問(wèn)：當(dāng)x?0時(shí)，?(x)?x2sin，是不是無(wú)窮?。?x設(shè)limf(x)?A，limg(x)?B，且A?B,試證明：必存在x0的某去心鄰域，使得x?x0x?x0在該鄰域?yàn)閒(x)?g(x)． ln(1?3x?2)11計(jì)算極限lim． 設(shè)f(x)?xsin，試研究極限lim 23x?2x?0f(x)arcsin(3x?4x?4)x 設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為xn?則當(dāng)n??時(shí)，xn是(A)無(wú)窮大量(B)無(wú)窮小量n?1?(?1)nn2，n??(C)有界變量，但不是無(wú)窮小(D)無(wú)界變量，但不是無(wú)窮大 　答（）以下極限式正確的是(A)lim(01?1x)x?e(B)xlim(??01?1x)x?e?1x??(C)lim(1?1)x?e?1(D)lim(1?1)?xx??xx??x?0 答（）設(shè)x1?10，xn?1?6?xn(n?1，2，?)，求limn??xn． ?eax?1設(shè)f(x)???x，當(dāng)x?0，且lim?xf(x)?A?b，當(dāng)x?0?0則a，b，A之間的關(guān)系為(A)a，b可取任意實(shí)數(shù)，A?1(B)a，b可取任意實(shí)數(shù)，A?b(C)a，b可取任意實(shí)數(shù)，A?a(D)a可取任意實(shí)數(shù)且A?b?a答：()?ln(1?ax)設(shè)f(x)d???x，當(dāng)x?0，且limf(x)?A，??b，當(dāng)x?0x?0則a，b，A之間的關(guān)系為(A)a，b可取任意實(shí)數(shù)，A?a(B)a，b可取任意實(shí)數(shù)，A?b(C)a可取任意實(shí)數(shù)且a?b?A(D)a，b可取任意實(shí)數(shù)，而A僅取A?lna答：（?1?cosax設(shè)f(x)??x2，當(dāng)?x?0，且limf(x)??b，當(dāng)x?0x?0?A則a，b，A間正確的關(guān)系是(A)a，b可取任意實(shí)數(shù)A?a2(B)a，b可取任意實(shí)數(shù)A?a22(C)a可取任意實(shí)數(shù)b?A?a2(D)a可取任意實(shí)數(shù)b?A?a22 答（））設(shè)有l(wèi)im?(x)?a，limf(?)?A，且在x0的某去心鄰域x?x0u?a內(nèi)復(fù)合函數(shù)f??(x)?有意義。試判定limf??(x)??A是否x?x0 成立。若判定成立請(qǐng)給出證明；若判定不成立，請(qǐng)舉出例子，并指明應(yīng)如何加強(qiáng)已知條件可使極限式成立。?x2?2x?b，當(dāng)x?1?設(shè)f(x)??x?1　適合limf(x)?Ax?1?a，當(dāng)x?1?則以下結(jié)果正確的是(A)僅當(dāng)a?4，b??3，A?4(B)僅當(dāng)a?4，A?4，b可取任意實(shí)數(shù)(C)b??3，A?4，a可取任意實(shí)數(shù)(D)a，b，A都可能取任意實(shí)數(shù) 答（）?1?bx?1　當(dāng)x?0?設(shè)f(x)??　且limf(x)?3，則xx?0?a 當(dāng)x?0?(A)b?3，a?3(B)b?6，a?3(C)b?3，a可取任意實(shí)數(shù)(D)b?6，a可取任意實(shí)數(shù) 答（）設(shè)?(x)?(1?ax)213 ex?2e?x求lim． ?1，?(x)?e?ecosx，且當(dāng)x?0時(shí)?(x)~?(x)，試求a值。x??3ex?4e?x2x?2axsin設(shè)lim()?8，則a?____________． lim(1?3x)x?____________． x??x?0x?a 當(dāng)x?0時(shí)，在下列無(wú)窮小中與x2不等價(jià)的是(A)1?cos2x(B)ln1?x2(C)1?x2?1?x2(D)ex?e?x?2 答（）當(dāng)x?0時(shí)，下列無(wú)窮小量中，最高階的無(wú)窮小是(A)ln(x?1?x2)(B)1?x2?1(C)tanx?sinx(D)e?ex?x?2 答（）計(jì)算極限limx?01?1?x2ex?cosxx?xnn?122 lim3x?5?sin4?_____________________ x??5x?32x計(jì)算極限limx?13n(x?1)(x?1)?(x?1)???x?x?n計(jì)算極限 lim n?1x?1(x?1)x?1?x計(jì)算極限 lim(cosx??0 討論極限limarctanx)．x?11的存在性。研究極限limarccot1的存在性。x?0xx?1x2?2x?3研究極限lim． x??x?1 當(dāng)x??0時(shí)，下列變量中，為無(wú)窮大的是sinx11(A)(B)lnx(C)arctan(D)arccotxxx 答（）limx?11?________________。lnx?1n??設(shè)an?0，且liman?0，試判定下述結(jié)論“存在一正整數(shù)N，使當(dāng)n?N時(shí)，恒有an?1?an”是否成立？ 若liman?A試討論liman是否存在？ n??n??設(shè)有數(shù)列 ?an? 滿足lim(an?1?an)?0，試判定能否由此得出極限liman存在的n??n??結(jié)論。an?1?an?滿足an?0；設(shè)有數(shù)列?r，0?r?1，試證明liman?0 n??an設(shè)limx?x0f(x)存在，limg(x)存在，則limf(x)是否必存在？x?x0x?x0g(x)f(x)?A?0，則是否必有l(wèi)img(x)?0．x?x0g(x)若limf(x)?0，limx?x0x?x0 當(dāng)x??0時(shí)，下列變量中為無(wú)窮小量的是11sinx2x2(B)ln(x?1)(A)1(C)lnx(D)(1?x)1x ?1 答（）設(shè)x?x0時(shí)，f(x)??，g(x)?A(A是常數(shù)），試證明limx?x0g(x)?0．f(x)若limg(x)?0，且在x0的某去心鄰域內(nèi)g(x)?0，limx?x0x?x0f(x)?A，g(x)則limf(x)必等于0，為什么？x?x0 若limf(x)?A，limg(x)不存在，則limf(x)?g(x)x?x0x?x0x?x0是否必不存在？若肯定不存在，請(qǐng)予證明，若不能肯定，請(qǐng)舉例說(shuō)明，并指出為何加強(qiáng)假設(shè)條件，使可肯定f(x)?g(x)的極限(x?x0時(shí))必不存在。n??lime?e?e1n2nn?1n?e?(A)1(B)e(C)e(D)e2 答（）lim(1?2???n?1?2???(n?1))?____．n?? x??0limxcos2x2(A)等于0;(B)等于2;(C)為無(wú)窮大;(D)不存在，但不是無(wú)窮大.答（）設(shè)f(x)?1?sin，試判斷：xx(1)f(x)在(0，1)，內(nèi)是否有界;(2)當(dāng)x??0時(shí)，f(x)是否成為無(wú)窮大.設(shè)f(x)?xcosx，試判斷：(1)f(x)在0，???上是否有界(2)當(dāng)x???時(shí)，f(x)是否成為無(wú)窮大? 設(shè)?(x)?1?x，?(x)?3?33x，則當(dāng)x?1時(shí)（）1?x(A)?(x)與?(x)是同階無(wú)窮小，但不是等價(jià)無(wú)窮小;(B)?(x)與?(x)是等價(jià)無(wú)窮小;(C)?(x)是比?(x)高階的無(wú)窮小;(D)?(x)是比?(x)高階的無(wú)窮小.答（）x3?ax2?x?4設(shè)lim?A，則必有x?1x?1(A)a?2，A?5;(B)a?4，A??10;(C)a?4，A??6;(D)a??4，A?10.答（）x2?1當(dāng)x?1時(shí)，f(x)?ex?1(A)等于2;(B)等于0;1x?1的極限(C)為?;(D)不存在但不是無(wú)窮大.答（）設(shè)當(dāng)x?0，?(x)?(1?ax)232?1和?(x)?1?cosx滿足?(x)~?(x)．試確定a的值。3x2?2求a，b使lim(?ax?b)?1 設(shè)lim(3x2?4x?7?ax?b)?0 , 試確定a，b之值。x??x?1x???設(shè)x1?1，xn?1?2xn?3(n?1，2，?)，求limxn n??設(shè)x1?4，xn?1?2xn?3(n?1，2，??)，求limxn． n???計(jì)算極限lim(x?x?x?x)計(jì)算極限limx?0x???1?xsinx?cos2x xtanx計(jì)算極限limx?04?tanx?4?sinx2?2cosax研究極限lim(a?0)的存在性。x?0xetanx?esinx2n?? ?xn?收斂，并求極限limxn．設(shè)x1?(0，2)，xn?1?2xn?xn．(n?1，2，??)，試證數(shù)列設(shè)x1?0，xn?1?2xn?xn(n?1，2，??)，試研究極限limxn． n??2 設(shè)x1?2，xn?1?2xn?xn(n?1，2，??)，試研究極限limxn．n??2 設(shè)a1，b1是兩個(gè)函數(shù)，令an?1?anbn，bn?1?liman存在，limbn存在，且liman?limbnn??n?bn??n??an?bn，(n?1，2，?)試證明：2 ?ecosx?e計(jì)算極限 lim?x?x?x計(jì)算極限lim 2x???x?0?xn????x?x?x 計(jì)算極限lim(1?2?12)x x??x?xn??n??若limxnyn?0，且xn?0，yn?0，則能否得出＂limxn?0及l(fā)imyn?0至少有一式成立＂的結(jié)論。設(shè)數(shù)列?xn??，yn?都是無(wú)界數(shù)列，zn?xnyn，?zn?是否也必是無(wú)界數(shù)列。試判定：31??計(jì)算極限limx?sinln(1?)?sinln(1?)? x??xx?? 1 如肯定結(jié)論請(qǐng)給出證明，如否定結(jié)論則需舉出反例。極限lim(cosx)x?x?02A．0；　B． C．1；　D．e． 答（）?12 ex?e?x極限lim的值為（）x?0x(1?x2)A．0；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）極限lim1?cos3x的值為（）x?0xsin3x123A．0；　B．；　C．；　D．． 632 答（）下列極限中不正確的是 xtan3x3?2A．lim?；　B．lim??；x?0sin2xx??1x?122 x2?1arctanxC．lim?2；D．lim?0．x?1sin(x?1)x??x 答（）cos? ln(1?x?x2)?ln(1?x?x2)極限lim?x?0x2A．0；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）1x 極限lim(cosx)?x?0A．0；　B．e；　C．1；　D．e． 答（）12?12 當(dāng)x?0時(shí)，與x為等價(jià)無(wú)窮小量的是A．sin2x；　 B．ln(1?x)；C．1?x?1?x； D．x(x?sinx)． 答（）當(dāng)x?1時(shí)，無(wú)窮小量1－x是無(wú)窮小量x?1的1?2xA．等價(jià)無(wú)窮小量；B．同階但非等價(jià)無(wú)窮小量； C．高階無(wú)窮小量；D．低階無(wú)窮小量． 答（）當(dāng)x?0時(shí)，無(wú)窮小量2sinx?sin2x與mxn等價(jià)，其中m，n為常數(shù)，則數(shù)組（m，n）中m，n的值為 A．(2，3)；　B．(3，2)；　C．(1，3)；　D．(3，1)． 　答（）1 已知lim(1?kx)x?0x?e，則k的值為1A．1；　B．?1；　C．；　D．2． 2 答（）1極限lim(1?)2的值為x??2xA．e；　B．e；　C．e；　D．e?14?14x 答（）下列等式成立的是21A．lim(1?)2x?e2；　B．lim(1?)2x?e2；x??x??xx 11C．lim(1?)x?2?e2；D．lim(1?)x?1?e2．x??x??xx 答（）1極限lim(1?2x)xx?0?A．e；　B．1e；　C．e?2；　D．e2． 答（）極限lim(x?1x?4x??x?1)的值為（）A．e?2；　B．e2；　C．e?4；　D．e4． 答（）2x?1極限lim?2x?1?x????2x?1??的值是A．1；　B．e；　C．e?12；　D．e?2． 答（）下列極限中存在的是A．limx2?111x??x；　B．limx?01?e1；C．limxsin；　xx??x 答（）極限limtanx?sinxx?0x3的值為A．0；B．1b　C．12　D．?． 答（）極限limsinxx??x???A．1；　B．0；　C．?1；　D．?． 答（）已知lima?cosxx?0xsinx?12，則a的值為A．0；　B．1；　C．2；　D．?1． 答（）已知limsinkxx?0x(x?2)??3，則k的值為A．?3；　B．?32；　C．6；　D．?6． 答（）D．lim1x?02x?1 x2?1設(shè)lim(?ax?b)?0，則常數(shù)a，b的值所組成的數(shù)組(a，b)為x??x?1 A．(1，0)；　B．(0，1)；　C．(1，1)；　D．(1，?1)． 答（）4x2?3設(shè)f(x)??ax?b，若limf(x)?0，則x??x?1a，b的值，用數(shù)組（a，b）可表示為A．(4，?4)；　B．(?4，4)；　C．(4，4)；　D．(?4，?4)答（）極限limx2?6x?8x?2x2?8x?12的值為A．0；　B．1；　C．12；　D．2． 答（）下列極限計(jì)算正確的是A．limx2nx?n??1?x2n?1；　B．xlimsinx???x?sinx?1；C．limx?sinxx?0x3?0；　D．lim(n??1?12n)n?e2． 答（）極限lim(x3x2x??x2?1?x?1)的值為A．0；　B．1；　C．?1；　D．?． 答（）數(shù)列極限lim(n??n2?n?n)的值為A．0；　B．12；　C．1；　D．不存在． 答（）x2已知lim?3x?cx?1x?1??1，則C的值為A．?1；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）已知limx2?ax?6x?11?x?5，則a的值為A．7；　B．?7　C．2；　D．?2． 答（）?ex?2，x?0?設(shè)函數(shù)f(x)??1，x?0，則limf(x)?x?0?x?cosx，x?0?A．?1；　B．1；　C．0；　D．不存在． 答（）?1?cosx，x?0設(shè)f(x)????x?x?1，則 ?，x?0?1?e1xA．limx?0f(x)?0；B．xlim?0?f(x)?xlim?0?f(x)；C．xlim?0?f(x)存在，xlim?0?f(x)不存在； D．xlim?0?f(x)不存在，xlim?0?f(x)存在． 答（）?tankx設(shè)f(x)???x，x?0，且lim?x?3，x?0x?0f(x)存在，則k的值為 A．1；　B?．2；　C．3；　D．4． 答（）下列極限中，不正確的是 1A．lim(x?1xx?3?)?4；B．xlim?0?e?0；1C．limsin(x?1)x?0(12)x?0；D．limx?1x?0． 答（）若limf(x)x?0xk?0，limg(x)x?0xk?1?c?0(k?0)． 則當(dāng)x?0，無(wú)窮小f(x)與g(x)的關(guān)系是A．f(x)為g(x)的高階無(wú)窮小；B．g(x)為f(x)的高階無(wú)窮??；C．f(x)為g(x)的同階無(wú)窮??； D．f(x)與g(x)比較無(wú)肯定結(jié)論． 答（）當(dāng)x?0時(shí)，2sinx(1?cosx)與x2比較是（）A．岡階但不等價(jià)無(wú)窮??； B．等價(jià)無(wú)窮??；C．高階無(wú)窮??； D．低階無(wú)窮?。? 答（）當(dāng)x?0時(shí)，sinx(1?cosx)是x3的 A．岡階無(wú)窮小，但不是等價(jià)無(wú)窮?。?B．等價(jià)無(wú)窮??；C．高階無(wú)窮小； D．低階無(wú)窮小． 答（）設(shè)有兩命題： ?xn?必收斂；命題“a”，若數(shù)列?xn?單調(diào)且有下界，則命題“b”，若數(shù)列?xn??、yn??、zn?滿足條件：yn?xn?zn，且?yn??，zn?都有收斂，則?xn?必收斂 數(shù)列則A．“a”、“b”都正確； B．“a”正確，“b”不正確；C．“a”不正確，“b”正確； D．“a”，“b”都不正確． 答（）設(shè)有兩命題： 命題甲：若limf(x)、limg(x)都不存在，則lim?f(x)?g(x)?必不存在；x?x0x?x0x?x0x?x0命題乙：若limf(x)存在，而limg(x)不存在，則limf(x)?g(x)必不存在。x?x0x?x0則A．甲、乙都不成立； B．甲成立，乙不成立；C．甲不成立，乙成立； D．甲、乙都成立。答（）設(shè)有兩命題： 命題“a”：若limf(x)?0，limg(x)存在，且g(x0)?0，則limx?x0x?x0x?x0x?x0x?x0x?x0f(x)?0；g(x)命題“b”：若limf(x)存在，limg(x)不存在。則lim(f(x)?g(x))必不存在。則A．“a”，“b”都正確； B．“a”正確，“b”不正確；C．“a”不正確，“b”正確； D．“a”，“b”都不正確。答（）若lim,f(x)??，limg(x)?0，則limf(x)?g(x)x?x9x?x0x?x0A．必為無(wú)窮大量;B．必為無(wú)窮小量;C．必為非零常數(shù);D．極限值不能確定 ．設(shè)有兩個(gè)數(shù)列?an??，bn?，且lim(bn?an)?0，則 n?? 答（）?an??A．，bn?必都收斂，且極限相等;?an??B．，bn?必都收斂，但極限未必相等;?an?收斂，而?bn?發(fā)散;C．?an?和?bn?可能都發(fā)散，也可能都D．收斂． 答（）下列敘述不正確的是 A．無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的商為無(wú)窮小量； B．無(wú)窮小量與有界量的積是無(wú)窮小量；C．無(wú)窮大量與有界量的積是無(wú)窮大量；D．無(wú)窮大量與無(wú)窮大量的積是無(wú)窮大量。答（）下列敘述不正確的是 A．無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量；B．無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量；C．無(wú)窮小量與有界量的乘積是無(wú)窮小量；D．無(wú)窮大量與無(wú)窮大量的乘積是無(wú)窮大量。答（）若limf(x)??，limg(x)??，則下式中必定成立的是 A．lim?f(x)?g(x)???;B．lim?f(x)?g(x)??0;x?x0x?x0x?x0x?x0C．limx?x0f(x)?c?0;D．limkf(x)??，(k?0)．x?x0g(x)答（）設(shè)函數(shù)f(x)?xcos1，則當(dāng)x??時(shí)，f(x)是 xA．有界變量； B．無(wú)界，但非無(wú)窮大量； C．無(wú)窮小量； D．無(wú)窮大量． 答（）若limf(x)?A(A為常數(shù)），則當(dāng)x?x0時(shí)，函數(shù)f(x)?A是 x?x0A．無(wú)窮大量;B．無(wú)界，但非無(wú)窮大量;C．無(wú)窮小量;D．有界，而未必為無(wú)窮小量 ． 答（）設(shè)函數(shù)f(x)?xsin1，則當(dāng)x?0時(shí)，f(x)為 xA．無(wú)界變量;B．無(wú)窮大量;C．有界，但非無(wú)窮小量;D．無(wú)窮小量． 答（）f(x)在點(diǎn)x0處有定義是極限limf(x)存在的 x?x0A．必要條件;B．充分條件;C．充分必要條件;D．既非必要又非充分條件． 答（）

第五篇：高等數(shù)學(xué)難點(diǎn)總結(jié)及課后習(xí)題解讀

前面的話：

這三篇總結(jié)文章，來(lái)自于我五一給學(xué)生的幾堂總結(jié)課，當(dāng)時(shí)沒(méi)有做書面材料，后來(lái)才想到把它們整理成文。

考慮到現(xiàn)在大多數(shù)人都還在進(jìn)行第一輪，也就是基礎(chǔ)階段的復(fù)習(xí)，所以先把自己對(duì)高數(shù)知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)奉上，希望對(duì)大家能有幫助?？赡芤院笠矔?huì)有關(guān)于線代和概率的總結(jié)。

上冊(cè)除了空間解析幾何基本都涉及了，這是數(shù)一數(shù)二數(shù)三數(shù)四的共通內(nèi)容。下冊(cè)

（一）是關(guān)于多元微積分和級(jí)數(shù)的，其中數(shù)二數(shù)四的就不用看級(jí)數(shù)了。下冊(cè)

（二）是關(guān)于線面積分的，數(shù)一專題。

上冊(cè)：

函數(shù)（高等數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象）

極限：數(shù)列的極限（特殊）——函數(shù)的極限（一般）極限的本質(zhì)是通過(guò)已知某一個(gè)量（自變量）的變化趨勢(shì)，去研究和探索另外一個(gè)量（因變量）的變化趨勢(shì)

由極限可以推得的一些性質(zhì)：局部有界性、局部保號(hào)性??應(yīng)當(dāng)注意到，由極限所得到的性質(zhì)通常都是只在局部范圍內(nèi)成立

在提出極限概念的時(shí)候并未涉及到函數(shù)在該點(diǎn)的具體情況，所以函數(shù)在某點(diǎn)的極限與函數(shù)在該點(diǎn)的取值并無(wú)必然聯(lián)系

連續(xù)：函數(shù)在某點(diǎn)的極限 等于 函數(shù)在該點(diǎn)的取值 連續(xù)的本質(zhì)：自變量無(wú)限接近，因變量無(wú)限接近

導(dǎo)數(shù)的概念

本質(zhì)是函數(shù)增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近于零時(shí)的極限，更簡(jiǎn)單的說(shuō)法是變化率

微分的概念：函數(shù)增量的線性主要部分，這個(gè)說(shuō)法有兩層意思，一、微分是一個(gè)線性近似，二、這個(gè)線性近似帶來(lái)的誤差是足夠小的，實(shí)際上任何函數(shù)的增量我們都可以線性關(guān)系去近似它，但是當(dāng)誤差不夠小時(shí)，近似的程度就不夠好，這時(shí)就不能說(shuō)該函數(shù)可微分了

不定積分：導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算 什么樣的函數(shù)有不定積分

定積分：由具體例子引出，本質(zhì)是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規(guī)則的整體劃作規(guī)則的許多個(gè)小的部分，然后再綜合，最后求極限，當(dāng)極限存在時(shí)，近似成為精確 什么樣的函數(shù)有定積分

求不定積分（定積分）的若干典型方法：換元、分部，分部積分中考慮放到積分號(hào)后面的部分，不同類型的函數(shù)有不同的優(yōu)先級(jí)別，按反對(duì)冪三指的順序來(lái)記憶

定積分的幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)里最重要的數(shù)學(xué)思想方法：微元法

微分和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：判斷函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性

微分中值定理，可從幾何意義去加深理解

泰勒定理：本質(zhì)是用多項(xiàng)式來(lái)逼近連續(xù)函數(shù)。要學(xué)好這部分內(nèi)容，需要考慮兩個(gè)問(wèn)題：

一、這些多項(xiàng)式的系數(shù)如何求？

二、即使求出了這些多項(xiàng)式的系數(shù)，如何去評(píng)估這個(gè)多項(xiàng)式逼近連續(xù)函數(shù)的精確程度，即還需要求出誤差（余項(xiàng)），當(dāng)余項(xiàng)隨著項(xiàng)數(shù)的增多趨向于零時(shí)，這種近似的精確度就是足夠好的。

下冊(cè)

（一）：

多元函數(shù)的微積分：將上冊(cè)的一元函數(shù)微積分的概念拓展到多元函數(shù)

最典型的是二元函數(shù)

極限：二元函數(shù)與一元函數(shù)要注意的區(qū)別，二元函數(shù)中兩點(diǎn)無(wú)限接近的方式有無(wú)限多種（一元函數(shù)只能沿直線接近），所以二元函數(shù)存在的要求更高，即自變量無(wú)論以任何方式接近于一定點(diǎn)，函數(shù)值都要有確定的變化趨勢(shì)

連續(xù)：二元函數(shù)和一元函數(shù)一樣，同樣是考慮在某點(diǎn)的極限和在某點(diǎn)的函數(shù)值是否相等

導(dǎo)數(shù)：上冊(cè)中已經(jīng)說(shuō)過(guò)，導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)在某點(diǎn)處的變化率（變化情況），在二元函數(shù)中，一點(diǎn)處函數(shù)的變化情況與從該點(diǎn)出發(fā)所選擇的方向有關(guān)，有可能沿不同方向會(huì)有不同的變化率，這樣引出方向?qū)?shù)的概念

沿坐標(biāo)軸方向的導(dǎo)數(shù)若存在，稱之為偏導(dǎo)數(shù)

通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)存在一定關(guān)系，可用偏導(dǎo)數(shù)和所選定的方向來(lái)表示，即二元函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)已經(jīng)足夠表示清楚該函數(shù)在一點(diǎn)沿任意方向的變化情況

高階偏導(dǎo)數(shù)若連續(xù)，則求導(dǎo)次序可交換

微分：微分是函數(shù)增量的線性主要部分，這一本質(zhì)對(duì)一元函數(shù)或多元函數(shù)來(lái)說(shuō)都一樣。只不過(guò)若是二元函數(shù)，所選取的線性近似部分應(yīng)該是兩個(gè)方向自變量增量的線性組合，然后再考慮誤差是否是自變量增量的高階無(wú)窮小，若是，則微分存在

僅僅有偏導(dǎo)數(shù)存在，不能推出用線性關(guān)系近似表示函數(shù)增量后帶來(lái)的誤差足夠小，即偏導(dǎo)數(shù)存在不一定有微分存在

若偏導(dǎo)數(shù)存在，且連續(xù)，則微分一定存在

極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)和可微的關(guān)系在多元函數(shù)情形里比一元函數(shù)更為復(fù)雜

極值：若函數(shù)在一點(diǎn)取極值，且在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）存在，則此導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）必為零

所以，函數(shù)在某點(diǎn)的極值情況，即函數(shù)在該點(diǎn)附近的函數(shù)增量的符號(hào)，由二階微分的符號(hào)判斷。對(duì)一元函數(shù)來(lái)說(shuō)，二階微分的符號(hào)就是二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，對(duì)二元函數(shù)來(lái)說(shuō)，二階微分的符號(hào)可由相應(yīng)的二次型的正定或負(fù)定性判斷。

級(jí)數(shù)斂散性的判別思路：首先看通項(xiàng)是否趨于零，若不趨于零則發(fā)散。若通項(xiàng)趨于零，看是否正項(xiàng)級(jí)數(shù)。若是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，首先看能否利用比較判別法，注意等比級(jí)數(shù)和調(diào)和級(jí)數(shù)是常用來(lái)作比較的級(jí)數(shù)，若通項(xiàng)是連乘形式，考慮用比值判別法，若通項(xiàng)是乘方形式，考慮用根值判別法。若不是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，取絕對(duì)值，考慮其是否絕對(duì)收斂，絕對(duì)收斂則必收斂。若絕對(duì)值不收斂，考察一般項(xiàng)，看是否交錯(cuò)級(jí)數(shù)，用萊布尼茲準(zhǔn)則判斷。若不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，只能通過(guò)最根本的方法判斷，即看其前n項(xiàng)和是否有極限，具體問(wèn)題具體分析。

比較判別法是充分必要條件，比值和根值法只是充分條件，不是必要條件。

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)情況復(fù)雜，一般只研究?jī)缂?jí)數(shù)。阿貝爾定理揭示了冪級(jí)數(shù)的重要性質(zhì)：收斂區(qū)域存在一個(gè)收斂半徑。所以對(duì)冪級(jí)數(shù)，關(guān)鍵在于求出收斂半徑，而這可利用根值判別法解決。

逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分不改變冪級(jí)數(shù)除端點(diǎn)外的區(qū)域的斂散性，端點(diǎn)情況復(fù)雜，需具體分析。

一個(gè)函數(shù)能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的條件是：存在任意階導(dǎo)數(shù)。展開(kāi)后的冪級(jí)數(shù)能收斂于原來(lái)函數(shù)的條件是：余項(xiàng)（誤差）要隨著項(xiàng)數(shù)的增加趨于零。這與泰勒展開(kāi)中的結(jié)論一致。

微分方程：不同種類的方程有不同的常見(jiàn)解法，但理解上并無(wú)難處。

下冊(cè)

（二）定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分都可以概率為一種類型的積分，從物理意義上來(lái)理解是某個(gè)空間區(qū)域（直線段、平面區(qū)域、立體區(qū)域、曲線段、曲面區(qū)域）的質(zhì)量，其中被積元可看作區(qū)域的微小單元，被積函數(shù)則是該微小單元的密度

這些積分最終都是轉(zhuǎn)化成定積分來(lái)計(jì)算

第二類曲線積分的物理意義是變力做功（或速度環(huán)量），第二類曲面積分的物理意義是流量

在研究上述七類積分的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)其實(shí)被積函數(shù)都是空間位置點(diǎn)的函數(shù)，于是把這種以空間位置作為自變量的函數(shù)稱為場(chǎng)函數(shù) 場(chǎng)函數(shù)有標(biāo)量場(chǎng)和向量場(chǎng)，一個(gè)向量場(chǎng)相當(dāng)于三個(gè)標(biāo)量場(chǎng)

場(chǎng)函數(shù)在一點(diǎn)的變化情況由方向?qū)?shù)給出，而方向?qū)?shù)最大的方向，稱為梯度方向。梯度是一個(gè)向量，任何方向的方向?qū)?shù)，都是梯度在這個(gè)方向上的投影，所以梯度的模是方向?qū)?shù)的最大值

梯度方向是函數(shù)變化最快的方向，等位面方向是函數(shù)無(wú)變化的方向，這兩者垂直

梯度實(shí)際上一個(gè)場(chǎng)函數(shù)不均勻性的量度

梯度運(yùn)算把一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)變成向量場(chǎng)

一條空間曲線在某點(diǎn)的切向量，便是該點(diǎn)處的曲線微元向量，有三個(gè)分量，它建立了第一類曲線積分與第二類曲線積分的聯(lián)系

一張空間曲面在某點(diǎn)的法向量，便是該點(diǎn)處的曲面微元向量，有三個(gè)分量，它建立了第一類曲面積分和第二類曲面積分的聯(lián)系

物體在一點(diǎn)處的相對(duì)體積變化率由該點(diǎn)處的速度場(chǎng)決定，其值為速度場(chǎng)的散度

散度運(yùn)算把向量場(chǎng)變成標(biāo)量場(chǎng)

散度為零的場(chǎng)稱為無(wú)源場(chǎng)

高斯定理的物理意義：對(duì)散度在空間區(qū)域進(jìn)行體積分，結(jié)果應(yīng)該是這個(gè)空間區(qū)域的體積變化率，同時(shí)這種體積變化也可看成是在邊界上的流量造成的，故兩者應(yīng)該相等。即高斯定理把一個(gè)速度場(chǎng)在邊界上的積分與速度場(chǎng)的散度在該邊界所圍的閉區(qū)域上的體積分聯(lián)系起來(lái)

無(wú)源場(chǎng)的體積變化為零，這是容易理解的，相當(dāng)于既無(wú)損失又無(wú)補(bǔ)充

物體在一點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)情況由該點(diǎn)處的速度場(chǎng)決定，其值為速度場(chǎng)的旋度

旋度運(yùn)算把向量場(chǎng)變成向量場(chǎng)

旋度為零的場(chǎng)稱為無(wú)旋場(chǎng)

斯托克斯定理的物理意義：對(duì)旋度在空間曲面進(jìn)行第二類曲面積分，結(jié)果應(yīng)該表示的是這個(gè)曲面的旋轉(zhuǎn)快慢程度，同時(shí)這種旋轉(zhuǎn)也可看成是邊界上的速度環(huán)量造成的，故兩者應(yīng)該相等。即斯托克斯定理把一個(gè)速度場(chǎng)在邊界上形成的環(huán)量與該邊界所圍的曲面的第二類曲面積分聯(lián)系起來(lái)。該解釋是從速度環(huán)量的角度出發(fā)得到的，比高斯定理要難，不強(qiáng)求掌握。

無(wú)旋場(chǎng)的速度環(huán)量為零，這相當(dāng)于一個(gè)區(qū)域沒(méi)有旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，這是容易理解的

格林定理是斯托克斯定理的平面情形

進(jìn)一步考察無(wú)旋場(chǎng)的性質(zhì)

旋度為零，相當(dāng)于對(duì)旋度作的第二類曲面積分為零——即等號(hào)后邊的第二類曲線積分為零，相當(dāng)于該力場(chǎng)圍繞一閉合空間曲線作做的功為零——即從該閉合曲線上任選一點(diǎn)出發(fā)，積分與路徑無(wú)關(guān)——相當(dāng)于所得到的曲線積分結(jié)果只于終點(diǎn)的選擇有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)，可看成終點(diǎn)的函數(shù)，這是一個(gè)場(chǎng)函數(shù)（空間位置的函數(shù)），稱為勢(shì)函數(shù)——所得的勢(shì)函數(shù)的梯度正好就是原來(lái)的力場(chǎng)——因?yàn)榱?chǎng)函數(shù)是連續(xù)的，所以勢(shì)函數(shù)有全微分

簡(jiǎn)單的概括起來(lái)就是：無(wú)旋場(chǎng)——積分與路徑無(wú)關(guān)——梯度場(chǎng)——有勢(shì)場(chǎng)——全微分

要注意以上這些說(shuō)法之間的等價(jià)性

三定理（Gauss Stokes Green）的向量形式和分量形式都要熟悉

習(xí)題解讀

基礎(chǔ)階段的復(fù)習(xí)是以課本為主，主要任務(wù)兩個(gè)，一是學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)（定義、定理、公式）并理解它們，二是完成一定的課后習(xí)題以檢驗(yàn)自己對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度。

很多人在學(xué)習(xí)中都容易忽視課本，覺(jué)得比起那些專門的參考資料，課本上的習(xí)題實(shí)際上是沒(méi)什么值得關(guān)注的，但其實(shí)不然，一套經(jīng)典的教材，它所配的習(xí)題很多都有值得我們?nèi)ネ诰虻牡胤健?/p>

那么接下來(lái)我就說(shuō)說(shuō)我對(duì)我們用的教材上課后習(xí)題的解讀，希望能給同學(xué)們提示。因?yàn)楦邤?shù)的題目比較多，而我感覺(jué)每章的總習(xí)題有著更好的總結(jié)性，所以主要就說(shuō)說(shuō)總習(xí)題一到十二里我感覺(jué)值得注意的一些題目吧。

總習(xí)題一：

1是填空題，是考察與極限有關(guān)的一些概念，這個(gè)是很重要的，要掌握好。而且?guī)缀趺空碌目偭?xí)題都設(shè)了填空題，均與這些章節(jié)的重要概念有關(guān)。所以每章的總習(xí)題里的填空題所涉及的知識(shí)點(diǎn)，比如誰(shuí)是誰(shuí)的什么條件之類，務(wù)必要搞清楚。

2是無(wú)窮小的階的比較 3、4、5、6是與函數(shù)有關(guān)的題目，這個(gè)是學(xué)好高數(shù)的基礎(chǔ)，但卻不是高數(shù)側(cè)重的內(nèi)容，熟悉即可

7用定義證明極限，較難，一般來(lái)說(shuō)能理解極限的概念就可以了

8典型題，求各種類型極限，重要，6個(gè)小題各代表一種類型，其實(shí)求極限的題目基本跳不出這六種框架了

9典型題，選擇合適的參數(shù)，使函數(shù)連續(xù)，用連續(xù)的定義即可

10典型題，判斷函數(shù)的間斷點(diǎn)類型，按間斷點(diǎn)的分類即可

11較難的極限題，這里是要用到夾逼原理，此類題目技巧性強(qiáng)，體會(huì)一下即可

12證明零點(diǎn)存在的問(wèn)題，要用到連續(xù)函數(shù)介值定理，重要的證明題型之一，必需掌握

13該題目給出了漸近線的定義以及求法，要作為一個(gè)知識(shí)點(diǎn)來(lái)掌握，重要

綜上，第一章總習(xí)題要著重掌握的是1、2、8、9、10、12、13題

總習(xí)題二：

1填空題，不多說(shuō)了，重點(diǎn)

2非常好的一道題目，考察了與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的一些說(shuō)法，其中的干擾項(xiàng)（B）（C）設(shè)置的比較巧妙，因?yàn)槠綍r(shí)我們一般只注意到導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)存在的條件是左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等，容易忽視另一個(gè)重要條件：函數(shù)必須要在該點(diǎn)連續(xù)，否則何來(lái)可導(dǎo)？而（B）（C）項(xiàng)的問(wèn)題正是在于即使其中的極限存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，因?yàn)楦揪蜎](méi)出現(xiàn)f(a)，所以對(duì)f(x)在a處的情況是不清楚的。而對(duì)（A）項(xiàng)來(lái)說(shuō)只能保證右導(dǎo)數(shù)存在。只有（D）項(xiàng)是能確實(shí)的推出可導(dǎo)的

3物理應(yīng)用現(xiàn)在基本不要求了

4按定義求導(dǎo)數(shù)，不難，應(yīng)該掌握

5常見(jiàn)題型，判斷函數(shù)在間斷點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)情況，按定義即可

6典型題，討論函數(shù)在間斷點(diǎn)處的連續(xù)性和可導(dǎo)性，均按定義即可

7求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算層面的考察，第二章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容

8求二階導(dǎo)數(shù)，同上題

9求高階導(dǎo)數(shù)，需注意總結(jié)規(guī)律，難度稍大，體會(huì)思路即可

10求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，重要，?？碱}型 11求參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)，同樣是?？碱}型

12導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，重要題型 13、14、15不作要求

綜上，第二章總習(xí)題需重點(diǎn)掌握的題目是1、2、4、5、6、7、8、10、11、12

第三章的習(xí)題都比較難，需要多總結(jié)和體會(huì)解題思路

總習(xí)題三

1零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論問(wèn)題，典型題，需掌握

2又一道設(shè)置巧妙的題目，解決方法有很多，通過(guò)二階導(dǎo)的符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)增量與導(dǎo)數(shù)、微分的大小關(guān)系，07年真題就有一道題目由此題改造而來(lái)，需重點(diǎn)體會(huì)

3舉反例，隨便找個(gè)有跳躍點(diǎn)的函數(shù)即可

4中值定理和極限的綜合應(yīng)用，重要題目，主要從中體會(huì)中值定理的妙處

5零點(diǎn)問(wèn)題，可用反證法結(jié)合羅爾定理，也可正面推證，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，此題非典型題 6、7、8中值定理典型題，要證明存在零點(diǎn)，可構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，再利用羅爾定理，此類題非常重要，要細(xì)心體會(huì)解答給出的方法

9非常見(jiàn)題型，了解即可

10羅必達(dá)法則應(yīng)用，重要題型，重點(diǎn)掌握

11不等式，一般可用導(dǎo)數(shù)推征，典型題 12、13極值及最值問(wèn)題，需要掌握，不過(guò)相對(duì)來(lái)說(shuō)多元函數(shù)的這類問(wèn)題更重要些 14、15、16不作要求

17非常重要的一道題目，設(shè)計(jì)的很好，需要注意題目條件中并未給出f''可導(dǎo)，故不能連用兩次洛必達(dá)法則，只能用一次洛必達(dá)法則再用定義，這是此題的亮點(diǎn)

18無(wú)窮小的階的比較，一是可直接按定義，二是可將函數(shù)泰勒展開(kāi)，都能得到結(jié)果，此題考察的是如何判斷兩個(gè)量的階的大小，重要

19對(duì)凹凸性定義的推廣，用泰勒公式展開(kāi)到二階可較方便的解決，此題可看作泰勒公式應(yīng)用的一個(gè)實(shí)例，重在體會(huì)其思想

20確定合適的常數(shù)，使得函數(shù)為給定的無(wú)窮小量，典型題，且難度不大

綜上，第三章總習(xí)題需要重點(diǎn)掌握的是1、2、4、6、7、8、10、11、12、13、17、18、20

第四章沒(méi)有什么可說(shuō)的重點(diǎn)，能做多少是多少吧??

積分的題目是做不完的。

當(dāng)然，如果你以那種不破樓蘭終不還的決心和氣勢(shì)，最終把所有題目搞定了，這還是值得恭喜的，盡管可能這會(huì)花掉很多時(shí)間，但仍然是值得的??因?yàn)檫@有效的鍛煉了思維。

總習(xí)題五

1填空，重要，但第（2）、（3）問(wèn)涉及廣義積分，不作要求

2典型題，前3題用定積分定義求極限，需重點(diǎn)掌握，尤其是要體會(huì)如何把和式改寫為相應(yīng)的積分式，積分區(qū)間和被積函數(shù)如何定，這個(gè)是需要適當(dāng)?shù)木毩?xí)才能把握好的，后2題涉及積分上限函數(shù)求導(dǎo)，也是常見(jiàn)題型

3分別列出三種積分計(jì)算中最可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，需細(xì)心體會(huì)，重要

4利用定積分的估值證明不等式，技巧性較強(qiáng)

5兩個(gè)著名不等式的積分形式，不作強(qiáng)制要求，了解即可

6此題證明要用5題中的柯西不等式，不作要求

7計(jì)算定積分，典型題

8證明兩個(gè)積分相等，可用一般方法，也可利用二重積分的交換積分次序，設(shè)計(jì)巧妙的重點(diǎn)題目

9同樣是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，只不過(guò)對(duì)象變得比一般函數(shù)復(fù)雜，是積分上限函數(shù)，但本質(zhì)和第三章的類似題目無(wú)區(qū)別，不難掌握

10分段求積分，典型題

11證明積分第一中值定理，要用到連續(xù)函數(shù)的介值定理，難度高于積分中值定理的證明，可作為提高和鍛煉性質(zhì)的練習(xí)

綜上，總習(xí)題五需要重點(diǎn)掌握的題目是1、2、3、7、8、9、10

定積分的應(yīng)用一塊的考察，現(xiàn)在更偏重的是幾何應(yīng)用

1物理應(yīng)用，跳過(guò)

2所涉及到的圖形較為復(fù)雜，是兩個(gè)圓，其中第二個(gè)是旋轉(zhuǎn)了一定角度的圓，不易看出，此題可作為一個(gè)提高性質(zhì)的練習(xí)

3重點(diǎn)題，積分的幾何應(yīng)用和極值問(wèn)題相結(jié)合，?？碱}型之一

4旋轉(zhuǎn)體體積，需注意的是繞哪條線形成的旋轉(zhuǎn)體，所繞的軸不同的話，結(jié)果不同

5求弧長(zhǎng)，非典型題，了解即可 6、7、8均為物理應(yīng)用，不作要求，有興趣的不妨一試

綜上，總習(xí)題六實(shí)際上就2、3、4題需要引起注意

第七章空間解析幾何，只對(duì)數(shù)一的同學(xué)有要求，數(shù)二三四的就直接pass吧

總習(xí)題七

1填空，向量代數(shù)的基本練習(xí)，必不可少 2、3、4、5都是平面向量幾何的題目，不太重要，不過(guò)適當(dāng)練習(xí)可以培養(yǎng)起用向量的方式來(lái)思考問(wèn)題的習(xí)慣 7、8、9、10、11都是與向量有關(guān)的運(yùn)算，包括加（減），數(shù)乘、點(diǎn)積（相應(yīng)的意義是一個(gè)向量在另一個(gè)向量的投影）、兩向量的夾角、叉積（相應(yīng)的意義是平行四邊形的面積），要通過(guò)這些題目熟悉向量的各種運(yùn)算，重要

12用證明題的形式來(lái)考察對(duì)混合積的掌握，需掌握

13按定義寫點(diǎn)的軌跡方程，解析幾何中的常見(jiàn)題，了解基本做法即可

14旋轉(zhuǎn)曲面相關(guān)題目，非常重要，要搞清楚繞某一軸旋轉(zhuǎn)后的旋轉(zhuǎn)曲面寫法 15、16求平面的方程，順帶可復(fù)習(xí)近平面方程的類型，這類問(wèn)題的解決辦法一般是先從立體幾何中考慮，想到做法再翻譯成解析幾何的語(yǔ)言，重在思路的考察，需多加練習(xí)

17求直線方程，同上題

18解析幾何與極值的混合問(wèn)題，也是一類典型題 19、20考察投影曲線和投影面，這部分知識(shí)是多重積分計(jì)算的基礎(chǔ)，要重點(diǎn)掌握

21畫出曲面所圍的立體圖形，有一定難度，是對(duì)空間想象能力的鍛煉，盡量都掌握

綜上，總習(xí)題七需重點(diǎn)掌握的題目是1、7、8、9、10、11、12、14、15、16、17、18、19、20

下冊(cè)的內(nèi)容有很多數(shù)二數(shù)三數(shù)四不考，因此我在解讀習(xí)題時(shí)盡量標(biāo)注出是數(shù)一要求的，大家平時(shí)也多查查考綱或者翻翻計(jì)劃，這樣對(duì)于哪些考哪些不考就更清楚了。

總習(xí)題八：

1填空，很重要

2選擇，著重考查一條說(shuō)法，偏導(dǎo)數(shù)存在未必可微，這個(gè)是無(wú)論數(shù)幾都需要的，還有就是偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，這個(gè)只數(shù)一要求

3基本題，求二元函數(shù)的定義域和極限，因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，直接用“代入法”求極限就可以了

4典型題，判斷極限存在性，考察如果證明一個(gè)二元函數(shù)的極限是不存在的（常用方法是取兩條路徑）

5典型題，求偏導(dǎo)數(shù)，注意在連續(xù)區(qū)間內(nèi)按求導(dǎo)法則求，在間斷點(diǎn)處只能按定義求

6求高階偏導(dǎo)數(shù)，到二階的題目需要熟練掌握

7微分的概念，簡(jiǎn)單題目，直接按微分和增量的定義即可

8重點(diǎn)題型，對(duì)一個(gè)二元函數(shù)，考察其在某點(diǎn)的連續(xù)性、偏導(dǎo)存在情況和可微性，務(wù)必熟練此類題目 9、10、11、12復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，重點(diǎn)題型，要多加練習(xí)的一類題目，復(fù)合函數(shù)中哪些自變量是獨(dú)立的，哪些是不獨(dú)立的，還有各自對(duì)應(yīng)關(guān)系，判斷好這些是解題的關(guān)鍵 13、14分別是極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)情形下偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，數(shù)一要求 15、16方向?qū)?shù)相關(guān)題目，該知識(shí)點(diǎn)與第十一章聯(lián)系密切，重要，數(shù)一要求 17、18多元函數(shù)的極值問(wèn)題，典型題，且通常都是結(jié)合條件極值來(lái)考，這類題目一定要熟練，其中08年真題中一道極值題目就是把17題中的柱面改成錐面，其它完全一樣，由此可見(jiàn)對(duì)課本要重新重視。

綜上，總習(xí)題八需要重點(diǎn)掌握的題目是1、2、4、5、6、8、9、10、11、12、13（數(shù)一）、14（數(shù)一）、15（數(shù)一）、16（數(shù)一）、17、18

第九章的內(nèi)容中，二重積分以外的內(nèi)容是數(shù)二三四不要求的，就不在題號(hào)后一一寫明了

總習(xí)題九

1選擇題，實(shí)際是考察多重積分的對(duì)稱性，屬于典型題，在多重積分的情況下，對(duì)稱性的應(yīng)用比定積分要復(fù)雜，重要，第（1）小問(wèn)是三重積分，只數(shù)一要求，第（2）小問(wèn)是二重積分 2、3基本題型，計(jì)算二重積分或者是交換二重積分的順序，需要熟練掌握

4利用交換積分次序證明等式，體會(huì)一下方法即可

5基本題型，利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分，實(shí)際上在計(jì)算多重積分時(shí)本就要求根據(jù)不同的積分區(qū)域選擇合適的坐標(biāo)系，這是一個(gè)基本能力，重要

6確定三重積分的積分區(qū)域，比較鍛煉空間想象能力的一類題，重要

7計(jì)算三重積分，基本題型，仍然要注意區(qū)域不同，所選坐標(biāo)系不同

8重積分的幾何應(yīng)用，從二重積分的角度，或者從三重積分的角度都可以求解，此題要求數(shù)二三四考生也掌握 9、10、11是重積分的物理應(yīng)用，不作要求

綜上，總習(xí)題九需要重點(diǎn)掌握的題目是1、2、3、5、6、7、8

第十章的內(nèi)容全部針對(duì)數(shù)一

總習(xí)題十

1填空，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是兩類線、面積分之間的聯(lián)系，重要

2選擇，考察的是第一類曲面積分的對(duì)稱性，與重積分的對(duì)稱性類同，重點(diǎn)題型。需要注意，第二類線、面積分與第一類會(huì)有所不同，因?yàn)榈诙惥€、面積分的被積元也有符號(hào)，這是和第一類線、面積分的區(qū)別

3計(jì)算曲線積分，基本題型，需要多加練習(xí)，六個(gè)小題基本覆蓋了曲線積分計(jì)算題的類型

4計(jì)算曲面積分，基本題型，要求同上題。注意在計(jì)算線、面積分時(shí)，方法很多，常用的有直接轉(zhuǎn)化成定積分或二重積分，或用Green公式，Guass定理，在用這兩個(gè)定理時(shí)又要注意其成立的條件是所圍區(qū)域不能有奇點(diǎn)，甚至不是閉區(qū)域要先補(bǔ)線或者補(bǔ)面，此類題目一定要熟練掌握

5全微分的相關(guān)等價(jià)說(shuō)法，典型題，順帶可回顧一下與全微分有關(guān)的一系列等價(jià)命題 6、7線面積分的物理應(yīng)用，不作要求

8證明，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，覆蓋面廣，通過(guò)此題的練習(xí)可回憶和鞏固線面積分的幾乎所有知識(shí)點(diǎn)（把梯度和方向?qū)?shù)包括進(jìn)來(lái)了），推薦掌握

9從流量的角度出發(fā)理解第二類曲面積分，基本題型

10用Stokes定理積分空間曲線積分，基本題型，01年考過(guò)

綜上，總習(xí)題十需要重點(diǎn)掌握的題目是1、2、3、4、5、8、9、10

第十一章是級(jí)數(shù)，數(shù)二數(shù)四不要求，其中傅立葉級(jí)數(shù)對(duì)數(shù)三無(wú)要求

總習(xí)題十一

1填空，涉及級(jí)數(shù)斂散性的相關(guān)說(shuō)法，重要

2判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性，典型題，綜合應(yīng)用比較、比值、根值三種方法，在用比較判別法時(shí)實(shí)際就是比較兩個(gè)通項(xiàng)是否同階無(wú)窮小，這樣可讓思路更清晰

3抽象級(jí)數(shù)的概念題，重點(diǎn)題型之一，要利用級(jí)數(shù)收斂的相關(guān)性質(zhì)判斷

4設(shè)置了陷阱的概念題，因?yàn)楸容^判別法只對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)成立，也是重點(diǎn)題型之一

5判斷級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂，典型題，通過(guò)這些練習(xí)來(lái)加強(qiáng)對(duì)這類題目的熟練度

6利用收斂級(jí)數(shù)的通項(xiàng)趨于零這一說(shuō)法來(lái)判斷極限，體會(huì)方法即可

7求冪級(jí)數(shù)的收斂域，典型題，要多加練習(xí)，注意搞清楚收斂域、收斂半徑、收斂區(qū)域的區(qū)別

8求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，典型題，重要，一般求和函數(shù)都不用直接法而用間接法，即通過(guò)對(duì)通項(xiàng)作變形（逐項(xiàng)積分或求導(dǎo)等），再利用已知的常見(jiàn)函數(shù)的展開(kāi)式得到結(jié)果，注意求出和函數(shù)不要忘記相應(yīng)的收斂域。

9利用構(gòu)造冪級(jí)數(shù)來(lái)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，也是一類重要題型

10將函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)，與8是互為反問(wèn)題，仍是多用間接展開(kāi)法，方法上異曲同工，需要熟練掌握，同樣注意不要忘記收斂域 11、12傅立葉級(jí)數(shù)的相關(guān)題目，基本題，此類題目記得相應(yīng)的系數(shù)表達(dá)式就可解決，一般來(lái)說(shuō)至少要掌握周期為pi的情形。注意傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)的系數(shù)公式難記，只能平時(shí)多加回顧，還有不要忽略了在非連續(xù)點(diǎn)展開(kāi)后的傅氏級(jí)數(shù)的收斂情況（即狄利赫萊收斂定理）

綜上，總習(xí)題十一需要重點(diǎn)掌握的題目是1、2、3、4、5、7、8、9、10、11

第十二章微分方程，二階以上的方程對(duì)數(shù)四不作要求，下面不再詳細(xì)說(shuō)明

總習(xí)題十二

1填空，涉及微分方程理論的若干說(shuō)法，基本題，第（2）問(wèn)只數(shù)一要求

2通過(guò)解的形式觀察出相應(yīng)的微分方程，典型題，其中第（2）問(wèn)更重要 3、4求解不同類型的微分方程，通過(guò)這些題目的練習(xí)，基本對(duì)各種方程的解法有一定了解，同時(shí)也培養(yǎng)了一些解題思路和技巧，重要。其中涉及到全微分方程的幾個(gè)小題只數(shù)一有要求

5微分方程的幾何應(yīng)用，基本題

6微分方程的物理應(yīng)用，不作要求

7由積分方程推導(dǎo)微分方程，典型題，要求掌握

8用變量代換化簡(jiǎn)微分方程，典型題，只對(duì)數(shù)一有要求，注意在代換過(guò)程中要搞清楚變量和變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系

9涉及微分方程基本理論的題目，非常見(jiàn)題型，但可體會(huì)其出題思路

10歐拉方程的練習(xí)，數(shù)一要求